Rozdział 2 WYBRANE ZAGADNIENIA Z ZAKRESU MECHANIKI...
Transcript of Rozdział 2 WYBRANE ZAGADNIENIA Z ZAKRESU MECHANIKI...
16
Rozdział 2
WYBRANE ZAGADNIENIA Z ZAKRESU MECHANIKI KLASYCZNEJ
Ludzkie organizm składa się z kości i ich połączeń, które używamy w codziennym życiu do
przenoszenia własnego ciała i do wykonywania złożonych funkcji. Ponieważ kości są sztywnymi
bryłami i połączenia umożliwiają wykonanie prostych ruchów, ludzkie ciało może być opisane jako
system wielomasowy. Taki układ posiada bardzo złożone własności mechaniczne i mózg ludzki musi
o nich wiedzieć, aby nimi sterować. Zanim przeanalizuje się zasadę działania mózgu w sterowaniu
ruchem, należy zrozumieć te własności mechaniczne i to, w jaki sposób opisać je za pomocą równań
matematycznych, uwzględniając wewnętrzne i zewnętrzne siły działające na ludzkie ciało oraz skutki
wywołane przez te siły [18].
2.1. Podstawowe wielkości fizyczne
Mechanika operuje szeregiem pojęć, zwanych pojęciami pierwotnymi, których w zasadzie nie
można zdefiniować. Współczesna nauka uważa jednak, że wielkość fizyczna jest zdefiniowana, jeżeli
potrafimy ją zmierzyć. Pojęcia pierwotne [26]:
- odległość x [m] – długość trasy, jaką pokonało ciało;
- przemieszczenie y [m] – odległość i kierunek. Jest to pomiar długości w prostej linii pomiędzy
pozycją początkową i końcową, czyli zmian pozycji;
- prędkość v [m/s] – przebyta odległość podzielona przez czas, w jakim została przebyta;
- przyspieszenie a [m/s2] – zmiana prędkości podzielona przez czas, w jakim ta zmiana nastąpiła.
Kiedy prędkość i przyspieszenie mają ten sam kierunek, to prędkość zwiększa się, natomiast kiedy
przyspieszenie i prędkość mają przeciwne kierunki, to ciało zwalnia;
- siła F [N, kg m/s2] – nadanie ciału przyspieszenia, zdeformowanie ciała lub oddziaływanie jednego
ciała na drugie (kontakt bezpośredni lub na odległość). Siłę można traktować, jako każdy wpływ,
który powoduje zmianę ruchu ciała lub zmianę jego kształtu. Siła jest wektorem związanym z
prostą;
- moment M [kg m/s] – wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły i
promienia;
- praca W [J, kg m2/s
2] – wynik iloczynu siły i przesunięcia. Jest wielkością skalarną. Ogólnie, pracę
można rozumieć, jako mechaniczną metodę zmiany energii. Zmiana energii jest równa pracy, jaką
wykonują siły nad obiektem;
- moc P [W, kg m2/s
3, J/s] – jest to praca wykonana w pewnym czasie.
17
2.2. Ruch
Ruch to zmiana położenia ciała w odniesieniu do innych ciał, zwanych ciałami odniesienia. Z
punktu widzenia kinematyki, za układ odniesienia można przyjąć każde ciało lub układ ciał. W
zagadnieniach technicznych układem odniesienia jest przeważnie Ziemia, traktowana jako układ
nieruchomy. W mechanice rozważa się ruch [26]:
a) posuwowy: prostoliniowy i krzywoliniowy;
b) obrotowy;
c) ogólny (posuwowy + obrotowy).
Mechanikę dzieli się na: kinematykę (opis i schemat ruchu), dynamikę (badanie sił, które powodują
ruch) oraz statykę (równowaga sił). Statyka jest badaniem sił działających na ciało znajdujące się w
spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym, czyli ze stałą prędkością. W statyce bada się
również zastępowanie jednego układu sił innym, równoważnym, w tym układem złożonym z jednej
siły i jednej pary sił, czyli redukcję do siły i momentu wypadkowego. Mimo, iż ciało ludzkie wciąż
przyspiesza, analiza statyczna umożliwia łatwe rozwiązywanie wielu problemów dla układu
szkieletowo-mięśniowego. Analiza taka może rozwiązać pewien dany problem lub być podstawą dla
bardziej skomplikowanej analizy dynamicznej. Matematycznie, statyka to równania wynikające z
bilansu sił i momentów sił.
Rozłączne traktowanie kinematyki i dynamiki ma przyczynę jedynie dydaktyczną, jako że
dynamika obejmuje swoim zakresem również kinematykę. Podstawowym zagadnieniem w
kinematyce jest identyfikacja położenia. Z położenia następnie wyznacza się pozostałe wielkości:
prędkość, przemieszczenie, przyspieszenie, drogę, itd. W kinematyce stosuje się głównie
różniczkowanie. Natomiast równania matematyczne w dynamice opierają się przede wszystkim na
rachunku całkowym oraz określeniu stałych całkowania na podstawie warunków brzegowych.
W statyce przeprowadza się analizę dwu- lub trójwymiarową [18,34]. Z analizy dwuwymiarowej
(1) wynika, że jeżeli ciało jest w spoczynku, to nie ma żadnej niezrównoważonej siły zewnętrznej.
FX=0 FY=0 MZ=0 (1)
Ta sytuacja zwana jest statyczną równowagą i suma wszystkich sił zewnętrznych działających na to
ciało musi być równa 0 (w sensie wektorowym suma sił zewnętrznych działających w kierunku środka
masy wynosi 0). Rozwinięciem tej analizy jest analiza trójwymiarowa:
FX=0 FY=0 FZ=0 (2)
MX=0 MY=0 MZ=0 (3)
gdzie: suma wszystkich momentów działających na ciało jest również równa 0.
Do obliczenia sił służą m. in. metody graficzne, używane zamiast typowych – analitycznych. Są
bardzo wygodne, ale coraz mniej popularne, gdyż wypierają je metody komputerowe. Metody
graficzne pozwalają skrócić czas obliczeń, co jest ważne z inżynierskiego punktu widzenia.
18
2.3. Kinematyka liniowa i kątowa
Kinematyka zajmuje się tylko ruchem, bez rozważania sił ruch ten wywołujących. W kinematyce
bada się zależności pomiędzy współrzędnymi punktu, zmieniającymi się w czasie, a jego prędkością i
przyspieszeniem. W kinematyce liniowej rozważany jest ruch postępowy, czyli tory ruchu wszystkich
punktów ciała są równoległe i mają w dowolnej chwili czasu jednakowe prędkości i przyspieszenia.
Można przyjąć uogólnienie, że badanie ruchu postępowego ciała sprowadza się do badania ruchu
jednego punktu ciała. Zaletą kinematyki jest łatwość analizy za pomocą zautomatyzowanego systemu
analizy, jak też dokładność, łatwa do określenia. Ponadto, nie wymaga ona dostarczenia wielu
informacji. Jednak posiada również wadę, a mianowicie, opisuje jedynie ruch bez uwzględnienia sił
ten ruch wywołujących.
2.3.1. Rachunek wektorowy
Biomechaniczne parametry mogą być reprezentowane jako skalary lub wielkości wektorowe.
Skalar to prosta reprezentacja za pomocą swojej wartości (np. masa, czas, długość). Rachunek
wektorowy powstał dla potrzeb mechaniki. Upraszcza on znacznie zapis matematyczny oraz ułatwia
zarówno rozważania teoretyczne, jak i rozwiązywanie zadań. Wektor jest ogólnie opisany za pomocą
wielkości, kierunku, zwrotu i punktu zaczepienia (np. siła, prędkość, przyspieszenie, moment).
Do analitycznego opisu badanych zjawisk stosuje się układy odniesienia. Najczęściej jest to układ
kartezjański, prawoskrętny dwu- lub trójwymiarowy, którego ortonormalną bazę tworzą wektory
jednostkowe (wersory) i, j, k, poprowadzone z początku układu współrzędnych 0 (Rys.2.1-2.2).
Położenie dowolnego punktu P w takim układzie, określa wektor wodzący r [26].
Rys. 2.1. Układ kartezjański [52]
19
Rys. 2.2. Reguła prawej ręki [53]
2.3.2. Trygonometria
Ponieważ kąty są tak ważne w analizie układu szkieletowo-mięśniowego, trygonometria jest
bardzo użytecznym narzędziem biomechaniki. W badaniach klinicznych jednostką miar jest stopień
(3600 w okręgu) [18,34]. Funkcje trygonometryczne są bardzo użyteczne w biomechanice dla
rozkładania sił na ich komponenty za pomocą odniesienia kątów w stosunku do odległości w trójkącie,
a następnie do składania i obliczania wynikowych sił. Każda siła może być przestawiona jako wektor i
rozłożona na poziomy i pionowy komponent. Najważniejsze w trygonometrii są dwa twierdzenia [34]:
Twierdzenie cosinusów - służy do obliczenia katów względnych i jest użyteczne, gdy znana jest
długość segmentów. Twierdzenie cosinusów (wzór Carnota) brzmi (4): „W każdym trójkącie kwadrat
długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków minus podwojony
iloczyn długości tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi” [26].
(4)
Twierdzenie sinusów: opisane zależnością (5), brzmi następująco: „W dowolnym trójkącie stosunek
długości dowolnego boku do sinusa kąta mu przeciwległego jest równy średnicy okręgu opisanego na
trójkącie” [26].
(5)
2.3.3. Kinematyka kątowa
Czysto liniowy ruch całego obiektu występuje wtedy, gdy wszystkie punkty tego obiektu poruszają
się w tym samym kierunku. Jednak taki ruch nie pojawia się zbyt często w połączeniach układu
20
mięśniowo-szkieletowego. Bardziej powszechny jest ruch obrotowy, w którym jeden punkt na kości
pozostaje w spoczynku, a inne obracają się wokół niego (rys. 2.3). Dla analizy 3D punkty poruszają
się wokół osi obrotu. W kinematyce kątowej, ruch obrotowy jest opisany za pomocą współrzędnych
biegunowych, a większość równań jest analogiczna do kinematyki liniowej.
Rys. 2.3. Ruch obrotowy [54]
W kinematyce obrotowej bierze się pod uwagę następujące parametry:
1. pozycja [rad] – kąt, jaki tworzy odcinek łączący oś obrotu i punkt A z nieruchomą osią układu
odniesienia,
2. prędkość kątowa [rad/s],
3. przyspieszenie kątowe [rad/s2] – zmiana prędkości kątowej w jednostce czasu, zgodnie z regułą
prawej ręki. Relacja między prędkością liniową a kątową opisana jest zależnością (6).
v=*r (6)
2.4. Dynamika liniowa i kątowa
Dynamika jest działem biomechaniki, która zajmuje się ruchem, włączając siły jako jego
przyczyny. Dynamika opiera się na prawach Newtona, a w szczególności na drugim prawie (zwanym
prawem dynamiki). Dzieli się ją, podobnie jak kinematykę, na dynamikę punktu materialnego oraz
bryły [26].
W dynamice rozważane są dwa typy zadań [34]:
1) znając ruch punktu o danej masie należy znaleźć siły. Obliczenie sił działających na punkt
materialny o masie m, gdy dane są równania ruchu, polega na dwukrotnym zróżniczkowaniu tych
równań (obliczeniu przyspieszeń), a następnie podstawieniu pochodnych do różniczkowych
równań ruchu, otrzymując siły (dynamika odwrotna);
2) znając siły działające na punkt materialny o danej masie należy określić jego ruch. Wymagana jest
znajomość zmienności sił (dynamika wprost).
2.4.1. Dynamika liniowa
Podczas rozważania zagadnień dynamiki liniowej, najczęściej używa się takich parametrów, jak
[18,26,34]:
- masa m [kg] – reprezentuje ilość materii, z której złożone jest ciało;
21
- waga (ciężar) W [N] – reprezentuje siłę przyciągania pomiędzy ziemią a ciałem. Uproszczona
zależność między ciężarem a masą (7), (8):
W=m*g [N] (7)
g=G*m/l2 [m/s
2] (8)
gdzie G=6.67*10-11
Nm2/kg
2.
- siła F [N] - może być zdefiniowana jako zmienna, która powoduje zmianę ruchu obiektu,
przyspieszając lub opóźniając ten ruch.
Siły, czyli miara oddziaływań na ciało, dzielą się na [34]:
a) wewnętrzne – pochodzące od ciał należących do danego układu. Siły wewnętrzne działają zawsze
jako dwójki zerowe, czyli równoważą się. Skutek ich działania jest zerowy, można je więc
pominąć;
b) zewnętrzne - pochodzące od ciał nie należących do danego układu: czynne (starające się wprawić
ciało w ruch) i bierne, czyli reakcji ( przeciwdziałające ewentualnemu ruchowi).
Ponieważ układ mieśniowo-szkieletowy człowieka jest po prostu serią obiektów połączonych ze sobą,
podstawowe prawa wprowadzone przez Newtona stają się użyteczne [26]:
Prawo grawitacji Newtona (prawo powszechnego ciążenia): dowolne dwa ciała oddziaływują na
siebie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu
odległości między nimi (odległość między ich środkami) (9),
(9)
gdzie: G - stała grawitacji = 6.7 x 10-11
Nm2/kg
2 (nawet miedzy dwiema osobami siedzącymi obok
siebie występuje siła przyciągania). Na powierzchni Ziemi efekt tych sił jest tak mały, że nie ma
żadnych konsekwencji i można go pominąć. Przyjęto więc zapis (10)
F=mg (10)
I prawo dynamiki Newtona: Ciało, na które nie działa żadna siła lub działające siły równoważą
się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
II prawo dynamiki Newtona: przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do przyłożonej do
niego siły i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. Przyspieszenie działa w tym samym kierunku, co
siła (11) (rys. 2.4).
a=F/m (11)
Rys. 2.4. Ilustracja II prawa dynamiki Newtona [55]
III prawo dynamiki Newtona: Kiedy ciało działa z określoną siłą na inne ciało, to drugie ciało
oddziaływuje na pierwsze z taką samą siłą co do wielkości ale w przeciwnym kierunku (rys. 2.5).
22
Rys. 2.5. Ilustracja III prawa dynamiki Newtona [55]
„Prawo superpozycji”: jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to
każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła
równa wektorowej sumie danych sił.
Kinematyka i dynamika podlega II prawu Newtona, które podaje, że zewnętrzna sił (F) działająca
na obiekt jest proporcjonalna do iloczynu masy i liniowego przyspieszenia obiektu (11). W warunkach
statycznej równowagi nie ma sił zewnętrznych, ponieważ nie występuje przyspieszenie i suma sił
zewnętrznych wynosi 0. Jednak gdy obiekt przyspiesza, muszą być rozważone tzw. siły bezwładności
(wskutek przyspieszenia) i suma tych sił nie będzie wynosiła zero. Podobna analogia odnosi się do
momentu bezwładności. Im dalej masa od środka obrotu, tym większy moment bezwładności. Siła
bezwładności nie jest zwykłą siłą, nie wynika z oddziaływania między ciałami, jak to wynika z
definicji siły, jest tzw. siłą pozorną, efektem wynikającym z samego przyspieszenia układu
odniesienia. Pojawia się tylko w nieinercyjnych układach odniesienia.
Siła jest wielkością niezwykle użyteczną, ponieważ dla bardzo wielu sytuacji można określić
wartość oddziaływania sił na ciało na podstawie warunków, w jakich znajduje się ciało. Jeżeli ciało
styka się z innym, to na drugie ciało będzie działać siła nacisku, siła tarcia czy też siła napięcia
powierzchniowego. Własności tych sił zostały dosyć dobrze poznane przez fizykę, a ich znajomość
pozwala na przewidzenie zachowania się ciała.
Na ciało człowieka działają również siły tarcia (rys. 2.6). Mogą zapobiec ruchowi obiektu, kiedy
znajduje się w spoczynku i przeciwdziałać ruchowi, gdy obiekt porusza się. W warunkach statycznych
siła tarcia na obiekt jest taka sama, jak zastosowana siła i nie może być większa niż współczynnik
statycznego tarcia pomnożony przez siłę nominalną. Gdy zastosowana siła będzie większa niż
statyczna siła tarcia, obiekt zacznie się poruszać i będą to już warunki dynamiczne.
a) b)
Rys. 2.6. Tarcie: a) statyczne, b) dynamiczne [55]
23
W warunkach dynamicznych siła tarcia jest równa iloczynowi dynamicznego współczynnika tarcia i
siły normalnej. Wartość współczynnika tarcia zależy m.in. od składu chropowatości dwóch
powierzchni w kontakcie. Dynamiczny współczynnik tarcia jest mniejszy niż statyczny współczynnik
tarcia. Siła tarcia zależy od rodzaju materiałów, jakości powierzchni i rodzaju smarowania.
Stwierdzono, że [26]:
1. Siła tarcia nie zależy od wielkości stykających się powierzchni, a jedynie od rodzaju materiałów,
jakości powierzchni oraz rodzaju smarowania.
2. W przypadku, gdy ciało jest w równowadze, siła tarcia przeciwdziała siłom chcącym je wytrącić z
położenia równowagi. Natomiast, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest
skierowana przeciwnie do prędkości, a jej wartość w przybliżeniu nie zależy od prędkości
poślizgu.
2.4.2. Dynamika kątowa
W dynamice kątowej bierze się pod uwagę następujące parametry [26]:
- Moment obrotowy T [N*m], opisany zależnością (12). Za każdym razem, kiedy występuje obrót,
odpowiedzialny jest za niego moment obrotowy. Jeżeli jest ustalona oś obrotu, moment obrotowy
jest obliczany dookoła osi, natomiast gdy nie ma jednoznacznej osi obrotu, moment obliczany jest w
stosunku do środka masy (rys. 2.7). Jeżeli siły działają po obu stronach osi obrotu, to jest to
przypadek złożony (na układ działa kilka momentów) i w rezultacie na ciało działa moment
wynikowy:
T=r*F (12)
gdzie: T – moment obrotowy wyrażony w [N*m), r- odległość od środka obrotu, tzw. ramię działania
siły [m], F – siła działająca na ciało [N].
Rys. 2.7. Środek masy ciała [56]
- Środek ciężkości – dla układu sił ciężkości równoległych istnieje punkt leżący na wypadkowej tego
układu mający tę własność, że nie ulega zmianie, gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów
zaczepienia o dowolny, stały dla wszystkich kąt (rys. 2.7). Punkt ten to środek ciężkości. W pozycji
anatomicznej, środek ciężkości dla kobiet wynosi 53-56% wysokości ciała, dla mężczyzn 54-57%
wysokości. Jest to punkt ciała, wokół którego masa jest równomiernie rozłożona. Gdy pominie się
zmianę wartości przyspieszenia ziemskiego (g=const), to środek masy pokrywa się ze środkiem
ciężkości.
- Moment bezwładności I [kgm2] jest opisany zależnością (13), Masowy moment bezwładności
względem punktu, osi lub płaszczyzny jest sumą (całką) iloczynów mas przez kwadraty ich
24
odległości od punktu, osi lub płaszczyzny. Przykładem wykorzystania momentu bezwładności mogą
być: rzut młotem, nurkowanie czy też zamach kijem do golfa.
I=m*r2
(13)
- Moment kątowy H [kgm2/s] jest opisany zależnością (14). Moment kątowy jest wektorem o zwrocie
takim samym, jak prędkość kątowa .
H=I* (14)
W dynamice kątowej obowiązują również prawa Newtona dla ruchu obotowego:
I prawo kątowe Newtona: ciało będzie obracało się ze stałym momentem obrotowym do
momentu, gdy nie zostanie do niego przyłożony zewnętrzny moment obrotowy.
II prawo kątowe Newtona dla ruchu obrotowego: Jeżeli zostanie przyłożony do ciała moment
obrotowy, ciało dozna przyspieszenia kątowego. Im większy moment, tym większe przyspieszenie
obrotowe; im większy moment bezwładności, tym mniejsze przyspieszenie kątowe.
Rys. 2.8. Ilustracja II prawa dynamiki kątowej Newtona [54]
III prawo dynamiki kątowej Newtona dla ruchu obrotowego: jeżeli jeden układ wywiera
moment obrotowy na inny układ, to drugi układ będzie wywierał taki sam moment o przeciwnym
działaniu na pierwszy.
Układ mięśniowo-szkieletowy jest odpowiedzialny za generowanie sił, które poruszają ciałem
ludzkim w przestrzeni oraz zapobiegają niechcianym ruchom. Zrozumienie mechaniki i patomechaniki
ludzkiego ruchu wymaga zdolności do przestudiowania przyłożonych sił i momentów zewnętrznych
oraz generowanych przez ludzkie ciało lub jego segmenty.
Rys. 2.9. Momenty sił w układzie szkieletowym stopy [59]
25
W kinezjologii moment M jest przeważnie powodowany siłą F, działającą w odległości r od środka
obrotu segmentu. Moment dąży do powodowania rotacji i jest zdefiniowany jako funkcja produktu
kartezjańskiego. Z tego powodu moment jest reprezentowany przez wektor, który przechodzi np. przez
środek obrotu i jest prostopadły zarówno do wektora siły, jak i do kierunku. Dla analizy 2D, zarówno
wektor siły, jak i odległości leżą w płaszczyźnie papieru, więc wektor momentu jest zawsze
skierowany prostopadle do kartki z linią działania przechodzącą przez określony punkt, np. punkt
obrotu (rys. 2.9). Ponieważ istnieje jeden kierunek i linia działania, moment jest często traktowany
jako wielkość skalarna w analizie 2D, z jedynie wielkością i kierunkiem. Odległość, która jest
prostopadła do wektora siły, nazywana jest ramieniem momentu siły. W układzie mięśniowo-
szkieletowym to mięśnie są odpowiedzialne za produkowane sił i momentów dając w rezultacie ruch
posuwowy i obrotowy.
2.5. Mechanika mięśnia
Mechanika mięśnia to opis mięśnia jako urządzenia do produkcji siły. Mechanika mięśnia, czyli
fizjologia mięśnia (w zależności od punktu widzenia), ma dużo praktycznych zastosowań.
Doświadczenia na mięśniach, pojedynczych włóknach lub nawet miofilamentach mają często na celu
studiowanie mechanizmów produkcji siły mięśniowej. Dziedzina mechaniki mięśnia może być bardzo
użyteczna w biomechanice sportu dla przewidzenia optymalnego wykonania ćwiczeń lub też ich
poprawy. Jednak podejścia do mechaniki mięśnia w biomechanice sportu właściwie nie istnieją. Jedną
z dziedzin, która jest rozważana jest kolarstwo. Kolarstwo jest cyklicznym, kinematycznie łatwym
procesem do opisu i nadaje się do studiowania mechaniki mięśnia. Badania mechaniki mięśnia mają
dwa główne cele:
1) określenie obciążenia działającego na system mięśniowo-szkieletowy;
2) badanie interakcji siły mięśniowej podczas ruchu.
Przypuszczalnie, najbardziej podstawową własnością mięśnia jest produkcja siły. Pomimo jednak
rozległych badań niektóre aspekty produkcji siły mięśnia nie zostały jeszcze rozwiązane.
Przykładowo, precyzyjny mechanizm połączenia przekroju fizjologicznego i ruchu przekroju, który
powoduje relatywne ruchy miofilamentów i produkuje siłę, nie jest jeszcze dokładnie zrozumiany.
Rozważając mechaniczne własności mięśnia należy pamiętać o jego fizjologicznych i
biomechanicznych własnościach.
Czynniki powodujące siłę mięśnia to:
1. wielkość pobudzenia dostarczona przez system nerwowy;
2. własności samego mięśnia (mechaniczne własności mięśnia, efekty strukturalne ze względu na
różnorodną architekturę mięśnia, przez co siła wytworzona przez włókna mięśnia nigdy nie
jest taka sama).
26
Jednym z najczęściej używanych przypadków stosowania równowagi statycznej dla systemu
mięśniowo-szkieletowego jest obliczenie nieznanych sił mięśnia. Jest to bardzo użyteczne narzędzie,
ponieważ nie ma obecnie nieinwazyjnych metod eksperymentalnych, które mogłyby zmierzyć siły
mięśnia metodami in vivo. Istnieją trzy typy sił w problemach układu mięśniowo-szkieletowego:
- siła reakcji połączenia (stawu) pomiędzy dwoma poruszającymi się powierzchniami;
- siła mięśnia;
- siła ze względu na reakcję ciała na zewnętrzne otoczenie.
Podstawowe czynniki określające siły mięśnia to [23]:
fizjologiczne obszary sekcji przecięcia (PCSA);
związek długość – natężenie: siła, którą produkuje mięsień, różni się na długości sarkomeru;
związek obciążenie – prędkość: prędkość skracania mięśnia ma wpływ na obciążenie;
związek siła – czas: siła generowana przez mięsień jest proporcjonalna do czasu skurczu;
inne czynniki: wstępne naciągnięcie, temperatura mięśnia, urazy.
2.5.1. Metody badań sił mięśni
Jedną z metod analizowania układu niewyznaczalnego jest metoda optymalizacji. Ponieważ układ
posiada nieskończenie wiele rozwiązań, podejście optymalizacji pomaga wybrać najlepsze z nich.
Model optymalizacyjny minimalizuje niektóre funkcje kosztu w celu wygenerowania pojedynczego
rozwiązania. Funkcja może być całkowitą siłą dla wszystkich mięśni lub całkowitym napięciem we
wszystkich mięśniach. Ponieważ centralny układ nerwowy dąży do minimalizowania pracy w celu
wykonania pewnej funkcji, współdziałające żądania stawów muszą również podlegać temu prawu.
Inną metodą analizowania układów niewyznaczalnych jest model redukcyjny, w którym stosuje się
zbiór reguł dla relatywnego rozłożenia sił mięśni bazując na sygnałach EMG, anatomii i
fizjologicznych ograniczeniach [24].
2.5.2. Modele mięśnia
Model Maxwella
Model stanowi połączenie szeregowe elementu sprężystego o module Younga E i tłumika o
lepkości . W takim typie połączenia naprężenie w obu elementach jest jednakowe, zaś odkształcenie
całkowite układu jest sumą odkształceń sprężyny i tłumika (rys. 2.10) [23].
27
Rys. 2.10. Model mięśnia Maxwella [23]
Model Kelvina-Voigta
Model stanowi równoległe połączenie elementów sprężystego i tłumiącego. Przy tym typie
połączenia elementy odkształcają się jednakowo [23]. Całkowity opór układu stawiany obciążeniu
zewnętrznemu jest sumą oporu sprężyny i tłumika. W modelu Kelvina-Voigta początkowo całe
obciążenie jest przenoszone przez tłumik, zatem szybkość jest maksymalna. W miarę rozciągania
sprężyny jej naprężenie wzrasta, obniżając tym samym naprężenie działające na tłumik. Szybkość
odkształcania sprężyny dąży do zera w miarę, jak zbliża się ono do wartości maksymalnej, przy której
naprężenie całkowite równe jest naprężeniu sprężyny (rys. 2.11)
Rys. 2.11. Model Kelvina-Voigta [57]
Model Hilla:
Model składa się z elementu kurczącego (CE), który reprezentuje strukturę kurczenia się w mięśniu
(włókna mięśnia), szeregowo połączonego z elementem elastycznym (SEE), który reprezentuje serię
elastycznych struktur w układzie mięsień-ścięgno. SSEu – element elastyczny bez tłumienia, a SEEd z
tłumieniem (rys. 2.12) [23].
F
E
28
Rys. 2.12. Model mięśnia Hill’a [58]
Hill wykazał doświadczalnie, że maksymalna moc uzyskiwana przez mięsień w fazie skracania zależy
liniowo od różnicy siły maksymalnej, czyli siły przy skurczu izometrycznym, oraz bieżącej wartości
siły dla skurczu izotonicznego. Prędkość skurczu jest największa, gdy mięsień kurczy się bez
obciążenia i odwrotnie. Model Hilla służy do wyznaczenia produkcji siły i charakterystyk długości
mięśnia. Jest to tzw. quasistatyczny model reologiczny. W modelu uwzględnione są elementy
kurczliwe (sarkomery), elementy sprężyste równoległe (ścięgna, tkanki łączne) i elementy sprężyste
szeregowe (powięzi).
2.6. Dźwignie w ciele człowieka
Ciało jest systemem dźwigni. Dźwignia jest przykładem układu równoległych sił, co jest częstym
przykładem w układzie mięśniowo-szkieletowym. Dźwignia składa się z ciała sztywnego z dwiema
siłami zewnętrznymi i punktem obrotu. W układzie mięśniowo-szkieletowym jedna z sił jest
produkowana przez mięsień, a druga dostarczana przez kontakt z otoczeniem (lub przez grawitację),
natomiast punkt obrotu jest środkiem obrotu, np. stawu. Dwie siły mogą znajdować się po tej samej
lub po różnych stronach środka obrotu. Na ogół mięśnie pracują w niekorzystnych warunkach
mechanicznych, przy przełożeniach dźwigni kostnych nawet w stosunku 10:1. Takie przełożenia nie
są korzystne z punktu widzenia sprawności mechanicznej, ale umożliwiają uzyskanie w stawach
dużych prędkości kątowych, często niezbędną do lokomocji lub ruchów manipulacyjnych. Pomimo
niekorzystnych uwarunkowań, można przez okres kilku sekund utrzymać w dwóch rękach, przy
poziomej pozycji przedramienia, przedmiot o ciężarze 900N. Siła rozwijana przez mięsień musi być
10 x większa (9000N). Podnoszona masa jest prawie 2000 razy większa od masy pracujących mięśni.
Znane są trzy rodzaje dźwigni (rys. 2.13-2.14) [23,34]:
1) pierwszej klasy (czaszka, stopa) - siły znajdują się po różnych stronach środka obrotu;
2) drugiej klasy (podnoszenie pięty) - siły znajdują się po tej samej stronie środka obrotu, a siła
zewnętrzna jest bliżej tego środka niż siła mięśnia. Ten typ dźwigni prawie nigdy nie jest
zauważany w ludzkim ciele;
3) trzeciej klasy (łokieć, kolano, biodro, itd) - siły są po tej samej stronie środka obrotu, a siła
mięśnia jest bliżej środka obrotu niż siła zewnętrzna. Większość stawów w ludzkim ciele
zachowuje się jak takie dźwignie.
29
opór siła
opór
siła
opór
siła
1)
2)
3)
Rys. 2.13. Podstawowe typy dźwigni
Dzięki systemowi dźwigni, jaki tworzy układ mięśniowo-szkieletowy, człowiek może:
- zmieniać położenie całego ciała (wykonywać ruchy lokomocyjne);
- zmieniać ułożenie części ciała względem siebie, na przykład zginać rękę lub nachylać głowę;
- utrzymać odpowiednią postawę ciała, co ma szczególne znaczenie, ponieważ człowiek jest istotą
dwunożną;
- znacznie osłabiać skutki działania różnego rodzaju przeciążeń, na przykład w trakcie wykonywania
gwałtownych ruchów.
a) b) c)
Rys. 2.14. Typy dźwigni w ludzkim ciele: a) pierwszej klasy, b) drugiej klasy, c) trzeciej klasy [59]
2.7. Mechanika płynów
Mechanika płynów zajmuje się badaniem sił, które tworzą się, gdy obiekt przesuwa się w czynniku
płynnym. Rozważane są dwa rodzaje środowisk: powietrze i woda. Ma to szczególne znaczenie w
sporcie. Jednym z czynników rozważanych podczas badania obiektu jest pływalność (fot. 2.1)
30
Fot. 2.1. Pływalność [60]
Aby zminimalizować opór powietrza, należy rozważyć: prędkość ruchu oraz pracę daną również przez
inne siły niż opór powietrza. Źródła oporu mogą wywodzić się z kilku czynników:
1. grawitacja – waga równa jest masie pomnożonej przez przyspieszenie grawitacyjne;
2. bezwładność – wagi dostarczają wewnętrznych sił, co jest wynikiem iloczynu masy i
pionowego przyspieszenia;
3. tarcie – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu współczynnika tarcia dwóch
powierzchni, które stykają się ze sobą, oraz siły, która dociska je do siebie;
4. opór substancji (powietrze, woda) – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu
prędkości względnej substancji oraz obiektu, który się z nią styka, oraz stałej, która
odzwierciedla fizyczne charakterystyki zarówno substancji, jak i obiektu;
5. opór elektryczny – siła oporu jest w przybliżeniu proporcjonalna do iloczynu odległości na
jaką element elastyczny jest naciągnięty, poza długość spoczynkową, oraz stałej, która
odzwierciedla fizyczne własności elementu elastycznego.
Przykładem zminimalizowania oporu powietrza jest np. konstrukcja roweru przedstawiona na rys.
2.15. Przed wprowadzeniem udogodnień poniższej konstrukcji, rekord prędkości roweru wynosił 105
km/h. Obecnie, rekord prędkości roweru na długości 200 m wynosi 130 km/h.
Rys. 2.15. Nowoczesny model roweru, zbudowany w celu poprawy pływalności i zmniejszenia oporu
powietrza [61]
2.8. Własności mechaniczne tkanek biologicznych
Biologiczne tkanki są zarówno elastyczne, jak i lepkosprężyste. Rozważa się następujące własności
[23]:
1. Elastyczność - odnosi się przeważnie do tkanek stałych, w których opór jest proporcjonalny do
odkształcenia.
2. Lepkosprężystość - jest to własność materiału zależna od czasu, gdzie naprężenie materiału zależy
od napięcia w stosunku do napięcia zastosowanego. Lepkosprężystość jest zauważalna w wielu
31
tkankach miękkich, gdzie występuje rozproszenie energii lub histereza pomiędzy obciążonymi i
nieobciążonymi tkankami podczas testów mechanicznych. Niektóre tkanki miękkie mogą być
wstępnie obciążone powtarzającym się cyklem obciążenia do momentu, gdy krzywa napięcie-
naprężenie dla części obciążonych i nieobciążonych podczas testu nie najdzie na siebie.