直線と平面の方程式直線と平面の方程式

第第1212回回方向余弦方向余弦

法線ベクトル法線ベクトル

任意のベクトルは任意のベクトルは

基底の線形結合で表せる基底の線形結合で表せる

基底の組 kjirrr

3R

軸方向の単位ベクトルは zyxkji ,,,,rrr

kajaiaaaaa

arrrrr

321

3

2

1

++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= なら

空間の方向ベクトルは

その方向の単位ベクトルを用いるのが便利

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nml

urある方向の単位ベクトルが

うのことを方向余弦といnml ,,

なぜならなぜなら

とするとを軸の正方向とのなす角と αxur

1ir

α

ur

l

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nml

urαcos== iulrr

のことは正弦という

のことを余弦という

sincos

他の軸との余弦は他の軸との余弦は

とするとそれぞれ

を軸の正方向とのなす角方向余弦の方向と

γβα ,,,, zyx

γβα cos,cos,cos === nml

ll,,mm,n,nの間にはの間には

だから2222 1 nmlu ++==r

1222 =++ nml なる関係があるなる関係がある

方向比方向比

nmlnml

−−−⇒ ,,,,

、反対方向の方向余弦は

、ある方向の方向余弦が

うその方向の方向比とい

を

をみたす

NMLnmlNML

,,:::: =

22点から方向比と方向余弦をしる点から方向比と方向余弦をしる

( ) ( )321321 ,,B,,,A2bbbaaa点空間内の相異なる

( )( ) ( ) ( )

sab

sab

sab

ababab

abababs

ababab

332211

332211

233

222

211

332211

,,AB

ABAB

,AB

−−−

−−−

−+−+−==

−−−=

の方向余弦は、

：：方向比は、

間の距離

方向余弦を求める＝ベクトルの正規化方向余弦を求める＝ベクトルの正規化

?何かこのときの方向余弦は

１）である方向比が３：４：（－

クトルを考える方向比を成分に持つベ

１）である方向比が３：４：（－

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−==⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

143

261

143

aaua r

rrr

正規化 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

143

261

143

261

どちらも方向余弦になることに注意

問題問題

?21,,

はどんな曲線を描くか

集合であるような半直線のの値がのうち、

余弦線で、その方向の方向原点を始点とする半直

nnml

2

222

22222

23

431

211

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++→=++

=

mlmlnml

n

の平面21

=z

の円を中心とする半径23

21,0,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

O

O

原点をとおり ｚ 軸と 60°の角度をもつ長さ1の半直線を ｚ 軸の周りに回転して

得られる円錐

２方向のなす角２方向のなす角

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′

=′⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nml

unml

u rr ,

単位ベクトルを空間における２方向の

θθθ

coscos =′⋅=′+′+′=′ uunnmmlluu rrrrとするとなす角を

θu′r

ur

nnmmll ′+′+′=θcosなす角は

なら垂直0=′+′+′ nnmmll

例題例題

を求めよ

とするの二等分線を平面上の

の二等分線を平面上の

POQOQO

,OPO

∠

∠

∠

xzzxyxxy

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101

21 OQ

011

21 OP 方向の方向余弦方向の方向余弦

( ) °==∴=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

=∠

6032

1

101

01121cos

POQ

πθθ

θ

直線の方程式直線の方程式

gu を持つ直線をによって示される方向を通り、点r

0P

0P

P

urg

は任意の実数

上にあるための条件が直線動点

sus r=PP

gP

0

は任意の実数

を座標原点として

sus r+= 0OPOP

Oまたは

媒介変数表示の直線の方程式媒介変数表示の直線の方程式

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

zyx

nml

u OP,OP,

0

0

0

0

r

usrrrr

nszzmsyylsxxnml

szyx

zyx

us

rrrrr

r

+=⇒==

+=+=+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

000

000

0

0

0

0

OP,OP

,,

,OP OP は

媒介変数を含まない方程式媒介変数を含まない方程式

( )n

zzm

yylxxs

snszzmsyylsxx

000

000 ,,

−=

−=

−=

+=+=+=

を消去して、

を表すとする

かつ

例えば、

がある場合の中に※

0

0,0,00,,

000 =−

−=

−≠=≠

yyn

zzlxx

nmlnml

直線の方程式の標準形直線の方程式の標準形

Nzz

Myy

Lxx

NMLnml

000

::::−

=−

=−=

( )直線の方程式

のを通り、方向比がこれは点 NMLzyx ::,, 000

とおくとt=

tNzzMtyytLxx +=+=+= 000 ,,

例題例題

8:12:9

?431

25

332

−→

→−

=−

=−

方向比は

は直線の方程式か yeszyx

( ) 8:12:934:2:

23

25

34

31

23

23

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

−−

=−−

=−

方向比は、

形は直線の方程式の標準

変形する

zyx

下の連立方程式の解は直線下の連立方程式の解は直線

⎩⎨⎧

=−−=−+620532

zyxzyx 独立な式の数が２

変数の数３任意定数３-２個必要

353511

27527115

+=⇒−=−

−=⇒=−

yzzyx

xzzxy

を消去して、

を消去して、

5111

1135

11275

53

527 zyx

zyx

=+

=−

∴

=+

=−

例題例題

( ) ( ) 求めよを通る直線の方程式を点 222111 ,,,,,2 zyxzyx

( ) ( ) ( )( )を通るから方程式は、

方向比

111

121212

,,:::

zyxzzyyxx −−−

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−−

原点と直線との距離原点と直線との距離

との距離（の最小値）原点と直線21

32

21

−−

=+

=− zyx

( ) ( ) ( )( )

1766

176

1761217

122312

12,23,1221

32

21

17662

1762

222222

のときよって最小値は

求める距離の２乗は

とおくと

=

+−=+−=

+−+−++=++

+−=−=+=

=−−

=+

=−

t

ttt

tttzyx

tztytx

tzyx

22直線の関係直線の関係

2

2

2

2

2

22

1

1

1

1

1

11

:

:2

Nzz

Myy

Lxxg

Nzz

Myy

Lxxg

−=

−=

−

−=

−=

−

直線

0::::::

21212121

22211121

=++=

NNMMLLggNMLNMLgg

が垂直と

が平行と

0::

21

21

方向ベクトルの内積がが垂直と

方向比が等しいが平行と

gggg

問題問題

( )

線の方程式を求めよのいずれにも垂直な直

軸および直線を通り、点

42

1312

3,2,1−

==−−

zyxy

解答解答

( )

( )クトルを求めるのいずれにも垂直なベ

０軸の方向ベクトル

標準形に直す

01

414

21 2

3

23

21

y

zyx −==

−

( )

( )01

414

21 2

3

23

21

０軸の方向ベクトル

標準形に直す

y

zyx −==

−

33

02

81

308

823

010

823

21

4123

−−

=+

=−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx直線の方程式は

であるので、外積は、

積を求めればよいこれらのベクトルの外

クトルを求めるのいずれにも垂直なベ

と解釈する。直線の方程式は

があるが、これは分母に

2,33

81

0

−=−−

=− yzx

平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル

平面に原点から垂線を下ろし、その垂線の足をHとする。

OHベクトル

O

P

H

垂線

π の方向余弦のことを平面の方向余弦または平面の法線ベクトルとよぶ。

OHOH=nr法線ベクトル

平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル

平面π上の動点Pを考えるPがHと一致する

場合も含めて

HPOH⊥

O

P

H

垂線

π

( )OHOHOH ≡== pnpn rr

OHOPHP −=

0HPOH =

( )10OP

===⇔=−

=

nnpnnprnnprnr

rrQ

rrrrrrr

rとおくと垂直関係は

平面の法線ベクトル平面の法線ベクトル

O

P

H

垂線

π prn =rr

である平面の方程式原点からの距離が

トルが垂線の方向の単位ベク

pur

とすると⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zyx

rnml

n rr ,

0, >=++= ppznymxlrn rr

一般に平面の方程式は一般に平面の方程式は

O

P

H

垂線

π

0=+++ DCzByAx

222

::

CBAD

CBA

++原点からの距離

垂線の方向比：

平面の方程式を求める例題平面の方程式を求める例題

( )( )方程式を求めよ

軸に平行な平面のを通り、点 z5,2,41,2,32 −−

とおく0=+++ DCzByAx

1:0:0::

=軸の方向比

＝法線ベクトルの方向比

zCBA

00100 =∴=⋅+⋅+⋅ CCBA

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=⇔

⎩⎨⎧

=++−=+−+

DB

DA

DCBADCBA

14172

0524023

2点を通るから、

平面の方程式を求める例題平面の方程式を求める例題

14,0,1,414,

−====∴−=

DCBAD としてよいら比のみが意味を持つか

1474 =+x

22平面の関係平面の関係

⎩⎨⎧

=+++=+++

0:0:

222222

11111

DzCyBxADzCyBxA

ππ

平面

0::::::

212121

222111

=++=

CCBAAACBACAA

垂直である条件

平行である条件

( )( )求めよ垂直な平面の方程式を

にを通り、平面点問 1441,0,11,2,32 =+−− yx

平面と直線との関係平面と直線との関係

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

−=+++

Nzz

Myy

Lxxg

DCzByAx000:

0:

直線

平面π

NMLCBACNBMAL

:::::0:

==++

垂直である条件

平行である条件

問題問題

( )

に平行なものを求めよと垂直で、平面

を通る直線で、直線点問

求めよの交線に垂直な平面をついで、原点を通りこ

、の交線の方程式を求め平面問

4323

11

52

41,3,22

1,2322 1

−=−−

+=

+=

−−

=−−=−−

zyx

zyx

zyxzyx