Wykład 1
Informatyka Stosowana
1 października 2018
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26
Wykłady :45h (w semestrze zimowym) (Egzamin)
3h lekcyjne tygodniowo = 2h15min
30h (w semetrze letnim) (Egzamin)
Ćwiczenia :
15h - ćwiczenia audytoryjne ("tablicowe") w semestrze zimowym15h - zajęcia laboratoryjne w semetrze letnim
Wykład w semestrze zimowym: (w planie: 7:15-10:00 z uwzględnieniemdwóch przerw 15 minutowych)
Wykład 7:30-10:00 (uwzględnia 1 przerwę)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 2 / 26
Dla studentów 1-ego roku obecność na wykładach jest obowiązkowa !!!(podczas wykładu mogą być sporządzane listy obecności)
Dopuszczalne 3 nieusprawione nieobecności na wykładach
Nieobecności na wykładach można usprawiedliwiać
Zaliczenie egzaminu od 50% punktów (przy każdym zadaniu podanaliczba punktów)
Aby przystąpić do egzaminu należy mieć zaliczone ćwiczenia
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 3 / 26
Jak wygląda egzamin?
Imię i nazwisko .............................................................. liczba punktów: .............................
Informatyka Stosowana, EGZAMIN , 2016.09.09 Rząd 1
i)
2x + y − z + w = 0−y + 2z + w = 13x − 2z = 2.
, ii) A =
1 0 2−1 1 23 1 −1
, b = 10
−1
, iii) {x − 2y ≤ 63x + y ≥ 1.
Zad.1 (1p) Rozwiązać układ równań i) (bez stosowania metody podstawiania !!!).
Zad.2 (1.5p) Obliczyć A−1 i A−1b, gdzie A i b zadane są ii).
Zad.3 (1.5p) Rozwiązać graficznie i za pomocą odpowiedniego "układu równań" układ nierówności iii).
Zad.4 (1p) Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + y przy warunkach:
x + y ≤ 6, −3x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.
Zad.5 (1p) Podać definicję pierścienia.
Zad.6 (1p) Sprawdzić, czy odwzorowanie f (x1, x2) = (2x1, x22 , 2x1 + x2) jest liniowe. .
Zad.7 (2p) W zbiorze R określamy działania ◦ i � następująco: a ◦ b = a + b − 1 , a � b = 2ab + 1.Wyznaczyć:a) element neutralny e działania ◦, b) element odwrotny dla dowolnego a. Obliczyć 1−1, 2−1.c) wyznaczyć element neutralny e względem działania �, (uwaga !!: dla każdego a jest inny )d) element odwrotny do a względem działania �. Obl. 3−1, 4−1.
Zad.8 (1p) Sprawdzić, czy wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1) są liniowo niezależne w R4.
Zad.9 (2p) Rozważmy punkty A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć:a) równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty A,B i C; b) kosinus kąta ABC;c) długość środkowej BS d) odległość od płaszczyzny π punktu (1, 1, 1).
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 4 / 26
Kontakt :najlepiej rozpocząć od kontaktu mailowego:
osobisty (najlepiej podczas konsultacji, ale dogodny termin można umówićrównież mailowo)
termin konsultacji podam wkrótce ( łącznie 1,5h zegarowej)
treści wykładów nie trzeba przepisywać, pliki będą udostępniane
imif.utp.edu.pl/m-alama-bucko
pliki z wykładów mogą nie zawierać wykresów, rozwiązań zadań, itp. idlatego te elementy należy notować
tzw. "szybki" kontakt ze Starostą (numer telefonu do kontaktu)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 5 / 26
Na stronie znajduje się mój plan zajęć....
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 6 / 26
i materiały dla studentów poszczególnych kierunków
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 7 / 26
Co w Syllabusie?a) 1 semestr : logika
– Rachunek zbiorów, relacje, funkcje.
– Logika zdaniowa. Dowody formalne, pojęcia poprawności i pełnościsystemu logicznego.
– Systemy liczbowe.
b) 1 semestr : analiza matematyczna
– Liczby rzeczywiste.
– Ciągi liczbowe: podstawowe właściwości, zbieżność.
– Funkcje. Granica i ciągłość funkcji.
– Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pochodne wyższychrzędów, wzór Taylora.
– Pojęcie całki funkcji jednej zmiennej rzeczywistej: całka nieoznaczona,całka Riemanna. Zastosowanie całki oznaczonej.
c) 2 semestr : algebra
d) 2 semestr : elementy programowania liniowegoInformatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 8 / 26
Literatura podstawowa
1. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów cz.I, WNT Warszawa2. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w
zadaniach, PWN Warszawa3. Maćkiewcz A., Algorytmy algebry liniowej metody bezpośrednie,
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej4. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni
technicznych cz. IA, cz.IB PWN Warszawa 19755. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek
prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczneWNT, Warszawa
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 9 / 26
Literatura uzupełniająca
1. Białynicki - Birula A., Algebra, PWN Warszawa2. Żakowski B. W., Kołodziej W., Matematyka WNT, Warszawa 19753. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa,
SCRIPT Warszawa 2001r.4. Gewert M, Skoczylas Z. - cała seria
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 10 / 26
Elementy logiki matematycznej
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 11 / 26
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimizdaniami orzekającymi, które są prawdziwe albo fałszywe.
Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1.
Zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0.
Zdania oznaczamy małymi literami: p, q, r, ...
Wartość logiczną zdania p można zapisać w postaci w(p).
Zdania pytające i rozkazujące nie są zdaniami w sensie logiki.
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 12 / 26
Przykład
1. "13 jest liczbą parzystą" ma wartość logiczną 0 (bo fałsz)
2. "13 jest pechową liczbą " nie jest zdaniem (logicznym), bo nie jest aniprawdziwe ani fałszywe.
3. "n jest liczbą parzystą" nie jest zdaniem (logicznym).
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 13 / 26
Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanychrównież spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemyutworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone) .
Podstawowe operatory logiczne:
– operator jednoargumentowy
zaprzeczenie (negacja) (nie; nieprawda, że )
– operatory dwuargumentowe
koniunkcja (i )alternatywa (lub )alternatywa rozłączna (albo )implikacja (implikuje )równoważność (jest równoważne)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 14 / 26
– zaprzeczenie (negacja) zdania p
oznaczamy ∼ p albo ¬p
czytamy: "nieprawda, że p"; "nie p";
tabelka wartościp ∼ p0 11 0
Jaką wartość logiczną ma zdanie ∼ (∼ p)? (tzw. podwójne zaprzeczenie)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 15 / 26
koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q)
oznaczamy p ∧ q
czytamy: "p i q"
zdania p i q nazywamy czynnikami
tabelka wartościp q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania sąprawdziwe.
Najłatwiej licząc p ∧ q po prostu wymnożyć wartości logiczne składowychzdań.
W informatyce:
If (warunek1)&(warunek2) then ...., If (warunek1)&&(warunek2) then ....
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 16 / 26
iloczyn logiczny jest przemienny
p ∧ q ⇔ q ∧ p
iloczyn logiczny jest łączny
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 17 / 26
alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q)
oznaczamy p ∨ q
czytamy: "p lub q"
zdania p i q nazywamy składnikami
tabelka wartościp q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0
Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdańjest prawdziwe.
Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania sąfałszywe.
W informatyce:If ( warunek 1 or warunek 2 ) then ...
If ( warunek 1 || warunek 2 ) ....Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 18 / 26
alternatywa logiczna jest przemienna
p ∨ q ⇔ q ∨ p
alternatywa logiczna jest łączna
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 19 / 26
alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, xor zdań p i q
oznaczamy p Y q
czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ")
tablica wartościp q p Y q1 1 01 0 10 1 10 0 0
Działanie XOR dwóch zdań jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdańjest prawdziwe.
Działanie XOR dwóch zdań jest fałszywe, gdy zdania p i q mają te samewartości logiczne.różnica symetryczna jest przemienna: p Y q ⇔ q Y p
różnica symetryczna jest łączna: (p Y q) Y r ⇔ p Y (q Y r)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 20 / 26
implikacja (wynikanie)
oznaczamy p ⇒ q
czytamy "jeżeli p to q"
zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q- następnikiem
tabelka wartościp q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1
Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 21 / 26
równoważność
p ⇔ q
czytamy: "p wtedy i tylko wtedy, gdy q"
tabelka wartościp q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1
Dwa zdania są równoważne, gdy mają takie same wartości logiczne, czylisą równocześnie prawdziwe, albo równocześnie fałszywe.
Zaprzeczeniem działania⇔ jest działanie XOR, zatem
p XOR q ⇔ ∼ (p ⇔ q)
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 22 / 26
Przykład
p - zdanie " Bydgoszcz jest stolicą Polski",
q - zdanie " UTP jest w Bydgoszczy"
Określić wartość logiczną zdań:
p, q, p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, q ⇒ p, p ⇔ q.
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 23 / 26
DefinicjaTautologią (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, którejest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jestzłożone.
Jest wiele metod służących weryfikacji, czy dane zdanie jest tautologią.
np. metoda nie wprost, metoda "tabelkowa"
na wykładzie sprawdzenia będziemy dokonywać za pomocą tabelek
tworzymy tabelkę zero-jedynkową, w której dla wszystkich możliwychwartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jestzawsze prawdziwe
ustalić, ile jest zdań składowych (tzn: p,q,r....)rozłożyć całą "tautologię"(?) na "mniejsze kawałki" i stopniowo,wyznaczając wartości logiczne kolejnych wyrażeń dojść do wyznaczeniawartości "całości"
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 24 / 26
Niektóre prawa rachunku zdań:
1. prawo podwójnego przeczenia : ∼ (∼ p) ⇔ p
2. prawo wyłączonego środka: p ∨ (∼ p)
3. prawa de Morgana:
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
4. ∼ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ (∼ q)
5. p ⇒ q ⇔ (∼ q)⇒ (∼ p)
6. p ⇒ q ⇔ q ∨ (∼ p)
7. (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
8. (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
9. [(p ∧ q)⇒ r ] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)]
10. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 25 / 26
Dziękuję za uwagę !
Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 26 / 26