Publikacja opracowana podczas realizacji projektu „Plan Rozwoju Politechniki Częstochowskiej”

współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ

Tadeusz Konik

2

Spis treści

Rozdział I. Wielomiany 3

1. O wielomianach i równaniach algebraicznych 3 2. Funkcje wymierne 4

Rozdział II. Liczby zespolone 6

1. Określenie i postać kanoniczna liczby zespolonej 6 2. Moduł i sprzężenie liczby zespolonej 8 3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 9 4. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 11 5. Postać wykładnicza liczby zespolonej 14

Rozdział III. Macierze, wyznaczniki i układy równań liniowych 15

1. Macierze 15 2. Wyznaczniki 18 3. Macierz odwrotna, rząd macierzy 23 4. Układy równań liniowych 26

Rozdział IV. Geometria analityczna 33

1. O przestrzeni Euklidesa 33 2. Elementy rachunku wektorowego 34 3. Iloczyn skalarny w przestrzeni 3R 37 4. Iloczyn wektorowy w przestrzeni 3R 39 5. Iloczyn mieszany w przestrzeni 3R 41 6. Płaszczyzna w przestrzeni 3R 43 7. Prosta w przestrzeni 3R 47 8. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 3R 49 9. Odległości punktu od płaszczyzny i prostej, odległość prostych skośnych 50 10. Powierzchnie w przestrzeni 3R 53

3

I WIELOMIANY

1. O wielomianach i równaniach algebraicznych Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych postaci: N { }... ,3 ,2 ,1 ,0 = .

Definicja 1.1. Funkcję rzeczywistą określoną wzorem

( ) 011

1 axaxaxaxW nn

nnn ++++= −

− ... , gdzie 0≠na , ,N∈n (1.1)

nazywamy wielomianem n-tego stopnia zmiennej x . Liczby rzeczywiste naaa , ... , , 10 nazywamy współczynnikami wielomianu. Współczynnik 0a

nazywamy wyrazem wolnym tego wielomianu. Dziedziną wielomianu jest zbiór R liczb rzeczywistych. Jeśli ( ) ,0=aWn to liczbę rzeczywistą a nazywamy pierwiastkiem wielomianu ( ). xWn

Twierdzenie 1.1 (Bézouta). Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez dwumian ax − .

Jeśli wielomian ( )xWn jest podzielny przez ( )kax − i nie jest podzielny przez ( ) 1+− kax , to liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Liczbę k nazywamy krotnością pierwiastka a. Jeśli nxxx , ... , , 21 są różnymi pierwiastkami wielomianu ( )xWn , to wielomian ten można zapisać w postaci ( ) ( )( ) ( )nnn xxxxxxaxW −⋅⋅⋅−−= 21 . (1.2)

Prawą stronę równości (1.2) nazywamy postacią iloczynową wielomianu. Jeśli

( ) 0=xWn dla dowolnego ∈x R, to mówimy, że wielomian ten jest tożsamościowo równy 0, co zapisujemy: ( ) 0≡xWn .

Twierdzenie 1.2 (o rozkładzie wielomianu na czynniki). Każdy wielomian ( )xWn , który nie jest tożsamościowo równy 0, jest iloczynem czynników co najwyżej drugiego stopnia. Niech ( )xWn będzie wielomianem stopnia stopnia 1≥n zmiennej x .

Definicja 1.2. Równanie postaci

( ) 0=++++= 011−

1− axa...xaxaxW nn

nnn , (1.3)

nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n lub krócej, równaniem n-tego stopnia. Twierdzenie 1.3. Każde równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych pierwiastków. Twierdzenie 1.4. Jeśli liczba całkowita 0≠a jest pierwiastkiem równania (1.3) o całkowitych współczynnikach naaa , ... ,, 10 , to a jest podzielnikiem wyrazu wolnego 0a .

Z twierdzenia tego wynika: Wniosek 1.1. Liczba całkowita 0≠a może być pierwiastkiem równania (1.3) o całkowitych współczynnikach naaa , ... , , 10 , jeśli jest podzielnikiem wyrazu wolnego 0a .

Twierdzenie 1.5. Jeśli liczba wymierna (nieskracalna) 0≠qp jest pierwiastkiem równania (1.3) o

współczynnikach całkowitych naaa , ... , , 10 , gdzie 0≠⋅0 naa , to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego

0a , natomiast q podzielnikiem współczynnika na .

Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek:

4

Wniosek 1.2. Liczba wymierna (nieskracalna) 0≠qp może być pierwiastkiem równania (1.3) o

współczynnikach całkowitych naaa , ... , , 10 , gdzie 0≠⋅0 naa , jeśli p jest podzielnikiem wyrazu wolnego 0a , natomiast q podzielnikiem współczynnika na .

2. Funkcje wymierne Niech ( )xVm i ( )xWn będą wielomianami odpowiednio stopni m i n.

Definicja 2.1. Funkcję postaci

( ) ( )( )xWxVxf

n

m= , (2.1)

gdzie wielomian ( )xWn nie jest tożsamościowo równy 0, nazywamy funkcją wymierną. Jeśli nm < , to funkcję ( )xf nazywamy funkcją wymierną właściwą, w przypadku przeciwnym, funkcją wymierną niewłaściwą. Każdą funkcję wymierną niewłaściwą ( )xf można zapisać w postaci:

( ) ( ) ( )( )xWxR

xPxfn

knm += − , (2.2)

gdzie nk < oraz ( )xP nm− i ( )xRk są wielomianami odpowiednio stopni nm − i k . Stąd oraz z podanej wyżej definicji wynika, że funkcja

( ) ( )( )xWxRxh

n

k= , (2.3)

w równaniu (2.2) jest funkcją wymierną właściwą. Definicja 2.2. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne właściwe postaci:

( )kax

A−

, ( )kqpxx

CBx

++

+2

, (2.4)

gdzie , 042 <− qp 1≥k oraz ∈qpaCBA ,,,,, R.

Dla funkcji wymiernych właściwych można wykazać następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.1. Każda funkcja wymierna właściwa da się przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Rozkładając, na podstawie Twierdzenia 1.2, wielomian ( )xWn na czynniki otrzymamy

( )xWn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .qxpxqxpxqxpxxxxxxxa skssknβββααα ++⋅⋅⋅++++−⋅⋅⋅−−= 2

222

112

21 2121

Stąd i z Twierdzenia 2.1 dla nm < , otrzymamy następujący rozkład funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste:

( )( ) = xWxV

n

m

( ) ( ) 1

1

1

12

1

12

1

11

−+⋅⋅⋅+

−+

− αα

xx

A

xxA

xxA

+ ( ) ( ) 2

2

2

22

2

22

2

21

−+⋅⋅⋅+

−+

− αα

xx

A

xxA

xxA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) ( ) 2

221

αα

k

k

k

k

k

k

xx

A

xxA

xxA k

−+⋅⋅⋅+

−+

−+

+ ( ) ( ) 1

11

112

112

112

1212

112

1111

++

++⋅⋅⋅+

++

++

+++

βββ

qxpx

CxB

qxpx

CxBqxpx

CxB

5

+ ( ) ( ) 1

22

222

222

222

2222

222

2121

++

++⋅⋅⋅+

++

++

+++

βββ

qxpx

CxB

qxpx

CxBqxpx

CxB

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ ( ) ( ) 1++

++⋅⋅⋅+

++

++

+++

222

222

11β

ββ

ss

ss

ss

ss

ss

ss

qxpx

CxB

qxpx

CxBqxpx

CxB ss , (2.5)

gdzie

ssk ssk CCBBAA ββα , ... , ,, ... , ,, ... , 111111 . (2.6) są pewnymi stałymi.

Mnożąc równość (2.5) przez wielomian ( )xWn , następnie grupując prawą stronę względem potęg ( )m...jx j , ,2 ,1 ,0 = i porównując współczynniki przy tych samych potęgach jx po lewej i prawej

stronie tej równości wyznaczymy stałe (2.6).

Przykład 2.1. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną

24

3

+1+4+6

xxxx . (2.7)

Korzystając ze wzoru (2.5) mamy

( ) 1++

++=1+1+4+6

=+

1+4+62222

3

24

3

xDCx

xB

xA

xxxx

xxxx . (2.8)

Mnożąc tą równość przez ( )1+22 xx otrzymamy

( ) ( ) ( ) 2223 ++1++1+=1+4+6 xDCxxBxAxxx

2323 +++++= DxCxBBxAxAx

( ) ( ) BAxxDBxCA +++++= 23 .

Porównując współczynniki przy tych samych potęgach x po lewej i prawej stronie tej równości otrzymamy następujący układ równań liniowych:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=+=+

.BA

DBCA

14

06

Rozwiązując ten układ otrzymamy, że: .DCBA 1−=2=1=4= i , ,

Stąd i z (2.8) otrzymamy następujący rozkład funkcji wymiernej (2.7) na ułamki proste

1+1−2

+1

+4

=+

1+4+62224

3

xx

xxxxxx .

6

II LICZBY ZESPOLONE

1. Określenie i postać kanoniczna liczby zespolonej Niech Z będzie zbiorem uporządkowanych par

( ) ( ) ( ) ... , , ,, ,, 332211 bababa (1.1)

liczb rzeczywistych ii ba , , gdzie ... , , , 321=i .

Definicja 1.1. Uporządkowane pary liczb rzeczywistych (1.1) nazywamy liczbami zespolonymi, a zbiór Z zbiorem liczb zespolonych. Liczby zespolone (1.1) oznaczać będziemy małymi literami: ... , , , 321 zzz np. ( ) ( ) ( ) . ... , , ,, ,, 333222111 bazbazbaz === (1.2) Liczbę zespoloną ( )00 , oznaczać będziemy przez 0 , to znaczy ( )0 ,0 0 =: . W zbiorze Z określamy dwa działania: dodawania + i mnożenia • liczb zespolonych w następujący sposób: ( ) ( ) ( ) , , ,, 2121221121 bbaababazz ++=:+=+ (1.3) oraz ( ) ( ) ( )12212121221121 , ,, bababbaababazz +−=:⋅=⋅ . (1.4)

Zbiór Z z tak określonymi działaniami dodawania i mnożenia stanowi tzw. ciało liczbowe, zwane ciałem liczb zespolonych.

Ciało liczb zespolonych spełnia następujące warunki:

10 ciało Z zawiera ciało R liczb rzeczywistych,

20 równanie 1−=2z ma w ciele Z co najmniej jedno rozwiązanie. Definicja 1.1. Dwie liczby zespolone ( ) ( )22111 == bazbaz , ,, 2 nazywamy równymi, co zapisujemy:

21 = zz , wtedy i tylko wtedy, gdy 2121 =∧= bbaa . Zatem ( ) ( ) ( )21212211 =∧=⇔= bbaababa ,, . (1.5)

Definicja 1.2. Różnicą 21 − zz liczb zespolonych ( ) ( )22111 == bazbaz , i , 2 nazywamy taką liczbę zespoloną ( )yxz ,= , że

12 =+ zzz . (1.6)

Z równości (1.6) oraz z definicji dodawania i równości liczb zespolonych otrzymamy ( ) ( ) ( )1122 =+ bayxba ,,, ,

( ) ( )1122 =++ baybxa , , .

Stąd 1212 =+∧=+ bybaxa ,

skąd 2121 −=∧−= bbyaax .

Zatem ( ) ( ) ( )2121221121 −−=−=− bbaababazz ,,, . (1.7)

Definicja 1.3. Ilorazem 2

1

zz liczb zespolonych ( ) ( )22111 == bazbaz , i , 2 , gdzie 0≠2z nazywamy

taką liczbę zespoloną ( )yxz ,= , że

7

12 zzz =⋅ . (1.8)

Stąd oraz z definicji mnożenia liczb zespolonych otrzymamy ( ) ( ) ( )1122 =⋅ b,ay,xb,a ,

( ) ( )112222 =+− b,ayaxbybxa , .

Stąd i z definicji równości liczb zespolonych otrzymamy następujący układ równań liniowych:

⎩⎨⎧

=+=−

122

122

byaxbaybxa

(1.9)

Rozwiązując ten układ otrzymamy, że

22

22

211222

22

2121

+−

=∧++

=ba

babayba

bbaax . (1.10)

Zatem

( )( ) ,

,,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

++

== 22

22

211222

22

2121

22

11

2

1

bababa

babbaa

baba

zz . (1.11)

Na przykład

( )( )

( )( )

( )( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

252

2511

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4−+34−1−−2⋅3

4−+34−2+3⋅1−

=4−321−

2222 , ,

, , .

Ponieważ zbiór R liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze Z liczb zespolonych, więc każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną. Liczbę rzeczywistą a jako liczbę zespoloną: ( ),0 ,a czyli

( )0= ,aa . (1.12) Niech z definicji ( )1 ,0 =:i . (1.13)

Liczbę zespoloną ( )baz ,= można przedstawić w postaci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10⋅0+0=0+0== , , , , , , bababaz

( ) ( ) biaiba +=⋅0+0= , , ,

czyli biaz += . (1.14) Postać (1.14) nazywa się postacią kanoniczną liczby zespolonej z . Zauważmy, że

( ) ( ) ( ) ( ) 1−=01−=10⋅10=10= 22 , , , ,i ,

czyli

1−=2i . (1.15) Ponadto równanie

1−=2z , (1.16) ma w zbiorze Z liczb zespolonych dwa rozwiązania i ziz =∨−= , (1.17) gdyż z (1.15) i (1.16) otrzymamy

22 = iz ,

0=− 22 iz , ( ) ( ) 0=−⋅+ iziz ,

skąd wynikają rozwiązania (1.17) równania (1.16).

8

Rozważmy liczbę zespoloną biaz += . Liczby rzeczywiste ba i nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy symbolami: , im oraz re zz czyli zbza im , re == . (1.18)

Liczby rzeczywiste zz im oraz re leżą odpowiednio na tzw. osi rzeczywistej x i osi urojonej y układu współrzędnych Oxy . Liczby bi nazywamy często liczbami urojonymi.

Dla liczb zespolonych 21 zz i mamy

( ) 2121 +=+ zzzz re rere , (1.19)

( ) 2121 +=+ zzzz im imim . (1.20)

Niech 21 zz i będą liczbami zespolonymi postaci: ibaz 111 += i ibaz 222 += . Wówczas traktując te liczby jak wielomiany i uwzględniając równość (1.15) otrzymamy ( ) ( )ibbaaibaibazz 2121221121 +++=+++=+ , (1.21)

( ) ( ) ( )ibbaaibaibaibaibazz 21212211221121 −+−=−−+=+−+=− , (1.22)

( ) ( ) 221122121221121 +++=+⋅+=⋅ ibbibaibaaaibaibazz

( ) ( )ibababbaa 12212121 ++−= . (1.23)

oraz

( ) ( )( ) ( ) 22

222

221122121

2222

2211

22

11

2

1

−−+−

=−⋅+−⋅+

=++

=iba

ibbibaibaaaibaibaibaiba

ibaiba

zz

( ) ( ) iba

bababa

bbaaba

ibababbaa22

22

211222

22

212122

22

21122121 +−

+++

=+

−++= . (1.24)

Przykład 1.1. Obliczyć iloczyn i iloraz liczb zespolonych iziz −1=3+2=1 2 i .

Korzystając ze wzorów (1.15), (1.23) i (1.24) mamy

( ) ( ) iiiiiizz +5=3−3+2−2=−1⋅3+2=⋅ 221 ,

( ) ( )( ) ( ) ii

iiii

iiii

ii

zz

25

+21

−=25+1−

=−1

3+3+2+2=

+1⋅−1+1⋅3+2

=−13+2

= 2

2

2

1 .

2. Moduł i sprzężenie liczby zespolonej Niech dana będzie liczba zespolona biaz += . Definicja 2.1. Modułem liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą z postaci

22 baz += . (2.1)

Na przykład, jeśli iz 4−3= , to

( ) 5=25=4−+3=4−3 22i . Moduł liczby zespolonej z oznacza geometrycznie odległość tej liczby od początku O układu współrzędnych Oxy .

Twierdzenie 2.1. Dla dowolnych liczb zespolonych 21 ziz

2111 =⋅ zzzz , (2.2)

0≠= 22

1

2

1 zgdy zz

zz , , (2.3)

2121 +≤+ zzzz , (2.4)

9

2121 zzzz −≤− . (2.5)

Nierówność (2.4) można uogólnić na n liczb zespolonych nn zzzzzz +++≤+++ 2121 ... ... . (2.6)

Definicja 2.2. Liczbę zespoloną z postaci ,biaz −= (2.7) nazywamy liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną biaz += . Na przykład, jeśli iz 52−= , to iz 52+= . Liczby zespolone sprzężone są położone symetrycznie względem osi rzeczywistej .x Wprost z definicji liczby sprzężonej wynika, że zz = . (2.8) Twierdzenie 2.2. Dla dowolnych liczb zespolonych 21 ziz

2121 +=+ zzzz , (2.9)

2121 −=− zzzz , (2.10)

2121 ⋅=⋅ zzzz , (2.11)

0≠=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

1

2

1 zgdy zz

zz , . (2.12)

3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej Niech dana będzie liczba zespolona 0≠+= biaz . Niech ϕ będzie kątem (dokładniej: miarą kąta) zawartym między dodatnią półosią rzeczywistą x , a odcinkiem łączącym liczbę zespoloną z z początkiem układu współrzędnych Oxy . y b z=a+bi

| z |

ϕ

0 a x Stąd wynika, że

za

=ϕcos i zb

=ϕsin , (3.1)

skąd ϕcos za = i ϕsin zb = . (3.2)

Z równości (3.2) i z postaci kanonicznej liczby zespolonej otrzymamy ( )ϕϕ sin cos izz += . (3.3)

Postać (3.3) liczby zespolonej z nazywamy postacią trygonometryczną tej liczby. Otrzymaliśmy zatem Twierdzenie 3.1. Każda liczba zespolona z różna od 0 daje się przedstawić się w postaci trygonometrycznej (3.3). Z okresowości funkcji trygonometrycznych ϕsin i ϕcos wynika, że istnieje nieskończenie wiele kątów ϕ spełniających równania (3.1). Każde dwa z nich różnią się między sobą o całkowitą krotność liczby π2 .

10

Kąty te nazywamy argumentami liczby zespolonej z i oznaczamy symbolem: zarg . Tą wartość argumentu, która spełnia nierówność π2<≤0 z arg , (3.4)

nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z i oznaczamy przez z Arg . Stąd wynika, że πkzz 2+= Arg arg , (3.5)

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Na przykład ( ) π=1− Arg , ( ) ππ k2+=1− arg ,

( ) π41

=+1 i Arg , ( ) ππ ki 2+41

=+1 arg .

Niech 21 zz , będą liczbami zespolonymi różnymi od 0 o przedstawieniu trygonometrycznym: ( )1sin cos ϕϕ izz += 111 i ( )2sin cos ϕϕ izz += 222 (3.6) Twierdzenie 3.2. Dla dowolnych liczb zespolonych 21 ziz ( ) ( )( )222121 +++=⋅ ϕϕϕϕ 11 sin cos izzzz , (3.7)

( ) ( )( )222

1

2

1 −+−= ϕϕϕϕ 11 sin cos izz

zz . (3.8)

Z twierdzenia tego wynika następujący: Wniosek 3.1. Dla dowolnych liczb zespolonych 21 ziz ( ) 2121 +=⋅ zzzz Arg Arg Arg , (3.9)

212

1 −= zzzz Arg Arg Arg . (3.10)

Przykład 3.1. Korzystając ze wzoru (3.8) obliczyć 2

1

zz , jeśli iz −=1 , iz +1−=2 .

Ponieważ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− ππ

23sin

23 cos 1 ii oraz ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+− ππ

43sin

43 cos 21 ii ,

więc stąd i z (3.8) mamy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43

−23

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43

−23

21

=+1−

− ππππ sin cos ii

i

iii 21

21

22

22

22

43sin

43 cos

22

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ππ .

Twierdzenie 3.3. Dla dowolnej liczby zespolonej ( ) 0≠+= ϕϕ sin cos izz

( )ϕϕ ninzz nn sin cos += , (3.11) w szczególności ( ) =+ ni ϕϕ sin cos ϕϕ nin sin cos + . (3.12)

Wzór (3.12) nazywa się wzorem Moivre’a dla liczb zespolonych. Z twierdzenia (3.3) wynika Wniosek 3.1. Dla dowolnej liczby zespolonej ( ) 0≠+= ϕϕ sin cos izz

( ) znz n Arg Arg = . (3.13) Przykład 3.1. Obliczyć

11

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

23

−21

i .

Ponieważ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

35

+35

1=23

−21 sin cos ππ ii ,

więc stąd i ze wzoru (3.11) otrzymamy

33sin 33cos sin cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

35⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

35⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

35

+35

1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

23

−21

3333

ππππ iii

( ) ( ) iii . 1sin cos227sin 227 cos55sin 55 cos −=+=+⋅++⋅=+= ππππππππ

4. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Oznaczmy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=:. 0gdy ,1

0gdy ,0 0gdy ,1

sgn xxx

x (4.1)

Twierdzenie 4.1. Każda liczba zespolona 0≠+= biaz ma dwa różne pierwiastki drugiego stopnia. Liczba zespolona 0 ma tylko jeden pierwiastek 0 .

Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej 0≠+= biaz jest pewną liczbą zespoloną ,yix + tzn. yixbia +=+ . (4.2) Podnosząc tą równość stronami do kwadratu otrzymamy ( ) biayix +=+ 2 . Stąd biaxyiyx +=2+− 22 , skąd wynika następujący układ równań o niewiadomych yx, :

⎩⎨⎧

=2=− 22

. bxyayx (4.3)

Rozwiązując ten układ i uwzględniając równość (4.2) otrzymamy, że

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

0≠⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2+−

+2+

±

0=0<−±

0=0≥±

=+

. gdy , sgn

i gdy ,

i gdy ,

bza

biza

baai

baa

bia (4.4)

Przykład 4.1. Obliczyć pierwiastek kwadratowy

i4−3 . Korzystając z powyższych rozważań mamy

yixi +=4−3 . (4.5)

Po podniesieniu tej równości stronami do kwadratu i po porównaniu części rzeczywistych i urojonych tych liczb otrzymamy układ równań

⎩⎨⎧

4−=23=− 22

. xyyx (4.6)

12

Z drugiego równania tego układu wynika, że

0≠2

−= xx

y dla . (4.7)

Podstawiając to do pierwszego z równań układu (4.6) mamy

3=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2−−

22

xx ,

skąd otrzymamy równanie dwukwadratowe postaci

0=4−3− 24 xx . Rozwiązując to równanie otrzymamy

4=∨1−= 22 xx . Pierwsze z tych równań jest równaniem sprzecznym, natomiast drugie ma pierwiastki: 2=2−= 21 xx , . (4.8)

Stąd i z równania (4.7) otrzymamy, że

1−=2

−=1=2

−=2

21

1 xy

xy , . (4.9)

Z (4.8), (4.9) oraz z równości (4.5) wynika, że

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

+−=+=−

. 2lub

,243

22

11

iiyx

iiyxi

Twierdzenie 4.2. Jeśli ( ) 0≠+= ϕϕ sin cos izz , (4.10)

to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (4.10) określonych wzorem

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2+

+2+

=n

kin

kzz nk

πϕπϕ sin cos , (4.11)

gdzie 1−0= nk , ... 2, 1, , . Z definicji modułu liczby zespolonej oraz ze wzoru (4.11) otrzymamy

dla sin cos . nnk z

nki

nkzz =

2++

2+=

πϕπϕ1−210= nk , ... , , , . (4.12)

Ponadto

( )nn

knkzz kk

ππϕπϕ 2=

2+−

1+2+=−1+ Arg Arg . (4.13)

Stąd, z równości nzz =0 oraz z (4.12) wynika, że wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej 0≠z , określone wzorem (4.11), leżą na okręgu o środku w początku O układu współrzędnych i promieniu n zr = i dzielą ten okrąg (kąt pełny) na n równych części.

Przykład 4.2. Obliczyć

4 16− . (4.14) Ponieważ ( )ππ sin cos 1616 i+=− ,

więc stąd i ze wzoru (4.11) otrzymamy pierwiastki czwartego stopnia z liczby 16− postaci:

13

iiiz 22

22

4sin

4 cos 2+2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +16= 4

0ππ ,

iiiz 22

22

4sin

4 cos 2+2−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

+3

16= 41

ππ ,

iiiz 22

22

4sin

4 cos 2−2−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 5

+5

16= 42

ππ ,

iiiz 22

22

4sin

4 cos 2−2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 7

+7

16= 43

ππ .

Powyższe pierwiastki leżą na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2 i dzielą ten okrąg na cztery równe części.

y z1 z0 2− -2 2 x

z2 z4

Z faktem, że w zbiorze Z liczb zespolonych istnieje pierwiastek dowolnego stopnia z każdej liczby zespolonej wiąże się następujące twierdzenie, zwane podstawowym twierdzeniem algebry:

Twierdzenie 4.3. Każde równanie algebraiczne n-tego stopnia ma w zbiorze Z liczb zespolonych n pierwiastków.

Przykład 4.3. Rozwiązać równanie 0=2−2+− 23 izizz . (4.15) Grupując odpowiednio wyrazy tego równania mamy ( ) ( ) 0=−2+−2 izizz , ( ) ( ) 02 2 =+− ziz . Stąd wynika, że 0=−∨=+ iz 02z 2 . (4.16) Rozwiązując pierwsze z równań (4.16) otrzymamy 2−=2z , skąd 2−=z . (4.17) Ponieważ ( )ππ sin cos 22 i+=− ,

więc stąd i ze wzoru (4.11) wynika, że pierwiastkami równania 02z 2 =+ są równe:

iiz 2

sin 2

cos 2=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +2=0

ππ ,

iiz 2

sin 2

cos 2−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

+3

2=1ππ .

Stąd i z drugiego z równań (4.16) otrzymamy pierwiastki równania (4.15) postaci:

14

iziziz =2−=2= 210 , , . Z powyższego przykładu wynika, że liczby sprzężone iziz , 2−=2= 10 są pierwiastkami równania 02z 2 =+ o współczynnikach rzeczywistych. Ogólnie, łatwo można wykazać, korzystając z własności sprzężenia liczby zespolonej, następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.3. Jeśli równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony z , to liczba zespolona sprzężona z jest także pierwiastkiem tego równania.

5. Postać wykładnicza liczby zespolonej

W zbiorze Z liczb zespolonych zachodzi tzw. wzór Eulera postaci:

ϕϕϕ sin cos iei += . (5.1)

Na przykład 1=2+2=2 πππ kike ik sin cos ,

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Ze wzoru (5.1) i własności funkcji trygonometrycznych wynika, że

ϕϕϕ sin cos ie i −=− . (5.2)

Z (5.1) i (5.2) otrzymamy następujące wzory

ieeee iiii

2−

=2+

=−− ϕϕϕϕ

ϕϕ sin oraz cos . (5.3)

Ze wzoru Eulera (5.1) i z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej wynika że każdą liczbę zespoloną 0≠z można zapisać w postaci:

ϕiezz = , (5.4)

zwanej postacią wykładniczą tej liczby. Przykład 5.1. Zapisać w postaci wykładniczej liczbę zespoloną

iz 2−32−= . (5.5) Ponieważ

( ) ( ) 4=2−+32−= 22z , (5.6)

więc stąd, z (5.5) i ze wzorów (3.1) otrzymamy

21

−=42−

=23

−=432−

= ϕϕ sin i cos ,

skąd wynika, że πϕ67

= .

Stąd i z (5.6) otrzymamy postać kanoniczną liczby zespolonej (5.5)

. 4 67π

ez = (5.7)

15

III MACIERZE, WYZNACZNIKI I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1. Macierze Niech nm i będą dowolnymi liczbami naturalnymi.

Definicja 1.1. Funkcję ijaji ),( a , (1.1)

która każdej parze liczb naturalnych ),( ji , gdzie njmi ≤≤1≤≤1 , przyporządkowuje pewną liczbę

ija nazywamy macierzą wymiaru nm× .

Liczbę ija nazywamy elementem macierzy, natomiast liczby naturalne i, j wskaźnikami tego elementu. Macierz wymiaru nm× oznaczamy zwykle symbolami:

njmiija ≤≤1≤≤1 , ][ , (1.2)

lub

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

21

22221

11211

mnmm

n

n

a...aaa...aaa...aa

. (1.3)

Macierze oznaczamy również dużymi literami: A, B, C, ... , np. A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ . (1.4)

O macierzy wymiaru nm× mówimy, że ma m wierszy i n kolumn, natomiast o elemencie ija , że jest elementem i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy. Jeśli nm ≠ , to macierz nazywamy macierzą prostokątną, natomiast w przypadku przeciwnym, macierzą kwadratową n-tego stopnia. Na przykład, macierze

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

975012

= , B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1031−

= ,

mają odpowiednio wymiary 2×3 oraz 2×2 . Pierwsza z nich jest macierzą prostokątną, natomiast druga macierzą kwadratową drugiego stopnia. Macierz, która powstaje z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn nazywamy podmacierzą tej macierzy. Podmacierzą stopnia k macierzy kwadratowej A stopnia n ( )nk < , nazywamy każdą z macierzy B stopnia k, która powstaje z macierzy A przez skreślenie kn − wierszy i kn − kolumn. Na przykład, macierz

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4132

= ,

jest podmacierzą stopnia 2 macierzy

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

413670325

= .

16

Powstała ona z macierzy A przez skreślenie w tej macierzy pierwszej kolumny i drugiego wiersza. Definicja 1.2. Macierzą transponowaną (przestawioną) macierzy A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ nazywamy taką

macierz B mjniijb ≤≤1≤≤1= , ][ , że jiij ab = . (1.5)

Macierz transponowaną macierzy A oznaczamy najczęściej symbolem: .TA Przykład 1.1. Jeśli

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡741203

= ,

to

TA⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

724013

= .

Definicja 1.3. Macierze A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ i B njmiijb ≤≤1≤≤1= , ][ nazywamy równymi, co zapisujemy:

BA = , wtedy i tylko wtedy, gdy ijij ba = . (1.6)

Definicja 1.4. Sumą macierzy A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ , B njmiijb ≤≤1≤≤1= , ][ (tych samych wymiarów) nazywamy macierz BA+ njmiijc ≤≤1≤≤1= , ][ , której elementy ijc są równe

ijijij bac += . (1.7) Przykład 1.2. Jeśli

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1−43012

= , B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡16−328−5

= ,

to

BA+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡02−627−7

= .

Definicja 1.5. Iloczynem macierzy A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ i liczby λ nazywamy macierz wymiaru nm× ,

postaci: Aλ ,][ 1 ,1 njmiijb ≤≤≤≤= której elementy są równe ijij ab λ= . (1.8) Przykład 1.3. Jeśli

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡32−1−012

= ,

to

3− A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9−6303−6−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡32−1−012

3−= .

Definicja 1.6. Iloczynem macierzy A pjmiija ≤≤1≤≤1= , ][ i B njpiijb ≤≤1≤≤1= , ][ nazywamy macierz postaci:

BA ⋅ njmiijc ≤≤1≤≤1= , ][ , której elementy ijc są określone wzorem:

pjip

p

kjijikjikij ba...bababac +++==∑

1=2211 . (1.9)

Z powyższej definicji wynika, że można mnożyć przez siebie tylko takie macierze, z których pierwsza ma tyle kolumn co druga wierszy. Z wymnożenia macierzy przez siebie otrzymujemy macierz, która ma tyle wierszy co pierwsza i tyle kolumn co druga macierz. Element cij, gdzie

njmi ≤≤1≤≤1 , nowej macierzy, jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza pierwszej macierzy przez odpowiednie elementy j-tej kolumny drugiej macierzy.

17

Przykład 1.4. Jeśli

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1−43012

= , B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

22−01321−01

= ,

to

BA ⋅( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1−14111−34

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2⋅1−+1⋅4+1−⋅32−⋅1−+3⋅4+0⋅30⋅1−+2⋅4+1⋅3

2⋅0+1⋅1+1−⋅22−⋅0+3⋅1+0⋅20⋅0+2⋅1+1⋅2= .

Korzystając z definicji i iloczynu macierzy można wykazać następujące prawa dla macierzy:

1. ABBA +=+ 2. CBACBA ++=++ )()(

3. CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ )()(

4. CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(

5. CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )(

6. TTT BABA +=+ )(

7. TTT ABBA ⋅=⋅ )( .

Uwaga. Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne tzn.:

8. ABBA ⋅≠⋅ .

Przykład 1.5. Jeśli

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3012

= , B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4135−

= ,

to

BA ⋅( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡123109−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4⋅3+3⋅01⋅3+5−⋅04⋅1+3⋅21⋅1+5−⋅2

= ,

natomiast

AB ⋅( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡132410−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3⋅4+1⋅10⋅4+2⋅13⋅3+1⋅5−0⋅3+2⋅5−

= .

Stąd wynika, że ABBA ⋅≠⋅ . Definicja 1.7. Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem O. Zatem

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=:

000000000

.........

O . (1.10)

Niech dana będzie macierz kwadratowa n-tego stopnia postaci

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

21

22221

11211

A . (1.11)

Definicja 1.8. Macierz A, której elementy są określone wzorem

⎩⎨⎧

≠=

= . dla 0

, dla 1jiji

aij (1.12)

nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez I. Zatem

18

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=:

100010001

.........

I . (1.13)

Elementy , ... , , nnaaa 2211 tworzą tzw. główną przekątną macierzy kwadratowej A postaci (1.11)

Stąd wynika, że macierz kwadratowa A, jest macierzą jednostkową, jeśli elementy na głównej przekątnej są jedynkami, natomiast poza tą przekątną zerami. Dla dowolnej macierzy A oraz macierzy zerowej O i jednostkowej I mamy:

9 . AOA =+ 10 . OAOOA =⋅=⋅ 11 . AAIIA =⋅=⋅ .

Definicja 1.9. Macierz kwadratową A, która poza główną przekątną ma zera, czyli macierz postaci

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000

= 22

11

nna......a...a

, (1.14)

nazywamy macierzą diagonalną. Stąd wynika, że każda macierz jednostkowa jest macierzą diagonalną, ale nie na odwrót. Definicja 1.10. Różnicą macierzy A njmiija ≤≤1≤≤1= , ][ i macierzy B njmiijb ≤≤1≤≤1= , ][ nazywamy macierz

X njmiijx ≤≤1≤≤1= , ][ spełniającą warunek:

AXB =+ . (1.15) Różnicę macierzy A i B oznaczamy przez BA − . Macierz ta zawsze istnieje, a jej elementy są równe ijijij bax −= . (1.16)

Zatem BA− njmiijij ba ≤≤1≤≤1−= , ][ . (1.17)

Definicja 1.11. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz kwadratową B, że IABBA =⋅=⋅ . (1.18)

Macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy najczęściej przez 1−A . Uwaga. Nie każda macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną. Na przykład, macierz zerowa nie ma macierzy odwrotnej, gdyż IOOBBO ≠=⋅=⋅ . (1.19) W dalszej części wykładu podamy pewien warunek konieczny i wystarczający na to, aby macierz kwadratowa miała macierz odwrotną.

2. Wyznaczniki Niech dany będzie zbiór { } , ... ,2 ,1 nA = .

Definicja 2.1. Permutacją zbioru A nazywamy dowolny n-elementowy ciąg nααα , ... , , 21 , (2.1)

utworzony z elementów tego zbioru. Ze zbioru n-elementowego można utworzyć =nP n! permutacji.

Definicja 2.2. Mówimy, że para liczb ji αα , ciągu (2.1) tworzy inwersję, jeśli

jiji <> gdy ,αα . (2.2) Na przykład, w ciągu postaci:

19

2, 1, 4, 5, 3 są trzy inwersje. Tworzą je następujące pary liczb: 2, 1; 4, 3; 5, 3. Niech dana będzie macierz kwadratowa A stopnia n postaci:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nnnn

n

n

aaaaaaaaa

...

...

...A

21

22221

11211

. (2.3)

Niech f oznacza dowolną permutację (2.1) zbioru A, natomiast fI ilość inwersji tej permutacji. Przez π oznaczmy zbiór wszystkich permutacji zbioru A. Definicja 2.3. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę określoną wzorem:

( )n

f

nI

f

aaa αααπ

⋅⋅⋅1−21 21

∈∑ . (2.4)

Wyznacznik macierzy A oznaczamy symbolami:

Adet , ][det ija , A ,

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

21

22221

11211

. (2.5)

Zatem

Adet ( )n

f

nI

f

aaa αααπ

1 21 21 ⋅⋅⋅−=: ∑

∈

. (2.6)

Stopień macierzy kwadratowej A nazywamy stopniem wyznacznika tej macierzy. Przykład 2.1. Korzystając z definicji wyznacznika obliczyć wyznacznik:

2221

1211

aaaa

. (2.7)

Wskaźniki elementów tego wyznacznika należą do zbioru { }2 ,1 =A . Z tego zbioru można utworzyć dwie permutacje o następującej liczbie inwersji: 1, 2 − 0 inwersji, 2, 1 − 1 inwersja. Stąd i z definicji (2.6) mamy

( ) ( ) 2112221121121

22110

2221

1211 −=1−+1−= aaaaaaaaaaaa

. (2.8)

Przykład 2.2. Korzystając z definicji wyznacznika obliczyć wyznacznik stopnia trzeciego:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

. (2.9)

Wskaźniki elementów wyznacznika (2.9) należą do zbioru { }3 ,2 ,1 =A . Z tego zbioru można utworzyć sześć permutacji o następującej liczbie inwersji: 1, 2, 3 − 0 inwersji, 1, 3, 2 − 1 inwersja, 2, 1, 3 − 1 inwersja, 2, 3, 1 − 2 inwersje, 3, 1, 2 − 2 inwersje, 3, 2, 1 − 3 inwersje. Stąd i z definicji (2,6) wyznacznika otrzymamy

20

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3122133

3221132

3123122

3321121

3223111

3322110 1−+1−+1−+1−+1−+1−= aaaaaaaaaaaaaaaaaa

312213332112322311322113312312332211 −−−++= aaaaaaaaaaaaaaaaaa . (2.10)

Istnieje prosty, mnemotechniczny sposób zapamiętywania budowy wyznaczników trzeciego stopnia, zwany schematem Sarrusa. Z prawej strony (u dołu) wyznacznika dopisujemy dwie pierwsze kolumny (dwa pierwsze wiersze) i tworzymy iloczyny ze znakami −+, według następującego schematu:

−−−

+++

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaaaaaaaa

. (2.11)

Przykład 2.3. Obliczyć wyznacznik

2−102343−01

.

Korzystając ze schematu Sarrusa mamy

−−−

130

041

2−102343−01

+++

( ) ( ) ( ) ( ) 20−=2−12−6−=0⋅4⋅2−−1⋅2⋅1−3−⋅3⋅0−1⋅4⋅3−+0⋅2⋅0+2−⋅3⋅1= .

Dla wyznaczników stopnia czwartego i wyższych praktyczne sposoby obliczania nie są takie proste. Metody obliczania takich wyznaczników podamy w dalszym ciągu niniejszego wykładu.

Rozwinięcie Laplace’a. Niech M będzie macierzą kwadratową powstałą z macierzy prostokątnej A przez skreślenie w tej macierzy pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicja 2.4. Wyznacznik Mdet nazywamy minorem macierzy A. Niech ijM oznacza minor stopnia 1−n , który powstaje z macierzy kwadratowej A stopnia n przez skreślenie w tej macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny, gdzie nji , ... 2, , , 1= .

Na przykład, dla macierzy trzeciego stopnia

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

,

3231

121123 = aa

aaM .

Przeanalizujemy teraz budowę wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n, który w myśl definicji (2.6) jest równy:

21

Adet ( )n

f

nI

f

aaa αααπ

⋅⋅⋅1−=21 21

∈∑ . (2.12)

Weźmy pod uwagę jeden ustalony element ija macierzy A.

Definicja 2.5. Liczbę postaci ( ) ij

jiij MA +1−= , (2.13)

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu ija macierzy A. Twierdzenie 2.1. W rozwinięciu (2.12) wyznacznika Adet suma tych składników, w których jako czynnik występuje element ija jest równa ijij Aa . Rozważmy np. i-ty wiersz wyznacznika .det A Składa się on z elementów: niaaa inii , ... 2, , gdzie ,, ... , , 1=21 . (2.14) Składniki wyznacznika Adet , w których jako czynniki występują elementy (2.14) są na podstawie Twierdzenia 2.1 odpowiednio równe: niAaAaAa ininiiii , ... 2, , gdzie , , ... , , 1=2211 . (2.15) Suma wszystkich składników (2.15) jest równa wyznacznikowi .det A Zatem

Adet , ... ∑1=

2211 =+++=n

jijijininiiii AaAaAaAa (2.16)

gdzie ni , ... 2, ,1= . Wzór (2.16) przedstawia tzw. rozwinięcie Laplace’a wyznacznika det A względem i-tego wiersza. Podobnie równość postaci

Adet , ... ∑1=

2211 =+++=n

iijijnjnjjjjj AaAaAaAa (2.17)

gdzie nj , ... 2, ,1= , przedstawia rozwinięcie Laplace’a wyznacznika det A względem j-tej kolumny.

Ze wzorów (2.16) i (2.17) wynika, że najkorzystniej jest rozwijać wyznacznik Adet względem tego wiersza lub kolumny, które mają największą liczbę elementów zerowych. Przykład 2.4. Stosując rozwinięcie Laplace’a obliczyć wyznacznik

01−11321−01

.

Rozwijając ten wyznacznik np. względem pierwszego wiersza otrzymamy

( ) ( ) ( )( )1−132

1−1−+0112

1−0+01−13

1−1=01−11321−01

432

( ) 6=3−2−−1= .

Własności wyznaczników. Podamy teraz pewne twierdzenia, które w znaczący sposób ułatwiają obliczanie wyznaczników dowolnego stopnia. Twierdzenie 2.2. Wyznacznik, w którym jeden wiersz lub kolumna składa się z samych zer jest równy zeru. Twierdzenie to wynika natychmiast ze wzorów (2.16) lub (2.17) na rozwinięcie wyznacznika Adet . Twierdzenie 2.3. Wyznacznik macierzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi jej macierzy transponowanej ,TA tzn.

.det det TAA = (2.18)

22

Twierdzenie to wynika wprost z definicji macierzy transponowanej oraz z dowolności obliczania wyznacznika względem wiersza lub kolumny. Twierdzenie 2.4. Jeśli macierz B stopnia 2≥n powstaje z macierzy A przez zamianę ze sobą dwóch wierszy lub kolumn, to .det det AB −= (2.19) Twierdzenie 2.5. Jeśli w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny są równe lub proporcjonalne, to jej wyznacznik jest równy zeru. Twierdzenie 2.6. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez stałą c, to .det det AB c= (2.20) Twierdzenie 2.7. Jeśli elementy i-tego ) ..., , ,( ni 21= wiersza (kolumny) są sumami dwóch składników

, ..., , , , njgdzieaaa ijijij 21=+= '''

to wyznacznik ten jest sumą dwóch wyznaczników, które oprócz i-tego wiersza (kolumny) mają te same wiersze (kolumny). Wiersz (kolumna) i-ty w pierwszym wyznaczniku składa się z elementów ,'

ija zaś w

drugim z elementów ''ija .

O jednej z najważniejszych własności wyznaczników, mającej duże zastosowanie przy ich obliczaniu, mówi następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.8. Wyznacznik nie ulega zmianie, jeśli do elementów jednego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednio elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolna stałą. Twierdzenie 2.9. Suma elementów jakiegoś wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożonych przez dopełnienia algebraiczne elementów innego wiersz (kolumny) jest równa zeru, tzn. 0=+++ 2211 jninjiji AaAaAa ... , (2.21)

0=+++ 2211 njnijiji AaAaAa ... , (2.22)

dla ji ≠ oraz . ..., 2, , , nji 1=

Ze wzorów (2.21), (2.22) oraz z rozwinięcia Laplace’a wyznacznika det A wynikają następujące równości:

=+++ 2211 jninjiji AaAaAa ... ⎩⎨⎧

≠=

. dla 0 , dla det

jijiA

(2.23)

oraz

=+++ 2211 njnijiji AaAaAa ... ⎩⎨⎧

≠=

. dla 0 , dla det

jijiA

(2.24)

Twierdzenie 2.10. Jeśli elementy wyznacznika det A nad (pod) główną przekątną są równe zeru, tzn. 0=ija dla ji < ( ji > ), to wyznacznik ten jest równy iloczynowi wyrazów głównej przekątnej, czyli

Adet nnaaa ⋅⋅⋅= 2211 . (2.25)

Przykład 2.5. Korzystając z rozwinięcia Laplace’a i z własności wyznaczników obliczyć wyznacznik

1012−523041−2−321−01

.

Dodając kolumnę pierwszą do kolumny trzeciej, mnożąc następnie kolumnę pierwszą przez 2− i dodając do kolumny czwartej oraz rozwijając wyznacznik względem pierwszego wiersza otrzymamy

23

( ) 521523222

521523222

1 1

5212523022230001

1012523041232101

2

−

−−=

−

−−−=

−−

−−=

−

−−−

.

Dodając teraz w końcowym wyznaczniku wiersz trzeci do wiersza pierwszego i wiersza drugiego i rozwijając ten wyznacznik względem drugiej kolumny dostaniemy

( ) ( ) 44 1210 2 104

3112

5211004

301

521523222

5 −=−−=−

−−=−

−=

−

−−.

Zatem

44−=

1012−523041−2−321−01

.

3. Macierz odwrotna, rząd macierzy Niech A i B będą dowolnymi macierzami kwadratowymi n-tego stopnia postaci:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

21

22221

11211

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nnnn

n

n

b...bbb...bbb...bb

21

22221

11211

B . (3.1)

Twierdzenie 3.1 (Cauchy’ego). Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, czyli )(det BA ⋅ = BA det det ⋅ . (3.2)

Definicja 3.1. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą, jeśli Adet 0≠ . W przypadku przeciwnym macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą. Twierdzenie 3.2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by macierz kwadratowa A miała macierz odwrotną jest, aby była macierzą nieosobliwą.

Załóżmy, że macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, tzn., że Adet 0≠ . Stąd i z Twierdzenia 3.2 wynika, że macierz A ma macierz odwrotną 1−A . Oznaczając

1−A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

21

22221

11211

nnnn

n

n

...

...

...

ααααααααα

, (3.3)

można wykazać, że elementy ijα macierzy odwrotnej 1−A są równe:

A

Ajiij det =α dla , ..., 2, , , nji 1= (3.4)

gdzie jiA oznacza dopełnienie algebraiczne elementu jia macierzy A, określone wzorem (2.13).

Wzór (3.4) można zapisać w postaci ogólnej:

1−A =Adet

1 DTA )( , (3.5)

gdzie DTA )( oznacza macierz dopełnień algebraicznych elementów ija macierzy transponowanej AT.

Przykład 3.1. Obliczyć macierz odwrotną do macierzy

24

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5−43−2−10321−

. (3.6)

Mnożąc drugą kolumnę przez 2 i dodając do kolumny trzeciej oraz rozwijając wyznacznik względem drugiego wiersza otrzymamy

det A ( ) 18=21+3−=33−71−

1−⋅1=343−010721−

=5−43−2−10321−

= 4 ,

skąd wynika, że macierz A jest macierzą nieosobliwą i posiada macierz odwrotną 1−A . Stąd, ze wzoru (3.5) oraz z tego, że

AT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5−2−34123−01−

= ,

otrzymamy macierz odwrotną do macierzy (3.6) postaci:

1−A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−−

−−−

−−−

−

−−−

−−

=12321467223

181

1201

4231

4 130

2301

5331

5230

2312

5342

5241

181 .

Definicja 3.2. Ilorazem lewostronnym macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C spełniającą równanie B ⋅ C = A. (3.7) Definicja 3.3. Ilorazem prawostronnym macierzy A przez macierz B nazywamy taką macierz D, że D ⋅ B = A. (3.8) Twierdzenie 3.3. Jeśli macierz B jest macierzą nieosobliwą, to obydwa ilorazy istnieją i zachodzą wzory C = 1−B ⋅ A oraz D = A ⋅ 1−B . (3.9)

Niech teraz A będzie dowolną macierzą wymiaru nm× , tzn.

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

21

22221

11211

mnmm

n

n

a...aaa...aaa...aa

.

Definicja 3.4. Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy ze stopni minorów tej macierzy, które są różne od zera. Rząd macierzy A oznaczać będziemy przez rz A. Na przykład, macierz

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000432−1−0612

= ,

ma rząd 2, gdyż np. minor stopnia drugiego postaci

0≠3−=2−1−12 ,

25

natomiast wszystkie minory stopnia trzeciego są równe zeru, co wynika z własności wyznaczników. Obliczanie rzędów macierzy (poza definicją) opiera się na dwóch następujących twierdzeniach:

Twierdzenie 3.4. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów pewnego wiersza lub kolumny przez liczbę 0≠c , to rzędy tych macierzy są równe.

Twierdzenie 3.5. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez dodanie do wszystkich elementów pewnego wiersza lub kolumny odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez pewną liczbę c, to rz A = rz B. (3.10)

W podanym niżej przykładzie obliczania rzędu macierzy zastosujemy następujące oznaczenia: 10 maw − pomnożenie m-tego wiersza przez stałą a,

20 nbk − pomnożenie n-tej kolumny przez stałą b.

Przykład 3.2. Znaleźć rząd macierzy

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01−36−121−01−3−12

= . (3.11)

rz A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01−36−100001−02

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01−36−121−001−02

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01−36−121−01−3−12

=34

2412 +2−

++

rz rz rzkk

kkww

3=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0030100001−00

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0030100001−02

=13

32

12

+2+31

+2

rz rzkkkk

kk

.

Stąd wynika, że rząd macierzy (3.11) jest równy 3. Zatem praktycznie, rząd macierzy liczy się dodając wiersze (kolumny) pomnożone przez pewne

stałe, odpowiednio do wybranych wierszy (kolumn) tak, aby otrzymać w macierzy jak największą liczbę elementów zerowych. W pewnym momencie dochodzimy do maksymalnej liczby zer w danej macierzy. Dzieje się tak wówczas, gdy każdy element różny od zera znajduje się w innym wierszu i w innej kolumnie otrzymanej macierzy. Wówczas ilość wszystkich elementów niezerowych jest równa rzędowi danej macierzy.

Rząd macierzy (3.1) można znaleźć korzystając z definicji rzędu macierzy. Rząd tej macierzy będzie równy 3, jeśli jakiś minor stopnia trzeciego tej macierzy (w tym przykładzie jeden z czterech) będzie różny od zera. Weźmy pod uwagę np. minor stopnia 3 macierzy (3.11) postaci:

01−3121−1−3−1

. (3.12)

Korzystając z rozwinięcia Laplace’a, własności wyznaczników i przyjętych oznaczeń, mamy

( ) 0≠3−=031−1

11−=01−301−01−3−1

=01−3121−1−3−1

4+ 21

-ww

.

Ponieważ minor (3.12) stopnia trzeciego macierzy (3.11) okazał się różny od zera, więc rząd tej macierzy z definicji jest równy 3.

W tym przypadku liczenie rzędu macierzy z definicji okazało się efektywniejsze od pokazanego wcześniej sposobu. Nie zawsze tak bywa. Który ze sposobów obliczania rzędu macierzy wybieramy, zależy od konstrukcji danej macierzy i od pewnej wprawy rachunkowej.

26

4. Układy równań liniowych Wzory Cramera. Rozważmy układ n równań liniowych o n niewiadomych nxxx , ... , , 21 , postaci:

111212111 =+++++ bxaxaxaxa nnkk ... ...

222222121 =+++++ bxaxaxaxa nnkk ... ... (4.1) ..................................................................

nnnnknknn bxaxaxaxa =+++++ 2211 ... ... .

Liczby ija , gdzie , ..., 2, , , nji 1= nazywamy współczynnikami przy niewiadomych nxxx , ... , , 21

układu (4.1), natomiast liczby nbbb , ... , , 21 wyrazami wolnymi tego układu.

Załóżmy, że macierz A współczynników przy niewiadomych jest macierzą nieosobliwą, czyli

Adet =W 0≠=

21

22221

11211

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

. (4.2)

Jeśli spełniony jest warunek (4.2), to układ (4.1) nazywamy układem Cramera. Wyznacznik W nazywamy wyznacznikiem głównym układu (4.1) równań liniowych. Oznaczmy

kkW Adet =

nnknnknn

nkk

nkk

a...aba...aa...aba...aa...aba...a

1+1−1

21+221−221

11+111−111

=

, (4.3)

gdzie . ..., 2, , nk 1=

Niech jkA , gdzie nkj ..., 2, , , 1= , będą dopełnieniami algebraicznymi elementów jka macierzy A współczynników przy niewiadomych układu (4.1).

W celu wyznaczenia rozwiązania: nxxx , ... , , 21 układu (4.1), pomnóżmy pierwsze równanie tego układu przez kA1 , drugie przez kA2 itd. i w końcu n-te równanie przez nkA i dodajmy je stronami. Wówczas otrzymamy

nknkkkkk xAaxAaxAaxAa 111121121111 +++++ ... ...

nknkkkkk xAaxAaxAaxAa 222222221221 ++++++ ... ... .................................................................................. nnknnknknknknnkn xAaxAaxAaxAa −22211 ++++++ ... ...

nknkk AbAbAb +++= ... 2211 .

Grupując w tym równaniu współczynniki przy niewiadomych nk xxxx , ... , , ... , , 21 otrzymamy

( ) 11221111 +++ xAaAaAa nknkk ...

( ) 22222112 ++++ xAaAaAa nknkk ... ....................................................... ( ) knknkkkkk xAaAaAa ... ++++ 2211

( ) nnknnknkn xAaAaAa ... ++++ 2211

nknkk AbAbAb +++= 2211 ... .

Stąd oraz ze wzorów (2.24) i (4.3) wynika, że

kkx AA det det =⋅ ,

skąd otrzymamy wzory na pierwiastki nxxx , ... , , 21 układu (4.1) postaci:

27

AA

det det kk

k WWx == dla . ..., 2, , nk 1= (4.4)

Wzory (4.4) nazywają się wzorami Cramera dla układu (4.1). W przypadku, gdy 0==== 21 n b ... bb , (4.5)

to układ (4.1) nazywa się układem jednorodnym, a równania tego układu równaniami jednorodnymi. W tym przypadku na podstawie (4.3), 0det == kkW A dla , ..., 2, , nk 1= wobec czego

0==== 21 n x ... xx . (4.6)

Rozwiązanie (4.6) układu (4.1) nazywamy rozwiązaniem zerowym. Zatem układ jednorodny o wyznaczniku głównym 0≠= Adet W ma tylko rozwiązanie zerowe. Stąd przez kontrapozycję wynika, że jeśli układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe, to

0== Adet W . Przykład 4.1. Rozwiązać układ równań

.zyx

zyxzyx

5=3++5−=−2+3

0=+−2 (4.7)

Ponieważ

( ) 25=3−28=4317

1−1−=40310711−2

=3111−2311−2

= 3 W

oraz

( ) ( ) 25−=3−2−5=2311−

1−5−=2301−25−11−0

=3151−25−11−0

= 31 W ,

( ) ( ) 0=4−45−=2412

1−5−=2041−5−3102

=3511−5−3102

= 42 W ,

( ) ( ) 50=4+65=341−2

1−5−=0345−2301−2

=5115−2301−2

= 53 W ,

więc stąd i ze wzorów Cramera otrzymamy rozwiązanie układu (4.7)

1−=2525−

== 1

WWx , 0=

250

== 2

WWy , 2=

2550

== 3

WWz .

Przykład 4.2. Rozwiązać układ jednorodny równań

. 0=2+4+2

0=+4+30=−2+

zyxzyx

zyx (4.8)

Ponieważ

( ) ( ) 0≠8−=24−32−=8464

1−1−=0840641−21

=2421431−21

= 4 W ,

więc stąd i z wcześniejszych rozważań wynika, że układ (4.8) ma rozwiązanie zerowe, tzn.

28

0=== zyx .

Układ równań liniowych (4.1) można rozwiązać stosując tzw. metodę macierzową. Przyjmując

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

21

22221

11211

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

, X ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 2

1

nxxx

, B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 2

1

nbbb

, (4.9)

układ równań (4.1) można zapisać w postaci macierzowej BXA =⋅ . (4.10)

Jeśli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to stąd i z (4.10) otrzymamy

( ) BAXAA ⋅=⋅⋅ 1−1− . Stąd i z prawa łączności iloczynu macierzy otrzymamy

( ) BAXAA ⋅=⋅⋅ 1−1− . Zatem

BAXI ⋅=⋅ 1− , skąd wynika, że BAX ⋅= 1− . (4.11) Przykład 4.3. Metodą macierzową rozwiązać układ równań

. 6=3+2+

1=−−22=++

zyxzyx

zyx (4.12)

Obliczymy najpierw macierz odwrotną do macierzy A współczynników przy niewiadomych zyx , , układu (4.12). Ponieważ

( ) ( ) 3−=2+3−3=321−1−

1−3=3211−1−2003

=3211−1−2111

= 2 det A (4.13)

oraz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

31−121−1121

=TA ,

więc stąd i ze wzoru (3.5) mamy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

−−

−−

−−−

−=−

315327011

31

11 21

2111

2112

1121

3111

3112

1111

3121

3121

311A . (4.14)

Ponieważ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx

X oraz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

612

=B ,

zatem z (4.14) i ze wzoru (4.11) otrzymamy

29

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

32−1

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

9−63−

31

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

612

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3−1−5327−01−1−

31

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyx

.

Stąd wynika, że pierwiastki układu (4.12) są równe 1=x , 2−=y , 3=z .

Układ m równań liniowych o n niewiadomych )( nm < . Rozważmy układ m równań liniowych postaci:

11212111 =+++ bxaxaxa nn ...

22222121 =+++ bxaxaxa nn ... (4.15) ................................................

mnnnmm bxaxaxa =+++ 2211 ... .

o n niewiadomych nxxx , ... , , 21 , gdzie nm < .

Załóżmy, że macierz współczynników tego układu njniija ≤≤1≤≤1= ,][A , (4.16)

jest rzędu m. Można więc przyjąć np., że

0≠=

21

22221

11211

mmmm

m

m

a...aaa...aaa...aa

∆ . (4.17)

Gdyby nie ten wyznacznik, lecz inny m-tego stopnia był różny od 0, wówczas przez odpowiednią zamianę numeracji niewiadomych, można układ (4.15) sprowadzić do powyższego przypadku. Jeśli w układzie (4.15) oznaczymy mnnmm txtxtx −22+11+ === , ... , , , (4.18)

gdzie ) , .... ,2 ,1( mnktk −= są dowolnymi parametrami, to stosując do układu (4.15) o niewiadomych

mxxx , ... , , 21 wzory Cramera otrzymamy jednoznaczne rozwiązanie tego układu, zależne od parametrów ) , .... ,2 ,1( mnktk −= i współczynników iij ba , gdzie mi , ... , , 21= oraz nj , ... , , 21= .

Zatem układ (4.15) ma nieskończenie wiele rozwiązań, w których nmm xxx , ... , , 2+1+ są dowolnymi stałymi, zaś mxxx , ... , , 21 niewiadomymi wyznaczonymi ze wzorów Cramera.

Przykład 4.4. Rozwiązać układ równań

. 0=++2

3=2−+zyxzyx

(4.19)

Macierz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1122−11

=A ,

jest drugiego rzędu, gdyż np. minor

01 1211

≠−==M .

Stąd i z powyższych rozważań wynika, że np. za niewiadomą z można przyjąć dowolny parametr t, zaś pozostałe niewiadome yx , wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera. Przyjmując zatem

tz = , układ równań (4.19) można zapisać w postaci:

30

. tyxtyx

−=+22+3=+

Ponieważ dla tego układu

tt

tWt

tt

WW 5−6−=−22+31

=3+3=1−12+3

=1−=1211

= 21 , , ,

więc stąd i ze wzorów Cramera otrzymamy rozwiązanie układu (4.19)

tztWWyt

WWx =5+6==3−3−== 21 , , , (4.20)

gdzie t jest dowolnym parametrem. Jeśli układ (4.15) jest jednorodny, tzn.: 0 ... 21 ==== mbbb , to oprócz rozwiązania zerowego układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.

Przypadek ogólny układu równań liniowych. Weźmy teraz pod uwagę układ m równań liniowych

11212111 =+++ bxaxaxa nn ...

22222121 =+++ bxaxaxa nn ... (4.21) ................................................

mnnnmm bxaxaxa =+++ 2211 ... .

o n niewiadomych nxxx , ... , , 21 , gdzie m i n są dowolnymi liczbami naturalnymi. Z układem tym są związane dwie macierze

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

21

22221

11211

mnmm

n

n

a...aaa...aaa...aa

A oraz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

21

222221

111211

mmnmm

n

n

ba...aaba...aaba...aa

B . (4.22)

Ponieważ A jest podmacierzą macierzy B, więc stąd wynika, że BA rz rz ≤ . (4.23) Twierdzenie 4.1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności układu równaqń (4.21) jest równość rzędów macierzy A i B. Jeśli przy tym wspólny rząd tych macierzy jest równy r, a liczba niewiadomych n, to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Z twierdzenia tego wynika Wniosek 4.1. Jeśli 10 BA rz rz ≠ , 20 n== BA rz rz , 30 nr <== BA rz rz , to układ równań (4.21) jest odpowiednio: 10 układem sprzecznym i nie ma rozwiązania, 20 ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami Cramera, 30 ma nieskończenie wiele rozwiązań, zależnych od rn − parametrów. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie, gdyż macierz B ma taki sam rząd jak macierz A, ponieważ różni od niej tylko kolumną złożoną z samych zer. Jeśli układ (4.21) jest jednorodny, nm = oraz 0=Adet , to układ ten oprócz rozwiązania zerowego ma nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych. Uwaga. Jeśli r== BA rz rz , to przy rozwiązywaniu układu (4.21) bierzemy pod uwagę tylko r równań tego układu tak dobranych, aby wyznacznik główny tego układu był różny od zera. Rozwiązując taki układ przy pomocy wzorów Cramera, znajdujemy pierwiastki, które spełniają nie tylko układ złożony z r równań, ale także układ wyjściowy (4.21). Przykład 4.5. Rozwiązać układ równań

31

. 4=2+3+6−9

3=3+4+4−62=4+5+2−3

tzyxtzyxtzyx

(4.24)

Z układem tym związane są dwie macierze A i B postaci:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

236−9344−6452−3

=A oraz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

4236−93344−62452−3

=B . (4.25)

Obliczymy najpierw rząd macierzy B

rz rz =B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

4236−93344−62452−3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2−10−12−001−5−6−002452−3

=3121

+3−+2−

rz wwww

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000001−000006−7−2−3

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000001−000016−7−2−3

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000001−5−6−0011−1−2−3

=3235

451232

++6−+5−

++2−

rz rz rzkkkk

kkww

ww

2=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000001−000000003

=41

3121

+2

+37

+23

rz

,kk

kkkk

.

Stąd, z nierówności (4.23) oraz z faktu, że np. minor drugiego stopnia macierzy A

0≠1−=16−15=3445

= M ,

wynika, że 2=A rz . Zatem 2== BA rzrz . Stąd oraz z Twierdzenia 4.1, a dokładniej z przypadku 30 Wniosku 4.1, wynika, że układ (4.24) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Przyjmując zatem βα == yx , , (4.26)

gdzie βα , są dowolnymi parametrami, układ równań (4.24), po odrzuceniu np. trzeciego równania, przyjmie postać

. 463 34232 45βαβα

+−=++−=+

tztz

Ponieważ dla tego układu

,121878128203015 46342325

,10156162412696 34634232

,1 3445

2

1

βαβαβαβαβα

βαβαβαβαβα

+−=−+−+−=+−+−

=

−+−=−+−+−=+−+−

=

−==

W

W

W

więc stąd i ze wzorów Cramera wynika, że

. , βαβα 12−18+7−==10+15−6== 21

WWt

WWz

32

Stąd oraz (4.26) otrzymamy rozwiązanie układu (4.24), zależne od dwóch parametrów , i βα postaci: . , , , βαβαβα 12−18+7−=10+15−6=== tzyx

33

IV GEOMETRIA ANALITYCZNA

1. O przestrzeni Euklidesa

Niech R będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Definicja 1.1. n-wymiarową przestrzenią Euklidesa nazywamy zbiór n-elementowych ciągów liczb rzeczywistych i oznaczamy symbolem .nR Zatem ( ){ } ..., , , gdzie , ..., , , : 2121 RR ∈==: nn

n xxxxxxxx . (1.1)

Ciągi ( )nxxxx ..., , , 21= , (1.2) nazywamy punktami przestrzeni euklidesowej .nR Liczby rzeczywiste nxxx ..., , , 21 nazywamy współrzędnymi punktu x , a dokładniej: liczbę rzeczywistą ( ) , ... , 1, nixi 2= nazywamy i-tą współrzędną punktu x . Jednowymiarową przestrzenią Euklidesa 1R utożsamiamy ze zbiorem R liczb rzeczywistych. Jeśli 2=n lub 3=n , to 2R , 3R nazywamy odpowiednio dwuwymiarową lub trójwymiarową przestrzenią Euklidesa. Dwuwymiarową przestrzeń Euklidesa nazywa się często płaszczyzną. Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem, zawierającym co najmniej trzy elementy. Ponadto niech ρ będzie nieujemną funkcją rzeczywistą, określoną w zbiorze 2X tzn. [ )∞02 , : aXρ , (1.3) spełniającą warunki: 10 ( ) , , dla , X∈=⇔0= yxyxyxρ

20 ( ) ( ) , , dla , , X∈= yxxyyx ρρ

30 ( ) ( ) ( ) . , , dla , , , X∈+≤ zyxyzzxyx ρρρ

Funkcję rzeczywistą ρ spełniająca warunki: 10 − 30 nazywamy metryką lub odległością zbioru X. Warunek 20 nazywamy warunkiem symetrii, zaś warunek 30 warunkiem lub nierównością trójkąta. Zbiór X, w którym jest określona metryka, nazywamy przestrzenią metryczną. Dokładniej, przestrzenią metryczną nazywamy parę ( )ρ ,X , gdzie X jest dowolnym niepustym zbiorem, natomiast ρ metryką tego zbioru.

Przykład 1.1. Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią euklidesową nR . Niech ponadto ρ będzie funkcją rzeczywistą, określoną w przestrzeni n2R wzorem:

( ) ( )∑1=

2−=n

kkk yxyx ,ρ dla ( )nxxxx ..., , , 21= , ( ) . ..., , , 21

nnyyyy R∈= (1.4)

Można wykazać, że funkcja ρ określona wzorem (1.4) jest metryką, tzn., że spełnia warunki 10 − 30 . Przestrzeń euklidesowa nR z tak określoną metryką, nazywa się n-wymiarową przestrzenią kartezjańską. Przestrzeń kartezjańska jest szczególnym przypadkiem przestrzeni euklidesowej. W praktyce jednak, bardzo często, obydwie przestrzenie utożsamia się. Jeśli w Przykładzie 1.1 przyjmiemy 1=n , to z (1.4) wynika, że

( ) ( ) , i gdzie , , 11112

11 yyxxyxyxyxyx ==−=−=−=ρ czyli ( ) . , dla , R∈−= yxyxyxρ (1.5)

34

Wzór (1.5) określa tzw. naturalną metrykę (odległość) w zbiorze R liczb rzeczywistych.

Jeśli ( )111 yxP , , ( )222 yxP , są punktami w przestrzeni 2R , to odległość (metryka) tych punktów, na podstawie wzoru (1.4) jest równa

( ) ( ) ( )2212

21 −+−= yyxxPP 21 ,ρ . (1.6)

W przypadku przestrzeni trójwymiarowej ,3R wzór (1.6) przybierze postać:

( ) ( ) ( ) ( ) , , 212

212

212

21 −+−+−= zzyyxxPPρ (1.7)

gdzie ( )1111 zyxP , , , ( ) . , , 32222 R∈zyxP

2. Elementy rachunku wektorowego Obierzmy w przestrzeni kartezjańskiej 3R punkt O i poprowadźmy przez ten punkt trzy wzajemnie prostopadłe osie zyx ,, . Osie te nazywać będziemy osiami współrzędnych. Figurę złożoną z punktu O i osi zyx ,, nazywamy kartezjańskim lub prostokątnym układem osi współrzędnych lub krócej, układem współrzędnych i oznaczamy przez .Oxyz

Płaszczyzny przestrzeni 3R przechodzące przez osie: yx, ; zx, ; zy, nazywamy płaszczyznami układu współrzędnych i oznaczamy odpowiednio przez: ,Oxy Oxz i .Oyz Kartezjańskie układy współrzędnych dzielimy na: prawoskrętne i lewoskrętne.

z z prawoskrętny lewoskrętny

O y O x x y

Podobnie dzielimy uporządkowane trójki wektorów: cba rrr , , nie leżących w jednej płaszczyźnie i mających wspólny początek.

Jeśli trójka wektorów cba rrr , , jest zgodnie skrętna z trójką osi zyx ,, układu współrzędnych, to mówimy, że jest zgodnie zorientowana z przyjętym układem współrzędnych .Oxyz W przypadku przeciwnym, mówimy, że trójka wektorów i przyjęty układ współrzędnych są przeciwnie zorientowane. Każdy niezerowy wektor ar w przestrzeni kartezjańskiej jest jednoznacznie określony przez podanie jego: długości ar , kierunku i zwrotu. Wektor, którego długość jest równa zeru, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy przez .0 Definicja 2.1. Wektor i

r leżący na osi ,x którego długość jest równa jedności, a jego zwrot jest

zgodny ze zwrotem tej osi, nazywamy wersorem lub wektorem jednostkowym osi .x

ir

x Dowolny wektor ar leżący na osi x można jednoznacznie przedstawić w postaci:

.iaarr1= (2.1)

Liczbę 1a nazywamy współrzędną wektora ar na osi x. Rozważmy teraz w przestrzeni kartezjańskiej 3R prostokątny układ współrzędnych .Oxyz

35

Niech ar będzie dowolnym wektorem niezerowym o początku w punkcie O. Niech ponadto kjirrr

, , będą odpowiednio wersorami osi zyx , , . Wersory te tworzą tzw. bazę ortonormalną w

przestrzeni .3R z

ka

r3

ar ka

r3

kr

j

r

ir

O jar

2 y ia

r1 jaia

rr21 +

x Jeśli 321 aaa , , oznaczają odpowiednio współrzędne wektora ar na osiach zyx ,, , to rzuty prostopadłe wektora ar na osie współrzędnych zyx ,, , zgodnie z (2.1), dają się przedstawić w postaci:

kajaiarrr

321 , , . (2.2) Wektory (2.2) nazywamy składowymi wektora ar odpowiednio na osiach współrzędnych zyx , , . Przy tych oznaczeniach wektor ar daje się przedstawić w postaci (zobacz powyższy rysunek): . kajaiaa

rrrr321 ++= (2.3)

Wzór (2.3) przedstawia tzw. rozkład wektora ar względem osi zyx ,, układu współrzędnych. Wektor ar zapisywać będziemy również za pomocą jego współrzędnych 321 aaa , , w postaci [ ]321= aaaa , ,r . (2.4) Przedstawienia (2.3) i (2.4) wektora ar uważać będziemy za równoważne, tzn. [ ] . , , kajaiaaaaa

rrrr321321 ++== (2.5)

Wektory jednostkowe kjirrr

, , stanowiące bazę ortonormalną wektorów w przestrzeni ,3R można za pomocą współrzędnych, zapisać w postaci:

[ ]001= , ,ir

, [ ]0 ,1 ,0=jr

, [ ]1 , , 00=kr

. (2.6)

Rozważmy teraz przestrzeń kartezjańską n-wymiarową .nR Załóżmy, że wektory neee rrr , ... , , 21 stanowią bazę ortonormalną wektorów tej przestrzeni, tzn. [ ] [ ] [ ] . 1 , ... ,0 ,0 , ... , 0 , ... ,1 ,0 , 0 , ... ,0 ,1 21 === neee rrr (2.7) Wówczas dowolny wektor niezerowy ar przestrzeni ar można zapisać w postaci:

[ ] ∑1=

221121 =+++==n

kkknnn eaeaeaeaaaaa . ... ..., , , rrrrr (2.8)

Wektory nneaeaea rrr , ... , , 2211 są składowymi wektora ar , natomiast liczby naaa ..., , , 21 współrzędnymi

tego wektora w przestrzeni .nR Jeśli w przestrzeni nR dane są dwa punkty ( ) ( )nn bbbBaaaA ..., , , , ..., , , 2121 , to wektor ABa =

r o początku w punkcie A i końcu w punkcie B jest równy [ ]nn abababABa −−−== , ... , , 2211

r . (2.9) Niech w przestrzeni nR dane będą dwa wektory

[ ] [ ]nn bbbbaaaa ..., , , i ..., , , 2121 ==rr . (2.10)

36

Definicja 2.2. Wektory barr , nazywamy równymi, co zapisujemy ba

rr= wtedy i tylko wtedy, gdy ich

odpowiednie współrzędne są równe, czyli ( )nn babababa =∧∧=∧=⇔= 2211 ...

rr . (2.11)

Geometrycznie, wektory barr , są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają tą samą długość: ba

rr= , ten

sam kierunek (są równoległe) i zwrot:↑↑ . Definicja 2.3. Sumą wektorów ba

rr , nazywamy wektor barr

+ postaci [ ]. ..., , , nn babababa +++=+ 2211

rr (2.12) Geometrycznie, sumą wektorów ba

rr i nazywamy wektor ,ba

rr+ którego początek znajduje się w

początku wektora ar , koniec w końcu wektora ,br

przy czym koniec wektora ar pokrywa się z początkiem wektora b

r (zobacz rysunek).

ar b

r

barr

+ Definicja 2.4. Iloczynem wektora ar przez liczbę λ , nazywamy wektor arλ postaci:

[ ] . ..., , , naaaa λλλλ 21=r (2.13)

Geometrycznie, iloczynem wektora ar przez liczbę λ , nazywamy wektor arλ współliniowy z wektorem ,ar o długości równej ar⋅λ i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora ,ar gdy 0>λ i przeciwnym, gdy . 0<λ Niech teraz w przestrzeni nR dane będą niezerowe wektory: [ ]naaaa 112111 = ..., , ,r , [ ]naaaa 222122 = ..., , ,r , ... , [ ]nnnnn aaaa ..., , , 21=

r . (2.14)

Definicja 2.5. Kombinacją liniową wektorów naaa rrr ..., , , 21 nazywamy wektor ar postaci

∑1=

2211 =+++=n

kkknn aaaaa . ... rrrr

λλλλ (2.15)

gdzie nkk , ... , 1, dla 2=∈ Rλ .

Definicja 2.6. Wektory naaa rrr ..., , , 21 nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją liczby nλ , ... , , 21 λλ nie znikające (nie zerujące się) jednocześnie takie, że ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym, tzn.

0=+++== 22111=∑ nn

n

kkk aaaaa rrrr

λλλλ ... . (2.16)

Wektory, które nie są liniowo zależne, nazywamy wektorami liniowo niezależnymi. Stąd i z równości (2.16) wynika, że wektory naaa rrr ..., , , 21 są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

( ). 0 ... 0 211

====⇒=∑=

n

n

kkk a λλλλr (2.17)

Dwa wektory 21 aa rr , określone równościami (2.14) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe tzn. leżą na jednej prostej lub są do niej równoległe. Wektory takie nazywamy wektorami kolinearnymi lub równoległymi. Łatwo pokazać, że wektory te są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy

n

n

aa

aa

aa

2

1

22

12

21

11 === ... . (2.18)

Załóżmy teraz, że w przestrzeni 3R dane są trzy niezerowe wektory:

37

[ ]1312111 = aaaa , ,r , [ ]2322122 = aaaa , ,r , [ ]3332313 = aaaa , ,r . (2.19) Trzy wektory 321 aaa rrr , , są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są wektorami równoległymi

do jednej płaszczyzny (leżą w jednej płaszczyźnie). Wektory takie nazywamy wektorami komplanarnymi lub współpłaszczyznowymi.

W trójwymiarowej przestrzeni 3R istnieją zawsze trzy wektory liniowo niezależne, ale każda czwórka wektorów jest w tej przestrzeni liniowo zależna. Załóżmy, że wektory 321 aaa rrr , , określone przez (2.19) są liniowo zależne. Istnieją zatem liczby

γβα , , nie znikające jednocześnie takie, że 0=++ 321 aaa rrr γβα .

Stąd, definicji mnożenia wektora przez liczbę, dodawania wektorów oraz równości wektorów otrzymamy układ jednorodny równań:

0=++ 312111 aaa γβα 0 322212 =++ aaa γβα (2.20)

0=++ 332313 aaa γβα , o niewiadomych γβα , , . Stąd i z własności wyznaczników wynika, że na to aby układ (2.20) miał (z założenia) rozwiązanie niezerowe γβα , , potrzeba i wystarcza by

0==

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

W . (2.21)

Zatem, warunek (2.21) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wektory 321 aaa rrr , , określone równościami (2.19) były liniowo zależne w przestrzeni 3R . Jeśli wyznacznik (2.21) jest różny od zera, czyli 0≠W , to wektory 321 aaa rrr , , są liniowo niezależne. Ponadto, można wykazać, że jeśli 0>W , to trójka wektorów 321 aaa rrr , , jest zgodnie zorientowana z przyjętym układem współrzędnych. Jeśli 0<W , to trójka wektorów 321 aaa rrr , , jest przeciwnie zorientowana do przyjętego układu współrzędnych.

Podobnie jak w przypadku przestrzeni trójwymiarowej można wykazać, że wektory naaa rrr ..., , , 21 określone przez (2.14), są liniowo zależne w przestrzeni nR wtedy i tylko wtedy, gdy

. 0==

21

22221

11211

nnnn

n

n

a...aaa...aaa...aa

W (2.22)

Jeśli wyznacznik (2.22) jest różny od zera tzn. 0≠W , to wektory naaa rrr ..., , , 21 są liniowo niezależne w przestrzeni .nR

3. Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni 3R Niech w przestrzeni kartezjańskiej 3R dane będą dwa niezerowe wektory [ ] [ ] . , , oraz , , 321321321321 kbjbibbbbbkajaiaaaaa

rrrrrrrr++==++== (3.1)

Niech ϕ oznacza kąt (dokładniej: miarę kąta) między wektorami . i barr

Definicja 3.1. Iloczynem skalarnym wektorów i barr nazywamy liczbę ba

rr⋅ określoną wzorem:

ϕ cos babarrrr

=⋅ . (3.2)

Jeśli jeden z wektorów , barr jest wektorem zerowym, to

0 =:⋅barr . (3.3)

Wprost z definicji (3.2) wynika, że iloczyn skalarny jest przemienny, tzn.

38

abbarrr⋅=⋅ . (3.4)

Iloczyn skalarny wektorów jest rozdzielny względem dodawania wektorów: ( ) ( ) . oraz cbcacbacabacba rrrrrrrrrrrrr

⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅ (3.5) Ponadto ( ) ( )cbacba rrrrrr ⋅≠⋅ , (3.6) gdyż lewa strona wzoru (3.6) jest wektorem równoległym do wektora ,ar zaś prawa do wektora .cr Z definicji iloczynu skalarnego wektorów wynika ponadto, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dwa niezerowe wektory i ba

rr były prostopadłe, jest by ich iloczyn skalarny był zerem, czyli . 0gdy , 0 bababa

rrrrrr≠≠=⋅⇔⊥ (3.7)

Jeśli 0≠= abrr

, to stąd i ze wzoru (3.2) otrzymamy 22 aaaa rrrr

=⋅= , skąd wynika wzór na długość ar wektora ar :

( ) aaaarrrr⋅== 2 . (3.8)

Ze wzorów (3.7) i (3.8), dla wersorów kjirrr

,, , wynikają następujące równości: , 1222 === kji

rrr (3.9)

oraz . 0=⋅=⋅=⋅ kjkiji

rrrrrr (3.10)

Z (3.1) oraz z równości (3.9) i (3.10) otrzymamy

( ) ( )

,

332211

2332313

322

2212

31212

11

321321

bababakbajkbaikba

kjbajbaijba

kibajibaiba

kbjbibkajaiaba

++=+⋅+⋅+

⋅++⋅+

⋅+⋅+=

++⋅++=⋅

rrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrrrrr

skąd wynika następujący wzór na iloczyn skalarny wektorów (3.1) . 332211 babababa ++=⋅

rr (3.11) Stąd i ze (3.7) wynika, że . 0gdy , 0 332211 bababababa

rrrr≠≠=++⇔⊥ (3.12)

Ze wzorów (3.8) i (3.11) otrzymamy następujący wzór na długość wektora [ ]321 , , aaaa =r

. 23

22

21 aaaa ++=

r (3.13) Stąd, ze wzoru (3.11) oraz z definicji (3.2) iloczynu skalarnego wektorów otrzymamy wzór na kąt ϕ

między wektorami i barr postaci:

.

cos2

32

221

23

22

21

332211

++++

++=

⋅=

bbbaaa

bababababarr

rr

ϕ (3.14)

Niech γβα , , oznaczają kąty jakie tworzy niezerowy wektor [ ]321 , , aaaa =r , odpowiednio z

osiami współrzędnych zyx , , . Wyrażenia postaci:

aa

aa

aa

rrr 321 cos , cos , cos =:=:=: γβα , (3.15)

nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora ar . Dla cosinusów kierunkowych wektora ar mamy

39

, coscoscos 222 1==++

=++=++ 2

2

2

23

22

21

2

23

2

22

2

21

a

a

aaaa

aa

aa

aa

r

r

rrrrγβα

czyli . 1coscoscos 222 =++ γβα (3.16) Przykład 3.1. Obliczyć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach

[ ]151= , ,ar , [ ]333−= , ,br

. (3.17)

b

r ϕ

1dr

2dr

a

r

Przekątne 21 ddrr

i równoległoboku są odpowiednio równe (zobacz rysunek):

badbadrrrrrr

−=+= 21 i . Stąd i z (3.17) wynika, że [ ] [ ] [ ]482−=333−+151=1 , , , , , ,d

r, (3.18)

oraz [ ] [ ] [ ]2 , , , , , , −24=333−−151=2d

r . (3.19)

Ze wzoru (3.14) oraz z (3.18) i (3.19) otrzymamy

( )( ) ( )

, 24

cos 0=840

=2−+2+44+8+2−

2−⋅4+2⋅8+4⋅2−=

⋅=

22222221

21

ddddrr

rr

ϕ

skąd wynika, że 2

=πϕ , co oznacza prostopadłość przekątnych tego równoległoboku.

4. Iloczyn wektorowy wektorów w przestrzeni 3R Niech [ ] [ ] , , , i , , 321321321321 kbjbibbbbbkajaiaaaaa

rrrrrrrr++==++== (4.1)

będą dowolnymi, niezerowymi wektorami w przestrzeni kartezjańskiej ,3R natomiast ϕ kątem między tymi wektorami, czyli ) ,( ba

rr∠=ϕ .

Definicja 4.1. Iloczynem wektorowym wektorów i barr nazywamy wektor ba

rr× taki, że:

10 , sin ϕbabarrrr

=×

20 bbaabarrrrrr

⊥×∧⊥× , 30 trójka wektorów baba

rrrr× , , jest zgodnie zorientowana z przyjętym układem współrzędnych

.Oxyz Jeśli jeden z wektorów , ba

rr jest wektorem zerowym, to

. 0 =:×barr (4.2)

z ba

rr×

br

ba

rr×− a

r O y x

40

Iloczyn wektorowy 0=×barr wtedy i tylko wtedy, gdy wektory i ba

rr są liniowo zależne, czyli równoległe, tzn. . dla bababa

rrrrrr≠0≠⇔0=× || (4.3)

W przypadku, gdy π<∠<0 ) ,( barr oraz ba

rr≠0≠ , to z 10 wynika, że ba

rr× jest równy polu P

równoległoboku rozpiętego (zbudowanego) na wektorach . , barr

b

r

ar Zatem

. barr

×=P (4.4)

Stąd wynika, że pole ∆P trójkąta zbudowanego na niezerowych wektorach , barr wyraża się wzorem

. barr

×21

=∆P (4.5)

Z definicji iloczynu wektorowego wektorów wynikają następujące jego własności: , 0=× aa rr (4.6)

, abba rrrr×−=× (4.7)

( ) ( ) ( ) , dla R∈×=×=× mbambmabamrrrrrr (4.8)

( ) ( ) ( ) , , dla R∈×=× nmbamnbnamrrrr (4.9)

( ) . cabacba rrrrrrr×+×=+× (4.10)

Ponadto, można wykazać, że

( ) ( ) ( ) . acbbcacba rrrrrrrrr⋅⋅−⋅⋅=×× (4.11)

Ze wzoru (4.7) wynika nieprzemienność iloczynu wektorowego, natomiast z (4.10) rozdzielność tego iloczynu względem dodawania wektorów. Z własności 20 i 30 definicji iloczynu wektorowego, dla wersorów kji

rrr , , osi współrzędnych zyx , , ,

wynikają następujące równości: , 0=×=×=× kkjjii

rrrrrr

, , , jikikjkjirrrrrrrrr

=×=×=× (4.12) . , , jkiijkkijrrrrrrrrr

−=×−=×−=× Stąd i z własności iloczynu wektorowego dla wektorów i ba

rrokreślonych przez (4.1) otrzymamy

( ) ( )kbjbibkajaiabarrrrrrrr

321321 ++×++=×

( ) ( ) ( )kibajibaiibarrrrrr

×+×+×= 312111

( ) ( ) ( )kjbajjbaijbarrrrrr

×+×+×+ 322212

( ) ( ) ( )kkbajkbaikbarrrrrr

×+×+×+ 332313

ibajbaibakbajbakbarrrrrr 231332123121 −++−−=

( ) ( ) ( ) . 122113312332 kbabajbabaibabarrr

−+−−−=

czyli

( ) ( ) ( ) . 122113312332 kbabajbabaibababarrrrr

−+−−−=× (4.13)

41

Wzór (4.13) można zapisać inaczej:

321

321=×bbbaaakji

ba

rrr

rr . (4.14)

Stąd i z (4.13) wynika, że barr

× jest wektorem postaci:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=×

21

21

31

31

32

32 , , bbaa

bbaa

bbaa

barr . (4.15)

Zauważmy jeszcze, że z (4.3) i (4.14) oraz z własności wyznaczników wynika, że

.0gdy , 3

3

2

2

1

1 baba

ba

baba

rrrr≠≠==⇔|| (4.16)

Przykład 4.1. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach ( ) ( ) ( )3 2, ,4 , 5 ,1 ,3 , 8 ,2 , 1 CBA − .

Ze wzoru (2.9) otrzymamy

[ ] [ ]5 ,4 ,3 , 3 ,3 ,2 −=−= ACAB .

Stąd oraz ze wzorów (4.5) i (4.14) wynika, że pole ∆P trójkąta zbudowanego na wektorach ACAB i jest równe

| 4332

5332

5433

| 21

543332|

21 kji|

kjirrr

rrr

+−−

−−−

=−−=∆P

( ) ( ) . 1121113

21 | 3 |

21 222 =−++−=−+−= kji

rrr

Tożsamość Lagrange’a. Niech w przestrzeni 3R dane będą dwa niezerowe wektory , barr określone

równościami (4.1). Niech ϕ oznacza miarę kąta między tymi wektorami. Stąd oraz z definicji iloczynu skalarnego i wektorowego wektorów otrzymamy

( ) ( )ϕϕ 22222222cos1sin −==×=× babababa

rrrrrrrr

( ) ( )222222 cos babababarrrrrrrr⋅−=− ϕ ,

skąd wynika tzw. tożsamość Lagrange’a postaci:

( ) ( ) 2222bababarrrrrr

=×+⋅ . (4.17)

5. Iloczyn mieszany wektorów w przestrzeni 3R Niech w przestrzeni 3R dane będą trzy niezerowe wektory

[ ] [ ] [ ] . , , , , , , , , 321321321 ccccbbbbaaaa ===rrr (5.1)

Definicja 5.1. Liczbę cbarrr postaci:

( ) , cbacba rrrrrr⋅×=: (5.2)

nazywamy iloczynem mieszanym wektorów cba rrr , , . Stąd oraz ze wzoru (4.15) otrzymamy

( ) [ ]32121

21

31

31

32

32 , , , , cccbbaa

bbaa

bbaa

cbacba ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⋅×=

rrrrrr

42

,

321

321

321

321

212

31

311

32

32

cccbbbaaa

cbbaa

cbbaa

cbbaa

=+−=

czyli

.

321

321

321

cccbbbaaa

cba =rrr (5.3)

Stąd oraz z własności wyznaczników wynika, że

( ) ( ) ( ) . acbbaccba rrrrrrrrr⋅×=⋅×=⋅× (5.4)

Z powyższego wzoru i z przemienności iloczynu skalarnego wektorów otrzymamy

( ) ( ). cbacba rrrrrr×⋅=⋅× (5.5)

Ponadto, dla wektorów dcbarrrr , , , łatwo wykazać następującą równość:

( ) ( ) . dbcbdacadcba rrrr

rrrrrrrr

⋅⋅⋅⋅

=×⋅× (5.6)

Objętość równoległościanu i czworościanu. W trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej 3R rozważmy równoległościan zbudowany na trzech niezerowych i niekomplanarnych wektorach . , , cba rrr z B . C

barr

× cr

h ϕ b

r

A a

r O y x

Niech ( )bacrrr

×∠= ,ϕ . Jeśli trójka wektorów cba rrr , , jest prawoskrętna, to 2

0 πϕ <≤ . Z ABC ∆

wynika, że wysokość h równoległościanu jest równa ϕ cos ch r

= . (5.7)

Stąd i ze wzoru (4.4) na pole P podstawy równoległościanu wynika, że objętość V tego równoległościanu jest równa

( ) , cos cbacbah rrrrrr⋅×=×=⋅= ϕPV

czyli ( ) . cba rrr

⋅×=V (5.8) W przypadku lewoskrętnego układu współrzędnych otrzymamy

( ) . cba rrr⋅×−=V

Stąd i ze wzoru (5.8) wynika, że objętość V równoległościanu rozpiętego na wektorach cba rrr , , jest równa

43

( ) . | |

321

321

321

cccbbbaaa

cba =⋅×=rrrV (5.9)

Korzystając ze wzoru (4.5) na pole trójkąta, podobnie dowodzi się, że objętość V czworościanu zbudowanego na trzech niezerowych i niekomplanarnych wektorach cba rrr , , jest równa:

( ) . | | 61

61

321

321

321

cccbbbaaa

cba =⋅×=rrrV (5.10)

Przykład 5.1. Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach ADACAB i , , gdzie ( )3 ,4 ,3A , ( )1 ,5 ,9 −B , ( )0 ,7 ,1C i ( )5 ,2 ,3D .

Wektory ADACAB i , na podstawie wzoru (2.9) są równe:

[ ] [ ] [ ]2 ,2 ,0 , 3 ,3 ,2 , 4 ,1 ,6 −=−−=−= ADACAB .

Stąd i ze wzoru (5.10) otrzymamy

| 020032316

| 61 |

220332416

| 61

−−

−=

−−−−

=V

( ) . 243 61

2032

1 3 61 4 =⋅−=

−−

−−= ||||

6. Płaszczyzna w przestrzeni 3R Rozważmy w układzie Oxyz płaszczyznę .π Niech punkt ( ) π∈0000 , , zyxP oraz niech

[ ]CBAn , ,=r będzie niezerowym wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny, czyli [ ] π⊥= CBAn , ,r .

Wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy inaczej, wektorem normalnym tej płaszczyzny. z n

r . 0P . P π O y x Wówczas płaszczyzna π jest zbiorem punktów ( )zyxP , , takich, że nPP r

⊥0 . Ponieważ

[ ]0000 , , zzyyxxPP −−−= , (6.1)

więc stąd, z iloczynu skalarnego wektorów i prostopadłości wektorów PP0 i [ ]CBAn , ,=r otrzymamy

( ) ( ) ( ) . 0000 =−+−+− zzCyyBxxA (6.2)

Zatem, równanie (6.2) przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez punkt ( )0000 , , zyxP i prostopadłą do wektora [ ]CBAn , ,=

r . Równanie (6.2) można zapisać w postaci ( ) 0000 =−−−+++ CzByAxCzByAx . (6.3)

44

Oznaczając , 000 CzByAxD −−−= (6.4) równanie (6.3) przybierze postać . 0=+++ DCzByAx (6.5) Równanie (6.5) nazywa się równaniem ogólnym płaszczyzny. Jeśli wszystkie współczynniki DCBA , , , w równaniu (6.5) są różne od zera, wówczas równanie to można zapisać w postaci:

1=−

+−

+−

CDz

BDy

ADx .

Przyjmując w tym równaniu

, , ,CDc

BDb

ADa −=−=−=

otrzymamy tzw. równanie odcinkowe płaszczyzny postaci

. 1=++cz

by

ax (6.6)

Płaszczyzna ta przecina osie współrzędnych zyx ,, odpowiednio w punktach ( )0 ,0 ,aA , ( )0 , ,0 bB , ( )cC ,0 ,0 .

Na przykład, równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: ( )0 ,0 ,3A , ( )0 4, ,0 −B , ( )2 ,0 ,0 −C ma postać

, 1243=−−

zyx

czyli . 012634 =−−− zyx

Jeśli w równaniu ogólnym (6.5) płaszczyzny π : 10 0=D , to płaszczyzna π przechodzi przez początek ( )0 ,0 ,0O układu współrzędnych,

20 0 0 0 =∨=∨= CBA , to wektor normalny (prostopadły) [ ]CBAn , ,=r leży w płaszczyźnie

prostopadłej odpowiednio do osi x lub y lub z ; więc płaszczyzna π jest odpowiednio równoległa do osi x lub y lub ,z

30 ( ) 0 0 0 0 =∧=∨=∨= DCBA , to płaszczyzna π przechodzi odpowiednio przez osie x

lub y lub ,z

40 0 0 =∧= BA lub 0 0 =∧= CA lub 0 0 =∧= CB , to płaszczyzna π jest odpowiednio prostopadła do osi x lub y lub . z

Z powyższych rozważań wynika, że płaszczyzny układu współrzędnych mają odpowiednio równania: 0 ,0 ,0 === zyx .

z 0=x 0=y

O y 0=z x Weźmy teraz pod uwagę trzy różne punkty ( )1111 , , zyxP , ( )2222 , , zyxP , ( )3333 , , zyxP nie leżące na jednej prostej. Załóżmy, że punkty te leżą na płaszczyźnie π o równaniu ogólnym:

45

. 0=+++ DCzByAx (6.7) Ponieważ ( )1111 , , zyxP , ( )2222 , , zyxP , ( )3333 , , zyxP π∈ , więc

, 0111 =+++ DCzByAx , 0222 =+++ DCzByAx (6.8)

. 0333 =+++ DCzByAx

Równania (6.7) i (6.8) tworzą układ równań jednorodnych o niewiadomych: DCBA , , , . Ponieważ układ ten ma rozwiązanie niezerowe, więc wyznacznik główny tego układu musi być równy zeru, czyli

. 0

1111

333

222

111 =

zyxzyxzyxzyx

(6.9)

Równość (6.9) przedstawia równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy nie współliniowe punkty ( )1111 , , zyxP , ( )2222 , , zyxP , ( )3333 , , zyxP .

Równanie (6.9) można zapisać w postaci:

. 0

131313

121212

111

=−−−−−−−−−

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

(6.10)

Wektory [ ]12121221 , , zzyyxxPP −−−= , [ ]13131331 , , zzyyxxPP −−−= leżą w płaszczyźnie ,π więc są wektorami równoległymi do tej płaszczyzny. Zatem korzystając z (6.10) równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt ( )0000 , , zyxP i równoległej do wektorów [ ] [ ]321321 , , , , , bbbbaaaa ==

rr ma postać:

. 0

321

321

000

=−−−

bbbaaa

zzyyxx (6.11)

Niech teraz dana będzie płaszczyzna π i dwa niezerowe wektory [ ] [ ]321321 , , , , , bbbbaaaa ==rr

na tej płaszczyźnie, o początku w punkcie ( ) π∈0000 , , zyxP , mające różne kierunki (zobacz rysunek). z π a

r P 0P b

r r

r 0r

r O y x Weźmy pod uwagę dowolny punkt ( )zyxP , , tej płaszczyzny. Wówczas wektor PP0 jest przekątną

równoległoboku, na którego bokach leżą wektory . i barr

Zatem istnieją liczby (parametry) ts i takie, że . 0 btasPP

rr+= (6.12)

Oznaczając, [ ] [ ]zyxOPrzyxOPr , , i , , 00000 ====rr otrzymamy równość

46

. 00 PPrr +=rr

Stąd i z (6.12) otrzymamy tzw. równanie wektorowe płaszczyzny :π . 0 btasrr

rrrr++= (6.13)

Rozpisując to równanie otrzymamy równania parametryczne płaszczyzny π postaci: tbsaxx 110 ++=

tbsayy 220 ++= (6.14) tbsazz 330 ++= .

Kąt między płaszczyznami. Niech w przestrzeni 3R dane będą dwie płaszczyzny: , 0 : 11111 =+++ DzCyBxAπ

. 0 : 22222 =+++ DzCyBxAπ 1n

r 2π ϕ 1π 2n

r

Płaszczyzny te tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych o miarach zawartych w przedziale [ ]π ,0 . Oznaczając przez ϕ miarę jednego z tych kątów otrzymamy

( )21 , cos cos nn rr∠±=ϕ ,

gdzie [ ]1111 , , CBAn =

r i [ ]2222 , , CBAn =

r, (6.15)

są wektorami normalnymi odpowiednio do płaszczyzn . i 21 ππ

Stąd i ze wzoru na kąt zawarty między wektorami, otrzymamy wzór na kąt ϕ między płaszczyznami : i 21 ππ

22

22

22

21

21

21

212121

cos

CBACBA

CCBBAA

++++

++±=ϕ . (6.16)

Z powyższego wzoru wynika natychmiast warunek konieczny i wystarczający prostopadłości płaszczyzn : i 21 ππ 0212121 =++ CCBBAA . (6.17) Ponadto płaszczyzny 21 i ππ są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory 21 i nn rr normalne do tych płaszczyzn są do siebie równoległe, tzn.

. 2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

== (6.18)

Przykład 6.1. Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty ( )0 2, 1,1 −−P , ( )2 ,1 ,12P i prostopadłej do płaszczyzny 0422 =−++ zyx .

Wektor [ ]2 3, ,221 =PP jest wektorem leżącym w płaszczyźnie π , a zatem wektorem równoległym do tej płaszczyzny. Drugim wektorem równoległym do płaszczyzny π jest wektor

[ ]2 ,2 ,1=ar prostopadły do płaszczyzny 0422 =−++ zyx . Iloczyn wektorowy wektorów

[ ]2 3, ,221 =PP i [ ]2 ,2 ,1=ar będzie wektorem normalnym do płaszczyzny π , czyli

[ ] . 1 ,2 ,22222123221 π⊥−=+−==×= kjikji

aPPnrrr

rrr

rr

47

Stąd i z równania (6.2) otrzymamy, biorąc pod uwagę np. punkt ( ) ,0 2, 1,1 π∈−−P równanie płaszczyzny π postaci:

( ) ( ) ( ) , 0012212 =−++−+ zyx czyli

. 0222 =−+− zyx Zauważmy jeszcze, że powyższe równanie płaszczyzny można otrzymać korzystając ze wzoru (6.11).

7. Prosta w przestrzeni 3R Załóżmy, że w przestrzeni 3R dane są dwie płaszczyzny:

. 0 :

, 0 :

22222

11111

=+++=+++

DzCyBxADzCyBxA

ππ

(7.1)

l

1π 2π

Jeśli te płaszczyzny nie są równoległe, to przecinają się wzdłuż pewnej prostej .l Zatem układ równań (7.1) określa w przestrzeni 3R pewną prostą .l Jest to tzw. postać krawędziowa tej prostej. Rozważmy teraz w układzie Oxyz dowolną prostą .l Niech [ ]321 , , aaaa =

r będzie wektorem równoległym do tej prostej i niech punkt ( ) lzyxP ∈0000 , , . z • P r

r a

r • 0P 0r

r O y l x

Jeśli ( )zyxP , , jest dowolnym punktem prostej ,l to wektor PP0 jest równy

, 0 atPP r= (7.2)

gdzie t jest dowolnym parametrem. Oznaczając: [ ] [ ]zyxOPrzyxOPr , , i , , 00000 ====

rr mamy

. 00 PPrr +=rr

Stąd i z (7.2) otrzymamy tzw. równanie wektorowe prostej : l . 0 atrr rrr

+= (7.3) Z równania (7.3) i z przyjętych wyżej oznaczeń wynikają równania parametryczne prostej l :

taxx 10 += tayy 20 += (7.4)

. 30 tazx += Wektor [ ]321 , , aaaa =

r równoległy do prostej ,l nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej.

48

Ponieważ prosta l w postaci krawędziowej, określona układem (7.1) jest równoległa do wektora

,

222

11121

CBACBAkji

nn

rrr

rr=×

więc współrzędne wektora kierunkowego [ ]321 , , aaaa =r tej prostej są równe:

. , , 22

113

22

112

22

111 BA

BAa

CACA

aCBCB

a =−== (7.5)

Z równań parametrycznych (7.4) otrzymamy tzw. kierunkowe prostej l postaci:

. 3

0

2

0

1

0

azz

ayy

axx −

=−

=− (7.6)

Jeśli punkty ( ) ( ) , , , , , , 22221111 lzyxPzyxP ∈ to wektor [ ]12121221 , , zzyyxxPP −−−= jest równoległy do tej prostej. Stąd i z równania (7.6) otrzymamy równanie prostej l przechodzącej przez punkty ( )1111 , , zyxP i ( )2222 , , zyxP :

. 12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−− (7.7)

Kąt między prostymi. Niech w przestrzeni 3R dane będą dwie proste

2

2

2

2

2

22

1

1

1

1

1

11 : oraz :

czz

byy

axxl

czz

byy

axxl −

=−

=−−

=−

=− . (7.8)

2l 2r

r ϕ 1r

r 1l Niech ϕ oznacza miarę kąta między prostymi 21 i ll . Ponieważ wektory [ ]1111 , , cbar =

r i

[ ]2222 , , cbar =r są odpowiednio równoległe do prostych 21 i ll , więc

( )21 , cos cos rr rr∠±=ϕ .

Stąd i ze wzoru na kąt między wektorami otrzymamy

.

cos22

22

22

21

21

21

212121

cbacba

ccbbaa

++++

++±=ϕ (7.9)

Z powyższego wzoru wynika natychmiast warunek prostopadłości prostych 21 i ll : . 0212121 =++ ccbbaa (7.10) Proste 21 i ll są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory 21 i rr rr równoległe do tych prostych są do siebie równoległe tzn., gdy

. 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

== (7.11)

Ponadto warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby proste 21 i ll przecinały się (leżały w

jednej płaszczyźnie) jest komplanarność wektorów: [ ]12121221 , , zzyyxxPP −−−= , [ ]1111 , , cbar =r

i [ ]2222 , , cbar =

r, czyli

. 0

222

111

121212

=−−−

cbacba

zzyyxx (7.12)

49

Przykład 7.1. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt ( )2 2, 3,0 −−P i równoległej do płaszczyzn . 0743 i 0523 =−++=−−− zyxzyx Wektor kierunkowy rr szukanej prostej jest równy iloczynowi wektorowemu wektorów

[ ]2 ,3 ,11 −−=nr i [ ]1 ,4 ,32 =nr prostopadłych do podanych płaszczyzn, czyli

[ ]13 ,7 ,5 13 7 514323121 −=+−=−−=×= kjikji

nnrrrr

rrr

rrr .

Stąd i ze wzoru (7.6) otrzymamy równanie kierunkowe prostej:

. 13

272

53 −

=−+

=+ zyx

Równanie to można przedstawić równaniami parametrycznymi postaci:

.132 72 53

tztytx

+=−−=+−=

8. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 3R

Rozważmy w przestrzeni 3R prostą

, : 000

czz

byy

axxl −

=−

=− (8.1)

i płaszczyznę . 0 : =+++ DCzByAxπ (8.2) n

r l

rr

ϕ π

Niech ϕ będzie kątem zawartym między prostą l i płaszczyzną .π Ponieważ wektor [ ]cbar , ,=r

jest równoległy do prostej ,l a wektor [ ]CBAn , ,=

r prostopadły do płaszczyzny ,π to

( ) ( ) ϕϕ sin 90 cos , cos =−=∠ orr nr .

Stąd i ze wzoru na kąt między wektorami, otrzymamy wzór na sinus kąta zawartego między prostą l i płaszczyzną : π

.

sin

222222 CBAcba

CcBbAa

++++

++=ϕ (8.3)

Z powyższego wzoru otrzymamy warunek prostopadłości prostej l i płaszczyzny :π

( ) wtedy gdyż , nrCc

Bb

Aa rr ||== , (8.4)

oraz warunek równoległości prostej l i płaszczyzny :π ( ). wtedy gdyż , 0 nrCcBbAa rr

⊥=++ (8.5) Prosta l o równaniu (8.1) leży w płaszczyźnie π określonej równaniem (8.2) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący układ równań:

. 0

, 0000

=++

=+++

CcBbAaDCzByAx (8.6)

50

Przykład 8.1. Napisać równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny 02932 =−++ zyx i

przechodzącej przez punkt przebicia tej płaszczyzny prostą 2

11

12

+=

−=

zyx .

Równanie prostej w postaci parametrycznej ma postać:

. 21

1 2

tzty

tx

+−=+=

= (8.7)

Podstawiając te równania do równania płaszczyzny otrzymamy ( ) ( )

, 030 1029 63 22 229 21312 2

=−=−+−++=−+−+++tttt

ttt

skąd wynika, że . 3=t Podstawiając wartość tego parametru do równań (8.7) otrzymamy współrzędne punktu przebicia: . 5 ,4 ,6 === zyx Zatem punkt ( )5 4, ,60P jest punktem przebicia zadanej płaszczyzny prostą o równaniach parametrycznych (8.7). Ponieważ szukana prosta jest prostopadła do płaszczyzny 02932 =−++ zyx , więc wektor [ ]3 ,2 ,1=nr jest wektorem kierunkowym tej prostej. Stąd i z równania (7.6) otrzymamy równanie kierunkowe szukanej prostej postaci:

. 3

52

41

6 −=

−=

− zyx

9. Odległości punktu od płaszczyzny i prostej, odległość prostych skośnych. Odległość punktu od płaszczyzny. Rozważmy płaszczyznę π o równaniu . 0=+++ DCzByAx (9.1) i dowolny punkt ( ) π∉0000 , , zyxP . l ⋅ 0P d [ ]CBAn , ,=

r ⋅ ⋅ P π Poprowadźmy przez punkt ( )0000 , , zyxP prostą l prostopadłą do płaszczyzny .π Ponieważ wektor nr normalny do płaszczyzny π jest wektorem kierunkowym prostej ,l więc jej równania parametryczne mają postać:

.

0

0

0

tCzztByytAxx

+=

+=

+=

(9.2)

Wstawiając te równania do równania (9.1) płaszczyzny π otrzymamy ( ) ( ) ( ) . 0 000 =++++++ DtCzCtByBtAxA

Stąd

( ) , 000222 DCzByAxtCBA −−−−=++

skąd wynika, że

. 222000

CBADCzByAxt

+++++

−= (9.3)

Punktem przecięcia płaszczyzny π z prostą l jest punkt ( )zyxP , , , którego współrzędne zyx , , są określone wzorami (9.2) dla t określonego równością (9.3).

51

Stąd wynika, że odległość d punktu ( )0000 , , zyxP od płaszczyzny π jest równa odległości punktów ( )0000 , , zyxP i ( )zyxP , , . Zatem stąd i z równości (9.2) otrzymamy

( ) ( ) ( )

( ) .

2222222222222

20

20

200

tCBAtCBAtAtAtA

zzyyxxPPd

++=++=++=

−+−+−==

Stąd i ze wzoru (9.3) wynika, że

.

222

000222

000222

222000222

CBA

DCzByAxCBA

DCzByAxCBA

CBADCzByAxCBAd

++

+++=

++

+++++=

+++++

−++=

Zatem odległość d punktu ( )0000 , , zyxP od płaszczyzny :π 0=+++ DCzByAx jest równa

. 222

000

CBA

DCzByAxd

++

+++= (9.4)

Odległość punktu od prostej. Znajdziemy teraz wzór na odległość d punktu ( )1111 , , zyxP od prostej l określonej równaniem

. 000

czz

byy

axx −

=−

=− (9.5)

Niech ϕ oznacza kąt między wektorem [ ] lcbar , , ||=r i wektorem [ ]01010110 , , zzyyxxPP −−−= .

1P d ϕ

⋅

• 0P a

r l Ponieważ

, sin 10

ϕ=PP

d

więc . sin 10 ϕPPd = (9.6)

Z definicji iloczynu wektorowego wektorów mamy , sin 1010 ϕPPrrPP rr

=×

skąd

. sin 1010

ϕPPr

rPP=

×r

r

Stąd i z równości (9.6) otrzymamy wzór na odległość d punktu ( )1111 , , zyxP od prostej l określonej równaniem (9.5):

.

222

010101

10

cba

cbazzyyxx

kji

r

rPPd

++

−−−

=×

=

||

rrr

r

r

(9.7)

52

Odległość prostych skośnych. Definicja 9.1. Dwie proste w przestrzeni 3R nie leżące w jednej płaszczyźnie nazywamy prostymi skośnymi lub wichrowatymi.

Niech w przestrzeni 3R dane będą dwie proste skośne określone równaniami:

, :1

1

1

1

1

11 c

zzb

yya

xxl −=

−=

− (9.8)

. :2

2

2

2

2

22 c

zzb

yya

xxl −=

−=

− (9.9)

l 2l 2P ϕ d n

r • 1P 1l Weźmy pod uwagę wektor jednostkowy nr na prostej l prostopadłej do prostych 21 i ll oraz wektor

[ ]12121221 , , zzyyxxPP −−−= . Wektor nr prostopadły do wektorów [ ]1111 , , cbar =r i [ ]2222 , , cbar =

r ma kierunek wektora 21 rr rr

× . Ponieważ, z założenia, wektor ten jest wektorem jednostkowym, więc

. 21

21

rrrrn rr

rrr

××

= (9.10)

Oznaczając przez ϕ kąt między wektorami nPP r i 21 otrzymamy

. cos cos 212121 ϕϕ PPnPPnPP ==⋅rr (9.11)

Odległość d prostych 21 i ll jest równa długości rzutu wektora 21PP na prostą ,l tzn.

cos 21 ϕPPd = .

Stąd i ze wzoru (9.11) wynika, że . 21 nPPd r

⋅=

Uwzględniając w tym wzorze równość (9.10) otrzymamy

. 21

2121 rr

rrPPd rr

rr

××

⋅=

Stąd wynika wzór na odległość d prostych skośnych 21 i ll określonych równaniami (9.8) i (9.9) postaci:

( )

.

|

222

111

222

111

121212

21

2121

||

|

cbacbakji

cbacba

zzyyxx

rr

rrPPd rrrr

rr

−−−

=×

×⋅= (9.12)

53

Przykład 9.1. Obliczyć odległość prostych skośnych:

. 4

23

11

: i 2

111

1 : 11−

=+

=−

==+ zyxlzyxl

W powyższym przykładzie mamy: ( ) [ ] ( ) [ ] . 4 ,3 ,1 ,2 1, ,0 , 2 ,1 ,1 ,1 ,0 1, 22221111 lrlPlrlP |||| =∈−=∈−rr

Podstawiając te dane do wzoru (9.12) otrzymamy

( )

( ) ( )

. 33

31

322

122

222

3412

1 1

222

341121001

|

431211

431211111

|

222

2

====

+−+−

−=

+−−=

−

=||

|

||

|

kjikjid rrrrr

10. Powierzchnie w przestrzeni 3R Równania postaci: ( ) ,0,, =zyxF (10.1) lub ( )yxfz ,= , (10.2) określają w przestrzeni 3R pewną powierzchnię S . Krzywa (linia) C w przestrzeni może być rozpatrywana jako przecięcie dwóch powierzchni, a zatem może być określona układem równań ( ) ( ) .0,, ,0,, 21 == zyxFzyxF (10.3)

lub ( ) ( ). , , , yxgzyxfz == (10.4) Krzywą C w przestrzeni 3R można określić również równaniami parametrycznymi: ( ) ( ) ( ) [ ]. , dla , , battzztyytxx ∈=== (10.5)

Weźmy pod uwagę układ równań postaci ( ) ( ) ,0,,, ,0,,, 21 == λλ zyxFzyxF (10.6)

gdzie λ jest parametrem przyjmującym dowolne wartości. Przy ustalonym λ układ równań (10.6) mający rozwiązanie, określa w przestrzeni pewną krzywą .C Rugując parametr λ z układu (10.6) otrzymamy równanie (10.1) określające pewną powierzchnię S . Jeśli dla dowolnej wartości parametru λ układ równań (10.6) ma rozwiązanie, to określa on w przestrzeni 3R pewną rodzinę (zbiór) ℜ krzywych. Definicja 10.1. Krzywe (linie) rodziny ℜ , określone równaniami (10.6) nazywamy tworzącymi powierzchni S . Rozważmy następnie układ równań postaci: ( ) ( ) ,0,,,, ,0,,,, 21 == µλµλ zyxFzyxF (10.7)

gdzie µλ , są dowolnymi parametrami. Jeśli przy ustalonych wartościach parametrów µλ i układ równań (10.7) ma rozwiązanie, to określa on w przestrzeni pewną krzywą .C Gdy układ równań (10.7) ma rozwiązanie dla dowolnej pary parametrów µλ , , to określa w przestrzeni 3R pewną rodzinę ℜ krzywych.

54

Załóżmy, że każda krzywa rodziny ℜ ma punkt wspólny z pewną krzywą ,C określoną układem równań ( ) ( ) . 0,, ,0,, == zyxgzyxf (10.8)

Eliminując zmienne zyx ,, z równań (10.7) i (10.8) otrzymamy pewien związek między parametrami µλ i postaci:

( ) . 0 , =µλϕ (10.9) Rugując następnie parametry µλ i z równań (10.7), (10.9) otrzymamy równanie (10.1) pewnej powierzchni S w przestrzeni 3R . Powierzchnia ta została utworzona przez rodzinę ℜ krzywych określonych równaniami (10.7), z których każda ma punkt wspólny z krzywą C określoną układem równań (10.8). Definicja 10.2. Krzywą C przecinającą każdą linię rodziny ℜ tworzących powierzchnię S nazywamy kierownicą tej powierzchni. Powierzchnie obrotowe. Definicja 10.3. Powierzchnią obrotową w przestrzeni 3R nazywamy powierzchnię S utworzoną przez obrót krzywej C dookoła pewnej prostej l leżącej w płaszczyźnie tej krzywej. Krzywa C jest wówczas kierownicą powierzchni ,S natomiast prosta l tzw. osią obrotu krzywej .C Załóżmy, że krzywa C w układzie współrzędnych Oxyz jest określona równaniami (10.8), natomiast prosta l pokrywa się z osią z tego układu.

Wówczas powierzchnia obrotowa S jest utworzona przez rodzinę wszystkich okręgów położonych w płaszczyznach prostopadłych do osi z , których środki leżą na osi z i które przechodzą przez punkty krzywej .C Rodzina okręgów o tych własnościach jest określona równaniami , ,22 µλ ==+ zyx (10.10) gdzie µλ , są parametrami ( 0>λ ).

Eliminując zmienne zyx ,, z równań (10.8) i (10.10) otrzymamy równanie postaci (10.9). Rugując następnie parametry µλ i z równań (10.9) i (10.10) otrzymamy równanie powierzchni obrotowej w przestrzeni 3R postaci:

( ) . 0 ,22 =+ zyxϕ (10.11)

W szczególności, gdy krzywa C jest płaska i leży np. w płaszczyźnie Oxz , wówczas jej równania mają postać ( ) .0 , == yzfx (10.12)

Podstawiając te równania do (10.10) otrzymamy

( ) , ,2 µλ == zzf

skąd wynika równanie

( ) . 2 λµ =f (10.13)

55

Stąd i z (10.10) otrzymamy równanie powierzchni obrotowej postaci:

( ). 222 zfyx =+ (10.14)

Przykład 10.1. Znaleźć równanie powierzchni obrotowej powstałej z obrotu krzywej C określonej równaniami

0, ,2 == yxz (10.15) dookoła osi .x Powierzchnia ta zostanie utworzona przez rodzinę okręgów leżących w płaszczyznach prostopadłych do osi x , o środkach położonych na tej osi i przechodzących przez punkty krzywej ,C określonej układem równań (10.15). Rodzinę tych okręgów można opisać równaniami

. , 22 µλ =+= zyx (10.16)

Eliminując zyx ,, z równań (10.15) i (10.16) dostaniemy równanie

. 4 µλ = (10.17)

Rugując następnie parametry µλ , z równań (10.16) i (10.17) otrzymamy równanie powierzchni obrotowej postaci

.224 zyx += (10.18)

Powierzchnie prostoliniowe. Definicja 10.4. Powierzchnię utworzoną przez rodzinę ℜ linii prostych nazywamy powierzchnią prostoliniową lub prostokreślną. Powierzchnie prostoliniowe dzielimy na:

1. powierzchnie stożkowe, 2. powierzchnie walcowe.

Definicja 10.5. Powierzchnią stożkową nazywamy powierzchnię utworzoną przez rodzinę linii prostych przechodzących przez stały punkt 0P , zwany wierzchołkiem tej powierzchni i punkty danej krzywej C będącej jej kierownicą. W celu znalezienia równania powierzchni stożkowej o wierzchołku ( )0000 , , zyxP weźmy pod uwagę trzy płaszczyzny o równaniach: . 0 ,0 ,0 000 =−=−=− zzyyxx (10.19)

Przechodzą one przez punkt 0P , więc płaszczyzny

( )( ) ,0

,0

00

00

=−−−

=−−−

zzyyzzxx

µλ

(10.20)

określają zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt ( )0000 , , zyxP , gdy parametry µλ i zmieniają się dowolnie. Niech kierownica tej powierzchni będzie określona równaniami (10.8). Eliminując zyx ,, z równań (10.8) i (10.20) otrzymamy równanie postaci (10.9). Rugując następnie parametry µλ , z równań (10.9) i (10.20) otrzymamy równanie powierzchni stożkowej postaci

. 0 ,0

0

0

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

zzyy

zzxxϕ (10.21)

W szczególności, gdy wierzchołek 0P leży w początku układu współrzędnych Oxyz , to równanie powierzchni stożkowej przybierze postać

. 0 , =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

zy

zxϕ (10.22)

56

Definicja 10.6. Powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię utworzoną przez rodzinę linii prostych równoległych do pewnej stałej prostej l i przechodzących przez punkty danej krzywej C będącej kierownicą tej powierzchni. Załóżmy, że kierownica C powierzchni walcowej jest określona równaniami (10.8), natomiast prosta l równaniem krawędziowym określonym przez płaszczyzny: ( ) ( ) . 0 , ,Q ,0 , , == zyxzyxP

W celu wyznaczenia równania powierzchni walcowej weźmy pod uwagę równania ( ) ( ) , 0 , ,Q ,0 , , =−=− µλ zyxzyxP (10.23)

gdzie µλ i są dowolnymi parametrami.

Płaszczyzny te są równoległe do prostej l , więc układ równań (10.23), gdy parametry µλ i zmieniają się dowolnie, określa rodzinę wszystkich prostych równoległych do l . Eliminując zmienne zyx ,, z równań (10.8) i (10.23) otrzymamy równanie (10.9). Rugując następnie parametry µλ , z równań (10.9) i (10.23) otrzymamy równanie powierzchni walcowej postaci

( ) ( )( ) . 0 , ,Q , , , =zyxzyxPϕ (10.24)

Przykład 10.2. Znaleźć równanie powierzchni walcowej o kierownicy określonej równaniami

, 0 ,42 == zxy (10.25)

i tworzących równoległych do wektora [ ]3 ,2 ,1=ar .

Równanie prostej l przechodzącej np. przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektora ar ma postać

, 321zyx

==

lub w postaci krawędziowej: . 03 ,02 =−=− zxyx

Stąd wynika, że równania , 3 ,2 µλ =−=− zxyx (10.26)

gdzie µλ , są dowolnymi parametrami, określają rodzinę prostych równoległych do wektora ,ar tworzących powierzchnię walcową i przechodzących przez punkty kierownicy określonej przez układ równań (10.25). Eliminując zyx ,, z równań (10.25) i (10.26) otrzymamy, że

( ) ,3

,42 2 µλ ==− xxx

skąd wynika równanie

, 34

32 2

µλµ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

czyli

( ) . 1232 2 µλµ =− (10.27)

Rugując następnie parametry µλ , z równań (10.26) i (10.27) otrzymamy równanie powierzchni walcowej

( ) ( )( ) ( ) , 3122332 2 zxyxzx −=−−−

czyli

( ) ( ). 31223 2 zxzy −=− (10.28)

Komentarz [TK1]:

57

Powierzchnie stopnia drugiego. Definicja 10.7. Powierzchnią stopnia drugiego w przestrzeni 3R nazywamy zbiór punktów ( )zyxP , , spełniających równanie

, 0222222 003020102313122

332

222

11 =+++++++++ azayaxayzaxzaxyazayaxa (10.29) gdzie 3 2, ,1 ,0, dla =∈ jiaij R i przynajmniej jedna ze stałych iia jest różna od zera.

Rozpatrzymy teraz szczególne przypadki powierzchni stopnia drugiego. Elipsoida. Elipsoidą nazywamy powierzchnię określoną równaniem

. 0 , , gdzie , 12

2

2

2

2

2

>=++ cbacz

by

ax (10.30)

Liczby cba , , nazywamy półosiami elipsoidy. Punkty przecięcia elipsoidy z osiami współrzędnych nazywamy wierzchołkami tej elipsoidy. Jeśli Rcba === , to równanie elipsoidy (10.30) przybierze postać

.2222 Rzyx =++ (10.31)

Równanie to określa tzw. sferę dwuwymiarową (krócej: sferę) o środku w punkcie ( )0 0, ,0O i promieniu R w przestrzeni .3R Z powyższej definicji wynika, że sfera jest szczególnym przypadkiem elipsoidy. Ogólniej, sferą o środku w punkcie ( )0000 , , zyxS i promieniu R nazywamy powierzchnię stopnia drugiego określoną równaniem

( ) ( ) ( ) .220

20

20 Rzzyyxx =−+−+− (10.32)

Hiperboloida jednopowłokowa. Powierzchnię o równaniu

, 12

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax (10.33)

gdzie 0 , , >cba nazywamy hiperboloidą jednopowłokową.

Liczby ba , nazywamy półosiami rzeczywistymi, zaś liczbę c półosią urojoną tej hiperboloidy. Jeśli ,ba = to hiperboloida ta jest powierzchnią obrotową i nazywa się hiperboloidą jednopowłokową obrotową. Hiperboloida jednopowłokowa jest powierzchnią prostoliniową. Hiperboloida dwupowłokowa. Hiperboloidą dwupowłokową nazywamy powierzchnię o równaniu

58

. 0 , , gdzie , 12

2

2

2

2

2

>−=−+ cbacz

by

ax (10.34)

Liczbę c nazywamy półosią rzeczywistą, natomiast liczby ba , półosiami urojonymi tej hiperboloidy. Hiperboloida dwupowłokowa ma dwa wierzchołki w punktach: ( )c 0, ,0 i ( )c− 0, ,0 . Jeśli ,ba = to hiperboloida ta jest powierzchnią obrotową i nazywa się hiperboloidą dwupowłokową obrotową. Paraboloida eliptyczna. Paraboloida eliptyczna jest powierzchnią stopnia drugiego określoną równaniem

. 0 , gdzie ,2

2

2

2

>=+ bazby

ax (10.35)

Jeśli ,ba = to paraboloida ta jest powierzchnią obrotową i nazywa się paraboloidą obrotową. Paraboloida hiperboliczna. Paraboloidą hiperboliczną nazywamy powierzchnię o równaniu:

. 0 , gdzie ,2

2

2

2

>=− bazby

ax (10.36)

Paraboloida hiperboliczna jest powierzchnią prostoliniową. Stożek. Powierzchnię stopnia drugiego określoną wzorem

, 02

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax (10.37)

59

, 0 , , gdzie >cba nazywamy stożkiem.

Początek układu współrzędnych jest wierzchołkiem stożka. Jeśli ,ba = to stożek jest powierzchnią obrotową i nazywa się stożkiem obrotowym. Walec eliptyczny. Walcem eliptycznym nazywamy powierzchnię określoną równaniem

. 0 , gdzie ,12

2

2

2

>=+ baby

ax (10.38)

Jeśli ,ba = to walec ten jest powierzchnią obrotową i nazywa się walcem obrotowym. Walec hiperboliczny. Powierzchnię drugiego stopnia określoną równaniem

, 0 , gdzie ,12

2

2

2

>=− baby

ax (10.39)

nazywamy walcem hiperbolicznym.

Walec paraboliczny. Walec paraboliczny to powierzchnia stopnia drugiego, określona równaniem:

, 22 pxy = (10.40)

gdzie p jest dowolnym parametrem różnym od zera.

60

Literatura

1. Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976 2. Białynicki-Birula A., Algebra, PWN, Warszawa 1971. 3. Borsuk K., Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1966. 4. Janowski W., Matematyka, t. I, II, PWN, Warszawa 1973. 5. Jefimow N.W., Rozendorn E.R., Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN,

Warszawa 1974. 6. Leitner R., Zarys matematyki wyższej, cz. I, II, WNT Warszawa 1981. 7. Leja F., Geometria analityczna, PWN Warszawa 1977. 8. Minorski W.P., Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, Warszawa 1973 9. Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1973.

10. Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975 11. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, Część A, PWN,

Warszawa 2003 12. Stark M., Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1975. 13. Stark M., Geometria analityczna z wstępem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa

1972. 14. Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993 15. Wrona W., Matematyka, cz. I, II, PWN, Warszawa 1971.