masa na sprężynie

wahadło

instrumenty muzyczne

molekuły (atomy) w

ciele stałym

fale elektromagnetyczne

(drgające E i H)

Ruch drgający i falowy

F kx

Drgania harmoniczne proste

Prawo Hooke’a

kxF

kxmaF

xm

ka

xm

k

dt

xd

2

2

22

20

d xx

dt

2

2

[ cos( )] [ cos( )]k A t m A t

k m

k

m

k

mT 2

Okres drgań nie zależy od amplitudy.

( ) cos( )x t A t

tAx cos

(0) cosx A

1 0

0

tanx

v

cos sindx d

v A t tdt dt

maxv A

2

2 2

2sin cos

d x da t t x

dt dt

2

maxa A

tAx cos

cos

cos 2

x A t T

A t

Prosta analogia:

rzut na osie ruchu jednostajnego po okręgu

22222

2

1cossin

2

1kAtktkUKE

tkkxU 222 cos2

1

2

1Energia potencjalna siły sprężystości

2

max

1

2U kA

2 2 2 21 1sin

2 2K mv m t

2 2 22

max max

1 1 1

2 2 2K mv m k

Energia kinetyczna

2 2v A x

Zachowanie energii mechanicznej

Wahadło matematyczne

2

2

2

2

sin

sin

t tF ma

d xmg m

dt

x L

dg L

dt

L

g

dt

d

2

2

sin

Okres wahadła nie zależy od amplitudy drgań ani

masy.

g

LT

L

g

22

2

Częstość własna

masa na sprężyniem

k

Tf

2

110

L

g

Tf

2

110 wahadło

Wahadło fizyczne

mgd

I

2I

Tmgd

2

2

2

2

2

sin

I

dMgd I

dt

d Mgd

dt I

Mgd

I

sin

Szukany: okres kończyny dolnej

Przykład

Prędkość chodu Tyrannosaurus rex

2

2 2(3.1 )2 2 2.9

3 3(9.8 / )

L mT s

g m s

4.0 1.4 / 5 /

2.9

S mv m s km h

T s

Dane paleontologiczne: L=3.1 m; S=4.0 m

Bliska szybkości chodu człowieka!

Drgania tłumione

Siła oporu proporcjonalna do prędkości

dt

dxbkx

dt

xdm

bvkxmaF

2

2

Rozwiązanie dla małej siły oporu

2

0

( ) cos( )

( 2 )

btmx t Ae t

b m

Nowa

częstość

oscylacji

2 2

2

02 2

k b b

m m m

02b m02b m

2

2

0

2

2

Tb

m

Mimo tłumienia stały

okres oscylacji!

Przypadki szczególne:

(a) Ruch pełzający krytyczny

(b) Ruch pełzający

02b m

02b m

Drgania tłumione: przypadki szczególne

Drgania słabo tłumione

Ruch pełzający krytyczny wykorzystany w amortyzatorach samochodowych

Rozwiązania po wystarczającym długim czasie:

0

22

2 2

0

( ) cos( )x t A t

FmA

b

m

0

k

m naturalna częstość

układu

Zewnętrzna siła wymuszająca dostarcza energii

(dodatnia praca) i kompensuje straty układu w

wyniku tłumienia: amplituda pozostaje stała

(np.: dziecko na huśtawce).

2

02cos

d x dxm kx b F t

dt dt

Siła wymuszająca

Drgania wymuszone

Rezonans

Dramatyczny wzrost amplitudy drgań kiedy

częstość wymuszająca zbliża się do częstości

własnej układu0

Najbardziej wydajne przekazywanie energii do

układu.

wzrasta0 A

)(Aoporu bez 0 b

0

22

2 2

0

( ) cos( )x t A t

FmA

b

m

Przykłady rezonansu

Układy elektroniczne (przekaz i odbiór

sygnałów radiowych i telewizyjnych)

Procesy atomowe i jądrowe

Rezonans mechaniczny: mosty,

wirniki, samoloty etc (destrukcja

urządzeń)