Wielomiany ortogonalnederezins/mmf08iii.pdf5.1 Wielomiany typu hipergeometrycznego . . . . . . . . ....
43
Transcript of Wielomiany ortogonalnederezins/mmf08iii.pdf5.1 Wielomiany typu hipergeometrycznego . . . . . . . . ....
Wielomiany ortogonalne
Jan Derezi«ski
Katedra Metod Matematycznych Fizyki
Uniwersytet Warszawski
Ho»a 74, 00-682, Warszawa
e-mail [email protected]
25 maja 2008
Metody Matematyczne Fizyki A,
rok 2008
Spis tre±ci
1 Przestrzenie Hilberta 3
1.1 Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Bazy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Falki Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Rzuty ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Operatory 7
2.1 Operatory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 J¡dro caªkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Operatory sprz¦»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Widmo punktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Widmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Widmo w sko«czonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Twierdzenie spektralne w sko«czonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8 Widmo ci¡gªe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.9 Operatory nieograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.9.1 Hermitowsko±¢ nie wystarczy do samosprz¦»ono±ci . . . . . . . . . . . . . 10
1
3 Operatory ró»niczkowe 11
3.1 Operator p¦du na odcinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Laplasjan na odcinku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Dirichleta . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Neumanna . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Laplasjan na odcinku z periodycznymi warunkami brzegowymi . . . . . . . . . . 16
3.6 Laplasjan na odcinku z antyperiodycznymi warunkami brzegowymi . . . . . . . . 16
3.7 Operatory ró»niczkowe drugiego rz¦du w jednym wymiarze . . . . . . . . . . . . . 16
3.8 Warunki brzegowe dla problemu Sturma-Liouville'a . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Wielomiany ortogonalne 17
4.1 Wielomiany ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Wzór Christoela-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Klasyczne wielomiany ortogonalne 21
5.1 Wielomiany typu hipergeometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Uogólniony wzór Rodrigues'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory wªasne operatora Sturma-Liouville'a 23
5.4 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5 Wielomiany Hermite'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7 Wielomiany Laguerre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.8 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma pierwiastek podwójny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.9 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma dwa pierwiastki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.10 Wielomiany Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.11 Wielomiany ultrasferyczne (Gegenbauera lub Jacobiego z α = β) . . . . . . . . . 31
5.12 Wielomiany Legendre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Harmoniki sferyczne 33
6.1 Operator translacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Operator obrotu w L2(R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Wspóªrz¦dne biegunowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Przestrze« L2(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5 Laplasjan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.6 Kwadrat momentu p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.7 Laplasjan i operator laplace'a-Beltramiego we wspóªrz¦dnych sferycznych . . . . . 35
6.8 Przestrze« L2(Sd−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.9 Wielomiany wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.10 Wielomiany jednorodne wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.11 Wielomiany harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
6.12 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.13 Standardowa baza harmonik sferycznych w L2(S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.14 Potencjaª elektrostatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.15 Funkcje Legendre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1 Przestrzenie Hilberta
1.1 Przestrzenie Hilberta
Pami¦tamy, »e w przestrzeni wektorowej V wyposa»onej w iloczyn skalarny v, w 7→ (v|w) deniujesi¦ norm¦ ‖v‖ := (v|v)
12 . Mówimy, »e V jest przestrzeni¡ Hilberta, je±li V z metryk¡ d(v, w) :=
‖v − w‖ jest zupeªna.
Przykªad. Rozwa»my funkcj¦ dodatni¡ mierzaln¡ [a, b] 3 x 7→ ρ(x). (a mo»e by¢ równe −∞ a
b mo»e by¢ równe +∞). Deniujemy przestrze« L2([a, b], ρ) jako przestrze« funkcji mierzalnych
f : [a, b]→ C
takich, »e ∫ b
a|f(x)|2ρ(x)dx <∞.
Jest to przestrze« Hilberta, je±li wyposa»ymy j¡ w iloczyn skalarny
(f |g) :=∫ b
af(x)g(x)ρ(x)dx, f, g ∈ L2([a, b], ρ).
Przykªad. Niech fn(x) = nαxe−nx i 1 < α < 32 . Wtedy sup fn →∞ i ‖f‖2 → 0.
1.2 Bazy ortogonalne
Niech V b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta. Je±li W ⊂ V, deniujemy dopeªnienie ortogonalne zbioru
W :
W⊥ := v ∈ V : (w|v) = 0, w ∈W.
Zauwa»my, »e W⊥ jest zawsze domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ w V.Niech f1, f2, · · · ⊂ L2([a, b], ρ). Mówimy, »e jest to ukªad ortogonalny, gdy
(fn|fm) = 0, n 6= m.
Je±li w dodatku (fn|fn) = 1, to mówimy, »e jest to ukªad ortonormalny.
Mówimy, »e f1, f2, . . . jest baz¡ ortogonaln¡ w V, gdy jest to ukªad ortogonalny skªadaj¡cy
si¦ z niezerowych wektorów i taki, »e f1, f2, . . .⊥ = 0.Mówimy, »e f1, f2, . . . jest baz¡ ortonormaln¡ w L2([a, b], ρ), gdy jest to ukªad ortonormalny
i f1, f2, . . .⊥ = 0.Oczywi±cie, je±li f1, f2, · · · jest baz¡ ortogonaln¡, to mo»na zrobi¢ z niej baz¦ ortonormaln¡
zast¦puj¡c fn przez fn‖fn‖ .
3
Twierdzenie 1.1 Niech (f1, f2, . . .) b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ w przestrzeni Hilberta V.(1) Niech (c1, c2, . . .) b¦dzie ci¡giem zespolonym takim, »e
∞∑j=1
|cj |2 <∞. (1.1)
Poªó»my
hn :=n∑j=1
cjfj . (1.2)
Wtedy istnieje h ∈ V taki, »e ‖h− hn‖ → 0.
(2) Niech h ∈ V. Niech cj := (fj |h). Wtedy (1.1) jest prawdziwe i je±li zdeniujemy hn jak w
(1.2), to ‖h− hn‖ → 0.
Dowód. (1) Dla n ≥ m mamy
‖hn − hm‖2 =n∑
j=m+1
|cj |2. (1.3)
Z (1.1) widzimy, »e (1.3) d¡»y do zera, gdy n,m → ∞. Czyli ci¡g hn jest ci¡giem Cauchy'ego.
Wiemy, »e przestrze« V jest zupeªna. Wi¦c hn posiada granic¦.
(2) Najpierw sprawdzamy, »en∑j=1
|cj |2 ≤ ‖h‖2.
St¡d∞∑j=1
|cj |2 ≤ ‖h‖2.
Zatem(1.1) jest speªnione. Na mocy (1) istnieje granica h := limn→∞ hn. Sprawdzamy, »e
(h− h|fj) = 0, j = 1, 2, . . .. Zatem h− h = 0. 2
B¦dziemy pisa¢∞∑j=1
cjfj := h,
gdzie h jest zdeniowany tak, jak w powy»szym twierdzeniu.
Przykªad 1. W L2([−π, π]), en = einφ, n ∈ Z, jest baz¡ ortogonaln¡ i (en|en) = 2π. Je±li
f ∈ L2([−π, π]), dostajemy ∥∥∥∥∥∥f − limn→∞
12π
∑|j|≤n
fjeinφ
∥∥∥∥∥∥→ 0,
gdzie
fn :=∫ π
−πf(φ)e−inφdφ
4
s¡ wspóªczynnikami Fouriera funkcji f .Przykªad 2. Inn¡ pokrewn¡ baz¦ ortogonaln¡ w L2([−π, π]) stanowi¡ f+
n := cosnφ, f−n :=sinnφ, n = 1, 2, . . ., (f±n |f±n ) = π, f0 := 1, (f0|f0) = 2π.Przykªad 3. W L2([0, π]) mamy baz¦ ortogonaln¡ cn := cosnφ, n = 1, 2, . . ., (cn|cn) = π
2 ,
c0 = 1, (c0|c0) = π.Przykªad 4. W L2([0, π]) mamy baz¦ ortogonaln¡ sn := sinnφ, n = 1, 2, . . ., (sn|sn) = π
2 .
Przykªad 4. Jedne funkcje lepiej jest rozwija¢ w szereg kosinusów a inne w szereg sinusów:
1 = c0
=1π
∞∑m=0
22m+ 1
s2m+1,
sinφ =1π
∞∑m=1
(1
2m− 1− 1
2m− 1)c2m
= s1.
1.3 Szeregi Fouriera
Przykªad 1. h(φ) := (a− eiφ)−1, a > 1. Wtedy
hn =
2πa−n−1, n = 0, 1, . . . ;0, n = −1,−2, . . . .
Przykªad 2. h(φ) := (eiφ − a)−1, a < 1. Wtedy
hn =
0, n = 0, 1, 2, . . . ;2πa−n−1, n = −1,−2, . . . .
Przykªad 3. h(φ) := φ. Wtedy
hn =
i2π(−1)n
n , n 6= 00. n = 0.
Aby to otrzyma¢ mo»na zauwa»y¢, »e h(φ) = −i log(1 + eiφ) + i log(1 + e−iφ).Je±li zsumujemy
h(n)(φ) :=∑|j|≤n
hjeinφ
2π,
To zaobserwujemy w otoczeniu φ = ±π tzw. zjawisko Gibbsa: funkcja h(n) przestrzeliwuje
warto±¢ funkcji h. Mamy bowiem
h(n)(−π + ε) = −2n∑j=1
sin εjj
.
5
W otoczeniu nieci¡gªo±ci funkcji h obserwujemy zafalowanie funkcji h(n), które w miar¦ wzrostu
n zw¦»a si¦, ale nie zmniejsza swej wysoko±ci zachowuj¡c swoj¡ wysoko±¢. To zafalowanie ma w
granicy ±ci±le okre±lony ksztaªt (z dokªadno±ci¡ do zw¦»ania), mamy bowiem
limn→∞
h(n)
(−π +
c
n
)= −2
∫ c
0
sinxx
dx.
Jest to zjawisko wyst¦puj¡ce zawsze, kiedy mamy do czynienia z szeregiem Fouriera dla
nieci¡gªej funkcji. Prowadzi ono do tego, »e dla funkcji nieci¡gªej o skoku aπ w sumie cz¦±ciowej
szeregu Fouriera b¦dzie skok 2ac, gdzie c =∫ π
0sinxx dx > π
2 jest tzw. staª¡ Wilbrahama-Gibbsa.
1.4 Falki Haara
Rozwa»my przestrze« L2(R). Zdeniujmy
ψk,n(x) :=
2k/2, 2−kn ≤ x < 2−kn+ 2−k−1,
−2k/2, 2−kn+ 2−k−1 ≤ x < 2−k(n+ 1),0, x 6∈ [2−kn, 2−k(n+ 1)[;
φk,n(x) :=
2k/2, 2−kn ≤ x < 2−k(n+ 1),0, x 6∈ [2−kn, 2−k(n+ 1)[.
Wprowad¹my operatory unitarne translacji i skalowania
(Utf)(x) := f(x− t),(Wsf)(x) := s−
12 f(s−1x).
Zauwa»my, »e mo»emy napisa¢
ψk,n = W2−kUnψ00, ψk,n(x) = 2k/2ψ00(2kx− n),
φk,n = W2−kUnφ00, φk,n(x) = 2k/2ψ00(2kx− n).
Czasami nazywa si¦ ψ00 falk¡ matk¡ a φ00 falk¡ ojcem.
Twierdzenie 1.2 (1) Niech m ∈ Z. Wtedy
(Spanψk,n : k ≥ m, n ∈ Z)cl = (Spanφk,n : k ≥ m, n ∈ Z)cl. (1.4)
(2) Nich (1.4) nazywa si¦ Vm. Wtedy Vm stanowi¡ zst¦puj¡cy ci¡g podprzestrzeni
· · · ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ · · · .
(3) ψm,n, n ∈ Z stanowi¡ baz¦ ortonormaln¡ w Vm Vm+1 (w dopeªnieniu ortogonalnym do
Vm+1 wewn¡trz Vm).(4) ψk,n stanowi¡ baz¦ ortonormaln¡ L2(R).
6
1.5 Rzuty ortogonalne
Mówimy, »e operator P jest rzutem ortogonalnym, gdy P 2 = P i KerP = RanP⊥. Mówimy
wtedy, »e jest to rzut ortogonalny na RanP .Je±li v jest niezerowym wektorem, to rzut ortogonalny na Cv jest równy
Pvw =v(v|w)(v|v)
.
W literaturze zycznej operator ten cz¦sto jest zapisywany jako |v)(v|(v|v) .
Je±li v1, . . . , vn jest baz¡ ortogonaln¡ podprzestrzeni V0, to rzut ortogonalny na V0 jest równy
PV0 =n∑j=1
|vj)(vj |(vj |vj)
.
Przykªad. W przestrzeni L2([−π, π]) rzut ortogonalny Pn na podprzestrze« rozpi¦t¡ przez eijφ
z |j| < n jest równy
Pn(φ, ψ) =sin (2n+1)(φ−ψ)
2
2π sin (φ−ψ)2
.
Przykªad. W przestrzeni L2([0, π]) rzut na przestrze« rozpi¦t¡ przez sin jφ, j = 1, . . . , n ma
j¡dro caªkowe
Pn(φ, ψ) =sin (2n+1)(φ+ψ)
2
2π sin φ+ψ2
−sin (2n+1)(φ−ψ)
2
2π sin φ−ψ2
.
1.6 Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Niech (g1, g2, . . .) b¦dzie ci¡giem wektorów liniowo niezale»nym. Niech Vn b¦dzie podprzestrzeni¡rozpi¦t¡ przez g1, . . . , gn. Wtedy Vn jest przestrzni¡ wymiaru n i V1 ⊂ V2 ⊂ · · ·.
Deniujemy indukcyjnie
fn := gn −n−1∑j=1
fj(fj |gn)‖fj‖2
= (1− Pn−1)gn,
gdzie Pn jest rzutem ortogonalnym na Vn. (f1, f2, . . .) jest ukªadem ortogonalnym. (f1, . . . , fn)jest baz¡ ortogonaln¡ Vn.
2 Operatory
2.1 Operatory ograniczone
Niech A b¦dzie operatorem liniowym z przestrzeni Hilberta V w W. Mówimy, »e A jest opera-
torem ograniczonym, gdy
sup‖Av‖ : v ∈ V, ‖v‖ ≤ 1 =: ‖A‖
jest sko«czone. Zbiór operatorów ograniczonych z V w W oznaczamy przez B(V,W). Je±li
V =W, to piszemy B(V).
7
2.2 J¡dro caªkowe
Rozwa»my przestrze« L2([a, b], ρ). Cz¦sto mo»na opisa¢ operator A poprzez funkcj¦ [a, b]×[a, b] 3(x, y) 7→ A(x, y):
Af(x) :=∫ b
aA(x, y)f(y)ρ(y)dy.
Na przykªad, je±li v1, . . . , vn jest baz¡ ortonormaln¡ podprzestreni V0, to PV0 , czyli rzut ortogo-
nalny na V, ma j¡dro caªkowe
PV0(x, y) =n∑j=1
vj(x)vj(y).
Mo»na pokaza¢, »e je±li∫ ba |A(x, y)|2ρ(x)dxρ(y)dy <∞, to A jest operatorem ograniczonym.
2.3 Operatory sprz¦»one
Niech A ∈ B(V,W). Wtedy wzór
(w|Av) = (A∗w|v), v ∈ V, w ∈ W
deniuje operator A∗ (hermitowsko) sprz¦»ony do A. Mamy A∗ ∈ B(W,V). Je±li A ma j¡dro
caªkowe A(x, y), to A∗ ma j¡dro caªkowe A(y, x).Mówimy, »e A jest samosprz¦»ony, gdy
A = A∗.
Mówimy, »e A jest unitarny, gdy
AA∗ = A∗A = 1.
A jest normalny, gdy
AA∗ = A∗A.
2.4 Widmo punktowe
Niech A b¦dzie operatorem liniowym na przestrzeni liniowej V. Przypomnijmy, »e mówimy, i»
λ ∈ C jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A je±li istnieje niezerowy wektor v ∈ V taki, »e Av = λv.Zbiór warto±ci wªasnych nazywamy spektrum (widmem) punktowym operatora A. Oznaczamy
je przez spp(A).
2.5 Widmo
Zaªó»my dodatkowo, »e V jest przestrzeni¡ Hilberta. Mówimy, »e ograniczony operator B jest
odwracalny, gdy B jest bijekcj¡ i B−1 jest ograniczone.
Mówimy, »e λ ∈ C nale»y do spektrum (widma) operatora A, gdy λ − A jest odwracalne.
Spektrum operatora A oznaczamy przez sp(A).Je±li z ∈ C nie nale»y do spA, to istnieje rezolwenta operatora A
(z −A)−1.
Zachodzi nast¦puj¡ce ªatwe twierdzenie:
8
Twierdzenie 2.1 Spektrum punktowe operatora A jest podzbiorem jego spektrum, czyli spp(A) ⊂sp(A).
2.6 Widmo w sko«czonym wymiarze
Niech V b¦dzie sko«czenie wymiarowe. Wtedy istniej¡ wygodne kryteria na odwracalno±¢ ope-
ratorów liniowych:
Twierdzenie 2.2 Niech B b¦dzie operatorem na V. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(1) B jest odwracalny.
(2) KerB jest ró»ne od 0.(3) detB 6= 0
Dlatego te» w sko«czonym wymiarze widmo mo»na zdeniowa¢ na kilka sposobów:
Twierdzenie 2.3 Niech A b¦dzie operatorem na V i λ ∈ C. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równo-
wa»ne:
(1) λ jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A.
(2) λ−A jest nieodwracalny.
(3) det(λ−A) = 0.
W niesko«czonym wymiarze, warunek pierwszy implikuje warunek drugi, ale trzeci na ogóª
nie ma sensu.
2.7 Twierdzenie spektralne w sko«czonym wymiarze
Na algebrze poznali±my tzw. Twierdzenie Spektralne:
Twierdzenie 2.4 Niech A b¦dzie operatorem normalnym na sko«czenie wymiarowej przestrzeni
Hilberta. Wtedy istnieje baza ortonormalna zªo»ona z wektorów wªasnych operatora A.A jest samosprz¦»ony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie warto±ci wªasne s¡ rzeczywiste.
A jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie warto±ci wªasne maj¡ moduª 1
Przykªad. Niech ej , j = 1, . . . , n, b¦dzie baz¡ kanoniczn¡ w Cn. Zdeniujmy operator Uwzorem
Uej := ej+1, j = 1, . . . , n− 1, Uen = e0.
Wtedy U jest operatorem unitarnym, warto±ciami wªasnymi s¡ eik2πn , odpowiadaj¡ im unormo-
wane wektory wªasne
wk =1√n
n∑j=1
eijk2πn ej .
Przykªad. Niech vσ =∑3
i=1 viσi, gdzie v1, v2, v3 ∈ R i σi s¡ macierzami Pauliego na C2.
Wtedy vσ jest samosprz¦»ony. Jest unitarny gdy v21 + v2
2 + v23 = 1. Warto±ci wªasne wynosz¡
±√v2
1 + v22 + v2
3 a wektory wªasne
w+ =√
1 + v1e1 +v2 + v3√
1 + v1e2, w− =
√1− v1e1 +
−v2 + v3√1− v1
e2.
9
2.8 Widmo ci¡gªe
W niesko«czenie wymiarowej przestrzeni Hilberta istnieje uogólnienie Twierdzenia Spektralnego,
ale du»o trudniejsze. Poni»ej omówimy pierwsz¡ dodatkow¡ trudno±¢, która pojawia si¦ w nie-
sko«czonym wymiarze.
Wektory wªasne odnosz¡ce si¦ do ró»nych warto±ci wªasnych s¡ ortogonalne. Mo»e jednak
nie istnie¢ baza ortonormalna zªo»ona z wektorów wªasnych. Wynika to z pojawienia si¦ tzw.
widma ci¡gªego.
Przykªad. Na L2([0, 1]) deniujemy (Af)(x) = xf(x). Operator ten jest samosprz¦»ony ale nie
ma wektorów wªasnych.
Przykªad. Na L2(Z), niech ej oznacza baz¦ kanoniczn¡. Deniujemy operator U wzorem
Uen := en+1. Jest on unitarny, ale nie ma wektorów wªasnych.
2.9 Operatory nieograniczone
Jednym z kªopotliwych aspektów teorii operatorów w niesko«czenie wymiarowych przestrzeniach
Hilberta jest to, »e wiele wa»nych dla zyki operatorów jest nieograniczonych. Wi¡»e si¦ to z
dodatkowym kªopotem: takich operatorów w praktyce nie mo»na zdeniowa¢ na caªej prze-
strzeni Hilberta, tylko na pewnej podprzestrzeni liniowej g¦stej. Podprzestrze« ta jest nazywana
dziedzin¡ danego operatora. Dziedzina operatora A b¦dzie oznaczana przez DomA.Problemu tego nie ma dla sko«czenie wymiarowych przestrzeni, gdzie wszystkie operatory s¡
ograniczone.
Przykªad. Na L2(R) próbujemy zdeniowa¢ operator (Af)(x) = xf(x). Wektor (x+i)−1 nale»y
do L2(R) ale x(x+i)−1 nie nale»y do L2(R). Dlatego, (x+i)−1 nie nale»y do dziedziny operatora
A.Przykªad. Na L2(R) próbujemy zdeniowa¢ operator pf(x) = 1
i ∂xf(x). Wektor θ(x)e−x nale»ydo L2(R) ale 1
i ∂xθ(x)e−x nie nale»y do L2(R). (θ(x) oznacza funkcj¦ Heaviside'a). Dlatego
θ(x)e−1 nie nale»y do dziedziny operatora p.Dla operatorów nieograniczonych spektrum i spektrum punktowe deniuje si¦ podobnie jak
dla operatorów ograniczonych.
2.9.1 Hermitowsko±¢ nie wystarczy do samosprz¦»ono±ci
Dla operatorów nieograniczonych istnieje kilka ró»nych uogólnie« poj¦cia samosprz¦»ono±ci (her-
mitowsko±ci).
Rozwa»my przestrze« Hilberta V. Niech A b¦dzie operatorem z dziedzin¡ DomA. (DomAjest g¦st¡ podprzestrzeni¡ w V, obraz A le»y te» w V). Mówimy, »e A jest hermitowski (albo
symetryczny), gdy
(w|Av) = (Aw|v), v, w ∈ DomA.
Jest to warunek, który w praktyce do±¢ ªatwo jest sprawdzi¢. Niestety, z teoretycznego punktu
widzenia, du»o ciekawsze jest poj¦cie operatora samosprz¦»onego i istotnie samosprz¦»onego.
Ka»dy operator samosprz¦»ony jest istotnie samosprz¦»ony, ka»dy operator istotnie samosprz¦-
»ony jest hermitowski, ale nie na odwrót. Nie b¦dziemy w tym kursie omawia¢ poj¦cia (istotnej)
samosprz¦»ono±ci dla operatorów nieograniczonych.
Sama hermitowsko±¢ wystarcza jednak do udowodnienia nast¦puj¡cych wªasno±ci:
10
Twierdzenie 2.5 Niech A b¦dzie operatorem hermitowskim z dziedzin¡ DomA.
(1) Je±li v ∈ DomA jest jego wektorem wªasnym z warto±ci¡ wªasn¡ λ, czyli Av = λv, to λ ∈ R.
(2) Je±li λ1 6= λ2 s¡ warto±ciami wªasnymi z vectorami wªasnymi v1 i v2, to v1 jest ortogonalne
do v2.
Dowód. Dowód jest identyczny jak w przypadku sko«czenie wymiarowym. By dowie±¢ (1)
liczymy
λ(v|v) = (v|Av) = (Av|v) = λ(v|v).
Nast¦pnie dzielimy przez (v|v) 6= 0.Dowód (2):
(λ1 − λ2)(v1|v2) = (Av1|v2)− (v1|Av2) = (v1|Av2)− (v1|Av2) = 0.
2
3 Operatory ró»niczkowe
Szczególnie wa»n¡ klas¡ operatorów s¡ operatory ró»niczkowe. Nestety, s¡ one nieograniczone, a
w dodatku trudno±¢ deniowania ich jako operatorów samosprz¦»onych wyst¦puje w nich wyj¡t-
kowo wyra¹nie. Wi¡»e si¦ to z tzw. problemem warunków brzegowych. Omówmy najpierw ten
problem na prostych przykªadach.
3.1 Operator p¦du na odcinku
Rozwa»my operator pf(x) = 1i ∂xf(x) okre±lony na dziedzinie f ∈ C∞([−π, π]) traktowanej
jako podprzestrze« przestrzeni Hilberta L2([−π, π]. Chcemy znale¹¢ jego wektory wªasne, czyli
rozwi¡zujemy równanie1i∂xf = λf, f ∈ C∞([−π, π]). (3.5)
Oczywi±cie, rozwi¡zaniem tego równania jest f(x) = ceiλx dla dowolnego λ ∈ C. Oznacza to,
»e mamy bardzo du»o rozwi¡za«, co ±wiadczy o tym, »e to równanie (i operator p) nie jest zbytpo»yteczny w zastosowaniach.
Zmodykujmy ten problem przez zmniejszenie dziedziny. Ograniczmy si¦ do f ∈ C∞([−π, π])dla których speªnione s¡ warunki brzegowe
f(π) = ei2πκf(−π).
Operator 1i ∂x z tak¡ dziedzin¡ b¦dziemy oznacza¢ przez pκ (3.5) ma wtedy rozwi¡zania λ = n+κ,
gdzie n ∈ Z i funkcje wªasne en(x) = ei(κ+n)x. Funkcje wªasne tworz¡ baz¦ ortgonaln¡ w
L2([−π, π]). Ma spektrum sppκ = sppp = n+ κ : n ∈ Z.
11
Operator pκ jest hermitowski (a nawet istotnie samosprz¦»ony). Jest to u»yteczny i wa»ny
operator w zastosowaniach. Warunek hermitowsko±ci ªatwo sprawdzi¢ caªkuj¡c przez cz¦±ci:
(f |pκg) =∫ π
−πf(x)
1i∂xg(x)dx
=∫ π
−π
(1if(x)
)g(x)dx+
1i
(f(π)g(π)− f(−π)g(−π)
)= (pκf |g),
gdzie wyrazy brzegowe znikaj¡ na mocy warunków brzegowych.
Policzmy rezolwent¦ operatora pκ, czyli Rκ(z) = (z − pκ). Niech (z − pκ)g = f czyli
(z − 1i∂x)g(x) = f(x). (3.6)
Równanie jednorodne
(z − 1i∂x)g(x) = 0. (3.7)
rozwi¡zanie g(x) = eizx. Uzmienniamy staª¡ kªad¡c g(x) = c(x)eizx. Dostajemy
ic′(x)eizx = f(x)
St¡d
c(x) = c(−π)− i∫ x
−πeizyf(y)dy
= c(π) + i∫ π
xeizyf(y)|dy.
g nale»y do dziedziny pκ, zatem warunek brzegowy g(π) = ei2πκg(−π), o daje
c(π) = ei2π(κ−z)c(−π).
St¡d
i∫ π
−πe−izyf(y)dy = c(−π)− c(π)
= c(−π)(1− ei2π(κ−z).
Czyli
c(−π) =i
1− ei2π(κ−z)
∫ π
−πe−izyf(y).
Zatem
g(x) =i
1− e−i2π(κ−z)
∫ x
−πeiz(x−y)f(y)dy
+i
1− ei2π(κ−z)
∫ π
xeiz(x−y)f(y)dy.
12
J¡dro caªkowe operatora Rκ(z) = (z − pκ) (zwane czasem funkcj¡ Greena) jest zatem równe
Rκ(z)(x, y) =i
1− e−i2π(κ−z) eiz(x−y)θ(x− y)
+i
1− ei2π(κ−z) eiz(x−y)θ(y − x).
Dla z ∈ Z + κ, rezolwenta Rκ(z) nie jest zdeniowana, dla pozostaªych z jest ograniczonym
operatorem.
3.2 Laplasjan na odcinku
Rozwa»my prestrze« L2([0, π]). Niech Dmin b¦dzie zbiorem funkcji f ∈ C∞([0, π]), które s¡
równe zero w otoczeniu 0 i π. Jest to g¦sta podprzestrze« w L2([0, π]).Deniujemy operator na Dmin wzorem
Hminf := −∂2xf(x), f ∈ Dmin.
Zauwa»my, »e nie ma on wcale wektorów wªasnych. Speªnia on natomiast warunek hermitow-
sko±ci, który dowodzimy caªkuj¡c przez cz¦±ci:
(g|Hminf) = −∫ π
0g(x)∂2
xf(x)dx
= −∫ π
0(∂2xg(x))f(x)dx = (Hming|f). (3.8)
Dziedzina operatora Hmin jest za maªa, by byª on ciekawy.
Zast¡pmy teraz Dmin przez Dmax wszystkie funkcje gªadkie na [0, π]. Operator Hmax jest
zdenowany tym samym wzorem co Hmin, tylko na wi¦kszej dziedzinie.
Hmaxf := −∂2xf(x), f ∈ Dmax.
Wtedy wszystkie liczby zespolone s¡ warto±ciami wªasnymi, bo fω(x) = eiωx speªnia
Hmaxfω = ω2fω. (3.9)
Wektory wªasne odnoscz¡ce si¦ do ró»nych warto±ci wªasnych nie s¡ wzajemnie ortogonalne.
Operator Hmax nie speªnia warunku hermitowsko±ci, bo przy caªkowaniu przez cz¦±ci pojawiaj¡
si¦ wyrazy brzegowe:
(g|Hmaxf) = −∫ π
0g(x)∂2
xf(x)dx (3.10)
= g(0)∂xf(0)− g(π)∂xf(π) +∫ π
0(∂xg(x))∂xf(x)dx
= g(0)∂xf(0)− g(π)∂xf(π)− (∂xg(0))f(0) + (∂xg(π))f(π)−∫ π
0(∂2xg(x))f(x)dx
= g(0)∂xf(0)− g(π)∂xf(π)− (∂xg(0))f(0) + (∂xg(π))f(π) + (Hmaxg|f).
Czyli dziedzina Hmax jest za du»a, by byª ciekawy.
13
3.3 Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Dirichleta
Niech HD b¦dzie równy −∂2x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = f(π) = 0. Wtedy
operator HD deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymi
Dirichleta i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:
sn(x) =
√2π
sinxn, HDsn = n2sn, n = 1, 2, . . . . (3.11)
Zatem
spHD = sppHD = n2 : n = 1, 2, . . ..
Mo»na policzy¢ jego rezolwent¦ RD(ω2) = (ω2 −HD)−1. Niech
(∂2x + ω2)g(x) = f(x), g(0) = g(π) = 0.
Stosujemy metod¦ uzmienniania staªej: c+(π) = c−(0) = 0,
g(x) = c+(x) sinωx+ c−(x) sinω(x− π),g′(x) = c+(x)ω cosωx+ c−(x)ω cosω(x− π).
St¡d
c′+(x) sinωx+ c′−(x) sinω(x− π) = 0,c′+(x)ω cosωx+ c′−(x)ω cosω(x− π) = f(x);
−c′+(x) = f(x)sinω(x− π)ω sinωπ
,
c′−(x) = f(x)sinωxω sinωπ
;
c+(x) =∫ π
x
sinω(y − π)ω sinωπ
f(y)dy,
c−(x) =∫ x
0
sinωyω sinωπ
f(y)dy;
g(x) = sinωx∫ π
x
sinω(y − π)ω sinωπ
f(y)dy
+ sinω(x− π)∫ x
0
sinωyω sinωπ
f(y)dy.
Zatem j¡dro caªkowe rezolwenty RD(ω) (funkcja Greena dla problemu Dirichleta) jest równe
RD(ω2)(x, y) =sinωx sinω(y − π)θ(x− y)
ω sinωπ
+sinω(x− π) sinωyθ(y − x)
ω sinωπ
14
3.4 Laplasjan na odcinku z warunkami brzegowymi Neumanna
Niech HN b¦dzie równy −∂2x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f ′(0) = f ′(π) = 0. Wtedy
operator HN deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymi
Neumanna i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:
c0 :=1√π, cn(x) =
√2π
cosxn, HNcn = c2fn, n = 1, 2, . . . . (3.12)
Zatem
spHN = sppHN = n2 : n = 0, 1, 2, . . ..
Mo»na policzy¢ jego rezolwent¦ RN(ω2) = (ω2 −HN)−1. Niech
(∂2x + ω2)g(x) = f(x), g′(0) = g′(π) = 0.
Stosujemy metod¦ uzmienniania staªej: c+(π) = c−(0) = 0,
g(x) = c+(x) cosωx+ c−(x) cosω(x− π),g′(x) = −c+(x)ω sinωx− c−(x)ω sinω(x− π).
St¡d
c′+(x) cosωx+ c′−(x) cosω(x− π) = 0,−c′+(x)ω sinωx− c′−(x)ω sinω(x− π) = f(x);
−c′+(x) = f(x)cosω(x− π)ω sinωπ
,
c′−(x) = f(x)cosωxω sinωπ
;
c+(x) =∫ π
x
cosω(y − π)ω sinωπ
f(y)dy,
c−(x) =∫ x
0
cosωyω sinωπ
f(y)dy;
g(x) = cosωx∫ π
x
cosω(y − π)ω sinωπ
f(y)dy
+ sinω(x− π)∫ x
0
cosωyω sinωπ
f(y)dy.
Zatem j¡dro caªkowe rezolwenty RN(ω) (funkcja Greena dla problemu Neumanna) jest równe
RD(ω2)(x, y) =cosωx cosω(y − π)θ(x− y)
ω sinωπ
+cosω(x− π) cosωyθ(y − x)
ω sinωπ.
15
3.5 Laplasjan na odcinku z periodycznymi warunkami brzegowymi
Niech Hper b¦dzie równy −∂2x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = f(π), f ′(0) = f ′(π).
Wtedy operator Hper deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z periodycznymi
warunkami brzegowymi i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:
en(x) =1√π
ei2nx, Hperen = 4n2en, n = 0,±1,±2, . . . . (3.13)
Zatem
spHper = sppHper = 4n2 : n = 0, 1, 2, . . .,
przy czym warto±ci wªasne odpowiadaj¡ce n = 1, 2, . . . s¡ dwukrotnie zdegenerowane.
3.6 Laplasjan na odcinku z antyperiodycznymi warunkami brzegowymi
NiechHant b¦dzie równy−∂2x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = −f(π), f ′(0) = −f ′(π).
Wtedy operator Hant deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z antyperiodycznymi
warunkami brzegowymi i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:
fn(x) =1√π
ei(2n+1)x, Hantfn = (2n+ 1)2fn, n = 0,±1,±2, . . . . (3.14)
Zatem
spHant = sppHant = (2n+ 1)2 : n = 0, 1, 2, . . .,
i wszystkie warto±ci wªasne s¡ dwukrotnie zdegenerowane.
3.7 Operatory ró»niczkowe drugiego rz¦du w jednym wymiarze
W zyce szczególn¡ rol¦ odgrywaj¡ operatory drugiego rz¦du
C := σ(x)∂2x + τ(x)∂x. (3.15)
Cz¦sto wygodnie jest zapisa¢ taki operator w innej formie. Niech ρ(x) speªnia
σ(x)ρ′(x) = (τ(x)− σ′(x))ρ(x). (3.16)
Wtedy mamy
C = ρ(x)−1∂xρ(x)σ(x)∂x. (3.17)
Twierdzenie 3.1 Niech
D = f ∈ C∞([a, b]) : f = 0 w otoczeniu a, b.
Zakªadamy, »e C jest operatorem zdeniowanym na D wzorem (3.8), ρ > 0, σ jest rzeczywiste.
Rozwa»my przestrze« Hilberta L2([a, b], ρ). Wtedy C jest hermitowski.
Niestety, powy»sza dziedzina jest z reguªy za maªa aby dosta¢ operator posiadaj¡cy wektory
wªasne.
16
3.8 Warunki brzegowe dla problemu Sturma-Liouville'a
Rozwa»my teraz operator zadany tym samym wzorem ró»niczkowym ale na wi¦kszej dziedzinie.
Przy odpowiednich zaªo»eniach nadal dostaniemy operator hermitowski:
Twierdzenie 3.2 Niech σ, ρ b¦d¡ rzeczywistymi ró»niczkowalnymi funkcjami na [a, b]. Niech
ρ > 0 i
σ(a)ρ(a) = σ(b)ρ(b) = 0.
Wtedy C jest hermitowski na dziedzinie C2([a, b]) w sensie przestrzeni L2([a, b], ρ)
Dowód.
(g|Cf) =∫ b
aρ(x)g(x)ρ(x)−1∂xσ(x)ρ(x)∂xf(x)dx
=∫ b
ag(x)∂xσ(x)ρ(x)∂xf(x)dx
= g(x)ρ(x)σ(x)f ′(x)∣∣∣ba−∫ b
a(∂xg(x))σ(x)ρ(x)∂xf(x)dx
= −g′(x)ρ(x)σ(x)f(x)∣∣∣ba
+∫ b
a(∂xρ(x)σ(x)∂xg(x))f(x)dx
=∫ b
aρ(x)(ρ(x)−1∂xσ(x)ρ(x)∂xg(x))f(x)dx = (Cg|f).
2
Analogicznie dowodzimy nast¦puj¡cego twierdzenia:
Twierdzenie 3.3 Niech σ, ρ b¦d¡ rzeczywistymi ró»niczkowalnymi funkcjami na [−∞,∞]. Niechρ > 0 i
limx→−∞
σ(x)ρ(x)|x|n = limx→+∞
σ(x)ρ(x)|x|n = 0.
Wtedy C jest hermitowski na dziedzinie b¦d¡cej przestrzeni¡ wielomianów w sensie przestrzeni
Hilberta L2([−∞,∞], ρ).
Oczywi±cie, podobne twierdzenia zachodz¡ dla odcinków ]−∞, b] i [a,∞[.Szukanie warto±ci wªasnych operatora C bywa nazywane problemem Sturma-Liouville'a.
4 Wielomiany ortogonalne
4.1 Wielomiany ortogonalne
Niech ρ > 0 jest ustalon¡ wag¡ na odcinku [a, b]. Zaªó»my, »e∫ b
a|x|nρ(x)dx <∞, n = 0, 1, . . . .
17
Wtedy jednomiany 1, x, x2, . . . tworz¡ ukªad liniowo niezale»ny w L2([a, b], ρ). Stosuj¡c do nich
procedur¦ Grama-Schmidta dostajemy wielomiany ortogonalne P0, P1, P2, . . .. gdzie degPn = n.Istnieje proste kryterium pozwalaj¡ce sprawdzi¢, kiedy jest to baza ortogonalna.
Twierdzenie 4.1 Zaªó»my, »e dla pewnego ε > 0∫ b
aeε|x|ρ(x)dx <∞.
Wtedy wielomiany s¡ g¦ste w L2([a, b], ρ). Dlatego te», wielomiany P0, P1, . . . stanowi¡ baz¦
ortogonaln¡ w L2([a, b], ρ).
Dowód. Niech h ∈ L2([a, b], ρ). Wtedy dla |Imz| ≤ ε2∫ b
a|ρ(x)h(x)eixz|dx ≤
(∫ b
aρ(x)eε|x|dx
) 12(∫ b
aρ(x)|h(x)|2dx
) 12
<∞.
Zatem dla Imz| ≤ ε2 mo»emy zdeniowa¢
F (z) :=∫ b
aρ(x)e−izxh(x)dx.
A wi¦c F jest analityczna na pasku z ∈ C : |Imz| < ε2. Niech (xn|h) = 0, n = 0, 1, . . ..
Wtedydn
dznF (z)
∣∣∣z=0
= (−i)n∫ b
axnρ(x)h(x)dx = (−i)n(xn|h) = 0.
Ale funkcja analityczna, która znika wraz ze wszystkimi pochodnymi w jednym punkcie, znika na
caªej dziedzinie (je±li ta dziedzina jest spójna). Zatem F = 0 na caªej dziedzinie, w szczególno±ci
na prostej rzeczywistej. Czyli h = 0. Z odwrotnej transformaty Fouriera wynika, »e h = 0.Czyli nie istnieje niezerowy wektor ortogonalny do wielomianów. Zatem wielomiany s¡ g¦ste
w L2([a, b], ρ). 2
4.2 Wzór Christoela-Darboux
Niech pn(x) = Pn(x)‖Pn‖ b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ powstaª¡ z bazy ortogonalnej P1, P2, . . ..
Elementy macierzowe operatora x oznaczamy przez
βjm := (pj |xpm) =∫ b
aρ(x)xpj(x)pm(x)dx.
Twierdzenie 4.2
βjm = βmj ,
βjm = 0, |j −m| ≥ 2.
18
Niech kj b¦dzie wspóªczynnikiem pj przy pot¦dze xj. Wtedy
βj,j+1 =kjkj+1
,
bo xpj ma najwy»szy wyraz kjxj+1. Dostajemy wzór rekurencyjny
xpn = βn,n−1pn−1 + βn,npn + βn.n+1pn+1.
Twierdzenie 4.3 (Wzór Christoela-Darboux) J¡dro caªkowe rzutu na przestrze« wielo-
mianów stopnia ≤ n jest równe
Pn(x, y) =n∑k=0
pk(x)pk(y)
= knkn+1
pn(x)pn+1(y)−pn+1(x)pn(y)x−y ,
a na diagonali
Pn(x, x) =knkn+1
(pn(x)p′n+1(x)− pn+1(x)p′n(x)).
Dowód. Niech Qk b¦dzie rzutem na pk. Ma on j¡dro caªkowe
Qk(x, y) = pk(x)pk(y).
[x,Qk] ma j¡dro caªkowe
xQk(x, y)−Qk(x, y)y = xpk(x)pk(y)− pk(x)pk(y)y
= βk,k−1(pk−1(x)pk(y)− pk(x)pk−1(y))
+βk+1,k(pk+1(x)pk(y)− pk(x)pk+1(y)).
Zatem [x, Pn] =∑n
k=1[x,Qk] ma j¡dro caªkowe
xPn(x, y)− Pn(x, y)y = βn,n+1(pn+1(x)pn(y)− pn(x)pn+1(y)).
2
4.3 Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzaju
Rozwa»amy przestrze«
L2([−1, 1], (1− x2)−12 ).
Deniujemy
Tn(cosφ) = cosnφ, φ ∈ [0, π],
Tn(x) = 12((x+ i
√1− x2)n + (x− i
√1− x2)n), x ∈ [−1, 1].
19
Twierdzenie 4.4 Wielomiany Tm s¡ baz¡ ortogonaln¡ i
‖T0‖ = π, ‖Tn‖2 =π
2, n = 1, 2, . . . .
Speªniaj¡ równanie
((1− x2)∂2x − x∂x + n2)Tn(x) = 0. (4.18)
Dowód. Zdeniujmy
W : L2([−1,−1], (1− x2)−12 )→ L2([0, π]),
Wf(φ) := f(cosφ).
Wtedy
‖Wf‖2 =∫ π
0|f(cosφ)|2dφ =
∫ π
0|f(cosφ)|2 sin−1 φd cosφ =
∫ 1
−1|f(x)|2(1− x2)−
12 dx,
czyli operator W jest unitarny. Poza tym
WTn(φ) = Tn(cosφ) = cosnφ.
Mamy
(∂2φ + n2) cosnφ = 0. (4.19)
Aby zobaczy¢ (4.18) liczymy:
∂φWf(φ) = − sinφf ′(cosφ),
W ∗∂φWf(x) = − sin(arccosx)f ′(x) = −(1− x2)12∂xf(x).
Zatem
W ∗∂φW = −(1− x2)12∂x.
St¡d
W ∗∂2φW = (W ∗∂φW )2 = (1− x2)∂2
x − x∂x.
2
4.4 Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzaju
Rozwa»amy przestrze«
L2([−1, 1], (1− x2)12 ).
Deniujemy
Un(cosφ) = sin(n+1)φsinφ , φ ∈ [0, π],
Un(x) = (x+i√
1−x2)n+1−(x−i√
1−x2)n+1
2i√
1−x2, x ∈ [−1, 1].
20
Twierdzenie 4.5 Wielomiany Um s¡ baz¡ ortogonaln¡ i
‖Un‖2 =π
2, n = 0, 1, 2, . . . .
Speªniaj¡ równanie
((1− x2)∂2x − 3x∂x + n(n+ 2))Un(x) = 0. (4.20)
Dowód. Zdenujmy
W : L2([−1, 1], (1− x2)12 )→ L2([0, π]),
Wf(φ) := f(cosφ) sinφ.
Wtedy
‖Wf‖2 =∫ π
0|f(cosφ)|2 sin2 φdφ =
∫ π
0|f2(cosφ)| sinφd cosφ =
∫ 1
−1|f(x)|2(1− x2)
12 dx,
czyli operator W jest unitarny. Poza tym
WUn(φ) = Un(cosφ) sinφ = sin(n+ 1)φ.
Mamy
(∂2φ + (n+ 1)2)) sin(n+ 1)φ = 0. (4.21)
Aby zobaczy¢ (4.20) liczymy
∂φWf(φ) = − sin2 φf ′(cosφ) + cosφf(cosφ),
Zatem
W ∗∂φW = −(1− x2)12∂x + x(1− x2)−
12 .
St¡d
W ∗∂2φW = (W ∗∂φW )2 = (1− x2)∂2
x − 3x∂x − 1.
2
5 Klasyczne wielomiany ortogonalne
5.1 Wielomiany typu hipergeometrycznego
Szukamy operatorów ró»niczkowych drugiego rz¦du, których wektorami wªasnymi s¡ wielomiany
ka»dego stopnia.
Twierdzenie 5.1 Niech
C := σ(z)∂2z + τ(z)∂z + η(z) (5.22)
b¦dzie operatorem ró»niczkowym takim, »e istniej¡ wielomiany P0, P1, P2 stopnia odpowiednio
0, 1, 2 speªniaj¡ce
CPn = λnPn.
Wtedy
21
(1) σ(z) jest wielomianem stopnia ≤ 2,
(2) τ(z) jest wielomianem stopnia ≤ 1,
(3) η(z) jest wielomianem stopnia ≤ 0 (jest liczb¡).
Dowód. CP0 = η(z)P0, wi¦c degη = 0.CP1 = τ(z)P ′1 + ηP1, wi¦c degτ ≤ 1.CP2 = σ(z)P ′′2 + τ(z)P ′2(z) + ηP2, wi¦c degσ ≤ 2. 2
Zatem wystarczy ograniczy¢ si¦ do operatorów postaci
C(τ) := σ(z)∂2z + τ(z)∂z, (5.23)
gdzie degσ ≤ 2 i degτ ≤ 1. Poka»emy, »e dla szerokiej klasy (5.23) dla ka»dego n naturalnego
istnieje wielomian Pn b¦d¡cy wektorem wªasnym (5.23).
5.2 Uogólniony wzór Rodrigues'a
Niektóre wªasno±ci wielomianów b¦d¡cych funkcjami wªasnymi operatora postaci opisanej w
Twierdzeniu 5.1 mo»na wyprowadzi¢ w jednolity sposób nie rozbijaj¡c rozumowania na przypadki
szczególne. (Niniejszy rozdziaª mo»na pomin¡¢, odpowiednie wzory b¦d¡ pó¹niej wyprowadzone
dla przypadków szczególnych).
Ustalamy σ, ale b¦dziemy jawnie zaznaczali zale»no±¢ od τ . Niech ρ b¦dzie funkcj¡ speªnia-
j¡c¡ równanie
σ(z)∂zρ(z) =(τ(z)− σ′(z)
)ρ(z). (5.24)
Zauwa»my, »e ρ wyra»a si¦ poprzez funkcje elementarne. Operator C mo»na zapisa¢ jako
C(τ) = ρ−1(z)∂zσ(z)ρ(z)∂z= ∂zρ
−1(z)σ(z)∂zρ(z)− τ ′ + σ′′. (5.25)
Zdeniujmy
Pn(τ ; z) :=1n!ρ−1(z)∂nz σ
n(z)ρ(z)
=1
2πiρ−1(z)
∫[0+]
σn(z + t)ρ(z + t)t−n−1dt. (5.26)
Twierdzenie 5.2 Mamy(σ(z)∂2
z + τ(z)∂z)Pn(τ ; z) = (nτ ′ + n(n− 1)
σ′′
2)Pn(τ ; z), (5.27)(
σ(z)∂z + τ(z)− σ′(z))Pn(τ ; z) = (n+ 1)Pn+1(τ − σ′; z), (5.28)
∂zPn(τ ; z) =(τ ′ + (n− 1)
σ′′
2
)Pn−1(τ + σ′; z), (5.29)
ρ(z + tσ(z))ρ(z)
=∞∑n=0
tnP (τ − nσ′; z). (5.30)
22
Dowód. Wprowadzamy nast¦puj¡ce operatory kreacji i anihilacji:
A+(τ) : = σ(z)∂z + τ(z) = ρ−1(z)∂zρ(z)σ(z),A− := ∂z.
Zauwa»my, »e
C(τ) = A+(τ)A−
= A−A+(τ − σ′)− (τ ′ − σ′′).
Niech C(τ + σ′)F = λF . Wtedy
C(τ)A+(τ)F = A+(τ)A−A+(τ)F= A+(τ)(C(τ + σ′) + τ ′)F= (λ+ τ ′)F.
Zatem je±li C(τ + nσ′)F0 = λ0F0, to
C(τ) A+(τ) · · ·A+(τ + (n− 1)σ′)F0
= (λ0 + nτ ′ + n(n− 1)σ′′
2)A+(τ) · · ·A+(τ + (n− 1)σ′)F0.
Korzystaj¡c z tego, »e
A+(τ) = ρ−1(z)∂zρ(z)σ(z),A+(τ + σ′) = ρ−1(z)σ−1(z)∂zρ(z)σ2(z),
· · · = · · ·A+(τ + (n− 1)σ′) = ρ−1(z)σ−(n−1)∂zρ(z)σn(z),
dostajemy
A+(τ) · · ·A+(τ + (n− 1)σ′)F0 = ρ−1∂zρ(z)σn(z)F0(z).
We¹my teraz F0 = 1, dla którego λ0 = 0. Dostajemy wtedy (5.27). 2
5.3 Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory wªasne operatora Sturma-Liouville'a
Szukamy takich odcinków [a, b] ⊂ R i wag [a, b] 3 x 7→ ρ(x), dla których istniej¡ wielomiany
P0, P1, . . . w speªniaj¡ce degPn = n,∫Pn(x)Pm(x)ρ(x)dx = cnδn,m (5.31)
i b¦d¡ce funkcjami wªasnymi operatora ró»niczkowego drugiego rz¦du C := σ(x)∂2x+τ(x)∂x, czyli
dla pewnych λn ∈ R (σ(x)∂2
x + τ(x)∂x + λn)Pn(x) = 0. (5.32)
(Dopuszczamy a = −∞ lub b =∞).
Wiemy ju», »e nale»y w tym celu speªni¢ nast¦puj¡ce warunki:
23
(1) σ musi by¢ wielomianem stopnia co najwy»ej 2 a τ wielomianem stopnia co najwy»ej 1.(Patrz Twierdzenie 5.1).
(2) Waga ρ musi by¢ rozwi¡zaniem równania
σ(x)ρ′(x) = (τ(x)− σ′(x))ρ(x), (5.33)
by¢ dodatnia a σ rzeczywiste. Wtedy bowiem operator C, który mo»na zapisa¢ jako
C = ρ(x)−1∂xρ(x)σ(x)∂x,
jest hermitowski przynajmniej na funkcjach znikaj¡cych w otoczeniu ko«ców przedziaªu
[a, b]. (Patrz Twierdzenie 3.1).
(3) Nale»y sprawdzi¢, czy operator jest hermitowski na przestrzeni wielomianów.
(i) W przypadku gdy koniec przedziaªu, powiedzmy a, jest sko«czon¡ liczb¡, jest to rów-
noznaczne z warunkiem ρ(a)σ(a) = 0. (Patrz Twierdzenie 3.2).(ii) Je±li koniec przedziaªu jest w niesko«czono±ci, np. a = −∞, to trzeba speªni¢
limx→−∞
|x|nσ(x)ρ(x) = 0
dla ka»dego n.
Dodatkowo, Pn powinny nale»e¢ do przestrzeni Hilberta L2([a, b], ρ), dla ka»dego n, a wi¦c
musi zachodzi¢ ∫ b
aρ(x)|x|ndx <∞. (5.34)
Troch¦ mocniejszy warunek ∫ b
aeε|x|ρ(x)dx <∞ (5.35)
dla pewnego ε > 0, wystarcza, aby dosta¢ baz¦ ortogonaln¡. (Patrz Twierdzenie 4.1).
Znajdziemy wszystkie przestrzenie z wag¡ L2([a, b], ρ) dla których takie wielomiany ortogo-
nalne istniej¡. B¦dziemy upraszcza¢ nasze odpowiedzi do standardowych postaci
(1) dokonuj¡c zamiany zmiennych x 7→ ax+ b dla a 6= 0;
(2) dziel¡c (zarówno równanie ró»niczkowe, jak i wag¦) przez staª¡.
Otrzymamy w ten sposób wszystkie tak zwane klasyczne wielomiany ortogonalne.
5.4 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0
Mo»na przyj¡¢, »e σ(x) = 1.Je±li degτ = 0, to
C = ∂2y + c∂y.
Latwo odrzuci¢ ten przypadek.
Zatem degτ = 1. CzyliC = ∂2
y + (ay + b)∂y.
24
Podstawmy x =√|a|2
(y + b
a
). Dostajemy
C = ∂2x + 2x∂x, a > 0; (5.36)
C = ∂2x − 2x∂x, a < 0. (5.37)
Dostajemy ρ(x) = e±x2.
σ(x)ρ(x) = e±x2nigdy si¦ nie zeruje, zatem jedynym mo»liwym przedziaªem jest [−∞,∞].
W przypadku a > 0, ρ(x) = ex2, co jest niemo»liwe ze wzgl¦du na (3ii).
W przypadku a < 0, ρ(x) = e−x2i dostajemy operator Hermite'a. Przedziaª [−∞,∞] jest
dopuszczalny, a nawet speªnia warunek (5.35). Dostajemy równanie i wag¦ dla wielomianów
Hermite'a, które zostan¡ omówione w nast¦pnym podrozdziale.
5.5 Wielomiany Hermite'a
Twierdzenie 5.3 Zdeniujmy wielomiany Hermite'a
Hn(x) =(−1)n
n!ex
2∂nx e−x
2.
Speªniaj¡ one równanie Hermite'a
(∂2x − 2x∂x + 2n)Hn(x) = 0.
oraz relacje
(−∂x + 2x)Hn(x) = (n+ 1)Hn+1(x) (5.38)
∂xHn(x) = 2Hn−1(x), (5.39)∞∑n=0
tnHn(x) = e2tx−t2 . (5.40)
Hn jest wielomianem stopnia n i jest to (z dokªadno±ci¡ do czynnika) jedyny wektor wªasny
operatora ∂2x − 2x∂x b¦d¡cy wielomianem stopnia n.
Dowód. Twierdzenie to wynika z Twierdzenia 5.2 dla
σ(x) = −1, ρ = e−x2.
Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacji
A− = ∂x,
A+ = −∂x + 2x = −ex2∂xe−x
2.
Speªniaj¡ one relacje
[A+, A−] = 2. (5.41)
25
Mamy Hn = (A+)n1n! . (1 oznacza tu wektor w L2(e−x
2zadany przez funkcj¦ równ¡ 1. Natomiast
w (5.41) 2 oznacza operator mno»enia przez liczb¦ 2.) St¡d wynika
A+Hn = (n+ 1)Hn+1, (5.42)
A−Hn = 2Hn−1. (5.43)
Aby dowie±¢ (5.43) u»ywamy (5.41).
Wreszcie (5.42), (5.43) pokazuj¡, »e
A+A−Hn = 2nHn. (5.44)
Ale
−∂2x + 2x∂x = A+A−. (5.45)
2
Twierdzenie 5.4 Hn stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L2(R, e−x2) z normalizacj¡∫ ∞
−∞Hn(x)2e−x
2dx =
√π2n
n!.
Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ ∞−∞
Hn(x)Hm(x)e−x2dx =
(−1)n
n!
∫ ∞−∞
(∂nx e−x
2)Hm(x)dx
=1n!
∫ ∞−∞
e−x2∂nxHm(x)dx. (5.46)
(5.46) równa si¦ zero dla n > m.
Niech n = m. Z (5.39) i H0 = 1 wynika ∂nxHn(x) = 2n. Zatem (5.46) jest równe
2n
n!
∫ ∞−∞
e−x2dx =
2n
n!√π.
2
Uwaga. Denicja wielomianów Hermite'a któr¡ wprowadzili±my jest zgodna z uogólnionym wzo-
rem Rodrigues'a (5.26). W literaturze spotyka si¦ te» inne denicje dla wielomianów Hermite'a,
np. Hn(x) := (−1)nex2∂nx e−x
2.
5.6 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1
Wystarczy ograniczy¢ si¦ do przypadku σ(y) = y.Je±li degτ = 0, to
C = y∂2y + c∂y
Ale takie C zawsze obni»a stopie« wielomianu. Czyli je±li CP = λP dla pewnego wielomianu, to
λ = 0. To oznacza, »e P (x) = x−c. Czyli nie dostaniemy wielomianów wszystkich stopni jako
funkcji wªasnych.
26
Zatem degτ = 1. Czyli, dla b 6= 0,
y∂2y + (a+ by)∂y. (5.47)
Przeskalowuj¡c, dostajemy operator wyst¦puj¡cy w równaniu Laguerre'a
C = −x∂2x + (−α− 1 + x)∂x.
Obliczamy, »e ρ = xαe−x. ρ(x)σ(x) = xα+1e−x zeruje si¦ jedynie dla x = 0 i α > −1.Przedziaª [−∞, 0] jest wyeliminowany przez warunek (3ii). Przedziaª [0,∞] jest dopuszczalny
dla α > −1, a nawet speªnia wtedy warunek 5.35.
Dostajemy równanie i wag¦ dla wielomianów Laguerre'a, które zostan¡ omówione w nast¦p-
nym podrozdziale.
5.7 Wielomiany Laguerre'a
Twierdzenie 5.5 Zdeniujmy wielomiany Laguerre'a
Lαn(x) =1n!
exx−α∂nx e−xxn+α
=(1 + α)n
n!F (−n; 1 + α;x).
Speªniaj¡ one równanie Laguerre'a, które jest równaniem konuentnym ze zmodykowanymi pa-
rametrami: (x∂2
x + (α+ 1− x)∂x + n)Lαn(x) = 0
oraz relacje
(x∂x + α− x)Lαn(x) = (n+ 1)Lα−1n+1(x), (5.48)
∂xLαn(x) = −Lα+1
n−1(x). (5.49)
Ln jest wielomianem stopnia n i jest to (z dokªadno±ci¡ do czynnika) jedyny wektor wªasny
operatora x∂2x + (α+ 1− x)∂x b¦d¡cy wielomianem stopnia n.
Dowód. Mo»na zastosowa¢ Twierdzenie 5.2 dla
σ(x) = x, ρ(x) = e−xxα.
Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacji
A− = −∂x,A+α = x∂x + α− x = x−α+1ex∂xxαe−x.
Speªniaj¡ one relacje
A+α+1A
− −A−A+α = 1. (5.50)
27
Mamy
Lαn =A+α+1 · · ·A
+α+n1
n!. (5.51)
(1 oznacza w (5.51) wektor zadany przez funkcj¦ równ¡ 1. Natomiast w (5.50) 1 oznacza operator
mno»enia przez liczb¦ 1.) St¡d wynika
A+αL
αn = (n+ 1)Lα−1
n+1, (5.52)
A−Lαn = Lα+1n−1. (5.53)
Aby dowie±¢ (5.53) u»ywamy (5.50).
Wreszcie (5.52), (5.53) pokazuje, »e
A+α+1A
−Lαn = nLαn. (5.54)
Ale
−x∂2x − (α+ 1− x)∂x = A+
α+1A−. (5.55)
2
Twierdzenie 5.6 Je±li α > −1, to wielomiany Laguerre'a stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L2([0,∞[, e−xxα)z normalizacj¡ ∫ ∞
0Lαn(x)2xαe−xdx =
Γ(1 + α+ n)n!
.
Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ ∞0
Lαn(x)Lαm(x)xαe−x2dx =
1n!
∫ ∞0
(∂nxx
n+αe−x)Lαm(x)dx
=(−1)n
n!
∫ ∞0
xn+αe−x∂nxLαm(x)dx. (5.56)
(5.56) równa si¦ zero dla n > m.
Niech n = m. Z (5.49) i Lα0 = 1 wynika ∂nxLαn(x) = (−1)n. Zatem (5.56) jest równe
1n!
∫ ∞0
xn+αe−xdx =Γ(n+ α+ 1)
n!.
2
5.8 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma pierwiastek podwójny
Mo»na przyj¡¢, »e σ(x) = x2.
Je±li τ(0) = 0, toC = x2∂2
x + cx∂x.
28
Funkcjami wªasnymi tego operatora s¡ co prawda wielomiany xn, ale waga ρ(x) = xc−2 jest
niedobra.
Zaªó»my zatem, »e τ(0) 6= 0. Przez przeskalowanie mo»na zaªo»y¢, »e
τ(x) = 1 + (γ + 2)x.
To daje ρ(x) = e−1xxγ . Jedyny punkt, gdzie ρ(x)σ(x) = e−
1xxγ+2 mo»e si¦ zerowa¢ jest x =
0. Zatem jedynymi mo»liwymi przedziaªami s¡ [−∞, 0] i [0,∞]. Oba s¡ wyeliminowane przez
warunek (3ii).
5.9 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma dwa pierwiastki
Je±li oba pierwiastki s¡ ró»ne i urojone, wystarczy zaªo»y¢, »e σ(x) = 1 + x2. Mo»na przyj¡¢, »e
τ(x) = a + (b + 2)x. Wtedy ρ(x) = ea arctanx(1 + x2)b. σ(x)ρ(x) nigdzie si¦ nie zeruje i dlatego
trzeba rozwa»a¢ przedziaª [−∞,∞]. Przypadek ten odrzucamy, gdy» lim|x|→∞ ρ(x)|x|n(1+x2) =∞ dla dostatecznie du»ych n.
Czyli mo»na zaªo»y¢, »e pierwiastki s¡ ró»ne i rzeczywiste. Wystarczy zaªo»y¢, »e σ(x) =1− x2. Niech
τ(x) = β − α− (α+ β − 2)x.
Dostajemy ρ(x) = |1 − x|β|1 + x|α. Podobnie jak powy»ej, warunek (3ii) eliminuje przedziaªy
[−∞,−1] i [1,∞]. Zostaje przedziaª [−1, 1], który speªnia warunek (3i) dla α, β > −1. Prowadzion do wielomianów Jacobiego omawianych w nast¦pnym podrozdziale.
5.10 Wielomiany Jacobiego
Twierdzenie 5.7 Zdeniujmy wielomiany Jacobiego
Pα,βn (x) =(−1)n
2nn!(1− x)−α(1 + x)−β∂nx (1− x)α+n(1 + x)β+n
=(n+ α)n
n!F (−n, n+ α+ β + 1;α+ 1;
1− x2
).
Speªniaj¡ one równanie Jacobiego, które jest nieco zmodykowanym równaniem hipergeometrycz-
nym: ((1− x2)∂2
x + (β − α− (α+ β + 2)x)∂x + n(n+ α+ β + 1))Pα,βn (x) = 0.
oraz relacje
∂xPα,βn (x) =
α+ β + n+ 12
Pα+1,β+1n−1 , (5.57)
−(1− x2)∂x + β − α− (α+ β)x2
Pα,βn (x) = (n+ 1)Pα−1,β−1n+1 (x). (5.58)
Pα,βn s¡ wielomianami stopnia ≤ n. Je±li dodatkowo −α − β 6∈ 1, 2, . . ., to Pα,βn jest wie-
lomianem stopnia n i jest to (z dokªadno±ci¡ do czynnika) jedyny wektor wªasny operatora
(1− x2)∂2x + (β − α− (α+ β + 2)x)∂x b¦d¡cy wielomianem stopnia n.
29
Dowód. Mo»na zastosowa¢ Twierdzenie 5.2 dla
σ(x) =x2 − 1
2, ρ(x) = (1− x)α(1 + x)β.
Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacji
A− = ∂x,
A+α,β = −1
2((1− x2)∂x + β − α− (α+ β)x
)= −1
2(1− x)−α+1(1 + x)−β+1∂x(1− x)α(1 + x)β.
Speªniaj¡ one relacje
A−A+α,β −A
+α+1,β+1A
− =α+ β
2. (5.59)
Mamy
Pα,βn =A+α+1,β+1 · · ·A
+α+n,β+n1
n!. (5.60)
St¡d wynika
A+α,βP
α,βn = (n+ 1)Pα−1,β−1
n+1 , (5.61)
A−Pα,βn =α+ β + n+ 1
2Pα+1,β+1n−1 . (5.62)
Aby dowie±¢ (5.62) u»ywamy (5.59) i sumujemy szereg arytmetyczny.
Wreszcie (5.61), (5.62) pokazuje, »e
A+α+1,β+1A
−Pα,βn =n(α+ β + n+ 1)
2Pα,βn . (5.63)
Ale
−12
(1− x2)∂2x + (−β + α+ (α+ β)x)∂x = A+
α+1,β+1A−. (5.64)
2
Twierdzenie 5.8 Je±li α, β > −1, to wielomiany Jacobiego stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w
L2([−1, 1], (1− x)α(1 + x)β) z normalizacj¡∫ 1
−1(Pα,βn (x))2(1− x)α(1 + x)βdx =
Γ(1 + α+ n)Γ(1 + β + n)2α+β+1
(1 + 2n+ α+ β)n!Γ(1 + α+ β + n).
Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ 1
−1Pα,βn (x)Pα,βm (x)(1− x)α(1 + x)βdx
=(−1)n
2nn!
∫ 1
−1
(∂nx (1− x)α+n(1 + x)β+n
)Pα,βm (x)dx
=1
2nn!
∫ 1
−1(1− x)α+n(1 + x)β+n∂nxP
α,βm (x)dx. (5.65)
30
(5.65) równa si¦ zero dla n > m.
Niech n = m. Z (5.58) i Pα,β0 = 1 wynika ∂nxPα,βn (x) = (α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n).
Zatem (5.56) jest równe
12nn!
∫ 1
−1(1− x)α+n(1 + x)β+n(α+ β + n+ 1) · · · (α+ β + 2n)dx
=2α+β+1
n!
∫ 1
0tα+n(1− t)β+n(α+ β + n+ 1) · · · (α+ β + 2n)dt
=Γ(1 + α+ n)Γ(1 + β + n)2α+β+1
(1 + 2n+ α+ β)n!Γ(1 + α+ β + n).
2
5.11 Wielomiany ultrasferyczne (Gegenbauera lub Jacobiego z α = β)
Rozwa»my szczególny przypadek wielomianów Jacobiego dla α = β = m. Wtedy
σ(x) =x2 − 1
2, ρ(x) = (1− x2)m.
Uwaga 5.9 W literaturze, czasami zamiast wielomianów Pm,mn (x) stosuje si¦ wielomiany Ge-
genbauera zdeniowane jako
Cλn(x) :=(2λ)n
(λ+ 12)n
Pλ− 1
2,λ− 1
2n (x).
Speªniaj¡ one równanie Gegenbauera, które jest równaniem (5.67) z parametrem λ = m+ 12 :(
(1− x2)∂2x − (2λ+ 1)x∂x + n(n+ 2λ)
)Cλn(x) = 0. (5.66)
Ich zalet¡ jest nast¦puj¡ca funkcja tworz¡ca:
(1− 2xt+ t2)−λ =∞∑n=0
tnCλn(x).
W zastosowaniach stopie« jest dany cz¦sto przez n = l−m. Dla konsystencji z pó¹niejszymi
oznaczeniami, zamieniamy x na w. Wielomiany Jacobiego w tym wypadku s¡ zdeniowane
wzorem
Pm,ml−m (w) =(−1)l−m
2l−m(l −m)!(1− w2)−m∂l−mw (1− w2)l.
Speªniaj¡ one równanie((1− w2)∂2
w − 2(m+ 1)w∂w + (l −m)(l +m+ 1))Pm,ml−m (w) = 0. (5.67)
Dla m > −1 i l − m = 0, 1, 2, . . . stanowi¡ one ukªad ortogonalny w L2([−1, 1], (1 − w2)m) z
normalizacj¡ ∫ 1
−1(Pm,ml−m (w))2(1− w2)mdw =
Γ(1 + l)222m+1
(1 + 2l)(l −m)!Γ(1 + l +m). (5.68)
31
Lemat 5.10 Wyraz o najwy»szej pot¦dze Pm,ml−m (w) jest równy wl−m Γ(2l+1)2l−m(l−m)!Γ(l+m+1)
.
Dowód. Dla du»ych w
Pm,ml−m (w) =(−1)l−m
2l−m(l −m)!(−w2)−m∂l−mw (−w2)l
= wl−m2l · · · (l −m+ 1)
2l−m(l −m)!.
Twierdzenie 5.11 Niech l = 0, 1, . . ., m = 0, 1, . . . , l. Wtedy
P−m,−ml+m (w) =(−1)m(1− w2)m
22mPm,ml−m (w). (5.69)
Dowód. Zauwa»my najpierw, »e
(1− w2)m((1− w2)∂2
w − 2(m+ 1)w∂w + (l −m)(l +m+ 1))
(1− w2)−m
=((1− w2)∂2
w − 2(−m+ 1)w∂w + (l +m)(l −m+ 1)). (5.70)
Zatem operator (5.70) anihiluje zarówno (1− w2)mPm,ml−m (w) jak i P−m,−ml+m (w). Obie funkcje s¡
wielomianami, pierwsza ma najstarszy wyraz wl−m+2m(−1)m (2l)!2l−m(l−m)!(l+m)!
, druga ma najstar-
szy wyraz wl+m 2l+m(2l)!(l−m)!(l+m)! . 2
5.12 Wielomiany Legendre'a
Szczególnie wa»nym przypadkiem wielomianów Jacobiego jest α = β = 0 (co dla wielomianów
Gegenbauera odpowiada λ = 12). Mamy wtedy
σ(w) =w2 − 1
2, ρ(w) = 1.
Dostajemy wtedy wielomiany Legendre'a:
Pl(w) := P 0,0l (w) = C
12l (w) =
(−1)l
2ll!∂lw(1− w2)l.
Speªniaj¡ one równanie Legendre'a((1− w2)∂2
w − 2w∂w + l(l + 1))Pl(w) = 0. (5.71)
Stanowi¡ one ukªad ortogonalny w L2([−1, 1]) z normalizacj¡∫ 1
−1Pl(w)2dw =
2(1 + 2l)
.
Mamy P0 = 1, P1(w) = w, P2(w) = 12(3w2 − 1).
32
Twierdzenie 5.12 Wielomian Legendre'a jest jedynym rozwi¡zaniem równania Legendre'a speª-
niaj¡cym Pl(1) = 1.
Dowód. Przez indukcj¦ sprawdzamy, »e dla k = 1, . . . , l,
∂kw(1− w2)ll = (−1)k(2w)kl · · · (l − k + 1)(1− w2)l−k + C(w)(1− w2)l−k+1,
gdzie C(w) jest wielomianem. Kªad¡c k = l i stosuj¡c wzór Rodrigueza dostajemy Pl(1) = 1.Jedyno±¢ wynika z bardziej ogólnego faktu dotycz¡cego równania Jacobiego. 2
6 Harmoniki sferyczne
6.1 Operator translacji
W L2(R) dla t ∈ R deniujemy rodzin¦ operatorów
(Ut)f(x) := f(x− t).
Zauwa»my, »e s¡ one unitarne, speªniaj¡ UtUs = Ut+s, Ut = 1. Zdenujmy generator translacji
∂x. W mechanice kwantowej zwyczajowo zamiast niego u»ywa si¦ operatora p¦du p = 1i ∂x,który
jest hermitowski na C∞0 (R). Mamy
ddtUtf = −∂xUtf.
Dlatego te» piszemy
Ut = e−t∂x .
6.2 Operator obrotu w L2(R2)
W L2(R2) dla ψ ∈ R deniujemy rodzin¦ operatorów
(Rψf)(x, y) := f(cosψx+ sinψy,− sinψx+ cosψy).
Zauwa»my, »e s¡ one unitarne i speªniaj¡ Rψ1Rψ2 = Rψ1+ψ2 , R0 = 1.Zdeniujmy generator obrotów
L = x∂y − y∂x.
W mechanice kwantowej zwyczajowo zamiast niego u»ywa si¦ operatora momentu p¦du 1iL,
który jest hermitowski. Poka»my, »e
ddψ
Rψf = −LRψ. (6.72)
Wprowad¹my oznaczenia
x := x cosψ + y sinψ, y := −x sinψ + y cosψ.
33
ddψ
Rψf(x, y) = (−x sinψ + y cosψ)∂xf(x, y)
+(−x cosψ − y sinψ)∂yf(x, y),LRψf(x, y) = x(sinψ∂x + cosψ∂y)f(x, y)
−y(cosψ∂x − sinψ∂y)f(x, y),
co dowodzi (6.72). Dlatego te» piszemy
Rψ = e−ψL.
6.3 Wspóªrz¦dne biegunowe
Wprowad¹my wspóªrz¦dne biegunowe
x = r cosφ, y = r sinφ.
Zamiana wspóªrz¦dnych kartezja«skich na biegunowe mo»na interpretowa¢ jako odwzorowanie
unitarne U : L2(R2)→ L2([0,∞[×[0, 2π], rdrdφ) zdenowane przez
(Uf)(r, φ) := f(r cosφ, r sinφ).
We wspóªrz¦dnych biegunowych operator Rψ dziaªa jak
(U−1RψUf)(r, φ) = f(r, φ− ψ).
Generator przybiera posta¢ (U−1LU)f = ∂φ.
6.4 Przestrze« L2(Rd)
Rozwa»my L2(Rd). W tej przestrzeni dziaªaj¡ operatory unitarne translacji e−t∂xi , obrotu e−ψLij
i skalowania es(D+ d2
), gdzie
Lij = xi∂xj − xj∂xi ,D : = x1∂x1 + · · ·+ xd∂xd .
6.5 Laplasjan
Deniujemy Laplasjan jak
∆ =d∑i=1
∂2xi .
Latwo si¦ przekona¢, »e ∆ jest niezmienniczy ze wzgl¦du na te transformacje translacje i
obroty:
e−t∂xi∆ = ∆e−t∂xi ,e−ψLij∆ = ∆e−ψLij .
34
6.6 Kwadrat momentu p¦du
Zdeniujmy
∆LB :=∑i<j
L2ij
Zauwa»my, »e dla ka»dego ij,
e−ψLij∆LB = ∆LBe−ψLij .
Czyli operator ∆LB jest niezmienniczy ze wzgl¦du na obroty. Jest on te» niezmienniczy ze
wzgl¦du na skalowanie i mno»enie przez r:
e−s(D+ d2
)∆LB = ∆LBe−s(D+ d2
),
r∆LB = ∆LBr.
6.7 Laplasjan i operator laplace'a-Beltramiego we wspóªrz¦dnych sferycz-nych
Zaªó»my, »e Ω = (ω1, . . . , ωd−1) s¡ wspóªrz¦dnymi na sferze.
Doª¡czaj¡c r :=√x2
1 + · · ·+ x2d do wspóªrz¦dnych Ω = (ω1, . . . , ωd−1) dostajemy wspóª-
rz¦dne w Rd. (Takie wspóªrz¦dne mo»na nazwa¢ uogólnionymi wspóªrz¦dnymi sferycznymi).
Twierdzenie 6.1
D = r∂r, (6.73)
∆ = ∂rrd−1∂r +
1r2
∆LB
= ∂2r +
d− 1r
∂r +1r2
∆LB. (6.74)
Poza tym, Lij i ∆LB zale»¡ tylko od wspóªrz¦dnych Ω na sferze.
Dowód. Mo»na zapisa¢
D = c0(r,Ω)∂r +d−1∑j=1
cj(r,Ω)∂ωj .
Mamy
D√x2
1 + · · ·+ x2d =
√x2
1 + · · ·+ x2d,
Dxj√
x21 + · · ·+ x2
d
= 0, j = 1, d.
Z drugiego wzoru wynika, »e Dωj = 0, j = 1, . . . , d − 1. Z pierwszego wynika, »e c0(r,Ω) = r.To dowodzi (6.73).
35
Mamy
L2ij = x2
i ∂2xj + x2
j∂2xi − xixj∂xi∂xj − xi∂xi − xj∂xj .
Dlatego ∑i<j
L2ij =
∑i 6=j
x2i ∂
2xj −
∑i 6=j
xixj∂xi∂xj − (d− 1)∑i
xi∂xi
=∑i,j
x2i ∂
2xj −
∑i,j
xixj∂xi∂xj − (d− 1)∑i
xi∂xi
=∑i,j
x2i ∂
2xj − (
∑i
xi∂xi)2 − (d− 2)
∑i
xi∂xi
= r2∆−D2 − (d− 2)D.
To dowodzi (6.74).
Mamy Lijr = rLij . To dowodzi, »e w Lij nie wyst¦puje pochodna po r.Mamy równie» LijD = DLij . Korzystaj¡c z tego, »e D = r∂r widzimy, »e w Lij nie wyst¦puje
zale»no±¢ od r.Poniewa» ∆LB wyra»a si¦ poprzez Lij , widzimy, »e ∆LB równie» nie zawiera ∂r ani »adnej
zale»no±ci od r. 2
6.8 Przestrze« L2(Sd−1)
Niech
Sd−1 := (x1, . . . , xd) ∈ Rd : x21 + · · ·+ x2
d = 1
oznacza sfer¦ jednostkow¡ w Rd. Przez dΩ b¦dziemy oznacza¢ miar¦ naturaln¡ na sferze. Jest
to miara, która jest niezmiennicza ze wzgl¦du na obroty i caªa sfera ma obj¦to±¢ 2πd2
Γ( d2
). Mo»emy
wprowadzi¢ przestrze« Hilberta L2(Sd−1) skªadaj¡c¡ si¦ z funkcji mierzalnych na Sd−1 takich,
»e ∫|f(Ω)|2dΩ <∞,
z iloczynem skalarnym
(f |g) =∫f(Ω)g(Ω)dΩ.
Zamiana wspóªrz¦dnych kartezja«skich na biegunowe mo»na interpretowa¢ jako odwzorowa-
nie unitarne U : L2(R2)→ L2([0,∞[×[0, 2π], rd−1drdΩ) zdenowane przez
(Uf)(r,Ω) := f(x1, . . . , xd).
Operatory obrotu UeψLijU−1 i operator U∆LBU−1 dziaªaj¡ tylko na wspóªrz¦dne Ω. Mo»na
zatem zinterpretowa¢ je jako operatory dziaªaj¡cy wyª¡cznie na L2(SD−1). Tak zinterpretowane
operatory b¦dziemy oznaczali równie» eψLij i ∆LB (co jest pewnym nadu»yciem). Operatory
eψLij s¡ unitarne na L2(Sd−1dΩ). Operator ∆LB jest samosprz¦»ony na L2(Sd−1dΩ) i nazy-
wamy go operatorem Laplace'a-Beltramiego na sferze. Naszym gªównym zadaniem b¦dzie teraz
diagonalizacja ∆LB.
36
6.9 Wielomiany wielu zmiennych
Wielomianem zale»nym od zmiennych x1, . . . , xd nazywamy sko«czon¡ kombinacj¦ liniow¡ wy-
ra»e« postaci
xk11 · · ·xkdd .
Czyli s¡ to funkcje postaci
P (x1, · · ·xd) =∑
k1,...,kd
Pk1,...kdxk11 · · ·x
kdd .
Stopie« wielomianu P deniujemy jako
degP := maxk1 + · · ·+ kd : Pk1,...,kd 6= 0.
6.10 Wielomiany jednorodne wielu zmiennych
Mówimy, »e P jest wielomianem jednorodnym stopnia l, gdy
P (λx1, · · ·λxd) = λlP (x1, · · ·xd).
Innymi sªowy, mamy wtedy
P (x1, · · ·xd) =∑
k1+···+kd=l
Pk1,...,kdxk11 · · ·x
kdd .
Niech Poll oznacza przestrze« wielomianów jednorodnych stopnia l
Twierdzenie 6.2 Wymiar przestrzeni wielomianów jednorodnych l-tego stopnia d zmiennych
wynosi
dim Poll :=(d+ l − 1d− 1
)=
(d+ l − 1)!(d− 1)!l!
. (6.75)
Dowód. Rozwa»my d + l − 1 biaªych kulek ustawionych w rz¡d. Zaczerniamy d − 1 spo±ród
nich. Dostajemy n rz¡dków biaªych kulek. W j-tym rz¡dku jest kj kulek, w sumie k1 + · · ·+kd =d+ l− 1− (d− 1) = l. Liczba mo»liwych takich konguracji wynosi tyle ile d− 1 elementowych
kombinacji w zbiorze l + d− 1-elementowym, czyli (6.75). 2
6.11 Wielomiany harmoniczne
Mówimy, »e wielomian H jest wielomianem harmonicznym, je±li
∆H = 0.
Niech Harl oznacza przestrze« wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l.
Twierdzenie 6.3 Wymiar przestrzeni wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l wwymiarze d wynosi dim Harl = dim Poll − dim Poll−2.
37
Dowód. Niech H b¦dzie wielomianem jednorodnym stopnia l. Wtedy ∆H jest wielomianem
jednorodnym stopnia l− 2. Dostajemy zatem operator liniowy ∆l : Poll → Poll−2. Ale Ker∆l =Harl. Zatem
dim Poll = dim Ran∆l + dim Ker∆l
≤ dim Poll−2 + dim Harl.
Niech P ∈ Poll−2. Twierdz¦, »e x21P jest harmoniczny tylko gdy P = 0. Zawsze bowiem
mo»na zapisa¢ P = Pkxl−k−21 , gdzie Pk jest wielomianem stopnia k nie zawieraj¡cym x1. Niech
x21P b¦dzie harmoniczny. Wtedy
0 = ∆x21P =
∑(l − k)(l − k − 1)xl−k−2
1 Pk +∑
xl−k1 ∆Pk
=∑
xl−k−21 ((l − k)(l − k − 1)Pk + ∆Pk+2) . (6.76)
Niech k0 b¦dzie najwy»szym stopniem dla którego Pk0 6= 0. Wtedy ∆Pk0+2 = 0. Ka»dy z
wyrazów w sumie (6.76) musi by¢ zero. Dlatego (l − k0)(l − k0 − 1)Pk0 = 0, co jest niemo»liwe,
bo k0 ≤ l − 2.Czyli je±li Tl−2 jest operatorem mno»enia przez x2
1 na Poll−2, to
dim Poll ≥ dim RanTl−2 + dim Harl
= dim Poll−2 + dim Harl.
2
A oto przykªady wielomianów harmonicznych jednorodnych:
Wymiar d = 2. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia m ≥ 1 we wspóªrz¦dnych karte-
zja«skich i biegunowych:
(x± iy)m = rme±iφ.
h1,0 = 1, h1,l = 2, l ≥ 1.Wymiar d = 3. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia l ≥ 1 we wspóªrz¦dnych karte-
zja«skich i sferycznych
(x sinψ − y cosψ ± iz)l = rl(sin θ sin(φ− ψ)± i cos θ)l
h2,l = 2l + 1.
6.12 Harmoniki sferyczne
Mówimy, »e funkcja Y : Sd−1 → C jest harmonik¡ sferyczn¡ stopnia l, je±li istnieje harmoniczny
wielomian H jednorodny stopnia l taki, »e Y jest obci¦ciem H do sfery. Równowa»ny warunek:
(x21 + · · ·x2
d)l2Y
x1, . . . xd√x2
1 + · · ·x2d
jest wielomianem harmonicznym
38
A oto przykªady harmonik sferycznych:
Wymiar d = 2 Rozwa»amy wspóªrz¦dne biegunowe: Harmoniki sferyczne stopnia m:
e±imφ.
Wymiar d = 3 Rozwa»amy wspóªrz¦dne kartezja«skie i sferyczne: Harmoniki sferyczne stopnia
l:(cos θ sin(φ+ ψ)± i sin θ)l.
Twierdzenie 6.4 Niech Yl b¦dzie harmonik¡ sferyczn¡ stopnia l. Wtedy
∆LBYl = −l(l + d− 2)Yl.
Dowód.
0 = ∆rlYl =(∂rr
d−1∂r +1r2
∆LB
)rlYl
= l(l + d− 2)rl−2Yl + rl−2∆LBYl.
2
Harmoniki sferyczne stopnia l tworz¡ podprzestrze« w L2(Sd−1). Oznaczmy j¡ przez Hd,l.
Twierdzenie 6.5 (1) Hd,l jest przestrzeni¡ wektorów wªasnych operatora ∆LB na L2(Sd−1) z
warto±ci¡ wªasn¡ l(l + d− 2).
(2) Hd,l s¡ wzajemnie ortogonalne dla ró»nych l.
(3) Kombinacje liniowe elementów Hl s¡ g¦ste w L2(Sd−1).
(4) Operatory obrotu eψLij zachowuj¡ Hd,l.
Dowód. (2) wynika z (1) i z tego, »e ∆LB jest operatorem samosprz¦»onym na L2(Sd−1).(3) wynika z Twierdzenia Stone'a-Weierstrassa, które mówi, »e wielomiany s¡ g¦ste przestrzeni
funkcji ci¡gªych na zwartym podzbiorze Sd−1 w normie supremum. Z kolei funkcje ci¡gªe s¡ g¦ste
w L2(Sd−1).(4) wynika z tego, »e eψLij∆LB = ∆LBeψLij . 2
(2) i (3) mo»na razem wyrazi¢ równo±ci¡ L2(Sd−1) =∞⊕l=0Hd,l.
6.13 Standardowa baza harmonik sferycznych w L2(S2)
Rozwa»amy S2 we wspóªrz¦dnych sferycznych
x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ.
r =√x2 + y2 + z2, θ = arctan
√x2 + y2
z, φ = arctan
y
x.
39
Macierz Jacobiego jest równa∂r∂x
∂r∂y
∂r∂z
∂θ∂x
∂θ∂y
∂θ∂z
∂φ∂x
∂φ∂y
∂φ∂z
=
sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ
rcos θ sinφ
r − sin θr
− sinφr sin θ
cosφr sin θ 0
.Dalej dostajemy, podstawiaj¡c w = − cos θ,
Lx = y∂z − z∂y = − sinφ∂θ −cos θ cosφ
sin θ∂φ
= − sinφ√
1− w2∂w +w√
1− w2cosφ∂φ,
Ly = z∂x − x∂z = − cosφ∂θ −cos θ sinφ
sin θ∂φ
= cosφ√
1− w2∂w +w√
1− w2sinφ∂φ,
Lz = x∂y − y∂x = ∂φ.
Operator Laplace'a Beltramiego na S2 ma posta¢
∆LB =1
sin θ∂θ sin θ∂θ +
∂2φ
sin2 θ
= ∂w(1− w2)∂w +∂2φ
1− w2
= (1− w2)∂2w − 2w∂w +
∂2φ
1− w2,
gdzie w = cos θ, ∂θ = (1− w2)12∂w.
Szukamy harmonik sferycznych w postaci Y (θ, φ) = f(cos θ)eimφ. Dostajemy równanie(∂w(1− w2)∂w −
m2
1− w2+ l(l + 1)
)f(w) = 0 (6.77)
(6.77) znane jest jako stowarzyszone równanie Legendre'a. Równanie to mo»na przeksztaªci¢ do
równania Jacobiego z α = β = m (równania Gegenbauera):
(1− w2)−m2
((1− w2)∂2
w − 2w∂w −m2
1− w2+ l(l + 1)
)(1− w2)
m2
= (1− w2)∂2w − (2 + 2m)w∂w + (l −m)(l +m+ 1),
(patrz (5.70)). Pami¦tamy, »e wielomiany Jacobiego Pm,ml−m speªniaj¡((1− w2)∂2
w − (2 + 2m)w∂w + (l −m)(l +m+ 1))Pm,ml−m (w) = 0.
Zatem
e±imφ(1− w2)m2 Pm,ml−m (w) = (−1)l−me±imφ sinm(θ)Pm,ml−m (cos θ). (6.78)
40
s¡ harmonikami sferycznymi stopnia l.Standardowa miara na sferze wynosi
dΩ = cos θdθdφ = dwdφ.
Jedn¡ ze standardowych normalizacji harmonik (6.78) jest
Yl,m(θ, φ) =
√(l + 1) · · · (l + |m|)(l − |m|+ 1) · · · l
2−meimφ sin|m|(θ)P |m|,|m|l−|m| (cos θ).
Twierdzenie 6.6 Funkcje Yl,m stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L2(S2) speªniaj¡c¡∫ π
0sin θdθ
∫ π
π
dφ |Yl,m(θ, φ)|2 =4π
1 + 2l.
Dowód. Dla ró»nych m1 6= m2, iloczyn skalarny (Yl1,m1 |Yl2,m2) znika po przecaªkowaniu po φ.W dalszym ci¡gu, wystarczy zaªo»y¢, »e m ≥ 0. Wielomiany Jacobiego Pm,mn stanowi¡ baz¦
ortogonaln¡ w L2([−1, 1], (1− w2)m). Speªniaj¡ one∫ 1
−1Pm,ml−m (w)2(1− w2)mdw =
22m+1l · · · (l −m+ 1)(1 + 2l)(l + 1) · · · (l +m)
.
(Patrz (5.68)). Dlatego,∫ π
0sin θdθ
∫ π
−πdφY l1,m(θ, φ)Yl2,m(θ, φ)
= 2−2m2π
√(l1 + 1) · · · (l1 +m)l1 · · · (l1 −m+ 1)
√(l2 + 1) · · · (l2 +m)l2 · · · (l2 −m+ 1)
∫ 1
−1dw(1− w2)mPm,ml1−m(w)Pm,ml2−m(w)
= δl1,l24π
2l1 + 1.
2
6.14 Potencjaª elektrostatyczny
Mówimy, »e funkcja f jest harmoniczna, je±li ∆f = 0. Przykªadem funkcji harmonicznej na
R3\(0, 0, 0) jest (x2 + y2 + z2)−12 . Po przesuni¦ciu te» jest harmoniczna. Zatem
(x2 + y2 + (z − 1)2)−12 (6.79)
jest harmoniczne na R3\(0, 0, 1)
Twierdzenie 6.7 Dla |r| < 1 i −1 ≤ w ≤ 1 mamy
(r2 − 2r cos θ + 1)−12 =
∞∑l=0
Pl(w). (6.80)
Zatem
Pl(w) =1l!∂lr(r
2 − 2rw + 1)−12
∣∣∣r=0
. (6.81)
41
Dowód. Funkcja r 7→ (r2 − 2r cos θ + 1)−12 ma punkty rozgaª¦zienia tam gdzie zeruje si¦
r2 − 2r cos θ + 1, czyli w r = w ± i√
1− w2. Zatem w kole |r| < 1 jest analityczna i mo»na j¡
rozwin¡¢ w szereg wzgl¦dem r.Funkcja (6.79) we wspóªrz¦dnych biegunowych jest równa (r2 − 2r cos θ + 1)−
12 .
0 = ∆(r2 − 2rw + 1)−12
=(∂2r +
2r∂r +
1r2
((1− w2)∂2
w − 2w∂w +1
1− w2∂2φ
)) ∞∑l=0
rlPl(w)
=∞∑l=0
rl−2(l(l − 1) + 2l + (1− w2)∂2
w − 2w∂w)Pl(w).
Zatem Pl(w) speªniaj¡ l-te równanie Legendre'a((1− w2)∂2
w − 2w∂w + l(l + 1))Pl(w). (6.82)
Ze wzoru (6.81) ªatwo wynika, »e Pl(w) s¡ wielomianami l-tego stopnia. Zatem Pl(w) musz¡ by¢
proporcjonalne do wielomianów Legendre'a.
Kªadziemy w = 1:
(r2 − 2r + 1)−12 = (1− r)−1
=∞∑l=0
rl =∞∑l=0
Pl(1).
Zatem Pl(w) s¡ wielomianami Legendre'a. 2
Ladunek elektrostatyczny 4π umieszczony w (0, 0, r) wywoªuje punkcie oddalonym o R od
centrum i pod k¡tem cos θ = w potencjaª
(R2 − 2Rrw + r2)−12 =
∑∞
l=0 rlR−l−1Pl(w), R > r;∑∞
l=0Rlr−l−1Pl(w), R < r.
6.15 Funkcje Legendre'a
Niech l = 0, 1, . . . i m = −l, . . . , l. Wprowadza si¦ cz¦sto tzw. funkcje Legendre'a
Pml (w) :=2−m(l +m)!
l!(1− w2)
m2 Pm,ml+m (w), lub
Pml (w) := (−1)m2−m(l +m)!
l!(1− w2)
m2 Pm,ml+m (w).
(Pierwszy wzór stosuje tzw. konwencj¦ Condona-Shockley'a). S¡ one rozwi¡zaniami stowarzy-
szonego równania Legendre'a (6.77).
42
Niech l = 0, 1, . . . i m = 0, . . . , l. Mamy wtedy to»samo±ci dla wielomianów Jacobiego
2−m(1− w2)m2 Pm,ml+m (w) = 2m(1− w2)−
m2 P−m,−ml+m (w)
=(−1)l−m
2l(l +m)!(1− w2)−
m2 ∂l+mw (1− w2)l
=(−1)ml!(l +m)!
(1− w2)−m2 ∂mw Pl(w).
Dlatego te» dla stowarzyszone funkcje Legendre'a mo»na wyrazi¢ poprzez wielomiany Legendre'a
Pml (w) := (−1)m(1− w2)m2 ∂mw Pl(w), lub
Pml (w) := (1− w2)m2 ∂mw Pl(w).
Mamy te» to»samo±¢
P−ml (w) = (−1)m(l −m)!(l +m)!
Pml (w).
Dostajemy wi¦c nast¦puj¡ce wyra»enie harmonik sferycznych (stosujemy konwencj¦ Condona-
Shockleya):
Yl,m(θ, φ) =(−1)meimφ√
(l −m+ 1) · · · (l +m)Pml (cos θ).
43
