Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 1

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczbyzespolone

Liczby zespoloneZadanie 1Oblicz .

Wskazwka

Rozwizanie

Oblicz .

Uwagi

Dodawanie i mnoenie.

Zadanie 2

Znajd , , .

Wskazwka

Skorzystaj z poprzedniego zadania.

Rozwizanie

Uwagi

Cz rzeczywista, cz urojona, modu

Zadanie 3

Zapisz , w postaci , gdzie

Znajd , , .

Wskazwka

Pomn licznik i mianownik przez liczb sprzon do mianownika podanej liczby.

piotr Jez

piotr Jez

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 2

Rozwizanie

Uwagi

Dzielenie. Liczba sprzona do danej. Wydrukowa na tablicy, , , .

Zadanie 4Znajd , .

Wskazwka

Rozwizanie

Oznaczmy przez .

Mamy , , gdzie .Czyli

,

.

Uwagi

Argument. Umiejtno odczytywania argumentu z rysunku (pooenia punktu na paszczynie ).

Zadanie 5Znajd posta trygonometryczn i wykadnicz nastpujcych liczb zespolonych

, , , , , , , , ,

.

piotr Jez

piotr Jez

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 3

Wskazwka

W ostatnim przykadzie przypomnie sobie wzory wice sinus i cosinus kta z tangensem poowy kta.

Rozwizanie

,

,

,

Uwagi

Uwaga! Wzr Eulera peni w tym momencie jedynie rol wygodnego oznaczenia .Wygodnego bo .

Zadanie 6Wyra przy pomocy wielomianu od i funkcje ,

Wskazwka

Uyj wzoru Eulera.

Rozwizanie

Mamy

Ostatecznie otrzymujemy

,.

Uwagi

Wzr de Moivre'a.

Zadanie 7Udowodnij, e

gdzie , .

piotr Jez

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 4

Wskazwka

Rozwizanie

Zgodnie ze wskazwk mamy (uywajc wzoru Eulera)

Gdzie uylimy wzoru na sum n pierwszych wyrazw cigu geometrycznego.

Uwagi

Wzr de Moivre'a. Pokaza, e cig , gdzie , jest ograniczony.

Zadanie 8

Niech .

Pokaza e gdzie pierwiastki po prawej stronie s

pierwiastkami arytmetycznymi.

Wskazwka

Rozwizanie

Szukamy liczb takich, e czyli rozwiza musimy ukad rwna

.

Zamy, e wtedy zachodzi rwnie .

.

Pamitajc o tym, e d jest liczb rzeczywist otrzymujemy

.

Usuwajc niewymierno z mianownika otrzymujemy

.

Przypadek zostawiamy jako proste wiczenie.

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 5

Uwagi

Pierwiastek kwadratowy arytmetyczny ( z liczby rzeczywistej dodatniej a): dodatnia liczba rzeczywista, ktrapodniesiona do kwadratu daje a. W przypadku pierwiastkw algebraicznych symbol pierwiastka oznacza zbirwszystkich pierwiastkw algebraicznych. W szczeglnych przypadkach zamieniamy na posta wykadnicz np.obliczy .

Zadanie 9Rozwi rwnania

a) ,b) ,c) ,

Wskazwka

Rozwizanie

a) ,

b) tzn.

c) Zapisujc nasze rwnanie w postaci , znajdujemy gdzie .

Zbir rozwiza to czyli

Uwagi

Zadanie 10

Roz wielomian na iloczyn wielomianw o wspczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyejdrugiego.

Wskazwka

Skorzystaj z wynikw poprzedniego zadania.

Rozwizanie

Zapisujemy dany wielomian w postaci ilorazowej grupujc czynniki zawierajce pierwiastki wzajemnie sprzone.

.Wymnaajc czynniki pierwszy z drugim, trzeci z czwartym i pity z szstym otrzymujemy ostatecznie

.

piotr Jez

piotr Jez

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone 6

Uwagi

Zadanie 11

Czy liczba jest cakowita.

Wskazwka

Rozwizanie

Tak bo

Uwagi

Zadanie 12Udowodnij, ea) ,

b) .

Wskazwka

Rozwizanie

a) Pomy oraz otrzymujemy

co koczy dowd.b)

Uwagi

piotr Jez

rda i autorzy artykuu 7

rda i autorzy artykuuMatematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespolone rdo: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=14443 Autorzy: Maciejun

LicencjaAttribution-Share Alike 3.0 PLhttp:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl

Matematyka:Matematyka II - wiczenia/Liczby zespoloneLiczby zespolone

Licencja