WYKŁAD 8. Siła spójności

• Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G.

• Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych spójności niż G.

Cięcia

• Mówimy, że zbiór X wierzchołków (krawędzi) grafu G jest cięciem wierzchołkowym (krawędziowym) grafu G, gdy podgraf G-X jest niespójny.

• Jeśli wierzchołki u i v należą do różnych składowych spójności podgrafu G-X, to mówimy, że cięcie X rozspójnia u i v w G.

Wierzchołki i krawędzie cięcia

• Jeśli X={v} rozspójnia dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia.

• Krawędź, która rozspójnia swoje końce, to krawędź cięcia.

• Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1-elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe), ale odwrotnie być nie musi (podać kontrprzykład).

k-Spójność

• Dla k 0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i G nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k.

• Każdy graf jest 0-spójny.

• Każdy spójny graf oprócz K_1 jest 1-spójny.

• Spójny graf G jest 2-spójny, gdy |V(G)|>2 i G nie ma wierzchołka cięcia.

Charakteryzacja grafów 2-spójnych

Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn.

istnieje ciąg grafów H_1,...,H_l, gdzie H_1 jest cyklem, H_l=G i dla każdego i=2,...,l graf H_i jest sumą H_{i-1} i ścieżki P_i o końcach u_i i v_i takiej, że

},{)()( 1 iiii vuHVPV

Dowód na ćw.

Ilustracja

H_{i-1} P_i

Stopień spójności

• Dla k 0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i G nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k.

• Stopień spójności κ(G) to największa liczba całkowita k taka, że G jest k-spójny.

• Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny; κ(K_n)=n-1 dla n=1,2,…

• Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G) jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.

Krawędziowa k-spójność

• Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i G nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k.

• Stopień spójności krawędziowej κ’(G) to największa liczba całkowita k taka, że G jest k- krawędziowo-spójny.

• Równoważnie, κ’(G) to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.

Krawędziowa k-spójność a RRD

• Jeśli G ma k RRD (rozłącznych, rozpiętych drzew), to G jest k-krawędziowo-spójny (oczywiste).

• Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)

κ(G), κ’(G), δ(G)

Twierdzenie (Whitney, 1932)

)(' G(G)κκ(G)

Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym

wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe.Lewa nierówność:

Jeśli G=K_n, to κ(G)=κ’(G)=n-1.

Lewa nierówność – c.d.

• W grafie G nie będącym grafem pełnym niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym.

• X można traktować jako zbiór krawędzi dwudzielnego podgrafu grafu G z 2-podziałem V_1, V_2=V(G)-V_1.

• Każda krawędź grafu G pomiędzy V_1 i V_2 należy do X.

V_1 V_2

X

Lewa nierówność – dokończenie

• Ponieważ G nie jest pełny a |X| = κ’(G) δ(G) , to istnieją u w V_1 i v w V_2 takie, że uv nie jest krawędzią w G. (ćw.)

• Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć u i v, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozspójniające u i v) mocy nie większej niż |X|. �

Ilustracjav

ud(u)=δ

V_1 V_2

X

Niezależne ścieżki

• Dwie u-v ścieżki (czyli ścieżki z u do v) nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce u i v.

• Jeśli istnieje k parami niezależnych u-v ścieżek, to każde cięcie wierzchołkowe rozspójniające u i v musi mieć moc co najmniej k.

Tw. Mengera dla pary wierzchołków

Tw.1 (Menger, 1927). Niech a i b będą wierzchołkami grafu G.

(i) Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego cięcia wierzchołkowego, rozspójniającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek.

(ii) Moc najmniejszego cięcia krawędziowego rozspójniającego a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Globalne Tw. Mengera

Tw 2. (Menger, 1927)(i) Graf jest k-spójny (tzn.|V(G)|>k i G nie ma cięcia

wierzchołkowego mocy mniejszej niż k) wgdy zawiera co najmniej k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

(ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny (tzn. |V(G)|>1 i G nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k) wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

Dowód Tw. 2(i)

Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k.

Zatem G jest k-spójny.� Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki

a i b nie połączone k niezależnymi ścieżkami.

.

Dowód Tw. 2(i) c.d.

• Z Twierdzenia 1(i), ab jest krawędzią. • Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2

niezależne a-b ścieżki.• Ponownie z Twierdzenia 1(i), istnieje cięcie

wierzchołkowe X mocy |X| k-2 rozspójniające a i b w G’.

• Ponieważ |V(G)| k+1, to istnieje w G wierzchołek v taki, że

},{ baXv

Dowód Tw. 2(i) dokończenie

• X rozspójnia w G’ wierzchołki v i a lub b (powiedzmy a).

• Wtedy zbiór X powiększony o b rozspójnia w G v i a, co przeczy k-spójności G. �

Dowód Tw. 2 (ii) – ćwiczenia!

Ilustracja

a b

X

v

A-B ścieżki i zbiory rozdzielające

• A,B – dowolne podzbiory V(G)• Ścieżkę P w grafie G o końcach a i b nazywamy

A-B ścieżką, gdy }{)(},{)( bBPVaAPV

• Mówimy, że zbiór wierzchołków X grafu G rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera wierzchołek z X.

Ilustracja

A B

X

Tw. Mengera (1927)

Tw 3. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V(G). Wtedy moc najmniejszego zbioru rozdzielającego A i B równa się mocy największego zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.

Ilustracja

V_1 V_2

Tw. Mengera dla pary wierzchołków

Tw.1 (Menger, 1927). Niech a i b będą wierzchołkami grafu G.

(i) Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego cięcia wierzchołkowego, rozspójniającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek.

(ii) Moc najmniejszego cięcia krawędziowego rozspójniającego a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Dowód Tw. 1 (ćw.)

(i) Zastosuj Tw. 3 do A=N(a) i B=N(b) �(ii) Zastosuj Tw. 3 do grafu krawędziowego

L(G), A=E(a), B=E(b) �

a bAB

Tw. Königa raz jeszcze

Wniosek 1 : Tw. Königa

Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie. �

A B