Uniwersytet Jagiello«skiWydziaª Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej

Praca magisterska

Korespondencja AGT i wielomiany Jacka

Jacek Grela

Opiekun: dr hab. Leszek Hadasz

Kraków, czerwiec 2012

Spis tre±ci

1 Wst¦p 3

2 Konforemna teoria pola 42.1 Grupa konforemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Tensor energii-p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Rozwini¦cie OPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Moduª Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Przestrze« stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Konkretne realizacje CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Pole bozonowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Tensor energii-p¦du dla pola bozonowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Operatory wierzchoªkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.4 Przestrze« Focka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 Funkcje korelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Formalizm gazu Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Tensor energii-p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Waga konforemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Korelatory w formalizmie gazu Coulomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Model Calogero-Sutherlanda 193.1 Przepisanie hamiltonianu w j¦zyku operatorów kreacji i anihilacji . . . . . . . . 203.2 Stan podstawowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Przej±cie do hamiltonianu w postaci wymiernej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Operator p¦du P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Operator energii H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Wektory wªasne w modelu CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Warto±ci wªasne hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Konstrukcja wielomianów Jacka Jλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Wprowadzenie zmiennych pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.1 Operator p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.2 Operator energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 Zwi¡zek modelu z algebr¡ Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.2 Sprawdzenie algebry Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Przedstawienie Hamiltonianu w reprezentacji gazu Coulomba . . . . . . . . . . . 363.7.1 Wyliczenie Hamiltonianu w przestrzeni Fα . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7.2 Generatory Virasoro w przestrzeni Fα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7.3 Stany wªasne H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Korespondencja AGT 414.1 Wprowadzenie do problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.1 Wektory bazowe postaci |P 〉λ,∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 Obliczenie elementu macierzowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.3 Obliczenie mianownika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Licznik wzoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1 Przygotowanie licznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Obliczenie licznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Dalsze elementy dowodu hipotezy AGT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2

5 Supersymetryczny model CS 505.1 Supersymetria w modelu CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Przej±cie do zmiennych wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Hamiltonian w j¦zyku symetrycznych funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Supersymetryczne wielomany Jacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.1 Przej±cie do przestrzeni F sα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Podstawowe informacje o SCFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.1 Algebra Neveu-Schwarza-Ramonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5.2 Operator wierzchoªkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Literatura 68

1 Wst¦p

Konforemna teoria pola zostaªa zaproponowana po raz pierwszy przez Polyakova w 1970 rokujako opis ukªadów w pobli»u punktu krytycznego. W roku 1984 powstaªa praca [1], w którejautorzy nakre±laj¡ konstrukcj¦ wymiernych modeli konforemnych i dyskutuj¡ tzw. podej±ciebootstrap do teorii. W trakcie jej rozwoju teoria konforemna zostaªa zastosowana do teorii struni problemów zyki ciaªa staªego (np. kwantowy efekt Halla).

Celem pracy jest zapoznanie z konforemn¡ teori¡ pola oraz modelami Calogero-Sutherlandai zastosowanie tej wiedzy do przeprowadzenia bezpo±redniego rachunku w dowodzie hipotezyAGT. Ponadto, ostatni rozdziaª jest wst¦pem do dalszego zbadania relacji AGT w przypadkusupersymetrycznej teorii konforemnej.

W pierwszym rozdziale pracy przedstawiamy zarys struktury teorii CFT jako dwuwymi-arowej kwantowej teorii pola. Zaczynamy od dyskusji symetrii konforemnej i szczególno±cidwóch wymiarów, wprowadzamy iloczynowe rozwini¦cie operatorowe OPE i konstruujemy przes-trze« stanów. Ponadto przedstawiamy niesko«czenie wymiarow¡ algebr¦ Virasoro jako konsek-wencj¦ symetrii konforemnej. Wprowadzamy operator pola bozonowego i konstruujemy z niegotzw. operator wierzchoªkowy. Ostatnim elementem we wst¦pie jest wprowadzenie do formal-izmu gazu Coulomba.

W nast¦pnym rozdziale przechodzimy do dyskusji kwantowego ukªadu wielu cz¡stek w jed-nym wymiarze oddziaªuj¡cego ze sob¡ potencjaªem typu 1/x2. Modele opisuj¡ce takie ukªadyzostaªy odkryte niezale»nie przez Calogero [2] i Sutherlanda [3]. Zajmujemy si¦ tak¡ klas¡modeli poniewa» s¡ znane ich dokªadne rozwi¡zania - s¡ to wielomiany Jacka. Ponadto, istniejeukryty zwi¡zek mi¦dzy tymi teoriami i algebr¡ Virasoro b¦d¡c¡ centralnym poj¦ciem w teoriiCFT. W rozdziale przeprowadzili±my »mudne rachunki przej±¢ pomi¦dzy modelami w formietrygonometrycznej i wymiernej, pokazali±my tak»e ogólne rozwi¡zania modelu jako wielomianyJacka. Ostatnim punktem byªo rachunkowe wykazanie wspomnianego wcze±niej zwi¡zku mod-elu CS z teori¡ CFT.

Gªównym wkªadem wªasnym do pracy jest rozdziaª po±wi¦cony dowodowi hipotezy AGT[4]. Odpowiednio±¢ zaproponowana przez Aldaya, Gaiotto i Tachikaw¦ ustala relacj¦ pomi¦dzyczterowymiarowymi supersymetrycznymi teoriami cechowania N = 2 i teori¡ CFT. Dowódtej hipotezy przeprowadzony w [5] polega na wykazaniu, »e istnieje unikalna baza w teoriiCFT taka, »e elementy macierzowe ze specjalnego operatora wierzchoªkowego s¡ równe tzw.instantonowej funkcji rozdziaªu Zbif - dobrze zdeniowanemu obiektowi po stronie teorii su-persymetrycznej. W tej pracy udaªo mi si¦ odtworzy¢ rachunek b¦d¡cy gªównym krokiemw dowodzie - wykaza¢, »e powy»sza równo±¢ elementów macierzowych zachodzi dla pewnegopodzbioru bazy.

W ostatnim rozdziale omawiam supersymetryczne rozszerzenie modelu Calogero-Sutherlanda

3

w celu odtworzenia powy»szej dyskusji dla przypadku supersymetrycznego. Zostaje wypro-wadzona supersymetryczna posta¢ hamiltonianu oraz naszkicowana relacja pomi¦dzy superkon-foremn¡ teori¡ pola SCFT N = 1. W dalszym ci¡gu zostaj¡ wyprowadzone podstawowe ele-menty SCFT - algebra Neveu-Schwarza-Ramonda i operatory wierzchoªkowe.

2 Konforemna teoria pola

2.1 Grupa konforemna

Konforemna teoria pola [6, 7, 8] (CFT) to kwantowa teoria pola której podstawow¡ symetri¡jest grupa konforemna. Transformacje tej grupy s¡ przedstawione poni»ej:

x′µ = xµ + aµ,

x′µ = Mµν x

ν ,

x′µ = αxµ,

x′µ =xµ − bµx2

1− 2bµxµ + b2x2.

Pierwsze dwa przeksztaªcenia to translacja i obrót stanowi¡ce grup¦ Poincare, pozostaªe toprzeskalowanie i tzw. specjalna transformacja konforemna. Grupa konforemna zachowuje form¦metryki ηµν z dokªadno±ci¡ do funkcji konforemnej Ω(x):

ηµν(x)→ Ω(x)ηµν(x). (1)

Zapiszemy ogóln¡ innitezymaln¡ posta¢ transformacji jako

x′µ = xµ + εµ(x) +O(ε2).

Gdy wstawimy j¡ do prawa transformacji metryki i narzucimy warunek (1), uzyskamy nast¦pu-j¡ce równanie:

∂µεν(x) + ∂νεµ(x) = ω(x)ηµν(x),

gdzie ω(x) to nieznana funkcja. Bior¡c ±lad z powy»szej równo±ci eliminujemy funkcj¦ ω(x) idostajemy równanie:

∂µεν + ∂νεµ =2

d∂αε

αηµν , (2)

gdzie d to wymiar przestrzeni.Dla d = 2 powy»szy zwi¡zek redukuje si¦ do równa« Cauchy-Riemanna znanych z analizyzespolonej:

∂0ε0 = ∂1ε1, ∂0ε1 = −∂1ε0.

W dwóch wymiarach wygodnie jest wprowadzi¢ zmienne zespolone z = x0 + ix1, z = x0 − ix1.W nowych zmiennych mamy do czynienia z symetri¡ zadan¡ przez analityczne funkcje napªaszczy¹nie zespolonej:

z → w(z),

z → w(z).

Dodatkowo, w dwóch wymiarach algebra Lie odpowiadaj¡ca grupie konforemnej jest niesko«cze-nie wiele wymiarowa [1]. Oznacza to, »e w tym szczególnym przypadku teoria jest niezwyklemocno okre±lona poprzez naªo»one wi¦zy symetrii. Jest to podstaw¡ do oblicze« w teorii iistotnym czynnikiem jej sukcesu.

4

2.2 Podstawowe denicje

Podstawowymi obiektami w konforemnej teorii pola s¡ funkcje korelacji zbudowane z lokalnychoperatorów φ(z, z):

〈φ(z1, z1)...φ(zn, zn)〉 .

Denicja Pole zale»ne tylko od jednej zmiennej φ(z) (φ(z)) nazywamy chiralnym lub holo-morcznym (antychiralnym lub antyholomorcznym).

Denicja Je±li przy dowolnej analitycznej zamianie zmiennych w(z), w(z) pole speªnia rów-nanie

φh,h(z, z) =

(dw

dz

)h(dw

dz

)hφ′h,h(w, w), (3)

nazywamy je polem pierwotnym o wadze konforemnej (h, h).

2.2.1 Tensor energii-p¦du

Z twierdzenia Noether wiemy, »e zachowanie symetrii ci¡gªej w teorii poci¡ga za sob¡ istnienieczteropr¡du jµ speªniaj¡cego równanie ci¡gªo±ci:

∂µjµ = 0. (4)

W szczególno±ci, z zachowania symetrii konforemnej wynika istnienie i zachowanie pr¡du:

jµ = Tµνεν ,

gdzie Tµν to symetryczny tensor energii-p¦du. Dla εν = const zachodzi ∂µTµν = 0.Poni»ej wyprowadzimy warunek na tensor Tµν korzystaj¡c z prawa zachowania (4) i relacji (2):

0 = ∂µ(Tµνεν) = (∂µTµν)︸ ︷︷ ︸

0

εν +1

2Tµν(∂

µεν + ∂νεµ) =1

dT µµ ∂µε

µ.

Wobec dowolno±ci εµ uzyskali±my warunek na znikanie ±ladu tensora energii p¦du w konforemnejteorii pola:

T µµ = 0.

Ustalamy euklidesow¡ metryk¦ ηµν = (1, 1). Znikanie ±ladu powoduje wyzerowanie pozadiago-nalnych skªadowych tensora energii p¦du w zmiennych zespolonych:

Tzz = Tzz =1

4T µµ = 0.

W tych zmiennych posta¢ praw zachowania wygl¡da nast¦puj¡co:

∂zTzz = 0, ∂zTzz = 0,

z czego wynika, »e pozostaªe skªadowe tensora T s¡ polami chiralnymi (antychiralnymi)

Tzz = T (z), Tzz = T (z).

5

Mo»emy rozwin¡¢ T (z) oraz T (z) w szereg Laurenta

T (z) =∑n

Lnz−n−2, Lm =

1

2πi

∮dz zm+1T (z), (5)

T (z) =∑n

Lnz−n−2, Lm =

1

2πi

∮dz zm+1T (z).

Ten przepis daje wyra»enia na Ln i Ln speªniaj¡ce algebr¦ Virasoro

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c

12m(m2 − 1)δm+n,0, (6)

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c

12m(m2 − 1)δm+n,0,

[Ln, Lm] = 0,

gdzie c to ªadunek centralny. Powy»sz¡ algebr¦ mo»na wyprowadzi¢ z rozwini¦cia OPE wprowad-zonego poni»ej.

2.2.2 Rozwini¦cie OPE

Zachowany ªadunek Q wyra»a si¦ wzorem:

Q =1

2πi

∮dw T (w)ε(w) +

1

2πi

∮dw T (w)ε(w), (7)

gdzie z → z + ε(z) oraz z → z + ε(z). Poniewa» operatory T (z) oraz T (z) s¡ generatoramilokalnych transformacji konforemnych mo»emy zapisa¢ zwi¡zek

δφh,h(z, z) = [Q, φh,h(z, z].

Wstawiaj¡c wyra»enie (7) na ªadunek Q uzyskujemy:

δφh,h(z, z) =1

2πi

∮dw ε(w)[T (w), φ(z, z] + (w ↔ w), (8)

gdzie (w ↔ w) oznacza analogiczny wyraz w zmiennych w.

Denicja W powy»szym wyra»eniu wynik caªkowania zale»y od tego, które osobliwo±ci okr¡»akontur. Z tego powodu wprowadzamy uporz¡dkowanie radialne zdeniowane jako:

R(A(z)B(w)) :=

A(z)B(w), |z| > |w|B(w)A(z), |w| > |z| .

Jest to odpowiednik uporz¡dkowania chronologicznego w kwantowej teorii pola. Dzi¦ki tejdenicji mo»emy przepisa¢ caªk¦ konturow¡ jako:∮

dz [A(z), B(w)] =

∮|z|>|w|

dz A(z)B(w)−∮|z|<|w|

dz B(w)A(z) =

∮w

dz R(A(z)B(w)).

Kontury w powy»szym rachunku ilustruje Rys.1. Po wprowadzeniu tej denicji cz¦sto b¦dziemyopuszcza¢ symbol R.

6

0w

0w

0w- =

Rysunek 1: Kontury caªkowania.

Dzi¦ki temu uporz¡dkowaniu mo»emy zapisa¢ równanie (8) w ostatecznej postaci:

δφh,h(z, z) =1

2πi

∮z

dw ε(w)T (w)φh,h(z, z) +1

2πi

∮z

dw ε(w)T (w)φh,h(z, z), (9)

Z denicji pola pierwotnego (3) policzymy zmian¦ pola pierwotnego δφh,h:

δφh,h(z, z) = (h∂zε(z) + ε(z)∂z + h∂z ε(z) + ε(z)∂z)φh,h(z, z).

Korzystaj¡c ze wzoru Cauchy'ego

f (n)(z) =n!

2πi

∮z

dwf(w)

(z − w)n+1,

wyrazimy zmian¦ pola pierwotnego w postaci caªek konturowych:

δφh,h(z, z) =1

2πi

∮z

dw

(hε(w)φh,h(z, z)

(z − w)2+ε(w)∂zφh,h(z, z)

z − w

)+ (w ↔ w).

Porównuj¡c powy»szy wynik z (9) otrzymujemy:

T (w)φh,h(z, z) =hφh,h(z, z)

(z − w)2+∂zφh,h(z, z)

z − w+ reg. , (10)

T (w)φh,h(z, z) =hφh,h(z, z)

(z − w)2+∂zφh,h(z, z)

z − w+ reg. ,

gdzie reg. oznacza wyra»enia regularne znikaj¡ce pod caªk¡ konturow¡.Powy»sze wyra»enia to przykªad iloczynowego rozwini¦cia operatorów (OPE ).Za pomoc¡ rozwini¦cia OPE dla iloczynu operatorów T (z)T (w) mo»na wyprowadzi¢ posta¢algebry Virasoro (6). Posªuguj¡c si¦ (10) i denicj¡ (5) wyznaczymy nast¦puj¡cy komutator:

[Ln, φh,h(z, z)] =1

2πi

∮z

dw wn+1T (w)φh,h(z, z) =1

2πi

∮z

dw wn+1

(hφ(z, z)

(z − w)2+∂zφh,h(z, z)

z − w

)=

= zn (h(n+ 1) + z∂z)φh,h(z, z), n ∈ Z. (11)

Wykorzystali±my przy tym tak»e denicj¦ uporz¡dkowania radialnego.

2.2.3 Moduª Verma

Reprezentacja algebry Virasoro jest budowana nad stanem o najwy»szej wadze (HWS) zden-iowanym jako

Ln |h〉 = 0, L0 |h〉 = h |h〉 , n > 0,

poprzez dziaªanie Ln dla n ≤ −1

L−k1 ...L−kp |h〉 ,

7

gdzie narzucamy uporz¡dkowanie kp ≤ kp−1 ≤ ... ≤ k1. S¡ to wektory wzbudzone na okre±lonypoziom N =

∑pi=1 ki. Stany o okre±lonej liczbie wzbudze« N s¡ wektorami wªasnymi L0 z

warto±ci¡ wªasn¡ h + N i tworz¡ przestrze« wektorow¡ V N(h). Moduª Verma V (h) jest sum¡prost¡ powy»szych przestrzeni:

V (h) =⊕N≥0

V N(h).

Wprowadzamy iloczyn skalarny taki, »e

L†n = L−n, 〈h| h〉 = 1.

Struktura moduªów. Niektóre moduªy Verma V (h) s¡ reprezentacjami redukowalnymi tzn.istniej¡ w nich pozbiory same b¦d¡ce moduªami Verma. W module V (h) istniej¡ takie wektory|χ〉 »e Ln |χ〉 = 0 dla n > 0. Ich ogóln¡ posta¢ mo»na przedstawi¢ jako:

|χ〉 =∑k

βkL−k1 ...L−kr |h〉 , N =r∑i=1

ki.

Denicja Wektory |χ〉 nazywami osobliwymi, singularnymi lub zerowymi. Mo»na na nichbudowa¢ niezale»ny moduª Verma V (χ).

Wektor osobliwy jest ortogonalny do V N(h) poniewa»

〈χ|L−k1 ...L−kn |h〉 = 0,

z denicji Lx |χ〉 = 0→ 〈χ|L−x = 0 dla x > 0. W szczególno±ci 〈χ| χ〉 = 0.Analogicznie mo»emy przeprowadzi¢ dyskusj¦ dla antychiralnego moduªu V (h). Moduª dlaobydwu algebr jest iloczynem tensorowym V (h)⊗ V (h).

2.2.4 Przestrze« stanów

Zakªadamy, »e przestrze« stanów w CFT jest zbudowana jako (by¢ mo»e niesko«czona) sumaprosta moduªów Verma

H =⊕h,h

V (h)⊗ V (h).

Drugim zaªo»eniem jest odpowiednio±¢ pomi¦dzy wektorami w module oraz lokalnymi opera-torami :

|χ〉 ↔ χ(z, z).

Powy»sza odpowiednio±¢ zachodzi w szczególno±ci pomi¦dzy stanami o najwy»szej wadze∣∣h, h⟩

i polami pierwotnymi φh,h(z, z).

Denicja W module Verma istnieje szczególny stan o najwy»szej wadze nazywany pró»ni¡ |0〉okre±lony dodatkowymi warunkami:

L0 |0〉 = 0, L−1 |0〉 = 0.

8

Za pomoc¡ pró»ni zapiszemy dyskutowan¡ relacj¦:∣∣h, h⟩ = limz,z→0

φh,h(z, z) |0〉 .

Korzystaj¡c ze wzoru (11) dla n = 0 mo»na si¦ przekona¢ o prawdziwo±ci powy»szej odpowied-nio±ci:

L0

∣∣h, h⟩ = limz,z→0

[L0, φh,h(z, z)] |0〉 = h limz,z→0

φh,h(z, z) |0〉 = h∣∣h, h⟩ .

Sprz¦»enie operatora deniujemy nast¦puj¡co:

φh,h(z, z)† = z−2hz−2hφh,h(1/z, 1/z).

Jest to uzasadnione gdy za»¡damy speªnienia warunków:⟨h, h∣∣ =

∣∣h, h⟩† ,⟨h, h∣∣ h, h⟩ = 1.

2.3 Konkretne realizacje CFT

2.3.1 Pole bozonowe

Teoria swobodnego pola bozonowego φ jest opisana nast¦puj¡cym dziaªaniem:

S =1

8π

∫dxdt∂µφ∂

µφ =1

8π

∫dxdt

((∂tφ)2 − (∂xφ)2

),

gdzie pole jest periodyczne φ(x, t) = φ(x+ 2π, t). Rozkªadamy je w bazie Fouriera:

φ(x, t) =∑n

einxφn(t), n ∈ Z.

Korzystamy z normalizacji∫dxeiξx = 2πδ(ξ). Poni»ej przeprowadzimy kanoniczne kwan-

towanie:

L =1

8π

∫dx(φ2 − φ′2) =

1

4

∑n∈Z

(φnφ−n − n2φnφ−n

).

Wprowadzamy p¦d kanonicznie sprz¦»ony jako

∂L

∂φn= πn =

1

2φ−n.

Przechodzimy do hamiltonianu:

H =∑n

φn∂L

∂φn− L =

∑n

(πnπ−n +

n2

4φnφ−n

).

Wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji:

an =

π−n − i |n|2 φn n > 0

π−n + i |n|2φn n < 0

,

an =

πn − i |n|2 φ−n n > 0

πn + i |n|2φ−n n < 0

.

9

Poni»ej zestawiamy hamiltonian wraz z reguªami komutacji:

H = π20 +

∑n>0

(a−nan + a−nan),

[an, am] =n

2δn+m,0, [an, am] =

n

2δn+m,0, [an, am] = 0.

W dalszym kroku powrócimy do konkretnej postaci pola φ i wyrazimy mody Fouriera φmpoprzez operatory kreacji i anihilacji:

φn =i

n(an − a−n).

Wstawiamy powy»sze wyra»enie do rozwini¦cie φ dla t = 0:

φ(x) = φ0(0) + i∑n6=0

1

n(an(0)− a−n(0))einx.

Czasowa ewolucja operatorów w obrazie Heisenberga jest zadana hamiltonianem:

O(t) = eiHtO(0)e−iHt.

Poni»ej obliczymy ewolucj¦ operatorów kreacji i anihilacji ze wzoru Hausdora-Bakera:

an(t) = eiHtan(0)e−iHt = an(0) + it[H, an(0)] +1

2(it)2[H, [H, an(0)]] + ...,

[H, an(0)] = −nan(0),

an(t) = an(0)(1 + (−int) +1

2(−int)2 + ...) =

= an(0)e−int.

Nast¦pnie zajmiemy si¦ ewolucj¡ modu zerowego:

φ0(t) = eiHtφ0(0)e−iHt = φ0(0) + it[H,φ0(0)],

[H,φ0(0)] = [π20, φ0(0)] = −2[φ0(0), π0],

[φ0(0), π0] =i

2,

φ0(t) = φ0(0) + tπ0.

Pole bozonowe wyra»a si¦ wzorem:

φ(x, t) = φ0(0) + tπ0 + i∑n6=0

1

n

(ane

in(x−t) − a−nein(x+t)).

Ostatnim krokiem jest przej±cie do metryki euklidesowej t → −iτ , przeskalowanie π0 → 2π0 iwprowadzenie zmiennych zespolonych

z = eτ−ix, z = eτ+ix.

Uzyskane w ten sposób pole bozonowe ma nast¦puj¡c¡ posta¢:

φ(z, z) = φ0 − iπ0 ln(zz) + i∑n6=0

1

n(anz

−n + anz−n).

10

Powy»szy operator ma znikaj¡c¡ wag¦ konforemn¡ (0, 0). Dalej b¦dziemy si¦ zajmowa¢ chiral-nym polem bozonowym φ(z). Wprowadzamy nowe oznaczenia dla takiego pola:

φ(z) = Q− iPh ln(z) + i∑n6=0

1

nanz

−n. (12)

Poni»ej wypisano tak»e komutatory w nowych oznaczeniach:

[an, am] =n

2δn+m,0, [Q,Ph] =

i

2, [an,Q] = [an,Ph] = 0. (13)

Operator p¦du deniujemy jako Pa := iPh.

2.3.2 Tensor energii-p¦du dla pola bozonowego

Dla podanego pola bozonowego wyliczymy pole T (z):

T (z) = − : ∂φ(z)∂φ(z) :=∑n

Lnz−n−2.

W tym celu wyznaczamy pochodn¡ pola jako:

∂φ(z) = −i∑n∈Z

anz−n−1, a0 = Ph.

Wstawiamy do powy»szej denicji i wyznaczamy z niej posta¢ modów Ln:

T (z) =∑n,k∈Z

: anak : z−n−k−2 =∑m

(∑n

: anam−n :

)z−m−2.

Uzyskali±my realizacj¦ algebry Virasoro poprzez operatory an

Lm =∑n

: anam−n : . (14)

W dalszej cz¦±ci udowodnimy, »e podane wyra»enie speªnia denicj¦ (6) dla ªadunku centralnegoc = 1.

2.3.3 Operatory wierzchoªkowe

Z pola bozonowego mo»na zbudowa¢ chiralny operator wierzchoªkowy:

Vα(z) =: e2αφ(z) := e2αQe−2αiPh ln(z) exp

(2αi

∑n<0

anz−n

n

)exp

(2αi

∑n>0

anz−n

n

)=:

=: eq(α)ep(α;z)e<(α;z)e>(α;z), (15)

gdzie parametr α nazywamy p¦dem. Operator Vα(z) jest polem pierwotnym z niezerow¡ wag¡konforemna h. Mo»na j¡ uzyska¢ z komutatora (11):

[Ln, Vα(z)] = zn(h(n+ 1) + z

∂

∂z

)Vα(z), n ∈ Z. (16)

Rozwijamy porz¡dek normalny w powy»szym wyra»eniu:

[Ln, Vα(z)] =∑m

[: aman−m :, Vα] =∑m<0

[aman−m, Vα] +∑m≥0

[an−mam, Vα] =

=∑m<0

am[an−m, Vα] +∑m<0

[am, Vα]an−m +∑m≥0

an−m[am, Vα] +∑m≥0

[an−m, Vα]am.

(17)

11

Lemat 2.1 Niech [a, a†] = 1 i f(a†) =∑

n≥0 cn(a†)n. Zachodzi [a, f(a†)] = ∂f(a†)∂a†

.

Dowód

[a, f(a†)] =∑n≥0

cn[a, (a†)n],[a, (a†)n

]=[a, (a†)n−1

]a† + (a†)n−1

[a, a†

]= ... = n(a†)n−1, n ≥ 1,

[a, f(a†)] =∑n≥1

cnn(a†)n−1 =∂f(a†)

∂a†.

Korzystaj¡c z lematu 2.1 mo»na wykaza¢, »e

[ak, Vα] = −αizkVα, k ∈ Z, (18)

gdzie a0 = Ph. Korzystaj¡c z powy»szego wyniku kontynuujemy obliczanie komutatora (17):

[Ln, Vα(z)] = −αi

∑m<0

zn−mamVα +∑m<0

zmVαan−m +∑m≥0

zman−mVα +∑m≥0

zn−mVαam

.

(19)

Korzystaj¡c z lematu 2.1 mo»na udowodni¢ nast¦puj¡ce zwi¡zki:

[am, e<(α;z)] = (−αizm)e<(α;z), m > 0,

[am, e>(α;z)] = (−αizm)e>(α;z), m < 0,

[a0, eq(α)] = (−αi)eq(α).

Rozpatrzmy ogólnie wyrazy postaci axVα:

x ≥ 0, axVα = eq(α)ep(α;z)axe<(α;z)e>(α;z) = eq(α)ep(α;z)

[ax, e

<(α;z)]e>(α;z)+ : axVα :=

= −αizxVα+ : axVα :,

x < 0, axVα =: axVα :,

axVα =

−αizxVα+ : axVα : x ≥ 0: axVα : x < 0

.

Nast¦pnie przeprowadzimy podobn¡ dyskusj¦ dla wyrazów Vαay:

y ≥ 0, Vαay = eq(α)ep(α;z)e<(α;z)aye>(α;z) =: ayVα :,

y < 0, Vαay = eq(α)ep(α;z)e<(α;z)[e>(α;z), ay

]+ eq(α)ep(α;z)e<(α;z)aye

>(α;z) = αizyVα+ : ayVα :,

Vαay =

: ayVα : y ≥ 0αizyVα+ : ayVα : y < 0

.

Podkre±lenie w wyra»eniu (19) rozpiszemy korzystaj¡c z powy»szych wzorów:∑m<0

zmVαan−m +∑m≥0

zman−mVα =∑m<0m≤n

zm : Vαan−m : +∑m<0m>n

zm(αizn−mVα+ : Vαan−m :)+

+∑m≥0m>n

zm : Vαan−m : +∑m≥0m≤n

zm(−αizn−mVα+ : Vαan−m :).

12

Wyra»enie powy»sze rozbijemy na dwa przypadki:∑m<0

zmVαan−m +∑m≥0

zman−mVα =∑m<0

zm : Vαan−m : +∑m>n

zm : Vαan−m : +

+n∑

m=0

zm(−αizn−mVα+ : Vαan−m :) =∑m

zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα, n ≥ 0,

∑m<0

zmVαan−m +∑m≥0

zman−mVα =∑m≤n

zm : Vαan−m : +−1∑

m=n+1

zm(αizn−mVα+ : Vαan−m :)+

+∑m≥0

zm : Vαan−m :=∑m

zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα, n < 0.

Z pomoc¡ powy»szego rachunku obliczamy posta¢ komutatora (19):

[Ln, Vα] = −αi

(∑m<0

zn−m : amVα : +∑m

zm : Vαan−m : −αi(n+ 1)znVα +∑m≥0

zn−m : amVα :

)=

= −znαi

(∑m

z−m : amVα : +∑m

zm−n : an−mVα : −αi(n+ 1)Vα

)=

= zn

(−2αi

∑m

z−m : amVα : −α2(n+ 1)Vα

).

Cz¦±¢ uzyskanego wyniku przeksztaªcamy:

z∂

∂zVα(z) = z : 2α

∂φ(z)

∂zVα(z) := −2αi

∑n

z−n : anVα(z) : . (20)

Uzyskujemy ostateczn¡ form¦ komutatora:

[Ln, Vα] = zn(−α2(n+ 1) + z

∂

∂z

)Vα. (21)

Porównuj¡c z formuª¡ (16) odczytujemy wag¦ konforemn¡ operatora Vα:

h = −α2.

2.3.4 Przestrze« Focka

Wprowadzone operatory an generuj¡ przestrze« Focka nad stanem |α〉:

|α〉 = limz→0

Vα(z) |0〉 ,

an |α〉 = 0, n > 0,

ia0 |α〉 = Pa |α〉 = α |α〉 .

Operator p¦du jest równy Pa := iPh. Stany budowane poprzez operatory a−n s¡ stanamiwªasnymi L0. Komutator pomi¦dzy tymi operatorami wyra»a si¦ wzorem:

[L0, a−m] = ma−m.

Dla stanu an1−1a

n2−2... |α〉 waga konforemna jest równa

h = −α2 +∑j

jnj.

Oznacza to, »e zarówno poprzez dziaªanie operatorami an jak i Ln (patrz rozdziaª 2.2.3) mo»emyzmienia¢ wag¦ konforemn¡.

13

2.3.5 Funkcje korelacji

Zajmiemy si¦ korelatorami zªo»onymi z operatorów wierzchoªkowych i wyprowadzimy ogólnywzór dla takich funkcji. Prosty przypadek przedstawimy jako lemat:

Lemat 2.2 Niech Ai = αia+βia†, a |0〉 = 0, 〈0| a† = 0 oraz [a, a†] ∼ c-liczba. Je±li tak, zachodzi

〈0| : eA1 : ... : eAn : |0〉 =∏i<j

e〈0|AiAj |0〉. (22)

Dowód Wprowadzimy oznaczenie:

: eAi :=: eαia+βia†

:= eβia†eαia =: eBieCi .

Zgodnie z nim obliczamy korelator:

〈0| : eA1 : ... : eAn : |0〉 = 〈0| eB1 ...eBneC1 ...eCn |0〉∏i<j

exp ([Ci, Bj]) =

=∏i<j

exp([αia, βja

†])

=∏i<j

exp(〈0|αiaβja† |0〉

)=∏i<j

e〈0|AiAj |0〉.

n-punktowa funkcja korelacji. Skorzystamy z oznacze« wprowadzonych w (15). Obliczymyiloczyn n operatorów wierzchoªkowych:

n∏i=1

Vαi(zi) =n∏i=1

eq(αi)ep(αi;zi)e<(αi;zi)e>(αi;zi) =n∏i=1

(eq(αi)ep(αi;zi)

) n∏i=1

(e<(αi;zi)e>(αi;zi)

).

D¡»ymy do uszeregowania normalnego caªego wyra»enia:

n∏i=1

e<(αi;zi)e>(αi;zi) =n∏i=1

e<(αi;zi)

n∏i=1

e>(αi;zi)∏i<j

e[>(αi;zi),<(αj ;zj)],

n∏i=1

eq(αi)ep(αi;zi) =n∏i=1

eq(αi)n∏i=1

ep(αi;zi)∏i<j

e[p(αi;zi),q(αj)].

Pomocniczo wyznaczymy:

[> (αi; zi), < (αj; zj)] = −4αiαj∑

k>0;l<0

[akkz−ki ,

allz−lj

]= −2αiαj

∑k>0;l<0

z−ki z−ljk

klδk,−l =

= 2αiαj∑k>0

1

k

(zjzi

)k= −2αiαj log

(1− zj

zi

),

[p(αi, zi), q(αj)] = 4iαiαj log(zi)[Q,Ph] = −2αiαj log(zi). (23)

Obliczymy podkre±lone czªony b¦d¡ce rozszerzeniem rachunków dla funkcji dwupunktowej:∏i<j

e[p(αi,zi),q(αj)]e[>(αi,zi),<(αj ,zj)] =∏i<j

(zi − zj)−2αiαj .

Ostatecznie dostajemy wyra»enie:

n∏i=1

Vαi(zi) =n∏i=1

: Vαi(zi) :∏i<j

(zi − zj)−2αiαj . (24)

14

Obkªadaj¡c powy»szy wzór stanami pró»ni uzyskujemy:

〈0|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0〉 = 〈0| e2Q∑ni=1 αi |0〉

∏i<j

(zi − zj)−2αiαj . (25)

Nakªadamy warunek na p¦dy∑n

i=1 αi = 0 wynikaj¡cy z ortogonalno±ci stanów |0〉 i exQ |0〉 dlax 6= 0. W wyniku tego uzyskujemy ogólny wzór dla n-punktowej funkcji korelacji:

〈0|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0〉 =∏i<j

(zi − zj)−2αiαj ,∑i

αi = 0.

Pró»nia |0〉 speªnia równania Pa |0〉 = 0 = Ph |0〉.

2.4 Formalizm gazu Coulomba

2.4.1 Tensor energii-p¦du

Tensor energii-p¦du w formalizmie gazu Coulomba deniujemy jako:

T (z) = − : ∂φ∂φ : +Q∂2φ.

Z powy»szej postaci wyprowadzamy wyra»enia na mody Ln:

Ln =∑k

: akan−k : +iQ(n+ 1)an. (26)

Udowodnimy, »e powy»sze generatory nadal speªniaj¡ algebr¦ Virasoro:

[Lm, Ln] =

Amn︷ ︸︸ ︷∑k,l

[: akam−k :, : alan−l :] +iQ(m+ 1)

Bmn︷ ︸︸ ︷∑k

[am, : akan−k :] +

+ iQ(n+ 1)∑k

[: akam−k :, an]−Q2(m+ 1)(n+ 1)[am, an]︸ ︷︷ ︸Cmn

.

Na pocz¡tku obliczymy wyraz Bmn, przy zaªo»eniu n > 0:

Bmn =∑k

[am, : akan−k :] =0∑

p=−∞

[am, apan−p] +∞∑p=1

[am, an−pap] =

=0∑

p=−∞

([am, ap]an−p + ap[am, an−p]) +∞∑p=1

([am, an−p]ap + an−p[am, ap]) =

=1

2

0∑p=−∞

(mδm+pan−p + apmδm+n−p) +1

2

∞∑p=1

(mδm+n−pap + an−pmδm+p) =

=1

2

∑p

(mδm+pan−p +mδm+n−pap) = mam+n. (27)

Taki sam rachunek mo»na przeprowadzi¢ dla n < 0. Wyraz Cmn jest równy:

Cmn = −Q2(m+ 1)(n+ 1)[am, an] =Q2

2m(m2 − 1)δm+n,0. (28)

15

Czªon Amn rozbijemy jako sum¦ wyrazów Bmn:

Amn =∑p,q

[: apam−p :, : aqan−q :] =

(0∑

p=−∞

∑q

[apam−p, : aqan−q :]+

∞∑p=1

∑q

[am−pap, : aqan−q :]

)=

0∑p=−∞

∑q

(ap

Bm−p,n︷ ︸︸ ︷[am−p, : aqan−q :] +

Bp,n︷ ︸︸ ︷[ap, : aqan−q :] am−p)+

+∞∑p=1

∑q

(am−p [ap, : aqan−q :]︸ ︷︷ ︸Bp,n

+ [am−p, : aqan−q :]︸ ︷︷ ︸Bm−p,n

ap) =

=0∑

p=−∞

((m− p)apam+n−p + pap+nam−p) +∞∑p=1

(pam−pap+n + (m− p)am+n−pap).

W wyrazach podkre±lonych dokonujemy zamiany q = p+ n:

Amn =0∑

p=−∞

(m− p)apam+n−p +n∑

q=−∞

(q − n)aqam+n−q +∞∑

q=n+1

(q − n)am+n−qaq+

+∞∑p=1

(m− p)am+n−pap =0∑

p=−∞

(m− n)apam+n−p +n∑p=1

(p− n)apam+n−p

::::::::::::::::::::::

+

+∞∑

p=n+1

(m− n)am+n−pap +n∑p=1

(m− p)am+n−pap. (29)

Poni»ej obliczymy::::::::::::::podkre±lon¡ sum¦:

n∑p=1

(p− n)apam+n−p =n∑p=1

(p− n)am+n−pap +n∑p=1

(p− n)[ap, am+n−p] =

=n∑p=1

(p− n)am+n−pap +1

2

n∑p=1

(p− n)pδm+n,

n∑p=1

p2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

n∑p=1

p =n(n+ 1)

2,

n∑p=1

(p− n)apam+n−p =n∑p=1

(p− n)am+n−pap +1

12m(m2 − 1)δn+m.

Wstawiamy powy»sz¡ sum¦ do (29):

Amn =0∑

p=−∞

(m− n)apam+n−p +∞∑

p=n+1

(m− n)am+n−pap +n∑p=1

(m− n)am+n−pap+ (30)

+1

12m(m2 − 1)δn+m = (m− n)

(0∑

p=−∞

apam+n−p +∞∑p=1

am+n−pap

)+

1

12m(m2 − 1)δn+m =

= (m− n)∑p

: apam+n−p : +1

12m(m2 − 1)δn+m. (31)

16

Zbieraj¡c wyra»enia (27), (28) i (30) otrzymujemy komutator algebry Virasoro:

[Lm, Ln] = (m− n)∑p

: apam+n−p : +1

12m(m2 − 1)δn+m + iQm(m+ 1)am+n

− iQn(n+ 1)am+n +Q2

2m(m2 − 1)δm+n,0 =

= (m− n)

(∑p

: apam+n−p : +iQ(m+ n+ 1)am+n

)+

(1

12+Q2

2

)m(m2 − 1)δm+n =

= (m− n)Lm+n +c

12m(m2 − 1)δm+n.

Z porównania zmodykowany ªadunek centralny wynosi c = 1 + 6Q2. Dla Q = 0 ªadunekzgadza si¦ z wcze±niej wprowadzon¡ postaci¡ Ln w (14).

2.4.2 Waga konforemna

Nowe generatory algebry Virasoro modykuj¡ wag¦ konforemn¡ operatora wierzchoªkowego:

[Ln, Vα] =∑k

[: akan−k :, Vα]︸ ︷︷ ︸obl. w (21)

+iQ(n+ 1)[an, Vα].

Z równania (18) obliczamy iQ(n+ 1)[an, Vα] = αQ(n+ 1)znVα. W formalizmie gazu Coulombadostajemy nast¦puj¡cy wzór:

[Ln, Vα] = zn(

(Qα− α2)(n+ 1) + z∂

∂z

)Vα. (32)

W tym modelu waga konforemna wynosi:

h = α(Q− α). (33)

2.4.3 Korelatory w formalizmie gazu Coulomba

Korelatory w tej teorii buduje si¦ z tych samych operatorów wierzchoªkowych nad pró»ni¡konforemn¡ |0∗〉:

K = 〈0∗|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0∗〉 ,∑i

αi = Q.

Stan pró»ni konforemnej deniujemy jako:

|0∗〉 := e−QQ |0〉 , Pa |0∗〉 = −Q2|0∗〉 . (34)

Korzystaj¡c z (24) mo»na wykaza¢, »e korelator w tym formalizmie wynosi:

〈0∗|Vα1(z1)...Vαn(zn) |0∗〉 =∏i<j

(zi − zj)−2αiαj ,∑i

αi = Q. (35)

17

Operatory ekranuj¡ce. W formalizmie gazu Coulomba mo»emy skonstruowa¢ dwa opera-tory Vα i VQ−α o tej samej warto±ci h. Korelatory pomi¦dzy tymi operatorami powinny by¢sobie równe 〈0∗|VαVα |0∗〉 = 〈0∗|VαVQ−α |0∗〉 = 〈0∗|VQ−αVQ−α |0∗〉 poniewa» opisuj¡ one tesame zyczne wielko±ci. Z drugiej strony, warunek (35) naªo»ony na p¦dy powoduje, »e tylko〈0∗|VαVQ−α |0∗〉 6= 0. Aby zapewni¢ równowa»no±¢ powy»szych operatorów wprowadzamy tzw.operatory ekranuj¡ce. Od tych obiektów wymagamy »eby modykowaªy p¦dy wierzchoªkoweoraz miaªy znikaj¡c¡ wag¦ konforemn¡. Operator ten przedstawiamy w nielokalnej formiecaªkowej:

Q =

∮dzA(z),

gdzie A(z) ma hA = 1 gdy» wtedy hQ = 0. Niezmienniczo±¢ wagi wida¢ z nast¦puj¡cegokomutatora

[Ln, Q] =

∮dz[Ln, A(z)] =

∮dzzn

(zd

dz+ (n+ 1)

)A(z) =

∮dz

d

dz

(zn+1A(z)

)= 0, (36)

gdy operator zn+1A(z) jest jednoznaczny. Operatory o wadze h = 1 wyznaczymy ze zbioruoperatorów wierzchoªkowych Vα poprzez speªnienie warunku:

h = α(Q− α) = 1.

Rozwi¡zanie tego równania ze wzgl¦du na α prowadzi do dwóch warto±ci:

α± =Q

2±√Q2

4− 1, (37)

α+ + α− = Q,

α+α− = 1.

Dostali±my odpowiednio dwa operatory ekranuj¡ce postaci

Q± =

∮dzVα±(z). (38)

Poniewa» nie modykuj¡ one wag konforemnych, mo»emy do ka»dego korelatora zaaplikowa¢dowoln¡ liczb¦ takich obiektów:

〈0∗|Vα(z)Vα(w)Qr+Q

s− |0∗〉 .

Podany korelator b¦dzie ró»ny od zera gdy zajdzie warunek:

2α + rα+ + sα− = Q = α+ + α−,

αrs =1

2(1− r)α+ +

1

2(1− s)α−.

Wyznaczyli±my dozwolone warto±ci p¦du, które mo»e przyjmowa¢ operator wierzchoªkowyaby model miaª jednoznacznie okre±lone funkcje korelacji. Do wyprowadzenia tego warunkuu»yli±my dwupunktowych funkcji korelacji jednak dla dowolnej n-punktowej mo»na przeprowa-dzi¢ analogiczne rozumowanie. Zawsze uzyskamy przy tym równanie na p¦d αrs z innymiwielokrotno±ciami α±. Wstawiaj¡c αrs do wzoru wag¦ konforemn¡ (33) dostajemy:

hr,s =Q2

4− 1

4(rα+ + sα−)2, (39)

c = 1 + 6Q2,

Q = α− + α+.

18

Wypisali±my powy»ej tak»e równanie na ªadunek centralny. Formuªa na wag¦ konforemn¡ hr,sma tak¡ sam¡ posta¢ jak w przypadku dyskusji unitarno±ci teorii konforemnej. Poniewa» liczbyr i s s¡ dowolnymi liczbami caªkowitymi, zdeniujemy wzór na p¦d jako

αrs =1

2(1 + r)α+ +

1

2(1 + s)α−. (40)

Nowa denicja nie zmienia hr,s ale b¦dzie przydatna w pó¹niejszych rachunkach.

3 Model Calogero-Sutherlanda

Model Calogero-Sutherlanda [3, 2] jest kwantowym opisem ukªadu N cz¡stek w jednym wymi-arze, oddziaªuj¡cych ze sob¡ potencjaªem 1/x2 i posiadaj¡cym dokªadne rozwi¡zania. Jestto model b¦d¡cy w utajonym zwi¡zku [9, 10] z wprowadzon¡ ju» algebr¡ Virasoro i mod-elami CFT w ogólno±ci. W poni»szych rozdziaªach przeprowadzimy hamiltonian do formywymiernej, obliczymy stan pró»ni w modelu oraz wprowadzimy sumy pot¦gowe. Doprowadz-imy do konkretnych relacji wi¡»¡cych rozwi¡zania modelu (tzw. wielomiany Jacka) po stroniemodelu CS ze stanami zerowymi zdeniowanymi w CFT. W rozdziale po±wi¦conym twierdzeniuAGT poka»emy, »e ta odpowiednio±¢ to podstawowy element sªu»¡cy w dowodzie. Hamiltonianmodelu w postaci trygonometrycznej przedstawia si¦ nast¦puj¡co

HCS =N∑j=1

(1

i

∂

∂qj

)2

+1

2

N∑j=1,i<j

β(β − 1)

sin2(qi−qj

2)

= H0 +HV . (41)

Operator p¦du

P =N∑j=1

1

i

∂

∂qj.

Posta¢ trygonometryczna jest periodycznym modelem zdeniowanym na okr¦gu S1 z oddzi-aªywaniem HV przedstawionym na Rys.2. Funkcja ma osobliwo±ci dla qi − qj = 2kπ, k ∈ Z.Potencjaª HV mo»na rozwin¡¢ dla maªych qi − qj jako:

0 2π

qi - qj

sin-2((qi-qj)/2)

Rysunek 2: Wykres potencjaªu oddziaªywania HV w postaci trygonometrycznej modeluCalogero-Sutherlanda.

HV ≈ 2β(β − 1)N∑

j=1,i<j

1

(qi − qj)2.

Rozpatruj¡c maªe ró»nice k¡tów efektywnie przechodzimy do teorii zdeniowanej na prostej.W takim przypadku odzyskujemy potencjaª 1/x2.

19

3.1 Przepisanie hamiltonianu w j¦zyku operatorów kreacji i anihilacji

Hamiltonian (41) mo»na wyrazi¢ w postaci:

HCS =N∑j=1

hj(β)†hj(β) + ε0 =: H0CS + ε0,

gdzie deniujemy operatory kreacji i anihilacji jako

hj(β) =1

i

∂

∂qj+ i

β

2

N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

), (42)

hj(β)† =1

i

∂

∂qj− iβ

2

N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

).

Poni»ej przedstawimy równowa»no±¢ powy»szego hamiltonianu z postaci¡ trygonometryczn¡:

H0CSΨ =

N∑j=1

hj(β)†hj(β)Ψ =

=N∑j=1

(1

i

∂

∂qj− iβ

2

N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

))(1

i

∂

∂qj+ i

β

2

N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

))Ψ =

=

H0Ψ︷ ︸︸ ︷N∑j=1

(1

i

∂

∂qj

)2

Ψ +iβ

2

N∑j=1

[1

i

∂

∂qj,N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

)]Ψ+

+β2

4

N∑i 6=ji′ 6=jj=1

cot

(qj − qi

2

)cot

(qj − qi′

2

)Ψ. (43)

Czªon z komutatorem jest równy:

iβ

2

N∑j=1

[1

i

∂

∂qj,

N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

)]Ψ = −β

4

N∑j=1

N∑i 6=j

1

sin2( qj−qi

2

)Ψ. (44)

Ostatni czªon w powy»szym równaniu rozbijamy na przypadki gdy i = i′ oraz i 6= i′:

β2

4

N∑i 6=ji′ 6=jj=1

cot

(qj − qi

2

)cot

(qj − qi′

2

)=

=β2

4

N∑j=1i 6=j

cot2

(qj − qi

2

)︸ ︷︷ ︸

i=i′

+β2

4

N∑i 6=ji′ 6=ji 6=i′j=1

cot

(qj − qi

2

)cot

(qj − qi′

2

)=: Aeq + Aneq.

20

Wyraz Aeq przeksztaªcamy w nast¦puj¡cy sposób:

Aeq =β2

4

N∑j=1i 6=j

cot2

(qj − qi

2

)+β2

4

N∑j=1i 6=j

1− β2

4

N∑j=1i 6=j

1 =

=β2

4

N∑j=1i 6=j

1

sin2( qj−qi

2

) − β2

4N(N − 1). (45)

Czªon Aneq rozwiniemy korzystaj¡c z to»samo±ci trygonometrycznej

tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x) tan(y) tan(z), x+ y + z = π,

zapisanej inaczej jako

cot(x) cot(y) + cot(y) cot(z) + cot(x) cot(z) = 1.

Zmienna qi to poªo»enie i-tej cz¡stki na okr¦gu. Rozwa»my trójk¦ poªo»e« qi, qj, qk speªniaj¡-cych qi < qj < qk. Dla takiego uporz¡dkowania zachodzi:

qj − qi2

+qk − qj

2+

poªo»enia skrajne︷ ︸︸ ︷(π − qk − qi

2

)= π

Powstaª¡ sytuacj¦ ilustruje Rys.3. Nie jest to jedyne uporz¡dkowanie poªo»e«, pozostaªe mo»li-

qiqj

qk

qj-qi

qk-qj2π-(qk-qi)

Rysunek 3: Poªo»enia na okr¦gu speªniaj¡ce qi < qj < qk.

wo±ci uszeregowania zestawili±my w Tab.1. W taki sam sposób mo»emy rozªo»y¢ sum¦ poindeksach:

N∑i 6=ji′ 6=ji 6=i′

=∑

qi,qj ,qk

. (46)

W tabeli powy»ej zestawiono znak po uwzgl¦dnieniu uporz¡dkowania ci¡gu, wida¢ z niej »edla ka»dego uporz¡dkowania wyrazy z cotangensami maj¡ równe znaki. W takim razie mo»emynapisa¢, »e dla dowolnego uporz¡dkowania poªo»e« qi zachodzi:

cotqj − qi

2cot

qk − qj2

− cotqj − qi

2cot

qk − qi2− cot

qk − qj2

cotqk − qi

2= 1.

21

Tablica 1: Rozkªad (46) na sumy uporz¡dkowanych poªo»e«. Szara komórka oznacza ró»nic¦poªo»e« skrajnych.

ci¡g x =qj−qi

2y =

qk−qj2

z = qk−qi2

cotx cot y cotx cot z cot y cot zqi < qj < qk + + + + - -qi < qk < qj + - + + - -qk < qi < qj + - - + - -qk < qj < qi - - - + - -qj < qk < qi - + - + - -qj < qi < qk - + + + - -

Powy»sze równanie zsumujemy po indeksach i 6= j 6= k i wymno»ymy przez β2

4uzyskuj¡c Aneq:

Aneq =β2

4

N∑i 6=j 6=k

cotqk − qj

2cot

qk − qi2

= −β2

4

N(N − 1)(N − 2)

3. (47)

Wstawimy uzyskane wyniki (44), (45) i (47) do wyj±ciowego równania (43):

H0CSΨ =

N∑j=1

hj(β)†hj(β)Ψ =

H0Ψ︷ ︸︸ ︷N∑j=1

(1

i

∂

∂qj

)2

Ψ +

+ iβ

2

N∑j=1

[1

i

∂

∂qj,N∑i 6=j

cot

(qj − qi

2

)]Ψ +

β2

4

N∑i 6=ji′ 6=jj=1

cot

(qj − qi

2

)cot

(qj − qi′

2

)Ψ =

= H0Ψ− β

4

N∑j=1

N∑i 6=j

1

sin2( qj−qi

2

)Ψ +β2

4

N∑j=1i 6=j

1

sin2( qj−qi

2

) − β2

4N(N − 1)− β2

4

N(N − 1)(N − 2)

3.

Uzyskali±my ostatecznie relacj¦ pomi¦dzy HCS i H0CS:

HCSΨ = H0CSΨ + ε0 = H0Ψ +

1

2

N∑j=1i<j

β(β − 1)

sin2( qj−qi

2

) − β2N(N − 1)(N + 1)

12+ ε0. (48)

Równowa»no±¢ obydwu postaci wymaga speªnienia warunku na ε0:

ε0 = β2N(N − 1)(N + 1)

12. (49)

3.2 Stan podstawowy

Stan podstawowy (pró»ni¦) deniujemy jako nast¦puj¡c¡ funkcj¦:

∆β =

N∏i<jj=1

sinqi − qj

2

β

=

N∏j′=1j′>k

sinqk − qj′

2

N∏i′<k

sinqi′ − qk

2

N∏i′<j′

j′ 6=ki′ 6=k

sinqi′ − qj′

2

β

=:

=: (A(qk)B(qk)C)β.

22

Pró»nia powinna speªnia¢ warunek:

hk(β)∆β = 0, k = 1, ..., N, (50)

gdzie hk(β) to operator anihilacji zdeniowany w (42). Poni»ej udowodnimy, »e dla zden-iowanego stanu ∆β zachodzi powy»szy warunek. Policzymy dziaªanie pochodnej ∆β:

∂

∂qk(∆β) = β∆β−1 ∂∆

∂qk= β∆β−1(∂AB + A∂B)C = β

(∂A

A+∂B

B

)∆β, (51)

gdzie ∂A = ∂A(qk)∂qk

. Pozostaje obliczenie pochodnych ∂A/A i ∂B/B:

∂A

A=

1

A

∂

∂qk

N∏j′=1j′>k

sinqk − qj′

2

=1

2A

∑i′>k

cosqk − qi′

2

∏j′>kj′ 6=i′

sinqk − qj′

2=

=1

2

∑i′>k cos

qk−qi′2

∏j′>kj′ 6=i′

sinqk−qj′

2∏Nj′=1j′>k

sinqk−qj′

2

=1

2

∑i′>k

cotqk − qi′

2,

∂B

B=

1

B

∂

∂qk

(N∏i′<k

sinqi′ − qk

2

)= − 1

2B

∑i′<k

cosqi′ − qk

2

∏j′<kj′ 6=i′

sinqj′ − qk

2=

= −1

2

∑i′<k cos

qi′−qk2

∏j′<kj′ 6=i′

sinqj′−qk

2∏N

i′<ksin

qi′−qk2

= −1

2

∑i′<k

cotqi′ − qk

2.

Po wstawieniu powy»szych wyra»e« do (51) otrzymujemy:

∂

∂qk(∆β) =

β

2

∑i′ 6=k

cotqk − qi′

2∆β. (52)

Ostatecznie odzyskujemy warunek na pró»ni¦ (50):

hk(β)∆β =1

i

∂∆β

∂qk+ i

β

2

N∑i 6=k

cotqk − qi

2∆β = 0.

Udowodnili±my, »e ∆β jest stanem pró»ni.

3.3 Przej±cie do hamiltonianu w postaci wymiernej

Hamiltonian H i operator p¦du P w postaci wymiernej wprowadzamy jako dziaªaj¡cy tylko nacz¦±¢ wzbudzon¡ J(q) stanu J(q)∆β. Przechodzimy do zmiennych zespolonych:

xj = eiqj ,∂

∂qj= ixj

∂

∂xj. (53)

3.3.1 Operator p¦du P

Dziaªaj¡cy na wzbudzenia operator p¦du P deniujemy poprzez warunek

P (∆βJ(x)) =: ∆βPJ(x),

23

który po przeksztaªceniu jest równy

PJ(x) = ∆−βP (∆βJ(x)).

Poni»ej wyznaczymy wzór na P w zmiennych xi:

∆−βP∆βJ(x) = ∆−βN∑j=1

1

i

∂(∆βJ(x))

∂qj=

N∑j=1

xj∂

∂xj+

N∑j=1

∆−β1

i

∂∆β

∂qj

J(x).

Korzystaj¡c ze wzoru (52), podkre±lony wyraz wynosi:

N∑j=1

∆−β1

i

∂∆β

∂qj=

N∑j=1

β

2i

∑i′ 6=j

cotqj − qi′

2.

Nast¦pnie przejdziemy do zmiennych xj wprowadzonych w (53):

cotqj − qi′

2=

cosqj − qi′

2

sinqj − qi′

2

=

1

2

(exp

(iqj − qi′

2

)+ exp

(iqi′ − qj

2

))1

2i

(exp

(iqj − qi′

2

)− exp

(iqi′ − qj

2

)) =

= i

√xjxi′

+

√xi′

xj√xjxi′−√xi′

xj

= i

xjxi′

+xi′

xj+ 2

xjxi′− xi′

xj

= ix2j + x2

i′ + 2xjxi′

x2j − x2

i′= i

xj + xi′

xj − xi′.

Kontynuujemy obliczanie podkre±lonego wyrazu:

β

2i

∑i′ 6=j

cotqj − qi′

2=β

2

∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′= 0.

Czªon znika poniewa» jest sum¡ iloczynu wyrazu symetrycznego i antysymetrycznego w zmi-ennych xi. Reasumuj¡c, operator P jest równy

P =N∑j=1

xj∂

∂xj=:∑j

Dj.

3.3.2 Operator energii H

Analogicznie do operatora p¦du deniujemy dziaªaj¡cy na wzbudzenia operator Hamiltona:

∆βHJ(x) := H0CS(∆βJ(x)) = HCS(∆βJ(x))− ε0∆βJ(x).

Przeksztaªcamy podobnie:

HJ(x) = ∆−βHCS∆βJ(x)− ε0J(x) =

= ∆−βH0∆βJ(x) + ∆−βHV ∆βJ(x)− ε0J(x) =: T1 + T2 − ε0J(x). (54)

Poni»ej rozwijamy czªony T1 i T2:

T2 = ∆−βHV ∆βJ(x) =1

2

N∑j=1,i<j

β(β − 1)

sin2(qi−qj

2)

= −β(β − 1)

2

N∑j=1,i<j

4xixj(xi − xj)2

, (55)

T1 = ∆−βH0∆βJ(x) =N∑j

∆−β(

1

i

∂

∂qj

)2 (∆βJ(x)

)= −∆−β

N∑j

∂

∂qj

(∂∆β

∂qjJ(x) + ∆β ∂J(x)

∂qj

)=

= −N∑j

(∆−β

∂2∆β

∂q2j

J(x) + 2∆−β∂∆β

∂qj

∂J(x)

∂qj+

∂2

∂q2j

J(x)

)=: −

N∑j

(u1 + u2 + u3).

24

Czªon T1 zostaª rozbity na trzy wyrazy:

u3 =∂2

∂q2j

J(x) =

∂2xj∂q2

j︸ ︷︷ ︸=−xj

∂

∂xj+

(∂xj∂qj

)2

︸ ︷︷ ︸=−x2j

∂2

∂x2j

J(x) = −xj(

∂

∂xj+ xj

∂2

∂x2j

)J(x), (56)

u2 = 2∆−β∂∆β

∂qj

∂J(x)

∂qj= −β

∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′xj∂J(x)

∂xj, (57)

u1 = ∆−β∂2∆β

∂q2j

J(x) = ∆−β

β(β − 1)∆β−2

(∂∆

∂qj

)2

+ β∆β−1∂2∆

∂q2j

:::::

J(x).

::::::::::::::Podkre±lona cz¦±¢ wyrazu u1 jest równa:

∂2∆

∂q2j

=∂

∂qj

(∂∆

∂qj

)=

∂

∂qj

(∆

2

∑i′ 6=j

cotqj − qi′

2

)=

=1

2

∂∆

∂qj

∑i′ 6=j

cotqj − qi′

2− ∆

4

∑i′ 6=j

1

sin2 qj−qi′2

=1

∆

(∂∆

∂qj

)2

− ∆

4

∑i′ 6=j

1

sin2 qj−qi′2

.

Wstawiaj¡co powy»sze wyra»enie do u1 dostajemy:

u1 = ∆−β

(β(β − 1)∆β−2

(∂∆

∂qj

)2

+ β∆β−1

(1

∆

(∂∆

∂qj

)2

− ∆

4

∑i′ 6=j

1

sin2 qj−qi′2

))J(x) =

= β2 1

∆2

(∂∆

∂qj

)2

J(x)− β

4

∑i′ 6=j

1

sin2 qj−qi′2

J(x).

Ostatnim krokiem jest przej±cie do zmiennych zespolonych xi:

u1 = β2 1

∆2

∆2

4

(∑i′ 6=j

ixj + xi′

xj − xi′

)2

J(x)− β

4

∑i′ 6=j

−4xi′xj(xj − xi′)2

J(x) =

= −β2

4

(∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′

)2

J(x) + β∑i′ 6=j

xi′xj(xj − xi′)2

J(x). (58)

Wstawimy do hamiltonianu (54) obliczone czªony (55), (56), (57) i (58) :

H = T1 + T2 − ε0 = −N∑j

(u1 + u2 + u3)− β(β − 1)

2

N∑j=1,i<j

4xixj(xi − xj)2

− ε0 =

=

R︷ ︸︸ ︷−2β(β − 1)

N∑j=1,i<j

xixj(xi − xj)2

+N∑j

β2

4

(∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′

)2

− β∑i′ 6=j

xi′xj(xj − xi′)2

+

+ β

N∑j

∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′xj

∂

∂xj+

N∑j

xj

(∂

∂xj+ xj

∂2

∂x2j

)− ε0.

25

Poni»ej zajmiemy si¦ czªonem R:

R = β∑i 6=j

xixj(xi − xj)2

− β2∑i 6=j

xixj(xi − xj)2

− β∑i′ 6=j

xi′xj(xj − xi′)2

+

+β2

4

∑j

(∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′

)2

=β2

4

∑j

(∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′

)2

−∑j,i6=j

4xixj(xi − xj)2

=

=β2

4

∑j

∑k,k′

k 6=k′ 6=j

(xj + xk)(xj + xk′)

(xj − xk)(xj − xk′)+∑k,k 6=j

(xj + xkxj − xk

)2

−∑j,i6=j

4xixj(xi − xj)2

=

=β2

4

∑j,k,k′

k 6=k′ 6=j

(xj + xk)(xj + xk′)

(xj − xk)(xj − xk′)︸ ︷︷ ︸q

+∑j,k 6=j

(xj + xkxj − xk

)2

−∑j,i6=j

4xixj(xi − xj)2︸ ︷︷ ︸∑

j,k 6=j 1=N(N−1)

=

=β2

4

(N(N − 1)(N − 2)

3+N(N − 1)

)=β2

12N(N − 1)(N + 1).

Wyraz q zostaª obliczony z wykorzystaniem Maple. Porównuj¡c z wyra»eniem (49) widzimy, »eR = ε0. Ostateczny hamiltonian w formie wymiernej przyjmuje posta¢:

H = R− ε0 + βN∑j

∑i′ 6=j

xj + xi′

xj − xi′xj

∂

∂xj+

N∑j

xj

(∂

∂xj+ xj

∂2

∂x2j

)=:

=: β∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +∑i

D2i . (59)

3.4 Wektory wªasne w modelu CS

Deniujemy wielomiany Jacka Jλ(x) [11] jako wektory wªasne hamiltonianu (59):

HJλ(x) = ελJλ(x),

gdzie zmienna λ to diagram Younga parametryzuj¡cy wzbudzenie. Wielomiany s¡ funkcjamiwªasnymi H poniewa» jego dziaªanie nie zmienia stopnia wielomianu. Wida¢ to z dyskusjiformy hamiltonianu:

∆H = β∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj).

Zadziaªanie operatorem Di −Dj na dowoln¡ funkcj¦ f prowadzi do wyra»enia P :

(Di −Dj)f =

(xi∂f

∂xi− xj

∂f

∂xj

)= P (xi, xj).

Obliczony wyraz P ma miejsce zerowe dla xi = xj:

P (xi, xi) =

(xi∂f

∂xi− xi

∂f

∂xi

)= 0.

Z formy caªego operatora ∆H mo»na zauwa»y¢, »e dyskutowane miejsce zerowe skraca si¦ zmianownikiem. Z tego powodu wektorami wªasnymi hamiltonianu s¡ wielomiany.

26

Lemat 3.1 Niech H(x) = β∑N

i<jxi+xjxi−xj (Di −Dj) +

∑Ni=1 D

2i , Di := xi

∂∂xi

.

Dla dowolnej funkcji f(x) := f(x1, ..., xN) speªniaj¡cej równanie wªasne

H(x)f(x) = εf(x),

ka»da funkcja f(x) (gdzie x to dowolna permutacja argumentów xi) speªnia zdegenerowanerównanie wªasne:

H(x)f(x) = εf(x),

Dowód Zapiszmy hamiltonian:

H(x) = β

N∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +N∑i=1

D2i =

β

2

N∑i 6=j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +N∑i=1

D2i .

W takiej postaci hamiltonian jest jawnie symetryczny wzgl¦dem dowolnej zamiany xi:

H(x) = H(x), ∀x.

Wykorzystamy powy»sz¡ wªasno±¢ do wykazania tezy:

H(x)f(x) = εf(x) −→ H(x)f(x) = εf(x).

W przypadku wielomianów Jacka istnieje twierdzenie [11] o unikalno±ci dla danej warto±ciwªasnej. Zastosowanie lematu do tego przypadku pozwala zapisa¢:

Jλ(x) = Jλ(x), ∀x.

N-cz¡stkowe stany opisane wielomianami Jacka s¡ parametryzowane diagramem Younga -

Rysunek 4: Przykªadowy diagram Younga, N = 6, |λ| = 18, λ1 = 6.

nierosn¡cym zbiorem liczb caªkowitych λ = (λ1, λ2, ..., λN). Ten diagram charakteryzuje energi¦i p¦d caªkowity ukªadu za pomoc¡ zwi¡zków:

ελ =N∑i=1

k2i − ε0 =

N∑i=1

(λ2i + λiβ(N + 1− 2i)

), ε0 =

β2N(N − 1)(N + 1)

12, (60)

pλ =N∑i=1

ki =N∑i=1

λi =: |λ|,

ki = λi +β

2(N + 1− 2i).

Uwa»amy ki za p¦d i-tej cz¡stki, s¡siaduj¡ce p¦dy speªniaj¡ nierówno±¢

ki − ki+1 > β.

27

3.4.1 Warto±ci wªasne hamiltonianu

Poni»ej wyprowadzimy wzór na warto±ci wªasne podane w (60). Zdeniujemy operator L [12]oraz zapiszemy hamiltonian H w innej parametryzacji

H =α

2

∑i

(xi∂i + x2i∂

2i ) +

1

2

∑i<j

xi + xjxi − xj

(xi∂i − xj∂j)︸ ︷︷ ︸A

,

L =α

2

∑i

x2i∂

2i +

∑i 6=j

x2i∂i

xi − xj.

Korzystaj¡c z wyników [11] znamy warto±ci wªasne operatora L:

LJλ(x) = cλJλ(x) =

[(N − α

2

)|λ| −

∑i

iλi +α

2

∑i

λ2i

]Jλ(x).

Poni»ej obliczymy wyraz A:

A =1

4

∑i 6=j

x2i∂i

xi − xj+

xjxi∂ixi − xj

− xixj∂jxi − xj︸ ︷︷ ︸−xjxi∂ixi−xj

−x2j∂j

xi − xj︸ ︷︷ ︸−

x2i∂i

xi−xj

=1

2

∑i 6=j

(x2i∂i

xi − xj+

xjxi∂ixi − xj

),

xixj∂ixi − xj

=x2i∂i

xi − xj− xi∂i,

A =∑i 6=j

(x2i∂i

xi − xj− 1

2xi∂i

).

Wstawiamy znaleziony wyraz do hamiltonianu:

H =α

2

∑i

(xi∂i + x2

i∂2i

)+∑i 6=j

(x2i∂i

xi − xj− 1

2xi∂i

)=

=α

2

∑i

x2i∂

2i +

∑i 6=j

x2i∂i

xi − xj︸ ︷︷ ︸L

+α−N + 1

2

∑i

xi∂i︸ ︷︷ ︸P

.

Cz¦±¢ hamiltonianu to wprowadzony operator L. Operator energii (59) jest proporcjonalny doobecnie rozpatrywanego H = H 2

αprzy β = 1

α. Zgodnie z tym wyznaczamy H:

H =2

αL+

(1− N − 1

α

)P .

Policzymy energi¦ ελ:

HJλ(x) =

(∑i

λ2i −

2

α

∑i

iλi +

(2N

α− 1

)|λ|+ |λ| − |λ|N − 1

α

)Jλ(x) =

=

(λ2i +

1

αλi(N + 1− 2i)

)Jλ(x) =

(λ2i + βλi(N + 1− 2i)

)Jλ(x),

co zgadza si¦ z wyra»eniem podanym w (60).

28

3.4.2 Konstrukcja wielomianów Jacka Jλ

Wprowadzone wielomiany Jacka mo»na skonstruowa¢ z pomoc¡ dwóch transformacji, boostuGs oraz zmiany liczby zmiennych od M do N, NNM .

Boost Gs. Boost jest zdeniowany jako

GsJλ(x1...xr) =

(r∏i

xsi

)Jλ(x1...xr).

Transformacja jest nazwana boostem poniewa» dodaje ona ka»dej cz¡stce s jednostek p¦du.Sytuacj¦ jest zobrazowana na Rys.5.

1Jλ(x)

Nr,0 = 1

1

s=4

r=7

G s = ∏ xis

i

r

∏ xis

i

r

Rysunek 5: Sposób kreacji prostok¡tnego diagramu i odpowiadaj¡cy mu wielomian Jacka

Stan prostok¡tny. Poni»ej przedstawimy sposób konstrukcji stanu prostok¡tnego zobra-zowanego Rys.5 oraz sprawdzimy konsystencj¦ podanej denicji boostu z hamiltonianem.

Stanem wyj±ciowym jest pró»nia Jλ(x) = 1. Konstrukcja stanu prostok¡tnego bezpo±red-nio wymaga formalnego uprzedniego zadziaªania (wprowadzonym pó¹niej) operatorem zmianyliczby cz¡stek Nr0 = 1.

Obliczymy równanie wªasne H. Dla ka»dego wielomianu Jacka zachodzi równanie wªasne:

HJλ(x) =N∑i=1

(λi +

β

2(N + 1− 2i)

)2

Jλ(x)− ε0Jλ(x) = (ελ − ε0)Jλ(x).

W szczególno±ci, dla prostok¡tnego wzbudzenia mamy z (60):

εsr =r∑i=1

(s+

β

2(r + 1− 2i)

)2

− ε0 =r∑i=1

(s2 + sβ(r + 1− 2i) +

β2

4(r + 1− 2i)2

)− ε0 =

= rs2 + sβr(r + 1)− 2sβr∑i=1

i︸︷︷︸r(r+1)/2

+β2

4r(r + 1)2 − β2(r + 1)

r∑i=1

i︸︷︷︸r(r+1)/2

+β2

r∑i=1

i2︸ ︷︷ ︸r(r+1)(2r+1)/6

−ε0 =

= rs2 +β2

12r(r − 1)(r + 1)− ε0︸ ︷︷ ︸

0

.

29

Z drugiej strony, mo»emy policzy¢ energi¦ z dziaªania H na wektor prostok¡tny:

Hr∏

k=1

xsk =

(β

r∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +r∑i=1

D2i

)r∏

k=1

xsk =

=

βr∑i<j

xi + xjxi − xj

(s− s)︸ ︷︷ ︸0

+r∑i=1

s2

r∏

k=1

xsk = rs2︸︷︷︸εsr

r∏k=1

xsk.

Oba podej±cia si¦ zgadzaj¡ czyli wykazali±my, »e podana denicja boostu jest niesprzeczna dlaprostok¡tnych stanów.

Boost ogólnego wielomianu. Pozostaje wykaza¢, »e ogólny wektor powstaªy poprzez boostdowolnego innego (Jλ(x) 6= 1) b¦dzie miaª odpowiedni¡ energi¦:

HGsJλ(x) = ελ+srGsJλ(x).

Wykorzystamy przy tym wyniki dotychczasowe, z (60) energia ze wzbudzeniem wynosi:

ελ+sr =r∑i=1

(λi + s+

β

2(r + 1− 2i)

)2

− ε0 =

=r∑i=1

(λi +

β

2(r + 1− 2i)

)2

+ 2r∑i=1

s

(λi +

β

2(r + 1− 2i)

)+

r∑i=1

s2 − ε0 =

=r∑i=1

(λi +

β

2(r + 1− 2i)

)2

︸ ︷︷ ︸ελ

+2s|λ|+ βr∑i=1

(r + 1− 2i)︸ ︷︷ ︸0

+rs2 − ε0.

Dziaªaj¡c bezpo±rednio hamiltonianem H na stan mamy:

H (GsJλ(x)) = (HGs) Jλ(x) + Gs (HJλ(x)) + 2∑i

x2i

∂Gs∂xi

∂Jλ(x)

∂xi.

Czªon podkre±lony wynosi:

2∑i

x2i

∂Gs∂xi

∂Jλ(x)

∂xi= 2sGs

∑i

xi∂Jλ(x)

∂xi= 2sGsPJλ(x) = 2s|λ|GsJλ(x).

Wstawiamy powy»sze wyra»enie:

H (GsJλ(x)) =(rs2 + ελ + 2s|λ| − ε0

)GsJλ(x).

Obydwa podej±cia zgadzaj¡ si¦ ze sob¡.

Operator zmiany liczby cz¡stek NNM . Denicja operatora zmiany liczby cz¡stek z M doN jest nast¦puj¡ca:

NNMJλ(t1...tM) = Jλ(x1...xN) =

∮ M∏j=1

dtj2πitj

i=N,j=M∏i,j

(1− xi

tj

)−β M∏i 6=j

(1− ti

tj

)βJλ(t1...tM).

(61)

30

Poni»ej naszkicujemy dowód [10] na to, »e denicja tworzy N-cz¡stkowy stan Jacka. Zdeniu-jemy nast¦puj¡ce wyra»enia:

Γ(x, t) =N∏i=1

M∏j=1

(1− xi

tj

), ∆(t) =

M∏i 6=j

(1− ti

tj

).

Zgodnie z tymi oznaczeniami mamy:

(NNMJλ)(t1...tM) = Jλ(x1...xN) =

∮ M∏j=1

dtj2πitj

Γ(x, t)−β∆(t)βJλ(t1...tM). (62)

Na przestrzeni wielomianów deniujemy dwa zwi¡zane ze sob¡ (dla β > 0) iloczyny skalarne:

< f(x), g(x) >‘β;r =

1

r!

∮ r∏j=1

dxj2πixj

f(1/x)g(x)∆(x)β,

< pk11 ...pknn ; pl11 ...p

lmm >β = δ~k,~lβ

−∑ni=1 ki

n∏i=1

ikiki!.

Te dwa iloczyny staj¡ si¦ identyczne dla β = 1 (patrz [10]). Dla tych iloczynów mamy nast¦pu-j¡ce relacje ortogonalno±ci

Γ(x, t)−β =∑µ

Jµ(x1...xN)Jµ

(1

t1...

1

tM

)< Jµ, Jµ >

−1β ,

1

r!

∮ r∏j=1

dtj2πitj

Jλ(t1...tr)Jµ

(1

t1...

1

tr

)∆(t)β = δλ,µ < Jλ, Jλ >

‘β;r ,

gdzie w pierwszym wyra»eniu suma przebiega po wszystkich diagramach µ. Wstawiamy powy»szerelacje do denicji (62)

(NNMJλ)(t1...tM) =

∮ M∏j=1

dtj2πitj

∑µ

Jµ(x1...xN)Jµ

(1

t1...

1

tM

)< Jµ, Jµ >

−1β ∆(t)βJλ(t1...tM) =

= M !∑µ

Jµ(x1...xN) < Jµ, Jµ >−1β δλ,µ < Jλ, Jλ >

‘β;M= M !

< Jλ, Jλ >‘β;M

< Jλ, Jλ >β

Jλ(x1...xN).

Pokazali±my, »e dziaªanie operatora NNM zwi¦ksza liczb¦ cz¡stek w wielomianie Jacka:

(NNMJλ)(t1...tM) ∼ Jλ(x1...xN).

Dowolny wielomian Jacka. Za pomoc¡ operacji Gs i NNM mo»emy skonstruowa¢ dowolnywielomian Jacka:

Jλ(x) = Nrn,rn−1Gsn−1 ...Gs2Nr2,r1Gs1Nr1,1,

gdzie λ to ogólny diagram Younga przedstawiony na Rys.6.

31

r1

s1s2

r2...

sn-2sn-1

rn-2rn-1

Rysunek 6: Ogólny diagram Younga λ.

3.5 Wprowadzenie zmiennych pn

Ostatni¡ zamian¡ b¦dzie wprowadzenie zmiennych wykorzystuj¡cych fakt symetrycznego sta-tusu xi w hamiltonianie (59). Deniujemy tzw. sumy pot¦gowe jako

pn =N∑i=1

xni , (63)

gdzie n > 0. Istnieje niesko«czona liczba takich sum. Taka zamiana jest uprawniona poniewa»wielomiany pn tworz¡ baz¦ [13] w przestrzeni funkcji symetrycznych V :

V =⊕K≥0

V K ,

gdzie V K jest podprzestrzeni¡ rozpi¦t¡ przez wszystkie sumy pot¦gowe pK := pk1 ...pkn speªni-aj¡ce

∑ni=1 ki = K.

Po tym wprowadzeniu przejdziemy do nowych zmiennych:

∂

∂xj=∑n

∂pn∂xj

∂

∂pn=∑n

nxn−1j

∂

∂pn. (64)

3.5.1 Operator p¦du

W tych zmiennych wyliczymy operator p¦du P :

P =∑i

xi∂

∂xi=∑j

∑n

nxnj∂

∂pn=∑n

npn∂

∂pn= β

∑n

pn∂n.

Wprowadzili±my przy tym u»ywan¡ pó¹niej notacj¦:

∂n =n

β

∂

∂pn.

3.5.2 Operator energii

Hamiltonian w nowych zmiennych wyliczamy poni»ej:

H = β∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +N∑j

(xj

∂

∂xj+ x2

j

∂2

∂x2j

)=: α2 + α1.

32

Obliczymy drug¡ pochodn¡ w nowych zmiennych:

∂2

∂x2j

=∂

∂xj

(∑n

∂pn∂xj

∂

∂pn

)=∑n

(∂2pn∂x2

j

∂

∂pn+∑m

∂pm∂xj

∂pn∂xj

∂2

∂pm∂pn

)=

=∑n

n(n− 1)xn−2j

∂

∂pn+∑m,n

mnxm+n−2j

∂2

∂pm∂pn,

przy czym korzystali±my ze wzoru (64). Dalej obliczamy α1:

α1 = P +∑j

∑n

n(n− 1)xnj∂

∂pn+∑j

∑m,n

mnxm+nj

∂2

∂pm∂pn=

=

0︷ ︸︸ ︷P −

∑n

npn∂

∂pn+∑n

n2pn∂

∂pn+∑m,n

mnpm+n∂2

∂pm∂pn=

= β∑n

npn∂n + β2∑m,n

pm+n∂m∂n. (65)

Nast¦pnie obliczamy wyra»enie α2:

Di −Dj =∑n>0

n(xni − xnj )∂

∂pn=∑n>0

n(xi − xj)n−1∑k=0

xki xn−k−1j

∂

∂pn,

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) =∑n>0

nn−1∑k=0

(xk+1i xn−k−1

j + xki xn−kj

) ∂

∂pn=

=∑n>0

n

(2n−1∑k=1

xki xn−kj + xni + xnj

)︸ ︷︷ ︸

f(xi,xj)=f(xj ,xi)

∂

∂pn.

Kontynuujemy obliczanie:

α2 = β∑i<j

∑n>0

n

(2n−1∑k=1

xki xn−kj + xni + xnj

)∂

∂pn=β

2

∑i 6=j

∑n>0

n

(2n−1∑k=1

xki xn−kj + xni + xnj

)∂

∂pn=

=β

2

∑n>0

n

(∑i,j

(2n−1∑k=1

xki xn−kj + xni + xnj

)−∑i

(2n−1∑k=1

xni + 2xni

))∂

∂pn=

= β∑n>0

n

(n−1∑k=1

pkpn−k +Npn − (n− 1)pn − pn

)∂

∂pn=

= β∑n>0

n

(n−1∑k=1

pkpn−k + (N − n)pn

)∂

∂pn= β

∑n>0

n

n−1∑k=1

pkpn−k∂

∂pn︸ ︷︷ ︸A0

+β∑n>0

n(N − n)pn∂

∂pn.

Poni»ej przeksztaªcimy czªon A0:

A0 = β∑n>0

n

n−1∑k=1

pkpn−k∂

∂pn= β

∑n

θ(n)n∑k

∑l

δk+l,nθ(k)θ(l) pkpl∂

∂pn=

= β∑k

∑l

(k + l)θkθlθk+l pkpl∂

∂pk+l

= β∑k>0

∑l>0

(k + l)pkpl∂

∂pk+l

. (66)

33

Ostatecznie α2 jest równe:

α2 = β∑

m>0,n>0

(m+ n)pmpn∂

∂pm+n

+ β∑n>0

n(N − n)pn∂

∂pn=

= β2∑

m>0,n>0

pmpn∂m+n + β2∑n>0

(N − n)pn∂n. (67)

Wstawiamy (65) i (67) do hamiltonianu H:

H = α1 + α2 = β2∑

m>0,n>0

pmpn∂m+n + β2∑n>0

(N − n)pn∂n + β∑n

npn∂n + β2∑m,n

pm+n∂m∂n =

= β2∑n,m

(pn+m∂n∂m + pnpm∂n+m) + β∑n

(n+ β(N − n))pn∂n. (68)

3.6 Zwi¡zek modelu z algebr¡ Virasoro

W poni»szym rozdziale uzyskamy wyra»enie na hamiltonian Calogero-Sutherlanda w j¦zykumodów Ln algebry Virasoro.

3.6.1 Hamiltonian

Prostym rachunkiem mo»na wykaza¢, »e H przyjmuje nast¦puj¡c¡ posta¢ z operatorami Ln,które oka»¡ si¦ tworzy¢ algebr¦ Virasoro

H = β∑n>0

pnLn + (β − 1 + βN)P ,

gdzie

Ln = βn−1∑m=1

∂m∂n−m + β∑m>0

pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n, n > 0, (69)

P = β∑n

pn∂n.

Pomocniczo dokonamy przeksztaªcenia:

β2∑n>0

pn

n−1∑m=1

∂m∂n−m = β2∑n

θ(n)pn∑m

∑l

δm+l,nθ(m)θ(l) ∂m∂l =

= β2∑m

∑l

θ(m)θ(l)θ(m+ l) pm+l∂m∂l = β2∑

m>0,l>0

pm+l∂m∂l.

Wstawiamy denicje (69) oraz powy»szy wynik do wyj±ciowej postaci hamiltonianu:

H = β2∑n>0

pn

n−1∑m=1

∂m∂n−m + β2∑n,m>0

pnpm∂m+n+

− β∑n>0

pn(n+ 1)(β − 1)∂n + (β − 1 + βN)β∑n>0

pn∂n =

= β2

( ∑m,n>0

pn+m∂m∂n +∑n,m>0

pnpm∂m+n

)+ β

∑n>0

(n+ β(N − n))pn∂n,

co zgadza si¦ ze wzorem (68).

34

3.6.2 Sprawdzenie algebry Virasoro

Wprowadzone operatory Ln powinny speªnia¢ relacj¦ komutacji algebry Virasoro (6):

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +c

12m(m2 − 1)δn,−m.

Poni»ej udowodnimy, »e operatory (69) j¡ speªniaj¡:

[Lm, Ln] = [Fm, Fn] + [Em, Fn] + [Fm, En] + [Fm, Gn] + [Gm, Fn],

gdzie wprowadzili±my oznaczenia:

Em = β

m−1∑p=1

∂p∂m−p, Fm = β∑r

pr∂m+r, Gm = −(m+ 1)(β − 1)∂m.

Komutatory [Em, En] = 0, [Gm, Gn] = 0, [Em, Gn] + [Gm, En] = 0 znikaj¡. Pozostaªe obliczymyponi»ej:

[Em, Fn] + [Fm, En] =

[βm−1∑p=1

∂p∂m−p; β∑r

pr∂n+r

]+

[β∑r

pr∂m+r; βn−1∑p=1

∂p∂n−p

]=

= β2

m−1∑p=1

∂p∂m−p∑r

pr∂n+r −∑r

pr∂n+r

m−1∑p=1

∂p∂m−p+

+∑r

pr∂m+r

n−1∑p=1

∂p∂n−p −n−1∑p=1

∂p∂n−p∑r

pr∂m+r

.

Podkre±lone wyrazy liczymy poni»ej:

m−1∑p=1

∂p∂m−p∑r

pr∂n+r =m−1∑p=1

m− pβ

∂p∂n+m−p +m−1∑p=1

∂p∑r

pr∂m−r∂n+r =

=m−1∑p=1

m− pβ

∂p∂n+m−p +m−1∑p=1

p

β∂m−p∂n+p +

m−1∑p=1

∑r

pr∂p∂m−p∂n+r.

Kontynuujemy obliczanie komutatora:

[Em, Fn] + [Fm, En] = β

(m−1∑p=1

(m− p)∂p∂n+m−p +m−1∑p=1

p∂m−p∂n+p −n−1∑p=1

(n− p)∂p∂n+m−p+

−n−1∑p=1

p∂n−p∂m+p

)= β

(m−1∑p=1

(m− p)∂p∂n+m−p +m+n−1∑p′=m+1

(m− p′)∂m+n−p′∂p′+

−n−1∑p=1

(n− p)∂p∂n+m−p −m+n−1∑p′=n+1

(n− p′)∂m+n−p′∂p′

)=

= β

(m+n−1∑p=1

(m− p)∂m+n−p∂p −m+n−1∑p=1

(n− p)∂m+n−p∂p

)= β(m− n)

m+n−1∑p=1

∂m+n−p∂p. (70)

35

Kolejny komutator wynosi:

[Fm, Gn] + [Gm, Fn] = −

[β∑r

pr∂m+r, (n+ 1)(β − 1)∂n

]−

[(m+ 1)(β − 1)∂m, β

∑r

pr∂n+r

]=

= β(n+ 1)(β − 1)

[∂n,∑r

pr∂m+r

]+ β(m+ 1)(β − 1)

[∑r

pr∂n+r, ∂m

].

Osobno wyliczamy wyraz:[∂n,∑r

pr∂m+r

]=n

β∂m+n +

∑r

pr∂n∂m+r −∑r

pr∂n∂m+r =n

β∂m+n.

Wstawiamy powy»szy wynik do komutatora:

[Fm, Gn] + [Gm, Fn] = n(n+ 1)(β − 1)∂m+n −m(m+ 1)(β − 1)∂m+n =

= (n−m)(β − 1)(n+m+ 1)∂m+n. (71)

Ostatni komutator jest równy:

[Fm, Fn] = β2

[∑r

pr∂m+r,∑p

pp∂n+p

]= β2

(∑r

prm+ r

β∂n+m+r +

∑r

pr∑p

pp∂n+p∂m+r,

−∑p

ppn+ p

β∂m+n+p −

∑p

pp∑r

pr∂m+r∂n+p

)= β(m− n)

∑r

pr∂m+n+r. (72)

Zbieramy obliczone komutatory (70), (71) oraz (72) do wyj±ciowego wzoru:

[Lm, Ln] = β(m− n)m+n−1∑p=1

∂m+n−p∂p + (n−m)(β − 1)(n+m+ 1)∂m+n+

+ β(m− n)∑r

pr∂m+n+r = (m− n)Lm+n.

Dostali±my cz¦±¢ algebry Virasoro (bez czªonu proporcjonalnego do ªadunku centralnego c)poniewa» zdeniowali±my operatory Ln jjedynie dla n > 0. Za pomoc¡ powy»szej reprezentacjinie mo»na uzyska¢ peªnej algebry Virasoro. Jest to jednak wystarczaj¡ce dla naszych celów isªu»y jako wst¦p do ustalenia faktycznej korespondencji mi¦dzy modelem CS i CFT.

3.7 Przedstawienie Hamiltonianu w reprezentacji gazu Coulomba

W (68) uzyskali±my Hamiltonian w zmiennych pn:

H = β2∑n,m

(pn+m∂n∂m + pnpm∂n+m) + β∑n

(n+ β(N − n))pn∂n, ∂n =n

β

∂

∂pn.

Obecny hamiltonian dziaªa na przestrzeni wielomianów symetrycznych. Chcemy przeprowadzi¢go do modelu z hamiltonianem H dziaªaj¡cym na przestrzeni Hilberta Fα. Operatory anihilacjii kreacji w przestrzeni Hilberta Fα odpowiadaj¡ kreacji i anihilacji pn w przestrzeni wielomianówsymetrycznych. Wspomniane poª¡czenie jest realizowane przy pomocy mapy z przestrzeniHilberta Fα do przestrzeni symetrycznych funkcji:

|f〉 → f(x) = 〈α|Cβ′ |f〉 ,

36

gdzie

Cβ′ = exp

(β′∑n>0

1

nanpn

), pn =

∑i

xni . (73)

Staªa β′ jest dowolna. Operatory an dziaªaj¡ w przestrzeni Fα i s¡ operatorami Heisenbergaspeªniaj¡cymi [an, am] = n

2δn+m,0.

3.7.1 Wyliczenie Hamiltonianu w przestrzeni FαNowy hamiltonian H jest okre±lony warunkiem

H〈α|Cβ′ |f〉 = 〈α|Cβ′H |f〉 ,

dla ka»dego stanu |f〉. Ustanowimy poª¡czenie w postaci:

Hf(x)↔ H |f〉 .

Poni»ej udowodnimy równo±ci:

β′

2pp 〈α|Cβ′ = 〈α|Cβ′a−p,

p

β′∂

∂pp〈α|Cβ′ = 〈α|Cβ′ap, p > 0.

Pierwsza z relacji wynosi:

〈α|Cβ′a−p = 〈α|∏n>0

exp

(β′

nanpn

)a−p = 〈α|

[∏n>0

exp

(β′

nanpn

), a−p

].

Rozwijamy powy»szy komutator[∏n

An, B

]=∑n=1

A1A2...An [An, B]An+1... , An = exp

(β′

nanpn

), (74)

gdzie An oznacza brak n-tego wyrazu. Rozwiniemy powstaªy komutator [An, B] korzystaj¡c zlematu 2.1:

[An, B] =1

2δn,pβ

′pnAn.

Powracaj¡c do komutatora dostajemy:[∏n

An, B

]=

1

2

∑n=1

δn,pβ′pnA1A2... =

β′

2pp∏n>0

exp

(β′

nanpn

)=β′

2ppCβ′ .

W takim razie udowodnili±my pierwsz¡ relacj¦:

〈α|Cβ′a−p =β′

2pp 〈α|Cβ′ .

Drugie równanie udowodnimy poni»ej:

p

β′∂

∂pp〈α| exp

(β′∑n>0

1

nanpn

)=

p

β′〈α| β

′

pap exp

(β′∑n>0

1

nanpn

)= 〈α|Cβ′ap.

Do przeksztaªcenia u»yjemy nast¦puj¡cych mnemotechnicznych przyporz¡dkowa«:

pn ↔2

β′a−n,

∂

∂pn↔ β′

nan. (75)

37

3.7.2 Generatory Virasoro w przestrzeni FαPrzepiszemy wyra»enie (69) i wyprowadzimy posta¢ generatora algebry Virasoro w nowejprzestrzeni Fα:

Ln = β

n−1∑m=1

∂m∂n−m + β∑m>0

pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n, n > 0.

Z pomoc¡ przyporz¡dkowa« (75) dostajemy:

Ln =

(β′

β

)2

βn−1∑m=1

aman−m + 2β′

β

β

β′

∑m>0

a−man+m − (n+ 1)(β − 1)β′

βan.

Wstawiamy β′ =√β do powy»szego wyra»enia:

Ln =n−1∑m=1

aman−m + 2∑m>0

a−man+m︸ ︷︷ ︸A

−(n+ 1)β − 1√βan,

oraz kontynuujemy z przeksztaªcaniem wyra»enia A:

A =∑m<0

aman−m +∑m

θ(m)a−man+m =∑m<0

aman−m +∑k

∑m

θ(m)a−makδk,n+m =

=∑m<0

aman−m +∑k

θ(k − n)an−kak =∑m<0

aman−m +∑k>n

an−kak.

Wstawiamy do wyra»enia na Ln powy»szy wyraz A aby uzyska¢ ostatecznie:

Ln =∑m6=0,n

: aman−m : −(n+ 1)β − 1√βan, n > 0.

Porównamy t¦ posta¢ z obliczeniami w formalizmie gazu Coulomba (26). W tym przypadkumamy do czynienia z t¡ sam¡ algebr¡ ograniczon¡ do n > 0, pozbawion¡ a0 oraz identykacj¡−β−1√

β= iQ. Relacje

β′ = −√β, Q = −i

(√β − 1√

β

), α+ = i

√β, α− = − i√

β, (76)

s¡ dobrane tak, »eby uzyska¢ zgodno±¢ pomi¦dzy wielomianami Jacka i wektorami zerowymi.

3.7.3 Stany wªasne H

W tym rozdziale zajmiemy si¦ konstrukcj¡ stanu wªasnego |f〉λ odpowiadaj¡cego prostok¡tnemudiagramowi Younga. Na pocz¡tku wprowadzimy oznaczenie:

φ−(z) = −i∑n>0

1

na−nz

n,

38

oraz obliczymy pomocniczy wyraz korzystaj¡c ze wzoru Hausdora-Bakera eAeB = eBeAe[A,B]:

〈α|Cβ′e2α±φ−(z) |α〉 = 〈α| exp

(β′∑n>0

1

nanpn

)︸ ︷︷ ︸

X

exp

(−2α±i

∑n>0

1

na−nz

n

)︸ ︷︷ ︸

Y

|α〉 =

= 〈α| eY eXe[X,Y ] |α〉 ,

e[X,Y ] = exp

(−2α±iβ

′∑m,n>0

1

mnpmz

n[am, a−n]

)= exp

(−α±iβ′

∑n>0

pnzn

n

)=

= exp

−α±iβ′∑i,n>0

xni zn

n︸ ︷︷ ︸−

∑i ln(1−xiz)

=∏i

(1− xiz)iβ′α± .

Skorzystali±my z faktu, »e [X, Y ] jest c-liczb¡ oraz z równania 〈α| eY eX |α〉 = 1. Ostateczniemamy:

〈α|Cβ′e2α±φ−(z) |α〉 =∏i

(1− xiz)iβ′α± . (77)

Stany wªasne odpowiadaj¡ce wielomianom Jacka z prostok¡tnymi diagramami (r,s).Zgodnie z dyskusj¡ w rozdziale 2.4 po±wi¦conej formalizmowi gazu Coulomba, w skonstruowanejprzez nas przestrzeni Fa dysponujemy operatorem pierwotnym Vα(z). Tworzy on asymptoty-czny stan |α〉 b¦d¡cy stanem HWS dla moduªu Verma V (h(α)). Zgodnie ze wzorem (40) nap¦d αr,s oraz równaniem (39) na wag¦ konforemn¡, mamy relacje:

h∓r,±s = hr,s + rs,

α−r,s = αr,s − rα+. (78)

Zgodnie z powy»szym, stan |α−r,s〉 ma tak¡ sam¡ wag¦ konforemn¡ jak wektor wzbudzony napoziom rs zbudowany na |αr,s〉. Istnieje twierdzenie [14], które mówi o jednoznaczno±ci wektorazerowego na poziomie rs:

Lemat 3.2

∃! |χr,s〉 = Dr,s |αr,s〉 taki, »e

Ln |χr,s〉 = 0, n > 0,

L0 |χr,s〉 = (hr,s + rs) |χr,s〉 .

Kandydatem [15] na stan |χr,s〉 b¦dzie

|χr,s〉 = Qr+ |α−r,s〉 .

Z (36) komutator wynosi [Ln, Q+] = 0, |χr,s〉 jest stanem zerowym. W szczególno±ci z równania[L0, Q+] = 0 widzimy, »e posiada on tak»e odpowiedni¡ wag¦ h = hr,s + rs. Z powy»szegolematu wnioskujemy, »e musz¡ istnie¢ wspóªczynniki Dr,s wi¡»¡ce próbny stan z |αr,s〉. Poni»ejznajdziemy te wspóªczynniki:

|χr,s〉 =

∮ r∏j=1

dzj

r∏i=1

Vα+(zi) |α−r,s〉. (79)

39

Rozwiniemy podkre±lenie korzystaj¡c z (24):

r∏i=1

Vα+(zi) |α−r,s〉 =r∏i=1

: Vα+(zi) :

(∏i<j

(zi − zj)−2α2+

)eq(α−r,s) |0〉 =

=

(∏i<j

(zi − zj)−2α2+

)r∏i=1

eq(α+)

(r∏i=1

ep(α+;zi)

)eq(α−r,s)

::::::::::::::::::::::::

r∏i=1

: e<(α+;zi)e>(α+;zi) : |0〉 .

Obliczamy::::::::::::::podkre±lenie korzystaj¡c z (23):(

n∏i=1

ep(α+;zi)

)eq(α−r,s) = eq(α−r,s)

n∏i=1

ep(α+;zi)∏i

e[p(α+;zi),q(α−r,s)] =

= eq(α−r,s)n∏i=1

ep(α+;zi)∏i

z−2α+α−r,si .

Grupujemy i skracamy wyrazy w wyj±ciowym wyra»eniu:

e>(α+;zi) |0〉 = |0〉 , ep(α+;zi) |0〉 = |0〉 .r∏i=1

Vα+(zi) |α−r,s〉 =∏i<j

(zi − zj)−2α2+

∏i

z−2α+α−r,si

(r∏i=1

eq(α+)

)eq(α−r,s)

r∏i=1

e<(α+;zi) |0〉 .

Przeksztaªcamy cz¦±¢ czªonów korzystaj¡c z (78):(r∏i=1

eq(α+)

)eq(α−r,s) = erq(α+)+q(α−r,s) = exp (2rα+Q+ 2α−r,sQ) = exp(2αr,sQ) = eq(αr,s).

r∏i=1

e<(α+;zi) =r∏i=1

exp

(2α+i

∑n<0

1

nanz

−ni

)=:

r∏i=1

e2α+φ−(zi), φ−(z) = −i∑n>0

1

na−nz

n.

Wstawiamy powy»sze relacje bezpo±rednio do (79):

|χr,s〉 =

∮ r∏j=1

dzj

r∏i=1

z−2α+α−r,si

∏i<j

(zi − zj)−2α2+

r∏i=1

e2α+φ−(zi) |αr,s〉 .

W ten sposób odnale¹li±my wspóªczynniki Dr,s deniowane w lemacie 3.2. Pozostaje pokaza¢,»e podane wyra»enie to realizacja prostok¡tnego wielomianu Jacka w przestrzeni Fa. Pierwszymkrokiem jest przej±cie do przestrzeni funkcji symetrycznych za pomoc¡ wzoru (77):

e2α+φ−(z) |α〉 ↔∏i

(1− xiz)iβ′α+ ,

Drugi krok to przej±cie do parametru β za pomoc¡ relacji (76):

β′ =√β, α+ = i

√β, α+α− = 1,

− 2α+α−r,s = −(1− r)α2+ − 1− s = β(1− r)− s− 1,

− 2α2+ = 2β,

iβ′α+ = −β,

40

uzyskuj¡c wzór

Jβχr,s(x1, ..., xn) =

∮ r∏j=1

dzj

r∏i=1

zβ(1−r)−s−1i

∏i<j

(zi − zj)2β

r∏j=1

n∏i=1

(1− xizj)−β. (80)

Aby uzyska¢ wielomian Jacka w postaci caªkowej, dokonamy zamiany zmiennych w powy»szymwyra»eniu:

zi =1

ξi,

dzizi

= −dξiξi,

uzyskuj¡c

Jβχr,s(x1, ..., xn) = (−1)r∮ r∏

j=1

dξjξj

r∏i=1

ξ−β(1−r)+si

r∏i<j

(1

ξi− 1

ξj

)2β r∏j=1

n∏i=1

(1− xi

ξj

)−β,

r∏i<j

(1

ξi− 1

ξj

)2β

= (−1)r(r−1)/2

r∏i 6=j

(1

ξi− 1

ξj

)β= (−1)r(r−1)/2

r∏i 6=j

(1− ξi

ξj

)β∏i

ξ−β(r−1)i .

Zestawiaj¡c powy»sze wyra»enie uzyskujemy:

Jβχr,s(x1, ..., xn) = (−1)r(r+1)/2︸ ︷︷ ︸−1

∮ r∏j=1

dξjξj

r∏i 6=j

(1− ξi

ξj

)β r∏j=1

n∏i=1

(1− xi

ξj

)−β r∏i=1

ξsi .

Z dokªadno±ci¡ do znaku odzyskali±my wielomian Jacka w postaci caªkowej wprowadzonej w

s=4

r=7

∏ xis

i

r

n=9

N97

Rysunek 7: Prostok¡tny diagram po zadziaªaniu operatora zmiany liczby cz¡stek N97

(61) oraz [16]:

Jβχr,s(x1, ..., xn) =

∮ r∏j=1

dtj2πitj

i=n,j=r∏i,j

(1− xi

tj

)−β r∏i 6=j

(1− ti

tj

)β r∏j=1

tsj , (81)

odpowiadaj¡cego prostok¡tnemu diagramowi przedstawionemu na Rys.7. Jest to wielomian nzmiennych z prostok¡tnym wzbudzeniem rs. Poniewa» zachodzi n 6= r, oprócz prostok¡tnegowielomianu Jacka wykorzystany jest tutaj operator zmiany liczby cz¡stek (61).Udowodnili±my, »e stan osobliwy |χr,s〉 jest reprezentowany po stronie funkcji symetrycznychprostok¡tnym wielomianem Jacka rs.

4 Korespondencja AGT

Korespondencja AGT zostaªa zaproponowana w [4] przez Aldaya, Gaiotto i Tachikaw¦. Ustalaona relacj¦ mi¦dzy czterowymiarowymi supersymetrycznymi teoriami cechowania N = 2 i

41

teori¡ CFT. Dokªadny opis wykracza znacz¡co poza zakres tej pracy, dlatego te» ograniczymysi¦ do zdeniowania problemu który jest cz¦±ci¡ dowodu AGT podan¡ w [5]. Dowód polegana wykazaniu, »e istnieje unikalna baza |P 〉~λ w przestrzeni b¦d¡cej reprezentacj¡ algebry A =V ir ⊗H taka, »e

~µ 〈P ′|Vαn |P 〉~λ〈P ′|Vαn |P 〉

= Zbif (αn|P ′, ~µ;P,~λ), (82)

gdzie oznaczenia b¦d¡ obja±nione pó¹niej. W tym momencie wa»ne jest, »e traktujemy Zbif jakoobiekt zdeniowany po stronie supersymetrycznych QFT. Baza jest zdeniowana w nietrywialnysposób wokóª stanu o p¦dzie P i w dalszych rozdziaªach b¦dziemy si¦ zajmowa¢ lew¡ stron¡równania.

4.1 Wprowadzenie do problemu

Problem deniujemy w przestrzeni HilbertaH = HV ⊗HH w której dziaªa reprezentacja algebryA = V ir ⊗H zªo»onej z podalgebry Virasoro i podalgebry Heisenberga.

Podalgebra Virasoro V ir. B¦dziemy korzysta¢ z reprezentacji gazu Coulomba, operatoryalgebry Virasoro speªniaj¡ standardow¡ relacj¦ komutacji (6):

[Ln, Lm] = (n−m)Lm+n +c

12n(n2 − 1)δn+m,0,

c = 1 + 6Q2, Q = b+1

b,

gdzie parametr b jest równy α+ wprowadzonemu w (37). Wyprowadzimy u»ywan¡ podczasrachunku realizacj¦ tej algebry ze standardowej formy (26):

Ln =∑k

: akan−k : +iQ(n+ 1)an.

Rozdzielimy mod L0:

L0 =∑k

: aka−k : +iQa0 = iQa0 + a20 + 2

∑k>0

a−kak =Q2

4− (ia0 −

Q

2)2 + 2

∑k>0

a−kak =

=Q2

4− P2 + 2

∑k>0

a−kak,

gdzie zdeniowali±my nowy operator p¦du:

P := ia0 −Q

2= Pa −

Q

2.

Nowy operator speªnia równanie dla pró»ni konforemnej (34):

P |0∗〉 = 0.

Generatory Ln dla n 6= 0 s¡ równe:

Ln =∑k

: akan−k : +iQ(n+ 1)an =∑k 6=0,n

: akan−k : +2a0an + iQ(n+ 1)an =

=∑k 6=0,n

: akan−k : +i(nQ− 2ia0 +Q)an =∑k 6=0,n

: akan−k : +i(nQ− 2P)an.

42

Podsumowuj¡c, u»ywana w tym rozdziale algebra Virasoro jest zdeniowana jako:

Ln =∑k 6=0,n

: akan−k : +i(nQ− 2P)an, n 6= 0,

L0 =Q2

4− P2 + 2

∑k>0

a−kak.

Operatory wyst¦puj¡ce powy»ej speªniaj¡ standardowe komutacje (13)

[an, am] =n

2δn+m,0, [Q, P ] = [Q,Pa] = −1

2.

Dla tej algebry istniej¡ wprowadzone w (15) operatory wierzchoªkowe Vα. Stany asymptotycznes¡ zdeniowane nast¦puj¡co:

P |P 〉 = P |P 〉 , 〈P | P = 〈P |P. (83)

Za pomoc¡ operatorów wierzchoªkowych stany asymptotyczne s¡ równe:

|P 〉 = limz→0

VP (z) |0∗〉 = eq(P ) |0∗〉 , 〈P | = 〈0∗| eq(P ) (84)

(85)

Waga konforemna tych stanów wynosi:

L0 |P 〉 =

(Q2

4− P 2

)|P 〉 = ∆(P ) |P 〉 .

B¦dziemy u»ywali wprowadzonych w (38) operatorów ekranuj¡cych:

Q+ =

∮dzVb(z).

Nad stanem |P 〉 budujemy moduª Verma zdeniowany w rozdziale 2.2.3.

Podalgebra Heisenberga H. Poni»ej podajemy denicje zwi¡zane z algebr¡ Heisenberga.Algebr¦ deniujemy za pomoc¡ poni»szej relacji komutacji:

[bn, bm] =n

2δn+m,0.

Wprowadzamy operator Vα(z) dla tej podalgebry jako:

Vα(z) = e2(α−Q)ϕ−(z)e2αϕ+(z) =: ef<(z)ef>(z), (86)

ϕ+(z) = i∑n>0

bnnz−n, ϕ−(z) = i

∑n<0

bnnz−n.

Przestrze« stanów budujemy nad pró»ni¡ |0〉H :

bn |0〉H = 0, n > 0,

poprzez dziaªanie operatorów bn, n < 0:

b−lm ...b−l1 |0〉H = |φ〉 , l1 ≥ ... ≥ lm.

W tej przestrzeni istnieje operator B0 którego funkcje wªasne to operatory |φ〉:

B0 |φ〉 =m∑i=1

li |φ〉 ,

B0 = 2∑k>0

b−kbk.

43

Przestrze« stanów H i baza |P 〉~λ Przestrze« stanów jest iloczynem prostym HV ⊗ HH ,budujemy j¡ nad stanem zdeniowanym jako:

(Ln ⊗ bn) |P 〉 ⊗ |0〉H = Lnbn |P 〉 = 0, n > 0,

(L0 ⊗ I + I⊗B0) |P 〉 ⊗ |0〉H = (L0 +B0) |P 〉 = ∆(P ) |P 〉 .poprzez dziaªanie operatorów bn, Ln dla n < 0:

b−lm ...b−l1L−kn ...L−k1 |P 〉 =: b−lL−k |P 〉 , l1 ≥ ... ≥ lm, k1 ≥ ... ≥ kn,

Wektory powy»szej postaci tworz¡ naturaln¡ baz¦ w przestrzeni H. Ka»dy wektor powy»szejpostaci jest wektorem wªasnym operatora L0 +B0:

(L0 +B0)b−lL−k |P 〉 =

(∆(P ) +

m∑i=1

li +n∑j=1

kj

)L−k |P 〉 .

Mo»na zauwa»y¢, »e powy»sze wektory s¡ zdegenerowane wzgl¦dem L0 + B0. Z tego powoduwprowadzamy now¡ baz¦ zdeniowan¡ jako:

|P 〉~λ =∑|~µ|=|~λ|

Cµ1,µ2~λ

(P )b−µ1L−µ2 |P 〉 ,

gdzie ~λ = (λ1, λ2) to zbiór dwóch diagramów Younga, Cµ1,µ2~λ

(P ) s¡ nieznanymi wspóªczynnikami

za± wyraz |~µ| = |~λ| oznacza |µ1|+ |µ2| = |λ1|+ |λ2|.Wprowadzaj¡c takie wektory bazy znosimy wspomnian¡ degeneracj¦. Jest to baza wprowadzonawe wzorze (82). Gªówny rachunek podj¦ty w pracy jest obliczeniem wspomnianego wzoru dlapodzbioru stanów postaci |P 〉λ,∅ gdzie jeden z diagramów Younga jest pusty.

Sprz¦»enie hermitowskie. Na przestrzeni deniujemy standardowe sprz¦»enie hermitowskie:

L†−n = Ln, b†−n = bn.

Zakªadamy, »e wspóªczynniki Cµ1,µ2~λ

(P ) w wektorach bazy |P 〉~λ s¡ rzeczywiste:

~λ 〈P | =∑|~µ|=|~λ|

Cµ1,µ2~λ

(P ) 〈P | (b−µ1)†(L−µ2)†.

4.1.1 Wektory bazowe postaci |P 〉λ,∅Wektory z jednym pustym diagramem Younga |P 〉λ,∅ postulujemy jako zªo»one z operatorowychwielomianów Jacka J

(1/g)λ :

|P 〉λ,∅ = Ωλ(P )J(1/g)λ (x) |P 〉 ,

µ,∅ 〈P ′| = Ωµ(P ′) 〈P ′| J (1/g)µ (y).

gdzie g = −b2 to parametr β−1 wprowadzony w modelu CS. Operatorowe wielomiany Jacka towielomiany z sumami pot¦gowymi pk(x) (pk(y)) wypromowanymi do operatorów pk(x) (pk(y))zdeniowanymi jako:

b−k − a−k = −ibpk(x), bk + ak = −ibpk(y), k > 0. (87)

Przyporz¡dkowanie (87) mo»e by¢ tak»e rozumiane jako przedstawienie mapy pomi¦dzy przes-trzeni¡ H a przestrzeni¡ wielomianów symetrycznych przedyskutowanej w rozdziale 3.7. Czyn-nik Ωλ(P ) wynosi:

Ωλ(P ) = (−b)|λ|∏

(i,j)∈λ

(2P + ib+ jb−1),

gdzie (i, j) numeruj¡ komórki w diagramie Younga.

44

4.1.2 Obliczenie elementu macierzowego

Dla caªej algebry istnieje pole zdeniowane jako:

Vα(z) = Vα(z)Vα(z)Qn+. (88)

Zdeniowali±my w j¦zyku wielomianów Jacka podzbiór bazy |P 〉~λ gdy jeden z pary diagramów~λ jest pusty. Pozostaje obliczy¢ element macierzowy

µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉

. (89)

Zadanie zostaªo podzielone na osobne obliczenie mianownika i licznika.

4.1.3 Obliczenie mianownika

Korzystaj¡c z denicji (88) zapisujemy mianownik jako:

〈P ′|Vαn(1) |P 〉 =

∮ n∏i=1

dξi 〈P ′| Vα(1)Vb(ξ1)...Vb(ξn)Vαn(1) |P 〉 .

Poni»ej zajmiemy si¦ wyrazem podcaªkowym, mo»emy go upro±ci¢ poniewa» Vα(1) |P 〉 = |P 〉:

〈P ′|Vb(ξ1)...Vb(ξn)Vαn(1) |P 〉 = 〈P ′| :

(n∏i=1

Vb(ξi)

)Vαn(1) : |P 〉

∏i<j

(ξi − ξj)−2b2∏i

(ξi − 1)−2bαn .

gdzie skorzystali±my tak»e ze wzoru na iloczyn operatorów wierzchoªkowych (24). Oznaczaj¡crozwini¦cie operatora wierzchoªkowego jak w (15) kontynuujemy przeksztaªcanie podkre±lenia:

〈P ′| :

(n∏i=1

Vb(ξi)

)Vαn(1) : |P 〉 = 〈P ′|

(n∏i=1

eq(b)

)eq(αn)

n∏i=1

ep(b;ξi) |P 〉 =

= 〈P ′| e2(nb+αn)Qn∏i=1

ξ−2bPai |P 〉 .

Stan |P 〉 jest zdeniowany w (83) za± Pa = P + Q/2. Z tych dwóch denicji wyliczamy cz¦±¢powy»szego wyrazu: ∏

j

ξ−2bPaj |P 〉 =

∏j

ξ−b(Q+2P )j |P 〉 .

Pozostaª korelator przepisujemy w nast¦puj¡cej postaci:

〈P ′| e2(nb+αn)Q |P 〉 = 〈0∗| e2(nb+αn+P ′+P )Q |0∗〉 = 1, (90)

gdzie wprowadzili±my denicje stanów asymptotycznych (84). Podobnie jak przy wyprowadza-niu wzoru na n-punktow¡ funkcj¦ korelacji (25), nakªadamy warunek na p¦dy:

nb+ αn + P ′ + P = 0.

Zbieramy obliczone wyrazy do ostatecznej formy mianownika:

〈P ′|Vαn(1) |P 〉 =

∮ n∏i=1

dξi∏j

ξ−b(Q+2P )j

∏i<j

(ξi − ξj)−2b2∏i

(ξi − 1)−2bαn =: 〈1〉(n)Sel .

Takie wyra»enie nazywamy caªk¡ Selberga [17] i ogólnie oznaczamy j¡ symbolem 〈O〉(n)Sel dla

czªonu podcaªkowego O 6= 1.

45

4.2 Licznik wzoru

4.2.1 Przygotowanie licznika

Po prostszej kalkulacji mianownika skorzystamy z tych wyników i przyst¡pimy do obliczeniapostaci licznika. U»ywamy oznacze« z (86):

µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅ =

= Ωλ(P )Ωµ(P ′)

∮ ∏i

dξn 〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)ef>(1)

(∏i

Vb(ξi)

)Vαn(1)J

(1/g)λ (x) |P 〉 .

Kontynuujemy obliczanie korelatora 〈P ′| ... |P 〉 przeksztaªcaj¡c podkre±lenie zgodnie z obliczeni-ami mianownika:

〈P ′| J (1/g)µ (y)ef−(1)ef+(1)

(∏i

Vb(ξi)

)Vαn(1)J

(1/g)λ (x) |P 〉 =

=∏j

ξ−b(Q+2P )j

∏i<j

(ξi − ξj)−2b2∏i

(ξi − 1)−2bαn×

× 〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)e<(αn;1)

(n∏i=1

e<(b;ξi)

)eq(nb+αn)

(n∏i=1

e>(b;ξi)

)e>(αn;1)ef>(1)J

(1/g)λ (x) |P 〉 ,

(91)

gdzie korzystamy z oznacze« operatora wierzchoªkowego (15). Dalej b¦dziemy si¦ zajmowa¢jedynie korelatorem 〈P ′| ... |P 〉.

4.2.2 Obliczenie licznika

Przyj¦li±my ogólne rozwini¦cia operatorowych wielomianów Jacka w bazie sum pot¦gowychjako:

J(1/g)λ (x) =

∑ρ,|ρ|=|λ|

Θλρ pρ(x),

J (1/g)µ (y) =

∑ρ,|ρ|=|µ|

Θµρ pρ(y),

pρ = pρ1 ...pρn .

Przepiszemy licznik dla tego rozwini¦cia wielomianów

〈P ′| J (1/g)µ (y) ef<(1)︸ ︷︷ ︸

T3

e<(αn;1)︸ ︷︷ ︸T4

(n∏i=1

e<(b;ξi)

)︸ ︷︷ ︸

T5

X

(n∏i=1

e>(b;ξi)

)︸ ︷︷ ︸

T2

e>(αn;1)ef>(1)︸ ︷︷ ︸T1

J(1/g)λ (x) |P 〉 ,

gdzie X = eq(nb+αn) to operator, który jest przeniesiony przez caªy rachunek jako niezmienny.Zarówno po stronie bra jak i ket ogóln¡ strategi¡ jest przekomutowanie przez operatorowywielomian Jacka. W klamrach s¡ zaznaczone numery kolejnych rachunków. Ogólny wzór dla

46

dowolnych operatorów oi, qi jest przedstawiony poni»ej:[oi,∏k

eAkqkk

]=∞∑l=1

eA1q11 ...eAl−1

ql−1l−1

[oi, e

Alqll

]eAl+1

ql+1l+1 ... ,[

oi, eAl

qll

]=All

[oi, ql]eAl

qll ,[

oi, e∑k>0 Ak

qkk

]=∞∑l=1

All

[oi, ql]e∑k>0 Ak

qkk , (92)

zakªadaj¡c, »e komutator [oi, ql] jest liczb¡.

Wyra»enie T1. Pomocniczo obliczymy korzystaj¡c z (92):[o1...on, exp

(∑k>0

Akqkk

)]=

n∑i=1

o1...oi−1

[oi, exp

(∑k>0

Akqkk

)]oi+1...on,

=n∑i=1

o1...oi−1

(∞∑l=1

All

[oi, ql]e∑k>0 Ak

qkk

)oi+1...on, (93)

Grupujemy eksponenty z u»yciem denicji (87):

eT1 := e>(αn;1)ef>(1) = exp

(2iαn

∑k>0

akk

)exp

(2iαn

∑k>0

bkk

)= exp

(2bαn

∑k>0

pk(y)

k

).

Obliczamy nast¦puj¡cy komutator:[eT1 , J

(1/g)λ (x)

]=∑ρ

Θλρ

[eT1 , pρ1(x)...pρn(x)

],[

eT1 , pρ1(x)...pρn(x)]

=

=n−1∑i=0

pρ1(x)...pρi(x)

(∞∑l=1

2bαnl

[pl(y), pρi+1(x)]eT1

)pρi+2

(x)...pρn(x),

gdzie powy»szy wynik dostali±my korzystaj¡c z (93) dla Ak = 2bαn i qi = pρi(x). Pozostajepoliczy¢ komutator:

[pl(y), pρi+1(x)] =

i2

b2[al + cl, a−ρi+1

− c−ρi+1] = − 1

b2

([al, a−ρi+1

]− [cl, c−ρi+1])

=

= − 1

b2

(l

2δl,ρi+1

− l

2δl,ρi+1

)= 0.

Dzi¦ki temu komutator znika: [eT1 , J

(1/g)λ (x)

]= 0. (94)

Wyra»enie T2. Rozpoczniemy od zdeniowania wyra»enia:

eT2 :=n∏i=1

e>(b;ξi) = exp

(∑k>0

akk

2bi(ξ−k1 + ...+ ξ−kn )

)=: exp

(∑k>0

Akakk

), Ak = 2bi

n∑i=1

ξ−ki ,

eT2 J(1/g)λ (x) |P 〉 =

∑ρ

ΘλρeT2 pρ1(x)...pρm(x) |P 〉 =

=∑ρ

Θλρ

([eT2 , pρ1(x)

]+ pρ1(x)eT2

)pρ2(x)...pρm(x) |P 〉 .

47

Komutator obliczymy poni»ej korzystaj¡c z (92) dla Ak = 2bi∑n

i=1 ξ−ki , qk = ak i oi = pρ1(x):

[eT2 , pρ1(x)

]=∞∑l=1

All

[al, pρ1(x)]eT2 , [al, pρ1(x)] =i

b[al, b−ρ1 − a−ρ1 ] = − il

2bδl,ρ1 ,

[eT2 , pρ1(x)

]=

n∑i=1

ξ−ρ1i eT2 =: fρ1eT2 .

Czyli wracaj¡c do peªnego wyra»enia dostajemy:

eT2 J(1/g)λ (x) |P 〉 =

∑ρ

Θλρ (fρ1 + pρ1(x)) eT2 pρ2(x)...pρm(x) |P 〉 =

=∑ρ

Θλρ (fρ1 + pρ1(x)) ... (fρm + pρm(x)) eT2 |P 〉 =

=∑ρ

Θλρ

m∏i=1

(fρi + pρi(x)) |P 〉 , fρi =n∑i=1

ξ−ρii . (95)

Wyra»enie T3. Kolejne wyra»enie znajduje si¦ po stronie bra:

eT3 := ef<(1) = exp

(2i(αn −Q)

∑k>0

b−k−k

)=: exp

(∑k>0

Akb−kk

), Ak = −2i(αn −Q),

〈P ′| J (1/g)µ (y)eT3 = 〈P ′|

∑η

Θµη pη1(y)...pηm(y)eT3 =

= 〈P ′|∑η

Θµη pη1(y)...pηm−1(y)

([pηm(y), eT3

]+ eT3 pηm(y)

).

Komutator obliczymy ze wzoru (92) dla Ak = −2i(αn −Q), qk = bk i oi = pηm(y):

[pηm(y), eT3

]=∞∑l=1

All

[pηm(y), b−l]eT3 , [pηm(y), b−l] =

i

b[bηm + aηm , b−l] =

il

2bδl,ηm ,

[pηm(y), eT3

]=αn −Q

beT3 =: geT3 .

Podobnie jak w wyra»eniu T2, dostajemy:

〈P ′| J (1/g)µ (y)eT3 =

∑η

Θµη pη1(y)...pηm−1(y)eT3(g + pηm(y)) =

= 〈P ′|∑η

Θµη

m∏i=1

(g + pηi(y)), g =αn −Q

b. (96)

Wyra»enie T4. W nast¦pnym wyra»eniu uwzgl¦dniamy obliczony wcze±niej (96):

eT4 := e<(αn;1) = exp

(2iαn

∑k>0

a−k−k

), Ak = −2iαn,

〈P ′|m∏i=1

(g + pηi(y))eT4 = 〈P ′|m−1∏i=1

(g + pηi(y))([(g + pηm(y)), eT4 ] + eT4(g + pηm(y))

).

48

Komutator z ogólnego wzoru (92) dla Ak = −2iαn, qk = ak i oi = pηm(y) wynosi:

[(g + pηm(y)), eT4 ] =∞∑l=1

All

[pηm(y), a−l]eT4 , [pηm(y), a−l] =

i

b[bηm + aηm , a−l] =

il

2bδl,ηm ,

[(g + pηm(y)), eT4 ] =αnbeT4 =: geT4 .

Skªadamy razem powy»sze wyra»enia:

〈P ′|m∏i=1

(g + pηi(y))eT4 = 〈P ′|m−1∏i=1

(g + pηi(y))eT4(g + g + pηm(y)) =

= 〈P ′|m∏i=1

(h+ pηi(y)), g + g = h =2αn −Q

b. (97)

Wyra»enie T5.

eT5 :=n∏i=1

e<(b;ξi) = exp

(2bi∑k>0

a−k−k

(ξk1 + ...+ ξkn

))=: exp

(∑k>0

Aka−kk

),

〈P ′|m∏i=1

(h+ pηi(y))eT5 =m−1∏i=1

(h+ pηi(y))([h+ pηm(y), eT5 ] + eT5(h+ pηm(y))

).

Komutator z (92) dla Ak = −2bi∑n

j=1 ξkj , oi = pηm(y) i qk = a−k wynosi:

[h+ pηm(y), eT5 ] =∞∑l=1

All

[pηm(y), a−l]eT5 , [pηm(y), a−l] =

il

2bδl, ηm,

[h+ pηm(y), eT5 ] =n∑j=1

ξηmj eT5 =: fηmeT5 .

Ostatni wyraz jest równy:

〈P ′|m∏i=1

(h+ pηi(y))eT5 = 〈P ′|m∏i=1

(fηi + h+ pηi(y)), fηi =n∑j=1

ξηij . (98)

Zªo»enie obliczonych wyra»e«. Przekomutowali±my wszystkie eksponenty, skªadamy wi¦cwyrazy (95) i (98) razem:

〈P ′| J (1/g)µ (y)ef<(1)e<(αn;1)

(n∏i=1

e<(b;ξi)

)X

(n∏i=1

e>(b;ξi)

)e>(αn;1)ef>(1)J

(1/g)λ (x) |P 〉 =

=∑ρ

Θλρ

∑η

Θµη 〈P ′|

m′∏j=1

(fηj + h+ pηj(y))Xm∏i=1

(fρi + pρi(x)) |P 〉 ,

fηj =n∑i=1

ξηji , fρi =

n∑j=1

ξ−ρij , h =2αn −Q

b.

Kontynuujemy dyskusj¦ korelatora:

〈P ′|m′∏j=1

(fηj + h+ pηj(y))m∏i=1

(fρi + pρi(x))X |P 〉 =m′∏j=1

(fηj + h)m∏i=1

fρi 〈P ′|X |P 〉 .

49

Powy»sza równo±¢ zachodzi poniewa» [pηk+1, pρl+1

] = 0. Wyraz 〈P ′|X |P 〉 = 1 zostaª obliczonyw (90). Gdy zsumujemy otrzymany korelator ze wspóªczynnikami Θ dostaniemy wyraz:

∑η

Θµη

m′∏j=1

(fηj + h)∑ρ

Θλρ

m∏i=1

fρi =: J (1/g)µ [pk + h](ξ) J

(1/g)λ [p−k](ξ). (99)

Po wykonaniu caªego rachunku w powy»szym wzorze znajduj¡ si¦ zwykªe wielomiany JackaJλ. Poni»ej zbieramy wyrazy (91) i (99) skªadaj¡ce si¦ na licznik:

µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅ = Ωλ(P )Ωµ(P ′)

∮ ∏i

dξn∏j>i

(ξi − ξj)−2b2∏j

(ξj − 1)−2bαn∏j

ξ−b(Q+2P )j ×

× J (1/g)µ [pk + h](ξ) J

(1/g)λ [p−k](ξ),

gdzie

J (1/g)µ [pk + h](ξ) :=

∑η

Θµη

m′∏j=1

(fηj + h), J(1/g)λ [p−k](ξ) :=

∑ρ

Θλρ

m∏i=1

fρi ,

fηj =n∑x=1

ξηjx , fρi =n∑y=1

ξ−ρiy , h =2αn −Q

b.

Dowiedli±my, »e element macierzowy (89) jest równy:

µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉

= Ωλ(P )Ωµ(P ′)

⟨J

(1/g)µ [pk + ρ]J

(1/g)λ [p−k]

⟩(n)

Sel

〈1〉(n)Sel

.

4.3 Dalsze elementy dowodu hipotezy AGT

Przedstawiony dowód na posta¢ elementu macierzowego jest jednym z wa»niejszych etapówrachunku sªu»¡cego do zdeniowania bazy |P 〉~λ. W kolejnym kroku nale»aªoby obliczy¢ rozsz-erzon¡ caªk¦ Selberga i udowodni¢, »e

µ,∅ 〈P ′|Vαn(1) |P 〉λ,∅〈P ′|Vαn(1) |P 〉

= Zbif (αn|P ′, (µ, ∅);P, (λ, ∅)).

Warto zaznaczy¢ przy tym, »e odpowiednio±¢ bazy wyra»onej przez wielomiany Jacka nie byªado tej pory ewidentna. Przy przej±ciu do ogólnego |P 〉~λ korzystamy z charakterystycznej wªas-no±ci przedyskutowanej w rozdziale 3.7.3 - dla pewnych warto±ci p¦du Pmn wektor zerowy jestreprezentowany przez wielomian Jacka. Dzi¦ki temu wielomiany Jacka jako baza s¡ wyró»nione.Ta dyskusja wykracza jednak poza zakres pracy.

5 Supersymetryczny model CS

Supersymetryczny model Calogero-Sutherlanda [18, 19] jest rozszerzeniem klasycznego modeluopisanego szczegóªowo w rozdziale 3. Zwykle w rozszerzeniu supersymetrycznym postuluje si¦dodatkow¡ symetri¦ pól w taki sposób, »e dotychczas rozª¡czne sektory fermionowe i bozonowezaczynaj¡ si¦ przenika¢.

50

5.1 Supersymetria w modelu CS

Wprowadzamy zwykªe zmienne bozonowe[qj,

1

i

∂

∂qk

]= iδjk,

1

i

∂

∂qk= pk,

oraz dodatkowe zmienne fermionowe

θj, θ†k = δjk.

Za pomoc¡ tych zmiennych deniujemy supersymetryczny hamiltonian jako:

H =1

2Q,Q†,

gdzie

Q =∑i

θ†iAi, Q† =∑i

θiA†i ,

Q2 = 0, (Q†)2 = 0.

Je±li zdeniujemy stany bozonowe i fermionowe jako:

|b〉x = A†x |0〉 , |f〉x = θ†x |0〉 , Ai |0〉 = θi |0〉 = 0,

to dziaªanie operatorami Q na te stany b¦dzie nast¦puj¡ce:

Q |b〉x = |f〉x , Q |f〉x = 0,

Q† |f〉x = |b〉x , Q† |b〉x = 0.

Q (Q†) jest operatorem zmieniaj¡cym stany bozonowe w fermionowe (fermionowe w bozonowe),za± podany hamiltonian zlicza cz¡stki bozonowe i fermionowe. Warunki naªo»one na Q wyma-gaj¡ speªnienia nast¦puj¡cych równa«:

[Ai, Aj] = 0, [A†i , A†j] = 0.

Przy podanej denicji Q mo»emy rozwin¡¢ denicj¦ hamiltonianu jako:

H =1

2

∑i,j

θ†iAi, θjA†j =

1

2

∑i,j

(θ†i θjAiA

†j + θjθ

†iA†jAi

)=

1

2

∑i,j

(θ†i θj[Ai, A

†j] + θ†i , θjA

†jAi

),

H =1

2

(∑i

A†iAi +∑i,j

θ†i θj[Ai, A†j]

). (100)

Wstawiamy konkretne denicje Ai:

Ai = pi − iΦi, A†i = pi + iΦi,

Φi = ∂iW,

gdzie W (q) to prepotencjaª - pewna funkcja zmiennych qi. Obliczymy czªony skªadowe hamil-tonianu:

A†iAi = (pi + iΦi)(pi − iΦi) = p2i + iΦipi − ipiΦi − iΦipi + Φ2

i =

= p2i − ∂2

iW + (∂iW )2,

[Ai, A†j] = [pi − iΦi, pj + iΦj] = −i[Φi, pj] + i[pi,Φj] =

= −iΦipj:::::::

=0

+ ipjΦi + iΦipj:::::

=0

+ ipiΦj + Φjpi − iΦjpi:::::::::::::

=0

=

= 2∂i∂jW.

51

Wstawiaj¡c powy»sze wyra»enia do hamiltonianu (100) dostajemy:

H =1

2

∑i

(p2i − ∂2

iW + (∂iW )2)

+∑i,j

θ†i θj∂i∂jW =

=1

2

∑i

(p2i − ∂2

iW + (∂iW )2)

+∑i,j

(δij − θjθ†i )∂i∂jW =

=1

2

∑i

p2i +

1

2

∑i

(∂iW )2

︸ ︷︷ ︸A0

+1

2

∑i

∂2iW︸ ︷︷ ︸

A1

−∑i,j

θiθ†j∂i∂jW︸ ︷︷ ︸A2

. (101)

Prepotencjaª przyjmiemy w postaci:

W =∑k<l

w(qk − ql).

Wyznaczamy pochodne z wprowadzonego prepotencjaªu:

∂jW =∑k<l

∂jw(qk − ql) =∑k<l

∂w(qk − ql)∂(qk − ql)

(∂qk∂qj− ∂ql∂qj

)=∑k<l

w(qkl)′(δkj − δlj),

∂i∂jW = ∂i∑k<l

w(qkl)′(δkj − δlj) =

∑k<l

w(qkl)′′(δki − δli)(δkj − δlj),

gdzie oznaczyli±my qkl = qk − ql. Wstawiamy powy»sze pochodne do wyrazów Ai w hamiltoni-anie:

A2 =∑i,j

∑k<l

θiθ†jw(qkl)

′′(δki − δli)(δkj − δlj) =∑k<l

w(qkl)′′(θkθ

†k − θlθ

†k − θkθ

†l + θlθ

†l ) =

=∑k<l

w(qkl)′′(θk − θl)(θ†k − θ

†l ), (102)

A1 =1

2

∑i

∂2iW =

1

2

∑i

∑k<l

w(qkl)′′(δki − δli)2 =

1

2

∑i

∑k<l

w(qkl)′′(δ2

ki − 2δkiδli + δ2li) =

=∑k<l

w(qkl)′′ −

∑k<l

w(qkl)′′δkl

::::::::::::::=0

=∑k<l

w(qkl)′′. (103)

Do obliczenia wyrazu A0 poczynimy zaªo»enia dotycz¡ce funkcji w. Przepiszmy w innej formiewyraz ∂jW :

∂jW =∑k<l

w′(qkl)(δkj − δlj) =∑l,j<l

w′(qjl)−∑k,k<j

w′(qkj).

Zakªadamy, »e w′ jest funkcj¡ nieparzyst¡ w′(qab) = −w′(qba). Dzi¦ki temu dostajemy wyraz:

∂jW =∑l,l 6=j

w′(qjl),

który wstawiamy do czªonu A0:

A0 =1

2

∑j

∑k′,k′ 6=j

∑k,k 6=j

w′(qjk)w′(qjk′) =

1

2

∑j

∑k,k 6=j

w′(qjk)2

︸ ︷︷ ︸k=k′

+1

2

∑j

∑k′,k′ 6=jk′ 6=k

∑k,k 6=jk 6=k′

w′(qjk)w′(qjk′) =

=∑j

∑k,k>j

w′(qjk)2 +

1

2

∑j

∑k′,k′ 6=jk′ 6=k

∑k,k 6=jk 6=k′

w′(qjk)w′(qjk′). (104)

52

Wstawiamy do hamiltonianu (101) wyrazy (102) (103) i (104):

H =1

2

∑i

p2i +

∑k<l

(w′(qkl)

2 + w′′(qkl)(1− θklθ†kl))

+1

2

∑j

∑k′,k′ 6=jk′ 6=k

∑k,k 6=jk 6=k′

w′(qjk)w′(qjk′)

::::::::::::::::::::::::::::::::::

.

Aby uzyska¢ zgodno±¢ z modelem CS wprowadzamy konkretn¡ posta¢ w′ tak, aby móc rozwikªa¢

::::::::::::::podkre±lenie:

w′(qjk) =β

2cot

(qj − qk

2

).

Przy takim podstawieniu wyraz:::::::::::::podkre±lony zostaª ju» obliczony w (47) i wynosi:

::::=β2

8

∑j,k′,kj 6=k 6=k′

cot

(qj − qk

2

)cot

(qj − qk′

2

)= −β

2N(N − 1)(N − 2)

24.

Wstawiamy postulowan¡ posta¢ w′ do pozostaªych wyrazów:

=∑k<l

(β2

4cot2

(qkl2

)− β

4

1

sin2(qkl2

)(1− θklθ†kl)

)=

=∑k<l

1

sin2(qkl2

) (β2

4

(1− sin2

(qkl2

))− β

4(1− θklθ†kl)

)=

= −β2

8N(N − 1) +

1

4

∑k<l

β(β − 1 + θklθ†kl)

sin2(qkl2

) .

Zestawiamy razem obliczone wyrazy aby uzyska¢ ostateczn¡ posta¢ hamiltonianu:

H =1

2

∑i

p2i +

1

4

∑k<l

β(β − 1 + θklθ†kl)

sin2(qkl2

) −β2

8N(N − 1)− β2N(N − 1)(N − 2)

24︸ ︷︷ ︸−β

2N(N2−1)24

. (105)

Warto±¢ energii zerowej β2N(N2−1)24

zgadza si¦ z warto±ci¡ dla modelu CS (49) gdy zauwa»ymy,»e ten hamiltonian jest przeskalowany czynnikiem 1/2 (porównaj z (41)).

5.2 Przej±cie do zmiennych wymiernych

Supersymetryczny model CS nie ró»ni si¦ znacz¡co od klasycznego hamiltonianu (41). Poni»sz¡przeskalowan¡ funkcj¦ Hamiltona HsCS = 2(H + ε0) uzyskali±my z (105):

HsCS =N∑j=1

(1

i

∂

∂qj

)2

+1

2

N∑j=1,i<j

β(β − 1 + (θi − θj)(∂θi − ∂θj))sin2(

qi−qj2

).

Poni»szy czªon b¦d¡cy cz¦±ci¡ hamiltonianu jest operatorem zamiany zmiennych fermionowych:

Kij = 1− (θi − θj)(∂θi − ∂θj),Kijf(θi, θj, θ

†i , θ†j) = f(θj, θi, θ

†j , θ†i )Kij.

53

Inaczej ni» w modelu CS, mamy dwa stany pró»ni:

Ψ0(x) = ∆β, Ψ0(x) = ∆−βθ1...θN .

Analogicznie jak w (54), zdeniujemy hamiltonian Hs = ∆−βHsCS∆β − ε0 dziaªaj¡cy jedyniena stany wzbudzone. Bazuj¡c na wcze±niejszych obliczeniach mo»emy od razu przej±¢ do zmi-ennych xj = eiqj . Mamy jeden dodatkowy czªon poniewa» mo»emy rozªo»y¢ wyraz:

β(β −Kij) = β(β − 1) + β(1−Kij),

czyli zachodzi

HsCS = HCS +Hsup,

Hsup =β

2

N∑j=1,i<j

(1−Kij)sin2(

qi−qj2

).

Mo»emy wykorzysta¢ (55) do bezpo±redniego wypisania

∆−βHsup∆β = −β

2

N∑j=1,i<j

4(1−Kij)xixj(xi − xj)2

.

Zbieramy razem czªony nowego hamiltonianu jako:

Hs = H− 2βN∑

j=1,i<j

(1−Kij)xixj(xi − xj)2

,

Hs = β∑i<j

xi + xjxi − xj

(Di −Dj) +∑i

D2i − 2β

N∑j=1,i<j

(1−Kij)xixj(xi − xj)2

. (106)

5.3 Hamiltonian w j¦zyku symetrycznych funkcji

W peªnej analogii do klasycznego modelu CS (rozdziaª 3.5), wprowadzamy symetryczne funkcje:

pn =∑i

xni , n > 0, qn−1 =∑i

θixn−1i , n > 0,

dzi¦ki którym przejdziemy z Hs do postaci b¦d¡cej supersymetrycznym rozszerzeniem (68).Uzyskany w ten sposób hamiltonian b¦dzie sum¡ (68) i dodatkowych czªonów. W pierwszym

54

kroku policzymy pochodne w nowych zmiennych:

∂

∂xj=∑n>0

(∂pn∂xj

∂

∂pn+∂qn−1

∂xj

∂

∂qn−1

)=∑n>0

nxn−1j

∂

∂pn:::::::::::::::

+∑n>0

(n− 1)θjxn−2j

∂

∂qn−1

,

∂

∂θj=∑n>0

∂qn−1

∂θj

∂

∂qn−1

=∑n>0

xn−1j

∂

∂qn−1

,

∂2

∂x2j

=∑n>0

∂

∂xj

(∂pn∂xj

∂

∂pn+∂qn−1

∂xj

∂

∂qn−1

)=

=∑n>0

∂2pn∂x2

j

∂

∂pn+∑n>0

∂pn∂xj

∂

∂xj

∂

∂pn+∑n>0

∂2qn−1

∂x2j

∂

∂qn−1

+∑n>0

∂qn−1

∂xj

∂

∂xj

∂

∂qn−1

=

=∑n>0

∂2pn∂x2

j

∂

∂pn::::::::::::::

+∑m,n>0

∂pn∂xj

(∂pm∂xj

∂

∂pm

∂

∂pn:::::::::::::::::::::

+∂qm−1

∂xj

∂

∂qm−1

∂

∂pn

)+

+∑n>0

∂2qn−1

∂x2j

∂

∂qn−1

+∑n,m>0

∂qn−1

∂xj

(∂pm∂xj

∂

∂pm

∂

∂qn−1

+∂qm−1

∂xj

∂

∂qm−1

∂

∂qn−1

)=

=:::::

+∑n>0

(n− 1)(n− 2)xn−3j θj

∂

∂qn−1

+∑n,m>0

(n− 1)(m− 1)xn−2j xm−2

j θ2j

∂

∂qm−1

∂

∂qn−1︸ ︷︷ ︸0

+

+ 2∑n,m>0

nxn−1j (m− 1)θjx

m−2j

∂

∂qm−1

∂

∂pn,

gdzie::::::::wyrazy

:::::::::::::::podkre±lone oznaczaj¡ poznan¡ ju» cz¦±¢ obliczon¡ w rozdziale 3.5. Poni»ej

zapisano jawnie hamiltonian (106):

Hs = β∑i<j

xi + xjxi − xj

(xi

∂

∂xi− xj

∂

∂xj

)− 2β

N∑j=1,i<j

(θi − θj)(∂θi − ∂θj)xixj(xi − xj)2

+

+∑i

(xi

∂

∂xi+ x2

i

∂2

∂x2i

).

Wstawiamy podane pochodne do Hs:

Hs =∑n,m

(nmpn+m

∂

∂pn

∂

∂pm+ β(n+m)pnpm

∂

∂pn+m

)+∑n

(n+ β(N − n))npn∂

∂pn+ ∆Hs.

55

Poni»ej obliczamy tylko dodatkowe czªony supersymetryczne:

∆Hs =

β∑i<j

xi + xjxi − xj

(∑n

(n− 1)xn−1i θi

∂

∂qn−1

−∑n

(n− 1)xn−1j θj

∂

∂qn−1

)+

− 2β∑i<j

θi − θj(xi − xj)2

xixj

(∑n

xn−1i −

∑n

xn−1j

)∂

∂qn−1

+

+∑j

∑n

(n− 1)xn−1j θj

∂

∂qn−1

+∑j

∑n

(n− 1)(n− 2)xn−1j θj

∂

∂qn−1

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

+

+ 2∑j,n,m

nxn−1j (m− 1)θjx

mj

∂

∂qm−1

∂

∂pn:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

.

::::::Drugi

::::::::wyraz jest równy:∑

n

(n− 1)qn−1∂

∂qn−1

+∑n

(n− 1)(n− 2)qn−1∂

∂qn−1

+ 2∑n,m

n(m− 1)qn+m−1∂

∂qm−1

∂

∂pn=

=∑n

(n− 1)2qn−1∂

∂qn−1

+ 2∑n,m

n(m− 1)qn+m−1∂

∂qm−1

∂

∂pn.

Pierwszy wyraz wynosi:

β∑i<j,n

xi + xjxi − xj

(n− 1)(xn−1i θi − xn−1

j θj) ∂

∂qn−1

− 2β∑i<j,n

θi − θj(xi − xj)2

xixj(xn−1i − xn−1

j

) ∂

∂qn−1

=

= β∑i<j,n

[xi + xjxi − xj

(n− 1)(xn−1i θi − xn−1

j θj)− 2

θi − θj(xi − xj)2

xixj(xn−1i − xn−1

j

)] ∂

∂qn−1

.

Przeksztaªcimy wyra»enie w nawiasie∑

i<j[ ]:

∑i<j

[xi + xjxi − xj

(n− 1)(xn−1i θi − xn−1

j θj)− 2

θi − θj(xi − xj)

xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j

]=

=N∑i=1

N∑j=i+1

xi + xjxi − xj

(n− 1)xn−1i θi −

N∑j=1

j−1∑i=1

xi + xjxi − xj

(n− 1)xn−1j θj

::::::::::::::::::::::::::::::::

+

− 2N∑i=1

N∑j=i+1

θi(xi − xj)

xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j + 2

N∑j=1

j−1∑i=1

θj(xi − xj)

xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j .

Zamieniamy indeksy w podkre±leniach:

::::= (i↔ j) =

N∑i=1

i−1∑j=1

xj + xixj − xi

(n− 1)xn−1i θi = −

N∑i=1

i−1∑j=1

xj + xixi − xj

(n− 1)xn−1i θi,

= (i↔ j) =N∑i=1

i−1∑j=1

θi(xj − xi)

xixj

n−2∑k=0

xkjxn−k−2i = −

N∑i=1

i−1∑j=1

θi(xi − xj)

xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j .

56

Wstawiamy z powrotem do nawiasu:

∑i<j

[ ] =∑i 6=j

xi + xjxi − xj

(n− 1)xn−1i θi − 2

∑i 6=j

θi(xi − xj)

xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j =

=∑i 6=j

θi1

xi − xj

[(xi + xj)(n− 1)xn−1

i − 2xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j

].

Rozwijamy wyraz w nawiasie kwadratowym [ ]:

(xi + xj)(n− 1)xn−1i − 2xixj

n−2∑k=0

xki xn−k−2j =

= xi

[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 1)xn−2

i xj − 2n−2∑k=0

xki xn−k−1j

]=

= xi

[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 2)xn−2

i xj − 2n−3∑k=0

xki xn−k−1j

]=

= xi

[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(n− 2)xn−3

i xj(xi − xj) + 2(n− 3)xn−3i x2

j − 2n−4∑k=0

xki xn−k−1j

]=

= xi

[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(xi − xj)

n−2∑l=1

(n− l − 1)xn−l−2i xlj

].

Wracamy do pierwszego wyrazu:

β∑n

∑i 6=j

θixixi − xj

[xn−2i (n− 1)(xi − xj) + 2(xi − xj)

n−2∑l=1

(n− l − 1)xn−l−2i xlj

]∂

∂qn−1

=

= β∑n

∑i 6=j

θixi

[xn−2i (n− 1) + 2

n−2∑l=1

(n− l − 1)xn−l−2i xlj

]∂

∂qn−1

=

= β∑n

(n− 1)(N − 1)qn−1∂

∂qn−1

+

+ 2β∑n

(∑i,j

θi

n−2∑l=1

(n− l − 1)xn−l−1i xlj −

∑i

θi

n−2∑l=1

(n− l − 1)xn−1i

)∂

∂qn−1

=

= β∑n

(n− 1)(N − 1)qn−1∂

∂qn−1

+ 2β∑n

n−2∑l=1

(n− l − 1)qn−l−1pl∂

∂qn−1

+

− 2β∑n

n−2∑l=1

(n− l − 1)︸ ︷︷ ︸(n−1)(n−2)/2

qn−1∂

∂qn−1

=

= β∑n

(n− 1)(N − 1− n+ 2)qn−1∂

∂qn−1

+ 2β∑n>0

n−2∑l=1

(n− l − 1)qn−l−1pl∂

∂qn−1

.

57

Skªadamy razem wszystkie znalezione czªony:

∆Hs =∑n

(n− 1)2qn−1∂

∂qn−1::::::::::::::::::::::::

+∑n,m

(n− 1)(m− 1)qn+m−2∂

∂qm−1

∂

∂qn−1

+

+ 2∑n,m

n(m− 1)qn+m−1∂

∂qm−1

∂

∂pn+ β

∑n

(n− 1)(N + 1− n)qn−1∂

∂qn−1::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

+

+ 2β∑n>0

n−2∑l=1

(n− l − 1)qn−l−1pl∂

∂qn−1

.

Kontynuujemy przeksztaªcanie wyrazu:

2β∑n>0

n−2∑l=1

(n− l − 1)qn−l−1pl∂

∂qn−1

= 2β∑n>0

∑l>0

θ(n− 2− l)(n− l − 1)qn−l−1pl∂

∂qn−1

=

= 2β∑n

∑l

∑k

θ(n− 2− l)θ(n− 1)θ(l − 1)δn−l−1,kkqkpl∂

∂ql+k=

= 2β∑l

∑k

θ(k + l)θ(l − 1)θ(k − 1)kqkpl∂

∂ql+k= 2β

∑l>0

∑k>0

kqkpl∂

∂ql+k.

Nast¦pnie zbijamy::::::::wyrazy:∑

n

(n− 1)2qn−1∂

∂qn−1

+ β∑n

(n− 1)(N + 1− n)qn−1∂

∂qn−1

=

=∑n

(n− 1)(n− 1 + β(N + 1− n))qn−1∂

∂qn−1

=∑n

(n− 1) [(n− 1)(1− β) + βN ] qn−1∂

∂qn−1

.

Ostatecznie mamy dodatkow¡ cz¦±¢ hamiltonianu:

∆Hs = 2∑n,m

n(m− 1)qn+m−1∂

∂qm−1

∂

∂pn+

+ 2β∑l>0

∑k>0

kqkpl∂

∂ql+k+∑n

(n− 1) [(n− 1)(1− β) + βN ] qn−1∂

∂qn−1

.

Poni»ej wypisali±my caªy hamiltonian po przeksztaªceniu:

Hs =∑

n>0,m>0

(nmpn+m

∂

∂pn

∂

∂pm+ β(n+m)pnpm

∂

∂pn+m

)+∑n>0

(n+ β(N − n))npn∂

∂pn+

+ 2∑

n>0,m>0

n(m− 1)qn+m−1∂

∂qm−1

∂

∂pn+ 2β

∑l>0

∑k>0

kqkpl∂

∂ql+k+

+∑n>0

(n− 1)(n− 1 + β(N + 1− n))qn−1∂

∂qn−1

.

Przesuwamy indeks przy niektórych czªonach:

Hs =∑

n>0,m>0

(nmpn+m

∂

∂pn

∂

∂pm+ β(n+m)pnpm

∂

∂pn+m

)+∑n>0

(n+ β(N − n))npn∂

∂pn+

+ 2∑

n>0,m>0

nmqn+m∂

∂qm

∂

∂pn+ 2β

∑l>0

∑k>0

kqkpl∂

∂ql+k+∑n>0

n(n+ β(N − n))qn∂

∂qn. (107)

58

Wprowadzamy oznaczenia ∂n, ∂n i przeksztaªcamy niektóre wyra»enia:

∂n =n

β

∂

∂pn, ∂x =

1

β

∂

∂qx,

∑n>0,m>0

nmpn+m∂

∂pn

∂

∂pm=∑n>0

n−1∑m=1

m(n−m)pn∂

∂pm

∂

∂pn−m= β2

∑n>0

pn

n−1∑m=1

∂m∂n−m,

β∑

n>0,m>0

(n+m)pnpm∂

∂pn+m

= β2∑n>0

pn∑m>0

pm∂n+m,

∑n>0

(n+ β(N − n))npn∂

∂pn= β

∑n>0

(n+ β(N − n))pn∂n =

= β∑n>0

(β − 1 + βN)pn∂n − β∑n>0

(n+ 1)(β − 1)pn∂n,

2∑

n>0,m>0

nmqn+m∂

∂qm

∂

∂pn= 2β2

∑n>0,m>0

mqn+m∂m∂n,

2β∑l>0

∑k>0

kqkpl∂

∂ql+k= 2β2

∑l>0

∑k>0

kqkpl∂l+k,

∑n>0

n(n+ β(N − n))qn∂

∂qn= β

∑n>0

(β − 1 + βN)nqn∂n − β∑n>0

(n+ 1)(β − 1)nqn∂n.

Dostajemy wyra»enie:

Hs = β2∑n>0

pn

n−1∑m=1

∂m∂n−m + β2∑n>0

pn∑m>0

pm∂n+m + β∑n>0

(β − 1 + βN)pn∂n

::::::::::::::::::::::::::

+

−β∑n>0

(n+ 1)(β − 1)pn∂n + 2β2∑

n>0,m>0

mqn+m∂m∂n + 2β2∑

l>0,k>0

plkqk∂l+k+

+ β∑n>0

(β − 1 + βN)nqn∂n

:::::::::::::::::::::::::::

− β∑n>0

(n+ 1)(β − 1)nqn∂n.

Grupujemy wyrazy podkre±lone:

Hs = β∑n>0

pn

(βn−1∑m=1

∂m∂n−m + β∑m>0

pm∂n+m − (n+ 1)(β − 1)∂n

)+

+ 2β2∑

n>0,m>0

mqn+m∂m∂n + 2β2∑

l>0,k>0

plkqk∂l+k − β∑k>0

qk(k + 1)(β − 1)k∂k+

+ (β − 1 + βN)β∑n>0

(pn∂n + nqn∂n

). (108)

Podane wyra»enie to rozszerzenie wprowadzonego w rozdziale 3.6.1 hamiltonianu. Jest to forma,której celem jest pokazanie ukrytej algebry Virasoro w modelu Calogero-Sutherlanda. Wydajesi¦ naturalnym, »e w supersymetrycznym przypadku powinna istnie¢ podobna relacja z algebr¡Neveu-Schwarza-Ramonda.

5.4 Supersymetryczne wielomany Jacka

Funkcjami wªasnymi hamiltonianu (108) s¡ supersymetryczne wielomiany Jacka JmΛ (x, θ) (nazy-

wane pó¹niej sJackami). Analogicznie do zwykªych wielomianów wprowadzonych w rozdziale

59

3.4, supersymetryczne odpowiedniki s¡ scharakteryzowane superpartycj¡ Λ = (Λa,Λs) [18].Wielomian sJacka ma dodatkowy parametr m mówi¡cy o liczbie fermionów.Λa jest ±ci±le malej¡cym diagramem o m rz¦dach (tak»e pustych), Λs to standardowy diagramYounga. Przykªadowa superpartycja jest przedstawiona na rysunku 8. Supersymetryczne wielo-

m=3 Λa

Λs

Rysunek 8: Przykªadowa superpartycja dla supersymetrycznego wielomianu JackaJ 3

(2,1,0;6,5,3,3,1).

miany s¡ funkcjami bozonowych zmiennych x i fermionowych θ. Warto±¢ wªasna hamiltonianudla supersymetrycznego wielomianu jest równa

ελ =∑j

(λ2j + λjβ(N + 1− 2j)), (109)

gdzie λ jest diagramem stworzonym poprzez poª¡czenie dwóch cz¦±ci superpartycji Λa i Λs

tak, aby wyj±ciowa partycja byªa diagramem Younga. Zgodnie z t¡ denicj¡, supersymetriawprowadza dodatkow¡ degeneracj¦ stanów.Korzystaj¡c z podanych w [18] przykªadowych wielomianów sJacka sprawdzili±my, »e s¡ tofunkcje wªasne dla hamiltonianu (108) z warto±ciami wªasnymi odpowiadaj¡cymi (109).

5.4.1 Przej±cie do przestrzeni F sαEtapem po±rednim przy wykazaniu relacji pomi¦dzy modelem CS i algebr¡ Virasoro byªo prze-j±cie pomi¦dzy przestrzeniami dyskutowane w rozdziale 3.7.1. Chcemy wykona¢ ten krok dlaprzypadku supersymetrycznego. Musimy uzyska¢ Hs takie, »e

Hs 〈α|Cβ′,γ |f〉 = 〈α|Cβ′,γHs |f〉 ,

dla ka»dego stanu |f〉. Operator Cβ′,γ nazywamy operatorem przej±cia. Ustanowimy w tymmomencie poª¡czenie mi¦dzy modelami w postaci:

Hsf(x)↔ Hs |f〉 .

Operator przej±cia powinien speªnia¢ nast¦puj¡ce warunki (p > 0):

β′pp 〈α|Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γa−p,p

β′∂

∂pp〈α|Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γap,

γqp−1 〈α| Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2, (110)

1

γ

∂

∂qp−1

〈α|Cβ′,γ = 〈α| Cβ′,γΨp−1/2, (111)

60

gdzie wyrazy Cβ′,γ zostan¡ wyja±nione w dalszej dyskusji. Sprawdzimy, »e powy»sze warunkispeªnia nast¦puj¡ca posta¢ operatora Cβ′,γ:

Cβ′,γ = exp

(β′∑n>0

1

npncn

)exp

(γ∑n>0

qn−1Ψn−1/2

).

Dwa pierwsze warunki dla wielomianów pn zostaªy ju» policzone w rozdziale 3.7.1, pozostaje je-dynie skorzysta¢ z tych wyników do udowodnienia warunków fermionowych na qn. Na pocz¡tkuprzekonamy si¦, »e mo»emy dokona¢ nast¦puj¡cego rozwini¦cia:

exp

(γ∑n>0

qn−1Ψn−1/2

)=∏n>0

exp(γqn−1Ψn−1/2

). (112)

Skorzystamy ze wzoru Bakera-Hausdora:

exp

(γ∑n>0

qn−1Ψn−1/2

)= e

∑n>0 An = eA1e

∑n>1 Ane−

12

∑n>1[A1,An] = ... .

Dalej wyka»emy, »e dla i 6= j, i, j > 0 operatory Ai komutuj¡ ze sob¡:

[Ai, Aj] = γ2[qi−1Ψi−1/2, qj−1Ψj−1/2] = γ2([qi−1Ψi−1/2, qj−1]Ψj−1/2 + qj−1[qi−1Ψi−1/2,Ψj−1/2]

)=

= γ2

[qi−1 Ψi−1/2, qj−1︸ ︷︷ ︸0

−qi−1, qj−1︸ ︷︷ ︸∼δi,−j

Ψi−1/2]Ψj−1/2+

+qj−1[qi−1 Ψi−1/2,Ψj−1/2︸ ︷︷ ︸δi,−j

+ qi−1,Ψj−1/2︸ ︷︷ ︸0

Ψi−1/2]

= 0.

Udowodnili±my relacj¦ (112).Poni»ej udowodnimy relacj¦ (110) speªnian¡ przez operator przej±cia Cβ′,γ:

〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2 = 〈α| exp

(β′∑n>0

1

npncn

)[∏n>0

exp(γqn−1Ψn−1/2

),Ψ−p+1/2

],[∏

n>0

exp(γqn−1Ψn−1/2

),Ψ−p+1/2

]=

[∏n>0

An, B

]=∑n=1

A1A2...An [An, B]An+1... ,

[An, B] = [γqn−1Ψn−1/2,Ψ−p+1/2] = γqn−1Ψn−1/2,Ψ−p+1/2 = γqn−1δn,p.

Po podstawieniu powy»szych wzorów dostajemy:

〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2 = 〈α| exp

(β′∑n>0

1

npncn

)∑n=1

A1A2...An (γqn−1δn,p)An+1... =

= γqp−1 〈α| exp

(β′∑n>0

1

npncn

) ∏n>0,n6=p

exp(γqn−1Ψn−1/2

)=: γqp−1 〈α| Cβ′,γ.

Zgodnie z powy»szym, uzyskali±my zwi¡zek (110):

γqp−1 〈α| Cβ′,γ = 〈α|Cβ′,γΨ−p+1/2, Cβ′,γ = exp

(β′∑n>0

1

npncn

)exp

γ∑n>0n6=p

qn−1Ψn−1/2

.

61

Inaczej ni» w przypadku bozonowym, tutaj operator przej±cia Cβ′,γ ulega zmianie po zadziaªaniuna kreacj¦ fermionow¡. Nie jest to niepo»¡dane poniewa» w nowym Cβ′,γ nie ma jedynie tegowzbudzenia, które ju» zostaªo wykorzystane. Z powodu fermionowej natury wzbudze« taki stani tak byªby równy zero.Zwi¡zek (111) policzymy startuj¡c z drugiej strony:

∂

∂qp−1

〈α|Cβ′,γ = 〈α| exp

(β′∑n>0

1

npncn

)∂

∂qp−1

exp

(γ∑n>0

qn−1Ψn−1/2

)=

= 〈α| exp

(β′∑n>0

1

npncn

)eγq0Ψ1/2eγq1Ψ3/2 ...

∂

∂qp−1

eγqp−1Ψp−1/2 ... ,

∂

∂qp−1

eγqp−1Ψp−1/2 =∂

∂qp−1

(1 + γqp−1Ψp−1/2

)= γΨp−1/2.

Udowodnili±my relacj¦ (111) dla operatora przej±cia:

1

γ

∂

∂qp−1

〈α|Cβ′,γ = γ 〈α| Cβ′,γΨp−1/2 , Cβ′,γ = exp

(β′∑n>0

1

npncn

)exp

γ∑n>0n6=p

qn−1Ψn−1/2

.

Mo»emy te relacje podsumowa¢ jako mnemotechniczne przyporz¡dkowania:

pp ↔2

β′a−p, ∂p ↔

β′

βap,

qp−1 ↔1

γψ−p+1/2,

∂

∂qp−1

↔ γψp−1/2.

W powy»szej dyskusji staªe γ i β′ s¡ dowolne.

5.5 Podstawowe informacje o SCFT

B¦dziemy rozpatrywa¢ supersymetryczne rozszerzenie CFT w formalizmie gazu Coulomba [20].Dla supersymetrycznej konforemnej teorii pola N = 1 mamy, oprócz pola bozonowego zden-iowanego standardowo w (12), dodatkowe pole fermionowe ψ w sektorze Neveu-Schwarza:

ψ(z) =∑p∈Z

ψp− 12z−p, (113)

którego mody speªniaj¡ relacj¦ antykomutacji

ψx, ψy =1

2δx+y,0. (114)

Rozpatrujemy sektor Neveu-Schwarza co oznacza, »e pole fermionowe jest funkcj¡ jednoznaczn¡.Podobn¡ dyskusj¦ mo»na przeprowadzi¢ dla sektora Ramonda w którym pole fermionowe jestrówne:

ψ(z) =∑p∈Z+ 1

2

ψp− 12z−p.

5.5.1 Algebra Neveu-Schwarza-Ramonda

Poniewa» rozszerzyli±my symetri¦ modelu, znane z CFT pole T (z) uzyskuje dodatkowy czªonoraz pojawia si¦ nowe antykomutuj¡ce poleG(z). Poni»ej opisujemy pokrótce wªasno±ci wspom-nianych pól.

62

Pole T (z). Dla takiego zespoªu pól modykujemy T (z)

T (z) = − : ∂φ∂φ : +Q∂2φ− : ψ∂ψ : .

W stosunku do (26), dodatkowy czªon obliczono poni»ej:

− : ψ∂ψ :=∑p,r

r : ψp− 12ψr− 1

2: z−pz−r−1 =

=∑q,p,r

r : ψp− 12ψr− 1

2: z−q−2δq+2,p+r+1 =

=∑q

∑r

r : ψq−r+ 12ψr− 1

2:︸ ︷︷ ︸

δLq

z−q−2.

W tym supersymetrycznym rozszerzeniu wzór na Ln jest równy:

Ln =∑k

: akan−k : +iQ(n+ 1)an +∑r

r : ψn−r+ 12ψr− 1

2:=

=∑k

: akan−k : +iQ(n+ 1)an +∑

r∈Z+1/2

(r +

1

2

): ψn−rψr : .

Cz¦sto wyst¦puje te» druga forma supersymetrycznego wyrazu δLn:∑r∈Z+1/2

(r +

1

2

): ψn−rψr :=

1

2

∑r∈Z+1/2

(n− 2r) : ψrψn−r :,

której krótki dowód przedstawiamy poni»ej:∑r∈Z+1/2

(r +

1

2

): ψn−rψr :=

1

2

∑r∈Z+1/2

(r +

1

2

): ψn−rψr : +

1

2

∑p,r∈Z+1/2

δn−r,p

(r +

1

2

): ψn−rψr :=

=1

2

∑r∈Z+1/2

(−r − 1

2

): ψrψn−r : +

1

2

∑p∈Z+1/2

(n− p+

1

2

): ψpψn−p : .

Pole G(z). Drugie zachowane pole przy transformacjach supersymetrycznych deniujemyjako:

G(z) = i : ∂φψ : −iQ∂ψ.

W j¦zyku modów mamy:

G(z) =∑p,n∈Z

: anψp− 12

: z−n−p−1 + iQ∑p∈Z

pψp− 12z−p−1 =

=∑r,n,p

anψp− 12δ−n−p−1,−r−2z

−n−p−1 + iQ∑r,p

pψp− 12δ−p−1,−r−2z

−p−1 =

=∑r,p∈Z

ar−p+1ψp− 12z−r−2 + iQ

∑r∈Z

(r + 1)ψr+ 12z−r−2 =

=∑r∈Z

(∑p∈Z

ar−p+1ψp− 12

+ iQ(r + 1)ψr+ 12

)z−r−2.

63

Dla indeksów p′ = p− 12i r′ = r + 1

2zachodzi:

G(z) =∑

r′∈Z+ 12

∑p′∈Z+ 1

2

ar′−p′ψp′ + iQ

(r′ +

1

2

)ψr′

z−r′− 3

2 ,

gdzie wzór na Gk to:

Gk =∑r∈Z+ 1

2

ak−rψr + iQ

(k +

1

2

)ψk, k ∈ Z +

1

2.

Sprawdzenie algebry Neveu-Schwarza-Ramonda. Algebra Neveu-Schwarza-Ramondastworzona przez pola T (z) i G(z) speªnia nast¦puj¡ce relacje (anty)komutacji:

[Ln, Lm] = (n−m)Ln+m +c

12n(n2 − 1)δn+m,0, (115)

[Ln, Gk] =(n

2− k)Gn+k, (116)

Gk, Gl = 2Lk+l +c

2

(k2 − 1

4

)δk+l,0. (117)

Dodatkowy czªon supersymetryczny [δLn, δLm] dla pierwszego komutatora (115) wynosi:

[δLn, δLm] =∑r,s

rs[: ψn−r+ 12ψr− 1

2:, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:] =

=∑r>0

r∑s

s[ψn−r+ 12ψr− 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:]−

∑r≤0

r∑s

s[ψr− 12ψn−r+ 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:] =

=∑r>0

r∑s

s(ψn−r+ 1

2[ψr− 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:] + [ψn−r+ 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:]ψr− 1

2

)+

−∑r≤0

r∑s

s(ψr− 1

2[ψn−r+ 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:] + [ψr− 1

2, : ψm−s+ 1

2ψs− 1

2:]ψn−r+ 1

2

).

Jak wida¢ z powy»szego rachunku, musimy policzy¢ wyraz typu:∑s

s[ψx, : ψm−s+ 12ψs− 1

2:] =

∑s>0

s[ψx, ψm−s+ 12ψs− 1

2]−∑s≤0

s[ψx, ψs− 12ψm−s+ 1

2] =

=∑s>0

s(ψx, ψm−s+ 1

2ψs− 1

2− ψm−s+ 1

2ψx, ψs− 1

2)

+

−∑s≤0

s(ψx, ψs− 1

2ψm−s+ 1

2− ψs− 1

2ψx, ψm−s+ 1

2)

=

=1

2

∑s(δx+m−s+ 1

2ψs− 1

2− δx+s− 1

2ψm−s+ 1

2

)=

1

2

(x+m+

1

2−(

1

2− x))

ψx+m =

=

(x+

1

2m

)ψx+m. (118)

64

Podstawiamy do powy»szego aby uzyska¢ wynik:

[δLn, δLm] =1

2

∑r>0

(r(2r +m− 1)ψn−r+ 1

2ψr+m− 1

2+ r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 1

2ψr− 1

2

)+

− 1

2

∑r≤0

(r(2n− 2r + 1 +m)ψr− 1

2ψm+n−r+ 1

2+ r(2r +m− 1)ψr+m− 1

2ψn−r+ 1

2

)=

=1

2

∞∑r=m+1

(r −m)(2r −m− 1)ψm+n−r+ 12ψr− 1

2+

1

2

∞∑r=1

r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 12ψr− 1

2+

− 1

2

0∑r=−∞

r(2n− 2r + 1 +m)ψr− 12ψm+n−r+ 1

2− 1

2

m∑r=−∞

(r −m)(2r −m− 1)ψr− 12ψm+n−r+ 1

2.

Kontynuujmy rachunek korzystaj¡c z równo±ci (r−m)(2r−2m+m−1)+r(2n−2r+1+m) =2nr − 2mr +m2 +m oraz zakªadaj¡c m > 0:

1

2

∞∑r=m+1

(2nr − 2mr +m2 +m

)ψm+n−r+ 1

2ψr− 1

2+

1

2

m∑r=1

r(2n− 2r + 1 +m)ψm+n−r+ 12ψr− 1

2+

− 1

2

0∑r=−∞

(2nr − 2mr +m2 +m)ψr− 12ψm+n−r+ 1

2−1

2

m∑r=1

(r −m)(2r −m− 1)ψr− 12ψm+n−r+ 1

2,

Wyraz podkre±lony przeksztaªcamy korzystaj¡c z (114):

= −1

2

m∑r=1

(r −m)(2r −m− 1)

(1

2δm+n,0 − ψm+n−r+ 1

2ψr− 1

2

)=

= − 1

24m(m2 − 1)δm+n,0 +

1

2

m∑r=1

(r −m)(2r −m− 1)ψm+n−r+ 12ψr− 1

2.

Wstawiamy i dostajemy ostateczn¡ form¦ czªonu supersymetrycznego:

[δLn, δLm] =1

2

∑r

(2nr − 2mr +m2 +m) : ψm+n−r+ 12ψr− 1

2: − 1

24m(m2 − 1)δm+n,0,

poniewa»∑

r : ψm+n−r+ 12ψr− 1

2:= 0, mamy speªnion¡ relacj¦:

[δLn, δLm] = (n−m)δLn+m +δc

12n(n2 − 1)δm+n,0, δc =

1

2.

W supersymetrycznym przypadku ªadunek wynosi c = 32

+ 6Q2.Drugi komutator (116) udowodnimy poni»ej:

[Ln, Gk] =∑

l,r∈Z+ 12

[: alan−l :, ak−r]ψr + iQ(n+ 1)∑r∈Z+ 1

2

[an, ak−r]ψr+

+∑

r,r′∈Z+ 12

(r +

1

2

)[: ψn−rψr :, ψr′ ]ak−r′ + iQ

(k +

1

2

) ∑r∈Z+ 1

2

(r +

1

2

)[: ψn−rψr :, ψk].

65

Korzystamy z (27) i wyprowadzonego pó¹niej (118) aby obliczy¢ kolejne czªony w powy»szymwzorze:∑

l,r∈Z+ 12

[: alan−l :, ak−r]ψr =∑r∈Z+ 1

2

(−Bk−r,n)ψr = −∑r∈Z+ 1

2

(k − r)ak+n−rψr,

iQ(n+ 1)∑r∈Z+ 1

2

[an, ak−r]ψr =iQ

2(n+ 1)nψk+n,

∑r,r′∈Z+ 1

2

(r +

1

2

)[: ψn−rψr :, ψr′ ]ak−r′ =

∑r′∈Z+ 1

2

∑s∈Z

s[: ψn−s+ 12ψs− 1

2:, ψr′ ]ak−r′ = (118) =

= −∑

r′∈Z+ 12

(r′ +

n

2

)ak−r′ψr′+n = −

∑r,r′∈Z+ 1

2

(r′ +

n

2

)ak−r′ψr′+nδr′+n,r =

= −∑r∈Z+ 1

2

(r − n

2

)ak+n−rψr,

iQ

(k +

1

2

) ∑r∈Z+ 1

2

(r +

1

2

)[: ψn−rψr :, ψk] = −iQ

(k +

1

2

)(k +

n

2

)ψk+n.

Zestawiamy obliczone wyrazy aby dosta¢ ostateczn¡ form¦:

[Ln, Gk] =∑r∈Z+ 1

2

(−k + r − r +

n

2

)ak+n−rψr + iQ

(n

2(n+ 1)−

(k +

1

2

)(k +

n

2

))ψk+n,

n

2(n+ 1)−

(k +

1

2

)(k +

n

2

)=(n

2− k)(

k + n+1

2

),

[Ln, Gk] =(n

2− k) ∑

r∈Z+ 12

ak+n−rψr + iQ

(k + n+

1

2

)ψk+n

=(n

2− k)Gn+k.

W taki sam sposób mo»na udowodni¢ ostatni¡ relacj¦ (117) algebry Neveu-Schwarza-Ramonda.

5.5.2 Operator wierzchoªkowy

W teorii supersymetrycznej oprócz standardowego operatora wierzchoªkowego Vα deniujemysupersymetryczny operator V S

α (z) jako:

V Sα (z) =: ψ(z)Vα(z) := ψ(z) : e2αφ(z) : .

Poni»ej obliczymy jego wag¦ konforemn¡ korzystaj¡c z (32):

[Ln, VSα ] = [Ln, ψVα] = [Ln, ψ]Vα + ψ [Ln, Vα]︸ ︷︷ ︸

obl. w (32)

.

Poniewa» cz¦±¢ bozonowa byªa ju» obliczona, teraz zajmiemy si¦ fermionow¡,

[Ln, ψ] =∑s

∑r

r[: ψn−r+ 12ψr− 1

2:, ψs− 1

2]z−s = −1

2

∑s

(2s+ n− 1)ψs+n− 12z−s =

=∑s

(1

2− s− 1

2n

)ψs+n− 1

2z−s.

66

Wykorzystali±my przy tym obliczenia (118). Poniewa» d¡»ymy do postaci wyra»enia (16),obliczymy z ∂

∂zψ:

z∂

∂zψ = −

∑s

sψs− 12z−s.

Zamieniamy s+ n = q i kontynuujemy:

[Ln, ψ] = zn∑q

(1

2+

1

2n− q

)ψq− 1

2z−q = zn

(1

2(n+ 1) + z

∂

∂z

)ψ.

Waga konforemna pola ψ wynosi hψ = 12. Wracaj¡c do pola V S

α , mamy:

[Ln, VSα ] = zn

((hφ + hψ)(n+ 1) + z

∂

∂z

)V Sα .

Waga konforemna wynosi

hS = hφ + hψ =1

2+ α(Q− α). (119)

Operator ekranuj¡cy. Jak w przypadku CFT, konstruujemy operator ekranuj¡cy poprzezwarunek naªo»ony na wag¦ konforemn¡:

hS = 1 =1

2+ αS±(Q− αS±).

Rozwi¡zaniami tego równania s¡:

αS± =Q

2±√Q2

4− 1

2,

αS+ + αS− = Q,

αS+αS− =

1

2.

Operatory ekranuj¡ce s¡ zdeniowane jako:

QS± =

∮dzV S

αS±=

∮dzψ(z)VαS±(z).

Warunek na ªadunek αrs. Podobnie jak w CFT, mo»emy zastanowi¢ si¦ nad warunkiemnaªo»onym na ªadunki poprzez operatory ekranuj¡ce. Dostajemy nast¦puj¡cy wzór:

αSr,s =1

2(1 + r)α+

1

2(1 + s)α−, r + s = 2k, k ∈ Z,

z dodatkowym warunkiem na parzysto±¢ r + s. Jest to konsekwencja tego, »e dla nieparzystejliczby operatorów fermionowych korelator jest równy 0. Mo»emy wyznaczy¢ dozwolone wagi z(119):

hr,s =1

2+Q2

4− 1

4(rα+ + sα−)2.

Analogiczny do (78) warunek to

h∓r,±s = hr,s +rs

2, r + s = 2Z.

Wyra»enie hamiltonianu poprzez Ln i Gn Powy»sza teoria supersymetryczna zostaªawprowadzona w celu wyra»enia hamiltonianu (108) w j¦zyku operatorów Ln i Gn. Z powoduniekompletno±ci tego kroku rachunkowego nie przedstawiamy go w tej pracy i traktujemypowy»szy rozdziaª jako wst¦p do dalszego badania relacji AGT.

67

Literatura

[1] A.B. Zamolodchikov A.A. Belavin, A.M. Polyakov. Innite conformal symmetry in two-dimensional Quantum Field Theory. Nucl.Phys. B, 241:333380, 1984.

[2] F. Calogero. Ground State of a One-Dimensional N-Body System. J.Math.Phys., 10:21972200, 1969.

[3] B. Sutherland. Quantum ManyBody Problem in One Dimension: Ground State.J.Math.Phys., 12:246250, 1971.

[4] Y. Tachikawa L.F. Alday, D. Gaiotto. Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories. Lett.Math.Phys., 91:167197, 2010, [arXiv:0906.3219].

[5] A.V. Litvinov G.M. Tarnopolskiy V.A. Alba, V.A. Fateev. On combinatorial expansionof the conformal blocks arising from AGT conjecture. Lett.Math.Phys., 98:3364, 2011,[arXiv:1012.1312].

[6] D. Sénéchal P. Di Francesco, P. Mathieu. Conformal Field Theory. Springer, 1997.

[7] S. Theisen D. Lüst. Lectures on String Theory. Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag,1989.

[8] E. Plauschinn R. Blumenhagen. Introduction to Conformal Field Theory With Applicationsto String Theory. Springer, 2009.

[9] S. Odake J. Shiraishi H. Awata, Y. Matsuo. A Note on Calogero-Sutherland Model, Wn

Singular Vectors and Generalized Matrix Models. Soryushiron Kenkyu, 91:A69A75, 1995,[arXiv:hep-th/9503028].

[10] S. Odake H. Awata, Y. Matsuo. Excited States of Calogero-Sutherland Model and SingularVectors of the WN Algebra. Nucl.Phys. B, 449:347374, 1995, [arXiv:hep-th/9503043].

[11] R.P. Stanley. Some Combinatorial Properties of Jack Symmetric Functions. Advances inMathematics, 77:76115, 1989.

[12] L. Roberts. A unied view of determinantal expansions for Jack Polynomials. ElectronicJournal of Combinatorics, 8, 2001.

[13] I.G. Macdonald. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford University Press,1995.

[14] Y. Koga K. Iohara. Representation theory of Neveu-Schwarz and Ramond algebras II:Fock modules. Ann.Inst.Fourier, 53:17551818, 2003.

[15] S. Matsuda M. Kato. Construction of Singular Vertex Operators as degenerate primaryconformal elds. Phys.Lett. B, 172:216222, 1986.

[16] Y. Yamada K. Mimachi. Singular Vectors of the Virasoro Algebra in Terms of Jack Sym-metric Polynomials. Commun.Math.Phys., 174:447455, 1995.

[17] S.O. Warnaar P.J. Forrester. The importance of the Selberg integral. Bull. Amer. Math.Soc. (N.S.), 45:489534, 2008, [arXiv:0710.3981].

[18] P. Mathieu P. Desrosiers, L. Lapointe. Supersymmetric Calogero-Moser-Sutherland modelsand Jack superpolynomials. Nucl.Phys. B, 606:547582, 2001, [arXiv:hep-th/0103178].

68

[19] P. Mathieu P. Desrosiers, L. Lapointe. Superconformal eld theory and Jack superpoly-nomials. 2012, arXiv:1205.0784.

[20] M.G. Teitelman M.A. Bershadsky, V.G. Knizhnik. Superconformal symmetry in two di-mensions. Phys.Lett. B, 151:3136, 1984, [arXiv:0906.3219].

69