Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić ... · PDF fileIII...
271
Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić problem. z8m2
Transcript of Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić ... · PDF fileIII...
Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić problem.
z8m2
Zbiór zadań typowych ale mogących sprawić problem powstał chwilę przed naszą maturą. Jest to jedynie kilka procent zadań, które przerobiliśmy na zajęciach „z projektu”. Gdybyśmy chcieli zamieścić wszystkie nie starczyłoby nam czasu na ich rozwiazywanie.
W zbiorze umieściliśmy jedynie zadania otwarte, krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi. Nie rzucaliśmy się w przepaść: nie ma tu zadań z tzw. rozszerzenia. Jesteśmy jednak pewni, że poświęciliśmy wystarczającą ilość czasu i maturę na poziomie podstawowym zdamy dobrze.
Podział na działy w dużej mierze pokrywa się z faktycznym „podziałem matematyki”. Podział jest nasz, kolejność jest nasza bo tak uważaliśmy za stosowne.
Zbiór zawiera 361 zadań i ich rozwiązania. Zadania pochodzą z różnych źródeł. Są to arkusze maturalne publikowane przez centralną komisję egzaminacyjną, strony internetowe z zadaniami (głównie zadania.info).
Praca powstała dzięki projektowi „Kompetencje kluczowe drogą do kariery” realizowanemu przez Wyższą Szkołę Pedagogiczną TWP w Warszawie w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zespół matematyczny z8m2 w składzie:
Bojzan Karolina, Goc Karolina, Kacprzak Kamila,
Kister Joanna, Królikowska Agata
Wszystko pod czujnym okiem
Pana Grzegorza Zająca
Spis treści
I Liczby. Działania na liczbach 1
II Funkcje 5
III Równania i układy równań 10
IV Nierówności 14
V Wielomiany 17
VI Ciągi 19
VII Geometria analityczna 24
VIII Planimetria 28
IX Stereometria 33
X Trygonometria 38
XI Rachunek prawdopodobieństwa 40
XII Statystyka 45
ZADANIE 1Ocen, czy liczba |3, 14− π|+ |π − 3, 14| jest wymierna, czy niewymierna.
ZADANIE 2Zaznacz w układzie współrzednych zbiór wszystkich par (x, y) liczb rzeczywistych, dla których wyrazenie:4√
4− x2 − y2 − 1√y−log2 x
ma wartosci rzeczywiste.
ZADANIE 3Wykaz, ze jezeli A = 34
√2+2 i B = 32
√2+3, to B = 9
√A.
ZADANIE 4Wykaz, ze liczba a = log2
√2 8− log 1
20, 25 jest liczba wymierna.
ZADANIE 5Oblicz 3·220+7·219·52
(13·84)2 .
ZADANIE 6Oblicz 2 log5 2 + log5 3.
ZADANIE 7
a) Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, którychodległosc na osi liczbowej od liczby (-1) jest nie wieksza niz 4.
b) Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdz czy liczba a nalezy do danego przedziału.
ZADANIE 8Wykaz, ze róznica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez 4.
ZADANIE 9Wykaz, ze róznica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez 4.
ZADANIE 10Przedstaw
4−1−3·( 23 )−2
5−( 12 )−1 w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
1
I Liczby. Działania na liczbach.
ZADANIE 11Dane sa x = 2−
√2 i y = 5
√2 + 1. Oblicz x
y .
ZADANIE 12Wykaz, ze jezeli a > 0 i b > 0 oraz
√a2 + b =
√a + b2, to a = b lub a + b = 1.
ZADANIE 13Oblicz −3
√3− 12− 3√
3−2.
ZADANIE 14Wykaz, ze liczba a =
√4log2 5 jest liczba całkowita.
ZADANIE 15Oblicz x z równania bx− abx = ba2 − ab i przedstaw wynik w najprostszej postaci.
ZADANIE 16Wykaz, ze liczba a = 327 + 329 jest podzielna przez 30.
ZADANIE 17Zapisz podane wyrazenie w prostszej postaci:
4√5·25·√
125· 4√25
625·√
125 ·
4√125.
ZADANIE 18Wykaz, ze liczba
((1 +
√5)3 + (1−
√5)3)2
jest wymierna.
ZADANIE 19
Zapisz podane wyrazenie w prostszej postaci:((
19
)− 12 : 3
19
)1,125
.
ZADANIE 20Wyrazenie 128·
√2·√
8· 4√82−3· 8√4
zapisz w postaci 2k, gdzie k jest liczba wymierna.
ZADANIE 21Wykaz, ze liczba 4
√3√
3−1− 2√
3 jest liczba wymierna.
2
ZADANIE 22Wykaz, ze log7 5 = log49 25.
ZADANIE 23Doprowadz wyrazenie (x− 1)(x + 1)− 5(3x− 4)2− (2x + 3)(5+ x) do najprostszej postaci, a nastepnie obliczjego wartosc dla x =
√5
ZADANIE 24Zaznacz na osi liczbowej przedziały A = (−∞, 5) i B = 〈2, 10〉. Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A.
ZADANIE 25Uprosc wyrazenie 5
√12 + 4
√75− 3
√48.
ZADANIE 26Wyznacz niewiadoma y z równania 1
x + 2y = 1, gdzie x 6= 0, x 6= 1, y 6= 0.
ZADANIE 27Oblicz
[8, 25− 0, 5−0,5 · (2−0,5 + 4−0,25)
] 12 .
ZADANIE 28Uzasadnij równosc
(4
12 · 2 1
9
)1,8=(
2√2
)4.
ZADANIE 29Wykaz, ze liczby a = −5
2√
2+3oraz b = |10
√2− 15| sa liczbami przeciwnymi.
ZADANIE 30Udowodnij, ze jezeli liczba a + b jest rózna od zera oraz a
a+b = 25 to b
a+b = 35 .
ZADANIE 31Zapisz jako potege liczby 3 wyrazenie
3 · 3√
3 · 9 34 · 27−1,5
8134 · 243
35
ZADANIE 32Zapisz wyrazenie w prostszej postaci: 2 3√81+3 3√24+ 3√375
5 3√192− 3√3000.
3
ZADANIE 1Dana jest funkcja liniowa f (x) = 3x− 1.
a) Rozwiaz nierównosc f (x + 3) 6 f (1− x).
b) Podaj maksymalne przedziały monotonicznosci funkcji f (x− x2).
ZADANIE 2Funkcja liniowa f okreslona jest wzorem f (x) = 3x + b, dla x ∈ R. Wyznacz współczynnik b, wiedzac, zef (x− 2) = 3x− 5.
ZADANIE 3Wyznacz wzór funkcji liniowej f , wiedzac ze nie przyjmuje ona wartosci dodatnich oraz f (22) = −3.
ZADANIE 4O funkcji liniowej f wiadomo, ze f (1) = 2 oraz, ze do wykresu tej funkcji nalezy punkt P = (−2, 3). Wyznaczwzór funkcji f .
ZADANIE 5Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym 2 i przechodzacej przez punkt P = (−2; 3).
ZADANIE 6Wykres funkcji liniowej f przecina osie Ox i Oy układu współrzednych odpowiednio w punktach P = (2, 0)oraz Q = (0, 4).
a) Wyznacz wzór funkcji f .
b) Sprawdz, czy dla argumentu x = 1√2−1
wartosc funkcji f wynosi 2− 2√
2.
ZADANIE 7Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedzac ze jej wykres jest nachylony do osi Ox pod katem 60 i przechodziprzez punkt P = (1, 3).
ZADANIE 8Okresl zbiór wartosci funkcji: f (x) = x2 − x− 3
4 . Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartosci ujemne?
ZADANIE 9Okresl zbiór wartosci i przedziały monotonicznosci funkcji f (x) = −2x2 + 3.
5
II Funkcje.
Samsung
Tekst maszynowy
Samsung
Tekst maszynowy
ZADANIE 10Zapisz wzór funkcji f (x) = −5x2 + 10x− 5 w postaci kanonicznej i iloczynowej.
ZADANIE 11Wykaz, ze jezeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa rózne miejsca zerowe.
ZADANIE 12Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = 3x2 − 2x + 5 i g(x) = −x2 + x − 1. Wyznacz najwieksza wartoscfunkcji h(x) = g(x)− f (x).
ZADANIE 13Wyznacz najmniejsza wartosc funkcji f (x) = −x2 + 3x− 2 w przedziale 〈3, 4〉.
ZADANIE 14Sprowadz do postaci kanonicznej funkcje kwadratowa dana w postaci ogólnej wzorem f (x) = x2 − 2x + 3.
ZADANIE 15Wyznacz zbiór wartosci funkcji f (x) = −(x + 1)2 + 2.
ZADANIE 16Wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f (x) = (x + 1)2 − 3 w przedziale 〈−1; 1〉.
ZADANIE 17Wyznacz najmniejsza wartosc funkcji kwadratowej f (x) = 1
2 (x + 2)(x− 8) w przedziale 〈1, 2〉.
ZADANIE 18Wyznacz wartosc funkcji f (x) = −x2 + 3x− 2 dla argumentu x =
√3 + 2.
ZADANIE 19Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór.
-13
2
6
ZADANIE 20Punkty A = (0, 5) i B = (1, 12) naleza do wykresu funkcji f (x) = x2 + bx + c. Zapisz wzór funkcji w postaciogólnej, kanonicznej i iloczynowej.
ZADANIE 21Dla jakiego p prosta o równaniu x = 2 jest osia symetrii wykresu funkcji y = x2 − 4px + 8.
ZADANIE 22Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji f (x) = −3x2 + 5x + 9.
ZADANIE 23Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = x2 + bx+ 1 oraz g(x) = bx2 + cx− 4. Wyznacz wartosci parametrówb oraz c, tak aby wykresy funkcji miały wierzchołek w punkcie o odcietej -2.
ZADANIE 24Funkcja f okreslona jest wzorem f (x) = 3x2− 9x+ c, gdzie c ∈ R. Wyznacz wszystkie wartosci współczynnikac, dla których:
a) jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 2;
b) wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , nalezy do prostej o równaniu y = x.
ZADANIE 25Naszkicuj f (x) = x2 oraz g(x) = x + 3 i na ich podstawie okresl liczbe pierwiastków równania x2 = x + 3oraz znaki tych pierwiastków.
ZADANIE 26Dana jest funkcja f (x) = −x2 + 6x− 5.
a) Narysuj parabole, która jest wykresem funkcji f i zaznacz na rysunku współrzedne jej wierzchołka orazpunktów przeciecia paraboli z osiami układu współrzednych.
b) Odczytaj z wykresu zbiór wartosci funkcji f .
c) Rozwiaz nierównosc f (x) > 0.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
7
ZADANIE 27Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, ze jej miejsca zerowe sa rozwiaza-niami równania |x− 3| = 5.
ZADANIE 28Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = −9(x− a
2 )2 + 4
a) Dla a = 2 wyznacz postac iloczynowa tej funkcji.
b) Dla a = 0 wyznacz te argumenty, dla których funkcja osiaga wartosci ujemne.
c) Wyznacz a tak, aby osia symetrii wykresu funkcji była prosta o równaniu x = 6.
ZADANIE 29Okresl zbiór wartosci i przedziały monotonicznosci funkcji f (x) = −x2 + 8x− 15.
ZADANIE 30Wiesz, ze funkcja kwadratowa f (x) = 2x2 + bx + c przyjmuje wartosc najmniejsza y = 1 dla x = 1. Wyznaczwzór funkcji f , a nastepnie rozwiaz równanie f (x + 4) = f (−1).
ZADANIE 31Wyznacz f (x + 1) jezeli f (x− 1) = 2x2 − 3x + 1.
ZADANIE 32Funkcja liniowa y = ax + b jest malejaca i jej miejscem zerowym jest liczba niedodatnia. Ustal znak wyrazeniaa + b.
ZADANIE 33Oblicz f ( 3
√2− 5) jezeli f (x) = −|(−3− x)3 + 12 3
√2− 10 3
√4|.
ZADANIE 34Okresl dziedzine funkcji f (x) =
√x+2
x4−16 .
ZADANIE 35Wyznacz miejsca zerowe funkcji
f (x) =
x + 5 dla x < −5−x + 2 dla −5 6 x < 5x− 6 dla x > 5.
8
ZADANIE 36Oblicz miejsca zerowe funkcji
f (x) =
2x + 1 dla x 6 0x + 2 dla x > 0.
ZADANIE 37Uprosc wyrazenie 2x3+16
x2−2x+4 .
ZADANIE 38Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 1
x3−7x2−2x+14 .
ZADANIE 39Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 3+x
x2 − 23−x .
ZADANIE 40Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 4
√2− 4x2 − 3x.
9
ZADANIE 1Rozwiaz równanie 1 + 4 + 7 + . . . + x = 117.
ZADANIE 2Rozwiaz równanie 2x−4
x+3 = 13 .
ZADANIE 3Rozwiaz równanie x + x3 = 1 + x2.
ZADANIE 4Rozwiaz równanie x2(x− 1) = 7x(1− x).
ZADANIE 5Rozwiaz równanie 8x2 + 3 = 35.
ZADANIE 6Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 − 4x2 − mx + 36. Wyznacz parametr m i pozostałe pier-wiastki tego wielomianu.
ZADANIE 7Rozwiaz równanie x4 + 2x3 − 4x2 − 8x = 0.
ZADANIE 8Podaj miejsca zerowe funkcji f (x) = x(x + 2).
ZADANIE 9
Rozwiaz algebraicznie i graficznie układ równan
y = x + 25y− 3x = 4.
ZADANIE 10Pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x3 + mx− 5 jest liczba -2. Wyznacz parametr m.
ZADANIE 11Rozwiaz równanie x3 − 4x2 − 3x + 12 = 0.
ZADANIE 12Rozwiaz równanie 2x+1
x+1 = 56 x.
10
III Równania i układy równań.
ZADANIE 13Rozwiaz równanie −4x2 − 16x + 9 = 0.
ZADANIE 14Rozwiazaniami równania x2 + bx + c = 0 sa liczby 8 i -3. Wyznacz parametry b, c.
ZADANIE 15Rozwiaz równanie 2x3 − 18x = 0.
ZADANIE 16Rozwiaz układ równan
x + y = 32x + 2y = 7.
ZADANIE 17Wykaz, ze funkcja kwadratowa f (x) = x2 + (b + 2)x + 2b, ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla kazdejwartosci parametru b. Dla jakiej wartosci parametru b funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe? Wyznacz tomiejsce.
ZADANIE 18Rozwiaz układ równan
3x− 2y = 06y− 10x− 4 = 0
ZADANIE 19Rozwiaz równanie x− 2 = −x−1.
ZADANIE 20Rozwiaz równanie x
√5 = x + 2.
ZADANIE 21Rozwiaz równanie 4+2x
x−5 = −5.
ZADANIE 22Rozwiaz równanie 8
( 76 x− 9
)− 3(47− 3x) = 7.
ZADANIE 23Rozwiaz równanie x3 − 12x2 + x− 12 = 0.
11
ZADANIE 24Liczby x1 = −4 i x2 = 3 sa pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + 4x2 − 9x− 36. Oblicz trzeci pierwiastektego wielomianu.
ZADANIE 25Rozłóz na czynniki liniowe trójmian kwadratowy y = x2 − 3x + 2.
ZADANIE 26Rozwiaz układ równan
xy = 6x2 + y2 = 13.
ZADANIE 27Rozwiaz równanie (x + 3)2 − (4− x)(4 + x) = 2(x− 1)2 + 1.
ZADANIE 28Rozwiaz układ równan
x + 3y = 52x− y = 3.
ZADANIE 29Rozwiaz równanie (x + 1)(x + 1) = 1.
ZADANIE 30Rozwiaz równanie x4 − 3x2 = 3− x2.
ZADANIE 31Rozwiaz graficznie i algebraicznie układ równan
y = x2 + 2x + 1x2 + 4x + y + 3 = 0.
ZADANIE 32Rozwiaz równanie x3 + 3x2 + 2x + 4 = (x + 2)2.
ZADANIE 33Rozwiaz graficznie i algebraicznie układ równan
y = x2 − 4x + 3x− y− 1 = 0.
12
ZADANIE 34Rozwiaz równanie 321 · x = 911·x−276
2 .
ZADANIE 35Rozwiaz równanie 321 · x = 911·x−276
2 .
ZADANIE 36Rozwiaz równanie
1− x3+
x2
9− x3
27+
x4
81= 243 + x5.
ZADANIE 37Wyznacz niewiadoma x z równania: (x + 2
√3)(3−
√3) = 9 +
√3.
ZADANIE 38Rozwiaz układ równan
x2 + 1 = yx + y = 7.
ZADANIE 39Rozwiaz nierównosc (x − 2)2 − 4 < 0. Podaj wszystkie rozwiazania równania x3 + 6x2 − 4x − 24 = 0, którenaleza do zbioru rozwiazan tej nierównosci.
13
ZADANIE 1Rozwiaz nierównosc x4+2x3+x2
x−1+6x2 < 0.
ZADANIE 2Znajdz wszystkie liczby całkowite spełniajace nierównosc |x + 4| < 2.
ZADANIE 3Rozwiaz nierównosc
1x(x + 1)
+1
(x + 1)(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
< 0.
ZADANIE 4Wykaz, ze dla kazdych liczb rzeczywistych x oraz a prawdziwa jest nierównosc
(x + 2a)2 > 8ax.
ZADANIE 5Wykaz, ze dla m = 3 nierównosc x2 +(2m− 3)x+ 2m+ 5 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywistex.
ZADANIE 6Rozwiaz nierównosc −20x2 + x + 1 > 0.
ZADANIE 7Funkcja kwadratowa f jest okreslona wzorem f (x) = (2− x)2.
a) Wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f w przedziale 〈0, 5〉.
b) Rozwiaz nierównosc f (x)− (2− x) > 0.
ZADANIE 8Rozwiaz nierównosc x+2
3 + 1 < x.
ZADANIE 9Rozwiaz nierównosc: x2 − 7x + 12 > 0.
14
IV Nierówności.
ZADANIE 10Funkcje f i g dane sa wzorami f (x) = −3x2 − x + 2, g(x) = −3x + 1. Wyznacz zbiór argumentów x, dlaktórych funkcja f przyjmuje wartosci wieksze od funkcji g.
ZADANIE 11Rozwiaz nierównosc 2x2 < −260 + 53x. Podaj wszystkie liczby całkowite, które spełniaja te nierównosc.
ZADANIE 12Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierównosc x2 − 14x + 13 < 0.
ZADANIE 13Uzasadnij, ze jesli liczby rzeczywiste a, b, c spełniaja nierównosci 0 < a < b < c, to
a + b + c3
>a + b
2.
ZADANIE 14Rozwiaz nierównosc (1 + 2x)2 > 4x(x + 2).
ZADANIE 15Rozwiaz nierównosc: (x + 3)2 − (x− 6)2 > x2 − 27.
ZADANIE 16Wykaz, ze dla kazdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierównosc x2 + 4 > 4x.
ZADANIE 17Rozwiaz nierównosc 3x + (3x + 1) + · · ·+ (3x + 99) < 2010, gdzie lewa strona jest suma kolejnych wyrazówciagu arytmetycznego.
ZADANIE 18Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierównosc
ac + bd 6√
a2 + b2 ·√
c2 + d2.
ZADANIE 19Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierównosc
(x− 5)2 + (x−√
3)(√
3 + x) > (2x + 14)(x− 7).
15
ZADANIE 20Wyznacz najwieksza liczbe całkowita spełniajaca nierównosc
1x2 + 560x + 78200
< 0.
16
ZADANIE 1Dane sa wielomiany W(x) = x2 + 3x+ 2, F(x) = ax+ b, H(x) = −2x3− 3x2 + 5x+ 6. Wyznacz współczynnikia, b, dla których wielomiany W(x) · F(x) oraz H(x) sa równe.
ZADANIE 2Wielomian W dany jest wzorem W(x) = x3 + ax2 − 4x + b.
a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) = x3 + (2a + 3)x2 +(a + b + c)x− 1.
b) Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
ZADANIE 3Rozłóz wielomian W(x) = x3 + 3x2 − 2x− 6 na czynniki liniowe.
ZADANIE 4Wyznacz zbiór wartosci funkcji f (x) = W(x)− x3, gdzie W(x) = x3 + 5x2 + 5x− 3.
ZADANIE 5Sprawdz, czy równe sa wielomiany W1(x) = (x + 2)3 − (2x + 3)(2x− 3) iW2(x) = (x− 5)(x2 + 1) + 7x2 + 11x + 22.
ZADANIE 6Wielomiany W(x) = ax(x + b)2 i V(x) = x3 + 2x2 + x sa równe. Oblicz a i b.
ZADANIE 7Wyznacz współczynniki a, b wielomianu W(x) = x3 + ax2 + bx + 1 wiedzac, ze dla kazdego x ∈ R prawdziwajest równosc: W(x− 1)−W(x) = −3x2 + 3x− 6.
ZADANIE 8Zbadaj, czy istnieje taka wartosc współczynnika a, dla której wielomiany W(x) i [Q(x)]2 sa równe, jesli Q(x) =x2 + ax− 1, W(x) = x4 + 2x3 + x2 − 2x + 1.
ZADANIE 9Rozłóz wielomian W(x) = x4− 7x2 + 12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu.
ZADANIE 10Dany jest wielomian P(x) = 4x3 − 12x2 + 9x, gdzie x ∈ R.
a) Dla jakich argumentów wielomian P(x) przyjmuje wartosc równa 27?
b) Wielomiany P(x) = 4x3 − 12x2 + 9x oraz W(x) = x(ax + b)2 sa równe. Wyznacz a i b.
17
V Wielomiany.
ZADANIE 11Dany jest wielomian W(x) = x3 − 5x2 − 9x + 45.
a) Sprawdz, czy punkt A = (1, 30) nalezy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
18
ZADANIE 1Znajdz x, dla którego liczby 2, 2x+1, 2x+1 + 6 w podanej kolejnosci tworza ciag arytmetyczny.
ZADANIE 250 wyraz ciagu arytmetycznego bn jest równy 5. Oblicz S60 − S39, gdzie Sn oznacza sume n poczatkowychwyrazów ciagu bn.
ZADANIE 3Pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -5, a suma dwudziestu poczatkowych wyrazów tego ciagujest równa 1230. Wyznacz róznice tego ciagu.
ZADANIE 4Oblicz wyrazy a2, a8, a23 ciagu arytmetycznego jesli a1 = 8 i r = 5.
ZADANIE 5Pierwszy wyraz malejacego ciagu arytmetycznego (an) jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piategorówny jest 15. Oblicz róznice ciagu (an) oraz sume 14 jego poczatkowych wyrazów.
ZADANIE 6Liczby x, y, 19 w podanej kolejnosci tworza ciag arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y.
ZADANIE 7Znajdz ogólny wyraz ciagu arytmetycznego (an) wiedzac, ze a1 = −7, a5 = −5.
ZADANIE 8Piaty wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 26, a suma pieciu poczatkowych wyrazów tego ciagu jest równa70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciagu.
ZADANIE 9Liczby 3 i 7 sa dwoma poczatkowymi wyrazami pewnego rosnacego ciagu arytmetycznego. Oblicz dwudzie-sty wyraz tego ciagu i sume jego dwudziestu poczatkowych wyrazów.
ZADANIE 10Wyrazami ciagu arytmetycznego (an) sa kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 daja reszte 2.Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.
ZADANIE 11Trzeci wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 4. Suma czterech pierwszych wyrazów tego ciagu jest równa14. Oblicz a10.
19
VI Ciągi.
ZADANIE 12Oblicz sume pierwszych 14 wyrazów ciagu arytmetycznego (an) jezeli a1 = 6 oraz a15 = 62.
ZADANIE 13Dany jest ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = −20 i róznicy r = 4. Wyznacz liczbe n, dla której sumaczesciowa Sn jest równa 780.
ZADANIE 14Drugi wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -3, dziesiaty wyraz jest równy 21. Wyznacz pierwszy wyraz iróznice tego ciagu.
ZADANIE 15Zbadaj, czy ciag an = 3n−1
2 jest arytmetyczny.
ZADANIE 16Krawedzie prostopadłoscianu wychodzace z jednego wierzchołka tworza ciag arytmetyczny o pierwszymwyrazie 5 i róznicy 2. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłoscianu.
ZADANIE 17Oblicz a1, a3, a15 oraz sume S10 dziesieciu pierwszych wyrazów ciagu arytmetycznego (an) jezeli a6 = 1 ia8 = 3.
ZADANIE 18Sprawdz czy podane liczby
a =12
, b =13
, c =16
tworza ciag arytmetyczny (w podanej kolejnosci).
ZADANIE 19W 10-wyrazowym ciagu arytmetycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 35. Oblicz piatywyraz tego ciagu.
ZADANIE 20Liczby x − 2, 3, x + 6 sa w podanej kolejnosci pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu arytmetycznego.Oblicz x.
ZADANIE 21Wykaz, ze dla kazdego m ciag
(m+1
4 , m+36 , m+9
12
)jest arytmetyczny.
20
ZADANIE 22Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zas suma kwadratów wy-razów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz i róznice tego ciagu.
ZADANIE 23Dany jest ciag arytmetyczny (an) dla n > 1, w którym a7 = 1, a11 = 9.
a) Oblicz pierwszy wyraz a1 i róznice r ciagu (an).
b) Sprawdz, czy ciag (a7, a8, a11) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie n, aby suma n poczatkowych wyrazów ciagu (an) miała wartosc najmniejsza.
ZADANIE 24W ciagu arytmetycznym (an) dane sa wyrazy: a3 = 4, a6 = 19. Wyznacz wszystkie wartosci n, dla którychwyrazy ciagu (an) sa mniejsze od 200.
ZADANIE 25Wykaz, ze jezeli liczby a2, b2 i c2 tworza ciag arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby 1
b+c , 1a+c i 1
a+b równieztworza ciag arytmetyczny.
ZADANIE 26Suma n poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego (an) wyraza sie wzorem Sn = 2n2 + n dla n > 1. Obliczpierwszy wyraz ciagu i jego róznice.
ZADANIE 27Liczby 2, x − 3, 8 sa w podanej kolejnosci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciagu arytmetycznego.Oblicz x.
ZADANIE 28Długosci boków trójkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny, w którym srodkowy wyraz jest równy 8.Wyznacz długosci boków trójkata, oblicz jego pole oraz promien okregu opisanego na tym trójkacie.
ZADANIE 29Nieskonczony ciag liczbowy (an) jest okreslony wzorem an = 2− 1
n , dla n = 1, 2, 3, . . ..
a) Oblicz, ile wyrazów ciagu (an) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciag (a2, a7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x.
ZADANIE 30Liczby 2a− 3, a, 2a + 3, w podanej kolejnosci, tworza ciag geometryczny. Wyznacz a.
21
ZADANIE 31Uzasadnij, ze ciag okreslony wzorem an =
( 32)n
jest ciagiem geometrycznym. Wyznacz iloraz tego ciagu.
ZADANIE 32Oblicz sume osmiu poczatkowych wyrazów rosnacego ciagu geometrycznego, w którym a1 = 4, a3 = 16.
ZADANIE 33Ciag 36, 12
√6, 24, . . . jest ciagiem geometrycznym.
a) Oblicz iloraz q tego ciagu.
b) Zapisz n-ty wyraz tego ciagu w postaci aqn
c) Oblicz sume osmiu poczatkowych wyrazów tego ciagu.
ZADANIE 34Dany jest ciag geometryczny, w którym a1 = 12 i a3 = 27.
a) Ile jest ciagów spełniajacych podane warunki? Odpowiedz uzasadnij.
b) Oblicz wyraz a6 tego ciagu, który jest rosnacy. Wynik podaj w postaci ułamka dziesietnego.
ZADANIE 35Liczby −x2,−8, x w podanej kolejnosci tworza ciag geometryczny. Oblicz x.
ZADANIE 36W graniastosłupie prawidłowym trójkatnym wysokosc podstawy, krawedz podstawy i wysokosc graniasto-słupa tworza ciag geometryczny. Oblicz długosc krawedzi podstawy graniastosłupa wiedzac, ze jego objetoscjest równa 108.
ZADANIE 37Pierwszy wyraz nieskonczonego ciagu geometrycznego (an) jest równy −1. Wyraz drugi, trzeci i czwartyspełniaja warunek a3 − 2a4 = 8a2 + 4.
a) Oblicz iloraz ciagu (an).
b) Okresl, czy ciag (an) jest rosnacy, czy malejacy.
ZADANIE 38Suma n poczatkowych wyrazów ciagu geometrycznego (an) wyraza sie wzorem Sn = 1−
( 23)n
dla n > 1.Oblicz pierwszy wyraz ciagu i jego iloraz.
22
ZADANIE 39W nieskonczonym ciagu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich kazdy wyraz poczawszy od trzeciego,jest suma dwóch poprzednich wyrazów. Oblicz iloraz tego ciagu.
ZADANIE 40Wykaz, ze liczby
√3−23 , 3−2
√3
6 ,√
3−24 sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego.
23
ZADANIE 1Wykaz, ze prosta l : y = −2x− 1 jest styczna do okregu (x− 3)2 + (y + 2)2 = 5.
ZADANIE 2Wyznacz równanie prostej przechodzacej przez poczatek układu współrzednych i przez srodek okregu o rów-naniu x2 + y2 − 2x + 4y− 5 = 0.
ZADANIE 3Wierzchołkami trójkata ABC sa punkty A = (−4, 1), B = (5,−2), C = (3, 6). Oblicz długosc srodkowej AD.
ZADANIE 4W układzie współrzednych na płaszczyznie punkty A = (2, 5) i C = (6, 7) sa przeciwległymi wierzchołkamikwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
ZADANIE 5Dane sa dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1,−3), C = (−5,−1). Wyznacz obwód tego kwadratu.
ZADANIE 6Dany jest jeden koniec odcinka A = (−4,−7) i jego srodek S = (5,−1). Wyznacz współrzedne drugiego koncatego odcinka.
ZADANIE 7Napisz równanie symetralnej boku AB trójkata ABC o wierzchołkach A = (3, 2), B = (10, 2) i C = (5, 8).
ZADANIE 8Na prostej o równaniu x − y − 4 = 0 znajdz punkt P, którego kwadrat odległosci od punktu A(1, 1) jestnajmniejszy.
ZADANIE 9Wyznacz równania stycznych do okregu x2 + 6x + y2 − 8y + 21 = 0 równoległych do osi Oy.
ZADANIE 10Oblicz pole i obwód trójkata o wierzchołkach: A = (1, 3), B = (4, 0), C = (−2, 1).
ZADANIE 11Dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (−3, 1), B = (6,−2), C = (10, 1), D = (1, 4). Napiszrównania prostych, w których zawarte sa przekatne równoległoboku.
24
VII Geometria analityczna.
ZADANIE 12Podaj współrzedne srodka i długosc promienia okregu o równaniu: (x− 4)2 + (y + 2)2 = 25.
ZADANIE 13Napisz równanie okregu o srodku w punkcie S(2,−3), stycznego do osi Ox.
ZADANIE 14W kwadracie ABCD dane sa wierzchołek A = (1,−2) i srodek symetrii S = (2, 1). Oblicz pole kwadratuABCD.
ZADANIE 15Oblicz pole trójkata o wierzchołkach A = (−2, 4), B = (6,−1), C = (2,−1).
ZADANIE 16Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej y = 6x − 10 przechodzacej przez punkt A = (−1, 2) orazrównanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzacej przez punkt B = (0,−3).
ZADANIE 17Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x − y − 11 = 0 i przechodzacej przez punktP = (1, 2).
ZADANIE 18Wyznacz współrzedne punktów wspólnych prostej y = 1
3 x− 1 i okregu x2 + y2 = 9.
ZADANIE 19Okresl wzajemne połozenie prostych k i l o równaniach
k : 2x− y + 3 = 0,l : x− 0, 5y− 1 = 0
ZADANIE 20Wyznacz współrzedne wierzchołków trójkata jezeli srodki jego boków maja współrzedne: P = (1, 3), Q = (−5,4), R = (−6, 7).
ZADANIE 21Podstawa trójkata równoramiennego jest odcinek o koncach w punktach A = (−2,−4) oraz B = (−5, 2).Jedno z jego ramion zawiera sie w prostej o równaniu y = x − 2. Oblicz współrzedne trzeciego wierzchołkatrójkata.
25
ZADANIE 22Napisz równanie okregu, którego srodek nalezy do osi Ox, i który przechodzi przez punkty A(2, 3) i B(5, 2).
ZADANIE 23W układzie współrzednych dane sa dwa punkty: A = (−2, 2) i B = (4, 4).
a) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
b) Prosta AB oraz prosta o równaniu 3x − 2y − 11 = 0 przecinaja sie w punkcie C. Oblicz współrzednepunktu C.
ZADANIE 24W trójkacie ABC, gdzie |AC| = 2|AB| dane sa B = (−6, 6) i C = (−10,−9). Wyznacz współrzedne wierzchoł-ka A, jezeli lezy on na prostej 3y + x = 1.
ZADANIE 25Punkty o współrzednych A = (−1;−6), B = (3; 6), C = (−1; 4) sa wierzchołkami trapezu. Ramie trapezu ADjest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzedne punktu D oraz pole powierzchni tego trapezu.
ZADANIE 26Dane sa punkty A(6,−3), B(1, 2) oraz C(2m3 − 18m,−m2). Wyznacz wszystkie wartosci m, dla których prosteAB i AC sa prostopadłe.
ZADANIE 27Dane sa punkty A = (−2,−7), B = (−1,−4), C = (4, 11). Wykaz, ze punkty te sa współliniowe
ZADANIE 28Na prostej y = −3x + 2 wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległosci od osi układu współrzednychjest najmniejsza.
ZADANIE 29Dany jest okrag (x− 2)2 + (y− 1)2 = 3. Oblicz pole rombu opisanego na tym okregu, jesli kat ostry rombu mamiare 60.
ZADANIE 30Wyznacz równanie okregu przechodzacego przez punkt A = (2, 1) i stycznego do obu osi układu współrzed-nych. Rozwaz wszystkie przypadki.
ZADANIE 31Okrag o równaniu x2 − 6x + y2 − 2y + 2 = 0 i prosta x + 3y + 2 = 0 przecinaja sie w punktach A, B. Wyznaczdługosc cieciwy AB tego okregu.
26
ZADANIE 32Okresl wzajemne połozenie okregów: x2 + y2 + 2x = 0 i x2 + y2 + 12x + 24y + 36 = 0.
ZADANIE 33Punkty A = (−2, 0) i B = (8, 0) sa wierzchołkami trójkata prostokatnego ABC o przeciwprostokatnej AB ipolu równym 15. Oblicz współrzedne punktu C.
ZADANIE 34Sprawdz, czy czworokat ABCD, gdzie A = (−3,−1), B = (53,−2), C = (54, 4), D = (−2, 3) jest równoległo-bokiem. Odpowiedz uzasadnij.
27
ZADANIE 1Obwód czworokata wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkata ABD jest równy 46 cm, a obwódtrójkata BCD jest równy 36 cm. Oblicz długosc przekatnej BD.
ZADANIE 2Romb o kacie ostrym 30 jest opisany na okregu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu.
ZADANIE 3Znajdz długosci przekatnych rombu o boku 29 jezeli wiadomo, ze ich róznica długosci jest równa 2.
ZADANIE 4Boki prostokata ABCD maja długosci 5 i 12. Oblicz odległosc wierzchołka A od przekatnej BD.
ZADANIE 5Przyprostokatne trójkata ABC maja długosci 10 i 24. Przeciwprostokatna trójkata KLM podobnego do niegoma długosc 39. Oblicz pole trójkata KLM.
ZADANIE 6Dany jest trójkat prostokatny o kacie ostrym 30. Oblicz obwód tego trójkata, jezeli przeciwprostokatna madługosc 12 dm.
ZADANIE 7Krótsza przekatna rombu o długosci 8
√3cm dzieli go na dwa trójkaty równoboczne. Oblicz pole rombu.
ZADANIE 8Liczby 4, 10, c sa długosciami boków trójkata równoramiennego. Oblicz c.
ZADANIE 9Krótsza podstawa trapezu ma długosc 2, a ramiona długosci 2
√2 i 4 tworza z dłuzsza podstawa katy o miarach
45 i 30. Oblicz pole trapezu.
ZADANIE 10Wyznacz wymiary prostokata o obwodzie 36 cm, którego pole jest najwieksze.
ZADANIE 11Punkty A′, B′, C′ sa srodkami boków trójkata ABC. Pole trójkata A′B′C′ jest równe 4. Oblicz pole trójkata ABC.
AA'
B
B'C'
C
28
VIII Planimetria.
ZADANIE 12Oblicz pole wycinka koła o srodku w punkcie A jesli pole rombu ABCD wynosi 2
√2, a kat ostry rombu ma
miare 45.
A B
CD
45o
ZADANIE 13Na kwadracie ABCD opisano okrag o promieniu r = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury.
A B
CD
s
r
ZADANIE 14Wyznacz miary katów trójkata ABC:
A B
C
210o
40oO
ZADANIE 15Proste DE i CB oraz EF i AC sa równoległe. Oblicz długosc odcinka EB, jezeli |AE| = 2 1
2 , |DE| = 3 oraz|FB| = 4.
D
E B
F
C
A
29
ZADANIE 16Oblicz długosci przekatnych szesciokata foremnego o boku 1.
ZADANIE 17Oblicz wysokosc trójkata prostokatnego o przyprostokatnych 12 cm i 9 cm, która jest poprowadzona do prze-ciwprostokatnej.
ZADANIE 18Oblicz miare kata α jaki tworza przekatne AC i AD szesciokata foremnego.
A
B
C D
E
F
α
ZADANIE 19W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramie maja taka sama długosc. Przekatna trapezu tworzy zjednym z ramion kat prosty. Oblicz miary katów tego trapezu.
ZADANIE 20W trójkacie prostokatnym wysokosc poprowadzona na przeciwprostokatna ma długosc 10 cm, a promienokregu opisanego ma długosc 19 cm. Oblicz pole tego trójkata.
ZADANIE 21Dany jest trójkat prostokatny ABC, w którym BC = 30 , AC = 40 i AB = 50. Okrag wpisany w trójkat ABCjest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długosc odcinka CM.
A
B
C
M
ZADANIE 22Dany jest trapez, w którym podstawy maja długosc 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworza z dłuzsza podstawakaty o miarach 30 i 45. Oblicz wysokosc tego trapezu.
30
ZADANIE 23Do dwóch okregów o promieniach długosci 3cm i 10cm poprowadzono wspólna styczna tak, ze okregi znaj-duja sie po róznych stronach tej stycznej. Odległosc miedzy srodkami okregów wynosi 39 cm. Oblicz długoscodcinka miedzy punktami stycznosci.
ZADANIE 24Dany jest trójkat równoboczny ABC. Okrag o srednicy AB przecina bok BC w punkcie D.
A B
C
D
Wykaz, ze |CD| = |DB|.
ZADANIE 25W okregu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cieciwy o długosciach 6 i 8. Oblicz odległosc miedzytymi cieciwami.
ZADANIE 26Dany jest prostokat ABCD. Okregi o srednicach AB i AD przecinaja sie w punktach A i P.
A B
CD
P
Wykaz, ze punkty B, P i D leza na jednej prostej.
ZADANIE 27Na szesciokacie foremnym opisano okrag i w ten szesciokat wpisano okrag. Pole powstałego pierscienia jestrówne 2π dm2. Oblicz pole powierzchni wielokata.
ZADANIE 28Trójkaty prostokatne równoramienne ABC i CDE sa połozone tak, jak na ponizszym rysunku (w obu trójkatachkat przy wierzchołku C jest prosty). Wykaz, ze |AD| = |BE|.
31
A B
C
D
E
ZADANIE 29W trapezie ABCD długosc podstawy CD jest równa 18, a długosci ramion trapezu AD i BC sa odpowiedniorówne 25 i 15. Katy ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, maja równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.
A B
CD
ZADANIE 30Prosta k równoległa do boku AB trójkata ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E(zobacz rysunek). Wiadomo, ze pole trójkata DEC wynosi 4 cm2, zas pole trapezu ABED jest równe 8 cm2.Wykaz, ze |AD|
|DC| =√
3− 1.
A B
C
D E k
ZADANIE 31Odległosci srodków dwóch okregów od wierzchołka kata sa równe 8 i 12. Okregi te sa styczne zewnetrznie ikazdy z nich jest styczny do obu ramion kata. Oblicz długosci ich promieni.
ZADANIE 32Na okregu o promieniu 9 opisano trójkat równoramienny o kacie równym 120. Oblicz długosci boków trój-kata.
ZADANIE 33Podstawy trapezu maja długosci 6 i 2, a wysokosc ma długosc 4. Oblicz odległosc punktu przeciecia przekat-nych trapezu od prostych zawierajacych jego podstawy.
32
ZADANIE 1Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny, w którym przeciwprostokatna ma długosc 8 cm, a jeden zkatów ma miare 30. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinieciu na płaszczyzne jest kwadratem.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objetosc tego graniastosłupa.
ZADANIE 2W graniastosłupie prawidłowym szesciokatnym wszystkie krawedzie maja jednakowa długosc. Wyznacz tan-gensy katów nachylenia przekatnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.
ZADANIE 3W ostrosłupie prawidłowym czworokatnym o krawedzi podstawy 18 cm, kat miedzy wysokosciami prze-ciwległych scian bocznych ma miare α = 60. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonajodpowiedni rysunek i zaznacz kat α.
ZADANIE 4Oblicz wysokosc prostopadłoscianu, którego podstawa jest prostokatem o wymiarach 3 i 4, a pole powierzchnicałkowitej wynosi 94.
ZADANIE 5Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych szesciokatnych, których suma długosci wszystkichkrawedzi jest równa 216. Oblicz długosc krawedzi podstawy i wysokosc tego z danych graniastosłupów, któryma najwieksze pole powierzchni bocznej.
ZADANIE 6Przekatna przekroju osiowego walca ma długosc 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem60. Jaka długosc ma promien podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokosc?
ZADANIE 7Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokatny o krawedzi bocznej dwa razy dłuzszej od krawedzi podstawy.
a) Wyznacz cosinus kata nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b) Wyznacz długosc krawedzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło 36√
15.
ZADANIE 8Pole powierzchni bocznej stozka jest czterokrotnie wieksze od pola podstawy stozka. Oblicz wysokosc stozka,wiedzac, ze promien jego podstawy jest równy r.
ZADANIE 9Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest równe 80 cm2, a pole jego powierzchnicałkowitej wynosi 144 cm2. Oblicz długosc krawedzi podstawy i długosc krawedzi bocznej tego ostrosłupa.Zapisz obliczenia.
33
IX Stereometria.
ZADANIE 10W ostrosłupie prawidłowym szesciokatnym dany jest kat nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny podstawyα. Oblicz stosunek pola podstawy do pola powierzchni bocznej ostrosłupa.
ZADANIE 11Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkat prostokatny o przyprostokatnych majacych długosci 1 i
√3.
Podaj miary katów miedzy sasiednimi scianami bocznymi tego graniastosłupa.
ZADANIE 12Pole powierzchni całkowitej stozka jest trzy razy wieksze od pola jego podstawy. Oblicz miare kata rozwarciatego stozka.
ZADANIE 13Oblicz pole powierzchni i objetosc szescianu, którego przekatna ma długosc 4
√3 cm.
ZADANIE 14Stozek ma wysokosc 10 cm. Pole przekroju osiowego tego stozka jest równe 30 cm2. Jaka długosc ma tworzacatego stozka?
ZADANIE 15Graniastosłup prawidłowy trójkatny o krawedzi podstawy 4 cm i wysokosci 10 cm przecieto płaszczyznazawierajaca wysokosc podstawy i jedna z krawedzi bocznych. Jakie pole ma ten przekrój?
ZADANIE 16Kwadrat o boku długosci 2 cm obraca sie wokół swojej przekatnej. Oblicz objetosc i pole powierzchni otrzy-manej bryły.
ZADANIE 17Promien i wysokosc walca maja jednakowa długosc. Pole powierzchni bocznej wynosi 200π. Oblicz pole pod-stawy walca.
ZADANIE 18Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny równoramienny o ramieniu długosci 9. Kat miedzy przekatnanajwiekszej sciany bocznej i wysokoscia graniastosłupa jest równy 60. Oblicz pole powierzchni bocznej iobjetosc tego graniastosłupa.
ZADANIE 19Objetosc graniastosłupa prawidłowego trójkatnego jest równa 36
√3, a pole powierzchni bocznej tego grania-
stosłupa jest równe 72. Oblicz długosc krawedzi podstawy oraz długosc wysokosci tego graniastosłupa.
34
ZADANIE 20Podstawa ostrosłupa jest prostokat o bokach 6cm i 8cm. Kazda krawedz boczna jest nachylona do płaszczyznypodstawy pod katem 60. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.
ZADANIE 21Przekatna szescianu jest o 3 dłuzsza od krawedzi szescianu. Oblicz objetosc tego szescianu.
ZADANIE 22Punkty K i M sa srodkami krawedzi BC i AE szescianu ABCDEFGH o krawedzi długosci 1. Punkt L jestsrodkiem sciany EFGH (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkata KLM.
A B
CD
E F
GH
M
K
L
ZADANIE 23Podstawa ostrosłupa ABCS jest trójkat równoboczny ABC o boku długosci 8. Punkt D jest srodkiem krawedziAB, odcinek DS jest wysokoscia ostrosłupa. Krawedzie AS i BS maja długosc 7. Oblicz długosc krawedzi CStego ostrosłupa.
ZADANIE 24Podstawa ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długosci 4. Kat ABC rombu ma miare 120 oraz |AS| =|CS| = 10 i |BS| = |DS|. Oblicz sinus kata nachylenia krawedzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
ZADANIE 25Oblicz objetosc graniastosłupa prawidłowego trójkatnego, w którym krawedz podstawy ma długosc 1, a prze-katna sciany bocznej tworzy z sasiednia sciana kat o mierze 30.
ZADANIE 26Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkatny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawedziach bocznychAD, BE i CF. Oblicz pole trójkata ABF wiedzac, ze |AB| = 10 i |CF| = 11. Narysuj ten graniastosłup i zaznaczna nim trójkat ABF.
ZADANIE 27Pole powierzchni całkowitej Pc stozka oraz jego pole podstawy Pp spełniaja równanie 3Pc =
√3Pp(2 +
√3).
Oblicz miare kata rozwarcia stozka.
35
ZADANIE 28Oblicz objetosc ostrosłupa prawidłowego trójkatnego o krawedzi podstawy 6 cm i krawedzi bocznej 12 cm.
ZADANIE 29Metalowa kule o promieniu R = 3 cm przetopiono na stozek. Tworzaca stozek jest nachylona do płaszczyznypodstawy pod katem α, takim, ze sin α =
√5
5 . Wyznacz promien podstawy tego stozka.
ZADANIE 30Srodek P tworzacej stozka połaczono z koncami A i B srednicy koła w podstawie stozka tak, ze AP = BP.Wiedzac, ze kat rozwarcia stozka jest równy 60, oblicz katy trójkata ABP.
A
B
P
ZADANIE 31Tangens kata nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokatnegojest równy 2
3 . Oblicz tangens nachylenia krawedzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.
ZADANIE 32Powierzchnia boczna stozka po rozwinieciu na płaszczyzne jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kacie srodko-wym 120 (zobacz rysunek). Oblicz objetosc tego stozka.
1203
o
ZADANIE 33W graniastosłupie czworokatnym prawidłowym przekatna o długosci m jest nachylona do płaszczyzny pod-stawy pod katem α. Wiadomo, ze sin α = 0, 2. Wyznacz objetosc tego graniastosłupa.
ZADANIE 34Objetosc stozka jest równa 12π dm3, a cosinus kata α miedzy wysokoscia, a tworzaca wynosi 0,8. Oblicz:
a) pole powierzchni bocznej stozka;
b) miare kata srodkowego powierzchni bocznej stozka po rozwinieciu na płaszczyznie.
36
ZADANIE 35Krawedz podstawy graniastosłupa prawidłowego szesciokatnego ma długosc a. Przekatne sasiednich scianbocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka sa prostopadłe. Oblicz objetosc tego graniastosłupa.
ZADANIE 36Wysokosc czworoscianu foremnego ma długosc 6
√3. Oblicz jego objetosc i pole powierzchni całkowitej.
ZADANIE 37Przekatna prostopadłoscianu ma długosc 5 i tworzy z dwoma scianami prostopadłoscianu katy α i β takie, zecos α = 3
√2
5 i cos β = 45 . Oblicz objetosc tego prostopadłoscianu.
ZADANIE 38W graniastosłupie prawidłowym czworokatnym ABCDEFGH przekatna AC podstawy ma długosc 4. KatACE jest równy 60. Oblicz objetosc ostrosłupa ABCDE przedstawionego na ponizszym rysunku.
A B
CD
E F
GH
37
ZADANIE 1Oblicz wartosci pozostałych funkcji trygonometrycznych kata ostrego α jezeli sin α = 0, 6.
ZADANIE 2Uzasadnij, ze jezeli cos α 6= 0 to prawda jest, ze (1 + sin α) ·
(1
cos α − tg α)= cos α.
ZADANIE 3Oblicz wartosc wyrazenia tg2 α− 3 cos2 α, jezeli sin α =
√3
2 i α jest katem ostrym.
ZADANIE 4Wiedzac, ze α jest katem ostrym i tg α + 1
tg α = 4 oblicz sin α cos α.
ZADANIE 5Porównaj liczby: a = ctg2 α · cos2 α i b = ctg2 α− cos2 α, jezeli α = 60.
ZADANIE 6Posługujac sie wzorem tg(α− β) =
tg α−tg β1+tg α tg β oblicz tg 15.
ZADANIE 7Sprawdz tozsamosc: (cos α + sin α)2 + (cos α− sin α)2 = 2.
ZADANIE 8Kat α jest ostry i sin α
cos α + cos αsin α = 2. Oblicz wartosc wyrazenia sin α cos α.
ZADANIE 9Oblicz wartosc wyrazenia tg2 α+tg5 α
tg3 α+1 jezeli α = 30.
ZADANIE 10Oblicz wartosc wyrazenia W =
(tg α + 1
tg α
)sin α cos α.
ZADANIE 11Kat α jest ostry i sin α = 1
4 . Oblicz 3 + 2 tg2 α.
ZADANIE 12Oblicz a− b, gdy a = sin4 α− cos4 α, b = 1− 4 sin2 α cos2 α dla α = 60.
38
X Trygonometria.
ZADANIE 13Kat α jest katem ostrym i tg α = 4. Wyznacz sinus i cosinus tego kata.
ZADANIE 14Wykaz, ze nie istnieje kat α, taki, ze cos α = 3
5 i tg α = 34 .
ZADANIE 15Kat α jest katem ostrym. Wiedzac, ze sin α cos α = 1
3 , oblicz wartosc wyrazenia tg α
sin2 α.
ZADANIE 16Wiedzac, ze α jest katem ostrym i tg α + 1
tg α = 4, oblicz tg2 α +(
1tg α
)2.
ZADANIE 17Wiedzac, ze sin α + cos α = 5
4 , oblicz sin α · cos α.
ZADANIE 18Kat α jest ostry oraz tg α = 4
3 . Oblicz sin α + cos α.
ZADANIE 19Kat α jest ostry i sin α−cos α
cos α = 2 sin α−cos αsin α . Oblicz wartosc wyrazenia sin α cos α.
39
ZADANIE 1Rzucono dwiema szesciennymi kostkami do gry i okreslono zdarzeniaA - na kazdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niz 8.Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A ∪ B.
ZADANIE 2W pudełku zmieszano 30 ziaren fasoli, 20 ziaren ciecierzycy i 50 ziaren grochu.
a) Losujemy jedno ziarenko. Jakie jest prawdopodobienstwo wylosowania ziarenka ciecierzycy?
b) Jako pierwsze wylosowano ziarenko fasoli. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze drugim wylosowanymziarenkiem nie bedzie ziarenko fasoli?
c) Z pudełka usunieto po 10% ziarenek kazdego rodzaju. Jakie jest prawdopodobienstwo wylosowaniaziarenka fasoli?
ZADANIE 3Oblicz prawdopodobienstwo, ze losowo wybrana liczba trzycyfrowa ma wszystkie cyfry rózne.
ZADANIE 4Dane sa zbiory liczb całkowitych: 1, 2, 3, 4, 5 i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Z kazdego z tych zbiorów wybieramy losowopo jednej liczbie. Oblicz prawdopodobienstwo, ze suma wylosowanych liczb bedzie podzielna przez 5.
ZADANIE 5Kazdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa sie zczterech cyfr (cyfry moga sie powtarzac, ale kodem PIN nie moze byc 0000). Oblicz prawdopodobienstwo, ze wlosowo utworzonym kodzie PIN zadna cyfra sie nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
ZADANIE 6O zdarzeniach losowych A i B wiemy, ze: P(A) = 1
2 , P(B) = 23 , P(A ∪ B) = 4
5 . Oblicz:
a) P(A ∩ B)
b) P(A \ B)
ZADANIE 7Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucic dwa orły w trzech rzutach moneta, czy trzy orły w czterech rzu-tach?
ZADANIE 8W garderobie pani Joanny wisza 3 zakiety: biały, zielony i granatowy oraz 4 spódnice: czarna, biała, granato-wa i szara. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia, ze wybierajac losowo jeden zakiet i jedna spódnice, paniJoanna skompletuje strój w jednym kolorze.
40
XI Rachunek prawdopodobieństwa.
ZADANIE 9Rzucamy trzy razy symetryczna szescienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwo otrzymania iloczynuoczek równego 12.
ZADANIE 10Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10 losujemy dwie liczby (moga sie powtarzac). Oblicz prawdopodobienstwo, zesuma wylosowanych liczb jest parzysta.
ZADANIE 11W dwóch pudełkach sa cukierki. W pierwszym pudełku jest 15 cukierków czekoladowych i 5 owocowych, a wdrugim pudełku jest 20 cukierków czekoladowych i 30 cukierków owocowych. Losujemy cukierek najpierw zpierwszego, a potem z drugiego pudełka. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w wyniku losowania otrzymamydwa cukierki czekoladowe?
ZADANIE 12W jednej urnie sa 3 kule: czerwona, biała i zielona, a w drugiej urnie sa 2 kule: czerwona i biała. Losujemy pojednej kuli z kazdej urny. Jakie jest prawdopodobienstwo wyciagniecia dwóch kul w tym samym kolorze?
ZADANIE 13Dla zdarzen A, B ⊆ Ω spełnione sa warunki P(A′) = 2
3 , P(B′) = 29 , P(A ∪ B) = 4
5 . Oblicz P(A ∩ B).
ZADANIE 14Rzucamy dwiema szesciennymi kostkami.
a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze róznica miedzy liczbami oczek wyrzuconych na kostkach (od wiek-szej odejmujemy mniejsza) bedzie równa 2?
b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna róznica miedzy wynikami na kostkach (od wiekszego odejmujemymniejszy)?
ZADANIE 15Wiadomo, ze P(A ∪ B) = 3
4 , P(A ∩ B) = 12 , P(A′) = 1
3 . Oblicz prawdopodobienstwa zdarzen A i B.
ZADANIE 16Rzucamy trzema kostkami. Prawdopodobienstwo otrzymania sumy oczek równej 3 wynosi 1
216 , a prawdo-podobienstwo otrzymania sumy oczek równej 4 wynosi 1
72 . jakie jest prawdopodobienstwo tego, ze sumaotrzymanych oczek bedzie mniejsza od 5?
ZADANIE 17W kazdym z dwóch koszyków znajduje sie 5 klocków czerwonych, 10 zielonych i 6 białych. Wyjmujemy loso-wo po jednym klocku z kazdego koszyka. Oblicz prawdopodobienstwo, ze:
a) wylosujemy dwa klocki białe;
b) wylosujemy klocki tego samego koloru.
41
ZADANIE 18Z talii 52 kart losujemy jedna karte.
a) Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen:A – losowo wybrana karta jest pikiem.B – losowo wybrana karta jest asem.
b) Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen A ∩ B oraz A ∪ B.
ZADANIE 19W urnie jest 16 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 16. Kule z numerami od 1 do 3 sa białe, z numerami od 4do 7 czerwone, a pozostałe sa zielone. Losujemy jedna kule. Oblicz prawdopodobienstwo tego, ze wylosowanakula jest czerwona lub zielona.
ZADANIE 20Losujemy jedna z 52 kart. Jakie jest prawdopodobienstwo wyciagniecia asa lub króla?
ZADANIE 21Rzucamy dwiema szesciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na pierwszej kostce wypadłodwa razy mniej oczek niz na drugiej?
ZADANIE 22Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedna liczbe. Oblicz prawdopodobienstwootrzymania liczby podzielnej przez 15.
ZADANIE 23Ze zbioru A = x ∈ C : x2 + x − 6 6 0 losujemy 2 liczby a i b bez zwracania i tworzymy funkcjef (x) = ax + b. Oblicz prawdopodobienstwo otrzymania funkcji malejacej.
ZADANIE 24Ze zbioru liczb naturalnych spełniajacych nierównosc x−3
2 −x−1
3 < 0 losujemy dwie rózne liczby (a, b). Obliczprawdopodobienstwo zdarzenia: punkt o współrzednych (a, b) nalezy do wykresu funkcji y = x + 4.
ZADANIE 25Wiadomo ze P(A \ B) = 1
2 , P(B \ A) = 15 , P(A ∪ B) = 7
8 . Oblicz P(A ∩ B).
ZADANIE 26Sposród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbedwucyfrowa w ten sposób, ze pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfra dziesiatek, a druga cyfra jednoscitej liczby. Oblicz prawdopodobienstwo utworzenia liczby wiekszej od 52.
42
ZADANIE 27A i B sa takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, ze A ⊆ B oraz P(A) = 0, 3 i P(B) = 0, 4. Obliczprawdopodobienstwo P(A ∪ B).
ZADANIE 28Rzucono dwiema szesciennymi kostkami do gry i okreslono zdarzeniaA - na kazdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niz 8.Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A ∪ B.
ZADANIE 29Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 zółte, wyjeto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopo-dobienstwo, ze wyjeto kule jednakowych kolorów.
ZADANIE 30Sposród liczb naturalnych trzycyfrowych wybieramy jedna liczbe. Jakie jest prawdopodobienstwo wybranialiczby, która przy dzieleniu przez 11 daje reszte 3.
ZADANIE 31Rzucamy dwa razy symetryczna szescienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwo tego, ze w kazdymrzucie otrzymamy inna liczbe oczek.
ZADANIE 32Z cyfr 0, 1, 2, 3, 5, 6 tworzymy liczbe czterocyfrowa, przy czym cyfry nie moga sie powtarzac. Jakie jest praw-dopodobienstwo otrzymania liczby podzielnej przez 25?
ZADANIE 33Ze zbioru liczb 1, 2, 3, . . . , 10 losujemy bez zwracania dwie i od pierwszej odejmujemy druga. Oblicz praw-dopodobienstwo, ze otrzymana róznica jest wieksza od 2.
ZADANIE 34Rzucamy trzy razy kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia polegajacego na tym, ze w trzecimrzucie otrzymamy dwa razy wiecej oczek niz w pierwszym rzucie.
ZADANIE 35Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze przynajmniejdwa listy znajda sie w tej samej skrzynce?
ZADANIE 36Ze zbioru liczb trzycyfrowych, które nie maja dwóch takich samych cyfr losujemy jedna liczbe. Jakie jest praw-dopodobienstwo otrzymania liczby, której iloczyn cyfr jest liczba niezerowa podzielna przez 7?
43
ZADANIE 37Oblicz prawdopodobienstwo P(A′ ∩ B′), jesli P(A′) = 1
3 , P(B′) = 14 i P(A ∩ B) = 1
2 .
ZADANIE 38Rzucono 3 razy moneta i okreslono zdarzenia: A – wypadły dokładnie dwa orły, B – wypadł orzeł za pierw-szym razem. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia P(A \ B).
ZADANIE 39W urnie znajduja sie kule białe, zielone i czerwone. Kul zielonych jest dwa razy wiecej niz kul białych, a kulczerwonych jest 3 razy wiecej niz białych. Wyjeto dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz liczbe kulbiałych w urnie, jesli prawdopodobienstwo wylosowania dwóch kul zielonych jest równe 5
51 .
ZADANIE 40Ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Z wylosowanych liczb tworzy-my liczbe dwucyfrowa w nastepujacy sposób: mniejsza z wylosowanych liczb jest cyfra jednosci, a wiekszacyfra dziesiatek utworzonej liczby. Oblicz prawdopodobienstwo otrzymania liczby podzielnej przez 7.
44
ZADANIE 1Srednia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Srednia wieku tych studentów i ich opiekunajest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
ZADANIE 2Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebnosc
Wartosc danej -4 2 4 7 20Liczebnosc 7 2 3 6 2
a) Oblicz srednia arytmetyczna tych danych.
b) Podaj mediane.
c) Oblicz odchylenie standardowe.
ZADANIE 3Zwazono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki ba-dan przedstawiono w tabeli.
Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła16 118 1519 2420 6821 2622 16
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz srednia arytmetyczna oraz odchylenie standardowemasy kostki masła.
ZADANIE 4Uczniowie napisali prace kontrolna. 30% uczniów otrzymało piatke, 40% otrzymało czwórke, 8 uczniów otrzy-mało trójke, a pozostali ocene dopuszczajaca. Srednia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piatke?
ZADANIE 5Oblicz z dokładnoscia do 0,1 odchylenie standardowe nastepujacych danych:
a) -2; 0; 1; 4; 7; 14.
b)Wartosc -3 -1 0 4 6Liczebnosc 10 6 4 2 3
ZADANIE 6Uczen otrzymał piec ocen: 5, 3, 6, x, 3. Srednia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz x i mediane tychpieciu ocen.
45
XII Statystyka
ZADANIE 7Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oceny 6 5 4 3 2 1Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2
Oblicz srednia arytmetyczna i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
ZADANIE 8Tabela przedstawia wyniki czesci teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdajacy uzyskał wynik pozytywny,jezeli popełnił co najwyzej dwa błedy.
Liczba błedów 0 1 2 3 4 5 6 7 8Liczba zdajacych 8 5 8 5 2 1 0 0 1
a) Oblicz srednia arytmetyczna liczby błedów popełnionych przez zdajacych ten egzamin. Wynik podaj wzaokragleniu do całosci.
b) Oblicz prawdopodobienstwo, ze wsród dwóch losowo wybranych zdajacych tylko jeden uzyskał wynikpozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
ZADANIE 9Pewna maszyna wykonuje sruby o srednicy 14 mm. Dokonano kontroli jakosci wykonywanych srub i jej wy-niki zebrano w tabeli.
Srednica w mm 13,8 13,9 14 14,1 14,2Liczba srub 8 17 48 13 14
Opierajac sie na podanych danych.
a) Oblicz srednia srednice sruby.
b) Oblicz prawdopodobienstwo wyprodukowania sruby o srednicy z przedziału 〈13, 9; 14, 1〉.
c) Oblicz odchylenie standardowe srednicy sruby. Wynik podaj z dokładnoscia do 0,01.
ZADANIE 10Srednia arytmetyczna liczb a, b, c jest równa 15. Oblicz srednia arytmetyczna liczb a + 7, b + 3, c + 8.
ZADANIE 11W pewnym zakładzie pracy obliczono ile dni urlopu wykorzystali pracownicy w lutym. Wynik przedstawionow nastepujacym diagramie słupkowym
pro
cent
pra
cow
nik
ów
liczba dni urlopu
10%
20%
30%
40%
1 2 60
50%
60%
46
a) Jaka była srednia liczba dni urlopu przypadajacych na jednego pracownika?
b) Ilu pracowników liczy zakład pracy, jesli 119 pracowników miało mniejsza liczbe dni urlopu niz wynosisrednia przypadajaca na jednego pracownika?
ZADANIE 12Oblicz mediane nastepujacych danych: 13,2; 15; 12,225; 14; 16,8; 42,7; 22,1; 31,4; 20,6; 18,4.
ZADANIE 13Oblicz mediane danych przedstawionych w postaci tabeli liczebnosci
Wartosc 0 1 2 3Liczebnosc 4 3 1 1
ZADANIE 14Na ponizszym diagramie przedstawiono zbiorcze wyniki z egzaminu maturalnego z matematyki na pozio-mie rozszerzonym w 2008 roku. Diagram przedstawia rozkład wyników pogrupowanych w zaleznosci odprocentowego wyniku egzaminu.
0%-14%
15%-30%
47%-64%
65%-78%
79%-100%
31%-46%
11%
12%
20%
23%
a) Wiedzac, ze egzamin na poziomie rozszerzonym zdawało 40598 maturzystów oblicz, ilu maturzystówuzyskało wynik w przedziale 0%–30%.
b) Wiedzac, ze 60% maturzystów uzyskało z egzaminu co najmniej 47% punktów oblicz, jaki procent ma-turzystów uzyskał wynik w przedziale 31%–46%.
c) Oblicz jakie jest prawdopodobienstwo, ze losowo wybrany maturzysta uzyskał wynik ponizej 47%.
47
ZADANIE 1Ocen, czy liczba |3, 14− π|+ |π − 3, 14| jest wymierna, czy niewymierna.
ROZWIAZANIE
Przypomnijmy, zeπ > 3, 14.
Zatem|3, 14− π|+ |π − 3, 14| = π − 3, 14 + π − 3, 14 = 2π − 6, 28.
Jest to liczba niewymierna poniewaz 2π jest liczba niewymierna, a 6, 28 jest liczba wymier-na.
Odpowiedz: Niewymierna
ZADANIE 2Zaznacz w układzie współrzednych zbiór wszystkich par (x, y) liczb rzeczywistych, dla któ-rych wyrazenie: 4
√4− x2 − y2 − 1√
y−log2 xma wartosci rzeczywiste.
ROZWIAZANIE
Sformułowanie zadania jest dosc pokretne, ale nasze zadanie to wyznaczenie dziedziny po-danego wyrazenia. Wyrazenie pod pierwszym pierwiastkiem musi byc nieujemne, czyli
4− x2 − y2 > 0
22 > x2 + y2.
Punkty spełniajace te nierównosc to wnetrze koła o srodku (0, 0) i promieniu 2.Wyrazenie pod drugim pierwiastkiem musi byc dodatnie (nie moze byc równe 0, bo jest
w mianowniku), czyliy− log2 x > 0y > log2 x.
Punkty spełniajace te nierównosc to punkty lezace powyzej wykresu funkcji y = log2 x.Na koniec nie mozemy zapomniec, ze musi byc x > 0, ze wzgledu na dziedzine logaryt-
mu.Teraz bez trudu zaznaczamy szukana dziedzine.
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
1
I Liczby. Działania na liczbach.
ZADANIE 3Wykaz, ze jezeli A = 34
√2+2 i B = 32
√2+3, to B = 9
√A.
ROZWIAZANIE
Liczymy
9√
A = 32(
34√
2+2) 1
2= 32 · 32
√2+1 = 32
√2+3 = B.
ZADANIE 4Wykaz, ze liczba a = log2
√2 8− log 1
20, 25 jest liczba wymierna.
ROZWIAZANIE
Najpierw zauwazmy, ze2√
2 =√
4 · 2 =√
8.
Teraz mozemy przejsc do obliczen
a = log2√
2 8− log 12
0, 25 = log√8(√
8)2 − log 12
14=
= 2− log 12
(12
)2
= 2− 2 = 0.
Oczywiscie jest to liczba wymierna.
ZADANIE 5Oblicz 3·220+7·219·52
(13·84)2 .
ROZWIAZANIE
Liczymy3 · 220 + 7 · 219 · 52
(13 · 84)2 =220(3 + 7 · 26)(13 · (23)4)2 =
220(3 + 182)132 · 224 =
=185
169 · 24 =185
2704.
Odpowiedz: 1852704
ZADANIE 6Oblicz 2 log5 2 + log5 3.
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac ze wzorów
loga(xy) = loga x + loga yn loga x = loga xn.
Liczymy2 log5 2 + log5 3 = log5 22 + log5 3 = log5(4 · 3) = log5 12.
Odpowiedz: log5 12
2
ZADANIE 7
a) Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczy-wistych, których odległosc na osi liczbowej od liczby (-1) jest nie wieksza niz 4.
b) Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdz czy liczba a nalezy do danego przedziału.
ROZWIAZANIE
a) Z rysunku bez trudu odczytujemy x ∈ 〈−5, 3〉.
0 1-1 3-5
Odpowiedz: 〈−5, 3〉
b) Mamy równanie175%a = 6, 5175100
a =6510
74
a =132
a =132· 4
7
a =267
a = 357
Liczba a jest wiec poza podanym przedziałem.
Odpowiedz: Nie, nie nalezy.
ZADANIE 8Wykaz, ze róznica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez4.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Oznaczmy dwie kolejne liczby parzyste przez 2n i 2n + 2. Wtedy
(2n + 2)2 − (2n)2 = 4n2 + 8n + 4− 4n2 = 8n + 4 = 4(2n + 1).
Widac, ze jest to liczba podzielna przez 4.
Sposób IIKwadrat liczby parzystej zawsze dzieli sie przez cztery, wiec róznica kwadratów dwóchliczb parzystych tez musi dzielic sie przez 4.
3
ZADANIE 9Wykaz, ze róznica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez4.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Oznaczmy dwie kolejne liczby parzyste przez 2n i 2n + 2. Wtedy
(2n + 2)2 − (2n)2 = 4n2 + 8n + 4− 4n2 = 8n + 4 = 4(2n + 1).
Widac, ze jest to liczba podzielna przez 4.
Sposób II
Kwadrat liczby parzystej zawsze dzieli sie przez cztery, wiec róznica kwadratów dwóchliczb parzystych tez musi dzielic sie przez 4.
ZADANIE 10
Przedstaw4−1−3·( 2
3)−2
5−( 12)−1 w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
ROZWIAZANIE
Liczymy4−1 − 3 ·
(23
)−2
5−(
12
)−1 =14 − 3 ·
(32
)2
5− 2=
14 −
274
3= −
2643
= −136
.
Odpowiedz: −136
ZADANIE 11
Dane sa x = 2−√
2 i y = 5√
2 + 1. Oblicz xy .
ROZWIAZANIE
Bedziemy stosowac wzór skróconego mnozenia
a2 − b2 = (a− b)(a + b)
Liczymy
2−√
25√
2 + 1=
(2−√
2)(5√
2− 1)(5√
2 + 1)(5√
2− 1)=
2 · 5√
2− 2− 5√
2 ·√
2 +√
2(5√
2)2 − 1=
=10√
2− 2− 10 +√
250− 1
=11√
2− 1249
.
Odpowiedz: 11√
2−1249
4
ZADANIE 12
Wykaz, ze jezeli a > 0 i b > 0 oraz√
a2 + b =√
a + b2, to a = b lub a + b = 1.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy równowaznie podana równosc.√a2 + b =
√a + b2 /()2
a2 + b = a + b2
a2 − b2 = a− b(a− b)(a + b) = a− b.
Widac zatem, ze równosc ta jest spełniona dla a = b. Załózmy zatem dalej, ze a 6= b – wtedymozemy ostatnia równosc podzielic stronami przez (a− b) i mamy
a + b = 1.
ZADANIE 13
Oblicz −3√
3− 12− 3√3−2
.
ROZWIAZANIE
Liczymy (korzystamy ze wzoru (a− b)(a + b) = a2 − b2)
− 3√
3− 12− 3(√
3 + 2)(√
3− 2)(√
3 + 2)= −3
√3− 12− 3
√3 + 6
3− 4=
= −3√
3− 12 +3√
3 + 61
= −3√
3− 12 + 3√
3 + 6 = −6.
Odpowiedz: -6
ZADANIE 14
Wykaz, ze liczba a =√
4log2 5 jest liczba całkowita.
ROZWIAZANIE
Liczymy
a =√
4log2 5 =
√(22)
log2 5 =
√(2log2 5)2
=
=√
52 = 5.
ZADANIE 15
Oblicz x z równania bx− abx = ba2 − ab i przedstaw wynik w najprostszej postaci.
5
ROZWIAZANIE
Liczymybx− abx = ba2 − abxb(1− a) = ab(a− 1) / : b(1− a)x = −a.
Oczywiscie powyzszy rachunek ma sens tylko, gdy b(1− a) 6= 0.
Odpowiedz: x = −a
ZADANIE 16Wykaz, ze liczba a = 327 + 329 jest podzielna przez 30.
ROZWIAZANIE
Liczymy.a = 327 + 329 = 327 + 327 · 32 = 327(1 + 9) = 327 · 10.
Widac teraz, ze liczba ta jest podzielna zarówno przez 3 jak i przez 10, czyli jest podzielnaprzez 30.
ZADANIE 17
Zapisz podane wyrazenie w prostszej postaci:4√5·25·
√125· 4√25
625·√
125 ·
4√125.
ROZWIAZANIE
Liczymy4√
5 · 52 ·√
53 · 4√
52
54 · 15 ·
4√
53=
514 · 52 · 5 3
2 · 5 24
53 · 5 34
=
=5
14+2+ 3
2+12
53+ 34
=5
174
5154= 5
174 −
154 = 5
12
Odpowiedz: 512 =√
5
ZADANIE 18
Wykaz, ze liczba((1 +
√5)3 + (1−
√5)3)2
jest wymierna.
ROZWIAZANIE
Liczymy (korzystamy ze wzorów skróconego mnozenia na (a± b)3)((1 +
√5)3 + (1−
√5)3)2
=
=(
1 + 3√
5 + 3(√
5)2 + (√
5)3 + 1− 3√
5 + 3(√
5)2 − (√
5)3)2
=
=(
2 + 6(√
5)2)2
= 322 = 1024.
Jest to oczywiscie liczba wymierna.
6
ZADANIE 19
Zapisz podane wyrazenie w prostszej postaci:((
19
)− 12 : 3
19
)1,125
.
ROZWIAZANIE
Liczymy ((19
)− 12
: 319
)1,125
=((32)
12 : 3
19
) 98=(
31− 19
) 98=(
389
) 98= 3.
Odpowiedz: 3
ZADANIE 20
Wyrazenie 128·√
2·√
8· 4√82−3· 8√4
zapisz w postaci 2k, gdzie k jest liczba wymierna.
ROZWIAZANIE
Liczymy128 ·
√2 ·√
8 · 4√
82−3 · 8
√4
=27 ·√
16 · 4√
23
2−3 · 8√
22=
=27 · 22 · 2 3
4
2−3 · 2 28
= 29+ 34+3− 1
4 = 212+ 12 = 2
252 .
Odpowiedz: 2252
ZADANIE 21
Wykaz, ze liczba 4√
3√3−1− 2√
3 jest liczba wymierna.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy podane wyrazenie usuwajac niewymiernosc z mianownika.
4√
3√3− 1
− 2√
3 =4√
3(√
3 + 1)(√
3− 1)(√
3 + 1)− 2√
3 =
=12 + 4
√3
2− 2√
3 = 6 + 2√
3− 2√
3 = 6.
Oczywiscie jest to liczba wymierna.
ZADANIE 22
Wykaz, ze log7 5 = log49 25.
7
ROZWIAZANIE
Sposób I
Wprowadzamy nastepujace oznaczenia
log7 5 = a ⇒ 7a = 5
log49 25 = b ⇒ 49b = 25.
Musimy pokazac, ze a = b. Liczymy
49b = 25(72)b
= 52.
Z załozenia wiemy, ze 5 = 7a podstawiamy(7b)2
= (7a)2
7b = 7a ⇒ a = b.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na zmiane podstawy logarytmu.
log49 25 =log7 25log7 49
=log7 52
log7 72 =2 log7 5
2= log7 5.
ZADANIE 23
Doprowadz wyrazenie (x− 1)(x + 1)− 5(3x− 4)2− (2x + 3)(5+ x) do najprostszej postaci,a nastepnie oblicz jego wartosc dla x =
√5
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac ze wzorów skróconego mnozenia
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2.
Liczymy
(x− 1)(x + 1)− 5(3x− 4)2 − (2x + 3)(5 + x) =
= x2 − 1− 5(9x2 − 24x + 16)− 10x− 2x2 − 15− 3x =
= x2 − 1− 45x2 + 120x− 80− 10x− 2x2 − 15− 3x = −46x2 + 107x− 96.
Podstawiamy teraz x =√
5.
−46x2 + 107x− 96 = −46 · 5 + 107√
5− 96 = 107√
5− 326.
Odpowiedz: 107√
5− 326
8
ZADANIE 24
Zaznacz na osi liczbowej przedziały A = (−∞, 5) i B = 〈2, 10〉. Wyznacz A∪ B, A∩ B, A \ Bi B \ A.
ROZWIAZANIE
Przedziały sa zaznaczone na rysunku.
0 1-1 52 10
Z tego rysunku bez trudu odczytujemy
• A ∪ B = (−∞, 10〉
• A ∩ B = 〈2, 5)
• A \ B = (−∞, 2)
• B \ A = 〈5, 10〉
9
ZADANIE 25
Uprosc wyrazenie 5√
12 + 4√
75− 3√
48.
ROZWIAZANIE
Liczymy
5√
12 + 4√
75− 3√
48 = 5√
4 · 3 + 4√
25 · 3− 3√
16 · 3 =
= 5√
4√
3 + 4√
25√
3− 3√
16√
3 = 10√
3 + 20√
3− 12√
3 = 18√
3
Odpowiedz: 18√
3
ZADANIE 26
Wyznacz niewiadoma y z równania 1x + 2
y = 1, gdzie x 6= 0, x 6= 1, y 6= 0.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Liczymy1x+
2y= 1
yxy
+2xxy
= 1
2x + yxy
= 1 / · xy
2x + y = xy /− y2x = xy− y2x = y(x− 1) / : (x− 1)
y =2x
x− 1.
Sposób II
Liczymy1x+
2y= 1
2y= 1− 1
x=
x− 1x
/()−1
y2=
xx− 1
/ · 2
y =2x
x− 1
Odpowiedz: y = 2xx−1
10
ZADANIE 27
Oblicz[8, 25− 0, 5−0,5 · (2−0,5 + 4−0,25)
] 12 .
ROZWIAZANIE
Liczymy
[8, 25− 0, 5−0,5 · (2−0,5 + 4−0,25)
] 12=
[8, 25−
(12
)− 12
·(
2−12 + (22)−
14
)] 12
=
=[8, 25− 2
12 ·(
2−12 + 2−
12
)] 12=[8, 25− 2
12 · 2 · 2− 1
2
] 12=
= [8, 25− 2]12 =√
6, 25 = 2, 5.
Odpowiedz: 2,5
ZADANIE 28
Uzasadnij równosc(
412 · 2 1
9
)1,8=(
2√2
)4.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy podana równosc (√4 · 2 1
9
) 1810=
24
(√
2)4(2 · 2 1
9
) 95=
24
22(2
19+1) 9
5= 4(
2109
) 95= 4
22 = 4.
ZADANIE 29
Wykaz, ze liczby a = −52√
2+3oraz b = |10
√2− 15| sa liczbami przeciwnymi.
ROZWIAZANIE
Poniewaz 10√
2 ≈ 14 < 15 mamy
b = |10√
2− 15| = 15− 10√
2.
Ponadto
a =−5
2√
2 + 3=
−5(2√
2− 3)(2√
2 + 3)(2√
2− 3)=−10√
2 + 158− 9
= 10√
2− 15.
Zatem rzeczywiscie a + b = 0.
11
ZADANIE 30Udowodnij, ze jezeli liczba a + b jest rózna od zera oraz a
a+b = 25 to b
a+b = 35 .
ROZWIAZANIE
Wiemy, zea
a + b=
25
5a = 2a + 2b3a = 2b.
Przekształcmy teraz w sposób równowazny równosc, która mamy udowodnic
ba + b
=35
5b = 3a + 3b2b = 3a.
ZADANIE 31
Zapisz jako potege liczby 3 wyrazenie
3 · 3√
3 · 9 34 · 27−1,5
8134 · 243
35
ROZWIAZANIE
Liczymy3 · 3
√3 · 9 3
4 · 27−1,5
8134 · 243
35
=3 · 3
√3 · (32)
34 · (33)−1,5
(34)34 · (35)
35
=
=3 · 3
√3 · 3 3
2 · 3−4,5
33 · 33 =31+√
3−3
36 = 3√
3−2−6 = 3√
3−8.
Odpowiedz: 3√
3−8
ZADANIE 32
Zapisz wyrazenie w prostszej postaci: 2 3√81+3 3√24+ 3√3755 3√192− 3√3000
.
ROZWIAZANIE
Liczymy2 3√
33 · 3 + 3 3√
23 · 3 + 3√
53 · 35 3√
43 · 3− 3√
103 · 3=
6 3√
3 + 6 3√
3 + 5 3√
320 3√
3− 10 3√
3=
=17 3√
310 3√
3=
1710
.
Odpowiedz: 1,7
12
ZADANIE 33
Skróc ułamek x2+4x+4x2−4 .
ROZWIAZANIE
Liczymyx2 + 4x + 4
x2 − 4=
(x + 2)2
(x− 2)(x + 2)=
x + 2x− 2
.
Odpowiedz: x+2x−2
13
ZADANIE 1
Dana jest funkcja liniowa f (x) = 3x− 1.
a) Rozwiaz nierównosc f (x + 3) 6 f (1− x).
b) Podaj maksymalne przedziały monotonicznosci funkcji f (x− x2).
ROZWIAZANIE
a) Liczymy3(x + 3)− 1 6 3(1− x)− 13x + 9− 1 6 3− 3x− 16x 6 −6 ⇐⇒ x 6 −1.
Odpowiedz: (−∞,−1〉
b) Liczymyf (x− x2) = 3x− 3x2 − 1 = −3x2 + 3x− 1.
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, wiec jestrosnaca na lewo i malejaca na prawo od wierzchołka. Sprawdzmy jaka jest pierwszawspółrzedna wierzchołka.
xw =−b2a
=−3−6
=12
.
Odpowiedz: Rosnaca na (−∞, 12〉, malejaca na 〈1
2 ,+∞)
ZADANIE 2
Funkcja liniowa f okreslona jest wzorem f (x) = 3x + b, dla x ∈ R. Wyznacz współczynnikb, wiedzac, ze f (x− 2) = 3x− 5.
ROZWIAZANIE
Liczymy3x− 5 = f (x− 2) = 3(x− 2) + b = 3x− 6 + bb = 6− 5 = 1.
Odpowiedz: b = 1
ZADANIE 3
Wyznacz wzór funkcji liniowej f , wiedzac ze nie przyjmuje ona wartosci dodatnich orazf (22) = −3.
1
II Funkcje.
ROZWIAZANIE
Szukamy funkcji postaci y = ax+ b. Poniewaz wykresem tej funkcji jest prosta, aby nie prze-cinała ona osi Ox (bo nie moze przyjmowac wartosci dodatnich), to musi byc ona równoległado osi Ox, czyli a = 0.
Współczynnik b wyznaczymy dzieki informacji o tym, ze wykres przechodzi przez punkt(22,−3).
−3 = 0 · 22 + b ⇒ b = −3.
Odpowiedz: f (x) = −3
ZADANIE 4
O funkcji liniowej f wiadomo, ze f (1) = 2 oraz, ze do wykresu tej funkcji nalezy punktP = (−2, 3). Wyznacz wzór funkcji f .
ROZWIAZANIE
Szukamy funkcji postaci y = ax + b. Podstawiajac współrzedne podanych punktów do tegowzoru otrzymujemy układ równan
a + b = 2−2a + b = 3
Odejmujac od pierwszego równania drugie (zeby skrócic b) mamy
3a = −1 ⇐⇒ a = −13
.
Z pierwszego równania mamy
b = 2− a = 2 +13=
73
.
Odpowiedz: y = −13 x + 7
3
ZADANIE 5
Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym 2 i przechodzacej przezpunkt P = (−2; 3).
ROZWIAZANIE
Szukamy funkcji postaci y = 2x+ b. Współczynnik b wyznaczamy podstawiajac współrzed-ne punktu P = (−2, 3).
3 = 2 · (−2) + b ⇒ b = 7.
Odpowiedz: y = 2x + 7
2
ZADANIE 6
Wykres funkcji liniowej f przecina osie Ox i Oy układu współrzednych odpowiednio wpunktach P = (2, 0) oraz Q = (0, 4).
a) Wyznacz wzór funkcji f .
b) Sprawdz, czy dla argumentu x = 1√2−1
wartosc funkcji f wynosi 2− 2√
2.
ROZWIAZANIE
a) Szukamy funkcji postaci f (x) = ax + b. Z podanych informacji wiemy, ze
f (2) = 0 ⇒ 2a + b = 0f (0) = 4 ⇒ b = 4.
Zatem a = −2 i f (x) = −2x + 4.
Odpowiedz: f (x) = −2x + 4
b) Liczymy
f(
1√2− 1
)= f
(√2 + 1
2− 1
)=
= f (√
2 + 1) = −2(√
2 + 1) + 4 = −2√
2 + 2
Odpowiedz: Tak, f(
1√2−1
)= 2− 2
√2
ZADANIE 7
Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedzac ze jej wykres jest nachylony do osi Ox pod katem60 i przechodzi przez punkt P = (1, 3).
ROZWIAZANIE
Szukamy funkcji postaci y = ax + b. Wiadomo, ze współczynnik kierunkowy a jest równytangensowi kata pod jakim wykres tej funkcji jest nachylony do osi Ox. W naszym przypad-ku mamy wiec
a = tg 60 =√
3.
Współczynnik b wyznaczymy dzieki informacji o tym, ze wykres przechodzi przez punkt(1, 3).
3 = a · 1 + b =√
3 + b ⇒ b = 3−√
3.
Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji.
3
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
P
Odpowiedz: y =√
3x + 3−√
3
ZADANIE 8Okresl zbiór wartosci funkcji: f (x) = x2 − x− 3
4 . Dla jakich argumentów funkcja przyjmujewartosci ujemne?
ROZWIAZANIE
Policzmy najpierw współrzedne wierzchołka paraboli bedacej wykresem funkcji f .
∆ = 1 + 3 = 4
(xw, yw) =
(− b
2a,−∆4a
)=
(12
,−44
)=
(12
,−1)
.
Poniewaz ramiona paraboli sa skierowne do góry, zbiór wartosci funkcji f to przedział 〈−1,+∞).
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Aby wyznaczyc przedział, na którym funkcja jest ujemna musimy policzyc jej miejscazerowe.
∆ = 4 ⇒ x1 = −12
, x2 =32
.
4
Funkcja przyjmuje wartosci ujemne na przedziale (−12 , 3
2).
Odpowiedz: 〈−1,+∞) i (−12 , 3
2)
ZADANIE 9
Okresl zbiór wartosci i przedziały monotonicznosci funkcji f (x) = −2x2 + 3.
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac z tego, ze funkcja kwadratowa ax2 + bx + c, gdzie a < 0 przyjmujenajwieksza wartosc w wierzchołku i jest rosnaca na lewo, oraz malejaca na prawo od wierz-chołka.
Wierzchołek paraboli jest w punkcie (0, 3), czyli zbiór wartosci to (−∞, 3〉. Funkcja jestrosnaca dla x ∈ (−∞, 0〉 i malejaca dla x ∈ 〈0,+∞).
Na koniec obrazek
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: Zbiór wartosci: (−∞, 3〉, rosnaca na (−∞, 0〉, malejaca na 〈0,+∞)
ZADANIE 10
Zapisz wzór funkcji f (x) = −5x2 + 10x− 5 w postaci kanonicznej i iloczynowej.
ROZWIAZANIE
Aby zapisac funkcje kwadratowa w postaci kanonicznej, musimy przekształcic ten wzór’zwijajac do pełnego kwadratu’
f (x) = −5x2 + 10x− 5 = −5(x2 − 2x + 1) = −5(x− 1)2.
W tej sytuacji postac kanoniczna i iloczynowa sa takie same.
f (x) = −5(x− 1)2 = −5(x− 1)(x− 1).
Odpowiedz: f (x) = −5(x− 1)2 oraz f (x) = −5(x− 1)(x− 1)
5
ZADANIE 11
Wykaz, ze jezeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa rózne miejscazerowe.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Z załozenia c < 0 mamy∆ = b2 − 4c > 0.
Zatem rzeczywiscie dany trójmian ma dwa rózne miejsca zerowe.
Sposób II
Jezeli oznaczymy f (x) = x2 + bx + c to z załozenia c < 0 mamy
f (0) = c < 0.
To oznacza, ze wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w góre, którejwierzchołek jest połozony ponizej osi Ox. Funkcja f musi wiec miec dwa rózne miejscazerowe.
ZADANIE 12
Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = 3x2 − 2x + 5 i g(x) = −x2 + x − 1. Wyznacznajwieksza wartosc funkcji h(x) = g(x)− f (x).
ROZWIAZANIE
Liczymy
h(x) = g(x)− f (x) = −x2 + x− 1− 3x2 + 2x− 5 = −4x2 + 3x− 6.
Wykres otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, wiec przyjmujeona wartosc najwieksza w wierzchołku, czyli w punkcie
xw =−b2a
=−3−8
=38
.
Pozostało policzyc ile ta wartosc najwieksza wynosi.
h(
38
)= −4 · 9
64+ 3 · 3
8− 6 =
−9 + 18− 9616
= −8716
.
Odpowiedz: hmax = h(38) = −
8716
ZADANIE 13
Wyznacz najmniejsza wartosc funkcji f (x) = −x2 + 3x− 2 w przedziale 〈3, 4〉.
6
ROZWIAZANIE
Wykres podanej funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych w dół, zatemwartosc najmniejsza przyjmuje w jednym z konców przedziału. Liczymy
f (3) = −9 + 9− 2 = −2f (4) = −16 + 12− 2 = −6.
Na koniec obrazek
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: f (4) = −6
ZADANIE 14
Sprowadz do postaci kanonicznej funkcje kwadratowa dana w postaci ogólnej wzorem f (x) =x2 − 2x + 3.
ROZWIAZANIE
Aby zapisac funkcje kwadratowa w postaci kanonicznej, musimy przekształcic jej wzór’zwijajac do pełnego kwadratu’.
Liczymyx2 − 2x + 3 = (x2 − 2x + 1) + 2 = (x− 1)2 + 2.
Odpowiedz: (x− 1)2 + 2
ZADANIE 15
Wyznacz zbiór wartosci funkcji f (x) = −(x + 1)2 + 2.
7
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac z faktu, ze wierzchołkiem paraboli
y = a(x− xw)2 + yw
jest punkt (xw, yw).Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w
punkcie (−1, 2). Zatem zbiorem wartosci tej funkcji jest przedział (−∞, 2〉.
-5 -1 +1 +5 x
-10
-5
-1
+1
y
Odpowiedz: (−∞, 2〉
ZADANIE 16
Wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f (x) = (x + 1)2− 3 w przedziale 〈−1; 1〉.
ROZWIAZANIE
Ramiona paraboli sa skierowane w góre, wiec wartosc najmniejsza jest przyjmowana w jejwierzchołku (jezeli jest w podanym przedziale), a wartosc najwieksza w jednym z koncówprzedziału. W którym? – policzymy i sprawdzimy.
Z podanej postaci kanonicznej wiemy, ze xw = −1 i f (xw) = −3. Sprawdzmy jeszczedrugi koniec przedziału.
f (1) = 22 − 3 = 1.
Na koniec obrazek.
8
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: fmax = f (1) = 1, fmin = f (−1) = −3
ZADANIE 17
Wyznacz najmniejsza wartosc funkcji kwadratowej f (x) = 12(x + 2)(x − 8) w przedziale
〈1, 2〉.
ROZWIAZANIE
Wierzchołek paraboli bedacej wykresem funkcji f znajduje sie w srodku miedzy pierwiast-kami, czyli
xw =−2 + 8
2=
62= 3.
To oznacza, ze wierzchołek paraboli znajduje sie na prawo od interesujacego nas przedziału〈1, 2〉. Poniewaz współczynnik przy x2 jest dodatni oznacza to, ze na tym przedziale funkcjajest malejaca.
-5 -1 +3 +5 x
-10
-2
+2
+10
y
W takim razie najmniejsza wartosc funkcji na przedziale 〈1, 2〉 to f (2). Liczymy
f (2) =12(2 + 2)(2− 8) =
12· 4 · (−6) = −24
2= −12.
9
Odpowiedz: fmin = f (2) = −12
ZADANIE 18
Wyznacz wartosc funkcji f (x) = −x2 + 3x− 2 dla argumentu x =√
3 + 2.
ROZWIAZANIE
Liczymy korzystajac ze wzoru skróconego mnozenia: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
f (√
3 + 2) = −(√
3 + 2)2 + 3(√
3 + 2)− 2 = −(3 + 4√
3 + 4) + 3√
3 + 6− 2
= −7− 4√
3 + 3√
3 + 4 = −3−√
3.
Odpowiedz: −3−√
3
ZADANIE 19
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór.
-13
2
ROZWIAZANIE
Sposób I
Z wykresu widzimy, ze miejscami zerowymi funkcji sa liczby x = −1 i x = 3. Zatem szukanafunkcja ma postac
y = a(x + 1)(x− 3).
Współczynnik a wyznaczamy podstawiajac współrzedne trzeciego z podanych punktów.
2 = a(0 + 1)(0− 3) = −3a ⇒ a = −23
.
Sposób II
10
Tym razem szukamy funkcji postaci f (x) = ax2 + bx + c. Z wykresu widac, ze f (0) = 2,czyli c = 2. Współczynniki a i b wyznaczymy podstawiajac współrzedne punktów (−1, 0) i(3, 0).
0 = a− b + 20 = 9a + 3b + 2
Podstawiajac b = a + 2 z pierwszego równania do drugiego, mamy
0 = 9a + 3(a + 2) + 2
0 = 12a + 8 ⇐⇒ a = − 812
= −23
.
Zatem b = a + 2 = 43 i szukana funkcja to
y = −23
x2 +43
x + 2.
Odpowiedz: y = −23(x + 1)(x− 3) = −2
3 x2 + 43 x + 2
ZADANIE 20
Punkty A = (0, 5) i B = (1, 12) naleza do wykresu funkcji f (x) = x2 + bx + c. Zapisz wzórfunkcji w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.
ROZWIAZANIE
Warunek f (0) = 5 oznacza, ze c = 5. Podobnie, warunek f (1) = 12, oznacza, ze 1 + b + c =12, czyli b = 6. Mamy stad postac ogólna
f (x) = x2 + 6x + 5.
Przekształcamy do postaci kanonicznej
f (x) = x2 + 6x + 5 = x2 + 6x + 9− 4 = (x + 3)2 − 4.
Przekształcamy do postaci iloczynowej
f (x) = (x + 3)2 − 4 = (x + 3− 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).
ZADANIE 21
Dla jakiego p prosta o równaniu x = 2 jest osia symetrii wykresu funkcji y = x2 − 4px + 8.
ROZWIAZANIE
Wykresem danej funkcji jest parabola i osia jej symetrii jest pionowa prosta x = xw przecho-dzaca przez wierzchołek paraboli (xw, yw). Daje to nam równanie
2 = xw =4p2
= 2p ⇒ p = 1.
11
-5 -1 +3 +5 x-1
+1
+5
+10
y
Odpowiedz: p = 1
ZADANIE 22
Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji f (x) = −3x2 + 5x + 9.
ROZWIAZANIE
Wykresem danej funkcji jest parabola i jej osia symetrii jest pionowa prosta x = xw przecho-dzaca przez wierzchołek (xw, yw) paraboli. Liczymy
xw =−b2a
=−5−6
=56
.
-5 -1 +1 +5 x-1
+1
+5
+10
y
Odpowiedz: x = 56
12
ZADANIE 23Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = x2 + bx + 1 oraz g(x) = bx2 + cx − 4. Wyznaczwartosci parametrów b oraz c, tak aby wykresy funkcji miały wierzchołek w punkcie o od-cietej -2.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru na współrzedne wierzchołka paraboli mamy warunki− b
2 = −2− c
2b = −2.b = 4c = 4b.
Zatem (b, c) = (4, 16).
-10 -2 +2 +10 x
-20
-10
-2
+2
yf(x)
g(x)
Odpowiedz: (b, c) = (4, 16)
ZADANIE 24Funkcja f okreslona jest wzorem f (x) = 3x2 − 9x + c, gdzie c ∈ R. Wyznacz wszystkiewartosci współczynnika c, dla których:
a) jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 2;
b) wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , nalezy do prostej o równaniu y =x.
ROZWIAZANIE
a) Liczymy kiedy x = 2 jest pierwiastkiem
0 = 3 · 4− 9 · 2 + c ⇒ c = 6.
Odpowiedz: c = 6
13
b) Pierwsza współrzedna wierzchołka danej funkcji jest równa
xw = − b2a
=96=
32
.
Skoro wierzchołek ma lezec na prostej y = x, to musi byc yw = 32 . Ale yw = f (xw), co
daje równanie32= 3 · 9
4− 9 · 3
2+ c
c =6− 27 + 54
4=
334
.
Oczywiscie moglismy tez to samo wyliczyc ze wzoru yw = − ∆4a .
Odpowiedz: c = 334
ZADANIE 25
Naszkicuj f (x) = x2 oraz g(x) = x + 3 i na ich podstawie okresl liczbe pierwiastków rów-nania x2 = x + 3 oraz znaki tych pierwiastków.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od wykresów.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Z rysunku widac, ze sa dwa pierwiastki podanego równania (odpowiadaja one pierw-szym współrzednym punktów przeciecia wykresów) oraz jeden z nich jest dodatni, a drugiujemny.
ZADANIE 26
Dana jest funkcja f (x) = −x2 + 6x− 5.
a) Narysuj parabole, która jest wykresem funkcji f i zaznacz na rysunku współrzedne jejwierzchołka oraz punktów przeciecia paraboli z osiami układu współrzednych.
b) Odczytaj z wykresu zbiór wartosci funkcji f .
14
c) Rozwiaz nierównosc f (x) > 0.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
ROZWIAZANIE
a) Poniewaz współczynnik przy x2 jest ujemny, ramiona paraboli sa skierowane w dół,sprawdzmy gdzie jest jej wierzchołek i miejsca zerowe.
∆ = 36− 20 = 16
x1 =−6− 4−2
= 5, x2 =−6 + 4−2
= 1
(xw, yw) =
(− b
2a,−∆4a
)= (3, 4)
Teraz bez trudu szkicujemy zadany wykres.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
b) Odczytujemy z wykresu wszystkie mozliwe wartosci y punktów na wykresie.
Odpowiedz: (−∞, 4〉
15
c) Odczytujemy z wykresu lub rozwiazujemy algebraicznie
− x2 + 6x− 5 > 0− (x− 1)(x− 5) > 0(x− 1)(x− 5) 6 0x ∈ 〈1, 5〉.
Odpowiedz: x ∈ 〈1, 5〉
ZADANIE 27
Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, ze jej miejscazerowe sa rozwiazaniami równania |x− 3| = 5.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Rozwiazmy najpierw podane równanie
|x− 3| = 5x− 3 = −5 ∨ x− 3 = 5x = −2 ∨ x = 8.
Zatem szukana funkcja musi miec postac
f (x) = 2(x + 2)(x− 8) = 2(x2 − 6x− 16).
Pozostało wyznaczyc postac kanoniczna.
2(x2 − 6x− 16) = 2((x2 − 6x + 9)− 25) = 2(x− 3)2 − 50.
Sposób II
Podnosimy dane równanie stronami do kwadratu
(x− 3)2 = 25
Zatem rozwiazania tego równania sa miejscami zerowymi funkcji
y = (x− 3)2 − 25.
Poniewaz szukamy funkcji ze współczynnikiem 2 przy x2, musimy powyzszy wzór pomno-zyc przez 2, czyli
f (x) = 2(x− 3)2 − 50.
Odpowiedz: f (x) = 2(x− 3)2 − 50
16
ZADANIE 28
Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = −9(x− a2)
2 + 4
a) Dla a = 2 wyznacz postac iloczynowa tej funkcji.
b) Dla a = 0 wyznacz te argumenty, dla których funkcja osiaga wartosci ujemne.
c) Wyznacz a tak, aby osia symetrii wykresu funkcji była prosta o równaniu x = 6.
ROZWIAZANIE
a) Liczymy
f (x) = −9 (x− 1)2 + 4 = −9((x− 1)2 − 4
9
)=
= −9(
x− 1− 23
)(x− 1 +
23
)= −9
(x− 5
3
)(x− 1
3
)
Odpowiedz: −9(x− 5
3
) (x− 1
3
)b) Musimy rozwiazac nierównosc
0 > −9x2 + 4 = −9(
x2 − 49
)= −9
(x− 2
3
)(x +
23
)x ∈
(−∞,−2
3
)∪(
23
,+∞)
.
Odpowiedz: x ∈(−∞,−2
3
)∪(2
3 ,+∞)
c) Osia symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest zawsze prosta x = xw przechodzacaprzez wierzchołek paraboli. Daje to nam równanie
a2= 6 ⇒ a = 12.
Odpowiedz: a = 12
ZADANIE 29
Okresl zbiór wartosci i przedziały monotonicznosci funkcji f (x) = −x2 + 8x− 15.
17
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac z tego, ze funkcja kwadratowa ax2 + bx + c, gdzie a < 0 przyjmujenajwieksza wartosc w wierzchołku i jest rosnaca na lewo oraz malejaca na prawo od wierz-chołka.
Zapiszmy funkcje w postaci kanonicznej
−x2 + 8x− 15 = −(x− 4)2 + 1.
Wierzchołek paraboli jest w punkcie (4, 1), czyli zbiór wartosci to (−∞, 1〉. Funkcja jest ro-snaca dla x ∈ (−∞, 4〉 i malejaca dla x ∈ 〈4,+∞). Na koniec obrazek
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: Zbiór wartosci: (−∞, 1〉, rosnaca na (−∞, 4〉, malejaca na 〈4,+∞)
ZADANIE 30
Wiesz, ze funkcja kwadratowa f (x) = 2x2 + bx + c przyjmuje wartosc najmniejsza y = 1 dlax = 1. Wyznacz wzór funkcji f , a nastepnie rozwiaz równanie f (x + 4) = f (−1).
ROZWIAZANIE
Wykresem funkcji f (x) = 2x2 + bx + c jest parabola o ramionach skierowanych w góre, wiecfunkcja ta przyjmuje najmniejsza wartosc w wierzchołku, czyli dla xw = − b
2a . Mamy stad
1 = xw = − b2a
= −b4⇒ b = −4.
Wartosc najmniejsza to f (xb) = f (1), co pozwala obliczyc c.
1 = f (1) = 2− 4 + c ⇒ c = 3.
18
Zatem f (x) = 2x2 − 4x + 3 i pozostało rozwiazac równanie
f (x + 4) = f (−1)
2(x + 4)2 − 4(x + 4) + 3 = 2 + 4 + 3
2(x + 4)2 − 4(x + 4) = 2 + 4 / : 2
(x + 4)2 − 2(x + 4) = 3
x2 + 8x + 16− 2x− 8 = 3
x2 + 6x + 5 = 0∆ = 36− 20 = 16
x =−6− 4
2= −5 ∨ x =
−6 + 42
= −1.
Odpowiedz: f (x) = 2x2 − 4x + 3, rozwiazania: x = −5 i x = −1
ZADANIE 31
Wyznacz f (x + 1) jezeli f (x− 1) = 2x2 − 3x + 1.
ROZWIAZANIE
Mamy wzór na f (x − 1). Jak z niego dostac wzór na f (x + 1)? – wystarczy zamiast x pod-stawic x + 2:
f (x + 1) = f ((x + 2)− 1) = 2(x + 2)2 − 3(x + 2) + 1 =
= 2x2 + 8x + 8− 3x− 6 + 1 = 2x2 + 5x + 3.
Odpowiedz: f (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
ZADANIE 32
Funkcja liniowa y = ax + b jest malejaca i jej miejscem zerowym jest liczba niedodatnia.Ustal znak wyrazenia a + b.
ROZWIAZANIE
Skoro funkcja jest malejaca to a < 0. Miejsce zerowe funkcji liniowej łatwo wyliczyc
ax + b = 0 ⇐⇒ x = −ba=
b−a
.
Wiemy, ze liczba ta jest niedodatnia, co oznacza, ze b tez musi byc niedodatnie (bo −a jestdodatnie). Zatem suma a + b jest ujemna.
Odpowiedz: a + b < 0
ZADANIE 33
Oblicz f ( 3√
2− 5) jezeli f (x) = −|(−3− x)3 + 12 3√
2− 10 3√
4|.
19
ROZWIAZANIE
Liczymyf ( 3√
2− 5) = −|(−3− 3√
2 + 5)3 + 12 3√
2− 10 3√
4| == −|(2− 3
√2)3 + 12 3
√2− 10 3
√4| =
= −|8− 12 3√
2 + 6 3√
4− 2 + 12 3√
2− 10 3√
4| == −|6− 4 3
√4|.
Pozostało ustalic jaki jest znak wyrazenia pod wartoscia bezwzgledna. Zauwazmy, ze 63 =
216 oraz (4 3√
4)3 = 256. Zatem druga liczba jest wieksza i mamy
−|6− 4 3√
4| = −(4 3√
4− 6) = 6− 4 3√
4.
Odpowiedz: 6− 4 3√
4
ZADANIE 34
Okresl dziedzine funkcji f (x) =√
x+2x4−16 .
ROZWIAZANIE
Wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne, czyli
x > −2.
Ponadto mianownik nie moze byc równy 0. Sprawdzmy kiedy tak jest.
0 = x4 − 16 = (x2)2 − 42 = (x2 − 4)(x2 + 4)
0 = x2 − 4 = (x− 2)(x + 2)x = 2 ∨ x = −2.
Tak wiec z dziedziny musimy jeszcze wyrzucic x = −2 i x = 2.
Odpowiedz: (−2, 2) ∪ (2,+∞)
ZADANIE 35
Wyznacz miejsca zerowe funkcji
f (x) =
x + 5 dla x < −5−x + 2 dla −5 6 x < 5x− 6 dla x > 5.
20
ROZWIAZANIE
Pierwszy wzór zeruje sie dla x = −5, jednak liczba ta nie spełnia nierównosci x < −5.Drugi wzór zeruje sie dla x = 2 i liczba ta jest w przedziale 〈−5, 5〉. Jest to wiec miejsce
zerowe.Trzeci wzór zeruje sie dla x = 6 i liczba ta spełnia nierównosc x > 5, wiec jest to drugie
miejsce zerowe.Dla ciekawskich wykres funkcji y = f (x).
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: x = 2 lub x = 6
ZADANIE 36
Oblicz miejsca zerowe funkcji
f (x) =
2x + 1 dla x 6 0x + 2 dla x > 0.
ROZWIAZANIE
Pierwszy wzór zeruje sie dla x = −12 i jest miejsce zerowe, bo liczba ta spełnia nierównosci
x 6 0.Drugi wzór zeruje sie dla x = −2, ale liczba to nie spełnia nierównosci x > 0.Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji y = f (x).
21
-5 -1 +3 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: x = −12
ZADANIE 37Uprosc wyrazenie 2x3+16
x2−2x+4 .
ROZWIAZANIE
Skorzystamy ze wzorua3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Liczymy2x3 + 16
x2 − 2x + 4=
2(x3 + 23)
x2 − 2x + 4=
2(x + 2)(x2 − 2x + 4)x2 − 2x + 4
= 2(x + 2).
Odpowiedz: 2(x + 2)
ZADANIE 38Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 1
x3−7x2−2x+14 .
ROZWIAZANIE
Dziedzina funkcji beda wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest równy 0. Liczymy
x3 − 7x2 − 2x + 14 = 0
x2(x− 7)− 2(x− 7) = 0
(x2 − 2)(x− 7) = 0
(x−√
2)(x +√
2)(x− 7) = 0.
Widac zatem, ze do dziedziny nie naleza liczby
−√
2,√
2, 7.
Odpowiedz: R \−√
2,√
2, 7
22
ZADANIE 39
Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 3+xx2 − 2
3−x .
ROZWIAZANIE
Wyrazenia w mianownikach nie moga byc równe 0, czyli x 6= 0 i x 6= 3.
Odpowiedz: R \ 0, 3
ZADANIE 40
Wyznacz dziedzine funkcji f (x) = 4√
2− 4x2 − 3x.
ROZWIAZANIE
Wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne, wiec
2− 4x2 − 3x > 0 / · (−1)
4x2 + 3x− 2 6 0∆ = 9 + 32 = 41
x1 =−3−
√41
8, x2 =
−3 +√
418
x ∈⟨−3−
√41
8,−3 +
√41
8
⟩.
Odpowiedz:⟨−3−
√41
8 , −3+√
418
⟩
23
ZADANIE 1
Rozwiaz równanie 1 + 4 + 7 + . . . + x = 117.
ROZWIAZANIE
Lewa strona podanego równania jest suma wyrazów ciagu arytmetycznego o pierwszymwyrazie a1 = 1 i róznicy r = 3. Korzystajac ze wzoru na sume wyrazów ciagu arytmetycz-nego, mamy
2 + (n− 1)32
· n = 117
(−1 + 3n)n = 234
3n2 − n− 234 = 0.
Dalej, ∆ = 2809 = 532. Dodatni pierwiastek to n = 9. Zatem x = a1 + 8r = 25.
Odpowiedz: x = 25
ZADANIE 2
Rozwiaz równanie 2x−4x+3 = 1
3 .
ROZWIAZANIE
Oczywiscie mianownik musi byc rózny od 0, czyli szukamy x 6= −3. Przekształcamy
2x− 4x + 3
=13
/ · 3(x + 3)
6x− 12 = x + 35x = 15 ⇐⇒ x = 3.
Odpowiedz: x = 3
ZADANIE 3
Rozwiaz równanie x + x3 = 1 + x2.
ROZWIAZANIE
Widac, ze z lewej strony mozna wyłaczyc x przed nawias.
x(1 + x2) = 1 + x2.
Poniewaz 1 + x2 > 0 mozemy podzielic przez to wyrazenie stronami i otrzymujemy x = 1.
Odpowiedz: x = 1
ZADANIE 4
Rozwiaz równanie x2(x− 1) = 7x(1− x).
1
III Równania i układy równań.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Przekształcamy równanie.x2(x− 1) = 7x(1− x)
x2(x− 1) + 7x(x− 1) = 0
(x2 + 7x)(x− 1) = 0x(x + 7)(x− 1) = 0.
Równanie ma wiec trzy rozwiazania: x ∈ −7, 0, 1.
Sposób IIGołym okiem widac dwa pierwiastki równania: x = 0 i x = 1 (bo dla x = 0 i x = 1 obiestrony równania sa równe 0). Jezeli natomiast x 6= 0 i x 6= 1 to mozemy obie strony podzielicprzez x(x− 1).
x2(x− 1) = 7x(1− x)
x2(x− 1) = −7x(x− 1) / : x(x− 1)x = −7.
Trzecim pierwiastkiem równania jest wiec x = −7.
Sposób IIIPrzekształcamy równanie.
x3 − x2 = 7x− 7x2
x3 + 6x2 − 7x = 0
x(x2 + 6x− 7) = 0.
Jednym z pierwiastków jest wiec x = 0. Aby wyznaczyc pozostałe rozwiazujemy równaniekwadratowe
x2 + 6x− 7 = 0∆ = 36 + 28 = 64
x =−6− 8
2= −7 ∨ x =
−6 + 82
= 1.
Odpowiedz: x ∈ −7, 0, 1
ZADANIE 5Rozwiaz równanie 8x2 + 3 = 35.
ROZWIAZANIE
Liczymy8x2 + 3 = 35
8x2 = 32
x2 = 4x = −2 ∨ x = 2.
Odpowiedz: x = −2 ∨ x = 2
2
ZADANIE 6
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3− 4x2−mx + 36. Wyznacz parametr m ipozostałe pierwiastki tego wielomianu.
ROZWIAZANIE
Wyznaczamy parametr
W(3) = 0
33 − 4 · 32 − 3m + 36 = 027− 36− 3m + 36 = 0 ⇒ m = 9.
Pozostałe pierwiastki znajdziemy za pomoca grupowania wyrazów
x3 − 4x2 − 9x + 36 = x2(x− 4)− 9(x− 4) =
(x2 − 9)(x− 4) = (x− 3)(x + 3)(x− 4).
Zatem pierwiastkami sa liczby −3, 3, 4.
Odpowiedz: m = 9, pierwiastki to: −3, 3, 4
ZADANIE 7
Rozwiaz równanie x4 + 2x3 − 4x2 − 8x = 0.
ROZWIAZANIE
Widac, ze mozemy wyłaczyc x i (x + 2) przed nawias.
x4 + 2x3 − 4x2 − 8x = x3(x + 2)− 4x(x + 2) = (x3 − 4x)(x + 2) =
= (x2 − 4)x(x + 2) = (x− 2)(x + 2)x(x + 2).
Równanie ma wiec 3 pierwiastki: −2, 0, 2.
Odpowiedz: −2, 0, 2
ZADANIE 8
Podaj miejsca zerowe funkcji f (x) = x(x + 2).
ROZWIAZANIE
Pierwszy nawias zeruje sie dla x = 0, a drugi dla x = −2.
Odpowiedz: x = 0 lub x = −2
ZADANIE 9
Rozwiaz algebraicznie i graficznie układ równan
y = x + 25y− 3x = 4.
3
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od rozwiazania graficznego. Musimy narysowac obie proste bedace wykresamirównan układu. Aby to zrobic, dla kazdego z równan znajdujemy dwa spełniajace go punk-ty, potem prowadzimy proste przez te punkty. Nie jest to trudne, dla pierwszego równaniamozemy np. wziac (0, 2) i (−1, 1). Zeby znalezc ładne punkty dla drugiego równania, za-piszmy je w postaci y = 3
5 x + 45 . Podstawiamy teraz x = 2 i x = −3 i dostajemy punkty
(2, 2) i (−3,−1).Rysujemy teraz obie proste i zgadujemy z wykresu punkt wspólny: (x, y) = (−3,−1).
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
y=x+2
5y-3x
=4
Na koniec nalezy sprawdzic, czy liczby te rzeczywiscie spełniaja oba równania – trzebato sprawdzic, bo moglismy miec niedokładny wykres.
Rozwiazmy teraz układ algebraicznie. Podstawiajac z pierwszego równania y = x + 2do drugiego, mamy
5(x + 2)− 3x = 45x + 10− 3x = 42x = −6 ⇐⇒ x = −3.
Z pierwszego równania mamy wiec y = x + 2 = −1.
Odpowiedz: (x, y) = (−3,−1)
ZADANIE 10
Pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x3 + mx− 5 jest liczba -2. Wyznacz parametr m.
ROZWIAZANIE
Liczba -2 jest pierwiastkiem, wiec W(−2) = 0. Podstawiamy i wyznaczamy m
0 = 2 · (−2)3 − 2m− 5
0 = −16− 2m− 5 ⇒ m = −1012
.
Odpowiedz: m = −1012
4
ZADANIE 11
Rozwiaz równanie x3 − 4x2 − 3x + 12 = 0.
ROZWIAZANIE
Łatwo zauwazyc, ze mozemy wyłaczyc (x− 4) przed nawias.
0 = x3 − 4x2 − 3x + 12 = x2(x− 4)− 3(x− 4) =
= (x− 4)(x2 − 3) = (x− 4)(x−√
3)(x +√
3).
Odpowiedz: x ∈ −√
3,√
3, 4
ZADANIE 12
Rozwiaz równanie 2x+1x+1 = 5
6 x.
ROZWIAZANIE
Liczymy6(2x + 1) = 5(x2 + x)
12x + 6 = 5x2 + 5x
5x2 − 7x− 6 = 0
∆ = 49 + 120 = 169 = 132
x1 =7− 13
10= −3
5, x2 =
7 + 1310
= 2.
Odpowiedz: x = −35 lub x = 2
ZADANIE 13
Rozwiaz równanie −4x2 − 16x + 9 = 0.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Przekształcamy lewa strone do postaci kanonicznej:
−4x2 − 16x + 9 = −4(x2 + 4x + 4) + 25 = −4(x + 2)2 + 25
Mozemy zatem dane równanie zapisac w postaci:
−4(x + 2)2 + 25 = 0
4(x + 2)2 = 25
x + 2 = ±52
Otrzymujemy stad x = 12 lub x = −9
2 .
5
Sposób II
Liczymy:∆ = 162 − 4 · (−4) · 9 = 256 + 144 = 400 = 202
Otrzymujemy stad
x1 =16− 20−8
=12
x2 =16 + 20−8
= −92
Odpowiedz: x1 = 12 , x2 = −9
2
ZADANIE 14
Rozwiazaniami równania x2 + bx + c = 0 sa liczby 8 i -3. Wyznacz parametry b, c.
ROZWIAZANIE
Podstawiamy podane rozwiazania do równania i otrzymujemy układ równan82 + 8b + c = 0(−3)2 − 3b + c = 0.
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy
−55− 11b = 0 ⇒ b = −5.
Zatemc = −24.
Odpowiedz: b = −5, c = −24
ZADANIE 15
Rozwiaz równanie 2x3 − 18x = 0.
ROZWIAZANIE
Rozkładamy lewa strone na czynniki
0 = 2x3 − 18x = 2x(x2 − 9) = 2x(x− 3)(x + 3).
Widac, ze otrzymane wyrazenie zeruje sie dla x = 0, x = −3 i x = 3.
Odpowiedz: 0,−3, 3
ZADANIE 16
Rozwiaz układ równan
x + y = 32x + 2y = 7.
6
ROZWIAZANIE
Odejmujemy od drugiego równania 2 razy pierwsze i dostajemy równosc
0 = 7− 6 = 1.
Równosc ta jest sprzeczna, czyli układ nie ma rozwiazan.Geometrycznie, wykresy równan układu to wykresy funkcji y = 3− x i y = −x + 7
2 . Sato proste równoległe.
-2.5 +1 +2.5 x
-2.5
-0.5
+0.5
+2.5
y
Odpowiedz: Układ sprzeczny.
ZADANIE 17
Wykaz, ze funkcja kwadratowa f (x) = x2 + (b + 2)x + 2b, ma co najmniej jedno miejscezerowe dla kazdej wartosci parametru b. Dla jakiej wartosci parametru b funkcja ma tylkojedno miejsce zerowe? Wyznacz to miejsce.
ROZWIAZANIE
Liczymy ∆-e.∆ = (b + 2)2 − 8b = b2 + 4b + 4− 8b = (b− 2)2.
Widac, ze ∆ > 0, czyli równanie ma zawsze rozwiazanie.Rozwiazanie jest jedno gdy ∆ = 0, czyli dla b = 2. Mamy wtedy równanie
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0 ⇒ x = −2.
Odpowiedz: b = 2, x = −2
ZADANIE 18
Rozwiaz układ równan
3x− 2y = 06y− 10x− 4 = 0
7
ROZWIAZANIE
Metoda podstawiania Wyliczamy z pierwszego równania 2y = 3x i wstawiamy do drugie-go równania
3 · 2y− 10x− 4 = 03 · 3x− 10x− 4 = 0
x = −4
Zatem y = −6.Metoda przeciwnych wpółczynników Do drugiego równania dodajemy pierwsze prze-mnozone przez 3 (zeby skrócic y)
3x− 2y = 06y− 10x− 4 + 3(3x− 2y) = 03x− 2y = 0x = −4
A wiec jak poprzednio (x, y) = (−4,−6).
Odpowiedz: (x, y) = (−4,−6)
ZADANIE 19
Rozwiaz równanie x− 2 = −x−1.
ROZWIAZANIE
Liczymy
x− 2 = −1x
x2 − 2x + 1x
= 0
(x− 1)2
x= 0 ⇒ x = 1.
Odpowiedz: x = 1
ZADANIE 20
Rozwiaz równanie x√
5 = x + 2.
ROZWIAZANIE
Liczymyx(√
5− 1) = 2
x =2√
5− 1=
2(√
5 + 1)(√
5− 1)(√
5 + 1)=
2(√
5 + 1)5− 1
=
√5 + 12
.
Odpowiedz:√
5+12
8
ZADANIE 21
Rozwiaz równanie 4+2xx−5 = −5.
ROZWIAZANIE
Mianownik jest równy 0 dla x = 5, wiec dziedzina równania jest zbiór R \ 5.Mnozac równanie stronami przez x− 5 otrzymujemy
4 + 2x = −5x + 257x = 21 ⇐⇒ x = 3.
Odpowiedz: x = 3
ZADANIE 22
Rozwiaz równanie 8(7
6 x− 9)− 3(47− 3x) = 7.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy równanie
8(
76
x− 9)− 3(47− 3x) = 7
283
x− 72− 141 + 9x = 7
28 + 273
x = 220
553
x = 220 / : 55
13
x = 4 ⇒ x = 12.
Odpowiedz: x = 12
ZADANIE 23
Rozwiaz równanie x3 − 12x2 + x− 12 = 0.
ROZWIAZANIE
Widac, ze łatwo mozna wyciagnac (x− 12) przed nawias.
x3 − 12x2 + x− 12 = 0
x2(x− 12) + (x− 12) = 0
(x− 12)(x2 + 1) = 0.
Drugi nawias jest zawsze dodatni, wiec jedyne rozwiazanie to x = 12.
Odpowiedz: x = 12
9
ZADANIE 24Liczby x1 = −4 i x2 = 3 sa pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + 4x2 − 9x − 36. Oblicztrzeci pierwiastek tego wielomianu.
ROZWIAZANIE
Rozkładamy dany wielomian na czynniki.
W(x) = x3 + 4x2 − 9x− 36 = x2(x + 4)− 9(x + 4) =
= (x2 − 9)(x + 4) = (x− 3)(x + 3)(x + 4).
Widac teraz, ze trzecim pierwiastkiem wielomianu jest x3 = −3.
Odpowiedz: x3 = −3
ZADANIE 25Rozłóz na czynniki liniowe trójmian kwadratowy y = x2 − 3x + 2.
ROZWIAZANIE
Obliczamy pierwiastki trójmianu.
∆ = 9− 8 = 1
x1 =3− 1
2= 1 ∨ x2 =
3 + 12
= 2.
Zatemx2 − 3x + 2 = (x− 1)(x− 2).
Odpowiedz: y = (x− 1)(x− 2)
ZADANIE 26
Rozwiaz układ równan
xy = 6x2 + y2 = 13.
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze dla x = 0 układ robi sie sprzeczny, zatem x 6= 0 i z pierwszego równaniamozemy wyliczyc y = 6
x i wstawic do drugiego równania.
x2 +36x2 = 13
x4 + 36− 13x2 = 0.
Podstawiamy x2 = t.t2 − 13t + 36 = 0∆ = 169− 144 = 25
t1 =13− 5
2= 4, t2 =
13 + 52
= 9
x = −2∨ x = 2∨ x = −3∨ x = 3y = −3∨ y = 3∨ y = −2∨ y = 2.
Odpowiedz: (x, y) ∈ (−3,−2), (−2,−3), (3, 2), (2, 3)
10
ZADANIE 27
Rozwiaz równanie (x + 3)2 − (4− x)(4 + x) = 2(x− 1)2 + 1.
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac ze wzorów:
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Liczymy(x + 3)2 − (4− x)(4 + x) = 2(x− 1)2 + 1
x2 + 6x + 9− (16− x2) = 2(x2 − 2x + 1) + 1
x2 + 6x + 9− 16 + x2 − 2x2 + 4x− 3 = 010x− 10 = 0 ⇒ 10x = 10 ⇒ x = 1.
Odpowiedz: x = 1
ZADANIE 28
Rozwiaz układ równan
x + 3y = 52x− y = 3.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Z pierwszego równania mamy x = 5− 3y, podstawiamy to wyrazenie do drugiego równa-nia.
2(5− 3y)− y = 310− 6y− y = 37 = 7y ⇐⇒ y = 1.
Zatem x = 5− 3y = 2.
Sposób II
Dodajemy do pierwszego równania drugie pomnozone przez 3 (zeby skrócic y) i mamy
x + 6x = 5 + 9 ⇐⇒ x = 2.
Z drugiego równania mamy y = 2x− 3 = 4− 3 = 1.
Odpowiedz: (x, y) = (2, 1)
ZADANIE 29
Rozwiaz równanie (x + 1)(x + 1) = 1.
11
ROZWIAZANIE
Liczymy(x + 1)2 = 1x + 1 = 1 ∨ x + 1 = −1x = 0 ∨ x = −2.
Odpowiedz: x = 0 lub x = −2
ZADANIE 30Rozwiaz równanie x4 − 3x2 = 3− x2.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Jezeli sie przyjrzymy to widac, ze po obu stronach równania mozna wyłaczyc x2 − 3 przednawias.
x2(x2 − 3) = −(x2 − 3)
x2(x2 − 3) + (x2 − 3) = 0
(x2 + 1)(x2 − 3) = 0.
Wyrazenie w pierwszym nawiasie jest zawsze dodatnie, wiec pozostaje równanie
x2 − 3 = 0
x2 = 3
x = −√
3 ∨ x =√
3.
Sposób IIJezeli zapiszemy dane równanie w postaci
x4 − 2x2 − 3 = 0
to widac, ze mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym i mozemy podstawic t =x2.
t2 − 2t− 3 = 0∆ = 4 + 12 = 16
t =2− 4
2= −1 ∨ t =
2 + 42
= 3.
t = −1 nie daje zadnych rozwiazan (bo t = x2 > 0), a t = 3 daje dwa rozwiazania x = ±√
3.
Odpowiedz: x ∈ −√
3,√
3
ZADANIE 31Rozwiaz graficznie i algebraicznie układ równan
y = x2 + 2x + 1x2 + 4x + y + 3 = 0.
12
ROZWIAZANIE
Aby podany układ rozwiazac graficznie, napiszmy go w postaciy = (x + 1)2
y = −x2 − 4x− 3 = −(x + 2)2 + 1).
Rysujemy teraz wykresy obu funkcji i szukamy ich punktów przeciecia.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Widac z wykresu, ze sa to punkty (x, y) = (−2, 1) lub (x, y) = (−1, 0).Rozwiazmy teraz ten układ algebraicznie (porównujemy y-ki).
x2 + 2x + 1 = −x2 − 4x− 3
2x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 3x + 2 = 0
Dalej, ∆ = 9− 8 = 1, x = −2 lub x = −1. Stad y = 1 lub y = 0.
Odpowiedz: (x, y) = (−2, 1) lub (x, y) = (−1, 0)
ZADANIE 32Rozwiaz równanie x3 + 3x2 + 2x + 4 = (x + 2)2.
ROZWIAZANIE
Liczymyx3 + 3x2 + 2x + 4 = (x + 2)2
x3 + 3x2 + 2x + 4 = x2 + 4x + 4
x3 + 2x2 − 2x = 0
x(x2 + 2x− 2) = 0.
Zatem jednym pierwiastkiem jest x = 0. Aby znalezc pozostałe rozkładamy trójmian wnawiasie.
x2 + 2x− 2 = 0
∆ = 4 + 8 = 12 = (2√
3)2
x =−2− 2
√3
2= −1−
√3 ∨ x =
−2 + 2√
32
= −1 +√
3.
13
Odpowiedz: x ∈ −1−√
3, 0,−1 +√
3
ZADANIE 33
Rozwiaz graficznie i algebraicznie układ równany = x2 − 4x + 3x− y− 1 = 0.
ROZWIAZANIE
Aby podany układ rozwiazac graficznie, napiszmy go w postaciy = (x− 2)2 − 1y = x− 1.
Rysujemy teraz wykresy obu funkcji i szukamy ich punktów przeciecia.
-5 -1 +1 +5 x-1
+1
+5
+10
y
Widac z wykresu, ze sa to punkty (x, y) = (1, 0) lub (x, y) = (4, 3).Rozwiazmy teraz ten układ algebraicznie (porównujemy y-ki).
x2 − 4x + 3 = x− 1
x2 − 5x + 4.
Dalej, ∆ = 25− 16 = 9, x = 1 lub x = 4. Stad y = 0 lub y = 3.
Odpowiedz: (x, y) = (1, 0) lub (x, y) = (4, 3)
ZADANIE 34
Rozwiaz równanie 321 · x = 911·x−276
2 .
14
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podane równanie
321 · x =322 · x− 318
2/ : 318
33 · x =34 · x− 1
254x = 81x− 127x = 1
x =1
27.
Odpowiedz: x = 127
ZADANIE 35
Rozwiaz równanie 321 · x = 911·x−276
2 .
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podane równanie
321 · x =322 · x− 318
2/ : 318
33 · x =34 · x− 1
254x = 81x− 127x = 1
x =1
27.
Odpowiedz: x = 127
ZADANIE 36
Rozwiaz równanie
1− x3+
x2
9− x3
27+
x4
81= 243 + x5.
ROZWIAZANIE
15
Lewa strona jest suma 5 poczatkowych wyrazów ciagu geometrycznego o ilorazie q = −x3 .
Ze wzoru na sume poczatkowych wyrazów ciagu geometrycznego mamy wiec równanie
1 ·1− (− x
3 )5
1− (− x3 )
= 243 + x5
35+x5
35
3+x3
= 243 + x5 / : (35 + x5)
335(3 + x)
= 1
1 = 34(3 + x)
1 = 243 + 81x ⇒ x = −24281
.
Do powyzszego rachunku nalezy sie kilka uwag. Po pierwsze wzór na sume ma sens o ileq 6= 1 (bo jest 1 − q w mianowniku). Jednak dla q = 1, czyli x = −3 mamy sprzecznarównosc
5 = 243− 243.
Druga sprawa to dzielenie przez 35 + x5. Ta liczba jest zero dokładnie dla x = −3, a tenprzypadek przed chwila rozwazylismy.
Odpowiedz: x = −24281
ZADANIE 37
Wyznacz niewiadoma x z równania: (x + 2√
3)(3−√
3) = 9 +√
3.
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podane równanie
(x + 2√
3)(3−√
3) = 9 +√
3
x + 2√
3 =9 +√
33−√
3=
(9 +√
3)(3 +√
3)9− 3
=27 + 12
√3 + 3
6
x + 2√
3 =30 + 12
√3
6= 5 + 2
√3
x = 5.
Odpowiedz: x = 5
ZADANIE 38
Rozwiaz układ równan
x2 + 1 = yx + y = 7.
16
ROZWIAZANIE
Rozwiazujemy układ x2 + 1 = yx + y = 7x2 + 1 = yy = 7− x
Porównujemy równania i otrzymujemy
x2 + 1 = 7− x
x2 + x− 6 = 0.
Wyznaczamy rozwiazania
∆ = 1− 4 · (−6) = 1 + 24 = 25
x1 =−1− 5
2= −3 i y1 = 7− x1 = 7 + 3 = 10
x2 =−1 + 5
2= 2 i y2 = 7− x2 = 7− 2 = 5.
Zatem mamy dwie pary rozwiazan:
(x, y) = (−3, 10), (x, y) = (2, 5)
Odpowiedz: (x, y) = (−3, 10) lub (x, y) = (2, 5)
ZADANIE 39Rozwiaz nierównosc (x − 2)2 − 4 < 0. Podaj wszystkie rozwiazania równania x3 + 6x2 −4x− 24 = 0, które naleza do zbioru rozwiazan tej nierównosci.
ROZWIAZANIE
Najpierw rozwiazujemy nierównosc
x2 − 4x + 4− 4 < 0
x2 − 4x < 0x(x− 4) < 0 ⇒ x ∈ (0, 4).
Teraz rozwiazujemy podane równanie. Mozemy to zrobic standardowo, czyli szukac pier-wiastka całkowitego (łatwo znalezc x = 2) i dzielic przez dwumian. Mozemy tez od razudostrzec rozkład
0 = x3 + 6x2 − 4x− 24 = x2(x + 6)− 4(x + 6) =
= (x2 − 4)(x + 6) = (x− 2)(x + 2)(x + 6).
Sposród otrzymanych pierwiastków tylko x = 2 nalezy do przedziału (0, 4).
Odpowiedz: Nierównosc: (0, 4), równanie: x = 2
17
ZADANIE 1
Rozwiaz nierównosc x4+2x3+x2
x−1+6x2 < 0.
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze licznik jest równy
x4 + 2x3 + x2 = x2(x2 + 2x + 1) = x2(x + 1)2.
Jest on wiec dodatni, o ile x 6= 0 i x 6= −1. Pozostało zajac sie nierównoscia kwadratowa
6x2 + x− 1 < 0∆ = 1 + 24 = 25
x1 =−1− 5
12= −1
2, x2 =
−1 + 512
=13
x ∈(−1
2,
13
).
Na koniec nie mozna zapomniec o wyrzuceniu x = 0 ze zbioru rozwiazan.
Odpowiedz:(−1
2 , 0)∪(
0, 13
)ZADANIE 2
Znajdz wszystkie liczby całkowite spełniajace nierównosc |x + 4| < 2.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Rozwiazaniem nierównosci |x| < a, gdzie a > 0 jest przedział (−a, a). W naszej sytuacjimamy wiec
x + 4 ∈ (−2, 2) /− 4x ∈ (−6,−2).
W przedziale tym znajduja sie trzy liczby całkowite: −5,−4,−3.
Sposób II
Nierównosc |x| < a, gdzie a > 0 jest równowazna nierównosci −a < x < a. W naszejsytuacji mamy wiec
− 2 < x + 4 < 2 /− 4− 6 < x < −2.
W przedziale tym znajduja sie trzy liczby całkowite: −5,−4,−3.
Sposób III
1
IV Nierówności.
Jezeli x > −4 to wyrazenie pod wartoscia bezwzgledna jest nieujemne i mamy nierównosc
x + 4 < 2x < −2.
W tym przypadku mamy wiec dwa rozwiazania całkowite: −4,−3.Jezeli natomiast x < −4 to wyrazenie pod wartoscia bezwzgledna jest ujemne i mamy
nierównosc− x− 4 < 2− 6 < x.
Tylko jedna liczba całkowita spełnia te nierównosc: −5.
Sposób IVPrzypomnijmy, ze nierównosc
|x− (−4)| < 2
spełniaja te liczby na osi liczbowej, które sa odległe od −4 o mniej niz 2.
-7 -6-8 -3-5 -4-9 -2 1-1 0 2
2 2
Jezeli zaznaczymy ten zbiór na osi liczbowej, to widac, ze zawiera on tylko trzy liczbycałkowite −5,−4,−3.
Odpowiedz: −5,−4,−3
ZADANIE 3Rozwiaz nierównosc
1x(x + 1)
+1
(x + 1)(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
< 0.
ROZWIAZANIE
Sposób IZadanie jest dosc proste jezeli zauwazymy, ze
1x(x + 1)
=1x− 1
x + 1.
Z tej równosci, mozemy dana nierównosc zapisac w postaci(1x− 1
x + 1
)+
(1
x + 1− 1
x + 2
)+
(1
x + 2− 1
x + 3
)+
+
(1
x + 3− 1
x + 4
)+
(1
x + 4− 1
x + 5
)< 0
1x− 1
x + 5< 0
x + 5− xx(x + 5)
< 0
5x(x + 5)
< 0.
2
Nierównosc ta jest równowazna nierównosci
x(x + 5) < 0x ∈ (−5, 0).
Nie jest to jednak ostateczna odpowiedz, bo musimy jeszcze wyrzucic z tego przedziałuliczby −4,−3,−2,−1, które nie naleza do dziedziny nierównosci.
Sposób IINawet jak nie zauwazmy sztuczki z poprzedniego sposobu, to ułamki mozna dodac pokolei, jezeli bedziemy po drodze je skracac.
1x(x + 1)
+1
(x + 1)(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=
=x + 2 + x
x(x + 1)(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=
=2(x + 1)
x(x + 1)(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=
=2
x(x + 2)+
1(x + 2)(x + 3)
+1
(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=
=2(x + 3) + x
x(x + 2)(x + 3)+
1(x + 3)(x + 4)
+1
(x + 4)(x + 5)=
=3
x(x + 3)+
1(x + 3)(x + 4)
+1
(x + 4)(x + 5)=
=3(x + 4) + x
x(x + 3)(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=4
x(x + 4)+
1(x + 4)(x + 5)
=
=4(x + 5) + x
x(x + 4)(x + 5)=
5(x + 4)x(x + 4)(x + 5)
=5
x(x + 5).
Dalej liczymy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedz: (−5,−4) ∪ (−4,−3) ∪ (−3,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (−1, 0)
ZADANIE 4Wykaz, ze dla kazdych liczb rzeczywistych x oraz a prawdziwa jest nierównosc
(x + 2a)2 > 8ax.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy nierównosc w sposób równowazny.
(x + 2a)2 > 8ax
x2 + 4ax + (2a)2 > 8ax
x2 − 4ax + (2a)2 > 0
(x− 2a)2 > 0.
Otrzymana nierównosc jest prawdziwa, wiec wyjsciowa nierównosc tez musiała byc praw-dziwa.
3
ZADANIE 5
Wykaz, ze dla m = 3 nierównosc x2 +(2m− 3)x+ 2m+ 5 > 0 jest spełniona przez wszystkieliczby rzeczywiste x.
ROZWIAZANIE
Dla m = 3 mamy nierównoscx2 + 3x + 11 > 0.
Liczymy ∆-e.∆ = 9− 44 < 0.
Poniewaz ∆ < 0 parabola bedaca wykresem lewej strony nierównosci lezy w całosci ponadosia Ox, co konczy uzasadnienie.
ZADANIE 6
Rozwiaz nierównosc −20x2 + x + 1 > 0.
ROZWIAZANIE
Liczymy− 20x2 + x + 1 > 0 / · (−1)
20x2 − x− 1 < 0
∆ = (−1)2 + 4 · 20 = 81 = 92
x =1− 9
40= −1
5lub x =
1 + 940
=14
x ∈(−1
5,
14
).
Odpowiedz: x ∈(−1
5 , 14
)ZADANIE 7
Funkcja kwadratowa f jest okreslona wzorem f (x) = (2− x)2.
a) Wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f w przedziale 〈0, 5〉.
b) Rozwiaz nierównosc f (x)− (2− x) > 0.
ROZWIAZANIE
Poniewaz f (x) = (2− x)2 = (x − 2)2, to wykresem tej funkcji jest parabola z ramionamiskierowanymi do góry, styczna do osi Ox w punkcie 2.
4
-5 -1 +1 +5 x-1
+1
+5
+10
y
a) Poniewaz wierzchołek paraboli jest w danym przedziale, to własnie w nim jest naj-mniejsza wartosc f (2) = 0.
Ze wzgledu na kształt wykresu, najwieksza wartosc jest w jednym z konców przedzia-łu. Łatwo sprawdzic, ze f (5) = 9 > f (0) = 4.
Odpowiedz: fmin = 0, fmax = 9
b) Przekształcmy podana nierównosc
(2− x)2 − (2− x) > 0(2− x)((2− x)− 1) > 0(2− x)(1− x) > 0(−1)(x− 2)(−1)(x− 1) > 0(x− 2)(x− 1) > 0.
Nierównosc, która otrzymalismy to najwyklejsza nierównosc kwadratowa, jej rozwia-zaniem jest zbiór (−∞, 1〉 ∪ 〈2, ∞) (oba czynniki maja byc nieujemne lub oba niedodat-nie).
Odpowiedz: (−∞, 1〉 ∪ 〈2, ∞)
ZADANIE 8Rozwiaz nierównosc x+2
3 + 1 < x.
ROZWIAZANIE
Liczymyx + 2
3+ 1 < x / · 3
x + 2 + 3 < 3x
5 < 2x ⇒ 52< x.
5
Odpowiedz: (52 ,+∞)
ZADANIE 9Rozwiaz nierównosc: x2 − 7x + 12 > 0.
ROZWIAZANIE
Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu x2 − 7x + 12
∆ = (−7)2 − 4 · 1 · 12 = 49− 48 = 1
x1 =7− 1
2= 3
x2 =7 + 1
2= 4.
Poniewaz współczynnik przy x2 jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabola o ramio-nach skierowanych do góry.
-1 +1 +5 +10 x
-1
+1
+5
+10
y
Otrzymujemy stad rozwiazanie nierównosci (−∞, 3) ∪ (4,+∞).
Odpowiedz: (−∞, 3) ∪ (4,+∞)
ZADANIE 10Funkcje f i g dane sa wzorami f (x) = −3x2 − x + 2, g(x) = −3x + 1. Wyznacz zbiór argu-mentów x, dla których funkcja f przyjmuje wartosci wieksze od funkcji g.
ROZWIAZANIE
Mamy do rozwiazania nierównosc
− 3x2 − x + 2 > −3x + 1
0 > 3x2 − 2x− 1.
Liczymy ∆ = 4+ 12 = 16, x = −13 lub x = 1. Zatem rozwiazaniem tej nierównosci jest zbiór
(−13 , 1).
Odpowiedz: x ∈ (−13 , 1)
6
ZADANIE 11
Rozwiaz nierównosc 2x2 < −260 + 53x. Podaj wszystkie liczby całkowite, które spełniaja tenierównosc.
ROZWIAZANIE
Zapiszmy nierównosc w postaci
2x2 − 53x + 260 < 0
i liczymy standardowo, z ∆-y.
∆ = 532 − 4 · 2 · 260 = 2809− 2080 = 729 = 272
x1 =53− 27
4=
264
=132
x2 =53 + 27
4=
804
= 20.
Mozemy teraz naszkicowac wykres tej funkcji
-40 -8 +8 +40 x
-80
-40
-8
+8
y
Widac teraz, ze rozwiazaniem nierównosci jest przedział(132
, 20)=
(6
12
, 20)
.
Jezeli chodzi liczby całkowite w tym przedziale, to sa to wszystkie liczby całkowite z prze-działu 〈7, 19〉, czyli
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
Odpowiedz:(
612 , 20
), 7, 8, . . . , 19.
ZADANIE 12
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierównosc x2 − 14x + 13 < 0.
7
ROZWIAZANIE
Rozwiazujemy nierównosc.
x2 − 14x + 13 < 0
∆ = 196− 52 = 144 = 122
x =14− 12
2= 1 ∨ x =
14 + 122
= 13
x ∈ (1, 13).
Liczby pierwsze w tym przedziale to
2, 3, 5, 7, 11.
Odpowiedz: 2, 3, 5, 7, 11
ZADANIE 13
Uzasadnij, ze jesli liczby rzeczywiste a, b, c spełniaja nierównosci 0 < a < b < c, to
a + b + c3
>a + b
2.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy dana nierównosc
a + b + c3
>a + b
2/ · 6
2a + 2b + 2c > 3a + 3b2c > a + b.
Poniewaz c > a i c > b nierównosc ta jest spełniona, wiec wyjsciowa nierównosc tez musibyc spełniona.
ZADANIE 14
Rozwiaz nierównosc (1 + 2x)2 > 4x(x + 2).
ROZWIAZANIE
Liczymy(1 + 2x)2 > 4x(x + 2)
1 + 4x + 4x2 > 4x2 + 8x
1 > 4x ⇒ 14> x.
Odpowiedz: (−∞, 14)
8
ZADANIE 15
Rozwiaz nierównosc: (x + 3)2 − (x− 6)2 > x2 − 27.
ROZWIAZANIE
Liczymy(x + 3)2 − (x− 6)2 > x2 − 27
x2 + 6x + 9− (x2 − 12x + 36) > x2 − 27
0 > x2 − 18x0 > x(x− 18)x ∈ 〈0, 18〉.
Odpowiedz: x ∈ 〈0, 18〉
ZADANIE 16
Wykaz, ze dla kazdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierównosc x2 + 4 > 4x.
ROZWIAZANIE
Dana nierównosc to zwykła nierównosc kwadratowa
x2 − 4x + 4 > 0.
Sposób I
Lewa strona nierównosci to pełen kwadrat, wiec mozemy ja zapisac w postaci
(x− 2)2 > 0.
Teraz jest jasne, ze nierównosc ta jest zawsze spełniona.
Sposób II
Liczmy ∆-e.∆ = 16− 16 = 0.
To oznacza, ze wykresem lewej strony jest parabola o ramionach skierowanych w góre, którajest styczna do osi Ox. To oznacza, ze lewa strona nie przyjmuje wartosci ujemnych, czylirzeczywiscie
x2 − 4x + 4 > 0.
ZADANIE 17
Rozwiaz nierównosc 3x + (3x + 1) + · · · + (3x + 99) < 2010, gdzie lewa strona jest sumakolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego.
9
ROZWIAZANIE
Z lewej strony dodajemy do siebie 100 wyrazów, zatem ich suma jest równa
3x + (3x + 99)2
· 100 = 50(6x + 99).
Musimy wiec rozwiazac nierównosc
50(6x + 99) < 2010 / : 305(2x + 33) < 6710x + 165 < 6710x < −98x < −9, 8.
Odpowiedz: x < −9, 8
ZADANIE 18
Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierównosc
ac + bd 6√
a2 + b2 ·√
c2 + d2.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy nierównosc w sposób równowazny – obie strony sa dodatnie, wiec mozemynierównosc podniesc stronami do kwadratu.
ac + bd 6√
a2 + b2 ·√
c2 + d2 /()2
(ac + bd)2 6 (a2 + b2)(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 + 2abcd 6 a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
0 6 a2d2 + b2c2 − 2abcd
0 6 (ad− bc)2.
Otrzymana nierównosc jest oczywiscie prawdziwa, a przekształcalismy przy pomocy rów-nowaznosci, wiec wyjsciowa nierównosc tez musi byc prawdziwa.
ZADANIE 19
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierównosc
(x− 5)2 + (x−√
3)(√
3 + x) > (2x + 14)(x− 7).
10
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podana nierównosc
(x− 5)2 + (x−√
3)(√
3 + x) > (2x + 14)(x− 7)
x2 − 10x + 25 + x2 − 3 > 2(x2 − 49)− 10x + 25− 3 > −98120 > 10x12 > x.
Liczby pierwsze spełniajace te nierównosc to 2, 3, 5, 7, 11.
Odpowiedz: 2, 3, 5, 7, 11
ZADANIE 20
Wyznacz najwieksza liczbe całkowita spełniajaca nierównosc
1x2 + 560x + 78200
< 0.
ROZWIAZANIE
Oczywiscie ułamek z lewej strony nierównosci bedzie ujemny dokładnie wtedy, gdy ujemnyjest mianownik. Musimy wiec rozwiazac nierównosc
x2 + 560x + 78200 < 0
∆ = 5602 − 4 · 78200 = 800 = (20√
2)2
x1 =−560− 20
√2
2= −280− 10
√2 ≈ −294, 14
x2 =−560 + 20
√2
2= −280 + 10
√2 ≈ −265, 86
x ∈ (−294, 14;−265, 86).
Widac stad, ze najwieksza liczba całkowita spełniajaca te nierównosc to -266.
Odpowiedz: -266
11
ZADANIE 1
Dane sa wielomiany W(x) = x2 + 3x + 2, F(x) = ax + b, H(x) = −2x3 − 3x2 + 5x + 6.Wyznacz współczynniki a, b, dla których wielomiany W(x) · F(x) oraz H(x) sa równe.
ROZWIAZANIE
LiczymyW(x) · F(x) = H(x)
(x2 + 3x + 2) · (ax + b) = −2x3 − 3x2 + 5x + 6
ax3 + bx2 + 3ax2 + 3bx + 2ax + 2b = −2x3 − 3x2 + 5x + 6
ax3 + x2(b + 3a) + x(3b + 2a) + 2b = −2x3 − 3x2 + 5x + 6.
Porównujemy współczynniki przy tych samych potegach i otrzymujemya = −2b + 3a = −33b + 2a = 52b = 6.
Z pierwszego i ostatniego równania otrzymujemy
a = −2 i b = 3.
Odpowiedz: (a, b) = (−2, 3)
ZADANIE 2
Wielomian W dany jest wzorem W(x) = x3 + ax2 − 4x + b.
a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) =x3 + (2a + 3)x2 + (a + b + c)x− 1.
b) Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopniapierwszego.
ROZWIAZANIE
a) Dwa wielomiany sa równe jezeli maja identyczne współczynniki. Daje to nam układrównan
a = 2a + 3−4 = a + b + cb = −1.
Z ostatniego równania mamy b = −1, z pierwszego a = −3, zatem drugie przyjmujepostac
−4 = −3− 1 + c ⇒ c = 0.
Odpowiedz: (a, b, c) = (−3,−1, 0)
1
V Wielomiany
b) Dla podanych wartosci a i b mamy wielomian
W(x) = x3 + 3x2 − 4x = x(x2 + 3x− 4).
Pozostało teraz rozłozyc trójmian w nawiasie.
∆ = 9 + 16 = 25
x =−3− 5
2= −4 ∨ x =
−3 + 52
= 1.
Mamy wiecW(x) = x(x + 4)(x− 1).
Odpowiedz: W(x) = x(x + 4)(x− 1)
ZADANIE 3
Rozłóz wielomian W(x) = x3 + 3x2 − 2x− 6 na czynniki liniowe.
ROZWIAZANIE
Rozkładamy (wyciagamy x + 3 przed nawias).
x3 + 3x2 − 2x− 6 = x2(x + 3)− 2(x + 3) = (x2 − 2)(x + 3).
Nie jest to koniec, bo wyrazenie x2 − 2 mozemy rozłozyc korzystajac ze wzoru na róznicekwadratów.
(x2 − 2)(x + 3) = (x−√
2)(x +√
2)(x + 3).
Odpowiedz: (x−√
2)(x +√
2)(x + 3)
ZADANIE 4
Wyznacz zbiór wartosci funkcji f (x) = W(x)− x3, gdzie W(x) = x3 + 5x2 + 5x− 3.
ROZWIAZANIE
Mamyf (x) = 5x2 + 5x− 3
xw = − b2a
= −12
yw = − ∆4a
= −8520
= −174
.
Poniewaz ramiona tej paraboli sa skierowane do góry, zbiór wartosci tej funkcji to przedział〈−17
4 ,+∞). Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji f .
2
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: 〈−174 ,+∞)
ZADANIE 5
Sprawdz, czy równe sa wielomiany W1(x) = (x + 2)3 − (2x + 3)(2x− 3) iW2(x) = (x− 5)(x2 + 1) + 7x2 + 11x + 22.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy pierwszy wielomian
W1(x) = (x + 2)3 − (2x + 3)(2x− 3) =
= x3 + 3x2 · 2 + 3x · 22 + 23 − (4x2 − 9) =
= x3 + 6x2 + 12x + 8− 4x2 + 9 =
= x3 + 2x2 + 12x + 17.
Przekształcamy drugi wielomian
W2(x) = (x− 5)(x2 + 1) + 7x2 + 11x + 22 =
= x3 + x− 5x2 − 5 + 7x2 + 11x + 22 =
= x3 + 2x2 + 12x + 17.
Zatem W1(x) = W2(x).
Odpowiedz: Tak, sa równe.
ZADANIE 6
Wielomiany W(x) = ax(x + b)2 i V(x) = x3 + 2x2 + x sa równe. Oblicz a i b.
3
ROZWIAZANIE
Przekształcmy wzór W(x).
W(x) = ax(x + b)2 = ax(x2 + 2xb + b2) = ax3 + 2abx2 + ab2x.
Mamy wiecax3 + 2abx2 + ab2x = x3 + 2x2 + x.
Dwa wielomiany sa równe jezeli maja identyczne współczynniki, co daje a = 1 (patrzymyna współczynnik przy x3) i b = 1 (patrzymy na współczynnik przy x2).
Odpowiedz: a = b = 1
ZADANIE 7
Wyznacz współczynniki a, b wielomianu W(x) = x3 + ax2 + bx + 1 wiedzac, ze dla kazdegox ∈ R prawdziwa jest równosc: W(x− 1)−W(x) = −3x2 + 3x− 6.
ROZWIAZANIE
LiczymyW(x− 1) = (x− 1)3 + a(x− 1)2 + b(x− 1) + 1 =
= x3 − 3x2 + 3x− 1 + ax2 − 2ax + a + bx− b + 1 =
= x3 − 3x2 + ax2 + 3x− 2ax + bx + a− b.
Stad− 3x2 + 3x− 6 = W(x− 1)−W(x) =
= x3 − 3x2 + ax2 + 3x− 2ax + bx + a− b− x3 − ax2 − bx− 1 =
= −3x2 + 3x− 2ax + a− b− 1− 6 = −2ax + a− b− 10 = (−2a)x + (a− b + 5)
Skoro funkcja liniowa ma byc stale równa 0, oba jej współczynniki musza byc zerami. Dajeto nam układ równan.
−2a = 0a− b + 5 = 0.
Stad a = 0 i b = 5.
Odpowiedz: a = 0, b = 5
ZADANIE 8
Zbadaj, czy istnieje taka wartosc współczynnika a, dla której wielomiany W(x) i [Q(x)]2 sarówne, jesli Q(x) = x2 + ax− 1, W(x) = x4 + 2x3 + x2 − 2x + 1.
4
ROZWIAZANIE
Wykonujemy obliczenia
[Q(x)]2 = (x2 + ax− 1)2 =
= x4 + ax3 − x2 + ax3 + a2x2 − ax− x2 − ax + 1 =
= x4 + 2ax3 + x2(a2 − 2)− 2ax + 1
Jezeli wielomiany maja byc równe to współczynniki przy odpowiadajacych sobie potegachx musza byc równe. Zatem
2a = 2a2 − 2 = 1−2a = −2
.
Z pierwszego równania mamy, ze a = 1 natomiast z drugiego, ze a =√
3, czyli układ jestsprzeczny. Zatem nie istnieje współczynnik a taki, ze W(x) i [Q(x)]2 beda równe.
Odpowiedz: Nie, nie istnieje.
ZADANIE 9Rozłóz wielomian W(x) = x4− 7x2 + 12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiast-ki tego wielomianu.
ROZWIAZANIE
Podane równanie to zwykłe równanie dwukwadratowe, podstawiamy t = x2 i dostajemyrównanie kwadratowe
t2 − 7t + 12.
Liczymy ∆ = 49− 48 = 1,
t1 =7− 1
2= 3
t2 =7 + 1
2= 4.
Poniewaz x2 = t, daje to nam 4 pierwiastki wyjsciowego równania:
−√
3,√
3,−2, 2.
Otrzymujemy stadW(x) = (x +
√3)(x−
√3)(x + 2)(x− 2).
Pierwiastki niewymierne to −√
3 i√
3.
Odpowiedz: W(x) = (x +√
3)(x−√
3)(x + 2)(x− 2), pierwiastki: −√
3,√
3
ZADANIE 10
Dany jest wielomian P(x) = 4x3 − 12x2 + 9x, gdzie x ∈ R.
a) Dla jakich argumentów wielomian P(x) przyjmuje wartosc równa 27?
b) Wielomiany P(x) = 4x3 − 12x2 + 9x oraz W(x) = x(ax + b)2 sa równe. Wyznacz a i b.
5
ROZWIAZANIE
a) Liczymy4x3 − 12x2 + 9x = 27
4x3 − 12x2 + 9x− 27 = 0
4x2(x− 3) + 9(x− 3) = 0
(4x2 + 9)(x− 3) = 0.
Równanie 4x2 + 9 = 0 nie ma rozwiazan, wiec jedynym rozwiazaniem powyzszegorównania jest
x = 3.
Mozemy sprawdzic, czy sie nie pomylilismy
P(3) = 4 · 33 − 12 · 32 + 9 · 3 = 4 · 27− 12 · 9 + 27 =
= 108− 108 + 27 = 27.
Odpowiedz: x = 3
b) Rozwinmy najpierw wielomian W
W(x) = x(ax + b)2 = x(a2x2 + 2abx + b2) =
= a2x3 + 2abx2 + b2x.
Dwa wielomiany sa równe jezeli współczynniki przy odpowiadajacych sobie potegachsa równe. Otrzymujemy wiec układ równan
a2 = 42ab = −12b2 = 9.
Z pierwszego równania otrzymujemy, ze
a = 2 lub a = −2.
Podobnie z trzeciego mamyb = 3 lub b = −3.
Natomiast drugie równanie mówi nam, ze a i b musza byc przeciwnych znaków. Za-tem rozwiazaniami sa pary
a = 2 i b = −3 lub a = −2 i b = 3.
Odpowiedz: (a, b) = (2,−3) lub (a, b) = (−2, 3)
6
ZADANIE 11
Dany jest wielomian W(x) = x3 − 5x2 − 9x + 45.
a) Sprawdz, czy punkt A = (1, 30) nalezy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
ROZWIAZANIE
a) Musimy sprawdzic, czy W(1) = 30. Liczymy
W(1) = 1− 5− 9 + 45 = 32.
Odpowiedz: Nie, nie nalezy
b)
Sposób I
Szukamy pierwiastka wymiernego podanego wielomianu. Mozna sprawdzic, ze takimpierwiastkiem jest x = 3. Dzielimy teraz podany wielomian przez dwumian (x − 3).Robimy to jak kto umie, dzielenie wielomianów, schemat Hornera lub grupowaniewyrazów. My zrobimy to ta ostania metoda.
x3 − 5x2 − 9x + 45 = x3 − 3x2 − 2(x2 − 3x)− (15x− 45) =
x2(x− 3)− 2x(x− 3)− 15(x− 3) = (x− 3)(x2 − 2x− 15).
Pozostało rozłozyc trójmian kwadratowy w nawiasie, ∆ = 4 + 60 = 82, x = −3 lubx = 5. Zatem podany wielomian mozemy zapisac w postaci
x3 − 5x2 − 9x + 45 = (x− 3)(x + 3)(x− 5).
Sposób II
Jezeli ktos ma sokoli wzrok, to moze szukany rozkład zobaczyc od reki
x3 − 5x2 − 9x + 45 = x2(x− 5)− 9(x− 5) =
= (x− 5)(x2 − 9) = (x− 5)(x− 3)(x + 3)
Odpowiedz: (x− 3)(x + 3)(x− 5)
7
ZADANIE 1
Znajdz x, dla którego liczby 2, 2x+1, 2x+1 + 6 w podanej kolejnosci tworza ciag arytmetyczny.
ROZWIAZANIE
Wyznaczmy róznice podanego ciagu
a3 = a2 + r
2x+1 + 6 = 2x+1 + r ⇒ r = 6.
Wyznaczamy xa2 = a1 + r = 2 + 6 = 8 = 23
2x+1 = 23 ⇒ x = 2.
Odpowiedz: x = 2
ZADANIE 2
50 wyraz ciagu arytmetycznego bn jest równy 5. Oblicz S60 − S39, gdzie Sn oznacza sume npoczatkowych wyrazów ciagu bn.
ROZWIAZANIE
Wiemy, ze b50 = b1 + 49r = 5. To co mamy policzyc to
S60 − S39 =2b1 + 59r
2· 60− 2b1 + 38r
2· 39 =
= b1(60− 39) + r(30 · 59− 19 · 39) == 21b1 + 1029r = 21(b1 + 49r) = 21b50 = 105
Odpowiedz: 105
ZADANIE 3
Pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -5, a suma dwudziestu poczatkowychwyrazów tego ciagu jest równa 1230. Wyznacz róznice tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru na sume dwudziestu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wyznacza-my róznice
Sn =2a1 + (n− 1)r
2· n
1230 =2 · (−5) + 19r
2· 20 / : 10
123 = 19r− 10 ⇒ r = 7.
Odpowiedz: 7
1
VI Ciągi.
ZADANIE 4
Oblicz wyrazy a2, a8, a23 ciagu arytmetycznego jesli a1 = 8 i r = 5.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru an = a1 + (n− 1)r mamy
a2 = a1 + r = 13a8 = a1 + 7r = 8 + 35 = 43a23 = a1 + 22r = 8 + 110 = 118.
Odpowiedz: a2 = 13, a8 = 43, a23 = 118
ZADANIE 5
Pierwszy wyraz malejacego ciagu arytmetycznego (an) jest równy 3, a iloczyn wyrazówczwartego i piatego równy jest 15. Oblicz róznice ciagu (an) oraz sume 14 jego poczatkowychwyrazów.
ROZWIAZANIE
Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego to an = a1 + (n− 1)r. W szczególnosci a4 = 3 + 3r ia5 = 3 + 4r. Otrzymujemy zatem równanie
a4a5 = 15(3 + 3r)(3 + 4r) = 15 / : 3(1 + r)(3 + 4r) = 5
3 + 7r + 4r2 = 5
4r2 + 7r− 2 = 0.
Liczymy ∆ = 49 + 32 = 81 = 92. Stad
r1 =−7− 9
8= −2
r2 =−7 + 9
8=
14
.
Poniewaz ciag ma byc malejacy, r musi byc ujemne. Zatem r = −2.Aby obliczyc sume 14 poczatkowych wyrazów, korzystamy ze wzoru
Sn =a1 + an
2· n.
W naszej sytuacji
S14 =3 + (3 + 13(−2))
2· 14 =
−202· 14 = −140.
Odpowiedz: Róznica: -2, suma: -140
2
ZADANIE 6Liczby x, y, 19 w podanej kolejnosci tworza ciag arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Obliczx i y.
ROZWIAZANIE
Jezeli liczby a, b, c tworza ciag arytmetyczny to 2b = a + c. Mamy zatem układ równan2y = x + 19x + y = 8.
Dodajac równania stronami otrzymujemy
2y + x + y = x + 19 + 83y = 27y = 9.
Stad x = 8− y = −1.
Odpowiedz: (x, y) = (−1, 9)
ZADANIE 7Znajdz ogólny wyraz ciagu arytmetycznego (an) wiedzac, ze a1 = −7, a5 = −5.
ROZWIAZANIE
Poniewaz a5 = a1 + 4r, mamy
−5 = −7 + 4r ⇒ 4r = 2 ⇒ r =12
,
czyli
an = a1 + (n− 1)r = −7 + (n− 1) · 12= −7, 5 + 0, 5n.
Odpowiedz: an = −7, 5 + 0, 5n
ZADANIE 8Piaty wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 26, a suma pieciu poczatkowych wyrazówtego ciagu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Korzystamy ze wzoru
Sn =a1 + an
2· n
na sume n poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego. Dla n = 5 mamy
a1 + a5
2· 5 = S5
a1 + 262
· 5 = 70 / · 25
a1 + 26 = 28 ⇒ a1 = 2.
Odpowiedz: a1 = 2
3
ZADANIE 9
Liczby 3 i 7 sa dwoma poczatkowymi wyrazami pewnego rosnacego ciagu arytmetycznego.Oblicz dwudziesty wyraz tego ciagu i sume jego dwudziestu poczatkowych wyrazów.
ROZWIAZANIE
Róznica ciagu wynosir = a2 − a1 = 7− 3 = 4,
wiec ze wzoru an = a1 + (n− 1)r mamy
a20 = a1 + 19r = 3 + 19 · 4 = 79.
Suma pierwszych 20 wyrazów to
S20 =a1 + a20
2· 20 =
3 + 792· 20 = 41 · 20 = 820
Odpowiedz: a20 = 79, S20 = 820
ZADANIE 10
Wyrazami ciagu arytmetycznego (an) sa kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez5 daja reszte 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.
ROZWIAZANIE
Wyrazy opisanego ciagu sa wybrane sposród liczb
2, 7, 12, 17, 22, . . . .
W szczególnosci mamy do czynienia ciagiem o róznicy r = 5. Ze wzoru na wyraz ogólnyciagu arytmetycznego mamy
a15 = a1 + 14r = 2 + 14 · 5 = 72.
Odpowiedz: a15 = 72
ZADANIE 11
Trzeci wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 4. Suma czterech pierwszych wyrazów tegociagu jest równa 14. Oblicz a10.
ROZWIAZANIE
Zapisujemy podane informacje w postaci układu równan4 = a3 = a1 + 2r14 = a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1 + r + a3 + a3 + r.
4
Zatem a1 = 4− 2r i mamy równanie
14 = 4− 2r + 4− 2r + r + 4 + 4 + r = 12− 2r2 = 2r ⇒ r = 1.
Zatema1 = 2.
Teraz juz łatwo policzyc dziesiaty wyraz
a10 = 2 + 9 · 1 = 11.
Odpowiedz: 11
ZADANIE 12
Oblicz sume pierwszych 14 wyrazów ciagu arytmetycznego (an) jezeli a1 = 6 oraz a15 = 62.
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac ze wzoru
Sn =2a1 + (n− 1)r
2· n.
Mamy a15 = a1 + 14r, czyli
62 = 6 + 14r ⇒ 14r = 56 ⇒ r = 4.
ZatemS14 =
12 + 13 · 42
· 14 = (6 + 26) · 14 = 448.
Odpowiedz: 448
ZADANIE 13
Dany jest ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = −20 i róznicy r = 4. Wyznacz liczben, dla której suma czesciowa Sn jest równa 780.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru na sume n poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego
Sn =2a1 + (n− 1)r
2n
otrzymujemy równanie−40 + 4(n− 1)
2n = 780
− 20n + 2(n− 1)n = 780− 10n + (n− 1)n = 390
n2 − 11n− 390 = 0
5
Równanie to rozwiazujemy standardowo ∆ = 112 + 4 · 390 = 1681 = 412. Stad
n1 =11− 41
2= −15
n2 =11 + 41
2= 26
Oczywiscie n1 odrzucamy, wiec n = 26.
Odpowiedz: n = 26
ZADANIE 14
Drugi wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -3, dziesiaty wyraz jest równy 21. Wyznaczpierwszy wyraz i róznice tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego mamya2 = a1 + ra10 = a1 + 9r.
⇒−3 = a1 + r21 = a1 + 9r.
Odejmujac od drugiego równania pierwsze mamy
24 = 8r ⇒ r = 3.
Zatema1 = a2 − r = −3− 3 = −6.
Odpowiedz: a1 = −6 i r = 3
ZADANIE 15
Zbadaj, czy ciag an = 3n−12 jest arytmetyczny.
ROZWIAZANIE
Aby sprawdzic czy ciag jest arytmetyczny musimy sprawdzic, czy róznica jego dwóch ko-lejnych wyrazów jest stała, tzn. nie zalezy od n. Inny, prostszy sposób, to skorzystac z faktu,ze jezeli an jest ciagiem arytmetycznym to an = a1 + (n − 1)r = a1 − r + nr. Zatem jezeliwzór definiujacy ciag nie jest postaci a + bn, to ciag nie jest arytmetyczny.
Z metody ze wzorem widac, ze ciag jest arytmetyczny, ale dla pewnosci policzmy
an+1 − an =3n + 2
2− 3n− 1
2=
32
.
Róznica ta nie zalezy od n, zatem ciag jest arytmetyczny.
Odpowiedz: Tak, jest to ciag arytmetyczny.
6
ZADANIE 16Krawedzie prostopadłoscianu wychodzace z jednego wierzchołka tworza ciag arytmetycz-ny o pierwszym wyrazie 5 i róznicy 2. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopa-dłoscianu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
ab
c
Długosci a, b, c tworza ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 5 i róznicy 2, wiec
a = 5, b = 7, c = 9.
Obliczamy pole podstawyPp = ab = 5 · 7 = 35.
Teraz obliczamy pole boczne
Pb = 2ac + 2bc = 2 · 5 · 9 + 2 · 7 · 9 = 90 + 126 = 216.
Zatem pole całkowite wynosi
Pc = Pb + 2Pp = 216 + 70 = 286.
Odpowiedz: 286
ZADANIE 17Oblicz a1, a3, a15 oraz sume S10 dziesieciu pierwszych wyrazów ciagu arytmetycznego (an)jezeli a6 = 1 i a8 = 3.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru an = a1 + (n− 1)r na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego mamy układ równana1 + 5r = 1a1 + 7r = 3.
Odejmujac od drugiego równania pierwsze (zeby skrócic a1) mamy
2r = 2 ⇒ r = 1.
Z pierwszego równania mamy zatem a1 = 1− 5r = −4. W takim razie
a3 = a1 + 2r = −4 + 2 = −2a15 = a1 + 14r = −4 + 14 = 10
S10 =2a1 + 9r
2· 10 =
−8 + 92
· 10 = 5.
Odpowiedz: a1 = −4, a3 = −2, a15 = 10, S10 = 5
7
ZADANIE 18
Sprawdz czy podane liczby
a =12
, b =13
, c =16
tworza ciag arytmetyczny (w podanej kolejnosci).
ROZWIAZANIE
Liczby a, b, c tworza ciag arytmetyczny wtedy i tylko wtedy gdy 2b = a + c. Sprawdzamy
a + c =12+
16=
3 + 16
=23= 2b.
Odpowiedz: TAK
ZADANIE 19
W 10-wyrazowym ciagu arytmetycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jestrówna 35. Oblicz piaty wyraz tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Korzystajac ze wzoru an = a1 + r(n− 1) na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego (albo z defini-cji ciagu arytmetycznego), mamy
35 = a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = a1 + (a1 + 2r) + (a1 + 4r) + (a1 + 6r) + (a1 + 8r)35 = 5a1 + 20r / : 57 = a1 + 4r = a5.
Odpowiedz: a5 = 7
ZADANIE 20
Liczby x− 2, 3, x + 6 sa w podanej kolejnosci pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciaguarytmetycznego. Oblicz x.
ROZWIAZANIE
W ciagu arytmetycznym kazdy wyraz (z wyjatkiem pierwszego i ostatniego) jest sredniaarytmetyczna wyrazów sasiednich czyli
3 =(x− 2) + (x + 6)
23 = x + 2 ⇒ x = 1.
Odpowiedz: x = 1
ZADANIE 21
Wykaz, ze dla kazdego m ciag(
m+14 , m+3
6 , m+912
)jest arytmetyczny.
8
ROZWIAZANIE
Sposób I
Trzy liczby (a, b, c) sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy2b = a + c. Sprawdzmy czy tak jest w naszej sytuacji.
a + c =m + 1
4+
m + 912
=3(m + 1) + m + 9
12=
=4m + 12
12=
m + 33
= 2 · m + 36
.
Zatem istotnie podane liczby tworza ciag arytmetyczny.
Sposób IIWystarczy sprawdzic, ze róznice miedzy kolejnymi wyrazami sa równe. Liczymy
m + 36− m + 1
4=
m + 912− m + 3
62(m + 3)− 3(m + 1)
12=
m + 9− 2(m + 3)12
−m + 312
=−m + 3
12.
Otrzymana równosc jest oczywiscie prawdziwa, co dowodzi, ze dane liczby tworza ciagarytmetyczny.
ZADANIE 22Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zas su-ma kwadratów wyrazów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz iróznice tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Zapisujemy układ równan wynikajacy z załozena2 + a4 + a6 = 42a2
2 + a23 = 185.
Najpierw przekształcamy pierwsze równanie
a2 + a4 + a6 = 42a1 + r + a1 + 3r + a1 + 5r = 423a1 + 9r = 42a1 + 3r = 14 ⇒ a1 = 14− 3r.
Podstawiamy do drugiego równania
a22 + a2
3 = 185
(a1 + r)2 + (a1 + 2r)2 = 185
(14− 3r + r)2 + (14− 3r + 2r)2 = 185
(14− 2r)2 + (14− r)2 = 185
196− 56r + 4r2 + 196− 28r + r2 = 185
5r2 − 84r + 207 = 0.
9
Liczymy wyróznik i pierwiastki
∆ = 842 − 4 · 5 · 207 = 2916 = 542
r =84− 54
10= 3 lub r =
84 + 5410
= 13, 8.
Zatema1 = 14− 3 · 3 = 5 lub a1 = 14− 3 · 13, 8 = −27, 4.
Odpowiedz: a1 = 5, r = 3 lub a1 = −27, 4 r = 13, 8
ZADANIE 23Dany jest ciag arytmetyczny (an) dla n > 1, w którym a7 = 1, a11 = 9.
a) Oblicz pierwszy wyraz a1 i róznice r ciagu (an).
b) Sprawdz, czy ciag (a7, a8, a11) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie n, aby suma n poczatkowych wyrazów ciagu (an) miała wartosc naj-mniejsza.
ROZWIAZANIE
a) Korzystajac ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego mamy układ równan1 = a7 = a1 + 6r9 = a11 = a1 + 10r.
Odejmujac od drugiego równania pierwsze (zeby skrócic a1) mamy
8 = 4r ⇒ r = 2.
Zatem a1 = 1− 6r = −11.
Odpowiedz: a1 = −11. r = 2
b) Wyrazy a7 i a11 znamy, wyliczmy jeszcze a8
a8 = a7 + r = 1 + 2 = 3.
Pytanie zatem brzmi, czy ciag (1, 3, 9) jest geometryczny. Oczywiscie jest, z ilorazemq = 3.
c) Ze wzoru na sume poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego mamy
Sn =2a1 + (n− 1)r
2· n =
−22 + 2(n− 1)2
· n =
= (−11 + n− 1)n = (n− 12)n = n2 − 12n.
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w góre, wiec wartoscnajmniejsza przyjmuje dokładnie w srodku miedzy pierwiastkami (w wierzchołku),czyli dla
n =122
= 6.
Odpowiedz: n = 6
10
ZADANIE 24
W ciagu arytmetycznym (an) dane sa wyrazy: a3 = 4, a6 = 19. Wyznacz wszystkie wartoscin, dla których wyrazy ciagu (an) sa mniejsze od 200.
ROZWIAZANIE
Korzystajac ze wzoru an = a1 + (n− 1)r na n–ty wyraz ciagu arytmetycznego otrzymujemyukład równan
4 = a3 = a1 + 2r19 = a6 = a1 + 5r.
Odejmujac od drugiego równania pierwsze (zeby skrócic a1) mamy
15 = 3r ⇒ r = 5.
Zatem a1 = 4− 2r = 4− 10 = −6 oraz
an = a1 + (n− 1)r = −6 + 5(n− 1) = −11 + 5n.
Pozostało rozwiazac nierównosc
200 > an = −11 + 5n211 > 5n / : 542, 2 > n.
Zatem wyrazy ciagu o numerach n 6 42 sa mniejsze od 200.
Odpowiedz: n 6 42
ZADANIE 25
Wykaz, ze jezeli liczby a2, b2 i c2 tworza ciag arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby1
b+c , 1a+c i 1
a+b równiez tworza ciag arytmetyczny.
ROZWIAZANIE
Wiemy, ze 2b2 = a2 + c2, a mamy wykazac, ze
2a + c
=1
b + c+
1a + b
Przekształcmy te równosc.
2(b + c)(a + b) = (a + c)(a + b) + (a + c)(b + c)
2ab + 2b2 + 2ac + 2bc = a2 + ab + ca + cb + ab + ac + cb + c2
2b2 = a2 + c2.
Otrzymalismy równosc, o której wiemy, ze jest prawdziwa. Prawdziwa jest wiec tez równoscod której zaczelismy.
ZADANIE 26
Suma n poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego (an) wyraza sie wzorem Sn = 2n2 + ndla n > 1. Oblicz pierwszy wyraz ciagu i jego róznice.
11
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze z podanego wzoru
a1 = S1 = 2 + 1 = 3a1 + a2 = S2 = 8 + 2 = 10 ⇒ a2 = 7.
Zatem r = a2 − a1 = 7− 3 = 4.
Odpowiedz: a1 = 3, r = 4
ZADANIE 27
Liczby 2, x − 3, 8 sa w podanej kolejnosci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciaguarytmetycznego. Oblicz x.
ROZWIAZANIE
Ze wzoru na wyraz ogólny ciagu arytmetycznego mamy2 = a1
x− 3 = a2 = a1 + r = 2 + r ⇒ r = x− 58 = a4 = a1 + 3r = 2 + 3(x− 5).
Przekształcmy ostatnie równanie
8 = 2 + 3x− 1521 = 3x ⇐⇒ x = 7.
Odpowiedz: x = 7
ZADANIE 28
Długosci boków trójkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny, w którym srodkowy wy-raz jest równy 8. Wyznacz długosci boków trójkata, oblicz jego pole oraz promien okreguopisanego na tym trójkacie.
ROZWIAZANIE
Skoro długosci boków trójkata sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego, mozemy jeoznaczyc przez 8− r, 8, 8 + r.
8-r8+r
8
Róznice r wyliczymy zapisujac twierdzenie Pitagorasa
(8− r)2 + 64 = (8 + r)2
64− 16r + r2 + 64 = 64 + 16r + r2
64 = 32r ⇒ r = 2.
12
Zatem mamy do czynienia z trójkatem o bokach 6,8,10 i jego pole jest równe
P =12· 6 · 8 = 24.
Promien okregu opisanego na trójkacie prostokatnym to dokładnie połowa długosci prze-ciwprostokatnej, czyli
R =12· 10 = 5.
Odpowiedz: Boki: 6,8,10, pole: 24, promien: 5.
ZADANIE 29
Nieskonczony ciag liczbowy (an) jest okreslony wzorem an = 2− 1n , dla n = 1, 2, 3, . . ..
a) Oblicz, ile wyrazów ciagu (an) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciag (a2, a7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x.
ROZWIAZANIE
a) Musimy rozwiazac nierównosc
an < 1, 975
2− 1n< 1, 975
0, 025 <1n
n <1
0, 025= 40.
Odpowiedz: Pierwsze 39 wyrazów
b) Jezeli podany ciag jest arytmetyczny, to
2a7 = a2 + x
2(
2− 17
)= 2− 1
2+ x
4− 27− 2 +
12= x
x = 2 +12− 2
7=
28 + 7− 414
=3114
.
Odpowiedz: 3114
13
ZADANIE 30
Liczby 2a− 3, a, 2a + 3, w podanej kolejnosci, tworza ciag geometryczny. Wyznacz a.
ROZWIAZANIE
Podane trzy wyrazy tworza ciag geometryczny, wiec kwadrat wyrazu srodkowego jest ilo-czynem dwóch pozostałych. Zatem
a2 = (2a− 3)(2a + 3)
a2 = 4a2 − 9
3a2 = 9
a2 = 3 ⇒ a =√
3 lub a = −√
3.
Odpowiedz: a =√
3 lub a = −√
3
ZADANIE 31
Uzasadnij, ze ciag okreslony wzorem an =(3
2
)njest ciagiem geometrycznym. Wyznacz ilo-
raz tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Musimy pokazac, ze iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciagu jest stały (nie zalezy od n).Liczymy
an+1
an=
(32
)n+1(32
)n =32
.
Zatem ciag jest ciagiem geometrycznym o ilorazie q = 32 .
Odpowiedz: q = 32
ZADANIE 32
Oblicz sume osmiu poczatkowych wyrazów rosnacego ciagu geometrycznego, w któryma1 = 4, a3 = 16.
ROZWIAZANIE
Wyliczmy najpierw q.
16 = a3 = a1q2 = 4q2 ⇒ q2 = 4 ⇒ q = 2.
Powyzej skorzystalismy z informacji o tym, ze ciag jest rosnacy, czyli q > 0. Zatem ze wzoruna sume wyrazów ciagu geometrycznego, mamy
S8 = a1 ·1− q8
1− q= 4 · 1− 256
−1= 1020
Odpowiedz: 1020
14
ZADANIE 33
Ciag 36, 12√
6, 24, . . . jest ciagiem geometrycznym.
a) Oblicz iloraz q tego ciagu.
b) Zapisz n-ty wyraz tego ciagu w postaci aqn
c) Oblicz sume osmiu poczatkowych wyrazów tego ciagu.
ROZWIAZANIE
a) Wystrczy podzielic dwa sasiednie wyrazy przez siebie
q =12√
636
=
√6
3.
b) Wzór na n-ty wyraz ciagu geometrycznego to an = a1qn−1, gdzie a1 – pierwszy wyraz.Zatem
an = 36qn−1 =36q· qn =
36√
63
·(√
63
)n
=
=36 · 3√
6·(√
63
)n
= 18√
6 ·(√
63
)n
.
c) Ze wzoru na sume ciagu geometrycznego mamy
S8 = a1 ·1− q8
1− q= 36 ·
1− 64
38
1−√
63
= 36 ·1− 24
34
3−√
63
=
= 4 ·9− 24
32
3−√
63
= 4 · 81− 163(3−
√6)
= 4 · 65(3 +√
6)3(9− 6)
=260(3 +
√6)
9.
Odpowiedz: S8 = 260(3+√
6)9
ZADANIE 34
Dany jest ciag geometryczny, w którym a1 = 12 i a3 = 27.
a) Ile jest ciagów spełniajacych podane warunki? Odpowiedz uzasadnij.
b) Oblicz wyraz a6 tego ciagu, który jest rosnacy. Wynik podaj w postaci ułamka dziesiet-nego.
15
ROZWIAZANIE
a) Jezeli przez q oznaczymy iloraz ciagu an, to mamy
a1q2 = 27 ⇒ 12q2 = 27 ⇒ q2 =94
.
Zatem q = 32 lub q = −3
2 i sa dwa ciagi spełniajace warunki zadania:
(12, 18, 27), (12,−18, 27).
Odpowiedz: Sa dwa ciagi
b) Mamy
a6 = a1q5 = 12 ·(
32
)5
= 12 · 24332
=7298
= 91, 125.
Odpowiedz: 91,125
ZADANIE 35
Liczby −x2,−8, x w podanej kolejnosci tworza ciag geometryczny. Oblicz x.
ROZWIAZANIE
Jezeli liczby a, b, c tworza ciag geometryczny to b2 = ac. Mamy zatem równanie
(−8)2 = (−x2) · x64 = −x3
x3 = −64x = −4.
Odpowiedz: x = −4
ZADANIE 36
W graniastosłupie prawidłowym trójkatnym wysokosc podstawy, krawedz podstawy i wy-sokosc graniastosłupa tworza ciag geometryczny. Oblicz długosc krawedzi podstawy gra-niastosłupa wiedzac, ze jego objetosc jest równa 108.
16
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od rysunku i oznaczmy krawedz podstawy przez a.
a a
a
H
h
Sposób I
Poniewaz wysokosc trójkata równobocznego o boku a ma długosc a√
32 , z podanej informacji,
ze liczby a√
32 , a i H sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego mamy
a2 =a√
32· H
H =2a√
3=
2√
3a3
.
Pora wykorzystac informacje o tym, ze objetosc graniastosłupa wynosi 108
a2√
34· H = 108
a2√
34· 2√
3a3
= 108
a3
2= 108
a3 = 216 ⇒ a = 6.
Sposób II
Jezeli przez h oznaczymy wysokosc podstawy, to objetosc graniastosłupa jest równa
12
ahH.
Z podanej informacji o ciagu geometrycznym wiemy, ze a2 = hH, zatem
108 =12
ahH =12
a · a2 ⇒ a3 = 216 ⇒ a = 6.
Odpowiedz: a = 6
17
ZADANIE 37
Pierwszy wyraz nieskonczonego ciagu geometrycznego (an) jest równy −1. Wyraz drugi,trzeci i czwarty spełniaja warunek a3 − 2a4 = 8a2 + 4.
a) Oblicz iloraz ciagu (an).
b) Okresl, czy ciag (an) jest rosnacy, czy malejacy.
ROZWIAZANIE
a) Liczymya3 − 2a4 = 8a2 + 4
a1q2 − 2a1q3 = 8a1q + 4
− q2 + 2q3 = −8q + 4
2q3 − q2 + 8q− 4 = 0
q2(2q− 1) + 4(2q− 1) = 0
(q2 + 4)(2q− 1) = 0.
Poniewaz q2 + 4 > 0, wiec jedynym pierwiastkiem tego równania jest
q =12
.
Odpowiedz: q = 12
b) Zapiszmy wzór na n-ty wyraz ciagu (an)
an = a1qn−1 = −1 ·(
12
)n−1
=−1
2n−1 .
Jest to rosnacy ciag geometryczny (wraz ze wzrostem n wyrazy ciagu sa coraz blizsze0). Łatwo to sprawdzic liczac róznice kolejnych wyrazów.
an+1 − an =−12n −
−12n−1 =
−12n −
−22n =
−1 + 22n =
12n .
Róznica wyszła dodatnia, wiec ciag jest rosnacy.
Odpowiedz: Ciag jest rosnacy
ZADANIE 38
Suma n poczatkowych wyrazów ciagu geometrycznego (an) wyraza sie wzorem Sn = 1−(2
3
)n
dla n > 1. Oblicz pierwszy wyraz ciagu i jego iloraz.
18
ROZWIAZANIE
Liczymy pierwszy wyraz
a1 = S1 = 1−(
23
)1
= 1− 23=
13
.
Obliczamy sume dwóch pierwszych wyrazów
a1 + a2 = S2 = 1−(
23
)2
= 1− 49=
59
.
To pozwala obliczyc drugi wyraz ciagu
a2 =59− a1 =
59− 1
3=
59− 3
9=
29
.
Liczymy iloraz ciagu
q =a2
a1=
2913
=29· 3 =
23
.
Odpowiedz: a1 = 13 , q = 2
3
ZADANIE 39
W nieskonczonym ciagu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich kazdy wyraz poczaw-szy od trzeciego, jest suma dwóch poprzednich wyrazów. Oblicz iloraz tego ciagu.
ROZWIAZANIE
Jezeli oznaczymy trzy pierwsze wyrazy ciagu przez a1, a1q, a1q2 to mamy równanie
a1q2 = a1 + a1q / : a1
q2 = 1 + q
q2 − q− 1 = 0∆ = 1 + 4 = 5
q =1−√
52
∨ q =1 +√
52
.
Poniewaz ciag ma miec wyrazy dodatnie, musi byc q = 1+√
52 .
Odpowiedz: 1+√
52
ZADANIE 40
Wykaz, ze liczby√
3−23 , 3−2
√3
6 ,√
3−24 sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego.
19
ROZWIAZANIE
Trzy liczby a, b, c sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdyb2 = ac. Sprawdzmy czy tak jest w przypadku podanych liczb.(
3− 2√
36
)2
=
√3− 23
·√
3− 24
9− 12√
3 + 1236
=(√
3− 2)2
12/ · 12
3− 4√
3 + 4 = 3− 4√
3 + 40 = 0.
Powyzsza równosc jest prawdziwa, wiec dane liczby rzeczywiscie sa trzema kolejnymi wy-razami ciagu geometrycznego.
20
ZADANIE 1
Wykaz, ze prosta l : y = −2x− 1 jest styczna do okregu (x− 3)2 + (y + 2)2 = 5.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-5 -1 +3 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Sposób I
Przypomnijmy, ze prosta moze miec z okregiem jeden lub dwa lub zero punktów wspól-nych. Ponadto prosta jest styczna do okregu jezeli ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny.Wyznaczamy punkty wspólne okregu i prostej
(x− 3)2 + (−2x− 1 + 2)2 = 5
x2 − 6x + 9 + 4x2 − 4x + 1 = 5
5x2 − 10x + 5 = 0
x2 − 2x + 1 = 0
(x− 1)2 = 0.
Zatem prosta z okregiem ma dokładnie punkt wspólny (1,−3), czyli jest styczna.
Sposób II
Wyznaczamy srodek i promien okregu
S = (3,−2) i r =√
5.
Jezeli prosta l jest styczna do okregu to jej odległosc od srodka tego okregu bedzie równapromieniowi okregu. Liczymy (korzystamy ze wzoru na odległosc punktu od prostej)
d(S, l) =| − 2 · 3− 1 · (−2)− 1|√
(−2)2 + (−1)2=
5√5=√
5.
Zatem prosta i okrag sa styczne
1
VII Geometria analityczna.
ZADANIE 2
Wyznacz równanie prostej przechodzacej przez poczatek układu współrzednych i przez sro-dek okregu o równaniu x2 + y2 − 2x + 4y− 5 = 0.
ROZWIAZANIE
Rozpocznijmy od wyznaczenia srodka podanego okregu (zwijamy do pełnych kwadratów).
x2 + y2 − 2x + 4y− 5 = 0
(x2 − 2x + 1) + (y2 + 4y + 4)− 1− 4− 5 = 0
(x− 1)2 + (y + 2)2 = 10.
Zatem srodek okregu ma współrzedne O = (1,−2). Proste przechodzace przez poczatekukładu współrzednych maja postac y = ax. Współczynnik a wyznaczamy podstawiajacwspółrzedne punktu O.
−2 = a.
Na koniec obrazek.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: y = −2x
ZADANIE 3
Wierzchołkami trójkata ABC sa punkty A = (−4, 1), B = (5,−2), C = (3, 6). Oblicz długoscsrodkowej AD.
ROZWIAZANIE
Szkicujemy trójkat
A B
C
D
2
Srodek D boku BC ma współrzedne
D =
(5 + 3
2,−2 + 6
2
)= (4, 2).
Srodkowa AD ma wiec długosc
AD =√(4 + 4)2 + (2− 1)2 =
√64 + 1 =
√65.
Odpowiedz:√
65
ZADANIE 4
W układzie współrzednych na płaszczyznie punkty A = (2, 5) i C = (6, 7) sa przeciwległy-mi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku
-1 +1 +5 +10 x-1
+1
+5
+10
y
A
C
S
B
D
Z obrazka widzimy, ze musimy napisac równanie prostej prostopadłej do prostej AC iprzechodzacej przez srodek odcinka AC, czyli przez punkt
S =
(2 + 6
2,
5 + 72
)= (4, 6).
Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Zacznijmy od napisania równania prostej AC. Szukamy prostej postaci y = ax + b. Podsta-wiajac współrzedne punktów A i C otrzymujemy układ równan.
5 = 2a + b7 = 6a + b
3
Odejmujac od drugiego równania pierwsze (zeby skrócic b) mamy
2 = 4a ⇒ a =12
.
I dalej mozemy nie liczyc, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatemprosta BD, jako prostopadła do AC musi miec współczynnik kierunkowy -2, czyli jest po-staci y = −2x + b dla pewnego b. Współczynnik b wyliczamy podstawiajac współrzednepunktu S = (4, 6).
6 = −2 · 4 + b ⇒ b = 6 + 8 = 14.
Zatem szukana prosta ma równanie y = −2x + 14.
Sposób IITym razem skorzystamy ze wzoru
p(x− a) + q(y− b) = 0
na równanie prostej prostopadłej do wektora→v = [p, q] i przechodzacej przez punkt S = (a,
b). W naszej sytuacji mamy
→v =
→AC = [6− 2, 7− 5] = [4, 2],
oraz S = (4, 6), czyli równanie prostej BD ma postac:
4(x− 4) + 2(y− 6) = 0 / : 22x− 8 + y− 6 = 0y = −2x + 14.
Odpowiedz: y = −2x + 14
ZADANIE 5Dane sa dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1,−3), C = (−5,−1). Wyznacz ob-wód tego kwadratu.
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od szkicowego rysunku
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
A
C
4
Wierzchołki A, C sa przeciwległe wiec odcinek AC jest przekatna tego kwadratu. Policz-my długosc tej przekatnej
d = d(A, C) =√(1 + 5)2 + (−3 + 1)2 =
√40 = 2
√10.
Majac przekatna mozemy łatwo obliczyc długosc boku
d = a√
2
a =d√2=
2√
10√2
=√
20 = 2√
5.
Zatem obwód obwód wynosiO = 4 · 2
√5 = 8
√5.
Odpowiedz: 8√
5
ZADANIE 6
Dany jest jeden koniec odcinka A = (−4,−7) i jego srodek S = (5,−1). Wyznacz współ-rzedne drugiego konca tego odcinka.
ROZWIAZANIE
OznaczmyB = (x, y).
Wówczas z równania na srodek odcinka otrzymuje(x− 4
2,
y− 72
)= (5,−1).
Stadx = 14 i y = 5.
Odpowiedz: (14, 5)
ZADANIE 7
Napisz równanie symetralnej boku AB trójkata ABC o wierzchołkach A = (3, 2), B = (10, 2)i C = (5, 8).
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
5
-1 +5 +10 x-1
+1
+5
+10
y
A B
C
D
Z obrazka widac, ze szukana prosta jest pionowa prosta przechodzaca przez srodek Dodcinka AB. Punkt D ma współrzedne
D =
(3 + 10
2,
2 + 22
)=
(132
, 2)
.
Jest to wiec prosta x = 132 .
Odpowiedz: x = 132
ZADANIE 8
Na prostej o równaniu x− y− 4 = 0 znajdz punkt P, którego kwadrat odległosci od punktuA(1, 1) jest najmniejszy.
ROZWIAZANIE
Niech P = (x, y). Poniewaz punkt ten lezy na prostej x− y− 4 = 0, wiec x = y + 4. Liczymyteraz kwadrat odległosci AP.
AP2 = (x− 1)2 + (y− 1)2 = (y + 4− 1)2 + (y− 1)2 = (y + 3)2 + (y− 1)2
= y2 + 6y + 9 + y2 − 2y + 1 = 2y2 + 4y + 10.
Musimy zatem wyznaczyc najmniejsza wartosc funkcji f (y) = 2y2 + 4y + 10. Poniewazjest to parabola o ramionach skierowanych w góre, przyjmuje ona wartosc najmniejsza wwierzchołku, czyli dla y = −4
4 = −1. Wtedy x = 3.Na koniec mozemy sobie naszkicowac cała sytuacje.
6
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
P
A
Odpowiedz: P = (3,−1)
ZADANIE 9Wyznacz równania stycznych do okregu x2 + 6x + y2 − 8y + 21 = 0 równoległych do osiOy.
ROZWIAZANIE
Na poczatku przekształcmy dane równanie okregu tak, aby wiedziec jaki jest jego srodek ipromien (zwijamy do pełnych kwadratów).
x2 + 6x + y2 − 8y + 21 = 0
(x2 + 6x + 9)− 9 + (y2 − 8y + 16)− 16 + 21 = 0
(x + 3)2 + (y− 4)2 = 4 = 22.
Jest to wiec okrag o srodku (−3, 4) i promieniu r = 2.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
S
Z obrazka widac teraz, ze styczne równoległe do osi Oy to pionowe proste, których od-ległosc od srodka okregu jest równa 2. Sa dwie takie proste: x = −5 i x = −1.
Odpowiedz: x = −5, x = −1
7
ZADANIE 10
Oblicz pole i obwód trójkata o wierzchołkach: A = (1, 3), B = (4, 0), C = (−2, 1).
ROZWIAZANIE
Na poczatek mozemy sobie naszkicowac podane punkty.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
B
A
C
Najpierw policzmy obwód. W tym celu liczymy długosci boków trójkata.
AB =√(4− 1)2 + (0− 3)2 =
√9 + 9 = 3
√2
BC =√(−2− 4)2 + (1− 0)2 =
√37
AC =√(−2− 1)2 + (1− 3)2 =
√13.
Zatem obwód jest równy.Ob = 3
√2 +√
37 +√
13.
Aby wyliczyc pole trójkata, korzystamy ze wzoru na pole trójkata o wierzchołkach A = (xA,yA), B = (xB, yB) i C = (xC, yC).
PABC =12|(xB − xA)(yC − yA)− (yB − yA)(xC − xA)|.
W naszej sytuacji mamy
P =12|(4− 1)(1− 3)− (0− 3)(−2− 1)| = 1
2| − 6− 9| = 15
2.
Odpowiedz: Obwód: 3√
2 +√
37 +√
13, pole: 152
ZADANIE 11
Dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (−3, 1), B = (6,−2), C = (10, 1),D = (1, 4). Napisz równania prostych, w których zawarte sa przekatne równoległoboku.
8
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od schematycznego rysunku.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
CA
B
D
Widac, ze musimy napisac równania prostych AC i BD. W przypadku prostej AC sprawajest prosta, bo oba punkty maja takie same drugie współrzedne, wiec leza na prostej y =1. Jezeli chodzi o prosta BD to korzystamy na równanie prostej przechodzacej przez dwapunkty B = (xB, yB) i D = (xD, yD):
(y− yB)(xD − xB)− (yD − yB)(x− xB) = 0.
Mamy zatemBD : (y + 2)(1− 6)− (4 + 2)(x− 6) = 0− 5(y + 2)− 6(x− 6) = 0− 5y− 6x + 26 = 05y + 6x− 26 = 0.
Odpowiedz: AC : y = 1, BD : 5y + 6x− 26 = 0
ZADANIE 12
Podaj współrzedne srodka i długosc promienia okregu o równaniu: (x− 4)2 +(y+ 2)2 = 25.
ROZWIAZANIE
Równanie okregu o srodku S = (x0, y0) i promieniu r jest nastepujace
(x− x0)2 + (y− y0)
2 = r2.
Równanie mozemy zapisac w postaci
(x− 4)2 + (y− (−2))2 = 52,
zatem srodek to punkt (4,−2), a promien jest równy 5.
Odpowiedz: Srodek: (4,−2), promien: 5.
9
ZADANIE 13
Napisz równanie okregu o srodku w punkcie S(2,−3), stycznego do osi Ox.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
-0.5 +1.5 +2.5 +5 x
-5
-2.5
-0.5
y
S
Skoro okrag ma byc styczny do osi Ox, jego promien musi byc równy odległosci punktuS od tej osi, czyli musi byc równy 3. Zatem jest to okrag o równaniu:
(x− 2)2 + (y + 3)2 = 9.
Odpowiedz: (x− 2)2 + (y + 3)2 = 9
ZADANIE 14
W kwadracie ABCD dane sa wierzchołek A = (1,−2) i srodek symetrii S = (2, 1). Obliczpole kwadratu ABCD.
ROZWIAZANIE
Jezeli naszkicujemy obrazek,
A B
CD
S
to widac, ze długosc odcinka AS to połowa długosci przekatnej kwadratu.
Sposób I
10
Jezeli oznaczymy długosci boku kwadratu przez a to mamy równosc.
a√
22
= AS =√(2− 1)2 + (1 + 2)2 =
√10
a =√
10 · 2√2= 2√
5.
Zatem pole jest równeP = a2 = 4 · 5 = 20.
Sposób IIPodobnie jak poprzednio liczymy
AC = 2AS = 2√
10.
tym razem skorzystamy jednak ze wzoru na pole z przekatnymi
P =12
AC · BD =12· 2√
10 · 2√
10 = 20.
Odpowiedz: 20
ZADANIE 15Oblicz pole trójkata o wierzchołkach A = (−2, 4), B = (6,−1), C = (2,−1).
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
C
A
B
Poniewaz odcinek BC jest równoległy do osi Ox, ma on długosc
BC = 6− 2 = 4.
Wysokosc opuszczona na ten bok ma długosc 4 + 1 = 5. Zatem pole jest równe
P =12· 4 · 5 = 10.
Odpowiedz: 10
11
ZADANIE 16
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej y = 6x − 10 przechodzacej przez punktA = (−1, 2) oraz równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzacej przez punktB = (0,−3).
ROZWIAZANIE
Wszystkie proste równoległe do y = 6x− 10 sa postaci y = 6x + b. Współczynnik b wyzna-czamy korzystajac z tego, ze punkt (−1, 2) ma byc punktem tej prostej:
2 = 6 · (−1) + b ⇒ b = 8
Zatem szukana prosta to y = 6x + 8.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
y=6x-10
y=6x+8
y=-1/6x-3
A
B
Proste prostopadłe do y = 6x − 10 sa postaci y = −16 x + b (iloczyn współczynników
kierunkowych musi byc równy -1). Współczynnik b wyznaczamy jak poprzednio:
−3 = −16· 0 + b
Szukana prosta to y = −16 x− 3.
Odpowiedz: y = 6x + 8 i y = −16 x− 3
ZADANIE 17
Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x− y− 11 = 0 i przechodzacejprzez punkt P = (1, 2).
ROZWIAZANIE
Skoro prosta ma byc równoległa do danej prostej to musi byc postaci y = 2x + b (bo musimiec taki sam współczynnik kierunkowy co dana prosta). Współczynnik b obliczamy pod-stawiajac współrzedne punktu P.
2 = 2 + b ⇒ b = 0.
Odpowiedz: y = 2x
12
ZADANIE 18Wyznacz współrzedne punktów wspólnych prostej y = 1
3 x− 1 i okregu x2 + y2 = 9.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
-2.5 -0.5 +1.5 +2.5 x
-2.5
-0.5
+0.5
+2.5
y
Wstawiamy y = 13 x− 1 do równania okregu.
x2 +
(13
x− 1)2
= 9
x2 +x2
9− 2
3x + 1 = 9 / · 9
9x2 + x2 − 6x + 9− 81 = 0
10x2 − 6x− 72 = 0
5x2 − 3x− 36 = 0
∆ = 9 + 720 = 729 = 272
x1 =3− 27
10= −12
5, ∨ x2 =
3 + 2710
= 3.
Mamy wtedy odpowiednio
y1 =13
x1 − 1 = −45− 1 = −9
5
y2 =13
x2 − 1 = 0.
Odpowiedz: (−125 ,−9
5) i (3, 0)
ZADANIE 19Okresl wzajemne połozenie prostych k i l o równaniach
k : 2x− y + 3 = 0,l : x− 0, 5y− 1 = 0
13
ROZWIAZANIE
Zapisujemy proste w postaci kierunkowej
k : y = 2x + 3,l : y = 2x− 2
Poniewaz proste te maja taki sam współczynnik kierunkowy, to sa równoległe (ale nie po-krywaja sie).
Odpowiedz: Proste sa równoległe
ZADANIE 20
Wyznacz współrzedne wierzchołków trójkata jezeli srodki jego boków maja współrzedne:P = (1, 3), Q = (−5, 4), R = (−6, 7).
ROZWIAZANIE
Powiedzmy, ze punkty P, Q, R sa odpowiednio srodkami boków AB, BC, CA trójkata ABC.
Sposób I
Jezeli oznaczymy szukane punkty przez A = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC, yC) to zewzoru na współrzedne srodka odcinka mamy układ równan
xA+xB2 = xP = 1
xB+xC2 = xQ = −5
xC+xA2 = xR = −6
yA+yB2 = yP = 3
yB+yC2 = yQ = 4
yC+yA2 = yR = 7.
Daje to nam dwa układyxA + xB = 2xB + xC = −10xC + xA = −12
yA + yB = 6yB + yC = 8yC + yA = 14
Rozwiazujemy te układy. Z pierwszych równan mamy xA = 2 − xB oraz yA = 6 − yB.Podstawiamy te wyrazenia do trzecich równan i mamy układy
xB + xC = −10xC + 2− xB = −12
yB + yC = 8yC + 6− yB = 14
Dodajac teraz równania stronami otrzymujemy xC = −12 oraz yC = 8. Stad xB = 2 i yB = 0oraz xA = 0, yA = 6.
Sposób II
14
Zadanie mozna tez dosc szybko rozwiazac uzywajac wektorów.
A B
C
QR
P
Jezeli naszkicujemy trójkat ABC z zaznaczonymi srodkami boków to poniewaz odcinekłaczacy srodki boków trójkata jest równoległy do odpowiedniego boku oraz ma długoscrówna połowie długosci tego boku, mamy
−→AP =
−→PB =
−→RQ = [1,−3]
−→RC =
−→PQ = [−6, 1].
Równosci te pozwalaja wyliczyc współrzedne punktów A, B, C.
−→AP = [1− xA, 3− yA] = [1,−3] ⇒ A = (0, 6)−→PB = [xB − 1, yB − 3] = [1,−3] ⇒ B = (2, 0)−→RC = [xC + 6, yC − 7] = [−6, 1] ⇒ C = (−12, 8).
Na koniec obrazek dla ciekawskich.
-10 -5 -1 x-1
+1
+5
+10
y
A
B
C
Q
R
P
Odpowiedz: A = (0, 6), B = (2, 0), C = (−12, 8)
ZADANIE 21
Podstawa trójkata równoramiennego jest odcinek o koncach w punktach A = (−2,−4)oraz B = (−5, 2). Jedno z jego ramion zawiera sie w prostej o równaniu y = x − 2. Obliczwspółrzedne trzeciego wierzchołka trójkata.
15
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
A
BC
S
Prosta y = x − 2 powstaje z prostej y = x przez przesuniecie o dwie jednostki w dół,oraz przechodzi przez punkty (0,−2), (2, 0).
Sposób I
Poniewaz trójkat ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawa, wierzchołek C lezy nasymetralnej odcinka AB. Napiszmy równanie tej symetralnej. Mozna to zrobic na wiele spo-sobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzacej przez punkt (x0, y0) iprostopadłej do wektora
→v = [p, q].
p(x− x0) + q(y− y0) = 0,
W naszej sytuacji mamy→v =
−→AB = [−3, 6] oraz
(x0, y0) = S =
(−2− 5
2,−4 + 2
2
)=
(−7
2,−1
).
Zatem symetralna odcinka AB ma równanie
− 3(
x +72
)+ 6(y + 1) = 0 / · 2
3− 2x− 7 + 4y + 4 = 0− 2x + 4y− 3 = 0.
Pozostał teraz znalezc punkt wspólny tej prostej z podana prosta y = x − 2. Podstawiamyy = x− 2 do powyzszego równania.
− 2x + 4(x− 2)− 3 = 0
2x = 11 ⇐⇒ x =112
.
Stad y = x− 2 = 72 . Zatem C = (11
2 , 72).
Sposób II
16
Szukamy punktu C = (x, y) na podanej prostej, który spełnia równosc: |AC| = |CB| (botrójkat ABC ma byc równoramienny i AB jest jego podstawa). Poniewaz punkt C lezy naprostej y = x − 2 jego współrzedne mozemy zapisac w postaci C = (x, x − 2) i dostajemyrównanie
|AC| = |CB||AC|2 = |CB|2
(x + 2)2 + (x− 2 + 4)2 = (x + 5)2 + (x− 2− 2)2
2(x + 2)2 = (x + 5)2 + (x− 4)2
2(x2 + 4x + 4) = x2 + 10x + 25 + x2 − 8x + 16
2x2 + 8x + 8 = 2x2 + 2x + 41
6x = 33 ⇐⇒ x =112
.
Stad y = x− 2 = 72 .
Odpowiedz: C = (112 , 7
2)
ZADANIE 22
Napisz równanie okregu, którego srodek nalezy do osi Ox, i który przechodzi przez punktyA(2, 3) i B(5, 2).
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
-0.5 +1.5 +2.5 +5 x
-2.5
-0.5
+0.5
+2.5
y
S
A
B
Szukamy punktu S(x, 0), który jest równo odległy od punktów A i B.
SA2 = SB2
(2− x)2 + (3− 0)2 = (5− x)2 + (2− 0)2
4− 4x + x2 + 9 = 25− 10x + x2 + 4
6x = 16 ⇒ x =83
.
17
Zatem srodek okregu ma współrzedne S(83 , 0). Pozostało obliczyc jego promien.
SA =
√(2− 8
3
)2
+ (3− 0)2 =
√49+ 9 =
√853
.
Mozemy teraz napisac równanie okregu(x− 8
3
)2
+ y2 =859
.
Odpowiedz:(x− 8
3
)2+ y2 = 85
9
ZADANIE 23
W układzie współrzednych dane sa dwa punkty: A = (−2, 2) i B = (4, 4).
a) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
b) Prosta AB oraz prosta o równaniu 3x− 2y− 11 = 0 przecinaja sie w punkcie C. Obliczwspółrzedne punktu C.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
-5 -1 +1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
A
B C
3x-2y-11=0
a) Szukana symetralna to prosta przechodzaca przez srodek S odcinka AB i do niegoprostopadła. Zacznijmy od napisania równania prostej AB. Korzystamy ze wzoru narównanie prostej przechodzacej przez dwa punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB):
(y− yA)(xB − xA)− (yB − yA)(x− xA) = 0.
W naszej sytuacji mamy
(y− 2)6− 2(x + 2) = 0(y− 2)3− (x + 2) = 0
3y− x− 8 = 0 ⇒ y =13(x + 8).
18
Szukana symetralna ma zatem współczynnik kierunkowy −3 (bo jest prostopadła doAB), czyli jest postaci y = −3x + b. Współczynnik b wyznaczymy korzystajac z tego,ze symetralna przechodzi przez srodek odcinka
S =
(−2 + 4
2,
2 + 42
)= (1, 3).
Mamy zatem3 = −3 + b ⇒ b = 6.
Odpowiedz: y = −3x + 6
b) W poprzednim podpunkcie wyznaczylismy równanie prostej AB : y = 13(x + 8). Pod-
stawiamy te wartosc do podanego równania prostej.
3x− 23(x + 8)− 11 = 0 / · 3
9x− 2x− 16− 33 = 07x = 49 ⇒ x = 713(x + 8) = 5.
Odpowiedz: C = (7, 5)
ZADANIE 24
W trójkacie ABC, gdzie |AC| = 2|AB| dane sa B = (−6, 6) i C = (−10,−9). Wyznaczwspółrzedne wierzchołka A, jezeli lezy on na prostej 3y + x = 1.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-20 -10 -2 +2 x
-10
-2
+2
+10
y
B
C
A
A
Jezeli obrazek jest naprawde szkicowy to niewiele z niego widac, wiec zabieramy sie dorachunków. Wiemy, ze szukany punkt A lezy na prostej o równaniu x = 1− 3y, wiec ma
19
on współrzedne postaci A = (1− 3y, y). Aby wyliczyc y wystarczy skorzystac z podanejinformacji: AC = 2AB. Liczymy
AC2 = 4AB2
(−10− (1− 3y))2 + (−9− y)2 = 4(−6− (1− 3y))2 + 4(6− y)2
(3y− 11)2 + (9 + y)2 = 4(3y− 7)2 + 4(6− y)2
9y2 − 66y + 121 + 81 + 18y + y2 = 4(9y2 − 42y + 49 + 36− 12y + y2)
10y2 − 48y + 202 = 4(10y2 − 54y + 85) / : 2
5y2 − 24y + 101 = 20y2 − 108y + 170
0 = 15y2 − 84y + 69 / : 3
0 = 5y2 − 28y + 23
∆ = 282 − 20 · 23 = 324 = 182
y =28− 18
10= 1 ∨ y =
28 + 1810
= 4, 6.
Mamy wtedy odpowiednio x = 1− 3y = −2 i x = 1− 3y = −12, 8.
Odpowiedz: A = (−2, 1) lub A = (−12, 8; 4, 6)
ZADANIE 25
Punkty o współrzednych A = (−1;−6), B = (3; 6), C = (−1; 4) sa wierzchołkami trapezu.Ramie trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzedne punktu Doraz pole powierzchni tego trapezu.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od schematycznego rysunku.
-5 -1 +3 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
A
B
C
D
Współrzedne punktu D wyznaczymy piszac równania prostych AD i CD – pierwszaz nich jest prostopadła, a druga równoległa do AB. Zanim to jednak zrobimy napiszmyrównanie prostej AB (potrzebny nam jest jej współczynnik kierunkowy).
20
Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzedne punktów A i B.−6 = −a + b6 = 3a + b
Odejmujac od drugiego równania pierwsze mamy 12 = 4a, czyli a = 3. No i dalej mozemynie liczyc, bo potrzebny nam był tylko współczynnik kierunkowy.
W takim razie prosta CD ma postac y = 3x + c, a prosta AD postac y = −13 x + d. Współ-
czynniki c i d wyznaczamy podstawiajac współrzedne odpowiednio punktów C i A.
4 = 3 · (−1) + c ⇒ c = 7
− 6 = −13· (−1) + d ⇒ d = −6
13= −19
3.
Pozostało znalezc punkt wspólny prostych CD : y = 3x + 7 i AD : y = −13 x− 19
3 .y = 3x + 7y = −1
3 x− 193
Porównujac y-ki mamy
3x + 7 = −13
x− 193
103
x = −403
⇒ x = −4.
Zatem y = 3x + 7 = −5 i D = (−4,−5).Aby obliczyc pole obliczamy długosci podstaw i wysokosci trapezu.
AB =√(3 + 1)2 + (6 + 6)2 =
√16 + 144 = 4
√1 + 9 = 4
√10
CD =√(−4 + 1)2 + (−5− 4)2 =
√9 + 81 = 3
√1 + 9 = 3
√10
AD =√(−4 + 1)2 + (−5 + 6)2 =
√9 + 1 =
√10.
Pole trapezu jest wiec równe
P =AB + CD
2· AD =
4√
10 + 3√
102
·√
10 =7√
102·√
10 = 35.
Odpowiedz: D = (−4,−5), pole: 35.
ZADANIE 26
Dane sa punkty A(6,−3), B(1, 2) oraz C(2m3 − 18m,−m2). Wyznacz wszystkie wartosci m,dla których proste AB i AC sa prostopadłe.
ROZWIAZANIE
Sposób I
21
Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy
yB − yA
xB − xA=
2 + 31− 6
=5−5
= −1.
Zatem współczynnik kierunkowy prostej AC musi byc równy 1. Mamy stad równanie
1 =yC − yA
xC − xA
1 =−m2 + 3
2m3 − 18m− 6/ · (2m3 − 18m− 6)
2m3 − 18m− 6 = −m2 + 3
2m3 + m2 − 18m− 9 = 0
m2(2m + 1)− 9(2m + 1) = 0
(m2 − 9)(2m + 1) = 0(m− 3)(m + 3)(2m + 1) = 0.
Zatem m = −3, m = 3 lub m = −12 .
Sposób II
Sprawdzamy, kiedy wektory−→AB i
−→AC sa prostopadłe.
−→AB
−→AC = 0
[1− 6, 2 + 3] [2m3 − 18m− 6,−m2 + 3] = 0
[−5, 5] [2m3 − 18m− 6,−m2 + 3] = 0
− 5(2m3 − 18m− 6) + 5(−m2 + 3) = 0 / : (−5)
2m3 − 18m− 6 + m2 − 3 = 0
2m3 + m2 − 18m− 9 = 0
m2(2m + 1)− 9(2m + 1) = 0
(m2 − 9)(2m + 1) = 0(m− 3)(m + 3)(2m + 1) = 0.
Zatem m = −3, m = 3 lub m = −12 .
Sposób III
Jezeli proste AB i AC maja byc prostopadłe, to trójkat ABC musi byc prostokatny i BC musi
22
byc jego przeciwprostokatna. Mamy zatem równanie
BC2 = AB2 + AC2
(2m3 − 18m− 1)2 + (−m2 − 2)2 =
= (1− 6)2 + (2 + 3)2 + (2m3 − 18m− 6)2 + (−m2 + 3)2
4m6 + 324m2 + 1− 72m4 − 4m3 + 36m + m4 + 4m2 + 4 =
= 25 + 25 + 4m6 + 324m2 + 36− 72m4 − 24m3 + 216m + m4 − 6m2 + 9
1− 4m3 + 36m + 4m2 + 4 =
= 50 + 36− 24m3 + 216m− 6m2 + 9
20m3 + 10m2 − 180m− 90 = 0 / : 10
2m3 + m2 − 18m− 9 = 0
m2(2m + 1)− 9(2m + 1) = 0
(m2 − 9)(2m + 1) = 0(m− 3)(m + 3)(2m + 1) = 0.
Zatem m = −3, m = 3 lub m = −12 .
Odpowiedz: m ∈−3,−1
2 , 3
ZADANIE 27Dane sa punkty A = (−2,−7), B = (−1,−4), C = (4, 11). Wykaz, ze punkty te sa współli-niowe
ROZWIAZANIE
Sposób I
Wyznaczymy równanie prostej przechodzacej przez punkty A, B, a nastepnie sprawdzimyczy punkt C równiez nalezy do tej prostej. Liczymy
−7 = −2a + b−4 = −a + b.
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy
a = 3.
Zatemb = −1.
i prosta AB ma równanie y = 3x− 1.Teraz podstawiamy współrzedne punktu C
3 · 4− 1 = 12− 1 = 11.
Zatem punkt C lezy na prostej y = 3x− 1, czyli punkty A, B, C sa współliniowe.
Sposób II
23
Wystarczy sprawdzic, ze wektory−→AB i
−→BC sa równoległe. Liczymy
−→AB = [−1 + 2,−4 + 7] = [1, 3]−→BC = [4 + 1, 11 + 4] = [5, 15].
Widac teraz, ze−→BC = 5 ·
−→AB, czyli punkty A, B, C rzeczywiscie sa współliniowe.
ZADANIE 28
Na prostej y = −3x + 2 wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległosci od osi układuwspółrzednych jest najmniejsza.
ROZWIAZANIE
Szukamy punktu postaci P = (x, y) = (x,−3x + 2). Odległosc tego punktu od osi Ox to |x|,a odległosc od osi Oy to | − 3x + 2|. Zatem suma kwadratów tych liczb to
|x|2 + | − 3x + 2|2 = x2 + (2− 3x)2 = x2 + 4− 12x + 9x2 = 10x2 − 12x + 4.
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w góre, wiec jej naj-mniejsza wartosc otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
x =−b2a
=1220
=35
.
Wtedy
y = −3x + 2 = −3 · 35+ 2 =
−95
+ 2 =−9 + 10
5=
15
.
Odpowiedz: (35 , 1
5)
ZADANIE 29
Dany jest okrag (x− 2)2 + (y− 1)2 = 3. Oblicz pole rombu opisanego na tym okregu, jeslikat ostry rombu ma miare 60.
ROZWIAZANIE
Jedyna informacja dotyczaca podanego okregu, która jest istotna to jego promien r =√
3.Połozenie tego okregu w układzie współrzednych nie ma zadnego znaczenia.
Wykonajmy rysunek.
A B
CD
E60o
24
Srednica okregu wpisanego w romb to dokładnie wysokosc tego rombu, zatem DE =
2√
3. Z trójkata prostokatnego AED mamy wiec
DEAD
= sin 60 ⇒ AD =DE
sin 60=
2√
3√
32
= 4.
Mozemy wiec obliczyc pole rombu
P = AB · DE = 8√
3.
Odpowiedz: 8√
3
ZADANIE 30Wyznacz równanie okregu przechodzacego przez punkt A = (2, 1) i stycznego do obu osiukładu współrzednych. Rozwaz wszystkie przypadki.
ROZWIAZANIE
Mozemy rozpoczac od szkicowego rysunku. Łatwo spostrzec, ze zdanie powinno miec dwarozwiazania.
-1 +1 +5 +10 x
-1
+1
+5
+10
y
A
y=x
S
S
Jezeli okrag ma byc styczny do obu osi układu, to jego srodek musi lezec na prostej y = x(druga mozliwosc, czyli srodek lezacy na prostej y = −x nie jest mozliwa ze wzgledu napołozenie punktu A). Oznaczmy wiec współrzedne srodka okregu przez S = (x, x). Punktten musi byc jednakowo odległy od osi i od punktu A, co prowadzi do równania.
SA = x /()2
SA2 = x2
(x− 2)2 + (x− 1)2 = x2
x2 − 4x + 4 + x2 − 2x + 1 = x2
x2 − 6x + 5 = 0∆ = 36− 20 = 16
x =6− 4
2= 1 ∨ x =
6 + 42
= 5.
25
Otrzymalismy wiec dwa okregi spełniajace warunki zadania
(x− 1)2 + (y− 1)2 = 1
(x− 5)2 + (y− 5)2 = 25.
Odpowiedz: (x− 1)2 + (y− 1)2 = 1 i (x− 5)2 + (y− 5)2 = 25
ZADANIE 31
Okrag o równaniu x2 − 6x + y2 − 2y + 2 = 0 i prosta x + 3y + 2 = 0 przecinaja sie wpunktach A, B. Wyznacz długosc cieciwy AB tego okregu.
ROZWIAZANIE
Z równania prostej wyznaczamy zmienna x
x = −3y− 2
i podstawiamy do równania okregu
(−3y− 2)2 − 6(−3y− 2) + y2 − 2y + 2 = 0
9y2 + 12y + 4 + 18y + 12 + y2 − 2y + 2 = 0
10y2 + 28y + 18 = 0
5y2 + 14 + 9 = 0
∆ = 142 − 4 · 5 · 9 = 16 = 42
y =−14− 4
10= −9
5lub y =
−14 + 410
= −1.
Zatem
x = −3 ·(−9
5
)− 2 =
175
lub x = −3 · (−1)− 2 = 1.
Stad
A =
(175
,−95
)i B = (1,−1).
Teraz liczymy odległosc miedzy tymi punktami
d(A, B) =
√(175− 1)2
+
(−9
5+ 1)2
=
=
√(125
)2
+
(−4
5
)2
=
√122 + 42
52 =
=
√1605
=4√
105
.
Na koniec obrazek
26
-5 -1 +5 x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowiedz: 4√
105
ZADANIE 32
Okresl wzajemne połozenie okregów: x2 + y2 + 2x = 0 i x2 + y2 + 12x + 24y + 36 = 0.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od zapisania równan okregów tak, aby było widac jakie maja srodki i pro-mienie (zwijamy do pełnych kwadratów).
x2 + y2 + 2x = 0 x2 + y2 + 12x + 24y + 36 = 0
(x2 + 2x + 1) + y2 = 1 (x2 + 12x + 36) + (y2 + 24x + 144) = 144
(x + 1)2 + y2 = 1 (x + 6)2 + (y + 12)2 = 122.
Sa to zatem odpowiednio: okrag o srodku (−1, 0) i promieniu 1, oraz okrag o srodku (−6,−12) i promieniu 12.
Mozemy teraz spróbowac naszkicowac opisana sytuacje – poniewaz jednak liczby saspore, trudno z rysunku miec pewnosc czy okregi przecinaja sie, czy tez nie.
-10 -5 -1 x
-10
-5
-1
y
27
W takim układzie pozostaja nam rachunki – sprawdzmy jaka jest odległosc srodkówokregów. √
(−1 + 6)2 + (0 + 12)2 =√
25 + 144 =√
169 = 13.
Poniewaz jest to dokładnie suma promieni tych dwóch okregów, musza one byc styczne.
Odpowiedz: Okregi sa styczne zewnetrznie.
ZADANIE 33
Punkty A = (−2, 0) i B = (8, 0) sa wierzchołkami trójkata prostokatnego ABC o przeciw-prostokatnej AB i polu równym 15. Oblicz współrzedne punktu C.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-1 +1 +5 +10 x
-5
-1
+1
+5
y
BA S
C C
CC
-1 +1 +5 +10 x
-5
-1
+1
+5
y
BA S
C C
CC
Zauwazmy, ze znamy długosc podstawy trójkata ABC:
AB = 8 + 2 = 10.
Jezeli wiec h jest długoscia wysokosci opuszczonej na ten bok to z podanego pola mamy
15 =12· AB · h = 5h ⇒ h = 3.
To oznacza, ze wierzchołek C musi lezec na jednej z prostych y = 3 lub y = −3. Jezelispojrzymy teraz ponownie na obrazek, to widac, ze beda 4 takie punkty C.
Sposób I
Skoro trójkat ABC ma byc prostokatny, to punkt C musi lezec na okregu o srednicy AB. Niejest trudno napisac równanie tego okregu. Jego srodek to srodek odcinka AB, czyli
O =
(−2 + 8
2,
0 + 02
)= (3, 0),
a promien jest równy
r =AB2
=102
= 5.
28
Zatem okrag o srednicy AB mam równanie
(x− 3)2 + y2 = 25.
Pozostało wyznaczyc jego punkty wspólne z prostymi y = −3 i y = 3. Zrobimy to za jednymzamachem: podstawiamy y2 = 9 w powyzszym równaniu.
(x− 3)2 + 9 = 25
(x− 3)2 = 16x− 3 = −4 ∨ x− 3 = 4x = −1 ∨ x = 7.
Zatem C = (−1,−3) lub C = (−1, 3) lub C = (7,−3), lub wreszcie (7, 3).
Sposób II
Szukamy takiego punktu C = (x,±3) (bo ma lezec na prostej y = ±3), aby trójkat ABC byłprostokatny. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa.
AB2 = AC2 + BC2
(8 + 2)2 = (x + 2)2 + 9 + (x− 8)2 + 9
100 = x2 + 4x + 4 + 9 + x2 − 16x + 64 + 9
0 = 2x2 − 12x− 14 / : 2
0 = x2 − 6x− 7
∆ = 36 + 28 = 64 = 82
x =6− 8
2= −1 ∨ x =
6 + 82
= 7.
Otrzymujemy w ten sposób te same punkty, co w sposobie I.
Sposób III
Szukamy takiego punktu C = (x, y) = (x,±3), aby odcinki AC i BC były prostopadłe.Łatwo zapisac ten warunek uzywajac iloczynu skalarnego.
−→AC
−→BC = 0
[x + 2, y] [x− 8, y] = 0(x + 2)(x− 8) + 9 = 0
x2 − 6x− 7 = 0
Dalej liczmy jak w II sposobie.
Odpowiedz: C = (−1,−3) lub C = (−1, 3) lub C = (7,−3) lub (7, 3)
ZADANIE 34
Sprawdz, czy czworokat ABCD, gdzie A = (−3,−1), B = (53,−2), C = (54, 4), D = (−2, 3)jest równoległobokiem. Odpowiedz uzasadnij.
29
ROZWIAZANIE
Sposób I
Wystarczy sprawdzic, czy−→AB =
−→DC.
A B
CD
Liczymy−→AB = [53 + 3,−2 + 1] = [56,−1]−→DC = [54 + 2, 4− 3] = [56, 1].
Wektory nie sa równe, wiec czworokat ABCD nie jest równoległobokiem.
Sposób II
Wystarczy sprawdzic czy AB = CD oraz AD = BC. Liczymy
AB =√
562 + (−1)2 =√
562 + 1
CD =√(−56)2 + (−1)2 =
√562 + 1
AD =√
12 + 42 =√
17
BC =√
12 + 62 =√
37.
Poniewaz AD 6= BC czworokat ABCD nie jest równoległobokiem.
Sposób III
Czworokat jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekatne dziela sie napołowy. Sprawdzmy, czy srodki P i Q przekatnych AC i BD pokrywaja sie.
P =A + C
2=
(−3 + 54
2,−1 + 4
2
)=
(512
,32
)Q =
B + D2
=
(53− 2
2,−2 + 3
2
)=
(512
,12
).
Skoro srodki przekatnych to dwa rózne punkty, to dany czworokat nie jest równoległobo-kiem.
Odpowiedz: Nie, nie jest.
30
ZADANIE 1Obwód czworokata wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkata ABD jest równy46 cm, a obwód trójkata BCD jest równy 36 cm. Oblicz długosc przekatnej BD.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
ab
cd
x
Sposób I
Przy oznaczeniach z obrazka mamya + b + c + d = 50a + d + x = 46b + c + x = 36.
Dodajac dwa ostatnie równania stronami i korzystajac z pierwszego mamy
a + d + b + c + x + x = 46 + 3650 + 2x = 82 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16.
Sposób IIJezeli dodamy do siebie obwody trójkatów ABD i BCD to otrzymamy obwód czworokataABCD oraz podwojona długosc odcinka DB. Zatem
2DB = 46 + 36− 50 = 32 ⇒ DB = 16.
Odpowiedz: BD = 16 cm
ZADANIE 2Romb o kacie ostrym 30 jest opisany na okregu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
BA
CD
E
a
a
a
30o
4
1
VIII Planimetria.
Sposób I
Widac z rysunku, ze korzystajac z trójkata prostokatnego AED, mozemy wyliczyc długoscboku rombu.
sin 30 =DEAD
=4a
12=
4a
a = 8.
Teraz łatwo liczymy pole.P = AB · DE = 8 · 4 = 32.
Sposób II
Bok rombu moglismy tez wyliczyc ze wzoru na pole rombu z sinusem
a2 sin 30 = PABCD = a · h / : a sin 30
a =h
sin 30=
412
= 8.
Zatem pole jest równeP = a · h = 8 · 4 = 32.
Odpowiedz: 32
ZADANIE 3
Znajdz długosci przekatnych rombu o boku 29 jezeli wiadomo, ze ich róznica długosci jestrówna 2.
ROZWIAZANIE
Poniewaz przekatne rombu dziela sie na połowy i sa prostopadłe, to trójkat zaznaczony narysunku jest trójkatem prostokatnym o przeciwprostokatnej długosci 29.
b
29
a
Wiemy ponadto, ze2a− 2b = 2 ⇒ a = b + 1.
2
Na mocy twierdzenia Pitagorasa, mamy
a2 + b2 = 292
(b + 1)2 + b2 = 292
b2 + 2b + 1 + b2 = 292
2b2 + 2b− 840 = 0 / : 2
b2 + b− 420 = 0
∆ = 1 + 1680 = 412
b =−1− 41
2= −21 ∨ b =
−1 + 412
= 20.
Ujemne rozwiazanie odrzucamy i mamy b = 20, a = b + 1 = 21.
Odpowiedz: 40 i 42
ZADANIE 4
Boki prostokata ABCD maja długosci 5 i 12. Oblicz odległosc wierzchołka A od przekatnejBD.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A B
CDE
5
12
h
Musimy obliczyc długosc wysokosci trójkata prostokatnego ABD. Zrobimy to liczac polena dwa sposoby. Z jednej strony, jest połowa iloczynu przyprostokatnych
P =12· 5 · 12 = 30,
a z drugiej, połowa iloczynu przeciwprostokatnej i wysokosci h.
P =12
√52 + 122 · h =
13h2
.
Mamy wiec
30 =13h
2⇒ h =
6013
.
Odpowiedz: 6013
ZADANIE 5
Przyprostokatne trójkata ABC maja długosci 10 i 24. Przeciwprostokatna trójkata KLM po-dobnego do niego ma długosc 39. Oblicz pole trójkata KLM.
3
ROZWIAZANIE
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długosc przeciwprostokatnej trójkata ABC
c =√
102 + 242 =√
100 + 576 = 26.
Obliczamy skale podobienstwa trójkatów
39c
=3926
=32
.
Teraz mozemy łatwo policzyc długosci przyprostokatnych trójkata KLM
a =32· 10 = 15
b =32· 24 = 36.
Jedyne co nam pozostało to policzyc pole powierzchni
P =12· 15 · 36 = 270.
Odpowiedz: P = 270
ZADANIE 6
Dany jest trójkat prostokatny o kacie ostrym 30. Oblicz obwód tego trójkata, jezeli przeciw-prostokatna ma długosc 12 dm.
ROZWIAZANIE
Robimy rysunek
30o
12
A B
C
i korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych.
BCAC
= sin 30 =12⇒ BC =
12
AC = 6
ABAC
= cos 30 =
√3
2⇒ AB =
√3
2AC = 6
√3.
Zatem obwód jest równy
AB + BC + CA = 6√
3 + 6 + 12 = 6√
3 + 18.
Odpowiedz: (6√
3 + 18)dm
4
ZADANIE 7
Krótsza przekatna rombu o długosci 8√
3cm dzieli go na dwa trójkaty równoboczne. Obliczpole rombu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A B
CD
8 3
Skoro mamy podana długosc boku otrzymanych trójkatów równobocznych to mozemypoliczyc pole takiego trójkata (ze wzoru na pole trójkata równobocznego a2
√3
4 ).
PABD =(8√
3)2√
34
=64 · 3 ·
√3
4= 48
√3.
Pole całego rombu jest dwa razy wieksze.
Odpowiedz: 96√
3cm2
ZADANIE 8
Liczby 4, 10, c sa długosciami boków trójkata równoramiennego. Oblicz c.
ROZWIAZANIE
Oczywiscie c = 4 lub c = 10. Pierwsza sytuacja nie moze jednak zachodzic, bo wtedy sumadługosci dwóch boków trójkata byłaby mniejsza od długosci trzeciego boku (bo 4+ 4 < 10).
Odpowiedz: c = 10
ZADANIE 9
Krótsza podstawa trapezu ma długosc 2, a ramiona długosci 2√
2 i 4 tworza z dłuzsza pod-stawa katy o miarach 45 i 30. Oblicz pole trapezu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
h
45o 30o
h
A B
CD
E F
2
2 2 4
2
5
Patrzymy najpierw na trójkat prostokatny AED – mozemy z niego wyliczyc długosciodcinków ED = h i AE.
h2√
2= sin 45 =
√2
2⇒ h =
√2
2· 2√
2 = 2.
AE2√
2= sin 45 =
√2
2⇒ AE =
√2
2· 2√
2 = 2.
Podobnie, korzystajac z trójkata FBC wyliczamy długosc odcinka FB.
FB4
= cos 30 =
√3
2⇒ FB =
√3
2· 4 = 2
√3.
ZatemAB = AE + EF + FB = 2 + 2 + 2
√3 = 4 + 2
√3
i pole trapezu jest równe
P =AB + CD
2· h =
4 + 2√
3 + 22
· 2 = 6 + 2√
3.
Odpowiedz: 6 + 2√
3
ZADANIE 10
Wyznacz wymiary prostokata o obwodzie 36 cm, którego pole jest najwieksze.
ROZWIAZANIE
Jezeli oznaczymy jeden z boków prostokata przez a to drugi bok ma długosc 18− a i polewynosi
P(a) = a(18− a).
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punk-cie 0+18
2 = 9 (dokładnie w srodku miedzy pierwiastkami). Zatem maksymalne pole otrzy-mamy dla kwadratu o boku długosci 9.
Odpowiedz: Kwadrat o boku 9 cm.
ZADANIE 11
Punkty A′, B′, C′ sa srodkami boków trójkata ABC. Pole trójkata A′B′C′ jest równe 4. Obliczpole trójkata ABC.
AA'
B
B'C'
C
6
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze trójkaty ABC i A′B′C′ maja równe katy, wiec sa podobne. Ponadto ich skalapodobienstwa wynosi
ABB′C′
= 2.
Zatem pole trójkata ABC jest 4 razy wieksze od pola trójkata A′B′C′, czyli jest równe
4 · 4 = 16.
Odpowiedz: 16
ZADANIE 12
Oblicz pole wycinka koła o srodku w punkcie A jesli pole rombu ABCD wynosi 2√
2, a katostry rombu ma miare 45.
A B
CD
45o
ROZWIAZANIE
Ze wzoru z sinusem na pole równoległoboku wyznaczamy długosc boku rombu
2√
2 = r2 sin 45
2√
2 = r2 ·√
22
r2 = 4 ⇒ r = 2.
Teraz juz łatwo obliczyc pole wycinka
360 − 45
360π · 22 =
1516· 4π = 3, 5π.
Odpowiedz: 3, 5π
7
ZADANIE 13
Na kwadracie ABCD opisano okrag o promieniu r = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury.
A B
CD
s
r
ROZWIAZANIE
Całe pole koła jest równeπr2 = 9π.
Obliczmy długosc boku kwadratu
a√
2 = 2r = 6 ⇒ a =6√2
.
W takim razie pole kwadratu jest równe
a2 =
(6√2
)2
=362
= 18.
Pole zacieniowanej figury jest wiec równe
9π − 18.
Odpowiedz: 9π − 18 cm2
ZADANIE 14
Wyznacz miary katów trójkata ABC:
A B
C
210o
40oO
8
ROZWIAZANIE
Korzystajac z twierdzenia o katach wpisanym i srodkowym mamy
]BAC =12]BOC =
12· 40 = 20
]ABC =12]AOC =
12(360 − 210 − 40) =
12· 110 = 55.
Suma katów w trójkacie wynosi 180, wiec
]ACB = 180 −]BAC−]ABC = 180 − 20 − 55 = 105.
Odpowiedz: 20, 55, 105
ZADANIE 15
Proste DE i CB oraz EF i AC sa równoległe. Oblicz długosc odcinka EB, jezeli |AE| = 212 ,
|DE| = 3 oraz |FB| = 4.
D
E B
F
C
A
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze trójkaty AED i EBF maja równoległe boki, wiec sa podobne. Mamy zatem
EBFB
=AEDE
EB4
=523⇒ EB =
56· 4 =
103
.
Odpowiedz: 103
ZADANIE 16
Oblicz długosci przekatnych szesciokata foremnego o boku 1.
9
ROZWIAZANIE
Narysujmy sobie taki szesciokat.
A
B
C
S
D
E
F
Jezeli połaczymy jego srodek z wierzchołkami, to wszystkie katy otrzymanych trójkatówsa równe 60, sa wiec równoboczne. Szesciokat ma dwa rodzaje przekatnych takie jak AD,których długosc wynosi 2, oraz takie jak AC, których długosc jest równa dwóm wysoko-sciom trójkata równobocznego o boku 1. Ze wzoru na długosc wysokosci trójkata równo-bocznego, mamy
AC = 2 · a√
32
=√
3.
Odpowiedz: 2 i√
3
ZADANIE 17Oblicz wysokosc trójkata prostokatnego o przyprostokatnych 12 cm i 9 cm, która jest popro-wadzona do przeciwprostokatnej.
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od rysunku
A B
C
12
9h
i obliczmy długosc przeciwprostokatnej.
BC =√
AB2 + AC2 =√
144 + 81 =√
225 = 15.
Porównajmy teraz dwa wzory na pole trójkata.
12
BC · h =12
AB · AC / · 2
15h = 12 · 9 / : 15
h =12 · 9
15=
12 · 35
=365
.
Odpowiedz: 365 cm
10
ZADANIE 18
Oblicz miare kata α jaki tworza przekatne AC i AD szesciokata foremnego.
A
B
C D
E
F
α
ROZWIAZANIE
Miare kata α mozna wyliczyc na wiele róznych sposobów.
A
B
C D
E
F
α
O
A
B
C D
E
F
α
O
2α
A
B
C D
E
F
α
O
Sposób I
Przekatna AC jest prostopadła do CD, czyli ]ACD = 90. Przekatna AD jest natomiastdwusieczna kata D, którego miara wynosi 120. Zatem ]ADC = 60. Mamy stad
α = ]CAD = 180 −]ACD−]ADC = 180 − 90 − 60 = 30.
Sposób II
Jezeli połaczymy srodek szesciokata z jego wierzchołkami to otrzymamy 6 trójkatów równo-bocznych. Widac teraz, ze szukany kat jest równy katowi jaki tworzy wysokosc w trójkacierównobocznym z jego bokiem. Jest to wiec 30.
Sposób III
Jezeli dorysujemy okrag opisany na szesciokacie foremnym, to kat srodkowy COD jest opar-ty na tym samym łuku, co szukany kat CAD. Zatem
α = ]CAD =12]COD =
12· 1
6· 360 = 30.
Odpowiedz: 30
11
ZADANIE 19W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramie maja taka sama długosc. Przekatnatrapezu tworzy z jednym z ramion kat prosty. Oblicz miary katów tego trapezu.
ROZWIAZANIE
Oznaczmy ]CDB = ]ABD = α.
a
a
a
α
α
90o-α αA B
CD
Z załozenia wiemy, ze trójkat BCD jest równoramienny, wiec
]DBC = α.
Wiemy tez, ze trójkat ADB jest prostokatny, wiec
]DAB = 90− α.
Porównujemy teraz miary katów trapezu przy wierzchołkach A i B.
]A = ]B90 − α = 2α
90 = 3α ⇒ α = 30.
To oznacza, ze katy trapezu sa równe 2α = 60 i 180 − 2α = 120.
Odpowiedz: 120, 120, 60, 60
ZADANIE 20W trójkacie prostokatnym wysokosc poprowadzona na przeciwprostokatna ma długosc 10cm, a promien okregu opisanego ma długosc 19 cm. Oblicz pole tego trójkata.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
D
A
B
C
10
W kazdym trójkacie prostokatnym przeciwprostokatna jest srednica okregu opisanego(bo okrag o srednicy AB przechodzi przez punkt C), zatem
AB = 2 · 19 = 38.
Liczymy pole:
P =12
AB · CD =12· 38 · 10 = 190.
Odpowiedz: 190 cm2
12
ZADANIE 21
Dany jest trójkat prostokatny ABC, w którym BC = 30 , AC = 40 i AB = 50. Okrag wpisanyw trójkat ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długosc odcinka CM.
A
B
C
M
ROZWIAZANIE
Sposób I
Poprowadzmy wysokosc CP danego trójkata.
A
B
C
M
N
Ox
xy
y
zz
A
B
C
M
N
O
y
W
P
Długosc odcinka CM wyliczymy z trójkata prostokatnego CMP. Zanim jednak zajmiemysie tym trójkatem, popatrzmy na trójkat prostokatny CBP. Poniewaz jest on podobny dowyjsciowego trójkata (bo oba sa prostokatne i maja wspólny kat ]B), łatwo mozna wyliczycdługosci jego boków.
BC = 30
BPBC
=BCBA
⇒ BP =302
50= 18
PCBC
=ACBA
⇒ PC =30 · 40
50= 24.
Skoro znamy długosc BP, to długosc odcinka PM mozemy wyliczyc jako róznice długosciBM i BP. Do tego jednak musimy znac długosc BM = BO = BC −OC. Długosc OC to poprostu długosc r promienia okregu wpisanego w trójkat ABC, która mozemy wyliczyc zewzoru na pole: P = pr, gdzie p jest połowa obwodu trójkata.
r =Pp=
2P2p
=30 · 40
30 + 40 + 50= 10.
Mamy wiecBM = BO = BC−OC = 30− 10 = 20PM = BM− BP = 20− 18 = 2.
Pozostało zastosowac twierdzenie Pitagorasa w trójkacie CMP.
CM =√
PC2 + PM2 =√
576 + 4 =√
580 = 2√
145.
13
Sposób IIDługosc odcinka CM mozemy wyliczyc z twierdzenia cosinusów w trójkacie ACM. Zanimto jednak zrobimy, musimy wyliczyc cos]A i AM.
cos]A =ACAB
=4050
=45
.
Aby wyliczyc długosc odcinka AM, zaznaczmy pozostałe punkty stycznosci okregu wpisa-nego z bokami trójkata i oznaczmy AM = AN = x, CN = CO = y i BM = BO = z. Mamywtedy układ równan.
x + y = 40x + z = 50z + y = 30.
Odejmujac od drugiego równania trzecie (zeby skrócic z) mamy
x− y = 20.
Dodajemy to do pierwszego równania (zeby skrócic y) mamy
2x = 60 ⇒ x = 30.
Pozostało zastosowac twierdzenie cosinusów.
CM2 = AC2 + AM2 − 2AC · AM cos]A
CM2 = 1600 + 900− 2 · 40 · 30 · 45= 1600 + 900− 2 · 40 · 24 = 580
CM =√
580 = 2√
145.
Odpowiedz: CM = 2√
145
ZADANIE 22Dany jest trapez, w którym podstawy maja długosc 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworza zdłuzsza podstawa katy o miarach 30 i 45. Oblicz wysokosc tego trapezu.
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od rysunku.
h
45o 30oh
A B
CD
E F
4
4
Jezeli oznaczymy szukana długosc wysokosci przez h, to mamy
hAE
= tg 45h
FB= tg 30
AE =h
tg 45FB =
htg 30
AE = h FB =h√
33
= h√
3.
14
Stad10 = AB = AE + EF + FB = h + 4 + h
√3
h + h√
3 = 6
h(1 +√
3) = 6
h =6√
3 + 1=
6(√
3− 1)3− 1
= 3√
3− 3.
Odpowiedz: 3√
3− 3 cm
ZADANIE 23
Do dwóch okregów o promieniach długosci 3cm i 10cm poprowadzono wspólna stycznatak, ze okregi znajduja sie po róznych stronach tej stycznej. Odległosc miedzy srodkamiokregów wynosi 39 cm. Oblicz długosc odcinka miedzy punktami stycznosci.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy naturalnie od schematycznego rysunku.
A B
C
D3 P
10
Trójkaty APD i BPC sa prostokatne i maja wspólny kat przy wierzchołku P – sa zatempodobne. Mamy zatem
ADAP
=BCPB
3AP
=10
39− AP117− 3AP = 10AP13AP = 117AP = 9PB = 30.
Pozostało policzyc DP i PC z twierdzenia Pitagorasa.
DP =√
81− 9 = 6√
2
PC =√
900− 100 = 20√
2.
Zatem DC = DP + PC = 6√
2 + 20√
2 = 26√
2.
Odpowiedz: 26√
2
15
ZADANIE 24
Dany jest trójkat równoboczny ABC. Okrag o srednicy AB przecina bok BC w punkcie D.
A B
C
D
Wykaz, ze |CD| = |DB|.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Dorysujmy odcinek AD.
A B
C
D
A B
C
D
O
E
60o60o
r r
rr
r
Poniewaz kat ]ADB jest oparty na srednicy, wiec jest prosty. To oznacza, ze odcinekAD jest wysokoscia trójkata ABC. Ale wysokosc w trójkacie równobocznym pokrywa sie zesrodkowa, czyli CD = DB.
Sposób II
Niech E bedzie punktem wspólnym okregu i boku AE, a O niech bedzie srodkiem okre-gu. Połaczmy punkt O z punktami D i E, oraz dorysujmy odcinek ED. Zauwazmy, ze obatrójkaty BOD i AOE sa równoramienne i kazdy z nich ma kat o mierze 60. Sa zatem rów-noboczne. To oznacza, ze
]EOD = 180 −]AOE−]BOD = 60,
czyli trójkat równoramienny EOD tez jest równoboczny. To z kolei oznacza, ze dwa katytrójkata EDC sa równe 60, czyli to tez jest trójkat równoboczny. Dodatkowo wszystkie na-rysowane trójkaty równoboczne sa przystajace, czyli w szczególnosci CD = DB.
16
Sposób III
Dorysujmy odcinek OD.
A B
C
D
O60o
r r
r
Trójkat ABC jest równoboczny i bok AB jest srednica okregu, zatem kazdy z jego bokówma długosc 2r, gdzie r jest promieniem danego okregu. W szczególnosci BC = 2r. Terazpatrzymy na trójkat OBD – jest on równoramienny, bo OD = OB = r oraz jeden z jegokatów miare 60. Trójkat ten jest wiec równoboczny, czyli DB = r. To oznacza, ze
CD = BC− BD = 2r− r = r = BD.
ZADANIE 25
W okregu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cieciwy o długosciach 6 i 8. Obliczodległosc miedzy tymi cieciwami.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A B
CD
5
5
4
3
E
F
OA B
CD5
5
4
3
E
F
O
Widac, ze mamy dwie mozliwosci poprowadzenia tych cieciw – srodek okregu moze bycpo miedzy nimi albo nie. Zajmijmy sie na poczatek pierwsza sytuacja. Czworokat ABCD jesttrapezem równoramiennym i gdy zrzutujemy srodek O okregu na jego podstawy to mamyDF = FC = 3 oraz AE = EB = 4. Zatem
OE =√
OA2 − AE2 =√
25− 16 = 3
OF =√
OD2 − DF2 =√
25− 9 = 4EF = OE + OF = 7.
17
W drugiej sytuacji jest bardzo podobnie
OE =√
OA2 − AE2 =√
25− 16 = 3
OF =√
OD2 − DF2 =√
25− 9 = 4EF = OF−OE = 4− 3 = 1.
Odpowiedz: 7 lub 1
ZADANIE 26
Dany jest prostokat ABCD. Okregi o srednicach AB i AD przecinaja sie w punktach A i P.
A B
CD
P
Wykaz, ze punkty B, P i D leza na jednej prostej.
ROZWIAZANIE
Połaczmy punkt P z punktami A, B i D.
A B
CD
P
Zauwazmy, ze oba katy ]APB i ]DPA sa oparte na srednicach, czyli
]APB = ]DPA = 90.
To jednak oznacza, ze]DPA +]APB = 180,
czyli punkt D lezy na prostej PB.
ZADANIE 27Na szesciokacie foremnym opisano okrag i w ten szesciokat wpisano okrag. Pole powstałegopierscienia jest równe 2π dm2. Oblicz pole powierzchni wielokata.
18
ROZWIAZANIE
Szesciokat składa sie z szesciu przystajacych trójkatów równobocznych, oznaczmy ich bokprzez a.
A
B
C
S
D
E
F
aa
a
Jezeli narysujemy sobie obrazek, to widac, ze promien okregu opisanego na szesciokaciejest równy a, a promien okregu wpisanego to wysokosc trójkata równobocznego, czyli jestrówny a
√3
2 . Mamy wiec równanie (liczymy pole pierscienia)
2π = πa2 − π · 3a2
4=
a2π
4a2 = 8 ⇒ a = 2
√2.
Zatem pole pojedynczego trójkata równobocznego wynosi
a2√
34
= 2√
3.
Pole szesciokata jest 6 razy wieksze, czyli wynosi 12√
3.
Odpowiedz: 12√
3 dm2
ZADANIE 28
Trójkaty prostokatne równoramienne ABC i CDE sa połozone tak, jak na ponizszym rysun-ku (w obu trójkatach kat przy wierzchołku C jest prosty). Wykaz, ze |AD| = |BE|.
A B
C
D
E
ROZWIAZANIE
Dorysujmy odcinki AD i BE.
19
A B
C
D
Eα
Patrzymy teraz na trójkaty ADC i BEC. Maja one dwie pary równych boków
AC = BCDC = EC
oraz równy kat przy wierzchołku C
]ACD = ]ACB− α = 90 − α = ]DCE− α = ]BCE.
Trójkaty te sa wiec przystajace, czyli AD = BE.
ZADANIE 29W trapezie ABCD długosc podstawy CD jest równa 18, a długosci ramion trapezu AD i BCsa odpowiednio równe 25 i 15. Katy ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, maja równe miary.Oblicz obwód tego trapezu.
A B
CD
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od opisania rysunku.
A B
CD 18
25 15
Poniewaz proste AB i CD sa równoległe, równe sa równiez katy ABD i CDB. To oznacza,ze trójkaty ABD i BDC sa podobne. Mamy zatem
ADDB
=BCCD
⇒ DB =ADBC· CD =
2515· 18 = 30.
Jeszcze raz korzystamy z podobienstwa.
ABAD
=DBBC
⇒ AB =DBBC· AD =
3015· 25 = 50.
Zatem obwód trapezu jest równy
25 + 18 + 15 + 50 = 108.
Odpowiedz: 108
20
ZADANIE 30
Prosta k równoległa do boku AB trójkata ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio wpunktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, ze pole trójkata DEC wynosi 4 cm2, zas poletrapezu ABED jest równe 8 cm2. Wykaz, ze |AD|
|DC| =√
3− 1.
A B
C
D E k
ROZWIAZANIE
Zauwazmy, ze z podanych informacji wiemy, ze trójkaty ABC i DEC sa podobne, oraz sto-sunek ich pól jest równy
PABC
PDEC=
PABED + PDEC
PDEC=
8 + 44
= 3.
Zatem skala podobienstwa jest równa√
3 i mamy
√3 =
ACDC
=AD + DC
DC=
ADDC
+ 1 ⇒ ADDC
=√
3− 1.
ZADANIE 31
Odległosci srodków dwóch okregów od wierzchołka kata sa równe 8 i 12. Okregi te sa stycz-ne zewnetrznie i kazdy z nich jest styczny do obu ramion kata. Oblicz długosci ich promieni.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy naturalnie od rysunku.
A
B
C
OO2
148
r2r1
Poniewaz okregi sa styczne zewnetrznie, odległosc ich srodków jest równa sumie ichpromieni
O1O2 = r1 + r2.
21
Z drugiej strony wiemy, ze jest równa
O1O2 = O2A−O1A = 12− 8 = 4.
Zatemr1 + r2 = 4.
Musimy znalezc jeszcze jedna zaleznosc miedzy promieniami. Aby to zrobic popatrzmy naprostokatne trójkaty podobne ABO1 i ACO2.
BO1
AO1=
CO2
AO2r1
8=
r2
12. r1 =
23
r2.
Podstawiajac do wczesniej otrzymanego równania, mamy
23
r2 + r2 = 4
53
r2 = 4 ⇒ r2 =125
r1 =23
r2 =85
.
Odpowiedz: 85 i 12
5
ZADANIE 32
Na okregu o promieniu 9 opisano trójkat równoramienny o kacie równym 120. Oblicz dłu-gosci boków trójkata.
ROZWIAZANIE
Kat rozwarty 120 musi byc katem miedzy ramionami trójkata – katy przy podstawie niemoga miec miary 120, bo trójkat nie moze miec dwóch katów rozwartych.
A B
C
D30o 30o
60o 60o
a a
Sposób I
Niech D bedzie srodkiem podstawy AB trójkata, oraz niech a = AD. Z trójkata prostokat-nego ADC mamy
CDAD
= tg 30 ⇒ CD = AD · tg 30 = a ·√
33
ADAC
= cos 30 ⇒ AC =AD
cos 30=
a√
32
=2a√
3=
2√
3a3
.
22
Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkata z promieniem okregu wpisanego.
12(AB + AC + CB) · r = PABC =
12
AB · CD
12
(2a +
2√
3a3
+2√
3a3
)· 9 =
12· 2a · a
√3
3/ · 3
a
(3 +√
3 +√
3) · 9 = a√
3 / :√
3
a =(3 + 2
√3) · 9√
3=
(3√
3 + 6) · 93
= 9√
3 + 18.
Zatem boki trójkata maja długosci:
AB = 2a = 18√
3 + 36
AC = CB =2√
3a3
=2√
33· (9√
3 + 18) = 18 + 12√
3.
Sposób II
Oznaczmy przez S srodek okregu wpisanego, a przez E jego punkt stycznosci z bokiem AC.
A B
C
D30o 30o
60o
9
9S
E
Z trójkata prostokatnego CES mamy
ESCS
= sin]ECS = sin 60 ⇒ CS =9√
32
=18√
3= 6√
3.
Stad CD = CS + SD = 6√
3 + 9. Teraz patrzymy na trójkat prostokatny ADC.
ADCD
= tg 60 ⇒ AD = (6√
3 + 9) ·√
3 = 18 + 9√
3
AB = 2AD = 36 + 18√
3DCAC
= cos 60 ⇒ AC = 2DC = 12√
3 + 18.
Odpowiedz: 18√
3 + 36, 18 + 12√
3, 18 + 12√
3
ZADANIE 33
Podstawy trapezu maja długosci 6 i 2, a wysokosc ma długosc 4. Oblicz odległosc punktuprzeciecia przekatnych trapezu od prostych zawierajacych jego podstawy.
23
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A B
CD E
F
44
S
Kluczowe w tym zadaniu jest zauwazanie, ze trójkaty ABS i CDS sa podobne (majarówne katy). Ponadto skala ich podobienstwa jest równa AB
CD = 62 = 3. Zatem taki sam jest
stosunek wysokosci tych trójkatów, skad
SE =14
EF =14· 4 = 1
SF =34
EF =34· 4 = 3.
Odpowiedz: 1 i 3
24
ZADANIE 1
Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny, w którym przeciwprostokatna ma długosc8 cm, a jeden z katów ma miare 30. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwi-nieciu na płaszczyzne jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objetosc tegograniastosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
30A 8
h
o
B
C A C B A
Policzmy przyprostokatne trójkata w podstawie.
ABAC
= sin 30 =12⇒ AB = 4
BCAC
= cos 30 =
√3
2⇒ BC = 4
√3.
Z podanej informacji o rozwinieciu powierzchni bocznej wynika, ze
h = AC + CB + BA = 8 + 4√
3 + 4 = 12 + 4√
3.
Liczmy pole powierzchni całkowitej i objetosc
Pc = 2 · 12
AB · BC + h2 = 16√
3 + (12 + 4√
3)2 =
= 16√
3 + 144 + 96√
3 + 48 = 192 + 112√
3
V =12
AB · BC · h = 8√
3(12 + 4√
3) = 96√
3 + 96.
Odpowiedz: Pc = 192 + 112√
3 cm2, V = 96√
3 + 96 cm3
ZADANIE 2
W graniastosłupie prawidłowym szesciokatnym wszystkie krawedzie maja jednakowa dłu-gosc. Wyznacz tangensy katów nachylenia przekatnych graniastosłupa do płaszczyzny pod-stawy.
1
IX Stereometria
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku i oznaczmy długosc krawedzi graniastosłupa przez a.
A B
D
C
α
aa
aA B
C
βaa
a
Widac, ze w graniastosłupie sa dwa rodzaje przekatnych takie jak CB i takie jak CD. Po-niewaz łaczac wierzchołki szesciokata foremnego z jego srodkiem otrzymujemy 6 trójkatówrównobocznych, mamy
AB = 2a ⇒ tg α =ACAB
=a
2a=
12
Aby wyliczyc tangens β zauwazmy, ze odcinek AD jest dwa razy dłuzszy od wysokoscitrójkata równobocznego o boku a, ma wiec długosc
AD = a√
3.
Zatem
tg β =ACAD
=a
a√
3=
√3
3.
Odpowiedz: 12 i√
33
ZADANIE 3
W ostrosłupie prawidłowym czworokatnym o krawedzi podstawy 18 cm, kat miedzy wyso-kosciami przeciwległych scian bocznych ma miare α = 60. Oblicz pole powierzchni bocznejtego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kat α.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A B
CD
S
E F
18
60o
2
Wysokosci scian bocznych to odcinki SE i SF łaczace wierzchołek S ze srodkami krawe-dzi BC i AD. Trójkat SEF jest równoramienny i kat miedzy jego ramionami ma miare 60,wiec jest równoboczny. W takim razie SF = 18 i mozemy policzyc pole powierzchni bocznejostrosłupa
Pb = 4 · PBCS = 4 · 12· 18 · 18 = 2 · 182 = 648.
Odpowiedz: 648 cm2
ZADANIE 4
Oblicz wysokosc prostopadłoscianu, którego podstawa jest prostokatem o wymiarach 3 i 4,a pole powierzchni całkowitej wynosi 94.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicu prostopadłoscianu.
4
3
x
Jezeli oznaczymy wysokosc prostopadłoscianu przez x to informacja o polu powierzchnicałkowitej daje nam równanie
2 · 3 · 4 + 2 · 3 · x + 2 · 4 · x = 9424 + 6x + 8x = 9414x = 70 ⇒ x = 5.
Odpowiedz: 5
ZADANIE 5
Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych szesciokatnych, których sumadługosci wszystkich krawedzi jest równa 216. Oblicz długosc krawedzi podstawy i wyso-kosc tego z danych graniastosłupów, który ma najwieksze pole powierzchni bocznej.
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od rysunku.
3
a
H
a a
H
Jezeli oznaczymy krawedz podstawy przez a, a wysokosc graniastosłupa przez H, tosuma wszystkich krawedzi jest równa
216 = 12a + 6H ⇒ H = 36− 2a.
Pole powierzchni bocznej jest wiec równe
Pb(a) = 6 · aH = 6a(36− 2a) = −12a(a− 18).
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punk-cie a = 0+18
2 = 9. Zatem najwieksze pole boczne otrzymamy dla a = 9 i H = 36− 2a = 18.
Odpowiedz: Krawedz podstawy: 9, wysokosc: 18
ZADANIE 6
Przekatna przekroju osiowego walca ma długosc 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny pod-stawy pod katem 60. Jaka długosc ma promien podstawy tego walca? Jaka jest jego wyso-kosc?
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku – rysujemy przekrój osiowy tego walca.
60oA B
C
4
Odcinek AB jest srednica podstawy walca, a BC jego wysokoscia. Liczymy
ABAC
= cos 60 =12⇒ AB =
52
BCAC
= sin 60 =
√3
2⇒ BC =
5√
32
.
Zatem promien podstawy ma długosc AB2 = 5
4 .
Odpowiedz: Promien podstawy: 54 , wysokosc: 5
√3
2
ZADANIE 7
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokatny o krawedzi bocznej dwa razy dłuzszej odkrawedzi podstawy.
a) Wyznacz cosinus kata nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b) Wyznacz długosc krawedzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wyno-siło 36
√15.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
a
2a
bh
α
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wysokosc sciany bocznej
b =
√(2a)2 −
(12
a)2
=a√
152
.
a) Obliczamy cosinus
cos α =12 ab
=12 a
a√
152
=
√15
15.
Odpowiedz:√
1515
5
b) Liczymy
4 · 12
ab = 36√
15
2a · a√
152
= 36√
15
a2√
15 = 36√
15 ⇒ a = 6.
Krawedzie musza miec długosc 6 i 12 jednostek.
Odpowiedz: 6 i 12 jednostek
ZADANIE 8
Pole powierzchni bocznej stozka jest czterokrotnie wieksze od pola podstawy stozka. Obliczwysokosc stozka, wiedzac, ze promien jego podstawy jest równy r.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
r
l lh
Najpierw obliczamy długosc tworzacej.
Pb = 4Pp
πrl = 4πr2
l = 4r.
Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długosc wysokosci
h =√
l2 − r2 =√(4r)2 − r2 =
√16r2 − r2 = r
√15.
Odpowiedz: h = r√
15.
ZADANIE 9
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest równe 80 cm2, apole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm2. Oblicz długosc krawedzi podstawy i dłu-gosc krawedzi bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
6
ROZWIAZANIE
Szkicujemy ostrosłup.
h
8
44
b
Skoro znamy pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej, to mozemy obli-czyc pole podstawy.
Pp = Pc − Pb = 144− 80 = 64 cm2.
To oznacza, ze w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku długosci 8 cm. Jezeli oznaczmyteraz przez h długosc wysokosci sciany bocznej, to z podanego pola powierzchni bocznejmamy równanie
80 = 4 · 12· 8 · h
80 = 16h / : 16h = 5.
Pozostało obliczyc długosc b krawedzi bocznej. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
b =√
h2 + 42 =√
25 + 16 =√
41 cm.
Odpowiedz: Krawedz podstawy: 8 cm, krawedz boczna:√
41 cm.
ZADANIE 10
W ostrosłupie prawidłowym szesciokatnym dany jest kat nachylenia sciany bocznej do płasz-czyzny podstawy α. Oblicz stosunek pola podstawy do pola powierzchni bocznej ostrosłu-pa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
7
A
B C
D
E
aa
F
S
P
h
αR
W podstawie ostrosłupa mamy 6 trójkatów równobocznych, zatem szukany stosunekpól jest równy
6 · 12 AB · PR
6 · 12 AB · SR
=PRSR
= cos α
Odpowiedz: cos α
ZADANIE 11
Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkat prostokatny o przyprostokatnych majacychdługosci 1 i
√3. Podaj miary katów miedzy sasiednimi scianami bocznymi tego graniasto-
słupa.
ROZWIAZANIE
Jak wykonamy rysunek, to jest jasne, ze zadanie tak naprawde nie jest przestrzenne – to comamy wyliczyc to katy trójkata ABC w podstawie.
1 3
1
A B
C
3
Mamy
tg]A =CBCA
=√
3 ⇒ ]A = 60
tg]B =CACB
=1√3=
√3
3⇒ ]B = 30.
8
www.zadania.info – NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN Z MATEMATYKI
Odpowiedz: 30, 60, 90
ZADANIE 12Pole powierzchni całkowitej stozka jest trzy razy wieksze od pola jego podstawy. Obliczmiare kata rozwarcia tego stozka.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
r
l
α/2
A B
C
Spróbujmy zapisac podany warunek
πrl + πr2 = 3πr2 / : π
rl = 2r2
l = 2r.
Patrzac teraz na trójkat prostokatny ABC mamy
sinα
2=
ABBC
=rl=
r2r
=12
α
2= 30 ⇒ α = 60.
Odpowiedz: 60
ZADANIE 13Oblicz pole powierzchni i objetosc szescianu, którego przekatna ma długosc 4
√3 cm.
ROZWIAZANIE
Zacznijmy od zauwazenia, ze przekatna szescianu o krawedzi a ma długosc a√
3.
A
B
E
C
aa
a
9
Rzeczywiscie, na mocy twierdzenia Pitagorasa przekatna kwadratu w podstawie madługosc a
√2 i korzystajac z Twierdzenia Pitagorasa w trójkacie ABC mamy
AC =√
AB2 + BC2 =√
2a2 + a2 = a√
3.
Mamy zatem równaniea√
3 = 4√
3 ⇒ a = 4.
Teraz bez trudu liczymy objetosc i pole powierzchni.
V = a3 = 64
Pc = 6a2 = 96.
Odpowiedz: Objetosc 64cm3, pole powierzchni: 96cm2
ZADANIE 14
Stozek ma wysokosc 10 cm. Pole przekroju osiowego tego stozka jest równe 30 cm2. Jakadługosc ma tworzaca tego stozka?
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku przekroju osiowego.
A B
C
10
D
Z podanego pola wyliczamy srednice podstawy.
12· 10 · AB = 30 ⇒ AB = 6.
Liczymy teraz, z twierdzenia Pitagorasa, długosc tworzacej
BC =√
BD2 + DC2 =√
102 + 32 =√
109.
Odpowiedz:√
109 cm
ZADANIE 15
Graniastosłup prawidłowy trójkatny o krawedzi podstawy 4 cm i wysokosci 10 cm przecietopłaszczyzna zawierajaca wysokosc podstawy i jedna z krawedzi bocznych. Jakie pole ma tenprzekrój?
10
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
4 4
10
Widac, ze otrzymany przekrój jest prostokatem o jednym boku długosci 10, a drugimdługosci wysokosci trójkata równobocznego o boku 4, czyli
a√
32
= 2√
3.
Zatem pole przekroju jest równe10 · 2
√3 = 20
√3.
Odpowiedz: 20√
3cm2
ZADANIE 16Kwadrat o boku długosci 2 cm obraca sie wokół swojej przekatnej. Oblicz objetosc i polepowierzchni otrzymanej bryły.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy oczywiscie od rysunku.
A
C
BO
H
r
2 2
Widac, ze otrzymana bryła to dwa sklejone podstawami stozki. Zarówno wysokosc jak ipromien podstawy tych stozków to dokładnie połowa długosci przekatnej kwadratu, czyli
H = r =12· 2√
2 =√
2.
11
Zatem objetosc bryły jest równa
V = 2 · 13
πr2H =23
π · 2 ·√
2 =4√
23
π.
Pole powierzchni to podwojone pole powierzchni bocznej stozka, czyli
P = 2πrl = 2π√
2 · 2 = 4√
2π.
Odpowiedz: V = 4√
23 πcm3, P = 4
√2πcm2
ZADANIE 17
Promien i wysokosc walca maja jednakowa długosc. Pole powierzchni bocznej wynosi 200π.Oblicz pole podstawy walca.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
r
r
Pole powierzchni bocznej walca jest równe
2πr · r = 2πr2,
co daje nam równanie2πr2 = 200π ⇒ r = 10.
Zatem pole podstawy jest równeπr2 = 100π.
Odpowiedz: 100π
ZADANIE 18
Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny równoramienny o ramieniu długosci 9.Kat miedzy przekatna najwiekszej sciany bocznej i wysokoscia graniastosłupa jest równy60. Oblicz pole powierzchni bocznej i objetosc tego graniastosłupa.
12
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
h
60o
9
9c
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długosc przeciwprostokatnej c
c =√
92 + 92 = 9√
2.
Korzystamy z funkcji tangens do obliczenia wysokosci graniastosłupa
tg 60 =ch
h =c
tg 60=
9√
2√3
= 9√
2 ·√
33
= 3√
6.
Obliczamy objetosc graniastosłupa
V = Pp · h = 3√
6 · 12· 92 =
2432
√6.
Liczymy pole powierzchni bocznej
Pb = 2 · 9h + ch = 2 · 9 · 3√
6 + 3√
6 · 9√
2 =
= 27(2√
6 +√
12) = 27(2√
6 + 2√
3) = 54(√
6 +√
3).
Odpowiedz: V = 2432
√6, Pb = 54(
√6 +√
3)
ZADANIE 19
Objetosc graniastosłupa prawidłowego trójkatnego jest równa 36√
3, a pole powierzchnibocznej tego graniastosłupa jest równe 72. Oblicz długosc krawedzi podstawy oraz długoscwysokosci tego graniastosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
13
a
H
H
A
B
C
D
EF
a
Liczymy 36√
3 = V = a2√
34 · H ⇒ 36 = a
4 · aH72 = Pb = 3aH ⇒ 24 = aH.
Podstawiajac aH z drugiego równania do pierwszego mamy
36 =a4· 24 = 6a ⇒ a = 6.
Zatem H = 24a = 4.
Odpowiedz: Krawedz podstawy: 6, wysokosc: 4.
ZADANIE 20
Podstawa ostrosłupa jest prostokat o bokach 6cm i 8cm. Kazda krawedz boczna jest nachy-lona do płaszczyzny podstawy pod katem 60. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A B
CD
S
4
63
43
E
F
Poniewaz wszystkie krawedzie sa nachylone do podstawy pod katem 60, trójkat ACSjest równoboczny. Długosc jego boku wynosi
AC =√
AB2 + BC2 =√
64 + 36 = 10.
Sciany ostrosłupa sa trójkatami równoramiennymi i ich wysokosci wynosza
SE =√
SA2 − AE2 =√
100− 16 = 2√
21
SF =√
SA2 − AF2 =√
100− 9 =√
91.
14
Liczymy teraz pole powierzchni.
Pc = PABCD + 2PABS + 2PDAS = 48 + 16√
21 + 6√
91.
Odpowiedz: 48 + 16√
21 + 6√
91
ZADANIE 21
Przekatna szescianu jest o 3 dłuzsza od krawedzi szescianu. Oblicz objetosc tego szescianu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
aad
sa
Długosc przekatnej podstawy jest dana wzorem
d = a√
2.
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa, przekatna szescianu jest dana wzorem
s =√
d2 + a2 =√
2a2 + a2 = a√
3.
Korzystamy z załozenia i otrzymujemy równanie
a + 3 = s
a + 3 = a√
3
a =3√
3− 1=
3(√
3 + 1)3− 1
=3(√
3 + 1)2
.
Teraz obliczamy objetosc
V = a3 =33(√
3 + 1)3
23 =27((√
3)3 + 3(√
3)21 + 3 · 1√
3 + 13)
8=
=27(3√
3 + 9 + 3√
3 + 1)8
=27(10 + 6
√3)
8.
Odpowiedz: 27(10+6√
3)8
15
ZADANIE 22
Punkty K i M sa srodkami krawedzi BC i AE szescianu ABCDEFGH o krawedzi długosci 1.Punkt L jest srodkiem sciany EFGH (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkata KLM.
A B
CD
E F
GH
M
K
L
ROZWIAZANIE
Niech S bedzie srodkiem krawedzi FG i dorysujmy odcinki AK, KS, SL i LE.
A B
CD
E F
GH
M
K
LS
Otrzymalismy w ten sposób trzy trójkaty prostokatne AKM, KSL i LEM. W kazdym znich liczymy z twierdzenia Pitagorasa długosc przeciwprostokatnej.
MK =√
AM2 + AK2 =
√14+ AB2 + BK2 =
√14+ 1 +
14=
√6
2
KL =√
KS2 + SL2 =
√1 +
14=
√5
2
LM =√
LE2 + EM2 =
√(EG2
)2
+ EM2 =
√√√√(√22
)2
+14=
√3
2.
Obwód trójkata KLM jest wiec równy
MK + KL + LM =
√6
2+
√5
2+
√3
2=
√3 +√
5 +√
62
.
Odpowiedz:√
3+√
5+√
62
16
ZADANIE 23
Podstawa ostrosłupa ABCS jest trójkat równoboczny ABC o boku długosci 8. Punkt D jestsrodkiem krawedzi AB, odcinek DS jest wysokoscia ostrosłupa. Krawedzie AS i BS majadługosc 7. Oblicz długosc krawedzi CS tego ostrosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
H
8
A
B C
D
S
4
4
8
7
h
7
Widac, ze długosc krawedzi CS ostrosłupa mozna wyliczyc z trójkata prostokatnegoSDC, ale najpierw musimy wyliczyc długosci odcinków DC i DS. Pierwszy z nich to poprostu wysokosc w trójkacie równobocznym ABC
DC = h =8√
32
= 4√
3.
Długosc drugiego wyliczamy z trójkata ADS
DS = H =√
AS2 − AD2 =√
49− 16 =√
33.
Mozemy teraz policzyc długosc SC.
SC =√
h2 + H2 =√
48 + 33 =√
81 = 9.
Odpowiedz: 9
ZADANIE 24
Podstawa ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długosci 4. Kat ABC rombu ma miare120 oraz |AS| = |CS| = 10 i |BS| = |DS|. Oblicz sinus kata nachylenia krawedzi BS dopłaszczyzny podstawy ostrosłupa.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
17
60o
A B
CD
S
α
4
44
10
E60o A B
CD
4
4E
60o60o
10
Zauwazmy, ze z równosci AS = CS i DS = BS wynika, ze spodek wysokosci ostrosłupapokrywa sie z punktem wspólnym przekatnych rombu w podstawie. Interesujacy nas katnachylenia krawedzi BS do płaszczyzny podstawy jest wiec katem EBS.
Poniewaz przekatne rombu sa dwusiecznymi jego katów wewnetrznych, wszystkie katytrójkatów ABD i BCD sa równe 60, czyli sa to trójkaty równoboczne. W takim razie
BE =12
BD =12
AB = 2.
Ponadto, odcinek AE jest wysokoscia w trójkacie równobocznym o boku 4, wiec
AE =4√
32
= 2√
3.
Korzystajac z twierdzenia Pitagorasa w trójkacie AES otrzymujemy
SE =√
SA2 − AE2√
100− 12 =√
88 = 2√
22.
Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkacie EBS.
BS =√
BE2 + SE2 =√
4 + 88 =√
92 = 2√
23.
Pozostało obliczyc sin α.
sin α =SEBS
=2√
222√
23=
√22√23
.
Odpowiedz:√
22√23
ZADANIE 25
Oblicz objetosc graniastosłupa prawidłowego trójkatnego, w którym krawedz podstawy madługosc 1, a przekatna sciany bocznej tworzy z sasiednia sciana kat o mierze 30.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
18
1
H
A
B
CD
E
1
30o
Aby zaznaczyc kat jaki tworzy przekatna BE sciany bocznej z sasiednia sciana ACE, mu-simy znalezc rzut tej przekatnej na te sciane. Nie jest to trudne – wystarczy popatrzec gdziewyladuja konce przekatnej. Punkt E jest juz na scianie ACE, a punkt B przejdzie na srodek Dkrawedzi AC. Otrzymamy w ten sposób trójkat prostokatny BDE, w którym ]BED = 30.
Poniewaz BD jest wysokoscia w trójkacie równobocznym w podstawie, mamy
BD =a√
32
=
√3
2.
Z trójkata BDE wyliczamy długosc przekatnej BE sciany bocznej.
BDBE
= sin 30 =12⇒ BE = 2BD =
√3.
Teraz mozemy wyliczyc długosc wysokosci AE graniastosłupa. Patrzymy na trójkat prosto-katny ABE.
AE =√
BE2 − AB2 =√
3− 1 =√
2.
Zatem objetosc graniastosłupa jest równa
V = Pp · H =a2√
34· H =
√3
4·√
2 =
√6
4.
Odpowiedz:√
64
ZADANIE 26
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkatny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawe-dziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkata ABF wiedzac, ze |AB| = 10 i |CF| = 11.Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkat ABF.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
19
10
11 11
5
5
A
B
C
D
P
E
F
Widac, ze trójkat ABF jest równoramienny i znamy długosc jego podstawy AB = 10. Wy-starczy zatem obliczyc długosc jego wysokosci PF. Mozemy to zrobic korzystajac z twierdze-nia Pitagorasa w trójkacie PCF. Ze wzoru na długosc wysokosci w trójkacie równobocznymmamy
PC =a√
32
= 5√
3.
ZatemPF =
√PC2 + CF2 =
√(5√
3)2 + 112 =√
75 + 121 = 14.
Zatem interesujace nas pole jest równe
PABF =12
AB · PF =12· 10 · 14 = 70.
Odpowiedz: 70
ZADANIE 27
Pole powierzchni całkowitej Pc stozka oraz jego pole podstawy Pp spełniaja równanie 3Pc =√3Pp(2 +
√3). Oblicz miare kata rozwarcia stozka.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
h
r
l
α
A B
C
PodstawmyPc = πrl + πr2
Pp = πr2
20
do danego równania.3Pc = 2
√3Pp + 3Pp
3(πrl + πr2) = 2√
3πr2 + 3πr2
3πrl = 2√
3πr2 / : πr
3l = 2√
3r
r =3l
2√
3=
√3l
2.
Patrzymy teraz na trójkat ABC.
sinα
2=
ABBC
=rl=
√3l
2l
=
√3
2.
Zatem α2 = 60, czyli α = 120.
Odpowiedz: α = 120
ZADANIE 28
Oblicz objetosc ostrosłupa prawidłowego trójkatnego o krawedzi podstawy 6 cm i krawedzibocznej 12 cm.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
66A
BC
D
E
12
Wysokosc trójkata równobocznego w podstawie jest równa
a√
32
= 3√
3.
Długosc odcinka EB to dokładnie 23 wysokosci (bo tak dzieli wysokosc srodek trójkata rów-
nobocznego), czyli
EB =23· 3√
3 = 2√
3.
Teraz, stosujac twierdzenie Pitagorasa w trójkacie EBD, mamy
DE =√
DB2 − EB2 =√
144− 12 = 2√
33.
21
Zatem objetosc jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójkata równobocznego)
V =13· 36√
34· 2√
33 = 3√
3 · 2√
33 = 18√
11.
Odpowiedz: 18√
11cm3
ZADANIE 29
Metalowa kule o promieniu R = 3 cm przetopiono na stozek. Tworzaca stozek jest na-chylona do płaszczyzny podstawy pod katem α, takim, ze sin α =
√5
5 . Wyznacz promienpodstawy tego stozka.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
R h
r
l
α
Najpierw liczymy objetosc kuli
VK =43
πR3 = 36π.
Z załozen mamy √5
5= sin α =
hl
.
Tworzaca l mozemy wyznaczyc z twierdzenia Pitagorasa
l =√
h2 + r2.
Zatem otrzymujemy układ równan36π = VS = 1
3 Pph = 13 πr2h√
55 = h√
h2+r2 .
Przekształcamy pierwsze równanie
36π =13
πr2h / · 3π
108 = r2h ⇒ r2 =108
h.
22
Teraz przekształcamy drugie równanie i nastepnie podstawimy wynik z pierwszego√
55
=h√
h2 + r2√
5 ·√
h2 + r2 = 5h /()2
5h2 + 5r2 = 25h2 / : 5
r2 − 4h2 = 0108
h− 4h2 = 0 / : 4
27− h3
h= 0
27− h3 = 0 ⇒ h = 3.
Zatemr2 =
1083
= 36 ⇒ r = 6.
Odpowiedz: 6
ZADANIE 30Srodek P tworzacej stozka połaczono z koncami A i B srednicy koła w podstawie stozka tak,ze AP = BP. Wiedzac, ze kat rozwarcia stozka jest równy 60, oblicz katy trójkata ABP.
A
B
P
ROZWIAZANIE
Kluczowe w tym zadaniu jest zauwazanie, ze wysokosc PO trójkata ABP jest równa pro-mieniowi podstawy stozka.
A
B
P
K LO
S
23
Mozna to zrobic na rózne sposoby, np. PO łaczy srodki boków w trójkacie KLS, wiecPO = 1
2 SK, ale z załozenia trójkat KLS jest równoboczny (bo jest równoramienny z katem60), zatem
PO =12
SK =12
KL = OK.
Inny sposób, to popatrzec na trójkat POL. Jest on podobny do trójkata SKL (bo PO łaczysrodki boków w SKL), wiec tez jest równoboczny. Zatem PO = OL.
Tak czy inaczej, trójkaty POA i POB sa prostokatne i równoramienne, czyli
]PAB = ]PBA = 45.
Stad ]APB = 90.
Odpowiedz: ]PAB = ]PBA = 45, ]APB = 90
ZADANIE 31
Tangens kata nachylenia sciany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowegoczworokatnego jest równy 2
3 . Oblicz tangens nachylenia krawedzi bocznej do płaszczyznypodstawy tego ostrosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku
αa
h
β
Wyznaczamy długosc krawedzi podstawy
tg β =h12 a
23=
2ha
⇒ a = 3h.
Obliczamy długosc przekatnej podstawy
d = a√
2 = 3h√
2.
Teraz mozemy juz obliczyc szukana wartosc
tg α =h
12 d
=2h
3h√
2=
2√
23 · 2 =
√2
3.
Odpowiedz:√
23
24
ZADANIE 32
Powierzchnia boczna stozka po rozwinieciu na płaszczyzne jest wycinkiem koła o promie-niu 3 i kacie srodkowym 120 (zobacz rysunek). Oblicz objetosc tego stozka.
1203
o
ROZWIAZANIE
Aby obliczyc objetosc stozka, potrzebujemy promien podstawy r i wysokosc H. Zauwazmy,ze długosc łuku podanego wycinka kołowego, to dokładnie długosc okregu w podstawiestozka. Pozwoli nam to wyliczyc promien podstawy:
- długosc łuku odcinka kołowego: 13 · 2π · 3 = 2π,
- długosc okregu w podstawie: 2πr.
Mamy zatem 2πr = 2π, czyli r = 1 (równie dobrze moglismy wyliczyc r, korzystajac zewzoru na pole powierzchni bocznej stozka).
Pozostało wyliczyc H. Robimy to z twierdzenia Pitagorasa (rysunek):
1
3
H =√
32 − 12 =√
8 = 2√
2.
Korzystamy teraz ze wzoru na objetosc:
V =13
πr2H =13
π · 1 · 2√
2 =2√
2π
3.
Odpowiedz: 2√
2π3
25
ZADANIE 33
W graniastosłupie czworokatnym prawidłowym przekatna o długosci m jest nachylona dopłaszczyzny podstawy pod katem α. Wiadomo, ze sin α = 0, 2. Wyznacz objetosc tego gra-niastosłupa.
ROZWIAZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
a
H H
H
aA
B
C
m
α
Z rysunku widac, ze łatwo wyliczyc wysokosc graniastosłupa:
BCAC
= sin α
Hm
= 0, 2 ⇒ H = 0, 2m =m5
.
Pozostało wyliczyc krawedz a podstawy.
Sposób I
Obliczamy cos α z jedynki trygonometrycznej.
cos α =√
1− sin2 α =√
1− 0, 22 =
√1− 1
25=
√245
=2√
65
Mamy wiecABAC
= cos α
a√
2m
=2√
65
⇒ a =2√
3m5
.
Zatem objetosc graniastosłupa jest równa
V = a2 · H =12m2
25· m
5=
12m3
125.
Sposób II
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkacie prostokatnym ABC.
AB =√
AC2 − BC2 =
√m2 − m2
25=
√24m5
=2√
6m5
.
26
Stad
a√
2 =2√
6m5
⇒ a =2√
3m5
i objetosc graniastosłupa jest równa
V = a2 · H =12m2
25· m
5=
12m3
125.
Odpowiedz: V = 12m3
125
ZADANIE 34
Objetosc stozka jest równa 12π dm3, a cosinus kata α miedzy wysokoscia, a tworzaca wynosi0,8. Oblicz:
a) pole powierzchni bocznej stozka;
b) miare kata srodkowego powierzchni bocznej stozka po rozwinieciu na płaszczyznie.
ROZWIAZANIE
a) Zacznijmy od rysunku.
β
h
r
l
ll
aα
Podana informacja o kacie α powinna pozwolic nam zwiazac ze soba H i r. W połacze-niu z informacja o objetosci pozwoli to nam wyliczyc H, r, l.
Aby zwiazac ze soba H i r fajnie byłoby miec tg α. Policzmy
sin α =√
1− cos2 α =√
1− 0, 82 =√
0, 36 = 0, 6
tg α =sin α
cos α= 0, 75 =
34
rh= tg α
r =34
h.
27
Z podanej objetosci mamy
12π =13
πr2H
12 =13· 9
16H2 · H
64 = H3
H = 4.
Stad r = 3 i l =√
9 + 16 = 5.
Liczymy pole powierzchni bocznej
Pb = πrl = 15π
Odpowiedz: 15π dm2
b) Długosc łuku a jest równa długosci okregu w podstawie stozka, wiec wynosi
2πr = 6π.
A cały okrag o promieniu l ma długosc
2πl = 10π.
Zatem6π
10π=
β
2π⇒ β =
65
π.
Odpowiedz: 65 π = 216
ZADANIE 35
Krawedz podstawy graniastosłupa prawidłowego szesciokatnego ma długosc a. Przekatnesasiednich scian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka sa prostopadłe. Obliczobjetosc tego graniastosłupa.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A
B
C
90o
a
aa
a
H
a
E
28
Z podanych informacji wiemy, ze trójkat ABC jest prostokatny. Jest on tez równoramien-ny, wiec jest to dokładnie połówka kwadratu. Zatem
BC = AC√
2.
Z drugiej strony, jezeli połaczymy przeciwległe wierzchołki szesciokata w górnej podstawie,to mamy szesc trójkatów równobocznych i widac, ze odcinek BC jest dwa razy dłuzszy odwysokosci kazdego z tych trójkatów równobocznych, czyli
BC = a√
3.
Mamy zatem
a√
3 = BC = AC√
2 ⇒ AC =a√
3√2
.
Teraz z trójkata prostokatnego CEA wyliczamy wysokosc graniastosłupa.
H = EC =√
AC2 − EA2 =
√3a2
2− a2 =
a√
22
.
Mozemy teraz policzyc objetosc (korzystamy ze wzoru na pole trójkata równobocznego).
V = 6 · a2√
34· H =
3a2√
32· a√
22
=3a3√
64
.
Odpowiedz: 3a3√
64 cm3
ZADANIE 36
Wysokosc czworoscianu foremnego ma długosc 6√
3. Oblicz jego objetosc i pole powierzch-ni całkowitej.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A
B
C
D
S E
6 3
a
a
29
Zaczniemy od wyliczenia długosci a krawedzi czworoscianu. Ze wzoru na wysokosc wtrójkacie równobocznym, mamy
AE =a√
32
.
Wiemy ponadto, ze srodek trójkata równobocznego dzieli jego wysokosc w stosunku 2:1(liczac od wierzchołka), czyli
AS =23
AE =23· a√
32
=a√
33
.
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkacie ASD.
AS2 + SD2 = AD2
a2
3+ 108 = a2
108 =23
a2 ⇒ a2 = 162 ⇒ a = 9√
2.
Zatem objetosc czworoscianu jest równa (ze wzoru na pole trójkata równobocznego)
V =13· a2√
34· 6√
3 =32
a2 =32· 81 · 2 = 243.
Teraz liczymy pole powierzchni całkowitej.
Pc = 4 · a2√
34
= a2√
3 = 162√
3.
Odpowiedz: V = 243, Pc = 162√
3
ZADANIE 37
Przekatna prostopadłoscianu ma długosc 5 i tworzy z dwoma scianami prostopadłoscianukaty α i β takie, ze cos α = 3
√2
5 i cos β = 45 . Oblicz objetosc tego prostopadłoscianu.
ROZWIAZANIE
Zaczynamy oczywiscie od rysunku.
D
A B
C
E F
GH
ab
c
αβ
c
b
30
Zauwazmy, ze przy oznaczeniach z rysunku, z trójkatów prostokatnych BEH i BDHłatwo mozna wyliczyc długosci krawedzi b i c. Potrzebujemy do tego jednak wartosci sin αi sin β. Zacznijmy od ich wyliczenia
sin α =√
1− cos2 α =
√1− 18
25=
√7
5
sin β =√
1− cos2 β =
√1− 16
25=
35
.
Mamy zatemEHBH
= sin α =
√7
5⇒ b =
√7
5· 5 =
√7
DHBH
= sin β =35⇒ c =
35· 5 = 3.
Pozostało wyliczyc długosc trzeciej krawedzi prostopadłoscianu, zrobimy to korzystajac zpodanej długosci jego przekatnej.
BH2 = BD2 + DH2 = AB2 + AD2 + DH2
25 = a2 + b2 + c2
a2 = 25− 7− 9 = 9 ⇒ a = 3.
Zatem objetosc jest równaV = abc = 3 ·
√7 · 3 = 9
√7
Odpowiedz: 9√
7
ZADANIE 38
W graniastosłupie prawidłowym czworokatnym ABCDEFGH przekatna AC podstawy madługosc 4. Kat ACE jest równy 60. Oblicz objetosc ostrosłupa ABCDE przedstawionego naponizszym rysunku.
A B
CD
E F
GH
ROZWIAZANIE
Obliczmy najpierw długosc krawedzi podstawy. Korzystajac ze wzoru na długosc przekat-nej kwadratu mamy
4 = AC = AB√
2 ⇒ AB =4√2= 2√
2.
31
Liczymy teraz wysokosc ostrosłupa. Patrzymy na trójkat prostokatny ACE.
AEAC
= tg]ACE
AE = 4√
3.
Liczymy objetosc ostrosłupa
V =13
PABCD · AE =13· (2√
2)2 · 4√
3 =32√
33
.
Odpowiedz: V = 32√
33
32
ZADANIE 1
Oblicz wartosci pozostałych funkcji trygonometrycznych kata ostrego α jezeli sin α = 0, 6.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Najpierw liczymy cos α (z jedynki trygonometrycznej).
cos2 α = 1− sin2 α = 1− 0, 36 = 0, 64 ⇒ cos α = ±0, 8.
Poniewaz α jest katem ostrym, wiec cosinus jest dodatni, czyli cos α = 0, 8. Pozostałe funkcjewyznaczamy z definicji
tg α =sin α
cos α=
0, 60, 8
= 0, 75
ctg α =cos α
sin α=
0, 80, 6
=43
.
Sposób II
Rysujemy trójkat prostokatny o bokach 6 i 10 tak, aby sin α = 610 .
610
8α
Na mocy twierdzenia Pitagorasa druga przyprostokatna ma długosc√102 − 62 =
√64 = 8.
Teraz łatwo odczytac pozostałe funkcje trygonometryczne kata α.
cos α =8
10= 0, 8
tg α =68= 0, 75
ctg α =86=
43
.
Odpowiedz: cos α = 0, 8, tg α = 0, 75, ctg α = 43
ZADANIE 2
Uzasadnij, ze jezeli cos α 6= 0 to prawda jest, ze (1 + sin α) ·(
1cos α − tg α
)= cos α.
1
X Trygonometria.
ROZWIAZANIE
Przekształcamy lewa strone
(1 + sin α) ·(
1cos α
− tg α
)= (1 + sin α) ·
(1
cos α− sin α
cos α
)=
=(1 + sin α)(1− sin α)
cos α=
1− sin2 α
cos α=
cos2 α
cos α= cos α.
Po drodze skorzystalismy z jedynki trygonometrycznej sin2 α + cos2 α = 1 i z równoscitg α = sin α
cos α .
ZADANIE 3
Oblicz wartosc wyrazenia tg2 α− 3 cos2 α, jezeli sin α =√
32 i α jest katem ostrym.
ROZWIAZANIE
Jezeli sin α =√
32 to α = 60 i mamy
tg2 α− 3 cos2 α = tg2 60 − 3 cos2 60 =
= (√
3)2 − 3 · 14= 3− 3
4=
94
.
Odpowiedz: 94
ZADANIE 4
Wiedzac, ze α jest katem ostrym i tg α + 1tg α = 4 oblicz sin α cos α.
ROZWIAZANIE
Liczymy
tg α +1
tg α= 4
sin α
cos α+
cos α
sin α= 4
sin2 α
cos α sin α+
cos2 α
sin α cos α= 4
sin2 α + cos2 α
sin α cos α= 4
1sin α cos α
= 4 ⇒ sin α cos α =14
.
Zauwazmy, ze w rozwiazaniu nie miało znaczenia to, ze kat α jest ostry.
Odpowiedz: 14
ZADANIE 5
Porównaj liczby: a = ctg2 α · cos2 α i b = ctg2 α− cos2 α, jezeli α = 60.
2
ROZWIAZANIE
Mamy cos 60 = 12 i ctg 60 =
√3
3 . Zatem
a =13· 1
4=
112
b =13− 1
4=
4− 312
=1
12.
Odpowiedz: a = b
ZADANIE 6
Posługujac sie wzorem tg(α− β) =tg α−tg β
1+tg α tg β oblicz tg 15.
ROZWIAZANIE
Liczymy
tg 15 = tg(45 − 30) =tg 45 − tg 30
1 + tg 45 tg 30=
1−√
33
1 + 1 ·√
33
=
=3−√
33 +√
3=
(3−√
3)2
(3 +√
3)(3−√
3)=
9− 6√
3 + 39− 3
=12− 6
√3
6= 2−
√3.
Odpowiedz: tg 15 = 2−√
3
ZADANIE 7
Sprawdz tozsamosc: (cos α + sin α)2 + (cos α− sin α)2 = 2.
ROZWIAZANIE
Bedziemy korzystac ze wzorów
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
sin2 α + cos2 α = 1.
Liczymy
(cos α + sin α)2 + (cos α− sin α)2 =
= cos2 α + 2 cos α sin α + sin2 α + cos2 α− 2 cos α sin α + sin2 α =
= 2(cos2 α + sin2 α) = 2.
ZADANIE 8
Kat α jest ostry i sin αcos α + cos α
sin α = 2. Oblicz wartosc wyrazenia sin α cos α.
3
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podana równosc.
sin α
cos α+
cos α
sin α= 2
sin2 α + cos2 α
sin α cos α= 2
1sin α cos α
= 2
sin α cos α =12
.
Odpowiedz: 12
ZADANIE 9
Oblicz wartosc wyrazenia tg2 α+tg5 α
tg3 α+1 jezeli α = 30.
ROZWIAZANIE
Liczymy
tg2 α + tg5 α
tg3 α + 1=
tg2 α(1 + tg3 α)
tg3 α + 1= tg2 α =
(√3
3
)2
=13
.
Odpowiedz: 13
ZADANIE 10
Oblicz wartosc wyrazenia W =(
tg α + 1tg α
)sin α cos α.
ROZWIAZANIE
Skorzystamy z definicji tangensa
tg α =sin α
cos α.
Liczymy
W =
(tg α +
1tg α
)sin α cos α =
(sin α
cos α+
cos α
sin α
)sin α cos α =
= sin2 α + cos2 α = 1.
Odpowiedz: 1
ZADANIE 11
Kat α jest ostry i sin α = 14 . Oblicz 3 + 2 tg2 α.
4
ROZWIAZANIE
Najpierw wyliczmy cos α (z jedynki trygonometrycznej).
cos α =√
1− sin2 α =
√1− 1
16=
√154
.
Mamy zatem
3 + 2 tg2 α = 3 + 2(
sin α
cos α
)2
= 3 + 2
(14√154
)2
= 3 +215
=4715
.
Odpowiedz: 4715
ZADANIE 12
Oblicz a− b, gdy a = sin4 α− cos4 α, b = 1− 4 sin2 α cos2 α dla α = 60.
ROZWIAZANIE
Poniewaz
sin 60 =
√3
2
cos 60 =12
,
mamy
a = sin4 α− cos4 α =9
16− 1
16=
816
=12
b = 1− 4 sin2 α cos2 α = 1− 4 · 34· 1
4= 1− 3
4=
14
a− b =12− 1
4=
14
.
Odpowiedz: 14
ZADANIE 13
Kat α jest katem ostrym i tg α = 4. Wyznacz sinus i cosinus tego kata.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Szukane wartosci wyznaczymy z układu równantg α = sin α
cos α = 4sin2 α + cos2 α = 1.
5
Z pierwszego równania wyznaczamy sin α = 4 cos α i podstawiamy do drugiego równania
(4 cos α)2 + cos2 α = 1
17 cos2 α = 1
cos α =
√17
17lub cos α = −
√17
17.
Poniewaz α jest katem ostrym, wiec zarówno sinus jak i cosinus maja wartosci dodatnie.Zatem mozemy odrzucic rozwiazanie ujemne. Stad otrzymujemy, ze
sin α = 4 cos α =4√
1717
.
Sposób II
Narysujmy trójkat prostokatny, w którym tanges ma wartosc 4
α
4
1
c
Obliczamy długosc przeciwprostokatnej z twierdzenia Pitagorasa
c =√
42 + 12 =√
17.
Teraz wystarczy tylko podstawic i obliczyc szukane wartosci
sin α =4√17
=4√
1717
cos α =1√17
=
√17
17.
Odpowiedz: sin α = 4√
1717 , cos α =
√17
17
ZADANIE 14
Wykaz, ze nie istnieje kat α, taki, ze cos α = 35 i tg α = 3
4 .
ROZWIAZANIE
Sposób I
6
Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy wartosc sinus
sin α =√
1− cos2 α =
√1− 9
25=
45
.
To jednak nie zgadza sie z podanym tangensem, bo w takim razie
sin α
cos α=
4535=
43
.
Zatem nie istnieje kat α który spełniałby obie równosci.
Sposób II
Ze wzoru na tangens wyznaczamy sinus
tg α =sin α
cos α
sin α = cos α · tg α =35· 3
4=
920
.
Liczymy sume kwadratów sinusa i cosinusa
sin2 α + cos2 α =81
400+
925
=225400
.
Otrzymalismy sprzecznosc poniewaz dla dowolnego α
sin2 α + cos2 α = 1.
ZADANIE 15
Kat α jest katem ostrym. Wiedzac, ze sin α cos α = 13 , oblicz wartosc wyrazenia tg α
sin2 α.
ROZWIAZANIE
Liczymytg α
sin2 α=
sin αcos α
sin2 α=
sin α
sin2 α cos α=
1sin α cos α
=113
= 3.
Odpowiedz: 3
ZADANIE 16
Wiedzac, ze α jest katem ostrym i tg α + 1tg α = 4, oblicz tg2 α +
(1
tg α
)2.
ROZWIAZANIE
Sposób I
7
Podnosimy dana równosc stronami do kwadratu.(tg α +
1tg α
)2
= 16
tg2 α + 2 tg α · 1tg α
+
(1
tg α
)2
= 16
tg2 α + 2 +(
1tg α
)2
= 16
tg2 α +
(1
tg α
)2
= 14.
Sposób II
Przekształcmy dana równoscsin α
cos α+
cos α
sin α= 4
sin2 α + cos2 α
cos α sin α= 4
1cos α sin α
= 4
cos α sin α =14
.
Teraz przekształcmy wyrazenie, które mamy obliczyc
sin2 α
cos2 α+
cos2 α
sin2 α=
sin4 α + cos4 α
cos2 α sin2 α=
=(sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α cos2 α
cos2 α sin2 α=
1− 18
116
=781
16
= 14.
Sposób III
Podstawmy t = tg α. Mamy wtedy
t +1t= 4 / · t
t2 + 1 = 4t
t2 − 4t + 1 = 0
∆ = 16− 4 = 12 = (2√
3)2
t =4− 2
√3
2= 2−
√3 ∨ t =
4 + 2√
32
= 2 +√
3.
Mamy wiec
tg2 α +
(1
tg α
)2
= t2 +1t2 =
= (2−√
3)2 +
(1
2−√
3
)2
= (2−√
3)2 + (2 +√
3)2
8
lub
t2 +1t2 = (2 +
√3)2 +
(1
2 +√
3
)2
= (2 +√
3)2 + (2−√
3)2.
W kazdym z przypadków mamy ten sam wynik
(2−√
3)2 + (2 +√
3)2 = 4− 4√
3 + 3 + 4 + 4√
3 + 3 = 14.
Odpowiedz: 14
ZADANIE 17
Wiedzac, ze sin α + cos α = 54 , oblicz sin α · cos α.
ROZWIAZANIE
Podnosimy równosc
sin α + cos α =54
do kwadratu.sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α =
2516
(sin2 α + cos2 α) + 2 sin α cos α =2516
1 + 2 sin α cos α =2516
2 sin α cos α =2516− 1 =
916
sin α cos α =9
32.
Odpowiedz: 932
ZADANIE 18
Kat α jest ostry oraz tg α = 43 . Oblicz sin α + cos α.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Zacznijmy od wyliczenia wartosci sin α i cos α.
sin α
cos α= tg α =
43
/()2
sin2 α
cos2 α=
169
1− cos2 α
cos2 α=
169
9− 9 cos2 α = 16 cos2 α
9 = 25 cos2 α ⇒ cos α =35
.
9
Opuszczajac kwadrat korzystalismy z tego, ze cos α > 0 (bo α jest ostry). Wyliczmy jeszczesin α.
sin2 α = 1− cos2 α =1625
⇒ sin α =45
.
Teraz mozemy wyliczyc wartosc podanego wyrazenia
sin α + cos α =35+
45=
75
.
Sposób IIWartosci funkcji trygonometrycznych sin α i cos α moglismy tez wyliczyc z trójkata prosto-katnego o przyprostokatnych 4x i 3x (zeby tangens był równy 4
3 ).
3x
4x
c
α
Z twierdzenia Pitagorasa mamy
c =√(3x)2 + (4x)2 =
√25x2 = 5x.
Zatemsin α =
4xc
=4x5x
=45
cos α =3xc
=3x5x
=35
.
Wartosc wyrazenia sin α + cos α liczymy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedz: 75
ZADANIE 19Kat α jest ostry i sin α−cos α
cos α = 2 sin α−cos αsin α . Oblicz wartosc wyrazenia sin α cos α.
ROZWIAZANIE
Przekształcmy podana równosc.
sin α− cos α
cos α=
2 sin α− cos α
sin α/ · sin α cos α
(sin α− cos α) sin α = (2 sin α− cos α) cos α
sin2 α− sin α cos α = 2 sin α cos α− cos2 α
sin2 α + cos2 α = 3 sin α cos α
1 = 3 sin α cos α / : 3
sin α cos α =13
.
Odpowiedz: 13
10
ZADANIE 1
Rzucono dwiema szesciennymi kostkami do gry i okreslono zdarzeniaA - na kazdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niz 8.Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A ∪ B.
ROZWIAZANIE
Bedziemy chcieli skorzystac ze wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Na mocy powyzszego wzoru, do obliczenia P(A ∪ B) wystarczy policzyc P(A ∩ B), P(A),P(B).
Najpierw obliczmy ile jest wszystkich zdarzen elementarnych
|Ω| = 6 · 6 = 36.
Wypiszmy zdarzenia sprzyjajace A
(1, 1), (1, 3), (1, 5)(3, 1), (3, 3), (3, 5)(5, 1), (5, 3), (5, 5).
ZatemP(A) =
936
=14
.
Wypiszmy zdarzenia sprzyjajace B
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(4, 4), (4, 5), (4, 6)(3, 5), (3, 6)(2, 6).
ZatemP(B) =
1536
=5
12.
Zauwazmy, ze zdarzenia(3, 5), (5, 3), (5, 5),
sprzyjaja jednoczesnie A i B, wiec
P(A ∩ B) =336
=1
12.
Pozostało to podstawic otrzymane wyniki
P(A ∪ B) =14+
512− 1
12=
712
.
Odpowiedz: P(A ∪ B) = 712
1
XI Rachunek prawdopodobieństwa.
ZADANIE 2
W pudełku zmieszano 30 ziaren fasoli, 20 ziaren ciecierzycy i 50 ziaren grochu.
a) Losujemy jedno ziarenko. Jakie jest prawdopodobienstwo wylosowania ziarenka cie-cierzycy?
b) Jako pierwsze wylosowano ziarenko fasoli. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze drugimwylosowanym ziarenkiem nie bedzie ziarenko fasoli?
c) Z pudełka usunieto po 10% ziarenek kazdego rodzaju. Jakie jest prawdopodobienstwowylosowania ziarenka fasoli?
ROZWIAZANIE
a) Poniewaz jest 20 ziaren ciecierzycy, prawdopodobienstwo wynosi
P =20
30 + 20 + 50=
20100
=15
.
Odpowiedz: 15
b) Losujac drugie ziarenko, mamy 99 ziaren i 29 z nich to ziarenka fasoli. Zatem prawdo-podobienstwo wynosi
P =7099
.
Odpowiedz: 7099
c) Po usunieciu ziarenek, w pudełku zostanie 27 ziaren fasoli, 18 ziaren ciecierzycy i 45ziaren grochu. Zatem prawdopodobienstwo wynosi
2790
=3
10.
Odpowiedz: 310
ZADANIE 3
Oblicz prawdopodobienstwo, ze losowo wybrana liczba trzycyfrowa ma wszystkie cyfryrózne.
2
ROZWIAZANIE
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych? Mozna to policzyc na rózne sposoby, np. wypisujacje
100, 101 = 100 + 1, . . . , 999 = 100 + 899.
Liczb trzycyfrowych jest zatem tyle, ile jest liczb od 0 do 899, czyli 900.Inny sposób jest nastepujacy: pierwsza cyfre mozemy wybrac na 9 sposobów (bo nie
moze byc 0), a druga i trzecia na 10 sposobów. Jest wiec
9 · 10 · 10 = 900
takich liczb.Ile jest liczb z róznymi cyframi? - pierwsza cyfre takiej liczby mozemy wybrac na 9 spo-
sobów (nie moze byc 0). Druga tez na 9 sposobów (bo nie moze byc cyfra, która napisalismyna pierwszym miejscu), a trzecia na 8 sposobów (bo mamy juz dwie cyfry zajete). Zatemprawdopodobienstwo wynosi
9 · 9 · 8900
=9 · 8100
=1825
= 0, 72.
Odpowiedz: 0,72
ZADANIE 4
Dane sa zbiory liczb całkowitych: 1, 2, 3, 4, 5 i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Z kazdego z tych zbiorówwybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobienstwo, ze suma wylosowanychliczb bedzie podzielna przez 5.
ROZWIAZANIE
Wszystkich mozliwosci wylosowania pierwszej liczby jest 5 a drugiej 7, czyli razem 5 · 7 =35. Łatwo policzyc, ze zdarzen sprzyjajacych jest 7:
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (3, 7), (4, 1), (4, 6), (5, 5).
Szukane prawdopodobienstwo wynosi zatem
735
=15
.
Odpowiedz: 15
ZADANIE 5
Kazdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN.Kod ten składa sie z czterech cyfr (cyfry moga sie powtarzac, ale kodem PIN nie moze byc0000). Oblicz prawdopodobienstwo, ze w losowo utworzonym kodzie PIN zadna cyfra sienie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
3
ROZWIAZANIENajpierw policzmy ile jest wszystkich mozliwych numerów PIN. Kazda z cyfr mozna wy-brac na 10 sposobów, czyli wszystkich mozliwosci wyboru 4 cyfr jest jest 10 · 10 · 10 · 10 =104. Jeszcze trzeba odjac 1 PIN odpowiadajacy 0000. W sumie mamy zatem 104 − 1 = 9999mozliwych pinów.
A ile jest tych z róznymi cyframi? Pierwsza cyfre mozemy wybrac dowolnie, czyli mamy10 mozliwosci. Dla drugiej mamy juz tylko 9 mozliwosci (bo nie mozemy wziac tej, którawybralismy na pierwszym miejscu), dla trzeciej 8, a dla czwartej 7. Czyli razem jest 10 · 9 ·8 · 7 mozliwosci. Szukane prawdopodobienstwo wynosi zatem
10 · 9 · 8 · 79999
=10 · 8 · 7
1111=
5601111
.
Liczba 1111 oczywiscie nie jest podzielna przez ani przez 2 ani przez 5. Mozna tez spraw-dzic, ze nie dzieli sie przez 7. Oznacza to, ze otrzymany ułamek jest nieskracalny.
Odpowiedz: 5601111
ZADANIE 6O zdarzeniach losowych A i B wiemy, ze: P(A) = 1
2 , P(B) = 23 , P(A ∪ B) = 4
5 . Oblicz:
a) P(A ∩ B)
b) P(A \ B)
ROZWIAZANIE
a) Korzystajac z łatwego do wyprowadzenia wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
mamy
P(A ∩ B) = P(A) + P(B)− P(A ∪ B) =12+
23− 4
5=
15 + 20− 2430
=1130
.
Odpowiedz: 1130
b) Jezeli narysujemy sobie diagram Vena
A\B B\AA B
to łatwo zauwazyc, ze
P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B) =12− 11
30=
15− 1130
=430
=2
15.
Odpowiedz: 215
4
ZADANIE 7
Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucic dwa orły w trzech rzutach moneta, czy trzy orływ czterech rzutach?
ROZWIAZANIE
Umówmy sie, ze za wyniki uwazamy uporzadkowane ciagi otrzymanych reszek/orłów.Mamy wtedy przy trzech i czterech rzutach odpowiednio
|Ω3| = 23 = 8
|Ω4| = 24 = 16.
Przy trzech rzutach moneta dwa orły mozemy otrzymac na 3 sposoby
(O, O, R), (O, R, O), (R, O, O)
i prawdopodobienstwo wynosi 38 .
Przy czterech rzutach moneta trzy orły mozemy otrzymac na 4 sposoby
(O, O, O, R), (O, O, R, O), (O, R, O, O), (R, O, O, O)
i prawdopodobienstwo wynosi4
16=
28<
38
.
Odpowiedz: Dwa orły przy trzech rzutach.
ZADANIE 8
W garderobie pani Joanny wisza 3 zakiety: biały, zielony i granatowy oraz 4 spódnice: czar-na, biała, granatowa i szara. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia, ze wybierajac losowojeden zakiet i jedna spódnice, pani Joanna skompletuje strój w jednym kolorze.
ROZWIAZANIE
Pani Joanna moze wybrac jedna spódnice i jeden zakiet na
|Ω| = 3 · 4 = 12
sposobów.Łatwo wypisac wszystkie zdarzenia sprzyjajace: wybrany strój musi byc albo biały, albo
granatowy. Zatem interesujace nas prawdopodobienstwo jest równe
p =2
12=
16
.
Odpowiedz: 16
ZADANIE 9Rzucamy trzy razy symetryczna szescienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwootrzymania iloczynu oczek równego 12.
5
ROZWIAZANIE
Jezeli o zdarzeniach elementarnych myslimy jak o ciagach wyników długosci 3, to mamy
|Ω| = 6 · 6 · 6 = 63.
Policzmy zdarzenia sprzyjajace. Liczbe 12 mozemy napisac jako iloczyn trzech liczb na 3sposoby:
12 = 1 · 2 · 612 = 1 · 3 · 412 = 2 · 2 · 3.
Aby policzyc liczbe zdarzen sprzyjajacych musimy jednak uwzglednic fakt, ze dla nas waz-na jest kolejnosc wylosowanych liczb, czyli np. wyniki (1, 2, 6) i (1, 6, 2) sa rózne.
Jeden ze sposobów to wypisanie wszystkich mozliwosci:
(1, 2, 6), (1, 6, 2), (2, 1, 6), (2, 6, 1), (6, 1, 2), (6, 2, 1)(1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1)(3, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 2, 3).
Inny sposób to zauwazenie, ze kolejnosc trzech liczb: 1,2,6 mozemy ustalic na
3! = 3 · 2 = 6
sposobów (ustalamy, która ma byc pierwsza, i która druga). Podobnie jest z ustaleniem ko-lejnosci liczb 1,3,4. Kolejnosc liczb 2,2,3 mozna ustalic ma 3 sposoby (wybór miejsca dla 3).
W sumie jest wiec 15 zdarzen sprzyjajacych i prawdopodobienstwo wynosi
P =1563 =
572
.
Odpowiedz: 572
ZADANIE 10
Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10 losujemy dwie liczby (moga sie powtarzac). Oblicz praw-dopodobienstwo, ze suma wylosowanych liczb jest parzysta.
ROZWIAZANIE
Kazda liczbe mozemy wybrac na 7 sposobów, wiec
|Ω| = 72 = 49.
Policzmy teraz zdarzenia sprzyjajace. Mamy dwie mozliwosci.Obie liczby sa nieparzyste. Takich zdarzen jest
4 · 4 = 16
(bo kazda z liczb mozna wybrac na 4 sposoby).Obie liczby sa parzyste. Takich zdarzen jest
3 · 3 = 9
6
(bo kazda z liczb mozna wybrac na 3 sposoby).Zatem prawdopodobienstwo jest równe
16 + 949
=2549
.
Odpowiedz: 2549
ZADANIE 11
W dwóch pudełkach sa cukierki. W pierwszym pudełku jest 15 cukierków czekoladowych i5 owocowych, a w drugim pudełku jest 20 cukierków czekoladowych i 30 cukierków owo-cowych. Losujemy cukierek najpierw z pierwszego, a potem z drugiego pudełka. Jakie jestprawdopodobienstwo, ze w wyniku losowania otrzymamy dwa cukierki czekoladowe?
ROZWIAZANIE
Przyjmijmy, ze zdarzenia sprzyjajace to uporzadkowane pary wylosowanych cukierków.Mamy zatem
|Ω| = 20 · 50.
Zdarzen sprzyjajacych jest15 · 20,
zatem prawdopodobienstwo wynosi
P =15 · 2020 · 50
=1550
=3
10.
Odpowiedz: 310
ZADANIE 12
W jednej urnie sa 3 kule: czerwona, biała i zielona, a w drugiej urnie sa 2 kule: czerwona ibiała. Losujemy po jednej kuli z kazdej urny. Jakie jest prawdopodobienstwo wyciagnieciadwóch kul w tym samym kolorze?
ROZWIAZANIE
Za zdarzenia elementarne przyjmijmy pary wylosowanych kul. Zatem
|Ω| = 3 · 2 = 6.
Sa tylko dwa zdarzenia sprzyjajace
(C, C), (B, B).
Zatem prawdopodobienstwo wynosi26=
13
.
Odpowiedz: 13
7
ZADANIE 13Dla zdarzen A, B ⊆ Ω spełnione sa warunki P(A′) = 2
3 , P(B′) = 29 , P(A ∪ B) = 4
5 . ObliczP(A ∩ B).
ROZWIAZANIEBedziemy korzystac ze wzoru na prawdopodobienstwo sumy
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Zdarzenia A′, B′ sa zdarzeniami przeciwnymi do zdarzen A, B, wiec
P(A) = 1− P(A′) = 1− 23=
13
P(B) = 1− P(B′) = 1− 29=
79
.
Teraz juz łatwo policzyc prawdopodobienstwo przekroju
P(A ∩ B) = P(A) + P(B)− P(A ∪ B) =13+
79− 4
5=
1445
.
Odpowiedz: 1445
ZADANIE 14Rzucamy dwiema szesciennymi kostkami.
a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze róznica miedzy liczbami oczek wyrzuconych nakostkach (od wiekszej odejmujemy mniejsza) bedzie równa 2?
b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna róznica miedzy wynikami na kostkach (od wiek-szego odejmujemy mniejszy)?
ROZWIAZANIE
Przyjmijmy, ze zdarzenia elementarne to uporzadkowane pary wylosowanych liczb. Zatem
|Ω| = 6 · 6 = 36.
a) Jest 8 zdarzen sprzyjajacych:
(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4),
wiec prawdopodobienstwo wynosi8
36=
29
.
Odpowiedz: 29
b) Wypisujac wyniki odpowiadajace róznym róznicom, łatwo zobaczyc, ze najwiecej jestzdarzen z róznica 1:
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5).
Odpowiedz: Najbardziej prawdopodobna jest róznica równa 1
8
ZADANIE 15
Wiadomo, ze P(A ∪ B) = 34 , P(A ∩ B) = 1
2 , P(A′) = 13 . Oblicz prawdopodobienstwa zda-
rzen A i B.
ROZWIAZANIE
Prawdopodobienstwo A mamy za darmo
P(A) = 1− P(A′) =23
.
Aby obliczyc P(B) skorzystamy ze wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Mamy wiec
P(B) = P(A ∪ B)− P(A) + P(A ∩ B) =34− 2
3+
12=
9− 8 + 612
=7
12.
Odpowiedz: P(A) = 23 , P(B) = 7
12
ZADANIE 16
Rzucamy trzema kostkami. Prawdopodobienstwo otrzymania sumy oczek równej 3 wynosi1
216 , a prawdopodobienstwo otrzymania sumy oczek równej 4 wynosi 172 . jakie jest prawdo-
podobienstwo tego, ze suma otrzymanych oczek bedzie mniejsza od 5?
ROZWIAZANIE
Suma oczek nie moze byc mniejsza od 3, wiec skoro jest mniejsza od 5, to musi byc równa 3lub 4. Zdarzenia te sa rozłaczne (P(A∩ B) = 0), wiec szukane prawdopodobienstwo wynosi
1216
+1
72=
4216
=1
54.
Odpowiedz: 154
ZADANIE 17
W kazdym z dwóch koszyków znajduje sie 5 klocków czerwonych, 10 zielonych i 6 białych.Wyjmujemy losowo po jednym klocku z kazdego koszyka. Oblicz prawdopodobienstwo,ze:
a) wylosujemy dwa klocki białe;
b) wylosujemy klocki tego samego koloru.
9
ROZWIAZANIE
Powiedzmy, ze zdarzenia elementarne to pary otrzymanych klocków. Zatem
|Ω| = 21 · 21.
a) Z kazdego z koszyków mozemy wybrac biały klocek na 6 sposobów. Zatem jest
6 · 6
zdarzen sprzyjajacych. Prawdopodobienstwo wynosi
6 · 621 · 21
=2 · 27 · 7 =
449
.
Odpowiedz: 449
b) Zdarzenia sprzyjajace liczymy podobnie jak poprzednio, ale teraz mamy trzy mozli-wosci. Zatem jest ich
5 · 5 + 10 · 10 + 6 · 6.
Prawdopodobienstwo wynosi
25 + 100 + 36441
=161441
.
Odpowiedz: 161441
ZADANIE 18Z talii 52 kart losujemy jedna karte.
a) Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen:A – losowo wybrana karta jest pikiem.B – losowo wybrana karta jest asem.
b) Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen A ∩ B oraz A ∪ B.
ROZWIAZANIE
a) W talii sa cztery kolory: piki, trefle, kiery i kara. Zatem w talii mamy
524
= 13 pików.
ZatemP(A) =
1352
=14
.
W talii sa cztery asy, wiec
P(B) =4
52=
113
.
Odpowiedz: P(A) = 14 , P(B) = 1
13
10
b) Zauwazmy, ze zdarzenie A ∩ B oznacza wylosowanie asa pik, czyli
P(A ∩ B) =1
52.
Zdarzenie A ∪ B obliczymy ze wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Liczymy
P(A ∪ B) =14+
113− 1
52=
1352
+4
52− 1
52=
1652
=4
13.
Odpowiedz: P(A ∩ B) = 152 , P(A ∪ B) = 4
13
ZADANIE 19
W urnie jest 16 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 16. Kule z numerami od 1 do 3 sabiałe, z numerami od 4 do 7 czerwone, a pozostałe sa zielone. Losujemy jedna kule. Obliczprawdopodobienstwo tego, ze wylosowana kula jest czerwona lub zielona.
ROZWIAZANIE
Wszystkich zdarzen elementarnych jest 16.Sa 4 kule czerwone i 9 zielonych, zatem prawdopodobienstwo wynosi
P =1316
.
Odpowiedz: 1316
ZADANIE 20
Losujemy jedna z 52 kart. Jakie jest prawdopodobienstwo wyciagniecia asa lub króla?
ROZWIAZANIE
W talii sa 4 asy i 4 króle, zatem prawdopodobienstwo wynosi
P =8
52=
213
.
Odpowiedz: 213
ZADANIE 21
Rzucamy dwiema szesciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na pierwszejkostce wypadło dwa razy mniej oczek niz na drugiej?
11
ROZWIAZANIE
Przyjmijmy, ze zdarzenia elementarne to uporzadkowane pary wylosowanych liczb. Zatem
|Ω| = 6 · 6 = 36.
Mamy 3 zdarzenia sprzyjajace(1, 2), (2, 4), (3, 6).
Zatem prawdopodobienstwo wynosi
336
=1
12.
Odpowiedz: 112
ZADANIE 22
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedna liczbe. Oblicz praw-dopodobienstwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
ROZWIAZANIE
Liczb dwucyfrowych jest|Ω| = 99− 9 = 90
(od liczb od 1 do 99 odejmujemy 9 jednocyfrowych). Ile jest liczb podzielnych przez 15? –łatwo je wypisac:
15, 30, 45, 60, 75, 90.
Zatem prawdopodobienstwo jest równe
690
=1
15.
Odpowiedz: 115
ZADANIE 23
Ze zbioru A = x ∈ C : x2 + x− 6 6 0 losujemy 2 liczby a i b bez zwracania i tworzymyfunkcje f (x) = ax + b. Oblicz prawdopodobienstwo otrzymania funkcji malejacej.
ROZWIAZANIE
Na poczatek rozszyfrujmy zbiór A.
x2 + x− 6 6 0∆ = 1 + 24 = 25x = −3 ∨ x = 2x ∈ 〈−3, 2〉.
12
ZatemA = −3,−2,−1, 0, 1, 2
i|Ω| = 6 · 5 = 30.
Aby funkcja była malejaca, musi miec ujemny współczynnik kierunkowy, mozemy taki wy-losowac na 3 sposoby. Współczynnik b jest dowolny (ale rózny od a), co daje nam prawdo-podobienstwo
3 · 530
=12
.
Odpowiedz: 12
ZADANIE 24
Ze zbioru liczb naturalnych spełniajacych nierównosc x−32 −
x−13 < 0 losujemy dwie rózne
liczby (a, b). Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia: punkt o współrzednych (a, b) nalezydo wykresu funkcji y = x + 4.
ROZWIAZANIE
Wyznaczamy liczby spełniajace nierównosc
x− 32− x− 1
3< 0 / · 6
3(x− 3)− 2(x− 1) < 03x− 9− 2x + 2 < 0x− 7 < 0 ⇒ x < 7.
Jedynymi liczbami naturalnymi spełniajacymi ta nierównosc sa
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Poniewaz losujemy dwie rózne liczby ze zbioru rozwiazan nierównosci, wiec mozemy tozrobic na
|Ω| = 7 · 6 = 42 sposobów.
Zastanówmy sie, jakie pary liczb naleza do wykresu funkcji y = x + 4. Widac, ze
x = 0 ⇒ y = 4x = 1 ⇒ y = 5x = 2 ⇒ y = 6.
Jezeli natomiast x > 2 to x + 4 > 6 i wychodzimy poza zbiór rozwiazan nierównosci.Zatem prawdopodobienstwo jest równe
342
=1
14.
Odpowiedz: 114
13
ZADANIE 25
Wiadomo ze P(A \ B) = 12 , P(B \ A) = 1
5 , P(A ∪ B) = 78 . Oblicz P(A ∩ B).
ROZWIAZANIE
Jezeli narysujemy diagram, to jest jasne, ze
P(A ∩ B) = P(A ∪ B)− P(A \ B)− P(B \ A) =78− 1
2− 1
5=
35− 20− 840
=7
40.
A\B B\AA B
Odpowiedz: 740
ZADANIE 26
Sposród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem.Tworzymy liczbe dwucyfrowa w ten sposób, ze pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfradziesiatek, a druga cyfra jednosci tej liczby. Oblicz prawdopodobienstwo utworzenia liczbywiekszej od 52.
ROZWIAZANIE
Przyjmijmy, ze zdarzenia elementarne to pary wylosowanych cyfr, czyli
Ω = 6 · 6 = 36.
Jezeli liczba ma byc wieksza od 52 to mamy dwie mozliwosci:
a) Pierwsza cyfra jest wieksza od 5, czyli jest równa 6. Wtedy druga moze byc dowolna.W sumie jest 6 takich zdarzen.
b) Pierwsza cyfra jest równa 5. Wtedy druga cyfra musi byc wieksza od 2, czyli jest równa3,4,5 lub 6. Sa 4 takie zdarzenia.
Prawdopodobienstwo wynosi wiec
P =6 + 4
36=
1036
=5
18.
Odpowiedz: 518
14
ZADANIE 27
A i B sa takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, ze A ⊆ B oraz P(A) = 0, 3 i P(B) =0, 4. Oblicz prawdopodobienstwo P(A ∪ B).
ROZWIAZANIE
Skoro A ⊆ B mamyP(A ∪ B) = P(B) = 0, 4
(myslimy o polach kółek na obrazku).
B\AB
A
Odpowiedz: 0,4
ZADANIE 28
Rzucono dwiema szesciennymi kostkami do gry i okreslono zdarzeniaA - na kazdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niz 8.Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia A ∪ B.
ROZWIAZANIE
Bedziemy chcieli skorzystac ze wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Na mocy powyzszego wzoru, do obliczenia P(A ∪ B) wystarczy policzyc P(A ∩ B), P(A),P(B).
Najpierw obliczmy ile jest wszystkich zdarzen elementarnych
|Ω| = 6 · 6 = 36.
Wypiszmy zdarzenia sprzyjajace A
(1, 1), (1, 3), (1, 5)(3, 1), (3, 3), (3, 5)(5, 1), (5, 3), (5, 5).
ZatemP(A) =
936
=14
.
15
Wypiszmy zdarzenia sprzyjajace B
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)(4, 4), (4, 5), (4, 6)(3, 5), (3, 6)(2, 6).
ZatemP(B) =
1536
=5
12.
Zauwazmy, ze zdarzenia(3, 5), (5, 3), (5, 5),
sprzyjaja jednoczesnie A i B, wiec
P(A ∩ B) =336
=1
12.
Pozostało to podstawic otrzymane wyniki
P(A ∪ B) =14+
512− 1
12=
712
.
Odpowiedz: P(A ∪ B) = 712
ZADANIE 29
Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 zółte, wyjeto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem.Oblicz prawdopodobienstwo, ze wyjeto kule jednakowych kolorów.
ROZWIAZANIE
Najpierw obliczmy na ile sposobów mozemy wyciagnac 2 kule
10 · 10 = 100
(kule zwracamy wiec za kazdym razem losujemy sposród 10 kul).
Sposób I
Zastanówmy sie jakie beda zdarzenia sprzyjajace. Po pierwsze, mozemy wyciagnac 2 kuleczarne. Mozemy zrobic to na
6 · 6 = 36
sposobów. Druga mozliwa sytuacja to wylosowanie 2 kul zółtych. Mozemy zrobic to na
4 · 4 = 16
sposobów. Zatem prawdopodobienstwo wynosi
16 + 36100
=52
100.
16
Sposób II
Policzymy prawdopodobienstwo zdarzenia przeciwnego tzn. prawdopodobienstwo wylo-sowania kul róznych kolorów. Mozemy to zrobic na
2 · 6 · 4 = 48
sposobów (mnozymy przez dwa bo mozemy wylosowac kule czarna a nastepnie zółta, al-bo najpierw zółta, a pózniej czarna). Zatem prawdopodobienstwo wylosowania kul tegosamego koloru wynosi
1− 48100
=52
100.
Odpowiedz: 52100
ZADANIE 30
Sposród liczb naturalnych trzycyfrowych wybieramy jedna liczbe. Jakie jest prawdopodo-bienstwo wybrania liczby, która przy dzieleniu przez 11 daje reszte 3.
ROZWIAZANIE
Poniewaz100 = 99 + 1, 101 = 99 + 2, . . . , 999 = 99 + 900,
to wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900. Zatem
|Ω| = 900.
Podobnie liczymy ilosc wszystkich liczb trzycyfrowych, które przy dzielniu przez 11 dajarszte 3.
102 = 9 · 11 + 3, 113 = 10 · 11 + 3, . . . , 993 = 90 · 11 + 3.
Jest ich wiec 90-8=82 (ilosc liczb miedzy 9 a 90). Zatem szukane prawdopodobienstwo wy-nosi
P =82
900=
41450
.
Odpowiedz: 41450
ZADANIE 31
Rzucamy dwa razy symetryczna szescienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwotego, ze w kazdym rzucie otrzymamy inna liczbe oczek.
ROZWIAZANIE
Przyjmijmy, ze zdarzenia elementarne to pary wyrzuconych oczek, zatem
|Ω| = 6 · 6 = 36.
Sposób I
17
Pierwsza liczbe mozemy wybrac na 6 sposobów, a druga na 5 (bo musi byc rozna od pierw-szej). Zatem
P =5 · 636
=56
.
Sposób II
Jest 6 zdarzen sprzyjajacych zdarzeniu przeciwnemu A′:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
zatemP(A) = 1− P(A′) = 1− 6
36=
56
.
Odpowiedz: 56
ZADANIE 32
Z cyfr 0, 1, 2, 3, 5, 6 tworzymy liczbe czterocyfrowa, przy czym cyfry nie moga sie powtarzac.Jakie jest prawdopodobienstwo otrzymania liczby podzielnej przez 25?
ROZWIAZANIE
Ile róznych liczb czterocyfrowych mozemy utworzyc? – na pierwszym miejscu musi byccyfra niezerowa wiec mozemy ja wybrac na 5 sposobów, druga cyfre mozemy wybrac tezna 5 sposobów (musi byc rózna od pierwszej cyfry), trzecia na 4 sposoby i ostatnia na 3.Razem mamy
|Ω| = 5 · 5 · 4 · 3 = 52 · 12.
Teraz musimy policzyc zdarzenia sprzyjajace. Liczba jest podzielna przez 25 jezeli jej ostat-nie dwie cyfry to 00,25,50 lub 75. W naszej sytuacji mozliwe sa tylko koncówki 25 i 50.
Jezeli na koncu mamy 25, to pierwsza cyfre mozemy wybrac na 3 sposoby (nie moze byc0,2,5) i druga tez na 3 sposoby.
Jezeli na koncu jest 50, to pierwsza cyfre mozemy wybrac na 4 sposoby, a druga na 3. Wsumie daje to nam
3 · 3 + 3 · 4 = 3 · 7sposobów. Zatem prawdopodobienstwo wynosi
3 · 752 · 12
=7
25 · 4 = 0, 07.
Odpowiedz: 0,07
ZADANIE 33
Ze zbioru liczb 1, 2, 3, . . . , 10 losujemy bez zwracania dwie i od pierwszej odejmujemydruga. Oblicz prawdopodobienstwo, ze otrzymana róznica jest wieksza od 2.
18
ROZWIAZANIE
Pare liczb mozemy wylosowac na
|Ω| = 10 · 9 = 90
sposobów (kolejnosc jest wazna, bo od niej zalezy wynik odejmowania).Zdarzenia sprzyjajace (a, b) to takie, ze a > b + 2. Wypiszmy je w zaleznosci od tego ile
jest równe b.(4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (8, 1), (9, 1), (10, 1)(5, 2), (6, 2), (7, 2), (8, 2), (9, 2), (10, 2)(6, 3), (7, 3), (8, 3), (9, 3), (10, 3)(7, 4), (8, 4), (9, 4), (10, 4)(8, 5), (9, 5), (10, 5)(9, 6), (10, 6)(10, 7).
W sumie jest tych zdarzen
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =1 + 7
2· 7 = 28.
Zatem prawdopodobienstwo wynosi
P =2890
=1445
.
Odpowiedz: 1445
ZADANIE 34
Rzucamy trzy razy kostka do gry. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia polegajacego natym, ze w trzecim rzucie otrzymamy dwa razy wiecej oczek niz w pierwszym rzucie.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Przyjmijmy za zdarzenia elementarne uporzadkowane trójki wylosowanych liczb. Zatem
|Ω| = 6 · 6 · 6 = 63.
Zauwazmy, ze liczba oczek na trzeciej kostce jest jednoznacznie wyznaczona przez liczbeoczek na pierwszej kostce, a liczba oczek na drugiej kostce jest zupełnie dowolna. Ponadtoliczba oczek na pierwszej kostce nie moze byc wieksza niz 3 (bo na trzeciej kostce nie mozebyc 2 · 4 = 8). Zatem jest
6 · 3zdarzen sprzyjajacych i prawdopodobienstwo wynosi
6 · 363 =
362 =
112
.
19
Sposób II
Zauwazmy, ze w ogóle nie interesuje nas wynik otrzymany na drugiej kostce, wiec nie bierz-my jej pod uwage. Mamy zatem
|Ω| = 6 · 6 = 36.
Na pierwszej kostce musi byc jedna z liczb: 1,2,3. Na trzeciej kostce nie mamy zadnegowyboru, wiec prawdopodobienstwo wynosi
336
=1
12.
Odpowiedz: 112
ZADANIE 35
Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobien-stwo, ze przynajmniej dwa listy znajda sie w tej samej skrzynce?
ROZWIAZANIE
O zdarzeniach elementarnych myslimy jak o ciagach numerów skrzynek, do których trafiłykolejne listy. Kazdy list moze trafic do jednej z 6 skrzynek, wiec
|Ω| = 6 · 6 · 6 · 6 = 64.
Zamiast liczyc prawdopodobienstwo p zdarzenia opisanego w zadaniu, łatwiej jest policzycprawdopodobienstwo p′ zdarzenia przeciwnego, czyli zdarzenia, w którym kazdy list trafido innej skrzynki. Takich zdarzen jest
6 · 5 · 4 · 3
(pierwszy list moze trafic dowolnie, drugi do jednej z pozostałych 5 skrzynek itd.). Zatem
p′ =6 · 5 · 4 · 3
64 =5 · 4 · 3
63 =1062 =
518
.
Stad
p = 1− p′ = 1− 518
=1318
.
Odpowiedz: 1318
ZADANIE 36
Ze zbioru liczb trzycyfrowych, które nie maja dwóch takich samych cyfr losujemy jednaliczbe. Jakie jest prawdopodobienstwo otrzymania liczby, której iloczyn cyfr jest liczba nie-zerowa podzielna przez 7?
20
ROZWIAZANIE
Jezeli liczba trzycyfrowa ma miec wszystkie cyfry rózne, to pierwsza cyfre mozemy wybracna 9 sposobów (nie moze byc 0), druga tez na 9 sposobów (nie moze byc taka jak pierwsza),a trzecia na 8 sposobów (musi byc rózna od dwóch pierwszych). Zatem
|Ω| = 9 · 9 · 8.
Jezeli iloczyn cyfr ma dzielic sie przez 7, to jedna z cyfr musi byc równa 7. Ponadto wsródcyfr nie moze byc zera.
Cyfra 7 moze byc na jednej z trzech pozycji, a gdy juz ustalimy te pozycje, to pozostałedwie cyfry mozemy wybrac na
8 · 7sposobów (druga cyfra musi byc rózna od 0 i 7, a trzecia dodatkowo musi byc rózna oddrugiej). Łacznie jest wiec
3 · 8 · 7takich liczb i prawdopodobienstwo wynosi
p =3 · 8 · 79 · 9 · 8 =
3 · 79 · 9 =
727
.
Odpowiedz: 727
ZADANIE 37Oblicz prawdopodobienstwo P(A′ ∩ B′), jesli P(A′) = 1
3 , P(B′) = 14 i P(A ∩ B) = 1
2 .
ROZWIAZANIE
Sposób IOd razu mamy
P(A) = 1− P(A′) =23
, P(B) = 1− P(B′) =34
.
A\B B\AA B
Ω
Jezeli narysujemy sobie diagram Venna, to powinno byc widac, ze
P(A′ ∩ B′) = P((A ∪ B)′)
Jest to jedno z praw de’Morgana, mozna je czytac tak: w A′ ∩ B′ sa zdarzenia, które nie sa Ai nie sa w B, czyli takie, które nie sa A ∪ B. Pozostało teraz skorzystac ze znanego wzoru
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) =23+
34− 1
2=
8 + 9− 612
=1112
.
ZatemP(A′ ∩ B′) = P((A ∪ B)′) = 1− P(A ∪ B) = 1− 11
12=
112
.
21
Sposób II
Zamiast robic zadanie schematycznie, mozemy od razu uwazniej przyjrzec sie diagramowiVenna i zobaczyc, ze
P(A′ ∩ B′) = P((A ∪ B)′) = P(A′)− P(B \ A) = P(A′)− P(B) + P(A ∩ B) =
=13− 3
4+
12=
4− 9 + 612
=112
.
Odpowiedz: P(A′ ∩ B′) = 112
ZADANIE 38
Rzucono 3 razy moneta i okreslono zdarzenia: A – wypadły dokładnie dwa orły, B – wypadłorzeł za pierwszym razem. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia P(A \ B).
ROZWIAZANIE
Jezeli za zdarzenia przyjmiemy trójki (a, b, c) kolejnych wyników (uwzgledniamy kolej-nosc), to
|Ω| = 2 · 2 · 2 = 8.
Zdarzenia sprzyjajace do A \ B to zdarzenia, w których wypadły dokładnie dwa orły i niewypadł orzeł za pierwszym razem. Jest zatem dokładnie jedno takie zdarzenie: (R, O, O).Zatem
P(A) =18
.
Odpowiedz: 18
ZADANIE 39
W urnie znajduja sie kule białe, zielone i czerwone. Kul zielonych jest dwa razy wiecej nizkul białych, a kul czerwonych jest 3 razy wiecej niz białych. Wyjeto dwa razy po jednej kulibez zwracania. Oblicz liczbe kul białych w urnie, jesli prawdopodobienstwo wylosowaniadwóch kul zielonych jest równe 5
51 .
ROZWIAZANIE
Oznaczmy przez b, z, c odpowiednio liczbe białych, zielonych i czerwonych kul. Wówczas zzałozen mamy
z = 2b i c = 3b.
Zatem wszystkich kul jestb + c + z = 6b
i mamy|Ω| = 6b · (6b− 1).
mozliwosci wybrania pary kul z urny (uwzgledniamy kolejnosc).Dwie kule zielone mozemy wybrac na
z(z− 1) = 2b · (2b− 1)
22
sposobów, co daje nam równanie
2b · (2b− 1)6b · (6b− 1)
=5
5113· 2b− 1
6b− 1=
551
2b− 118b− 3
=5
51102b− 51 = 90b− 1512b = 36 ⇒ b = 3.
Odpowiedz: W urnie sa 3 kule białe
ZADANIE 40
Ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Z wylosowa-nych liczb tworzymy liczbe dwucyfrowa w nastepujacy sposób: mniejsza z wylosowanychliczb jest cyfra jednosci, a wieksza cyfra dziesiatek utworzonej liczby. Oblicz prawdopodo-bienstwo otrzymania liczby podzielnej przez 7.
ROZWIAZANIE
Sposób I
Za zdarzenia elementarne przyjmijmy pary wylosowanych liczb. Zatem
|Ω| = 7 · 6 = 42.
W zdarzeniach sprzyjajacych otrzymana liczba musi dzielic sie przez 7, czyli byc jedna zliczb 14, 21, 35, 42, 56, 63. Zauwazmy jednak, ze w utworzonych liczbach cyfra dziesiatekjest zawsze wieksza od cyfry jednosci. Skraca to powyzsza liste mozliwosci do: 21, 42, 63.Wystarczy teraz zauwazyc, ze kazdy z tych wyników odpowiada dwóm zdarzeniom sprzy-jajacym:
(1, 2), (2, 1)(2, 4), (4, 2)(3, 6), (6, 3).
Prawdopodobienstwo jest wiec równe
67 · 6 =
17
.
Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporzadkowane pary wylosowanychliczb, czyli dwuelementowe podzbiory zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mamy wiec
|Ω| =(
72
)=
7 · 62
= 7 · 3 = 21.
23
Jak w poprzednim sposobie ustalamy, ze utworzona liczba bedzie podzielna przez 7 wtedy itylko wtedy, gdy bedzie jedna z liczb: 21, 42, 63. Sa wiec dokładnie trzy zdarzenia sprzyjajace(bo teraz ignorujemy kolejnosc losowania). Prawdopodobienstwo jest wiec równe
321
=17
.
Odpowiedz: 17
24
ZADANIE 1Srednia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Srednia wieku tych studentówi ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
ROZWIAZANIE
Powiedzmy, ze w danej grupie jest n studentów i łacznie maja S lat. Mamy zatemSn = 23S+39n+1 = 24.
Podstawiamy S = 23n z pierwszego równania do drugiego.
23n + 39n + 1
= 24 / · (n + 1)
23n + 39 = 24n + 2415 = n.
Odpowiedz: 15
ZADANIE 2Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebnosc
Wartosc danej -4 2 4 7 20Liczebnosc 7 2 3 6 2
a) Oblicz srednia arytmetyczna tych danych.
b) Podaj mediane.
c) Oblicz odchylenie standardowe.
ROZWIAZANIE
a) Liczymy srednia arytmetyczna
−4 · 7 + 2 · 2 + 4 · 3 + 7 · 6 + 20 · 220
=7020
=72
.
Odpowiedz: 72
b) Widac, ze mamy łacznie 20 wartosci, wiec mediana bedzie srednia arytmetyczna war-tosci dziesiatej i jedenastej. Pierwsze dziewiec liczb to -4 i 2. Pózniej sa trzy liczby 4,wiec szukanymi liczbami beda 4 i 4. Zatem mediana jest równa
4 + 42
= 4.
Odpowiedz: 4
1
XII Statystyka.
c) Liczymy wariancje
σ2 =7(−4− 7
2
)2+ 2
(2− 7
2
)2+ 3
(4− 7
2
)2+ 6
(7− 7
2
)2+ 2
(20− 7
2
)2
20=
= 50, 85
Zatem odchylenie standardowe jest równe
σ =√
50, 85 ≈ 7, 13.
Odpowiedz:√
50, 85 ≈ 7, 13
ZADANIE 3
Zwazono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mle-czarski. Wyniki badan przedstawiono w tabeli.
Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła16 118 1519 2420 6821 2622 16
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz srednia arytmetyczna oraz odchyle-nie standardowe masy kostki masła.
ROZWIAZANIE
Wszystkich kostek masła jest
1 + 15 + 24 + 68 + 26 + 16 = 150
i łacznie waza1 · 16 + 18 · 15 + 19 · 24 + 20 · 68 + 21 · 26 + 22 · 16 =
= 16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352 = 3000
Srednia waga wynosi wiec
x =3000150
= 20
Teraz liczymy wariancje
σ2 =(16− 20)2 + 15(18− 20)2 + 24(19− 20)2
150+
68(20− 20)2 + 26(21− 20)2 + 16(22− 20)2
150=
=16 + 60 + 24 + 26 + 64
150=
190150
=1915
.
2
Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji
σ =
√1915
.
Odpowiedz: x = 20 dag, σ =√
1915 dag
ZADANIE 4
Uczniowie napisali prace kontrolna. 30% uczniów otrzymało piatke, 40% otrzymało czwór-ke, 8 uczniów otrzymało trójke, a pozostali ocene dopuszczajaca. Srednia ocen wynosiła 3,9.Ilu uczniów otrzymało piatke?
ROZWIAZANIE
Jezeli oznaczymy przez n liczbe uczniów, to wiemy, ze 0, 3n otrzymało piatke, 0, 4n otrzy-mało czwórke i 8 otrzymało trójke. W takim razie dwójke otrzymało
n− 0, 3n− 0, 4n− 8 = 0, 3n− 8.
Podana srednia daje nam wiec równanie
0, 3n · 5 + 0, 4n · 4 + 8 · 3 + (0, 3n− 8) · 2n
= 3, 9
1, 5n + 1, 6n + 24 + 0, 6n− 16 = 3, 9n8 = 0, 2n ⇒ n = 40.
Zatem piatke otrzymało 0, 3n = 12 uczniów.
Odpowiedz: 12 uczniów.
ZADANIE 5
Oblicz z dokładnoscia do 0,1 odchylenie standardowe nastepujacych danych:
a) -2; 0; 1; 4; 7; 14.
b)Wartosc -3 -1 0 4 6Liczebnosc 10 6 4 2 3
ROZWIAZANIE
a) Najpierw liczymy srednia
s =−2 + 0 + 1 + 4 + 7 + 14
6= 4.
Teraz liczymy wariancje
σ2 =(−2− 4)2 + (0− 4)2 + (1− 4)2 + (4− 4)2 + (7− 4)2 + (14− 4)2
6=
=1706
=853
.
3
Zatem odchylenie standardowe jest równe
σ =√
σ2 =
√853≈ 5, 3.
Odpowiedz: 5,3
b) Najpierw liczymy srednia (wszystkich danych jest 10 + 6 + 4 + 2 + 3 = 25)
s =−3 · 10− 1 · 6 + 0 · 4 + 4 · 2 + 6 · 3
25=−1025
= −0, 4.
Teraz liczymy wariancje
σ2 =10(−3 + 0, 4)2 + 6(−1 + 0, 4)2 + 4(0 + 0, 4)2 + 2(4 + 0, 4)2 + 3(6 + 0, 4)2
25=
=23225
= 9, 28.
Zatem odchylenie standardowe jest równe
σ =√
σ2 =√
9, 28 ≈ 3.
Odpowiedz: 3
ZADANIE 6
Uczen otrzymał piec ocen: 5, 3, 6, x, 3. Srednia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz xi mediane tych pieciu ocen.
ROZWIAZANIE
Skoro srednia pieciu ocen ma byc równa 4, to suma tych ocen musi byc równa 20. Mamywiec
5 + 3 + 6 + x + 3 = 20 ⇒ x = 3.
Jezeli wypiszemy te oceny w kolejnosci rosnacej: 3,3,3,5,6 to widac, ze srodkowa z nich to 3.
Odpowiedz: x = 3, mediana: 3
ZADANIE 7
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oceny 6 5 4 3 2 1Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2
Oblicz srednia arytmetyczna i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
4
ROZWIAZANIE
Liczymy srednia arytmetyczna
s =1 · 6 + 2 · 5 + 6 · 4 + 5 · 3 + 9 · 2 + 2 · 1
1 + 2 + 6 + 5 + 9 + 2=
7525
= 3.
Liczymy wariancje (czyli kwadrat odchylenia standardowego)
σ2 =1 · (6− 3)2 + 2 · (5− 3)2 + 6 · (4− 3)2 + 5 · (3− 3)2 + 9 · (2− 3)2 + 2 · (1− 3)2
25=
=9 + 8 + 6 + 0 + 9 + 8
25=
4025
= 1, 6.
Odpowiedz: Srednia: 3, wariancja: 1,6.
ZADANIE 8
Tabela przedstawia wyniki czesci teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdajacy uzyskałwynik pozytywny, jezeli popełnił co najwyzej dwa błedy.
Liczba błedów 0 1 2 3 4 5 6 7 8Liczba zdajacych 8 5 8 5 2 1 0 0 1
a) Oblicz srednia arytmetyczna liczby błedów popełnionych przez zdajacych ten egza-min. Wynik podaj w zaokragleniu do całosci.
b) Oblicz prawdopodobienstwo, ze wsród dwóch losowo wybranych zdajacych tylko je-den uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracal-nego.
ROZWIAZANIE
a) W sumie egzamin zdawało
8 + 5 + 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 30
osób, wiec srednia wynosi
8 · 0 + 5 · 1 + 8 · 2 + 5 · 3 + 2 · 4 + 1 · 5 + 1 · 830
=5730
= 1, 9 ≈ 2.
Odpowiedz: 2
5
b) Dwóch zdajacych mozna wybrac na
|Ω| =(
302
)=
30 · 292
= 15 · 29
sposobów. Osób, które zdały jest
8 + 5 + 8 = 21,
wiec pare osób, z których jedna zdała, a jedna nie, mozna wybrac na
21 · 9
sposobów.
Prawdopodobienstwo zatem wynosi
21 · 915 · 29
=7 · 9
5 · 29=
63145
.
Odpowiedz: 63145
ZADANIE 9
Pewna maszyna wykonuje sruby o srednicy 14 mm. Dokonano kontroli jakosci wykonywa-nych srub i jej wyniki zebrano w tabeli.
Srednica w mm 13,8 13,9 14 14,1 14,2Liczba srub 8 17 48 13 14
Opierajac sie na podanych danych.
a) Oblicz srednia srednice sruby.
b) Oblicz prawdopodobienstwo wyprodukowania sruby o srednicy z przedziału 〈13,9; 14, 1〉.
c) Oblicz odchylenie standardowe srednicy sruby. Wynik podaj z dokładnoscia do 0,01.
ROZWIAZANIE
a) W sumie dokonano pomiaru
8 + 17 + 48 + 13 + 14 = 100
srub, wiec srednia arytmetyczna jest równa
13, 8 · 8 + 13, 9 · 17 + 14 · 48 + 14, 1 · 13 + 14, 2 · 14100
= 14, 008.
Odpowiedz: 14,008 mm
6
b) Liczymy
P =17 + 48 + 13
100= 0, 78
Odpowiedz: 0,78
c) Liczymy wariancje podanych danych.
1100
[(13, 8− 14, 008)2 · 8 + (13, 9− 14, 008)2 · 17 + (14− 14, 008)2 · 48+
+ (14, 1− 14, 008)2 · 13 + (14, 2− 14, 008)2 · 14] =
=1
100[0, 2082 · 8 + 0, 1082 · 17 + 0, 0082 · 48 + 0, 1082 · 13 + 0, 2082 · 14] =
=1
100[0, 2082 · 22 + 0, 1082 · 30 + 0, 0082 · 48] =
=1, 3048
100= 0, 013048.
Zatem odchylenie standardowe jest równe
σ =√
0, 013048 ≈ 0, 11.
Odpowiedz: 0,11 mm
ZADANIE 10
Srednia arytmetyczna liczb a, b, c jest równa 15. Oblicz srednia arytmetyczna liczb a + 7,b + 3, c + 8.
ROZWIAZANIE
Z załozen mamya + b + c
3= 15.
Liczymya + 7 + b + 3 + c + 8
3=
a + b + c + 183
=
=a + b + c
3+
183
= 15 + 6 = 21.
Odpowiedz: 21
ZADANIE 11
7
W pewnym zakładzie pracy obliczono ile dni urlopu wykorzystali pracownicy w lutym.Wynik przedstawiono w nastepujacym diagramie słupkowym
pro
cent
pra
cow
nik
ów
liczba dni urlopu
10%
20%
30%
40%
1 2 60
50%
60%
a) Jaka była srednia liczba dni urlopu przypadajacych na jednego pracownika?
b) Ilu pracowników liczy zakład pracy, jesli 119 pracowników miało mniejsza liczbe dniurlopu niz wynosi srednia przypadajaca na jednego pracownika?
ROZWIAZANIE
a) Liczymy srednia wazona. Danymi sa liczby dni urlopu, a wagami sa procentowe war-tosci liczby pracowników którzy wykorzystali dana liczbe dni urlopu. Liczymy
10% · 0 + 60% · 1 + 20% · 2 + 10% · 610% + 20% + 60% + 10%
=
= 100% · 0, 6 · 1 + 0, 2 · 2 + 0, 1 · 6100%
=
= 0, 6 + 0, 4 + 0, 6 = 1, 6.
Odpowiedz: 1,6
b) Oznaczmy przez x liczbe pracowników zakładu. Poniewaz srednia wynosi 1, 6, wiecjedynymi pracownikami który byli na urlopie krócej sa ci, którzy albo w ogóle nie braliurlopu, albo byli na urlopie tylko jeden dzien. Otrzymujemy zatem równanie
10% · x + 60% · x = 1190, 7x = 119 / : 0, 7x = 170.
Odpowiedz: 170
ZADANIE 12
Oblicz mediane nastepujacych danych: 13,2; 15; 12,225; 14; 16,8; 42,7; 22,1; 31,4; 20,6; 18,4.
8
ROZWIAZANIE
Ustawiamy liczby w niemalejacej kolejnosci
12, 225; 13, 2; 14; 15; 16, 8; 18, 4; 20, 6; 22, 1; 31, 4; 42, 7.
Poniewaz jest ich parzysta liczba, to mediana to srednia dwóch srodkowych.
16, 8 + 18, 42
= 17, 6
Odpowiedz: 17,6
ZADANIE 13Oblicz mediane danych przedstawionych w postaci tabeli liczebnosci
Wartosc 0 1 2 3Liczebnosc 4 3 1 1
ROZWIAZANIE
Wszystkich danych jest4 + 3 + 1 + 1 = 9.
Zatem mediana jest wartoscia 5-tej danej, jezeli wypiszemy te dane w rosnacej kolejnosci.Poniewaz mamy 4 zera, mediana jest równa 1.
Odpowiedz: 1
ZADANIE 14Na ponizszym diagramie przedstawiono zbiorcze wyniki z egzaminu maturalnego z ma-tematyki na poziomie rozszerzonym w 2008 roku. Diagram przedstawia rozkład wynikówpogrupowanych w zaleznosci od procentowego wyniku egzaminu.
0%-14%
15%-30%
47%-64%
65%-78%
79%-100%
31%-46%
11%
12%
20%
23%
a) Wiedzac, ze egzamin na poziomie rozszerzonym zdawało 40598 maturzystów oblicz,ilu maturzystów uzyskało wynik w przedziale 0%–30%.
b) Wiedzac, ze 60% maturzystów uzyskało z egzaminu co najmniej 47% punktów oblicz,jaki procent maturzystów uzyskał wynik w przedziale 31%–46%.
c) Oblicz jakie jest prawdopodobienstwo, ze losowo wybrany maturzysta uzyskał wynikponizej 47%.
9
ROZWIAZANIE
a) Wynik w przedziale 0%–30% uzyskało 11% + 12% = 23% maturzystów, czyli
23% · 40598 = 0, 23 · 40598 ≈ 9338.
Odpowiedz: 9338 osób
b) Skoro 60% maturzystów uzyskało wynik co najmniej 47% to wynik w przedziale 65%–78% uzyskało
60%− 23%− 20% = 17%.
W takim razie wynik w przedziale 31%–46% uzyskało
100%− 11%− 12%− 20%− 17%− 23% = 17%.
Odpowiedz: 17%
c) Liczymy11% + 12% + 17%
100%= 0, 4.
Odpowiedz: 0,4
10
![½Z^Ìf acZ ·Z€¦ · iii ½Z^Ìf acZ ·Z » Ê¿Z³ Z] dË Ë|» Äf Ê]ZË Y Z] ËY ³ s É n» Âa Z¨¯ }M f¯{ s ½Y Z°¼Å ZÌ¿ºÌu ^Ë § f¯](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5ee033cfad6a402d666b6e9f/zoef-acz-z-iii-zoef-acz-z-z-z-d-f-z-y-z-y-s.jpg)
![ECABDLBBIHJF MWUXGKNWV · Y^,M]R aCkEVG74r~g aCZ\6;::9=@ + 0>,BHd 8>?](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f47900ade36320e83385eae/ecabdlbbihjf-mwuxgknwv-ymr-ackevg74rg-acz69-0bhd-8.jpg)
