線型代数学の概観 - miyazaki-u.ac.jp · 鶴亀算から連立 次方程式へ...
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線型代数学の概観 ���������� �� 矢崎
目 次
�� 線型代数学とは � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 線型性の例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ � � � � � � � � � � � � �
�� ����の講義から � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 補間多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� ��パズル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� 囚人のジレンマ ���� �������� �������� � � � � � �
�� 線型計画法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 線型微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 単回帰分析 �最小自乗法� � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 主成分分析 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 座標の変換 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 高次元化(ベクトル) � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 線型近似 ���� 非線型の世界 � � � � � � � � � � � � � ��
�� 線型代数学とは
● 線型とは、線形、�次、リニア ����� と同義で、直線 �������� ��� を語源とする。�次式
� ��
は正比例の関係、例えば、
�を �倍 � �も �倍
であるような関係を式で表したものである。
! � �
�
��
�
�
� ��
���� ��とおくと、
����� �����
���� " ��� ����� " ������ � � � � � ���
という関係を満たす。
係数 �は現れない!
例� 時給 ��円とは、�時間働くと ��円の給料がもらえることを意味する。したがって、�時間働くと ���円もらえる。これを ���� ���と書くことにすれば、�日 �時間労働を �日間続けた場合、総労働時間は �� �時間であるから、もらえる給料は ���� ��である。一方、�日 ����円の給料を �日分もらえるとも考えられるから、結局、
���� �� �����
が成り立つ。また、昨日は �時間、今日は �時間働いたとすると、�日間
���円は現れない!
でもらえる給料は ����" ����であるが、これは �"�時間働いた給料に等しい:
���� " ���� ��� " �� ���円は現れない!
性質 ���を線型性と呼ぶ。
● 代数学とは、集合の演算に関する「構造」を調べる、もしくは、数学的構造を有する集合を調べる学問である。
例� 実数全体の集合 � と行列全体の集合� では乗法に関して「構造」が異なる:
�� � � � # �� ��� � �� # �
�
�� 線型性の例
横の長さ �$ 縦の長さ �の長方形の面積 ���� �� ��は、横の長さ �について線型である:
�
� �
��
�
�
�� �� �� " ��
"
つまり、
����� �� ����� ��
���� " ��� �� ����� �� " ����� ��
という関係を満たす。
�を無視すると、� は �に
ついて線型
同様に、縦の長さ �についても線型である。
注� � は �と �の双方について線型であるので、双線型(�重線型、バイリニア %������)と呼ばれる。
次に &非線型=線型でない'例を見てみよう。
例� 半径 �の円の面積 ����は、半径 �について線型でない。 ���� � ���
��
��� �
� �� � " ��" �
つまり、
����� � �����
��� " ��� � ���� " �����
という関係になっている。
�
�� 鶴亀算から連立 �次方程式へ
つるかめ算~小学生
問 鶴と亀が合わせて 匹いる。足の数は合計 ��本。それぞれ、何匹ずついるか。
答 図を用いて解いた。全部亀とすると。。。
7
24
20
問題も苦しいが、解法の意味も苦しい。
連立 �次方程式~中学 �年
問 郵便小包を出そうと思い、料金を調べたら ���円だった。��円切手と��円切手を組み合わせて ��枚はり、���円になるようにするには、�種類の切手をそれぞれ何枚はればよいですか。
答 未知数を �� �とおき、連立 �次方程式を立て、加減法、代入法、等置法などを用いて解いた。
� �加減法、代入法、等置法など、どんな解法で解いても正しい答えを得ることができる。つまり、解法によらず解は一致する。なぜか。� �
�
�� ����の講義から
����の学生だった(����が「)���������� *���������」として講義録を出版 �� � �。
問 以下の �� � �の �個の変量の間に成り立つ関係式を求めよ。
��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。��匹の牛は ��日で �箇所の牧場の牧草を食べ尽くす。
ただし$ 全ての牧場の餌の収穫高は等しく$ 毎日成長する牧草の量は不変であり$ また$ どの牛も毎日同一量の餌を食べると仮定する。
答 牧場の最初の餌の量を �$ 毎日成長する牧草の量を �$ 牛が毎日食べる牧草の量を �とおく。このとき$ 次の連立 �次方程式が成り立つ。
��" �� �� � ����� ��
��" �� �� � ����� ��
��" �� �� � ����� ��
もちろん � � � �という自明な解は面白くないので、自明解以外の解があるための条件が必要であり、それは、�$ �$ �を消去して
�������� � � �� �� " �� �� ����� � ������ ���� � ���� � ���
となる。
� �
この条件式は、行列式を用いると
������� � �� � ����� � �� � ����� � �� � �����
������� � のように、簡明に表現できる。� �
�
�� 補間多項式
��平面上の �点 ���� ���� ���� ���の �座標が異なるとき、
� �� " ���
という形の直線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。
同様に、�点 ���� ���$ ���� ���$ ���� ���の �座標が全て異なるとき、
� �� " ���" ����
という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはただ一つ定まる。
例� �個の点を通る �次式 � �� " ���" ���� " � � �" ���
�はただ一つに定まる。
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1 0 1 2 3
問 一般に、�個の点 ���� ���� � � � � ���� ���の �座標が全て異なるとき、
� �� " ���" ���� " � � �" �����
���
という形の曲線の中で、これらの �点を通るものはちょうど �本あることを示せ。
� �ファン・デル・モンド �� +�� ,+� の行列式を用いて証明できる。� �
�
�� ��パズル
��パズルとは、�辺 � の正方形の駒 ��個を、�辺 �� の正方形の盤上に互いに重ならないように並べ、空いた �マスを利用して駒を上下左右に動かしながら、求められた配置に駒を並べ替るゲームである。
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
問 ルール通りに駒を動かして、上図の配置を、下図の ���あるいは �%�の配置に変えることはできるか?
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 15 14
���
1 2 6 7
3 5 8 13
4 9 12 14
10 11 15
�%�
� �&置換'の概念を学ぶと容易に解決できる。� �
� 囚人のジレンマ ���� �������� ��������
�人の容疑者 $ が共犯容疑で捕まっている。黙秘か自白かによって$以下のような実刑年数が科せられる。
� 黙秘 自白黙秘 ��� � � �����自白 �� � �� ��� � �
問 個別に尋問されているとき$ $ はそれぞれどのような行動を取るべきか。ただし、以下を仮定しておこう。
仮定 � 各容疑者は、自分に対して最も軽い判決が下されることのみ関心がある。
仮定 � 各容疑者は、相棒が仮定 �を満たす人物で、かつ合理的な行為者であることを知っている。
仮定 � 各容疑者は、相棒がとりそうな行動に関して、仮定 �以外の情報は何も得られない。
答 に科せられる実刑年数の行列は、��� ���� ��
�
であり、各行の最小値かつ各列の最大値となる場合が最適戦略である。つまり、自白した方がよい。
とはいうものの、この戦略は、達成可能な最良の結果 &自分は自白して釈放され、相手は黙秘して ��年の実刑を受ける'よりも、不利な結果を招く。これは本当に合理的な戦略の帰結といえるのか。
黙秘支持の意見# 各容疑者は二人とも合理的行為者であることを知っている。ならば同じ行為 &黙秘-黙秘か自白-自白'をとるはずである。したがって &黙秘-黙秘'こそが合理的選択である。
反論# 相手が黙秘を貫くと知っているならば、自分は自白して釈放された方がよい。しかし、そのような合理的選択は相手も考えるだろう。すると &自白-自白'になってしまう。二人とも同じ選択ならば &黙秘-黙秘'の方が刑は軽い。したがって、黙秘を選択する。こうして、話は元に戻ってしまう。これがジレンマと言われる所以である。 合理的行為が必ずしも最
良の結果を招くわけではなく、不合理でも成功する場合はありうる
� �線型計画法、ゲーム理論� �
�
�� 線型計画法
問 日本の米の産地を �� �� � � � ��と番号付けし、第 �番の産地で生産される米の量を ���.��とする。生産された米は全国各地に配られ、各都道府県�第 �~第 � 消費地�ごとに ��� ��� � � � � ��� �.�� ずつ消費される。第 �産地から第 � 消費地に輸送される米の量を ����.��とする。コストは �.�あたり ��� 円かかる。このとき$ 制約条件���������������
������
��� �� �� �� �� � � � ���
�����
��� �� �� �� �� � � � � � �
��� � �� �� �� � � � ��� � �� �� � � � � � �
のもとで$ 総輸送コスト � �
������ ������
������ を最小にせよ。
産地 産地消費地 消費地
���
���
��� ���
����
���
���
���
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
��� ���
���
���
���
���
���
���
���
���
� �線型計画法� �
�
�� 線型微分方程式
おもりの質量を� $ 時刻 �での変位を ����とする。
����
床は滑らかであるとしたとき$
/.� の法則:� ������ �ばねの反撥力は変位に比例�
���� の運動方程式:� �������
����力は加速度に比例�
より$
�������
��� ������
ここで$ � ���� とおくと$
������
���" ������ � � � � � � � ��
となる。0���と ����は �Æ�式を満たす。つまり$ 解である。更に、
加法: 0���" ����
スカラー倍:� 0���� � ����
も �Æ�式の解である。即ち$ �Æ�式の解全体の集合は
線型演算=和と実数倍
について閉じている。
� �解空間= ��次元�線型空間ということである。� �
��
��� 単回帰分析 �最小自乗法�
�変量の�個のデータ ���� ���� ���� ���� � � � � ���� ���の散布図の観察から$�を原因 �の結果であると想定して$ その関係を直線
�� �" ��� " �� �� �� �� � � � � �� � � � � � � ���として表現することを$ 単回帰分析 �直線回帰$ 線型回帰�と呼ぶ。ここで$��は ��では説明できな誤差項である。
例� 下図は$ �を脳硬塞による死亡者数$ �を年齢 ��歳以上人口とした散布図である。
さて$
�
���
�����
��
� � � �
�� ��
� �����
� ��
� � � �
��
�
�� �
���
�����
��
� �とおくと$ 式 ���は
� �� " �
となる。
�は説明が難しい誤差データであるから$
� ���� �� ����� ��
���
���
�����
��� � ��" ������
とおいたとき$ �はできるだけ小さい方が望ましい。最小の �を達成するような �� �を
��
���
��
�とするとき$ 直線
� �� " ���
を回帰直線と呼ぶ。� �最小自乗法、回帰分析(統計学、多変量解析学)� �
��
��� 主成分分析
�人の生徒の英語と数学のテストの点数表 �共に$ ���点満点�。英語のテストは ��点× �問であった。
生徒 英語 ��� 数学 ���� �� ��
� �� ����
������
� �� �����
������
� �� ��
全体を見ると$ 英語の点数は � �� ���$ 数学は �� �� ��のように分布していた。
単純に合計 � �" �をとると$ 数学の比重は英語の �問分になってしまう。だから$ 例えば$ � �" ��とし$ 重み付き合計点を計算してやる方が�� �の総合特性値としてはより適切であろう。一般に$ � �� " ��とし$��平面上の散布図で$ 分散が一番大きい方向を �方向とするような �� �を見つける。この方法を主成分分析法という。
�� �のそれぞれの分散と �� �の共分散をそれぞれ ��� ��� �� とする。即ち$
�� �
�
�����
��� � ���� �� �
�
�����
��� � ���� �� �
�
�����
��� � ����� � ��
である。分散共分散行列を ! とし$ � ��" ��としたときの係数を �とする:
!
� �� ��
�� ��
�� �
��
�
��
このとき$ � ��" ��の分散 ��は
�� ��! �
と表される。実は �ラグランジュの未定乗数法より�$ 条件 ���� �のもと$ 分散 ��を最大にする �は$ ! の最大固有値 "�に属する固有ベクトル
��
���
��
�であることがわかる。また$ そのときの分散は �� "� で
ある。
よって$ 分散が十分に大きかったら$ 重み付きの和 � ���"���が �と�の総合特性値として適切であることがわかる。
� �固有値、主成分分析(統計学、多変量解析学)� �
��
��� 座標の変換
�次方程式
��
��"��
�� � �� # � # �� � � � � � � ���
が長径 ��$ 短径 ��の楕円の式を表すことはよく知られているが、�次方程式
�� � �� " �� � � � � � � � ��
も楕円を表すことは、すぐにはわからない。実は、下図のように、見慣れた楕円を回転させただけの式である。
�
� ����
��
��
楕円 �� � �� " �� �(左)と楕円���
� ���
"���
� ���
�(右)
��座標系における式 �Æ�は、座標(視点)を変換することにより、����座標系においては標準形 ���となる:
���� ���
"���
� ���
�
このような変換の方法(��$ ��の見つけ方)は行列の固有値問題と密接に関わりあっている。この変換の方法を学ぶと、与えられた一般の �次式から、�次曲線(楕円、双曲線、放物線)や、�次曲面(楕円面、放物双曲面、回転放物面)などを「完全に」分類することができる。
� �基底の変換、固有値、対角化� �
��
��� 高次元化(ベクトル)
統計学では �つの尺度(名義$ 順序$ 間隔$ 比)に注意を払っている。 名義尺度:男�女、大人�子供、持家�借家順序尺度:試験の点数、住みやすさ、アンケートの評価間隔尺度:℃などの温度、時刻比尺度:長さ、重さ、時間の経過、絶対温度
「0�」や「.�」などの比尺度は四則演算可能だが$「個」や「点」などの尺度を扱うときには注意を要する。たとえば$
人参 �個"消しゴム �個"ボール ��個�
という計算はナンセンスなのである。それと同様に$
英語 ��点"数学 ��点"理科 ��点"社会 ��点�
という計算も本来は無理がある。これは$
「英語 甲+数学 乙+理科 丙+社会 甲」$ もしくは「英語 )+数学 1+理科 2+社会 )」
という計算ができないことからも分かる。ましてや平均なんぞ取れない。 点数は本来順序尺度である。つまり、大小関係のみ比較することができる。
本来は$ 座標軸をかえる必要がある。つまり$ ベクトルとして$�英語数学理科社会
� � ���
��
��
��
� �と表現されるのが正しい。
� �このように高次元への飛躍は容易である。上の例は、�次元空間内のベクトルである。� �
��
��� 線型近似 ���� 非線型の世界
● 線型近似=拡大すると直線に近付く
� ����
��
微分 �� � �������� も線
型!
● 非線型の例:コッホ 30� 曲線(拡大しても拡大してもギザギザ)
Wed Apr 17 03:45:13 1996 Wed Apr 17 03:45:21 1996 Wed Apr 17 0
� �フラクタル図形� �
��