POLITECHNIKA WARSZAWSKA

INSTYTUT RADIOELEKTRONIKI

ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI

LABORATORIUM SYGNAŁÓW I MODULACJI

Ćwiczenie 2

Temat: SYGNAŁY STOCHASTYCZNE CZASU DYSKRETNEGO I ICH PARAMETRY

Opracowali: dr inż. Kajetana Snopek

mgr inż. Sebastian Wydra

Warszawa 2007

1

CEL ĆWICZENIA

• Opanowanie podstawowych pojęć teorii sygnałów stochastycznych z czasem dyskretnym

• Wyznaczanie podstawowych parametrów sygnałów stochastycznych z czasem dyskretnym

• Analiza korelacyjna i widmowa w oparciu o twierdzenie Wienera-Chinczyna

• Badanie właściwości sygnałów stochastycznych z czasem dyskretnym przy przejściu przez układ liniowy

1. WPROWADZENIE TEORETYCZNE

1.1 Definicja sygnału stochastycznego z czasem dyskretnym

Rozważamy proces losowy ξ[n] określony w dyskretnych chwilach czasowych n∈N ( ZN= lub

{ }0∪N ). Realizacje procesu [ ] [ ] [ ]1 2, , kx n x n x n… to ciągi liczb losowych o różnorodnych rozkładach

prawdopodobieństwa (patrz Rys.1). Dla ustalonej chwili czasowej ni, ξ(ni) jest dyskretną zmienną losową

o wartościach ( ) ( ) ( )1 2, ,i i k ix n x n x n… . Zmienną losową ξ(ni) nazywamy wartością sygnału

stochastycznego ξ[n] w chwili ni.

Sygnał stochastyczny z czasem dyskretnym może być więc przedstawiony jako ciąg zmiennych

losowych:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ), 1 , 0 , 1 , , ,n kξ ξ ξ ξ ξ= −… … …

i określony na zbiorze liczb całkowitych Z lub { }0∪N , lub na zbiorze liczb całkowitych z pewnego

przedziału. Sygnał stochastyczny z czasem dyskretnym opisuje łączna wielowymiarowa funkcja gęstości

prawdopodobieństwa zmiennych losowych ( ) ( ) ( ) ( ), 1 , 0 , 1 , , ,kξ ξ ξ ξ−… … …., jednakże ze względów

praktycznych dla scharakteryzowania sygnałów stochastycznych z czasem dyskretnym posługujemy się ich

momentami.

n

x1[n]

x2[n]

xk[n]

ni

n2 n1

Rys.1 Sygnał stochastyczny jako zbiór realizacji xk[n] lub jako ciąg zmiennych losowych o wartościach

( ) ( ) ( )1 2, ,i i k ix n x n x n… , in ∈N

1.2 Momenty sygnałów stochastycznych z czasem dyskretnym Wartość średnia - deterministyczny ciąg liczbowy µξ(n) o elementach będących wartościami

oczekiwanymi zmiennych losowych ( ) ,n nξ ∈N

( ) ( )n E nξµ ξ= (1)

2

Funkcja autokorelacji – deterministyczny ciąg liczbowy o elementach będących współczynnikami

korelacyjnymi pomiędzy zmiennymi losowymi ( ) ( )1 2 1 2 i , ,n n n nξ ξ ∈N

( ) ( ) ( )1 2 1 2,R n n E n nξ ξ ξ= (2)

Funkcja autokowariancji – deterministyczny ciąg liczbowy o elementach będących współczynnikami

kowariancji pomiędzy zmiennymi losowymi ( ) ( )1 2 1 2 i , ,n n n nξ ξ ∈N

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 1 2 2,C n n E n n n nξ ξ ξξ µ ξ µ = − − (3)

Wartość średniokwadratowa (równa oczekiwanej mocy chwilowej)

( ) ( )2P n E nξ ξ = (4)

Wariancja

( ) ( ) ( ){ }22 n E n nξ ξσ ξ µ = − (5)

1.3 Losowe sygnały stacjonarne z czasem dyskretnym

Losowy sygnał z czasem dyskretnym jest stacjonarny w szerszym sensie, jeżeli jego wartość średnia jest stałą funkcją czasu, funkcja autokorelacji nie zależy od usytuowania punktów n1 i n2 na osi

czasu, a jedynie od odległości między nimi oraz wariancja jest skończona.

( )

( ) ( )1 2 1 2

2

E

, ,

n const

R n n R m m n n

ξ

ξ ξ

ξ

ξ µ

σ

= =

= = −

< ∞

,n m∈N

(6)

Jeżeli sygnał losowy z czasem dyskretnym jest stacjonarny, to:

( )

( )

( ) ( )

2

2

1 2 1 2

E

, ,

n const

n const

C n n C m m n n

ξ

ξ ξ

ξ

σ

=

=

= = − (7)

1.4 Własności momentów losowych sygnałów stacjonarnych z czasem dyskretnym

1. Funkcje autokorelacji i autokowariancji różnią się o stałą

( ) ( ) 2

C m R mξ ξ ξµ= − (8)

2. Funkcje autokorelacji i autokowariancji są parzyste

( ) ( ) ( ) ( ) R n R n C n C nξ ξ ξ ξ= − = −

(9)

3. Wartość funkcji autokorelacji w 0 jest wartością średniokwadratową i jest równa mocy sygnału

( ) ( ) ( )20 ER P nξ ξξ= =

(10)

4. Wartość funkcji autokowariancji w 0 jest wariancją sygnału równą mocy składowej zmiennej

( ) 20Cξ ξσ=

(11)

5. Dla każdego m jest spełnione

3

( ) ( )

( ) ( )

0

0

R m R

C m C

ξ ξ

ξ ξ

≤

≤ (12)

1.5 Interpretacja fizyczna parametrów sygnału stacjonarnego z czasem dyskretnym

2 2 2

P Eξ ξ ξξ µ σ = = + (13)

Rξ(0) – moc sygnału stacjonarnego

Cξ(0) – moc składowej zmiennej

1.6 Losowe sygnały ergodyczne

Dla realizacji x[n] jest zdefiniowana wartość średnia w postaci

[ ] [ ]1

lim2 1

N

Nn N

x n x nN→∞

=−

=+∑

(14)

oraz funkcja autokorelacji w postaci:

( ) [ ] [ ]1

lim2 1

N

xN

n N

m x n x n mN

ψ→∞

=−

= −+∑

(15)

Stacjonarny sygnał z czasem dyskretnym jest ergodyczny ze względu na wartość średnią, jeżeli dla prawie

wszystkich jego realizacji [ ]x n ξµ= oraz jest ergodyczny ze względu na funkcję autokorelacji, jeżeli

dla prawie wszystkich realizacji ( ) ( )x m R mξψ = .

1.7 Odpowiednik twierdzenia Wienera-Chinczyna dla sygnałów z czasem dyskretnym

Widmo mocy charakteryzuje losowy sygnał z czasem dyskretnym w dziedzinie częstotliwości. Dla

procesu losowego stacjonarnego widmo mocy ( )jS e θξ oraz funkcja autokorelacji procesu R ξ(m) tworzą

parę transformat Fouriera z czasem dyskretnym

( ) ( )

( ) ( )1

2

j jm

m

j jm

S e R m e

R m S e e d

θ θξ ξ

πθ θ

ξ ξ

π

θπ

∞−

=−∞

−

=

=

∑

∫ (16)

1.8 Funkcja korelacji wzajemnej i widmo wzajemne mocy

Niech ξ[n], η[n] będą dwoma losowymi sygnałami z czasem dyskretnym o wartościach średnich

µξ(n) i µη(n). Funkcja korelacji wzajemnej między ξ[n] i η[n] jest zdefiniowana następująco:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

,

,

R n n E n n

R n n E n n

ξη

ηξ

ξ η

η ξ

=

= (17)

Jeżeli Rξη(n1, n2) = 0 to mówimy, że sygnały są ortogonalne.

Moc składowej stałej Moc składowej zmiennej

4

Widmo wzajemne mocy definiuje się jako transformaty Fouriera z czasem dyskretnym odpowiednich

funkcji korelacji wzajemnej według wzorów

( ) ( )

( ) ( )

j jm

m

j jm

m

S e R m e

S e R m e

θ θξη ξη

θ θηξ ηξ

∞−

=−∞

∞−

=−∞

=

=

∑

∑ (18)

Ponadto spełniona jest relacja

( ) ( )j jS e S e

θ θξη ηξ

∗= (19)

1.9 Przykłady stacjonarnych sygnałów losowych z czasem dyskretnym

Szum biały - stacjonarny sygnał stochastyczny w[n] o zerowej wartości średniej i skończonej wariancji,

którego widmo mocy jest stałe w przedziale pulsacji [0,2 ]θ π∈ (co odpowiada przedziałowi pulsacji

unormowanej [0,1]) i równe wariancji.

( )( ) { } [ ]

2

1 2 2

j

w w

w w w

S e const

R m F m

θ σ

σ σ δ−

= =

= = (20)

Szum biały może być generowany jako ciąg liczb losowych o różnych rozkładach prawdopodobieństwa,

np. U(-1,1), N(0,1).

Szum biały z losową składową stałą – stacjonarny sygnał o zerowej wartości średniej, którego każda

realizacja jest sumą realizacji szumu białego w[n] i losowej składowej stałej µ o zerowej wartości

średniej i wariancji 2µσ . Funkcja autokorelacji i widmo gęstości mocy określone są wzorami:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2j

w

w

S e

R m m

θξ µ

ξ µ

πσ δ θ σ

σ σ δ

= +

= + (21)

Dyskretny idealny szum dolnopasmowy – stacjonarny sygnał stochastyczny ξ[n] o zerowej wartości

średniej i widmie mocy

( ) ( )0 max

max

max

dla , 0,

0 dla

jS

S eθ

ξ

θ θθ π

θ θ

<= ∈

≥

( ) ( )max0 maxR m S Sa mξ

θθ

π= (22)

Dyskretny sygnał harmoniczny o losowej fazie - sygnał o zerowej wartości średniej

[ ] ( )0sinn A nξ θ ϕ= + , gdzie A – nielosowa amplituda, θ0 – nielosowa pulsacja, ϕ - losowa faza

o rozkładzie równomiernym w przedziale [-π, π] (ozn. U(-π, π)). Funkcja autokorelacji i widmo gęstości

mocy opisane są wzorami

( ) ( )2

0

1cos

2R m A mξ θ=

( ) ( ) ( )2

0 0

1

2

jS e A

θξ π δ θ θ δ θ θ= − + + . (23)

1.10 Przejście sygnału stochastycznego przez układ liniowy stacjonarny

Rozważmy przejście sygnału losowego z czasem dyskretnym ξ[n] przez układ liniowy stacjonarny

o transmitancji H(z) i odpowiedzi impulsowej h[n]. Odpowiedzią układu jest szum losowy z czasem

dyskretnym η[n]. Wartość średnia, funkcja autokorelacji oraz widmo gęstości mocy szumów na wejściu i

wyjściu filtru powiązane są następującymi relacjami:

( )i

h iη ξµ µ∞

=−∞

= ∑ (24)

5

( ) ( ) ( ) ( )R m h m h m R mη ξ= ∗ − ∗ (25)

( ) ( ) ( )2

j j jS e H e S eθ θ θη ξ= (26)

2. ZADANIA DO WYKONANIA W DOMU

2.1 Wyznaczyć wartość średnią, funkcję autokorelacji i widmo gęstości mocy dyskretnego sygnału

harmonicznego opisanego w punkcie 1.9 dla:

a) ϕ = 0,

b) ϕ o rozkładzie U(-π,π).

Korzystając z wyprowadzonych wzorów wyznaczyć moc średnią tego sygnału. Naszkicować wykresy

widma gęstości mocy i funkcji autokorelacji dla obu przypadków.

2.2 Na wejście idealnego filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej unormowanej θg = 0.6 podano:

a) dyskretny szum biały w[n]

b) dyskretny szum harmoniczny ξ[n] (p. 1.9)

Wyznaczyć funkcję autokorelacji i widmo gęstości mocy szumu na wyjściu filtru w przypadkach a) i b).

Wyznaczyć funkcję korelacji wzajemnej szumu na wejściu z szumem na wyjściu filtru w obu

przypadkach.

2.3 Na wejście idealnego filtru środkowoprzepustowego o paśmie przepustowym [0.4, 0.6] podano:

a) dyskretny szum biały w[n]

b) dyskretny szum harmoniczny ξ[n] (p. 1.9)

Wyznaczyć funkcję autokorelacji i widmo gęstości mocy szumu na wyjściu filtru w przypadkach a) i b).

3 OPIS PROGRAMU stochastic.m

UWAGA: Przebiegi czasowe i funkcje autokorelacji oraz korelacji wzajemnej są z definicji dyskretnymi ciągami liczbowymi, jednakże dla czytelności wykresy te „uciąglono”! Program uruchamiany jest w Matlabie 5.1 komendą stochastic. Na pasku głównym menu są trzy opcje do

wyboru:

a) Badanie właściwości szumu – służy do wyznaczania podstawowych parametrów dyskretnego szumu

białego, dyskretnego szumu białego pasmowego, dyskretnego szumu białego z losową składową stałą oraz dyskretnego szumu harmonicznego z losową fazą.

Opcja umożliwia zmianę liczby realizacji sygnału losowego, zmianę liczby próbek tego sygnału oraz

wybór rozkładu prawdopodobieństwa (patrz Rys.2).

Klawisz RYSUJ umożliwia wygenerowanie sygnału wraz z jednoczesnym narysowaniem jego widma

gęstości mocy, funkcji autokorelacji oraz histogramu. Przy wyborze większej liczby realizacji

narysowany przebieg czasowy przedstawia „uśrednioną realizację”, czyli ciąg uśrednionych wartości

zmiennych losowych ξ(ni) dla ni = 0,1,...,N, gdzie N jest liczbą próbek generowanej realizacji.

Na wykresie przebiegu czasowego sygnału czerwoną linią zaznaczono wartość średniokwadratową sygnału. Linia czerwona na wykresie widma gęstości mocy pokazuje średni poziom mocy w dB. W

celach porównawczych w oknie histogramu kolorem czerwonym wrysowana jest dopasowana krzywa

gaussowska.

Na ekranie w lewym dolnym rogu wyświetlane są ponadto wartość średnia oraz odchylenie standardowe

badanego sygnału przy danej liczby realizacji.

Klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie współrzędnych punktu na dowolnym wykresie.

Naciśnięcie klawisza WYCZYŚĆ powoduje wymazanie zawartości wszystkich okien, w których

rysowane są wykresy.

Klawisz KONIEC umożliwia zakończenie działania programu.

6

Rys. 2 Przykład działania opcji Badanie właściwości szumu

b) Filtracja szumu – umożliwia badanie właściwości dyskretnego szumu białego i dyskretnego

szumu harmonicznego z losową fazą po przejściu przez filtr dolno- i środkowoprzepustowy.

Klawisz RYSUJ umożliwia narysowanie przebiegu czasowego szumu na wejściu filtru, histogramu

rozkładu, jego widma gęstości mocy i funkcji autokorelacji (patrz Rys. 3).

Naciśnięcie klawisza FILTRUJ symuluje działanie wybranego filtru, na którego wyjściu pojawia się szum, którego przebieg czasowy, histogram oraz widmo gęstości mocy rysowane są na ekranie.

Dodatkowo rysowana jest funkcja korelacji wzajemnej szumu na wejściu z szumem na wyjściu filtru.

Na ekranie w lewym dolnym rogu wyświetlane są ponadto wartość średnia oraz odchylenie standardowe

badanego sygnału.

Klawisze WYCZYŚĆ i KONIEC mają działanie opisane w punkcie a).

c) Twierdzenie Parsevala – umożliwia wyznaczenie mocy średniej dyskretnego szumu białego o

rozkładzie równomiernym U(-1,1) lub normalnym N(0,1) oraz dyskretnego szumu harmonicznego

o losowej fazie.

Na ekranie rysowany jest przebieg czasowy sygnału, histogram rozkładu, wykres widma gęstości mocy

oraz wykres funkcji autokorelacji (patrz Rys. 4). Na ekranie w lewym dolnym rogu wyświetlane są ponadto wartość średnia oraz odchylenie standardowe badanego sygnału.

Klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie interesujących nas współrzędnych wykresu.

Klawisze WYCZYŚĆ i KONIEC mają działanie opisane w punkcie a).

7

Rys. 3 Przykład działania opcji Filtracja szumu

Rys. 4 Przykład działania opcji Twierdzenie Parsevala

8

4 ZADANIA DO WYKONANIA W LABORATORIUM 4.1 Badanie właściwości wybranych dyskretnych sygnałów losowych Uruchomić w Matlabie program stochastic.m komendą stochastic. Wybrać na pasku głównym

menu opcję Badanie właściwości szumu.

A. Dla szumu białego o rozkładzie równomiernym U([-1,1) i rozkładzie normalnym N(0,1):

a) Odczytać wartość średnią i odchylenie standardowe dla 1, 10 i 100 realizacji i 200 próbek. Porównać odczytane wartości z wartościami wyliczonymi w zadaniu domowym 2.1. Skomentować ewentualne

rozbieżności. Obserwując histogram wyciągnąć wnioski na temat rozkładu prawdopodobieństwa w

zależności od liczby realizacji przebiegu.

b) Zaobserwować i opisać kształt przebiegu czasowego sygnału dla liczby 1, 10 i 100 realizacji (200

próbek).

Co się dzieje z wartością średniokwadratową sygnału (zaznaczoną czerwoną linią na rysunku) wraz ze

wzrostem liczby realizacji? W odpowiedziach podać przykładowe wartości korzystając z przycisku

ODCZYT, który umożliwia odczytanie współrzędnych punktu na wykresie.

c) Zaobserwować i opisać kształt funkcji autokorelacji i widma gęstości mocy dla 1, 10 i 100 realizacji

(200 próbek). Co się dzieje ze średnim poziomem widma mocy, wyrażonym w dB, w miarę wzrostu

liczby realizacji? Porównać otrzymany wynik z zadaniem domowym 2.1 i skomentować zaobserwowane rozbieżności.

d) Dla 1 realizacji przebiegu (o rozkładzie U(-1,1) i N(0,1)) zwiększając liczbę próbek do 10 000 (np. 1,

10, 100, 1000, 5000, 10000) odczytywać wartość średnią oraz obserwować przebieg funkcji

autokorelacji. Czy na podstawie tych obserwacji możemy mówić o ergodyczności sygnału? Co

w praktyce oznacza ergodyczność sygnału losowego?

B. Dla szumu białego pasmowego (dolnopasmowego i wąskopasmowego):

a) Zaobserwować i opisać kształt przebiegu czasowego sygnału dla liczby 1, 10 i 100 realizacji (200

próbek). Odczytać wartość średnią i odchylenie standardowe. Skomentować odczytane wartości

i sformułować wnioski. Co można powiedzieć o badanym sygnale na podstawie jego histogramu?

c) Zaobserwować i opisać kształt funkcji autokorelacji i widma gęstości mocy dla 1, 10 i 100 realizacji

(200 próbek). Jak pasmo sygnału wpływa na kształt funkcji autokorelacji?

C. Dla szumu białego z losową składową stałą:

Opisać kształt widma gęstości mocy i funkcji autokorelacji dla 1, 10 i 100 realizacji (200 próbek).

Jakie różnice zauważa się w porównaniu z szumem białym bez losowej składowej stałej? Dlaczego

funkcja autokorelacji przyjmuje kształt „trójkątny”?

D. Dla szumu harmonicznego z losową fazą:

Dla 1, 10 i 100 realizacji oraz 200 próbek sygnału:

a) Zaobserwować i opisać przebieg czasowy, histogram rozkładu, widmo mocy i funkcję autokorelacji

sygnału sinusoidalnego (z fazą zerową). Dlaczego funkcja autokorelacji różni się od wyznaczonej

teoretycznie w zadaniu 2.2 a?

b) Przyjmując fazę o rozkładzie U(-π,π) opisać kształt sygnału oraz widma gęstości mocy i funkcji

autokorelacji. Porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w zadaniu domowym 2.2. Skomentować różnice i sformułować nasuwające się wnioski.

9

4.2 Wyznaczanie mocy średniej wybranych dyskretnych sygnałów losowych

a) Używając opcji Twierdzenie Parsevala z paska głównego menu wygenerować jedną realizację (1000

próbek) dyskretnego szumu białego o rozkładzie U(-1,1) i N(0,1). Na podstawie wykresów

przebiegu czasowego, widma mocy i funkcji autokorelacji wyznaczyć moc średnią sygnału.

Porównać otrzymane wartości z wartością wyznaczoną teoretycznie w zadaniu 2.1. Znaleźć i przedstawić czwartą metodę wyznaczania mocy średniej sygnału na podstawie posiadanych

danych.

b) Powtórzyć badania dla sygnału harmonicznego o losowej fazie, a otrzymane wyniki porównać z zadaniem domowym 2.2.

4.3 Przejście dyskretnego sygnału losowego przez filtr dolno- i środkowoprzepustowy

Wybrać opcję Filtracja szumu z paska głównego menu.

a) Przyjmując na wejściu filtru dolnoprzepustowego dyskretny szum biały (100 realizacji i 200 próbek)

o rozkładzie U(-1,1) oraz N(0,1), zbadać jak wygląda szum po przejściu przez filtr. W tym celu

porównać histogramy i widma gęstości mocy szumów na wejściu (przycisk RYSUJ) i wyjściu filtru

(przycisk FILTRUJ). Opisać zaobserwowane efekty i porównać je z obliczeniami z zadania 2.3,

w którym założono idealną filtrację dolnoprzepustową. Opisać kształt funkcji korelacji wzajemnej.

Jakich informacji dostarcza funkcja korelacji wzajemnej?

b) Powtórzyć powyższy eksperyment przy filtracji środkowoprzepustowej. Przy porównaniu

histogramów i widm gęstości mocy oprzeć się na wynikach teoretycznych zadania 2.4. Sformułować wnioski i uwagi wypływające z przeprowadzonych badań.

c) Przyjmując na wejściu filtrów dolno- i środkowoprzepustowego dyskretny sygnał harmoniczny

o losowej fazie (100 realizacji) porównać histogramy i widma gęstości mocy szumu przed i po filtracji.

Opisać zaobserwowane zjawiska i sformułować wnioski opierając się na wynikach zadań 2.3 i 2.4.

5 Bibliografia

Bendat J.S., Piersol A.G., Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych, PWN, Warszawa 1976 Bobrowski D., Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WNT, Warszawa 1986.

Teoria sygnałów i modulacji. Ćwiczenia laboratoryjne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,

Warszawa 2001.

Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka, WNT, Warszawa 2000.