Zbiór zadań - glowacki.p9.pl · 10.Sprawdź czy liczby x i y są liczbami przeciwnymi = 2...
52
Zbiór zadań z matematyki Opracowały: Jolanta Ostrowska Eliza Chomik
Transcript of Zbiór zadań - glowacki.p9.pl · 10.Sprawdź czy liczby x i y są liczbami przeciwnymi = 2...
Zbiór zadań
z matematyki
Opracowały:
Jolanta Ostrowska
Eliza Chomik
Spis treści:
I. Liczby rzeczywiste i język matematyki
II. Funkcja liniowa
III. Funkcja kwadratowa
IV. Wielomiany
V. Funkcja wymierna
VI. Ciągi
VII. Planimetria
VIII. Trygonometria
IX. Rachunek prawdopodobieństwa
X. Zadania maturalne.
I . Liczby rzeczywiste i język matematyki
1. Rozwiąż równanie:
a) √(2𝑥 − 3)2 = 7
b) |𝑥 + 3| = 4
c) |2 − 𝑥| = 5
d) |𝑥 + 1| + 2|𝑥 + 1| = 6
e) |𝑥 + 2| + |2𝑥 + 4| = 3
f) |𝑥 −1
2| = −2
2. Rozwiąż nierówność:
a) |𝑥 − 1| < 2
b) |𝑥 + 3| > 5
c) |𝑥 + 1| ≥ 3
d) |𝑥 − 5| ≤ 6
3. Wyznacz liczbę odwrotną do a: 𝑎 =516+257
26∙512
4. Wyznacz liczbę przeciwną do b: 𝑏 = (3√2 − 2√3)(2√2 + 2√3).
5. Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających
nierówność:
5
7<
𝑎
𝑏<
6
7
6. Wiosną cenę zimowej kurtki obniżono o 20% i wówczas kosztowała 220
zł. Oblicz cenę kurtki przed obniżką.
7. Na wycieczkę klasową pojechało 16 uczniów, co stanowi 80% klasy.
Oblicz liczbę uczniów w tej klasie.
8. Zamontowanie ogrodzenia kosztuje 21400zł wraz z 7-procentowym
podatkiem VAT. Jaki jest koszt zamontowanego ogrodzenia bez podatku?
9. Wyznacz liczbę odwrotną do liczby 𝑥 =3
√7−√3−
1
√7+√3.
10. Sprawdź czy liczby x i y są liczbami przeciwnymi
𝑥 =2
3−2√2+
3
3+2√2 𝑦 = 2√2 − 15
11. Wyznacz takie liczby całkowite x i y, aby spełniona była równość:
(1 − √2)3
= 𝑥 + 𝑦√2
12. Sprawdź czy liczba 𝑥 = (√2 + 3√3)2
− 6√6 jest liczbą naturalną.
13. Niech 𝑥 + 𝑦 = 12 i 𝑥2 + 𝑦2 = 126. Oblicz wartość wyrażenia 𝑥 ∙ 𝑦.
14. Usuń niewymierność z mianownika:
a) √2
√3
b) √3+2
√5
c) 2+√5
√3−1
d) √2
√3+√2
15. Wykaż, że liczba 213 + 215 + 217 jest podzielna przez 21.
16. Wykaż, że liczba 2 ∙ 9100 − 999 − 998 jest podzielna przez 19.
17. Wykaż, że liczba 𝑎 = 3𝑛 + 3𝑛+1 + 3𝑛+2 jest podzielna przez 13.
18. Podaj dwie kolejne liczby naturalne, których iloczyn jest równy 756.
19. Sprawdź, czy prawdziwa jest równość: √3 − 2√2 =1
√3+2√2
20. Przedstaw liczbę 𝑎 = √11 − 4√7 w postaci 𝑥 + 𝑦√7 , gdzie x i y są
liczbami wymiernymi.
21. Dane są liczby: 𝑎 = 3 − √2 i 𝑏 = 3 + √2. Oblicz:
a) kwadrat liczby b,
b) sześcian liczby a.
c) sumę liczb a i b.
d) iloczyn 𝑏
𝑎.
22. Podaj elementy 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴.
𝐴 = {1,2,4,6,8} 𝐵 = {2,3,5,9}
23. Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴.
𝐴 = (−4, 7] 𝐵 = [0, 5)
24. Liczbę x zapisz w postaci potęgi o podstawie p:
a) 𝑥 = 23 ∙ 45 ∙ 83 p=2
b) 𝑥 =25∙24
2−3 p=2
c) 𝑥 = (1
3∙ 81) : 27 p=3
25. Oblicz:
a) log7 7 =
b) log71
7=
c) log7 1 =
d) log7 √7 =
e) log7 49 =
f) log7 7√7 =
g) log4 8 =
h) log21
16∙ log√2 16 =
i) 2 log 5 + log 4 =
j) log√3 27 + log√31
9=
k) log 2 + log 5 + log 1 =
l) 2 log√5 5 − log√5 125 + log√5 5√5=
m) log4 3 − log4 48 =
n) log4 48 − log4 3 =
26. Wykaż, że x jest liczbą całkowitą, gdy 𝑥 = log5 125 − 2 log5 5
27. Oblicz liczbę a, gdy: 𝑎 = log 54 + log 24.
28. Dane są zbiory: 𝐴 = (−3
2, 6) 𝑖 𝐵 = 𝑁. Wyznacz 𝐴 ∩ 𝐵.
29. Oblicz wartość wyrażenia (𝑥 + 1)2 gdy 𝑥 = √2 + 1
30. Oblicz wartość wyrażenia 𝑥+𝑥2
2−𝑥 gdy 𝑥 = √2 + 1
31. Wyznacz |𝑎| oraz oblicz 2𝑎 − 3|𝑎|.
a) 𝑎 = 3 − √2
b) 𝑎 = √2 − 3
32. Dane są liczby 𝑎 =√3−2
5 i 𝑏 =
√3+2
5 . Sprawdź, czy
𝑎−𝑏
𝑎∙𝑏= 20.
Oblicz |𝑎
𝑏|.
33. Drut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości
jest równy 2:3:4. Jaką długość ma najkrótsza z tych części?
34. Oblicz 𝑥−2 jeśli wiadomo, że 𝑥 =(−8)
13+9
12
4
35. Oblicz średnią arytmetyczną liczb: log4 12 , − log4 3,2
II. Funkcja liniowa
1. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji 𝑓(𝑥) z osiami układu
współrzędnych i naszkicuj ten wykres. Określ monotoniczność tej funkcji
𝑓(𝑥) =1
3𝑥+2
2. Wyznacz wzór funkcji liniowej 𝑓(𝑥), która spełnia podane warunki:
𝑓(2) = 4 𝑖 𝑓(0) = 1.
3. Sprawdź, czy punkty A, B, C są współliniowe: A(0,3) ,B(5,1), C(-1,2).
4. Dla jakich wartości parametru m funkcja f jest malejąca?
𝑓(𝑥) = (𝑚2 − 5𝑚 + 6)𝑥 + 1
5. Dla jakich wartości parametru m proste 𝑝1 𝑖 𝑝2 są prostopadłe?
𝑝1: 𝑦 = (1 − 𝑚)𝑥 − 7 𝑝2: 𝑦 = −2𝑥 + 6
6. Oblicz wartość parametru m wiedząc, że proste k i l są równoległe:
𝑘: 𝑦 = (𝑚 + 2)𝑥 +1
2 𝑖 𝑙: 𝑦 = −𝑚𝑥 + √7
7. Rozwiąż równanie: √15𝑥 − √5 = √5𝑥 + √20
8. Funkcje liniowe mające to samo miejsce zerowe, określone wzorami:
𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 i 𝑦 = 𝑎𝑥 + 3. Oblicz wartośc wyrażenia 𝑎 ∙ 𝑏.
9. Dane są punkty: A(3,-1) i B(2,-4). Wyznacz:
a) Równanie prostej AB;
b) Równanie symetralnej p odcinka AB;
c) Równanie prostej k prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez
punkt C(0,3)
d) Równanie prostej l równoległej do prostej AB i przechodzącej przez punkt
D(-2,3)
10. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(3,-1)
i prostopadłej do prostej 𝑦 = 3𝑥 + 7.
11. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,-1)
i prostopadłej do prostej 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0.
12. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1,-1)
i równoległej do prostej 𝑦 = 4𝑥 + 7.
13. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1,-1)
i równoległej do prostej 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0.
14. O funkcji wiadomo, że𝑓(1) = 1oraz, że do jej wykresu należy punkt
P(3,7). Napisz wzór tej funkcji.
15. Rozwiąż układ równań: {3𝑥 + 𝑦 = −3
2𝑥 − 3𝑦 = −2
16. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x)=(m+1)x+2 jest rosnąca?
17. Naszkicuj wykres funkcji:
𝑓(𝑥) = {−𝑥 + 3 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ (−∞, 3)
𝑥 − 3 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ [3, +∞)
18. Wyznacz wartość współczynnika kierunkowego a we wzorze funkcji
liniowej 𝑦 = 𝑎𝑥 + 2 wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt
A(4,-2) .
19. Napisz wzór funkcji przedstawionej na rysunku.
III. Funkcja kwadratowa
1. Dana jest funkcja: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6.
a) Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji 𝑓(𝑥)
b) Rozwiąż równanie 𝑓(𝑥) = 0
c) Przedstaw funkcję 𝑓(𝑥) w postaci iloczynowej
d) Przedstaw funkcję 𝑓(𝑥) w postaci kanonicznej
e) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji 𝑓(𝑥)
f) Wyznacz równanie osi symetrii funkcji 𝑓(𝑥)
g) Wyznacz wartość funkcji dla argumentu 𝑥 = √2 + 1
2. Rozwiąż równanie:
a) 𝑥2 − 6𝑥 = 0
b) 𝑥2 + 9 = 0
c) 𝑥2 − 9 = 0
d) 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0
e) 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0
f) 2𝑥2 = 𝑥
g) 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
h) (𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = −4𝑥
i) 5𝑥2 − 2𝑥 + 3=0
3. Rozwiąż nierówność:
a) 𝑥2 + 5𝑥 ≤ 0
b) 𝑥2 − 9 > 0
c) (2 − 𝑥)(𝑥 + 4) ≤ 0
d) 𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0
e) 𝑥2 − 100𝑥 + 25 < 0
4. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji:𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
w przedziale [-2,4].
5. Wyznacz współczynniki funkcji kwadratowej 𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, znając
współrzędne wierzchołka paraboli W(1,4).
6. Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐. Wyznacz współczynnik c , jeśli
funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
7. Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej f jest liczba 2. Wykres
funkcji f przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0, –2). Wyznacz
wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
8. Narysuj wykres funkcji. Określ zbiór wartości i współrzędne wierzchołka
paraboli.
a) 𝑦 = −3𝑥2
b) 𝑦 = 3𝑥2 − 1
c) 𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 + 3
9. Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej: 𝑦 = −2(𝑥 + 5)2 − 1
10. W trójkącie prostokątnym boki mają długości: a, 2a-1, 2a+1. Podaj
długości boków tego trójkąta. Oblicz jego pole i obwód.
11. Sprawdź, czy punkt o współrzędnych (2,3) należy do wykresu funkcji:
𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥 − 1
12. Przedstaw wzór funkcji kwadratowej
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(3 + 𝑥) + 2(𝑥 − 1)2 + 7 w postaci iloczynowej.
13. Rozwiąż nierówność 𝑥2 ≤ 16 i podaj wszystkie liczby naturalne, które ją
spełniają.
14. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 + 5
15. Liczba −2 jest pierwiastkiem równania 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑐 = 0. wyznacz drugi
pierwiastek tego równania.
IV. Wielomiany
1. Wykonaj dodawanie wielomianów: 𝑠(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 i
𝑡(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 2. Określ stopień otrzymanego wielomianu.
2. Wykonaj mnożenie wielomianów: 𝑠(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 i 𝑡(𝑥) = 4𝑥 + 2.
Określ stopień otrzymanego wielomianu. Ile wynosi suma współczynników
otrzymanego wielomianu?
3. Napisz wielomian stopnia piątego, o współczynnikach: 𝑎5 = 4, 𝑎4 = 1,
𝑎3 = 7, 𝑎2 = 10 , 𝑎0 = 3
4. Rozłóż wielomian na czynniki:
a) 𝑤(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 6
b) 𝑤(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1
c) 𝑤(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥3
5. Oblicz 𝑓(−1) jeżeli 𝑓(𝑥) = 𝑤(𝑥) − 2𝑢(𝑥) oraz
𝑤(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥
𝑢(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥
6. Sprawdź, czy punkt 𝐴(−2,1) należy do wykresu wielomianu
𝑤(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥
7. Rozwiąż równanie:
a) 𝑥3 − 7𝑥2 − 4𝑥 + 28 = 0
b) 𝑥5 − 6𝑥4 − 𝑥3 + 6𝑥2 = 0
c) 𝑥4 + 𝑥3 − 20𝑥2 = 0
d) 2𝑥3 − 18𝑥 = 0
e) 2𝑥(3 − 𝑥) = 0
f) 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 = 0
g) 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0
h) 4𝑥3 − 12𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0
i) 3𝑥5 − 6𝑥4 − 6𝑥3 = 0
8. Uzasadnij, że wielomian 𝑤(𝑥) = 𝑥3 + √2𝑥2 + 2𝑥 + 2√2 ma pierwiastek
niewymierny.
9. Oblicz 𝑘 jeśli punkt 𝑃(𝑘 + 1, −7) należy do wykresu wielomianu
𝑤(𝑥) = 𝑥3 + 1.
10. Rozwiąż nierówność (𝑥 − 2)2 − 4 < 0. Podaj rozwiązania równania
𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 − 24 = 0 należące do zbioru rozwiązań tej nierówności.
V. FUNKCJA WYMIERNA
1. Określ dziedzinę funkcji:
a) 𝑦 =2𝑥
𝑥+1
b) 𝑦 =𝑥+2
𝑥
c) 𝑦 =𝑥+1
𝑥2+3
d) 𝑦 =3𝑥
𝑥2−4
e) 𝑦 =5
(𝑥−3)(𝑥+2)
2. Wykonaj działania:
a) 2
𝑥+
𝑥−1
𝑥+3
b) 𝑥−2
𝑥∙
𝑥+1
𝑥2−4
c) 𝑥2−1
𝑥:
𝑥+1
𝑥2
3. Rozwiąż równanie:
a) 4
𝑥= 5
b) 2𝑥−5
𝑥−4= 𝑥
c) 𝑥
𝑥−1=
𝑥+3
𝑥+1
d) 7𝑥−8
5−7𝑥= 4
4. Dwaj motocykliści pokonali tę samą trasę długości 255 km. Średnia prędkość
pierwszego z nich była o 8 km/h większa od średniej prędkości drugiego.
Pierwszy motocyklista pokonał tę trasę w czasie o 30 minut krótszym niż
drugi. Oblicz, w ciągu jakiego czasu każdy z motocyklistów pokonał całą
trasę.
5. Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210km. Średnia prędkość
pociągu pośpiesznego na tej trasie jest o 24km/h większa od średniej
prędkości pociągu osobowego. Pociąg pośpieszny pokonuje tę trasę o 1
godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez
pociąg pośpieszny.
6. Z miasta A i B odległych o 330km wyjechały naprzeciwko siebie dwa
samochody. Samochód jadący z miasta A wyjechał 20minut wcześniej i
jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta B.
Samochody te minęły się w odległości 168km licząc od miasta A. Oblicz
średnią prędkość każdego z samochodów.
7. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą
liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej
to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz ile
kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
8. Dwaj turyści przebyli tę samą trasę długości 15 km. Drugi turysta szedł z
prędkością o1 km/h mniejszą niż pierwszy, przez co trasę tę pokonał w czasie
o1 godzinę i 15 minut dłuższym niż pierwszy turysta. Oblicz średnią prędkość
pierwszego turysty na tej trasie.
9. Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o
9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką
średnią prędkością jechał ten kolarz.
VI. CIĄGI
1. Podaj pięć początkowych wyrazów ciągu:𝑎𝑛 =(−1)𝑛+2
𝑛2.
2. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że:𝑎3 = 5
i 𝑎10 = 12. Oblicz sumę 100 początkowych wyrazów tego ciągu.
3. Oblicz sumę dwudziestu wyrazów ciągu geometrycznego, którego
pierwszy wyraz wynosi 5, a iloraz jest równy:
a) 1
b) 2
4. Pan Nowak wpłacił do banku kwotę K=8000zł. Na koniec każdego roku
bank dolicza odsetki w wysokości 5%.
a) Jaką kwotą będzie dysponował pan Nowak po roku?
b) Jaką kwotą będzie dysponował pan Nowak po trzech latach?
c) Jaką kwotę, przy tym samym oprocentowaniu podejmie po 10 latach?
5. Oblicz sumę 100 wyrazów ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz
wynosi 4, a różnica jest równa 3.
6. Oblicz x, jeśli podane liczby tworzą ciąg geometryczny rosnący: 1,x,100.
7. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 5 do 109.
8. Oblicz sumę 80 wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze 𝑎𝑛 = 𝑛 + 3
9. Wykaż, że ciąg o wzorze 𝑎𝑛 = 5 ∙ (2
3)
𝑛 jest ciągiem geometrycznym.
10. Różnica między piątym a drugim wyrazem pewnego ciągu
arytmetycznego wynosi -6,a suma pierwszego i czwartego wyrazu jest
równa 0.
a) Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
b) Oblicz sumę 20 pierwszych wyrazów tego ciągu.
11. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny
o różnicy 5. Oblicz pole tego trójkąta.
12. Oblicz x wiedząc, że 𝑥 − 2, 𝑥 + 2,3𝑥 − 2 są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego.
13. W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy wynosi 4, a różnica 6. Oblicz
sumę wyrazów tego ciągu od dwunastego do trzydziestego włącznie.
14. Wyznacz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu arytmetycznego na gdy:
{𝑎2 + 𝑎5 = 7
𝑎3 + 𝑎8 = 11
15. Ciąg (𝑎𝑛) określony jest wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5. Oblicz średnią
arytmetyczną wyrazów 𝑎2, 𝑎3, 𝑎5, 𝑎10.
16. Napisz wzór na n-ty wyraz ciągu(𝑎𝑛), którego suma n początkowych
wyrazów określona jest wzorem:𝑆𝑛 =𝑛(3𝑛+5)
2.
17. Ciąg (𝑎𝑛) określony jest wzorem 𝑎𝑛 = 1 +4
𝑛. Który wyraz tego ciągu jest
równy 2?
18. Oblicz x, wiedząc, że kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są
liczby:
a) 𝑥, 2𝑥 + 1,3
b) 2, 𝑥2 + 3, 𝑥 + 10
19. Oblicz sumę 1+3+5+…+201
20. Liczby postaci: 𝑥 − 3,2𝑥, 5𝑥 + 18 (w podanej kolejności) są siódmym,
ósmym i dziewiątym wyrazem ciągu geometrycznego(𝑎𝑛).
a) Oblicz 𝑥.
b) Oblicz iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛)i podaj jego pierwszy wyraz.
21. W ciągu arytmetycznym suma wyrazów pierwszego i trzeciego jest równa
2 oraz iloczyn drugiego i czwartego również wynosi 2. Wyznacz wzór
ogólny tego ciągu.
22. Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego mając dane:𝑎2 = 18, 𝑎5 =
16
3.
23. Między liczby 7 i 189 wstaw dwie takie liczby 𝑥 i 𝑦, aby ciąg: 7, 𝑥, 𝑦, 189
był ciągiem geometrycznym.
24. Ciąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest arytmetyczny i 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 33. Ciąg
(𝑎, 𝑏 + 3, 𝑐 + 13) jest geometryczny. Oblicz 𝑎, 𝑏, 𝑐.
25. Ciąg (1, 𝑥, 𝑦 − 1)jest arytmetyczny, natomiast ciąg (𝑥, 𝑦, 12) jest
geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny.
26. Wykaż, że dla każdego m ciąg (𝑚+1
4,
𝑚+3
6,
𝑚+9
12) jest arytmetyczny.
27. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz
tego ciągu.
28. Oblicz, ile dodatnich wyrazów ma ciąg określony wzorem:
𝑎𝑛 = −𝑛2 + 9𝑛 − 14
29. Które wyrazy ciągu 𝑎𝑛 = −(𝑛 + 2)(4 − 𝑛)są ujemne?
30. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia
przez 5 jest równa 3.
31. Dla jakiej wartości x liczby: log51
2, 𝑥, log5 50 w podanej kolejności są
trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
VII. Planimetria
1. Oblicz pole trójkąta, którego ramiona mają długości 20 i 10, a kąt między
nimi zawarty wynosi 300.
2. Wyznacz kąty trójkąta, jeżeli stosunek ich miar jest równy 2:1:2
3. Czy można skonstruować trójkąt o podanych bokach:3,6,10?
4. Oblicz promień okręgu:
a) wpisanego
b) opisanego
na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 9 i 12.
5. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 10cm, a dwa jego krótsze boki
pozostają w stosunku 8:15. Wyznacz długości boków tego trójkąta.
6. Oblicz obwód kwadratu, którego przekątna jest równa:
a) 6√2
b) 6√3
7. W trójkącie równoramiennym dana jest długość podstawy a = 5 cm i miara
kąta przy podstawie = 30. Wyznaczyć długości boków tego trójkąta,
miary kątów oraz jego pole i obwód.
8. Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest równa:
a) 2√2
b) 2√3
9. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach: A(-2,1), B(2,-2), C(8,6)
10. Sprawdź czy trójkąt o wierzchołkach: A(-2,1), B(3,4), C(-5,6) jest
prostokątny.
11. Wyznacz środek i długość promienia okręgu o równaniu:
a) 495y3x22
b) 11y8x22
c) 5y5x 22
d) 04y4x2yx 22
e) 25yx 22
12. Uzupełnij tabelę:
Promień okręgu r Środek okręgu S Równanie okręgu
5 (0,3)
2 (-2,-6)
1 (-1,0)
(𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 1)2 = 9
𝑥2 + (𝑦 + 3)2 = 42
𝑥2 + 𝑦2 = 3
13. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(1,-3), do którego należy
punkt A(3,5).
14. Punkty A(2,7) i B(-2,1) są końcami średnicy pewnego okręgu. Napisz
jego równanie.
15. Przekątne rombu mają długości 12 i 4√3. Oblicz: pole, obwód, długość
wysokości oraz kąt ostry tego rombu.
16. Oblicz pole rombu, w którym bok jest równy 10, a kąt ostry ma miarę 450.
17. Obwód rombu jest równy 24. Oblicz pole rombu, jeśli jedna z przekątnych
jest równa bokowi.
18. Pole prostokąta wynosi 60 cm2, a jego przekątna ma 13 cm. Oblicz obwód
tego prostokąta.
19. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości a = 8,4 cm i b = 7,5 cm
oraz kącie = 30.
20. Oblicz pole sześciokąta foremnego, którego:
a) dłuższa przekątna d1 = 6 cm,
b) krótsza przekątna 𝑑 = 2√3𝑐𝑚
21. Oblicz pole koła
a) opisanego
b) wpisanego
na kwadracie o boku długości 10 cm.
22. Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym
o boku równym 12cm.
23. Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej jest równa 1540 𝑚2. Oblicz
wymiary tej działki, wiedząc, że różnią się one o 9m.
24. Dane są przeciwległe wierzchołki kwadratu A(-3,0) i C(4,8). Oblicz pole
i obwód tego kwadratu.
25. Punkty A =(− 3,− 5), B =(4,−1), C = (− 2,3) są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
26. Punkty A =(4,− 1), B =(−2,3), C = (− 3,−5) są wierzchołkami trójkąta
równoramiennego. Oblicz wysokość poprowadzoną z wierzchołka C.
27. Oblicz pole wycinka koła, w którym promień jest równy 30, a kąt ma
miarę 1200.
28. Napisz równanie okręgu:
a) środku w początku układu współrzędnych i promieniu 3
b) o środku w punkcie S(4,-2) i r=4
c) którego punkty A(2,4) i B(3,3) wyznaczają średnicę tego okręgu
29. Długość boku kwadratu wynosi 8 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury,
przedstawionej na rysunku. Wynik podaj w przybliżeniu z dokładnością
do dwóch miejsc po przecinku.
30. Kąt środkowy ma miarę 300. Ile wynosi miara kąta wpisanego, opartego
na tym samym łuku?
31. Kąt wpisany ma miarę 600. Ile wynosi miara kąta środkowego, opartego
na tym samym łuku?
VIII. Trygonometria
1. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc, że
jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym i:
a) sin 𝛼 =1
2
b) cos 𝛼 =√3
2
c) sin 𝛼 =2
5
d) cos 𝛼 =√5
3
e) tg = 2
f) ctg = 3
2. Wiedząc, że 𝛼 jest katem ostrym i 𝑡𝑔𝛼 = 2, oblicz wartość wyrazenia:
4𝑐𝑜𝑠𝛼−3𝑠𝑖𝑛𝛼
3𝑐𝑜𝑠𝛼+5𝑠𝑖𝑛𝛼.
3. Wykaż, że dla kąta ostrego 𝛼 prawdziwa jest tożsamośc
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠3𝛼
4. Oblicz wartość wyrażenia: (cos 300 − 𝑐𝑜𝑠450)(𝑐𝑜𝑠 300 + 𝑐𝑜𝑠450).
5. Wiedząc, że 𝑡𝑔𝛼 =1
3, oblicz wartośc wyrażenia 5(2𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 1).
6. Oblicz wartość wyrażenia 𝑎2 − 𝑏 dla 𝑎 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 i
𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼.
7. Pole trójkąta ABC jest równe 14𝑐𝑚2. Oblicz miarę kąta ostregoBCA, gdy
|𝐴𝐶| = 8 i |𝐵𝐶| = 7
8. Oblicz cos 𝛼, wiedząc, że kąt 𝛼 jest ostry i 𝑡𝑔𝛼 =5
12
9. Oblicz sin 𝛼, wiedząc, że kąt 𝛼 jest ostry i 𝑡𝑔𝛼 =4
3
10. Oblicz wartość wyrażenia: 3 − 2𝑠𝑖𝑛2𝛼 wiedząc, że kąt 𝛼 jest ostry, a
cos 𝛼 =3
5
11. Oblicz:𝑠𝑖𝑛3𝛼+3𝑐𝑜𝑠3𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼 wiedząc, że kąt 𝛼 jest ostry, a 𝑡𝑔𝛼 = 2
IX. Rachunek prawdopodobieństwa
1. Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej prze z 2.
2. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Wypisz wyniki sprzyjające
zdarzeniu: suma oczek jest równa co najmniej 9. Wypisz pary zdarzeń
przeciwnych.
3. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek większego od
7 w dwukrotnym rzucie symetryczną kostką?
4. Ze zbioru liczb {1,2,…,10} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie
bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma
podzielna jest przez 6.
5. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu równego 5.
6. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną
liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
7. Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste
losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania co najmniej jednego losu wygrywającego. Wynik przedstaw w
postaci ułamka nieskracalnego.
8. W sklepie wśród dziesięciu żarówek trzy są wadliwe, a pozostałe są
dobrej jakości. Klient kupił losowo wybraną żarówkę( bez sprawdzania). Po
namyśle dokupił jeszcze jedną. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia, że klient,
otrzyma obie żarówki dobrej jakości, jest większe od 0,5? Odpowiedź uzasadnij,
wykonując odpowiednie obliczenia.
9. Na sześciennej symetrycznej kostce do gry cztery ścianki są pomalowane
na czerwono, a dwie pozostałe na biało. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że za drugim razem wypadnie ścianka w
innym kolorze niż za pierwszym razem.
10. Ze zbioru liczb {1,2,…,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma
podzielna jest przez 3.
11. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo wyrzucenia takiej samej liczby oczek na obu kostkach.
12. W urnie jest 20 kul ponumerowanych od 1 do 20. Wyjmujemy losowo
jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula o numerze:
a) większym od 8
b) podzielnym przez 5
c) będącym liczbą pierwszą.
11. Spośród cyfr 1,2,3,4,5,6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze
zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z
wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby.
Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 52.
12. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:
A- w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek
B- suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9
C- suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą
od 9.
13. W urnie znajdują się trzy kule ponumerowane 1,2,3. Trzykrotnie
losujemy z urny kulę. Za każdym razem wylosowana kula jest wrzucana z
powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwa razy
wylosujemy kulę z nieparzystym numerem?
14. Oblicz prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń 𝐴, 𝐵 ⊂ Ω jeżeli 𝑃(𝐴) =2
3 ,
𝑃(𝐵) =1
4 i 𝑃(𝑃 ∪ 𝐵) =
5
6.
15. Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń 𝐴, 𝐵 ⊂ Ω jeżeli 𝑃(𝐴) =1
2 ,
𝑃(𝐵) =1
3 i 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
4.
16. Na diagramie przedstawiono oceny z biologii uzyskane przez uczniów
klasy I A na koniec roku. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo
wybrany uczeń z biologii na koniec roku otrzymał ocenę:
a) dostateczną
b) co najmniej dobrą
c) co najwyżej dostateczną
17. Na diagramie przedstawiono oceny z chemii uzyskane przez uczniów
klasy I B na koniec roku. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że
losowo wybrany uczeń na koniec roku otrzymał ocenę poniżej średniej
klasy.
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6
liczb
a u
czn
iów
ocena
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6
Licz
ba
ucz
nió
w
Oceny
18. Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki?
19. Ile można utworzyć siedmiocyfrowych numerów telefonicznych
rozpoczynający się od 701, w których żadna cyfra nie będzie się powtarzała?
20. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie nie
występuje cyfra 0?
21. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują
tylko cyfry nieparzyste?
22. Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na
trzykrotnym rzucie monetą.
23. W klasie liczącej 16 dziewcząt i 10 chłopców 25 % dziewczyn i 10 %
chłopców interesuje się wspinaczką skałkową. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że losowo wybrana osoba z tej klasy interesuje się wspinaczką.
24. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie niesymetryczną kostką.
Prawdopodobieństwo otrzymania danej liczby oczek podano w tabeli. Oblicz
prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby oczek.
𝝎𝒊 1 2 3 4 5 6
𝒑𝒊 1
5
1
6
1
3
1
6
1
15
1
15
X.
ZADANIA MATURALNE – FUNKCJA LINIOWA
Matura maj 2014
Zad 1.(1 pkt.) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z
niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ.
a) {𝑦 = 𝑥 − 1
𝑦 = −2𝑥 + 4 c){
𝑦 = 𝑥 + 1𝑦 = −2𝑥 + 4
b){𝑦 = 𝑥 − 1
𝑦 = 2𝑥 + 4 d){
𝑦 = 𝑥 + 1𝑦 = 2𝑥 + 4
Zad 2(1 pkt.) Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego
podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x−4. Wskaż równanie
prostej zawierającej podstawę CD.
a)𝑦 =1
2𝑥 + 2 b)𝑦 = −2𝑥 + 2 c)𝑦 = −
1
2𝑥 + 2 d)𝑦 = 2𝑥 + 2
Zad 3(1pkt.) O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji
należy punkt P=(−2,3). Wzór funkcji f to:
a)𝑦 = −1
3𝑥 +
7
3 b)𝑦 = −
1
2𝑥 + 2 c)𝑦 = −3𝑥 + 7 d)𝑦 = −2𝑥 + 4
Matura maj 2013
Zad 4(1pkt.) Rozwiązaniem układu równań {5𝑥 + 3𝑦 = 3
8𝑥 − 6𝑦 = 48 jest para liczb
a) x=-3 i y=4 b)x=-3 i y=6 c)x=3 i y=-4 d)x=9 i y=4
Zad 5(1pkt) Punkt A=(0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x)=(m−2)x+m−3.
Stąd wynika, że:
a) m=1 b)m=2 c)m=3 d)m=4
Zad 6(1pkt) Prosta o równaniu 𝑦 =2
𝑚𝑥 + 1 jest prostopada do prostej o
równaniu 𝑦 = −3
2𝑥 − 1. Stad wynika, że:
a) m=-3 b)m=2
3 c)m=
3
2 d)m=3
Zad 7 (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji
liniowej y=ax+b
Jakie znaki mają współczynniki a i b?
a) a<0 i b<0
b) a<0 i b>0
c) a>0 i b<0 d) a>0 i b>0
Matura sierpień 2013
Zad 8 (1pkt) Rozwiązaniem układu równań {3𝑥 − 5𝑦 = 02𝑥 − 𝑦 = 14
jest para liczb (x,y)
takich, że:
a)x<0 i y<0 b) x<0 i y>0 c)x>0 iy<0 d)x>0 i y>0
Zad 9 (1pkt) Prostą równoległą do prostej o równaniu𝑦 =2
3𝑥 −
4
3 jest prosta
opisana równaniem:
a)𝑦 = −2
3𝑥 +
4
3 b)𝑦 =
2
3𝑥 +
4
3 c)𝑦 =
3
2𝑥 −
4
3 d)𝑦 = −
3
2𝑥 −
4
3
Matura czerwiec 2012
Zad 10(1pkt) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b,
gdzie a>0 i b<0. Wskaż ten wykres.
a) c)
b) d)
Matura maj 2012
Zad 11(1pkt) Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o
równaniu 3x−6y+7=0
a) 𝑦 =1
2𝑥 b)𝑦 = −
1
2𝑥 c)y=2x d)y=-2x
Matura maj 2011
Zad 12(1pkt.) Układ równań {4𝑥 + 2𝑦 = 106𝑥 + 𝑎𝑦 = 15
ma nieskończenie wiele rozwiązań,
jeśli:
a)a=-1 b)a=0 c)a=2 d)a=3
Zad 13(1pkt) Funkcja liniowa określona jest wzorem 𝑦 = √2𝑥 + 4. Miejscem
zerowym tej funkcji jest liczba;
a)−2√2 b)√2
2 c)−
√2
2 d)2√2
Zad14 (1pkt) Prosta k ma równanie y=2x−3. Wskaż równanie
prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o
współrzędnych (−2,1):
a)y=-2x+3 b)y=2x+1 c)y=2x+5 d)y=-x+1
Matura maj 2010
Zad 15(1pkt.) Prosta o równaniu y=−2x+(3m+3) przecina w układzie
współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy:
a)𝑚 = −2
3 b)𝑚 = −
1
3 c)𝑚 =
1
3 d)𝑚 =
5
3
Zad 16(1pkt.) Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o
równaniu y=−3x+5 jest równy;
a)−1
3 b)-3 c)
1
3 d)3
ZADANIA MATURALNE- CIĄGI
Matura maj 2014
Zad 1.(1pkt.) Liczby 2, −1, −4 sa trzema początkowymi wyrazami ciągu
arytmetycznego (𝑎𝑛) określonego dla liczb naturalnych 𝑛 ≥ 1. Wzór ogólny
tego ciągu ma postać:
a) 𝑎𝑛 = −3𝑛 + 5 c) 𝑎𝑛 = −𝑛 + 3
b) 𝑎𝑛 = 𝑛 − 3 d) 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 5
Zad 2.(1pkt.) Liczby 𝑥 − 2, 6, 12 w podanej kolejności są trzema kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 5
Matura próbna-luty 2014
Zad3.(1pkt.) Ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony jest wzorem 𝑎𝑛 =3𝑛
4. Iloraz
tego ciągu jest równy:
a) 3 b) 3
4 c)
1
3 d)
1
4
Zad 4.(1pkt.) Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 200.
Największy kąt tego czworokąta ma miarę:
a) 1500 b) 1350 c) 1200 d) 600
Zad 5.(2pkt.) Ciąg (2𝑥 − 1, 𝑦, 6𝑥 + 3) jest arytmetyczny, a ciąg (3, 𝑦, 27)jest
geometryczny rosnący. Oblicz xi y.
Matura próbna-listopad 2013
Zad 6(1pkt.) Ciąg (𝑏𝑛) określony jest wzorem 𝑏𝑛 = (−1)2𝑛+3 ∙ (𝑛 + 1). Suma
dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:
a) -5 b) -1 c) 1 d) 5
Zad 7(1pkt.)W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy 8, zaś siódmy
wyraz tego ciągu jest równy 14. Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
a) 21 b) 23 c) 24 d) 3
Zad 8(1pkt.) Pan Nowak wpłacił do banku 𝑘 𝑧ł na procent składany.
Oprocentowanie w tym banku wynosi 4 % w skali roku, a odsetki kapitalizuje
się co pół roku. Po 6 latach oszczędzania Pan Nowak zgromadzi na koncie
kwotę:
a) 𝑘(1 + 0,02)12 c) 𝑘(1 + 0,02)6
b) 𝑘(1 + 0,04)12 d) 𝑘(1 + 0,4)6
Matura -sierpień 2013
Zad 9(1pkt.) Liczby 3𝑥 − 4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i
trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy:
a)𝑥 = −6 c) 𝑥 = 6
b) 𝑥 = 0 d) 𝑥 = 12
Zad 10 (1pkt.) Liczby 7, 𝑎, 49 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Wtedy a jest równe:
a) 14 b) 21 c) 28 d) 42
Zad 11(1pkt.) Ciąg (𝑎𝑛) określony jest wzorem 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 𝑛 dla 𝑛 ≥ 1. Który
wyraz tego ciągu jest równy 6 ?
a) drugi c) szósty
b) trzeci d) trzydziesty
Matura -czerwiec 2013
Zad 12(1pkt.) Ciąg (𝑎𝑛) określony jest wzorem 𝑎𝑛 = −2 +12
𝑛, dla 𝑛 ≥ 1.
Równość 𝑎𝑛 = 4 zachodzi dla:
a)𝑛 = 2 c) 𝑛 = 4
b) 𝑛 = 3 d) 𝑛 = 5
Zad 13 (1pkt.) Dany jest ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) w którym 𝑟 = −2 oraz 𝑎20 =
17. Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60
Zad 14(1pkt.) W ciągu geometrycznym (𝑎𝑛) pierwszy wyraz jest równy 9
8, a
czwarty wyraz jest równy 1
3. Wówczas iloraz tego ciągu jest równy:
a) 𝑞 =1
3 b) 𝑞 =
1
2 c) 𝑞 =
2
3 d) 𝑞 =
3
2
Zad 15(2pkt.) Nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony jest
wzorem:𝑎𝑛 = 7 ∙ 3𝑛+1 dla 𝑛 ≥ 1. Oblicz q tego ciągu.
Matura -maj 2013
Zad 16(1pkt.) Ciąg (27,18, 𝑥 + 5) jest geometryczny. Wtedy:
a)𝑥 = 4 c) 𝑥 = 7
b) 𝑥 = 5 d) 𝑥 = 9
Zad 17(1pkt.) Ciąg(𝑎𝑛) określony dla 𝑛 ≥ 1 jest arytmetyczny oraz 𝑎3 = 10 i
𝑎4 = 14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
a) 𝑎1 = −2 b) 𝑎1 = 2 c) 𝑎1 = 6 d) 𝑎1 = 12
Matura -maj 2012
Zad 18(1pkt.) Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ∙2−𝑛
𝑛2 dla 𝑛 ≥
1 Wówczas 𝑎5 tego ciągu jest równy:
a) −3
25 b)
3
25 c)
−7
25 d)
7
25
Zad 19(4pkt.) Ciąg (9, 𝑥, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 42, 𝑦, 𝑧)jest
geometryczny.
Oblicz x, y, z.
Matura -maj 2011
Zad 20(1pkt.) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), w którym 𝑎3 =
1 i 𝑎4 =2
3
Wtedy:
a) 𝑎1 =4
9 b) 𝑎1 =
3
2 c) 𝑎1 =
2
3 d) 𝑎1 =
9
4
Zad 21(1pkt.) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) o
wyrazach dodatnich. Wtedy:
a) 𝑎4 + 𝑎7 = 𝑎10 c) 𝑎2 + 𝑎9 = 𝑎3 + 𝑎8
b) 𝑎4 + 𝑎6 = 𝑎3 + 𝑎8 d) 𝑎5 + 𝑎7 = 2𝑎8
Zad 22 (2pkt.) Liczby 𝑥, 𝑦, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny ,
przy czym 𝑥 + 𝑦 = 8.Oblicz x i y.
Matura -maj 2010
Zad 23(1pkt.)W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛) dane są:𝑎3 = 13 i 𝑎5 = 39. Wtedy
wyraz 𝑎1 jest równy:
a) 13 b) 0 c) -13 d) -26
Zad 24(1pkt.)W ciągu geometrycznym (𝑎𝑛) dane są 𝑎1 = 3 i 𝑎4 = 24. Iloraz
tego ciągu jest równy:
a) 8 b) 2 c) 1
8 d) -
1
2
ZADANIA MATURALNE- PLANIMETRIA
Matura maj 2010
Zad 1.(1pkt.) Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa:
a) 7 b) 14 c) 21 d) 28
Zad 2.(1pkt.) Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego
kwadratu jest równa:
a) 4√2 b) 2√2 c) 8 d) 4
Zad 3.(1pkt.) Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma
długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość:
a) 3 b) 4 c) √34 d) √61
Zad 4.(1pkt.) Odcinki AB i DE są równoległe. Długość odcinków CD, DE i AB
są równe odpowiednio 1,3 i9. Długość odcinka AD jest równa:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6
Zad5.(1pkt.) Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami
trójkąta równobocznego.
Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa:
a) 1200 b) 900 c) 600 d) 300
Zad 6.(1pkt.) Latawiec ma wymiary podane na rysunku.
a) 3200𝑐𝑚2 b) 6400𝑐𝑚2 c) 1600𝑐𝑚2 d) 800𝑐𝑚2
Zad 7. (1pkt.)Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 3 c) 𝑥2 + 𝑦2 = 12
b) 𝑥2 + 𝑦2 = 6 d) 𝑥2 + 𝑦2 = 36
Zad 8.(1pkt.) Punkty A(-5,2) i B(3,-2) są wierzchołkami trójkąta
równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy:
a) 30 b) 4√5 c) 12√5 d) 36
Zad 9. (2pkt.) W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt
prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6.
Oblicz obwód tego trapezu.
Matura maj 2011
Zad 10.(1pkt.) Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę
a) 800 b) 1000 c) 1100 d) 1200
Zad 11.(1pkt.) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 600 jest
równa:
a) 3√3 b) 3 c) 6√3 d) 6
Zad 12.(1pkt.) Styczną do okręgu (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 − 4 = 0 jest prosta o
równaniu:
a) 𝑥 = 1 b) 𝑥 = 3 c) 𝑦 = 0 d) 𝑦 = 4
Zad 13.(4pkt.) Okrąg o środku w punkcie S(3,7) jest styczny do prostej o
równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Matura sierpień 2011
Zad 14.(1pkt.) Dane są punkty A(1,-4) i B(2,3). Odcinek AB ma długość
a) 1 b) 4√3 c) 5√2 d) 7
Zad 15.(1pkt.) Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 600. Pole tego
rombu jest równe:
a) 16√3 b) 16 c) 8√3 d) 8
Matura maj 2012
Zad 16.(1pkt.) W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest
przeciwprostokątną i |AB|=13 oraz |BC|=12 . Wówczas sinus kąta ABC jest
równy.
a) 12
13 b)
5
13 c)
5
12 d)
13
12
Zad 17.(1pkt.) W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC|=|BC|=5 oraz
wysokość |CD|=2. Podstawa AB tego trójkąta ma długość
a) 6 b) 2√21 c) 2√29 d) 14
Zad 18.(1pkt.) W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7.
Obwód tego trójkąta jest równy
a) 16√6 b) 14√6 c) 12 + 4√6 d) 12 + 2√6
Zad 19.(1pkt.) Odcinki AB i CD są równoległe i |AB|=5,|AC|=2,|CD|=7 (zobacz
rysunek). Długość odcinka AE jest równa:
a) 10
7 b)
14
5 c) 3 d) 5
Zad 20.(1pkt.) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe:
a) 25 b) 50 c) 75 d) 100
Zad 21.(1pkt.) Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara
zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa:
a) 900 b) 600 c) 450 d) 300
Zad 22.(1pkt.) Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o
różnicy 200. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
a) 400 b) 500 c) 600 d) 700
Zad 23.(1pkt.) Punkt A ma współrzędne (5,2012). Punkt B jest symetryczny do
punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem
osi Oy . Punkt C ma współrzędne
a) (-5,-2012) b) (-2012,-5) c) (-5,2012) d) (-2012,5)
Zad 24.(1pkt.) Na okręgu o równaniu (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 7)2 = 4 lezy punkt:
a) A(-2,5) b) B(2,-5) c) C(2,-7) d) D(7,-2)
Zad 25.(2 pkt.)Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A(-2,2) i
B(2,10).
Matura czerwiec 2012
Zad 26.(1pkt.) Jeden kąt trójkąta ma miarę 540. Z pozostałych dwóch kątów
tego trójkata jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są
równe:
a) 210, 1050 b) 110, 660 c) 180, 1080 d) 160, 960
Zad 27.(1pkt.) Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną
prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 300. Dłuższy bok prostokąta ma
długość
a) 2√3 b) 4√3 c) 6√3 d) 12
Zad 28.(1pkt.) Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka
o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość
a) 3 b) 4 c) 5 d) 8
Zad 29.(1pkt.) Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę;
a) 1500 b) 1200 c) 1150 d) 850
Zad 30.(1pkt.) Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do
trójkąta ECD
a) ∆𝐴𝐵𝐹 b) ∆𝐶𝐴𝐵 c) ∆𝐼𝐻𝐷 d) ∆𝐴𝐵𝐷
Zad 31.(1pkt.) Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku.
Równanie tego okręgu ma postać:
a) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 c) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9
b) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 3 d) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 3
Zad 32.(1pkt.) Punkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, w którym A=(−1,3).
Punkt B ma współrzędne:
a) B(5,11) b) 𝐵(1
2, 2) c) 𝐵(−
3
2, −5) d) 𝐵(3,11)
Zad 33.(2pkt.) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz
tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.
Zad 34.(2pkt.) Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 450, a jego pole jest
równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu.
Matura maj 2013
Zad 35.(1pkt.) Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod
kątem 500(tak jak na rysunku).
Miara kąta α jest równa
a) 250 b) 300 c) 400 d) 500
Zad 36.(1pkt.) Punkty A=(−1,2) i B=(5,−2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami
rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy
a) √13 b) 13 c) 676 d) 8√13
Zad 37.(1pkt.) Punkt S=(−4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12).
Zatem punkt P ma współrzędne
a) (2,-25) b) (38,17) c) (-25,2) d) (-12,4)
Zad 38.(1pkt.) Odległość miedzy środkami okręgów o równaniach (𝑥 + 1)2 +
(𝑦 − 2)2 = 9 oraz 𝑥2 + 𝑦2 = 10 jest równa
a) √5 b) √10 − 3 c) 3 d) 5
Matura maj 2014
Zad 39.(1pkt.) Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego
podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x−4. Wskaż równanie
prostej zawierającej podstawę CD.
a) 𝑦 =1
2𝑥 + 2 b) 𝑦 = −2𝑥 + 2 c) 𝑦 = −
1
2𝑥 + 2 d) 𝑦 = 2𝑥 + 2
Zad 40.(1pkt.) Jeżeli trójkąty ABC i A’B’C’ są podobne, a ich pola są,
odpowiednio, równe 25 i 50 , to skala podobieństwa 𝐴′𝐴′
𝐴𝐴 jest równa
a) 2 b) 1
2 c) √2 d)
√2
2
Zad 41.(1pkt.) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (𝑥 + 2)2 +
(𝑦 − 3)2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4
Zad 42.(1pkt.) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 600 i
ramieniu długości 2√3 jest równa:
a) √3 b) 3 c) 2√3 d) 2
Zad 43.(1pkt.) Kat środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4
9
długości okręgu ma miarę:
a) 1600 b) 800 c) 400 d) 200
STEREOMETRIA- ZADANIA MATURALNE
Matura 2010
Zad1(1pkt.) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach
5×3×4 jest równe:
a)94 b)60 c)47 d)20
Zad2(1pkt.) Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego
ostrosłupa jest równa:
a)11 b)18 c)27 d)34
Zad3(4pkt.) Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC . Krawędź AD jest
wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oblicz objętość ostrosłupa ABCD , jeśli wiadomo, że AD=12 , BC=6 ,
BD=CD=13 .
Matura maj 2011
Zad 4(1pkt.) W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy:
|AB|=5,|AD|=4,|AE|=3 . Który z odcinków AB,BG,GE,EB jest najdłuższy?
A. AB B. BG C. GE D. EB
Zad 5 (1pkt.) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54 . Długość
przekątnej tego sześcianu jest równa
A. √6 B. 3 C. 9 D. 3√3
Zad 5 (1pkt.) Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa:
A. 124π B. 96π C. 64π D. 32π
Zad 6(4 pkt.) Punkty K , L i M są środkami krawędzi BC , GH i AE sześcianu
ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta
KLM .
Maj 2012
Zad 7(1 pkt.) Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4 . Objętość
tego sześcianu jest równa :
A. 6 B. 8 C. 24 D. 64
Zad8 (1 pkt.) Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 450. Wysokość tego stożka jest równa
A. 2√2 B. 16π C. 4√2 D. 8π
Zad 9.(4pkt.) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH
przekątna AC podstawy ma długość 4 . Kąt ACE jest równy 600. Oblicz
objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.
Statystyka- zadania maturalne
Matura sierpień 2014
Zad 1.Średnia arytmetyczna liczb: x,13,7,5,5,3,2,11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb
jest równa:
a)6 b)7 c)10 d)5
Maj 2014
Zad 2. Mediana zestawu danych 2,12,a,10,5,3 jest równa 7. Wówczas:
a)a=4 b)a=6 c)a=7 d)a=9
Matura sierpień 2013
Zad 3(2pkt.)W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.
Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z
matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Maj 2013
Zad 4. Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1,2,3,x,5,8 jest
równa 4. Wtedy:
a)x=2 b)x=3 c)x=4 d)x=5
Sierpień 2012
Zad 5.Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych
pracowników są równe:2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków
tych 6 osób jest równa:
a)3400 b)3500 c)6000 d)7000
Maj 2012
Zad 6. Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych
akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa:
a)400 b)500 c)600 d)700
Sierpień 2011
Zad 7. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa:
a)3 b)4 c)5 d)6
Maj 2011
Zad 8.Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy
twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:
Liczba osób w rodzinie Liczba uczniów
3 6
4 12
x 2
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa:
a)3 b)4 c)5 d)7
Maj 2010
Zad 9.Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy:
a)x=2 b)x=3 c)x=4 d)x=5
ZADANIA MATURALNE -RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Matura próbna OKE- grudzień 2014
Zad.1Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z
pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa:
a)66 b)72 c)132 d)144
Matura sierpień 2014
Zad.2 Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej
jednej reszki jest równe:
a)7
8 b)
1
2 c)
1
4 d)
1
8
Zad 3(4pkt.) Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których
występują dwie różne cyfry spośród: 1,2,3,4,5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym
każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek
jest mniejsza od cyfry jedności.
Maj 2014
Zad 4.Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′ - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz
zachodzi równość P(A)=2P(A′) , to
a)𝑃(𝐴) =2
3 b) 𝑃(𝐴) =
1
2 c) 𝑃(𝐴) =
1
3 d) 𝑃(𝐴) =
1
6
Zad 5.Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
a)100 b)90 c)45 d)20
Zad 6(2pkt.) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z
których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
Matura sierpień 2013
Zad7. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5?
a)90 b)100 c)180 d)200
Zad 8.Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe:
a)1
6 b)
1
12 c)
1
18 d)
1
36
Maj 2013
Zad 9.Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza
prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy;
a)𝑝 =1
36 b) 𝑝 =
1
18 c) 𝑝 =
1
12 d) 𝑝 =
1
9
Sierpień 2012
Zad 10.Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę.
Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas:
a)𝑝 <1
5 b)𝑝 =
1
5 c)𝑝 =
1
4 d)𝑝 >
1
4
Maj 2012
Zad11(2pkt.) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb,
których iloczyn jest podzielny przez 6.
Sierpień 2011
Zad12. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2 ?
a)1 b)2 c)3 d)4
Zad13.Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę.
Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe:
a)1
90 b)
2
90 c)
3
90 d)
10
90
Zad 14(2 pkt) Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek
znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną
kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli
wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z
niebieskiego pudełka.
Maj 2011
Zad 15 Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi
a)1
6 b)
1
9 c)
1
12 d)
1
18
Zad 16 (2pkt.) Ze zbioru liczb {1,2,3,...,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze
zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna
przez 3.
Maj 2010
Zad 17(4pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w
pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie
podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
