Matematyka liczby zespolone

Wykład 1

Siedlce 25.10.2015

Liczby rzeczywiste

Zbiór N ={0,1,2,3,4,5,…} nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N+={1,2,3,4,…} nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Zbiór C ={…-2,-1,0,1,2,…} nazywamy zbiorem Liczb całkowitych. Zbiór C+={1,2,3,…} nazywamy zbiorem liczb całkowitych dodatnich. Zbiór C-={…-3,-2,-1} nazywamy zbiorem liczb całkowitych ujemnych.

Liczbę nazywamy wymierną (w) jeżeli da się ją przedstawić jako ułamek p/q gdzie p ∈ 𝑪, 𝒒 ∈ C i q≠0. Zbiór W liczb wymiernych można przedstawić w postaci: W={x: x=p/q Λ p ∈ C Λ q ∈ C \ {0}}. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego.

Liczbę nazywamy niewymierną (nw) jeżeli nie da się jej przedstawić jako ułamka p/q gdzie

p ∈ 𝑪, 𝒒 ∈ C i q≠0. Przykłady takich liczb to π, 2. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy NW.

W C N NW

R

Liczby rzeczywiste

W ∪ NW = R W∩NW = Ø N ∁ C ∁ W W ∁ R, NW ∁ R

Liczby zespolone

Liczbę zespoloną (z) nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a,b). Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci: Z={z=(a,b) a,b ∈ R}. Liczbę zespoloną z=(a,b) możemy przedstawić na płaszczyźnie w postaci punktu (x,y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i. Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci: z=x+iy gdzie x,y ∈ R. Ten sposób przedstawienia liczby zespolonej nazywa się postacią algebraiczną. Jeżeli x+iy jest postacią algebraiczną liczby zespolonej wówczas x jest częścią rzeczywistą (z łac. Realis) a y jest częścią urojoną (z łac. Imaginalis).

Re (z) → x Im (z) → y

Działania na liczbach zespolonych

równość, dodawanie i mnożenie możemy przedstawić ww sposób następujący: Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Przykład: (2,-1) i (3,7) (2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6) (2, -1)(3, 7) = = (13, 11)

bcadbdacdcba

dbcadcba

dbcadcba

,,,

,,,

,,

Działania na liczbach zespolonych

Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych.

(x,y) = (a,b) – (c,d) (x,y) + (c,d) = (a,b)

Z definicji dodawania i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy

x + c = a i y +d = b, czyli

(a, b) - (c, d) = (a - c, b – d) Przykład: (2,-1) – (3,7) = (2 – 3, -1 - 7) = (-1,-8).

Działania na liczbach zespolonych

Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych. (x, y) = (a,b)/(c,d) (x, y)(c, d) = (a, b) Z definicji mnożenia i równości liczb zespolonych wynika, że wtedy Układ ten jest jednoznacznie rozwiązalny, gdy wyznacznik tego układu jest różny od zera, czyli gdy liczba zespolona (c, d) nie jest zerem. Stąd

bcydx

adycx

2222,

,

,

dc

bcad

dc

bdac

dc

ba

Jedynka urojona

i=(0,1) nazywamy także jedynką urojoną. Urojona dlatego że: i2=-1 ponieważ

(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc) i·i=(0,1)·(0,1)=(-1,0)=-1

gdy tymczasem nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną! Ponieważ (a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz (0, b) = (0, 1)(b, 0) możemy liczbę zespoloną (a, b) zapisać w

postaci kanonicznej Gaussa a + bi

Postać graficzna liczby zespolonej

Oczywiście jeżeli z1=z2 wtedy Re(z1)=Re(z2) i Im(z1)=Im(z2).

Działania na liczbach zespolonych w postaci kanonicznej

2222

2

)()()/()(

dc

adbc

dc

bdacidciba

bcadibdac

bdiibciadacidciba

dbicaidciba

dbicaidciba

Interpretacja geometryczna dodawania i odejmowania

Dodawanie liczb zespolonych = dodawanie wektorów Odejmowanie liczb zespolonych = odejmowanie wektorów

iyyxxiyxiyxzz 2121221121

iyyxxiyxiyxzz 2121221121

Moduł liczby zespolonej

Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby: Przykład:

22 baz

.00,1,11,5434322 ii

Moduł liczby zespolonej

Liczbą sprzężoną z liczbą z=a+bi nazywamy liczbę postaci a-bi oraz oznaczamy jako: Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą, nazywamy liczbami sprzężonymi. WNIOSKI

• Liczby sprzężone mają równe moduły,

• Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu

biaz

zz

2zzz

biabiaba 22

sprzężenie liczby zespolonej postać graficzna

Argument liczby zespolonej

Argumentem liczby z=x+yi≠0 , oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ, spełniającą dwa warunki: Gdzie: Argument główny liczby z – argument liczby z, który należy do przedziału (-π, π>.

,cosz

x

z

ysin

022 yxz

Moduł i argument liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej – długość wektora wodzącego punktu odpowiadającego tej liczbie (interpretacja geometryczna). Argument liczby zespolonej - miara względna kąta, jaki tworzy wektor wodzący punktu z z osią rzeczywistą (interpretacja geometryczna).

Moduł różnicy liczb zespolonych

Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych z1 i z2 jest długością odcinka łączącego punkty z1 i z2 na płaszczyźnie zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

sincos irz

r – moduł liczby zespolonej φ - argument liczby zespolonej 1. Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi

ich modułów 2. Argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy sumie ich

argumentów 3. Moduł ilorazu liczb zespolonych jest równy ilorazowi ich

modułów 4. Argument ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy różnicy ich

argumentów

Własności działań na liczbach zespolonych

Jeśli z1, z2 i z3 są dowolnymi liczbami zespolonymi wówczas prawdziwe są następujące własności: 1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne

z1+z2=z2+z1

2. Dodawanie liczb zespolonych jest łączne (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

3. Dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 0 tj. (0,0) spełnia równość

z+0=z 4. Dla każdej liczby zespolonej z(x,y) liczba zespolona –z(-x,-y)

spełnia równość: z+(-z)=0

5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne: z1*z2=z2*z1

Własności działań na liczbach zespolonych

6. Mnożenie liczb zespolonych jest łączne (z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)

7. Dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 1 tj.(1,0) spełnia równość

z*1=z 8. Dla każdej liczby zespolonej z(x,y)≠0 liczba zespolona 1/z

1

𝑧=

𝑥

𝑥2 + 𝑦2,

𝑦

𝑥2 + 𝑦2

spełnia równość: 1/z*z=1

9. Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania:

z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3

Tematyka dalszych wykładów

• Macierze, Macierz odwrotna

• Wyznaczniki

• Układy równań liniowych

• Ciągi liczbowe

• Rachunek rożniczkowy funkcji jednej zmiennej

• Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Zalecana literatura

1. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2008

2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, wyd. XII, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005

3. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa 2011

4. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2011

5. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowania w naukach ekonomicznych, Wydawnictwo AE, Poznań 1993