Podstawy algebry liniowej

Przez oznaczamy -wymiarową przestrzeń euklidesową, której

elementami są wektory postaci:

[

]

o składowych rzeczywistych, tzn. .

Definicja – kombinacja liniowa wektorów

Wektor nazywamy kombinacją liniową wektorów

jeżeli

∑

gdzie ,

Na przykład:

[ ]

[ ] [

]

Definicja – wypukła kombinacji liniowa

Wektor nazywamy wypukłą kombinacją liniową wektorów

jeżeli

∑

przy czym i oraz

∑

Na przykład:

[ ]

[ ]

[

]

Definicja – układ liniowo niezależny

Układ wektorów , nazywamy liniowo niezależnym,

jeżeli równość

∑

zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie (dla każdego .

Np.:

[ ] [

] [

]

Wniosek

W układzie wektorów liniowo niezależnych żadnego z tych wektorów

nie może przedstawić jako kombinacji liniowej pozostałych.

Twierdzenie

Układ wektorów jednostkowych w przestrzeni jest liniowo

niezależny

[

]

[ ]

[ ]

Definicja - baza

Niech . Bazą zbioru nazywamy liniowo niezależny układ

wektorów , taki, że dla każdego wektora istnieją

współczynniki , dla których:

⋀

⋁ ∑

tzn. każdy element zbioru można przedstawić jako kombinację

liniową wektorów bazy.

Twierdzenie

Dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni

jest bazą przestrzeni .

Twierdzenie

Dla ustalonej bazy zbioru dowolny element tego zbioru można

przedstawić w sposób jednoznaczny jako kombinację liniową

wektorów bazy.

Na przykład:

[ ] [

] ( [

]

gdzie kombinacja jest jedyną możliwą.

Macierze

Przyjmijmy układ równań postaci:

(

gdzie: , .

Podzielmy macierz według schematu:

(

gdzie: jest podmacierzą stopnia m złożoną z kolumn

bazowych macierzy , natomiast (

jest złożona z

pozostałych kolumn macierzy . Równanie ( przyjmie postać:

(

gdzie: [

]; , .

Wektor nazywamy wektorem zmiennych bazowych, natomiast

wektorem zmiennych niebazowych, inaczej wtórnych.

Z równania (3) wynika wprost:

(

Zatem ustalając dowolną bazę zbioru kolumn macierzy układu

równań (1) możemy z równania (4) wyznaczyć wektor zmiennych

bazowych. Ustalając w sposób dowolny wektor zmiennych

niebazowych, otrzymamy [

] jako rozwiązanie układu (1).

Przyjmując najprościej otrzymujemy:

(

Definicja – rozwiązanie bazowe układu

Rozwiązaniem bazowym układu nazywamy takie

rozwiązanie ( , w którym wszystkie zmienne wtórne są

równe , tzn. ( [

], gdzie: ( ; .

Twierdzenie

Maksymalna liczba rozwiązań bazowych układu jest równa

maksymalnej liczbie -liniowo niezależnych kolumn spośród

wszystkich -kolumn macierzy , a zatem wynosi (

).

Twierdzenie

Jeśli układ równań nie jest sprzeczny, to ma co najmniej

jedno rozwiązanie bazowe.

Przykład

Dany jest układ równań liniowych

czyli w zapisie wektorowym

[ ] [

] [

] [

] [ ]

Jedną z baz tego układu jest

[

]

złożona z wektorów odpowiadających zmiennym i .

Zatem w odpowiadającym tej bazie rozwiązaniu bazowym zmienne

wtórne

Stąd otrzymujemy

a więc i .

Rozwiązaniem bazowym dla powyższej bazy jest zatem

Rozwiązanie powyższe można otrzymać natychmiast z równania

(5), znajdując uprzednio macierz odwrotną

[

]

Podstawiając do (5) otrzymujemy

[

] [

] [ ] [

]

Jeśli jednak przyjmiemy inną bazę układu, złożoną z pierwszej i

trzeciej kolumny macierzy , tzn.

[

]

to zmiennymi wtórnymi będą wtedy , skąd

a więc i

i rozwiązanie bazowe to

Ponieważ można zauważyć, że każde dwie kolumny macierzy

danego układu równań są liniowo niezależne, więc można wyróżnić

( ) różnych baz zbioru wektorów macierzy , a zatem 6

różnych rozwiązań bazowych.

Zbiory wypukłe

Definicja – zbiór wypukły

Zbiór C nazywamy wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy każda

wypukła kombinacja liniowa dowolnej liczby punktów tego zbioru

również należy do tego zbioru.

Definicja – punkt wierzchołkowy

Punktem wierzchołkowym zbioru wypukłego C nazywamy taki punkt,

którego nie da się przedstawić jako wypukłą kombinację liniową

dwóch innych różnych punktów zbioru C.

Definicja – zbiór wielościenny wypukły

Zbiorem wielościennym wypukłym nazywamy przecięcie skończonej

liczby półprzestrzeni domkniętych postaci:

których hiperpłaszczyzny generujące nie przechodzą

wszystkie przez ten sam punkt:

Zbiór wielościenny wypukły

Definicja – wielościan wypukły

Wielościanem wypukłym nazywamy zbiór wielościenny wypukły

ograniczony.

Twierdzenie

Jeżeli zbiór jest wielościanem wypukłym, to każdy jego punkt da się

przedstawić jako wypukłą kombinację liniową punktów

wierzchołkowych tego wielościanu.

Wniosek

Wielościan wypukły jest zbiorem wypukłym ograniczonym o

skończonej liczbie punktów wierzchołkowych.

Twierdzenie

Zbiór rozwiązań układu jest zbiorem wielościennym

wypukłym, a jeśli jest ograniczony, to jest wielościanem wypukłym.

Własności problemów PL (w postaci standardowej)

Twierdzenie

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu PL jest zbiorem

wielościennym wypukłym, a jeśli jest ograniczony, to jest

wielościanem wypukłym.

Definicja – rozwiązanie dopuszczalne bazowe

Rozwiązanie bazowe układu ograniczeń spełniających

warunek brzegowy nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym

bazowym.

Twierdzenie

Istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (1:1) pomiędzy

rozwiązaniami dopuszczalnymi bazowymi układu równań , a

punktami wierzchołkowymi zbioru rozwiązań dopuszczalnych .

Twierdzenie

Jeżeli problem PL nie jest sprzeczny i funkcja celu jest ograniczona

z góry (maksimum) na zbiorze , to rozwiązanie optymalne

problemu leży w co najmniej jednym punkcie wierzchołkowym zbioru

rozwiązań dopuszczalnych .

Twierdzenie

Jeżeli problem PL ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne to

każda wypukła kombinacja tych rozwiązań jest również

rozwiązaniem optymalnym.

Wniosek

Jeżeli rozwiązań optymalnych jest więcej niż jedno, to jest ich

nieskończenie wiele.

Podsumowanie

Rozwiązań optymalnych problemu PL należy szukać wśród

dopuszczalnych rozwiązań bazowych układu ograniczeń .

Niestety w ogólności rozwiązań dopuszczalnych bazowych może

być maksymalnie tyle, ile różnych baz, czyli (

). Wyklucza to

możliwość przeszukania wszystkich rozwiązań dopuszczalnych

bazowych dla większych rozmiarów problemu. Stąd potrzebny jest

efektywny algorytm rozwiązywania problemu PL, który nie

przeszukuje wszystkich rozwiązań dopuszczalnych bazowych.