PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE - Wydział Informatyki Politechniki...

PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

dr hab. inż. Małgorzata Sterna

[email protected]

www.cs.put.poznan.pl/msterna/

PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE

Prostokąt łaciński o wymiarze pq o elementach ze zbioru

{1, 2, ..., n} to macierz o wymiarze pq o elementach

wybranych ze zbioru {1, 2, ..., n}, w której w żadnym wierszu i w

żadnej kolumnie elementy nie powtarzają się.

134

251 prostokąt łaciński o wymiarze 23

ze zbioru {1,2,3,4,5}

132

321

213kwadrat łaciński o wymiarze 33

Kwadrat łaciński o wymiarze nn (p=q=n) to prostokąt łaciński,

w którym każdy wiersz i kolumna składa się z dokładnie n

elementów.

© Małgorzata Sterna

2

Matematyka Dyskretna

ZASTOSOWANIA PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH

Określ sposób przeprowadzenia testów 4 prototypowych

produktów {A, B, C, D} na 4 specjalistycznych maszynach

{1, 2, 3, 4} w ciągu 4 dni roboczych {P, W, Ś, C}.

Każdy pełen plan testów jest kwadratem łacińskim 44, np.:

21536

42153

74361

C

B

A

PCŚWP

1234

2143

3412

4321

D

C

B

A

CŚWP

Inne plany opisują prostokąty łacińskie, np. 35 ze zbioru

{1,2,...,7}:


3


PROBLEMATYKA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH

Rozszerzanie prostokątów łacińskich do kwadratów łacińskich

321

256

165

152643

623514

516432

465321

341256

234165

3412

1234

2143

4321

vs

1234

2143

3412

4321

)3,1()4,2()1,3()2,4(

)1,2()2,1()3,4()4,3(

)2,3()1,4()4,1()3,2(

)4,4()3,3()2,2()1,1(

Ortogonalność kwadratów łacińskich


4


POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH

Kwadrat łaciński jest w postaci podstawowej, jeśli jego pierwszy

wiersz ma postać (1, 2, ..., n).

32415

43152

51243

24531

15324

32154

13542

45213

21435

54321

Kwadrat łaciński można sprowadzić do postaci podstawowej

poprzez przemianowanie symboli.


5


POSTAĆ PODSTAWOWA KWADRATÓW ŁACIŃSKICH -

PRZYKŁAD

© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna

6

32415

43152

51243

24531

15324

1 5

4 1 5 4

32115

13152

51213

21531

15321

32114

13142

41213

21431

14321

32114

13142

41213

21431

14321

32154

13542

45213

21435

54321

ROZSZERZANIE PROSTOKĄTÓW ŁACIŃSKICH

Czy następujący prostokąt 24 można rozszerzyć do kwadratu

łacińskiego 44?

1243

3412

2134

4321

4315

2153

5431

Czy następujący prostokąt 34 można rozszerzyć do kwadratu

łacińskiego 55?

2134

4321tak

nie

...............

...............

24315

...2153

25431


7


ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn

Twierdzenie 1

Każdy prostokąt łaciński wymiaru pn

o elementach ze zbioru {1, ..., n}

może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego

wymiaru nn.

pn nn


8


DOWÓD TWIERDZENIA 1

L - prostokąt łaciński pn, p<n

p+1

i

n

L p

aiAi

IAIi

i}n,...,2,1{I

Ai - zbiór liczb ze zbioru {1,...,n} nie występujących w kolumnie i

jeśli rodzina A={A1, A2, ..., An} ma transwersalę, to L można

rozszerzyć o dodatkowy wiersz (p+1) zbudowany z tej

transwersali

dowód sprowadza się do wykazania, że rodzina A posiada

transwersalę, czyli zgodnie z twierdzeniem Halla musi zachodzić

© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna

ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn

dowód Twierdzenia 1 przedstawia procedurę rozszerzania

prostokąta pn do kwadratu nn

p+1

i

n

L p

aiAi

prostokąt jest rozszerzany wiersz po wierszu

w danym kroku należy:

wyznaczyć rodzinę zbiorów kandydatów do dołączenie w

każdej z kolumn A={A1, A2, ..., An}

znaleźć transwersalę rodziny A, która określa elementy

nowego wiersza


10


ROZSZERZANIE PROSTOKĄTA pn DO KWADRATU nn - PRZYKŁAD

Plan testów p produktów na n stanowiskach w ciągu n dni należy

rozszerzyć do planu dla n produktów.

43215

35421

pro

dukt

dzień stanowisko

24153

12534

51342

43215

35421

pro

dukt

dzień stanowisko


11


pro

dukt

dzień stanowisko

43215

35421

w celu wygenerowania dodatkowego wiersza, należy wyznaczyć

różnych reprezentantów (transwersalę) zbiorów elementów, które

nie zostały dotychczas uwzględnione w kolumnie – Ai, 1i5:

A1={2,3,4} A2= {3,4,5} A3= {1,3,5} A4= {1,2,4} A5= {1,2,5}

51342

43215

35421


12


w analogiczny sposób następuje rozszerzenie prostokąta o

kolejny wiersz

12534

51342

43215

35421

51342

43215

35421

A1={3,4} A2= {3,5} A3= {1,5} A4= {2,4} A5= {1,2}


13


ostatni wiersz zostaje utworzony z elementów dotychczas nie

uwzględnionych w kolumnach

24153

12534

51342

43215

35421

12534

51342

43215

35421

A1={3} A2= {5} A3= {1} A4= {4} A5= {2}


14


ROZSZERZENIA PROSTOKĄTA ŁACIŃSKIEGO pq

DO KWADRATU nn

rozszerzenie wymaga dodania kolumn i wierszy

n

n

n-q

L’ p

q

L

nqp)i(Ln,...,2,1i

niech L(i) oznacza liczbę wystąpień

liczby i w obszarze L

każdy element kwadratu nn musi

występować w każdym wierszu, tym

samym musi występować p razy w p

górnych wierszach obszaru L L’

każdy element i musi występować w

obszarze L’ p-L(i) razy

obszar L’ ma n-q kolumn, w których należy rozmieścić p-L(i) wystąpień

poszczególnych elementów i, czyli musi zachodzić: p-L(i) n-q

Warunek konieczny i dostateczny

rozszerzenia prostokąta łacińskiego L

o wymiarze pq do kwadratu nn


15


Twierdzenie 2

Prostokąt łaciński L o wymiarze pq

o elementach ze zbioru {1,...,n}

może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego o wymiarze nn

wtedy i tylko wtedy,

gdy L(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i w L

spełnia warunek:

nqp)i(Ln,...,2,1i


16



DO KWADRATU nn

DOWÓD TWIERDZENIA 2

Dowód Twierdzenia 2 oparty jest o:

transwersalową postać Twierdzenia Halla,

twierdzenie o istnieniu transwersali zawierającej zbiór P,

własność prostokątów łacińskich.


17


dowód Twierdzenia 2 przedstawia procedurę rozszerzania prostokąta

pq do kwadratu nn

transwersala zawierająca zbiór P={i: 1in L(i)=p+q-n} pozwala

rozszerzyć prostokąt L o wymiarze pq do prostokąta L’ o wymiarze

p(q+1)

nowy prostokąt L’ nadal posiada własność: n)1q(p)i('Ln,...,2,1i

fakt ten umożliwia iteracyjne zastosowanie procedury, aż do otrzymania prostokąta

o wymiarze pn

następnie na mocy Twierdzenia 1 prostokąt pn może być rozszerzony do

kwadratu nn

iP L(i)=p+q-n

L’(i)=L(i)+1 L’(i)=(p+q-n)+1 =p+(q+1)-n ≥ p+(q+1)-n

iP L(i)>p+q-n

L’(i)≥L(i) L’(i) ≥ L(i) > p+q-n L’(i) ≥ p+(q+1)-n


18



DO KWADRATU nn

1. rozszerzenie prostokąta pq do prostokąta pn

(w oparciu o Twierdzenie 2) 1. pq

2. 2. rozszerzenie prostokąta pn do kwadratu nn

(w oparciu o Twierdzenie 1)


19


PRZYKŁAD

321

256

165 p=3

q=3

n=6

5321

1256

4165

i 1 2 3 4 5 6

L(i) 2 2 1 0 2 2

p+q-n=3+3-6=0

P={i:1i6L(i)=0}={4}

Rozszerzanie prostokąta 33 o elementach ze zbioru {1,2,...,6}

do prostokąta 36

w nowej kolumnie muszą być

umieszczone elementy ze zbioru

P={i:1i6L(i)=p+q-n}

321

256

165 A1={2,3,4}

A2={1,3,4}

A3={4,5,6}

szukamy transwersali zawierającej P={4}


20


p=3

q=4

n=6

i 1 2 3 4 5 6

L(i) 3 2 1 1 3 2

p+q-n=3+4-6=1

P={i:1i6L(i)=1}={3,4}

w nowej kolumnie muszą być

umieszczone elementy ze zbioru

P={i:1i6L(i)=p+q-n}

A1={2,3}

A2={3,4}

A3={4,6}

szukamy transwersali zawierającej P={3,4}

5321

1256

4165

5321

1256

4165

65321

41256

34165


21


465321

341256

234165

152643

623514

516432

465321

341256

234165

465321

341256

234165

ostatnia kolumna jest tworzona w sposób jednoznaczny

65321

41256

34165 A1={2}

A2={3}

A3={4}

rozszerzenie prostokąta o wymiarze 36 do kwadratu 66 odbywa

się na mocy Twierdzenia 1


22


ORTOGONALNOŚĆ KWADRATÓW ŁACIŃSKICH

Dwa kwadraty łacińskie L=(lij)nn i M=(mij)nn są

ortogonalne

jeśli wszystkie n2 par (lij,mij) dla 1 i, j n

jest różne.

tablica par liczb stworzona z dwóch ortogonalnych kwadratów łacińskich, ((lij,mij))nn, nazywana jest:

kwadratem grecko-łacińskim

lub

kwadratem Eulera


23


PRZYKŁAD

1234

2143

3412

4321

D

C

B

A

CŚWP

sam

ochód

sam

ochód

dzień dzień

)3,1()4,2()1,3()2,4(

)1,2()2,1()3,4()4,3(

)2,3()1,4()4,1()3,2(

)4,4()3,3()2,2()1,1(

D

C

B

A

C Ś W Psam

ochód

dzień

paliwo biokomponent

Plan testów wszystkich

możliwych kombinacji par

paliwo-biokomponent

(paliwo, biokomponent)

3412

1234

2143

4321

D

C

B

A

CŚWP


24


PROBLEM EULERA (PROBLEM 36 OFICERÓW)

Na defiladzie każdy z 6 regimentów jest reprezentowany przez 6 oficerów

w 6 różnych rangach.

Czy można ustawić oficerów w równobok 66, tak aby w żadnym rzędzie i

kolumnie nie powtarzał się reprezentowany regiment ani ranga?

pytanie postawione przez Eulera w 1782 roku to pytanie o istnienie

ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze 66

odpowiedź negatywną w 1900 roku udzielił Tarcy


25


TWIERDZENIE BOSEGO-SHRIKHANDE-PARKERA (1960)

Dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich n,

n2,

n6,

istnieją pary ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn.


26


TWIERDZENIE 3

Dla dowolnego n>1 istnieje co najwyżej n-1 wzajemnie

ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze nn.

Ponadto można dowieść, że:

Jeśli n jest liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej,

to istnieje dokładnie n-1 wzajemnie orogonalnych kwadratów

łacińskich o wymiarze nn.


27


DOWÓD TWIERDZENIA 3 niech L1, L2, ..., Lq oznacza q różnych ortogonalnych kwadratów

łacińskich o wymiarze nn w postaci podstawowej

nj1 j l kj1

qk1

qk1 ,nj,i1 ) l(L kijk

)l,l()l,l( jll 212121 kj1

kj1

k21

k21

k21

k21

knn

k2n

k1n

kn2

k22

k21

l...ll

............

l...ll

n...21

kwadraty są w postaci podstawowej, więc

kolejne elementy lk21 kwadratów 1≤k≤q mogą przyjąć tylko wartości

różne od 1, czyli ze zbioru {2,...,n}

każdy z kwadratów musi mieć inną wartość lk21, aby były one

wzajemnie ortogonalne

w przeciwnym wypadku dla pewnej pary kwadratów k1, k2

ponieważ istnieje n-1 możliwych wartości lk21 tym samym

istnieje co najwyżej n-1 wzajemnie ortogonalnych kwadratów o

wymiarze nn (qn-1)


28


PRZYKŁAD Istnieją 3 wzajemnie ortogonalne kwadraty łacińskie wymiaru 44

(n=4=22 istnieją (n-1)=3 wzajemnie ortogonalne kwadraty 44)

1234

2143

3412

4321

3412

1234

2143

4321

2143

3412

1234

4321

)3,1()4,2()1,3()2,4(

)1,2()2,1()3,4()4,3(

)2,3()1,4()4,1()3,2(

)4,4()3,3()2,2()1,1(

)2,3()1,4()4,1()3,2(

)3,1()4,2()1,3()2,4(

)1,2()2,1()3,4()4,3(

)4,4()3,3()2,2()1,1(

)2,1()1,2()4,3()3,4(

)3,2()4,1()1,4()2,3(

)1,3()2,4()3,1()4,2(

)4,4()3,3()2,2()1,1(


29


PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE - Wydział Informatyki Politechniki...

Documents

Transcript of PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE - Wydział Informatyki Politechniki...