Wykład 1

Informatyka Stosowana

1 października 2018

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26

Wykłady :45h (w semestrze zimowym) (Egzamin)

3h lekcyjne tygodniowo = 2h15min

30h (w semetrze letnim) (Egzamin)

Ćwiczenia :

15h - ćwiczenia audytoryjne ("tablicowe") w semestrze zimowym15h - zajęcia laboratoryjne w semetrze letnim

Wykład w semestrze zimowym: (w planie: 7:15-10:00 z uwzględnieniemdwóch przerw 15 minutowych)

Wykład 7:30-10:00 (uwzględnia 1 przerwę)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 2 / 26

Dla studentów 1-ego roku obecność na wykładach jest obowiązkowa !!!(podczas wykładu mogą być sporządzane listy obecności)

Dopuszczalne 3 nieusprawione nieobecności na wykładach

Nieobecności na wykładach można usprawiedliwiać

Zaliczenie egzaminu od 50% punktów (przy każdym zadaniu podanaliczba punktów)

Aby przystąpić do egzaminu należy mieć zaliczone ćwiczenia

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 3 / 26

Jak wygląda egzamin?

Imię i nazwisko .............................................................. liczba punktów: .............................

Informatyka Stosowana, EGZAMIN , 2016.09.09 Rząd 1

i)

2x + y − z + w = 0−y + 2z + w = 13x − 2z = 2.

, ii) A =

1 0 2−1 1 23 1 −1

, b = 10

−1

, iii) {x − 2y ≤ 63x + y ≥ 1.

Zad.1 (1p) Rozwiązać układ równań i) (bez stosowania metody podstawiania !!!).

Zad.2 (1.5p) Obliczyć A−1 i A−1b, gdzie A i b zadane są ii).

Zad.3 (1.5p) Rozwiązać graficznie i za pomocą odpowiedniego "układu równań" układ nierówności iii).

Zad.4 (1p) Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + y przy warunkach:

x + y ≤ 6, −3x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.

Zad.5 (1p) Podać definicję pierścienia.

Zad.6 (1p) Sprawdzić, czy odwzorowanie f (x1, x2) = (2x1, x22 , 2x1 + x2) jest liniowe. .

Zad.7 (2p) W zbiorze R określamy działania ◦ i � następująco: a ◦ b = a + b − 1 , a � b = 2ab + 1.Wyznaczyć:a) element neutralny e działania ◦, b) element odwrotny dla dowolnego a. Obliczyć 1−1, 2−1.c) wyznaczyć element neutralny e względem działania �, (uwaga !!: dla każdego a jest inny )d) element odwrotny do a względem działania �. Obl. 3−1, 4−1.

Zad.8 (1p) Sprawdzić, czy wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1) są liniowo niezależne w R4.

Zad.9 (2p) Rozważmy punkty A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć:a) równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty A,B i C; b) kosinus kąta ABC;c) długość środkowej BS d) odległość od płaszczyzny π punktu (1, 1, 1).

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 4 / 26

Kontakt :najlepiej rozpocząć od kontaktu mailowego:

mbucko@utp.edu.pl

osobisty (najlepiej podczas konsultacji, ale dogodny termin można umówićrównież mailowo)

termin konsultacji podam wkrótce ( łącznie 1,5h zegarowej)

treści wykładów nie trzeba przepisywać, pliki będą udostępniane

imif.utp.edu.pl/m-alama-bucko

pliki z wykładów mogą nie zawierać wykresów, rozwiązań zadań, itp. idlatego te elementy należy notować

tzw. "szybki" kontakt ze Starostą (numer telefonu do kontaktu)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 5 / 26

Na stronie znajduje się mój plan zajęć....

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 6 / 26

i materiały dla studentów poszczególnych kierunków

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 7 / 26

Co w Syllabusie?a) 1 semestr : logika

– Rachunek zbiorów, relacje, funkcje.

– Logika zdaniowa. Dowody formalne, pojęcia poprawności i pełnościsystemu logicznego.

– Systemy liczbowe.

b) 1 semestr : analiza matematyczna

– Liczby rzeczywiste.

– Ciągi liczbowe: podstawowe właściwości, zbieżność.

– Funkcje. Granica i ciągłość funkcji.

– Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne wyższychrzędów, wzór Taylora.

– Pojęcie całki funkcji jednej zmiennej rzeczywistej: całka nieoznaczona,całka Riemanna. Zastosowanie całki oznaczonej.

c) 2 semestr : algebra

d) 2 semestr : elementy programowania liniowegoInformatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 8 / 26

Literatura podstawowa

1. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów cz.I, WNT Warszawa2. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w

zadaniach, PWN Warszawa3. Maćkiewcz A., Algorytmy algebry liniowej metody bezpośrednie,

Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej4. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni

technicznych cz. IA, cz.IB PWN Warszawa 19755. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek

prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczneWNT, Warszawa

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 9 / 26

Literatura uzupełniająca

1. Białynicki - Birula A., Algebra, PWN Warszawa2. Żakowski B. W., Kołodziej W., Matematyka WNT, Warszawa 19753. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa,

SCRIPT Warszawa 2001r.4. Gewert M, Skoczylas Z. - cała seria

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 10 / 26

Elementy logiki matematycznej

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 11 / 26

Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimizdaniami orzekającymi, które są prawdziwe albo fałszywe.

Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1.

Zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0.

Zdania oznaczamy małymi literami: p, q, r, ...

Wartość logiczną zdania p można zapisać w postaci w(p).

Zdania pytające i rozkazujące nie są zdaniami w sensie logiki.

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 12 / 26

Przykład

1. "13 jest liczbą parzystą" ma wartość logiczną 0 (bo fałsz)

2. "13 jest pechową liczbą " nie jest zdaniem (logicznym), bo nie jest aniprawdziwe ani fałszywe.

3. "n jest liczbą parzystą" nie jest zdaniem (logicznym).

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 13 / 26

Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanychrównież spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemyutworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone) .

Podstawowe operatory logiczne:

– operator jednoargumentowy

zaprzeczenie (negacja) (nie; nieprawda, że )

– operatory dwuargumentowe

koniunkcja (i )alternatywa (lub )alternatywa rozłączna (albo )implikacja (implikuje )równoważność (jest równoważne)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 14 / 26

– zaprzeczenie (negacja) zdania p

oznaczamy ∼ p albo ¬p

czytamy: "nieprawda, że p"; "nie p";

tabelka wartościp ∼ p0 11 0

Jaką wartość logiczną ma zdanie ∼ (∼ p)? (tzw. podwójne zaprzeczenie)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 15 / 26

koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q)

oznaczamy p ∧ q

czytamy: "p i q"

zdania p i q nazywamy czynnikami

tabelka wartościp q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania sąprawdziwe.

Najłatwiej licząc p ∧ q po prostu wymnożyć wartości logiczne składowychzdań.

W informatyce:

If (warunek1)&(warunek2) then ...., If (warunek1)&&(warunek2) then ....

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 16 / 26

iloczyn logiczny jest przemienny

p ∧ q ⇔ q ∧ p

iloczyn logiczny jest łączny

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 17 / 26

alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q)

oznaczamy p ∨ q

czytamy: "p lub q"

zdania p i q nazywamy składnikami

tabelka wartościp q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdańjest prawdziwe.

Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania sąfałszywe.

W informatyce:If ( warunek 1 or warunek 2 ) then ...

If ( warunek 1 || warunek 2 ) ....Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 18 / 26

alternatywa logiczna jest przemienna

p ∨ q ⇔ q ∨ p

alternatywa logiczna jest łączna

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 19 / 26

alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, xor zdań p i q

oznaczamy p Y q

czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ")

tablica wartościp q p Y q1 1 01 0 10 1 10 0 0

Działanie XOR dwóch zdań jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdańjest prawdziwe.

Działanie XOR dwóch zdań jest fałszywe, gdy zdania p i q mają te samewartości logiczne.różnica symetryczna jest przemienna: p Y q ⇔ q Y p

różnica symetryczna jest łączna: (p Y q) Y r ⇔ p Y (q Y r)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 20 / 26

implikacja (wynikanie)

oznaczamy p ⇒ q

czytamy "jeżeli p to q"

zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q- następnikiem

tabelka wartościp q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1

Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 21 / 26

równoważność

p ⇔ q

czytamy: "p wtedy i tylko wtedy, gdy q"

tabelka wartościp q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1

Dwa zdania są równoważne, gdy mają takie same wartości logiczne, czylisą równocześnie prawdziwe, albo równocześnie fałszywe.

Zaprzeczeniem działania⇔ jest działanie XOR, zatem

p XOR q ⇔ ∼ (p ⇔ q)

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 22 / 26

Przykład

p - zdanie " Bydgoszcz jest stolicą Polski",

q - zdanie " UTP jest w Bydgoszczy"

Określić wartość logiczną zdań:

p, q, p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, q ⇒ p, p ⇔ q.

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 23 / 26

DefinicjaTautologią (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, którejest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jestzłożone.

Jest wiele metod służących weryfikacji, czy dane zdanie jest tautologią.

np. metoda nie wprost, metoda "tabelkowa"

na wykładzie sprawdzenia będziemy dokonywać za pomocą tabelek

tworzymy tabelkę zero-jedynkową, w której dla wszystkich możliwychwartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jestzawsze prawdziwe

ustalić, ile jest zdań składowych (tzn: p,q,r....)rozłożyć całą "tautologię"(?) na "mniejsze kawałki" i stopniowo,wyznaczając wartości logiczne kolejnych wyrażeń dojść do wyznaczeniawartości "całości"

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 24 / 26

Niektóre prawa rachunku zdań:

1. prawo podwójnego przeczenia : ∼ (∼ p) ⇔ p

2. prawo wyłączonego środka: p ∨ (∼ p)

3. prawa de Morgana:

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)

4. ∼ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ (∼ q)

5. p ⇒ q ⇔ (∼ q)⇒ (∼ p)

6. p ⇒ q ⇔ q ∨ (∼ p)

7. (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

8. (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

9. [(p ∧ q)⇒ r ] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)]

10. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 25 / 26

Dziękuję za uwagę !

Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 26 / 26