e-wyklad

e-wykład Studium TALENT

Matematyka rok szkolny 2005/2006

autorzy: Mateusz Jędrzejewski, Krzysztof śółtański. Wrocław, 2005-2006

Wstęp

Niniejszy dokument stanowi elektroniczną notatkę z wykładów. Notatki pt. e-wykład zawierają wykłady ze Studium TALENT – Matematyka 2005/2006. Zajęcia odbywały się w soboty 7:30-9:00 w sali 301 (D-1), prowadził je doc. Janusz Górniak. Cykl wykładów zakończył się egzaminem (8 marca 2006 r.). Autorami notatek wykładów są dwaj uczniowie Liceum Ogólnokształcącego Nr VII im. K. K. Baczyńskiego we Wrocławiu. Mateusz i Krzysztof uczęszczają do klasy 3G. Z autorami stale współpracuje: Michał Nawotka z klasy IIIG oraz Grzegorz Musiał z klasy 3H. Szczególne podziękowania naleŜą się takŜe: ElŜbiecie Głogowskiej oraz Pawłowi Szczepkowskiemu za dostarczenie list z ciekawymi zadaniami. Ta praca jest rozpowszechniana za darmo do uŜytku w celach edukacyjnych. Nie moŜna zmieniać jej treści bez zgody autorów. Do tworzenia wykresów wykorzystano program Graph. NaleŜy pamiętać, Ŝe praca moŜne zawierać błędy, mijać się z prawdą lub być niekompletna, ale za to autorzy nie ponoszą Ŝadnej odpowiedzialności. Zawsze mile widziane jest zgłaszanie błędów, czy wątpliwości autorowi co do zawartości merytorycznej pracy. linki: www.e-zeszyty.twoj.info z tej strony zawsze moŜna ściągnąć najnowszą wersję tego pliku z wykładami,

www.pwr.wroc.pl strona Politechniki Wrocławskiej, www.talent.pwr.wroc.pl oficjalna strona Studium TALENT, www.wppt.pwr.wroc.pl strona Wydziału Podstawowych Problemów Techniki.

autorzy e-mail: [email protected]

e-wykład Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Spis treści data aktualizacji: 2006-04-01 17:59:34

- 2 -

Spis tre ść

wykład 1. 2005-10-22 _____________________________________________________- 3 -

wykład 2. 2005-10-29 _____________________________________________________- 6 -

wykład 3. 2005-11-05 ____________________________________________________- 10 -

wykład 4. 2005-11-19 ____________________________________________________- 16 -

wykład 5. 2005-11-26 ____________________________________________________- 20 -

wykład 6. 2005-12-02 ____________________________________________________- 24 -

Twierdzenie o całkowalności kaŜdej funkcji ci ągłej ____________________________ - 26 -

wykład 7. 2005-12-10 ____________________________________________________- 27 -

Twierdzenie Rolle’a ______________________________________________________ - 30 -

Twierdzenie Lagrange’a___________________________________________________ - 31 -

wykład 8. 2005-12-17 ____________________________________________________- 32 -

Funkcja z argumentem w górnej granicy całkowania___________________________ - 34 -

wykład 9. 2006-01-07 ____________________________________________________- 36 -

Twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania _______________ - 36 -

Twierdzenie Leibnitza-Newtona ____________________________________________ - 38 -

wykład 10. 2006-01-14 ___________________________________________________- 39 -

Obliczanie objętości i pola _________________________________________________ - 39 -

Twierdzenie o całkowaniu przez części_______________________________________ - 42 -

wykład 11. 2006-02-25 ___________________________________________________- 44 -

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie ________________________________ - 45 -

wykład 12. 2006-03-04 ___________________________________________________- 47 -

Zastosowania całek _______________________________________________________ - 48 -

Obliczenia granic ciągów przez całkowanie ___________________________________ - 49 -

Dodatek A: Wzory sumacyjne _____________________________________________- 50 -

Dodatek B: Podręczny zbiór twierdzeń i definicji z wykładów ____________________- 51 -

Dodatek C: Spis podstawowych całek nieoznaczonych _________________________- 54 -

Dodatek D: Ćwiczenia w liczeniu całek nieoznaczonych ________________________- 55 -

Dodatek E: Zadania z kolokwiów (treści zadań oraz przykładowe rozwiązania) _____- 67 -

Dodatek F: Pochodne i całki wybranych funkcji ______________________________- 97 -

Dodatek G: Wzory trygonometryczne przydatne przy całkowaniu_________________- 98 -

e-wykład Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 wykład 1. data aktualizacji: 2005-10-24 17:04:40

- 3 -

wykład 1. 2005-10-22 1) Słowa kluczowe:

Całka oznaczona Riemanna. 2) Funkcja – odwzorowanie, recepta, „maszynka”, przyporządkowanie.

a) def.: funkcja to przyporządkowanie takie, Ŝe kaŜdemu elementowi ze zbioru X , przypisujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y .

b) Przykłady funkcji: ● funkcja stała, np. 3=y , ● funkcja liniowa, np. 32 += xy ,

● funkcja kwadratowa, np. 232 −+= xxy ,

● funkcja wielomianowa, np. 2334 ++−= xxxy ,

● funkcja homograficzna, np. 32

13

+−=

x

xy ,

● funkcja wymierna, np. 222 −+

=xx

xy ,

● funkcja trygonometryczna, np. xy sin= ,

● funkcja wykładnicza, np. xey = , ● funkcja logarytmiczna, np. xy log= .

3) Liczby a) Zbiory liczbowe:

● zbiór liczb naturalnych, „zero raczej nie jest naturalne” { },...4,3,2,1∈N , ○ Dygresja o indukcji matematycznej, ○ 0ℵ (czytaj: „alef zero”) – moc zbioru liczb naturalnych,

● zbiór liczb całkowitych, { },...4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−∈C ,

● zbiór liczb wymiernych,

Cqpq

pw ∈∧= , ,

● zbiór liczb niewymiernych, ● zbiór liczb rzeczywistych,

WNR ∪∈ , ○ c (continuum) – moc zbioru liczb rzeczywistych,

○ Czy liczba 2 jest niewymierna? dowód nie wprost,

teza: liczba 2 jest wymierna.

qpq

p,2 ∧= – liczby względnie pierwsze,

2222222

2

242222 kqkqkppqq

p =⇒===⇒=

obserwacja: liczby p i q powinny być parzyste, wniosek: nie moŜna dobrać odpowiednich względnie pierwszych liczb p i q , więc teza jest fałszywa,

więc liczba 2 jest niewymierna.


- 4 -

4) Dana jest funkcja [ ] Rbaf →,: Umowa na kilka najbliŜszych wykładów

[ ]baf ,:

[ ]ba, – odcinek ograniczony z domkniętymi końcami, +∞<<<∞− ba

więc funkcja f jest ograniczona. 5) Zastosowanie całek oznaczonych:

a) obliczenia pola figury pod wykresem, b) obliczania długości krzywej, c) obliczania objętości brył obrotowych, d) obliczania pola powierzchni bocznej bryły obrotowej.

6) Sposób na sumowanie pola trapezu krzywoliniowego. Dana jest funkcja [ ] Rbaf →,: Chcąc policzyć pole figury powstałej pomiędzy wykresem funkcji a osią OX naleŜy…

… podzielić ją na „małe” prostokąty tak, Ŝeby suma pól tych prostokątów była zbliŜona do faktycznego pola figury pod wykresem.

MoŜna zauwaŜyć, Ŝe zwiększanie ilości podziałów odcinka [ ]ba, powoduje zwiększenie dokładności obliczania pola figury pod wykresem funkcji. Przy liczbie podziałów n dąŜącej do nieskończoności suma pól powstałych prostokątów jest dokładnie równa polu figury pod wykresem funkcji.

trapez krzywoliniowy funkcja: f


- 5 -

7) Do obliczenia objętości były obrotowej stosuje się podobną technikę. RównieŜ figurę dzielimy na „małe” prostokąty, ale tym razem jeszcze kaŜdy z nich obracamy wokół osi OX . W ten sposób otrzymujemy walce. Suma objętości tych walców da nam szukaną objętość bryły obrotowej.

8) Podział odcinka,

1=n , czyli odciek z jednym punktem pośrednim ξ (czytaj: ksi, mała litera greckiego alfabetu) z wnętrza danego odcinka w dowolnym miejscu

1=n

2=n n

9) Definicja całki oznaczonej Riemanna.

JeŜeli dla funkcji f ograniczonej na odcinku [ ]ba, istnieje dla kaŜdego wyboru punktów pośrednich i nie zaleŜy dokonywanych wyborów podziałów normalnych i punktów

pośrednich granica ciągu

( ) ( )x

n

i

n

i

n

inf ∆∑

=∞→

1

lim ξ to mówimy, Ŝe:

funkcja f ma całkę oznaczoną Riemanna na odcinku [ ]ba, .

Uzyskaną granicę nn

σ∞→

lim nazywamy wtedy całką Riemanna i oznaczamy

( )∫=∞→

b

a

nn

dxxfσlim

gdzie nσ (czytaj: sigma, mała grecka litera) to suma pól n-prostokątów

( ) ( )

xn

i

n

i

n

in f ∆∑=

=

1ξσ ,

( ) ( ) ( )

xxxn

i

n

i

n

i 1−−=∆ .

( )xa

1

0=

( )ξ 1

1

( )xb

1

1=

( )xa

2

0=

( )ξ 2

2

( )xb

2

2=

( )ξ 2

1

( )x

2

1

( )x

n

0

( )ξ n

i

( )x

n

n

( )ξ n

1

( )x

n

i 1−

( )ξ n

n

( )x

n

i


- 6 -

wykład 2. 2005-10-29 1) Ciągi liczbowe:

a) definicja:

● intuicyjna:

ciąg liczbowy to uporządkowany układ liczb

● formalna:

ciąg liczbowy to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych

b) przykład ciągów:

● ciąg stały, np. ,...1,1,1,1,1,1 ,

● ciąg arytmetyczny, ( ) rnaan ⋅−+= 11 , np. ,...11,9,7,5,3 ,

● ciąg geometryczny, 11

−= nn qaa , np. ,...,,,,1 16

181

41

21 ,

● inne, np. n

an

1= , ,...,,,,1 81

41

31

21 ,

c) w ciągach moŜemy badać:

● monotoniczność,

● zmienność znaków, np. ,...1,1,1,1,1,1,1,1 −−−− ,

● zbieŜność,

ciąg zbieŜny to ciąg, który posiada granicę skończoną.

2) Granica ciągu:

a) definicja: ● intuicyjna:

otoczenie liczby a liczby zbiegają się do a , a jest granicą ciągu

● formalna: liczba a jest granicą ciągu na jeŜeli:

ε

ε<−∧∨∧

≥>aan

NnN0

zapis równowaŜny: εε <−≥∀∃>∀ aaNnN n 0

czytaj: „dla kaŜdej dostatecznie małej dodatniej liczby ε istnieje taka liczba naturalna N , Ŝe dla kaŜdego n niemniejszego od N jest spełnia nierówność ε<− aan ”.

Czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu zbieŜnego znajdują się w epsilonowym otoczeniu granicy. ε – mała grecka litera epsilon prawie wszystkie wyrazy ciągu – wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyŜej skończonej ich liczby,

a

ε−a ε+a


- 7 -

b) przykład: Sprawdź czy dany ciąg na jest zbieŜny.

n

nan 52

32

+−=

hipoteza: granicą tego ciągu jest 5

2 .

5

2=a

( ) ( )

( ) ( )

5

2

25

19

525

1952

5

1952519

525

19

525

19

525

1041510

5

2

52

32

0

−>

<−⇒+<⇒+⋅⋅<⇒<+⋅

<+⋅

−⇒<

+⋅−−−

⇒<−+

−

>∧<−

ε

εεεε

εεε

εε

n

nnnn

nn

nn

n

n

aan

więc istnieje takie N , Ŝe Nn ≥ ,

15

2

25

19 +

−=ε

EN

wniosek: ciąg na jest zbieŜny,

3) Zadanie:

Sprawdź czy dana funkcja jest całkowalna, jeŜeli tak to wyznacz jej całkę. a) dana jest funkcja:

( ) 3=xf na [ ]2,0

1. bierzemy dowolny, normalny ciąg podziału odcinka [ ]2,0 ,

2. bierzemy dowolne punkty pośrednie ξ ,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 6023

33...33121

=−⋅=

++++= ∆∆∆∆ −

n

n

n

n

n

nn

n xxxxσσ

KaŜdy ciąg stały jest zbieŜny.

∫ ==

→= ∞→

2

0

63

66

dxn

nn

σ

σ

Oblicz granicę ciągu na

(„uwolnienie od nieoznaczoności”): ( )( )

5

2

5

2

5

2

2

3

2

3

lim

limlim

=+−

=

=+⋅−⋅

=

∞→

∞→∞→

n

n

n

n

n

nn

n n

na

entier x (inaczej część całkowita lub cecha liczby rzeczywistej x ) – największa liczba całkowita nie przewyŜszająca liczby x . Dopuszczalne oznaczenia: [ ]x lub ( )xE

np. ( ) 123,123,1 =⇒= Ex


- 8 -

b) dana jest funkcja:

( ) )(

∈=

∈===

=

3,23

2,0gdy2

21

xy

xy

xy

xf

Funkcja f jest przedziałami („kawałkami”) stała.

1. bierzemy dowolny, normalny ciąg podziału odcinka [ ]3,0 ,

2. bierzemy dowolne punkty pośrednie ξ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxx

n

n

n

i

n

i

n

i

n

i

n

n f ∆∆∆∆∆ +++

+++= +− 3...32...2

1

3 albo 2 albo 1

1143421

ξσ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )44 344 21

44 344 21

32144 344 21

xxx

f

xx iin

i

n

i

ii

xxxxxn

n

n

i

f

n

i

n

i

n

i

n

n

→

=−

+

=⋅

→

→

=−

−

+−

++⋅+

∆

+++⋅= ∆

11

123

1

00

0202

10...3...2

ξ

σ ξ

73413022 =+=⋅++⋅=nσ

Ciąg jest zbieŜny.

( )∫==∞→

3

0

7lim dxxfnn

σ

funkcja f jest nieciągła w 2=x ,

„Całka oznaczona jest nieczuła na zmianę wartości funkcji w jednym punkcie.”

JeŜeli funkcja w punkcie nieciągłości będzie miała inną wartość to całka tej funkcji nie zmieni swojej wartości (patrz pkt. a). Podobnie będzie jeŜeli funkcja będzie miała więcej niŜ jeden punkt nieciągłości, np. dwa takie punkty (patrz pkt. b).

a) b) JeŜeli funkcja ma skończenie wiele punktów nieciągłości na [ ]ba,

to jest całkowalna na [ ]ba, .

( )x

n

i 1−

( )x

n

i

( )x

n

i 1+

Iloczyn ciągu ograniczanego i ciągu zbieŜnego do zera jest zbieŜny do zera, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach.


- 9 -

c) dana jest funkcja Dirichleta (f.D.):

( )

=0

1xf gdy

I sposób 1. bierzemy dowolny ciąg podziału [ ]1,0 , 2. tak wybieramy punkty pośrednie ξ , Ŝe są wyłącznie liczbami wymiernymi

11→=nσ

II sposób 1. bierzemy dowolny ciąg podziałów [ ]1,0 , 2. tak wybieramy punkty pośrednie ξ , Ŝe są wyłącznie liczbami niewymiernymi,

00 →=nσ

01≠ Przez róŜny wybór punktów pośrednich otrzymaliśmy róŜne granice, powołując się na definicję całki oznaczonej stwierdzamy, Ŝe funkcja Dirichleta nie jest całkowalna. Dodatkowo moŜna zauwaŜyć, Ŝe funkcja Dirichleta jest nieciągła w kaŜdym punkcie swojej dziedziny.

d) dana jest funkcja nieograniczona:

( )

=≠

=01

01

x

xxf x na [ ]1,0

Wartość funkcji w punkcie bliskim 0 jest nieskończona, więc ∞→nσ , jest to graniczna niewłaściwa.

Funkcja f nie jest całkowalna na [ ]1,0 .

e) dana jest funkcja liniowa: ( ) xxf = na [ ]1,0

”załóŜmy, Ŝe funkcja jest całkowalna” ● kaŜda funkcja ciągła na odcinku [ ]ba,

jest całkowalna,

( )

∫==

→+=

+=

+++=⋅++⋅+⋅=

∞→

1

0

2

211211

2

1

2

1

2

1

2

11

...211

...

xdx

n

nn

n

n

nn

n

nn

nnn

nnnnn

σ

σ

σ

x wymierne

x niewymierne

nie zaznaczono wszystkich wartości funkcji Dirichleta

na [ ]1,0

n1 n

2 …


- 10 -

wykład 3. 2005-11-05 1) Zadania:

a) Oblicz całkę oznaczoną dxx∫1

0

2

przy załoŜeniu, Ŝe istnieje. ( ) 2xxf = na [ ]1,0

Biorę: ● ciąg podziałów odcinka [ ]1,0

na odcinki równe n1

● punkty pośrednie – prawe końce odcinków, czyli nn

nn

nn ,,...,, 121 −

( ) ( )( )( )

3

1

6

2

6

132

6

1211

...3211111

...131211

213

2

2

3

222232

2

2

2

2

2

2

2

2

→++

=++=++=

=++++⋅=⋅+⋅−++⋅+⋅+⋅=

nn

n

n

nnnnn

n

nnnn

n

nn

n

nnnnnnσ

patrz dodatek: „Wzory sumacyjne”

odp. 3

11

0

2 =∫ dxx

b) Oblicz całkę oznaczoną dxx∫1

0

3

przy załoŜeniu, Ŝe istnieje. ( ) 3xxf = na [ ]1,0

Biorę: ● ciąg podziałów odcinka [ ]1,0

na odcinki równe n1

● punkty pośrednie – prawe końce odcinków, czyli nn

nn

nn ,,...,, 121 −

( )

( ) ( )41

4

1

412

411

...3211

111...

131211

212

2

222

43333

4

3

3

3

3

3

3

3

3

3

→++

=++=+=++++⋅=

=⋅+⋅−++⋅+⋅+⋅=

nn

n

n

nnnn

nn

n

nn

n

nn

n

nnnnnnσ

patrz dodatek: „Wzory sumacyjne”

odp. 4

11

0

3 =∫ dxx

n1 n

2 …

n1 n

2 …


- 11 -

c) Oblicz całkę oznaczoną dxx∫Π2

0

sin

przy załoŜeniu, Ŝe istnieje. ( ) xxf sin= na [ ]2,0 Π

Biorę: ● ciąg podziałów odcinka [ ]2,0 Π

na odcinki równe n2Π

● punkty pośrednie – prawe końce odcinków, czyli n

nnnn 22

322

2 ,...,,, ΠΠΠΠ

12

22

14

0sin2

4

4sin

44sin2

4sin

244

sin2

2

4sin

44sin

4sin

24

sin2

44sin

4sin2

2

4sin2

4242

1sin

4242

1sin2

24

sin2

42cos

4cos

2

4sin2

22

1cos

4cos

22sin...

23sin

22sin

2sin

2

==

Π+⋅→

Π

Π

Π+Π⋅=

=Π⋅Π

Π+Π⋅=Π

Π+Π

Π

⋅Π=Π

Π+Π

Π−−⋅Π=

=Π

Π+Π+Π

Π−Π−Π−⋅Π=Π

Π+Π−Π

⋅Π=

=Π

Π

+−Π

⋅Π=

Π++Π+Π+ΠΠ=

n

n

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnnn

nn

nnn

n

nn

nnn

nnnnnnσ

bo wiemy, Ŝe:

2

2

4sin0

4

1

4

41sin

4

4sinsin

lim

limlimlim0

=Π=Π

=Π

Π⋅=Π

Π

⇒=

∞→

∞→∞→→

n

n

n

n

nax

ax

n

nnx

patrz takŜe dodatek: „Wzory sumacyjne”

odp. 1 sin2

0

=∫

Π

dxx


- 12 -

d) Oblicz całkę oznaczoną dxx∫Π2

0

cos

przy załoŜeniu, Ŝe istnieje. ( ) xxf cos= na [ ]2,0 Π

Biorę: ● ciąg podziałów odcinka [ ]2,0 Π

na odcinki równe n2Π

● punkty pośrednie – prawe końce odcinków, czyli n

nnnn 22

322

2 ,...,,, ΠΠΠΠ

12

22

14

0sin2

4

4sin

44sin2

4sin

244

sin2

2

4sin

44sin

4sin

24

sin2

44sin

4sin2

2

4sin2

4242

1sin

4242

1sin2

24

sin2

42cos

4cos

2

4sin2

22

1cos

4cos

22cos...

23cos

22cos

2cos

2

==

Π+⋅→

Π

Π

Π+Π⋅=

=Π⋅Π

Π+Π⋅=Π

Π+Π

Π

⋅Π=Π

Π+Π

Π−−⋅Π=

=Π

Π+Π+Π

Π−Π−Π−⋅Π=Π

Π+Π−Π

⋅Π=

=Π

Π⋅

+−Π

⋅Π=

Π++Π+Π+ΠΠ=

n

n

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnnn

nn

nnn

n

nn

n

nnnnnnnσ

bo wiemy, Ŝe:

2

2

4cos0

2

1

4

41sin

4

4sin

sin

lim

limlimlim0

=Π=Π

=Π

Π⋅=

Π

Π

⇒=

∞→

∞→∞→→

n

n

n

n

nax

ax

n

nnx

patrz takŜe dodatek: „Wzory sumacyjne”

odp. 1 cos2

0

=∫

Π

dxx


- 13 -

2) Twierdzenie: KaŜda funkcja ciągła f na [ ]ba, jest całkowalna. Czy są jakieś funkcje nieciągłe ale całkowalne? Odp. TAK. (patrz np. poprzedni wykład)

3) Całka górna i całka dolna Darboux. Dana jest funkcja ograniczona f na [ ]ba, . Niezbędne definicje:

a) Zbiór liczbowy nazwiemy ograniczonym z góry jeŜeli istnieje liczba większa od wszystkich liczb zaleŜących tego zbioru,

b) Zbiór liczbowy nazwiemy ograniczonym z dołu jeŜeli istnieje liczba mniejsza od wszystkich liczb naleŜących tego zbioru,

c) Zbiór jest ograniczony, jeŜeli jest ograniczony jednocześnie z góry i z dołu,

d) Kres dolny zbioru liczbowego A (infimum zbioru, Ainf ) to największa z tych liczb, które ograniczają ten zbiór z dołu. Liczba będąca kresem dolnym zbioru moŜe, ale nie musi do niego naleŜeć.

εε

+<≤≤ ∨∧∧∈>∈

mxmxmAxAx

00 0

mA =inf

e) Kres górny zbioru liczbowego A (supremum zbioru, Asup ) to najmniejsza z tych liczb, które ograniczają ten zbiór z góry. Liczba będąca kresem górnym zbioru moŜe, ale nie musi do niego naleŜeć.

MxMMxAxAx

≤<−≤ ∨∧∧∈>∈

00 0

εε

MA =sup

Kres dolny zbioru wartości funkcji to kres dolny funkcji: ( ) mxf =inf

Kres górny zbioru wartości funkcji to kres górny funkcji: ( ) Mxf =sup

gdzie [ ]bax ,∈

ns – ciąg sum dolnych ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑ ∆

∆∆∆

=

⋅=

=⋅++⋅+⋅=n

i

n

i

n

i

n

n

n

n

nnnn

n

xm

xmxmxms

1

2211...

nS – ciąg sum górnych ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑ ∆

∆∆∆

=

⋅=

=⋅++⋅+⋅=n

i

n

i

n

i

n

n

n

n

nnnn

n

xM

xMxMxMS

1

2211...

funkcja: f

ograniczonyzbiór wartości

0x

ε+m m

0x

ε−M M

funkcja: f

( )xfinf

( )xfsup


- 14 -

Zawsze: ( ) ( )abMSsabm nnn −≤≤≤≤− σ

czyli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abMfabmn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i xMxxm −≤≤

≤≤− ∑ ∆∑ ∆∑ ∆

=== 111ξ

Twierdzenie: Dana jest funkcja ograniczona f na [ ]ba, .

Dla kaŜdego normalnego ciągu podziałów odcinaka [ ]ba, istnieją granice ciągów

( )∫==∞→

b

a

nn

dxxfss lim całka dolna

( )∫==∞→

b

a

nn

dxxfSS lim całka górna

i nie zaleŜą od dokonanych wyborów. przykład: bierzemy ciąg podziałów wnioski:

• ciąg sum dolnych jest ograniczony z góry i rosnący, • ciąg sum górnych jest ograniczony z dołu i malejący,

4) Twierdzenie:

KaŜdy ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieŜny do kresu górnego. analogicznie: KaŜdy ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieŜny do kresu dolnego.

a 2a 4

a 8a


- 15 -

5) Zadanie: Oblicz całki dolne i górne danych funkcji:

a) ∫==→⋅=2

0

3623 dxssn

∫==→⋅=2

0

3623 dxsSn

Ss =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ss xxxxxn

n

n

i

n

i

n

i

n

n =→+⋅+⋅=++++++= ∆∆∆∆∆ +− 4101131...113...3111

SSn =→+⋅+⋅= 410313

Ss =

c) ( )

=0

1xf gdy

( ) ( )

ss xxn

n

n

n =→=⋅+= ∆∆⋅ 000...01

( ) ( )

SS xxn

n

n

n =→=⋅++⋅= ∆∆ 111...11

Ss ≠ funkcja niecałkowalna 6) Twierdzenie:

Funkcja jest całkowalna jeŜeli jej górna i dolna granica całkowania są równe, czyli sS = .

x wymierne

x niewymierne na [ ]1,0


- 16 -

wykład 4. 2005-11-19 1) Zadania:

a) Oblicz całkę górną i całkę dolną: ( ) xxf = na [ ]1,0

( )( ) ( )( )

sn

n

n

n

nn

nn

n

nn

n

nnnnns

n

n

=→⋅−

=−=

=−⋅−+⋅=−+++⋅=

=⋅−++⋅+⋅+⋅=

2

1

2

1

2

1

12

1111...21

1

11...

121110

1

22

( )( )

Sn

n

n

n

nn

nn

nnn

n

nnnnS

n

n

=→⋅+⋅

=+=

=⋅+⋅=+++⋅=⋅++⋅+⋅=

2

1

2

1

2

12

11...21

11...

1211

1

22

więc: sS =

2) Twierdzenie: Funkcja ograniczona f na [ ]ba, jest całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy jej całka górna jest równa całce dolnej (Ss = ).

3) Twierdzenie o trzech ciągach: Dany jest ciąg ( )na . JeŜeli istnieją 2 dodatkowe ciągi ( )nb i ( )nc takie, Ŝe:

nnn cab ≤≤

takie, Ŝe:

AaAcAb nn

nn

nn

=⇒

=∧=∞→∞→∞→

limlimlim

nnn cab ≤≤

A Przykłady:

a) ?32lim =+∞→

n nn

n

wiem, Ŝe:

n nnn n 323 +≤ n nn nn 3232 ⋅≤+

33lim =∞→

n n

n

32332 limlim =⋅=⋅∞→∞→

n

n

n n

n

więc:

332lim =+∞→

n nn

n

zapis nieformalny:

323323233 =⋅=⋅≤+≤= nn nn nnn n

3 więc:

323323233 =⋅=⋅≤+≤= nn nn nnn n

3

n1 n

2 …

nc

A

nb

na

NaleŜy wiedzieć, Ŝe:

aan n

n

=∞→

lim


- 17 -

b) ?322lim =+∞→

n nn

n

zapis nieformalny:

323323233 22 222 2=⋅=⋅≤+≤= nn nn nnn n

3

3322lim =+∞→

n nn

n

JeŜeli na to ciąg zbieŜny do 0, a ciąg nb jest ograniczony to:

Mabama nnnn ⋅≤⋅≤⋅

0

4) Dana jest funkcja ograniczona f na [ ]ba, . Dowód twierdzenia: jeŜeli całka górna funkcji jest równa całce dolnej to funkcja jest całkowalna, czyli dowolny ciąg nσ jest zbieŜny do Ss = .

nnn Ss ≤≤ σ

Ss = Ssn

n

==∞→

σlim

Dowód: jeŜeli funkcja f jest całkowalna to Ss = .

Znając prawo logiczne (tautologię): ( ) ( )pqqp ¬⇒¬⇔⇒ Tworzymy postać równowaŜną tezy do udowodnienia: JeŜeli Ss ≠ to funkcja f nie jest całkowalna.

Twierdzimy, Ŝe istnieje ciąg podziałów odcinaka [ ]ba, i wybór punktów pośrednich takich, Ŝe:

n

snn

10 ≤−≤ σ

Z punktami pośrednimi moŜna zbliŜać się dowolnie blisko kresów dolnych podziałów odcinka.

n

snn

10 ≤−≤ σ

0 Z tego wynika na mocy twierdzenia o trzech ciągach, Ŝe: sn →σ

Twierdzimy, Ŝe istnieje ciąg podziałów odcinka i wybór punktów pośrednich takich, Ŝe:

n

S nn

10 ≤−≤ σ

Punkty pośrednie mogą zbliŜać się dowolnie blisko kresów górnych podziałów, więc: Sn →σ

Podsumowanie: ( ) SsSs nn =⇒→∧→ σσ ,

jest do sprzeczne z załoŜeniem, Ŝe Ss ≠ MoŜna więc wnioskować, Ŝe granica nσ z pierwszej i drugiej nierówności nie mogłaby być

taka sama, aby załoŜenie zostało spełnione, co prowadzi do sprzeczności z definicją całkowalności, która mówi, Ŝe dla dowolnego wyboru ciągów podziału nσ jest zbieŜna do tej

samej liczby.


- 18 -

5) Zadania: a) Oblicz całkę górną i całkę dolną:

( ) 2xxf = na [ ]1,0 b) Oblicz całkę górną i całkę dolną:

( ) xxf sin= na [ ]2,0 Π

6) KRYTERIUM CAŁKOWALNO ŚCI

JeŜeli dla dowolnego ustalonego 0>ε istnieje jeden podział odcinka [ ]ba, dla którego:

ε<− nn sS

to funkcja f jest całkowalna na [ ]ba, . Uwaga: JeŜeli jakaś funkcja f nie spełnia powyŜszego kryterium to nie oznacza tego, Ŝe funkcja f nie jest całkowalna. dowód: 0>ε ε<− nn sS

wiemy takŜe, Ŝe: nn SSss ≤≤≤

wtedy: ε≤−≤ sS0

sS

sS

==− 0

bo z załoŜeniaε jest dodatni, czyli na pewno większy do 0

funkcja jest całkowalna (na mocy twierdzenia o tym, Ŝe funkcja jest całkowalna, gdy jej górna i dolna całka są równe, czyli sS = ).

7) Zadania: a) Sprawdź czy funkcja:

( ) 3=xf na [ ]2,0 jest całkowalna.

Niech 0>ε Biorę: ● cały odcinek jako podział,

εε

<<−

=−=−=⋅==⋅=

0

066

623

623

11

11

1

1

sS

sS

S

s

Funkcja ( ) 3=xf jest całkowalna na [ ]2,0 .

s S

ns nS


- 19 -

b) Sprawdź czy funkcja jest całkowalna: f na [ ]2,0 Niech 0>ε Biorę: ● podział odcinka na trzy części,

( ) εε =⋅=⋅−<−2

21333 dsS

Funckja f jest całkowalna na [ ]2,0 .

( ) ( )( ) ( )

xmMn

i

n

i

n

i

n

inn sS ∆∑=

−=−1

c) Sprawdź czy funkcja jest całkowalna:

f na [ ]3,0 Niech 0>ε Biorę: ● podział odcinka na pięć części,

εε

ε

=∆⋅+⋅+∆⋅+

+⋅+∆⋅<−

53

155

04

20

420

xx

xsS

Funkcja f jest całkowalna na [ ]3,0 . moŜna teŜ:

ε

ε455 <−

=sS

d

d) Sprawdź czy funkcja jest całkowalna:

( ) ](

=

∈Π=

00

1,0sinsgn

x

xxxf

sgn – funkcja signum (z łac. znak):

( )

<−>

=01

01sgn

x

xx

4

ε<nd

( )( ) ( )( ) εεε =⋅+⋅=⋅−−+⋅−−<−4

24

21111 nnnn ddsS

Funkcja f jest całkowalna na [ ]1,0 .

2

ε<d

41

ε<d

42

ε<d

…

…

…

Punktów nieciągłości jest skończenie wiele


- 20 -

wykład 5. 2005-11-26 1) Funkcja Riemanna,

( )

==

-0

-1

x

q

px

qxf

Sprawdź czy ta funkcja jest całkowalna na [ ]1,0 .

Funkcja ma nieskończenie wiele punktów ciągłości i nieciągłości.

{ }nY 141

31

21 ,...,,,,1,0∈

Funkcja przyjmuje skończenie wiele wartości. 2) Przykłady funkcji nieciągłych:

3) Definicja ciągłości funkcji Heinego:

Dana jest funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu 0x .

Funkcja f jest ciągła w 0x jeŜeli:

( ) ( )0

0

xfxf nxxn

→∧→

RównowaŜna postać:

( ) ( )0lim

0

xfxfxx

=→

Funkcja oczywiście musi być określona w punkcie 0x .

ułamek nieskracalny,

0x

niewymierne,

nie zaznaczono wszystkich wartości funkcji


- 21 -

4) Przykłady, zbadaj ciągłość funkcji: a) ( ) xxf =

niech: 0xxn → ,

obserwuję: ( ) ( )00 xfxxxf nn =→= ,

wniosek: funkcja jest ciągła,

b) ( ) baxxf += bierzemy: dowolny punkt 0x z dziedziny funkcji,

niech: 0xxn → ,

obserwuję: ( ) ( )00 xfbaxbaxxf nn =+→+= ,

więc: ( ) ( )0xfxf n → ,

wniosek: funkcja liniowa jest ciągła,

c) ( ) cbxaxxf ++= 2

bierzemy: dowolny punkt 0x z dziedziny funkcji,

niech: 0xxn → ,

obserwuję: ( ) ( )002

02 xfcbxaxcbxaxxf nnn =++→++= ,

więc: ( ) ( )0xfxf n → ,

wniosek: funkcja kwadratowa jest ciągła,

d) ( ) xxf sin= wiemy, Ŝe:

2

sin2

cos2sinsinβαβαβα −+=− ,

xx ≤sin ,

bierzemy: dowolny punkt 0x z dziedziny funkcji,

niech: 0xxn → ,

( ) ( ) 00 sinsin xxxfxf nn −=− ,

2

122

sin2

cos2sinsin0 0000

xxxxxxxx nnn

n

−⋅⋅≤−+=−≤ ,

0 więc: ( ) ( )00 0sinsin xfxfxx nn →⇔→− ,

wniosek: funkcja sinus jest ciągła,

0x


- 22 -

f) Dana jest funkcja Dirichleta (f.D.):

( )

=0

1xf gdy

niech: nx – wymierne,

'nx – niewymierne,

1° biorę 0x wymierne,

badam:

( ) ( )( ) ( )00

00

00''

11

xfxfxx

xfxfxx

nn

nn

≠→=→=→=→

wniosek: funkcja nie jest ciągła, 2° biorę '0x niewymierne,

badam:

( ) ( )( ) ( )'11'

'00'''

00

00

xfxfxx

xfxfxx

nn

nn

≠→=→=→=→

wniosek: funkcja nie jest ciągła, Funkcja Dirichleta jest nieciągła w kaŜdym punkcie swojej dziedziny.

e) Dana jest funkcja: ( ) ( )xgxxf ⋅=

gdzie: ( )xg – funkcja f.D. sprawdzam dla 0x

niech: 0→nx

badam: ( ) ( ) ( )00 xfxgxxf nnn =→⋅= ,

wniosek: funkcja f jest ciągła w punkcie 0=x , MoŜna takŜe pokazać, Ŝe ta funkcja jest ciągła tylko w punkcie 0=x .

x wymierne

x niewymierne


na [ ]1,0

nie zaznaczono wszystkich wartości funkcji

ciekawe miejsce funkcji w 0=x


- 23 -

5) KaŜdy ciąg zbieŜny jest zawsze ograniczony, ale ciąg ograniczony nie musi być zbieŜny.

Lemat Bolzano-Weierstrassa (B-W)

KaŜdy ciąg ograniczony ( )na zawiera co najmniej jeden podciąg zbieŜny ( )kna .

dowód: niech: kx – ciąg niemalejący i ograniczony z góry,

ky – ciąg nierosnący i ograniczony z dołu,

wybieram jeden element ciągu na , który jest ograniczony, więc:

zostanie spełniona zaleŜność:

11 1

1

yax

Mam

n

n

≤≤

≤≤

23

33

12

22

3

2

nn

yax

nn

yax

n

n

>

≤≤>

≤≤

knk yaxk

≤≤

00 yx =

wniosek:

ciąg ( )kna jest zbieŜny na mocy twierdzenia o trzech ciągach.

mx =1

na

1yM = 2x 3x 3y


- 24 -

wykład 6. 2005-12-02 Wybrane własności funkcji ciągłej. 1) KaŜda funkcja ciągła f na [ ]ba, (tzn. ciągła w kaŜdym punkcie odcinka [ ]ba, )

jest ograniczona.

dowód nie wprost: nieteza: Funkcja f jest ciągła na [ ]ba, to znaczy funkcja f nie jest ograniczona. ZałóŜmy, Ŝe funkcja nie jest ograniczona z góry.

Twierdzimy, Ŝe istnieje [ ]baxn ,∈ taki, Ŝe:

( ) nxf n ≥ , z zał. funkcja nieograniczona z góry,

gdzie: nx – ciąg ograniczony,

na mocy Lematu (B-W) istnieje podciąg:

( ) knn nxfxxkk

≥→ 0

twierdzimy, Ŝe [ ]bax ,0 ∈

z ciągłości funkcji f :

( ) ( )0xfxfkn →

z braku ograniczenia funkcji z góry:

( ) ( ) +∞→⇒≥ knkkn xfnxf

sprzeczność, bo ( ) ( )0xfxfkn → i ( ) +∞→knxf nie moŜe zajść jednocześnie

wniosek: KaŜda funkcja ciągła jest ograniczona.

2) Funkcja ciągła f na [ ]ba, osiąga swoje kresy,

to znaczy istnieje [ ]bax ,1 ∈ , takie Ŝe ( ) mxf =1 oraz [ ]bax ,2 ∈ , takie Ŝe ( ) Mxf =2 . W związku z tym kres górny i kres dolny są wartościami funkcji.

Dowód: M – kres górny

niech n

1=ε

wartość funkcji musi znajdować się w epsylonowym otoczeniu:

( ) Mxfn

M n ≤≤− 1 gdzie [ ]baxn ,∈

lemat B-W

( ) ( )00 xfxfxxkk nn →→ gdzie [ ]bax ,0 ∈

( ) Mxfn

Mkn

k

≤≤− 1

M

( ) ( ) ( ) ( )00 xfMxfxfMxfkk nn =⇒→→

3) Funkcja ciągła osiąga wszystkie wartość pośrednie zbioru wartości.


- 25 -

Definicje ci ągłości funkcji: a) definicja Heinego [czyt. hajnego]

funkcja f jest ciągła w 0x jeŜeli:

( ) ( )00

xfxf nxxn

→∧→

b) definicja Cauchy’ego [czyt. kosziego] funkcja f jest ciągła w 0x jeŜeli:

[ ]( ) ( ) εδ

δε<−⇒<−∧∨∧

∈>>00

,00

xfxfxxbax

( ) ( ) ( ) εεδδ

δδ

+≤≤−+<<−

<−<−

00

00

0

xfxfxf

xxx

xx

JeŜeli dla argumentów bliski wartości funkcji są bliskie to funkcja jest ciągła. Definicja Heinego (H) i Cauchy’ego (C) są równowaŜne. KaŜda funkcja ciągłą w sensie Heinego jest ciągła w sensie Cauchy’ego i na odwrót.

Dowód: )()( CH ⇒ zaprzeczamy tezę JeŜeli 0xxn → to ( ) ( )0xfxf n →

i nie jest całkowalna. Zdanie zaprzeczone:

[ ]( ) ( ) εδ

δε≥−∧<−∨∧∨

∈>>00

,00

xfxfxxbax

Niech: [ ]baxn n , ,1

,0 ∈=> δε

( ) ( ) ε≥−∧<− 00

1xfxf

nxx nn

nxx

nx n

1100 +<<−

0x [ ]bax ,0 ∈

z (H) ( ) ( )0xfxf n →

( ) ( ) ε<− 0xfxf n sprzeczność z: ( ) ( ) εε ≥≥− 0,0xfxf n

c.k.d. 4) Fakt:

Funkcja ciągła f na [ ]ba, jest jednostajnie ciągła,

czyli jest ciągła w kaŜdym punkcie naleŜącym do [ ]ba, .

[ ]( ) ( ) εδ

δε<−⇒<−∧∨∧

∈>>2121

,,00 21

xfxfxxbaxx

Dygresja o logice: ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )qpqpqp

qpqp

qpqp

qpqp

¬∧⇔∨¬¬⇔⇒¬∨¬⇔⇒

¬∨¬⇔∧¬¬∧¬⇔∨¬


- 26 -

Twierdzenie o całkowalno ści ka Ŝdej funkcji ci ągłej Funkcja ciągła f na [ ]ba, jest całkowalna (ma całkę oznaczoną Riemanna). Uwaga: Z tego, Ŝe funkcja jest nieciągła nie moŜna wnioskować, tego, Ŝe jest niecałkowalna. Dowód: Stosujemy kryterium całkowalności: dla ustalonego 0>ε istnieje jeden podział odcinka [ ]ba, , taki, Ŝe:

ε<− nn sS

to funkcja f jest całkowalna. Niech:

0>ε ze względów wyłącznie estetycznych 0>− ab

ε

Funkcja ciągła ⇒ funkcja jednostajnie ciągła.

[ ]

( ) ( )ab

xfxfxxbaxx −

<−⇒<−∧∨∧∈>>

εδδε

2121,,00 21

ustalamy wartość δ , tworzymy podział odcinka [ ]ba, na nodcinków o długość mniejszej niŜ δ , doc. Janusz: „twierdzimy, Ŝe ten podział jest dobry”

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )xxx

xmMxmxMn

i

n

i

nn

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

inn

if

if

sS

∆∑

∆∑∑ ∆∑ ∆

=

===

−

=

=−=−=−

1

111

21

z konstrukcji podziału wynika, Ŝe:

( ) ( ) δ<− xx

nn

ii 21

więc:

( ) ( ) εεε =−

−=

−<− ∑∑ ∆

==

n

i

n

i

n

inn ababab

sS x11

doc. Janusz: „podział okazał się dobry” ε<− nn sS

wniosek: Funkcja ciągła f jest całkowalna.


- 27 -

wykład 7. 2005-12-10 1) Jak obliczać całki oznaczone?

Dygresja o pochodnej funkcji 2) Definicja:

Pochodna funkcji w punkcie to granica ciągu ilorazu róŜnicowego. iloraz róŜnicowy:

( ) ( )

0

0

xx

xfxf

−−

0xx ≠

definicja pochodnej:

( ) ( ) ( )0

0lim0

'xx

xfxfxf

xx −−=

→

postać równowaŜna:

( ) ( ) ( )h

xfhxfxf

h

−+=→

lim0

'

Pochodną funkcji w punkcie geometrycznie moŜna interpretować jako

αtg , czyli współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Pochodna funkcji w punkcie to liczba.

Pochodna informuje o szybkości zmiany wartości funkcji.

3) Sprawdź czy dana funkcja ma pochodną: a) ( ) const.=xf

( ) ( )

0)(

000

0 limlim00

=′

=−−=

−−

→→

c

xx

cc

xx

xfxf

xxxx

b) ( ) 3xxf =

23 3)( xx =′

ogólnie: 1)( −⋅=′ αα α xx

( ) ( ) ( )

( )

( ) 222

0

22

0

322

0

33223

0

33

00

333

3333

33

lim

limlim

lim

limlim

xhxhx

h

hxhxh

h

hxhhx

h

xhxhhxx

h

xhx

h

xfhxf

h

hh

h

hh

=++=

=++=++=

=−++++=

=−+=−+

→

→→

→

→→

funkcja f

prosta sieczna

prosta styczna

α tg


- 28 -

c) ( ) 0, 0 == xxxf

10

10

limlim

limlim

00

00

−=−=−

==−

+−

++

→→

→→

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

komentarz: Granica lewostronna jest równa -1, granica prawostronna jest równa 1, więc nie ma granicy

obustronnej w punkcie 00 =x , więc funkcja nie ma pochodnej w punkcie 00 =x .

d) Dana jest funkcja:

funkcja nie ma pochodnej w dwóch punktach

e) Dana jest funkcja:

funkcja nie ma pochodnej w jednym punkcie

f) Dana jest funkcja: ( ) ( )xgxxf ⋅= 2

gdzie: ( )xg – funkcja Dirichleta.

00 =x

( ){ ( )

{ }{

00

1,000

2

0limlim =⋅=−⋅

=→→xgx

x

xgx

xxx

Funkcja ma pochodną tylko w jednym punkcie 00 =x .



- 29 -

4) Twierdzenia o pochodnych:

( )[ ]( ) ( )( ) ( )xgxgfxgf

g

gfgf

g

f

gfgfgf

gfgf

fafa

gfgf

′⋅′=′

′⋅−⋅′=

′

′⋅−⋅′=′⋅′−′=′−

′⋅=′⋅′+′=′+

2

)(

)(

)(

)(

5) Pochodne podstawowych funkcji:

1)(0)( −⋅=′=′ αα α xxc xxxx sin)(coscos)(sin −=′=′

axx

xx a ln

1)(log

1)(ln

⋅=′=′

aaaee xxxx ln)()( ⋅=′=′ 6) Obliczenia pochodnych:

a) ( ) ( ) xee

ee x

x

xx 21

lncoslnsin2

2

22

⋅⋅⋅=′

,

b) ( ) ( ) xxxx

xxxx tg34sincos

134cosln32 2 −−=−⋅+−=′+− ,

c) ( )

xx

xx

x

xxxx

x

xx

22

22

2 cos

1

cos

cossin

cos

sinsincoscos

cos

sin) tg( =+=−⋅−⋅=

′

=′


- 30 -

Twierdzenie Rolle’a [czytaj: rola], Definicja: Dana jest funkcja ( )xf na [ ]ba, i taka, Ŝe:

1. ( )xf jest ciągła na [ ]ba, ,

2. istnieje ( )xf ′ na ( )ba, ,

3. ( ) ( )bfaf = ,

wtedy istnieje co najmniej jeden punkt ( )bac ,∈ gdzie ( ) 0=′ cf .

Przykłady funkcji, których dotyczy twierdzenie Rolle’a:

Przykłady funkcji nie spełniających wszystkich załoŜeń twierdzenia Rolle’a:

…bo funkcja nie jest ciągła w b …bo funkcja w x0 nie ma pochodnej …bo wartość funkcja la a i b nie są równe

Wniosek: KaŜde z załoŜeń w twierdzeniu Rolle’a jest istotne.

Dowód: f – funkcja ograniczona na [ ]ba, , M – kres górny zbioru wartości funkcji, ( )bac ,∈

z zał. 2. wiemy, Ŝe istnieje ( )cf ′ niech: ( ) Mcf =

( ) ( ) ( ) 0lim ≤′=

−−

+→

cfcx

cfxf

cx

bo funkcja nie rośnie, bo ( ) ( )xfcf ≥ i 0≥− cx

( ) ( ) ( ) 0lim ≥′=

−−

−→

cfcx

cfxf

cx

bo funkcja nie maleje, bo ( ) ( )xfcf ≥ i 0≤− cx

( )( ) ( ) 0

0

0=′⇒

≥′≤′

cfcf

cf c.k.d.

( ) 0=′ cf ( ) 01 =′ cf

( ) 02 =′ cf

c 1c 2c a b a b a b


- 31 -

Twierdzenie Lagrange’a [czytaj: lagranŜa], Definicja: Dana jest funkcja ( )xf na [ ]ba, i taka, Ŝe:



wtedy istnieje co najmniej jeden punkt ( )bac ,∈ w którym ( ) ( ) ( )ab

afbfcf

−−=′ .

Przykłady funkcji, których dotyczy twierdzenie Lagrange’a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

xx

xfxfcf

ab

afbfcf

−−=′

−−=′

( ) ( ) ( )( )00 xxcfxfxf x −′+=

JeŜeli pochodna jest 0 to funkcja jest stała bo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

00000 0

xfxf

xfxxxfxxcfxfxf x

==−⋅+=−′+=

( ) ( ) 00 =− xfxf z definicji monotoniczności funkcja f jest stała,

Dowód tw. Lagrange’a rozpatrujemy nową funkcję g na [ ]ba, .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )axab

afbfxfxg −⋅

−−−=

funkcja g spełnia załoŜenia tw. Rolle’a

( ) ( ) ( ) ( )afbgafag ==

więc istnieje takie ( )bac ,∈ , Ŝe ( ) 0=′ cg

( ) ( ) ( ) ( )ab

afbfxfxg

−−−′=′

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )abcfafbf

afbfabcfab

afbfcf

ab

afbfcfcg

−⋅′+=−=−⋅′

−−=′

−−−′=⇔=′ 00

( ) ( ) ( ) ( )00 xxcfxfxf −⋅′+= c.b.d.u.

b a b a


- 32 -

wykład 8. 2005-12-17 1) Wnioski:

a) ( ) 0≡′ xf na [ ]ba, to ( ) const.=xf dowód:

( ) ( ) ( )

{( )

( ) ( ) const.0

0

0

0

==

−⋅′+=

xfxf

xxcfxfxf

b) JeŜeli ( ) 0>′ xf to ↑f dowód: niech: 12 xx >

( ) ( ) ( ){

( )

( ) ( )( ) ( ) c.k.d.

0

12

12

1212

↑⇒>

>−

−⋅′+=++

fxfxf

xfxf

xxcfxfxf43421

c) JeŜeli funkcja w punkcie 0x ma ekstremum to ( ) 00 =′ xf .

ZałoŜenia: ● Funkcja ma minimum lokalne w 0x ,

● Funkcja f ′ istnieje w epsylonowym otoczeniu 0x .

● 0xx ≠ , 0>ε ,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0

/

00

=′⇓

−⋅′=−−++

cf

xxcfxfxf3214434421

komentarz: z definicji ekstremum lokalnego funkcji: ( ) ( )0xfxf > więc ( ) ( ) 00 >− xfxf

( )εε +−∈ 00 ,xxx więc 0xx− moŜe być dodatnie lub ujemne

Aby równość zachodziła prawa strona równania zawsze musi być dodatnia; z tego wynika, Ŝe pochodna w punkcie ( )cf ′ musi być ujemna dla 0xx <

a dodatnia dla 0xx > . JeŜeli pochodna istnieje dla całego otoczenia

epsylonowego 0x (z załoŜenia) i zmienia w tym otoczeniu wartość z ujemnej

na dodatnią oznacza, Ŝe musi w tym otoczeniu przyjąć wartość zero. Otoczenie to moŜe być dowolnie małe moŜna więc moŜna przyjąć, Ŝe wartość zero jest dla 0x , czyli ( ) 00 =′ xf .

0x x

f


- 33 -

2) Wybrane własności całki oznaczonej: a) f – funkcja ciągła na [ ]ba,

niech: [ ] [ ]badc ,, ⊂ (⊂ – symbol przynaleŜności)

f jest ciągła na [ ]dc,

to f na całkę ( )dxxfd

c∫

inaczej: f jest całkowalna na [ ]ba, ⇒ f ma całkę na [ ]dc,

b) f na [ ]ba,

f – całkowalna na [ ]ba,

niech: ( ]bac ,∈ wtedy:

( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ +=

c) ( ) ( )dxxfdxxfa

b

b

a∫∫ −=

komentarz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∆

=−

∞→=∞→−⋅

=

n

i

n

i

n

i

n

in

n

i

n

i

n

in

xxx ff1

11

limlim ξξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∆

=−

∞→=∞→−⋅

=

n

i

n

i

n

i

n

in

n

i

n

i

n

in

xxx ff1

11

limlim ξξ

więc:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑

=−

∞→=−

∞→−⋅

−=−⋅

n

i

n

i

n

i

n

in

n

i

n

i

n

i

n

in

xxxx ff1

11

1 limlim ξξ

a to jest to samo co:

( ) ( )dxxfdxxfa

b

b

a∫∫ −=

d) ( ) 0=∫ dxxfa

a

e) JeŜeli f jest całkowalna na [ ]ba,

( ) BxfA ≤≤ to

( ) ( ) ( )abBdxxfabAb

a

−⋅≤≤−⋅ ∫

więc:

( ) ( ) ( )abBxBxfxAabAn

i

n

iii

n

i

n

ii −⋅=∆⋅≤∆

≤∆⋅=−⋅ ∑ ∑∑

= == 1 11ξ

a c d b

f

a c b

a b

A

B


- 34 -

Funkcja z argumentem w górnej granicy całkowania 3) Dana jest funkcja ( )xf całkowalna na [ ]ba, .

Definiujemy nową funkcję na [ ]ba, .

( ) ( )∫=x

a

dttfxF

ZauwaŜamy, Ŝe:

( ) ( )

( ) ( ) dttfbF

dttfaF

b

a

a

a

∫

∫

=

== 0

4) Wyznacz funkcję ( )xF dla danych funkcji ( )xf na [ ]ba, :

a) ( ) 3=xf na [ ]1,0

( ) xdtxFx

330

== ∫

bo:

( )( ) xxF

xf

3

3

==

b) ( ))[

](

∈=∈

=2,11

12

1,03

x

x

x

xf

liczę:

( ) [ ]](

∈+=⋅−+∈

=2,121)1(3

1,03

xxx

xxxF

moŜna więc ogólnie zauwaŜyć, Ŝe: ( ) ( )xfxF =′ dodatkowo: funkcja )(xF nie ma pochodnej w 1=x , więc jest to jej punkt nieciągłości, bo jej pochodne jednostronne nie są sobie równe. dokładnie więc: ( ) ( ) 1≠∧=′ xxfxF

f

F

f

F


- 35 -

c) Dana jest funkcja f na [ ]1,1−

( )[ ]

](

∈

−∈=

1,02

0,102

xx

x

xF

więc: ( ) ( )xfxF =′

d) ( ) xxf = na [ ]1,1−

( )( ) ( ) [ ]

](

∈+

−∈−=+⋅−

=1,0

2

1

0,12

1

2

11

2

2

xx

xxxx

xF

Wartości funkcji F to pola odpowiednich trójkątów prostokątnych pod wykresem funkcji f .

( ))[

](( ) ( )xfxF

xx

x

xx

xF

=′

∈=

−∈−=′

1,0

00

0,1

e) ( ) xxf = na [ ]1,0

( )( ) ( )xfxxF

xxF

==′

=2

2

f F

f F

f F


- 36 -

wykład 9. 2006-01-07

Twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania 1) Dana jest funkcja ( )xf ciągła na [ ]ba, ,

wtedy istnieje pochodna funkcji( )xF taka, Ŝe ( ) ( )xfxF =′ . gdzie:

( ) ( )∫=

x

a

dttfxF

dowód: [ ]bax ,0 ∈

teza: ( ) ( )00 xfxF =′

( ) ( ) ( )0

00

0lim xf

h

xFhxF

h

=−+

+→

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h

dttf

h

dttfdttfdttf

h

dttfdttf

h

xFhxF

hx

x

x

a

hx

x

x

a

x

a

hx

a

∫∫∫∫∫∫+++

=−+

=−

=−+

0

0

00

0

000

00

Funkcja f jest ciągła w 0x

( ) ( ) εδδε

<−⇒<−∨∧>>

212100

xfxfxx

niech 0>ε , przyjmuję δ<h

( ) ( ) ε<− 0xfxf

( ) ( )( ) ( ) ( ) εε

εε+<<−

<−<−

00

0

xfxfxf

xfxf

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) c.k.d.0

00

000

0

00

00

0

0

0

0

ε

εε

εε

εε

<−−+

+<−+<−

+<<−

+<<−

∫

∫+

+

xfh

xFhxF

xfh

xFhxFxf

h

hxf

h

dttf

h

hxf

hxfdttfhxf

hx

x

hx

x

bo: ( ) ( ) ( )0

00

0lim xf

h

xFhxF

h

=−+

+→

( ) ( )00 xfxF =′

0x hx +0

a b


- 37 -

2) Zbiór funkcji ( ){ }tϕ róŜniczkowalnych o własności ( ) ( )xfx =′ϕ

nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy ( )∫ dxxf

dowód:

Niech ( ) ( ) ( )xfxGxG =′:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0≡−=′− xfxfxFxG z twierdzenia Lagrange’a:

( ) ( ) ( ){

( )0

0

0 xxcfxfxf −′+=

( ) ( )( ) ( ) cxFxG

xFxG

+=≡− const.

Element całki nieoznaczonej to funkcja pierwotna ( )tϕ .

KaŜda funkcja ciągła ma całkę nieoznaczoną.

3) Wyznacz całki nieoznaczone z danych funkcji:

a) ∫ += cxdx 33 ,

b) ∫ += cx

dxx2

2

,

c) ∫ += cx

dxx6

65 ,

d) Nncn

xdxx

nn ∈∧+

+=∫

+

1

1

,

e) { }1/1

1

−∈∧++

=∫+

Rcx

dxx αα

αα ,

f) ∫ += cxdxx

ln1

, bo ( )x

x1

ln =′

g) ∫ +−= cxdxx cossin ,

h) ∫ += cx

dxx3

3sin3cos ,

i) cxdxx

+=∫ tgcos

12

,

j) cxdxx

+−=∫ ctgsin

12

,

k) cx

xdxx

dxx +

−=−=∫ ∫ 2

2sin

2

1

2

2cos1sin2 ,

l) cxdxx +−=∫ coslntg ,

bo:

( ) ( ) ( ) xx

xx

xx

xx tg

cossin

sincos

1cos

cos1

cosln ==−−=′−=′−

( )∫b

a

dxxf – liczba, całka oznaczona,

( )∫ dxxf – rodzina funkcji, całka nieoznaczona

Wykres kilku funkcji

ze zbioru ( )xG


- 38 -

Twierdzenie Leibnitza-Newtona 4) Niech f ciągła na [ ]ba, wtedy

( ) ( ) ( )∫ −= abdxxf φφ

gdzie ( )xφ – dowolna ustalona funkcja pierwotna dla f (element całki nieoznaczonej)

( ) ( ) ( )∫ −=

b

a

abdttf φφ

dowód:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]baxCxFx

dttfxF

xfxFxx

a

,

:

∈≡−

=

=′

∫

φ

φ

dla: ax =

( ) ( ) ( )aCCdttfaa

a

φφ =⇒=− ∫43421

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )adttfx

axFxx

a

φφ

φφ

=−

=−

∫

dla: bx =

( ) ( ) ( )adttfbb

a

φφ =− ∫

( ) ( ) ( )abdttfb

a

φφ −=∫

5) Oblicz całki oznaczone:

a) 2

10

2

1

2

1

0

21

0

=−==∫x

dxx ,

b) 3

8

3

2

0

32

0

2 ==∫x

dxx

c)

110cos

sin

2

2

0

0

=+=−=

=∫π

π

x

dxx

d)

( ) 11

lnln1

1

=−−−=

=−=∫

ee

xxxdxxe

e


- 39 -

wykład 10. 2006-01-14

Obliczanie obj ętości i pola 1) Oblicz objętość stoŜka.

Tą objętość moŜna widzieć jako sumę objętości walców ułoŜonych jeden na drugim o róŜnych promieniach postaw z przedziału r,0 ale o bardzo małej (dąŜącej do zera) wysokości.

( ) ( ) ( )∫∑ ∆ Π=

Π=

=∞→dx2

1

2lim xffVn

i

n

i

n

in

xξ

hrh

h

r

x

h

rx

h

rx

h

rV

hhh

23

2

2

0

3

2

2

0

22

2

0

22

2

3

10

3

3dxdx

Π=

−⋅Π=

=

⋅Π=⋅Π=Π= ∫∫

2) Obliczyć objętość kuli o promieniu R . Objętość rozumiemy jako sumę objętości walców

o róŜnych promieniach postaw z przedziału r,0 .

Po obrocie tego półkola dookoła osi OX powstanie kula.

( ) ( )

334

33

33

32222

33

3dxdx

RR

RR

R

xxRxRxfV

R

R

R

R

b

a

Π=

−+−Π=

=

−Π=−Π=Π=

−−∫∫

3) Oblicz pole koła

Powierzchnia zaznaczona stanowi ćwiartkę pola koła.

?dx40

22 =−= ∫r

xrP

Zadania nie umiemy dokończyć, ale jeszcze do niego wrócimy.

Wyznaczanie całek nieoznaczonych

1) Nncn

xx

nn ∈+

+=∫

+

1dx

1

2) ( )3

52

3dx5332

2 xxxxx −+=−+∫

3) { }1/1

dx1

−∈++

=∫+

Rncx

xα

αα

4) cxx

+=∫ lndx1

5) cxx +−=∫ 3

cos3dx3

sin

6) ∫ += cxx 2sin21

dx2cos

h

r

( ) xh

rxf ⋅=

h

r

( ) 22 xRxf −=

R

r r−

R−

( ) 22 xRxf −=


- 40 -

Całki elementarne

1) cxxcxx

xx

x

xx

x

xx +−=+−=

−=−=−

∫∫∫−

4 1111812 7

712

4

11

127

12

7

4

7

12

5

4

3

2

53

1

4 3

53

411

2dx2dx

2dx

2

2) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +++=++=

−++⋅−=

−−

cxx

xxxx

xxx

x

x

35

3

5

34

3

4

3 23

3

3 233

3dx1dx

1

11dx

1

1

3) ( ) cx

xxx +

−=−= ∫∫ 2

2sin

2

1dxcos1dxsin 22

4) ( ) cxxxxxx

xx

xx

x ++=−=+−=

+ ∫∫∫ cossindxsincosdxcossin

sincosdx

cossin

2cos 22

5) ...dx3cos2sin =∫ xx

−==

⇒

=−=+

⇒

=−

=+

−+=+

x

x

x

x

x

x

βα

βαβα

βα

βα

βαβαβα

5

6

4

32

22

2cos

2sin2sinsin

( ) cxx

xxxx +

+−⋅=−= ∫∫ cos5

5cos

2

1dxsin5sindx3cos2sin 2

1

6) cee xx +=∫ dx

7) cx

x +=∫ 2ln

2dx2

8) Oblicz całkę ∫ dxx

dla: ( )0,∞−∈x

( ) 1

2

2dxdx C

xxx +−=−= ∫∫

dla: )+∞∈ ,0x

2

2

2dx C

xx +=∫

Funkcja róŜniczkowalna musi być ciągła, więc dla 0=x równieŜ.

0022

0 22

22

1 =⇒=

+=−⇒= Cx

Cxx

C

( )

)C

xx

xx

x +

+∞∈

∞−∈−=∫

,02

0,2dx

2

2


- 41 -

9) Oblicz całkę ( )∫ dx,min 2xx

min – funkcja przyjmuje wartość najmniejszego z argumentów, dla: ( )0,∞−∈x

( ) 1

2

2dx C

xxf +=∫

dla: )1,0∈x

( ) 2

3

3dx C

xxf +=∫

dla: )+∞∈ ,1x

( ) 3

2

2dx C

xxf +=∫

0032

0 22

32

1 =⇒=

+=⇒= Cx

Cxx

C

6

1123

0 33

23

2 −=⇒=+=⇒= CxCxx

C

( )

( )

)

)

C

xx

xx

xx

xf +

+∞∈−

∈

∞−∈

=∫

,16

1

2

1,03

0,2

dx

2

3

2

10) Całki funkcji złoŜonych, których rachowanie wymaga uŜycia dodatkowych twierdzeń:

a) przykłady łatwiejsze:

● ∫ dxln32 xx ,

● ∫ dx2cos3 xe x ,

b) przykłady trudniejsze:

● ∫ − dx3 2x ,

● ∫ +−+

dx1

12 xx

x,

● ∫ +dx

41

12x

,

● ∫ dxarctgx .

c) całki nieoznaczone, które nie moŜna obliczyć za pomocą metod elementarnych:

● ∫ dxx

ex

,

● ∫ dxsin

x

x.


- 42 -

( )

( )

cx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

++−=+−=

=′+−=′

−=−=

=−=′−=′

=

∫

∫∫∫

∫∫∫∫

4ln

2ln

2dx

2ln

2ln

2

dxln2

ln2

ln2

dxln2

ln2

dxlnln2

dxln1

22

ln2

dxln2

ln2

dxln2

dxln

222

222

2

222

222

22

2

22

22

22

22

22

Twierdzenie o całkowaniu przez cz ęści Dane są funkcje ( )xf oraz ( )xg na D klasy 1C

wtedy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′ dxdx xgxfxgxfxgxf

Dowód: ze wzoru na pochodną iloczynu:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuxvxu ′⋅+⋅′=′⋅ z własności funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania: ( ) ( )xfxF =′ więc:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∫∫

∫∫

′⋅−⋅=⋅′

′⋅+⋅′=⋅

′⋅+⋅′=′⋅

dxxvxuxvxudxxvxu

dxxvxudxxvxuxvxu

dxxvxuxvxudxxvxu

Przykłady całkowania z wykorzystaniem powyŜszego twierdzenia:

• ( ) ( ) cxxxx

xxxxxxxxxx +−=⋅−=′⋅−=′= ∫∫∫∫ lndx1

lndxlnlndxlndxln

• ( )9

ln3

dx3

ln3

dxln3

ln3

dxln3

dxln3323333

2 xx

xxx

xx

xx

xx

xxx −=−=′−=

′

= ∫∫∫∫

•

•

Funkcje klasy 1C są to wszystkie funkcje ciągłe, które mają ciągłą pierwszą pochodną.

( )

( )

( )

272

9ln2

3ln

3ln

932

9ln2

3ln

3ln

dx33

29ln2

3ln

3ln

dxln33

2ln

332

ln3

ln3

dxln33

2ln

3ln

3

dxln3

2ln

3ln

3dxln

12

3ln

3ln

3

dxln3

ln3

ln3

dxln3

ln3

dxlnln3

dxln3

3ln

3dxln

3ln

3dxln

3dxln

332333

332333232333

332

33

332

33

3

223

333

23

33

23

23

33

23

33

2233

233

33

33

33

332

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

−+−=

=⋅−+−=−+−=

=′−⋅+−=′

+−=

=+−=+−=

=′+−=′

−=−=

=−=′−=′

=

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫


- 43 -

•

•

• ( ) cxxxxxxxxx +−=−−−=′−= ∫∫∫ cossindxcoscosdxcosdxsin

• 9

3cos

3

sindx

3

3sin

3

sindx

3

3sindx3cos

xxxxxxxxxx +=−=

′

⋅= ∫∫∫

•

•

( ) ( )( ) ceexexeexexexex

exexexexexex

xxxxxxxx

xxxxxx

+⋅+⋅−⋅=+⋅−⋅=′

⋅−⋅=

=⋅−⋅=′

−⋅=′

⋅=⋅

∫∫

∫∫∫∫

22dx22dx2

dx2dxdxdx

222

22222

( ) ( ) ceexeexexexexex xxxxxxxx +−⋅=−⋅=′−⋅=′⋅=⋅ ∫∫∫∫ dxdxdxdx

( ) ( )( ) ( )

cxexe

xe

xexexe

xexexexe

xexexe

xexexexexe

xexexexexexe

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

+⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+⋅=

=⋅′−⋅⋅+⋅=′−⋅−⋅=

=⋅−⋅=⋅′−⋅=′=

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

∫∫∫∫

5

cos2sindxcos

cos2sindxcos5

dxcos4cos2sindxcos

dxcos4cos2sin

dxcos2cos2sindxcos2sin

dxsin2sindxsinsindxsindxcos

222

222

2222

222

22222

222222

( )

( )

cxexe

xe

xexexe

xexexe

xexexe

xe

xexexe

xe

xexe

xe

xe

xexex

exe

xe

xexexe

xxx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

+⋅⋅−⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅−=⋅

⋅⋅+⋅−=⋅

⋅−⋅⋅+⋅−=

⋅−⋅⋅+⋅−=

=⋅′−⋅⋅+⋅−=

=′

⋅+⋅−=

=⋅+⋅−=⋅+⋅−=

=−⋅′−⋅−=′

−=

∫

∫

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫∫

∫∫∫

13

3cos3

13

3sin2dx3sin

9

3sin2

13

9

3

3cos

13

9dx3sin

9

3sin2

3

3cosdx3sin

9

13

dx3sin9

4

9

3sin2

3

3cosdx3sin

dx3sin9

4

9

3sin2

3

3cos

dx3

3sin

3

2

9

3sin2

3

3cos

dx3

3sin

3

2

3

3cos

dx3cos3

2

3

3cosdx

3

3cos2

3

3cos

dx3

3cos

3

3cosdx

3

3cosdx3sin

222

222

222

222

2

222

222

22

22

22

22

22


- 44 -

wykład 11. 2006-02-25 1) Powtórka z liczenia całek (w tym przez części):

a) cxxxx

+=== ∫∫− 2

1dxdx

121

21

21

b) ( ) cxxxxxxx

xxx ++=+=+=+∫∫∫∫ 4

91213

45

121

45

121

98

1312

4

3

dx2dxdx2dx2

c) cx

xx

x +

−=−= ∫∫ 22sin

dx2

2cos1dxsin 2

12

d) ( ) cxxxxxxxxxx ++−=+−=′−= ∫∫∫ sincosdxcoscosdxcosdxsin

e) ( ) cxxxxxxxxxxxxx +−+=−=′= ∫∫∫ sin2cos2sindxsin2sindxsindxcos 2222

f) ceexeexe

xex xxxxx

x +−=−=′

= ∫∫∫

2412

212

212

21

22 dxdx

2dx

g) ciekawszy przykład zastosowania całkowania przez części:

( ) ( )

( )

cxexe

xe

xexexe

xexexexe

xexexexexe

xexexexexexe

xxx

xxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx

++=

+=

−+=

−+=′+=

=′−−=−=′=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

2cos

2sin

dxcos

cossindxcos2

dxcoscossindxcos

dxcoscossindxcossin

dxcossindxsinsindxsindxcos

2) Dygresja: Funkcje odwrotne a) Przykład funkcji odwrotnej do xy tg= (tangens) jest xy tgarc= (arkus tangens).

( )

( )xy

yxxy

yxx

x

xy

tgarc

tg:,

tg

,

tg

22

==→→∞∞−

=→−∈

=ΠΠ

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej moŜna obliczyć pochodną funkcji xy tgarc= .

( )( )

( )2

22

2

2

2

2

2

22

222

2

11

tgarc

tg

tgarc

11

tg11

cossin

coscos

1

coscossincossin

cos

cos11

tg

1 tgarc

xx

yx

xy

xy

y

y

y

y

y

yyyy

y

yy

xy

+−=′

−==

+=

+=

=+

=++===′=′=′

xy tg=

xy tgarc=


- 45 -

b) Pochodne funkcji odwrotnych:

( )21

1sinarc

xx

−=′

( )21

1cosarc

xx

−−=′

( ) 211

tgarcx

x+

=′

( ) 211

ctgarcx

x+−=′

c) Przykładowa całki do policzenia:

● ( )

( ) cxxx

xx

xxxxx

++−=+

−=

=+

−=′=

∫

∫∫∫2

21

2

2

1lntgarcxdx1

tgarcx

dx1

1tgarcxdxtgarcxdxtgarc

● xx

tgarcdx1

12 =

+∫

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie Dane jest funkcja ciągła ( )xf na D . JeŜeli istnieje funkcja ( )tϕ , gdzie Gt ∈

i taka, Ŝe ϕ jest klasy 1C to:

( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dtdx xtfxf ϕϕ

gdzie ( )tx ϕ= 3) Obliczenie całki z wykorzystaniem twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie:

( )( )

( ) cxtttx

t

tttxx

++===⋅+−

=+

==′=

−==++

∫∫∫

∫

52lnlndt1

dt52

1dx

521

dtdx

dtdx2

52

dx52

1

21

21

21

21

25

21

21

21

25

21

ϕϕ

Drugi sposób – równie poprawny, ale pozwala na obliczanie całek nieoznaczonych bez jawnego wprowadzenia funkcji ( )tϕ :

cxtt

tx

x++===

==

=+

+ ∫∫ 52lnlndt1

dtdx

dtdx2

52

dx52

121

21

21

21

4) Całkowanie przez podstawianie: a) raz przez podstawienie:

( ) cxt

t

x

x

tx

xx +−−=−=−=−==−

=−− ∫∫

3231

232

121

21

2

2 1dt

dtdx

dtdx2

1

dx123


- 46 -

b) raz przez podstawienie i raz przez części:

( ) ceexceeteetet

et

x

x

tx

ex

xxttttt

tx

+−=+−=−=′=

===

==

∫∫

∫∫

22

2

212

21

21

21

21

21

21

21

21

2

3

dtdt

dt

dtdx

dtdx2dx

c) raz przez specyficzne podstawienie oraz z jedynki trygonometrycznej:

( )

( ) ( )( )

cxxx

tttttt

xxx

ttx

txxx

++−=

=+−=+−=

−==

=−==

=

∫

∫∫

9917

725

51

975862

22224

22454

sinsinsin

972

5dt2

sin1coscos

dt1dtdxcos

sindxcossin

d) nietypowe podstawienie:

cx

xt

tt

xx

tttt

txx

+

+=

++=+=

+=

==⋅==

=−

∫

∫∫∫

2sin arc2sin

sin arc2

2sin1dt

22cos1

22cos1

cos

dtcosdtcoscosdtcosdx

sindx1

21

21

2

22


- 47 -

wykład 12. 2006-03-04

Całkowanie wyra Ŝeń trygonometrycznych

1) cx

x +−=∫ 33cos

dx3sin

2) cx

xx

x +

−=−= ∫∫ 22sin

dx2

2cos1dxsin 2

12

3) ( ) cx

xt

tttx

txx ++−=

−−=−=

=−=

∫∫ 3cos

cos3

dt1dtdxsin

cosdxsin

3323

4) ( ) ...dt1dtdxsin

cosdxcossin 42245 =−−=

=−=

∫∫ tttx

txxx

5) Całkowanie z wykorzystaniem wzorów trygonometrycznych:

( ) cxx

xx

x

x

x

x

xx

+

−−=+=

==

⇒

=−

=+

−+=+

=

∫

∫

cos5

5cosdxsin5sin

5

22

32

2cos

2sin2sinsin

dx2cos3sin

21

21

βα

βα

βα

βαβαβα

6) Bardzo typowe podstawienie:

...dxcos2sin

1 =+∫ xx

2

2

22

22

22

22

2

2

2

11

tg1

tg1cos

12

tg1

tg2sin

dt 1

12dx

tgarc

tg

t

tx

t

tx

t

t

t

x

x

x

xx

x

+−=

+−=

+=

+=

+=

==

7) ctt

t

tt

xx +===

+

+= ∫∫∫ 2

2

2

tglnlndt

dt

12

12

dxsin

1


- 48 -

Całkowanie pewnych wyra Ŝeń niewymiernych 8) Typowe podstawienie dla niektórych wyraŜeń

( )c

xx

tt

tttt

t

txx

+

+=

+=

=+==−==

=− ∫∫∫∫

2sin arc2sin

sin arc22sin

dt 2

2cos1dt cosdt cossin1

dt cosdx

sindx 1

21

21

222

9)

( )( ) ct

t

tttt

t

txx

xx ++=

+=

=+==−==

=− ∫∫∫∫

321

323

23

222

sin arc2sinsin arc22sin

dt 2

2cos13dt cos3dt cos3sin13

dt cos3dx

sin3dx 3

10) Dygresja: funkcje hiperboliczne:

a) sinus hiperboliczny: 2

sinhxx ee

x−−=

b) cosinus hiperboliczny: 2

coshxx ee

x−+=

Zastosowania całek 11) Obliczanie pola:

a) xy sin=

( ) 110cosdxsindx 2

2

00

=+=−===Π

Π

∫∫ xxxfPb

a

b) Pole obszaru pomiędzy wykresami

xfxf == 22

1

( ) ( )[ ] [ ]

3

10

3

1

3

2

3

dxdx

1

0

33

32

1

0

212

=−−=

−=

=−=−= ∫∫

xx

xxxfxfPb

a

c) Pole koła

22 xry −=

22

2

0212

0

22

0

22

2

22sin

4dt cos4

dt cosdx

sindx 4

22

rr

ttrtr

tr

trxxrP

r

Π==

=

+⋅==

==

=−=

Π

ΠΠ

∫

∫

1f 2f

r

r


- 49 -

12) Obliczanie objętości brył obrotowych: a) Objętość stoŜka

xy hr=

( )

hrV

hh

rx

h

rx

h

rV

hh

231

332

2

0

3

2

2

0

22

2

033

dx

Π=

−Π=

Π=Π= ∫

b) Objętość kuli 22 xRy −=

Po obrocie tego półkola dookoła osi OX powstanie kula.

( ) ( )

334

33

33

32222

33

3dxdx

RR

RR

R

xxRxRxfV

R

R

R

R

b

a

Π=

−+−Π=

=

−Π=−Π=Π=

−−∫∫

c) Wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrót dookoła osi OX:

( )∫Π=b

a

xfV dx2

d) Wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrót dookoła osi OY:

( )∫Π=b

a

xfxV dx2

13) Wyznaczanie długości krzywych:

a) Wzór ogólny: ( )[ ]∫ ′+=b

a

xfL dx1 2

b) Obwód koła:

22 xRy −= 2222

22

1

xR

xx

xRy

−−=−⋅

−=′

( )( ) RRR

xRR

xR

R

xR

xL

R

Rx

R

Rx

RRR

Π=−==

=−

=−

=−

=−

+=

Π

∫∫∫∫

204sin arc 4

dx 1

14dx

14dx 4dx 14

20

02

022

022

2

022

2

Obliczenia granic ci ągów przez całkowanie 14) Obliczyć granicę:

( ) ( ) ( ) ( )( )5

1

5dx...

1...3211

0

51

0

444342415

4444

limlim =

==++++=++++

∫→∞→∞

xx

nn

nnn

nnnnn

15) Obliczyć granicę:

( ) ( )

( )

( ) ( )Π

=+Π

=−Π

=Π

++++Π=

++++ΠΠ

=++++

Π

Π

∫

ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ

∞→

ΠΠΠΠ

∞→

210

2cos

2sin

2

sin...sinsinsin2

sin...sinsinsin1

22

sin...sinsinsin1

2

2

00

223

22

2

223

22

2223

22

2 limlim

xx

n

nn

nn

nnnn

nn

nnnn

nn

nnnn

σ

( ) xh

rxf ⋅=

h

r

( ) 22 xRxf −=

R R−

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek A: Wzory sumacyjne data aktualizacji: 2005-11-11 18:45:24

- 50 -

Dodatek A: Wzory sumacyjne Suma n pierwszych liczb naturalnych

( )2

1...321

1

+==++++ ∑=

nnkn

n

k

Suma kwadratów n pierwszych liczb naturalnych ( )( )

6

121...321

1

22222 ++==++++ ∑=

nnnkn

n

k

Suma sześcianów n pierwszych liczb naturalnych

( ) ( ) 222

1

33333

2

1

4

1...321

+=+==++++ ∑=

nnnnkn

n

k

ToŜsamości trygonometryczne:

1.

2sin

2

1sin

2coscoscos...2coscos1

0 α

αααααα

+

⋅==++++ ∑=

nn

knn

k

2.

2sin2

2

1cos

2cos

2sin

2

1sin

2sinsinsin...2sinsin

1 α

αα

α

αααααα

+−=

+

⋅==+++ ∑=

nnn

knn

k

poniewaŜ: ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscos2

1sinsin

3. ( ) ( )ααααααα

sin2

2sin12cos12cos...5cos3coscos

1

nkn

n

k

=−=−++++ ∑=

4. ( ) ( )α

ααααααsin

sin12sin12sin...5sin3sinsin

2

1

nkn

n

k

=−=−++++ ∑=

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek B: Podręczny zbiór twierdzeń i definicji z wykładów data aktualizacji: 2006-03-04 20:40:35

- 51 -

Dodatek B: Podr ęczny zbiór twierdze ń i definicji z wykładów

Funkcja Funkcja to przyporządkowanie takie, Ŝe kaŜdemu elementowi ze zbioru X , przypisujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y .

Granica ciągu Liczba a jest granicą ciągu na jeŜeli .

Twierdzenie o trzech ciągach Dany jest ciąg ( )na . JeŜeli istnieją 2 dodatkowe ciągi ( )nb i ( )nc takie, Ŝe: nnn cab ≤≤ to:

AaAcAb nn

nn

nn

=⇒

=∧=∞→∞→∞→

limlimlim

Lemat Bolzano-Weierstrassa

KaŜdy ciąg ograniczony ( )na zawiera co najmniej jeden podciąg zbieŜny ( )kna .

KaŜdy ciąg zbieŜny jest zawsze ograniczony, ale ciąg ograniczony nie musi być zbieŜny. Definicje ciągłości funkcji

definicja Heinego funkcja f jest ciągła w 0x jeŜeli:

( ) ( )00

xfxf nxxn

→∧→

definicja Cauchy’ego funkcja f jest ciągła w 0x jeŜeli:

[ ]( ) ( ) εδ

δε<−⇒<−∧∨∧

∈>>00

,00

xfxfxxbax

Definicja Heinego i Cauchy’ego są równowaŜne. KaŜda funkcja ciągłą w sensie Heinego jest ciągła w sensie Cauchy’ego i na odwrót.

KaŜda funkcja ciągła f na [ ]ba, (tzn. ciągła w kaŜdym punkcie odcinka [ ]ba, ) jest ograniczona.

Funkcja ciągła f na [ ]ba, jest jednostajnie ciągła,

czyli jest ciągła w kaŜdym punkcie naleŜącym do [ ]ba, .

Zbiór liczbowy nazwiemy ograniczonym z góry jeŜeli istnieje liczba większa od wszystkich liczb zaleŜących tego zbioru.

Zbiór liczbowy nazwiemy ograniczonym z dołu jeŜeli istnieje liczba mniejsza od wszystkich liczb naleŜących tego zbioru.

Zbiór jest ograniczony, jeŜeli jest ograniczony jednocześnie z góry i z dołu. Kresy Kres dolny zbioru liczbowego A (infimum zbioru, Ainf ) to największa z tych liczb, które ograniczają ten zbiór z dołu. Liczba będąca kresem dolnym zbioru moŜe, ale nie musi do niego naleŜeć.

εε

+<≤≤ ∨∧∧∈>∈

mxmxmAxAx

00 0

mA =inf

Kres górny zbioru liczbowego A (supremum zbioru, Asup ) to najmniejsza z tych liczb, które ograniczają ten zbiór z góry. Liczba będąca kresem górnym zbioru moŜe, ale nie musi do niego naleŜeć.

MxMMxAxAx

≤<−≤ ∨∧∧∈>∈

00 0

εε

MA =sup

Kres dolny zbioru wartości funkcji to kres dolny funkcji: ( ) mxf =inf

Kres górny zbioru wartości funkcji to kres górny funkcji: ( ) Mxf =sup

KaŜdy ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieŜny do swojego kresu górnego. KaŜdy ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieŜny do swojego kresu dolnego. Funkcja ciągła f na [ ]ba, osiąga swoje kresy.

To znaczy istnieje [ ]bax ,1 ∈ , takie Ŝe ( ) mxf =1 oraz [ ]bax ,2 ∈ , takie Ŝe ( ) Mxf =2 . W związku z tym kres górny i kres dolny są wartościami funkcji

εε

<−∧∨∧≥>

aanNnN0


- 52 -

Definicja całki oznaczonej Riemanna JeŜeli dla funkcji f ograniczonej na odcinku [ ]ba, istnieje dla kaŜdego wyboru punktów pośrednich i nie zaleŜy dokonywanych wyborów podziałów normalnych i punktów

pośrednich granica ciągu ( ) ( )

xn

i

n

i

n

inf ∆∑

=∞→

1

lim ξ to mówimy, Ŝe:

Funkcja f ma całkę oznaczoną Riemanna na odcinku [ ]ba, .

Uzyskaną granicę nn

σ∞→

lim nazywamy wtedy całką Riemanna i oznaczamy .

Całka górna i całka dolna Darboux Dana jest funkcja ograniczona f na [ ]ba, .

Dla kaŜdego normalnego ciągu podziałów odcinaka [ ]ba, istnieją granice ciągów

całka dolna: ( )∫==∞→

b

a

nn

xfss dxlim całka górna: ( )∫==∞→

b

a

nn

xfSS dxlim

i nie zaleŜą od dokonanych wyborów. Kryterium całkowalności

JeŜeli dla dowolnego ustalonego 0>ε istnieje jeden podział odcinka [ ]ba, dla którego:

ε<− nn sS to funkcja f jest całkowalna na [ ]ba, .

Uwaga: JeŜeli jakaś funkcja f nie spełnia powyŜszego kryterium to nie oznacza tego, Ŝe funkcja f nie jest całkowalna.

Twierdzenie Funkcja ograniczona f na [ ]ba, jest całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy jej całka górna jest równa całce dolnej ( Ss = ).

Twierdzenie o całkowalności kaŜdej funkcji ciągłej KaŜda funkcja ciągła f na [ ]ba, jest całkowalna (ma całkę oznaczoną Riemanna).

Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie to granica ciągu ilorazu róŜnicowego. Pochodna ( )0xf ′ istnieje ⇔ gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe sobie.

iloraz róŜnicowy:

( ) ( )

0

0

xx

xfxf

−−

0xx ≠

definicja pochodnej:

( ) ( ) ( )0

0lim0

'xx

xfxfxf

xx −−=

→

postać równowaŜna:

( ) ( ) ( )h

xfhxfxf

h

−+=→

lim0

'

Pochodna informuje o szybkości zmiany wartości funkcji. Twierdzenie Rolle’a

Dana jest funkcja ( )xf na [ ]ba, i taka, Ŝe:



3. ( ) ( )bfaf = , wtedy istnieje co najmniej jeden punkt

( )bac ,∈ gdzie ( ) 0=′ cf .

Twierdzenie Lagrange’a Dana jest funkcja ( )xf na [ ]ba, i taka, Ŝe:


2. istnieje ( )xf ′ na ( )ba, , wtedy istnieje co najmniej jeden punkt

( )bac ,∈ w którym ( ) ( ) ( )ab

afbfcf

−−=′ .

( ) ( ) ( )( )00 xxcfxfxf x −′+=

( )∫=∞→

b

a

nn

xf dxlimσ


- 53 -

Twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania Dana jest funkcja ( )xf ciągła na [ ]ba, ,

wtedy istnieje pochodna funkcji( )xF taka, Ŝe ( ) ( )xfxF =′ gdzie: . Zbiór funkcji ( ){ }tϕ róŜniczkowalnych o własności ( ) ( )xfx =′ϕ

nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy ( )∫ dxxf .

Twierdzenie Leibnitza-Newtona Niech f ciągła na [ ]ba, wtedy

( ) ( ) ( )abdxxfb

a

φφ −=∫

gdzie ( )xφ – dowolna ustalona funkcja pierwotna dla f (element całki nieoznaczonej).

Całkowanie przez części ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′ dxdx xgxfxgxfxgxf

gdzie funkcje f i g są klasy C1 Całkowanie przez podstawianie ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dtdx xtfxf ϕϕ

gdzie funkcje f i g są klasy C1 Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

pole pod krzywą

( )∫=b

a

xfS dx objętość bryły obrotowej

( )∫Π=b

a

xfV dx2

długość łuku krzywej

( )[ ]∫ ′+=b

a

xfl dx1 2 pole powierzchni

bocznej bryły obrotowej

( ) ( )[ ]∫ ′+Π=b

a

b xfxfS dx12 2

( ) ( )∫=x

a

tfxF dt

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek C: Spis podstawowych całek nieoznaczonych data aktualizacji: 2006-03-07 20:24:17

- 54 -

Dodatek C: Spis podstawowych całek nieoznaczonych

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

Π+=

+=

+=

+

=

+−=

+−=

+

=

+−=

+−=

+±=±

−=

+=

+=

+±−=±

−−=

+−=

+−=

=

+=

+=

+=

+=

+−=

+=

++

=

−

+

cax

tga

dxax

ctgaxa

dxax

ctgxdxx

cax

tga

dxax

cctgaxa

dxax

cctgxdxx

cax

tga

dxax

cctgaxa

dxax

cctgxdxx

cbaxa

dxbax

axaxaxa

axdx

caxa

axdx

cxxdx

cbaxa

dxbax

axaxaxa

axdx

caxa

axdx

cxxdx

dxe

dxe

cea

dxe

cedxe

cab

adxa

ca

adxa

cx

dxx

cxdxx

cn

xdxx

xx

axax

xx

bxbx

xx

nn

42ln

1

cos

1.25

1

cos

1.24

cos

1.23

2ln

1

sin

1.22

1

sin

1.21

sin

1.20

2ln

1

sin

1.19

1

sin

1.18

sin

1.17

sin1

cos.16

cossin2

1cos.15

sin1

cos.14

sincos.13

cos1

sin.12

cossin2

1sin.11

cos1

sin.10

cossin.9

1.8

1.7

.6

ln.5

ln.4

11.3

ln1

.2

1.1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

( )

( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

( )

( )

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

[ ]

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−=

+=

++=

+−=

+++=+

+=−

+=−

+=+

++−=

−

++

=

+=

+−=

+⋅=

+=

+−⋅=

+++⋅=

++−⋅=

+−−⋅=

+−+⋅=

+=−

+=+

+

vduvuudv

cxdxx

cxxx

dxx

cxxx

dxx

caxxdxxa

dx

ca

xdx

xa

dx

ca

xdx

xa

dx

ca

xarctg

adx

ax

cax

ax

adx

ax

cn

xdx

x

x

caxa

ctgaxdx

caxa

tgaxdx

cxfdxxf

xf

cxfdxxf

xf

cxxxxdx

cxarcctgxxarcctgxdx

cxarctgxxarctgxdx

cxxxxdx

cxxxxdx

carcctgxdxx

carctgxdxx

nn

.45

lnlnln1

.44

lncoslnsin2

lncos.43

lncoslnsin2

lnsin.42

ln.41

arcsin.40

arcsin.39

11.38

ln211

.37

1

lnln.36

sinln1

.35

cosln1

.34

2'

.33

ln'

.32

lnln.31

1ln2

1.30

1ln2

1.29

1arcsinarccos.28

1arcsinarcsin.27

1

1.26

11

.25

22

22

22

22

22

22

1

2

2

2

2

2

2

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek D: Ćwiczenia w liczeniu całek nieoznaczonych data aktualizacji: 2006-04-01 23:38:04

- 55 -

Dodatek D: Ćwiczenia w liczeniu całek nieoznaczonych Przykłady pochodzą z lekcji kółka matematycznego z panią Alicj ą Jankowską z Liceum Ogólnokształcącego Nr VII we Wrocławiu

2006-02-09

Wzór na całkowanie przez części ∫∫ −= dudv vuvu

1. wiem, Ŝe: ( ) xx ee =′; całkując przez części otrzymuję:

ceexeexegf

egxfex xxxx

x

xx +−⋅=−⋅=

==′=′=

=⋅ ∫∫ dx1

dx

2. całkowanie dwa razy przez części:

ceeee

ee

eeeeee

eeeeeeee

eeeeee

egef

egefee

eeeeegef

egefee

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxx

xx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

+⋅⋅+⋅−=⋅

⋅⋅+⋅−=⋅

⋅−⋅⋅+⋅−=⋅

⋅⋅−⋅⋅+⋅−=

==⋅=′=′=

⋅+⋅−=

=⋅⋅+⋅−=−=⋅=′

=′==⋅

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

5

sin2cosdxsin

sin2cosdxsin5

dxsin4sin2cosdxsin

dxsin22sin2cos

sin2

cos2cos

dxcos2coscos2

sindxsin

222

222

2222

222

2

22

22

2

22

3. całkowanie najpierw przez podstawianie, a następnie przez części:

( )

( )

cexeteeeteeet

eegf

egtfetete

x

x

tx

xex

xtttttxt

t

t

tttt

x

+⋅⋅=⋅⋅=+−⋅⋅=+−⋅⋅=

=+==′=′=

⋅=+⋅=+

==

=

+⋅

∫

∫∫∫

∫

2

2

221

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2

2

dx

1dtdtdt1

dtdx

dtdx2

dx1

4. całkowanie raz przez części:

cxxxxx

xxxgf

gxfx

x

+−⋅=⋅−⋅===′=′=

= ∫∫ lndx1

ln1ln

dxln1

5. całkowanie dwa raz przez części:

cxxxxxxxxxx

xgf

xgxfxxxxxx

xxxxxgxf

xgxfxx

+−+=−⋅⋅+⋅=

=−==′

=′=⋅−⋅=⋅−⋅=

=⋅−⋅===′=′=

=⋅

∫

∫

∫∫

sin2cos2sindxcos2cos2sin

cos1

sin2sindxsin2sin

dxsin2sinsin2

cosdxcos

22

22

22

2


- 56 -

6. całkowanie przez podstawianie oraz skorzystanie ze wzoru ceexex xxx +−⋅=⋅∫ dx (ad.1.)

( ) cexeeette

x

tx

xxexe

xxttt

xx

+−⋅=−⋅=⋅

==

=

∫

∫∫

sinsin

sinsin

2sin22dt2

dtdxcos

sin

dxcossin2dx2sin


cxexexe

xexexe

xexexexe

xexexe

xgef

xgefxe

xeexxgef

xgefxe

xxx

xxx

xxxx

xxx

x

xx

xx

x

xx

+−−=

⋅⋅−⋅⋅−=

−⋅⋅−⋅⋅−=

−⋅⋅−⋅⋅−=

==−=′=′=

⋅−⋅⋅−=

=−⋅−=−=−=′

=′==

−−−

−−−

−−−−

−−−

−

−−

−−−

−−

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

3sin3cosdx3sin

3sin3cosdx3sin

dx3sin3sin3cosdx3sin

dx3sin3sin3cos

3sin2

3cos

32

3cos

dx3cos3cos3cos2

3sindx3sin

21322

1332

2922

312

913

2942

922

312

2942

922

31

312

22

31

2322

31

312

22

8. całkowanie przez części oraz przez podstawianie, a takŜe skorzystanie ze wzorów:

( ) 211

tgarcx

x+

=′ ( ) 01

ln ≠=′x

xx

( )

( ) cxxtxt

x

x

x

tx

x

xx

xgx

f

gf

xxx

x

x

x

x

++−⋅=−⋅=−⋅

===+

+−⋅=

=+

=+

=′

=′==

∫

∫∫

4lntgarclntgarcdt

tgarc

dtdx

dtdx2

4

dx4

2tgarc

42

1

1tgarc

dxtgarc

2222

21

2

2222

2

21

2

2

2006-02-10 1. całkowanie przez części oraz montaŜ:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c

xxxxxx

xxx

xxxx

xxxx

xx

xxxx

x

xxx

x

xxxx

xxx

++−−−=−−−−−=

=−

−−−−=

−++−−=

=

−+

−+⋅−−−=

−+−−−=

=−

⋅−−=−⋅′

=−⋅

∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫

42

21ln1

1ln2

1ln

dx1

1dxdx1lndx

11

11ln

dx1

11

111lndx

111

1ln

dx1

12

1lndx1ln2

dx1ln

2

21

21

2

212

21

21

21

212

21

212

21

212

21

2

212

21

22

21

2


- 57 -

2. całkowanie przez części oraz z wykorzystaniem wzoru: ( ) 211

tgarcx

x+

=′

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) cxxxxx

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxxxx

++−+=+

+−+=

=+

−+−+=+

−+−+=

=+

−+=+

−+=+

∫∫

∫∫

∫∫∫

tgarc221lndx1

12dx21ln

dx1

1121lndx

111

21ln

dx1

21lndx1

21lndx1ln

22

2

2

22

2

22

2

22

222

3. całkowanie trzy razy przez części:

cxxxxxxx

xxxxxxxxg

xf

xgxfxxxx

xxxxxxxg

x

xf

xgxfxx

xxxxx

xxxx

xgx

xf

xgxfxx

+−+−=

=−+−===′

=′=⋅+−=

=⋅+−===′

=′=⋅−=

=⋅−=⋅−===′

=′==⋅

∫

∫

∫∫∫

23

23

23

23

21

23

23

23

23

21

23

23

21

23

23

23

21

23

21

232

3

23

23

21

2732

9162

343

32

916

9162

343

32

323

82343

32

382

343

32

32

2

332

2332

23

32

32

2

3

3

lnlnln

dxlnlnln1

lnlnln

dxlnlnlnln2

ln2ln

dxln2lndxln

2lnln3

lndxln

4. dwa razy przez części: ( ) ( )

( )cxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xx

xxxxxxx

x

x

+−−−=+−−=

=′−⋅−−=⋅+−=

=⋅+−=′−⋅=⋅=

−−−−−−

−−−−

−−−−

∫

∫∫

∫∫∫∫

2412

2122

213

212

2122

21

221

2122

21322

21

22122

212

21232

3

2

lnlndxlnln

dxlnlndxlnln

dxln2

lndxlndxlndxln

5. dwa razy przez części:

( ) ( )( ) cxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxxxxx

++−=+−=′−=

=−=−=′=

∫∫

∫∫∫∫4

3214

8124

413

814

8124

414

41

2124

41

32124

414

4124

4124

4123

lnlndxlnlndxlnln

dxlnlndxln2

lndxlndxln

6. cxxxx xxxxx

x +−=−=′

⋅=⋅ ∫∫∫ 33dx

3ln3

3ln3

dx3ln

3dx3

3ln1

3ln1

2

7. całkowanie przez części:

( )

cxxxx

xxx

x

xxx

xxxxxx

xx

++−=

=+

+−=+

−+−=

=′−=⋅′

=⋅

∫∫∫

∫∫∫

tgarctgarc

dx1

1dxtgarcdx

111

tgarc

dxtgarctgarcdxtgarc2

dxtgarc

21

212

21

221

212

21

2

2

212

21

2212

21

2


- 58 -

8. całkowanie przez podstawianie oraz przez części:

( ) ( )

cexexeeteteetete

x

txtx

tetetetetetexe

xxxtttttt

ttttttx

+−−−=−+−=−+−=

=−=⇒=−

=′

+−=+−=′

−=−=

−−−

−

∫

∫∫∫∫∫

222

2

24212

212

21

242

221

212

212

212

215

dt

dtdx 2

dtdt2dtdtdx

2006-02-17

1. całkowanie przez części oraz skorzystanie ze wzoru: ( )21

1sinarc

xx

−=′

cxxx

xxx

xx

xxx

xgxx

f

xgxf

x

x

++⋅−−=

=+⋅−−=−⋅

−−−⋅−−=

=−−=⋅

−=′

−=′=

=−

∫∫

∫

2sinarc12

dx1

sinarc12dx12

12sinarc12

122

1

1

11

1sinarc

dx1

sinarc

2


cxxxx

x

xxxxx

xxxxxx

xxxxxxg

x

xf

gxfxx

xxxxx

xxx

xgx

xf

gxfx

+−=

−=

−−=

−−==−=′

=′=−=

=−=⋅−===′

=′==

∫

∫

∫∫

∫

∫∫∫

2lncos

2lnsin

dxlnsin

lncoslnsindxlnsin2

dxlnsinlncoslnsindxlnsin

dxlnsinlncoslnsinlnsin

1lncoslnsin

dxlncoslnsindxlncos

lnsinlncos

1lnsindxlnsin

3. całkowanie przez podstawianie:

cxct

xt

x

tx

xx

+=+=

==

∫

∫

66

5

5

sin61

6dt

dtdxcos

sin

dxcossin


- 59 -


cxctt

txx

+=+=

==

∫

∫

3tg61

tg61

cosdt

61

dtdx3

332cos

dx

2

2


cecee

tx

ex

xtt

x

+=+=

==

⋅

∫

∫

sin

sin

dt

dtdxcos

sin

dxcos


cxctt

x

x

tx

x

x

+=+=

=

=

=

∫

∫

42

413

3

4

42

3

tg41

tg41

cosdt

41

dtdx

dtdx4

cosdx


( )

cxctt

x

txx

x

+=+=

=

=

∫

∫

332

2

ln31

31

dt

dtdx1

ln

dxln


cxctt

x

txx

x

+=+=

=

=

∫

∫

22

2

2

tg21

21

dt

dtdxcos

1

tg

dxcostg


- 60 -

9. całkowanie przez podstawianie oraz przez części:

cxxx

ctttt

ttt

tgt

f

gtf

t

x

txx

x

+−⋅=

=+−=−===′

=′==

=+

=

=+

∫∫

∫

ctgarcctgarclnctgarc

lndtln1

1ln

dtln

dtdx1

1

ctgarc

dx1

ctgarcln

2

2

10. całkowanie przez części i przez podstawianie:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cxxxcttt

x

tx

tttttttxx

++−++=+−=

==+

=−=′==+ ∫∫∫∫

22122

21

21

21

2

21

21

21

212

11ln1ln

dtdx2

1

dt1

lndtlndtlndx1ln


dtdx

16ln

66ln

6dt6dx6

11

=−=−

+−=+−=−=−

−∫∫

tx

ccxt

tx


( )

dtdx1

ln2

ln2dtdxln2

23

23

21

32

32

=

=+

++=+==+

∫∫

x

tx

cxcttx

x

13. całkowanie przez podstawianie i przez części:

( ) ( ) ( )

2

2

221

21

21

21

21

2

21

21

21

21

212

dtdt

dtdx2

dtdtdtdtdt1dx1

xtttt

tttttx

exteeete

x

tx

eteetetexex

==+−=

==

=+′

=+=+=+

∫∫

∫∫∫∫∫∫


dtdx 1

ln

lnsin arcsin arc1

dt

ln1

dx22

=

=

+=+=−

=− ∫∫

x

tx

cxcttxx


- 61 -

2006-02-23 Całkowanie funkcji wymiernych

1. ( )( ) ( ) cxfxf

xf +=′

∫ lndx

2. cxxxx

x ++−=+−

−∫ 23lndx

2316 2

2

3. całkowanie funkcji wymiernej gdy 0>∆ dla funkcji w mianowniku

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

cxxxxxx

B

A

BA

BA

BABAx

xBxA

x

B

x

A

xx

xx

xxxxxxxx

++−−=+

−−

=+

−−

−==

⇒

=−=+

−++=−++=

++

−=

+−

=+−=−=−−==+=∆

+−=

+−=

−+=

−+

∫∫∫∫

∫∫∫∫

5lnln5

dxdx5

dx12

dx

15

02

521

1251

5125121

21

4119

54

1191214081

512dx

52dx

592dx

592dx

111

21

111

111

2111

1111

112

111

112

21

2122

4. bardzo specyficzne podstawianie:

dt dx

0

tgarc tgarc 1

dtdtdx222

b

bbtx

cb

xt

b

bct

b

b

tb

b

bbtb

bx

=

>=

+=+=+

=+

=+ ∫∫∫

5. całkowanie funkcji wymiernej

( ) ( )

cx

ctctt

xttx

aq

a

bp

txxxx

+−=+=+=+

=

=

−=⇒=−

==∆−===−=−=−=∆

=+

=+−

=+−

=+−

∫

∫∫∫∫

33

2arcsin 62

arcsin 62

arcsin 18

231

dt

dtdx

33

23

9872

43

412

272216144

dt

3

dx

932

dx27122

dx

229

91

29

29

292

292

921

2922

122


- 62 -

2006-02-24

1. całkowanie funkcji wymiernej gdy 0=∆ dla funkcji w mianowniku:

( ) ( )

dtdx

dtdx3

23

1t1

2331

31dt

31

23

dx4129

dx

31

2222

==

=−

−=′

+−

−=−==−

=+− ∫∫∫

tx

tc

xttxxx

2. całkowanie funkcji wymiernej gdy 0=∆ dla funkcji w mianowniku:

( )

( ) ( )( )

( )

cx

xt

ttt

tx

xx

B

A

BA

A

BAAxx

BxAx

x

B

x

A

x

x

x

x

xx

x

+−

⋅−−=⋅−=+

==

=−−

+−

==

−=−=

+−=−+−=−

−+

−=

−−

−−=

−−−

∫∫

∫∫

∫∫

13

1

3

813ln

1

3

8ln

dt

3

8dt

3

3

dtdx

dtdx3

13

dx13

8dx

133

8

3

5

93

359

1359

131313

59

dx13

59dx

16959

2

31

2

22

22


- 63 -

3. całkowanie funkcji wymiernej gdy 0<∆ dla funkcji w mianowniku:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) cxxxxx

x

cxtttxxx

tx

xxxx

xxxx

xxxx

x

xxx

x

xx

cxfxf

xfxxx

xx

x

++−++=++

+

++==+

=+

=++

=++

=

⋅=+

++=+−+=++

++−++=

++−

+++

−+=−+=+−

−++

+=′

+=′++

+++

∫

∫∫∫∫

∫∫∫

∫

∫

23

212

41

2

23

21

21

221

412

418

1

412

234

1

2524

1

21

41

23

412

23

25

492

23

252

2524

1241

221

241

21

23

21

41

21

23

41

2

2

tgarc562lndx562

1

tgarc tgarc1

dtdtdx3dx

dtdx

3

3dx

562lndx562

dx562

64

641

64:1

lndx64562

dx562

1

4. ( )( )∫ −+−+−

dx112

853x22

23

xxx

xx

5. ∫ −−+++

dx1

23xx4

2345

x

xx

2006-03-02 1. ogólny wzór na liczenie całek postaci:

( )( ) ( )

( )( ) dtdx

22dt 1

dx

=′=

+===′

∫∫

xf

txf

cxfttxf

xf

2. ogólny wzór na liczenie całek postaci: ( ) ( )

( )( ) dtdx

dt dx

=′=

+===′ ∫∫

′

xf

txf

ceeexfe xfttxf

3. nietypowy montaŜ pod ( )( )bababa −+=− 22

dtdx sin

coscos

1 tg tg

dt tg dx

cossin

cos

dx dx

sin1sin1

sin1dx 1

2222

=−=

=+−=−=+=−=+−=

+−

∫∫∫∫∫

x

tx

cx

xtxt

xx

x

xx

x

x


- 64 -

4. ∫ ++

dx cos1sin1 xe

x

x

5. ( )∫+

dx 1

tgarc

32x

xex

6. montaŜ pod sumę sześcianów:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) cxxxxctttt

txtx

ttttt

ttt

t

t

x

x

+−−−−−−−−=+−−−−=

=+=⇒=−

=+++=+++=+=− ∫∫∫∫∫∫∫

99

99198

98397

97396

96199

99198

98397

97396

961

100999897100

23

100

3

100

3

1111

dtdx

11

dtdt3

dt3

dtdt

133dt

1dx

1

7. dwa razy przed podstawianie:

dkdt 1

dtdx cos

lnsin

sinlnlnlnlnlndk

lndt

dx sinlnsin

cosdx

sinln ctg

==

==

+====⋅

=⋅

= ∫∫∫∫

tx

kttx

cxtkkttxx

x

x

x

8. ∫ ++ 22dx

2 xx

9. ∫ +dx

1 cos arc

x

x

2006-03-03 10. całkowanie przez części, przez podstawianie oraz całkowanie funkcji wymiernych:

( ) ( )

cxxxxx

xx

x

xxx

x

xxx

xxxxxxxx

++−=+

+−=

=+

−+−=+

−=

=′−=′=

∫∫

∫∫

∫∫∫

tgarc tgarcdx 1

1dx tgarc

dx 1

11 tgarcdx

1 tgarc

dx tgarc tgarcdx tgarc2dx tgarc2

22

2

2

22

2

22

22221


cxxx

xxx

xxxxx

xxxx

xx

xx

xxx

x

xxx

x

++

++

=

+=+

−+=′

−=

=−=′

=

∫

∫

∫∫

∫∫∫

sin313ln

1cos3

13ln3ln

dx cos

sin33ln

1cos3

3ln

1dx cos

3ln

13ln

dx cos3ln

1sin3

3ln

1cos3

3ln

1dx sin

3ln

3

3ln

1cos3

3ln

1

dx sin33ln

1cos3

3ln1

dx cos3ln

3dx cos3

22

22

2

22


- 65 -

12. specyficzne podstawienie:

cxx

ctt

tt

t

t

xttx

ttttttx

++=

=++=+=+==

=

=⇒=

==−=−=−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

33

23

33

43

23

23

23

232

33

2222

sin arc sin arc 2sin

22sin

dt dt 2cosdt 2

12cos3dt cos3

dt cos3dx

sin arcsin3

dt coscos3dt cossin13dt cos3 sin33dx 3

13. całkowanie przez podstawianie…:

( )

( ) ( ) ...1ln1ln...

...

21dt 2dx

121

...1

dt

44

dt2

41

dx

52

dx

21

212

21

212

222

2

2222

=+

++++=+++=

++=+=

+=+=+

=+

=+

=++

=++ ∫∫∫∫

cxxctt

ktktt

ktttx

ttxxx


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) cxxxxx

xxxxx

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

++=

+=

⋅−+=′+=

=⋅+=′=

∫

∫

∫∫

∫∫∫

lnsinlncosdxlncos

lnsinlncosdxlncos2

dx1

lncoslnsinlncosdxlnsinlncos

dx1

lnsinlncosdxlncosdxlncos

21

21


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )c

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxx

xxxxxxx

+−=

−=

−−=

−−=′−=

=−=−=′=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

2lncos

2lnsin

dxlnsin

lncoslnsindxlnsin2

dxlnsinlncoslnsindxlnsin

dxlnsinlncoslnsindxlncoslnsin

dxlncoslnsindxlncos

lnsindxlnsindxlnsin

16. ( )∫ + dx1ln 1xx

17. ∫ +dx

x1

sin arc2

x

18. ∫ dxsincos3 xe x


dtdx 2

sindxcosdxcos

2

221

212

==

+== ∫∫

x

tx

cxtxx


- 66 -


cxxcttt

x

txttt

t

tt

t

x

x

+−=+−=−+

=

==

=+

+−+

=+

−+−+

=+−=

+

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

sinsin tgarc 2 tgarc 2dtdt1

12

dtdx cos

sin

dt1

1dtdt

11

dt1

11dt

11

dt11

sin1dxcos

2

222

2

22

2

2

3

21. całkowanie funkcji wymiernych:

( ) ( )

dt 4dx

43

43

tgarc tgarc1

dt

164

dx 4

163

dx256

dx41

41

241

222

==+

+

+=+=+

=+

=++

=++ ∫∫∫∫

tx

cx

ctttxxx

22. dxcos3

2sin4∫ − x

x

23. ∫ − 92

dx

xx

24. ∫ − 25

dxxx

25. dwa podstawiania oraz odpowiedni montaŜ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

dkdt

1

1

212ln

dk212ln

1

dt21t2ln

td2dx

1

dt2dt

11

2dt11

112dt

1

2

1

dx

22

2

222

==+

++

−+=−+=+

−+=

==

=

=+

−+

=−+

−+=+

=+

∫∫

∫∫∫∫∫

kt

cx

xk

xt

t

tx

tx

tttt

t

t

t

x

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek E: Zadania z kolokwiów data aktualizacji: 2006-03-11 16:02:30

- 67 -

Dodatek E: Zadania z kolokwiów

Treści zadań Matematyka – Studium Talent 2005/2006 – egzamin z 08-03-2006 – grupa A

1. Obliczyć

∫ ⋅ dxcossin 33 xx

2. Obliczyć

∫ dx2sin xex

3. Obliczyć

{ }∫ dx1,max 2x

4. Obliczyć całkę dolą i całkę górną z funkcji ( ) ( )xgxxf ⋅−= ,

gdzie ( )

=eniewymiern - ,0

wymierne- ,1

x

xxg na odcinku [ ]1,0 .

Czy funkcja ma całkę oznaczoną na [ ]1,0 ?

5. Obliczyć

∫ − dx4 2x

6. Obliczyć korzystając z definicji ( )∫3

0

dxxf ,

gdzie ( )[ )

( ]

∈=∈

=3,1,4

1,3

1,0,2

x

x

x

xf

7. Obliczyć wykorzystując całkę oznaczoną

Π++Π+Π+Π∞→ n

n

nnnnn 2cos...

2

3cos

2

2cos

2cos

3lim


- 68 -

Matematyka – Studium Talent 2005/2006 – egzamin z 08-03-2006 – grupa B

1. Obliczyć

∫ − dx9 2x

2. Obliczyć korzystając z definicji ( )∫2

0

dxxf ,

gdzie ( )[ )

( ]

∈=∈

=2,1,2

1,1

1,0,3

x

x

x

xf

3. Obliczyć

∫ dx2cos xex

4. Obliczyć

{ }∫ −− dx1,min 2x

5. Obliczyć

∫ ⋅ dxsincos 33 xx

6. Obliczyć całkę dolą i całkę górną z funkcji ( ) ( )xgxxf ⋅= ,

gdzie ( )

=eniewymiern - ,0

wymierne- ,1

x

xxg na odcinku [ ]1,0 .

Czy funkcja ma całkę oznaczoną na [ ]1,0 ?

7. Obliczyć wykorzystując całkę oznaczoną


n

nnnnn

cos...3

cos2

coscos2

lim


- 69 -

Matematyka – Studium Talent 2004/2005 – egzamin z 19-03-2005 – grupa A

1. Obliczyć

∫ +−+

dx64

12 xx

x

2. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego ograniczonego

krzywą xxy 45 cossin= osią OX , 0=x , 2Π=x , dookoła osi OX .

3. Obliczyć całkę nieoznaczoną na ( )∞,0 z funkcji:

( ) ](( )

∞∈

∈−=

Π

,1,ln

1,0,cos3

2

xxx

xxxf

4. Obliczyć

∫ dx2cos3 xe x

5. Uzasadnić (metoda do wyboru), Ŝe funkcja

( ) ( ) ](

=∈

=Π

0,2

1,0,sinsgn2

x

xxf x

ma całkę oznaczoną na [ ]1,0 .

6. Zacytować (bez dowodu) twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania (podać załoŜenia i tezę) ( )xF . Wyznaczyć ( )xF na [ ]1,1− dla:

( )[ ]

](

=+

−∈+−=

1,0,3

3

0,1,1

2t

t

tttf

Czy funkcja ( )xF ma drugą pochodną dla 0=x ? (uzasadnić)

7. Przyjmując, Ŝe funkcja ciągła ( ) xxf 3= ma całkę oznaczoną na odcinku [ ]2,0 , wyznaczyć ją korzystając z definicji całki oznaczonej.

8. Obliczyć pochodną funkcji ( )xg :

( ) ∫=3

2

tgarc

3sin

dtx

x

texg


- 70 -


1. Obliczyć

∫ dx3sin2 xe x

2. Obliczyć

∫ +−+

dx126

22 xx

x

3. Przyjmując, Ŝe funkcja ciągła ( ) xxf 2= ma całkę oznaczoną na odcinku [ ]3,0 ,

wyznaczyć ją korzystając z definicji całki oznaczonej.

4. Obliczyć całkę nieoznaczoną na ( )∞,0 z funkcji:

( ) ](( )

∞∈

∈=

Π

,1,ln

1,0,cos2

2

xxx

xxxf

5. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego ograniczonego

krzywą xxy 45 sincos= osią OX , 0=x , 2Π=x , dookoła osi OX .


( ) ( ) ](

=∈

=Π

0,3

1,0,sinsgn3

x

xxf x

ma całkę oznaczoną na [ ]1,0 .

7. Obliczyć pochodną funkcji ( )xh :

( ) ∫−=x

x

texh2cos

tgarc

2

3

dt

8. Zacytować (bez dowodu) twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy

całkowania (podać załoŜenia i tezę) ( )xF . Wyznaczyć ( )xF na [ ]1,1− dla:

( )[ ]

](

=+

−∈+−=

1,0,2

4

0,1,2

2t

t

tttf

Czy funkcja ( )xF ma drugą pochodną dla 0=x ? (uzasadnić)


- 71 -


1. Obliczyć

∫ +++

dx22

322 xx

x

2. Obliczyć pole figury ograniczonej xxy sincos5= , osią OX , na odcinku [ ]2,0 Π .

3. Obliczyć

( )∫ dxtglnsin xx

4. Obliczyć

( )∫ dx,1max 2x

5. Obliczyć

∫ − dx3 2x

6. Korzystając z definicji całki oznaczonej obliczyć: ( )∫2

0

dxxf gdzie:

( ) ( )

( ]

∈=∈=

=

2,14

13

1,02

01

x

x

x

x

xf

7. Sformułować twierdzenie Lagrange’a (bez dowodu) – podać załoŜenia i tezę. Przy

pomocy tego twierdzenia uzasadnić, Ŝe jeśli ( ) 0>′ xf na ( )ba, , to f rosnąca na ( )ba, .


- 72 -


1. Obliczyć

∫ − dx5 2x

2. Obliczyć

( )∫ −− dx,1min 2x

3. Sformułować twierdzenie Lagrange’a (bez dowodu) – podać załoŜenia i tezę. Przy

pomocy tego twierdzenia uzasadnić, Ŝe jeśli ( ) 0<′ xf na ( )ba, , to f malejąca na ( )ba, .

4. Obliczyć

∫ +++

dx54

522 xx

x

5. Obliczyć

( )∫ dxtglnsin xx

6. Obliczyć pole figury ograniczonej xxy cossin5= , osią OX , na odcinku [ ]2,0 Π .

7. Korzystając z definicji całki oznaczonej obliczyć: ( )∫3

0

dxxf gdzie:

( )

[ )

( )[ ]

∈∈=∈

=

3,21

2,12

13

1,04

x

x

x

x

xf


- 73 -


1. Obliczyć

∫ − dx5 2x

2. Obliczyć

∫ dx3sin2 xe x

3. Obliczyć ( )∫ dxxf na [ ]22 , ΠΠ−

gdzie ( ) [ )[ ]

∈+−−∈

=Π

Π

2

2

,01

0,cos

xx

xxxf

4. Korzystając z definicji całki oznaczonej (oraz z faktu, Ŝe funkcja ( ) 3xxf = – jako

ciągła na [ ]1,0 ma tę całkę). Obliczyć

∫1

0

3 dxx

wskazówka: ( )2333 ...21...21 nn +++=+++

5. Obliczyć

+++

++

+∞→222222

...21lim nn

n

n

n

n

n

n

6. Oszacować dokładność wzoru przybliŜonego

xx 23131 +≈+ na [ ]1,0

wskazówka: stosować wzór Maclaurina

7. Wyznaczyć ( ) { }∫−

−=x

ttxF1

dt ,max na [ ]1,1−

8. Uzasadnić, Ŝe funkcja Dirichleta

( )

=eniewymiern ,0

wymierne,1

x

xxg

nie ma całki oznaczonej na [ ]1,0


- 74 -


1. Obliczyć

∫ dx2sin3 xe x

2. Obliczyć

∫ − dx3 2x


gdzie ( ) [ )[ ]

∈+−−∈

=Π

Π

2

2

,01

0,cos

xx

xxxf

4. Obliczyć

( ) ( ) ( )

+++

++

+∞→222

1...

2

1

1

1lim nnnn

nn

5. Korzystając z definicji całki oznaczonej (oraz z faktu, Ŝe funkcja ( ) 2xxf = – jako

ciągła na [ ]1,0 ma tę całkę). Obliczyć

∫1

0

2 dxx

wskazówka: ( )( )

6121

...21 222 ++=+++ nnnn

6. Wyznaczyć ( ) { }∫−

−=x

ttxF1

dt ,max na [ ]1,1−

7. Oszacować dokładność wzoru przybliŜonego

xx +≈+ 121 na [ ]1,0

8. Uzasadnić, Ŝe funkcja

( )

−=

eniewymiern ,1

wymierne,1

x

xxf

nie ma całki oznaczonej na [ ]1,0


- 75 -


1. Obliczyć

∫− dx22 xex

2. Obliczyć

( )∫ + dx1ln x

3. Obliczyć


n

nnnnn 3sin...

33

sin32

sin3

sin3

lim

4. Sformułować twierdzenie Lagrange’a (bez dowodu) i uzasadnić,

Ŝe jeśli ( ) 0>′ xf na ( )ba, , to f rosnąca na ( )ba, .

5. Obliczyć (korzystając ze wzoru Maclaurina) 3 e z dokładnością 210− .

6. Uzasadnić, Ŝe funkcja ( ) ( )xgxxf ⋅−=

gdzie ( )xg – funkcja Dirichleta, nie ma całki oznaczonej na [ ]1,0 .


gdzie ( ) [ )[ ]

∈+−−∈

=Π

Π

2

2

,01

0,cos

xx

xxxf

8. Obliczyć

+++

++

+∞→ !41

...!24

1!14

121lim nn

n

wskazówka: skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym.


- 76 -


1. Obliczyć

∫ +−+

dx1

132 xx

x

2. Obliczyć

∫ dx2cos3 xe x

3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji xxf 32 cossin=

dookoła OX na 2,0 Π .

4. Obliczyć, korzystając z definicji całki oznaczonej

( )n nnn

n

eeen

242 ...1

lim +++∞→

5. Obliczyć:

Rxx nadx2∫ −

6. Sformułować definicję całki oznaczonej i na jej podstawie uzasadnić istnienie tej całki

(oraz obliczyć ją)

z ( ) [ )[ ] [ ]5,0 na

5,1,3

1,0,2

∈−∈

=x

xxf

7. Uzasadnić, Ŝe funkcja (metoda do wyboru)

( ) ( ) ](

=∈

=Π

0,0

1,0,sinsgn

x

xxf x

ma całkę oznaczoną.


- 77 -


1. Obliczyć

∫ dx2sin3 xe x

2. Sformułować definicję całki oznaczonej i na jej podstawie uzasadnić istnienie tej całki

(oraz obliczyć ją)

dla ( ) [ ]( ] [ ]6,0 na

6,2,3

2,0,4

∈∈−

=x

xxf

3. Obliczyć:

Rxx nadx2∫ −

4. Obliczyć

∫ +−+

dx1

152 xx

x


Π++Π+Π+ΠΠ∞→ n

n

nnnnn

sin...3

sin2

sinsinlim

6. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji xxf 32 sincos=

dookoła OX na 2,0 Π .

7. Uzasadnić, Ŝe funkcja (metoda do wyboru)

( ) ( ) ](

∈−=

=Π 1,0,sinsgn2

0,0

x

xxf

x

ma całkę oznaczoną.


- 78 -


1. Obliczyć

∫ dx3ln2 xx

2. Obliczyć

∫ ++−

dx54

172 xx

x

3. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywą xxy 45 cossin= i osią OX na 2,0 Π .


Π++Π+ΠΠ∞→ n

n

nnnn 2cos...

22

cos2

coslim

5. Obliczyć ( )∫ dxxf

gdzie ( )

>+−≤

=01

0cos

xx

xxxf

6. sformułować definicję: całki dolnej i górnej Darboux i na jej podstawie obliczyć te

całki dla ( ) ( )xgxxf ⋅−= ,

gdzie ( )xg – funkcja Dirichleta, na odcinku [ ]1,0 .

7. Wyznaczyć funkcję z argumentem w górnej graficy całkowania dla

( ) [ )[ ] 1,1 na

1,0,2

0,1,−

∈−∈−

=tt

tttf


- 79 -


1. Obliczyć

( )∫ − dxsgn 22 xxx

2. Sformułować twierdzenie Lagrange’a (bez dowodu) i przy jego pomocy uzasadnić,

Ŝe jeśli ( ) 0>′ xf na ( )ba, , to f rosnąca na ( )ba, .

3. Obliczyć pochodną funkcji

( ) ∫−

−=x

x

texfcos

dt 2

4. Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu dookoła osi OX , wykresu

funkcji xy tgarc= na 3

1,0 .

5. Obliczyć

( )( )∫ −+dx

21 xx

x

6. Obliczyć

∫ dxcos

1x


+++

++

+∞→222222 ...

21lim nn

n

n

n

n

n

n


- 80 -


1. Korzystając z definicji obliczyć całki: dolną ( s) i górną ( S) dla ( ) ( )xgxxf ⋅= na

[ ]1,0 , gdzie ( )

−−

=eniewymiern,0

wymierne,1

x

xxg

2. Obliczyć

∫ −dx

sin1cos3

x

x

3. Obliczyć

∫ dxlnsin x

4. Sformułować (bez dowodu) twierdzenie Leibniza–Newtowa oraz wyznaczyć, na odcinku

1,1− , ( ) ( )∫−

=x

tfxF1

dt gdzie ( )tf ma następujący wykres:

5. Obliczyć


n

nnnnn 4sin...

43

sin42

sin4

sin1

lim

6. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywą ( )( )21

1

++=

xxy , prostymi 0=x , 1=x

oraz osią OX .

7. Obliczyć ( )∫ dxxf

gdzie ( ) ( ] 22

2

2 , na ,01

0,2cosΠΠ

Π

Π

−

∈+−

−∈+=

xx

xxxxf

8. Wykazać, Ŝe funkcja ( ) 1,0 tympoza1

,...2,1, dla1 1

∈

−==

= xnx

xf n

jest całkowalna (ma całkę oznaczoną) na odcinku 1,0


- 81 -

Rozwi ązania do zada ń Matematyka – Studium Talent 2005/2006 – egzamin z 08-03-2006 – grupa A Rozwiązanie:

1. Całkowanie przez podstawianie

( ) ( )

( )cxxxx

ctttttt

tx

tx

tx

tttxxxxx

++−=⋅

++−=+−=⋅−−=

=−

=

=

=⋅⋅−−=⋅⋅−=⋅

∫

∫∫∫

∫∫∫

310

34

31

coscosdxcossin

dt3dt3dt13

dt 3dx sin

cos

cos

dt31dxcossincos1dxcossin

103

4333

101034

439336

2

3

263233

2. Dwa razy przez części:

( ) ( )

( ) ( )

cxexexe

xexexe

xexexe

xexexexexe

xexexexexexe

xxx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

+−=

−=

−−=

=′+−=′−=

=−=′−=′

=

∫

∫

∫

∫∫

∫∫∫∫

2cos2sindx2sin

2cos22sindx2sin5

dx2sin42cos22sin

dx2cos22cos22sindx2cos22sin

dx2cos22sindx2sin2sindx2sindx2sin

52

51

3. NaleŜy rozpatrzeć trzy przedziały:

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

+∞∈+

−∈+

−∞−∈

=

=⇒+=+=⇒+−=−

=

+∞∈+

−∈+

−∞−∈+

=

+=+=

+∞∈

−∈−∞−∈

=

∫∫

,1

1,1

1,

1

11

0

,1

1,1

1,

dx 1dx

,1

1,11

1,

343

31

32

331

34

3331

32

32

2231

1

33

31

2

13

31

3312

2

2

xx

xx

xx

xF

cc

cc

c

xcx

xcx

xcx

xF

cxcxx

xx

x

xx

xf

4. Funkcja jest niecałkowalna na [ ]1,0 , nie ma więc całki oznaczonej na [ ]1,0 .

21

0

−==

s

S


- 82 -

5. Obliczyć

cx

t

ttx

cttt

tttx

xx

x

++=−

==⇒=

++=+==−=−

∫

∫∫∫∫

222

2

222

sin arc 2sinsin arc 2dx4

dt cos2dx

sin arcsin2

2sin2dt2

2cos14dtcos4dtcossin14dx4

6. Liczę n-tą sumę całkową:

( ) ( ) 108213403012 =+=−⋅+⋅+−⋅=nσ

( ) 10dx3

0

=∫ xf

7. Trzeba skonstruować odpowiedni ciąg podziałów

Π=

Π−

Π=

Π=

Π

Π++Π+Π+ΠΠΠ

Π++Π+Π+ΠΠ

Π

Π++Π+Π+Π

Π

∞→

∞→

∞→

ΠΠ

∫6

0sin6

sin6

sin6

dxcos6

2cos...

23

cos22

cos2

cos2

6

2cos...

23

cos22

cos2

cos2

23

2cos...

23

cos22

cos2

cos3

200

22

lim

lim

lim

xx

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

n


- 83 -

Matematyka – Studium Talent 2005/2006 – egzamin z 08-03-2006 – grupa B Rozwiązanie:

1. Podstawienie w celu uwolnienia się od pierwiastka:

C

xxt

tdtt

tdt

tdtt

xt

tdtdx

tx

dxx

+

+=

+=+==

==

=

==

−

∫ ∫

∫ ∫

23

arcsin2sin

3arcsin

2

9

2

2sin

2

9

2

2cos19cos9

coscos9

3arcsin

cos3

sin3

9

2

2

2. Konstrukcja dowolnego n-tego ciągu podziałów i wyliczenie całki z definicji:

( ) ( ) ( ) 5...2...3lim12

)()(2

)(1

010203

)()(

13

)(1

)(2

)(1 =∆++∆+∆+∆+∆++∆+∆=

⋅

++

⋅∨⋅∨⋅⋅

−∞→ 4444 34444 21434214444 34444 21n

nn

in

in

in

in

inn

nn

xxxxfxxx ξσ

3. Całkowanie przez części:

Cxexe

xdxe

xexexdxe

xdxexexe

xdxe

xdxexexe

dxx

exe

xdxexe

dxx

exdxe

xxx

xxx

xxx

x

xxx

xx

xx

xx

+

+=

+=

−+=

=

+−−=

−−=

=−=

=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

4

2cos

2

2sin

5

42cos

4

2cos

2

2sin2cos

4

5

2cos4

1

4

2cos

2

2sin2cos

2cos2

1

2

2cos

2

1

2

2sin

2

2cos

2

1

2

2sin

2sin2

1

2

2sin

2

2sin2cos

'

'


- 84 -

4. całkowanie i sklejanie:

{ }( )

( )

( )

( )

32

3

0

,13

1,1

1,3

,1

1,1

1,

1,min

2

1

2

3

1

3

3

2

1

3

2

2

2

−=⇒+−=−

=

∞∈+−

−∈+−

−∞−∈+−

=

∞∈−

−∈−

−∞−∈−

=−−

−=

∫

∫

∫

∫

CCxx

C

xdlaCx

xdlaCx

xdlaCx

xdladxx

xdladx

xdladxx

dxx

x

{ }

( )

( )

∫ +

∞∈−−

−∈−−

−∞−∈−

=−−

−=⇒+−=−−=

C

xdlax

xdlax

xdlax

dxx

CCx

xx

,134

3

1,132

1,3

1,min

34

332

3

3

2

3

1

3

3

5. Całkowanie przez podstawianie

( )

Cxxtt

dttdttdtttdtxdx

txdxxx

+−=−=

=−=−==

=⋅∫ ∫ ∫ ∫

3 103 43 103 4

233

sin103

sin43

103

43

1cos

sinsincos 3

731

31

6. liczenie całki górne i dolnej: ( )

00limlim

001

2

1

2limlim

22

11...

3211

2

2

2

2

2

===

=⋅=

=+==

+=+=

++++=

∞→∞→

∞→∞→

nn

n

n

nn

n

n

ssn

s

n

nnSS

n

nnnn

nn

n

nnnnS

Dana funkcja nie ma całki oznaczonej na [0,1], gdyŜ sS ≠ na tym odcinku.

7. liczenie granicy:

( ) 0002

sin2

cos2

cos...3

cos2

coscoslim2

cos...3

cos2

coscos1

lim2cos...3

cos2

coscos2

lim

00

=−===

++++=

=

++++=

++++

∫∞→

∞→∞→

ππππππππ

π

ππππππ

ππππ

ππ

xxdxn

n

nnnn

n

n

nnnnn

n

nnnn

n

nn


- 85 -

Matematyka – Studium Talent 2004/2005 – egzamin z 19-03-2005 – grupa A Rozwiązanie:

1. Całkowanie funkcji wymiernej – rozkład na dwa ułamki oraz specjalne podstawienie: ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) cx

xxxx

x

txxt

xx

tx

txx

xxx

aqxxx

a

bp

xxxx

x

xx

x

xx

x

+−++−=+−

+

++−=+

++−=

=

=−

=+

++−=+−

++−=

=∆−=−=′+−

==−=−=−=∆

=+−

++−

−=+−+−

=+−

+

∫

∫

∫∫

∫∫∫∫

2

2tgarc

223

64lndx64

1

tgarc223

64ln1

dt223

64ln

dt2dx

22

22

dt2364lndx

22

364ln

24

4264

224

282416

dx64

3dx

6442

dx64

342dx

641

221

2

221

22

21

22

21

22

21

2

2221

221

2

2. Dana jest funkcja xxy 45 cossin= ,

Objętość to: ( ) ∫∫ΠΠ

Π=Π=22

0

45

0

2 dxcossindx xxxfV

( ) ( )( )

( )cxxxxx

ttttttttt

x

xxtx

tttttxxxxx

+−+−=

−+−=−+−=+−−=

=−−==

=+−−=−−==

∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

9917

725

5145

8817

725

51864864

224

4424224445

coscoscosdxcossin

dtdt2dtdt2

dtdxsin

cos1sincos

dt21dt1dxsincossindxcossin

wiem, Ŝe: 10cos0cos 2 ==Π nn , gdzie Nn∈

( ) Π=Π−+−−=Π⋅−+−=Π=Π

Π

∫ 3158

0coscoscosdxcossin 91

72

51

0

9917

725

51

0

45 2

2

xxxxxV

3. Całkuję funkcję ( )xf oraz obliczam odpowiednie stałe c .

122

2 sindxcos cxx +−=− ΠΠ

Π∫

24

1614

413

414

414

414

41

43 lndxlndx

1lndxln

4dxln cxxxxxx

xxxxx

xxx +−=−=−=

′

= ∫∫∫∫

ΠΠ

Π −=⇒=+−=−⇒= 2161

224

1614

41

22

1 1lnsin0 cxcxxxxc

( ) ](( )

∞∈−+−

∈−=

Π

ΠΠ

,1,ln

1,0,sin2

1614

1614

41

22

xxxx

xxxF


- 86 -

4. całkowanie przez części

cxexexe

xexexe

xexexex

exe

xexex

exe

xxx

xxx

xxxxx

xxxx

++=

+=

−+=′

−−=

−=′

=

∫

∫

∫∫

∫∫∫

2cos2sindx2cos

2cos2sindx2cos

dx2cos2cos2sindx2

2cos2sin

dx2sin2sindx22sin

dx2cos

31333

1323

3433

213

413

3493

433

213

233

21

3233

2133


( ) ( ) ](

=∈

=Π

0,2

1,0,sinsgn2

x

xxf x

ma całkę oznaczoną na [ ]1,0 . Kryterium całkowalności JeŜeli dla dowolnego ustalonego 0>ε istnieje jeden podział odcinka [ ]ba, dla

którego ε<− nn sS to funkcja f jest całkowalna na [ ]ba, .

( ) ( )( ) ( )xmM

n

i

n

i

n

i

n

inn sS ∆∑=

−=−1

Niech 0>ε , 4ε<nd

( )( ) c.k.d.4

422 εε =⋅=⋅−−<− nnn dsS

Funkcja f jest całkowalna na [ ]1,0 .

6. Twierdzenie o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania Dana jest funkcja ( )xf ciągła na [ ]ba, , wtedy istnieje pochodna

funkcji ( )xF taka, Ŝe ( ) ( )xfxF =′ , gdzie ( ) ( )∫=x

a

tfxF dt .

Obliczenia:

( ) 12

21dt1 cttt ++−=+−∫

dk3dt

3

3tgarc3tgarc3

1dk

3dk3333

dk3333

dtt3

322222

=

=

+==+

=+

=+

=+ ∫∫∫∫

kt

ct

kkkk

003

ttgarc30 22

221

1 =⇒=

+=−⇒= ct

ctc

( )[ ]

](

=

−∈+−=

1,0,3

ttgarc3

0,1,221

t

ttttF

Funkcja )(xF nie ma pochodnej w 0=x , bo jej pochodne jednostronne w 0=x nie są sobie równe.


- 87 -

7. Przyjmując, Ŝe funkcja ciągła ( ) xxf 3= ma całkę oznaczoną na odcinku [ ]2,0 ,

wyznaczyć ją korzystając z definicji całki oznaczonej.

( )( )

∫==

→=+=+=

+=

+++=⋅++⋅+⋅=

∞→

2

0

2

2616131

dx36

62

6122

2162

2213

2...213

...

x

n

n

n

nn

n

n

nn

n

nn

nn

nnnnnn

σ

σ

σ

8. ( ) ?=′ xg

( )

( ) ( ) 33sin3cos21

1

dt

3sin31

23

tgarc3sin tgarc

3sin tgarc tgarc

3sin

tgarc

3sin

232323

233

2

3

2

⋅⋅−⋅+

⋅=′

−=′

−===

−

∫

xxexx

eeexg

eeeexg

xxxx

xxx

x

tx

x

t


- 88 -

Matematyka – Studium Talent 2004/2005 – egzamin z 19-03-2005 – grupa B Rozwiązanie:

1. Dwa razy przez części.

2. Z zastosowaniem specyficznych przekształceń algebraicznych oraz całkowania przez podstawianie.

3. Wybieram n-ty ciąg podziałów odcinka [0,3] na n odcinków o długości n

1 oraz

dobieram punkty pośrednie na prawych krańcach tych przedziałów. Liczę nσ .

( )

939

limlim2

39

2

)31(323...21

2

6...

4...

2...

421

2

23

0

2

2

22

=+==

+=+⋅=+++=

=

+++++++=

∞→∞→∫ n

nnxdx

n

nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

n

nnn

nn

n

n

σ

σ

−=

−=

−=

−−=

−+−=

+−=

=+−=

−=

∫

∫

∫

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

13

3cos3

13

3sin23sin

3

3cos

9

3sin2

13

93sin

3

3cos

9

3sin23sin

9

13

3sin9

4

3

3cos

9

3sin23sin

3sin9

4

9

3sin2

3

3cos

3

3sin

3

2

3

3cos

3cos3

2

3

3cos

3

3cos3sin

22

222

222

222

2

222'

22

22'

22

xxexdxe

xexexdxe

xexexdxe

xdxexexe

xdxe

xdxexexe

dxexe

xdxexe

dxx

exdxe

xx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

xx

xx

xx

( )( )

( )

3

3

3

3126ln

3

3126ln

1

1

3

3126ln

3

33

33

1126ln

33

1

126

62

2

1

126

162

126

2

22

22

22

22221

2

+−++=−++=

=+

−++==

=+++

−++=

=++

−++

+=++

−+=

+++

∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

xarctgxxarctgtxx

dxt

xxdtdx

txdx

xxx

dxx

dxxx

xdx

xx

xdx

xx

x


- 89 -

4. Wyliczanie całek dla kaŜdego z przedziałów osobno, a następnie dobranie współczynników tak, aby wyliczona funkcja była funkcją ciągłą

∫ += Cx

dxx

2sin2

2cos

5. Z wykorzystaniem wzoru na objętość bryły oraz specyficznego podstawienia do obliczenia całki nieoznaczonej.

(

( )∫

∞∈+−

∈+=

,19

ln3

1,02

sin2)(

2

33

1

xCx

xx

xCx

dxxf

91

1ln31

21

sin2

91

1ln31

21

sin2

19ln

32sin2

0

2

2

2

33

1

+−=

+−=

=+−=

=

C

C

xC

xx

xx

C

(

( )∫

∞∈+−+−

∈=

,19

11ln

3

1

2

1sin2

9ln

3

1,02

sin2)(

33

xx

xx

xx

dxxf

( ) Cx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx +−=−=′−=′

= ∫∫∫∫ 9

ln3

dx3

ln3

dxln3

ln3

dxln3

dxln3323333

2

( )

( )

( )

315

8000

5

1

7

2

9

1

5

sin

7

sin2

9

sinsincos

5

sin

7

sin2

9

sin

57

2

92

1cos

sinsincos

sincos

sincos

2

0

5792

0

45

579579468

42245

2

0

45

2

0

245

ππ

ππ

π

π

ππ

π

π

=

−+−+−=

=

+−=⋅

+−=+−=+−

=−==

=⋅

⋅=

=⋅=

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

xxxdxxx

xxxtttdtttt

dtttdtxdx

txxdxx

dxxx

dxxxP


- 90 -

6. Funkcja f(x) będzie całkowalna na [0,1] jeŜeli będzie całkowalna w otoczeniach punktów nieciągłości na [0,1]. Jej całkowalności w punktach nieciągłości na [0,1] dowodzę stosując kryterium całkowalności: ε<− nn sS . Wybieram podział otoczeń

punktów nieciągłości tak, aby łączna długość odcinków 6

ε<nd .

( )( ) εεε ==−−<−6

6

633nn sS .

Funkcja jest całkowalna w punktach nieciągłości na [0,1] i we wszystkich punktach ciągłości na [0,1] na mocy twierdzenia o całkowalności kaŜdej funkcji ciągłej, więc jest całkowalna na [0,1].

c.b.d.o.

7. Korzystając z tw. Leibnitz’a-Newtona oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złoŜonej:

8. Dana jest funkcja f(x) ciągła na [a,b]. Wtedy istnieje pochodna funkcji F’(x)

taka, Ŝe F’(x)=f(x), gdzie ∫=x

a

dttfxF .)()(

F’’(x)=f’(x)

Pochodna )( 0tf istnieje, jeŜeli pochodne: prawostronna i lewostronna dla punktu 0t

są sobie równe.

Pochodne: prawostronna i lewostronna dla punktu t=0 nie są sobie równe, więc )(tF ′′ nie istnieje w tym punkcie.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) xexx

e

exxex

x

eeeexf

ee

eeedtexf

xxarctg

xxarctg

xxarctgxxarctg

xxarctg

xarctgxx

xarctg

tx

xarctg

t

4sin13

2cos2sin221

1

3

1

)(

)(

2cos

3 23 2

2cos

'2cos''

2cos'

2cos

2cos2cos2cos

2

3

23

32

32

2323

23

322

3

2

3

⋅−+

−=

=−⋅−⋅−−⋅+

⋅=

=−=−=

−=

=−−−===

−−

−−−

−−−−

−

−−−−∫

( )

( )( )

)(lim)(lim

02

)2(420lim

2

4lim)(lim

11lim)(lim

'

0

'

0

22

2

0

'

20

'

0

0

'

0

tftf

t

tt

ttf

tf

tt

ttt

tt

+−

+++

−−

→→

→→→

→→

≠

=+

−+⋅=

+=

−=−=


- 91 -


1. Całkowanie funkcji wymiernej – rozkład na dwa ułamki oraz specjalne podstawienie:

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) cxxx

xx

x

txx

tx

txx

xxx

aqxxx

a

bp

xxxx

x

xx

x

xx

x

+++++=++

++++=

==+

=+

+++=++

+++=

=∆−=+=′++

−=−=−=−=−=∆

=++

+++

+=++++=

+++

∫

∫∫

∫∫∫∫

1tgarc22lndx22

32

tgarc22ln

dtdx

1

1dt

22lndx11

122ln

14

2222

122

2484

dx22

1dx

22

12dx

22

122dx

22

32

22

2

22

22

2

2222

2. Pole figury pod wykresem to całka oznaczona z danej funkcji y na odcinku [ ]2,0 Π .

( ) ( )( )

231

64000sinsinsindx sincos

sinsinsindt dt 2dt

dtdx cos

sin1cossin

dt dt 2dt dt 21dt 1dx sincos

112

74

32

0112

74

32

0

5

112

74

32

112

74

32

224

4222225

2211

27

23

2

211

27

23

211

27

23

29

25

21

=−+−+−=+−=

++−=+−=+−=

=−==

=+−=+−=−=

ΠΠ

∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

xxxxx

cxxxttttttt

x

xxtx

ttttttttttxx

3. całkowanie przez części i przez podstawianie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cxxxx

cx

xxx

tt

ABx

BBtAAttxt

B

t

A

ttx

x

x

x

x

xxx

xxxxx

xxxxxxxx

x +−=

+

+−=+−−=

+−

−=

=−==−−++==

=+

+−

=−

=−

−=−

==

+−=+−=

=′+−=′−=

∫

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫

tglncos tglndxtglnsin

1cos

1cosln1cosln1cosln

1

dt

1

dt

dtdx sin

1cos

dt1

dt11

dt

1

dtdx

cos1

sindx

sin

sindx

sin

1

dxsin

1tglncosdx

cos

1

tg

1costglncos

dxtglncostglncosdxtglncosdxtglnsin

2

21

21

21

21

21

21

21

2222

2


- 92 -

4. NaleŜy rozpatrzeć trzy przypadki dla róŜnych przedziałów

( )

( )( )[ ]( )

( )( )[ ]( )

∞∈+

−∈+−∞−∈

=

=⇒=+=+⇒=

=⇒−=+=+⇒=

+=+=+=

∞∈

−∈−∞−∈

=

∫∫∫

∫

,1

1,1

1,

1

10

dxxdx1dxx

,1

1,11

1,

dx,1max

343

31

32

331

34

333

31

32

32

2

32

2213

31

1

33

312

213

312

2

2

2

xx

xx

xx

xF

cxcxxc

cxcxcxc

cxcxcx

xx

x

xx

xf

x

5. całkowanie przez podstawienie:

cxxt

tt

t

tx

tttttx

++=+=+=

=

=

==⋅−=⋅−=−

∫

∫∫∫∫

3sin arc 2sin

3sin arc

22sin

23

23

dt2

2cos13

dt cos3dx

sin3

dtcos3dtcossin13dtcos3sin33dx3

43

23

2222

6. Liczymy n-tą sumę całkową: bierzemy dowolny, normalny ciąg podziału odcinka [0,2], bierzemy dowolne punkty pośrednie.

( ){

( ) ( ) ( ) ( ){

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )∫==∞→

=+=−⋅++−⋅+=

++⋅+∆⋅+∆++∆⋅+∆⋅=

∆⋅++∆⋅+∆⋅+∆⋅++∆⋅+∆⋅=

+

→∆

−

→∆

+−

2

0

1

0

11

0

00

1

4,3,2

110

2,1

0

dx 6

64212400120

...4...2

4...42...2

lim

0

xfn

xxxxxx

xxxxxx

n

n

nn

ni

x

ni

ni

ni

n

x

nnn

nn

ni

ni

ni

ni

nnnn

ni

n

σ

σ

ξξσ

ξξσ

4342143421

7. Dana jest funkcja ( )xf na [ ]ba, i taka, Ŝe: ( )xf jest ciągła na [ ]ba, oraz istnieje

( )xf ′ na ( )ba, , wtedy istnieje co najmniej jeden punkt ( )bac ,∈

w którym ( ) ( ) ( )ab

afbfcf

−−=′ .

JeŜeli ( ) 0>′ xf to ↑f dowód: niech: 12 xx >

( ) ( ) ( ){

( )

( ) ( )( ) ( ) c.k.d.

0

12

12

1212

↑⇒>

>−

−⋅′+=++

fxfxf

xfxf

xxcfxfxf43421


- 93 -

Matematyka – Studium Talent 2004/2005 – egzamin z 02-04-2005 – grupa B Rozwiązania 1. Wykorzystanie podstawienia oraz jedynki trygonometrycznej.

2. Obliczanie całek osobno dla kaŜdego z przedziałów, a następnie dobranie stałych w taki sposób aby powstała funkcja była ciągła. 3. Dana jest funkcja ciągła na [a, b] klasy C1. Wtedy istnieje co najmniej jeden punkt

( )bac ,∈ taki, Ŝe ab

afbfcf

−−= )()(

)(' .

Niech ( ) 0,,, 1221 >−∧∈ xxbacxx .

Z załoŜenia ( ) 0' <cf . Z tw. Lagrange’a:

c.b.d.o.

( )( )55

21

55

222

arcsin2sinarcsin2

5

2

2sin

2

5

2

2cos15cos5cos5sin15

5

5arcsin

cos5

sin5

5

xx

tt

ttdttdtt

xt

tdtdx

tx

dxx

+=

+=+==−=

=

=

=

− ∫∫∫∫

( )

( )

( )

( )

3

4

33

2

3

2

3

0

,13

4

3

1,13

2

1,3

,13

1,1

1,3

),1min(

3

1

3

3

2

1

2

3

1

3

3

3

3

2

1

3

2

−=

+−=−−

−=

+−=−

=

+

∞∈−−

−∈−−

−∞−∈−

=

∞∈+−

−∈+−

−∞−∈+−

=−−

−

∫

C

Cx

x

C

Cxx

C

C

xx

xx

xx

xCx

xCx

xCx

x

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ){

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )1212,,

21

2112'

1212'

12

12'

21

xfxfxx

xfxf

xfxfxxcf

xfxfxxcf

xx

xfxfcf

baxx<⇒>∀

>

=+−

−=−

−−=

∈

−

+− 443442143421


- 94 -

4. [Jaki komentarz ?? Wszystko takie oczywiste...]

( ) ( ) Cxarctgxxx

xx

xxxx

x

xx

xdx

xx

x

+++++=++

+++

=++

+++

+=++++=

+++

∫

∫∫∫ ∫

254ln12

154ln

54

1

54

42

54

142

54

52

22

2

2222

5.

6.

7.

72)(4lim

1

1

)(

2

1

)(

0

)()(

4

1

1

)( =∆+∆+∆+∆= ∑∑∑+=+=

−

=∞→

43421434214434421

43421

p

mk

nk

m

ik

nk

ni

ni

i

k

nkn

nxxxfx ξσ

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) Cx

tgtgxxdxtgxx

Cx

tgtttdtt

dtt

dtt

B

A

BA

AB

BAABtBBtAAttBtA

t

B

t

A

tt

dtt

tgxx

t

tt

dt

tgxx

t

dtdx

arctgtxt

tx

tx

tg

dxx

tgxx

dxtgxx

xtgxxdxtgxxdxtgxx

+−−−=

+−=−=−++=−

++

=−

==

⇒

=+=−

=++−⇒=+++−⇒=++−−

++

=−+

−−−=

+−+−−=

+=

=+−=

=

−−=

=−−=−=

∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫∫∫

12

lnlncoslnsin

12

ln21

1ln21

1ln1ln21

11

21

11

21

11

1

0

11111

11111

11

2lncos

11

12

lncos

12

211

cos

2

cos1

lncos

cos1

sinlncoslncoslnsin

2

222

21

21

2

2

2

2

2

2

2

2

'

( ) ( )

231

64cossin

231

64

3

2

7

4

11

2

3

cos2

7

cos4

11

cos2cossin

3

cos2

7

cos4

11

cos2

3

2

7

4

11

221

sin

coscossin

2

0

5

2

0

37112

0

5

3711

371159225

==

−=−+−=+−=

++−=

+−=+−=−==

=

∫

∫

∫ ∫∫

π

ππ

dxxxP

xxxdxxx

Cxxx

tttdttttdttt

dtxdx

txdxxx


- 95 -


1. Liczę e-tą sumę górna i dolną:

( )2

1

2

1

2

11...321

1...

321122

→+=+=++++=

++++= ∞→nn n

nn

n

nn

nn

n

nnnnS

00 →=ns


( )

dtdt cos

sin

sinsindt1dt11

dxsin1

cos 2212

21

23

==

++=++=+=−−=

− ∫∫∫

x

tx

cxxctttt

t

x

x


( ) cxxxxx

xxxxxxg

x

xf

gxfxx

xxxxg

x

xf

gxfx

+−=

−−==−=′

=′=−=

=−===′

=′==

∫

∫

∫∫

lncoslnsindxlnsin

dxlnsinlncoslnsinlnsin

1lncoslnsin

dxlncoslnsinlncos

1lnsindxlnsin

21

4. Niech f ciągła na [ ]ba, wtedy

( ) ( ) ( )abdxxfb

a

φφ −=∫

gdzie ( )xφ – dowolna ustalona funkcja pierwotna dla f .

( ) [ ]( ] [ ]1,1 na

1,01

0,11−

∈+−−∈

=tt

ttf

( )[ ]

( ) ( ] [ ]1,1 na 1,011

0,112

21

21

−

∈−−+

−∈+=

tt

tttF

5. granicę ciągu naleŜy interpretować jako e-tą sumę całkową:

( )Π

−=⋅Π

+Π

−=−Π

=Π

Π++Π+Π+ΠΠ=

Π++Π+Π+ΠΠΠ

Π++Π+Π+Π

ΠΠ

∫

∞→

∞→

2241

4224

cos4

dx sin4

4sin...

43

sin42

sin4

sin4

4sin...

43

sin42

sin4

sin1

44

4sin...

43

sin42

sin4

sin1

44

00

lim

lim

xx

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

n

σ


- 96 -

6. całka z funkcji wymiernej

( )( )( ) ( )

( )( ) 34

ln12

32

ln21

ln2111

ln21

lndx 21

1

21

ln2ln1ln

11

121

dx 2

1dx

11

dx 2

dx 1

dx 21

1

1

0

1

0

=⋅=−++=

++=

++

+++=++−+=

−==+++=

=+

−+

=+

++

=++

∫

∫∫∫∫∫

x

x

xx

cx

xcxx

BA

xBxA

xxx

B

x

A

xx

7. całkowanie i sklejanie:

( ) ( ] 22

2

2 , na ,01

0,2cosΠΠ

Π

Π

−

∈+−

−∈+=

xx

xxxxf

( )( )

0000000sin0

dxdxdx1

sindx2dxcosdx2cos

2221

22

21

12

1

22

21

12

=⇒++−=++=++−=++⇒=

++−=+−=+−

++=+=+

∫∫∫

∫∫∫

ccxcxxcxxc

cxxxx

cxxxxxx

( )( ] 22

22

21

22

, na ,0

0,sinΠΠ

Π

Π

−

∈+−

−∈+=

xxx

xxxxF

8. wskazówka całka górna równa się całce dolnej

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek F: Pochodne i całki wybranych funkcji data aktualizacji: 2006-02-26 23:30:23

- 97 -

Dodatek F: Pochodne i całki wybranych funkcji róŜniczkowanie (liczenie pochodnych) ← → całkowanie (zgadywanie funkcji pierwotnych)

funkcja pochodna ( )xf ′ funkcja ( )xf funkcja pierwotna ( )∫ dxxf

0 a Cax+

1 x Cx +221

2

1

x

−

x

1 Cx +ln

1−nxn nx )1(1

1 1 −≠++

+ nCxn

n

xe xe Cex +

aax ln xa Ca

ax

+ln

x

1 xln Cxxx +−ln

ax ln

1 xalog ( ) Cx

a

x +−1lnln

xcos xsin Cx +− cos xsin− xcos Cx +sin

x2cos

1 xtg ( ) Cx +− cosln

x2sin1−

xctg ( ) Cx +sinln

21

1

x− xsinarc Cxxx +−+ 21sinarc

21

1

x−−

xcosarc Cxxx +−− 21cosarc

211x+

xtgarc ( ) Cxxx ++− 221 1lntgarc

21

1

x+−

xctgarc ( ) Cxxx +++ 221 1lnctgarc

Zastosowanie całek w geometrii

pole pod krzywą ( )∫=b

a

xfS dx

długość łuku krzywej ( )[ ]∫ ′+=b

a

xfl dx1 2

objętość bryły obrotowej

( )∫Π=b

a

xfV dx2

pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

( ) ( )[ ]∫ ′+Π=b

a

b xfxfS dx12 2

e-wykład – dodatki do wykładów Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 Dodatek G: Wzory trygonometryczne przydatne przy całkowaniu data aktualizacji: 2006-02-26 23:24:58

- 98 -

Dodatek G: Wzory trygonometryczne przydatne przy całkowaniu

Wzory podstawowe

1cossin 22 =+ αα ααα

cos

sintg =

ααα

sincos

ctg = αα

ctg1

tg =

Funkcje k ąta podwojonego

ααααα2tg1

tg2cossin22sin

+==

ααααααα 2

22222

tg1tg1

sin211cos2sincos2cos+−=−=−=−=

2

2cos1sin2 αα −= ααα

ααtgctg

2

tg1

tg22tg 2 −

=−

=

2

2cos1cos2 αα +=

2

tgctg

ctg2

1ctg2ctg

2 ααα

αα −=−=

Funkcje k ąta potrojonego ααα sin3sin43sin 3 +−= ααα cos3cos43cos 3 −=

α

ααα 2

3

tg31

tgtg33tg

−−=

1ctg3

ctg3ctg3ctg 2

3

−−=

αααα

Funkcje sumy i ró Ŝnicy k ątów ( ) βαβαβα sincoscossinsin +=+ ( ) βαβαβα sincoscossinsin −=−

( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ ( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=−

( )βα

βαβαtgtg1

tgtgtg

−+=+ ( )

βαβαβα

tgtg1

tgtgtg

+−=−

( )αβ

βαβαctgctg

1ctgctgctg

+−=+ ( )

αββαβα

ctgctg

1ctgctgctg

−+=−

Sumy i ró Ŝnice funkcji trygonometrycznych

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα −+=+ 2

cos2

cos2coscosβαβαβα −+=+

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα +−=− 2

sin2

sin2coscosβαβαβα −+−=−

( )βα

βαβαcoscos

sintgtg

+=+ ( )

βααββα

sinsin

sinctgctg

+=+

( )βα

βαβαcoscos

sintgtg

−=− ( )

βααββα

sinsin

sinctgctg

−=−

( ) ( )βαβααββα −+=−=− sinsincoscossinsin 2222

( ) ( )βαβααββα −+=−=− coscossincossincos 2222

Iloczyny funkcji ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscossinsin 2

1 ( ) ( )[ ]βαβαβα ++−= coscoscoscos 21

( ) ( )[ ]βαβαβα ++−= sinsincossin 21

e-wykład Studium TALENT – Matematyka rok szkolny 2005/2006 KONIEC data aktualizacji: 2006-04-02 17:41:08

- 99 -

KONIEC

Notatki, które składają się ze 100 stron A4, kończą się w tym miejscu. Data ostatniej aktualizacji zamykającej planowane prace nad tym dokumentem to: 2006-04-02 17:41:08

Data ostatniej modyfikacji dokumentu (poprawki): 2006-11-14 Nie przewiduje się juŜ uzupełnień czy modyfikacji tego dokumentu, chyba, Ŝe ktoś dostrzeŜe jakiś powaŜny błąd, wtedy proszę o kontakt na adres: [email protected] lub [email protected].

e-wyklad

Documents

Transcript of e-wyklad