Wektory i skalary

-Skalar – wielkość fizyczna, którą można przedstawić za pomocą liczby (np. objętość, temperatura)

- Wektor – wielkość fizyczna, która ma długość („wielkość”), kierunek i zwrot (np. siła, przemieszczenie)

kierunek

długość (moduł, wartość bezwzględna)

zwrot

Geometryczne dodawanie wektorów

Graficzne dodawanie wektorów a i b:

1.Narysuj wektor a

2.Narysuj wektor b zaczynający się na końcu wektora a.

3.Sumę wektorową lub wektor wypadkowy s=a+b jest wektorem zaczynającym się w początku a i kończącym się na końcu b.

Uwagi:

-Wektor wypadkowy a+b możemy traktować jako łączny efekt dwóch przemieszczeń a i b.

-Metoda graficzna ‘działa’ dla dowolnej liczby wektorów!

Dodawanie wektorów vs. dodawanie skalarów

Dodawanie ma inne znaczenie w działaniach na wektorach, niż w działaniach na skalarach ponieważ wynik operacji zależy zarówno od wartości bezwzględnych, jak i od kierunków składników.

Przykład: obrabowano bank w centrum Bostonu. Uciekając przed pościgiem policyjnym, rabusie użyli śmigłowca, pokonując kolejno w powietrzu, trzy odcinki o następujących przemieszczeniach: 23 km, 45o na południe od kierunku wschodniego; 53 km, 26o na północ od kierunku zachodniego; 26 km, 18o na wschód od kierunku południowego. Po zakończeniu trzeciego lotu zostali schwytani. W jakim mieście byli wówczas?

Przemieszczenie: ~ 25 km

Przebyta droga: 102 km

Wektory jednostkowe

Wektorem jednostkowym nazywamy wektor o długości 1, skierowany w określonym kierunku.

W kartezjańskim układzie współrzędnych, wektory jednostkowe dodatnich kierunków osi x, y, z oznaczamy i, j, k.

Wektory jednostkowe

Wektorów jednostkowych możemy używać do zapisu innych wektorów.

Fxi

FyjF

F = Fxi + Fyj

x

y

Fxi, Fyj, Fzk – wektory składowe wektora F

F = Fxi + Fyj + Fzk

Dodawanie wektorów na składowych

Inna metodą dodawania wektorów jest dodawanie ich składowych dla każdej osi.

r = a + b

rx = ax + bx

ry = ay + by

rz = az + bz

1. Rozkładamy wektory na składowe

2. Dodajemy do siebie składowe wektorów dla każdej osi

3. Wyznaczamy wektorową sumę na podstawie sumy składowych

Rozkładanie wektorów na składowe

Fx = Fcosoraz Fy = Fsin

Fxi

FyjF

x

y

Obrót układu współrzędnych

Mamy swobodę wyboru układu współrzędnych – związki między wektorami (np. dodawanie) nie zależą od położenia początku układu współrzędnych i kierunku jego osi.

Również związki między wielkościami fizycznymi nie zależą od wyboru układu współrzędnych.

Wektory a prawa fizyki

Prawa fizyki w układzie przesuniętym (translacja) i obróconym są takie same.

Nazywa się to symetrią praw fizyki względem translacji i obrotów.

A odbicie lustrzane?

Lustrzane łamanie symetrii

- Odbicie przestrzenne, odbicie P, odbicie lustrzane – zmiana znaku wszystkich współrzędnych przestrzennych.

- Odbicie czasowe, odbicie T – zmiana znaku wszystkich współrzędnych czasowych.

- Odbicie ładunkowe, odbicie C, zmiana znaku wszystkich ładunków elektrycznych.

Istnieją przykłady łamania symetrii P, T i C – w lustrzanym odbiciu Wszechświata obowiązują inne prawa fizyki.

Mnożenie wektorów

Mnożenie wektora przez skalar

b = s*a

- b = s*a – długość b wynosi s razy długość a

- kierunek a i b jest taki sam

- zwrot b jest zgodny ze zwrotem a, jeśli s jest dodatnie, a przeciwny, gdy s jest ujemne.

Mnożenie wektora przez wektor

Istnieją dwa sposoby mnożenia wektora przez wektor:

-iloczyn skalarny

-iloczyn wektorowy

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów a i b:

a*b = ab cos

a - długość a

b - długość b

– kąt pomiędzy kierunkami a i b

a

b

-Wynikiem mnożenia jest skalar

-a cos jest składową (rzutem) wektora a w kierunku b.

-Jeśli kąt jest równy 0o, iloczyn jest największy i wynosi ab

-Jeśli kąt jest równy 90o, to składowa jednego wektora w kierunku drugiego jest równa zeru, iloczyn skalarny jest więc również równy zero.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wektorów a i b:

c = axb

c = ab sin– długość wektora c

– mniejszy z kątów pomiędzy kierunkami a i b

a

b

-Wynikiem mnożenia jest wektor

-Jeśli kąt jest równy 0o, iloczyn wynosi zero

-Jeśli kąt jest równy 90o, to iloczyn jest największy i wynosi ab

Iloczyn wektorowy

c = axb

-kierunek wektora c jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory a i b.

-zwrot określa tzw. reguła prawej dłoni: gdy ustawimy palce prawej dłoni wzdłuż łuku mniejszego kąta pomiędzy a i b, kciuk wskazuje kierunek wektora c.

Wektory - powtórzenie

Ruch

Ruch – zmiana położenia obiektu w czasie

Świat jest w ciągłym ruchu

Dział fizyki zajmujący się opisem ruchu – kinematyka

(z greckiego kinēma - ruch)

Dzisiaj:

-ruch wzdłuż linii prostej

-poruszające ciało jest obiektem punktowym

Położenie i przemieszczenie

Położenie ciała wyznaczamy względem pewnego punktu odniesienia np. początku osi x. Np. x = 5 m

x [m]10 2-1-2-3 3 4 5 6

Zmianę położenie ciała od punktu x1 do punktu x2 nazywamy przemieszczeniem x:

x = x2 - x1

Prędkość średnia i chwilowa

Jedną z możliwości opisu ruchu jest podanie średniej prędkości:

vsr jest stosunkiem przemieszczenia cząstki x w pewnym przedziale czasu, do wielkości tego przedziału czasu t.

vsr = x/ t

Gdy chcemy znać prędkości cząstki w danej chwili, musimy podać prędkość chwilową:

dt

dx

t

xv

t

lim0

lim0t

Wyrażenie oznacza, że zmniejszamy przedział czasu do zera

dt

dxWyrażenie oznacza pochodną x względem t

Przyśpieszenie

Gdy prędkość cząstki się zmienia, doznaje ona przyśpieszenia. Przyśpieszenie średnie:

asr = v/ t

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fastest_cars_by_acceleration

Przyśpieszenie

dt

dva

Przyśpieszenie chwilowe:

Słowami: przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe szybkości zmiany prędkości cząstki w danej chwili.

Możemy zapisać:

2

2

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva

Przyśpieszenie cząstki w danej chwili jest równe drugiej pochodnej jej położenia x względem czasu t.

Ruch ze stałym przyśpieszeniem

00

t

vv

t

vaa sr

Gdy przyśpieszenie jest stałe, przyśpieszenie średnie jest równe przyśpieszeniu chwilowemu:

W podobny sposób przekształcamy równanie na vsr:

v0 – prędkość cząstki w chwili t = 0. Przekształcając:

v = v0+at

00

t

xx

t

xvsr

x = x0+vsrt

Oznacza to, że prędkość zmienia się liniowo w czasie.

Ruch ze stałym przyśpieszeniem

Gdy prędkość zmienia się liniowo w czasie

)(2

10 vvvsr

v

t

v(t)

v0

vsr

to prędkość średnia w pewnym przedziale czasu jest średnią arytmetyczną prędkości na początku i na końcu przedziału

Ruch ze stałym przyśpieszeniem

Podstawiając

200 2

1attvxx

Wstawiając do

v = v0+at

Dostajemy:

atvvsr 2

10

x = x0+vsrt

Dostajemy:

200 2

1attvxx

albo:

Ruch ze stałym przyśpieszeniem

v = v0+at a = const2

00 2

1attvxx

t

v(t)

v0

v

t

x(t)

x0

x

t

a(t)

a

położenie prędkość przyśpieszenie

Spadek swobodny

Ciało umieszczone w ziemskim polu grawitacyjnym doznaje przyśpieszenia o stałej wartości, skierowanego w dół.

Przyśpieszenie to nazywa się przyśpieszeniem ziemskim i oznacza g.

Przyjmujemy wartość g = 9.8 m/s2

Spadek swobodny opisują równania ruchu ze stałym przyśpieszeniem (o ile wpływ powietrza na ruch można pominąć).

Spadek swobodny - przykład

W 1989, Peter Debernardi (42) i Jeffrey (Clyde) Petkovich (25) zostali pierwszą drużyną, która spłynęła wodospadem Niagara o wysokości 48 m, w stalowej kapsule.

Jak długo spadali i z jaką prędkością uderzyli w spienione wody na dole?

200 2

1attvxx

-48 = 0 + 0 – 0.5*9.8*t2

t2 = 48/4.9 [m/m/s2]t = 3.1 s

v = v0+atv = -9.8*3.1[(m/s2)*s] = -31 m/s ~ 110 km/h