第2章 H27.ppt [互換モード] - 筑波大学abe/ohp-cfd/cfd-2_H27.pdf第2回目10/9 阿部...

講義予定

1. 第1回目 10/2 阿部数値シミュレーションの手続き

2. 第2回目 10/9 阿部差分方程式と差分スキーム

3. 第3回目 10/16 田中方程式の代数化，連立1次方程式の解法

4. 第4回目 10/23 田中並列計算法

5. 第5回目 10/30 阿部 MAC法など差分の計算方法

6. 第6回目 11/13 田中有限要素法

7. 第7回目 11/20 田中有限要素法

8. 第8回目 12/4 田中有限要素法，N-Sプログラムによる実習

9. 第9回目 12/11 阿部乱流・熱流体・多相流

10. 第10回目 12/18 田中津波解析など事例紹介

11. 第11回目 12/25 (試験予定日)

変換ー変化する方程式の定性的性質ー

物理現象(熱流体挙動)

計算モデル(差分方程式)

厳密解

代数方程式数学モデル(偏微分方程式)

差分解数値解

工学への応用(開発、設計、性能評価)

仮説(定式化)

変換(差分近似)(離散化)

数値計算

適切性安定性

収束性

適合性

Laxの同等定理

有限差分方程式とそのスキーム空間(x,y)と時・空間(x,t)の離散化

∆x

∆y

ii-1 i+1x

y

j

j-1

j+1

内点境界点

∆x

∆t

i-1 i i+1x

tn-1

n

n+1

0 初期値

終端値

差分法における空間の記述

連続的な空間(x,y)を等間隔に

x方向にi番目、y方向にj番目おける変数をu(ix,jy)

で分割。

x方向にx

y方向にy

と記述する。jiu ,

∆x

∆y

ii-1 i+1x

y

j

j-1

j+1

内点境界点

差分法における時空間の記述

連続的な時・空間(x,t)を等間隔に

x方向にi番目、n番目の時間における変数u(ix,nt)を

で分割。

空間をx、

時間をt

と記述する。niu

∆x

∆t

i-1 i i+1x

tn-1

n

n+1

0 初期値

終端値

xOx

uu

xOxxu

21

xuu

xu

j,ij,1i

2

j,i2

2j,ij,1i

j,i

3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

空間の前進差分近似（1/2）

ui+1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開し

jixu ,/ について解く

これは、導関数を表現する差分商の1つがx/u xu /

xOx

uuxu

xu jiji

,,1

空間の前進差分近似（2/2）

であることを示している。これを空間の前進差分近似（forward space difference）という。

Taylor展開の打ち切りの状況から、この式は空間について「1次の正確度を持つ」という。

xOxuu

xOxxu

xuu

xu

jiji

ji

jiji

ji

,1,

2

,2

2,1,

, 21

3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

空間の後退差分近似（1/2）

ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

について解くjixu ,/

これは、導関数を表現する差分商の1つがx/u x/u

xOxuu

xu

xu j,1ij,i

空間の後退差分近似（2/2）

x/u

であることを示している。これを空間の後退差分近似（backward space difference）という。

Taylor展開の打ち切りの状況から、この式は空間について1次の正確度を持つ。

3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

空間の中心差分近似（1/2）

ui+1,j 、ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

上式から下式を差し引く

3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

3

,3

3

,,1,1 6

122 xxux

xuuu

jijijiji

2,1,1

, 2xO

xuu

xu jiji

ji

jixu ,/ について解く

2,1,1

2xO

xuu

xu

xu jiji

空間の中心差分近似（2/2）

であることを示している。これを空間の中心差分近似（centered space difference）という。



3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

２階の導関数の差分商（1/2）

ui+1,j 、ui-1,jを点(i,j)においてxについてTaylor展開

上式と下式を足し合わせる

3

,3

32

,2

2

,,,1 6

121 x

xux

xux

xuuu

jijijijiji

22

,1,,1

,2

2 2xO

x

uuu

xu jijiji

ji

2

,2

2

,,1,1 2 xxuuuu

jijijiji

j,i

22 x/u について解く

22

,1,,12

2 2xO

x

uuuxu

xu jijiji

２階の導関数の差分商（2/2）

であることを示している。これを空間の中心差分近似（centered space difference）という。



空間の差分商（1/2)

j,iu の時空間の点(i,ｊ)における空間についての差分商

22

112

2 2 xOx

uuuxu n

ini

ni

xOx

uuxu n

ini

1 （前進差分近似）

xOxuu

xu n

ini

1 （後退差分近似）

2112

xOxuu

xu n

ini

（中心差分近似）

時空間の差分商（2/2)

niu の時空間の点(i,n)における時間についての差分商

22

11

2

2 2 tOt

uuutu n

ini

ni

tOt

uutu n

ini

1

（前進差分近似）

tOtuu

tu n

ini

1

（後退差分近似）

211

2tO

tuu

tu n

ini

（中心差分近似）

波動方程式(双曲型)の差分スキーム

波動方程式の有限差分スキーム

波動方程式

02

22

2

2

xuc

tu

差分方程式(中心差分)

022 222

1122

11

xOtOx

uuuct

uuu ni

ni

ni

ni

ni

ni

1niu について解く。

ni

ni

ni

ni

ni uuuuu 1

221

211 12 x

tc

→ CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）スキーム

：CFL数（CFL number）

波動方程式の差分スキームのプログラム例

ni

ni

ni

ni

ni uuuuu 1

221

211 12

1niu についての差分方程式

xtc

1490 *CFL1500 FOR I=2 TO IM11510 U(I)=-U2(I)+L2*U1(I+1)+2*(1-L2)*U1(I)+L2*U1(I-1)1520 NEXT I:RETURN

を求めるためのプログラム (BASIC)1n

iu

対流方程式の（陽）差分スキーム

対流方程式： 0

xuc

tu

差分方程式： 02

2111

xOtOxuuc

tuu n

ini

ni

ni

1niu について解く。

ni

ni

ni

ni uuCuu 11

12

xtcC

→ FTCS（Forward-Time Centered Space）スキーム

C：Courant数（Courant number）

クーラン(Courant)条件

速度をcとすると、微小時間⊿t に進む距離は、c ・⊿tと

なる。物理的には、この距離が、差分した微小区間⊿xを超えると計算が発散してしまう。そのためには、

でなければならない。すなわち、以下の条件を、Courant条件といい、計算結果の安定性に影響を与えものとである。

xtc

1xtc

Δx

cΔt

Δx

cΔt

対流方程式の差分スキーム(その１)（FTCSスキーム）

ni

ni

ni

ni uuCuu 11

12

1niu についての差分方程式

xtcC

1620 *FTCS1630 FOR I=2 TO IM11640 TP1=-.5*CDTDX*(UN(I+1)-UN(I-1))1660 U(I)=UN(I)+TP1:NEXT I:RETURN

FTCSスキームによるプログラム例

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

対流方程式の差分スキーム(その２)蛙とび法（Leap frog scheme）

ni

ni

ni

ni uuCuu 11

11

∆x

∆t

i-1 i i+1x

tn-1

n

n+1

01670 *LPFRG1680 FOR I=2 TO IM11690 TP1=-CDTDX*(UN(I+1)-UN(I-1))1710 U(I)=U2(I)+TP1:NEXT I:RETURN

蛙とび法によるプログラム例

蛙とび法による差分方程式

対流方程式の差分スキーム(その3)風上差分（Upwind scheme）

0CuuCuu

0CuuCuuni

n1i

ni

1ni

n1i

ni

ni

1ni

風上差分法による差分方程式

1570 *UPWND1580 FOR I=2 TO IM11590 TP1=-CDTDX*(UN(I)-UN(I-1))1610 U(I)=UN(I)+TP1:NEXT I:RETURN

風上差分法によるプログラム例

∆x

∆t

i-1 i i+1x

tn-1

n

n+1

0

0C

対流方程式の陰解法(Implicit scheme) (1/3)

対流方程式：

対流方程式を時刻n+1において、時間：後退差分近似、空間：中心差分近似すると、次のような差分方程式が得られる。

、、を変数値として差分スキームを求めると、

0xuc

tu

x2uuc

tuu 1n

1i1n

1ini

1ni

1n1iu

1n

iu 1n1iu

ni

1n1i

1ni

1n1i uu

21uu

21


の区間をi分割した場合を考えると：

i=1のとき

i=2のとき

i=3のとき

i=iのとき

以上の連立方程式を行列で表すと、

1x0

n1

1n2

1n1

1n0 uu

2uu

2

n2

1n3

1n2

1n1 uu

2uu

2

n3

1n4

1n3

1n2 uu

2uu

2

ni

1ni

1n1i

1n1i

1ni

1n1i uu

21u

2u

2uu

2

Δx

Δt

i x

t

n

n+1

0 1 … i-1


差分方程式の行列式：

以上の行列の式を解くことによって、各時刻における変位が求まる。

1ni

ni

n1i

n2

1n0

n1

1n1i

1n2i

1n2

1n1

u2

u

u

u

u2

u

uu

uu

12

002

12

02

12

02

12

002

1

境界条件

を利用して決定する

0x

uni

新の空間差分スキーム- QUICK -

21in

21in

21in

21i SuF

0u3681

0u3681

i1i2i

1ii1i

21i

x

ut

１次元対流方程式セルiで積分

1n2/1iu

セル境界の物理量を境界の前後を挟む２つのセルと風上側に１つ離れたセルの値を用いて２次の多項式で内挿

i

n21i

n21in

i1n

i VFF

t

i i+1Fi+1/2

i i+1Fi+1/2

差分式：

0ux8733tu

0ux8733tu

2i1ii1ini

2i1ii1ini

1ni

新の空間差分スキーム- QUICKEST -

1n2/1iu

セル境界の物理量を境界の前後を挟む２つのセルと風上側に２つ離れたセルの値を用いて２次の多項式で内挿

i i+1Fi+1/2

i i+1Fi+1/2

差分式：

i1i2i

2

i1i1ii

1ii1i

2

i1i1ii

21i

26c1

2c

21

26c1

2c

21

0336

22

6326

211

3

11

2

211

cc

cc

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

0336

22

6326

211

3

11

2

211

cc

cc

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

1ni

新の空間差分スキーム- TVD (Total Variation Diminishing) (1/2)-

0u21

0u21

n1i

n2i23i

n1i

n1i

ni21i

ni

n21i

23i23i23i

21i21i21i

r

r

n1i

n2i

ni

n1i

23i

n1i

ni

ni

n1i

21i

r

r

セル境界で物理量を内挿する際、数値振動が発生する場所には１次精度の風上差分を、それ以外では高次精度の差分スキームを用いる。

ただし

ここで、ψはリミッターで近傍のφの分布によって値を変化させる

TVD条件を満たす代表的なリミッターには、以下のminmod関数がある

21i21i r,1modmin

0yx

y,xmodmin0xy

0xyandyx0xyandyx

新の空間差分スキーム- TVD (Total Variation Diminishing) (2/2)-

0u21

0u21

n1i

n2i23i

n1i

n1i

ni21i

ni

n21i

23i23i23i

21i21i21i

r

r

n1i

n2i

ni

n1i

23i

n1i

ni

ni

n1i

21i

r

r

21i21i r,1modmin

これにより、３種類の差分スキームを状況に応じて使い分けることができる。・ 1<rの場合：変数の勾配が風下方向の増加 → ２次風上差分を適用・ 0<r<1の場合：変数の勾配が風下方向に減少 → ２次中心差分を適用・ r<0の場合：変数の勾配が逆転 → １次風上差分を適用

0r1

r,1modmin0

101

rrr

0yx

y,xmodmin0xy

0xyandyx0xyandyx

新の空間差分スキーム- CIP (Cubic-interpolated pseudo particle) -

物理量の空間１階微分を変数として持ち、その移流方程式を同時に解く。

xu

t

xxu

xt

さらに、φの空間分布を３次の補間式で近似する。

33

2210 xaxaxaax

この補間式の４つの係数は、位置iと位置i-1での変数と空間微分値によって、次式によって決定する

3

1ii2

1ii3

21ii1ii

2

i1

i0

x2

xx,x,

a

x3

xx,x,2

a

x,aa

n

i

ni

1ni x

tu

2

n1i

ni

n

1i

n

in

i

1n

i x3

xxx

22tu

xx

熱伝導方程式(放物型)の差分スキーム

熱伝導方程式の陽解法(Explicit scheme)

熱伝導方程式

2

2

xu

tu

差分方程式

22

111 2 xOtO

xuuu

tuu n

ini

ni

ni

ni

1niu について解くと、以下のFTCSスキームが得られる。

ni

ni

ni

ni

ni uuuduu 11

1 2 2x

td

FTCSスキーム d：拡散数（diffusion number）

熱伝導方程式の陽解法

ni

ni

ni

ni

ni uuuduu 11

1 2

2xtd

i-1 i i+1x

tn-1

n

n+1

0

∆x

∆t

差分方程式

陽解法によるプログラム例

1590 *FTCS1600 FOR I=2 TO IM11610 U(I)=UN(I)+D*(UN(I+1)-2*UN(I)+UN(I-1))1620 NEXT I:RETURN

熱伝導方程式の陰解法 (Implicit scheme)

熱伝導方程式：2

2

xu

tu

時間に後退差分近似、空間に中心差分近似した差分方程式：

22

11

111

1 2 xOtOx

uuut

uu ni

ni

ni

ni

ni

11

111 ,,

ni

ni

ni uuu を変数値として差分スキームを求める。

ni

ni

ni

ni uduuddu

1

111

1 21 2xtd

熱伝導方程式の陰解法

ni

ni

ni

ni uduuddu

1

111

1 21

(例) i=1~5を考える。i=1, i=5を

境界条件を満足する境界点とし、i=2, 3, 4を内点とする。

tn

i1 2 3 4 5

n

n+1

境界差分方程式：

112

13

1221 nnnn duuduud nnnn uduuddu 3

14

13

12 21

154

14

13 21 nnnn duuuddu

N元連立一次方程式


三重対角行列

154

3

112

14

13

12

21021

021

nn

n

nn

n

n

n

duuu

duu

uuu

ddddd

dd

陰解法によるプログラム例(行列の設定)2020 *SPMTRX2030 FOR I=1 TO IBAR2040 A(I,I)=1+2*BETA:NEXT I2050 FOR I=1 TO IBAR-1:A(I,I+1)=-BETA:NEXT I2060 FOR I=1 TO IBAR-1:A(I+1,I)=-BETA:NEXT I:RETURN


1580 '*Gauss-Jordan eliminator1590 *GSSJOD1591 ' *forward elimination1600 FOR K=1 TO IBAR1610 D1(K)=1/A(K,K)1620 FOR I=1 TO IBAR1630 IF I=K THEN GOTO 17001640 M(I,K)=A(I,K)*D1(K)1650 FOR J=K+1 TO JBAR1660 A(I,J)=A(I,J)-M(I,K)*A(K,J)1670 NEXT J1680 B(I)=B(I)-M(I,K)*B(K)1690 A(I,K)=01700 NEXT I1710 NEXT K

1720 '*back substitution1730 FOR I=1 TO IBAR1740 U(I)=B(I)*D1(I)1760 NEXT I

陰解法によるプログラム例（三重対角行列の解法）

歴史的な経緯 - 初期の差分法Richardson(1881-1953) の方法

差分の考え方は１８６０年代、既にあった。しかしながら、

放物型方程式に対して初めて差分法を適用したのは、Richardon(1881-1953)で、1910年のことである。

Richardon は１次元熱伝導方程式対して、時間と空間微分に中心差分を用いることにより、以下の差分式を導いた。

2

2

xu

tu

2

n1i

ni

n1i

1ni

1ni

xuu2u

t2uu

n1i

ni

n1i

1ni

1ni uu2uduu

2xtd

残念ながら、このスキームは、拡散数dの値によらず不安定となるため、正しい解が得られないスキームであった。

近年、このRichardonスキームは不安定なスキームの代表例として扱われることがあるが、初めて実用的な計算に差分法を適用しようとした試みとして高く評価されるものである。

-2dd d

1niu

niu 1

niu n

iu 1

1niu1

1

-2dd d

1niu

niu 1

niu n

iu 1

1niu11

11

Richardsonの夢

リチャードソンは気象学に興味を持ち、微分方程式を離散化して数値的に解くという現在使われている気象予測の原型ともいえる数値予報システムを提案した。

そのために、大戦中に集めたデータを用いた計算を実際に行ったが、計算をすべて手で行ったためわずか6時間の予報に2ヶ月かかり、しかも数値の処理に問題があったため、予報は失敗に終わった。

1922年に著書の中で彼は、64,000人の計算者を巨大なホールに集めて指揮者の元で整然と計算を行えば実際の天候の変化と同じくらいの速さで予報が行えると見積もった。この構想は「リチャードソンの夢」と呼ばれた。

またリチャードソンは乱気流に関する実験も数多く行っている。乱流に関する無次元数「リチャードソン数」は彼の名前にちなんでいる。

デュフォール・フランケル法(DF法)

Richardson法は、拡散数に関わらず不安定な差分スキームであったが、DufortとFrankelは、１９５３年、空間の２階微分に対する差分表示を時間平均値とする差分スキームを導いた。

このスキームは、拡散方程式に対するLeapfrog法(あるいはPyramid法)とも呼ばれているが、対流方程式に対するLeapfrog法と異なり、安定なスキームとなっている。（→ 安定解析により証明）

2xtd

2

n1i

ni

n1i

2

2

xuu2u

xu

2uuu

1ni

1nin

i

2

n1i

1ni

1ni

n1i

2

1ni

1ni

xuuuu

t2uu

1ni

n1i

n1i

1ni ud21uud2

d211u

1niu

niu 1

niu 1

1niu

1niu

niu 1

niu 1

1niu

アダムス・バシュフォース法(AB法)

2xtd

2

1n1i

1ni

1n1i

2

n1i

ni

n1i

ni

1ni

xuu2u)1(

xuu2u

tuu

1n1i

1ni

1n1i

n1i

ni

n1i

1ni duud21du

21duud21du

23u

23

n+1

n

n-1

i-1 i i+1

n+1

n

n-1

i-1 i i+1

クランク・ニコルソン法(CN法) ← 陰解法

CN法は、空間微分に対してnとn-1の２つの時間レベルの算術平均を取っている。

得られる漸化式は、各種の行列演算を用いて解かれる。

2xtd

2

11

1111 2

xuuuf

ni

ni

nin

nnni

ni ff

tuu

1

1

21

2

2

xu

tu

ni

ni

ni

ni

ni

ni duudduduuddu 11

11

11

11 1212

n

n

i-1 i i+1

n+1

i-1 i i+1

Poisson方程式(楕円型)の差分スキーム

（1/6）中心差分スキームの適用

Poisson方程式

gyu

xu

2

2

2

2

空間に中心差分近似を用いた差分方程式

jijijijijijiji g

yuuu

xuuu

,21,,1,

2,1,,1 22

jijijijijiji gxuuuuu ,2

1,1,,,1,1 4

x=yとする。

（2/6） Natural ordering

u1,1, u1,2,……, u3,3をu1, u2, ……, u9と番号を付け直す

x

y

1 2 3

4 5 6

7 8 9

11 12 13 14

15

16

17

18

19

21 22 23 24 25

20

10x

y

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

(3,1) (3,2) (3,3)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(4,0)

(0,1)

(4,1)

(0,2)

(4,2)

(0,3)

(4,3)

(0,4)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

Natural ordering:

（3/6）行列式

Natural ordering によって差分式は以下のように表すことができる

9

8

7

6

5

4

3

2

1

242092

2382

221772

1962

52

1642

181332

1222

151112

9

8

7

6

5

4

3

2

1

bbbbbbbbb

uugxugx

uugxugx

gxugx

uugxugx

uugx

uuuuuuuuu

4111411

1411411

114111141

1411141

114

（4/6）行列式の要素～三重対角行列

以上の置き換えによって、行列式は、以下の形に書き換わる

3

2

1

3

2

1

3332

232221

1211

BBB

UUU

AAAAA

AA

TTT

TTT

bbbBbbbBbbbBuuuUuuuUuuuU

987365423211

987365423211,,,,

jiji

i

AA

A

jiij

ii

:3,2,1,

3,2,1

11

141141

14ここで

（5/6）ブロック三重対角行列の解法

1710 '*specification of A1720 *MTRX1740 FOR I=1 TO IBAR:AII(I,I)=4:NEXT I1750 FOR I=2 TO IBAR:AII(I,I-1)=-1:NEXT I1760 FOR I=1 TO IBAR-1:AII(I,I+1)=-1:NEXT I1770 FOR I=1 TO IBAR:AIJ(I,I)=-1:NEXT I1780 FOR J0=1 TO JBAR1790 FOR I=1 TO IBAR:FOR J=1 TO JBAR1800 IP=I+JBAR*(J0-1):JP=J+JBAR*(J0-1)1810 A(IP,JP)=AII(I,J):NEXT J:NEXT I1820 NEXT J0

1830 FOR J0=1 TO JBAR-11840 FOR I=1 TO IBAR:FOR J=1 TO JBAR1850 IP=I+JBAR*J0: JP=J+JBAR*(J0-1)1860 A(IP,JP)=AIJ(I,J):NEXT J:NEXT I1870 NEXT J01880 FOR J0=1 TO JBAR-11890 FOR I=1 TO IBAR:FOR J=1 TO JBAR1900 IP=I+JBAR*(J0-1):JP=J+JBAR*J01910 A(IP,JP)=AIJ(I,J):NEXT J:NEXT I1920 NEXT J0:RETURN

1940 '*specification of b1950 *RHS1960 FOR I=1 TO IJBAR:B(I)=G0*DXDY:NEXT I:RETURN1970 'FOR I=IBAR TO IJBAR STEP IBAR:B(I)=U0:NEXT I:RETURN

係数行列の設定：

A行列の設定：

b行列の設定：

（6/6）ブロック三重対角行列の解法

1440 '*Gaussian eliminator for A*u=b 1450 *GAUSS1470 FOR K=1 TO IJBAR1480 D1(K)=1/A(K,K)1490 FOR I=K+1 TO IJBAR1500 M(I,K)=A(I,K)*D1(K)1510 FOR J=K+1 TO IJBAR1520 A(I,J)=A(I,J)-M(I,K)*A(K,J)1530 NEXT J1540 B(I)=B(I)-M(I,K)*B(K)1550 A(I,K)=01560 NEXT I1580 NEXT K1590 D1(IJBAR)=1/A(IJBAR,IJBAR)

1600 '*backward substitution1610 U(IJBAR)=B(IJBAR)*D1(IJBAR)1620 FOR I= 2 TO IJBAR1630 IR1=IJBAR-I+11640 SUM=0:FOR J=IR1+1 TO IJBAR1650 SUM=SUM+A(IR1,J)*U(J):NEXT J1660 U(IR1)=(B(IR1)-SUM)/A(IR1,IR1)1690 NEXT I

ガウスの消去法による行列の解法

5点差分スキーム(Five-term recurrence scheme)


1,1,,,1,1 4

x=yとした場合のPoisson方程式の差分近似式


1,1,,1,1, 41

ui,jについて整理すると、

変数、ui+1,j, ui-1,j, ui,j+1, ui,j-1 が既知の場合、ui,j の値が求まることを示している。

表計算ソフトによる熱伝導解析(1/2)100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

0 51.07237 64.4262 66.64282 65.19423 61.99906 57.19167 49.72089 37.43022 00 31.6532 39.86327 39.9896 36.95083 32.13504 25.61034 17.04673 4.261682 00 18.33154 22.32332 21.16744 17.95006 13.67962 8.787319 3.538683 0.884671 00 9.599884 11.13954 9.804685 7.44554 4.818129 2.370757 0.884245 0.221061 00 4.507474 4.936661 3.986152 2.683597 1.479724 0.668902 0.241968 0.060492 00 1.896977 1.953679 1.448326 0.878807 0.45038 0.195639 0.069671 0.017418 00 0.716155 0.697562 0.483257 0.27722 0.136799 0.058171 0.020536 0.005134 00 0.227735 0.213375 0.142508 0.079438 0.038443 0.016165 0.00568 0.00142 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 3 5 7 9 S1

S5

S9

0

20

40

60

80

100

80-100

60-80

40-60

20-40

0-20

表計算ソフトによる熱伝導解析(2/2)

20 20 20 20 20 20 20 20 20 2020 20.36674 20.69783 20.954 21.09569 21.09575 20.95416 20.69803 20.3669 2020 20.76934 21.47087 22.02284 22.33339 22.3335 22.02314 21.47124 20.76962 2020 21.24008 22.39394 23.33364 23.88207 23.88221 23.33402 22.39441 21.24042 2020 21.79738 23.53172 25.03634 25.97965 25.9798 25.03674 23.53221 21.79775 2020 22.41812 24.89976 27.30095 29.02103 29.02117 27.30133 24.90022 22.41846 2020 22.97566 26.34872 30.24724 33.78289 33.78301 30.24755 26.3491 22.97595 2020 23.13608 27.27259 33.55684 42.08071 42.08079 33.55705 27.27286 23.13628 2020 22.29624 26.04895 34.62707 58.90258 58.90262 34.62718 26.04909 22.29634 2020 20 20 20 100 100 20 20 20 20

加熱部

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10S1

S3

S5

S7S9

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

90-100

80-90

70-80

60-70

50-60

40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

差分法の特徴

対流方程式の偏微分方程式

(1/5)微係数を差分商に置き換える

0

xuc

tu

差分方程式

011

xuuc

tuu n

ini

ni

ni

微係数を差分商に置き換える操作は数学的表現として、元の方程式の形が大きく崩れないで、差分方程式に引き継がれる。

対流方程式の差分方程式：

（2/5）物理の過程を忠実に再現

xtcCuuCuu n

ini

ni

ni

,11

Laplace方程式の差分式 (gi,j=0とし、u：物質の濃度）

1,1,,1,1, 41

jijijijiji uuuuu

周囲の4点の平均として、注目している点の濃度が決定される。という物理学における拡散の過程までもが理解される。

初期値問題において、時間の進展を一つ一つのΔtの増分として現象を追跡している。

偏微分方程式の従属変数をTaylor展開して差分方程式に変

換したとみなすと、

打切り誤差、境界条件の誤差の評価が容易となり、高次項ま

で考慮した差分法の数学的な意味付けも容易に得られる。

（3/5）数学的な意味付けが容易

差分法では、対象としている偏微分方程式についての汎関数が存在するか否かを気にかける必要がない。

（4/5）汎関数の存在を必要としない

02

2

2

2

yuc

xu

スカラー関数u(x,y)に対するDiirichlet積分は、対象領域をDとして

dxdyyu

xuI D

22

で定義される。この汎関数を小とする問題のEular-Lagrangeの方程式は、次のLaplace方程式である。

差分スキームによる計算アルゴリズムは、物理的直感が働きやすく、定式化と変換の次にくる計算過程の設計や検証が容易である。例えば、

（5/5）検証が容易

においてC=1としたとき、次の厳密な差分解

xtcCuuCuu n

ini

ni

ni

,11

ni

ni uu 1

1

が得られる。この場合にはtが1つ増加すると、点(i-1,n)の変数uがxの正方向にxだけ移動して点(i,n+1)に進行するという有向性の意味が明確になる。




厳密解

代数分方程式数学モデル(偏微分方程式)

差分解数値解


仮説(定式化)


数値計算

適切性安定性

収束性

適合性

Laxの同等定理

差分法方程式の適合性の評価

対流・拡散方程式について、

３．風上差分：１次の打切り誤差

２．Leap Frog スキーム： 2次の打切り誤差

１．FTCSスキーム: １次の打切り誤差

（打切り誤差O(x), O(t)）

（打切り誤差O(x2), O(t2)）

（打切り誤差O(x2), O(t)）

FTCSスキーム (１.5次の打切り誤差）

対流・拡散方程式について、FTCSスキームを用いて差分近似する

21111

1 22 x

uuuxuuc

tuu n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

差分スキーム：

ni

ni

ni

ni

nin

ini uuuduuCuu 11

111 22

2xtd

xtcC

Leap Frog スキーム ( 2次の打切り誤差）

対流・拡散方程式について、2次の打切り誤差となる差分近似

21111

11 222 x

uuuxuuc

tuu n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

（打切り誤差O(x2), O(t2)）


ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni uuuduuCuu 1111

11 22

2xtd

xtcC

風上差分 (１次の打切り誤差）

対流・拡散方程式について、１次の打切り誤差となる差分近似


2111

1 2x

uuuxuuc

tuu n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

（打切り誤差O(x), O(t)）

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni uuuduuCuu 111

1 2

2xtd

xtcC

差分法方程式の適合性の評価

対流・拡散方程式について、

３．風上差分：１次の打切り誤差

２．Leap Frog ： 2次の打切り誤差

１．FTCS: １.5次の打切り誤差

Program: ADVDIF1

不安定

安定

不安定

動的不安定性と静的不安定性

拡散・対流方程式に対するFTCS近似

21111

1 22 x

uuuxuuc

tuu n

ini

ni

ni

ni

ni

ni

niu

この方程式の解に「ゆらぎ」が含まれているとする。時刻nの解をゆらぎのない差分解とゆらぎに分ける。i

ini

ni uu

この式をFTCS近似式に代入し、時刻nでゆらぎのない差分解が存在すると仮定すると、t進めたときの増分uiは

211

112

2 xt

xctu iii

iii

動的不安定性

右辺第2項のみを考える。点i近傍の初期摂動を

が得られる。つまり点iの摂動はi<0であったがui>0となって、時間をt進めることによって摂動iを増分uiが補償する傾向になる。同様に点i+1における増分ui+1を考えると、

0,0,0,0 211 iiii

とする。この初期摂動をuiの式に代入すると

02211

xtu iii

i

022

121

x

tu iiii

となり、摂動i+1を増分ui+1が補償する傾向になる。

静的不安定性

右辺第1項のみを考える。点i近傍の初期摂動を

となる。つまり点iの摂動はi<0であるのに、対流による補償ui<0となってしまい、摂動は単調に成長する。

0,0,0,0 211 iiii

とする。同様に、この初期摂動をuiの式に代入すると

02 11

iii xutu (ただし、 )11 ii

動的不安定性と静的不安定性

動的不安定性静的不安定性

i-1 i i+1 i+2

x

i-1 i i+1 i+2 xi-1 i i+1 i+2

x

初期摂動

ゆらぎのない差分解

Program: ADVDIF

熱伝導方程式の厳密解― モデル問題５－

102

2

x

xu

tu

初期条件と境界条件： xxu sin0,

0,1,0 tutu

（解）

xetxu t sin,2

熱伝導方程式：

Von Neumannの安定性解析（1/4）

熱伝導方程式に対するFTCSスキーム

ni

ni

ni

ni

ni uuuduu 11

1 2

この方程式の解のFourier級数のそれぞれの部分を次式のようにする。

2/ xtd

xjkinni eVu

とする。Vnは波数がkである成分の時刻nにおける振幅関数である。jは虚数単位である。


ijnni eVu

jinni

ijnni eVueVu 1

111 ,

=kxとして上式を書き改めて、

同様にもそれぞれ、ni

ni

ni uuu 11

1 ,,

これらをFTCSスキームに代入する。

2eed1VV jjn1n

Gをパラメータとすると、この式はVn+1=GVnの形をしている。Gを書き改めると

cos121 dG ：増幅行列


熱伝導方程式のFTCSスキームが有界ならば

1Gが全てのについて成立しなければならない（安定規準）。

1cos1211 d

よって、左側の不等式のに注意すると、2cos1

21

d あるいは

2xt

2

これが熱伝導方程式のFTCSスキームに対する安定性確保の条件である。ここでdを拡散数（diffusion number）という。

Program: HEAT拡散数の条件：


214.0

xtcd

00125.0t191x

2

(計算例１) 安定な条件の場合

Program: HEAT拡散数の条件についての計算例：

(計算例２) 不安定な条件の場合

218.0

xtcd

002.0t221x

2

安定な差分スキーム：完全陰解法

熱伝導方程式を時間に後退、空間に中心差分近似したスキーム

これらをスキームに代入して増幅行列Gを求めると、

11

111

1 2

ni

ni

ni

ni

ni uuuduu

jinni

ijnni eVueVu 111

1,

von Neumannの安定解析を行う。

2cos121/1 dG

0cos1,0 d であることからである。すなわち1G

この差分スキームは、どのようなdに対しても、安定である。

daada

duuuuuduubuuuu

bAu

jiji

ii

TnI

nI

nI

nnnn

TnI

nn

mmm

m

1,,1

,

124312

11

13

12

21

完全陰解法によるモデル計算例(問題５)

先の解析よりも変域の分割を多くする。すなわち、i=1とi=Imを境界点、i=2,3,…,Im-1を内点とする。

基礎式に対応する連立一次方程式は、境界条件を含めて

Program: HEAT

完全陰解法によるモデル計算例(問題５)

214.0

xtcd

00125.0t191x

2

(計算例１) 陽解法では安定 → 陰解法でも安定

Program: HEAT完全陰解法による計算例：

(計算例２) 陽解法では不安定 → 陰解法では安定

218.0

xtcd

002.0t221x

2

Courant条件（1/2）

対流方程式の風上差分スキームは

である。このスキームの安定性について吟味する。まず、数値解のFourier成分をjを虚数単位として、

xtcCuuCuu ni

ni

ni

ni /,1

1

xkeVu ijnni ,

とする。この式と jinn

iijnn

i eVueVu 11

11 ,

を上述したスキームに代入して増幅行列Gを求める。

Courant条件（2/2）

増幅行列Gは、

となる。von Neumannの安定性規準は任意のに対して 1cos1122

CCG

となることである。この式において、C>0、1-cos>0であるから、この条件を満足するためには、

である。この条件をCourant条件という。

1G

1

xtcC

対流方程式の数値解の挙動ーモデル問題３－

0

xuc

tu

対流方程式：

初期条件と境界条件：

)15/2(0)5/25/1(1

)5/10(00,

xx

xxFxu

0,0 00 ggtu 0,1

x

tu

（解） ctxFtxu , Program: ADVEX

対流方程式の数値解析結果例(1/2)

18.0025.002.01C

02.0t025.0x

1c

(計算例１) 安定な条件の場合

Program: ADVECクーラン数の条件についての計算例：

(計算例２) 不安定な条件の場合

104.1025.0026.01C

026.0t025.0x

1c

対流方程式の数値解析結果例(2/2)

(計算例３) 厳密解と一致する場合

Program: ADVECクーラン数の条件についての計算例：

1025.0025.01

025.0025.0

1

C

tx

c

FTCSスキームの移動性

対流方程式のFTCSスキーム

ni

ni

ni

ni uu

xtcuu 11

12

摂動が点iにi=として存在し他の全ての点では=0と仮定する。まず、点i+1における摂動は、

xtc

xtcun

i

2

02

011

tの間に、対流によって摂動が下流へ運ばれている。

摂動の発生点iでは、

002

1

xtcun

i

上流点i-1では、 xtc

xtcun

i

2

02

011

摂動は上流へも運ばれている。

FTCSスキームにおける摂動の移動

d d

(1-2d)

‘

(1-4d+6d2)

i-1 i i+1

n

n+1

n+2

十分な時間

風上差分スキームの移動性(1/2)

拡散方程式の風上差分スキーム

ni

ni

ni

ni uu

xtcuu 1

1

この式に注目し点iでの摂動をi=とし、他の全ての点で0と仮定する。振動発生点iの下流i+1では

xtc

xtcun

i

001

1

となり、対流によって摂動が運ばれている。

風上差分スキームの移動性(2/2)

摂動の発生点iでは同じく、

となる。摂動が発生した上流点i-1では、

xtcun

i

1

となる。摂動の発生点では、摂動が減少し、その分だけ下流の点に運ばれている。さらに上流点における摂動を調べると、対流による寄与は何もない。すなわち、このスキームは移動性を備えている。

0002

011

x

tcuni

Program: TRANSP

風上差分スキームにおける摂動の移動

n

n+1

xtc

0

xtc

差分法方程式の移動性の評価

対流方程式について、

３．風上差分：移動性あり

２．Leap Frog ：移動性なし

１．FTCS: 移動性なし

Program: ADVDIF1

不安定

安定

不安定

FTCS（Forward-Time Centered Space）スキーム

差分式:

時間：前進差分、空間：中心差分で差分化

差分解

n1i

n1i

ni

1ni uu

2Cuu

0x2uuc

tuu n

1in

1ini

1ni

xtcC

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

蛙とび(Leapfrog)スキーム

差分式

時間：中心差分、空間：中心差分

差分解

x2uuc

t2uu n

1in

1i1n

i1n

i

n1i

n1i

1ni

1ni uu

xtcuu

)uu(Cuu n1i

n1i

1ni

1ni

i-1 i i+1

n

n+1

n-1

i-1 i i+1

n

n+1

n-1

ひし形(Rhomboid)スキーム

差分式

差分解

xuuc

t

)uu(21)uu(

21

n1i

ni

1n1i

ni

n1i

1ni

n1i

ni

1n1i

ni

n1i

1ni uu

xtc2uuuu

n1i

ni

1n1i

ni

n1i

1ni uu

xtc2uuuu

n1i

ni

1n1i

ni

n1i

1ni Cu2Cu2uuuu

)uu(C21uu n1i

ni

1n1i

1ni

i-1 i i+1

n

n+1

n-1

i-1 i i+1

n

n+1

n-1

風上(Up-wind)スキーム

差分式

時間：前進差分、空間：風上差分（この場合：後退差分）

差分解

xuuc

tuu n

1ini

ni

1ni

n1i

ni

ni

1ni uu

xtcuu

n1i

ni

ni

1ni CuCuuu

n1i

ni

1ni Cuu)C1(u

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

c≧0

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

Δx

Δt

i-1 i i+1

n

n+1

n-1t

x

c≧0

FTCS Schemeによる計算例

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.020.040.060.080.1

-20-15-10

-505

101520

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

0 s0.2 s0.4 s0.6 s0.8 s1.0 s

-1E+14-8E+13-6E+13-4E+13-2E+13

02E+134E+136E+138E+131E+14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.81

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.81

C=0.1 [c=1, TMAX=1000, XMAX=100]

C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]C=1.0 [c=1, TMAX=100, XMAX=100]

Leapfrog Schemeによる計算例

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.020.040.060.08

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

C=0.1 [c=1.0, TMAX=1000, XMAX=100]

C=1.0 [c=1, TMAX=100, XMAX=100] C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]

Rhomboid Schemeによる計算例

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.250.50.751

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.020.040.060.08

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

C=0.1 [c=1, TMAX=1000, XMAX=100]

C=0.5 [c=1.0, TMAX=200, XMAX=100] C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]

1n1i

1ni

n1i

ni

1n1i

1ni uu5.0C)uu(C21uu

Up-wind Schemeによる計算例

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U00.20.40.60.8

C=0.1 [c=1,TMAX=1000,XMAX=100] C=1 [c=1, TMAX=100, XMAX=100]

C=0.01 [c=0.1, TMAX=1000, XMAX=100]

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X

U

00.20.40.60.8

C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]

n1i

1ni

n1i

ni

1ni uu1CCuu)C1(u

Newtonの粘性則

Newtonの粘性則

dydu

yx

2

2

xu

xP

xuu

tu

これは、流体に関する運動方程式にという形で記述される。

22 / tu

また、uを濃度とみたときにはなる項は濃度の拡散をなしている。

22 / tu

人工粘性

対流方程式

この式に対する風上差分スキームは

0

xuc

tu

ni

ni

ni

ni uuCuu 1

1

点(i,n)まわりのTaylor展開を考えると

22

21

21 t

tut

tuuu n

ini

22

2

1 21 x

xux

xuuu n

ini

人工粘性

これらの式をスキームに代入し、整理すると

となる。次の関係

2

2

2

2

2 tu

xct

xuxc

xuc

tu

から、上述の式は

2

2

2

2

xuc

tu

xc

xuc

ttu

xtcCCxc

xu

xuc

tu

ee

,1

2,2

2

人工粘性

この式と対流方程式を比べると右辺に新たな項が誘起されている。この項は人工的な付加項である粘性としての効果を持つことがわかる。これを人工粘性（artificial viscosity）または数値拡散と（numerical diffusion）と呼ぶ

2

2

xu

xuc

tu

e

風上差分スキームによって離散化した対流方程式は、実際には、以下の式を解いていることに相当している。

Program: ADVEX




厳密解

代数分方程式数学モデル(偏微分方程式)

差分解数値解


仮説(定式化)


数値計算

適切性安定性

収束性

適合性

Laxの同等定理

位相誤差(1/4)

対流方程式の風上差分スキームは

ni

ni

ni

ni uuCuu 1

1

uのFourier成分をkを波数としてniu

とする。ここにGは増幅係数、k=2/（：波長）である。同様に、

xkeGeGeGu jinxjkinjkxnni ,

11

ijnn

i eGu

とする。

位相誤差(2/4)

両式を差分スキームに代入して整理するとGは

cos1121

sincos1

CCGiCCCG

である。ここに、Re(・)とIm(・)はそれぞれ実数部と虚数部を示す。

sin1

sintan

ReImtan

1

1

CCC

GGG

となる。また位相シフトは、G

位相誤差(3/4)

いま、風上スキームの数値安定性を大きくとり、しかも空間変化を可能なだけ正確に記述しようとする。つまり、

12,1

xxkC

と評価される。増幅係数と位相シフトを用いてuのFourier成分を書くと、

xkCCG sinsinとすれば、位相シフトは、G

ikxnxkjCnni eeGu sin

となる。

位相誤差(4/4)

ここで、iCsin(kx)nを変形すると、

tnx

xkCik

nk

xkxtciknxkiC

sin

sinsin

となる。したがってFourier成分はniu

tntxk

xkCCeGu ktCxiknn

ik

,sin,

となる。この式は波数kが大きくなると（波長が短くなると）、成分の伝播速度Ckは小さくなることを示している。

分散性(Disperse property)

対流項の差分近似(1/3)

対流・拡散方程式の差分スキーム（モデル10）

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni uuu

xtuu

xtcuu 1121

1 2

Burgers方程式の差分スキーム（モデル11）

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini uuu

xtuu

xtuuu 1121

1 2

Burgers方程式のの近似はいくつかの方法が考えられる。

xuu /


Burgers方程式のいくつかの差分スキームを評価してみる。

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini uuu

xtuu

xtuuu 11211

11 2

• FTCSスキーム

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini uuu

xtuu

xtuuu 11211

1 22

• 蛙飛びスキーム

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

nin

ini uuu

xtuut

xuuuuu 11211

1111 223

• uの鋭いピークに対する緩和スキーム


Burgers方程式では、対流項にはのなかから適当なu0を代表として選び、Courant条件に準じて

,3,2junj

10

xtufC

などとtを設定する。しかし、安全のために安全係数f (0<f<1)を乗ずる。あるいは、

1max

f

xtu

Cn

i

i

などとCourant数が解そのものに依存している状況を厳重に監視するなどの制御策を考える。

双曲型方程式の陰スキーム(1/3)

対流方程式

差分スキームを求めると

ただし、

対流方程式を時刻n+1において、時間を後退差分近似、空間を中心差分近似すると、

0xuc

tu

x2uuc

tuu 1n

1i1n

1ini

1ni

ni

1n1i

1ni

1n1i uCu

21uCu

21

xtcC


内点をI=2, 3,…,Im-1として、

n1

1n2

1n1

1n0 uu

2Cuu

2C

n2

1n3

1n2

1n1 uu

2Cuu

2C

n3

1n4

1n3

1n2 uu

2Cuu

2C

ni

1ni

1n1i

1n1i

1ni

1n1i uu

2C1u

2Cu

2Cuu

2C

:1i

:2i

:3i

:ii

という連立一次方程式が得られる。


となる。これを行列表示すると、nn uAu 1

1ni

ni

n1i

n2

1n0

n1

1n1i

1n2i

1n2

1n1

u2Cu

u

u

u2Cu

uu

uu

12C00

2C1

2C

02C

12C0

2C1

2C

002C1

以上の行列の式を解いていくと、時刻における変位が求まる。

1nt 1n

i1n

1 uu

放物型方程式の陰スキーム

熱伝導方程式

21

111

11 ,2

xtduuuduu n

ini

ni

ni

ni

これに倣ってBurgers方程式の差分方程式を導出すると

に対する陰スキームは、

2

2

xu

tu

ni

1n1i

1ni

1n1i uduu)d21(du

以下同様

陽スキームと陰スキーム(1/3)

である。整理すると、

2

11

111

11

111

,

,2

xtd

xtc

uuuduucuuu ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni uduududcu

1

111

11 21

に対して、対流項を風上差分として、陰スキームとすると、

2

2

xu

xuu

tu

Burgers方程式


内点をI=2, 3,…,Im-1として、

Tn

Innn

TnI

nnn

m

m

uuuu

uuuu

132

11

13

12

1 ,

として、この式をまとめるととなり、非線形代数方程式をtごとに解かなければいけない。行列は非対称行列である。

Burgers方程式の対流項を中心差分近似すると、

nnn uuuA 11

1nuA

xtcuudcuududcu n

ini

ni

ni

ni

ni

2,21 1

1111

11


tを小さく設定するとして対流項を次式のように線形化する。

xuuu

xuu

ni

nin

i

2

11

11

とすると、陰スキームの代替案は

xtcuudcuududcu n

ini

ni

ni

ni

ni

2,21 1

111

1

となる。これをまとめて書くと、nn uAu 1

とした連立一次方程式となる。

課題(1) 各自が行ったことのある数値解析（流体解析に限定

しない）について、その対象となった物理、基礎方程式、境界条件、数値解析手法、解析結果、（もしあれば）実験との比較、等に関して、簡潔に纏めなさい。

もし、数値解析の経験がない場合には、数値解析に関して考えるところを述べなさい。

課題(2) 以下のテンソル表現で記載されているNavier-

Stokes方程式の各項の成分を書き下しなさい。

ただし、

提出期限は、次回（10/9）までとする。

gpDt

vD

Tvv

vv

tvvv

tv

DtvD

v,v,vv zyx

課題(3) 熱伝導方程式

に、次の関数を代入すると、

以下の式が導かれることを示せ。

02

2

xt

udx

21exp

2

2

xu

xuu

tu

対流方程式の数値解の挙動～スキームの選択ーモデル問題３－

以下の対流方程式を

以下の境界条件と初期条件の下で、

以下の各スキームを用いて数値的に解析しなさい。• FTCS

• 蛙とび法

• 風上差分

0

xuc

tu

)15/2(0)5/25/1(1

)5/10(00,

xx

xxFxu

0,0 00 ggtu

0,1

x

tu

Program: ADVEC

課題(4) 前ページに指定する微分方程式を、与えら

れた境界条件の下で、指定する差分スキームを用いて数値的に解析しなさい。

提出期日： 10月30日（金）

提出物は、・内容の説明したレポート

・プログラムリスト

・解析結果（数値出力、作図結果）

以上の全てを、A4レポート用紙ならびに電子媒体(CD)の両方により提出すること。

提出課題(5)以下のPoisson方程式を、中心差分近似を用いた差分方程式とした上で、

gyu

xu

2

2

2

2

５×５に分割された空間に対して、周囲境界を既知のものとするとき得られる９元連立一次方程式を、Natural orderingによって書き下しなさい。

提出課題(6) 対流方程式に対する以下のスキームの安定性を、Neumann

の安定解析により判定せよ。• FTCSスキーム：

• 蛙とび法（Leap frog scheme）

• 風上差分（Upwind scheme）

• 陰解法(Implicit scheme)

ni

ni

ni

ni uuCuu 11

12

n1i

n1i

1ni

1ni uuCuu

0CuuCuu

0CuuCuuni

n1i

ni

1ni

n1i

ni

ni

1ni

0

xuc

tu

xtcC

ni

1n1i

1ni

1n1i uu

21uu

21

提出課題(7) 熱伝導方程式に対する以下のスキームの安定性を、Neumann

の安定解析により判定せよ。• FTCSスキーム：

• Richardon法

• 蛙とび法（Leap frog scheme, DF法）

• 陰解法(Implicit scheme)

n1i

ni

n1i

ni

1ni uu2uduu

1ni

n1i

n1i

1ni ud21uud2

d211u

2xtd

n1i

ni

n1i

1ni

1ni uu2uduu

ni

1n1i

1ni

1n1i uduud21du

2

2

xu

tu

提出課題(8)

以下に示すラプラス方程式を、右図の境界条件のもとで、差分法によって数値解析するとともに、以下の解析解と比較しなさい。

1cossinh

sinh112,

m

m

xmymmm

yxu

04 1,1,,,1,1 jijijijiji uuuuu

1,1,,1,1, 41

jijijijiji uuuuu

02

2

2

2

yu

xu

ラプラス方程式：

差分式：

解析解：

1 3 5 7 9 S1

S5

S9

0

20

40

60

80

100

第2章 H27.ppt [互換モード] - 筑波大学abe/ohp-cfd/cfd-2_H27.pdf第2回目10/9 阿部...

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