Liczby zespolone
description
Transcript of Liczby zespolone
Liczby zespolonePrezentację wykonali uczniowie Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych w Szczucinie:
Sławomir Babiec
Tomasz Warzecha
Krystian Kapel
Marcin Grzesiak
autor i opiekun pracy:
mgr inż. Ryszard Chybicki
Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych
W Szczucinie
Dwie liczby zespolone (a, b) i (c, d) są sobie równe, gdy a= c i b= d
Suma dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona określona w następujący sposób:
Iloczyn dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona, powstała w wyniku mnożenia określonego w następujący sposób:
),(),(),( dbcadcba df
),(),(*),( bcadbdacdcba df
Powyższe trzy właściwości stanowią aksjomaty liczb zespolonych to znaczy przyjmowane są bez dowodu
Właściwości liczb zespolonych:
Równość liczb zespolonych jest:
zwrotna - tzn. (a,b)=(a,b) symetryczna - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) to (c, d)=(a,b) przechodnia - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) i (c, d)=(e, f)
to (a, b)=(e, f)
Dodawanie liczb zespolonych jest:
przemienne - tzn: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
łączne - tzn: [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]
Mnożenie liczb zespolonych jest:
przemienne - tzn.: (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b)
łączne - tzn.: [(a, b)(c, d)](e, f) = (a, b)[(c, d)(e, f)]
rozdzielne względem dodawania - tzn.: [(a, b) + (c, d)](e, f) = (a, b)(e, f) + (c, d)(e, f)
Różnica liczb zespolonych Spróbujmy rozwiązać następujące równanie:
(c, d) + (x, y) = (a, b)
w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą:
mamy:
(c, d) + (x, y) = (c + z, d + y) = (a, b)
stąd:
c + z = a , d + y = b
czyli:
x = a - c , y = b - d
Rozwiązanie równania (liczbę (x, y)) oznaczamy (a, b) - (c, d) i nazywamy
różnicą liczb zespolonych
(a, b) - (c, d) = (a- c, b- d)
Definiujemy ją jako rozwiązanie równania.
(a, b) + (x, y) = (a, b)
czyli zerem jest liczba (0, 0)
Odejmowanie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych.
Zbiór liczb zespolonych zawiera także liczbę zero.
Iloraz liczb zespolonychSpróbujmy rozwiązać następujące
równanie:
(c, d)(x, y) = (a, b)
w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą.
Mamy:
(c, d)(x, y) = (cx - dy, cy + dx) = (a, b)
stąd;
cx – dy = a i cy + dy = b
Rozwiążmy układ tych dwóch równań z dwiema
niewiadomymi: Obliczmy y z pierwszego równania i
podstawmy do drugiego:
wstawiając wyznaczony x otrzymamy że:
22 dc
adbcy
d
acxy
bdx
d
acxc
)( 22 dc
bdacx
Zatem to jedyne rozwiązanie równania(czyli liczbę zespoloną (x, y)) oznaczamy
nazywamy ilorazem liczb zespolonych:),(
),(),(
dc
baya
)0,0(),( dc ),(),(
),(2222 dc
adbc
dc
bdac
dc
ba
Oczywiście dzielenie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych oprócz przypadku, gdy dzielnik jest zerem.
Liczbę (a, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą a czyli:
aa df)0,(
Jest to możliwe dlatego, że liczba (a, 0) ma własności liczby rzeczywistej:
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0)
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)
Nie można tego zrobić z liczbami typu (0, a), (0, b)
bo np.:
(0, a)(0, b) = (- ab, 0)
i
(0, a) + (0, b) = (0, a + b)
zatem nie ma analogii w przypadku liczb typu
(0, a) i (b, 0)
Należy zwrócić uwagę na następujące działanie:
(0, a) = (a, 0)(0, 1) = (0, 1)(a, 0)
oznaczmy
zatem
oznaczamy :
jaaja df )0,(),0(
2j
1)0,1()1,0)(1,0(2 dfj
jdf)1,0(
Postać kanoniczna liczby zespolonej.Korzystając z poprzednich równań o liczbach
zespolonych spróbujmy zapisać liczbę (a, b) bez nawiasów:
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) =
a + (0, 1)(b, 0) = a + jb
czyli
(a, b) = a + jb
Postać a+jb nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej
(a,b)
A = re (a + jb) - część rzeczywista liczby zespolonej
B = im (a + jb) część urojona liczby zespolonej
Liczbę zespoloną, której część urojona jest zerem, nazywamy liczbą rzeczywistą.
Liczbę zespoloną, której część rzeczywista jest zerem, nazywamy liczbą urojoną.
Od tej pory liczby zespolone będziemy oznaczać literą „z” z indeksem:
z = x + jy
np.
555 jyxz .itp
Liczby zespolone podlegają działaniom identycznym jak
liczby rzeczywiste np.:
Jeżeli i to
Jeżeli to
Jeżeli to
02 z 0zzz
zz
z
z
2
1
2
1
02 z2
12
1 1
zz
z
z
0, 42 zz42
3241
4
3
2
1
zz
zzzz
z
z
z
z
Liczba sprzężona
Każdej liczbie zespolonej z można podporządkować liczbę z
nią sprzężoną z
Jeżeli z = re(z) + im(z) to
z powyższego wynika, że jeżeli
to
iloczyn
)()( zimzrez
21 zz 12 zz
0))(( 22 yxjyxjyxzz
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
)Re(z
)Im(z
y
0 x
sinr
cosr
ryxz 22
Modułem liczby zespolonej
z= x + jy nazywamy nieujemną liczbę
rzeczywistą :
Argumentem liczby zespolonej z = x + jy
nazywamy miarę kąta, jaki tworzy wektor z z osią Re(z) (rys.)
22 yxz
Istnieje nieskończenie wiele miar kątów, jakie tworzy wektor z z osią x, różniących się wielokrotnością kąta 2 Stąd też istnieje nieskończenie wiele argumentów liczby zespolonej z. Jednak ten kąt, którego miara zawiera się w przedziale
(-
nosi nazwę argumentu głównego liczby zespolonejz i dla odróżnienia od pozostałych argumentów oznaczamy go dużą literą:
Arg(z)
Korzystając z tych zależności można zapisać trygonometryczną postać liczby zespolonej:
)sin(cossincos rjrrjyxz
Mnożenie liczb zespolonych Niech będą dane
i
obliczamy iloczyn :
)sin(cos 1111 jrz )sin(cos 2222 jrz
)sin)(cossin(cos 22112121 jjrrzz
)]cossincos(sin)sinsincos[(cos 122212121 jrr
)]sin()[cos( 212121 jrr
Z powyższego wynika, że:
i
Bardzo prosto można wykazać, że iloczyn skończonej liczby liczb
zespolonej wynosi:
2121 zzzz 2121 ArgzArgzzzArg
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk ZArgZZZ
1111
Arg i
Potęgowanie jest szczególnym przypadkiem mnożenia, korzystając z
powyższego wzoru mamy:
i czyli
nn zz nArgzArgz n
))sin()(cos(])sin(cos[ njnrjr nn
gdy r = 1 to
Wzór Moivre’a
Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:
)sin()cos()sin(cos njnj n
n
k
knknk jk
nnjn
0
)()( sincos)()sin()cos(
Dzielenie liczb zespolonychOznaczamy
czyli
zz
11
11 zz 011 j 01Arg
111 zzzz 0)( 11 ArgzArgzzzArg
zz
z1
)1
(1 i
)sin(cos1
)sin(cos
1
jrjr
:np
zArgzArg 1
Twierdzenie ogólne o dzieleniu otrzymamy pisząc:
W wyniku otrzymamy liczbę zespoloną, której:
21
2
1 1
zz
z
z
2
1
21
21
21
2
1 111
z
z
zz
zz
zz
z
z
212
12
12
1 1)
1()( ArgzArgz
zArgArgz
zzArg
z
zArg
:np )]sin()[cos()sin(cos
)sin(cos2121
2
1
222
111
jr
r
jr
jr
Pierwiastek z liczby zespolonej
Niech:
Znaczy to, że
n jrjR )sin(cos)sin(cos
n kjkr )2sin()2[cos(
njRjr ]sin(cos[)sin(cos
Zgodnie z zasadami potęgowania
Zatem
A stąd wynika że:
)]sin()[cos()]sin(cos[ njnRjR nn
)]sin()[cos()sin(cos njnRjr n
n rR
knnk
2 bo
)2cos(cos
)2sin(sin
k
k
Ponieważ:
Więc gdy k=n to pierwiastki by się powtarzały. Istnieje zatem „n” różnych pierwiastków z liczby
knnk
2
n jr )sin(cos
Ostatecznie
)]2
sin()2
[cos()sin(cos knn
jknn
rjr nn
gdzie
)1,...(1,0 nk
Koniec prezentacji