Wykorzystanie algebraicznej teorii grafów w kodowaniu · 2016. 11. 27. · Wykorzystanie...

Wykorzystanie algebraicznej teorii grafóww kodowaniu

Monika Katarzyna Polak

promotor: prof. dr hab. Vasyl Ustimenko.

Wydział Matematyki, Fizyki i InformatykiUniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie

24.10.2016

Monika Katarzyna Polak Wykorzystanie algebraicznej teorii grafów w kodowaniu

W pracy otrzymano następujące oryginalne wyniki:

1 Dwie konstrukcje rodzin grafów małego świata bez cykli C4oraz analiza ich własności.

2 Wprowadzanie idei mocnych grafów Ramanujan oraz analizaekspansji nowych oraz innych, wcześniej zdefiniowanych rodzingrafów.

3 Konstrukcje kodów korekcyjnych LDPC: regularnychi nieregularnych. Wprowadzenie sposobu usuwaniawierzchołków w celu uzyskania kodów o bardzo dobrychwłasnościach.

4 Porównanie właściwości korekcyjnych otrzymanych kodówz wcześniejszymi wynikami w tej dziedzinie.

5 Skrypty kodu w języku MATLAB dla generacji analizowanychkodów LDPC oraz analiza BER na drodze symulacjikomputerowych.

6 Algorytm szyfrowania oparty na grafach z rodziny D̃(n, q) orazdowód twierdzenia o stopniach odwzorowania szyfrującego.

W pracy otrzymano następujące oryginalne wyniki:1 Dwie konstrukcje rodzin grafów małego świata bez cykli C4

oraz analiza ich własności.

2 Wprowadzanie idei mocnych grafów Ramanujan oraz analizaekspansji nowych oraz innych, wcześniej zdefiniowanych rodzingrafów.

oraz analiza ich własności.2 Wprowadzanie idei mocnych grafów Ramanujan oraz analiza

ekspansji nowych oraz innych, wcześniej zdefiniowanych rodzingrafów.

G (n + 1, Γ(n, q))

Za graf Γ(n, q) obraliśmy grafy:1 D(n, q) zdefiniowane w 1992 roku przez F. Lazebnika

i V. Ustimenko,2 W (n, q) zdefiniowane w 1991 roku przez Wengera (Hk(p)),

3 D̃(n, q) wprowadzone jako narzędzie do konstrukcji rodzinygrafów D(n, q).

G (n + 1, Γ(n, q))

G (3, Γ(2, q))

Ekspansja grafów G (n + 1, Γ(n, q))

(q + 1)-regularne

λ0 = q + 1

λ1 = maxλi 6=q+1

|λi |

Dla q = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29 i n = 3są grafami Ramanujan z λ1 = a

√q, gdzie a ≈ 1.61803.

Dla q = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 i n = 4 są grafami Ramanujanz λ1 = 2

Dla q = 5, 7 i n = 5 skonstruowane grafy mają bardzo dobrąekspansję.

(q + 1)-regularne

λ0 = q + 1

λ1 = maxλi 6=q+1

|λi |

√q, gdzie a ≈ 1.61803.

(q + 1)-regularne

λ0 = q + 1

λ1 = maxλi 6=q+1

|λi |

√q, gdzie a ≈ 1.61803.

(q + 1)-regularne

λ0 = q + 1

λ1 = maxλi 6=q+1

|λi |

√q, gdzie a ≈ 1.61803.

Twierdzenie

Rodziny grafów G (n + 1,D(n, q)), G (n + 1, D̃(n, q)) orazG (n + 1,W (n, q)) są rodzinami grafów o talii 6.

Twierdzenie

Grafy G (n + 1, Γ(n,Fq)) dla dowolnych parametrów n 2, q oraz

dowolnego grafu Γ ∈ {D(n, q),W (n, q), D̃(n, q)} są grafamimałego świata.

Twierdzenie

Grafy G (n + 1, Γ(n,Fq)) dla dowolnych parametrów n, q oraz

dowolnego grafu Γ ∈ {D(n, q),W (n, q), D̃(n, q)} są spójne nawetjeśli graf Γ jest niespójny.

Twierdzenie

......

Dla n = 3:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2}

Dla n = 4:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2}

α1 := α2α2 := α1

Dla n = 3:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2}

Dla n = 4:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2}

α1 := α2α2 := α1

Dla n = 3:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2}

Dla n = 4:

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2}

α1 := α2α2 := α1

Dla n = 5

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2, α1 + 2α2}

α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2α1 −→ α1 + 2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2

α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2 −→ 2α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2 −→ α1 + 2α2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2 −→ α1 + 2α2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2

α2 −→ α1 + 2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2

α2 −→ α1 + 2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2 −→ α1 + 2α2α2 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2, α1 + 2α2}

α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2 −→ 2α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2 −→ α1 + 2α2

φ+ = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2, 2α1 + α2}α2 −→ α1 + 2α2 −→ α1 + α2 −→ 2α1 + α2α1 −→ 2α1 + α2 −→ α1 + α2 −→ α1 + 2α2

Γ(4, φ+,F2)

Ekspansja grafów Γ(n, φ+,Fq)

Dla q = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23 grafy Γ(4, φ+,Fq) są(q + 1)-regularnymi grafami Ramanujan z λ1 =

√3q.

Dla q = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 grafy Γ(5, φ+,Fq) są(q + 1)-regularnymi grafami Ramanujan.

Dla 2 ¬ r ¬ 13 grafy Γ(4, φ+,Z2r ) są (2r + 1)-regularnymigrafami ekspanderami z przerwą spektralną |2r + 1− λ1| = 1.

√3q.

Twierdzenie

Grafy Γ(4, φ+,Fq) dla dowolnej potęgi liczby pierwszej q 2 majątalię 6. Graf incydentny uogólnionego kwadratu GQ(q, q) nie jestizomorficzny z grafem Γ(4, φ+,Fq).

Twierdzenie

Jeśli φ+5 = {α1, α2, α1 + α2, 2α1 + α2, α1 + 2α2} oraz ciągizbiorów wstępujących są postaci: {α1} ⊂ {α1, 2α1 + α2} ⊂{α1, 2α1 + α2, α1 + α2} ⊂ {α1, 2α1 + α2, α1 + α2, α1 + 2α2},{α2} ⊂ {α2, α1 + 2α2} ⊂ {α2, α1 + 2α2, α1 + α2} ⊂{α2, α1 + 2α2, α1 + α2, 2α1 + 2α2}, wtedy dla dowolnej potęgiliczby pierwszej q 2 grafy Γ(5, φ+,Fq) mają talię 8.

Twierdzenie

Grafy Γ(n, φ+,Fq) dla dowolnych parametrów n, q są grafamimałego świata.

Twierdzenie

Dla n = 6:

Kody korekcyjne mają na celu odtworzenie i naprawę informacjiw przypadku wystąpienia błędów w trakcie transmisji. Kodowaniew celu poprawy jakości transmisji wiąże się z dodaniem dowiadomości pewnych dodatkowych symboli, które nie niosą ze sobążadnej informacji, a jedynie pełnią funkcje detekcyjne i korekcyjne.

.Są trzy sposoby reprezentacji liniowego kodu korekcyjnego:

macierz generująca kodu,

macierz kontroli parzystości (oznaczamy H),

graf Tannera.

Kody korekcyjne mają na celu odtworzenie i naprawę informacjiw przypadku wystąpienia błędów w trakcie transmisji. Kodowaniew celu poprawy jakości transmisji wiąże się z dodaniem dowiadomości pewnych dodatkowych symboli, które nie niosą ze sobążadnej informacji, a jedynie pełnią funkcje detekcyjne i korekcyjne. .Są trzy sposoby reprezentacji liniowego kodu korekcyjnego:

macierz generująca kodu,

macierz kontroli parzystości (oznaczamy H),

graf Tannera.

Macierz kontrolna kodu H oraz macierz sąsiedztwa grafu TanneraS(V1 ∪ V2,E ) są ze sobą ściśle powiązane:

LDPC [16, 12] kod Gallagera ma macierz kontroli parzystości Hpostaci:

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Jakie własności grafów są wymagane, aby uzyskać dobre kodykorekcyjne LDPC?

grafy proste (nieskierowane, bez pętli)

spójne

dwudzielne

biregularne lub nieregularne

bez krótkich cykli

rzadkie

Jakie własności grafów są wymagane, aby uzyskać dobre kodykorekcyjne LDPC?

grafy proste (nieskierowane, bez pętli)

spójne

dwudzielne

biregularne lub nieregularne

bez krótkich cykli

rzadkie

Konstrukcja kodów korekcyjnych

Wybieramy graf o odpowiednich własnościach.

Usuwamy pewien dokładnie określony podzbiór wierzchołkówgrafu tak, aby otrzymany podgrafy był co najmniejbiregularny.

Jeśli graf jest niespójny to wybieramy jeden z jegokomponentów.

Gotowe! Podmacierz macierzy sąsiedztwa naszego grafu jestmacierzą kontroli parzystości kodu korekcyjnego.

Graf D(2, 3) = D̃(2, 3) = A(2, 3)

Analizowaliśmy kody korekcyjne bazujące na grafach:

A(n, q) i D̃(n, q),

A′(n, q), A′′(n, q), D ′(n, q) i D ′′(n, q),

Γ(4, φ+,Fq) i Γ(5, φ+,Fq).

D̃(6, 5) A(6, 5) kody otrzymane za pomocą losowych

D̃(5, 5) A(9, 5) konstrukcji Radforda M. Neala

z RC = 1/2 i eliminacją cykli C4

Kryptografia

Kryptografia jest metodą utajniania danych w wyniku ichprzekształcenia metodami matematycznymi w szyfry.

Szyfry:

symetryczne (1 klucz do szyfrowania i deszyfrowania)

asymetryczne (2 klucze: tajny i publiczny)

Kryptografia

Kryptografia jest metodą utajniania danych w wyniku ichprzekształcenia metodami matematycznymi w szyfry.Szyfry:

symetryczne (1 klucz do szyfrowania i deszyfrowania)

asymetryczne (2 klucze: tajny i publiczny)

System kryptograficzny z kluczem tajnym oparty na

rodzinie grafów dwudzielnych D̃(n, q).

Wierzchołki w grafie D̃(n, q) reprezentowane są przez wektoryo współrzędnych będących elementami ciała liczbowego Fq.

Wiadomości o długości n zapisanej w alfabecie Fq będzie

odpowiadał konkretny wierzchołek grafu D̃(n, q).

Poprzez złożenie specyficznych odwzorowań Nt możemyznaleźć ścieżkę w grafie od wierzchołka odpowiadającegonaszej wiadomości do szyfrogramu.

Wektor odpowiadający szyfrogramowi mnożymy lewoi prawostronnie przez macierze przekształceń afinicznych (L1,L2), aby lepiej ukryć wiadomość.

K = (L1, L2, t = (t1, t2, . . . , tk))

Szyfrowanie

F = L1 ◦ Nt1,t2,...,t2s ◦ L2 = L1 ◦ Nt1 ◦ Nt2 ◦ Nt3 . . . ◦ Ntk ◦ L2.

1 znalezienie ścieżki w grafie od wierzchołka odpowiadającegotekstowi jawnemu do wierzchołka odpowiadającegoszyfrogramowi w zależności od parametru hasła t;

2 użycie odwzorowań L1 i L2;3 przepisanie wiadomości w alfabecie Fp.

Deszyfrowanie

F−1 = L−12 ◦ N−tk ,−tk−1,...,−t1 ◦ L−11 .

1 przepisać wiadomość w alfabecie Fq;2 użycie odwzorowań L−11 i L−12 ;3 znalezienie ścieżki w grafie od wierzchołka odpowiadającego

szyfrogramowi do wierzchołka odpowiadającego tekstowijawnemu w zależności od parametru hasła t.

A = {a, b, c , d , e}

F5 = {0, 1, 2, 3, 4}

w = baba −→ [1, 0, 1, 0]

K = (L1, L2, t = (t1, t2, . . . , tk))

t = dec −→ [3, 4, 2]

Nt1 (x) =

x1 + t1

x2 + x1(x1 + t1)x3 + x2(x1 + t1)

x4 + x1x2 + x21 (x1 + t1)

t1x1t1x2t1x3t1x4

Nt2 [t1x ] =

t1x1 + t2

x2 − (t1 + t2)t1x1x3 + (t1 + t2)t1x

x4 − (t1 + t2)t1x2

t2x1t2x2t2x3t2x4

Nt3 (t2x) =

t2x1 + t3

t1x2 + (t2 + t3)t2x1t1x3 + (t2 + t3)t2x2t1x4 + (t2 + t3)t2x

t3x1t3x2t3x3t3x4

0 + 1 · (1 + 3)1 + 0 · (1 + 3)

0 + 1 · 0 + 12 · (1 + 3)

4− (3 + 4) · 41 + (3 + 4) · 424− (3 + 4) · 4

1− (4 + 2) · 33 + (4 + 2) · 11− (4 + 2) · 32

1 1 0 00 1 0 00 1 1 00 1 0 1

, L2 =

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 00 1 0 00 1 1 00 1 0 1

4 4 3 4]·

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Bezpieczeństwo tego algorytmu kryptograficznego opiera się nafakcie, że rozwiązanie chociażby kwadratowego systemu równańwielomianowych jest w ogólności problemem bardzo trudnym.Na podstawie wyników z teorii złożoności wiadomo, że rozwiązanieukładu losowych, nieliniowych równań wielomianowych nad ciałemskończonym jest problemem NP-trudnym.

Dziękuję za uwagę.

Wykorzystanie algebraicznej teorii grafów w kodowaniu · 2016. 11. 27. · Wykorzystanie...

Documents

Transcript of Wykorzystanie algebraicznej teorii grafów w kodowaniu · 2016. 11. 27. · Wykorzystanie...