線形代数学第二B 講義ノートkotaro/class/2012/linear2/lecture.pdf · 線形代数学第二B 講義ノート 東京工業大学全学科目 2012年度後期 山田光太郎
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講義予定(案) 1. ( 9/ 2) 数値シミュレーションの手続き (テキスト第１章) 2. ( 9/ 9) 偏微分方程式と解析解 (テキスト第２章) 3. ( 9/16) 休講 4. ( 9/30) 差分方程式とそのスキーム (テキスト第３章) +変換 (テキスト第４章) 5. (10/ 7) 計算 (テキスト第５章)+連立一次方程式の解法(テキスト第６章) 6. (10/21) 流れ関数‐ポテンシャルによる解法(テキスト第７章) 7. (10/28) 流速‐圧力を用いた解法 (テキスト第７章) 8. (11/ 4) 熱流体解析と多相流解析 9. (11/11) 乱流の数値解析 by 金子暁子先生 10. (11/18) 数値解析の実際 by 渡辺正先生(JAEA) 11. (11/25) (予備日)
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講義予定(案)
1. ( 9/ 2) 数値シミュレーションの手続き (テキスト第１章)2. ( 9/ 9) 偏微分方程式と解析解 (テキスト第２章)3. ( 9/16) 休講4. ( 9/30) 差分方程式とそのスキーム (テキスト第３章) +変換 (テキスト第４章)5. (10/ 7) 計算 (テキスト第５章)+連立一次方程式の解法(テキスト第６章)6. (10/21) 流れ関数‐ポテンシャルによる解法(テキスト第７章)7. (10/28) 流速‐圧力を用いた解法 (テキスト第７章) 8. (11/ 4) 熱流体解析と多相流解析9. (11/11) 乱流の数値解析 by 金子暁子先生10. (11/18) 数値解析の実際 by 渡辺正先生(JAEA)11. (11/25) (予備日)
差分スキームを吟味するための数学的概念
適切性(well-posed)適合性(consistency)安定性(stability)収束性(convergency)
Laxの同等定理
「初期値問題が適切であるとき、差分スキームの差分要素が適合条件を満たしていて、安定であれば収束する。」
変換 ー変化する方程式の定性的性質ー
物理現象(熱流体挙動)
計算モデル(差分方程式)
厳密解
代数分方程式数学モデル(偏微分方程式)
差分解 数値解
工学への応用(開発、設計、性能評価)
仮説(定式化)
変換(差分近似)(離散化)
数値計算
適切性 安定性
収束性
適合性
Laxの同等定理
モデル問題： 線形問題に対する解析例
axeyxy 0)( =
0)0( yy =
前進差分による差分表現：
微分方程式： aydxdy
=
厳密解：
,1i
ii ayx
yy=
Δ−+ ),,2,1,0( ni L=
より
( ) 21 1 −− ⋅Δ+= ii yaxy
（適切性）
（適合性）
( ) ii yaxy ⋅Δ+=+ 11
( ) 12 1 yaxy ⋅Δ+=( ) 01 1 yaxy ⋅Δ+=
i=0,1,2,･･･,n に対して記述すると、
( ) 11 −⋅Δ+= ii yaxy
M
辺々掛け合わせることによって、 ( ) 01 yaxy ii ⋅Δ+=
モデル問題： 線形問題に対する解析例
1)1(0 <Δ+< xa
（安定性）
( ) 01 yaxy ii ⋅Δ+=
有界( ) →⋅Δ+ iax1
のとき
∞→i に対して
10 <<Δ< xa のとき ixx ⋅Δ= であるから
一方
axeyxy 0)( = をx=0のまわりで級数展開すると、
( ) ( ) ixaxaxayxy
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+Δ
+Δ
+Δ
+= L!3!2!1
1)(32
0
数値解析結果と理論値との比較
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
X
Y
Theory
Numerical
変換 ー変化する方程式の定性的性質ー
物理現象(熱流体挙動)
計算モデル(差分方程式)
厳密解
代数分方程式数学モデル(偏微分方程式)
差分解 数値解
工学への応用(開発、設計、性能評価)
仮説(定式化)
変換(差分近似)(離散化)
数値計算
適切性 安定性
収束性
適合性
Laxの同等定理
差分法方程式の適合性の評価
対流・拡散方程式について、
３．風上差分： １次の打切り誤差
２．Leap Frog スキーム： 2次の打切り誤差
１．FTCSスキーム: １次の打切り誤差
（打切り誤差O(Δx), O(Δt)）
（打切り誤差O(Δx2), O(Δt2)）
（打切り誤差O(Δx2), O(Δt)）
風上差分 (１次の打切り誤差）
対流・拡散方程式について、１次の打切り誤差となる差分近似
差分スキーム：
2111
1 2x
uuuxuuc
tuu n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
Δ+−
=Δ−
+Δ− −+−
+
α
（打切り誤差O(Δx), O(Δt)）
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni uuuduuCuu 111
1 2 −+−+ +−+−−=
2xtd
xtcC
ΔΔ
=ΔΔ
= α
Leap Frog スキーム ( 2次の打切り誤差）
対流・拡散方程式について、2次の打切り誤差となる差分近似
21111
11 222 x
uuuxuuc
tuu n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
Δ+−
=Δ−
+Δ− −+−+
−+
α
（打切り誤差O(Δx2), O(Δt2)）
差分スキーム：
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni uuuduuCuu 1111
11 22 −+−+−+ +−+−−=
2xtd
xtcC
ΔΔ
=ΔΔ
= α
FTCSスキーム (１次の打切り誤差）
対流・拡散方程式について、FTCSスキームを用いて差分近似する
21111
1 22 x
uuuxuuc
tuu n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
Δ+−
=Δ−
+Δ− −+−+
+
α
差分スキーム：
( ) ( )ni
ni
ni
ni
nin
ini uuuduuCuu 11
1111 22 −+
−+−+ +−+−
−=
2xtd
xtcC
ΔΔ
=ΔΔ
= α
差分法方程式の適合性の評価
対流・拡散方程式について、
３．風上差分： １次の打切り誤差
２．Leap Frog ： 2次の打切り誤差
１．FTCS: １.5次の打切り誤差
Program: ADVDIF1
不安定
安定
不安定
動的不安定性と静的不安定性
拡散・対流方程式に対するFTCS近似
21111
1 22 x
uuuxuuc
tuu n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
Δ+−
=Δ−
+Δ− −+−+
+
α
niu
この方程式の解に「ゆらぎ」が含まれているとする。時刻nの解をゆらぎのない差分解 とゆらぎ に分ける。iε
ini
ni uu ε+=
この式をFTCS近似式に代入し、時刻nでゆらぎのない差分解が存在すると仮定すると、Δt進めたときの増分Δuiは
( ) 211
112
2 xt
xctu iii
iii Δ+−
Δ+−Δ
Δ−=Δ −+−+
εεεαεε
動的不安定性
右辺第2項のみを考える。点i近傍の初期摂動を
が得られる。つまり点iの摂動はεi<0であったがΔui>0となって、時間をΔt進めることによって摂動εiを増分Δuiが補償する傾向になる。同様に点i+1における増分Δui+1を考えると、
0,0,0,0 211 <><> ++− iiii εεεε
とする。この初期摂動をΔuiの式に代入すると
02211 >
Δ−+
Δ=Δ −+
xtu iii
iεεε
α
022
121 <
Δ−+
Δ=Δ +++ x
tu iiii
εεεα
となり、摂動εi+1を増分Δui+1が補償する傾向になる。
静的不安定性
右辺第1項のみを考える。点i近傍の初期摂動を
となる。つまり点iの摂動はεi<0であるのに、対流による補償Δui<0となってしまい、摂動は単調に成長する。
0,0,0,0 211 <><> ++− iiii εεεε
とする。同様に、この初期摂動をΔuiの式に代入すると
( ) 02 11 <−Δ
Δ−=Δ −+ iii xutu εε (ただし、 )11 −+ ≥ ii εε
動的不安定性と静的不安定性
動的不安定性 静的不安定性
i-1 i i+1 i+2
ε
x
ε
i-1 i i+1 i+2 xi-1 i i+1 i+2
ε
x
初期摂動
ゆらぎのない差分解
Program: ADVDIF
熱伝導方程式の厳密解― モデル問題５ －
( )102
2
≤≤∂∂
=∂∂ x
xu
tu
初期条件と境界条件：( ) xxu πsin0, =
( ) ( ) 0,1,0 == tutu
（解）
( ) xetxu t ππ sin,2−=
熱伝導方程式：
Von Neumannの安定性解析（1/4）
熱伝導方程式に対するFTCSスキーム
( )ni
ni
ni
ni
ni uuuduu 11
1 2 −++ +−+=
この方程式の解のFourier級数のそれぞれの部分を次式のようにする。
2/ xtd ΔΔ=α
xjkinni eVu Δ=
とする。Vnは波数がkである成分の時刻nにおける振幅関数である。jは虚数単位である。
Von Neumannの安定性解析（2/4）
θijnni eVu =
( ) θθ jinni
ijnni eVueVu 1
111 , ±
±++ ==
θ=kΔxとして上式を書き改めて、
同様に もそれぞれ、ni
ni
ni uuu 11
1 ,, −++
これらをFTCSスキームに代入する。
( )[ ]2eed1VV jjn1n −++= −+ θθ
Gをパラメータとすると、この式はVn+1=GVnの形をしている。Gを書き改めると
( )θcos121 −−= dG ：増幅行列
Von Neumannの安定性解析（3/4）
熱伝導方程式のFTCSスキームが有界ならば
1≤Gが全てのθについて成立しなければならない（安定規準） 。
( ) 1cos1211 ≤−−≤− θd
よって、左側の不等式の に注意すると、2cos1 ≤− θ
21
≤d あるいはα
ΔΔ2xt
2
≤
これが熱伝導方程式のFTCSスキームに対する安定性確保の条件である。ここでdを拡散数（diffusion number）という。
Program: HEAT拡散数の条件：
Von Neumannの安定性解析（4/4）
214.0
xtcd
00125.0t191x
2 <≈⋅
=
=
=
ΔΔ
Δ
Δ
(計算例１) 安定な条件の場合
Program: HEAT拡散数の条件についての計算例：
(計算例２) 不安定な条件の場合
218.0
xtcd
002.0t221x
2 >≈⋅
=
=
=
ΔΔ
Δ
Δ
安定な差分スキーム： 完全陰解法
熱伝導方程式を時間に後退、空間に中心差分近似したスキーム
これらをスキームに代入して増幅行列Gを求めると、
( )11
111
1 2 +−
+++
+ +−+= ni
ni
ni
ni
ni uuuduu
( ) θθ jinni
ijnni eVueVu 111
1, ±++± ==
von Neumannの安定解析を行う。
( )[ ]2cos1d21/1G θ−+=
0cos1,0 ≥−> θd であることから である。すなわち1≤G
この差分スキームは、どのようなdに対しても、安定である。
( )( )
daada
duuuuuduub
uuuubAu
jiji
ii
TnI
nI
nI
nnnn
TnI
nn
mmm
m
−==+=
++=
==
++
−−
+−
++
1,,1
,
124312
11
13
12
21L
L
完全陰解法によるモデル計算例(問題５)
先の解析よりも変域の分割を多くする。すなわち、i=1とi=Imを境界点、i=2,3,…,Im-1を内点とする。
基礎式に対応する連立一次方程式は、境界条件を含めて
Program: HEAT
完全陰解法によるモデル計算例(問題５)
214.0
xtcd
00125.0t191x
2 <≈⋅
=
=
=
ΔΔ
Δ
Δ
(計算例１) 陽解法では安定 → 陰解法でも安定
Program: HEAT完全陰解法による計算例：
(計算例２) 陽解法では不安定 → 陰解法では安定
218.0
xtcd
002.0t221x
2 >≈⋅
=
=
=
ΔΔ
Δ
Δ
Courant条件（1/2）
対流方程式の風上差分スキームは
である。このスキームの安定性について吟味する。まず、数値解のFourier成分をjを虚数単位として、
( ) xtcCuuCuu ni
ni
ni
ni ΔΔ=−−= −+ /,1
1
xkeVu ijnni Δ== θθ ,
とする。この式と( ) θθ jinn
iijnn
i eVueVu 11
11 , ±±
++ ==
を上述したスキームに代入して増幅行列Gを求める。
Courant条件（2/2）
増幅行列Gは、
となる。von Neumannの安定性規準は任意のθに対して( )( ) 1cos1122 +−−= θCCG
となることである。この式において、C>0、1-cosθ>0であるから、この条件を満足するためには、
である。この条件をCourant条件という。
1≤G
1≤ΔΔ
=xtcC
対流方程式の数値解の挙動ー モデル問題３ －
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
対流方程式：
初期条件と境界条件：
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤≤≤
≤≤==
)15/2(0)5/25/1(1
)5/10(00,
xx
xxFxu
( ) 0,0 00 == ggtu( )
0,1=
∂∂
xtu
（解）( ) ( )ctxFtxu −=, Program: ADVEX
対流方程式の数値解析結果例(1/2)
18.0025.002.01C
02.0t025.0x
1c
<=×=
==
=
ΔΔ
(計算例１) 安定な条件の場合
Program: ADVECクーラン数の条件についての計算例：
(計算例２) 不安定な条件の場合
104.1025.0026.01C
026.0t025.0x
1c
>=×=
==
=
ΔΔ
対流方程式の数値解析結果例(2/2)
(計算例３) 厳密解と一致する場合
Program: ADVECクーラン数の条件についての計算例：
1025.0025.01C
0025.0t025.0x
1c
=×=
==
=
ΔΔ
FTCSスキームの移動性
対流方程式のFTCSスキーム
( )ni
ni
ni
ni uu
xtcuu 11
12 −+
+ −ΔΔ
−=
摂動εが点iにεi=δとして存在し他の全ての点ではε=0と仮定する。まず、点i+1における摂動は、
( ) δδxtc
xtcun
i ΔΔ
=−ΔΔ
−=++ 2
02
011
Δtの間に、対流によって摂動が下流へ運ばれている。
摂動の発生点iでは、 ( ) δδ =−ΔΔ
−=+ 002
1
xtcun
i
上流点i-1では、 ( ) δδxtc
xtcun
i ΔΔ
−=−ΔΔ
−=+− 2
02
011
摂動は上流へも運ばれている。
FTCSスキームにおける摂動の移動
dε dε
ε
(1-2d)ε
ε‘
(1-4d+6d2)ε
i-1 i i+1
n
n+1
n+2
十分な時間
風上差分スキームの移動性(1/2)
拡散方程式の風上差分スキーム
( )ni
ni
ni
ni uu
xtcuu 1
1−
+ −ΔΔ
−=
この式に注目し点iでの摂動εをεi=δとし、他の全ての点で0と
仮定する。振動発生点iの下流i+1では
( ) δδxtc
xtcun
i ΔΔ
=−ΔΔ
−=++ 001
1
となり、対流によって摂動が運ばれている。
風上差分スキームの移動性(2/2)
摂動の発生点iでは同じく、
となる。摂動が発生した上流点i-1では、
δδxtcun
i ΔΔ
−=+1
となる。摂動の発生点では、摂動が減少し、その分だけ下流の点に運ばれている。さらに上流点における摂動を調べると、対流による寄与は何もない。すなわち、このスキームは移動性を備えている。
( ) 0002
011 =−
ΔΔ
−=+− x
tcuni
Program: TRANSP
風上差分スキームにおける摂動の移動
n
n+1
δΔΔxtc
0
δΔΔδxtc
−
δ
差分法方程式の移動性の評価
対流方程式について、
３．風上差分： 移動性あり
２．Leap Frog ： 移動性なし
１．FTCS: 移動性なし
Program: ADVDIF1
不安定
安定
不安定
FTCS（Forward-Time Centered Space）スキーム
差分式:
時間：前進差分、空間：中心差分で差分化
差分解
( )n1i
n1i
ni
1ni uu
2Cuu −+
+ −−=
0x2uuc
tuu n
1in
1ini
1ni =
−+
− −++
ΔΔ
xtcC
ΔΔ
=
Δx
Δt
i-1 i i+1
n
n+1
n-1t
x
Δx
Δt
i-1 i i+1
n
n+1
n-1t
x
蛙とび(Leapfrog)スキーム
差分式
時間：中心差分、空間：中心差分
差分解
x2uuc
t2uu n
1in
1i1n
i1n
i
ΔΔ−+
−+ −−=
−
( )n1i
n1i
1ni
1ni uu
xtcuu −+
−+ −−=−ΔΔ
)uu(Cuu n1i
n1i
1ni
1ni −+
−+ −−=
i-1 i i+1
n
n+1
n-1
i-1 i i+1
n
n+1
n-1
ひし形(Rhomboid)スキーム
差分式
差分解
xuuc
t
)uu(21)uu(
21
n1i
ni
1n1i
ni
n1i
1ni
ΔΔ−
−−−
+
−−=
−−−
( ) ( ) ( )n1i
ni
1n1i
ni
n1i
1ni uu
xtc2uuuu −
−−−
+ −−=−−−ΔΔ
( )n1i
ni
1n1i
ni
n1i
1ni uu
xtc2uuuu −
−−−
+ −−−+=ΔΔ
n1i
ni
1n1i
ni
n1i
1ni Cu2Cu2uuuu −
−−−
+ +−−+=
( ) )uu(C21uu n1i
ni
1n1i
1ni −
−−
+ −−+=i-1 i i+1
n
n+1
n-1
i-1 i i+1
n
n+1
n-1
風上(Up-wind)スキーム
差分式
時間：前進差分、空間：風上差分（この場合：後退差分）
差分解
xuuc
tuu n
1ini
ni
1ni
ΔΔ−
+ −−=
−
( )n1i
ni
ni
1ni uu
xtcuu −
+ −−=−ΔΔ
n1i
ni
ni
1ni CuCuuu −+ +−=
n1i
ni
1ni Cuu)C1(u −+ +−=
Δx
Δt
i-1 i i+1
n
n+1
n-1t
x
c≧0
Δx
Δt
i-1 i i+1
n
n+1
n-1t
x
Δx
Δt
i-1 i i+1
n
n+1
n-1t
x
c≧0
FTCS Schemeによる計算例
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.020.040.060.080.1
-20
-15-10
-50
5
1015
20
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
0 s0.2 s0.4 s0.6 s0.8 s1.0 s
-1E+14-8E+13-6E+13-4E+13-2E+13
02E+134E+136E+138E+131E+14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.81
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.81
C=0.1 [c=1, TMAX=1000, XMAX=100]
C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]C=1.0 [c=1, TMAX=100, XMAX=100]
Leapfrog Schemeによる計算例
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.020.040.060.08
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
C=0.1 [c=1.0, TMAX=1000, XMAX=100]
C=1.0 [c=1, TMAX=100, XMAX=100] C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]
Rhomboid Schemeによる計算例
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.250.50.751
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.020.040.060.08
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
C=0.1 [c=1, TMAX=1000, XMAX=100]
C=0.5 [c=1.0, TMAX=200, XMAX=100] C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]
( ) 1n1i
1ni
n1i
ni
1n1i
1ni uu5.0C)uu(C21uu −
−+
−−−
+ =→=→−−+=
Up-wind Schemeによる計算例
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
C=0.1 [c=1,TMAX=1000,XMAX=100] C=1 [c=1, TMAX=100, XMAX=100]
C=0.01 [c=0.1, TMAX=1000, XMAX=100]
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1X
U
00.20.40.60.8
C=0.001 [c=0.01, TMAX=1000, XMAX=100]
n1i
1ni
n1i
ni
1ni uu1CCuu)C1(u −
+−
+ =→=→+−=
Newtonの粘性則
Newtonの粘性則
dydu
yx μτ −=
2
2
xu
xP
xuu
tu
∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ ν
これは、流体に関する運動方程式に という形で記述される。
( )22 / tu ∂∂ν
また、uを濃度とみたときには なる項は濃度の拡散をなしている。
( )22 / tu ∂∂α
人工粘性
対流方程式
この式に対する風上差分スキームは
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
( )ni
ni
ni
ni uuCuu 1
1−
+ −−=
点(i,n)まわりのTaylor展開を考えると
22
21
21 t
tut
tuuu n
ini Δ
∂∂
+Δ∂∂
+=+
22
2
1 21 x
xux
xuuu n
ini Δ
∂∂
+Δ∂∂
−=−
人工粘性
これらの式をスキームに代入し、整理すると
となる。次の関係
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ΔΔ
−∂∂Δ
≈∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2 tu
xct
xuxc
xuc
tu
から、上述の式は
2
22
2
2
xuc
tu
xc
xuc
ttu
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=∂∂
( )xtcCCxc
xu
xuc
tu
ee ΔΔ
=−Δ
=∂∂
=∂∂
+∂∂ ,1
2,2
2
αα
人工粘性
この式と対流方程式を比べると右辺に新たな項が誘起されている。この項は人工的な付加項である粘性としての効果を持つことがわかる。これを人工粘性（artificial viscosity）または数値拡散と（numerical diffusion）と呼ぶ
2
2
xu
xuc
tu
e ∂∂
=∂∂
+∂∂ α
風上差分スキームによって離散化した対流方程式は、実際には、以下の式を解いていることに相当している。
Program: ADVEX
変換 ー変化する方程式の定性的性質ー
物理現象(熱流体挙動)
計算モデル(差分方程式)
厳密解
代数分方程式数学モデル(偏微分方程式)
差分解 数値解
工学への応用(開発、設計、性能評価)
仮説(定式化)
変換(差分近似)(離散化)
数値計算
適切性 安定性
収束性
適合性
Laxの同等定理
位相誤差(1/4)
対流方程式の風上差分スキームは
( )ni
ni
ni
ni uuCuu 1
1−
+ −−=
uのFourier成分 をkを波数としてniu
とする。ここにGは増幅係数、k=2π/λ（λ：波長）である。同様に、
xkeGeGeGu jinxjkinjkxnni Δ==== Δ θθ ,
( )θ11
−− = ijnn
i eGu
とする。
位相誤差(2/4)
両式を差分スキームに代入して整理するとGは
( )( )( )θ
θθcos1121
sincos1−−−=
−+−=
CCGiCCCG
である。ここに、Re(・)とIm(・)はそれぞれ実数部と虚数部を示す。
( )( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∠
−
−
θθsin1
sintan
ReImtan
1
1
CCC
GGG
となる。また位相シフト は、G∠
位相誤差(3/4)
いま、風上スキームの数値安定性を大きくとり、しかも空間変化を可能なだけ正確に記述しようとする。つまり、
12,1 <<Δ
=Δ=<<λπθ xxkC
と評価される。増幅係数と位相シフトを用いてuのFourier成分を書くと、
( )xkCCG Δ−=−=∠ sinsinθとすれば、位相シフト は、G∠
( ) ikxnxkjCnni eeGu Δ−= sin
となる。
位相誤差(4/4)
ここで、iCsin(kΔx)nを変形すると、
( ) ( )
( )tn
xxkCik
nk
xkxtciknxkiC
Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ΔΔ
=
Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ
=Δ
sin
sinsin
となる。したがってFourier成分 はniu
( ) ( )tnt
xkxkCCeGu k
tCxiknni
k Δ=ΔΔ
== − ,sin,
となる。この式は波数kが大きくなると（波長λが短くなると）、成分の伝播速度Ckは小さくなることを示している。
分散性(Disperse property)
対流項の差分近似(1/3)
対流・拡散方程式の差分スキーム（モデル10）
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni uuu
xtuu
xtcuu 1121
1 2 −+−+ +−
Δ
Δ+−
ΔΔ
−=α
Burgers方程式の差分スキーム（モデル11）
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
nin
ini uuu
xtuu
xtuuu 1121
1 2 −+−+ +−
Δ
Δ+−
ΔΔ
−=α
Burgers方程式の の近似はいくつかの方法が考えられる。
( )xuu ∂∂ /
対流項の差分近似(2/3)
Burgers方程式のいくつかの差分スキームを評価してみる。
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
nin
ini uuu
xtuu
xtuuu 11211
11 2 −+−+−+ +−
Δ
Δ+−
ΔΔ
−=α
• FTCSスキーム
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
nin
ini uuu
xtuu
xtuuu 11211
1 22 −+−+
+ +−Δ
Δ+−
ΔΔ
−=α
• 蛙飛びスキーム
( ) ( )ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
nin
ini uuu
xtuut
xuuuuu 11211
1111 223 −+−+
−+−+ +−Δ
Δ+−Δ
Δ++
−=α
• uの鋭いピークに対する緩和スキーム
対流項の差分近似(3/3)
Burgers方程式では、対流項には のなかから適当なu0を代表として選び、Courant条件に準じて
( )L,3,2=junj
10 <ΔΔ
=xtufC
などとΔtを設定する。しかし、安全のために安全係数f (0<f<1)を乗ずる。あるいは、
1max <⋅Δ
Δ= f
xtu
Cn
i
i
などとCourant数が解そのものに依存している状況を厳重に監視するなどの制御策を考える。
双曲型方程式の陰スキーム(1/3)
対流方程式
差分スキームを求めると
ただし、
対流方程式を時刻n+1において、時間を後退差分近似、空間を中心差分近似すると、
0xuc
tu
=∂∂
+∂∂
x2uuc
tuu 1n
1i1n
1ini
1ni
ΔΔ
+−
++
+ −−=
−
ni
1n1i
1ni
1n1i uCu
21uCu
21
=−+ +−
+++
xtcC
ΔΔ
=
双曲型方程式の陰スキーム(2/3)
内点をI=2, 3,…,Im-1として、
n1
1n2
1n1
1n0 uu
2Cuu
2C
=++− +++
n2
1n3
1n2
1n1 uu
2Cuu
2C
=++− +++
n3
1n4
1n3
1n2 uu
2Cuu
2C
=++− +++
ni
1ni
1n1i
1n1i
1ni
1n1i uu
2C1u
2Cu
2Cuu
2C
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=++− ++
−++
++−
:1i =
:2i =
:3i =
:ii =
という連立一次方程式が得られる。
双曲型方程式の陰スキーム(3/3)
となる。これを行列表示すると、nn uAu =+1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
+
−
+
+−
+−
+
+
1ni
ni
n1i
n2
1n0
n1
1n1i
1n2i
1n2
1n1
u2Cu
u
u
u2Cu
uu
uu
12C00
2C1
2C
02C
12C0
2C1
2C
002C1
M
M
M
M
LL
OM
OOOM
MOO
MO
LL
以上の行列の式を解いていくと、時刻 における変位が求まる。
1nt +=1n
i1n
1 uu ++ L
放物型方程式の陰スキーム
熱伝導方程式
( ) 21
111
11 ,2
xtduuuduu n
ini
ni
ni
ni Δ
Δ=+−+= +
−++
++ α
これに倣ってBurgers方程式の差分方程式を導出すると
に対する陰スキームは、
2
2
xu
tu
∂∂
=∂∂ α
ni
1n1i
1ni
1n1i uduu)d21(du =−++− +
+++
−
以下同様
陽スキームと陰スキーム(1/3)
である。整理すると、
( ) ( )
2
11
111
11
111
,
,2
xtd
xtc
uuuduucuuu ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ni
ΔΔ
=ΔΔ
=
+−+−−= +−
+++
+−
+++
α
( ) ( ) ni
ni
ni
ni
ni uduududcu =−+−+− +
+++
−+ 1
111
11 21
に対して、対流項を風上差分として、陰スキームとすると、
2
2
xu
xuu
tu
∂∂
=∂∂
+∂∂ α
Burgers方程式
陽スキームと陰スキーム(2/3)
内点をI=2, 3,…,Im-1として、
( )( ) Tn
Innn
TnI
nnn
m
m
uuuu
uuuu
132
11
13
12
1 ,
−
+−
+++
=
=
L
L
として、この式をまとめると となり、非線形代数方程式をΔtごとに解かなければいけない。行列 は非対称行列である。
Burgers方程式の対流項を中心差分近似すると、
( ) nnn uuuA =++ 11
( )1+nuA
( ) ( ) ( )xtcuudcuududcu n
ini
ni
ni
ni
ni Δ
Δ==+−+−+− +
++++
−+
2,21 1
1111
11
陽スキームと陰スキーム(3/3)
Δtを小さく設定するとして対流項を次式のように線形化する。
xuuu
xuu
ni
nin
i Δ−
=∂∂ +
−++
2
11
11
とすると、陰スキームの代替案は
( ) ( ) ( )xtcuudcuududcu n
ini
ni
ni
ni
ni Δ
Δ==+−+−+− +
+++
− 2,21 1
111
1
となる。これをまとめて書くと、nn uAu =+1
とした連立一次方程式となる。
課題提出予定(案)
1. ( 9/ 2) 数値シミュレーションの手続き (テキスト第１章)
2. ( 9/ 9) 課題(1)提出
3. ( 9/16) 休講
4. ( 9/30) 課題(2)提出
5. (10/ 7) 課題(3)提出
6. (10/21) 課題(4)提出
7. (10/28) 課題(5)提出
8. (11/ 4) 課題(6)提出
9. (11/11) 課題(7)提出
10. (11/18) (課題by金子暁子先生)の提出
11. (11/25) (数値解析by渡辺正先生)の提出
提出課題(1)
各自が行ったことのある数値解析（流体解析に限定しない）について、その対象となった物理、基礎方程式、境界条件、数値解析手法、解析結果、（もしあれば）実験との比較、等に関して、簡潔にレポートに纏めなさい。
もし、数値解析の経験がない場合には、数値解析に関して考えるところをレポートに纏めなさい。
提出期限は、次回（9/9）までとする。
提出課題(2)熱伝導方程式
に、次の関数を代入すると、
以下の式が導かれることを示せ。
提出期限は、次々回（9/30）までとする。
( )02
2
>∂∂
=∂∂ αϕαϕ
xt
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫ udx
αϕ
21exp
2
2
xu
xuu
tu
∂∂
=∂∂
+∂∂ α
提出課題(3)
以下のテンソル表現で記載されているNavier-Stokes方程式の各項の成分を書き下しなさい。
ただし、
提出期限は、次次々回（10/7）までとする。
gpDt
vD rr
ρπρ +⋅∇−−∇=
( )[ ]Tvvrr
∇+∇⋅∇−=⋅∇ μπ
( )( ) vv
tvvv
tv
DtvD
v,v,vv zyx
rrr
rrrr
r
∇⋅+∂∂
=⋅∇+∂∂
=
=
対流方程式の数値解の挙動～スキームの選択 ー モデル問題３ －
以下の対流方程式を
以下の境界条件と初期条件の下で、
以下の各スキームを用いて数値的に解析しなさい。• FTCS
• 蛙とび法
• 風上差分
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤≤≤
≤≤==
)15/2(0)5/25/1(1
)5/10(00,
xx
xxFxu
( ) 0,0 00 == ggtu
( )0,1
=∂
∂x
tu
Program: ADVEC
提出課題(4)前ページに指定する微分方程式を、与えられた境界条件の下で、指定する差分スキームを用いて数値的に解析しなさい。
提出期日： 10月21日（木）
提出物は、・内容の説明したレポート
・プログラムリスト
・解析結果（数値出力、作図結果）
以上の全てを、A4レポート用紙ならびに電子媒体(CD)の両方により提出すること。
提出課題(5)
以下のPoisson方程式を、中心差分近似を用いた差分方
程式とした上で、
gyu
xu
−=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
５×５に分割された空間に対して、周囲境界を既知のものとするとき得られる９元連立一次方程式を、Natural orderingによって書き下しなさい。
提出期日：10月28日（木）
提出課題(6)対流方程式に対する以下のスキームの安定性を、Neumannの安定解析により判定せよ。 提出期日： １１月４日（木）
• FTCSスキーム：
• 蛙とび法（Leap frog scheme）
• 風上差分（Upwind scheme）
• 陰解法(Implicit scheme)
( )ni
ni
ni
ni uuCuu 11
12 −+
+ −−=
( )n1i
n1i
1ni
1ni uuCuu −+
−+ −−=
( )( ) 0CuuCuu
0CuuCuuni
n1i
ni
1ni
n1i
ni
ni
1ni
≤−−=≥−−=
++
−+
0=∂∂
+∂∂
xuc
tu
xtcC
ΔΔ
=
ni
1n1i
1ni
1n1i uu
21uu
21
=−+ +−
+++ αα
提出課題(7)熱伝導方程式に対する以下のスキームの安定性を、Neumannの安定解析により判定せよ。 提出期日：１１月１１日（木）
• FTCSスキーム：
• Richardon法
• 蛙とび法（Leap frog scheme, DF法）
• 陰解法(Implicit scheme)
( )n1i
ni
n1i
ni
1ni uu2uduu −++ +−+=
( ) ( )[ ]1ni
n1i
n1i
1ni ud21uud2
d211u −
+−+ −++
+=
2xtd
ΔΔ
=
( )n1i
ni
n1i
1ni
1ni uu2uduu +−
−+ +−+=
( ) ni
1n1i
1ni
1n1i uduud21du =−++− +
+++
−
2
2
xu
tu
∂∂
=∂∂ α
数値流体解析の基礎方程式のベクトル・テンソル表示
Navier-Stokes方程式
gpDt
vD rr
ρπρ +⋅∇−−∇=
ここで ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=⋅∇
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇
∇⋅+∂∂
=⋅∇+∂∂
=
=
zyxzyxzyx
zyx
zp
yp
xpp
vvtvvv
tv
DtvD
v,v,vv
zzyzxzzyyyxyzxyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyx
τττττττττ
τττττττττ
π
rrr
rrrr
r
せん断応力テンソルの成分
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−==
⋅∇+∂∂
−=
⋅∇+∂
∂−=
⋅∇+∂∂
−=
zv
xv
yv
zv
xv
yv
v32
zv
2
v32
yv
2
v32
xv2
xzxzzx
zyzyyz
yxyxxy
zzz
yyy
xxx
μττ
μττ
μττ
μμτ
μμτ
μμτ
r
r
r
速度勾配のテンソル表現
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
≡∇
zv
zv
zv
yv
yv
yv
xv
xv
xv
v
zyx
zyx
zyx
r
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
⋅=∇⋅
zv
vyv
vxv
vzv
vyv
vxv
vzvv
yvv
xvv
zv
zv
zv
yv
yv
yv
xv
xv
xv
vvvvv
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
zyx
zyx
zyx
zyxrr
速度勾配のテンソル表現
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
vv
vzv
yv
xv
zvv
yvv
xvv
vzv
yv
xv
zvv
yvv
xvv
vzv
yv
xv
zvv
yvv
xvv
zvv
yvv
xvv
zvv
yvv
xvv
zvv
yvv
xvv
vvvvvvvvvvvvvvvvvv
zyxvv
T
zzyxzzzyzx
yzyxyzyyyx
xzyxxzxyxx
T
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
rr
rr
∇⋅=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=⋅∇
せん断応力のテンソル表現
( )
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=⋅∇
zv
yv
xv
vvvzyx
v
zyx
zyxr
だから T
yxzzz
zxyyy
zyxxx
zyv
xzv
zv
yv
xv
zyv
yxv
z
v
y
v
x
vxz
vyx
v
zv
yv
xv
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−=⋅∇
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
μπ
速度の２階微分テンソル
( )
( )
T
2z
2y
2x
2
z2
2
y2
x2
z2
y2
2x
2
zzz
yyy
xxx
T
T
2z
2
2z
2
2z
2
2
y2
2
y2
2
y2
2x
2
2x
2
2x
2
zyx
zyx
zyx
zv
zyv
xzv
zyv
yv
yxv
xzv
yxv
xv
zv
yv
xv
zv
yv
xv
zv
yv
xv
zyxv
zv
yv
xv
zv
yv
xv
zv
yv
xv
zv
zv
zv
yv
yv
yv
xv
xv
xv
zyxv
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇⋅∇
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
=∇⋅∇
r
r
せん断応力のテンソル表現
( )[ ]
T
y2
x2
2z
2
2z
2
2z
2
z2
x2
2
y2
2
y2
2
y2
z2
y2
2x
2
2x
2
2x
2
T
zyv
xzv
zv
2yv
xv
zyv
yxv
zv
yv
2xv
xzv
yxv
zv
yv
xv
2
vv
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇+∇⋅∇rr
( )[ ]Tvvrr
∇+∇⋅∇−=⋅∇ μπよって
gpDt
vD rr
ρπρ +⋅∇−−∇=
