Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone....

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

C := R2.

R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).

R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.

i := (0,1), 1 = (1,0)

(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .

R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.

Liczby zespolone

Płaszczyzna zespolona

Liczby zespolone

Moduł liczby zespolonej

|z| = odległosc z od 0.

z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√

a2 + b2.

Liczby zespolone

z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√

a2 + b2.

Liczby zespolone

z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√

a2 + b2.

Liczby zespolone

z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√

a2 + b2.

Liczby zespolone

z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√

a2 + b2.

Liczby zespolone

argument liczby zespolonej 6= 0

TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C, z 6= 0. Istnieje dokładnie jedna liczbaφ ∈ [0,2π), dla której

sinϕ =y|z|, cosϕ =

Liczbe te nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej zi oznaczamy Arg z.

Liczby zespolone

Argument liczby zespolonej

Liczby zespolone

argument liczby zespolonej 6= 0

TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C. Jesli Arg z = ϕ, to

sin(ϕ+ 2kπ) =y|z|, cos(ϕ+ 2kπ) =

Argumentem liczby zespolonej z nazywamy zbiór{ϕ+ 2kπ, k ∈ Z} i oznaczamy arg z.

Liczby zespolone

argument liczby zespolonej

Liczby zespolone

dodawanie liczb zespolonych

(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Liczby zespolone

odejmowanie liczb zespolonych

(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i

Liczby zespolone

mnozenie liczb zespolonych

(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i

Liczby zespolone

dzielenie liczb zespolonych

a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)

(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,

−ad + bcc2 + d2 )

a + bic + di

=ac + bdc2 + d2 +

−ad + bcc2 + d2 i

Liczby zespolone

dzielenie liczb zespolonych

a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)

(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,

−ad + bcc2 + d2 )

a + bic + di

=ac + bdc2 + d2 +

−ad + bcc2 + d2 i

Liczby zespolone

sprzezenie liczby zespolonej

Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .

zz = |z|2

zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.

a + bic + di

=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)

ac − adi + bci + bdc2 + d2 =

ac + bdc2 + d2 +

−ad + bcc2 + d2 i .

Liczby zespolone

zz = |z|2

zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.

a + bic + di

=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)

ac + bdc2 + d2 +

−ad + bcc2 + d2 i .

Liczby zespolone

zz = |z|2

zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.

a + bic + di

=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)

ac + bdc2 + d2 +

−ad + bcc2 + d2 i .

Liczby zespolone

postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)

z = x + yi = |z|( x|z|

= |z|(cosϕ+ i sinϕ),

gdzie ϕ ∈ arg z.

przykłady

3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2

√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).

Liczby zespolone

postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)

z = x + yi = |z|( x|z|

= |z|(cosϕ+ i sinϕ),

gdzie ϕ ∈ arg z.

przykłady

3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2

√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).

Liczby zespolone

mnozenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej

Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ).Wtedy

z · w = |z||w |(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)).

Liczby zespolone

dzielenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej

Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ), w 6= 0.Wtedy

=|z||w |

(cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)).

Liczby zespolone

potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej

Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy

zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).

przykład

(1 + i)3 =

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 =

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 = (√

2(cos π4 + i sin π

4 ))3 =(√

2)3(cos 3π4 + i sin 3π

2(−√

2 ) =−2 + 2i .

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 = (√

4 ))3 =(√

2(−√

2 ) =−2 + 2i .

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 = (√

4 ))3 =(√

2(−√

2 ) =−2 + 2i .

Liczby zespolone

przykład

(1 + i)3 = (√

4 ))3 =(√

2(−√

2 ) =−2 + 2i .

Liczby zespolone

pierwiastek z liczby zespolonej

definicjaPierwiastkiem n–tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamyzbiór rozwiazan równania wn = z.

Gdy z 6= 0 to jest dokładnie n rozwiazan równania wn = z.Wszystkie one maja moduł równy n

√|z|, a ich argumenty

wynosza, kolejno, Arg zn , Arg z

n + 2πn , Arg z

n + 2 · 2πn ,. . .,

Arg zn + (n − 1) · 2π

n . Pierwiastek n–tego stopnia tworzy napłaszczyznie zespolonej n–kat foremny o srodku symetrii 0.

Liczby zespolone

pierwiastek zespolony

przykłady√

9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.

3√−1 = {−1, 1

2 +√

32 i , 1

2 −√

32 i}.

Liczby zespolone

przykłady√

9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.

3√−1 = {−1, 1

2 +√

32 i , 1

2 −√

32 i}.

Liczby zespolone

przykłady√

9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.

3√−1 = {−1, 1

2 +√

32 i , 1

2 −√

32 i}.

Liczby zespolone

przykłady√

9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.

3√−1 = {−1, 1

2 +√

32 i , 1

2 −√

32 i}.

Liczby zespolone

przykłady√

9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.

3√−1 = {−1, 1

2 +√

32 i , 1

2 −√

32 i}.

Liczby zespolone

3√−1

Liczby zespolone

4√−1

Liczby zespolone

Liczby zespolone, równania kwadratowe

Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i

Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i

√−∆

2a , z2 = −b+i√−∆

Liczby zespolone

√−∆

2a , z2 = −b+i√−∆

Liczby zespolone

√−∆

2a , z2 = −b+i√−∆

Liczby zespolone

√−∆

2a , z2 = −b+i√−∆

Liczby zespolone

√−∆

2a , z2 = −b+i√−∆

Liczby zespolone

równanie kwadratowe

z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

√∆ = {±4i},

z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i

2 = −1 + 2i .

Liczby zespolone

rozkładanie wielomianów na czynniki

Kazdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nmozna rozłozyc na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i,ewentualnie,trójmianów kwadratowych z wyróznikiem (∆)ujemnym.Kazde równanie wielomianowe stopnia n ma dokładnie npierwiastków zespolonych, jesli liczyc je z krotnosciami.

Liczby zespolone

ez := ex+yi = ex · eyi = ex (cos y + i sin y).

Liczby zespolone

najpiekniejszy wzór matematyki

eπi + 1 = 0

Liczby zespolone

Zadania

1. Oblicza) (1− 3i) + (3− 4i) =b) (2− 5i)(3 + 2i) =c) 1+3i

2−i =2. Rozwiaz równania kwadratowe w liczbach zespolonycha) z2 = −4b) z2 + z + 2 = 03. Oblicza) e2πi =b) e−1+(π/4)i

Liczby zespolone

Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone....

Documents

Transcript of Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone....