Algebra liniowa 3 - sc.im.uj.edu.plsc.im.uj.edu.pl/images/videos/linalg.pdf · 2019 Notatki do...

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

Notatki do wykładu

Algebra liniowa 3(kurs zaawansowany)

Instytut MatematykiUniwersytetu Jagiellońskiego

semest zimowy 2018/2019

Sławomir Cynke-mail: [email protected]

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019ROZDZIAŁ I

Formy dwuliniowe symetryczna, antysymetryczne, alternujące; formykwadratowe

1. Odwzorowania i formy dwuliniowe

Definicja I.1. Niech V1, . . . , Vn,W będa przestrzeniami wektorowymi, odwzorowanie

F : V1 × · · · × Vn −→W

nazywamy n–liniowym jeśli dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n i dowolnych v0j ∈ Vj , j 6= i, odwzorowanie

Vi 3 vi 7→ F (v01 , . . . , vi, . . . , v

0n)

jest liniowe.

Formą n–liniową nazywamy odwzorowanie n–liniowe

F : V1 × · · · × Vn −→ K.

Lemat I.1. Odwzorowanie f : V1 × · · · × Vn −→W jest n-liniowe jeżeli

• f(v1, . . . , v′i + v′′i , . . . , vn) = f(v1, . . . , v

′i, . . . , vn) + f(v1, . . . , v

′′i , . . . , vn)

• f(v1, . . . , λvi, . . . , vn) = λf(v1, . . . , vi, . . . , vn).

Definicja I.2. Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→ W nazywamy symetryczne jeśli dla dowolnej per-

mutacji σ ∈ Σn i dowolnych v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(vσ(1) , . . . , vσ(n)) = f(v1, . . . , vn).

Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→W nazywamy anty-symetryczne jeśli dla dowolnej permutacji σ ∈ Σn

i dowolnych v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(vσ(1) , . . . , vσ(n)) = sgn(σ)f(v1, . . . , vn).

Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→ W nazywamy alternującym jeżeli dla dowolnych v1, . . . , vn ∈ V

takich, że vi = vj dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ n mamy

f(vσ(1) , . . . , vσ(n)) = 0.

1

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

2 1. Odwzorowania i formy dwuliniowe

Lemat I.2. Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→ W jest symetryczne wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych

1 ¬ i < j ¬ j i dowolnego v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(v1, . . . , vj︸︷︷︸i

, . . . , vi︸︷︷︸j

, . . . vn) = f(v1, . . . , vn).

Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→W jest anty-symetryczne wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych 1 ¬ i < j ¬ j

i dowolnego v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(v1, . . . , vj︸︷︷︸i

, . . . , vi︸︷︷︸j

, . . . vn) = −f(v1, . . . , vn).

Odwzorowanie n–liniowe f : V n −→W jest alternującym wtedy i tylko wtedy gdty dla dowolnych wektorów liniowo

zależnyc v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(vσ(1) , . . . , vσ(n)) = 0.

Różnica między odwzoroniami alternującymi i antysymetrycznymi występuje tylko nad ciałami cha-

rakterystyki 2, czyli takimi, ze dla dowolnego x ∈ K zachodzi 2x = x+ x = 0. Dla przestrzeni wektorowej

nad ciałem charakterystyki 2 odwzorowania symetryczne i antysymetryczne się pokrywają.

Propozycja I.3. Odwzorowanie n-liniowe alternująca jest antysymetryczna. W charakterystyce 2 odwzorowanie

jest antysymetryczna wtw gdy jest symetryczna. W charakterystyce 6= 2 forma jest antysymetryczna wtw gdy jest

alternująca.

Lemat I.4. Zbiór Hom(V1, . . . , Vn;W ) odwzorowań n-liniowych przestrzeni wektorowych V1, . . . , Vn w prze-

strzeń wektorową W jest przestrzenia wektorową.

Zamiast 2–liniowe piszemy dwuliniowe.

Przykład I.5. Niech V będzie dowolną przestrzenią wektorową, wtedy odwzorowanie

V × V ∗ 3 (v, φ) 7→ φ(v) ∈ K

jest formą dwuliniową.

Jeśli F1 ∈ V ∗1 , F2 ∈ V ∗2 , to odwzorowanie

V1 × V2 3 (v1, v2) 7→ F (v1, v2) = F1(v1)F2(v2) ∈ k

jest formą dwuliniową.

Dowolna macierz M ∈Mat(m× n;K) zadaje odwzorowanie dwuliniowe

Km ×Kn 3 (x, y) 7→ xtAy ∈ K.

Wersja wstępna z dnia: 3 lutego 2019 Algebra liniowa 3

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

Rozdział I. Formy dwuliniowe symetryczna, antysymetryczne, alternujące; formy kwadratowe 3

Lemat I.6. Dla dowolnych przestrzeni wektorowych V1, V2,W nad ciałem K mamy izomorfizm

Hom(V1, V2;W ) −→ Hom(V1,Hom(V2;W ))

F 7→ (v1 7→ Fv1 := F (v1, ·))

W szczególności Hom(V1, V2;K) ∼= Hom(V1, V∗2 ) ∼= Hom(V2, V

∗1 ) oraz Hom(V, V ;K) ∼= Hom(V, V ∗)). Dla

formy dwuliniowejF ∈ Hom(V1, V2;K) oznaczmy odpowiadające jej odwzorowania liniowe przezLF ∈ Hom(V1, V∗2 )

oraz RF ∈ Hom(V2, V∗1 ). Nazywamy je odwzorowaniem lewym i prawym.

Jeżeli V1, V2 iW są przestrzeniami skończenie wymiarowymi, to możemy dowolne odwzorowanie dwu-

liniowe V1 × V2 −→ W przedstawić w zadanych bazach uporządkowanych przy pomocy macierzy trójwy-

miarowej. W szczególnym przypadku gdy W = K otrzymujemy zwykłą macierz.

Niech B1 = {e1, . . . , em} oraz B2 = {f1, . . . , fn} będą bazami uporządkowanymi przestrzeni wektoro-

wych V1 i V2. Określamy macierz

(ΦF,B1,B2)i,j := F (ei, f j).

Propozycja I.7. Przyporządkowanie

Hom(V1, V2) 3 F 7→ ΦF,B1,B2 ∈ Mat(m× n;K)

formie dwuliniowej jej macierzy w zadanych bazach jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.

Propozycja I.8.

ΦF,B1,B2 = (ΦLF ,B1,B∗2 )t

ΦF,B1,B2 = ΦRF ,B2,B∗1 .

Dowód. Macierz po prawej stronie pierwszej równości jest określona warunkiem

(f∗1 , . . . , f∗n)ΦLF ,B1,B∗2 = (LF (e1), . . . , LF (em))

Podstawiając do obu stron f j otrzymujemy

(0, . . . , 1︸︷︷︸j

, . . . , 0)ΦLF ,B1,B∗2 = (F (e1, f j), . . . , F (em, f j))

to znaczy po lewej j–ty wiersz macierzy ΦLF ,B1,B∗2 natomiast po prawej “odwrócona j–ta kolumna macierzy

ΦF,B1,B2 , czyli macierze te są transponowane. Dowód drugiej równości jesr identyczny.

�

Wniosek I.9. rank(LF ) = rank(RF ).

Definicja I.3. Rzędem formy dwuliniowej F nazywamy liczbę rank(F ) = rank(LF ) = rank(RF ).

Lemat I.10.

dimV1 = dim kerLF + rank(F )(1)

dimV2 = dim kerRF + rank(F ).(2)

Algebra liniowa 3 Wersja wstępna z dnia: 3 lutego 2019

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Definicja I.4. Formę dwuliniową nazywamy niezdegenerowaną jeżeli odwzorowania FL i FR są niezde-

generowane.

Uwaga. Forma F jest niezdegenerowana wtw gdy dimV1 = dimV2 = rank(F ). Forma niezdegenero-

wana zadaje izomorfizmy między V1 i V ∗2 oraz V ∗1 i V2.

Definicja I.5. Formę dwuliniowa F : V × V −→ K nazywamy

• symetryczną jeżeli F (v, w) = F (w, v) dla dowolnych v, w ∈ V ,

• antysymetryczna jeżeli F (v, w) = −F (w, v) dla dowolnych v, w ∈ V ,

• alternująca jeżeli F (v, v) = 0 dla dowolnego v ∈ V .

Propozycja I.11. Forma alternująca jest antysymetryczna. W charakterystyce 2 forma jest antysymetryczna wtw

gdy jest symetryczna. W charakterystyce 6= 2 forma jest antysymetryczna wtw gdy jest alternująca.

Propozycja I.12. Niech F : V × V będzie formą dwuliniową na przestrzeni wektorowej skończenie generowanej

V , B = e1, . . . , en jej bazą uporządkowaną. Oznaczmy przez A := ΦF,B,B macierz formy F w bazie B. Wtedy

(1) F jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy macierz A jest symetryczna (tzn. At = A),

(2) F jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy gdy macierz A jest antysymetryczna (tzn. At = −A),

(3) F jest alternująca wtedy i tylko wtedy gdy macierzA jest antysymetryczna oraz ma 0 ma głównej przekątnej.

Dowód. Jeśli forma F jest symetryczna fo ai,j = F (ei, ej) = F (ej , ei) = aj,i więc A = At, czyli macierz

A jest symetryczna, podobnie jeśli forma F jest antysymetryczna to macierz A jest antysymetryczna. Jeżeli

forma F jest alternująca, to ponieważ jest wtedy również antysymetryczna więc ai,j = −aj,i. Ponadto ai,i =

f(ei, ei) = 0 z definicji. W ten sposób dowiedliśmy implikacji (⇒) w punktach (1)-(3).

Zauważmy, że jeżeli v = v1e1 + · · ·+ vne

n, w = w1e1 + · · ·+ wne

n to

f(v, w) = f(v1e1 + · · ·+ vne

n, w1e1 + · · ·+ wne

n) =n∑

i,j=1

viwif(ei, ej) =n∑

i,j=1

viwiaij = vtAw

a zatem

f(w, v) = wtAv = (vtAtw)t = vtAtw.

Stąd natychmiast wynika, że jeśli macierz A jest symetryczna (odp. antysyetryczna), to forma F również

jest symetryczna (odp. antysymetryczna).

Dla dowodu ostatniej implikacji zauważmy, że

f(v, v) =n∑

i,j=1

ai,jvivj =∑

1¬i<j¬n

(ai,j + aj,i)vivj +n∑i=1

ai,iv2i = 0

(gdyż wszystkie składniki powyższej sumy są równe zero). �

Propozycja I.13. Jeśli char(K) 6= 2 to dowolna forma dwuliniowa jest jednoznacznie przedstawialna jako suma

symetrycznej i antysymetrycznej.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Dowód. Jeśli F = A + S, gdzie A(u, v) = −A(v, u), S(u, v) = S(v, u), to F (v, u) = −A(u, v) + S(u, v).

Zatem A(u, v) = 12 (F (u, v)− F (v, u)) oraz S(u, v) = 1

2 (F (u, v) + F (v, u)).

Na odwrót jeśli F jest formą dwuliniową to tak określone S i A są formami liniowymi symetryczą i

antysymetryczą oraz F = S +A. �

Forma dwuliniowa jest uogólnieniem iloczymnu skalarnego, stąd sens ma definicja

Definicja I.6. Mówimy, że wektory v1 i v2 są prostopadłe (zapis v1 ⊥ v2) jeśli F (v1, v2) = 0.

Propozycja I.14. Relacja prostopadłości jest symetryczna wtw gdy forma jest symetryczna lub alternująca

Dowód. Niech x, y, z ∈ V , oznaczmy w = F (x, y)z − F (x, z)y. Wtedy F (x,w) = F (x, y)F (x, z) −

F (x, z)F (x, y) = 0, więc x ⊥ w i z symetrii w ⊥ x czyli F (w, x) = F (x, y)F (z, x)− F (x, z)F (y, x) = 0.

Stąd wynika, że jeżeli F (x, y) = F (y, x) to F (x, y)(F (z, x) − F (x, z)) = 0 dla dowolnego z, czyli x ⊥ y

lub (F (x, z) = F (z, x) oraz F (y, z) = F (z, y)) dla każdego z ∈ V .

Ponieważ F (x, x) = F (x, x) więc x ⊥ x lub F (x, z) = F (z, x) dla dowolnego z.

Przypuśćmy, że F nie jest symetryczna, wtedy istnieją u, v takie, że F (u, v) 6= F (v, u). Wtedy u ⊥ u, v ⊥

v. Ustalmy dodolny wektor w ∈ V . Jeżeli dla dowolnego z F (w, z) = F (z, w) to rozważmy wektory u+ w i

v. Ponieważ F (v, w) = F (w, v) oraz F (u,w) = F (w, u) więc w ⊥ u i w ⊥ v. Stąd w + u ⊥ u. Teraz mamy

F (w + u, v) = F (w, v) + F (u, v) = F (u, v) 6= F (v, u) = F (v, w + u)

więc F (w + u,w + u) = 0. Mamy wten sposób

F (w,w) = F (w + u,w + u)− F (w, u)− F (u,w)− F (u, u) = 0.

A zatem pokazaliśmy, że F jest formą alternującą. �

Implikacja przeciwna jest oczywista.

Jeśli ⊥ jest relacją symetryczną, to dla dowolnej podprzestrzeni W ⊂ V definiujemy

W⊥ := {v ∈ V : v ⊥ w dla każdego w ∈W} = {v ∈ V : w ⊥ v dla każdego w ∈W}.

(Ogólniej definiujemy ⊥W oraz W⊥.)

Uwaga, na ogół

W ∩W⊥ 6= ∅ W +W⊥ 6= V.

Jeśli F jest formą dwuliniową na V , W ⊂ V jest podprzestrzenią wektorową, to F |W ×W jest formą

dwuliniową na W (oznaczaną przez F |W ). Mówimy, że podprzestrzeń W jest niezdegenerowana, jeśli for-

ma F |W jest niezdegenerowana.

Jeśli Fi jest formą dwuliniową na Vi (i = 1, 2) to

F ((v1, v2), (w1, w2)) = F1(v1, w1) + F2(v2, w2)

jest formą dwuliniową na sumie prostej V1 ⊕ V2 zwaną sumą ortogonalną form F1 i F2.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Twierdzenie I.15. Niech F będzie formą dwuliniową symetryczną lub alternującą i niechW będzie podprzestrze-

nią wektorową przestrzeni V .

(1) Następujące warunki są równoważne

– W jest niezdegenerowana,

– W ∩W⊥ = (0),

– V = W ⊕W⊥.

(2) Dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej F na V mamy dimW +dimW⊥ = dimV oraz (W⊥)⊥ = W .

W szczególności, jeśli V jest niezdegenerowana toW ⊂ V jest niezdegenerowana wtw gdyW⊥ jest niezdegenerowana.

Dowód. Z definicji kerLF |W = {v ∈W : F (v, w) = ∀w ∈W} = W∩W⊥, zatemF jest niedegenerowana

wtw gdy W ∩W⊥ = {0}.

JeśliW jest niezdegenerowana, v ∈ V , toLF (v)|W ∈W ∗, więc istniejew ∈W takie, żeLF (v−w)|W = 0,

czy v − w ∈ W⊥, więc V = W + W⊥. Ponieważ wcześniej wykazaliśmy, że w tej sytuacji W ∩W⊥ = (0),

więc jest to suma prosta.

(2) Rozważmy złożenie V LF−−−−−→ V ∗ −→W ∗, jest ono epimorfizmem z jądrem W⊥. Zatem V/W⊥ ∼=

W ∗ �

Jeśli B1 = {e1, . . . , em} oraz B2 = {f1, . . . , fn} są innymi bazami uporządkowanymi to macierze przej-

ścia określiliśmy warunkami

(e1, . . . , em) = (e1, . . . , em)ΦB1,B1 .

(f1, . . . , fn) = (f1, . . . , fn)ΦB2,B2 .

Lemat I.16. Zachodzi następujący wzór na zmianę bazy formy dwuliniowej

ΦF,B1,B2 = ΦtB1,B1

ΦF,B1,B2ΦB2,B2 .

Nas szczególnie interesuje szczególny przypadek odwzorowania dwuliniowego F : V × V −→ K,

wtedy macierz transformuje sie zgodnie z przepisem P tAP .

Propozycja I.17. Niech F będzie niezdegenerowaną formą dwuliniową na V .

(1) Dowolna hiperpłaszczyzna w V jest postaci {w : v ⊥ w} dla v 6= 0 oraz {w : w ⊥ v′} dla v′ 6= 0,

(2) Jeśli F (v, w) = F (v, w′) dla dowolnego v ∈ V to w = w′,

(3) Jeśli A i A′ są endomorfizmami V −→ V oraz F (v,Aw) = F (v,A′w) dla dowolnych v, w ∈ V to A = A′,

(4) Dowolna forma dwuliniowa na V jest postaci F (v,Aw) dla pewnego endomorfizmu A : V −→ V .


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Dowód. (1) Niech H ⊂ V będzie hiperpłaszczyzną, iloraz V/H jest przestrzenią jednowymiarową,ustalmy izomorfizm V/H ∼= K. Złożenie φ : V −→ V/H ∼= K jest niezerową formą liniową φ ∈ V ∗ taką, żeKerφ = H .

Ponieważ F jest niezdegnerowana, więc φ = LF (v) dla pewnego v ∈ V oraz φ = RF (v′) dla pewnegov′ ∈ V , v, v′ 6= 0. Stąd H = {w : F (v, w) = 0} = {v : F (w, v′) = 0}.

(2) Założenie (2) oznacza RF (w) = RF (w′), więc w = w′ gdyż RF jest izomorfizmem.(3) Na mocy (2) Aw = A′w dla dowolnego w, więc A = A′.(4) Niech Φ : Hom(V ;V ) 3 A 7→ φA ∈ Hom(V, V ;K), φA(v, w) = F (v,Aw). Φ jest odwzorowaniem

liniowym, na mocy (3) jest ono iniektywne, ponieważ dim Hom(V ;V ) = dim Hom(V, V ;K), więc jest onorównież surjekcją. �

Definicja I.7. Niech F będzie formą dwuliniową niezdegenerowaną na V i niech A : V −→ V będzieodwzorowaniem liniowym. Jedyne odwzorowanie liniowe A∨ : V −→ V takie, że

F (Av,w) = F (v,A∨w)

nazywamy odwzorowaniem sprzężonym do A względem F .

Twierdzenie I.18. Niech A : V −→ V będzie odwzorowaniem liniowym, ustalmy bazę B przestrzeni V . NiechP, P ∗,M będą macierzami A,A∨, F w bazie B. WTedy

P ∗ = M−1P tM.

Dowód. Wynika z równości RFA∨A∗ = RF �

Uwaga, na ogół (A∨)∨ na ogół nie jest równe A (równość zachodzi gdy P−1P t = const · In).

Definicja I.8. Bazę {e1, . . . , en} nazywamy ortogonalną, gdy F (ei, ej) = 0 dla i 6= j.

Propozycja I.19. W charakterystyce 6= 2 forma symetryczna F jest wyznaczona jednoznacznie przez wartościF (v, v).

Dowód. Jeśli F jest symetryczna to F (u + v, u + v) = F (u, u) + 2F (u, v) + F (v, v), a zatem F (u, v) =12 (F (u+ v, u+ v)− F (u, u)− F (v, v)). �

Twierdzenie I.20. Jeśli char(K) 6= 2 oraz F jest symetryczną formą dwuliniową, to istnieje baza ortogonalnadla F .

Dowód. Indukcja na dimV , jeśli dimV = 1, to dowolna baza jest dobra.Załóżmy, że twiedzenie zachodzi dla przestrzeni wymiaru mniejszego od n. Jeśli F = 0 to twierdzenie

jest prawdziwe. W przeciwnym przypadku - ponieważ F jest wyznaczona przez wartości na przekątnejistnieje wektor v ∈ V taki, że F (v, v) 6= 0. Niech W = 〈v〉⊥ := {w ∈ V : v ⊥ w}, ponieważ 〈v〉 jestniezdegenerowana, więc 〈v〉 ⊕W = V . Stąd dimW = dimV − 1. Na mocy założenia indukcyjnego istniejebaza ortogonalna {e2, . . . , en} przestrzeni W , oznaczmy e1 := v. Wtedy e1, . . . , en jest bazą ortogonalnąV . �


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Uwaga. Dowolny wektor v ∈ V taki, że F (v, v) 6= 0 jest elementem bazy otogonalnej.

Propozycja I.21. Jeśli {e1, . . . , en} jest bazą ortogonalną dla formy dwuliniowej F , to F jest niezdegenerowana

wtw gdy ei 6⊥ ei dla i = 1, . . . , n.

Dowód. Wyznacznik macierzy F w danej bazie jest równy∏ni=1 F (ei, ei). �

Propozycja I.22. Niech F będzie niezdegenerowaną formą alternującą na przestrzeni V , wtedy dimV jest liczbą

parzystą.

Dowód. Jeśli char(K) 6= 2 istnieje bardzo prosty dowód. Mianowicie, wiemy, że M t = −M , gdzie M

jest bazą F . Wtedy det(M) = det(−M) = (−1)n det(M), więc (wobec det(M) 6= 0) 1 = (−1)n, czyli n jest

parzyste. W sytuacji ogólnej wynika z poniższego twierdzenia. �

Definicja I.9. Bazę {e1, f1, . . . , en, fn} nazywamy bazą symplektyczną dla formy F , jeżeli F (ei, fi) = 1

oraz płaszczyzny Ui = 〈ei, fi〉 są parami prostopadłe.

Twierdzenie I.23. Dla dowolnej niezdegenerowanej formy alternującej istnieje baza symplektyczna.

Dowód. Indukcja na dimV . Jeżeli dimV = 1, dowolny wektor V jest postaci cv, dla pewnego ustalonego

v. Wtedy F (cv, c′v) = cc′F (v, v) = 0 - sprzeczność.

Jeżeli dimV = 2, to dla dowolnego v ∈ V istnieje w ∈ V takie, że F (v, w) = 1. Przyjmując e1 := v,

f1 := w stwierdzamy, że e1 i f1 są liniowo niezależne i zadają bazę symplektyczną.

Jeżeli dimV > 2, to wybieramy e1 i f1 podobnie jak poprzednio. Przyjmując U1 = 〈e1, f1〉 oraz W :=

U⊥1 , więc F |U1 jest niezdegenerowaną formą alternującą. Na mocy założenia indukcyjnego istnieje baza

symplektyczna e2, f2, . . . , en, fn dla F |W . Wtedy e1, f1, . . . , en, fn jest bazą symplektyczną dla F . �

Oznaczmy przez U macierz(

0 1−1 0

)(macierz ta, odpowiadająca jej forma dwuliniowa) nazywane

są płaszczyzną hiperboliczną. Zatem macierz niezdegenerowanej formy dwuliniowej alternującej w bazie

symplektycznej ma postać blokową diagonlną

U

U. . .

U

. W szczególności, wszystkie niezdegene-

rowane dwuliniowe formy alternujące są równoważne. Kanoniczna forma alternująca jest równa

F ((x, y), (x′, y′)) =∣∣∣∣x1 x′1y1 y′1

∣∣∣∣+ · · ·+∣∣∣∣xn x′nyn y′n

∣∣∣∣Propozycja I.24. Wyznacznik macierzy alternującej M nad ciałem jest kwadratem elementu ciała.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Dowód. Jeśli detM = 0, to twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Jeśli detM 6= 0, to macierz ta za-

deje formę alternującą, oznaczając przez C macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy symplektycznej

otrzymujemy

CtMC = diag(U, . . . , U)

a stąd det(C)2 det(M) = det(U)n = 1, czyli

det(M) = (det(C−1))2.

�

Uwaga, istnieje “preferowany” wybór elementu którego kwadratem jest det(M) zwany pfaffianem. Aby

zdefiniować go porządnie rozważmy “ogólną macierz alternującą”

M(xij) =

0 x12 x13 . . . x1n

−x12 0 x23 . . . x2n

. . . . . . . . .. . . . . .

−x1n −x2n −x3n . . . 0

jako element ciałaQ(xij)1¬i<j¬n. Zauważmy, że det(Bij) zawiera wyraz (x12x23 . . . xn−1,n)2 ze współczyn-

nikiem 1. Jest on kwadratem elementu cieła Q(xij), a zatem (z lematu Gaussa) wielomianu o współczyn-

nikach całkowitych wyznaczonego z dokładnością do znaku. Jeden z tych wielomianów ma współczynnik

przy (x12x23 . . . xn−1,n) równy 1 a drugi -1.

Definicja I.10. Pfaffianem (uniwersalnym) stopnia (parzystego)nnazywamy jedyny wielomianPf(xij) ∈

Z[xij ] taki, że Pf(xij)2 = det(Bij) oraz współczynnik przy (x12x23 . . . xn−1,n) równy 1.

Pfaffianem macierzy alternującej A o współczynnikach w ciele K nazywamy element Pf(A) ∈ K po-

wstały przez podstawienie do Pf(xij) współczynników macierzy A.

Propozycja I.25. Dla dowolnej macierzy alternującej A mamy det(A) = (Pf(A))2.

Jeśli zmienimy kolejność wektorów bazy na {e1, . . . , en, f1, . . . , fn}, to w tej bazie forma F ma macierz

blokową(

0 In−In 0

).

2. Formy kwadratowe

Definicja I.11. Formą kwadratową na przestrzeni wektorowej V nazywamy funkcję Q : V −→ Q(v) :=

F (v, v), gdzie F jest formą dwuliniową.

Jeśli char(K) 6= 2 to zastępując F przes symetryzację F możemy założyć dodatkowo, że F jest syme-

tryczna.

Lemat I.26. Funkcja Q : V −→ K jest formą kwadratową wtw gdy

• Q(cv) = c2Q(v) dla c ∈ K, v ∈ V ,

• funkcja F : V × V 3 (v, w) 7→ F (v, w) := Q(v + w)−Q(v)−Q(w) jest dwuliniowa.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

10 2. Formy kwadratowe

Zakładamy dalej, że przestrzeń V jest skończenie wymiarowa.

Dla dowolnych v1, . . . , vn mamy

Q(v1 + · · ·+ vr) = Q(v1) + · · ·+Q(vr) + 2∑i<j

F (vi, vj).

Jeśli e1, . . . , en jest bazą V to dla x1, . . . , xn ∈ K mamy

Q(x1e1 + · · ·+ xnen) =n∑i=1

Q(xiei) + 2∑i<j

F (xiei, xjej) =n∑i=1

aiix2i +

∑i<j

aijxixj .

Macierz A := (aij) nazywamy macierzą formy kwadratowej Q w danej bazie, jest to również macierz sto-

warzyszonej formy dwuliniowej symetrycznej.

Definicja I.12. Rzędem formy kwadratowej nazywamy rząd jej macierzy w dowolnej bazie.

Wyróżnikiem formy kwadratowej nazywamy wyznacznik jej macierzy w dowolnej bazie modulo (K×)2.

Twierdzenie I.27. Forma kwadratowaQ na n–wymiarowej przestrzeni wektorowej V nad ciałemK, (char(K) 6=

2) jest diagonalizowalna, to znaczy w stosownej bazie

Q(n∑i=1

xiei) =n∑i=1

aix2i .

Wyróżnik Q jest równy a1 . . . an mod (K×)2.

Dowód. Wybieramy bazę ortogonalną dla stowarzyszonej formy dwuliniowej. �

Wniosek I.28. Wyraz a ∈ K× jest współczynnikiem w pewnej diagonalizacji formy kwadratowej Q wtw gdy

a ∈ Q(V )

Definicja I.13. Formy kwadratowe Qi : Vi −→ K na przestrzeniach wektorowych Vi, i = 1, 2 są równo-

ważne jeżeli istnieje izomorfizm A : V1 −→ V2 taki, że Q1(v) = Q2(Av) dla a ∈ V1.

Lemat I.29. Formy kwadratowe (char(K) 6= 2) są równoważne w tw gdy stowarzyszone formy dwuliniowe są

równoważne.

Niech Q będzie formą kwadratową na przestrzeni wektorowej V , F stowarzyszoną formą dwuliniową.

Niech V ⊥ = {w ∈ V : F (w, v) = 0∀v ∈ V }. Jeśli w ∈ V ⊥, v ∈ V to Q(w + v) = Q(v). Forma kwadratowa

Q : W/W⊥ 3 [v] 7→ Q([v]) := Q(v) jest więc dobrze zdefiniowana, niezdegenerowana oraz rank Q = rankQ.

Twierdzenie I.30. Dla dowolnej formy kwadratowej Q na przestrzeni wektorowej V nad ciałem C istnieje baza

e1, . . . , en, n = dimV taka, że

Q(x1e1 + · · ·+ xnen) = x21 + . . . x2

m.

Dla dowolnej bazy jw. mamy m = rankQ.

Uwaga. Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego ciała takiegoK, że każdy elementK jest kwadratem

w K (w szczególności dla ciał algebraicznie domkniętych).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Twierdzenie I.31 (Twierdzenie Sylvestera o sztywności). Dla dowolnej formy kwadratowejQ na przestrzeni

wektorowej nad ciałemR istnieje baza e1, . . . , en, n = dimV taka, że

Q(x1e1 + · · ·+ xnen) = x21 + · · ·+ x2

p − x2p+1 − . . . x2

p+q.

Liczby p, q nie zależą od wyboru bazy j.w.

Definicja I.14. Liczbę p− q w powyższym twierdzeniu nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.

Dowód. Jeżeli Q(∑ni=1 xiei) =

∑ni=1 aix

2i to zastępując ei przez ei = ei√

aiw przypadku zespolonym

a ei = ei√|ai|

w przypadku rzeczywistym otrzymujemy istnienie bazy. Oczywiście m = rankQ (odp. p +

q rankQ).

Aby dowieść jedyności p, qw przypadku rzeczywistym zauważmy, że ep+q+1, . . . , en ∈ V ⊥więc [e1], . . . [epq]

stanowią bazę V/V ⊥. Możemy więc bez straty ogólności założyć, żeQ jest formą niezdegenerowaną. Załóż-

my, że istnieje inna baza f1, . . . , fp′ , fp′+1, . . . , fn taka, żeQ(x1f1 + · · ·+xnfn) = x21 + · · ·+x2

p′−x2p′+1− . . . x2

n.

NiechW = span(e1, . . . , ep),W ′ = span(fp′+1, . . . , fn). WtedyQ > 0 naW \ 0 orazQ < 0 naW ′ \ 0, a zatem

W ∩W ′ = {0}. Stąd p+ n− p′ = dimW + dimW ′ = dim(W +W ′) ¬ dimV = n, czyli p ¬ p′, symetrycznie

p′ ¬ ps atąd p = p′. �

Definicja I.15. Forme kwadratową Q na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V nazywamy

• dodatnio określoną (dodatnią) jeśli ∀v ∈ V ∗Q(v) > 0,

• dodatnio półokreśloną jeśli ∀v ∈ V Q(v) 0,

• ujemnie określoną (ujemną) jeśli ∀v ∈ V ∗Q(v) > 0,

• ujemnie półokreśloną jeśli ∀v ∈ V ∗Q(v) > 0.

Lemat I.32. Jeżeli M1,M2 są macierzami tej samej formy kwadratowej na przestrzeni wektorowej nadR to

sgn(detM1) = sgn(detM2).

Dowód. Istnieje macierz nieosobliwa C taka, że M2 = CtM1C. �

Lemat I.33. Dla formy kwadratowej Q na skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V nastę-

pujące warunki są równoważne

• Q jest dodatnia,

• dla dowolnej bazy ortogonalnej {e1, . . . , em} przestrzeni V zachodzi Q(ei) > 0, dla i = 1, . . . , n.

• istnieje baza ortogonalna {e1, . . . , em} przestrzeni V taka, że Q(ei) > 0, dla i = 1, . . . , n.

W szczególności jeśli M jest macierzą formy kwadratowej dodatnio określonej, to detM > 0.

Twierdzenie I.34. Niech Q będzie formą kwadratową na n–wymiarowej przestrzeni wektorowej V nad ciałem

R. Niech M = (mij)1¬i,j¬n będzie macierzą formy Q, oznaczmy przez Mk = (mij)1¬i,j¬k macierz utworzoną z

wyrazów pierwszych k wierszy i pierwszych k kolumn macierzy M . Wtedy

M jest dodatnio (odp. ujemnie) określona ⇔ det(Mk) > 0 (odp. (−1)k detMk > 0) dla k = 1, . . . , n


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

12 2. Formy kwadratowe

Dowód. Ponieważ Q jest dodatnio określona wtw gdy −Q jest ujemnie określona wystarczy dowieść

kryterium dla macierzy dodatnio określonej.

Zauważmy, że ponieważmij = F (ei, ej) (gdzie F forma dwuliniowa symetryczna stowarzyszona zQ),

więc Mk jest macierzą formy kwadratowej Q|Vk, gdzie Vk = span(e1, . . . , ek) w bazie e1, . . . , ek. Ponieważ

forma Q|Vk jest dodatnio określona, więc z Lematu I.33 wynika implikacja⇒.

Implikację przeciwną dowodzimy indukcyjnie. Zauważmy, że dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste. Dla

dowolnego n z założenia indukcyjnego wynika, żeQ|Wn−1 jest dodatnio określona (ma sygnaturę (n−1, 0))

więc istnieje baza ortogonalna e1, . . . , en−1 przestrzeni Vn−1 taka, że Q(x1e1 + · · ·+ xn−1en−1) = x21 + · · ·+

x2n−1. A zatem w bazie (e1, . . . , en−1, en) forma kwadratowa ma macierz

M =

1 0 0 . . . b10 1 0 . . . b20 0 1 . . . b3

. . . . . . . . .. . .

...b1 b2 b3 . . . bn

Odejmując od ostatniej kolumny pierwszą pomnożoną przez b1, drugą przez b2 itd. dostajemy macierz trój-

kątną dolną z 1, . . . , 1, bn − b21 − · · · − b2n−1, stąd detM = bn − b21 − · · · − b2n−1 > 0.

A zatem Q(x1e1 + · · ·+ xn−1en−1 + xnen) = x21 + · · ·+ x2

n−1 + 2b1x1xn + · · ·+ 2bn−1xn−1xn + bnx2n =

(x1 + b1xn)2 + · · ·+ (xn−1 + bn−1)2 + (bn− b21− · · ·− b2n−1)x2n. A zatemQ(x1e1 + · · ·+xn−1en−1 +xnen) > 0

z wyjątkiem x1 + b1xn = · · · = xn−1 + bn−1xn = xn = 0, czyli z wyjątkiem x = 0. A zatem Q jest dodatnio

określona. �

Propozycja I.35. Jeśli niezdegenerowana forma kwadratowaQ na przestrzeni wektorowej nad ciałemK, char(K) 6=

2, posiada nietrywialne zero (tzn. istnieje v ∈ V × t.że Q(v) = 0), to Q(V ) = K

Dowód. Wybierzmy v ∈ V × t.żeQ(v) = 0, ponieważ Q jest niezdegenerowana, więc istnieje w ∈ V t.że

F (v, w) 6= 0. Wtedy dla dowolnego c ∈ K mamy

Q(v + cw) = Q(w) + 2F (v, w)c

a zatem przyjmuje wszystkie wartości z K. �

Definicja I.16. Formę kweadratową nazywamy uniwersalną jeśli przyjmuje wszystkie wartości z ciała

K.

Propozycja I.36. Forma kwadratowa Q nad ciałem skończonym nieparzystej charakterystyki rzędu co najmniej

2 jest uniwersalna natomiast forma kwadratowa rzędu co najmniej 3 posiada nietrywialne zero.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Dowód. Wystarczy wykazać, że dla dowolnych a, b, c ∈ K istnieją x, y ∈ K takie, że ax2 + by2 = c.

Zauważmy, że ciało F zawiera q+12 elementów, które sa kwadratami q = #K, zatem zbiory

{ax2 : x ∈ K} oraz {−by2 + c}

mają po q+12 elementów, a zatem mają wspólny element.

Aby pokazać, że forma rzędu co najmniej trzy ma nietrywialne zero wystarczy pokazać, że dla dowol-

nych a, b, c ∈ K× równanie ax2 + by2 + cz2 = 0 ma rozwiązanie niezerowe. Z poprzedniego rozumowania

wynika, że ma rozwiązanie, w którym z = 1 (c zastępujemy −c). �

Twierdzenie I.37. Niech K będzie ciałem skończonym o nieparzystej liczbie elementów. Niech d ∈ K× będzie

elementem nie będącym kwadratem. Wtedy dla n 1 dowolna niezdegenerowana forma kwadratowa na przestrzeni

wektorowej wymiaru n nad K jest równoważna dokładniej jednej z następujących dwóch

x21 + x2

2 + · · ·+ x2n lub x2

1 + x22 + · · ·+ dx2

n.

W szczególności wyróznik i rząd formy kwadratowej wyznaczają ją jednoznacznie z dokładnością do kwadratu.

Dowód. Ponieważ dwie wypisane formy mają różne wyróżniki, więc nie są one równoważne.

Indukcja na n := dimV . Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste. Ponieważ forma rzędu n 2 jest uniwer-

salna, więcQ(e1) = 1 dla pewnego e1 ∈ V . Wektor e1 jest elementem pewnej bazy ortogonalnej (e1, . . . , en).

Wtedy V ′ := (e1)⊥ = span(e2, . . . , en), stosując założenie indukcyjne do formy Q′ = Q|V ′ otrzymujemy

tezę. �

Forma dwuliniowa stowarzyszona jest określona przy pomocy wzoru polaryzacyjnegoF (x, y) := 12 (Q(x+

y)−Q(x)−Q(y)). Jego konsekwencją jest tzw. tożsamość równoległobokuQ(x+ y) +Q(x− y) = 2(Q(x) +

Q(y)). Uwaga, tożsamość równmoległobnoku nie wystarczy aby Q było formą kwadratową.

Definicja I.17. Funkcję Q : V −→ K na przestrzeni wektorowej V nad ciałem K charakterystyki 2

nazywamy formą kwadratową wtw gdy

• Q(cv) = c2Q(v) dla c ∈ K, v ∈ V ,

• funkcja F : V × V 3 (v, w) 7→ F (v, w) := Q(v + w)−Q(v)−Q(w) jest dwuliniowa.

Zakładamy dalej, że przestzreń V jest skończenie wymiarowa.

Dla dowolnych v1, . . . , vn mamy

Q(v1 + · · ·+ vr) = Q(v1) + · · ·+Q(vr) +∑i<j

F (vi, vj).

Jeśli e1, . . . , en jest bazą V to dla x1, . . . , xn ∈ K mamy

Q(x1e1 + · · ·+ xnen) =n∑i=1

Q(xiei) +∑i<j

F (xiei, xjej) =n∑i=1

aiix2i +

∑i<j

aijxixj .

Zauważmy, że forma dwuliniowa F jest alternująca.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

14 3. Iloczyn tensorowy

Nie umożliwia ona odtworzenia formy kwadratowej. Inną formą dwuliniową związaną z formą kwa-

dratową Q jest forma zadana przez macierz trójkątną (zależy od wyboru bazy!)

N :=

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n

. . . . . .. . .

...0 0 . . . ann

Wtedy

Q(x1e1 + · · ·+ xnen) = xtNx

a ponadto

N +N t :=

0 a12 . . . a1n

a12 0 . . . a2n

. . . . . .. . .

...a1n a2n . . . 0

jest macierzą formy dwuliniowej F .

W przypadku ciała charakterystyki 2 kwadrat jest iniekcją, a więc w ciele skończonym charakterystyki

2 wszystkie elementy są kwadratami. Odpowiednikiem kwadratół i nie–kwadratów są obrazy funkcji K 3

a 7→ p(a) := a2 + a (jest to najprostszy wielomian o stałej niezerowej pochodnej stopnia większego od 1).

Funkcja p jest addytywna, a jej kernel jest równy {0, 1}, a zatem przyjmuje połowe wartości w cieleK, suma

“nie–wartości” jest wartością.

Definicja I.18. Formę kwadratową nazywamy niezdegenerowaną jeżeli w żadnej bazie nie da się przed-

stawić przy pomocy mniej niż n zmiennych.

Twierdzenie I.38. Ustalmy c ∈ K \ p(K). Dla n 2 dowolna niezdegenerowana n–wymiarowa forma kwadra-

towa nad K jest równoważna jednej z

x1x2 + x3x4 + · · ·+ xn−3xn−2 +

{xn−1xn, lubx2n−1 + xn−1xn + cx2

n

dla n parzystego oraz

x1x2 + x3x4 + · · ·+ xn−2xn−1 + x2n

dla n nieparzystego.

Uwaga. Aby pokazać, że dwie formy kwadratowe dla n parzystego są nierównoważne pokazujemy, że

mają one różne liczby zer.

Dowód jest kombinacją konstrukcji bazy symplektycznej i klasyfikacji form kwadratowych nad ciałem

skończonym nieparzystej charakterystyki.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


3. Iloczyn tensorowy

Definicja I.19 (Przypomnienie). Niech V1, . . . , Vn,W będa przestrzeniami wektorowymi, odwzorowa-

nie

F : V1 × · · · × Vn −→W

nazywamy n–liniowym jeśli dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n i dowolnych v0j ∈ Vj , j 6= i, odwzorowanie

Vi 3 vi 7→ F (v01 , . . . , vi, . . . , v

0n)

jest liniowe.

Lemat I.39. Odwzorowania n–liniowe V1 × · · · × Vn −→W tworzą przestrzeń wektorową, którą oznaczamy

Hom(V1, . . . , Vn;W ).

Niech Bi będzie bazą przestrzeni Vi dla i = 1, . . . , n. Odwzorowanie

Hom(V1, . . . , Vn;W ) 3 F 7→ F |n∏i=1

Bi ∈ Func(B1 × · · · ×Bn;W )

jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.

Uwaga (Przypomnienie). Symbol Func(X;Y ) oznacza zbiór odwzorowań z X do Y , jeśli Y jest prze-

strzenią wektorową nad K, to Func(X;Y ) również.

Dowód. Wykazać musimy jedynie ostatnie stwierdzenie, które oznacza, że odwzorowania n–liniowe są

jednoznacznie zadane przez wartości na bazie.

Oczywiście wskazane odwzorowanie jest liniowe, pozostaje nam pokazać, że jest bijekcją. Przypuść-

my, że F ∈ Hom(V1, . . . , Vn;W ) jest odwzorowaniem n–liniowym takim, że F |∏Bi = 0. Dla dowolnego

v1, . . . , vn istnieją λib, i = 1, . . . , n, b ∈ Bi takie, że dla ustalonego i mamy #{b ∈ Bi : λib 6= 0} < ∞ oraz

vi =∑b∈Bi λ

ibb. Wtedy

F (v1, . . . , vn) =∑

(b1,...,bn)∈∏

Bi

λ1b1 . . . λ

nbnF (b1, . . . , bn) = 0.

Jeśli F ∈ Func(B1 × · · · ×Bn;W ) jest dowolną funkcję, to dla wektorów (v1, . . . , vn) ∈ V1 × · · · × Vn jak

wyżej określamy

F (v1, . . . , vn) =∑

(b1,...,bn)∈∏

Bi

λ1b1 . . . λ

nbn F (b1, . . . , bn).

Wtedy bardzo łatwo jest sprawdzić, że F = F |∏iBi oraz, że F jest n–liniowe. �


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Definicja I.20. Iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych V1, . . . , Vn nad ciałem K nazywamy

parę (V,Φ) złożoną z przestrzeni wektorowej V oraz odwzorowania n–liniowego Φ : V1 × · · · × Vn −→ V

posiadającą następującą uniwersalną własność faktoryzacji odwzorowań n–liniowych

dla dowolnej przestrzeni wektorowej W nad ciałem K i dowolnego odwzorowania n–liniowego Ψ : V1 × · · · ×

Vn −→ W istnieje jedyne odwzorowanie liniowe Φ : V −→ W takie, że Φ ◦ Φ = Ψ, to znaczy następujący diagram

jest przemiennyV1 × · · · × Vn

V W

��

��

��

Φ

@@@@@@@@@R

Ψ

-∃!Φ

Twierdzenie I.40 (Istnienie i jednoznaczność iloczynu tensorowego). Dla dowolnych przestrzeni wektoro-

wych iloczyn tensorowy istnieje i jest wyznaczony jednoznacznie.

Dowód. Jednoznaczność. Pokażemy, że dla dowolnych przestzreni wektorowych, jeśli dwie pary (V1,Φ1),

(V2,Φ2) posiadają uniwersalną własność faktoryzacji odwzorowań n–liniowych, to istnieje jedyny izomor-

fizm F : V1 −→ V2 taki, że Φ1 = Φ2 ◦ F , to znaczy następujący diagram jest przemienny

V1 V2

V1 × · · · × Vn

-∃!F

@@@@@@@@@R

Φ1

��

��

��

��

Φ2

Z uniwersalnej własności faktoryzacji wynika istnienie jedynych odwzorowań liniowych F : V1 −→ V2, G :

V2 −→ V1 takich, że Φ1 = Φ2 ◦ F oraz Φ2 = Φ1 ◦ G. Ale wtedy G ◦ F faktoryzuje odwzorowanie Φ1 (to

znaczy Φ1 = Φ1 ◦ (G ◦F )). Ponieaż identyczność na V1 również spełnia Φ1 = Φ1 ◦ IdV1 więc aG ◦F = IdV1 .

Analogicznie pokazujemy, że F ◦G = IdV2 , czyli F i G są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami.

Podamy dwa różne dowody istnienia (każdy z tych dowodów ma odmienne wady i zalety).

Pierwszy dowód: Rozważmy przestrzeń wektorową

K(V1 × · · · × Vn) := {f : V1 × · · · × Vn −→ K|#f−1(K×) <∞}.

Dla ustalonego elementu w ∈ V1 × · · · × Vn oznaczmy przez iw funkcję V1 × · · · × Vn −→ K daną przez

iw(v) = δw.v. Zbiór {iw : w ∈ V1 × · · · × Vn} stanowi bazę przestrzeni K(V1 × · · · × Vn) Odwzorowanie


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


w 7→ iw jest bijekcją V1 × · · · × Vn na tę bazę, elementy V1 × · · · × Vn utożsamiamy z ich obrazami. W ten

sposób przestrzeń wektorowaK(V1×· · ·×Vn) staje się zbiorem formalnych kombinacji liniowych elementów

V1×· · ·×Vn. bazie V1×· · ·×Vn (czyli “formalnych skończonych kombinacji liniowych elementów V1×· · ·×Vno współczynnikach w ciele K).

Rozważmy, podprzestrzeń V przestrzeni wektorowej K(V1 × · · · × Vn) generowaną przez następujące

formalne kombinacje liniowe

• 1 · (v1, . . . , vi + b′i, . . . , vn)− 1(v1, . . . , vi, . . . , vn)− 1(v1, . . . , b′i, . . . , vn), dla i = 1, . . . , n, vj ∈ Vj , j =

1, . . . , n, b′i ∈ Vi• λ(v1, . . . , vi, . . . , vn)− 1(v1, . . . , λvi, . . . , vn), dla i = 1, . . . , n, vk ∈ Vk.

Wtedy V := K(V1 × · · · × Vn)/ ∼ (alternatywnie K(V1 × · · · × Vn)/V ).

Odwzorowanie n–liniowe Φ : V1 × · · · × Vn −→ V określamy za pomocą

(v1, . . . , vn) 7→ [1(v1, . . . , vn)] ∈ V.

W sposób oczywisty Φ jest odwzorowaniem n–liniowym, dokładniej prowadzona relacja równoważno-

ści (podprzestrzeń) jest najmniejszą relacją równoważności przy której odwzorowanie Φ jest n–liniowe.

Aby sprawdzić włąsność uniwersalną odwzorowanie Φ zadajemy na bazie przestrzeniK(V1×· · ·×Vn)

w oczywisty sposób

(v1, . . . , vn) 7→ Ψ(v1, . . . , vn).

Aby tak określone odwzorowanie zadało odwzorowanie liniowe Φ na przestrzeni ilorazowej V , musimy

sprawdzić, że jest ono zgodne z relacją - równoważnie zauważmy, że Φ znika na podanych generatorach

przestrzeni V , a w konsekwencji na V .

Drugi dowód: Niech V := K(B1 × · · · × Bn) będzie przestrzenią wektorową o bazie B1 × . . . Bn. Na

mocy poprzedzającego twierdzenie lematu istnieje jedyne odwzorowanie n–liniowe Φ : V1×· · ·×Vn −→ V

takie, że Φ(b1, . . . , bn) = (b1, . . . , bn) ∈∏Bi.

Pokażemy, że para (V,Φ) ma uniwersalną własność faktoryzacji odwzorowań n–liniowych. Ustalmy

przestrzeń wektorową W nad ciałem K i dowolne odwzorowanie n–liniowe Ψ : V1 × · · · × Vn −→ W . Na

mocy lematu odwzorowanie liniowe Φ : V −→W spełnia warunek Φ ◦ Φ = Ψ wtedy i tylko wtedy gdy

Φ(b1, . . . , bn) = Ψ(b1, . . . , bn), (b1, . . . , bn) ∈∏

Bi.

Ponieważ odwzorowanie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez zadanie jego wartości na bazie, więc

takie odwzorowanie Φ istnieje dla dowolnego Ψ i jest jedyne.

�

Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych V1, . . . , Vn oznaczamy

V1 ⊗ · · · ⊗ Vn.

Podobnie wartość odwzorowania Φ na wektorze (v1, . . . , vn) oznaczamy przez

Φ(v1, . . . , vn) := v1 ⊗ · · · ⊗ vn.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Propozycja I.41. Dla dowolnych przestrzeni wektorowych V1, . . . , Vn nad ciałem K zachodzi

V1 ⊗ · · · ⊗ Vn ∼= (V1 ⊗ · · · ⊗ Vk)⊗ (Vk+1 ⊗ · · · ⊗ Vn), dla k = 1, . . . , n

V1 ⊗ · · · ⊗ Vn ∼= Vσ(1) ⊗ · · · ⊗ Vσ(n), dla σ ∈ Σn

Dowód. Obydwa fakty wynikają zarówno z wałasności uniwersalnej dla odwzorowań wieloliniowychjak i z pierwszej z powyższych konstrukcji. �

Lemat I.42. Jeśli Vi,Wi, i = 1, . . . , n są przestrzeniami wektorowymi jak wyżej, Fi : Vi −→ Wi jest odwzoro-waniem liniowym, to istnieje jedyne odwzorowanie liniowe

F1 ⊗ · · · ⊗ Fn : V1 ⊗ · · · ⊗ Vn −→W1 ⊗ · · · ⊗Wn

takie, że następujący diagram jest przemienny

V1 × · · · × Vn W1 × · · · ×Wn

V1 ⊗ · · · ⊗ Vn W1 ⊗ · · · ⊗Wn

-F1×···×Fn

? ?-F1⊗···⊗Fn

Dowód. Złożenie odwzorowania górnego i prawego zadaje odwzorowanie n–liniowe, które się fakto-ryzuje z własności uniwersalnej faktoryzacji.

�

Lemat I.43. Dla dowolnej przestrzeni wektorowej nad ciałem K mamy naturalny izomorfizm

K ⊗ V∼=−−−−−→ V.

Dowód. Przyporządkowanie Hom(K,V ;W ) 3 F (·, ·) 7→ F (1, ·) ∈ Hom(V,W ) jest izmorfizmem prze-strzeni wektorowych. �

Propozycja I.44. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał, V przestrzenią wektorową nad ciałem K. Wtedyiloczyn tensorowy

VL := L⊗ V

ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem L, odwzorowanie

V 3 v 7→ 1L ⊗ v ∈ VL

jest monomorfizmem przestrzeni wektorowych nad K, a ponadto

dimK V = dimL VL.

Jeżeli V jest orzestrzenią wektorową nad L, to

dimK V = dimL V dimK L,

gdzie .


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Uwaga. W ostatnim wzorze dimK V oznacza wymiar jako przestrzeni wektorowej nad ciałem K, na-

tomiast dimVL wymiar VL jako przestrzeni wektorowej nad L, natomiast dimK L jest wymiarem L jako

przestrzeni wektorowej nad ciałem K.

Dowód. Oczywiście VL ma naturalną strukturę przestrzeniw wektorowej nad ciałem K, aby zadać

strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem Lmusimy określić odwzorowanie zewnętrzne L×VL −→ VL.

Z definicji iloczynu tensorowego mamy odwzorowanie L⊗K L −→ L zadane przez odwzorowanie dwuli-

niowe L× L 3 (v1, v2) 7→ v1v2 ∈ L, a stąd mamy

L⊗K VL = L⊗K (L⊗K V ) ∼= (L⊗K L)⊗K V −→ L⊗K V.

Odwzorowanie v 7→ 1 ⊗ v jest liniowe jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad ciałem K.

Ponieważ 1 ∈ L jest elementem niezerowym, więc rozszerza się do bazy L, a więc istnieje odwzorowanie φ :

L −→ K liniowe jako odwzorowanie przestrzeni wektorowych nadK takie, żeφ(1) = 1. Stąd odwzorowanie

dwuliniowe

φ : L× V 3 (λ, v) 7→ φ(λ, v) := φ(λ)v ∈ V

przeprowadza (1, v) w φ(1, v) = v, a zatem dla v 6= 0 mamy 1⊗ v 6= 0.

Niech E będzie bazą L nad K, B - bazą V n ad K, wtedy {e ⊗ b : e ∈ E, b ∈ B} jest bazą VL jako

przestrzeni wektorowej nad K, a zatem dimK V = dimL V dimK L.

Na koniec, jeśli B jest bazą V nad K, to pokażemy, że B := {1⊗ b : b ∈ B} jest bazą VL nad L. Dowolny

wektor v ∈ VL można przedstawić w postaci∑ni=1 λi ⊗ vi =

∑ni=1 λi(1 ⊗ vi), więc wektory postaci 1 ⊗ v

generują VL, a ponieważ każdy element postaci 1 ⊗ v jest generowany przez elementy B, więc B generuje

VL.

Liniowa niezależność. Jeśli ∑b∈B

λb(1⊗ b) = 0

to przedstawiając λb =∑e∈E λb,ee otrzymujemy

∑b,e λb,ee⊗ b, a stąd λe,b = 0 i w konsekwencji λb = 0.

�

Definicja I.21. Mówimy, że VL powstaje z przestrzeni V przez zmianę bazy. Jeśli K = R, L = C, to VCnazywamy kompleksyfikacją V .

Kompleksyfikacja ma bardziej bezpośredni opis, jako przestrzeń wektorowa nadR kompleksyfikacja VCjest równa V ⊕V . Pozostaje zdefiniować mnożenie na tej przestrzeni przez jednostkę urojoną i, przyjmujemy

I : i(v1, v2) := (−v2, v1).

Odwzorowanie I jest izomorfizmem przestrzeni wektorowej V ⊕ V spełniającym I2 = − IdV⊕V .

Utożsamiając V z naturalnym zanurzeniem w kompleksyfikację VC mamy rozkład VC = V ⊕ iV .

Odwzorowanie sprzężenia conj : C 3 z 7→ z ∈ C indukuje operację sprzężenia

conj⊗ IdV : VC −→ VC,


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


dla którego podprzestrzeniami własnymi odpowiadającymi wartościom własnym ±1 są V oraz iV .

Jeśli na przestrzeni wektorowej W nad R istnieje automorfizm I : W −→ W taki, że I2 = − IdV , to

korzystając z I definiujemy na W strukturę przestrzeni wektorowej nad C.

Jeśli znamy strukturę skończonego rozszerzenia ciał L/K, to możemy podać równie bezpośredni opis

zmiany bazy z L do K.

Uwaga. Jeśli V1, . . . , Vn są przestrzeniami wektorowymi, to na ogół odwzorowanie

⊗ : V1 × · · · × Vn −→ V1 ⊗ · · · ⊗ Vn

nie jest surjekcją ani iniekcją (ćw.) Elementy obrazu nazywamy tensorami prostymi.

Lemat I.45. Jeśli vi ∈ Vi, vi 6= 0, i = 1, . . . , n, to v1 ⊗ · · · ⊗ vn 6= 0.

Zbiór tensorów prostych w V1 ⊗ · · · ⊗ Vn generuje V1 ⊗ · · · ⊗ Vn.

Oprócz iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowej wprowadziliśmy również iloczyn tensorowy od-

wzorowań liniowych. Odwzorowanie

Hom(V1;W1)× · · · ×Hom(Vn,Wn) 3 (F1, . . . , Fn) 7→ F1 ⊗ · · · ⊗ Fn ∈ Hom(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn;W1 ⊗ · · · ⊗Wn)

jest odwzorowaniem n–liniowym, a zatem indukuje odwzorowanie liniowe

Ψ : Hom(V1;W1)⊗ · · · ⊗Hom(Vn,Wn) −→ Hom(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn;W1 ⊗ · · · ⊗Wn).

Propozycja I.46. Niech V1, . . . , Vn,W1, . . . ,Wn będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K skończonego

wymiaru. Odwzorowanie

Ψ : Hom(V1;W1)⊗ · · · ⊗Hom(Vn,Wn) −→ Hom(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn;W1 ⊗ · · · ⊗Wn)

jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.

Dowód. Wystarczy udowodnić dlan = 2 (i dalej indukcyjnie). Przypomnijmy, że odwzorowanieF1⊗F2

jest zdeterminowane warunkiem (F1 ⊗ F2)(v1 ⊗ v2) = F1(v1)⊗ F2(v2).

Niech ai, bj , ck i dl będą bazami przestrzeni V1, V2,W1,W2. Wtedy ai ⊗ bj , ck ⊗ dl są bazami przestrzeni

V1 ⊗ V2 i W1 ⊗W2.

Bazą przestrzeni Hom(V1,W1) jest zbiór homomorfizmów Eij zadanych na bazie ai przez Eik(ai′) =

δi,i′ck, podobnie bazą Hom(V2,W2) jestFjl analogicznie zdefiniowana. A zatem bazą Hom(V1;W1)⊗Hom(V2,W2)

jest Eik ⊗ FjlZgodnie z definicją iloczynu tensorowego odwzorowań liniowych Gijkl := Ψ(Eik ⊗ Fjl) jest odwzoro-

waniem liniowym zadanym na bazie przez

Gijkl(ai′ ⊗ bj′) = Fik(ai′)⊗Gjl(bj′) = δi,i′δj,j′ck ⊗ dl.

Ale odwzorowania Gijkl stanowią bazę Hom(V1 ⊗ V2;W1 ⊗W2), więc Ψ przeprowadza bazę na bazę, czyli

jest izomorfizmem.

�


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Jeśli odwzorowania F ∈ Hom(V1;W1), G ∈ Hom(V2;W2) mają w bazach ai, bj , ck, dl macierze M =

(mk,i), N = (nl,j), to odwzorowanie F ⊗Gma w bazach ai⊗ bj , ck⊗ dl macierzM ⊗N = (mk,inl,j)(i,j),(k,l)

zwaną iloczynem tensorowym macierzy M i N (zależy id uporządkowania iloczynu kartezjanskiego zbio-

rów skończonych.)

Wniosek I.47. Jeśli V1, . . . , Vn są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad K, to istnieje ka-

noniczny izomorfizm

V ∗1 ⊗ · · · ⊗ V ∗n −→ (V1 ⊗ · · · ⊗ Vn)∗.

Wniosek I.48. Jeśli V,W są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad K, to

Hom(V ;W ) ∼= V ∗ ⊗W.

Symbolem⊗p

V oznaczamy p–krotny iloczyn tensorowy przestrzeni V , w szczególności⊗0

V := K,⊗1V = V .

Definicja I.22. Przestrzenią tensorową typu (p, q) nad V nazywamy przestrzeń wektorową

V pq :=p⊗V ⊗q V ∗.

Przestrzeń tensorowa typu (p, q) bywa nazywana (błędnie) p–krotnie kontra– i q–krotnie kowariantną.

Jeżeli e1, . . . , en jest bazą V , e∗1, . . . , e∗n dualną bazą ,to bazą V pq jest

ei1,...,ipj1,...,jq

:= ei1 ⊗ · · · ⊗ eip ⊗ e∗j1 ⊗ · · · ⊗ e∗jq .

W bazie tej każdy tensor ma zapis postaci ∑|i|=p,|j|=q

tj1,...,jqi1,...,ip

ei1,...,ipj1,...,jq

.

Współrzędne tensorów transformuje się analogicznie jak współrzędne wektorów (ćw.).

Mamy naturalny (kanoniczny) izomorfizm

V pq∼= (V qp )∗

oraz

V 11∼= End(V ).

Dla dowolnych 1 ¬ i ¬ p, 1 ¬ j ¬ q mamy kontrakcję

Cji : V pq −→ V p−1q−1

na i–tym wskażniku kontrawariantnym oraz j–tym wskaźniku kowariantnym daną na tensorach prostych

Cji : v1⊗ · · · ⊗ vp⊗φ1⊗ · · · ⊗φq := φj(vi)v1⊗ · · · ⊗ vi−1⊗ vi+1⊗ · · · ⊗ vp⊗φ1⊗ · · · ⊗φj−1⊗φj+1⊗ · · · ⊗φq

Ćwiczenie 1. Pokazać, że dla F ∈ End(V ) = V 11 zachodzi C1

1 (F ) = trF .


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

22 4. Algebra zewnętrzna

Dla p1, p2, q1, q2 istnieje izmorofizm kanoniczny

V p1q1 ⊗ Vp2q2 −→ V p1+p2q1+q2

zadający odwzorowanie dwulinioweV p1q1 × V

p2q2 −→ V p1+p2q1+q2

zwane mnożeniem tensorów.

Definicja I.23. Algebrą tensorową nad przestrzenią wektorową V nazywamy przestrzeń wektorową⊕p,q

V pq

z działaniem mnożenia tensorów.

Lemat I.49. Podprzestrzenie⊗V =

⊕p

V pq oraz⊗

V ∗ =⊕q

V 0q

są podalgebrami (zwanymi podalgebrą kontra i kowariantną), których suma generuje całą algebrę⊕

p,q Vpq ,

Uwaga. Algebry tensorowe są zwykle nieprzemienne.

Przykład I.50 (Ćw.). Dla dowolnego ciała K mamy

K[X1, . . . , Xp]⊗K[Y1, . . . , Yq] ∼= K[X1, . . . , Xp, Y1, . . . , Yq].

4. Algebra zewnętrzna

Definicja I.24 (Przypomnienie). Odwzorowanie p–liniowe f : V p −→W nazywamy symetryczne (odp.anty-symetryczne) jeśli dla dowolnej permutacji σ ∈ Σp i dowolnych v1, . . . , vn ∈ V mamy

f(vσ1 , . . . , f(vσp)) = f(v1, . . . , vp) odp. f(vσ1 , . . . , f(vσp)) = sgn(σ)f(v1, . . . , vp).

Definicja I.25. Odwzorowanie p–liniowe f : V n −→ W nazywamy alternujące jesli dla dowolnychv1, . . . , vn ∈ V takich, że vi = vj dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ p zachodzi f(v1, . . . , vp) = 0.

Lemat I.51. Odwzorowanie p–liniowe alternujące jest antysymetryczne.Jeśli char(K) 6= 2 to odwzorowanie p–liniowe antysymetryczne jest alternujace.Jeśli char(K) = 2 to odwzorowanie p–liniowe jest symetryczne wtw gdy jest antysymetryczne.

Symbolem Homp(V ;W ) (odp. Homps(V ;W ), Homp

a(V ;W )) oznaczamy przestrzeń wektorową odwzo-rowań p–liniowych V p −→W (odp. symetrycznych, alternujących).

Lemat I.52. Załóżmy, że char(K) - p. NiechS(F )(v1, . . . , vp) = 1p!

∑σ∈Σp F (vσ(1), . . . , vσ(n)) orazA(F )(v1, . . . , vp) =

1p!

∑σ∈Σp sgn(σ)F (vσ(1), . . . , vσ(n)). Wtedy

S : Homp(V ;W ) −→ Homps(V ;W )

A : Homp(V ;W ) −→ Hompa(V ;W )

takie, że S ◦ S = S oraz A ◦A = A.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Definicja I.26. p–tą potęgą zewnętrzną przestrzeni wektorowej V nad ciałemK nazywamy parę (W,Φ)

złożoną z przestrzeni wektorowejW oraz odwzorowanian–liniowego antysymetrycznego Φ : V × · · · × V︸︷︷︸p

−→

W posiadającą następującą uniwersalną własność faktoryzacji odwzorowań n–liniowych alternującychdla dowolnej przestrzeni wektorowej Z nad ciałem K i dowolnego odwzorowania n–liniowego alternującego Ψ :

V × · · · × V︸︷︷︸p

−→ Z istnieje jedyne odwzorowanie liniowe Φ : W −→ Z takie, że Φ ◦ Φ = Ψ, to znaczy następujący

diagram jest przemiennyV × · · · × V︸︷︷︸

p

W Z

��

��

��

Φ

@@@@@@@@R

Ψ

-∃!Φ

Twierdzenie I.53 (Istnienie i jednoznaczność potegi zewnętrznej). Dla dowolnej przestrzeni wektorowejp–ta potęga zewnętrzna istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie.

Dowód. Jednoznaczność dowodzi się identycznie jak dla iloczynu tensorowego.Istnienie. Rozważmy potęgę tensorową

⊗pV , niech W1 będzie podprzestrzenią generowaną przez ele-

menty postaci v1 ⊗ · · · ⊗ vp takie, że vi = vj dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ n. Pokażemy, że przestrzeń W :=⊗pV/W1 wraz z odwzorowaniem Φ : V p −→ W będącym złożeniem odwzorowań Φ1 : V p −→

⊗pV i

π :⊗p

V −→W posiada własność uniwersalnej faktoryzacji dla odwzorowań p–liniowych alternujących.Zauważmy po pierwsze, że odwzorowanie Φ jest p–liniowe i alternujące. Niech teraz Ψ : V p −→ Z

będzie odwzorowaniem alternującym.

V p

p⊗V

W Z

?

Φ1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@R

Ψ

?

π

HHHH

HHHHHH

HHHHHH

HHHj

Φ1

-Φ


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Na mocy definicji iloczynu tensorowego istnieje odwzorowanie Φ1 : ⊗pV −→ Z takie, że Φ1 ◦ Φ1 = Ψ.

Aby wykazać, istnienie odwzorowania Φ musimy pokazać, że Φ1 znika na generatorach Kerπ = W1 czy,

że Φ1(v1 ⊗ · · · ⊗ vp) = Ψ(v1, . . . , vp) jeżeli vi = vj dla pewnych 1 ¬ i < j ¬ p, co wynika z tego, że Ψ jest

alternujące.

Jednoznaczność Φ wynika z jednoznaczności Φ1 i surjektywności π.

�

Potęgę zewnętrzną oznaczamy symbolem∧p

V , odwzorowanie Φ przez Φ(v1, . . . , vp) = v1 ∧ · · · ∧ vp.

Wniosek I.54. Dla dowolnych przestrzeni wektorowych nad ciałem K istnieje kanoniczny izomorfizm

Hompa(V ;W ) −→ Hom(

p∧V ;W ).

Propozycja I.55. Jeżeli (ei)i∈I jest bazą uporządkowaną V , to zbiór

{ei1 ∧ · · · ∧ eip : i1, . . . , ip ∈ I, i1 < i2 < · · · < ip}.

W szczególności, jeśli dimV = n, to dim∧p

V =(np

).

Dowód. Niech E = {ei}i∈I będzie bazą uporządkowaną przestrzeni V . Zauważmy po pierwsze, że

podprzestrzeń W1 jest generowana przez następujące wektory

ei1 ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eip + ei1 ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eip

ei1 ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eip , gdzie ik = il

Z równości

ei1⊗· · ·⊗(eik+eil)⊗· · ·⊗(eik+eil)⊗· · ·⊗eip−ei1⊗· · ·⊗eik⊗· · ·⊗eik⊗· · ·⊗eip−ei1⊗· · ·⊗eil⊗· · ·⊗eil⊗· · ·⊗eip

wynika, że wektory powyższej postaci należą do W1. Jeśli wektor v1 ⊗ · · · ⊗ vp jest generatorem takim, że

vk = vl, 1 ¬ k < l ¬ p, to podstawiając vj =∑i,j Aijei i stosując wieloliniowość otrzymujemy kombinacje

liniowe wektorów postaci otrzymujemy∑Ai11 . . . Aippei1 ⊗ · · · ⊗ eip

przy czym Aik = Ail. A więc jeśli ik 6= il, k < l, to współczynniki przy ei1 ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eip i

ei1 ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eip są równe.

Ponieważ

[ei1 ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eip ] + [ei1 ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ · · · ⊗ eik ⊗ · · · ⊗ eip ] = 0,

więc dla dowolnej permutacji σ ∈ Σp mamy

ei1 ∧ · · · ∧ eip = sgn(σ)eiσ(1) ∧ · · · ∧ eiσ(p) .


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Obraz bazy przez epimorfizm jest zbiorem generującym, a wśród wszystkich permutacji zbioru i1, . . . , ip

istnieje jedyna rosnąca, więc ei1 ∧ · · · ∧ eip , i1 < · · · < ip generują∧p

V . Musimy pokazać, że są one liniowo

niezależne, czyli, że jeśli ∑i1<···<ip

λi1...ipei1 ⊗ · · · ⊗ eip ∈W1

to λi1...ip = 0. Zauważmy, że jeśli ∑i∈Ip

µiei1 ⊗ · · · ⊗ eip ∈W1

to dla dowolnego ustalonego i1 < · · · < ip mamy∑σ∈Σp

µiσ(1),...,iσ(p) = 0.

A zatem λi1,...,ip = 0. �

Wniosek I.56. Niech V będzie przestrzenią wektorową,B = {ei}i∈I bazą uporzędkowaną V i niech Φ :∧p

V ×∧qV −→

∧p+qV będzie odwzorowaniem dwuliniowym takim, że dla dowolnych ciągów rosnących i1 < · · · < ip,

j1 < · · · < jq zachodzi

Φ(ei1 ∧ · · · ∧ eip , ej1 ∧ · · · ∧ ejq ) = ei1 ∧ · · · ∧ eip ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejq .

Wtedy dla dowolnych v1, . . . , vp, w1, . . . , wq ∈ V mamy

Φ(v1 ∧ · · · ∧ vp, w1 ∧ · · · ∧ wq) = v1 ∧ · · · ∧ vp ∧ w1 ∧ · · · ∧ wq.

Dowód. Niech vk =∑i∈I λk,iei, wl =

∑i∈I µl,iei, obie strony równości w tezie są równe, z wielolinio-

wości, ∑i1<···<ip

∑j1<···<jq

λ1,i1 . . . λp,ipµ1,j1 . . . µq,jqei1 ∧ · · · ∧ ep,ip ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejq .

�

Z dowodu propozycji wynika następujący wniosek

Wniosek I.57. Dla dowolnego v ∈∧p

V , v 6= 0 i dowolnego q takiego, że p + q ¬ dimV istnieje w ∈∧q

V

taki, że v ∧ w 6= 0.

Wniosek I.58. Istnieje niekanoniczny izomorfizmn∧V ∼= K

oraz ogólniej dla dowolnego 1 ¬ p ¬ np∧V ∼=

n−p∧V.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Uwaga. Izomorfizm∧p

V ∼=∧n−p

V jest zadany jednoznacznie przez wskazanie izomorfizmu∧n

V ∼=K, dokładniej istnieje kanoniczny izomorfizm

p∧V ∼= (

n−p∧V )∗ ⊗

n∧V.

Mamy bowiem odwzorowanie dwuliniowep∧V ×

n−p∧V 3 (w1, w2) 7→ w1 ∧ w2 ∈

n∧V,

które na mocy poprzedzającego lematu jest niezdegenerowane.

Wniosek I.59. Wektory v1, . . . , vp ∈ V są liniowo niezależne wtw gdy v1 ∧ · · · ∧ vp 6= 0.

Dowód. Wektory v1, . . . , vp są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy są elementami bazy V , a

zatem v1 ∧ · · · ∧ vp jest elementem bazy∧p

V . �

Elementy∧p

V (odp.∧p

V ∗) nazywamy p–wektorami, odp. p–formami. Wektor postaci v1 ∧ · · · ∧ vpnazywamy p–wektorem prostym, podobnie formę postaci φ1 ∧ · · · ∧ φp nazywamy p–formą prostą.

Lemat I.60. Dla dowolnego odwzorowania liniowegoF ∈ Hom(V,W ) i dowolnej liczby naturalnej p 1 istnieje

jedyne odwzorowanie liniowep∧F :

p∧V −→

p∧W

spełniające

(p∧F )(v1 ∧ · · · ∧ vp) = F (v1) ∧ · · · ∧ F (vp).

Dowód. Odwzorowanie V p 3 (v1, . . . , vp) 7→ F (v1)∧· · ·∧F (vp) ∈∧p

W jest p-liniowe alternujące, więc

istnieje odwzorowanie liniowe∧p

F ) spełniające warunek z tezy. �

Propozycja I.61. Jeżeli f ∈ End(V ) jest endomorfizmem n–wymiarowej przestrzeni wektorowej, to∧n

f =

det(f) Id∧nV .

Dowód. Ponieważ∧n

V jest przestrzenią wymiaru jeden więc jej dowolny endomorfizm L jest równy

det(L) Id. Przy ustalonej bazie e1, . . . , en przestrzeni V mamy

f(ej) =n∑i=1

aijei

gdzie (aij)i,j=1,...,n jest macierzą endomorfizmu f w bazie e1, . . . , en. Mamy więcn∧f(e1 ∧ · · · ∧ en) = f(e1) ∧ · · · ∧ f(en) =

n∑i1=1

ai1ei1 ∧ · · · ∧

n∑in=1

ainein =

∑i1,...,in

ai1,1 . . . ain,nei1 ∧ · · · ∧ ein =

∑σ∈Σn

aσ(1),1 . . . aσ(n),neσ(1) ∧ · · · ∧ eσ(n) =

=

(sgn(σ)

∑σ∈Σn

aσ(1),1 . . . aσ(n),n

)e1 ∧ · · · ∧ en = det((ai,j)i,j=1,...,n)e1 ∧ · · · ∧ en.

A zatem dla dowolnego v ∈∧n

V mamy (∧nf)(v) = det(f)v. �


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Twierdzenie I.62. Jeżeli V jest przestrzenią wektorową n–wymiarową, f ∈ End(V ) jest endomorfizmem V , A

jest macierzą V w bazie uporządkowanej {e1, . . . , en}, to macierzą endomorfizmu∧p

f w bazie {ei1 , . . . , eip : 1 ¬

i1 < · · · < ip ¬ n} jest macierz∧p(A) złożona z minorów stopnia p macierzy A.

Dowód. Oznaczmy dla krótkości eI = ei1 ∧ · · · ∧ eip , e∗I = e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip

, i1 < · · · < ip. Ponieważ eI oraz

e∗I są bazami dualnymi, więc współczynniki macierzy odwzorowania∧p

f są dane wzorami

aI,J := e∗I(p∧f(eJ)) = e∗I(f(ej1) ∧ · · · ∧ f(ejp)) = det((e∗ik(f(ejl)))1¬k,l¬p), |I| = |J | = p.

�

Wniosek I.63. Ślad tr(∧p

f) jest równy sumie minorów stopnia p macierzy odwzorowania f w dowolnej bazie.

Wielomian charakterystyczny χf jest równy∑nk=0(−1)k tr(

∧n−kf)T k.

Definicja I.27. Wyznacznikiem skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V nazywamy jedno-

wymiarową przestrzeń wektorową det(V ) :=∧dimV (V ).

Propozycja I.64. Dla dowolnych przestrzeni wektorowych U, V istnieje kanoniczny izomorfizmp∧

(U ⊕ V ) =p⊕k=0

(k∧U ⊗

p−k∧V ).

W szczególności, jeżeli U i V są skończenie wymiarowe to

det(U ⊕ V ) = det(U)⊗ det(V ).

Dowód. Dla dowolnego k odwzorowanie dwuliniowek∧U ×

p−k∧W 3 (v, w) 7→ v ∧ w ∈

p∧V

indukuje odwzorowanie liniowek∧U ⊗

p−k∧W −→

p∧V

i w konsekwencji odwzorowanie liniowep⊕k=0

(k∧U ⊗

p−k∧V ) −→

p∧(U ⊕ V ).

Odwzorowanie to przeprowadza bazę w bazę, więc jest izomorfizmem. �

Propozycja I.65. Jeżeli V jest przestrzenią wektorową skończenie wymiarową przestrzenią wektorową, to istnieje

kanoniczny izomorfizmp∧V ∗ ∼= (

p∧V )∗.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Dowód. Rozważmy odwzorowanie

V p × (V ∗)p 3 (v1, . . . , vp;φ1, . . . , φp) 7→ det(φi(vj)) ∈ K.

Odwzorowanie jest p–liniowe alternujące zarówno ze względu na v1, . . . , vp i φ1, . . . , φp, więc powyższe

odwzorowanie indukuje odwzorowanie dwuliniowe

Φ :p∧V ×

p∧V ∗ −→ K

spełniające warunek

Φ(ei1 ∧ . . . eip ∧ e∗j1 ∧ . . . ∧ e∗jp) = δ

i1,...,ipj1,...,jp

.

Odwzorowanie to jest niezdegenerowane, więc zadaje izomorfizm

Ψ :p∧V ∗ −→ (

p∧V )∗

wyznaczony przez

(Ψ(φ1 ∧ · · · ∧ φp))(v1 ∧ · · · ∧ vp) = det(φi(vj)).

�

Z dokładnością do powyższego izomorfizmu baza e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ip

jest dualna do ei1 ∧ · · · ∧ eip .

Lemat I.66. Niech V będzie przestrzenią wektorową skończenie wymiarową, p, q ∈ N, p q.

Istnieje jedyne odwzorowanie dwulinioweq∧V ×

p∧V ∗ 3 (v, φ) 7→ v⌟φ ∈

p−q∧V ∗

takie, że dla dowolnego w ∈∧p−q

V zachodzi

(v⌟φ)(w) = φ(v ∧ w).

Istnieje jedyne odwzorowanie dwuliniowep∧V ×

q∧V ∗ 3 (v, φ) 7→ v⌞φ ∈

p−q∧V

takie, że dla dowolnego ψ ∈∧p−q

V ∗ zachodzi

ψ(v⌞φ) = (φ ∧ ψ)(v).

Definicja I.28. Niech V będzie przestrzenią wektorową skończenie wymiarową. Lewym mnożeniem

wewnętrznym nazywamy odwzorowanie dwulinioweq∧V ×

p∧V ∗ 3 (v, φ) 7→ v⌟φ ∈

p−q∧V ∗

natomiast prawym mnożeniem wewnętrznym nazywamy odwzorowanie dwuliniowep∧V ×

q∧V ∗ 3 (v, φ) 7→ v⌞φ ∈

p−q∧V.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Propozycja I.67. NiechV będzie przestrzenią wektorową skończenie wymiarową, dimV = n. Jeżeliφ ∈∧n

V ∗, φ 6=

0, to odwzorowaniep∧V 3 v 7→ θφ(v) := v⌟φ ∈

n−p∧V ∗

jest izomorfizmem, a ponadto v jest wektorem prostym wtw gdy θφ(v) jest formą prostą.

Dowód. Wystarczy sprawdzić, że dla ustalonej bazy e1, . . . , en przestrzeni V mamy

θe∗1∧···∧e∗n(e1 ∧ · · · ∧ ek) = e∗k+1 ∧ · · · ∧ e∗n.

�

Lemat I.68. Niech V będzie przestrzenią wektorową, v ∈∧p

V , w ∈ V . Wtedy w ∧ v = 0 wtedy i tylko wtedy

gdy istnieje v1 ∈∧p−1

V taki, że v = w ∧ v1.

Dowód. Jeżeli v = w ∧ v1, to w ∧ v = w ∧ w ∧ v1 = 0.

Odwrotnie, jeśli w ∧ v = 0, to przedstawiając v w dowolnej bazie przestrzeni V zawierającej v, stwier-

dzamy, że każdy składnik zawiera wektor w. �

Wniosek I.69. Niech V będzie przestrzenią wektorową taką że dimV = n <∞ i niech v ∈∧p

V . Wtedy

Wv := {w ∈ V : v ∧ w = 0}

jest podprzestrzenią wektorową wymiaru dimW ¬ p.

Jeżeli v = v1 ∧ · · · ∧ vp jest wektorem prostym, to Wv = 〈v1, . . . , vp〉.

Ponadto dimWv = p wtw gdy v jest wektorem prostym.

Dowód. Niech k = dimWv i niech w1, . . . , wk ∈ Wv będą wektorami liniowo niezależnymi, zapisując

v w bazie zawierającej wektory wi zauważamy, że istnieje wektor v1 taki że v = v1 ∧ w1 ∧ · · · ∧ wk. W

szczególności k ¬ p a ponadto jeżeli k = p, to v jest wektorem prostym.

Dla dowolnych wektorów liniowo niezależnych v1, . . . , vp ∈ V mamy span{v1, . . . , vp} = Wv1∧···∧vp .

Inkluzja ⊂ jest oczywista, wtedy z nierówności między wymiarami wynika równość.

Jeżeli span{v1, . . . , vp} = span{w1, . . . , wp}, to jako λwystarczy przyjąć wyznacznik macierzy przejścia,

implikacja w drugą stronę jest oczywista.

�

Propozycja I.70. Niech V będzie przestrzenią wektorowa, {v1, . . . , vk}, {w1, . . . , wk} dwoma układammi wek-

torów liniowo niezależnych. Wtedy span{v1, . . . , vk} = span{w1, . . . , wk} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje λ ∈ K×

takie, że v1 ∧ · · · ∧ vk = λw1 ∧ · · · ∧ wk.

Dowód. Sla dowolnych wektorów liniowo niezależnych v1, . . . , vk ∈ V mamy span{v1, . . . , vk} = Wv1∧···∧vk .

Inkluzja ⊂ jest oczywista, wtedy z równości wymiarów wynika równość.

Jeżeli span{v1, . . . , vk} = span{w1, . . . , wk}, to jako λwystarczy przyjąć wyznacznik macierzy przejścia,

implikacja w drugą stronę jest oczywista. �


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

30 5. Potęga symetryczna

Definicja I.29. Jeżeli V jest przestrzenią wektorową, k ¬ dimV liczbą naturalną, to zbiór G(k, V ) :=

{W ¬ V : dimW = k} nazywamy k-tym Grassmanianem przestrzeni wektorowej V .

Uwaga. Jeżeli V jest przestrzenia wektorową nadK = R lubK = Cwymiaru skończonego n, toG(k, V )

jest zwartą rozmaitością wymiaru k(n− k).

Wniosek I.71. Niech V będzie przestrzenią wektorową,

C := {w1 ∧ · · · ∧ wp 6= 0 : w1, . . . , wp ∈ V }

będzie zbiorem niezerowych p-wektorów prostych w∧p

V . W zbiorze C wprowadzamy relację równoważności

v1 ∼ v2 ⇔ istnieje λ ∈ K× : v1 = λv2.

Wtedy odwzorowanie

G(p, V ) 3 〈v1, . . . , vp〉 7→ [v1 ∧ · · · ∧ vp] ∈ C/ ∼

jest bijekcją.

Propozycja I.72. Niech V będzie przestrzenią wektorową nadR z iloczynem skalarnym g (odp. nadC z iloczy-

nem hermitowskim h), niech {ei}i∈I będzie uporzędkowaną bazą ortonormalną przestrzezni V . Jeżeli g (odpowiednio

h) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni∧p

V , p 1, takim, że baza {ei1∧· · ·∧eip}i1<···<ip jest bazą ortonormalną

to dla dowolnych wektorów v1, . . . , vp, w1, . . . , wp ∈ V zachodzi

g(v1 ∧ · · · ∧ vp, w1 ∧ · · · ∧ wp) = det(g(vi, wj)).

W szczególności iloczyn skalarny g nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej.

Dowód. Zacieśniając się do podprzestrzeni 〈v1, . . . , vp, w1, . . . , wp〉, możemy założyć, ze n = dimV <

∞, I = {1, . . . , n}. Istnieją skalary λi,j , µi,j , 1 ¬ i ¬ p, 1 ¬ j ¬ n takie, że

vi = λi,1e1 + · · ·+ λi,nen, wi = µi,1e1 + · · ·+ µi,nen.

Wtedy v1 ∧ · · · ∧ vp =∑

1¬j1<···<jp¬n det(λi,jk)1¬i,k¬p, w1 ∧ · · · ∧ wp =∑

1¬j1<···<jp¬n det(µi,jk)1¬i,k¬p. A

zatem g(v1∧· · ·∧vp, w1∧· · ·∧wp) =∑

1¬j1<···<jp¬n det(λi,jk)1¬i,k¬p det(µi,jk)1¬i,k¬p = det ((λij)(µ(j, i))) =

det(g(vi, wj))1¬i,j¬p. �

Wniosek I.73. Dla dowolneh przestrzeni wektorowej V z iloczynem skalarnym g istnieje jedyny iloczyn skalarny

taki, że norma dowolnego wektora prostego v1 ∧ · · · ∧ vp jest równa wyznacznikowi Grama G(v1, . . . , vp).

Definicja I.30. Algebrą zewnętrzną nad przestrzenią wektorową V nazywamy∧V :=

⊕p∈N

p∧V.

Jeżeli dimV = n, to∧V jest algebrą wymiaru 2n.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


5. Potęga symetryczna

Definicja I.31. p–tą potęgą symetryczną przestrzeni wektorowej V nad ciałemK nazywamy parę (W,Φ)

złożoną z przestrzeni wektorowej W oraz odwzorowania p–liniowego symetrycznego Φ : V × · · · × V︸︷︷︸p

−→

W posiadającą następującą uniwersalną własność faktoryzacji odwzorowań n–liniowych symetrycznych

dla dowolnej przestrzeni wektorowejZ nad ciałemK i dowolnego odwzorowania p–liniowego Ψ : V × · · · × V︸︷︷︸p

−→

Z istnieje jedyne odwzorowanie liniowe Φ : W −→ Z takie, że Φ ◦ Φ = Ψ, to znaczy następujący diagram jest prze-

miennyV × · · · × V︸︷︷︸

p

W Z

��

��

��

Φ

@@@@@@@@R

Ψ

-∃!Φ

Twierdzenie I.74 (Istnienie i jednoznaczność potęgi symetrycznej). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej

p–ta potęga symetryczna istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie.

Dowód. Jednoznaczność dowodzi się identycznie jak dla iloczynu tensorowego.

Istnienie. Rozważmy potęgę tensorową V p0 , grupa symetryczna działą na niej liniowo w następujący

sposób, dla v1, . . . , vp ∈ V, σ ∈ Σp zadajemy

σ(v1 ⊗ · · · ⊗ vp) := vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(p).

Niech W := (V pp )Σp . Niech Ψ : V × · · · × V︸︷︷︸p

−→ Z będzie dowolnym odwzorowaniem n–liniowym sy-

metrycznym. Na mocy definicji iloczynu tensorowego Ψ faktoryzuje się przez odwzorowanie Φ1 : V × · · · × V︸︷︷︸p

−→

V p0 , ponieważ Ψ jest symetryczne, więc jego obraz leży w W . �

Potęgę symetryczną oznaczamy symbolem SpV .

Wniosek I.75. Jeżeli (ei)i∈I jest bazą uporządkowaną V , to zbiór

{ei1 ⊗ · · · ⊗ eip : i1, . . . , ip ∈ I, i1 ¬ i2 ¬ · · · ¬ ip}.

W szczególności, jeśli dimV = n, to dimSpV =(n+p−1

p

).

Suma prosta S(V ) :=⊕

p0 Sp(V ) jest podalgebrą algebry kontrawariantnej ⊗V . Algebrę

S(V ∗)

nazywamy algebrą wielomianów na przestrzeni wektorowej V .


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019ROZDZIAŁ II

Operatory normalne

Lemat II.1. Jeżeli V jest przestrzenią skończenie wymiarową z iloczynem skalarnym g, to odwzorowanie

V 3 v 7→ g(., v) ∈ V ∗

jest bijekcją (antyizomorfizmem) przestrzeni wektorowych.

Twierdzenie II.2. Niech V,W będą przestrzeniami skońćzenie wymiarowymi nad K z iloczynem skalarnym

gv, gW i niech F ∈ Hom(V,W ). Wtedy istnieje jedyne odwzorowanie liniowe F ∗ ∈ Hom(W,V ) t.że dla dowolnych

v ∈ V,w ∈W mamy

gW (Fv,w) = gV (v, F ∗w).

Dowód. Ustalamy w ∈ W , odwzorowanie v 7→ g(Fv,w) jest formą liniową na V , więc istnieje jedy-

ny wektor, który oznaczamy przez F ∗w taki, że g(Fv,w) = g(v, F ∗w). Liniowośc odwzorowania F ∗ jest

oczywista. �

Definicja II.1. Odwzorowanie liniowe nazywamy samosprzężonym jeśli F ∗ = F .

Twierdzenie II.3. Operacja sprzężenia ma następujące własności

(1) (F +G)∗ = F ∗ +G∗,

(2) (λF )∗ = λF ∗,

(3) F ∗∗ = F , a więc g(F ∗w, v) = g(w,Fv)

(4) Jeśli V = W , to (F ◦G)∗ = G∗ ◦ F ∗,

(5) Feśli F jest izmorfizmem to (F−1)∗ = (F ∗)−1

(6) ker(F ∗) = Im(F )⊥ oraz Im(F ∗) = ker(F )⊥

(7) F jest surjekcją⇔ F ∗ jest iniekcją

(8) F jest iniekcją⇔ F ∗ jest surjekcją

Definicja II.2. Jeżeli A ∈ Mat(m× n;C) to macierz A∗ = AT nazywamy macierzą sprzężoną.

Lemat II.4. Niech F : V1 −→ V2 będzie odwzorowaniem liniowymi przestrzeni wektorowych nadC z iloczynami

hermitowskimi, i niech B1 = {e1, . . . , en} będzie bazą ortonormalną V1, a B2 = {f1, . . . , fm}. Wtedy

ΦF∗,B2,B1 = ΦF,B1,B2∗.

Dowód. Mamy (ΦF∗,B2,B1)ij = g(F ∗fj , ei) = g(fj , Fei) = g(Fei, ej) = (ΦF,B1,B2)ji. �

32

Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

Rozdział II. Operatory normalne 33

Definicja II.3. Endomorfizm F : V −→ V przestrzeni wektorowej nazywamy projekcją (rzutowaniem)

jeżeli istnieją podprzestrzenie V1, V2 ¬ V takie, że V = V1 ⊕ V2 oraz F = πV1,V2 : V = V1 ⊕ V2 3 (v1, v2) 7→

v1 ∈ V1.

Endomorfizm F przestrzeni V z iloczynem skalarnym nazywamy rzutem prostopadłym jeżeli istnieje

podprzestrzeń W taka, że V = W ⊕W⊥ oraz F = πW,W⊥ .

Lemat II.5. Jeżeli dimW <∞ to V = W ⊕W⊥.

Definicja II.4. Niech v1, . . . , vn będą wektorami liniowo niezależnywmi w przestrzeni z iloczynem ska-

larnym. Objętością równoległościanu rozpiętego przez v1, . . . , vn nazywamy liczbę v1h2 . . . hn, gdzie hi jest

rzutem prostopadłym vi na podprzestrzeń span v1, . . . , vi−1perp.

Propozycja II.6. Objętość równoległościanu rozpiętego przez v1, . . . , vn jest równa√G(v1, . . . , vn) = |v1 ∧ · · · ∧ vn|.

Dowód. Zauważmy, że jeśli u1, h2, . . . , hn �

Propozycja II.7. Endomorfizm F : V −→ V jest projecką wtedy i tylko wtedy gdy

F ◦ F = F.

Dowód. Wystarczy przyjąć

V1 = Im(F ) V2 = Ker(F ).

�

Propozycja II.8. Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym, F ∈

End(V ). Nastęoujące warunki są równoważne

• F jest rzutem prostopadłym,

• F ◦ F = F oraz F ∗ = F ,

• F ◦ F = F oraz |Fv| ¬ |v|, dla v ∈ V .

Definicja II.5. Endomorfizm przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym nazywamy normalnym je-

żeli komutuje z endomorfizmem sprzężonym

F ◦ F ∗ = F ∗ ◦ F.

Macierz A ∈ Mat(n× n;K) nazywamy normalną, jeżeli komutuje ze sprzężeniem

AA∗ = A∗A.

Lemat II.9. Endomorfizm F jest normalny wtw gdy jego macierz w pewnej (dowolnej) bazie ortonormalnej jest

normalna.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Propozycja II.10. Niech F ∈ End(V ) będzie endomrofizmem normalnym skończenie wymiarowej przestrzeni

wektorowej z iloczynem skalarnym. Wtedy

(1) endomorfizmy: F ∗, F−1 (gdy F jesy izomorfizmem), P (F ), gdy P ∈ K[X] są normalne,

(2) dla dowolnych v, w ∈ V mamy

g(Fv, Fw) = g(F ∗v, F ∗w)

w szczególności

|Fv| = |F ∗v|

a stąd

Ker(F ) = Ker(F ∗).

(3) Dla dowolnego k 1

Ker(F k) = Ker(F ).

(4) wielomian minimalny endomorfizmu F jest zredukowany (jest iloczynem różnych czynników nierozkładal-

nych).

(5) Fv = λv ⇔ F ∗v = λv.

(6) Jeśli λ, µ są różnymi wartościami własnymi F , to Vλ ⊥ Vµ.

Punkty (1)–(2) są proste. Część (3) dowiedziemy najpierw dla operatora samosprzężonegoG = F ∗◦F .

Jeśli F kv = 0 dla k > 1, to

0 = g(Gkv,Gk−2v) = k(Gk−1v,Gk−1v)

więc Gk−1v = 0.

Jeśli teraz F kv = 0, to Gkv = (F ∗)kF kv = 0, więc Gv = 0. Stąd 0 = g(F ∗Fv, v) = (Fv, Fv) i

ostatecznie Fv = 0.

Aby wykazać część (4) załóżmy, że wielomian z czynnikim podwójnym anihiluje F , to znaczy

P 2(F )(Q(F )v) = 0, dla wszystkich v ∈ V

a stąd

P (F )(Q(F )v) = 0, dla wszystkich v ∈ V.

A zatem wielomian minimalny nie może zawierać czynników wielokrotnych.

Warunek (5) jest równoważny

Ker(F − λ Id) = Ker((F − λ Id)∗) = Ker(F ∗ − λ Id).

Ostatni punkt, jeśli v ∈ Vλ, w ∈ Vµ to

λg(v, w) = g(Fv,w) = g(v, F ∗w) = g(v, µw) = µg(v, w).

A zatem jeśli λ 6= µ to g(v, w) = 0.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Twierdzenie II.11. Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nadC z iloczynem skalarnym.

EndomorfizmF ∈ Hom(V ) jest normalny wtw gdyF jest unitarnie diagonalizowalny, tzn. istnieje baza ortonormalna

złożona z wektorów własnych F .

Dowód. Ponieważ macierz przekątniowa jest normalna więc oczywiście jeśli F jest unitarnie diagona-

lizowalny, to F jest normalny.

W drugą stronę zauważmy, że jeśli wielomian minimalny macierzy rozkłada się na czynniki liniowe i nie

ma pierwiastków wielokrotnych, to jest diagonalizowalna. Wynika to bezpośrednio z drugiej postaci nor-

malnej, macierz jest równoważna macierzy blokowej przekątniowej złożonej z macierzy stowarzyszonych

z dziennikami elementarnymi. Ponieważ dzielniki elementarne są dzielnikami wielomianu minimalnego,

więc mają stopień jeden. A więc macierz jest diagonalizowalna.

Zatem V = Vλ1 ⊕ ⊕Vλm , gdzie λ1, . . . , λm jest ciągiem wartości własnych F . Wybieramy bazy ortonor-

malne Vλ, ponieważ Vλ ⊥ Vµ dla µ 6= λ, otrzymamy bazę ortonormalną V złożoną z wektorów własnych

V . �

Twierdzenie II.12. Niech V będzie przestrzenią euklidesową. Endomorfizm F ∈ Hom(V ) jest normalny wtw

gdy istnieje rozkład

V = Vλ1 ⊕ · · · ⊕ Vλk ⊕W1 ⊕ · · · ⊕Wm

na ortogonalną sumę prostą gdzie Wi są nierozkładalnymi podprzestrzeniami niezmienniczymi F odpowiadające pa-

rom sprzężonych zespolonych wartości własnych F , macierz F w pewnej bazie ortogonalnej ma postać(ai −bibi a

)Dowód. Aby pokazać, że istnieje macierz w której F ma zadaną postać rozważamy kompleksyfikację

FC ∈ End(VC). Wtedy istnieje ortogonalna baza złożona z wektorów własnych. Możemy tak wybrać bazę

aby wektory własne dla λ postaci v + iw, gdzie v, w ∈ V , to dla wartości własnej λ wybieramy v − iw. Jeśli

λ = a+ bi, to

FC(v + iw) = (a+ ib)(v + iw) = av − bw + i(aw + bv).

Wtedy również

FC(v − iw) = (a− ib)(v − iw) = av − bw − i(aw + bv)

i ostatecznie

F (v) = av − bw, F (w) = bv + aw.

Ponadto v + iw ⊥ v − iw implikuje natychmiast v ⊥ w.

Dla implikacji przeciwnej musimy zauważyć, że macierz(ai −bibi a

)jest normalna. �


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Definicja II.6. Niech V będzie przestrzenią wektorową skończenie wymiarową nadK z iloczynem ska-

larnym. Endomorfizm F ∈ End(V ) nazywamy

• samosprzężonym (hermitowskim/symetrycznym) jeśli

F ∗ = F,

• anty-samosprzężonym (anty–hermitowskim/anty–symetrycznym) jeśli

F ∗ = −F,

• unitarnym/ortogonalnym jeśli

F ∗ = F−1.

Endomorfizmem F ∈ End(V ) przyporządkowujemy formę kwadratową

QF (v) = g(Fv, v).

W przypadku zespolonym jeśli qF = 0, to F = 0. Implikacja ta nie jest prawdziwa w przyapadku rzeczywi-

stym.

Twierdzenie II.13. Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym g i

niech F,G ∈ End(V ).

1) Jeśli F,G są samo–sprzężone, to F +G, F−1 (gdy F jest odwracalne), P (F ) dla rzeczywistego wielomianu

P ∈ R[T ] również są samosprzężone.

• Zespolony operator F jest hermitowski wtw gdy QF (v) jest rzeczywista dla dowolnego v.

• Jeśli F jest operatorem zespolonym lub rzeczywistym symetrycznym to

F = 0 ⇔ QF = 0.

• Wielomian charakterystyczny χF (t) odwzorowania samosprzężonego rozkłąda się nad R, tj. wszystkie je-

go pierwiastki są rzeczywiste. Zatem wielomian minimalny mF odwzorowania F jest iloczynem różnych

czynników liniowych nadR.

Dowód. (1) jest proste.

(2) jeśli F jest hermitowski, to QF (v) = g(Fv, v) = g(v, Fv) = g(Fv, v), więc QF (v) = g(Fv, v) ∈ R.

(3) Jeśli F jest zespolony, to udowodniliśmy wcześniej. Jeśli QF = 0, F jest rzeczywista i symetryczna,

to z QF (v) = 0 wynika, że stowarzyszona forma dwuliniowa symetryczna jest rółnież zero, a zatem F = 0.

(4) Jeśli F jest hermitowskie, Fv = λv, to λv = Fv = F ∗v = λv, więc λ = λ i ostatecznie λ ∈ R.

Jeśli F jest rzeczywiste, to λ nie jest wartością własną F , ale jest wartością własną kompleksyfikacji

FC ∈ End(VC), która jest odwzorowaniem hermitowskim. �

Twierdzenie II.14. Zespolone odwzorowanie normalne jest hermitowskie wtw gdy jego wartości własne są rze-

czywiste.

Zespolone odwzorowanie normalne jest unitarne wtw gdy jego wartości własne mają normę 1.

Zespolone odoowzorowanie normalne jest anty–hermitowskie wtw gdy jego wartości własne są czysto urojone.


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Twierdzenie II.15. Wersja macierzowa

1) Przypadek zespolony

(a) Kwadratowa macierz zespolonaA jest normalna wtw gdy jest unitarnie diagonalizowalna, tzn. istnieje

macierz unitarna U t.że

UAU∗ = diag(λ1, . . . , λk).

(b) Kwadratowa macierz zespolona A jest hermitowska wtw gdy jest unitarnie podobna to macierzy prze-

kątniowej rzeczywistej, tzn. zachodzi (a) z λi ∈ R.

(c) Kwadratowa macierz zespolona A jest unitarna jeśli zachodzi (a) z |λi| = 1.

(d) Kwadratowa macierz zespolonaA jest anty–unitarna jeśli zachodzi (a) z λi czysto urojoną lub zerową

(Reλi = 0).

2) Przypadek rzeczywisty

(a) Kwadratowa macierz rzeczywista A jest normalna wtw gdy istnieje macierzo ortogonalna O taka, że

OAOT = diag(λ1, . . . , λk,

(a1 −b1b1 a1

), . . . ,

(am −bmbm am

))(b) Rzeczywista macierz kwaratowaA jest symetryczna wtw gdy jest ortogonalnie doagonalizowalna, tzn.

istnieje macierz ortogonalna O t.że

OAOT = diag(λ1, . . . , λn).

(c) Rzeczywista macierz kwaratowa A ortogonalna jeśli istnieje macierz ortogonalna O t.że

OAOT = diag(λ1, . . . , λk,

(cos θ1 sin θ1

− sin θ1 cos θ1

), . . . ,

(cos θm sin θm− sin θm cos θm

))(d) Rzeczywista macierz kwaratowa A jest antysymetryczna jeśli istnieje macierz ortogonalna O t.że

OAOT = diag(

0, . . . , 0(

0 l1−l1 0

), . . . ,

(0 lk−lk 0

))1. Przestrzeń rzutowa

Niech k będzie ustalonym ciałem.

Definicja II.7. Projektywizacją P(V ) przestrzeni wektorowej V nad ciałem k nazywamy zbiór prostych

wektorowych w V .

Projektywizację P(V ) można utożsamiać z przestrzenią ilorazową

P(V ) = V \ {0}/ ≡

gdzie ≡ jest relacją równoważności x ≡ v ⇔ ∃λ ∈ k : λx = y na V \ {0}. Odwzorowanie ilorazowe

P : V \ {0} −→ P(V )

pozwala na przenoszenie dodatkowych struktur z przestrzeni wektorowej V na projektywizacje P(V ).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

38 1. Przestrzeń rzutowa

Ćwiczenie 2. Jeżeli V jest skończenie generowaną przestrzenią wektorową nad ciałem R lub C to to-

pologia normy na V indukuje topologię na projektywizacji P(V ). Udowodnić, że P(V ) jest zwartą i spójną

przestrzenią topologiczną.

Definicja II.8. Przestrzenią rzutową nad ciałem k nazywamy projektywizację dowolnej przestrzeni wek-

torowej nad k.

Wymiarem przestrzeni rzutowje P(V ) nazywamy liczbę

dimP(V ) := dimV − 1.

Podprzestrzenią rzutową przestrzeni rzutowejP(V ) nazywamy projektywizacjęP(W ) dowolnej podprze-

strzeni wektorowej W przestrzeni wektorowej V .

Przestrzeń rzutowa wymiaru 0 jest zbiorem jednoelementowym i będziemy ją (niezbyt precyzyjnie) na-

zywać punktem, przestrzeń rzutową wymiaru 1 nazywamy prostą rzutową, a wymiaru 2 płaszczyzną rzutową.

Lemat II.16. Jeśli P(W1) i P(W2) są podprzestrzeniami rzutowymi przestrzeni rzutowej P(V ) to

dim(P(W1) ∩P(W2)) + dim(P(W1 +W2)) = dim(P(W1)) + dim(P(W2)).

Wniosek II.17. Jeżeli dimP(W1) + dimP(W2) dimP(V ) to P(W1) ∩ P(W2) 6= ∅. W szczególności dwie

proste na płaszczyżnie przecinają się, prosta przecina hiperpłaszczyznę.

Definicja II.9. Podprzestrzenią rzutową przestrzeni P(V ) rozpiętą przez podzbiór A nazywamy naj-

mniejszą podprzestrzeń P(V ) zawierającą A.

Powyższa definicja ma sens gdyż przecięcie dowolnej liczby podprzestrzeni rzutowych jest podprze-

strzenią rzutową, ponadto podprzestrzeń rozpięta przezA jest równaP(Span(P−1(A))). Podprzestrzeń roz-

pięta przez dwie podprzestrzenie rzutowe P(W1) i P(W2) jest projektywizacją sumy algebraicznej P(W1 +

W2). Stąd wymiar podprzestrzeni rozpiętej przez P(W1) i P(W2) jest równy dim(P(W1)) + dim(P(W2)) −

dim(P(W1)∩P(W2)). A zatem dwa punkty rozpinają prosta, trzy punkty niewspółliniowe płaszczyznę, pro-

sta i punkt na niej nie leżący lub dwie proste przecinające się również płaszczyznę, natomiast dwie proste

rozłączne – podprzestrzeń wymiaru 3.

Odwzorowanie liniowe L : V1 −→ V2 indukuje odwzorowanie

P(L) : (V1 \P(KerL) −→ P(V2)

zwane projektywizacją L.

Jeżeli P(W ) ⊂ P(V ) jest podprzestrzenią rzutową przestrzeni rzutowej P(V ), to odwzorowanie

P(πW ) : P(V ) \P(W ) −→ P(V/W )

nazywamy rzutowaniem z podprzestrzeni P(W ).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Definicja II.10. Odwzorowaniem rzutowym nazywamy projektywizację dowolnego odwzorowania li-

niowego. Automorfizmem rzutowym przestrzeni rzutowejP(V ) nazywamy projektywizację automorfizmu

liniowego przestrzeni wektorowej V . Stąd

Aut(P(V )) ∼= Aut(V)/ ∼= P(GL(V )).

Definicja II.11. Hiperpłaszczyzną rzutową w przestrzeni rzutowej P(V ) nazywamy projektywizację

P(H) dowolnej hiperpowierzchni H w V .

Zbiór hiperpowierzchni wektorowych w V nazywamy przestrzenią rzutową dulaną doP(V ) i oznacza-

my P(V )∗.

Ponieważ hiperpłaszczyzna wektorowa w V jest zbiorem zer formy liniowej na V więc mamy naturalną

bijekcją

P(V ∗) −→ P(V )∗

gdzie V ∗ = Homk(V,k) jest przestrzenią wektorową nad k dualną do V .

Ustalmy hiperpłaszczyznę H ⊂ V oraz wektor v0 ∈ V \H . Odwzorowanie

φH,v0 : H 3 w 7−→ [w + v0] ∈ P(V ) \P(H)

jest bijekcją.

Ćwiczenie 3. Jeśli v0, v1 ∈ V \H to odwzorowanie

φ−1H,v1◦ φH,v0 : H −→ H

jest automorfizmem afinicznym.

A zatem na P(V ) \P(H) istnieje kanoniczna struktura przestrzeni afinicznej (ale nie wektorowej), mo-

żemy więc zapisać P(V ) = H ∪P(H). Czyli projektywizacja P(V ) jest “uzupełnieniem dowolnej hiperpo-

wierzchni w V o zbiór kierunków prostych w H”.

Definicja II.12. Domknięciem rzutowym V przestrzeni wektorowej V nazywamy przestrzeń rzutową

P(k⊕ V ).

Mamy więc V = V ∪ V∞, gdzie V∞ = P(V ).

Definicja II.13. Rzutowaniem z podprzestrzeni rzutowejP(W ) ⊂ P(V ) nazywamy odwzorowanie rzutowe

πW : P(V ) \P(W ) −→ P(V/W )

będące projektywizacją kanonicznego epimorfizmu V −→ V/W .

Definicja II.14. n–wymiarową przestrzenią rzutową nad ciałem k nazywamy przestrzeń rzutowąPn(k) :=

P(kn+1).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

40 1. Przestrzeń rzutowa

Niech (x0, . . . , xn) będą współrzędnymi na kn+1, oznaczmy przez {e0, . . . , en} bezę kanoniczną kn+1.

Dla punktu przestrzeni rzutowej nie mamy określonych wartości współrzędnych, a jedynie ich proporcje,

stąd też zwykle będziemy pisać (x0 : · · · : xn) zamiast [(x0, . . . , xn)] (współrzędne jednorodne).

W kn+1 mamy wyróznionych n+ 1 hiperpłaszczyzn “układowych”

Hi := {(x0, . . . , xn) : xi = 0} ∼= kn.

Oznaczmy Ui := Pn(k)\P(Hi) = {[x0 : · · · : xn] : xi 6= 0} oraz φi := φHi,ei . Z dokładnościa do oczywistego

izomorfizmu kn −→ Hi odwzorowanie φi jest dane wzorem

φi : kn 3 (x1, . . . , xn) 7→ [x1 : · · · : x1 : 1 : xi+1 : · · · : xn] ∈ Ui.

Ponieważ H0 ∩ · · · ∩Hn = ∅więc zbiory Ui tworzą (skończone) pokrycie afiniczne przestrzeni Pn.

Zauważmy, że φ−1j ◦ φi(x1, . . . , xn) = (x1xj , . . . ,

xj−1xj

, 1xj,xj+1xj

, . . . , xnxj ) , więc dla k = R,C przestrzeń

rzutowa Pn(k) jest rozmaitością.

Z równości Pn(k) = kn ∪Pn−1(k) otrzymujemy

Pn = k0 ∪ k1 ∪ · · · ∪ kn.

n = 0 P0(k) jest punktem.

n = 1 P1(k) = k = k ∪ {∞}.

Prosta rzutowa P1 powstaje ze sklejenia dwóch kopii prostej afinicznej k wzdłuż k∗ za pomocą odwzoro-

wania z 7→ 1z . A więc

P1(R) ∼= S1 (okrąg),

P1(C) ∼= S2 (sfera),

n = 2 Znacznie trudniej jest opisać płaszczyzne rzutową, np. P2(R) jest zwartą. nieoriontowalną

powierzchnią bez brzegu, w szczególności różni się ona istotnie od zespolonej prostej rzutowej.

Utożsamiając P1(k) z k łatwo stwierdzamy, że grupie automorfizmów rzutowych P1(k) odpowiadają

homografie na k. Pokazać, że

(a) homografie tworzą grupę,

(b) grupa homografii jest generowana przez translacje z 7→ z + τ i inwersję z 7→ 1z ,

(c) różne od stałej homografie mają co najwyżej 2 punkty stałe,

(d) jeśli z1, z2, z3 i w1, w2, w3 są dwiema trójkami punktów k (zi 6= zj , wi 6= wj dla i 6= j), to istnieje

jedyna homografia φ taka, że φ(zi = wi),

(e) Niech z1, z2, z3, z4 i w1, w2, w3, w4 będą dwiema czwórkami punktów k (zi 6= zj , wi 6= wj dla

i 6= j). Udowodnić, że istnieje homografia φ taka, że φ(zi = wi) wtedy i tylko wtedy gdyz1 − z3

z2 − z3:z1 − z4

z2 − z4=w1 − w3

w2 − w3:w1 − w4

w2 − w4

(wyrażenie powyżej nosi nazwę dwustosunku).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019


Uwaga. Jeżeli dwustosunek czwórki punktów wynosi λ, to dwustosunek dowolnej permutacji przyj-muje wartość λ, 1

λ , 1− λ,1

1−λ ,λλ−1 ,

λ−1λ . Dla jakich wartości λ zbiór ten ma mniej niż sześc elementów?

Propozycja II.18. Niech [v] ∈ P(V ) będzie punktem przestrzeni rzutowej. Wtedy istnieje naturalna bijekcjamiędzy zbiorem prostych w P(V ) zawierających [v] a przestrzenią rzutową P(V/kv).

Na przestrzeni rzutowej wielomian nie ma sensu. Jeśli Pk[X0, . . . , Xn], to P (X) i P (λX), nie mają zesobą żadnego związku. Jeśli jednak P jest wielomianem jednorodnym stopnia d, to P (λX) = λdP (X), więcma sens mówić, czy P znika w danym punkcie przestrzeni rzutowej.

Oznaczmy przez kd[X0, . . . , Xn] przestrzeń wektorową wielomianów jednorodnych stopnia d. Wtedyk[X0, . . . , Xn] =

⊕d0 kd[X0, . . . , Xn].

Ćwiczenie 4. Udowodnić, że dimk kd[X0, . . . , Xn] =(n+dd

)Niech V będzie przestrzenią wektorową wymiaru n nad R, wtedy

∧nV jest przestrzenią wektorową,

więc dla dowolnych dwóch baz e1, . . . , en, f1, . . . , fn istnieje λ ∈ R∗ takie, że

e1 ∧ · · · ∧ en = λf1 ∧ · · · ∧ fn,

λ jest wyznacznikiem macierzy przejścia między bazami.

Lemat II.19. Relacja w zbiorze baz przestrzeni skończnie wymiarowej V nadR: bazy e1, . . . , en, f1, . . . , fn jeślie1 ∧ · · · ∧ en = λf1 ∧ · · · ∧ fn, dla λ > 0 jest relacją równoważności.

Definicja II.15. Klasę abstrakcji powyższej relacji nazywamy orientacją, przestrzeń wektorową z wy-rółżnioną orientacją nazywamy zorientowaną. Dla przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej nad Ristnieją dwie orientacje.

Orientację przestrzeni euklidesowej możemy utożsamiać z wyborem jednej z dwóch baz unormowa-nych przestrzeni

∧nV .

Dla dowwolnej formy φ ∈∧p

V ∗ określiliśmy odwzorowanie

θφ :p∧3 v 7→ v⌟φ ∈

n−p∧V ∗

Definicja II.16. Niech V będzie zorientowaną przestrzenią euklidesową, {e1, . . . , en} bazą V dodatniozorientowaną, φ = e∗1 ∧ · · · ∧ e∗n.

Odwzorowanie

∗ :p∧V 7→

n−p∧V

określone jako złożenie odwzorowań θφ i izomorfizmu∧n−p

V ∗ −→∧n−p

V nazywamy odwzorwanim*–Hodge’a.

Lemat II.20. Gwiazdka Hodge’a jest izometrią, jeśli v1, . . . , vp są liniowo niezależne, to ∗(v1 ∧ · · · ∧ vp) =

w1 ∧ · · · ∧ wn−p, gdzie v1 ⊥ wj oraz G(v1, . . . , vp) = G(w1, . . . , wn−p).

Definicja II.17. Jeśli V jest zorientowaną przestrzenią euklidesową, to iloczynem wektorowym wekto-rów v1, . . . , vn−1 nazywamy wektor

v1 × · · · × vn−1 := ∗(v1 ∧ · · · ∧ vn−1).


Wer

sjaw

stępn

a 3lu

tego

2019

Literatura

[1] M. Artin, Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991.

[2] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN Warszawa 1976.

[3] G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej cz I i II, WNT Warszawa 2002.

[4] W. Brown, Matrices over commutative rings. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathe-

matics, 169. Marcel Dekker, Inc., New York, 1993.

[5] J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.

[6] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN Warszawa.

[7] Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1974.

[8] S. Roman, Advanced linear algebra. Graduate Texts in Mathematics, 135. Springer, New York, 2008.

42

Algebra liniowa 3 - sc.im.uj.edu.plsc.im.uj.edu.pl/images/videos/linalg.pdf · 2019 Notatki do...

Documents

Transcript of Algebra liniowa 3 - sc.im.uj.edu.plsc.im.uj.edu.pl/images/videos/linalg.pdf · 2019 Notatki do...