線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 鶴亀算から連立 次方程式へ...

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線型代数学の概観 目次 から から パズル ジレンマ (ベクトル)

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線型代数学の概観 ���������� �� 矢崎

目 次

�� 線型代数学とは � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 線型性の例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ � � � � � � � � � � � � �

�� ����の講義から � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 補間多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� ��パズル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� 囚人のジレンマ ���� �������� �������� � � � � � �

�� 線型計画法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 線型微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 単回帰分析 �最小自乗法� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 主成分分析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 座標の変換 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 高次元化(ベクトル) � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 線型近似 ���� 非線型の世界 � � � � � � � � � � � � � ��

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�� 線型代数学とは

● 線型とは、線形、�次、リニア ����� と同義で、直線 �������� ��� を語源とする。�次式

� ��

は正比例の関係、例えば、

�を �倍 � �も �倍

であるような関係を式で表したものである。

! � �

��

� ��

���� ��とおくと、

����� �����

���� " ��� ����� " ������ � � � � � ���

という関係を満たす。

係数 �は現れない!

例� 時給 ��円とは、�時間働くと ��円の給料がもらえることを意味する。したがって、�時間働くと ���円もらえる。これを ���� ���と書くことにすれば、�日 �時間労働を �日間続けた場合、総労働時間は �� �時間であるから、もらえる給料は ���� ��である。一方、�日 ����円の給料を �日分もらえるとも考えられるから、結局、

���� �� �����

が成り立つ。また、昨日は �時間、今日は �時間働いたとすると、�日間

���円は現れない!

でもらえる給料は ����" ����であるが、これは �"�時間働いた給料に等しい:

���� " ���� ��� " �� ���円は現れない!

性質 ���を線型性と呼ぶ。

● 代数学とは、集合の演算に関する「構造」を調べる、もしくは、数学的構造を有する集合を調べる学問である。

例� 実数全体の集合 � と行列全体の集合� では乗法に関して「構造」が異なる:

�� � � � # �� ��� � �� # �

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�� 線型性の例

横の長さ �$ 縦の長さ �の長方形の面積 ���� �� ��は、横の長さ �について線型である:

� �

��

�� �� �� " ��

"

つまり、

����� �� ����� ��

���� " ��� �� ����� �� " ����� ��

という関係を満たす。

�を無視すると、� は �に

ついて線型

同様に、縦の長さ �についても線型である。

注� � は �と �の双方について線型であるので、双線型(�重線型、バイリニア %������)と呼ばれる。

次に &非線型=線型でない'例を見てみよう。

例� 半径 �の円の面積 ����は、半径 �について線型でない。 ���� � ���

��

��� �

� �� � " ��" �

つまり、

����� � �����

��� " ��� � ���� " �����

という関係になっている。

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�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ

つるかめ算~小学生

問 鶴と亀が合わせて 匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。

答 図を用いて解いた。全部亀とすると。。。

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問題も苦しいが、解法の意味も苦しい。

連立 �次方程式~中学 �年

問 郵便小包を出そうと思い、料金を調べたら ���円だった。��円切手と��円切手を組み合わせて ��枚はり、���円になるようにするには、�種類の切手をそれぞれ何枚はればよいですか。

答 未知数を �� �とおき、連立 �次方程式を立て、加減法、代入法、等置法などを用いて解いた。

� �加減法、代入法、等置法など、どんな解法で解いても正しい答えを得ることができる。つまり、解法によらず解は一致する。なぜか。� �

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�� ����の講義から

����の学生だった(����が「)���������� *���������」として講義録を出版 �� � �。

問 以下の �� � �の �個の変量の間に成り立つ関係式を求めよ。

��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。

ただし$ 全ての牧場の餌の収穫高は等しく$ 毎日成長する牧草の量は不変であり$ また$ どの牛も毎日同一量の餌を食べると仮定する。

答 牧場の最初の餌の量を �$ 毎日成長する牧草の量を �$ 牛が毎日食べる牧草の量を �とおく。このとき$ 次の連立 �次方程式が成り立つ。

��" �� �� � ����� ��

��" �� �� � ����� ��

��" �� �� � ����� ��

もちろん � � � �という自明な解は面白くないので、自明解以外の解があるための条件が必要であり、それは、�$ �$ �を消去して

�������� � � �� �� " �� �� ����� � ������ ���� � ���� � ���

となる。

� �

この条件式は、行列式を用いると

������� � �� � ����� � �� � ����� � �� � �����

������� � のように、簡明に表現できる。� �

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�� 補間多項式

��平面上の �点 ���� ���� ���� ���の �座標が異なるとき、

� �� " ���

という形の直線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。

同様に、�点 ���� ���$ ���� ���$ ���� ���の �座標が全て異なるとき、

� �� " ���" ����

という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。

例� �個の点を通る �次式 � �� " ���" ���� " � � �" ���

�はただ一つに定まる。

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3

問 一般に、�個の点 ���� ���� � � � � ���� ���の �座標が全て異なるとき、

� �� " ���" ���� " � � �" �����

���

という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはちょうど �本あることを示せ。

� �ファン・デル・モンド �� +�� ,+� の行列式を用いて証明できる。� �

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�� ��パズル

��パズルとは、�辺 � の正方形の駒 ��個を、�辺 �� の正方形の盤上に互いに重ならないように並べ、空いた �マスを利用して駒を上下左右に動かしながら、求められた配置に駒を並べ替るゲームである。

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

問 ルール通りに駒を動かして、上図の配置を、下図の ���あるいは �%�の配置に変えることはできるか?

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

���

1 2 6 7

3 5 8 13

4 9 12 14

10 11 15

�%�

� �&置換'の概念を学ぶと容易に解決できる。� �

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� 囚人のジレンマ ���� �������� ��������

�人の容疑者 $ が共犯容疑で捕まっている。黙秘か自白かによって$以下のような実刑年数が科せられる。

� 黙秘 自白黙秘 ��� � � �����自白 �� � �� ��� � �

問 個別に尋問されているとき$ $ はそれぞれどのような行動を取るべきか。ただし、以下を仮定しておこう。

仮定 � 各容疑者は、自分に対して最も軽い判決が下されることのみ関心がある。

仮定 � 各容疑者は、相棒が仮定 �を満たす人物で、かつ合理的な行為者であることを知っている。

仮定 � 各容疑者は、相棒がとりそうな行動に関して、仮定 �以外の情報は何も得られない。

答 に科せられる実刑年数の行列は、��� ���� ��

であり、各行の最小値かつ各列の最大値となる場合が最適戦略である。つまり、自白した方がよい。

とはいうものの、この戦略は、達成可能な最良の結果 &自分は自白して釈放され、相手は黙秘して ��年の実刑を受ける'よりも、不利な結果を招く。これは本当に合理的な戦略の帰結といえるのか。

黙秘支持の意見# 各容疑者は二人とも合理的行為者であることを知っている。ならば同じ行為 &黙秘-黙秘か自白-自白'をとるはずである。したがって &黙秘-黙秘'こそが合理的選択である。

反論# 相手が黙秘を貫くと知っているならば、自分は自白して釈放された方がよい。しかし、そのような合理的選択は相手も考えるだろう。すると &自白-自白'になってしまう。二人とも同じ選択ならば &黙秘-黙秘'の方が刑は軽い。したがって、黙秘を選択する。こうして、話は元に戻ってしまう。これがジレンマと言われる所以である。 合理的行為が必ずしも最

良の結果を招くわけではなく、不合理でも成功する場合はありうる

� �線型計画法、ゲーム理論� �

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�� 線型計画法

問 日本の米の産地を �� �� � � � ��と番号付けし、第 �番の産地で生産される米の量を ���.��とする。生産された米は全国各地に配られ、各都道府県�第 �~第 � 消費地�ごとに ��� ��� � � � � ��� �.�� ずつ消費される。第 �産地から第 � 消費地に輸送される米の量を ����.��とする。コストは �.�あたり ��� 円かかる。このとき$ 制約条件���������������

������

��� �� �� �� �� � � � ���

�����

��� �� �� �� �� � � � � � �

��� � �� �� �� � � � ��� � �� �� � � � � � �

のもとで$ 総輸送コスト � �

������ ������

������ を最小にせよ。

産地 産地消費地 消費地

���

���

��� ���

����

���

���

���

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

�� ��

��� ���

���

���

���

���

���

���

���

���

� �線型計画法� �

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�� 線型微分方程式

おもりの質量を� $ 時刻 �での変位を ����とする。

����

床は滑らかであるとしたとき$

/.� の法則:� ������ �ばねの反撥力は変位に比例�

���� の運動方程式:� �������

����力は加速度に比例�

より$

�������

��� ������

ここで$ � ���� とおくと$

������

���" ������ � � � � � � � ��

となる。0���と ����は �Æ�式を満たす。つまり$ 解である。更に、

加法: 0���" ����

スカラー倍:� 0���� � ����

も �Æ�式の解である。即ち$ �Æ�式の解全体の集合は

線型演算=和と実数倍

について閉じている。

� �解空間= ��次元�線型空間ということである。� �

��

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��� 単回帰分析 �最小自乗法�

�変量の�個のデータ ���� ���� ���� ���� � � � � ���� ���の散布図の観察から$�を原因 �の結果であると想定して$ その関係を直線

�� �" ��� " �� �� �� �� � � � � �� � � � � � � ���として表現することを$ 単回帰分析 �直線回帰$ 線型回帰�と呼ぶ。ここで$��は ��では説明できな誤差項である。

例� 下図は$ �を脳硬塞による死亡者数$ �を年齢 ��歳以上人口とした散布図である。

さて$

���

�����

��

� � � �

�� ��

� �����

� ��

� � � �

��

�� �

���

�����

��

� �とおくと$ 式 ���は

� �� " �

となる。

�は説明が難しい誤差データであるから$

� ���� �� ����� ��

���

���

�����

��� � ��" ������

とおいたとき$ �はできるだけ小さい方が望ましい。最小の �を達成するような �� �を

��

���

��

�とするとき$ 直線

� �� " ���

を回帰直線と呼ぶ。� �最小自乗法、回帰分析(統計学、多変量解析学)� �

��

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��� 主成分分析

�人の生徒の英語と数学のテストの点数表 �共に$ ���点満点�。英語のテストは ��点× �問であった。

生徒 英語 ��� 数学 ���� �� ��

� �� ����

������

� �� �����

������

� �� ��

全体を見ると$ 英語の点数は � �� ���$ 数学は �� �� ��のように分布していた。

単純に合計 � �" �をとると$ 数学の比重は英語の �問分になってしまう。だから$ 例えば$ � �" ��とし$ 重み付き合計点を計算してやる方が�� �の総合特性値としてはより適切であろう。一般に$ � �� " ��とし$��平面上の散布図で$ 分散が一番大きい方向を �方向とするような �� �を見つける。この方法を主成分分析法という。

�� �のそれぞれの分散と �� �の共分散をそれぞれ ��� ��� �� とする。即ち$

�� �

�����

��� � ���� �� �

�����

��� � ���� �� �

�����

��� � ����� � ��

である。分散共分散行列を ! とし$ � ��" ��としたときの係数を �とする:

!

� �� ��

�� ��

�� �

��

��

このとき$ � ��" ��の分散 ��は

�� ��! �

と表される。実は �ラグランジュの未定乗数法より�$ 条件 ���� �のもと$ 分散 ��を最大にする �は$ ! の最大固有値 "�に属する固有ベクトル

��

���

��

�であることがわかる。また$ そのときの分散は �� "� で

ある。

よって$ 分散が十分に大きかったら$ 重み付きの和 � ���"���が �と�の総合特性値として適切であることがわかる。

� �固有値、主成分分析(統計学、多変量解析学)� �

��

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��� 座標の変換

�次方程式

��

��"��

�� � �� # � # �� � � � � � � ���

が長径 ��$ 短径 ��の楕円の式を表すことはよく知られているが、�次方程式

�� � �� " �� � � � � � � � ��

も楕円を表すことは、すぐにはわからない。実は、下図のように、見慣れた楕円を回転させただけの式である。

� ����

��

��

楕円 �� � �� " �� �(左)と楕円���

� ���

"���

� ���

�(右)

��座標系における式 �Æ�は、座標(視点)を変換することにより、����座標系においては標準形 ���となる:

���� ���

"���

� ���

このような変換の方法(��$ ��の見つけ方)は行列の固有値問題と密接に関わりあっている。この変換の方法を学ぶと、与えられた一般の �次式から、�次曲線(楕円、双曲線、放物線)や、�次曲面(楕円面、放物双曲面、回転放物面)などを「完全に」分類することができる。

� �基底の変換、固有値、対角化� �

��

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��� 高次元化(ベクトル)

統計学では �つの尺度(名義$ 順序$ 間隔$ 比)に注意を払っている。 名義尺度:男�女、大人�子供、持家�借家順序尺度:試験の点数、住みやすさ、アンケートの評価間隔尺度:℃などの温度、時刻比尺度:長さ、重さ、時間の経過、絶対温度

「0�」や「.�」などの比尺度は四則演算可能だが$「個」や「点」などの尺度を扱うときには注意を要する。たとえば$

人参 �個"消しゴム �個"ボール ��個�

という計算はナンセンスなのである。それと同様に$

英語 ��点"数学 ��点"理科 ��点"社会 ��点�

という計算も本来は無理がある。これは$

「英語 甲+数学 乙+理科 丙+社会 甲」$ もしくは「英語 )+数学 1+理科 2+社会 )」

という計算ができないことからも分かる。ましてや平均なんぞ取れない。 点数は本来順序尺度である。つまり、大小関係のみ比較することができる。

本来は$ 座標軸をかえる必要がある。つまり$ ベクトルとして$�英語数学理科社会

� � ���

��

��

��

� �と表現されるのが正しい。

� �このように高次元への飛躍は容易である。上の例は、�次元空間内のベクトルである。� �

��

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��� 線型近似 ���� 非線型の世界

● 線型近似=拡大すると直線に近付く

� ����

��

微分 �� � �������� も線

型!

● 非線型の例:コッホ 30� 曲線(拡大しても拡大してもギザギザ)

Wed Apr 17 03:45:13 1996 Wed Apr 17 03:45:21 1996 Wed Apr 17 0

� �フラクタル図形� �

��