Rownania Calkowe i Teoria Hilberta Schmidta

Politechnika Łódzkawydział FTIMS

Praca magisterska

Równania całkowe i teoriaHilberta-Schmidta

Piotr Kowalski

Promotor Pracy : dr Jerzy Kalina

Kierunek: Matematyka StosowanaSpecjalność: Matematyka Finansowa i UbezpieczeniowaNr albumu: 133968

Wydział FTIMS

Łódź 2010

Streszczenie

Praca gromadzi pojęcia i twierdzenia teorii operatorów, z wyszczególnieniemoperatorów całkowych oraz omawia podstawy teorii Fredholma równań całko-wych i teorię Hilbert’a-Schmidt’a.

Dedykacja

Pracę dedykuje osobie, która najbardziej na świecie pragnęła ją zobaczyć. Mojemudziadkowi Julianowi Lesiakowi, zmarłemu 25.06.2010. Człowiekowi, któremuzawdzięczam motywację do studiów, czynnego rozwijania się i dążenia do wyższychcelów, świadom tego że bez jego wpływu ta praca by nie powstała.

Spis treści

1 Wstęp 2

2 Preliminaria 32.1 Przestrzenie liniowo-topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Przestrzenie Banacha, przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . 32.3 Przestrzenie C(Ω) oraz L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Kryterium Ascoliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Przestrzeń odwzorowań ograniczonych i przestrzeń do niej sprzę-

żona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Operatory 83.1 Operatory liniowe ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Operatory sprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Operatory zwarte - operatory pełnociągłe . . . . . . . . . . . . . 123.4 Teoria spektralna, widmo operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Widmo operatora zwartego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Operatory całkowe 214.1 Operatory całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Rodzaje operatorów całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Jądra słabo osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Klasyfikacja równań całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Zwartość operatorów całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Operator sprzężony w przestrzeni Hilberta L2(Ω) . . . . . . . . . 28

5 Teoria Fredholma 315.1 Równania całkowe o jądrach ograniczonych . . . . . . . . . . . . 315.2 Alternatywa Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Twierdzenie Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Teoria Hilberta-Schmidta 386.1 Równanie całkowe o jądrze symetrycznym . . . . . . . . . . . . . 386.2 Pełny układ ortonormalny elementów własnych . . . . . . . . . . 396.3 Twierdzenie Hilberta-Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4 Twierdzenie Mercer’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

Rozdział 1

Wstęp

W pracy w sposób spójny udało się zaprezentować wybrane aspekty analizyfunkcjonalnej, teorii operatorów, topologii, równań różniczkowych i algebry. Za-prezentowany materiał pozwala omówić najważniejsze aspekty teorii Fredhol-ma oraz teorii Hilberta-Schmidta. Przedstawiona teoria pozwala czytelnikowi wsposób pełniejszy niż w [2] czy [1] zrozumieć przedstawione rozumowania. Po-dana została spójna teoria dotycząca operatorów sprzężonych definiowanych wróżnych przestrzeniach. Wśród wielu dowodów z teorii operatorów m.in. uzupeł-niony został dowód twierdzenia 3.2.3, pozwalając czytelnikowi na zrozumieniew pełni jego treści. Została wprowadzona zmodyfikowana definicja operatorasprzężonego w przestrzeni Hilberta, pozwalająca na pełną zgodność dwóch róż-nych metod wprowadzania operatora sprzężonego odszukanych w literaturzefachowej [1] [2], która wykazuje pełną zgodność obu podejść. Rozwinięty zostałdowód twierdzenia 3.5.1 o uzasadnienie rzeczy odebranych jako niejasności. Dodowiedzenia tego twierdzenia został wykorzystany autorski lemat 3.5.2, którystanowi rozszerzenie prostej obserwacji zaobserwowanej w czasie dowodzeniatwierdzenia Riesza. W rozdziale 5 rozszerzone, względem twierdzenia podanegoprzez [3], i udowodnione zostało twierdzenia o rozwiązaniu w postaci szereguvon Neumanna. Praca została uzupełniona o przykłady dokumentujące, niektó-re zastosowania teorii operatorów całkowych i teorii Fredholma. W przykładzie2 zaprezentowany jest alternatywny sposób zapisu metody przedstawionej w[3], wykorzystujący proste fakty z algebry liniowej, który w sposób bardzo cie-kawy, szybki i treściwy pozwala wyprowadzać macierz układu równań liniowychdla przekształceń Fredholma. Pokazuje on kolejną ciekawą analogię pomiędzyrównaniami całkowymi a układami równań algebraicznych.

2

Rozdział 2

Preliminaria

2.1 Przestrzenie liniowo-topologiczne

W niniejszej pracy zakładać będziemy że każda przestrzeń będzie przestrzeniąliniowo-topologiczną. Pojęcie to wymaga wyjaśnienia tym bardziej iż stanowiono podstawę współczesnej analizy funkcjonalnej. Przestrzeń ta stanowi naj-ogólniejszą znaną obecnie strukturę łączącą cechy przestrzeni algebraicznych,takie jak możliwość ’dodawania’ elementów przestrzeni i ’mnożenia przez skalar’,łącząc je z topologicznymi podstawami ciągłości funkcji określanych pomiędzyposzczególnymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, w sposób zachowującyciągłość działań algebraicznych.

Definicja 2.1.1. Przestrzeń liniowo-topologiczna[1]Niech τ będzie topologią na przestrzeni liniowej X. Jeśli spełnione są następującewarunki:

1. Każdy punkt przestrzeni jest zbiorem domkniętym,

2. operacje przestrzeni liniowej są ciągłe względem topologii τ

to τ nazywamy topologią liniową, natomiast parę (X, τ) nazywamy przestrzeniąliniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są tak istotne z punktu widzenia anali-zy funkcjonalnej gdyż niemal wszystkie rozważane przestrzenie funkcyjne po-siadają jej strukturę. Posługiwanie się jednak samymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi jest wielce niewygodne, dlatego częściej sięga po bogatsze wewłaściwości jej podklasy. Głównym czynnikiem powodującym wspomniane nie-dogodności jest konieczność korzystania z obiektów topologii w jej najogólniej-szym charakterze. Wiemy jednakże, że znaczna część rozważanych topologii na-leży do topologii metryzowalnych, i to ta cecha będzie stanowić o kierunkuzawężania klasy rozważań w niniejszej pracy.

2.2 Przestrzenie Banacha, przestrzenie Hilberta

Krokiem w kierunku metryzowalnych przestrzeni liniowo-topologicznych są prze-strzenie unormowane. Główny pojęciem, którym będziemy się posługiwać jestfunkcja normy, zwana też po prostu normą.

3

ROZDZIAŁ 2. PRELIMINARIA 4

Definicja 2.2.1. Przestrzeń unormowana[1]Przestrzeń liniową X nazywamy unormowaną jeśli istnieje funkcja ‖.‖, którakażdemu x ∈ X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą nieujemną, w taki sposób,że:

1. ‖x+ y‖ ¬ ‖x‖+ ‖y‖, x, y ∈ X

2. ‖αx‖ = |α|‖x‖, x ∈ X,α ∈ K, gdzie K jest ciałem skalarów

3. ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

Wprowadzenie normy w danej przestrzeni pozwala w łatwy sposób porówny-wać obiekty danej przestrzeni względem pewnej cechy. Każda przestrzeń unor-mowana jest metryczna, gdyż wystarczy za metrykę wziąć normę różnicy argu-mentów. Podobnie znaczna część przestrzeni metrycznych staje się unormowana,gdy wybierając arbitralnie pewien element, w miejsce normy przypisujemy je-go odległość od wskazanego elementu. Posiadanie pojęcia normy pozwala namstosować wielce wygodne definicje ciągowe własności takich jak ciągłość czyzwartość.

Definicja 2.2.2. Przestrzeń Banacha[1]Przestrzeń unormowaną zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.

Przestrzenie Banacha stanowią istotną podklasę przestrzeni unormowanych.Przykładem przestrzeni Banacha jest każda przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa

z normą ‖x‖ =

√n∑k=1

x2k . Istotnym dla nas będą również przenoszenia zupełności

na rozważane przez nas przestrzenie odwzorowań tj. przestrzenie operatorów.

Definicja 2.2.3. Przestrzeń unitarna[1]Zespoloną przestrzeń liniową H nazywamy przestrzenią unitarną, jeśli każdejparze wektorów z H możemy przyporządkować liczbę zespoloną oznaczaną (x, y),nazywaną iloczynem skalarnym wektorów x i y, tak, że spełnione są poniższewarunki

1. (y, x) = (x, y) - gdzie kreska górna odpowiada sprzężeniu liczby zespolonej

2. (x+ y, z) = (x, z) + (y + z)

3. (αx, y) = α(x, y)

4. (x, x) 0

5. (x, x) = 0⇔ x = θ

Dla dowolnych ∀x, y, z ∈ H,∀α ∈ C

Przestrzenie unitarne są najważniejszą podklasą spośród przestrzeni unor-mowanych. Łatwo bowiem zauważyć, że każda przestrzeń unitarna jest unormo-wana i metryczna. Jest tak gdyż istnienie iloczynu skalarnego implikuje istnienienormy, oraz metryki. Normę definiuje się poprzez iloczyn skalarny w sposób

‖x‖ =√

(x, x) (2.1)

Przestrzenie unitarne mogą byc zupełne lub nie. Te zupełne, zgodnie z poniższądefinicją, będziemy nazywać hilbertowskimi.


Definicja 2.2.4. Przestrzeń Hilberta[1]Niech H przestrzeń unitarna. Jeśli jest ona przestrzenią zupełną z normą zdefi-niowaną

‖x‖ =√

(x, x) (2.2)

to nazwiemy ją przestrzenią Hilberta.

Przestrzenie Hilberta posiadają znaczną ilość własności dotyczących np. geo-metrii rozważanych w niej obiektów. Wiele fizycznych modeli okazuje się byćprzestrzeniami Hilberta. Łatwym do zaobserwowania faktem jest, że każda prze-strzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.

2.3 Przestrzenie C(Ω) oraz L2(Ω)

Spośród wielu przestrzeni funkcyjnych, najbardziej fundamentalnymi będą prze-strzenie funkcji ciągłych na zbiorze zwartym oznaczane przez C(Ω) oraz prze-strzeń funkcji całkowalnych z kwadratem L2(Ω). Całkowanie w niniejszej pra-cy będziemy rozumieli zawsze jako całkowanie w sensie Lebesgue’a, natomiastwszystkie funkcje będą funkcjami zespolonymi. O zbiorze Ω, który stanowićbędzie dziedzinę rozważanych funkcji, zakładamy że jest podzbiorem pewnej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W większości przypadków zakładamy, żejest on zwartym podzbiorem, chyba że odpowiednie założenia stanowią inaczej.

Pierwszą z wspomnianych dwóch przestrzeni jest przestrzeń funkcji ciągłychokreślonych na zwartym podzbiorze pewnej przestrzeni euklidesowej.

Definicja 2.3.1. Przestrzeń C(Ω)[2]Niech Ω będzie zwartym podzbiorem m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.Przestrzenią C(Ω) nazwiemy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonychna zbiorze Ω z działaniami dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez ska-lar. W przestrzeni tej wprowadza się następującą normę:

‖u‖ = supx∈Ω|u(x)| (2.3)

Jest to zatem przestrzeń liniowa unormowana. Skończoność kresu wynikaz kryterium Weierstrassa, zaś aksjomaty normy są trywialne w dowodzie, namocy własności modułu. Ponadto przy tak zdefiniowanej normie, łatwo zauwa-żyć, że zbieżność w przestrzeni C(Ω) odpowiada zbieżności jednostajnej. Prze-strzeń ta okazuje się być również zupełną. Zatem jest to funkcyjna przestrzeńBanacha.

Przestrzenią ogólniejszą od C(Ω) jest druga z przestrzeni, mianowicie prze-strzeń funkcji o całkowalnym w sensie Lebesgue’a kwadracie modułu. Oczywi-ście wszystkie funkcje ciągłe określone na podzbiorze zwartym są całkowalnew sensie Lebesgue’a.

Definicja 2.3.2. Przestrzeń L2(Ω)[2]Niech dany będzie podzbiór mierzalny Ω przestrzeni m-wymiarowej euklideso-wej i niech będzie on miary dodatniej. Przestrzenią L2(Ω) nazwiemy przestrzeńwszystkich funkcji u mierzalnych w sensie Lebesgue’a określonych na zbiorze Ωtakich, że: ∫

Ω

|u(x)|2dx <∞ (2.4)


Przyjmujemy umowę, że dwie funkcje uważamy za równe, gdy są równe pra-wie wszędzie. Wykazuje się, że przestrzeń L2(Ω) jest liniowa, gdy dołączymydziałania dodawania i mnożenia funkcji przez skalar. Przestrzeń L2(Ω) jest prze-strzenią unitarną z operacją iloczynu skalarnego zdefiniowanego w poniższy spo-sób:

(u, v) =∫Ω

u(x)v(x)dx , u, v ∈ L2(Ω) (2.5)

Dowodzi się, że przestrzeń L2(Ω) jest przestrzenią zupełna. Zatem jest tofunkcyjna przestrzeń Hilberta.

2.4 Kryterium Ascoliego

W niniejszej pracy bardzo często wykorzystywane będzie często pojęcie zwarto-ści. Dowodzenie zwartości określonych zbiorów za pomocą definicji w przestrze-niach, czy to topologicznych, czy metrycznych, jest nie rzadko trudne i uciążliwe.W zależności od różnych przestrzeni w których prowadzone będą rozważania, zo-stały udowodnione różne kryteria. W przestrzeni C(Ω) takim kryterium jest np.kryterium Ascoliego, które podaje warunek konieczny i dostateczny zwartościdomknięcia zbioru w przestrzeni C(Ω).

Rozważmy zbiór funkcji Z określonych na zwartym zbiorze Ω. Do wprowa-dzenia kryterium potrzebne będą dwa pojęcia. Powiemy, że funkcje ze zbioru Zsą wspólnie ograniczone, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista µ, że

‖u(x)‖ ¬ µ, x ∈ Ω, u ∈ Z (2.6)

Z kolei funkcje tego zbioru Z nazwiemy jednakowo ciągłymi jeśli

∀ε > 0∃δ > 0∀x1, x2 ∈ Ω∀u ∈ Z ‖x1 − x2‖ ¬ δ ⇒ ‖u(x1)− u(x2)‖ ¬ ε (2.7)

Dysponując tymi dwoma pojęciami możemy podać twierdzenie Ascoliego. Do-wód twierdzenia można znaleźć w [2] roz. 26.4.

Twierdzenie 2.4.1. Twierdzenie Ascoliego[2]Zbiór funkcji Z ⊂ C(Ω) ma zwarte domknięcie wtedy i tylko wtedy, gdy funkcjezbioru Z są wspólnie ograniczone i jednakowo ciągłe.

W literaturze spotyka się określenie zbiorów których domknięcie jest zwartejako zbiory prezwarte. Będziemy używać zamiennie obu pojęć: zbioru prezwar-tego i zbioru o zwartym domknięciu.

2.5 Przestrzeń odwzorowań ograniczonych i prze-strzeń do niej sprzężona

Kluczowym pojęciem rozważanym w tej pracy będzie odwzorowanie ograniczoneliniowe, lub jak będziemy równoważnie je określać, operator ograniczony liniowy.

Definicja 2.5.1. Odwzorowania ograniczone liniowe[1]Niech X, Y przestrzenie liniowo-topologiczne, oraz niech będzie dane odwzoro-wanie liniowe A : X → Y . Powiemy, że odwzorowanie A jest ograniczone jeśliobraz dowolnego zbioru ograniczonego jest ograniczony.


Podstawową strukturą w analizie funkcjonalnej jest przestrzeń operatorówograniczonych liniowych. Jej rozważanie jest tym bardziej kluczowe, gdyż okazu-je się że znaczna część własności przestrzeni liniowo-topologicznych bywa prze-niesiona do przestrzeni operatorów.

Definicja 2.5.2. Przestrzeń B(X,Y)[1]Dla przestrzeni liniowo topologicznych X, Y przez B(X,Y) będziemy rozumieliprzestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań liniowych z X do Y. Ponadtoprzez B(X) będziemy rozumieli przestrzeń B(X,X).

Przestrzeń operatorów B(X,Y ) jest oczywiście przestrzenią liniowo-topologiczną,ze zdefiniowanym w sposób naturalny dodawaniem operatorów oraz mnożeniemprzez skalary. Szczególnym przypadkiem przestrzeni operatorów ograniczonychokazuje się być przestrzeń liniowych ograniczonych funkcjonałów przestrzeni X.Funkcjonałem nazywamy operator o wartościach w ciele skalarów.

Definicja 2.5.3. Przestrzeń sprzężona[1]

Niech X,Y będą unormowanymi przestrzeniami liniowo topologicznymi, orazniech Y będzie ciałem skalarów. Wtedy przestrzeń B(X,Y) nazywać będziemy-przestrzenią sprzężoną do X i oznaczać przez X∗.

Łatwo zauważyć, że wobec rozważania jedynie zupełnych ciał skalarów, prze-strzeń sprzężona, o ile jest unormowana, okazuje się być zawsze przestrzeniąBanacha. W kwestii notacji dodatkową umową będzie, że elementy przestrze-ni sprzężonych będzie oznaczali symbolami zawierającymi analogiczny symbolgwiazdki. Element przestrzeni dualnej X∗ do przestrzeni X będziemy zatemnajczęściej oznaczać przez x∗. Do reprezentowania wartości elementu przestrzenidualnej na danym elemencie x ∈ X używać będziemy zamiennie dwóch notacji:

< x, x∗ > (2.8)

lubx∗(x) (2.9)

Rozdział 3

Operatory

3.1 Operatory liniowe ograniczone

W niniejszym rozdziale omówione zostaną podstawowe własności odwzorowańograniczonych liniowych, które będziemy już niemal zawsze nazywać operatora-mi liniowymi ograniczonymi.

Definicja 3.1.1. Operator liniowy ograniczony[2]Niech będą dane przestrzenie unormowane X i Y oraz operator liniowy A okre-ślony na podprzestrzeni D(A) ⊂ X o wartościach w przestrzeni Y. Mówimy, żeoperator A jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba nieujemna µ, że

∀x∈D(A) : ‖Ax‖ ¬ µ‖x‖ (3.1)

Definicja ta oczywiście jest zgodna z przytoczoną w rozdziale poprzednim.Poniższe twierdzenie należy do najbardziej fundamentalnych w teorii analizy

funkcjonalnej.

Twierdzenie 3.1.2. Warunek konieczny i wystarczający ograniczono-ści operatora [2]Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły.

Dowód tego faktu jest prosty i można go odszukać w pozycji [2] roz. 36.1.Powyższy warunek konieczny i wystarczający ograniczoności operatora po-

zwala nam rozpoznawać operatory ciągłe.Aby wprowadzić w przestrzeni operatorów strukturę przestrzeni unormowa-

nej musimy zdefiniować pewną ogólną normę dla jej elementów.

Definicja 3.1.3. Norma operatora liniowego ograniczonego[2]Normą operatora liniowego ograniczonego A nazywamy liczbę:

‖A‖ = supx∈D(A),‖x‖=1

‖Ax‖ (3.2)

Alternatywnym podejściem jest również definiowanie normy poprzez kresdolny wszystkich ograniczeń danego operatora. Obie uzyskane normy są jed-nak w pełni równoważne. Przestrzeń B(X,Y ) z tak zdefiniowaną normą jestprzestrzenią Banacha, o ile przestrzeń Y jest zupełna.

8

ROZDZIAŁ 3. OPERATORY 9

3.2 Operatory sprzężone

Z dowolnym operatorem można skojarzyć pewien inny operator, nazywany ope-ratorem sprzężonym. By dowieść jego istnienia musimy jednak uważnie prześle-dzić zachowanie funkcjonału normy na przestrzeni sprzężonej.

Bardzo ważnym faktem z którego będziemy chcieli skorzystać w dowodzeniuistotnych dla nas twierdzeń, jest informacja płynąca z poniższego lematu:

Lemat. Niech X będzie przestrzenią unormowaną i niech x0 ∈ X. Wówczasistnieje funkcjonał A ∈ X∗ taki, że:

1. Ax0 = ‖x0‖

2. ‖Ax‖ ¬ ‖x‖, x ∈ XDowód tego lematu można odszukać w [1] roz. 3.3Aby wprowadzić operator sprzężony musimy zaobserwować pewne związki

dotyczące normy w przestrzeni X z normą jej przestrzeni sprzężonej. Okazujesię, że wprowadzając analogiczną normę w przestrzeni sprzężonej otrzymujemyważny związek obu norm.

Twierdzenie 3.2.1. Norma w przestrzeni sprzężonej[1]Niech X - przestrzeń unormowana, X∗ przestrzeń sprzężona do niej. Wtedyprzyporządkowanie:

‖x∗‖ = sup| < x, x∗ > | : ‖x‖ ¬ 1, x∗ ∈ X∗ (3.3)

jest normą w przestrzeni Banacha X∗. Ponadto zachodzi:

‖x‖ = sup| < x, x∗ > | : ‖x∗‖ ¬ 1, x ∈ X (3.4)

Dowód. Fakt iż jest to norma w przestrzeni Banacha wynika z definicji normyoraz uwagi o zupełności przestrzeni funkcjonałów liniowych ograniczonych.

Niech x ∈ X. Wobec powyższego lematu istnieje funkcjonał dokładnie równynormie na elemencie x. Z drugiej strony z ograniczoności operatora x∗ mamy:

| < x, x∗ > | ¬ ‖x∗‖‖x‖ ¬ ‖x‖ (3.5)

Co dowodzi drugiej części.

Ostatnie twierdzenie pozwoli nam podać alternatywny sposób obliczania nor-my na przestrzeni B(X,Y ).

Twierdzenie 3.2.2. Alternatywna postać normy w przestrzeni B(X,Y )[1]

Niech X, Y przestrzenie unormowane. Wtedy norma operatora A ∈ B(X,Y )wyraża się wzorem:

‖A‖ = sup| < Ax, y∗ > | : ‖x‖ ¬ 1, x ∈ X, ‖y∗‖ ¬ 1, y∗ ∈ Y ∗ (3.6)

Dowód. Wobec definicji normy dla przestrzeni B(X,Y ) wiemy, że

‖A‖ = sup‖Ax‖ : ‖x‖ ¬ 1, x ∈ X (3.7)

Korzystając z drugiej części twierdzenia 3.2.1 dla przestrzeni Y, więc m.in. jejpodprzestrzeni Ax, ‖x‖ ¬ 1, mamy

‖Ax‖ = sup| < Ax, y∗ > | : ‖y∗‖ ¬ 1, y∗ ∈ Y ∗ (3.8)

Połączenie (3.7) i (3.8) dowodzi tezę.


Dysponując powyższym twierdzeniem o normie jesteśmy w stanie udowodnićistnienie operatora sprzężonego.

Twierdzenie 3.2.3. O konstrukcji operatora sprzężonego[1]Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi. Wtedy każdemu A ∈ B(X,Y)odpowiada dokładnie jeden operator A∗ ∈ B(Y ∗, X∗) spełniający warunek

< Ax, y∗ >=< x,A∗y∗ > (3.9)

dla wszystkich x ∈ X i dla wszystkich y∗ ∈ Y ∗. Ponadto dowodzi się, że A∗

spełnia równość

‖A∗‖ = ‖A‖ (3.10)

Uzyskany w twierdzeniu operator nazywany jest sprzężonym do danego

Dowód. .Rozważmy operatory y∗ ∈ Y ∗ oraz operator A ∈ B(X,Y ). Wprowadźmy

operator A∗y∗ w sposób następujący:

A∗y∗ = y∗ A, y∗ ∈ Y ∗ (3.11)

Operator A∗y∗ należy do X∗ jako złożenie operatorów liniowych ciągłych. Sto-sując zapis dualny:

< x,A∗y∗ >= A∗y∗(x) = y∗(A(x)) =< Ax, y∗ > (3.12)

Zatem operator A∗, taki że A∗(y∗) = A∗y∗, spełnia warunek twierdzenia. Ope-rator ten jest jednoznacznie wyznaczony przez operatory A∗y∗ oraz y∗, nieudowodniliśmy jednak na razie, że A∗, należy do przestrzeni B(Y ∗, X∗).

Należy wykazać, że jest on liniowy oraz, że jest ograniczony. Zacznijmy odliniowości:

Niech y∗1 , y∗2 ∈ Y ∗, oraz α1, α2 ∈ K, gdzie K - ciało skalarów. Wtedy:

< x,A∗(α1y∗1 + α2y

∗2) > = < Ax, α1y

∗1 + α2y

∗2 > (3.13)

= < Ax, α1y∗1 > + < Ax, α2y

∗2 > (3.14)

= < α1Ax, y∗1 > + < α2Ax, y∗2 > (3.15)

= < Aα1x, y∗1 > + < Aα2x, y

∗2 > (3.16)

= < α1x,A∗y∗1 > + < α2x,A∗y∗2 > (3.17)

= < x,α1A∗y∗1 > + < x,α2A∗y∗2 > (3.18)

= < x,α1A∗y∗1 + α2A∗y∗2 > (3.19)

co wobec dowolności x ∈ X dowodzi, że:

A∗(α1y∗1 + α2y

∗2) = α1A∗y∗1 + α2A∗y∗2 (3.20)

Zatem wobec dowolności y∗1 , y∗2 ∈ Y ∗, oraz α1, α2 ∈ K, jest to operator liniowy.

By wykazać ograniczoność posłużmy się normą z twierdzenia 3.2.2.

‖A∗‖ = sup‖A∗y∗‖ : ‖y∗‖ ¬ 1 (3.21)

= sup| < x,A∗y∗ > | : ‖y∗‖ ¬ 1, ‖x‖ ¬ 1 (3.22)

= sup| < Ax, y∗ > | : ‖y∗‖ ¬ 1 , ‖x‖ ¬ 1 (3.23)

= ‖A‖ (3.24)


Stąd operator ten ma skończoną normę zatem jest ograniczony. Przy okazjiudowodniona została również druga część twierdzenia.

W niektórych pozycjach książkowych operator sprzężony definiowany jestjedynie dla przestrzeni Hilberta. Definicja ta jest często podawana ze względuna swoistą prostotę zapisu i rozumienia tego pojęcia. Przytoczmy ją w tymmiejscu i uzasadnijmy jej zgodność z powyższą definicją operatora sprzężonegodla przestrzeni B(X,Y ).

Twierdzenie 3.2.4. Operator sprzężony z operatorem liniowym ogra-niczonym w przestrzeni Hilberta[2]Niech X będzie przestrzenia Hilberta, a A ∈ B(X). Dla każdego elementu y ∈ Xistnieje funkcjonał liniowy i ciągły określony za pomocą wzoru:

fy(x) := (x, y) (3.25)

Istnieje wtedy operator A∗ taki, że:

fy(Ax) = (A∗fy)(x), x, y ∈ X (3.26)

Oczywiście uzyskany operator nazywamy sprzężonym do A.Dla wygody przyjmowanie jest więc, że operator sprzężony w takim wypadku

należy do przestrzeni B(X) zamiast B(X∗). Jest to prawda na mocy twierdzeniaRiesza ([2] roz. 43.1). Twierdzenie bowiem zapewnia nas, że dowolny funkcjonałposiada postać zdefiniowaną jak wyżej. Oznacza to izomorficzność przestrzeniX i X∗. Rozpisanie powyższej definicji, przy wykorzystaniu tej izomorficznościpokazuje, że w terminach iloczynu skalarnego odpowiada to równości:

(Ax, y) = (x,A∗y), x, y ∈ X (3.27)

Tak zdefiniowany operator posiada wiele ciekawych własności. Np. operator jestrówny operatorowi sprzężonemu jego sprzężenia, albo innymi słowy operator jestrówny swojemu drugiemu sprzężeniu. W ogólności taka własność nie zachodzidla dowolnych operatorów.

Izomoficzność przestrzeni Hilberta X i X∗ jest kluczowa przy definicji ope-ratora samosprzężonego. Operatory samosprzężone istnieją jedynie dla odwzo-rowań typu B(X) tj. ”odwzorowania w siebie”.

Definicja 3.2.5. Operator normalny i samosprzężonyNiech X - przestrzeń Hilberta. Operator A ∈ B(X) nazwiemy normalnym gdy:

AA∗ = A∗A, (3.28)

zaś samosprzężonym nazwiemy go gdy:

A∗ = A (3.29)

Przykładem operatora samosprzężonego w przestrzeni Hilberta jest iden-tyczność. Oczywiście jeśli A = I to (Ax, y) = (x,Ay) dla dowolnych x, y ∈ X-przestrzeni Hilberta. Jest to więc najprostszy przykład operatora samosprzężo-nego.


3.3 Operatory zwarte - operatory pełnociągłe

Spośród wielu klas operatów z punktu widzenia wprowadzanej teorii, niezwykleistotne są operatory zwarte, którym poświęcony jest niniejszy rozdział. W lite-raturze spotyka jest również starsza ich nazwa - operatory pełnociągłe. W tejpracy przyjmujemy umowę, że stosowane jest jedynie pojęcie operatora zwarte-go.

Definicja 3.3.1. Operator zwarty[2]Powiemy że operator A ∈ B(X,Y ) jest zwarty, jeśli obraz dowolnego zbioruograniczonego w X, jest prezwarty w Y.

Przyjrzyjmy się teraz dokładniej własnością operatorów zwartych.

Własności operatorów zwartych

Następujący fakt pozwala nam umieścić pojęcie operatora zwartego pośród ope-ratorów ograniczonych.

Twierdzenie 3.3.2. Ograniczoność operatora zwartegoKażdy operator zwarty jest ograniczony.

Dowód. Przypuśćmy, że jest przeciwnie, tj. że istnieje operator nieograniczonya zwarty. Z nieograniczoności wynika, że istnieje zbiór ograniczony, będący pod-zbiorem dziedziny operatora, o nieograniczonym obrazie. Wtedy można wybraćciąg punktów z obrazu rozbieżny co do modułu do nieskończoności. Taki ciągpunktów nie posiada podciągu zbieżnego. Zatem wskazany obraz nie jest zbio-rem prezwartym. Jednakże jest on obrazem zbioru ograniczonego przez operatorzwarty. Zatem powinien być prezwarty. Uzyskaliśmy zatem sprzeczność, mylnieprzypuszczając, że istnieje nieograniczony operator zwarty.

Zatem każdy operator zwarty jest ograniczony. Odwrotna własność jednakżenie zachodzi. Przykładem jest operator identycznościowy, który co prawda prze-prowadza zbiory ograniczone na ograniczone, jednakże obraz zbioru ograniczo-nego ale nie prezwartego, nie jest prezwarty. Zauważmy, że jeśli operator zwartyjest liniowy to zgodnie z twierdzeniem 3.1.2 jest on również ciągły. Operatoryzwarte stanowią zatem właściwą podklasę operatorów ograniczonych. Pokażemyteraz najprostsze własności tej podklasy.

Niech X,Y będą określonymi przestrzeniami liniowymi. Operator A ∈ B(X,Y )nazwiemy skończenie wymiarowym jeśli zbiór jego wartości stanowi podprze-strzeń skończenie wymiarową przestrzeni Y.

Twierdzenie 3.3.3. O zwartości operatora skończenie wymiarowego[2]Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi, to każdy operator skończeniewymiarowy A ∈ B(X,Y ) jest zwarty.

Dowód. Dowód opiera się o twierdzenie o warunków koniecznym i dostatecz-nym zwartości zbioru w przestrzeniach skończenie-wymiarowych ([2] roz.26.1).Z ograniczoności operatora zwartego wynika, że przeprowadza on zbiory ograni-czone w zbiory ograniczone. Twierdzenie zaś mówi, że dla skończenie wymiaro-wej przestrzeni unormowanej, zbiór jest prezwarty wtedy i tylko wtedy gdy jestograniczony. Zatem wobec przytoczonego twierdzenia, operator ten przeprowa-dza zbiory ograniczone w zbiory prezwarte, co świadczy o zwartości operatora idowodzi tezy.


Powyższe twierdzenie posiada bardzo istotne znaczenie praktyczne, gdyż wpraktyce posługujemy się przestrzeniami skończenie wymiarowymi. Twierdzenierozstrzyga zatem, że możemy swobodnie zakładać, że dowolny taki operatorbędzie posiadał cechy operatora zwartego.

Kolejne twierdzenie pokaże, że działania algebraiczne wprowadzone w prze-strzeni operatorów, nie wyprowadzają poza podzbiór operatorów zwartych. Bę-dzie to zatem podprzestrzeń wektorowa przestrzeni operatorów ograniczonych.

Twierdzenie 3.3.4. O liniowości przestrzeni operatorów zwartych[2]Niech X,Y będą przestrzeniami unormowanymi. Niech operatory A1,A2,A ∈B(X,Y ) będą operatorami zwartymi oraz niech α będzie dowolnym skalarem zodpowiedniego ciała skalarów. Wtedy operatory

A1 + A2, αA (3.30)

także są zwarte.

Dowód. Szkic dowoduRozpocznijmy szkicem dowodu dla sumy operatorów. Załóżmy, że mamy zbiórograniczony, zatem jego obrazy przez oba operatory są prezwarte. Rozważmypewien dowolny ciąg elementów dziedziny operatora. Ważnym dla nas jest abyistniał ciąg indeksów, dla których ciąg wartości operatorów na danych dwóchciągach jest zbieżny w domknięciu obrazu. Taki ciąg indeksów oczywiście ist-nieje.

By to uzasadnić zauważmy, że ciąg wartości pierwszego operatora na wy-branym ciągu musi posiadać podciąg zbieżny. Zatem istnieje taki ciąg indeksówdla operatora pierwszego. Z kolei zauważmy, że ciąg wartości drugiego opera-tora oparty o podciąg złożony z tych właśnie indeksów również musi posiadaćpodciąg zbieżny. Wybierają spełniający to wymaganie ciąg indeksów otrzymu-jemy szukany ciąg indeksów, dla którego podciąg wartości operatora pierwszegojest zbieżny (jako podciąg ciągu zbieżnego), jak i dla drugiego operatora. Doprezwartości obrazu sumy operatorów wystarczy przypomnieć, że suma dwóchciągów zbieżnych jest ciągiem zbieżnym, a element graniczny w sposób oczywi-sty należy do domknięcia. Dla mnożenia sposób dowodzenia jest oczywisty.

Powyższe twierdzenie uzasadnia istnienie w przestrzeni operatorów zwar-tych struktury algebraicznej. Następnie zbadamy zachowanie ciągów zbieżnychoperatorów zwartych.

Twierdzenie 3.3.5. O granicy ciągów operatorów zwartych [2]Niech X- przestrzeń unormowana oraz Y- przestrzeń Banacha. Niech Ann∈N ⊂B(X,Y ) będzie ciągiem operatorów zwartych, takich że An → A, gdzie zbieżnośćrozumiemy jako zbieżność wg normy. Wtedy operator A też jest zwarty.

Dowód tego twierdzenia można odszukać w [2] roz. 46.4Ostatnim istotnym dla nas faktem jest przenoszenie własności zwartości ope-

ratora na operatory sprzężone.

Twierdzenie 3.3.6. O zwartości operatora sprzężonego[1]Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha i niech operator A ∈ B(X,Y ) będziezwarty. Wówczas operator A∗ również jest zwarty.


Dowód. Załóżmy, że A jest operatorem zwartym. Udowodnimy, że jego operatorsprzężony jest zwarty. By dowieść zwartości operatora A∗ weźmy dowolny ciągfunkcjonałów przestrzeni Y ∗ z dowolnego zbioru ograniczonego i oznaczmy gojako y∗nn∈N. Wskażemy zbieżny podciąg ciągu A∗y∗nn∈N.

Niech U ⊂ X będzie kulą jednostkową. Wobec zwartości operatora A jejobraz A(U) jest zbiorem prezwartym. Rozważmy rodzinę funkcjonałów postaci:

fn(y) =< y, y∗n >, y ∈ A(U) (3.31)

Zauważmy, że jest to podrodzina funkcji ciągłych określonych na zwartym pod-zbiorze. Wykażemy, że jest ona prezwarta z pomocą kryterium Ascoliego. Funk-cje te są wspólnie ograniczone gdyż:

‖fn(y)‖ ¬ ‖y∗n‖‖y‖ ¬ supn∈N‖y∗n‖‖A‖‖x‖ ¬ ‖A‖ sup

n∈N‖y∗n‖ n ∈ N, y ∈ A(U)

(3.32)Są również jednakowo ciągłe gdyż: dla dowolnego ε > 0 biorąc ‖y1−y2‖ < δ < ε

‖fn(y1)− fn(y2)‖ ¬ ‖y1 − y2‖ < ε n ∈ N (3.33)

Zatem z twierdzenia Ascoliego, zbiór funkcji fn jest zwarty. Oznacza to, że wciągu fnn∈N można wybrać podciąg fknn∈N zbieżny. Zauważmy, że

‖A∗y∗ki −A∗ykj‖ = sup‖ < x,A∗y∗ki −A∗y∗kj > ‖ : ‖x‖ ¬ 1 (3.34)

= sup‖ < Ax, y∗ki − y∗kj > ‖ : ‖x‖ ¬ 1 (3.35)

= sup‖fki(Ax)− fkj (Ax)‖ : ‖x‖ ¬ 1 (3.36)

dla i, j ∈ N. Wobec zbieżności jednostajnej na A(U) ciągu fknn∈N, ciągA∗y∗knn∈N okazuje się być C-ciągiem. Zupełność przestrzeni X∗ dowodzi iżoperator A∗ jest zwarty.

Dowodzi się również implikację odwrotną mówiącą, że jeśli operator sprzę-żony jest zwarty to operator wyjściowy także musi być zwarty.

3.4 Teoria spektralna, widmo operatora

Jedną z najważniejszych cech macierzy jest wartość własna. W niniejszej sekcjipostaramy się pokazać jak wartości własne można przenieść do teorii operatorówi o jakich własnościach operatora będzie ona decydować.

Definicja 3.4.1. Wartość regularna[2]Niech A ∈ B(X) będzie operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni Ba-nacha X. Liczbę λ nazwiemy wartością regularną jeśli równanie

Af − λf = g (3.37)

ma dla każdego g dokładnie jedno rozwiązanie.

Powyżej zdefiniowaną wartość regularną możemy rozumieć na dwa sposoby.Albo jako uparametrycznienie równania, z poszukiwaniem parametrów dla któ-rych pewien operator Aλ := A−λI odwzorowuje przestrzeń w siebie. Mało tego,


istnienie i jednoznaczność rozwiązania wystarcza nam do tego by powiedzieć iżistnieje operator odwrotny do operatora Aλ . Drugie podejście nakazuje patrzećna zbiór wartości własnych jak na pewną miarę odporności równania na utratęrozwiązania. Opuszczenie zbioru wartości regularnych może spowodować zanikrozwiązań równania lub ich niejednoznaczność. Badanie zachowania operatoraw tym dopełnieniu jest dla nas również bardzo istotne.

Definicja 3.4.2. Widmo operatora[2]Zbiór wartości λ ∈ K(R lub C) nie będących regularnymi dla operatora A na-zwiemy widmem operatora A.

Rozważając jednorodność w równaniu (3.37), możemy wprowadzić pojęciewartości własnej.

Definicja 3.4.3. Wartość własna[2]Powiemy że liczba λ jest wartością własną operatora A jeśli równanie

Ax− λx = 0 (3.38)

posiada niezerowe rozwiązanie.

Każde takie rozwiązanie nazywać będzie elementem własnym odpowiadają-cym wartości własnej. Zbiór wszystkich elementów własnych odpowiadającychwartości własnej z dołączonym zerem nazwiemy podprzestrzenią własną war-tości własnej. Jest to domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni X. Łatwozauważyć, że każda wartość własna danego operatora należy do jego widma.

Zauważmy również, że jest to definicja zgodna z definicją wartości własnej dlamacierzy. Jeżeli rozważamy operator dany przez macierz, to powyższa definicjastwierdza, że jeśli λ będzie wartością własną to równanie

(A− λI)x = 0 (3.39)

posiada rozwiązania niezerowe. Układ ten jednakże na pewno ma rozwiązaniew postaci x = 0. W połączeniu z czym fakt, że posiada on inne rozwiązaniarozstrzyga, że wyznacznik macierzy A − λI musi być równy zero. Co oznacza,że λ jest wartością własną również według definicji znanej z algebry liniowej.

Z perspektywy tej pracy najistotniejszym dla nas jest wykorzystanie twier-dzeń spektralnych do dowodzenia faktów z zakresu teorii równań całkowych.

Podajmy jeszcze bez dowodu lemat pokazujący wpływ zmian parametru λw równaniu

Af − λf = g (3.40)

na posiadanie jednoznacznego rozwiązania.

Lemat 3.4.4. O rozwiązaniu w postaci szeregu von Neumanna[2]Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech operator A ∈ B(X). Jeżeli ‖A‖|λ| < 1to równanie

Aλf − f = g (3.41)

ma dla każdego y ∈ X dokładnie jedno rozwiązanie w postaci sumy szeregu vonNeumanna tj.:

f = g +∞∑n=1

An

λng (3.42)


Obserwacja którą należy tutaj poczynić, jest fakt, że odpowiednio duże codo normy λ zawsze będą wartościami regularnymi. Oznacza to, że najbardziejbadane przez nas będą λ bliskie zeru.

3.5 Widmo operatora zwartego

W rozdziale 4.5 udowodnione zostanie, że rozważane przez nas operatory cał-kowe są zwarte. Skupimy się na zagadnieniu widma jedynie dla operatorówtej klasy. Zaprezentowana tu teoria Riesza, stanowi odpowiedź na pytanie ouzasadnienie szerokiej analogii operatorów całkowych i układów równań alge-braicznych, które zaobserwował Fredholm. Na poniższe twierdzenie będziemypowoływać się w późniejszych etapach tej pracy.

Twierdzenie 3.5.1. Teoria Riesza[2]Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech danych będzie operator zwarty A ∈B(X). Wtedy

1. Każda liczba λ 6= 0 należąca do widma operatora A jest wartością własną.

2. Dla każdej wartości własnej λ 6= 0 odpowiednia podprzestrzeń własna jestskończenie wymiarowa

3. Zbiór wszystkich wartości własnych operatora jest co najwyżej przeliczalny.Jedynym punktem skupienia może być tylko λ = 0.

W dowodzie tym skorzystamy z następującego lematu.

Lemat 3.5.2. O ilości rozwiązań równania całkowegoNiech dana będzie przestrzeń Banacha X oraz operator A ∈ B(X). Jeżeli λ wrównaniu

Ax− λx = y (3.43)

nie jest wartością własną, to równanie to posiada dla dowolnego y ∈ X najwyżejjedno rozwiązanie.

Dowód. Możliwe są dwa przypadki. Załóżmy najpierw, że λ jest wartością re-gularną. Wtedy z definicji teza jest spełniona. Załóżmy zatem, że λ należy dowidma operatora. Wtedy dla wybranego y ∈ X równanie może

1. nie mieć rozwiązania

2. mieć jednoznaczne rozwiązanie

3. mieć niejednoznaczne rozwiązanie

Niech y ∈ X. Przypuśćmy, że równanie jest w przypadku 3. Zatem istniejąrozwiązania x1 6= x2 i zachodzą następujące równości:

Ax1 − λx1 = y, Ax2 − λx2 = y (3.44)

Wykonując odejmowanie stronami otrzymujemy:

A(x1 − x2)− λ(x1 − x2) = y − y = 0 (3.45)

gdzie x1−x2 6= 0. Sprzeczność, gdyż oznaczałoby to, że λ jest wartością własnąoperatora. Zatem i w tym przypadku możliwe jest jedynie by wystąpił brakrozwiązania lub jego jednoznaczność rozwiązania. Wobec dowolności y ∈ Xzachodzi teza lematu.


Lemat ten nie został zamieszczony w żadnej z pozycji bibliograficznych. Treśći dowód są autorskie.

Udowodnijmy teraz kolejno wszystkie 3 punkty.

Dowód. Ad 1Przypuśćmy, wbrew tezie, że istnieje pewien skalar λ nie będący wartością wła-sną, ale należący do widma. Zatem istnieje pewien element y0 ∈ X dla któregorównanie,

Ax− λx = y0 (3.46)

nie posiada rozwiązań. Element taki istnieje gdyż, na mocy lematu dla równaniemoże mieć najwyżej jedno rozwiązanie dla y ∈ Y . Gdyby dla każdego y ∈ Yistniało jednoznaczne rozwiązanie, λ nie należałaby do widma. Zatem takie y0

na pewno istnieje.Wprowadźmy oznaczenia:

1. Aλ = A− λI

2. X0 := X

3. Xn := (Aλ)n(X)

Tak zdefiniowany ciąg zbiorów Xn jest ciągiem zstępującym i tworzy podprze-strzeń liniową (wobec liniowości operatora Aλ). Ponadto zachodzi An+1

λ (X) 6=Anλ(X), n ∈ N. Rozważmy ciąg elementów postaci

yn = Anλy0 (3.47)

Oczywiście yn ∈ Xn, n ∈ N. Wykażemy indukcyjnie, że yn ∈ Xn \Xn+1, n ∈ N.Oczywiście y0 ∈ X0 \ X1, gdyż przypuszczając, że y0 ∈ X1 otrzymujemy, żeistnieje takie x0 ∈ X, że

y0 = A1λ(x0) = Aλ(x0) = Ax0 − λx0 (3.48)

Co jest sprzecznością z warunkiem (3.46), mówiącym, że takiego rozwiązanianie ma. Niech n ∈ N. Załóżmy, że

yn ∈ Xn \Xn+1 (3.49)

Twierdzimy, że:yn+1 ∈ Xn+1 \Xn+2. (3.50)

Przypuśćmy nie wprost, że yn+1 ∈ Xn+2. Zatem istnieje wtedy pewien x0 ∈ Xtaki, że:

An+2λ (x0) = yn+1 = Aλ(yn) (3.51)

Przekształcając powyższe otrzymujemy:

Aλ(yn −An+1(x0)) = 0 (3.52)

Wobec tego, że λ nie jest wartością własną, równanie Aλz = 0, ma dokładniejedno rozwiązanie z = 0. Zatem

yn = An+1λ (x0) (3.53)


co świadczy o tym, że yn ∈ An+1λ (X) i co jest sprzeczne z założeniem induk-

cyjnym. Wobec dowolności n ∈ N na mocy indukcji matematycznej, elementyciągu yn spełniają warunek yn ∈ Xn \Xn+1, n ∈ N.

Chcemy wykazać domkniętość. Wykażmy zatem, że istnieje liczba rzeczywi-sta γ > 0 spełniająca warunek

|Aλx| γ|x|, x ∈ X (3.54)

By tego dowieść przypuśćmy, że taka stała nie istnieje. Rozważmy ciąg znn∈N ⊂X dla którego:

|Azn − λzn| <1n|zn| (3.55)

Na podstawie naszego przypuszczenia stwierdzamy, że ciąg taki na pewno ist-nieje. Podstawiając zn := xn · |zn| otrzymujemy:

|Axn − λxn| <1n

(3.56)

Ciąg Axn należy do obrazu zbioru ograniczonego w X, zatem wobec zwartościoperatora A zawiera się on w zbiorze prezwartym. Daje się więc wybrać ciągindeksów kn taki, że

Axkn → x0 (3.57)

Wobec (3.56), zachodzi zbieżność ciagu λxkn → x0. Wobec twierdzenia o ciągło-ści normy zauważamy, że |x0| = |λ| 6= 0. Zauważmy, że ciągi λAxkn = A(λxkn)są sobie równe wobec liniowości operatora A. Zatem ich granice są sobie równieżrówne. Korzystając z ciągłości operatora A otrzymujemy zatem: λx0 = Ax0.Wobec faktu, że |x0| 6= 0 oznaczało by to, że λ była by wartością własną.Sprzeczność.

Stąd|Aλx| γ|x|, x ∈ X (3.58)

Zauważmy, że Aλx ∈ X co oznacza, że:

|Aλ(Aλx)| γ|(Aλx)| γ2|x| (3.59)

Korzystając z powyższego indukcyjnie łatwo dowieść, że

|Anλx| γn|x| (3.60)

Udowodnimy teraz domkniętość zbiorówXn. Niech n ∈ N oraz niech znk , k ∈ Nbędzie zbieżnym ciągiem w przestrzeni X elementów z Xn. Wykażemy, że gra-nica tego ciągu należy do Xn. Istnieje taki ciąg xk taki, że An

λ(xk) = znk . Wobec3.60 zachodzi:

|znk − znj | = |Anα(xk − xj)| γn|xk − xj |, k, j ∈ N (3.61)

Zbieżność ciągu znk dowodzi, że xk jest C-ciągiem w przestrzeni Banacha X.Zatem istnieje element x0 będący granicą ciągu xk. Wobec ciągłości operatoraA:

Ax0 = y0 (3.62)

Skąd y0 ∈ Xn. Co wobec dowolności n ∈ N dowodzi domkniętości zbiorów Xn.Zatem każdy ze zbiorów Xn ma strukturę podprzestrzeni liniowej z działaniamiz przestrzeni X, jest domknięty i zawiera Xn+1 w sposób właściwy. Na mocylematu Riesza [2], będzie istniał ciąg vn elementów o następujących właściwo-ściach:


1. |vn| = 1, n ∈ N, vn ∈ Xn

2. |vn − x| 12 dla x ∈ Xn+1

Rozważmy x = vm − 1λ (Aλvn −Aλvm) gdy m > n. Zauważmy, że wtedy x ∈

Xn+1 jako kombinacja liniowa elementów z Xn+1. Stąd, wobec symetrii , modułróżnicy

|Avn −Avm| = λ|vn − x| λ12, n 6= m (3.63)

Ciąg o takiej własności nie może mieć oczywiście podciągu zbieżnego. Ciąg vnjest jednak oczywiście ograniczony skąd oczywiście wynika, że ciąg Avn należydo pewnego prezwartego zbioru. Zatem sprzeczność z przypuszczeniem, że jestniezerowy skalar w widmie nie będący wartością własną.

Ad 2Przypuścmy, że dla pewnego λ przestrzeń własna jest nieskończenie wymiarowa.Wiadomym jest, że każda przestrzeń nieskończenie wymiarowa unormowana po-siada zbiory ograniczone ale nie prezwarte. Niech xn będzie ciągiem wybranymz takiego zbioru, niezawierającym podciągu zbieżnego. Zatem ciąg λxn rów-nież nie zawiera podciągu zbieżnego. Z drugiej jednak strony ciąg A(xn) należydo prezwartego obrazu operatora A na zbiorze ograniczonym. Zatem ten ciągposiada podciąg zbieżny. Jednakże w przestrzeni własnej zachodzi równość

Ax = λx, x ∈ Xλ(A) (3.64)

Stąd otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem każda przestrzeń własna musi być skoń-czenie wymiarowa.

Ad 3Przypuśćmy, że zbiór wartości własnych operatora A posiada różny od zerapunkt skupienia. Zatem istnieje ciąg λn różnych wartości własnych o normiepowyżej pewnej stałej dodatniej ε. Niech xn będzie niezerowym elementem wła-snym dla wartości własnej λn. Zauważmy, że jeśli układ x1, . . . , xn jest liniowoniezależny to również układ x1, . . . , xn, xn+1 jest liniowo niezależny. W przeciw-nym wypadku xn+1 ma postać:

xn+1 =n∑i=1

aixi (3.65)

którą wstawiając do :

0 = Axn+1 − λn+1xn+1 =n∑i=1

ai(Axi − λn+1xi) =n∑i=1

ai(λi − λn+1)xi (3.66)

Co wobec liniowej niezależności x1, . . . , xn pokazuje, że xn+1 = 0 wbrew za-łożeniu niezerowości. Zatem każdy układ x1, . . . , xn jest liniowo niezależny dladowolnego n ∈ N.

Oznaczmy przestrzenie rozpięte na układach x1, . . . , xn przez odpowiednioXn. Jako podprzestrzenie skończenie wymiarowe przestrzeni Banacha są onedomknięte. Oczywiście dla dowolnego n, Xn jest podprzestrzenią właściwą dlaXn+1, co pozwala nam zastosować ponownie lemat Riesza. Istnieje zatem ciągvn o własnościach:

1. |vn| = 1, n ∈ N, vn ∈ Xn


2. |vn − x| 12 dla x ∈ Xn−1

dla n ∈ N \ 1.Niech n > m, dla x = 1

λn(λnvn − Avn) + 1

λmAvm. Łatwo zauważyć, że

λnvn − Avn należy do Xn, jednakże rozpisując postać vn w bazie x1, . . . , xnzauważamy, że element nie zależy od xn a zatem należy do Xn−1. PodobnieAvm ∈ Xm ⊂ Xn−1. Zatem x ∈ Xn−1. Wobec rezultatu lematu Riesza:

12¬ |vn − x| = |A(

vnλn

)−A(vmλm

)| (3.67)

Z dowolności n,m i ich symetrii ciąg A( vnλn ) nie posiada podciągów zbieżnych.Jednakże ciąg vnλn n∈N jest ograniczony gdyż:

| vnλn| = 1|λn|

¬ 1ε

(3.68)

Zatem sprzeczność z zwartością operatora A. Zatem zbiór wartości własnych maco najwyżej jeden punkt skupienia będący zerem. Na mocy uwagi po lemacie3.4.4, wiemy że zbiór widma jest ograniczony przez kulę K(0, ‖A‖). Zatem jeśli0 nie jest punktem skupienia zbioru wartości własnych to zbiór ten musi byćskończony. Jeśli zero jest punktem skupienia, zbiór ten może być co najwyżejprzeliczalny.

Skorzystamy również z twierdzenia, które zademonstruje nam związek po-między przestrzeniami sprzężonymi a wartościami własnymi.

Twierdzenie 3.5.3. O ortogonalności podprzestrzeni własnej i rozwiązania[2]Niech X będzie przestrzenią Hilberta X, a A ∈ B(X) operatorem zwartym i niechλ 6= 0 będzie skalarem. Wtedy

1. λ jest wartością własną operatora A wtedy i tylko wtedy gdy λ jest war-tością własną operatora A∗. Gdy λ jest wartością własną jej przestrzeńwłasna ma identyczny wymiar z przestrzenią własną λ operatora A∗.

2. Jeżeli λ jest wartością własną, to równanie

Ax− λx = y (3.69)

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy y jest ortogonalny do podprzestrzeniwłasnej Xλ(A∗).

Dowód opiera się o Teorię Riesza oraz konstrukcję operatora sprzężonego iprzestrzeni własnej, i można go znaleźć w [2] roz. 52.4.

Rozdział 4

Operatory całkowe

4.1 Operatory całkowe

W dalszej części pracy nasze rozważania ograniczą się do tzw. operatorów cał-kowych. Operatory te definiujemy następująco:

Definicja 4.1.1. Operator całkowy[2]Niech dany będzie podzbiór Ω przestrzeni euklidesowej m-wymiarowej. NiechX,Y przestrzeni unormowane funkcji określonych na Ω oraz niech A będziefunkcją określoną na produkcie Ω×Ω mającą tą własność, że dla każdej funkcjiu ∈ X poniższa całka Lebesgue’a jest dobrze określona funkcją z Y.

v(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy, x ∈ Ω (4.1)

Przyporządkowanie X 3 u→ v ∈ Y dla funkcji u,v z równania (4.1), nazwiemyoperatorem całkowym A i będziemy zapisywać równanie w postaci:

Au = v (4.2)

Funkcję A nazywać będziemy jądrem danego operatora całkowego. Stoso-wany szeroko podobny sposób zapisu dla operatora całkowego i jądra opera-tora całkowego wynika z silnej zależności pomiędzy operatorem, a jądrem. Wwiększości przypadków nie prowadzi do nieporozumień nawet stosowanie tegosamego oznaczenia dla jądra i operatora. Powyższa definicja jest w swej naturzebardzo ogólna, jednakże sformułowanie ”poniższa całka jest dobrze określonąfunkcją” pozostawia spory obszar poszukiwań. Dlatego najczęściej rozważa sięjedynie przestrzenie gdzie, na mocy odpowiednich twierdzeń ta poprawność jestzapewniona. Bardzo ważną uwagą jest to, że operatory całkowe niezależnie odrozważanych przestrzeni są operatorami liniowymi.

4.2 Rodzaje operatorów całkowych

Operatory całkowe i ich klasyfikacja są tak ściśle związane z przypisanymi imjądrami całkowymi, zatem klasyfikację operatorów całkowych należy rozpocząćod klasyfikowania jąder.

21

ROZDZIAŁ 4. OPERATORY CAŁKOWE 22

Definicja 4.2.1. Operator całkowy o ciągłym jądrze w przestrzeni C(Ω)[2]Niech X = Y = C(Ω) oraz A ∈ C(Ω× Ω), przyjmując:

(Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy u ∈ C(Ω) (4.3)

określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń C(Ω) w siebie.

Tak zdefiniowany operator całkowy jest poprawnie określony. Całka z funkcjiciągłej na zwartym podzbiorze zawsze istnieje i będzie ciągłą funkcją pozosta-łych parametrów. Udowodnienie ograniczoności tego operatora jest trywialne.

Powyższy operator da się uogólnić na szerszą klasę funkcji. Wiemy bowiem,że nie tylko funkcje ciągłe można całkować.

Definicja 4.2.2. Operator całkowy o ciągłym jądrze w przestrzeni L2(Ω)[2]Niech X = Y = L2(Ω), dla Ω ⊂ Em - zwarty podzbiór m-wymiarowej przestrzenieuklidesowej, oraz A ∈ C(Ω× Ω), to kładąc:

∀u ∈ L2(Ω) (Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy (4.4)

określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń L2(Ω) w siebie.

Istnienie powyższej całki jest konsekwencją ograniczoności funkcji jądra. Jed-nostajna ciągłość jądra względem kompletu zmiennych (x,y) przenosi się naciągłość względem wartości operatora. Zatem zauważamy, że operator ten przy-porządkowuje funkcjom klasy L2(Ω) funkcje ciągłe. Niewątpliwie jest to zatemodwzorowanie w siebie przestrzeni L2(Ω), której podprzestrzenią są przecieżfunkcje ciągłe. Jednakże zauważamy, że tak silne założenia o jądrze operatorapowoduje zawężenie zbioru wartości operatora do węższej niż rozważana klasa.Stąd osłabiając warunki nałożone na jądro operatora otrzymujemy ogólniejszyoperator.

Definicja 4.2.3. Operator całkowy z jądrem kwadratowym w przestrzeni L2(Ω)[2]Gdy X = Y = L2(Ω) oraz A - funkcją mierzalną określoną na produkcie (Ω×Ω)taką że: ∫∫

Ω×Ω

|A(x, y)|2dxdy <∞ (4.5)

przyjmując:

∀u ∈ L2(Ω) (Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy (4.6)


Jądro spełniające warunek (4.5) nazywać będziemy kwadratowym.Uzasadnienie przekształcenia w siebie wymaga tym razem szerszego komen-

tarza. Zgodnie z twierdzeniem Fubiniego:∫∫Ω×Ω

|A(x, y)|2dxdy =∫Ω

(∫Ω

|A(x, y)|2dy)dx (4.7)


Wykorzystując powyższe oraz nierówność Buniakowskiego otrzymujemy:

|(Au)(x)|2 = |∫Ω

A(x, y)u(y)dy|2 ¬∫Ω

|A(x, y)|2dy∫Ω

|u(y)|2dy (4.8)

Wobec tego również dla całek tych funkcji zachodzi:∫Ω

|(Au)(x)|2dx ¬∫Ω

(∫Ω

|A(x, y)|2dy)dx∫Ω

|u(y)|2dy < +∞ (4.9)

Zatem funkcja A(u) jest również klasy L2(Ω). Ponadto przyglądając się (4.9) za-uważmy, że warunek ten zapewnia również ograniczoność tego operatora. Zatemten operator całkowy jest ograniczonym liniowym operatorem przekształcają-cym przestrzeń L2(Ω) w siebie.

4.3 Jądra słabo osobliwe

Istnieje jeszcze inna klasa jąder, która również zapewnia przekształcenie prze-strzeni L2(Ω) w siebie. Są to jądra słabo osobliwe.

Definicja 4.3.1. Jądro słabo osobliwe[2]Niech dany będzie zbiór mierzalny i ograniczony Ω w przestrzeni euklidesowejm-wymiarowej Em. Powiemy, że jądro jest słabo osobliwe, jeśli daje się je przed-stawić w postaci:

A(x, y) =H(x, y)|x− y|α

(4.10)

gdzie 0 < α < m natomiast x, y ∈ Ω, x 6= y, zaś funkcja H jest funkcją mierzalnąi ograniczoną.

Jądra słabo osobliwe są oczywiście całkowalne. Ponadto dowodzi się, że je-żeli α < 1

2m to jest ono jądrem kwadratowym. Jednakże nie wszystkie jądrakwadratowe są słabo osobliwe.

Definicja 4.3.2. Operator całkowy z jądrem słabo osobliwym w przestrzeni L2(Ω)[2]Gdy Ω ⊂ Em jest ograniczonym zbiorem mierzalnym, X = Y = L2(Ω) oraz Ajest słabo osobliwym jądrem to przyjmując:

∀u ∈ L2(Ω) (Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy (4.11)


W uzasadnieniu ograniczoności i działania operatora w przestrzeń L2(Ω)wykorzystamy następujący lemat, który łatwo można wykazać stosując zmiennebiegunowe.

Lemat 4.3.3. Jeżeli 0 < α < m to istnieje pewna stała γ > 0, że dla każdychdwóch punktów x, y ∈ Rm i dowolnej liczby r > 0 zachodzi:∫

K(x,r)

1|y − z|α

dz ¬ γrm−α (4.12)

jeśli |y − x| < r.


Możemy zatem przejść do dowiedzenia odpowiedniego działania wskazanegooperatora całkowego. Niech dana będzie funkcja u - całkowalna. Wobec lematuwiemy, że ∫

Ω

1|x− y|αdy

¬ γ0 (4.13)

Gdyż Ω będąc ograniczonym na pewno zawiera się w kuli o środku w x i od-powiednio dużym promieniu. Stąd powyższa całka na pewno jest ograniczona.Korzystając z definicji jądra słabo osobliwego, twierdzenia Fubiniego oraz (4.13)otrzymujemy:∫

Ω×Ω

|H(x, y)||u(y)||x− y|α

dxdy ¬∫Ω

(∫Ω

|H(x, y)||x− y|α

dx)|u(y)|dy (4.14)

¬ supx,y∈Ω

|H(x, y)|γ0

∫Ω

|u(y)|dy <∞ (4.15)

Co dowodzi działania w siebie w przestrzeń funkcji całkowalnych. Niech tymrazem dana będzie funkcja u całkowalna w kwadracie modułu.

Na mocy nierówności Buniakowskiego:

|(Au)(x)|2 ¬ |∫Ω

H(x, y)u(y)|x− y|α2

1|x− y|α2

|2 (4.16)

¬ supx,y∈Ω

|H(x, y)|2γ0

∫Ω

|u(y)|2

|x− y|αdy (4.17)

Zatem całkując powyższe i zamieniając zmienne∫Ω

|(Au)(x)|2dx ¬ supx,y∈Ω

|H(x, y)|2γ0

∫Ω

(∫Ω

|u(y)|2

|x− y|αdy)dx (4.18)

¬ supx,y∈Ω

|H(x, y)|2γ0

∫Ω

(∫Ω

1|x− y|α

dx)|u(y)|2dy(4.19)

¬ ( supx,y∈Ω

|H(x, y)|)2γ20

∫Ω

|u(y)|2dy <∞ (4.20)

Ostatnie oznacza ponadto, że operator jest ograniczony.

Definicja 4.3.4. Operator całkowy z jądrem słabo osobliwym w przestrzeni C(Ω)[2]Gdy Ω ⊂ Em jest zbiorem zwartym, X = Y = C(Ω) oraz A jest słabo osobliwymjądrem takim, że funkcja H (z definicji 4.3.1) jest ciągła, to przyjmując:

∀u ∈ L2(Ω) (Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy (4.21)

określamy operator całkowy odwzorowujący przestrzeń C(Ω) w siebie.

Fakt iż jest to operator odwzorowujący w siebie jest widoczny wiec pozo-stawmy to bez dowodu.


4.4 Klasyfikacja równań całkowych

Pierwotnie około roku 1900 w pracach Volterry i Fredholma rozważane byłyjedynie całki funkcji określonych na podzbiorach osi rzeczywistej i jąder cał-kowych określonych na iloczynie kartezjańskim podzbiór osi rzeczywistej. Zewzględu na występujące postacie liniowych równań całkowych ograniczono siędo dwóch głównych typów tych równań:

1. Równań Volterry - które były rozważane jako pierwsze

(a) pierwszego rodzaju

x∫a

A(x, y)f(y)dy = g(x) x ∈ (a, b) (4.22)

(b) drugiego rodzaju

f(x)−x∫a

A(x, y)f(y)dy = g(x) x ∈ (a, b) (4.23)

2. Równań Fredholma

(a) pierwszego rodzaju

b∫a

A(x, y)f(y)dy = g(x) x ∈ (a, b) (4.24)

(b) drugiego rodzaju

f(x)−b∫a

A(x, y)f(y)dy = g(x) x ∈ (a, b) (4.25)

Gdzie funkcje f i g należały do odpowiednich klas przestrzeni funkcyjnych, po-dobnie jak jądra przekształceń należały do odpowiednich dla nich klas prze-strzeni funkcyjnych.[3]

Dowodzi się, że każde z równań Volterry daje się sprowadzić do równańFredholma [3]. Odkrycie tego spowodowało, że rozwój badań nad równaniamicałkowymi ukierunkował się na równania Fredholma. Szerzej o własnościachtych równań będzie powiedziane więcej w rozdziale 5.

4.5 Zwartość operatorów całkowych

Okazuje się że dla licznych klas jąder równań całkowych, operator całkowy oka-zuje się być zwartym.

Twierdzenie 4.5.1. Zwartość operatora całkowego dla przestrzeni C(Ω)[2]Operator całkowy A ∈ B(C(Ω)) z jądrem A ciągłym jest zwarty.


Dowód. Niech A ∈ B(C(Ω)) będzie operatorem całkowym z jądrem A ciągłym.Niech ponadto Z ⊂ C(Ω) będzie zbiorem ograniczonym. Wtedy funkcje u ∈ Zsą wspólnie ograniczone przez pewne µ > 0. Wobec ograniczoności operatoracałkowego w przestrzeni B(C(Ω)), również funkcje Au są wspólnie ograniczone.

Ponadto wobec jednostajnej ciągłości funkcji A dla ∀ε > 0∃δ > 0∀(x1, y), (x2, y) ∈ Ω× Ω, |x1 − x2| ¬ δ : zachodzi

|A(x1, y)−A(x2, y)| < ε

µ|Ω|(4.26)

Wobec czego

|Au(x1)−Au(x2)| = |∫Ω

A(x1, y)−A(x2, y)u(y)dy| < |Ω|µ ε

µ|Ω|= ε (4.27)

Co świadczy o jednakowej ciągłości funkcji u ∈ Z. Na mocy twierdzenia Asco-liego, zbiór A(Z) jest prezwarty. Z dowolności wyboru Z otrzymujemy zwartośćoperatora A.

Wobec powyższego twierdzenia operatory całkowe określone na przestrzeniBanacha B(C(Ω)) są zwarte. Kolejne twierdzenie dowodzi, że jest tak równieżdla szerszej klasy funkcji L2(Ω).

Twierdzenie 4.5.2. Zwartość operatora całkowego dla przestrzeni L2(Ω)[2]Operator całkowy A ∈ B(L2(Ω)) z jądrem A kwadratowym, jest zwarty.

W dowodzie tego istotnego faktu posłużymy się rozwiązaniem przypadkuskończenie wymiarowego i z pomocą twierdzenia 3.3.5 wywnioskujemy zwartośćze zwartości ciągu ciągu operatorów doń zbieżnych.

Dowód. Rozważmy operator z jądrem zdegenerowanym tzn. takim że:

A(x, y) =n∑k=1

γkak(x)bk(y) (4.28)

gdzie γk ∈ K elementy ciała skalarów, natomiast ak, bk ∈ L2(Ω). Wtedy oczywi-ście operator A dział w przestrzeń skończenie wymiarową. Jako operator skoń-czenie wymiarowy jest on zatem zwarty.

Powróćmy zatem do ogólnego jądra kwadratowego. Niech (uk) będzie orto-normalnym układem zupełnym funkcji z przestrzeni L2(Ω). Wtedy funkcje po-staci un(x)um(y) stanowią ortonormalny układ zupełny w przestrzeni L2(Ω×Ω).Podprzestrzeń wszystkich kombinacji skończonych liniowych tych funkcji jest gę-sta w L2(Ω×Ω). Wobec tej gęstości dla jądra A istnieje ciąg jąder An zbieżny doA średnio kwadratowo. Zatem i ciąg odpowiednich operatorów An jest zbieżnydo operatora A. Jako, że jądra tych operatorów są zdegenerowane, to operatoryte są zwarte. Wobec twierdzenia 3.3.5, i operator A jest zwartym.

Z interesujących nas przestrzeni pozostały jeszcze przestrzenie oparte o ją-dra słabo osobliwe. Tu także okazuje się występować zwartość odpowiednichoperatorów.


Twierdzenie 4.5.3. Zwartość operatora całkowego dla jąder słabo-osobliwychw C(Ω)[2]Operator całkowy A ∈ B(C(Ω)) z jądrem A słabo-osobliwym jest zwarty.

Dowód. Szkic dowoduW dowodzie tego faktu, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu definiujemyciąg operatorów zbieżnych do danego, pokazujemy ich zwartość i wnioskujemyzwartość operatora granicznego. Rozważany tu będzie ciąg operatorów o jądrachpostaci:

An(x, y) =

H(x,y)|x−y|α , |x− y| δnH(x,y)|δn|α , |x− y| < δn

(4.29)

Ciąg tych jąder jest zbieżny do jądra operatora A. Jądra te są natomiast funk-cjami ciągłymi, co pozwala stwierdzić, że operatory An będą zwarte.

Twierdzenie 4.5.4. Zwartość operatora całkowego dla jąder słabo-osobliwychw L2(Ω) [2]Operator całkowy A ∈ B(L2(Ω)) z jądrem A słabo-osobliwym jest zwarty.

W dowodzie również i tu rozważymy ciąg operatorów zwartych i pokażemyjego zbieżność do danego operatora.

Dowód. Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych δn zbieżny do 0. Utwórzmy równieżciąg funkcji An opisanych wzorem:

An(x, y) =A(x, y) , |x− y| δn

0 , |x− y| < δn(4.30)

Jądra o takiej postaci są oczywiście ograniczone, zatem należą i do przestrzeniL2(Ω.×Ω). O operatorach o takich jadrach mówi twierdzenie 4.5.2, zatem skon-struowaliśmy ciąg operatorów zwartych Ann∈N. Pozostaje dowieść zbieżnościciągu.

Zauważmy, że:

((An −A)u)(x) = −∫

Ωn(x)

H(x, y)|x− y|α

u(y)dy (4.31)

gdzie zbiór Ωn(x) := Ω ∩ K(x, δn). Oznaczając µ := supx,y∈Ω

|H(x, y)| i stosując

nierówność Buniakowskiego, szacujemy z góry

|((An −A)u)(x)|2 ¬ µ2|∫

Ωn(x)

1|x− y|α2

1|x− y|α2

u(y)dy|2 ¬ (4.32)

¬ µ2∫

Ωn(x)

1|x− y|α

dy

∫Ωn(x)

1|x− y|α

|u(y)|2dy (4.33)

¬ µ2∫

K(x,δn)

1|x− y|α

dy

∫Ω

1|x− y|α

|u(y)|2dy (4.34)

Niech ε > 0, x ∈ Ω. Na mocy lematu 4.3.3 istnieje taka liczba µ1, że∫Ω

1|x− y|α

dy ¬ µ1 (4.35)


Ponadto istnieje dostatecznie duży indeks k taki, że dla n > k zachodzi∫K(x,δn)

1|x− y|α

dy ¬ ε2

µ1µ2 (4.36)

Zatem

|(An −A)u|2 ¬ ε2

µ1

∫Ω

( ∫Ω

1|x− y|α

|u(y)|2dy)dx (4.37)

¬ ε2

µ1

∫Ω

( ∫Ω

1|x− y|α

dx)|u(y)|2dy (4.38)

¬ ε2∫Ω

|u(y)|2dy (4.39)

dla n > k. Wobec dowolności funkcji u ∈ L2(Ω), otrzymujemy ostatecznie:

|An −A| ¬ ε, n > k (4.40)

Wobec dowolności ε > 0 dowodzi to zbieżności ciągu operatorów. Wobec twier-dzenia 3.3.5 dowodzi to zwartości operatora A.

4.6 Operator sprzężony w przestrzeni HilbertaL2(Ω)

Dla operatorów całkowych istnieje jak najbardziej sens rozważania operatorówsprzężonych. W rozdziale 6 będziemy chcieli skupić się na operatorach całko-wych samosprzężonych i dlatego teraz zastanówmy się nad postacią operatorasprzężonego. Nasze rozważania musimy ograniczyć do przestrzeni L2(Ω) gdyżprzestrzeń C(Ω) nie jest przestrzenią Hilberta. Przypomnijmy, że iloczyn ska-larny w L2(Ω) zdefiniowany jest następująco:

(x, y) =∫Ω

x(t) · y(t)dt, x, y ∈ L2(Ω) (4.41)

Zgodnie z uwagami i spostrzeżeniami z rozdziału 3.2.4 wiemy, że operator sprzę-żony A∗ istnieje i spełnia warunek:

(Ax, y) = (x,A∗y), x, y ∈ X (4.42)

Zastosujmy powyższe do przestrzeni L2(Ω) gdzie operatory są wyposażone wjądra kwadratowe.

Twierdzenie 4.6.1. Operator sprzężony do operatora całkowe w prze-strzeni L2(Ω)[2]Niech X = L2(Ω). Jest to oczywiście przestrzeń Hilberta. Wtedy operator cał-kowy postaci:

Au(x) :=∫Ω

A(x, y)u(y)dy (4.43)


Posiada operator sprzężony postaci:

A∗u(x) :=∫Ω

A(y, x)u(y)dy (4.44)

Dowód. Wykonajmy sprawdzenie, niech x, y ∈ L2(Ω) i A ∈ B(L2(Ω).

(x,A∗y) =∫Ω

x(t)A∗y(t)dt

=∫Ω

x(t)∫Ω

A(z, t)y(z)dzdt

=∫Ω

x(t)∫Ω

A(z, t)y(z)dzdt

=∫Ω

∫Ω

x(t)A(z, t)y(z)dzdt

=∫Ω

y(z)∫Ω

x(t)A(z, t)dtdz

=∫Ω

y(z)Ax(z)dz

= (Ax, y)

Stąd w zasadzie mamy jasno podany warunek na jądro dla operatora samo-sprzężonego. Dla operatora samosprzężonego zachodzi również wiele interesują-cych własności.

Twierdzenie 4.6.2. O ortogonalności podprzestrzeni własnych[2]Niech X będzie przestrzenią Hilberta. Podprzestrzenie własne odpowiadające róż-nym wartościom własnym operatora samosprzężonego A ∈ B(X) są ortogonalne.

Dowodu powyższej własności dostarcza prosta obserwacja. Niech A ∈ B(X)będzie operatorem samosprzężonym. Niech λ1, λ2 dwie różne wartości własne,x1, x2 elementy własne odpowiednio dla pierwszej i drugiej wartości własnej.

λ1(x1, x2) = (λ1x1, x2) = (Ax1, x2) = (x1,Ax2) = (x1, λ2x2) = λ2(x1, x2)(4.45)

Stąd:(λ1 − λ2)(x1, x2) = 0 (4.46)

Zatem elementy różnych przestrzeni własnych są ortogonalne do siebie.Rozdział zakończmy definicją pojęcia równoważnego dla wartości własnej

operatora.

Definicja 4.6.3. Wartość własna jądra operatora całkowego[2]Przez wartość własną jądra będziemy nazywać skalary µ dla których równanie

u(x)− µ∫Ω

A(x, y)u(y)d(y) = 0 (4.47)


ma niezerowe rozwiązanie (nazywane funkcją własną).

Zgodnie z tą definicją µ jest wartością własną jądra wtedy i tylko wtedy gdyjest niezerowe oraz jego odwrotność jest wartością własną operatora całkowego.

Rozdział 5

Teoria Fredholma

W niniejszym rozdziale omówiona zostanie teoria Fredholma równań całkowych.Wygłoszone przez Fredholma teorie z roku 1900 dowodzą, że w równaniach cał-kowych występują liczne analogie z równaniami algebraicznymi. Jak wykazałyto prace Riesza, przyczyną takiego zachowania była zwartość operatorów cał-kowych w danych przestrzeniach.

W niniejszym rozdziale będziemy zajmować niemal jedynie jednym typemrównania całkowego, mianowicie równaniem Fredholma drugiego rodzaju.

f(x)−∫Ω

N (x, y)f(y)dy = g(x), x ∈ Ω (5.1)

5.1 Równania całkowe o jądrach ograniczonych

Rozważamy w tej sekcji równanie całkowe o jądrze ograniczonym i ciągłym.Korzystając z zapisu operatorowego możemy je zapisać w wygodnej postaci:

f −Nf = g (5.2)

W dużej liczbie przypadków udaje się wykazać, że rozwiązanie tego równaniama postać szeregu von Neumanna.

Definicja 5.1.1. Szereg von Neumanna[3]Niech N będzie pewnym operatorem liniowym N ∈ B(X) , oraz niech g ∈ X.Wtedy granicę ciągu funkcyjnego

fn = g + Ng + N2g + ...+ Nn−1g (5.3)

gdzie Nn+1 = N Nn,N1 = N jest superpozycją operatorów, nazwiemy szere-giem von Neumanna funkcji g.

O przykładowym zastosowaniu szeregu von Neumanna mówi twierdzenie.

Twierdzenie 5.1.2. Warunek dostateczny rozwiązania w postaci sze-regu von Neumanna[3]Niech g funkcja ciągła na zwartym zbiorze Ω i niech N ∈ B(C(Ω)) będzie ope-ratorem całkowym z ciągłym jądrem. Jeżeli spełniona jest nierówność

maxx,y∈Ω

|N (x, y)| < 1|Ω|

(5.4)

31

ROZDZIAŁ 5. TEORIA FREDHOLMA 32

to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania całkowego (5.2), które jest su-mą jednostajnie zbieżnego szeregu von Neumanna.

Dowód. Rozpocznijmy od uzasadnienia jednostajnej zbieżności szeregu von Neu-manna. Zbadajmy zbieżność szeregu norm:

‖g‖+ ‖Ng‖+ ‖N2g‖+ . . . (5.5)

Funkcja g jest oczywiście ograniczona z góry jako ciągła na zwartym zbiorze Ω.Z kolei, biorąc |N | := max

x,y∈Ω|N (x, y)| i stosując wzór na moduł całki:

‖Ng‖ = |∫Ω

N (x, y)g(y)dy| ¬∫Ω

|N ||g(y)|dy (5.6)

Wprowadźmy oznaczenie G =∫Ω|g(x)|dx. Wtedy ‖Ng‖ ¬ |N |G. Zauważmy z

kolei, że dla n ∈ N zachodzi właściwość:

‖Nn+1g‖ = |∫Ω

N (x, y)(Nng(y))dy| ¬ (5.7)

¬ |N |∫Ω

‖Nng(y)‖dy ¬ . . . ¬ (5.8)

¬ |N |n+1∫Ω

. . .

∫Ω︸︷︷︸

n razy

∫Ω

|g(y)|dy dxn . . . dx1︸︷︷︸n razy

= (5.9)

= |N |n+1G

∫Ω

. . .

∫Ω︸︷︷︸

n razy

1 dxn . . . dx1︸︷︷︸n razy

= |N |n+1G|Ω|n (5.10)

Stosując kryterium d’Alemberta dla szeregu liczbowego∞∑n=0

an :=∞∑n=0|N |n+1G|Ω|n

otrzymujemy:

limn→+∞

∣∣an+1

an

∣∣ = limn→+∞

|N ||Ω| < 1|Ω||Ω| = 1 (5.11)

Na mocy kryterium d’Alemberta szereg+∞∑n=0

an jest zbieżny. Zatem badanych

szereg norm posiada zbieżną majorantę, co wobec kryterium Weierstrassa czynigo jednostajnie zbieżnym.

Mając jednostajną zbieżność szeregu łatwo dowodzimy, że:

Nf = N(g + Ng + . . .) (5.12)

= Ng + N2g + . . . (5.13)

= f − g (5.14)

Co świadczy o tym, że suma szeregu von Neumanna jest rozwiązaniem równaniacałkowego. Pozostaje dowieść jednoznaczności rozwiązania.


Przypuśćmy istnienie dwóch funkcji f1 6= f2 będących rozwiązaniem równa-nia f−Nf = g. Przez równość funkcji rozumiemy oczywiście równość w każdympunkcie dziedziny. Rozważmy funkcję h := f1 − f2 6= 0. Ze względu na linio-wość operatora całkowego, funkcja h jest rozwiązaniem równania jednorodnegoh−Nh = 0 i ‖h‖ > 0. Zauważmy, jednak że:

‖h‖ = ‖Nh‖ ¬∫Ω

|N |‖h‖dx = |N ||Ω|‖h‖ (5.15)

1 ¬ |N ||Ω| < 1 (5.16)

Zatem otrzymaliśmy sprzeczność, która jest wynikiem przypuszczenia, że jestwięcej niż jedna funkcja będąca rozwiązaniem równania.

Szereg von Neumanna okazuje się być rozwiązaniem w bardzo wielu przy-padkach dla różnych przestrzeni i różnych typów równań różniczkowych.

5.2 Alternatywa Fredholma

W teorii Fredholma będziemy zajmować obliczeniami dla równań z jądramispecjalnymi. Jest to specyficzna podklasa funkcji całkowalnych w kwadraciemodułu, która okazuje się mieć kluczowe znaczenie.

Definicja 5.2.1. Jądra specjalne[3]Niech un , wn będą układami liniowo niezależnych funkcji klasy L2(Ω). Równa-nia całkowe dla operatorów całkowych o jądrach:

N (x, y) =r∑

k=1

ui(x)wi(y) (5.17)

nazywać będziemy równania całkowymi o jądrach specjalnych.

Klasa ta jest w swej strukturze podobna do klasy funkcji zdegenerowanych.I okazuje się, że podobnie jak dla funkcji zdegenerowanych zachodzi, że dowolnąfunkcję o całkowalnym kwadracie modułu daje się przedstawić jako granicę pew-nego ciągu jąder specjalnych. To podstawowe twierdzenie w tej teorii nazywaćbędziemy twierdzeniem o aproksymacji:

Twierdzenie 5.2.2. O aproksymacji[3]Jeżeli jądro jest funkcją klasy L2(Ω) to dla dowolnie małej liczby ε > 0 istniejejądro specjalne spełniające warunek:∫∫

Ω×Ω

|N (x, y)−r∑

k=1

uk(x)wk(y)|2dxdy < ε (5.18)

Twierdzenie to zostawimy bez dowodu. Wnioskiem z tego twierdzenia jestpodejrzenie posiadania przez jądro postaci sumy szeregu jąder specjalnych.

Przyjrzyjmy się postaci równania całkowego gdy jego jądro ma postać jądraspecjalnego. Wobec liniowości całki, otrzymujemy postać:

f(x) = g(x) +r∑

k=1

uk(x)∫Ω

f(y)wk(y)dy, x ∈ Ω (5.19)


Co jak łatwo spostrzec jest iloczynem skalarnym w L2(Ω). Zatem

f(x) = g(x) +r∑

k=1

uk(x)(f, wk) (5.20)

Wykonując mnożenie skalarne obu stron równania przez wektor funkcji w =(w1, . . . , wr) otrzymujemy układ r-równań postaci:

(f, wi) = (g, wi) +r∑

k=1

(uk, wi)(f, wk) (5.21)

Zatem otrzymaliśmy układ r-równań i r-niewiadomych postaci (f, wi), a jegorozwiązanie możemy odszukać dysponując algebrą liniową. Oczywiście istniejejednoznaczne rozwiązanie tego układu jeśli układ ten jest opisany macierzą nie-osobliwą. Jeśli macierz tego układu jest osobliwa, wtedy różnica pomiędzy jejstopniem a jej rzędem określa ilość niezerowych rozwiązań w układzie jednorod-nym.

Jako dodatkową uwagę poświęćmy postaci sprzężonego operatora do opera-tora o jądrze specjalnym. Okazuje się, że jest ono również specjalne i ma postać

N ∗(x, y) =r∑

k=1

wk(x)uk(y), x, y ∈ Ω (5.22)

Co pozwala sprowadzić je przez analogię do postaci:

(h, ui) = (k, ui) +r∑

k=1

(wk, ui)(h, uk) (5.23)

Zatem widać, że zachodzi związek pomiędzy macierzami obu układów. NiechC będzie macierzą układu normalnego, natomiast C∗ do niego sprzężonego.Zauważmy, że

c∗i,j = δi,j − (wj , ui) = δi,j − (ui, wj) (5.24)

= δj,i − (uj , wi) = δj,i − (uj , wi) = cj,i (5.25)

gdzie δi,j oznacza deltę Kroneckera. Oznacza to w szczególności zgodność rzę-dów obu macierzy co pociąga za sobą silne własności opisane w twierdzeniu na-zywanym Alternatywą Fredholma. Pod pojęciem alternatywy w tym wypadkurozumieć będziemy badanie właściwości pewnego równania całkowego poprzezbadanie własności innego. Tym innym równaniem będzie tzw. równanie całkowez jądrem sprzężonym do danego wykorzystujące właśnie powyższą własność.

Twierdzenie 5.2.3. Alternatywa Fredholma[3]Równania całkowe o jądrze klasy L2(Ω× Ω)

f −Nf = g (5.26)

orazh−N∗h = k (5.27)

Mają


Jednoznaczne rozwiązania dla dowolnych funkcji g i k, albo

odpowiadające im równania jednorodne posiadają niezerowe rozwiązania,i liczba niezależnych liniowo rozwiązań każdego z tych równań jest takasama

W drugim przypadku warunkiem koniecznym i dostatecznym, na to by niejedno-rodne równanie całkowe miało rozwiązanie jest, żeby funkcja g była ortogonalnado wszystkich rozwiązań jednorodnego równania sprzężonego.

Dowód powyższego faktu pominiemy, gdyż udowodnimy twierdzenie ogól-niejsze.

5.3 Twierdzenie Fredholma

Rozszerzenie alternatywy Fredholma doprowadziło do sformułowania twierdze-nia Fredholma, które pełniej opisuje zachowanie rozwiązań. Twierdzenie oprze-my o równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju, ale z uwypukleniem war-tości własnej jądra w tzn. równaniu postaci:

f(x)− λ∫Ω

N (x, y)f(y)dy = g(x), x ∈ Ω (5.28)

i równaniu jednorodnym dla powyższego:

f(x)− λ∫Ω

N (x, y)f(y)dy = 0, x ∈ Ω (5.29)

Twierdzenie 5.3.1. Twierdzenie Fredholma[2]

1. Na to aby równanie (5.28) miało dla każdej funkcji g, rozwiązanie f, potrze-ba i wystarcza, aby jedynym rozwiązaniem równania jednorodnego (5.29)była funkcja f = 0

2. Jeżeli równanie (5.29) ma niezerowe rozwiązania, to istnieją również nie-zerowe rozwiązania jednorodnego równania sprzężonego, natomiast prze-strzenie rozwiązań obu równań są przestrzeniami liniowymi o skończonych,i równych sobie, wymiarach algebraicznych.

3. Jeżeli równanie całkowe jednorodne ma niezerowe rozwiązania to warun-kiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwiązania dla danej funkcji gjest ortogonalność funkcji g do przestrzeni rozwiązań jednorodnego równa-nia sprzężonego tj. :

∀h(h−Nh = 0⇒

∫Ω

g(x)h(x)dx = 0)

(5.30)

4. Zbiór wszystkich wartości własnych jądra równania (5.28) jest co najwyżejprzeliczalny. Ustawienie wartości własnych w ciąg nieskończony, o ile jestmożliwe, tworzy ciąg rozbieżny do nieskończości.


Przeprowadzimy dowód powyższego dla najbardziej interesującej nas prze-strzeni L2(Ω).

Dowód. Naturalnie µ 6= 0. Zatem wprowadźmy operator całkowy N zbudowanyw oparciu o jądro N . Tak zdefiniowany operator jest zwarty.

Ad 1.Załóżmy, że dla każdej funkcji istnieje dokładnie jedno rozwiązanie. Wtedy oczy-wiście w szczególności istnieje dokładnie jedno dla zera. Jako, że równanie jestspełnione przez funkcję f=0, nie ma innego rozwiązania tego równania. Załóżmyz kolei, że równanie jednorodne nie ma niezerowych rozwiązań. Oznacza to brakwartości własnych. Na mocy twierdzenia Teorii Riesza 3.5.1 zatem widmo tegooperatora jest puste. Zatem każde λ 6= 0 jest wartością regularną i równanie majednoznaczne rozwiązanie dla dowolnego g.

Ad 4.Wobec Teorii Riesza 3.5.1 jest to wniosek z 3 części jej tezy.

Ad 2. & 4.Wynikają wprost z twierdzenia 3.5.3.

5.4 Przykłady

Zastosowanie metody kolejnych przybliżeń

W zadaniach gdy spodziewamy się rozwiązania w postaci szeregu von Neuman-na, możemy stosować metodę kolejnych przybliżeń. Rozważmy równanie postaci

f = g + Kf, f, g ∈ C(R),K ∈ B(C(R)) (5.31)

z jądrem K : R× R→ R ciągłym.Spodziewając się rozwiązania w postaci szeregu von Neumanna obliczamy

kolejne funkcje sum częściowych.

Przykład 1. Rozwiążmy równanie całkowe metodą kolejnych przybliżeń:

f(x) = 1 +

1∫0

xt2f(t)dt (5.32)

Obliczmy kilka pierwszych sum szeregu von Neumanna.

f0(x) = 1 (5.33)

f1(x) = 1 +

1∫0

xt2dt = 1 +13x (5.34)

f2(x) = 1 +

1∫0

xt2(1 +13t)dt = 1 +

1 + 43 · 4

x (5.35)

f3(x) = 1 +

1∫0

xt2(1 +512t)dt = 1 +

1 + 4 + 42

3 · 42 (5.36)


Stąd odgadujemy postać ogólną n-tej funkcji sumy częściowej, n ∈ N.

fn(x) = 1 + x13

(1 +14

+142 + . . .+

14n−1 ) (5.37)

Zatem suma szeregu o sumach częściowych tej postaci wyraża się wzorem:

f(x) = 1 + x13

1 · 11− 1

4

= 1 + x13· 4

3= 1 + x

49

(5.38)

Łatwo sprawdzić, że jest to rozwiązanie równania całkowego.

1 +

1∫0

xt2(1 + t49

)dt = 1 + x(13

+49· 1

4) = 1 + x

49

(5.39)

Badanie równania o jądrze specjalnym metodą Fredholma

Równania całkowe bardzo często w praktyce mają bardzo prostą postać z jądremoperatora z klasy jąder specjalnych. Pozwala to zastosować analizę Fredholma,która rozstrzyga np. istnienie rozwiązania.

Przykład 2. Zbadajmy równanie Fredholma o postaci:

f(x)−1∫

0

(y3 + xy2 + x2y)f(y)dy = g(x), x ∈ R (5.40)

Jądra składa się z sumy 3 iloczynów. Odpowiednie funkcje to

u1(x) = 1 w1(y) = y3 (5.41)

u2(x) = x w2(y) = y2 (5.42)

u3(x) = x2 w3(y) = y (5.43)

Zatem zapiszmy je w postaci wektorów u = [u1, u2, u3]T , w = [w1, w2, w3]T .Wtedy stosując mnożenie macierzowe (i zakładając, że mnożeniem elementówjest iloczyn skalarny z L2(R) ) otrzymujemy:

u · wT =

(u1, w1) (u1, w2) (u1, w3)(u2, w1) (u2, w2) (u2, w3)(u3, w1) (u2, w2) (u3, w3)

=

14

13

12

15

14

13

16

15

14

(5.44)

Wtedy macierz układu, uzyskanego za pomocą metody Fredholma dla równańcałkowych z jądrem specjalnym, wyraża się wzorem

I3 − u · wT =

34 − 1

3 − 12

− 15

34 − 1

3− 1

6 − 15

34

(5.45)

Wyznacznik tej macierzy nazywa się wyznacznikiem charakterystycznym. Wy-znacznik powyższej macierzy wynosi

det I3 − u · wT ≈ −0.2209 6= 0 (5.46)

Zatem wobec niezerowości wyznacznika równanie całkowe posiada jednoznacznerozwiązanie.

Rozdział 6

Teoria Hilberta-Schmidta

6.1 Równanie całkowe o jądrze symetrycznym

W niniejszym rozdziale zawężamy obszar naszych rozważań do wąskiej klasyrównań z jądrami symetrycznymi nad przestrzenią funkcji całkowalnych w kwa-dracie modułu. Zgodnie z teorią omówioną w rozdziale 4.6 będziemy tu badaćoperatory o jądrach samosprzężonych.

Definicja 6.1.1. Równanie całkowe o jądrze symetrycznym[2]Niech A ∈ B(L2(Ω)) będzie operatorem całkowym postaci

(Au)(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy (6.1)

z jądrem A ∈ L2(Ω× Ω) i symetrycznym tj. A(x, y) = A(y, x), prawie wszędziena Ω× Ω.

Wiemy, że tak zdefiniowany operator jest samosprzężony i zwarty. Określmyjeszcze pewne dodatkowe kryteria na jądro.

Definicja 6.1.2. Warunek Hilberta - Schmidta[2]Powiemy, że jądro A spełnia warunek Hilberta-Schmidta jeśli istnieje liczba γ >0 taka, że ∫

Ω

|A(x, y)|2dy ¬ γ x ∈ Ω (6.2)

Warunek Hilberta-Schmidta określa zatem podklasę L2(Ω) funkcji o ograni-czonej funkcji całki z kwadratu modułu. Jeszcze silniejszym warunkiem na jądrojest warunek o zbiorze o mierze lokalnie dodatniej.

Definicja 6.1.3. Zbiór o mierze lokalnie dodatniej[2]Powiemy, że Ω jest zbiorem zwartym o mierze lokalnie dodatniej gdy

|Ω ∩K(xo, r)| > 0 (6.3)

dla każdej kuli K(x0, r) o środku w x0 ∈ Ω.

Powyższy warunek w połączeniu z ciągłością jądra okazuje się być silniejszymod warunku Hilberta-Schmidta.

38

ROZDZIAŁ 6. TEORIA HILBERTA-SCHMIDTA 39

6.2 Pełny układ ortonormalny elementów wła-snych

Ostatnim koniecznym pojęciem jest układ ortonormalny zupełny elementówwłasnych. Przestrzenią naszych rozważań jest przestrzeń Hilberta X z opera-torem samosprzężonym A odwzorowującym X w siebie. Na mocy twierdzeniateorii Riesza 3.5.1 wszystkie wartości własne da się ustawić w ciąg. Wszyst-kie podprzestrzenie własne operatora są skończenie wymiarowe i każda z nichposiada swoją bazę ortonormalną. Układ stworzony poprzez połączenie baz or-tonormalnych wszystkich podprzestrzeni własnych nazywać będziemy pełnymukładem ortonormalnym elementów własnych. Łatwo zauważyć, że jest to fak-tycznie układ ortonormalny, gdyż twierdzenie 4.6.2 potwierdza, że elementy róż-nych przestrzeni własnych są do siebie ortogonalne.

Podajmy bez dowodu lemat i twierdzenie[2], które uzasadnią istotność ta-kiego układu.

Lemat 6.2.1. Niech X będzie przestrzenią Hilberta, a (ek) niech będzie układemzupełnym ortonormalnym elementów własnych pewnego operatora samosprzężo-nego zwartego A ∈ B(X). Wtedy dla każdego elementu x ∈ X istnieje dokładniejeden element x0 ∈ X taki, że Ax0 = 0 oraz

x = x0 +∑k

(x, ek)ek (6.4)

I twierdzenie, które jest w zasadzie wnioskiem z powyższego.

Twierdzenie 6.2.2. Niech X będzie przestrzenią Hilberta, a przez (ek) niechbędzie oznaczony układem zupełnym ortonormalnym elementów własnych pew-nego operatora samosprzężonego zwartego A ∈ B(X) oraz niech (λk) oznaczaodpowiadający mu pełny układ ortonormalny wartości własnych. Wtedy dla każ-dego elementu x ∈ X zachodzi:

Ax =∑k

λk(x, ek)ek (6.5)

Dowód wynika bezpośrednio z podziałania na obie stron tezy lematu zapomocą operatora A.

Ciekawym zagadnieniem jest pytanie o warunek konieczny i dostateczny nato by układ pełny ortonormalny był skończony. Zależy to oczywiście jedynie odtego czy zbiór wartości własnych jest skończony. Okazuje się, że tak jest jedyniew przypadku gdy jądro operatora jest zdegenerowane. Gdy zdegenerowane niejest - ciąg wartości własnych jest nieskończony.

6.3 Twierdzenie Hilberta-Schmidta

Dysponując powyższymi pojęciami jesteśmy w stanie podać twierdzenie Hilberta-Schmidta

Twierdzenie 6.3.1. Twierdzenie Hilberta - Schmidta[2]Niech będzie dane jądro symetryczne niezdegenerowane A ∈ L2(Ω×Ω). Oznacz-my przez (uk) pełny układ ortonormalny funkcji własnych jądra A, a przez (µk)


ciąg odpowiadających wartości własnych. Niech

v(x) =∫Ω

A(x, y)u(y)dy, gdzie u ∈ L2(Ω)

Wtedy

1. Funkcja v jest sumą swojego szeregu Fouriera względem układu (uk)

v =∞∑k=1

(v|uk)uk (6.6)

w sensie zbieżności w przestrzeni L2(Ω).

2. Jeżeli jądro A spełnia warunek Hilberta - Schmidta to szereg (6.6) jestzbieżny bezwzględnie i jednostajnie na Ω i dla prawie każdego x ∈ Ω za-chodzi równość

v(x) =∞∑k=1

(v|uk)uk(x) (6.7)

3. Jeżeli Ω jest zbiorem zwartym o mierze lokalnie dodatniej, a jądro A -ciągłe, to równość (6.7) zachodzi w dowolnym punkcie x ∈ Ω.

Dowód. Ad. 1o

Wobec twierdzenia 6.2.2 wiemy, że

v = Au =∞∑k=1

1µk

(u, uk)uk (6.8)

i że jest to zbieżność w sensie przestrzeni L2(Ω). Zauważmy, że:

(v, uk) =∫Ω

v(t)uk(t)dt (6.9)

=∫Ω

∫Ω

A(s, t)u(s)uk(t)dsdt (6.10)

=∫Ω

∫Ω

A(t, s)u(s)uk(t)dtds (6.11)

=∫Ω

u(s)(∫Ω

A(t, s)uk(t)dt)ds (6.12)

=∫Ω

u(s)(Auk(s))ds (6.13)

=∫Ω

u(s)(1λkuk(s))ds (6.14)

=1λk

∫Ω

u(s)(uk(s))ds (6.15)

=1λk

(u, uk) (6.16)


Co po podstawieniu kończy dowód 1o.Ad. 2o

Załóżmy, że jądro spełnia warunek Hilberta-Schmidta.∫Ω

|A(x, y)|2dy ¬ γ x ∈ Ω (6.17)

Korzystając z nierówności Schwarza otrzymujemy:

m∑k=n

|(v|uk)uk(x)| =m∑k=n

|uk(x)λk||(u, uk)| ¬ (6.18)

¬

√√√√ m∑k=n

|uk(x)λk|2

√√√√ m∑k=n

|(u, uk)|2 (6.19)

dla wszystkich x ∈ Ω, oraz dowolnych wskaźników m n. W części 1o udowod-niliśmy własność postaci : (v, uk) = 1

λk(u, uk). Zauważmy, że jest to równoważne:

uk(t)λk

=∫Ω

A(t, s)uk(s)ds (6.20)

Zatem ciąg uk(x)λk

jest dla ustalonego x współczynnikiem Fouriera funkcji A(x, .)przy uk. Wobec nierówności Bessel’a otrzymujemy:

∞∑k=1

|uk(x)λk|2 ¬

∫Ω

|A(s, t)|2dt ¬ γ, x ∈ Ω (6.21)

Łącząc powyższe z (6.19), otrzymujemy:

m∑k=n

|(v|uk)uk(x)| ¬ √γ

√√√√ m∑k=n

|(u, uk)|2 (6.22)

Wobec zbieżności szeregu∞∑k=1|(u, uk)|2 otrzymujemy bezwględną i jednostajną

zbieżność w szeregu∞∑k=n|(v|uk)uk(x)|. Ponieważ zbiega on średnio kwadratowo

do funkcji v, zatem równość w (6.6) zachodzi prawie wszędzie.Ad. 3o

Łatwo zauważyć, że funkcje uk są ciągłe. Prawa strona w (6.6) jest funkcją ciągłąswojego argumentu jako suma jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.Lewa strona tego równania też jest ciągła, gdyż jądro jest ciągłe. Wobec założe-nia o mierze lokalnie dodatniej zbioru Ω otrzymujemy, że równość tych funkcjizachodzi dla każdego argumentu. Co kończy dowód twierdzenia.

Twierdzenie Hilberta-Schmidta pozwala nam poznać dokładną budowę funk-cji g z równania Af = g. Jednakże, znając postać układu pełnego ortogonalne-go, również w łatwy sposób będziemy w stanie wyznaczyć rozwiązanie takiego


równania. Bowiem ze wzorów na współczynniki Fouriera

(v, uk) =1λk

∫Ω

u(y)uk(y)dy (6.23)

Może być łatwiej wyznaczyć rozwiązanie niż z wyjściowego równania.

6.4 Twierdzenie Mercer’a

Ostatnim twierdzeniem w tym rozdziale jest twierdzenie Mercera opisujące po-stać jądra dla równania całkowego symetrycznego niezdegenerowanego.

Twierdzenie 6.4.1. Twierdzenie Mercera[2]Niech Ω będzie zbiorem zwartym o mierze dodatniej, a A - jądrem symetrycz-nym ciągłym i niezdegenerowanym, które posiada wyłącznie dodatnie wartościwłasne. Niech (uk) oznacza pełny ortonormalny układ funkcji własnych jądraA oraz (µk) odpowiadający ciąg wartości własnych to wtedy w każdym punkcie(x, y) ∈ Ω× Ω zachodzi równość

A(x, y) =∞∑k=1

uk(x)uk(y)µk

(6.24)

przy czym szereg ten jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.

Zanim przystąpimy do dowodu przytoczmy następujące lematy:

Lemat 6.4.2. Niech X przestrzeń Hilberta, a przez (ek) niech będzie oznaczonyukładem zupełnym ortonormalnym elementów własnych pewnego operatora sa-mosprzężonego zwartego A ∈ B(X) oraz niech (λk) odpowiadający pełny układortonormalny wartości własnych. Wtedy dla każdego elementu x ∈ X zachodzi:

(Ax, x) =∑k

λk|(x, ek)|2 (6.25)

Powyższy lemat okazuje się być wnioskiem z lematu 6.2.1 oraz twierdzenia 6.2.2.

Lemat 6.4.3. Jeżeli Ω jest zbiorem zwartym o mierze lokalnie dodatniej, uk jestukładem pełnym ortonormalnym funkcji własnych jądra symetrycznego ciągłegoi niezdegenerowanego A określonego na produkcie Ω × Ω, a λk odpowiadającyciąg wartości własnych jądra to poniższy szereg jest zbieżny jednostajnie

∞∑k=1

|uk(x)λk|2 =

∫Ω

|A(x, y)|2dy, x ∈ Ω (6.26)

Dowód. Dowód twierdzenia Mercer’a[2]Rozważmy jądra postaci

An(x, y) = A(x, y)−n∑k=1

uk(x)uk(y)λk

, n ∈ N (6.27)


Przez A oraz dla dowolnego n ∈ N, przez An rozumieć będziemy operatorycałkowe o odpowiednim jądrze. Łatwo sprawdzić, że wtedy:

(Anu, u) = (Au, u)−n∑k=1

1µk|(u, uk)|2, n ∈ N (6.28)

Wobec lematu

(Au, u) =

∞∫k=1

1λk|(u, uk)|2 (6.29)

Czego efektem jest równość:

(Anu, u) =

∞∫k=n+1

1λk|(u, uk)|2 (6.30)

Co równoważnie oznacza, że:∫∫Ω×Ω

An(x, y)u(x)u(y)dxdy 0 (6.31)

Łatwo zauważyć, że An(x, x) 0, x ∈ Ω. Gdyby było inaczej, istniało by otocze-nie otwarte na którym jądro było by ujemne. Wtedy biorą za u funkcję charak-terystyczną tego obszaru uzyskalibyśmy sprzeczność z powyższym warunkiem.Zatem

An(x, x) = A(x, x)−n∑k=1

|uk(x)|2

λk 0 (6.32)

Wobec nieujemności wyrazów i ograniczenia górnego poprzez µ := supx∈ΩA(x, x),

szereg ten jest zbieżny. Wobec nierówności Schwarza:

|m∑k=n

uk(x)uk(y)λk

|2 ¬m∑k=n

|uk(x)|2

λk

m∑k=n

|uk(y)|2

λk¬ (6.33)

¬ µ

m∑k=n

|uk(x)|2

λk(6.34)

Za dla dowolnie ustalonego x ∈ Ω jest to szereg jednostajnie zbieżny ze względuna y ∈ Ω. Suma szeregu jest funkcją ciągłą zmiennej y. Zauważmy, że:∫

Ω

|A(x, y)−n∑k=1

uk(x)uk(y)λk

|2dy = (6.35)

=∫Ω

(A(x, y)−n∑k=1

uk(x)uk(y)λk

) · (A(x, y)−n∑k=1

uk(x)uk(y)λk

)dy =(6.36)

=∫Ω

|A(x, y)|2 −n∑k=1

|uk(x)λk|2 lemat−→

n→+∞0 (6.37)


Stąd otrzymujemy∞∑k=1

|uk(x)|2

λk= A(x, x) (6.38)

Twierdzenie Diniego podaje, że szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zatem osta-tecznie korzystając z prostej nierówności:

|uk(x)uk(y)| ¬ 12

(|uk(x)|2 + |uk(y)|2), x, y ∈ Ω, k ∈ N (6.39)

Otrzymujemy tezę.

Bibliografia

[1] Walter Rudin, Analiza Funkcjonalna, PWN 2002, Warszawa

[2] Witold Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN 1970,Warszawa

[3] Adam Piskorek, Równania całkowe, WNT 1980, Warszawa

[4] William Arveson, A Short Course on Spectral Theory, Springer-Verlug 2002,New York

[5] Andrzej Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN 1969, Warszawa

[6] Witold Pogorzelski, Równania całkowe i ich zastosowania Tom I, PWN 1953,Warszawa

[7] M.A. Krasnosielski, A.I. Koszelew, S.G. Michlin, Ł.S. Rakowszczik, W.J.Stiecenko, P.P. Zabrejko, Równania całkowe, PWN 1972, Warszawa

45

Rownania Calkowe i Teoria Hilberta Schmidta

Documents

Transcript of Rownania Calkowe i Teoria Hilberta Schmidta