Wykład 4

Statyka.

Warunki równowagi.

Czy warunek znikania wypadkowej sił jest wystarczającym warunkiem

równowagi?

i

iw FF

Jest równowagaBrak równowagi.

Ciało ma tendencję do skręcania (obrotu)

i

iw 0FF

Kołowrót

P=mg

F0r

z

x

R

y

PrFR

Równowaga momentów sił

Moment siły to iloczyn promienia i siły, ale: •promień liczony od której osi?

• jaki iloczyn? (jak mnożyć wektory?)

Równowaga momentów sił (dźwignia)

P=mg

F

Fr

Moment siły zależy od wyboru układu odniesienia

Ale gdy suma sił znika,

I znika suma momentów sił w jakimś układzie odniesienia,

to znika ona w każdym innym układzie.

0i

iF

P+F

0i

ii Fr

rP rF

0 PrFr PF

0)( FrrxPFrxxP FPP

x

0

Iloczyn wektorowy wektorów wzajemnie prostopadłych

Fr FrDługość (wartość) -

Kierunek – prostopadły do r i do F

Zwrot? – reguła śruby (korkociągu) r nakręcamy na F

Śruba „prawa”

Możemy, alternatywnie, używać reguły prawej dłoni

Prawo- i lewo skrętne układy odniesienia

Porównaj prawą i lewa rekę

Iloczyn wektorowy

Dwa wektory wyznaczają płaszczyznę.

Do iloczynu (momentu) przyczynia się jedynie składowa siły prostopadła do promienia.

Iloczyn wektorowy jest prostopadły do

płaszczyzny (r,F)

Długość iloczynu r F sin(kąta (r,F))

Zwrot – reguła śruby.

Jeszcze inna reguła Dwa wektory wyznaczają płaszczyznę.

Do iloczynu (momentu) przyczynia się jedynie składowa siły prostopadła do promienia.

Iloczyn wektorowy jest prostopadły do

płaszczyzny (A,B)

Długość iloczynu AB sin(kąta (A,B)) pole równoległoboku rozpiętego na

wektorach (A,B)

Zwrot – reguła śruby.

Możemy liczyć kolejne składowe iloczynu wektorowego

Bloczek (brak równowagi momentów sił)

Moment sił wewnętrznych znika

Siły wewnętrzne:• nie wpływają na ruch postępowy ciała, • nie wpływają na obrót ciała.

ˆ sin , )

ˆ ˆ sin , )

AB A B

C AB A B

C A B C

C A C B

A B B A

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

BABABABABABA

BBB

AAA

,,

ˆˆˆ zyx

C

C=AxB

A

B

zwrot C: reguła śruby

Iloczyn wektorowy

Definicja analityczna

Definicja opisowa

(wyznacznik)

iloczyn wektorowy wersorów osi

ˆ ˆ ˆ

, ,x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

A A A A B A B A B A B A B A B

B B B

x y z

C

1,0,0x

0,1,0y

1 0 0 0 0 1 0,0,1

0 1 0

x y z

x× y x y z z

y × z x z × y x

z × x y x× z y

x× y z

Dwa warunki równowagi sił działających na ciało

1) suma sił działających na ciało (wypadkowa sił) znika,

2) suma momentów sił działających na ciało (moment wypadkowy) znika

Tw.: Jeśli moment sił znika (T=0) w jakimś układzie odniesienia to znika on w każdym innym układzie

i

iw FF

0 i

iii

iw FrTT

Warunki równowagi dla konstrukcji

1. suma sił działających na każdy węzeł znika,

2. Suma sił działających na każdą belkę znika,3. Suma momentów działających na każdą belkę znika.

0i

iw FF

0 i

iii

iw FrTT

Dzwignia dwustronna

z

x

y

F2=[-F2,0,0]

N=-(F1+F2)

F1 =[-F1,0,0]

r2=[0,-r2,0] r1 =[0,r1,0]T1 =[0,0, r1F1]

T2 =[0,0,- r2F2]

rN =[0,0,0]

TN =[0,0,0]

1 1 2 2r F r F

Bloczki

P=mg

FB=-mg/2FA=-mg/2

P+FA+FB=0

0,0,

0,0, 2

0,0, 2

A

B

mg

mg

mg

P

F

F

A 0 B

0

0,0,0 ,0,0 2 ,0,0

0,0,0 0, ,0 0, ,0 0

A AA A A AB B

A A Br r

rmg rmg

T r F r P r F

T F P F

Prz

xy

0 0 00 0

0

0

,0,0 0,0,0 ,0,0

2,0,0 0,0,0 0, 2,0 0

2 ,0,0 ,0,0 0,0,0

0, ,0 0, ,0 0,0,0 0

A A B B

A B

B BA A B BB B

B A B

r r

rmg rmg

r r

rmg rmg

T r F r P r F

T F P F

P

T r F r P r F

T F P F

P

Dzwignia jednostronna

z

x

y

F2=[-F2,0,0]

N=F1-F2

F1 =[F1,0,0]

r2=[0, r2,0] r1 =[0,r1,0]

T1 =[0,0, r1F1]T2 =[0,0,- r2F2]

rN =[0,0,0]

TN =[0,0,0]

1 1 2 2r F r F

c

a

b

N =[N,0,0]

W układzie osi (a,b,c)

r2r1

r2=[0,0,0] r1 =[0.r1-r2 ,0]

T1 =[0,0, -(r1-r2) F1]

T2 =[0,0,0]

rN =[0,- r2,0]

TN =[0,0,r2(F1-F2)]

1 1 2 2r F r F

W układzie osi (x,y,z)

Drabina przy ścianie

Założenia:• ściana śliska (bez tarcia),• podłoga szorstka.

PNp

Siły ciężaru i nacisku podłogi równoważą się.

Siła nacisku ścianyrównoważy moment skręcający

Siła tarcia podłogirównoważy siłę nacisku ściany

Nś

T

Dwie belki

P1

N1

Dane:• siły ciężaru belek,• dodatkowe napory,• rozmiary geometryczne

Szukamy: 4 sił (8 niewiadomych)

Warunki równowagi:• (2) siły na belkę 1,• (2) siły na belkę 2,• (2) siły na węzeł górny,• (1) moment sił na belkę 1• (1)moment sił na belkę 2

P2

N2

R1 R2

P1

N1

Warunki równowagi:• (1) siły poziome na belkę 1,• (1) siły pionowe na belkę 1,• (1) siły poziome na belkę 2,• (1) siły pionowe na belkę 2,• (2) siły na węzeł górny,• (1) moment sił na belkę 1• (1) moment sił na belkę 2P2

N2

-R

R

Dwie belki:• rozwiązujemy układ 8 równań liniowych, lub• stopniowo upraszczamy problem

39)

Który z podanych wykresów układu sił reprezentuje blok zjeżdżający w dół bez tarcia po równi pochyłej?

39)

Który z podanych wykresów układu sił reprezentuje blok zjeżdżający w dół bez tarcia po równi pochyłej?

Odp. E

48) Słowo "normalna", w odniesieniu do sił, znaczy

A) Zwykła.B) przeciętna.C) średnia.D) prostopadła do powierzchni.E) prosto w górę, w przeciwnym kierunku do siły grawitacji.

48) Słowo "normalna", w odniesieniu do sił, znaczy

A) Zwykła.B) przeciętna.C) średnia.D) prostopadła do powierzchni.E) prosto w górę, w przeciwnym kierunku do siły grawitacji.

35)

F

0.5F

a b c

L 2L

2F

0.5L

Wykresy powyżej przedstawiają stosowanie siły do ramienia dźwigni. Który wykres ma największy (wielkość) moment obrotowy względem punktu zaczepienia?

A) aB) bC) cD) są takie sameE) nie możliwe do określenia

35)

F

0.5F

a b c

L 2L

2F

0.5L

Wykresy powyżej przedstawiają stosowanie siły do ramienia dźwigni. Który wykres ma największy (wielkość) moment obrotowy względem punktu zaczepienia?

A) aB) bC) cD) są takie sameE) nie możliwe do określenia

Odp. D