DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH...
Transcript of DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH...
1 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3
Obłok Oorta
Pas Kupiera
Pluton
Neptun
Uran
Saturn
Jowisz
Planetoidy
Mars
Księżyc
Ziemia
Wenus
Merkury
Słońce
Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych
UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH – zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej
konfiguracji przestrzennej.
2 FIZYKA – wykład 3
Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych o masach: .
(3.1)
Układy cząstek
ŚRODEK MASY (środek bezwładności)
n
i
iiS rmM
r1
1
n
i
imM1
wektor położenia
środka masy układu ciał
wektor położenia ciała
o masie mi
(3.2)
Rys. źródło: http://semesters.in
Środek masy ciała lub układu ciał to punkt,
który porusza się tak, jak gdyby była w nim
skupiona cała masa układu, a wszystkie siły
zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie
punkcie.
Masa całego układu
Położenie punktu ś.m., dane jest wzorem:
3 FIZYKA – wykład 3
Środek masy układu ciał (przykłady)
xs
dmM
mx
KZ
Ks
kmR
kmd
kgkgM
kgm
Dane
Z
z
K
14,6378
384400
1061098,5
1035,7
:
2424
22
kmxs 28,4667
4 FIZYKA – wykład 3
Przykład.
Środek masy układu ciał (cd.)
Cząstka
Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker,
"Podstawy fizyki ”.
5 FIZYKA – wykład 3
(3.3)
(3.4)
Środek masy – ciało rozciągłe
Obiekt o ciągłym rozkładzie masy
ndmdmdm ,...,, 21
Gdy liczba części , wtedy n
n
i
i
n
i
ii
nS
m
rm
r
1
1lim
Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd
PROMIEŃ
WODZĄCY ŚRODKA MASY:
V
M
M
S dVrM
dm
dmr
r0
0
0 1
całkowita masa - gęstość ciała.
W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy
dzielimy je w myśli na n- małych części o
masach
Wzór (3.1) przyjmuje:
wektor położenia
środka masy danego ciała
6 FIZYKA – wykład 3
Środek masy – ciało rozciągłe. Przykład
Układy cząstek
Stożek jest bryłą symetryczną – środek
masy leży na osi symetrii.
7 FIZYKA – wykład 3
(3.5)
(3.6)
Środek masy c.d.
3.2. PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy
obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała:
n
i
iivmp1
Pamiętając o wyrażeniu na prędkość:
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii rmdt
d
dt
rdmvmp
111
Po podstawieniu do wyrażenia (3.6) wzoru (3.1) , otrzymamy:
(przypomnienie)
pęd środka
masy układu
(3.7)
Zatem:
Suma pędów układu
punktów materialnych = Pędowi jego środka masy
(3.8)
SS
Ssm vMdt
rdMrM
dt
dp
8 FIZYKA – wykład 3
Prędkość i przyspieszenie środka masy
(3.9)
(3.10)
9 FIZYKA – wykład 3
(3.11)
nn F
dt
dt
dt
dt
pd
,...,,, 33
22
11
Sumując stronami: oraz uwzględniając zależność:
n
i
i
n
i
i Fdt
pd
11
n
i
ism F
dt
pd
1
dt
pd
dt
pd smn
i
i
1
Otrzymujemy równanie
ruchu środka masy układu :
II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek
Zał. M – całkowita masa układu nie może się zmieniać – układ zamknięty.
II zasada dynamiki Newtona
dla układu cząstek
Szybkość zmian pędu środka masy układu cząstek jest równa wypadkowej sił
działających na układ i ma kierunek tej siły.
10 FIZYKA – wykład 3
Inna postać II zasady dynamiki Newtona dla układu cząstek :
Swyp aMF
Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym
skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych
przyłożonych do układu.
Z równania ruchu środka masy układu równania wynika, twierdzenie o ruchu środka masy:
(3.12)
II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek c.d.
Fwyp – wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych,
M – całkowita masa układu.
as – przyspieszenie środka masy
11 FIZYKA – wykład 3
Gdy , to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa.
(3.15)
(3.13)
Ze wzoru (3.10) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne
)()( z
i
w
iii FFF
dt
pd
Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki),
zatem:
n
i
z
i
n
i
i Fdt
pd
1
)(
1
(3.14)
WNIOSKI:
Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu.
0)( zF
Czy siły wewnętrzne mają wpływ na ruch układu?
12 FIZYKA – wykład 3
Dynamika punktu materialnego
3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają
żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego
układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).
Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach .Ciała te mają prędkości
. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: – siła, jaką ciało
k-te działa na ciało i-te.
nmmm ,...,, 21
nvvv ,...,, 21 ikF
Z II zasady dynamiki Newtona:
nFFFvmdt
d1131211 ...
wypFdt
pd
nFFFvmdt
d2232122 ...
nnnnnn FFFvmdt
d ...21
…
112112
1
...
nnnn
n
i
ii FFFFvmdt
d Dodając stronami
powyższe równania: (3.16)
13 FIZYKA – wykład 3
(3.19)
(3.17)
Zasada zachowania pędu c.d.
Z III zasady dynamiki Newtona mamy: kiik FF
Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (3.15), otrzymujemy:
n
i
ii
n
i
ii vmdt
dvm
dt
d
11
0
Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:
n
i
ii
n
i
i vmpp11
Ostatecznie, otrzymujemy:
0dt
pd
constp
stąd
(3.18)
ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU
Jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest
równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.
14 FIZYKA – wykład 3
(3.21)
(3.20)
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D.
Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił
zewnętrznych, których wypadkową jest .
Wtedy druga zasada dynamiki Newtona dla układu N punktów materialnych:
,0)( z
wypF
Jeżeli to
)( z
wypF
constp
Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub oddziałujące siły się równoważą, to pęd układu
pozostaje stały.
Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał
w dowolnym momencie późniejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:
15 FIZYKA – wykład 3
Zasada zachowania pędu - konsekwencje
Przykład: ”rakieta” z butelki
Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy
powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę.
Pęd układu pozostaje równy zeru.
16 FIZYKA – wykład 3
POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ
Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej
masie ciała: M
n
i
imM1
Bryła sztywna ,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn.
średnie odległości pomiędzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniają się, niezależnie
od działających sił.
Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.
Rodzaje ruchów bryły sztywnej:
Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.).
W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody.
a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa dowolne punkty
bryły pozostaje równoległy do swoich poprzednich położeń.
b) ruch obrotowy – wszystkie punkty danego ciała
poruszają się po okręgach, których środki znajdują się
na jednej prostej – osi obrotu.
3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY
17 FIZYKA – wykład 3
(3.22)
(3.23)
RUCH OBROTOWY
. MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI - wielkość charakterystyczna dla danego ciała
i określonej osi obrotu:
W przypadku ciał rzeczywistych, takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły
stosuje się postać całkową definicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty
bezwładności:
gdzie: r2- oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.
POSTAĆ CAŁKOWA:
18 FIZYKA – wykład 3
Momenty bezwładności kilku popularnych brył:
a) rura b) walec pełny
c) kula d) pręt
(WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY)
RUCH OBROTOWY
.
19 FIZYKA – wykład 3
d
O O’
m
(3.24)
3.5.2. TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych)
Jeżeli moment bezwładności danego ciała względem osi
przechodzącej przez środek masy wynosi I0, to moment
bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do niej i
oddalonej od niej o d, wynosi :
2
0 mdII
WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu.
*Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności
ciała względem tej osi wzrasta.
RUCH OBROTOWY
.
20 FIZYKA – wykład 3
Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykonuje jeden pełen
obrót.
Częstotliwość, - liczba obrotów wykonanych
przez ciało w czasie jednej sekundy; odwrotność okresu.
Częstość kołowa - zwana też prędkością kątową,
(3.25)
(3.26)
Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomnienie)
)11( 1 Hzs
… i ich wzajemne związki:
(3.27)
2
2
dt
d
dt
d (3.28)
przyspieszenie kątowe
21 FIZYKA – wykład 3
MOMENT SIŁY względem punktu O.
.
FrM
(3.29)
)(M
RUCH OBROTOWY
.
Zdolność siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy zależy nie tylko od wartości składowej
stycznej, lecz także od tego jak daleko od punktu (osi) obrotu jest ona przyłożona.
ramię siły •
FrFrM
sin (3.30)
22 FIZYKA – wykład 3
I
M
(3.31)
(3.32)
3.5.3. II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO
Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej (obracającej się wokół nieruchomej osi) jest
wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu sił zewnętrznych działających na
ciało a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności tego ciała.
Ir
arm
r
rramrFMskalarnie 2:
2rmI
Punkt materialny A , porusza się po okręgu o promieniu
pod wpływem siły F , stycznej do okręgu.
:wektorowo
23 FIZYKA – wykład 3
Przykład. Dla danych: M, R i m, znajdź przyspieszenie układu przedstawionego na
rysunku. Pomiń opór powietrza oraz tarcie na osi krążka.
RUCH OBROTOWY
.
M
m
Fa w
I
Mw
24 FIZYKA – wykład 3
Związek między
momentem pędu a prędkością kątową
Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe?
(3.31)
RUCH OBROTOWY
.
Moment pędu - ciało punktowe
(3.33)
(3.34)
25 FIZYKA – wykład 3
Moment pędu bryły sztywnej
RUCH OBROTOWY
.
(3.35)
(3.36)
26 FIZYKA – wykład 3
(3.37)
Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się
wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych działających na ciało.
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Uogólniona II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
27 FIZYKA – wykład 3
(3.38)
3.5.5. ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO
2
2IEK
Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu
dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności.
Można to zrealizować zwiększając masę ciała lub poprzez rozmieszczenie masy
w możliwie dużej odległości od osi obrotu.
WNIOSEK:
Energia kinetyczna ciała
w ruchu obrotowym
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
28 FIZYKA – wykład 3
Całkowita energia kinetyczna
RUCH OBROTOWY
.
Toczenie – złożenie ruchu postępowego i obrotowego.
obrót ruch postępowy toczenie
(3.39)
29 FIZYKA – wykład 3
Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej.
Który pierwszy osiągnie podstawę ? Co jest powodem tej różnicy?
Przykład. (Rola momentu bezwładności)
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
30 FIZYKA – wykład 3
(3.40)
3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt
Ld
wynika wprost: tconstLdt
LdM
00
Jeśli działający na układ wypadowy moment sił jest równy zeru,
to całkowity moment pędu układu nie zmienia się niezależnie od tego,
jakim zmianom podlega układ.
Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego
punktu nieruchomego jest stały.
Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to
moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
31 FIZYKA – wykład 3
(3.41)
3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt
Ld
wynika wprost: tconstLdt
LdM
00
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa
się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.
Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego
punktu nieruchomego jest stały.
Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to
moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
32 FIZYKA – wykład 3
RUCH OBROTOWY
.
Przykład. Zasada zachowania momentu pędu
33 FIZYKA – wykład 3
Siła ciężkości działająca na ciało jest efektywnie przyłożona w punkcie,
który nazywamy środkiem ciężkości.
•Środek ciężkości
Warunki równowagi ciała
Równowaga ciała
Jeśli dla wszystkich elementów ciała przyspieszenie g jest jednakowe,
to środek ciężkości ciała i jego środek masy znajdują się w tym samym punkcie.
(3.42)
(3.43)
34 FIZYKA – wykład 3
Gdzie należy umieścić przeciwwagę żurawia,
gdy ładunek jest podnoszony z ziemi?
(Przeciwwaga jest zazwyczaj przenoszona
automatycznie przez czujniki i silniki, aby precyzyjnie
kompensować obciążenie).
Rys. źródło: http://www.chegg.com
Równowaga ciała
Żuraw wieżowy (rys.) musi być zawsze starannie wyważony, tak że nie ma żadnego
momentu obrotowego. Żuraw na placu budowy ma podnieść klimatyzator
m = 3300 kg. Wymiary żurawia są pokazane na rysunku 2. Przeciwwaga żurawia ma
masę M = 10000 kg. Zignoruj masę belki.
Przykład dla zainteresowanych
35 FIZYKA – wykład 3
Dziękuję za uwagę !