Przekształcenia całkowe

Wykład 1

Przekształcenia całkowe

Tematyka wykładów:

1. Liczby zespolone- wprowadzenie,- funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej,- funkcja zespolona zmiennej zespolonej.

2. Przekształcenie Laplace’a- przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe

własności,- wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace’a) gdy

znany jest oryginał,- przekształcenie odwrotne względem przekształcenia

Laplace’a i jego własności,

Przekształcenia całkowe

- wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata Laplace’a (metoda rozkładu na ułamki proste, metoda splotu),

- wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych rzędu n oraz układów równań różniczkowych liniowych przy danych warunkach początkowych,

- równania całkowe (układy) typu splotu.3. Szeregi Fouriera

- wprowadzenie,- rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.

Przekształcenia całkowe

Literatura:

1. Kącki E., Siewierski L. „Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami” Warszawa 1975.

2. Kącki E. „Równania rócznikowe cząstkowe w elektrotechnice” Warszawa 1971.

3. Ditkin W.A., Prudnikow A.P. „ Przekształcenia całkowe i rachunek operatorowy” Warszawa 1964.

1. Wprowadzenie

Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:

gdzie: a - część rzeczywista (realis – Re) liczby zespolonej,b – część urojona (imaginarius – Im) liczby zespolonej,i – jednostka urojona.

np.:

z a bi= +

2 2 , 3 , .z i z i z i= + = − − =

Liczby zespolone

Liczby zespolone

Postać liczby nazywamy postacią algebraiczną lub kanoniczną. Podstawowa własność jednostki urojonej:

Interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest punkt na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna –części urojonej tejże liczby.

z a bi= +

2 1 1i i= − − =

Liczby zespolone

Wartością bezwzględną (modułem ) liczby zespolonejnazywamy następującą liczbę:z a bi= +

Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki ten promień tworzy z osią odciętych.

Liczby zespolone

2 2z a bi a b r= + = + =

2 22 2 2 2 8z i z= + → = + =np.

Liczby zespolone

Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

11

2 2

z z z z z zz z z z

zzz z

− ≤ ± ≤ +

⋅ = ⋅

=

Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę:

np.

z z a bi= +

z a bi= −

2 2 2 2 , 3 3z i z i z i z i= + → = − = − − → = − +

Liczby zespolone

Własności sprzężenia liczb zespolonych:

2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 12

2 2

, 0

z z

z z z

z z z z

z z z z

z z zz z

=

⋅ =

± = ±

⋅ = ⋅

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb rzeczywistych , zatem zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych oraz działania arytmetyczne definiuje się następująco:

2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych

1z a bi= + 2z c di= +

Dodawanie:

Liczby zespolone

( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + +

np.

( ) ( ) ( )1 2

1 2

2 2 , 1 32 2 1 3 2 1 2 3 1

z i z iz z i i i i

= + = − −

+ = + + − − = − + − = −

Liczby zespolone

Odejmowanie:

( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + −

np. ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 3 2 1 2 3 3 5z z i i i i− = + − − − = + + + = −

Mnożenie:

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1a bi c di ac ad i bci bd i

ac ad bc i bd ac bd ad bc i+ ⋅ + = + + + =

= + + + ⋅ − = − + +

Liczby zespolone

( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 3 2 6 6 2 4 8z z i i i i⋅ = + − − = − + + − − = −⋅np.

Dzielenie:

Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbęsprzężoną z mianownikiem.

( )( )

( )( )

( )2 2 , 0

a bi c di ac bd bc ad ia bi c dic di c di c di c d

+ − + + −+= ⋅ = + ≠

+ + − +

( )( ) ( )

12 2

2

2 6 2 62 2 2 2 1 31 3 1 3 1 3 1 3

8 4 8 410 10 10

iz i i iz i i i

i i

− − + − ++ + − += = ⋅ = =− − − − − + − + −

− += = − +

Liczby zespolone

np.

Liczby zespolone

3. Postaci liczb zespolonych

Postać algebraiczna liczby zespolonej:

Re Imz a bi

a z b z= +

= =

2 3z i= −np.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej:

( )cos sinz z iϕ ϕ= + ( )cos sinz r iϕ ϕ= +lub

gdzie: - moduł z liczby zespolonej (długość promienia

wodzącego), φ - kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym

(argument liczby zespolonej).

z

Liczby zespolone

2 2cos a a a

r z a bϕ = = =

+

2 2sin b b b

r z a bϕ = = =

+

Przykład 1Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną

1 .z i= +

2 21 1 2

1 2cos22

41 2sin22

z

ϕπϕ

ϕ

= + =

⎫= = ⎪⎪→ =⎬

⎪= = ⎪⎭

Liczby zespolone

2 cos sin4 4

z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Liczby zespolone

Postać wykładnicza liczby zespolonej:iz z eϕ= iz r eϕ= ⋅lub

Przykład 2Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną

1 3.z i= +

( )221 3 4 2z = + = =

3

1cos2

33sin2

2i

z eπ

ϕπϕ

ϕ

⎫= ⎪⎪→ =⎬⎪= ⎪⎭

=

Liczby zespolone

Liczby zespolone

4. Wzory Moivre’a

Wzory Moivre’a opisują mnożenie , dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych

orazodpowiednie działania algebraiczne definiuje się następująco:

( )1 1 1cos sinz r iϕ ϕ= + ( )2 2 2cos sinz R iϕ ϕ= +

Mnożenie:( ) ( )

( ) ( )[ ]1 1 2 2

1 2 1 2

cos sin cos sin

cos sin

r i R i

rR i

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ ⋅ + =

= + + +

Liczby zespolone

Dzielenie:

( )( )

( ) ( )[ ]1 11 2 1 2

2 2

cos sincos sin

cos sinr i r iR i R

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ+

= − + −+

Potęgowanie:

( )[ ] ( )1 1 1 1cos sin cos sinn nr i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +

Przykład 3Obliczyć korzystając ze wzorów Moivre’a( )101 i+

Liczby zespolone

Liczby zespolone

( )[ ]

2 2

101010

1

1 1 2

1 2cos22

41 2sin22

cos sin 2 cos sin4 4

z i

z

z z i i

ϕπϕ

ϕ

π πϕ ϕ

= +

= + =

⎫= = ⎪⎪→ =⎬

⎪= = ⎪⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1012

5

5

5 5

0 1

10 102 cos sin4 4

5 52 cos sin2 2

2 cos 2 sin 22 2

2 cos sin 2 322 2

i

i

i

i i i

π π

π π

π ππ π

π π

⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Liczby zespolone

5. Wzory Eulera

Wzory Eulera określają zależność między izie sin , cos .z z

Liczby zespolone

cos sin

cos2

sin2

zi

zi zi

zi zi

e z i ze ez

e ezi

−

−

= +

+=

−=

6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się tejże liczbie zespolonej z .

Liczba 0 ma przy dowolnym n jeden pierwiastek n-tego stopnia równy 0.

Jeżeli i , to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n–tego stopnia z liczby zespolonej z.

( )cos sin 0z z iϕ ϕ= + ≠ Nn∈

Liczby zespolone

Liczby zespolone

Są nimi liczby:

dla

2 2cos sinnk

k kw z in n

ϕ π ϕ π+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

0,1,2,..., 1k n= −

Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby:

2 2cos sinkk kin nπ πε = +

0,1,2,..., 1k n= −dla

Liczby zespolone

Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n różnych wartości. W interpretacji geometrycznej punkty wk są wierzchołkami n-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0).

Przykład 4Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone oraz podać ich interpretację geometryczną.

4 1−

40

11

cos 1sin 0

2 2cos sin , 4, 0,1,2,3

2 21 cos sin4 4 2 2

nk

zz

k kw z i n kn n

w i i

ϕϕ π

ϕϕ π ϕ π

π π

= −

=

= − ⎫→ =⎬= ⎭

+ +⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Liczby zespolone

41

42

2 2 3 31 cos sin cos sin4 4 4 4

2 2cos sin cos sin4 4 4 4 2 2

4 4 5 51 cos sin cos sin4 4 4 4

2 2cos sin cos sin4 4 4 4 2 2

w i i

i i i

w i i

i i i

π π π π π π

π π π ππ π

π π π π π π

π π π ππ π

+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Liczby zespolone

Liczby zespolone

43

6 6 7 71 cos sin cos sin4 4 4 4

2 2cos 2 sin 2 cos sin4 4 4 4 2 2

w i i

i i i

π π π π π π

π π π ππ π

+ +⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Liczby zespolone

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone

Wszystkie pierwiastki zespolone tworzą czworokąt foremny – kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie (0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi . Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest

czyli 1.

4 1−

2

z

Przekształcenia całkowe

Dziękuję za uwagę