RUCH DRGAJĄCY Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479...

1 FIZYKA - wykład 6-7

6.1. Drgania harmoniczne

6.2. Drgania tłumione

6.3. Drgania wymuszone

6.4. Drgania złożone

Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY

Wykład 6

RUCH DRGAJĄCY

„Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co

nieznane, za nieznane, to jest wiedza. ”

Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479 p.n.e.) Dialogi, II/17


6.1. DRGANIA HARMONICZNE

Pojęcia ogólne

Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją) – ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniamy ruchy drgające okresowe i nieokresowe.

Drganie okresowe (periodyczne) – powtarzanie zachodzi

zawsze po tym samym czasie , zwanym okresem. T

Oznaczmy położenie punktu materialnego na osi x w chwili t

przez x(t). Ruch jest okresowy, jeżeli:

dla dowolnego t: )( Ttxtx (6.1)

RUCH DRGAJĄCY


- to częstość kołowa (pulsacja) (rad/s).

- to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach);

6.1. DRGANIA HARMONICZNE

Ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym (drgania harmoniczne) , gdy wychylenie ciała z

położenia równowagi opisane jest funkcją harmoniczną (sinus lub cosinus).

(6.2)

gdzie: - jest amplitudą drgań (maksymalną zmianą względem położenia równowagi); A

T

2

to faza początkowa;

0cos tAtx

0 0 t

x

RUCH DRGAJĄCY


Drganie opisane równaniem (6.2) nazywamy drganiem harmonicznym.

W ruchu harmonicznym:

x

Prędkość: 0sin tAdt

dxtv

Przyspieszenie:

Wykres zależności x(t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego

)(cos 2

0

2 txtAdt

dvta

Położenie:

T

(6.3)

(6.4)

Tf

1

Wielkością charakteryzującą ruch

jest też częstotliwość drgań:

(6.5)

)1

1(s

Hz

0cos tAtx

RUCH DRGAJĄCY

fT

22

okres drgań częstość

kołowa


02

2

xm

k

dt

xd

6.1.1. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DRGAŃ HARMONICZNYCH

RUCH DRGAJĄCY

F

Rozważmy drgania prostego oscylatora harmonicznego ( masa m

przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k ), pod działaniem siły

sprężystości .

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona , zatem:

Ruch drgającej masy jest ruchem harmonicznym prostym.

Ruch harmoniczny to taki, dla którego siła jest proporcjonalna do

wychylenia i przeciwnie do niego skierowana.

kxFs

kxdt

xdm

2

2

maFs

Po przekształceniach:

otrzymujemy równanie różniczkowe drgań harmonicznych (swobodnych),

02

2

2

txdt

txdlub

gdzie:

Rozwiązaniem równania (6.8): 0sin tAtx

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9) (6.10)

m

k2


RUCH DRGAJĄCY

k

mT 2

xkF

txm

k

dt

xd

2

2

Przykłady

•Drgania oscylatora harmonicznego.

2T (6.11)

Rys. źródło: http://www.if.pwr.edu.pl


g

lT 2

Wyznaczenie okresu drgań wahadła matematycznego (punkt materialny, zawieszony na

nieważkiej i nierozciągliwej nici).

(6.12)

(wyprowadzenie zależności na tablicy!)

• Drgania wahadła matematycznego

RUCH DRGAJĄCY

Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α ≤4.

1

2

N

P

składowa siły ciężkości Powodująca ruch wahadła

siła ciężkości

siła napięcia nici


Wahadło fizyczne: bryła sztywna, która pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi

poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

mgL

IT 2(6.13)

(wyprowadzenie zależności na tablicy!)

RUCH DRGAJĄCY

• Drgania wahadła fizycznego

O

L

C 1

2

N

N

Wyznaczenie okresu drgań dla wahadła fizycznego.

Zał. Wahadło odchylone od pionu o kąt α ≤4.

Kąt wychylenia z położenia równowagi


Obwód LC

0 LC UU

0dt

dIL

C

q

dt

dqI

01

2

2

qLCdt

qd

LCT 2 (6.14)

RUCH DRGAJĄCY


6.1.2. Energia ruchu harmonicznego prostego

W przypadku jednowymiarowym przemieszczenie:

Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. źródło: -Halliday,Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”

=A

0cos tAtx

Energia oscylatora zmienia się z energii potencjalnej w kinetyczną i z powrotem, jednak ich suma, energia mechaniczna E =const.

Energią potencjalną sprężyny obliczymy korzystając z zależności (6.6) oraz z ogólnego wzoru na pracę wykonywaną przez siłę zmienną (siłę sprężystości). Mamy:

x

x

kxxdxkdxkxFdxW0

2

0

2

1)(

(6.15)

ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM


ENERGIĘ POTENCJALNĄ DRGAŃ HARMONICZNYCH można wyrazić w postaci:

)(cos222

22222

tkAxmkx

Ep(6.16)

energia potencjalna drgań dla siły F =-kx

współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem

wychylenie z położenia równowagi

masa drgającego ciała

częstość (kołowa) drgań amplituda drgań



E- energia całkowita

2

2

1mvEk

2

2kxEp

Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy m :

2

2

1mvEk

(6.17)


Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.

Ponieważ siła harmoniczna jest siłą potencjalną, dlatego też spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej dla ciała wykonującego drgania harmoniczne.

Rys. Liniowy oscylator harmoniczny. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni.

=A


Korzystając z wyrażeń na x(t) i v(t) uwzględniając, i zakładając, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, energia całkowita E jest sumą energii kinetycznej oraz energii potencjalnej i ma wartość stałą. (6.17)

(6.18)

2mk


2

2

1kAE

Wnioski: •Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest stała . •Ze sprężystością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością –jego energia kinetyczna.

Rys. źródło: -Halliday, Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.

Zatem energia całkowita drgającego ciała:

2

)(cos)(sin222

22

02

02

22222 Amtt

AmxmmvEEE pK


współczynnik oporu b

OCYLATOR TŁUMIONY

6.2. DRGANIA TŁUMIONE

dt

dxbFt

gdzie: b- współczynnik oporu ośrodka .

(6.19) Rys. Prosty oscylator tłumiony. źródło: -Halliday,Resnick,Walker „Fundamentals of Physics”.

Jeżeli ruch oscylatora (rys.) słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania tłumionymi. Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką zanurzoną w cieczy. W przypadku drgań łopatki, ciecz oddziałuje na nią (a w konsekwencji na cały układ drgający) siłą hamującą (oporu). Z upływem czasu energia mechaniczna układu klocek-sprężyna maleje- przekształca się w energię termiczną cieczy i łopatki. Siła tłumiąca (oporu) ma zwrot przeciwny do prędkości i jest do niej wprost proporcjonalna : Fop ~ v.


DRGANIA TŁUMIONE

.

lub 02 2

2

2

xdt

dx

dt

xdo

)cos( 10 teAx t

(6.20)

(6.21)

(6.22)

Równanie różniczkowe drgań tłumionych

Rozwiązaniem równania jest funkcja:

dt

dxbkxma

Po przekształceniach: 0

2

2

2

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

β 2o

współczynnik oporu b

Uwzględniając siłę tłumiącą ośrodka i działającą na

klocek siłę sprężystości sprężyny.

Zakładając, że siła ciężkości klocka jest znikomo mała w

porównaniu z siłami Fs i Fo .

Wówczas II zasadę dynamiki Newtona dla składowej wzdłuż osi x (Fx=max ), zapisujemy:


Wnioski:

1) opór zmniejsza zarówno amplitudę z

upływem czasu:

2) oraz częstość drgań,

3) zwiększa okres

gdzie: - wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia β =b/2m,

- częstość (lub pulsacja) drgań tłumionych 1

- częstość drgań nietłumionych czyli częstość własna

(6.23)

(6.24)

(6.25)

0

0

0

1 teAtA 0)(

0

22

01

Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym.

Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu.

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

TA

A

Tt

t

)(

)(ln

(6.28)

(6.27)

DRGANIA TŁUMIONE


Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e

Wtedy:

- krotnie.

1 lub 1

czyli: współczynnik tłumienia

w ciągu którego amplituda zmniejsza się -razy. Czas

jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu

e nazywamy czasem relaksacji.

Energia oscylatora tłumionego nie jest stała i maleje z czasem:

(6.29)

(6.30)

Energia-podobnie jak amplituda- maleje wykładniczo z czasem.

DRGANIA TŁUMIONE


6.3. DRGANIA WYMUSZONE (oscylatora harmonicznego) W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem

do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t)

przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą.

W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną

postaci:

Równanie ruchu uwzględniające zarówno siłę wymuszającą,

jak i tłumiącą drgania zapisujemy w postaci:

(6.31)

(6.32)

Fot. J. H. Fragonard: "Huśtawka"

(” Les hasards heureux de l’escarpolette ” , 1767)

(6.31)

DRGANIA WYMUSZONE


Rozwiązanie równania dla drgań wymuszonych:

WNIOSKI:

Układ drga z częstością siły wymuszającej, a nie z częstością własną i jest ruchem nietłumionym

(amplituda nie maleje z upływem czasu).

Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością

drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej .

(6.33)

DRGANIA WYMUSZONE


KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH

(6.34)

REZONANS

Można dobrać taką częstość siły wymuszającej, aby amplituda drgań tego ciała była maksymalna., zjawisko to nazywamy rezonansem.

WARUNEK REZONANSU:

w 0

Aby amplituda drgań ciała była maksymalna.

Krzywe zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości

współczynników tłumienia β (β0<β1<β2<β3<β4) .

Kiedy brak jest tłumienia , a częstość

rezonansowa równa jest częstości drgań własnych

Układu , amplituda dąży do

nieskończoności!

(6.35)

(6.36)


Most Tacoma Narrows- 7 listopada 1940 r. , wiatr wiejący z prędkością dochodzącą do 67 km/h wprawił konstrukcję w jej ostatni taniec. Konstrukcja pomostu wpadła w ruch skręcający z wychyleniem 8.5 m, przy skręcaniu dochodzącym do 45 stopni! Pół godziny później zaczęły się odrywać pierwsze elementy pomostu, a po godzinie zawalił się cały pokład. Ta katastrofa dała wiele do myślenia architektom. Od tamtej pory pomosty usztywnia się kratownicami i nie projektuje się tak wąskich konstrukcji.

Fot. Most Tacoma Narrows USA http://www.atlasobscura.com/places

KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH


RUCH FALOWY

7. Ruch falowy

7.1. Cząstka i fala

7.2. Rodzaje fal

7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni

7.4. Prędkość rozchodzenia się fal. Równanie falowe

7.5. Przenoszenie energii przez fale

7.6. Interferencja fal, fale stojące


7.1. Cząstka i fala

Mamy dwa sposoby kontaktowania się z przyjacielem w innym mieście:

możemy napisać list (sposób polega na wykorzystaniu jakichś cząstek- obiektów materialnych);

skorzystać z telefonu (drugi sposób polega na wykorzystaniu fal).

”Często zdarza się, że fala ucieka z miejsca powstania, podczas gdy woda pozostaje, podobnie jest z falami, jakie wiatr wywołuje na polu zboża-widzimy fale biegnące przez pole, podczas gdy zboże pozostaje w miejscu. ”

Leonardo da Vinci

Cząstka oznacza malutkie skupienie materii zdolne do przenoszenia energii.

Fala oznacza coś wręcz przeciwnego, tj. rozchodzące się w ośrodku zaburzenie.

RUCH FALOWY


7.2. Rodzaje fal ( trzy główne rodzaje)

RUCH FALOWY

1. Fale mechaniczne, typowe przykłady to fale na wodzie , fale dźwiękowe lub sejsmiczne). Wszystkie te fale podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć wyłącznie w ośrodku materialnym –sprężystym ( gazy , ciała stałe, ciecze) .

2. Fale elektromagnetyczne. Zaliczamy do nich światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizyjne, mikrofale, promieniowanie X.

Fale te nie potrzebują żadnego ośrodka materialnego.

Np. fale świetlne emitowane przez gwiazdy docierają do nas przez próżnię kosmiczną. Wszystkie fale poruszają

się w próżni z tą sama prędkością światła c równą

c = 299 792 458 m/s.

3. Fale materii. Są wykorzystywane we współczesnej technice, są to fale związane z elektronami, protonami i innymi cząstkami elementarnymi, a nawet z atomami i cząstkami. Ponieważ te obiekty uważamy za składniki materii, nazywamy je falami materii.


7. 2.1. Ruch falowy

Do rozchodzenia się fal mechanicznych (np. dźwiękowych czy na wodzie)

niezbędny jest ośrodek materialny (sprężysty) .

Ruch falowy polega na przenoszeniu zaburzeń w ośrodku sprężystym, w czasie i

przestrzeni, np. w postaci drgań. W przypadku fal mechanicznych drgają cząsteczki

ośrodka, natomiast w przypadku fal elektromagnetycznych, w danym punkcie drgają

wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej.

Foto. Źródło: https://www.slideshare.net

RUCH FALOWY


Ruch falowy jest związany z transportem energii przez ośrodek

Podczas rozchodzenia się fali, cząsteczki ośrodka nie przesuwają się wraz z falą, a jedynie drgają wokół swoich położeń równowagi. Energia fal, to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Podstawową własnością wszystkich fal, niezależnie od ich natury, jest transport energii bez przenoszenia materii.

Rys. Falowanie pojedynczych cząstek wody w głębokim zbiorniku.

Falowanie- oscylacyjny ruch cząsteczek wody w pionie po orbitach kołowych lub eliptycznych.

źródło: http://geographicforall.pl/ & https://pl.wikipedia.org

http://geographicforall.pl/


B. Fala poprzeczna

Kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykład. Drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół.

7.2 .2. Rodzaje fal mechanicznych

Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek

ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia

się fali i zarazem kierunku transportu energii .

Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też

drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej

sprężyny.

A. Fala podłużna

Falą mechaniczną nazywamy zaburzenie w postaci ruchu drgającego

cząsteczek ośrodka rozchodzące się ze skończoną prędkością v.

kierunek fali

kierunek drgań

kierunek fali

kierunek drgań

Podział fal ze względu na kierunek drgań


Podział fal ze względu na rodzaj zaburzenia:

Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: np. gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy koniec napiętej liny (rys.1).

Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: np. cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny (rys. 2)

Rys.1. Impuls falowy

Rys.2. Fala harmoniczna Czoło fali

Promień fali Zasada Huygensa:

Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, Staje się środkiem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal określa położenie frontu fali W chwili następnej.

RUCH FALOWY


Podział ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste

Rys.1. Powierzchnie falowe (płaszczyzny) i promienie fali płaskiej

Rys.2. Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wycinki powłok sferycznych przedstawiają powierzchnie falowe

RUCH FALOWY


FALE W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH

•W ośrodkach, które mają sprężystość postaci (np. stal), mogą rozchodzić się fale poprzeczne i fale podłużne.

• W ośrodkach, które mają tylko sprężystość objętości (np. gaz), mogą rozchodzić się tylko fale podłużne.

Zdjęcie, źródło: :http://www.wrtos.org/whatis22

• Powierzchnia cieczy (np. wody) zachowuje sprężystość postaci i fale powierzchniowe są falami poprzecznymi. •W głębi cieczy występuje tylko sprężystość objętości i tam mogą rozchodzić się wyłącznie fale podłużne.


λ -długość fali, to najmniejsza odległość między dwoma punktami drgającymi (w tej samej chwili) z fazami różniącymi się o 2:

7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni.

Równanie poprzecznej fali harmonicznej (funkcją czasu oraz położenia) :

(7.1)

(7.2)

Funkcję nazywa się (jednowymiarową ) funkcją falową. )(, vtxytxy

][m

amplituda fali

wychylenie z położenia równowagi drgającego punktu ośrodka

kxtAtxy cos,

częstość kołowa drgań

źródła

liczba falowa

faza początkowa drgań źródła

faza

Wielkości opisujące falę:

FALE

y


FALE

kf

Tv

2

v- prędkość rozchodzenia się fal

prędkość fazowa fali

okres drgań punktów ośrodka

częstotliwość drgań punktów ośrodka

częstość kołowa

T

2

liczba falowa

2k

Prędkość v nazywa się prędkością fazową, gdyż jest to prędkość z jaką porusza

się stała faza fali.

(7.3)


Prędkość rozchodzenia się fal. W zależności od rodzaju ośrodka i jego własności rozchodzenia się fal są bardzo różne. W ciele stałym mogą się rozchodzić fale podłużne i poprzeczne. Prędkość fal podłużnych w ciele stałym wynosi:

gdzie E- moduł Younga materiału , w którym porusza się fala, a jego gęstość.

Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym wynosi:

G- moduł sztywności (moduł sprężystości poprzecznej). Ponieważ E > G, to fale podłużne rozchodzą się w ciele stałym szybciej niż poprzeczne. W głębi cieczy są możliwe tylko fale podłużne, których prędkość rozchodzenia się wynosi: Prędkość fali mechanicznej w gazie wyrażą się zależnością: gdzie μ –jest masą molową gazu, χ=cp/cv -wykładnik adiabaty, cp- ciepło właściwego w przemianie izobarycznej , cv-ciepło właściwe w p. izochorycznej, R- stałą gazową, a T- temperaturą.

FALE


Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T:

Równanie fali harmonicznej (7.2) wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k (radian/m) i częstość kołową ω :

(7.4)

(7.5)

(7.6) lub vf

fk

2

Rys. Dwa ujęcia fali w t=0 s. i t=Δt. Fala porusza się z prędkością v . Punkt odpowiadający maksimum „podróżuje” razem z falą ale element liny porusza się tylko w górę i w dół.

fala w t=0 s fala w t=Δt

RUCH FALOWY


Gdy faza początkowa drgań źródła =0, równanie fali harmonicznej płaskiej (7.1) :

kxtAtxy cos,

Równanie fali harmonicznej płaskiej (7.7), poruszającej się w ujemnym kierunku osi x, otrzymamy zmieniając znak przy wielkości x. Mamy wówczas:

)cos(, tkxAtxy

(7.7)

(7.8)

Łatwo zauważyć, fala jest okresowa w przestrzeni i czasie:

- w danej chwili t taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, itd., - w danym miejscu x faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd.

RUCH FALOWY


Jeśli zamiast liczby falowej k wprowadzimy wektor falowy k, to możemy uogólnić wzór (7.7) na przypadek fali poruszającej się w przestrzeni w dowolnym kierunku:

trkAtr

cos),(

gdzie: r jest wektorem wodzącym punktu w przestrzeni.

(7.9)

7.3. PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL. ( wyprowadzenie)

Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v , to śledzimy z jaką prędkością przemieszcza się w czasie wybrana część fali, tj. argument harmonicznej funkcji falowej, czyli faza fali.

Dla wybranej fazy fali:

vtxAtxy

2cos,

faza

tkxvtx

(

2(7.10)

(7.11) Pochodna fazy względem czasu daje częstość kołową fali:

dt

d

a względem położenia- liczbę falową:

2 k

dx

d(7.12)

RUCH FALOWY


Ich iloraz:

czyli

prędkość

fazowa fali

(7.14)

(7.13)

(7.13) vTTkdt

dx

dx

ddt

d

2

2

kv

kv ff

lub

Prędkość fali, którą wprowadziliśmy na samym początku, była prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali (w układzie poruszającym się z prędkością v faza w danym punkcie jest stała).

RUCH FALOWY


Zasada superpozycji fal Ustalono doświadczalnie, że ten sam obszar przestrzeni mogą przebiegać dwie (lub

więcej) fal. Oznacza to, że przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili

czasu jest sumą przemieszczeń, które wywołałyby poszczególne fale.

RUCH FALOWY

M1

M2 w punkcie P mamy nakładanie się fal ze źródeł M1 i M2 Odległych o r1 i r2.


PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL – PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową .

Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych

częstotliwościach : i 1 2 xktAxktAtxy 2211 coscos,

]cos[cos 2211 xktxkt


gdzie:

Superpozycja dwu fal harmonicznych rozchodzących się w przestrzeni o jednakowej

amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i oraz zbliżonych liczbach falowych , :

1 2 1k 2k

xktAxktAtxy 2211 coscos,

Fala wypadkowa :

221

221 kkk

Funkcja modulująca jest równa:

Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali?

, otrzymujemy: Różniczkując (7.20)

względem t i x: gvdk

dv

mod

wyrażenie na

prędkość grupową

(7.16)

(7.17)

(7.18)

(7.19)

(7.20) (7.21)

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

xktxktAtxy cos)cos(2, modmod

221mod

221mod kkk

)cos(2 modmod xktA

constxkt )( modmod

0)( modmod dxkdt

21

11

mod

modmod

kkkv


7.4 Przenoszenie energii przez fale

Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się

zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne (rysunek)

źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów

struny (ośrodka).

Siła F jaka działa na koniec struny porusza

struną w górę i w dół wprawiając jej koniec

w drgania w kierunku y.

Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii

przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc:

Z rysunku prędkość poprzeczna jest równa:

a składowa siły F w kierunku y wynosi

Podstawiając otrzymujemy:

(7.31)

(7.32)

(7.33)

(7.34)

FALE


Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ = −∂y / ∂x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia

struny). Stąd:

tkxAtxy sin, Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej:

)cos( tkxAdt

dy )cos( tkxAk

dx

dyoraz

i podstawiamy do wyrażenia na moc:

Korzystając z zależności (2,48) oraz z zalezności na

wzdłuż naprężonego sznura (struny):

otrzymujemy ostatecznie:

prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się

Moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Ponadto, szybkość przepływu energii jest

proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla

wszystkich typów fal.

Podsumowanie:

; μ- masa przypadającej na jednostkę długości sznura.

(7.35)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

(7.36)

FALE


7.5. INTERFERENCJA FAL

INTERFERENCJĄ FAL nazywamy zjawisko fizyczne polegające na nakładaniu się dwóch lub więcej fal, prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitudy fali wypadkowej.

Warunkiem interferencji fal jest ich spójność (koherencja), czyli korelacja faz, amplitudy i częstotliwości.

Rys. Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/

FALE

http://www.kettering.edu/~drussell/


Część II . RUCH DRGAJĄCY I FALOWY

7.5.1. Interferencja fal o jednakowej amplitudzie i długości

W wyniku nałożenia się fal (zasada superpozycji) powstaje fala wypadkowa:

(7.40)

(7.41)

(b)

(a)

Rozważmy w przestrzeni przemieszczające się dwie fale o równych częstotliwościach

i amplitudach, ale o fazach różniących się o φ. Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku x,

z jednakowymi prędkościami, to możemy je opisać równaniami:

21 yyy

w efekcie, po przekształceniach ….(tab.), otrzymujemy:

Animation Dr. Dan Russell, Kettering University; http://sdsu-physics.org/

Interferencja konstruktywna

Interferencja destrukcyjna

http://www.kettering.edu/~drussell/


INTERFERENCJA FAL

(7.41)

Interferencja konstruktywna

Interferencja destrukcyjna

Interferencja


Równanie powstałej fali :

czynnik jest amplitudą fali wypadkowej.

Amplituda ta zależy tylko od przesunięcia fazowego φ.

WNIOSKI:

Wynik nakładania się fal (interferencji) zależy wyłącznie od przesunięcia fazoweg φ (różnicy faz ).

Jeżeli nie ma przesunięcia fazowego φ = 0 , to A’=2A . Następuje maksymalne wzmocnienie (amplituda A’ osiąga maksimum)- interferencja konstruktywna.

Jeżeli przesunięcie fazowe wynosi φ = 180° (fale są przeciwne w fazie), to amplituda A’ = 0 i następuje wygaszenie fali – interferencja destruktywna.

Dla pozostałych wartości φ otrzymujemy pośrednie wyniki nakładania się fal.

(7.41) )2

sin('

tkxAy

INTERFERENCJA FAL


Powstaną wówczas, gdy interferują ze sobą dwie fale spójne przemieszczające się w

jednym kierunku, ale w przeciwne strony.

Ma to miejsce, gdy np. fala odbija się bez strat energii od przeszkody i następuje

interferencja fali padającej i odbitej. W równaniach takich fal znaki ”+” i ”-” określają

kierunek propagacji fali. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli mają taką samą długość

( i częstotliwość) oraz stałą w czasie różnicę faz.

7.5.2. FALE STOJĄCE

ozn.: w- tzw. węzły fali stojącej; s- tzw. strzałki fali stojącej.

Są szczególnym przypadkiem interferencji jest fala stojąca .


W wyniku interferencji dwóch fal stojących:

(7.45)

])(sin[

)](sin[

2

1

v

xtAy

v

xtAy

21 yyy

2cos

2sin2sinsin

Uwzględniając zależność

otrzymujemy: )2

sin()2

cos(2

tv

xAy (7.46)

Równanie wypadkowej fali stojącej (7.46)


Zauważmy, że nie ma propagacji drgań; położenia węzłów i strzałek fali stojącej nie ulegają zmianie.

nie zależy od czasu, ale od położenia.

(7.47)

)2

cos(2'

v

xAA

, powstaje strzałka fali stojącej.

, powstaje węzeł fali stojącej.

vk

pamiętając:

(7.48)

Cechy charakterystyczne:

Amplituda wypadkowej fali stojącej :

(7.49)

(7.50)


FALE STOJĄCE

Przykład – częstości rezonansowe struny.

W strunie o długości L (rys.), przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie. Fala stojąca powstała w wyniku rezonansu, o strunie zaś mówimy, iż rezonuje przy pewnych częstościach, zwanych częstościami rezonansowymi (lub częstościami własnymi). Gdy struna drga z inną częstością, fala stojąca się nie pojawia.

Pierwsza harmoniczna

Druga harmoniczna

Trzecia harmoniczna

Rys. Struna zamocowana między dwoma końcami i wprawiona w drgania.

Ogólnie, fala stojąca w strunie o długości L (rys): gdzie n=0,1,2.3,…

2)12(

nL (7.51)


f

vvT

Jeżeli teraz uwzględnimy:

Częstości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali, zgodnie ze wzorem (7.51) , wynoszą :

L

vnfn

2)12(

gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie .

(7.52)

(7.53)

Z wyrażenia (7.54) wynika, że częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstości rezonansowej (n=0): Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy drganiem (modem) podstawowym lub pierwszą harmoniczną . Zbiór wszystkich możliwych drgań własnych nazywamy szeregiem harmonicznym, a liczbę n –liczbą harmoniczną dla n-tej harmonicznej.

l

vf

2

FALE STOJĄCE


Dodatek: zasada superpozycji

7.6. DRGANIA ZŁOŻONE

7.6.1. Składanie drgań równoległych

Rozpatrzymy ruch punktu materialnego wynikający ze złożenia dwóch drgań harmonicznych równoległych (zachodzących wzdłuż jednej prostej), z jednakową częstością , ale są przesunięte w fazie o Δφ.

Zasada superpozycji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu.

Wypadkowa jest drganiem z tą samą częstością!

111 cos tAx

222 cos tAx www tAxxx cos21

gdzie: 1221

2

2

2

1

2 cos2 AAAAAw- amplituda

- faza

2211

2211

coscos

sinsin

AA

AAtg w

Złożenie dwu drgań harmonicznych równoległych o

jednakowych częstościach

(6.35) (7.55)

(7.56)


Amplituda drgania wypadkowego zależy tylko od różnicy początkowych faz 12 drgań składowych. Jeśli różnica faz dwóch drgań nie zależy od czasu, to takie

drgania nazywamy spójnymi ( lub koherentnymi).

drgań

Przypadki szczególne:

1) Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej wielokrotności 2:

212 k ,...2,1,0k

Maksymalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowych.

2) Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności :

1212 k

Maksymalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowych.

,...2,1,0k

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH – C.D.



3) SKŁADANIE DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH - DUDNIENIA: , drgania których częstości różnią się

nieznacznie i odbywają się w tym samym kierunku i są opisane równaniami :

ttAtAtAxw

cos2

cos2coscos

(7.57)

tAx cos1

tAx cos2



Jeśli różnica faz tt 12 dowolny, to amplituda drgań wypadkowych zmienia się z upływem czasu i nie ma sensu w ogóle

mówić o składaniu amplitud, jest to tzw. niekoherentne składanie drgań.

drgań składowych zmienia się z upływem czasu w sposób

Drgania typu: tttAtx cos nazywamy modulowanymi.

1) modulowana faza (częstość) – FM:

constA t

2) modulowana amplituda – AM:

;

const maxAdtdA ;

ANALIZA HARMONICZNA

Analiza harmoniczna – to sposób na przedstawienie złożonych drgań modulowanych w postaci

szeregu prostych drgań harmonicznych.


DRGANIA G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych

o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej :

N

n

nn tnAtx

0

cos

W ogólnym przypadku, liczba wyrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możemy wtedy

przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla których szeregi Fouriera nie zawierają

pewnych wyrazów.

7.6.2. SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH-KRZYWE LISSAJOUS:

Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch drgań harmonicznych odbywających się z jednakowymi

częstościami , zachodzących w płaszczyźnie wzdłuż kierunków prostopadłych względem siebie:

tAtx x cos

tAty y cos

(7.58)

(7.60)

(7.59)


Ponieważ , to stosując odpowiednie podstawienia w drugim

równaniu możemy zapisać:

x

xA

xttAtxz coscos)1

y

yA

yttAtyz coscos)2

Jest to równanie elipsy nachylonej pod kątem do osi układu odniesienia.

Mówimy, że punkt materialny wykonujący oba te drgania jednocześnie, zakreśla na płaszczyźnie

pewną krzywą.

)(sin)cos(2 2

2

2

2

2

yxyx

AA

xy

A

y

A

x (7.61)

cossincoscos)cos(

2

2

1)sin()cos(

xxy A

x

A

x

A

y

, czyli 2

2

1)sin(

xA

xt

Po uporządkowaniu znajdujemy równanie toru ruchu cząstki poruszającej się pod wpływem

dwu drgań wzajemnie prostopadłych ( równanie ogólne elipsy):

DRGANIA


PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ELIPSY:

1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe:

Można tak ustawić odczyt czasu, żeby różnica faz była równa zeru: 0 yx

Dzieląc stronami: xA

Axy

x

y - linia prosta

ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej. Będą to również drgania harmoniczne, a

2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa

:

yx

Wtedy: xA

Axy

x

y - linia prosta

(6.44)

(6.45)


Składanie drgań c.d.

3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 2

Wtedy:

tAtx x cos tAty y sini

i ostatecznie: 12

2

2

2

yx A

y

A

x

Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do

ruchu wskazówek zegara;

Elipsa

4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa

23– również elipsa, ale o obiegu zgodnym z ruchem

wskazówek zegara;

(7.62)

(7.63)


)(sin)cos(2 2

2

2

2

2

yxyx

AA

xy

A

y

A

x

Drgania prostopadłe o takich samych częstościach

Składanie drgań - PODSUMOWANIE


Podana relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem

szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach

różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajous. Figury te mieszczą

się w prostokącie o wymiarach , i .

FIGURY LISSAJOUS – przypadek ogólny

Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu

ruchów składowych:

Przykłady figur Lissajous:

Rys. 1a. Złożenie drgań

prostopadłych o jednakowych

częstościach Rys. 1a. Złożenie drgań prostopadłych o różnych

częstościach i jednakowych amplitudach.


Dziękuję za uwagę !

RUCH DRGAJĄCY Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479...

Documents

Transcript of RUCH DRGAJĄCY Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479...