Wykład 8

13 ma rca 2003 Reinhard Kulessa 1

Wykład 86.1 Energia potencjalna jednorodnie naładowanej kuli –

jądro atomowe

Jednorodnie naładowana kula ma następujący rozkład gęstości:

Rrr

RrR

Zer

dla0)(

dla

34

)(30

Wystartujmy z równania Poissona.0

)()(

r

rV

Ze względu na symetrię sferyczną omawianego problemu


Potencjał którego szukamy zależy tylko od r.Równanie Poissona w układzie sferycznym ma postać:

0

22

)())((

1

r

rVdr

dr

dr

d

r (6.12)

Rozważmy najpierw przypadek rR dla którego (r) =0.Rozwiązanie równania Poissona da wynik:

21

12 )(

r

C

dr

dVCrV

dr

dr

W celu wyznaczenia stałej C1 posłużmy się prawem Gaussa;


R’

Promień kuli R < R’.

Otoczmy naładowaną kulę czaszą kulistą o promieniu R’

Zgodnie z Prawem Gaussa mamy:

00

2'4)(

ZeQRRE

Korzystając z faktu, że na granicy naładowanej kuli i obszaru nie naładowanego natężenie pola powinno być ciągłe, mamy:

24)(

R

ZeRE

o

Wiedząc, że 21

R

CE

dr

dVR

R


Otrzymujemy więc wartość stałej 0

1 4Ze

C .

Możemy więc przystąpić do drugiego całkowania co daje nam;

20

2

1

44)( C

r

Ze

r

drZerV

o

Ponieważ dla V0 gdy r musi być C2=0.Potencjał w odległości r od jednorodnie naładowanej kuli jest więc równa:

r

ZerV

04)(

(6.13)

Zajmiemy się teraz drugim przypadkiem dla rR, gdzie (r) = 0.


Musimy więc scałkować równanie (6.12).

2

0

2 )(r

dr

rdVr

dr

d o

Pierwsze całkowanie daje po krótkich przekształceniach:

23

0

0

3)(

r

CrrV

dr

d

Drugie całkowanie daje:

432

0

0

6)( C

r

CrrV

Ze względu na to, że potencjał V(r) dla r0 powinien mieć skończoną wartość, wynika, że C3=0.


Zakładając, że mamy do czynienia z jądrem o Z protonach możemy do ostatniego wzoru wstawić wyrażenie na gęstość ładunku: , otrzymamy wtedy:

30

34 R

Ze

430

2

8)( C

R

ZerrV

Stałą C4 policzymy wiedząc, że potencjał dla r R i r R musi dla r=R być taki sam. Mamy wtedy, korzystając m.in. z wzoru (6.13) :

R

ZeCC

R

ZeR

R

Ze

0443

0

2

0 8

3

84

Otrzymujemy więc na potencjał dla r R wyrażenie:


38

3)(

22

30

2 rR

R

ZeRrV

(6.14)

r

V

R

R

Ze

08

3

parabola

hiperbola

Poniższy rysunek podaje przebieg potencjału w odległości r od jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R.

Jest to dobre przybliżenie potencjału jądra atomowegostosowane m.in. w rozproszeniu sprężystymprotonów na jądrze atomowym


6.2 Energia kulombowska jądra atomowego

Energię tą otrzymamy w oparciu o wzór (6.6) wstawiając do niego otrzymany właśnie wyrażenie na potencjał (6.14) pochodzący od jednorodnie naładowanej kuli.Obliczenie wykonamy we współrzędnych sferycznych. Wtedy:

R

R

coul

rRrR

Ze

drr

RR

ZerddE

0

5233

00

22

30

2

0 0 0

20

35

1

3

1

8

322

2

1

38

3sin

2

1

Po uproszczeniach i wstawieniu wyrażenia na 0 otrzymujemy:

R

ZeEcoul

1

20

3

0

2

(6.15)


We wzorze (6.6) uwzględniane są oddziaływania pomiędzy wszystkimi ładunkami. Musimy więc odjąć odjąć energie własne wszystkich protonów, które mają ładunek Z=1, czyli

R

eZ

0

2

20

3)1(

Energia kulombowska jądra jest więc równa różnicy wartości podanej we wzorze (6.15) i powyższej wartości. Na energie kulombowską jądra atomowego otrzymujemy więc wartość:

)1(20

3

0

2

ZZR

eEcoul

(6.16)

W oparciu o ten wzór można oszacować promień jądra w przypadku jąder zwierciadlanych, czyli takich dla których A1=A2 , Z1=N2 i Z2=N1.


Weźmy dla przykładu dwa jądra zwierciadlane i . Różnica energii kulombowskich tych jąder jest równa;

61155

116 BC

R

eZEZEE coulcoul

0

2

2

3)()1(

Otrzymujemy po podstawieniu wartości E=8.64/R [MeV]. Doświadczalnie zmierzona różnica energii (różnica mas) dla podanych jąder wynosi E=2.786 MeV. Możemy stąd wyznaczyć wartość promienia jądra o liczbie masowej A=11.

Na wartość promienia otrzymujemy:

fmAfmR 31

394.110.3

Jakie z tych rozważań możemy wyciągnąć wnioski?


I. Możemy te rozważania uważać za potwierdzenie praw elektrostatyki dla zjawisk na odległościach r10-13 cm, mimo, że oceniona wartość promienia jest ok.. 15% większa niż otrzymana innymi metodami. W naszych ocenach nie uwzględniliśmy pewnych efektów, które należy rozważać na gruncie mechaniki kwantowej.

II. Drugi wniosek wychodzący poza elektrostatykę to fakt, że zaniedbanie różnicy oddziaływań silnych n-p, p-p i p-n daje mały wpływ na promień jądra , co oznacza niezależność ładunkową oddziaływań silnych.

Fakt ten w naszym przypadku jest potwierdzony przez bardzo dobrą zgodność poziomów energetycznych energetycznych rozważanych jąder zwierciadlanych.


7.99 7.30

6.816.76

5.034.46

2.14

0

7.50

6.906.49 6.35

4.814.32

2.00

0

B11 C11


6.3 Klasyczny promień elektronu

Wzór (6.15) podający energię kulombowską jednorodnie naładowanej kuli, możemy wykorzystać do oszacowania tzw. „klasycznego promienia elektronu”. Załóżmy, że elektron jest kulką o promieniu R jednorodnie wypełnionyładunkiem Q. Oszacowania tego dokonamy przyrównującEnergię kulombowską elektronu, do energii jego masy spoczynkowej. Otrzymamy wtedy:

2

2

00

22

20

3

20

3

cm

QR

R

Qcm

e

ee

e

e

e

Jeżeli elektron byłby kulą o promieniu R lecz przewodzącą, to ładunek skupiłby się na powierzchni, wtedy;


2

2

00

22

8

1

8

1

cm

QR

R

Qcm

e

ee

e

e

e

Mamy więc niepewność dotyczącą rozłożenia ładunku w elektronie. Doświadczenie wskazuje jednak, że aż do rozmiarów 10-18 w procesie anihilacji e+ - e- cząstki te są punktowe.Jako klasyczny promień elektronu definiuje się jako:

mcm

Qr

e

ee

152

2

0

108179.24

1

Powyższa wielkość jest właściwie oceną obszaru w którym znajduje się ładunek elektronu, a nie promienia elektronu.


6.4 Energia własna dipola

Energię własną dipola możemy prosto policzyć w oparciu o wzór (6.5).

-Q

+Q

L

Ładunek ujemny znajduje się w potencjale ładunku dodatniego L

QV

01 4

Ładunek dodatni znajduje się w potencjale ładunku ujemnego

L

QV

02 4

Na energię elektrostatycznnna dipola otrzymujemy:

.

.

L

Q

L

Q

L

QW

0

2

0

2

0

2

4442

1


Energia ta zmienia się w sposób monotoniczny i nie ma ekstremów. Układ ten jest stabilny tylko wtedy, gdy ładunki pozostają w stałej odległości od siebie.


6.5 Energia elektrostatyczna kryształu jonowego

Rozważmy jako przykład kryształ soli kuchennej NaCl. Dodatnie jony sodu i ujemne jony chloru tworzą regularną kubiczną sieć krystaliczną w którym jony te są ułożone naprzemiennie tak jak na poniższym rysunku.

Cl

Na281 Å

Doświadczalna energia rozdzielenia kryształu NaCl na jony Na+ i Cl- wynosi 7.92 eV.

1 eV = 1.602 10-19 J

Energia rozdzielenia jednego mola (N=6.02 1023 cząstek) wynosi W= 7.64 105 J/mol = 183 kcal/mol.


Czy możemy tą energie policzyć? Zgodnie z naszą teorią praca ta jest sumą energii potencjalnych wszystkich par jonów. A energia jednej pary jonów wynosi

0

22

2

0

2

4

1

4 q

ugdziea

u

a

qW Energia ta wynosi

5.12 eV.

Musimy zsumować przyczynki pochodzące od wszystkich jonów.

Zaczynając od środkowego jonu Na+ otrzymujemy:

Na+


eVa

uW 94.8

3

8

2

126

2

Wynik ten jest 10% większy od doświadczalnego. Jednak nasze przypuszczenie że sieć krystaliczna jest utrzymywana w całości przez siły kulombowskie jest słuszna. Różnica pomiędzy wielkością obliczoną a doświadczalna bierze się z nieuwzględnienia sił odpychających, które rosną gdy r maleje, oraz od innych przyczynków.

Wykład 8

Documents

Transcript of Wykład 8