LewitronTM - prosta zabawka zyczna o wyranowanej teorii dzialaniaKrzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/kbyczuk/index.html

30 stycze 2006 n

LewitacjaInternetowa Encyklopedia Wikipedia: Lewitacja to stan, w ktrym cialo pozostaje w spoczynku jednoczenie o s nie majc kontaktu zycznego z zadnym innym cialem. a

marzenie czlowieka od dawnych czasw o 1780000 stron www z haslem levitation w google Ogloszenia rzne: At the Central Florida School of Levitation, we o teach you to overcome gravity! Despite what scientists say, gravity is not an inescapable force: it is a frame of mind. Control your mind, and you control your weight. jest te ostrze enie: z z Dont be without Gravity Insurance! pomysl aby wykorzysta magnesy trwale i ladunki elektryczne c (ju dzieci wiedz, ze z magnesami to sie nie udaje) z a

Twierdzenie Earnshawa (1842)Stabilna lewitacja jest niemo liwa ... z

W pustej przestrzeni nie istnieje taka statyczna konguracja pl o elektrycznych, magnetycznych i grawitacyjnych aby energia potencjalna posiadala lokalne minimum.q

q

q

q

Przyklad: (Elektrodynamika, D.J. Griths - zad. 3.2)

q

q q

Na pozr wydaje si, ze ladunek umieszczony w rodku tego ukladu o e s

q

bdzie w rwnowadze stabilnej, poniewa jest odpychany od ka dego z rogw jednakowo. e o z z o W ktrym miejscu w tej elektrostatycznej butelce znajduje si dziura? o e

Zobaczy znaczy uwierzy - czyli lewitacja w praktyce c c

diamagnetyk ( < 0) w polu magnetycznym (HFML, Nijmingen, Holandia)

nadprzewodnik w polu magnetycznym (Oslo University, Norwegia)

lewitron (Festiwal Nauki, Wydz. Fizyki, Uniwersytet Warszawski)

nie s to lewitacje statyczne a

Budowa i dzialanie lewitronuHistoria:

odkrycie/wynalazek: Roy Harring U.S. Patent 4,382,245 (1983) teoria dzialania: M.V. Berry, Proc. Roy. Soc. London A 425, 1207 (1996)Lewitron dostpny w regularnej sprzeda y: e z

magnes staly (ceramiczny) magnetyczny bczek (okolo 18g) a plytka do unoszenia cizarki (2 po 3g, 3 po 1g, 2 po 0,4g, 1 po 0,2g i 2 po 0,1g) e elektryczny rozrusznik instrukcja obslugi

Jak on w zasadzie (nie)dziala? Sila odpychajca pomidzy dwoma magnesami rwnowa y sil a e o z e cizkoci. e s Czy jest to rwnowaga stabilna? o Energia potencjalna U (r) = B(r) + mgzmusi mie lokalne minimum ( jest momentem dipola c magnetycznego bczka). a

Dla pl magnetycznych w pustej przestrzeni zachodzi dla ka dej o z skladowej 2B = 0, z czego wynika, ze 2

U (r) = 0,

czyli mo e istnie jedynie punkt siodlowy (a nie lokalne minimum)! z c

Jest to wszystko w zgodzie w tw. Earnshawa.

Jak on wic dziala? eM.V. Berry (tak e: M.D. Simon et al., oraz S. Gov et al.) z Gdy bczek unosi si nad magnesem to wykonuje: a e

drgania na boki z czstoci boczne 1Hz e s a precesj osi obrotu z czstoci precesja 5Hz e e s a ruch obrotowy z czstoci obroty 25Hz e s aseparacja skal czasu

obroty

precesja

boczne

Efekt zyroskopowy w cigly sposb ustawia o precesji bczka a o s a magnetycznego w stosunku do lokalnego zewntrznego pola e magnetycznego B(r) (przybli enie adiabatyczne). Uredniajc po z s a czasie, moment magnetyczny jest ustawiony antyrwnolegle do lini o sil lokalnego pola magnetycznego.

Niezmiennik adiabatycznyDf. Niezmiennik adiabatyczny jest to wielko zyczna, ktra sc o pozostaje (w przybli eniu) stala w czasie gdy parametry z charakteryzujce uklad zmieniaj si powoli (adiabatycznie) w czasie. a a e Przyklad: Wahadlo matematyczne o masie m. Dlugo wahadla zmienia si sc e powoli 1 dl(t) 1 . l(t) dt T Wtedy wielko sc q

E(t) l(t) = const jest niezmiennikiem adiabatycznym ukladu. p Podobnie p z T (t)/ l(t) = const (poniewa T = 2 l/g ) oraz E(t)T (t) = const.

l(t)

Niezmiennik adiabatyczny lewitronuW optymalnych warunkach rwnowagi wielko o sc

B(r(t))jest niezmiennikiem adiabatycznym ukladu. Gdy istnieje (przybli ony) niezmiennik adiabatyczny to energia z q 2 2 2 potencjalna jest jedynie funkcj dlugoci B = Bx + By + Bz a s (a nie wektora B) i posiada lokalne minimum

U = U (|B(r)|).Efektywnie rwnowaga stabilna mo e by osignita. o z c a e Pozostaje to w zgodzie z tw. Earnshawa gdy uklad jest dynamiczny. z

Teoretyczny model lewitronuEnergia potencjalnaz

U (r) = mgz(t) B(r(t))Rwnania ruchu or(t)

dp(t) = F(r(t)), gdzie F = U = mgz + e dt

B(r(t))x

y

dL(t) = M(r(t)), gdzie M = B(r(t)) dt

Dwa przybli enia: z

szybkie obroty obroty precesja szybka precesja precesja boczne

Szybkie obroty obroty

precesja

L || ||

L = I = I . R-nia ruchu na L mo na wyrazi przez dlugo B(t) = |B(t)| oraz z c sc chwilowy kierunek pola b(t) widziany przez bczka aB(t) = B(t)b(t).

czyli

z

b(t) r(t)

Std a gdzie

dL(t) = (t)b(t) L(t), dtx

L y

(t) =

B(t) B(t) = . I L

Precesja bczka wokl chwilowej osi b(t) z zachowaniem dlugoci L. a o s

Szybka precesja precesja|(t)| |

bocznedb(t) | dt

z

b(t) r(t) L y

Wtedy L oraz b s ze sob zwizane tak, ze L b jest a a a niezmiennikiem adiabatycznym (kt midzy L i b jest staly). a e Tak e wielko B (t) b(t) jest niezmiennikiem z sc adiabatycznym. Energia potencjalnax

U (r) = mgz(t)B(t) = mgz(t)b(t)B(t) = mgzB B(t)zale y jedynie od dlugoci |B| i tym samym mo e posiada lokalne z s z c minimum!

Zgodno warunkw sc oZauwa my, ze z

szybkie obroty obroty precesja oznacza, ze du e z szybka precesja precesja boczne oznacza, ze = B /I du e zPrdko ktowa z jak wiruje bczek musi mie zarwno dolne jak i e sc a a a c o grne ograniczenie o min max aby zachodzila lewitacja dynamiczna.

Zakoczenie n Lewitron dziala dziki niezmiennikom adiabatycznym e Wszystko jest w zgodzie z tw. Earnshawa s Scile rozwizywalne modele lewitronu redukuj si do teorii z a a e niezmiennikiem adiabatycznym

Doskonala zabawka edukacyjna dla wszystkich Podobiestwo do magnetycznych pulapek atomowych u ywanych n z do otrzymywania kondensatw Bosego - Einsteina oLiteratura: 1. M.V. Berry, Proc. Roy. Soc. London A 452, 1207 (1996); 2. M.D. Simon et al., Am. J. Phys. 65, 286 (1997); 3. T.B. Jones, J. Appl. Phys. 82, 883 (1997); 4. H.R. Dullin et al., Physica D 126, 1 (1999).