Metody analizy decyzji

Wykład 8 – oczekiwana wartość opcji i doskonałej informacji

Cele dzisiejszego wykładu

• Analiza wrażliwości w sekwencyjnych problemach decyzyjnych– zmiana parametru– wartość opcji– oczekiwana wartość doskonałej informacji

3

Wadliwy produkt – przypomnienie

4

• Jak optymalne rozwiązanie zależy od prawdopodobieństwa tego, że skala problemu jest duża?– wpływ na oczekiwaną stratę– wpływ na optymalność wariantów

• Rozwiązanie:– w praktyce – oprogramowanie– teraz – analiza wypłat dla poszczególnych wariantów

• cztery warianty do analizy

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

5

• Oznaczmy Pr(duża skala)=x, (wyjściowo x=40%)

• Oczekiwana wartość poszczególnych wariantów:– EV(zignorować)=-150x– EV(upublicznić)=-100x-30(1-x)-1– EV(badać, upubliczniać)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-100x)-5– EV(badać, ignorować)= 20%*(-150x-80(1-x)) + 80%*(-150x)-5

• Po uproszczeniu kolejno:– -150x– -70x-31– -94x-21– -134x-21

• Łatwe analityczne rozwiązanie wartości x zrównujących warianty

Wpływ prawdopodobieństwa dużej skali problemu

6

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-5035% 36% 37% 38% 39% 40% 41% 42% 43% 44% 45%

EV1 EV2 EV3 EV4

Wpływ parametru na wypłaty dla wariantów jest liniowy, ale wpływ na optymalną wypłatę dla problemu nieliniowy!!!

7

• Często bardziej skomplikowane wyrażenia (Bayes) + więcej wariantów

Jednoczynnikowa analiza wrażliwości

8

• Jaka wartość możliwości prowadzenia badań?• Ile maksymalnie warto zapłacić za badania?

Wartość opcji (1/3)

75 tysięcy $

9

• Jaka wartość możliwości ukrycia negatywnych wyników i sprzedaży pola?

Wartość opcji (2/3)

10

• Strategia – rozwiąż bez opcji i porównaj oczekiwane wypłaty

Wartość opcji (3/3)

12

x u(x)=ln(x) Pr.

1-D … 40%

2-D … 50%

3-D … 10%

średnia 0,428

• Wybór wielokryterialny, np.:

• Wybór w warunkach ryzyka

Wartość opcji a rozważane wcześniej klasy modeli

WariantOcena (wartości atrybutów)

Funkcja wartościCena

skorygowanaMaks.

prędkość Przysp. Poj. bagażnika Moc

Fiat Punto Dynamic 68 600 172 11,4 295 80 29 900

Dodge Caliber S/SE 93 000 185 11,9 296 150 44 600WAGA -1 500 -5000 100 500

x u(x)=ln(x) Pr.1 0 50%2 0,69 30%3 1,1 20%

średnia 0,428 -

x u(x)=ln(x) Pr.

1 0 40%

2 0,69 50%

3 1,1 10%

średnia 0,456

x u(x)=ln(x) Pr.

0,959 -0,04 40%

1,959 0,67 50%

2,959 1,08 10%

średnia 0,428

13

• Rockefeller– policzyliśmy, ile warta jest możliwość prowadzenia badań– a ile warta jest możliwość przeprowadzenia doskonałego testu?

• Strategia:– zapiszmy problem reprezentujący dostępność pewnej wiedzy od początku– rozwiążmy nowy problem– porównajmy oczekiwane wypłaty dla optymalnych wariantów

• Jak reprezentować pewną wiedzę?– rozwiązanie niepewności (ropa jest – nie ma) na początku drzewa– dalsza część reprezentuje wcześniejszą strukturę (czasem można uprościć)– należy zaktualizować parametry drzewa

Oczekiwana wartość doskonałej informacji

14

EVPI – prosty przykład

15

• Jak zależy EVPI [tys.] w poprzednim problemie od:– prawdopodobieństwa wygranej– wartości w przypadku wygranej

EVPI – ćwiczenie 1

Pr. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

EVPI 0 8 16 21 18 15 12 9 6 3 0

wypł. 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

EVPI 9 12 15 18 21 21 21 21 21 21 21

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%0

5

10

15

20

25

Prawdopodobieństwo wygranej

EVPI

10 30 50 70 90 110 130 1500

5

10

15

20

25

Wypłata w razie wygranej

EVPI

17

• EVPI =0, jeśli:– brak niepewności, np. p1=1

– taka sama decyzja dla każdego stanu i, pi>0– (pierwsze to szczególny przypadek drugiego)

Kiedy EVPI=0?

iii

di

iid

iii

iiii

pdVpdV

pVpV

EVPI

)stan,(max)stan,(max

)stan,decyzja()stan),stan(decyzja(

DecyzjeDecyzje

18

• Jaka jest EVPI dot. występowania ropy? (przypomnienie: czułość testu = 90%, swoistość = 70%)

EVPI – ćwiczenie 2

19

20

Wprowadzenie awersji do ryzyka

• Załóżmy, że firma ma W=1000 budżetu wyjściowego• I charakteryzuje się awersją do ryzyka (obawia się

bankructwa)• Jej preferencje względem ryzyka opisane są funkcją log(W+x)

u(W+x)=log(1000-200)

Zmiana decyzji na upublicznić

CE(ignor)=-64,7516 CE(upubl)=-59,6313CE(badac)=-60,1522

Miara ryzykowności• Ktoś oferuje Tobie szansę 50:50 zyskania 120 złotych bądź straty

100 złotych• Czy powinieneś zaakceptować?

– Przed Bernoullim: Akceptuj, bo dodatnia wartość oczekiwana (+10 złotych)

– Po Bernoullim: Niekoniecznie – awersja do ryzyka• Skąd się bierze awersja do ryzyka?

– Dodatnia wartość oczekiwana - DOBRE– Strata 100 złotych z prawd. ½ - ZŁE

• Jak zła jest strata?– Masz w kieszeni 1000 złotych na tego rodzaju gierki – strata mało

dotkliwa: 10 % UBYTKU budżetu– Masz w kieszeni 100 złotych budżetu – strata oznacza BANKRUCTWO

• Załóżmy, że grasz 10 razy w taką loterię.• Prawdopodobieństwo straty całego budżetu jest:– Więcej niż 60% jeśli budżet początkowy = 100 złotych– Mniej niż 0,1% jeśli budżet początkowy = 1000 złotych

• Zatem awersja do ryzyka może brać się z awersji do bankructwa

• Decyzje dotyczące ryzykownych wyborów zależą od budżetu (majątku) – użyteczności DARA

• Miarę ryzykowności można łatwo liczyć:– Analitycznie– Bądź numerycznie

• Ma bardzo dobre właściwości teoretyczne• Ma intuicyjną interpretację i może łatwo

zastąpić inne miary ryzyka stosowane w bankach

• Skala Fahrenheita i Celsiusza(°F - 32) x 5/9 = °C

• Tak samo jest z użytecznością kardynalną, a taka użyteczność wykorzystywana jest w decyzjach w warunkach ryzyka

• Pytanie kontrolne:– Czy przedstawione poniżej użyteczności są

kardynalne? Jeśli, to które są ordynalne?

100 212

0 32

Fahr

enhe

it

Cels

iusz

A1 A2 A3 A4u 1,0 0,6 0,2 0,0u' 1,6 0,8 0,0 -0,4

A1 A2 A3 A4v 1,0 0,7 0,3 0,0v' 20 0,8 -17 -17,1

A1 A2 A3 A4s 1,0 0,7 0,3 0,0s' 1,1 1,2 3,2 2,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25