Post on 01-Mar-2019
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej 6= 0
TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C, z 6= 0. Istnieje dokładnie jedna liczbaφ ∈ [0,2π), dla której
sinϕ =y|z|, cosϕ =
x|z|.
Liczbe te nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej zi oznaczamy Arg z.
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej 6= 0
TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C. Jesli Arg z = ϕ, to
sin(ϕ+ 2kπ) =y|z|, cos(ϕ+ 2kπ) =
x|z|.
Argumentem liczby zespolonej z nazywamy zbiór{ϕ+ 2kπ, k ∈ Z} i oznaczamy arg z.
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
dodawanie liczb zespolonych
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych
a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)
(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,
−ad + bcc2 + d2 )
a + bic + di
=ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych
a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)
(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,
−ad + bcc2 + d2 )
a + bic + di
=ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i
Liczby zespolone
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)
z = x + yi = |z|( x|z|
+y|z|
i) =
= |z|(cosϕ+ i sinϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2
√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)
z = x + yi = |z|( x|z|
+y|z|
i) =
= |z|(cosϕ+ i sinϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2
√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
mnozenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ).Wtedy
z · w = |z||w |(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)).
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ), w 6= 0.Wtedy
zw
=|z||w |
(cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)).
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
pierwiastek z liczby zespolonej
definicjaPierwiastkiem n–tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamyzbiór rozwiazan równania wn = z.
Gdy z 6= 0 to jest dokładnie n rozwiazan równania wn = z.Wszystkie one maja moduł równy n
√|z|, a ich argumenty
wynosza, kolejno, Arg zn , Arg z
n + 2πn , Arg z
n + 2 · 2πn ,. . .,
Arg zn + (n − 1) · 2π
n . Pierwiastek n–tego stopnia tworzy napłaszczyznie zespolonej n–kat foremny o srodku symetrii 0.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
3√−1
Liczby zespolone
4√−1
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
rozkładanie wielomianów na czynniki
Kazdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nmozna rozłozyc na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i,ewentualnie,trójmianów kwadratowych z wyróznikiem (∆)ujemnym.Kazde równanie wielomianowe stopnia n ma dokładnie npierwiastków zespolonych, jesli liczyc je z krotnosciami.
Liczby zespolone
ez
ez := ex+yi = ex · eyi = ex (cos y + i sin y).
Liczby zespolone
najpiekniejszy wzór matematyki
eπi + 1 = 0
Liczby zespolone
Zadania
1. Oblicza) (1− 3i) + (3− 4i) =b) (2− 5i)(3 + 2i) =c) 1+3i
2−i =2. Rozwiaz równania kwadratowe w liczbach zespolonycha) z2 = −4b) z2 + z + 2 = 03. Oblicza) e2πi =b) e−1+(π/4)i
Liczby zespolone