Wyk ł ad 4

30
Wykład 4 Statyka. Warunki równowagi.

description

Wyk ł ad 4. Statyka. Warunki równowagi. Czy warunek znikania wypadkowej sił jest wystarczającym warunkiem równowagi?. Brak równowagi. Ciało ma tendencję do skręcania (obrotu). Jest równowaga. Kołowrót. Równowaga momentów sił. z. R. r. a. Moment siły to iloczyn promienia i siły, ale: - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Wyk ł ad 4

Page 1: Wyk ł ad 4

Wykład 4

Statyka.

Warunki równowagi.

Page 2: Wyk ł ad 4

Czy warunek znikania wypadkowej sił jest wystarczającym warunkiem

równowagi?

i

iw FF

Page 3: Wyk ł ad 4

Jest równowagaBrak równowagi.

Ciało ma tendencję do skręcania (obrotu)

i

iw 0FF

Page 4: Wyk ł ad 4

Kołowrót

P=mg

F0r

z

x

R

y

PrFR

Równowaga momentów sił

Moment siły to iloczyn promienia i siły, ale: •promień liczony od której osi?

• jaki iloczyn? (jak mnożyć wektory?)

Page 5: Wyk ł ad 4

Równowaga momentów sił (dźwignia)

P=mg

F

Fr

Moment siły zależy od wyboru układu odniesienia

Ale gdy suma sił znika,

I znika suma momentów sił w jakimś układzie odniesienia,

to znika ona w każdym innym układzie.

0i

iF

P+F

0i

ii Fr

rP rF

0 PrFr PF

0)( FrrxPFrxxP FPP

x

0

Page 6: Wyk ł ad 4

Iloczyn wektorowy wektorów wzajemnie prostopadłych

Fr FrDługość (wartość) -

Kierunek – prostopadły do r i do F

Zwrot? – reguła śruby (korkociągu) r nakręcamy na F

Page 7: Wyk ł ad 4

Śruba „prawa”

Page 8: Wyk ł ad 4

Możemy, alternatywnie, używać reguły prawej dłoni

Page 9: Wyk ł ad 4

Prawo- i lewo skrętne układy odniesienia

Porównaj prawą i lewa rekę

Page 10: Wyk ł ad 4

Iloczyn wektorowy

Dwa wektory wyznaczają płaszczyznę.

Do iloczynu (momentu) przyczynia się jedynie składowa siły prostopadła do promienia.

Iloczyn wektorowy jest prostopadły do

płaszczyzny (r,F)

Długość iloczynu r F sin(kąta (r,F))

Zwrot – reguła śruby.

Page 11: Wyk ł ad 4

Jeszcze inna reguła Dwa wektory wyznaczają płaszczyznę.

Do iloczynu (momentu) przyczynia się jedynie składowa siły prostopadła do promienia.

Iloczyn wektorowy jest prostopadły do

płaszczyzny (A,B)

Długość iloczynu AB sin(kąta (A,B)) pole równoległoboku rozpiętego na

wektorach (A,B)

Zwrot – reguła śruby.

Page 12: Wyk ł ad 4

Możemy liczyć kolejne składowe iloczynu wektorowego

Page 13: Wyk ł ad 4

Bloczek (brak równowagi momentów sił)

Page 14: Wyk ł ad 4

Moment sił wewnętrznych znika

Siły wewnętrzne:• nie wpływają na ruch postępowy ciała, • nie wpływają na obrót ciała.

Page 15: Wyk ł ad 4

ˆ sin , )

ˆ ˆ sin , )

AB A B

C AB A B

C A B C

C A C B

A B B A

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

BABABABABABA

BBB

AAA

,,

ˆˆˆ zyx

C

C=AxB

A

B

zwrot C: reguła śruby

Iloczyn wektorowy

Definicja analityczna

Definicja opisowa

(wyznacznik)

Page 16: Wyk ł ad 4

iloczyn wektorowy wersorów osi

ˆ ˆ ˆ

, ,x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

A A A A B A B A B A B A B A B

B B B

x y z

C

1,0,0x

0,1,0y

1 0 0 0 0 1 0,0,1

0 1 0

x y z

x× y x y z z

y × z x z × y x

z × x y x× z y

x× y z

Page 17: Wyk ł ad 4

Dwa warunki równowagi sił działających na ciało

1) suma sił działających na ciało (wypadkowa sił) znika,

2) suma momentów sił działających na ciało (moment wypadkowy) znika

Tw.: Jeśli moment sił znika (T=0) w jakimś układzie odniesienia to znika on w każdym innym układzie

i

iw FF

0 i

iii

iw FrTT

Page 18: Wyk ł ad 4

Warunki równowagi dla konstrukcji

1. suma sił działających na każdy węzeł znika,

2. Suma sił działających na każdą belkę znika,3. Suma momentów działających na każdą belkę znika.

0i

iw FF

0 i

iii

iw FrTT

Page 19: Wyk ł ad 4

Dzwignia dwustronna

z

x

y

F2=[-F2,0,0]

N=-(F1+F2)

F1 =[-F1,0,0]

r2=[0,-r2,0] r1 =[0,r1,0]T1 =[0,0, r1F1]

T2 =[0,0,- r2F2]

rN =[0,0,0]

TN =[0,0,0]

1 1 2 2r F r F

Page 20: Wyk ł ad 4

Bloczki

P=mg

FB=-mg/2FA=-mg/2

P+FA+FB=0

0,0,

0,0, 2

0,0, 2

A

B

mg

mg

mg

P

F

F

A 0 B

0

0,0,0 ,0,0 2 ,0,0

0,0,0 0, ,0 0, ,0 0

A AA A A AB B

A A Br r

rmg rmg

T r F r P r F

T F P F

Prz

xy

0 0 00 0

0

0

,0,0 0,0,0 ,0,0

2,0,0 0,0,0 0, 2,0 0

2 ,0,0 ,0,0 0,0,0

0, ,0 0, ,0 0,0,0 0

A A B B

A B

B BA A B BB B

B A B

r r

rmg rmg

r r

rmg rmg

T r F r P r F

T F P F

P

T r F r P r F

T F P F

P

Page 21: Wyk ł ad 4

Dzwignia jednostronna

z

x

y

F2=[-F2,0,0]

N=F1-F2

F1 =[F1,0,0]

r2=[0, r2,0] r1 =[0,r1,0]

T1 =[0,0, r1F1]T2 =[0,0,- r2F2]

rN =[0,0,0]

TN =[0,0,0]

1 1 2 2r F r F

c

a

b

N =[N,0,0]

W układzie osi (a,b,c)

r2r1

r2=[0,0,0] r1 =[0.r1-r2 ,0]

T1 =[0,0, -(r1-r2) F1]

T2 =[0,0,0]

rN =[0,- r2,0]

TN =[0,0,r2(F1-F2)]

1 1 2 2r F r F

W układzie osi (x,y,z)

Page 22: Wyk ł ad 4

Drabina przy ścianie

Założenia:• ściana śliska (bez tarcia),• podłoga szorstka.

PNp

Siły ciężaru i nacisku podłogi równoważą się.

Siła nacisku ścianyrównoważy moment skręcający

Siła tarcia podłogirównoważy siłę nacisku ściany

T

Page 23: Wyk ł ad 4

Dwie belki

P1

N1

Dane:• siły ciężaru belek,• dodatkowe napory,• rozmiary geometryczne

Szukamy: 4 sił (8 niewiadomych)

Warunki równowagi:• (2) siły na belkę 1,• (2) siły na belkę 2,• (2) siły na węzeł górny,• (1) moment sił na belkę 1• (1)moment sił na belkę 2

P2

N2

R1 R2

Page 24: Wyk ł ad 4

P1

N1

Warunki równowagi:• (1) siły poziome na belkę 1,• (1) siły pionowe na belkę 1,• (1) siły poziome na belkę 2,• (1) siły pionowe na belkę 2,• (2) siły na węzeł górny,• (1) moment sił na belkę 1• (1) moment sił na belkę 2P2

N2

-R

R

Dwie belki:• rozwiązujemy układ 8 równań liniowych, lub• stopniowo upraszczamy problem

Page 25: Wyk ł ad 4

39)

Który z podanych wykresów układu sił reprezentuje blok zjeżdżający w dół bez tarcia po równi pochyłej?

Page 26: Wyk ł ad 4

39)

Który z podanych wykresów układu sił reprezentuje blok zjeżdżający w dół bez tarcia po równi pochyłej?

Odp. E

Page 27: Wyk ł ad 4

48) Słowo "normalna", w odniesieniu do sił, znaczy

A) Zwykła.B) przeciętna.C) średnia.D) prostopadła do powierzchni.E) prosto w górę, w przeciwnym kierunku do siły grawitacji.

Page 28: Wyk ł ad 4

48) Słowo "normalna", w odniesieniu do sił, znaczy

A) Zwykła.B) przeciętna.C) średnia.D) prostopadła do powierzchni.E) prosto w górę, w przeciwnym kierunku do siły grawitacji.

Page 29: Wyk ł ad 4

35)

F

0.5F

a b c

L 2L

2F

0.5L

Wykresy powyżej przedstawiają stosowanie siły do ramienia dźwigni. Który wykres ma największy (wielkość) moment obrotowy względem punktu zaczepienia?

A) aB) bC) cD) są takie sameE) nie możliwe do określenia

Page 30: Wyk ł ad 4

35)

F

0.5F

a b c

L 2L

2F

0.5L

Wykresy powyżej przedstawiają stosowanie siły do ramienia dźwigni. Który wykres ma największy (wielkość) moment obrotowy względem punktu zaczepienia?

A) aB) bC) cD) są takie sameE) nie możliwe do określenia

Odp. D