Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±ci toryczne -

geometria, algebra, kombinatoryka

Mateusz Michaªek

Polska Akademia Nauk

Horizons in mathematics

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Plan

1 Rozmaito±ci

Rozmaito±¢ w geometrii

Rozmaito±ci algebraiczne

2 Rozmaito±ci toryczne

De�nicje i motywacje

Geometria dyskretna

Zwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

3 Przykªad zastosowa«

Filogenetyka

4 Podsumowanie

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci

Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.

Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.

W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...

Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.

Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci

Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.

Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.

W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...

Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.

Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci

Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.

Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.

W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...

Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.

Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci

Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.

Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.

W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...

Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.

Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci

Rozmaito±ci s¡ podstawowymi obiektami geometrycznymi w matematyce.Poj¦cie rozmaito±ci pozwala opisywa¢ ksztaªty, bez opisywania ich zanurze«w otaczaj¡cej przestrzeni.

Rozmaito±ci powstaj¡ poprzez sklejenie dobrze znanych obiektówzanurzonych.

W zale»no±ci od naszych preferencji matematycznych mo»emy bada¢rozmaito±ci algebraiczne, topologiczne, ró»niczkowe...

Od pocz¡tków XX wieku j¦zyk rozmaito±ci staª si¦ dominuj¡cy wgeometrii i jest u»ywany do opisu obiektów takich jak wszche±wiat,krzywa czy ogóª prostych w przestrzeni czterowymiarowej.

Jestem geometr¡ algebraicznym, wi¦c wykªad b¦dzie o rozmaito±ciachalgebraicznych. Wi¦kszo±¢ przykªadów b¦dzie dotyczyªa rozmaito±cizanurzonych, wi¦c nie nale»y si¦ (za bardzo) ba¢.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci algebraiczne

Geometria algebraiczna zajmuje si¦ badaniem wªasno±ci geometrycznychzer wielomianów (czyli zwi¡zkami algebry z geometri¡).

De�nicja (A�niczna rozmaito±¢ algebraiczna)

Rozmaito±¢ a�niczna to zbiór zer (rozwi¡za«) wielomianów w pewnych

(by¢ mo»e wielu!) zmiennych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Rozmaito±ci algebraiczne

Geometria algebraiczna zajmuje si¦ badaniem wªasno±ci geometrycznychzer wielomianów (czyli zwi¡zkami algebry z geometri¡).

De�nicja (A�niczna rozmaito±¢ algebraiczna)

Rozmaito±¢ a�niczna to zbiór zer (rozwi¡za«) wielomianów w pewnych

(by¢ mo»e wielu!) zmiennych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªady rozmaito±ci algebraicznych

Rozmaito±ci zadane równaniami

Parabola

y − x2 = 0Ostrze

y3 − x2 = 0

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªady rozmaito±ci algebraicznych

Rozmaito±ci zadane równaniami

Parabola

y − x2 = 0

Ostrze

y3 − x2 = 0

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªady rozmaito±ci algebraicznych

Rozmaito±ci zadane równaniami

Parabola

y − x2 = 0Ostrze

y3 − x2 = 0Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Parametryzacja

W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.

Parabola

t→ (t1, t2)

Ostrze

t→ (t3, t2)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Parametryzacja

W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.

Parabola

t→ (t1, t2)

Ostrze

t→ (t3, t2)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Parametryzacja

W wielu przypadkach rozmaito±¢ mo»emy zada¢ poprzez parametryzacj¦.

Parabola

t→ (t1, t2)

Ostrze

t→ (t3, t2)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?

Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Jak przedstawia¢ rozmaito±ci algebraiczne

Mamy kilka sposobów

Rysunek (odradzam powy»ej wymiaru 3)

Zera wielomianów - najbardziej klasyczna i rozwini¦ta metoda

Parametryzacja - najcz¦±ciej pojawiaj¡ca si¦ w zastosowaniachmatematyki

Jak znajdowa¢ równania opisuj¡ce parametryzowan¡ rozmaito±¢?Jakie zale»no±ci speªniaj¡ funkcje parametryzuj¡ce?

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªad:

Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?

x0x2 = x21,

x0x3 = x1x2,

x1x3 = x22.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªad:

Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?

x0x2 = x21,

x0x3 = x1x2,

x1x3 = x22.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªad:

Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?

x0x2 = x21,

x0x3 = x1x2,

x1x3 = x22.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªad:

Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?

x0x2 = x21,

x0x3 = x1x2,

x1x3 = x22.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Przykªad:

Rozwa»my trzecie zanurzenie Veronese prostej rzutowej:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Jakie równania zeruj¡ si¦ na obrazie?

x0x2 = x21,

x0x3 = x1x2,

x1x3 = x22.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.

Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Rozmaito±¢ w geometriiRozmaito±ci algebraiczne

Ideaªy

Je±li dwa wielomiany f, g zeruj¡ si¦ na rozmaito±ci, to:

zeruje si¦ tak»e ich suma f + g,

dla dowolnego wielomianu h, zeruje si¦ tak»e iloczyn hf .

Podzbiór wielomianów zamkni¦tych ze wzgl¦du na sum¦ i mno»enie przezdowolny wielomian nazywamy ideaªem.Zauwa»my, »e fn ma taki sam zbiór zer jak f .

Twierdzenie (Twierdzenie Hilberta o zerach, Nullstellensatz)

Nad ciaªem algebraicznie domkni¦tym mamy wzajemn¡ odpowiednio±¢

pomi¦dzy rozmaito±ciami algebraicznymi, a ideaªami radykalnymi, tzn.

takimi ideaªami I, »e f ∈ I ⇔ fn ∈ I.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Rozmaito±ci toryczne

Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...

Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)

Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.

(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory

przykªady byªy tej postaci.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)

Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której

dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Rozmaito±ci toryczne

Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)

Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.

(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory

przykªady byªy tej postaci.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)

Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której

dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Rozmaito±ci toryczne

Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)

Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.

(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory

przykªady byªy tej postaci.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)

Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której

dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Rozmaito±ci toryczne

Jest pewna klasa rozmaito±ci algebraicznych dla których wiele trudnychpyta« staje si¦ prostych...Pojawiaj¡ si¦ one zaskakuj¡co cz¦sto zarówno w matematyce stosowanejjak i teoretycznej.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna - wersja dla dzieci)

Rozmaito±¢ toryczna to domkni¦cie odwzorowania zadanego jednomianami.

(Jednomian to iloczyn zmiennych) Wszystkie prezentowane do tej pory

przykªady byªy tej postaci.

De�nicja (Rozmaito±¢ toryczna 18+)

Rozmaito±¢ toryczna to (normalna) rozmaito±¢ algebraiczna, na której

dziaªa torus algebraiczny (C∗)n, przy czym jedna z orbit jest g¦sta.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od...

Newtona

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

t→ (t1, t2) t→ (t3, t2)

'The world is continuous, but the mind is discrete.'

David Mumford

Rozmaito±¢ parametryzowan¡ jednomianami w n zmiennych

reprezentujemy za pomoc¡ punktów w kracie Zn, pami¦taj¡c jedynie

wykªadniki.

Geometria toryczna rozwin¦ªa si¦ w latach '80. Czoªowi matematycy w

reprezentuj¡cy t¦ dziedzin¦ to Oda, Fulton, Sturmfels, Cox.

Pomysª badania zwi¡zków ustawienia punktów w kracie z wªasno±ciami

wielomianów pochodzi od... NewtonaMateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡

Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych

Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)

Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡

Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych

Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)

Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡

Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych

Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)

Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡

Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych

Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)

Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Dlaczego rozmaito±ci toryczne s¡ ciekawe?

Ciekawe i ªadne zwi¡zki z geometri¡ dyskretn¡

Mo»liwo±¢ obliczania (trudnych) niezmienników algebraicznych zapomoc¡ (ªatwiejszych) metod kombinatorycznych

Matematyka stosowana (równania ró»niczkowe, reakcje chemiczne,mutacje DNA, �zyka)

Zwi¡zki z innymi rozmaito±ciami (degeneracje toryczne, pokryciatoryczne)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z

geometri¡ dyskretn¡?

To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z

geometri¡ dyskretn¡?

To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru)

ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z

geometri¡ dyskretn¡?

To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.

′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Ale jakie s¡ te zapowiadane ªadne i ciekawe zwi¡zki z

geometri¡ dyskretn¡?

To mo»e troszeczk¦ na pocz¡tku bole¢, (mózg, z ewolucyjnego punktuwidzenia namawia nas do oszcz¦dzania cukru) ale tak jest jak si¦ chcemynauczy¢ czego± nowego.′Nie wa»ne czego si¦ uczymy. Wa»ne, aby nie byªo to ogólnie znane i byªoodpowiednio trudne′ (o matematyce)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Wielo±ciany i sto»ki

De�nicja

Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni

wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡

zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do

punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢

jako przeci¦cie póªprzestrzeni.

Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych

sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).

Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.

Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.

Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Wielo±ciany i sto»ki

De�nicja

Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni

wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡

zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do

punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢

jako przeci¦cie póªprzestrzeni.

Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych

sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).

Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.

Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.

Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Wielo±ciany i sto»ki

De�nicja

Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni

wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡

zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do

punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢

jako przeci¦cie póªprzestrzeni.

Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych

sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).

Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.

Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.

Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Wielo±ciany i sto»ki

De�nicja

Wielo±cian to powªoka wypukªa sko«czonej liczby punktów w przestrzeni

wektorowej (np. kwadrat). Na tym wykªadzie wierzchoªki wielo±cianu b¦d¡

zawsze punktami caªkowitymi, a nasze zainteresowania ogranicz¡ si¦ do

punktów caªkowitych w wielo±cianie. Równowa»nie, wielo±cian mo»na zada¢

jako przeci¦cie póªprzestrzeni.

Sto»ek (dla nas) to ogóª kombinacji nieujemnych kombinacji liniowych

sko«czonej liczby punktów (np. dodatnia ¢wiartka).

Wielo±ciany i sto»ki s¡ ±ci±le zwi¡zane.

Maj¡c sto»ek mo»emy go przeci¡¢ hiperpªaszczyzn¡ otrzymuj¡cwielo±cian.

Maj¡c wielo±cian mo»emy umie±ci¢ go w przestrzeni i wzi¡¢ sto»ek nadnim.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Chcemy co± fajnego, bo za±niemy

We¹my dowolny wielo±cian P (o wierzchoªkach w punktachcaªkowitych).

Wielo±cian ten ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(1).

Rozwa»my (naturaln¡) wielokrotno±¢ naszego wielo±cianu nP .

Wielokrotno±¢ ma pewn¡ liczb¦ punktów caªkowitych f(n).

Funkcja f jest wielomianem (Hilberta-Ehrharta)!

�atwe ¢wiczenie: wykaza¢, »e wspóªczynnik wiod¡cy to (volP )ndimP .

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek

Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡

sto»ek

który mo»e mie¢ 'luki'

.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek

Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡ sto»ek

który mo»e mie¢ 'luki'

.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przedstawienie rozmaito±ci torycznej jako sto»ek

Caªkowite dodatnie kombinacje wykªadników jednomianówparametryzuj¡cych rozmaito±¢ toryczn¡ generuj¡ sto»ek

który mo»e mie¢ 'luki'

.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Zwi¡zki

Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:

1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci

2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka

18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej

21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Zwi¡zki

Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:

1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci

2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka

18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej

21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Zwi¡zki

Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:

1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci

2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka

18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej

21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Zwi¡zki

Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:

1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci

2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka

18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej

21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Zwi¡zki

Geometryczne wªasno±ci rozmaito±ci odpowiadaj¡ kombinatorycznymwªasno±ciom sto»ków:

1 'Luki' ±wiadcz¡ o (rodzaju) osobliwo±ci

2 Wymiar rozmaito±ci to wymiar sto»ka

18+ Wielomian Hilberta-Ehrharta wielo±cianu b¦d¡cego ci¦ciem sto»ka, towielomian Hilberta stowarzyszonej rozmaito±ci rzutowej

21+ Mo»na bada¢ obiekty takie jak: grupa Picarda, grupa klas, miejscegeometryczne i rodzaj osobliwo±ci, deformacje, kohomologie wi¡zekliniowych, grupy podstawowe, orbity dziaªa« torusa, równania zadaj¡cerozmaito±¢ - za pomoc¡ metod kombinatoryczych.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad:

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Otrzymujemy cztery punkty:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad:

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Otrzymujemy cztery punkty:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad:

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Otrzymujemy cztery punkty:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad:

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Otrzymujemy cztery punkty:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).

[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad:

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

Otrzymujemy cztery punkty:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Mamy wi¦c do czynienia z jednowymiarowym wielo±cianem, który rozpinadwuwymarowy sto»ek. Odpowiada to temu, i» parametryzowana rozmaito±¢(a�niczna) jest dwuwymiarowa, (a stowarzyszona rozmaito±¢ rzutowa jestjednowymiarowa).[18+] Obj¦to±¢ wielo±cianu to 3. Wynika st¡d, »e wspóªczynnik przyczynniku wiod¡cym wielomianu Hilberta to 3. Wspóªczynnik ten to takzwany stopie« rozmaito±ci, czyli liczba punktów któr¡ otrzymujemyprzecinaj¡c rozmaito±¢ z generyczn¡ podprzestrzeni¡ kowymiaru równegowymiarowi rozmaito±ci.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:

(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).

Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.

α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.

Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.

y1y23 = y2y4y5

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:

(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).

Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.

Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.

α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.

Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.

y1y23 = y2y4y5

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:

(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).

Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.

Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.

α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.

Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.

y1y23 = y2y4y5

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:

(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).

Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.

α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.

Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.

y1y23 = y2y4y5

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

Rozwa»my parametryzacj¦ dowolnej rozmaito±ci algebraicznej:

(x1, . . . , xn)→ (xα1 , . . . , xαk).

Tutaj αi to n-tki liczb caªkowitych.Zgodnie z poprzednimi slajdami αi jest punktem w kracie Zn.Punkty te mog¡ speªnia¢ zale»no±ci liniowe, np.

α1 + 2α3 = α2 + α4 + α5.

Ka»dej zale»no±ci liniowej odpowiada dwumian (ró»nica dwóchjednomianów) w zmiennych z kodziedziny odwzorowania, np.

y1y23 = y2y4y5

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.

Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)

Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡

liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy

punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.

Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.

Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)

Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡

liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy

punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.

Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Jak interpretowa¢ równania?

�atwo pokaza¢, »e dwumian zeruje si¦ na rozmaito±ci wtedy i tylko wtedy,gdy odpowiadaj¡ce wykªadniki speªniaj¡ dan¡ zale»no±¢ liniow¡.

Twierdzenie (Dobre ¢wiczenie!)

Dowolne równanie zeruj¡ce si¦ na rozmaito±ci torycznej, jest kombinacj¡

liniow¡ dwumianów pochodz¡cych od zale»no±ci liniowych pomi¦dzy

punktami w kracie odpowiadaj¡cymi parametryzuj¡cym wykªadnikom.

Zamienili±my wi¦c (bardzo trudny) problem badania relacji pomi¦dzywielomianami na (prostszy) problem badania zale»no±ci liniowych pomi¦dzypunktami.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?

(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21

(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22

(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

Jakie s¡ relacje pomi¦dzy nimi?(3, 0) + (1, 2) = 2(2, 1) odpowiadaj¡ca równaniu x0x2 = x21(2, 1) + (0, 3) = 2(1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x1x3 = x22(3, 0) + (0, 3) = (2, 1) + (1, 2) odpowiadaj¡ca równaniu x0x3 = x1x2

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?

Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

De�nicje i motywacjeGeometria dyskretnaZwi¡zki rozmaito±ci torycznych z wielo±cianami

Przykªad

Wró¢my do przykªadu Veronese:

(a, b)→ (a3, a2b, ab2, b3)

i odpowiadaj¡cych czterech punktów:

(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

A co np. z równaniem x21x3 − x1x22 + 2x1x2x3 − 2x32?Jest ono równe (x3(x0x2 − x21))− x2(x0x3 − x1x2) + 2x2(x1x3 − x22).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model

→ rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Filogenetyka

T � drzewo ↔ model ewolucji

Wierzchoªki ↔ gatunki

Kraw¦dzie ↔ mutacje

T◦

+ W model → rozmaito±¢ algebraiczna X(T, W )

Model to pewna wyró»niona podprzestrze« dopuszczonych parametrówmutacji

Parametry mutacji mog¡ mie¢ symetrie (model Neyman-Felsenstein,modele Kimura)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaka rozmaito±¢ algebraiczna?

◦[a1 a2a2 a1

]��

[b1 b2b2 b1

]��· ·

ψ : (λ0, λ1, a1, a2, b1, b2)→

(λ0a1b1 + λ1a2b2, λ0a1b2 + λ1a2b1, λ0a2b1 + λ1a1b2, λ0a2b2 + λ1a1b1).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Modele �logenetyczne

Model Jukes-Cantor (Cavender-Farris-Neyman) (matematycznieodpowiadaj¡cy grupie S2 = Z2):[

a bb a

].

Model 3-Kimura model (matematycznie odpowiadaj¡cy grupieZ2 × Z2):

a b c db a d cc d a bd c b a

.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Modele �logenetyczne

Model Jukes-Cantor (Cavender-Farris-Neyman) (matematycznieodpowiadaj¡cy grupie S2 = Z2):[

a bb a

].

Model 3-Kimura model (matematycznie odpowiadaj¡cy grupieZ2 × Z2):

a b c db a d cc d a bd c b a

.

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Model Jukes-Cantor

◦[a1 a2a2 a1

]��

[b1 b2b2 b1

]��· ·

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany!

Czy»by?Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?

Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.

Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?

Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.

Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?

Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.

Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Filogenetyka

Jaki to ma zwi¡zek z rozmaito±ciami torycznymi?

ψ : (a1, a2, b1, b2)→

(a1b1 + a2b2, a1b2 + a2b1, a2b1 + a1b2, a2b2 + a1b1)

Przecie» to nie s¡ jednomiany! Czy»by?

Istnieje sztuczuka, która nazywa si¦ dyskretn¡ transformacj¡ Fouriera.Polega ona na zastosowaniu dwóch automor�zmów: jednego w dziedzinie,jednego w przeciwdziedzinie.

Automor�zm przeciwdziedziny:

(x0, x2) = (x0 + x2, x0 − x2)

Nowa parametryzacja to:

(a1 + a2)(b1 + b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1− a2)(b1− b2), (a1 + a2)(b1 + b2)

A to ju» s¡ jednomiany w zmiannych (a1 + a2, a1 − a2, b1 + b2, b1 − b2).Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Ogólne rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.

Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych

Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)

(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Ogólne rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.

Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych

Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)

(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Ogólne rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.

Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych

Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)

(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Ogólne rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ci toryczne s¡ specy�cznymi rozmaito±ciami algebraicznymi.

Posiadaj¡ ªadne wªasno±ci i dzi¦ki zwi¡zkom ze sto»kami iwielo±cianami mo»na je bada¢ za pomoc¡ metod kombinatorycznych

Tematyka rozmaito±ci torycznych jest baaaardzo szeroka (odzaawansowanych pyta« teoretycznych dotycz¡cych kategoriipochodnych, przez bardzo konkretne pytania dotycz¡ce strukturykombinatorycznej, po pytania inspirowane zastosowaniami matematyki)

(O czym nie mówiªem) Tak jak ogóln¡ rozmaito±¢ algebraiczn¡otrzymujemy sklejaj¡c rozmaito±ci zanurzone, tak sto»ki mo»emyskleja¢ otrzymuj¡c tak zwany wachlarz, reprezentuj¡cy ogóln¡rozmaito±¢ toryczn¡ (niekoniecznie zanurzon¡)

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne

Rozmaito±ciRozmaito±ci torycznePrzykªad zastosowa«

Podsumowanie

Dzi¦kuj¦!

Mateusz Michaªek Rozmaito±ci toryczne