Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD 11...

Algebra liniowa z geometrią analityczną

15/15

WYKŁAD 11.

PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

Przekształcenie liniowe

Definicja

Przyporządkowanie wektorom nRv

wektorów kRvf

,

vfvf :

jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy:

kkkk vfcvfcvfcvcvcf 221111

Postać przekształcenia liniowego

neee ,,, 21 - baza kanoniczna w nR

Przyjmujemy:

nn wefwefwef

,,, 2211

dla dowolnego wektora n

n Rvvvv

,,, 21

nn evevevv 2211

Stąd )(vf

nn efvefvefv 2211 =

nn wvwvwv 2211 =

nnnnnn wvwvwvwv 111111 ,, =

vwww n21 , gdzie ijw jest j- tą współrzędną wektora iw

Definicja

Macierz fA postaci fA

nwww 21 nazywamy

macierzą przekształcenia f


15/15

Konstrukcja macierzy przekształcenia

f – przekształcenie liniowe

Krok 1. Znaleźć

nn wefwefwef

,,, 2211

Krok 2. Utworzyć macierz fA przez wpisanie jako jej kolejnych

kolumn wektorów nwww 21 tj.

nf wwwA 21

Wtedy vAvf f dla wektorów nRv

Podstawowe własności przekształcenia liniowego

Niech rząd rAf

Uwaga

Jeżeli f jest przekształceniem liniowym określonym na wektorach w nR o wartościach będących wektorami z mR , to macierz fA jest wymiaru mxn

Metoda eliminacji pozwala na doprowadzenie macierzy fA do postaci:

000

0

2

1

ra

a

a

operacje wierszowe nie zmieniają wartości wyznaczników, więc zachowują liniową niezależność

wektorów

Obliczamy

vAvf f

gdzie jako wektor

v przyjmujemy kolejno:


15/15

neee ,,, 21 nR

Stąd

1q

1

2

1

000

0e

a

a

a

r

0,,0,1 a

0,,0,,0 22 aq

0,,0,,0,0 33 aq

................................

0,0,,0,,0 rr aq

0,,0,0 - (m-r) wierszy

Każdy wektor )(vf jest kombinacją liniową wektorów

rqqq ,,, 21

Oznaczenia

Obraz mR przez przekształcenie f - rng(f) (zbiór wektorów postaci f(v) w Rn)

Baza w rng(f) (inaczej: wymiar algebraiczny) - dimrng(f)

Twierdzenie

rząd fA =dimrng(f)

Algorytm dla bazy w rng(f)

Krok 1. Wykonaj operacje wierszowe metody eliminacji na fA .

Zapisz współczynniki główne raaa ,,, 21 .

Utwórz wektory rqqq ,,, 21 .


15/15

Krok 2. Utwórz macierz

rqqqB 21 .

Wykonaj w B operacje wierszowe odwrotne do operacji w Krok 1. I w odwrotnej kolejności.

Zapisz otrzymaną macierz C.

Wynik: Kolumny macierzy C tworzą bazę w rng(f)

Definicja

Jądrem przekształcenia liniowego Ker(f) nazywamy zbiór tych wszystkich wektorów z nR dla których

0)( vf

zatem

0)( vAfKerv f

Wektory z Ker(f) są rozwiązaniami układu równań

0vAf

Oznaczenie: dimKer(f) – wymiar algebraiczny Ker(f)

Twierdzenie

DimKer(f)=n-r=n-rząd fA

Twierdzenie

n=dimrgn(f)+dimKer(f)=rząd fA + dimKer(f)

Przykłady przekształceń liniowych

Rzutowanie wektora na podprzestrzeń rozpiętą na wektorach n

k Rvvv

,,, 21

kk vvvvvvvvvvf ,,,)( 2211

Np.: Dla ],0,1,0[],0,0,1[ 2211

evev Dowolny wektor ],,[ cbav

jest przekształcony


15/15

następująco:

]0,,[,,)( 212211 baebeaeeveevvf

Zatem:

]0,,[]),,([ bacbaf

f „wybiera” z

v pierwsze dwie współrzędne, rzutując na płaszczyznę ),( 21

eeP

Obrót w 2R o kąt

Przyporządkowanie:

21

2

21 ,],[ vvfRvvv

2

1

21cossin

sincos,

v

vvvf

Własności macierzy przekształcenia

A =

cossin

sincos

(a) det 1A

(b) Kolumny macierzy A są ortogonalne i mają długość 1

(c) Wiersze macierzy A są ortogonalne i mają długość 1

Definicja

Macierze spełniające (a)-(c) - macierze ortonormalne

Definicja

Macierze spełniające następujące własności nazywane są macierzami ortogonalnymi:

(a) det 1A lub det 1A

(b) Kolumny macierzy A są ortogonalne

(c) Wiersze macierzy A są ortogonalne


15/15

Wartości Własne i Wektory Własne

Definicja

Endomorfizmem liniowym przestrzeni V nazywamy przekształcenie liniowe VVf : .

Uwaga

Macierz endomorfizmu jest macierzą kwadratową.

Definicja

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, wówczas:

Wektor V nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f, jeśli 0 oraz isnieje K takie, że f() =

.

Liczbę nazywamy wartością własną endomorfizmu f.

Wektor własny endomorfizmu (przekształcenia liniowego) =

wektor własny macierzy przekształcenia

Wartość własna endomorfizmu (przekształcenia liniowego) =

wartość własna macierzy przekształcenia

Przykład 1 33: RRf , zxzyxzyxzyxf 27 ,3 ,22,,

Wówczas f((1, 1, 1)) = (5, 5, 5) = 5(1, 1, 1)

Wartość własna: 5

Wektor własny: (1, 1, 1)

Przykład 2

Niech VVf : będzie jednokładnością o skali , tzn.

fV

Wówczas każdy wektor V ( 0) jest wektorem własnym tego przekształcenia o wartości własnej .


15/15

Przykład 3

Niech 22: RRf będzie obrotem o kąt 2

, czyli

xyyxf ,,

To przekształcenie nie ma żadnych wartości własnych,

tzn. żaden wektor nie przechodzi na swoją wielokrotność.

Znajdowanie wektorów i wartości własnych

Niech

f – przekształcenie liniowe o macierzy

nnn

n

aa

aa

A

...

.........

...

1

111

nx

x

X ...

1

- przedstawia w zapisie macierzowym wektor

nxxx ,...,1

ny

y

Y ...

1

przedstawia w zapisie macierzowym wektor nyyy ,...,1

będący obrazem wektora x .

PROBLEM

Znaleźć niezerowy wektor x , którego obraz

y jest jego liniową wielokrotnością .

Mamy więc rozwiązać równanie macierzowe:

AX = X,

czyli

0 XIA lub

0

...

0

0

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

nnnnn

n

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Niezerowe rozwiązanie równania 0 XIA , istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz IA jest

nieosobliwa, czyli gdy jej wyznacznik jest równy 0.


15/15

Definicja

Równanie 0

...

............

...

...

det

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

nazywamy

równaniem charakterystycznym macierzy A.

Twierdzenie

Pierwiastki równania charakterystycznego są wartościami własnymi macierzy A.

Przykład 1

Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia f o macierzy

53

35fA

Z równania charakterystycznego

082

10910259553

35222

Wartości własne macierzy: 1=2, 2=8.

Znajdowanie wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym:

dla każdej wartości własnej rozwiązujemy równanie

0 XIA

Dla 1=2 otrzymujemy:

0

0

253

325

y

x, czyli

0

0

33

33

y

x

Rozwiązując układ równań:

033

033

yx

yx

otrzymujemy np. wektor

1

11X .

Wszystkie wektory równoległe do tego wektora są wektorami własnymi. Wybieramy po prostu

reprezentanta.


15/15

Dla 1=8 otrzymujemy układ:

033

033

yx

yx

co daje np. wektor

1

12X .

Przykład 2


20

52fA


22202

20

52

otrzymujemy jedną podwójną wartość własną tej macierzy:

1=2=2.

Znajdujemy wektory własne odpowiadające tej wartości własnej:

Aby znaleźć pierwszą wartość własną rozwiązujemy równanie XIA 0

Załóżmy, że znaleźliśmy wartość własną X1.

Aby znaleźć drugą wartość własną rozwiązujemy równanie

XIA X1

Czyli dla 1=2=2:

0

0

220

522

y

x, stąd

0

0

00

50

y

x


00

05y


15/15


0

11X .

Teraz musimy rozwiązać równanie:

0

1

220

522

y

x, stąd

0

1

00

50

y

x



51

12X .

Przykład 3


776

874

431

fA


031

35712156)7(24

112144771

776

474

431

2

23

Wartość własna podwójna: 1=2= -1 oraz pojedyncza: 3= 3

Znajdujemy wektory własne odpowiadające wartości własnej 1=2= -1:

00

15y


15/15

0

0

0

1776

8174

4311

z

y

x

stąd

0

0

0

876

864

432

z

y

x

Po eliminacji:

0

0

0

000

420

432

z

y

x


dowolne

2

00

042

0432

z

zy

zx

zy

zyx


1

2

1

1X - wektor własny

Teraz musimy rozwiązać równanie:

1

2

1

1776

8174

4311

z

y

x

stąd

1

2

1

876

864

432

z

y

x

Po eliminacji:

2

0

1

000

420

432

z

y

x



15/15

dowolne

21

1

00

242

1432

z

zy

zx

zy

zyx


1

1

0

2X - wektor własny

Pozostało jeszcze znaleźć wektory własne odpowiadające wartości własnej 3=3:

0

0

0

3776

8374

4331

z

y

x

stąd

0

0

0

476

8104

432

z

y

x

Po eliminacji:

0

0

0

000

110

432

z

y

x


dowolne

2

00

0

0432

z

zy

zx

zy

zyx


2

2

1

1X .

Przykład 4

Niech 22: RRf będzie obrotem o kąt 2

, czyli przekształceniem liniowym o macierzy

01

10A .


101

102


15/15

nie otrzymujemy pierwiastków rzeczywistych, a zatem:

obrót nie ma wektorów własnych na płaszczyźnie.

Twierdzenie

Jeśli wartości własne są różne, to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne.

Twierdzenie Jordana

Macierz kwadratowa A jest w postaci Jordana (jest macierzą Jordana), jeśli:

kA

A

A

A

0

...

0

2

1

,

gdzie każda z macierzy Ak jest kwadratowa i ma postać:

j

j

j

a

a

a

0

1...

...

01

Macierze Ak nazywamy klatkami Jordana macierzy A.

Uwaga

a1, a2, ... a k występujące w macierzy Jordana są jej wartościami własnymi.

Twierdzenie

Niech A będzie macierzą kwadratową.

Niech B będzie macierzą w postaci Jordana podobną do A.

Niech K będzie wartością własną macierzy A.

Niech am=rz(A-aI)m, a0 = n.

Wówczas: am-1 – am 0

am-1 – am jest liczbą klatek Jordana rozmiaru m w macierzy B, zawierających wartość własną .


15/15

Znajdowanie macierzy Jordana dla macierzy A

Przykład 1

Znaleźć macierz Jordana dla macierzy

53

35fA .

Ponieważ wartości własne były pojedyncze

(1=2, 2=8) macierz Jordana możemy zapisać natychmiast:

80

02B

Przykład 2


20

52fA .

Wartość własna macierzy: 1=2= 2.

Zatem obliczamy:

a0=2(wymiar macierzy)

a1=1 (rząd macierzy IA =

00

50)

a0 - a1 =1

Liczba klatek rozmiaru 1 wynosi 1, czyli macierz Jordana jest postaci:

20

12B

Przykład 3


776

874

431

fA .

Wartość własna macierzy: 1=2= -1

Zatem obliczamy:

a0=3(wymiar macierzy)

a1=2 (rząd macierzy IA =

000

420

432

)

a0 - a1 =1


15/15

Liczba klatek rozmiaru 1 wynosi 1, czyli macierz Jordana jest postaci:

300

010

011

B .

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD 11...

Documents

Transcript of Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD 11...