Wstęp do Teorii Gier

Aukcje – model symetrycznych niezależnych i prywatnych wartości

• Każdy gracz zna tylko swoją wycenę obiektu• Ocena wycen pozostałych graczy opiera się na następujących

założeniach, które są wiedzą wspólną:– Rozkłady wycen graczy są losowane z tego samego rozkładu– Rozkłady wycen różnych graczy są niezależne

• Gracze są neutralni względem ryzyka

Aukcje jako gra Bayesowska• Zbiór graczy• Zbiór typów (wycen)• Zbiór akcji• Oceny (beliefs):

– Wyceny przeciwników są niezależnie losowane z rozkładu F– Dystrybuanta F jest ściśle rosnąca i ciągła

• Funkcja wypłat:

Gdzie P(a) to cena płacona przez zwycięzcę, jeśli a jest profilem ofert

Aukcja drugiej ceny

• Oferta równa mojej prywatnej wycenie słabo dominuje wyższe oferty

• Oferta równa mojej prywatnej wycenie słabo dominuje niższe oferty

Aukcja pierwszej ceny• Najwyższa oferta wygrywa, cena wynosi tyle co najwyższa oferta• Czy opłaca się złożyć ofertę równą swojej wycenie?

– Jeśli wygrasz, zysk wyniesie zero• Co stanie się jak złożysz niższą ofertę?

– Jeśli wygrasz, zysk będzie dodatni– Ale szanse na wygraną są niższe– Optymalna oferta musi wyważyć pomiędzy tymi dwoma efektami

• Złożenie oferty niższej niż Twoja wycena znane jest jako „bid shading”

Przykład z rozkładem jednostajnym• Jest n graczy• Ty jesteś graczem 1 i Twoja wycena wynosi v>0• Oceniasz, że wyceny innych graczy są losowane niezależnie z

rozkładu jednostajnego na przedziale [0,1]• Oceniasz, że inni gracze używają strategii• Twoja oczekiwana wypłata, jeśli złożysz ofertę b wynosi:

• Teraz trzeba to zmaksymalizować ze względu na b

Aukcja pierwszej ceny • Liczymy pierwszą pochodną z• Otrzymujemy:• Zatem:

• Która aukcja przyniesie więcej przychodu organizatorowi?– Aukcja drugiej ceny

• Gracze składają oferty równe ich wycenom• Przychód - druga najwyższa oferta

– Aukcja pierwszej ceny• Gracze składają oferty niższe niż ich wycena• Przychód – najwyższa oferta

Modified battle of sexes

● Two types Daisy● Donald is not sure whether:

● Daisy is a good mood and wants to meet him

● Or Daisy is angry at him and wants to avoid him

● Daisy knows Donald’s type

Modified battle of sexes● Donald knows from experience that

● Daisy wants to go out with him with probability ½ (playing the game on the left)

● Daisy does not want to go out with him with probability ½ (playing the game on the right)

Soccer BalletSoccer 2,1 0,0Ballet 0,0 1,2

Soccer BalletSoccer 2,0 0,2Ballet 0,1 1,0

Modified battle of sexes ● In order to make a good decision, Donald has to form beliefs about

the action of each type of Daisy

● After evaluating these actions, Donald will be able to calculate the expected value from each of his actions and will choose optimally

● For example, if Donald believes that irrespective of her mood Daisy chooses Soccer, then his expected payoffs are as follows:

● Donald’s payoff from choosing Soccer: 0.5*2+0.5*2=2

● Donald’s payoff from choosing Ballet: 0.5*0+0.5*0=0

Soccer Ballet Soccer BalletSoccer 2,1 0,0 Soccer 2,0 0,2Ballet 0,0 1,2 Ballet 0,1 1,0

Modified abttle of sexes● Another example: if Donald believes that Daisy in a good

mood chooses Soccer and Daisy in a bad mood chooses Ballet then:

● Donald’s payoff from choosing Soccer: 0.5*2+0.5*0=1

● Donald’s payoff from choosing Ballet: 0.5*0+0.5*1=0.5

● A Bayesian Nash equilibrium for this game::

– Donald’s action is optimal given the actions of both types of Daisy given Donald’s belief about Daisy’s type

– The action of each type of Daisy is optimal given the Donald’s action

Soccer Ballet Soccer BalletSoccer 2,1 0,0 Soccer 2,0 0,2Ballet 0,0 1,2 Ballet 0,1 1,0

Modified battle of sexes

● In each cell:

● The first number – Donald’s payoff

● The second number – Daisy in a good mood payoff

● The third number – Daisy in a bad mood payoff

● Bayesian Nash Equilibrium (S,(S,B))

● Given Donald’s beliefs and actions of both types of Daisy, Donald is playing the best response

● Given Donald’s action, both types of Daisy are playing best response

S,S S,B B,S B,BS 2, 1, 0 1, 1, 2 1, 0, 0 0, 0, 2B 0, 0, 1 0.5, 0, 0 0.5, 2, 1 1, 2, 0

Modified battle of sexes● Interpretation of equilibrium if Daisy is in a good

mood:● Daisy wants to meet Donald and chooses Soccer● Donald chooses Soccer and believes that if Daisy is in a

good mood she chooses Soccer and if she is in a bad mood she chooses Ballet

● Interpretation of equilibrium when Daisy is a bad mood:

● Daisy does not want to meet Donald and chooses Ballet● Doanald chooses Soccer and believes that is Daisy is a

good mood she chooses Soccer and if she is a bad mood she chooses Ballet

Modified battle of sexes 2● Daisy knows from experience that:

● Donald wants to meet her (good mood) with probability 2/3 (playing top game)

● Donald avoids her (bad mood) with probability 1/3 (playing bottom game)

Soccer BalletSoccer 2,1 0,0Ballet 0,0 1,2

Soccer BalletSoccer 0,1 2,0Ballet 1,0 0,2

Soccer BalletSoccer 0,0 2,2Ballet 1,1 0,0

Soccer BalletSoccer 2,0 0,2Ballet 0,1 1,0

Modified battle of sexes 2

● Before we had two types of Daisy and hence two states

● Now we have two types of Daisy and two types of Donald, hence four states

● Donald does not know Daisy’s type but knows his own type

● Daisy does not know Donald’s type but knows her own type

Soccer BalletSoccer 2,1 0,0Ballet 0,0 1,2

Soccer BalletSoccer 0,1 2,0Ballet 1,0 0,2

Soccer BalletSoccer 0,0 2,2Ballet 1,1 0,0

Soccer BalletSoccer 2,0 0,2Ballet 0,1 1,0

S S S B B S B B

S S 2 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 0 2

S B 2 1 2/3 1/3 1 1/2 2/31

1/31 1/2 2/3 1/3 0 0 2/3

1 1/3

B S 0 0 1/3 2/3 1/2 1 1/3 2/3 1/2 1 1

1/3 2/3 1 2

1 1/3

2/3

B B 0 1 0 1 1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 2 1 1 0 2 0

Two Bayesian Nash Equilibria: ((S,S),(S,B)) and ((B,S),(B,B)).

Modified battle of sexes 2

● Interpretation of equilibrium:● Both Daisy and Donald make a plan what to

do before they realize what type they are● Each type of Donald chooses optimal action

given action of Daisy and his beliefs about Marge

● Each type of Daisy chooses optimal action given action of Donald and her beliefs about Donald

Reguła Bayesa

• Reguła Bayesa:• Prawdopodobieństwo warunkowe:

• Monty Hall:

• Wybiera drzwi 1

Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes

• Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem innego zdarzenia

• Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia w zależności od zajścia którejś z rozłącznych możliwości

• Prawdopodobieństwo zajścia hipotezy pod warunkiem zajścia skutku

)(

)()|(

HP

HAPHAP

)()|()()|()(

)()()(

)()(

;;,,

11

1

1

11

nn

n

n

njin

HPHAPHPHAPAP

HAPHAPAP

HAHAA

HHHHjiHH

)()|()()|(

)()|(

)(

)()|(

11

1111

nn HPHAPHPHAP

HPHAP

AP

AHPAHP

Paradox Monty Hall’a

• http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/montybg.html

Przykład z testowaniem wirusa HIV• Prawdopodobieństwo, że dana

osoba jest zakażona wirusem HIV w danej populacji jest 0,1%

• Test się myli w 1% przypadków, jeśli osoba jest zakażona (sensitivity = 99%)

• Test się myli w 5% przypadków, jeśli osoba jest niezakażona (specificity = 95%)

• Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana osoba jest zakażona pod warunkiem, że test wskazał „positive”?

• Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana osoba nie jest zakażona pod warunkiem, że test wskazał „negative”?

0,099%

0,001%

4,995%

94,905%

0,099%

0,001%

4,995%

94,905%

Probability tree flipping