TEORIA GRAFÓW

2006

Andrzej Ruciński

WYKŁAD 1.

Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.

Przykład 1. ZOO

• Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz

• Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt

k

l

s

w

j

z

m

l

s

w

j

k

z

m

Przykład 2. Podział na pary

• Dzielimy grupę 10 osób na pary

• Każdy chce być w parze ze swoim znajomym

Graf Petersena

A

B

CD

E

F

G

HI

J

Graf Petersena

A

B

CD

E

F

G

HI

J

A

B

A

B

Przykład 3. Muzeum

• Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach

• Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia

PLAN MUZEUM

a

bc

d

e

a

b c

d

e

Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie

• Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich

• Czy jest to możliwe?

D1 D2 D3

S1 S2 S3

? ?

Pojęcie grafu

• Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie

• V to skończony zbiór (wierzchołków)

• E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi)

2

VE

•Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna•Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej

Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów.

Graf pełny nV

2

VE

E

VVG

2,

nn KN

nK

Dopełnienie grafu G:

Graf pusty

Te same czy takie same?

a b

c d

G2

a d

c b

G3

a b

c d

G4

a b

d c

G5

a b

d e

G6

a b

c d

G1

Izomorfizm grafów

• Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo

• f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b

21 GG 21: VVf 21 )()( EvfufEuv

• G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę samą strukturę – są izomorficzne

Automorfizmy

• Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie

a b

c d

G1

• Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1

Samodopełnianie

• G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem

Na przykład

Stopnie wierzchołków

Zachodzi wzór

)(2)( GevdVv

G

Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v

gdzie e(G)=|E|

Ciąg stopni grafu

Ciąg stopni grafu

Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2

VvG vd )(

• Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie,

• δ(G)=δ to najmniejszy stopień.

• Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k

Podgrafy

• Indukowane

• Rozpięte

• Ani takie, ani takie

Podgrafy indukowane

• Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.

Podgraf indukowany - ilustracja

W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony

a

b

c

Podgrafy rozpięte

• Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E

Podgrafy

• Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.

Spójność

• Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”)

Inaczej

22

:,BA

EBABAV

Grafy niespójne

A B

B1B2

Wierzchołek cięcia

• G-v=G[V-v]

• Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny

• Inaczej, istnieje podział V na A i B :

vBA

22

BAE

Cykle

• Cykl to 2-regularny graf spójny.

• Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami.

• Notacja C_n, dla n=3,4,...

Cykle : ilustracja

C_3=K_3

C_4

C_5

Ścieżki

• ścieżki (grafy spójne o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2)

• Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami.

• Notacja P_n, dla n=1,2,...