Ogólna Teoria Względnościvixra.org/pdf/1804.0178v1.pdf · 5 WSTĘP Fizycy to poeci nauki...

Ogólna

Teoria Wzglêdnoœci

Zb

ign

iew

Os

iak

2

Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycjitelewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:http://orcid.org/0000-0002-5007-306X

3

Matematyka powinna być służącą, a nie królową.

Arielowi,

mojemu synowi poświęcam

Zbigniew Osiak

OGÓL�ATEORIA WZGLĘD�OŚCI

ZE SZCZEGÓL�YM UWZGLĘD�IE�IEM RACHU�KU TE�SOROWEGO

4

© Copyright 2012 by Zbigniew Osiak

Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacjizabronione bez pisemnej zgody autora.

Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowejMałgorzata Osiak

Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnejRafał Pudło

Wydawnictwo: Self Publishing

ISBN: 978-83-272-3515-2

e-mail: [email protected]

Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycjitelewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:http://orcid.org/0000-0002-5007-306X

5

WSTĘP

Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę.

Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na którychwykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mamnadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.

Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:• Szczególna Teoria Względności• Twórcy Teorii Względności

Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują sięw trzeciej części tryptyku.

Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew NikołajewiczLandau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi-wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanieistoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru.

Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat.

Zbigniew Osiak

Wrocław, wrzesień 2004

6

SPIS TREŚCI

STRO�A TYTUŁOWA

STRO�A PRAW AUTORSKICH

WSTĘP

POLE GRAWITACYJ�E – TEORIA �EWTO�A 15

1. Równania pola grawitacyjnego 15• Wektor natężenia pola grawitacyjnego 15• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 15• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 16• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E 16• Związek między natężeniem a potencjałem 16• Równanie Poissona i Laplace’a 17• Prawo Newtona 17• Zapis prawa Newtona w postaci wektorowej 17 2. Równania ruchu punktu materialnego w zewnętrznym polu grawitacyjnym 18 3. Pole grawitacyjne punktowej masy 18• Natężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punkto-

wego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18 4. Pole grawitacyjne układu punktów materialnych, zasada superpozycji 19• Zasada superpozycji natężeń 19• Zasada superpozycji potencjałów 19 5. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola grawitacyjnego układu punktów material-nych 19• Rozwinięcie multipolowe potencjału 19• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 20• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 21• Tensor momentu kwadrupolowego 21• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności 22 6. Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-nym 23• Energia potencjalna punktowej masy w zewnętrznym polu grawitacyjnym 23• Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-

nym 23 7. Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania między punktami materialnymi 25• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych 25• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu punktów material-

nych 26• Energia potencjalna ciągłego rozkładu mas 27

8. Energia pola grawitacyjnego 27 9. Równanie toru w centralnym polu grawitacyjnym 28

7

10. Prawa Keplera 31• Pierwsze prawo Keplera 31• Drugie prawo Keplera 31• Trzecie prawo Keplera 31 11. Prędkości kosmiczne 32• Pierwsza prędkość kosmiczna w przypadku orbity kołowej 32• Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) w przypadku orbity liniowej 32• Prędkości na dowolnych orbitach 32• Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety 33 12. Swobodny spadek i grawitacyjne zapadanie 34• Cząstka swobodnie spadająca ze skończonej odległości na powierzchnię znajdującą

się w odległości r od centrum źródła pola grawitacyjnego 34• Grawitacyjne zapadanie 34 13. Siły pływowe 35• Siły pływowe 35• Siły pływowe rozciągające 35• Siły pływowe ściskające 35

OGÓL�A ZASADA WZGLĘD�OŚCI 36

1. Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36• Podstawowe postulaty szczególnej teorii względności 36• Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36• Struktura tensora metrycznego 38 2. Czasoprzestrzeń 39• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy inercjalne 39• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy nieinercjalne 40• Zakrzywiona czasoprzestrzeń Riemanna, układy lokalne 41• Czas własny w ogólnej teorii względności 42• Odległość przestrzenna w ogólnej teorii względności 42• Jakie warunki musi spełniać tensor metryczny aby mógł określać metrykę realnej cza-

soprzestrzeni? 43 3. Zapisywanie równań w postaci ogólnie kowariantnej 44• Zasady zapisywania równań w postaci ogólnie kowariantnej 44• Podstawowa forma metryczna 45• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 45• Długość wektora 45• Czteroprędkość 46• Czteroprzyspieszenie 46• Równanie bilansu wielkości skalarnej 47 4. Równania ruchu cząstki w ogólnej teorii względności 48• Czterowymiarowa prędkość 48• Czterowymiarowe przyspieszenie 48• Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej 48• Swobodny ruch cząstki próbnej 50 5. �ieinercjalne układy odniesienia 51• Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia 51• Układ ze stałym przyspieszeniem 51• Układ obracający się 53• Układ drgający 55

8

6. Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej 57• Relatywistyczne równanie bilansu masy hydrodynamicznej w inercjalnym układzie

ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 57• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii cieczy nielepkiej w inercjalnym

układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 58• Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej w dowolnym układzie współrzędnych 60 7. Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego 61• Pył bezciśnieniowy 61• Równanie bilansu masy pyłu bezciśnieniowego w inercjalnym układzie ortonormal-

nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 61• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w iner-

cjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 62• Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w dowolnym układzie współrzędnych 63 8. Równania Maxwella w ogólnej teorii względności 64• Czterowektor gęstości prądu 64• Tensory pola elektromagnetycznego 64• Jednorodne równania Maxwella 65• Niejednorodne równania Maxwella 66• Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej 67 9. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w inercjalnym układzie or-

tonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 68• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w dowolnym układzie

współrzędnych 68• Ślad tensora pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68

POLE GRAWITACYJ�E – TEORIA EI�STEI�A 69

1. Równania ogólnej teorii względności 69• Podstawowe (główne) idee i postulaty 69• Tensor pędu-energii 70

� Tensor pędu-energii dla cieczy nielepkiej 70� Tensor pędu-energii dla pyłu bezciśnieniowego 70� Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 70

• Tensor krzywizny Einsteina 70• Równania pola grawitacyjnego (Równania metryki czasoprzestrzeni) 71

� Równania pola w postaci kowariantnej 71� Równania pola w postaci konttrawariantnej 71� Równania pola w postaci mieszanej 71

• Skalar krzywizny 72• Zasada zachowania pędu i energii w postaci mieszanej 73• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kontrawariantnej 73• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kowariantnej 74• Równania pola grawitacyjnego a zasady zachowania pędu i energii 75• Równania ruchu w płaskiej czasoprzestrzeni 77• Równania ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni 77 2. Przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 78• Tensor krzywizny słabego pola grawitacyjnego 78• Równania stacjonarnego słabego pola grawitacyjnego 79• Równania ruchu w przypadku słabego stacjonarnego pola grawitacyjnego 81

9

• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odległość przestrzenną dwóch zdarzeń 82• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odstęp czasu między dwoma zdarzeniami 82• Przesunięcie linii spektralnych w polu grawitacyjnym 83 3. Dokładne rozwiązanie Schwarzschilda 84• Próżniowe (zewnętrzne) rozwiązanie Schwarzschilda 84• Równanie orbity 87• Obrót orbity 88• Zakrzywienie toru promieni świetlnych w polu grawitacyjnym 90• Metryka Schwarzschilda jako metryka zakrzywionej czasoprzestrzeni 91• Promień Schwarzschilda i czarne dziury 93• Minimalna średnia gęstość czarnej dziury 93• Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryce

Schwarzschilda 94• Fizyczna (przeskalowana) składowa radialna przyspieszenia grawitacyjnego swobod-

nego spadku 95• Wartość radialnego przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku 95• Współrzędne Kruskala-Szekeresa 96• Rozwiązanie Schwarzschilda a przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 97• Swobodny spadek na wirującą planetę 98• Przykład: Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w płaszczyźnie równiko-

wej 103• Przykład: Ogólna postać w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równań ruchu swobodnej cząstki

próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety 103 4. Rozwiązanie Weyla 105• Metryka Weyla 105 5. Rozwiązanie Kerra 106• Metryka Kerra 106 6. Fale grawitacyjne 107• Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni są równaniami falo-

wymi 107• Cechowanie TT 108• Fale grawitacyjne są falami poprzecznymi 109• Równania niestacjonarnego słabego pola poruszających się ciał 110• Emisja fal grawitacyjnych 114• Przykład 115 7. Tensor momentu kwadrupolowego 116• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 116• Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 116• Elipsoida 116• Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu mas rozmieszczonych ze stałą gęstością

objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowią osie eli-psoidy 117

8. Model Wszechświata Einsteina: „Materia bez ruchu” 120• Trójwymiarowa hipersfera zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Eukli-

desowej jako trójwymiarowa przestrzeń o stałej krzywiźnie Riemanna 120• Metryka modelu Wszechświata Einsteina 121• Składowe tensora Ricciego 121• Skalar krzywizny 121• Składowe tensora Einsteina 121• Tensor pędu energii 121

10

• Równania pola 121• Równania pola z członem kosmologicznym 122• Warunki wynikające z równań bilansu pędu i energii jakie musi spełniać człon kos-

mologiczny jako dodatkowy człon w równaniach pola 122• Metryka Einsteina we współrzędnych sferycznych 122 9. Model Wszechświata de Sittera: „Ruch bez materii” 123• Rozwiązanie de Sittera 123 10. Model Wszechświata Friedmana 124• Podstawowe założenia 124• Podstawowa forma metryczna Friedmana-Lemaître-Robertsona-Walkera w układzie

kartezjańskim 124• Składowe kowariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 124• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 124• Składowe mieszanego tensora metrycznego F-L-R-W 124• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 5• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 125• Składowe tensora Ricciego 126• Skalar krzywizny 127• Składowe tensora Einsteina 128• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 128• Równania pola 128• Równania pola wyrażone przez stałą Hubble’a 129• Równania bilansu pędu i energii 129• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 130• Analiza modelu 131• Analiza modelu w przypadku różnej od zera stałej kosmologicznej 132• Prawo Hubble’a 133• Metryka F-L-R-W we współrzędnych sferycznych 134 11. Prosty model rozszerzającej się czasoprzestrzeni 135• Podstawowe założenia 135• Podstawowa forma metryczna 135• Składowe kowariantnego tensora metrycznego 135• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego 135• Składowe mieszanego tensora metrycznego 135• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 136• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 136• Składowe tensora Ricciego 136• Skalar krzywizny 136• Składowe tensora Einsteina 137• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 137• Równania pola 137• Prawa zachowania 138• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 138• Niezerowe składowe mieszanego tensora krzywizny 139• Analiza modelu 139• Prawo Hubble’a 140 12. Model wirującego Wszechświata Gödla 141• Rozwiązanie Gödla 141• Metryka Gödla we współrzędnych cylindrycznych 141

11

�IEZBĘD�IK MATEMATYCZ�Y 143

1. Macierze 143• Podstawowe definicje 143• Wyznacznik macierzy 143• Dodawanie macierzy 144• Mnożenie macierzy 144• Macierz transponowana 144• Macierz symetryczna 144• Macierz odwrotna 144• Równanie charakterystyczne, wartości własne i wektory własne macierzy 145• Transformacje ortogonalne 146 2. Algebraiczne formy kwadratowe 148• Forma kwadratowa 148• Macierz formy kwadratowej 148• Rząd formy kwadratowej 148• Dodatnio określone formy kwadratowe 148• Kryteria dla dodatnio określonych form kwadratowych 148• Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej (diagonalnej) 148• Sygnatura formy kwadratowej 148• Prawo bezwładności formy kwadratowej 148• Niezmienniki liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej 149 3. Liniowe przekształcenia ortogonalne i różniczkowe formy kwadratowe w teoriiwzględności 149• Czasoprzestrzeń 149• Transformacja przeprowadzająca formę metryczną urojoną w rzeczywistą 148 4. Prostoliniowe układy współrzędnych 150• Dualny (sprzężony) układ współrzędnych 150• Algorytm konstrukcji bazy dualnej (sprzężonej) 151• Transformacje wektorów bazowych 153• Współrzędne kontrawariantne i kowariantne 155• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 156• Długość wektora 156• Iloczyn skalarny jako niezmiennik dowolnej transformacji liniowej 157 5. Tensory 158• Wektory kontrawariantne i kowariantne jako tensory pierwszego rzędu 158• Tensory kontrawariantne, kowariantne i mieszane drugiego rzędu 159• Tensory g-kontrawariantne i d-kowariantne 160• Delta Kroneckera jako tensor 161 6. Tensor metryczny 162• Kowariantny tensor metryczny 162• Kontrawariantny tensor metryczny 162• Własności tensorów metrycznych 163• Podstawowa forma metryczna (Kwadrat elementu liniowego) 164• Liniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych sprowadzające podstawową for-

mę metryczną do postaci diagonalnej 167 7. Współrzędne krzywoliniowe 168• Współrzędne krzywoliniowe 168• Lokalne układy współrzędnych związane ze współrzędnymi krzywoliniowymi 168• Układy współrzędnych ze zmienną bazą 169

12

• Różniczka promienia wodzącego 169• Kwadrat różniczki promienia wodzącego 169• Druga różniczka promienia wodzącego 169• Ograniczenia dotyczące operacji wykonywanych na tensorach w układzie współrzęd-

nych o zmiennej bazie 170• Przykład: Iloczyn skalarny 170• Wyznaczanie tensora metrycznego 170• Przykład: Współrzędne sferyczne 171• Współrzędne sferyczne w przypadku trójwymiarowym 172• Ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych 175• Fizyczne (prawdziwe) wartości składowych 175 8. Algebra tensorów 178• Dodawanie tensorów 178• Mnożenie tensorów 178• Zwężanie (kontrakcja) tensorów 178• Obniżanie i podnoszenie wskaźników 179• Zamiana składowych kontrawariantnych na kowariantne i vice versa 180• Operacja symetryzowania 181• Operacja alternowania 181 9. Analiza tensorów 182• Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju 182• Kontrakcja symboli Christoffela drugiego rodzaju 183• Własności transformacyjne symboli Christoffela pierwszego rodzaju 184• Własności transformacyjne symboli Christoffela drugiego rodzaju 184• Przykład: Druga różniczka promienia wodzącego w trójwymiarowym lokalnym ukła-

dzie odpowiadającym współrzędnym sferycznym 186• Przesunięcie równoległe wektora 187• Różnica wektorów określonych wzdłuż zadanej linii 187• Pochodna absolutna wektora kontrawariantnego zadanego wzdłuż linii 188• Pochodna absolutna wektora kowariantnego zadanego wzdłuż linii 189• Pochodna kowariantna i kontrawariantna wektora 190• Pochodna kowariantna tensora drugiego rzędu 190• Przykład: Pochodne tensorów metrycznych 190• Dywergencja wektora kontrawariantnego 191• Dywergencja wektora kowariantnego 191• Dywergencja tensora kontrawariantnego drugiego rzędu 192• Dywergencja antysymetrycznego (skośniesymetrycznego) tensora kontrawariantnego

drugiego rzędu 192• Dywergencja tensora kowariantnego drugiego rzędu 192• Dywergencja tensora mieszanego drugiego rzędu 193• Dywergencja symetrycznego mieszanego tensora drugiego rzędu 193• Związki między dywergencjami tensorów drugiego rzędu 194• Gradient funkcji skalarnej 194• Laplasjan funkcji skalarnej 195• Rotacja jako kowariantny tensor antysymetryczny drugiego rzędu 195• Twierdzenie Gaussa 195• Pochodna kowariantna dowolnego tensora 196• Pochodna kontrawariantna dowolnego tensora 197• Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy i iloczynu tensorów 200

13

• Pochodne wyższych rzędów 200• Dywergencja tensora metrycznego 201• Dalsze własności tensora metrycznego 201 10. Przestrzeń Riemanna 202• Płaskie przestrzenie z metryką 202• Przestrzeń Riemanna jako przestrzeń zakrzywiona z metryką 202• Kowariantny tensor metryczny i kowariantne wektory bazowe 203• Kontrawariantny tensor metryczny 203• Lokalny układ współrzędnych i styczna przestrzeń 203• Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych 204• Iloczyn skalarny wektorów kowariantnych 204• Rzeczywista wartość wektora kontrawariantnego 204• Rzeczywista wartość wektora kowariantnego 204• Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów 204• Operacje na tensorach w przestrzeni Riemanna 204• Równania geodetyki 205• Geodetyka zerowa 205 11. Tensor krzywizny 206• Mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu 206• Własności tensora krzywizny Grossmanna 207• Kowariantny tensor krzywizny Riemanna-Christoffela czwartego rzędu 207• Własności tensora krzywizny Riemanna-Christoffela 207• Podstawowe kryterium zakrzywienia przestrzeni 208• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kontrawariantnego 208• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kowariantnego 208• Kowariantny tensor krzywizny Ricciego drugiego rzędu 209• Własności tensora Ricciego 209• Mieszany tensor krzywizny Einsteina 210• Kontrawariantny tensor krzywizny Einsteina 211• Kowariantny tensor krzywizny Einsteina 211• Konforemne przekształcenie metryki 212• Kowariantny tensor krzywizny konforemnej Weyla 212• Własności tensora krzywizny konforemnej Weyla 213• Mieszany tensor krzywizny konforemnej Weyla 213• Twierdzenia o płaskości i zakrzywieniu przestrzeni 214• Równania dewiacji geodezyjnej 214 12. Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik, dwu-, trój-i cztero-składnikowe symbole Ricciego, symbole Christoffela pierwszego i drugiegorodzaju, składowe tensorów krzywizny 215• Składowe kontrawariantne symetrycznego tensora metrycznego i jego wyznacznik 215• Niezerowe dwuskładnikowe, trójskładnikowe i czteroskładnikowe symbole Ricciego

215• Jawna postać symboli Christoffetla pierwszego rodzaju 216• Jawna postać symboli Christoffetla drugiego rodzaju 217• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego 219• Niezależne składowe mieszanego tensora krzywizny Grosssmanna 221• Jawna postać niezerowych składowych mieszanego tensora krzywizny Grossmanna

222• Niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny Riemanna- Christoffela 228

14

• Niezerowe niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny wyrażone przezskładowe mieszanego tensora krzywizny 229

• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe mieszanego ten-sora Grossmanna 230

• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe kowariantnegotensora Riemanna-Christoffela 231

• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stacjo-narnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych 232

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-wych składowych przestrzenno-czasowych 233

• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-wych składowych przestrzenno-czasowych 234

• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki stacjonarnej o ze-rowych składowych przestrzenno-czasowych 235

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki diagonalnej 236• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki diagonalnej 237• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej 238• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej

(składowe mieszane) 239• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla stacjonarnej metryki diago-

nalnej 240• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla stacjonarnej metryki diagonal-

nej 241• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-

gonalnej 242• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-

gonalnej (składowe mieszane) 243• Symbole Christoffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego odpowiadające

rozwiązaniu osiowo-symetrycznemu Weyla 244• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny

odpowiadających modelowi Wszechświata Friedmana dla przypadku k = 1 245• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny

odpowiadających prostemu modelowi rozszerzającej się czasoprzestrzeni 247

Bibliografia 249Dodatek 251

• Oryginalne wyniki 251• Propozycje nowych nazw 251

15

POLE GRAWITACYJ�ETEORIA �EWTO�A

1 RÓW�A�IA POLA GRAWITACYJ�EGO

• Wektor natężenia pola grawitacyjnego Pole grawitacyjne to przestrzeń, w której na spoczywające i poruszające się ciała działają

siły proporcjonalne do mas tych ciał.

�atężeniem pola grawitacyjnego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F, działa-

jącej ze strony pola na umieszczone w tym punkcie odpowiednio małe ciało, do masy m tego

ciała.

m

FE =

Natężenie pola grawitacyjnego jest wektorem. Jednostką natężenia jest niuton na kilogram.

[ ]1kg

1NE = .

Znajomość wektorów natężenia w każdym punkcie pola grawitacyjnego pozwala na obliczenie

siły działającej na znajdujące się w polu ciało o masie m.

EF m=

Stacjonarnym (stałym) polem grawitacyjnym nazywamy takie pole grawitacyjne, którego

wektory natężeń są stałe w czasie. Jednorodnym polem grawitacyjnym nazywamy takie pole

grawitacyjne, którego wektory natężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym

punkcie pola.

• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej)

∫∫ ⋅=ΦS

E dSE

EΦ = strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą S

Strumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest ujemny, gdy wektor ma

różną od zera składową, skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłą do dane-

go elementu powierzchni.

2211 kgNm10672,6G −−⋅= = stała grawitacyjna

ρ = gęstość objętościowa masy

M = całkowita masa ciał znajdujących się w obszarze V

Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą jest

proporcjonalny do sumy mas ciał otoczonych przez tę powierzchnię.

GM4mG4dV G4di

i

VS

E π−=π−=ρπ−=⋅=Φ ∑∫∫∫∫∫ SE

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

16

• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej)

• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E Stacjonarne pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lub potencjalnym, czyli po-lem w którym praca, wykonywana przez siły pola przy przesuwaniu cząstki o masie m wzdłużkrzywej zamkniętej, jest równa zeru. Tak więc praca wykonywana przez siły pola przy przesu-waniu cząstki z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położenia tych punktów, a niezależy od toru po którym przesuwana była cząstka. Stacjonarne pole wektora natężenia możnaopisać skalarem zwanym potencjałem grawitacyjnym.

UWAGANajczęściej przyjmuje się 0=ϕ w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica poten-cjałów.

• Związek między natężeniem a potencjałem

Prawo Gaussa

dV G4dVS∫∫∫∫∫ ρπ−=⋅ SE

Twierdzenie Gaussa

dV divdVS

ESE ∫∫∫∫∫ =⋅

dV G4dV divVV∫∫∫∫∫∫ ρπ−=E

ρπ−= G4 divE

Różnica potencjałów grawitacyjnych między punktami A i B jest równa stosunkowi pracy

BAW → , którą wykonują siły pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki z punktu A

do punktu B, do masy m tej cząstki.

m

W BA

BA→=ϕ−ϕ [ ]

1kg

1J=ϕ

Potencjałem grawitacyjnym Aϕ w danym punkcie A pola grawitacyjnego nazywamy sto-sunek pracy, jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczaniu cząstki z danego punktuA do punktu B w którym z założenia potencjał jest równy zeru, do masy m tej cząstki.

m

W BABA

→=ϕ−ϕ , 0B =ϕ

( )BABA mW ϕ−ϕ=→

lF dWB

A

BA ⋅= ∫→

EF m=Twierdzenie Stokesa

∫∫∫ ⋅=⋅Sl

drotd SElE

0t

=∂∂E

, 0rot =E

0grad rot =ϕ

0dl

=⋅∫ lF

0dl

=⋅∫ lE

0rot =E

Dla stacjonarnego pola grawitacyjnego cyrku-lacja wektora E wzdłuż dowolnej drogi zamk-niętej oraz rotacja wektora E w każdym punk-cie są równe zeru.

ϕ−= gradE


17

• Równanie Poissona i Laplace’a

0t

=∂∂E

ϕ−= gradE ρπ−= G4 divE α+α=α graddivdiv AAA

ϕ∆=ϕ∇=ϕ 2grad div

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

∆ = operator Laplace’a, laplasjan

• Prawo +ewtona Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się punkto-wa masa M, mamy:

2r4S π=

2

S

r4Ed π−=⋅∫∫ SE

GM4dS

π−=⋅∫∫ SE

E mF = E=E , F=F

• Zapis prawa +ewtona w postaci wektorowej

12

122

12

2112 rr

mGm rF ⋅−=

1m , 2m = masy przyciągających się punktowych ciał

12r = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2

12r = odległość między punktami 1 i 2

1212 rrr −= , 2121 rrr −= , 2112 rr −= 1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowiednio do punku 1 i 2 12F = siła z jaką ciało o masie 1m przyciąga ciało o masie 2m

2112 FF −=

2r

GME =

2r

GMmF =

Każde dwa punktowe ciała o masach M i mznajdujące się w odległości r od siebie przy-ciągają się wzajemnie siłą o wartości F wprostproporcjonalnej do iloczynu ich mas oraz od-wrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległoś-ci między nimi.

ρπ=ϕ∆ G4 Równanie Poissona

W pustej przestrzeni poza obszarem źródłowej masy prawastrona równania Poissona jest równa zeru.

0=ϕ∆ Równanie Laplace’a

m1m2

r1

r2

0

m1 m2


18

2 RÓW+A+IA RUCHU PU+KTU MATERIAL+EGO W ZEW+ĘTRZ+YM POLUGRAWITACYJ+YM

3 POLE GRAWITACYJ+E PU+KTOWEJ MASY

• +atężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M

m

FE = ,

m

FE =

2r

GMmF = ,

rr

GMm2

rF −=

M = masa punktowego źródła r = promień wodzący zaczepiony w źródle

• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punk-towego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił

rF dWB

A

r

r

BA ∫ ⋅=→

dr r

GMmd

2−=⋅ rF

12 rdrr −− −=∫

• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M

m

W BA

BA→=ϕ−ϕ

∞=Br , 0B =ϕ

−=→

ABBA r

1

r

1 GMmW

2

2

inerdt

dm

rF = ,

2

2

inerdt

xdmF µ

µ =

EF mgrav= , µµ = EmF grav

0t

=∂∂E

: ϕ−= gradE , µ

µ ∂ϕ∂

−=x

E

xx1 = , yx2 = , zx3 =

332211 xxxzyx eeekjir ++=++=

graviner mm =

W stacjonarnym polu grawitacyjnym:

0graddt

d2

2

=ϕ+r

, 0xdt

xd2

2

=∂

ϕ∂+

µ

µ

2r

GME =

rr

GM2

rE −=

−⋅=→

ABBA r

1

r

1GMmW

Ar = odległość punktu A od źródłowej masy M

Br = odległość punktu B od źródłowej masy M

W dowolnym polu grawitacyjnym:

0dt

d2

2

=− Er

, 0Edt

xd2

2

=− µµ

AA r

GM−=ϕ

Potencjał pola grawitacyjnego dla dowolnego rozkładumas:

dV r

GV∫∫∫

ρ−=ϕ


19

4 POLE GRAWITACYJ+E UKŁADU PU+KTÓW MATERIAL+YCH,ZASADA SUPERPOZYCJI

• Zasada superpozycji natężeń

• Zasada superpozycji potencjałów

5 ROZWI+IĘCIE MULTIPOLOWE POTE+CJAŁU POLA GRAWITACYJ+EGOUKŁADU PU+KTÓW MATERIAL+YCH

• Rozwinięcie multipolowe potencjału Potencjał układu punktów materialnych w dużej odległości od tych punktów można przed-stawić w postaci szeregu

KK +−−−−=+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ4

33

22

11

03210 R

GK

R

GK

R

GK

R

GK

zwanym rozwinięciem multipolowym.

Punkt, w którym znajduje się masa Mi

Punkt, w którym wyznaczamy potencjał

(x, y, z)

0

RRi

ri(x , y , z )i i i

Wektor natężenia E pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów material-nych o masach Mi, równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczegól-nych punktów.

∑∑==

⋅−==N

1i i

i2

i

iN

1ii rr

MG

rEE

ir = promień wodzący zaczepiony w i-tym punkcie materialnym o masie iM

Potencjał ϕ pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów materialnych o ma-

sach Mi, równy jest sumie potencjałów iϕ pochodzących od poszczególnych punktów.

∑∑==

−=ϕ=ϕN

1i i

iN

1ii r

MG


20

∑−=ϕi i

i

r

MG

( )in0n

ni1n

i

cosPRR

1

r

1α= ∑

∞

=+

( )in cosP α = wielomian Legendre’a stopnia n

( ) 1cosP0 =α , ( ) α=α coscosP1 , ( ) ( )1cos3cosP 221

2 −α=α

( )in0n

ni

ii1n

cosPRMR

Gα−=ϕ ∑∑

∞

=+

( ) K−−α⋅⋅−α−−=ϕ ∑∑∑i

i22

ii3i

iii2i

i 1cos3RM2

1

R

GcosRM

R

GM

R

G

∑−=ϕi

i0 MR

G = człon monopolowy

∑ α−=ϕi

iii21 cosRMR

G = człon dipolowy

( )∑ −α⋅⋅−=ϕi

i22

ii32 1cos3RM2

1

R

G = człon kwadrupolowy

∑=i

i0 MK = całkowita masa układu

∑ α=i

iii1 cosRMK , ( )∑ −α⋅=i

i22

ii2 1cos3RM2

1K

• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału

2i

iii

1 R

cosMG∑ α−=ϕ

R

RR

cosi

ii

RR ⋅=α

RR ⋅

−=ϕ ∑

iii31 M

R

G

Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt, którego promień wodzą-cy SR dany jest równaniem

∑∑

=

ii

iiidf

S M

M RR .

Jeżeli początek układu współrzędnych umieścić w środku masy układu punktów material-nych będących źródłem pola grawitacyjnego, to człon dipolowy w rozwinięciu potencjału sta-je się równy zeru, ponieważ wtedy suma momentów mas jest równa zeru 0M

iii =∑ R .


21

• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału

( )1cos3RM2

1

R

Gi

2

i

2ii32 −α⋅⋅−=ϕ ∑

( )

δ−=−α

=α

δ=

µννµ

νµνµνµ

µννµ

2

iii

2

2i22

i

ii

i2

ii2i

R

xx3xx1cos3

RRR

xxxxcos

xxR

,

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δµν 0

1

xx1 = , yx2 = , zx3 =

ii1 xx = , i

i2 yx = , i

i3 zx =

δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµνµ

µ ν∑∑∑ 2

ii

ii32

R

xx3xxM

2

1

R

G

∑ νµµν =i

iii xxMd = tensor momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych


νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3d

2

1

R

G

( )

δ−δ−=

δ− µν

νµµννµµν

νµνµ 2

2i

ii

2

ii

R

xx3Rxx3

3

1

R

xx3xx

( )

δ−δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµµννµ

µ ν∑∑∑ 2

2i

ii

ii32

R

xx3Rxx3M

6

1

R

G

( )∑ µννµµν δ−=i

2i

iii Rxx3MD = tensor momentu kwadrupolowego


νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3D

6

1

R

G

• Tensor momentu kwadrupolowego Symetryczny tensor drugiego rzędu

∑ νµµν =i

iii xxMd

jest jedną z dwu postaci tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych bę-dących źródłem pola grawitacyjnego, tworzy go dziewięć składowych w tym sześć niezależ-nych.

∑∑∑

∑∑∑======

===

iiiizy

iyziiizxxzii

iiyxxy

i

2iizz

2i

iiyy

2i

iixx

zyMdd ,zxMdd ,yxMdd

zMd ,yMd ,xMd


22


νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3D

6

1

R

G

( )∑ µννµµν δ−=i

2i

iii Rxx3MD

µνD jest inną postacią tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych będą-

cych źródłem pola grawitacyjnego. A oto jego składowe:

• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności układu punktów materialnych względem początku układuwspółrzędnych z definicji dany jest przez

( )ii2i

ii

df

xxRMI νµµνµν −δ=∑ , ( )∑=λ

λ=3

1

2i2i xR

( )[ ( ) ]2i3

i

2i2i11 xx MI += ∑ , ( )[ ( ) ]2i

3i

2i1i22 xx MI += ∑ , ( )[ ( ) ]2i

2i

2i1i33 xx MI += ∑ ,

i2

i1

ii2112 xxMII ∑−== , i

3i1

ii3113 xxMII ∑−== , i

3i2

ii3223 xxMII ∑−== ,

lub

( )2i

i

2iixx zy MI += ∑ , ( )2

ii

2iiyy zx MI += ∑ , ( )2

ii

2iizz yx MI += ∑ ,

iii

iyxxy yxMII ∑−== , ii

iizxxz zxMII ∑−== , ii

iizyyz zyMII ∑−== .

Mamy też ( ) ( ) ( ) ][ ∑=++=++i

2ii

2i3

2i2

2i1i332211 RM2 xxx M2III , co ułatwia znalezienie

poszukiwanej relacji.( ) µνµνµν δ+++−= 332211 IIII3D

( ) µνµνµν δ+++−= 33221121 IIIId

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2i

2i

2i

2i

iii

izyyz

iii

izxxz

iii

iyxxy

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iizz

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iiyy

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iixx

zyxR

zyM3DD

zxM3DD

yxM3DD

yxz2MRz3MD

zxy2MRy3MD

zyx2MRx3MD

++=

==

==

==

−−=−=

−−=−=

−−=−=

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑Tensor µνD ma 5 niezależnych składo-

wych ponieważ jest tensorem symet-rycznym

νµµν = DD

a suma jego składowych diagonalnychjest równa zeru

0DDD zzyyxx =++ .


23

6 E+ERGIA POTE+CJAL+A UKŁADU PU+KTÓW MATERIAL+YCH W ZEW-+ĘTRZ+YM POLU GRAWITACYJ+YM

• Energia potencjalna punktowej masy w zewnętrznym polu grawitacyjnym Energią potencjalną Wp wzajemnego oddziaływania punktowej masy M z zewnętrznyminieruchomymi masami wytwarzającymi pole grawitacyjne w danym punkcie tego pola nazy-wamy pracę, jaką wykonują siły pola przy przemieszczaniu masy M z danego punktu do nie-skończoności (lub do punktu, w którym z założenia energia potencjalna jest równa zeru).

Siłę działającą ze strony pola na masę M można wyrazić przez jej energię potencjalną.

• Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-nym

( )ii

ip MW Rϕ= ∑

( )i Rϕ = potencjał zewnętrznego pola grawitacyjnego w punkcie zajmowanym przez

masę iM

( )i3

i2

i1i x,x,x=R = promień wodzący i-tego punktu materialnego

Jeżeli w obszarze, w którym znajduje się układ punktów materialnych pole zewnętrzneniewiele się zmienia, to energię potencjalną tego układu można rozwinąć w szereg Taylora.

( ) ( ) ( )K+

∂∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+ϕ= ∑∑∑∑∑∑

=κ =λ = λκλκλ

==λ λ=

3

1

3

1

n

1i 0

3212

iii

in

1ii

3

1 0

321n

1iip

xx

x,x,xxxM

2

1xM

x

x,x,xM0,0,0W

( )

0

MW

WW

A

AA

AP

=ϕ

ϕ=ϕ

ϕ−ϕ=

=

∞

∞∞→

∞→

ϕ= MWp

ϕ = potencjał pola zewnętrznego w punkcie zajętym przez masę M

ϕ=

ϕ−=

=

MW

grad

M

P

E

EF

pgradW−=F

( )

( ) ( ) ( )

( )L

xx

x,x,xxx

2

x

x,x,xx0,0,0x,x,x

x,x,xMW

o

22

ii

o

32ii3

i2

i

i3

i2

i

iiP

3 +

∂∂

ϕ∂+

+

∂

ϕ∂+ϕ=ϕ

ϕ=

λκλ

κ λκ

λ λλ

∑∑

∑

∑

1

1

1

1

1

Mi

x2

x1

x3

Ri


24

( ) ( )

( )K+

∂∂

ϕ∂+

+

∂

ϕ∂+ϕ=

∑∑∑

∑∑∑

=κ =λ = λκλκ

λ==λ λ=

3

1

3

1

n

1i 0

3212

iii

in

1ii

3

1 0

321n

1iip

xx

x,x,xxxM

2

1

xMx

x,x,xM0,0,0W

( ) ( )0,0,0E

x

x,x,x

0

321λ

λ

−=

∂ϕ∂

λλ=

µ=∑ in

1ii xM

( ) ( ) ( ) µ⋅−=⋅−=

∂

ϕ∂∑∑∑

===

0,0,0Eµ0,0,0ExMx

x,x,xλ

3

1λλ

iλ

n

1ii

3

1λ 0λ

321

κλ=

λκ =∑ dxxMn

1i

iii

( ) ( ) ( )K+

∂∂ϕ∂

+⋅−ϕ= ∑∑∑= ==

3

1κ

3

1λ 0λκ

3212

κλ

n

1iip xx

x,x,xd

2

10,0,0M0,0,0W µE

( ) =ϕ 0,0,0 wartość potencjału zewnętrznego pola grawitacyjnego w początku układuwspółrzędnych

( ) =0,0,0E wektor natężenia zewnętrznego pola grawitacyjnego w początku układu współ-rzędnych

=λE składowe wektora natężenia pola grawitacyjnego w początku układu współrzędnych

z3y2x EE ,EE ,EE :E ===λ 1

∑∑∑= ==

==3

1λλ

iλ

n

1ii

in

1ii xMRM eµ

µ µ µ µ = wektor momentu masy (momentu statycznego) =µλ składowe wektora momentu masy

z3y2x , , : µ=µµ=µµ=µµλ 1

=κλd tensor momentu kwadrupolowego

( )

=

∂

ϕ∂

λ o

32

x

x,x,x1 wartości pierwszych pochodnych potencjału zewnętrznego pola gra-

witacyjnego w początku układu współrzędnych

( )

=

∂∂

ϕ∂

λκ o

322

xx

x,x,x1 wartości drugich pochodnych potencjału zewnętrznego pola grawita-

cyjnego w początku układu współrzędnych

UWAGAJeżeli początek układu współrzędnych umieścić w środku masy układu punktów materialnych,to w wyrażeniu na energię potencjalną zniknie człon dipolowy ( ) 00,0,0 =⋅− µµµµE , ponieważwtedy moment masy jest równy zeru 0=µµµµ .


25

Przedstawimy w innej postaci człon kwadrupolowy w równaniu na energię potencjalną od-działywania układu punktów materialnych z zewnętrznym polem grawitacyjnym.

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

3212

0

3212

i

2i

iii

i 0

3212

2i

0

3212

iii

2i

ii

ii

0

3212

2i

0

3212

i

i

ii

xx

x,x,xD

6

1

xx

x,x,xRx3xM

6

1

xx

x,x,xR

xx

x,x,xx3xM

6

1

DRx3xM

0xx

x,x,xR

xx

x,x,xxxM

2

1

∂∂ϕ∂

=

∂∂ϕ∂

δ−=

=

∂∂ϕ∂

δ−

∂∂ϕ∂

=

=δ−

=

∂∂ϕ∂

δ

=

∂∂ϕ∂

λκκ λκλ

λκκ λκλλκ

κ λ λκκλ

λκλκ

κλκλλκ

λκκλ

λκλ

κ λκ

∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑

∑∑∑

Zbierzmy uzyskane wyniki.

( ) ( ) ( )K+

∂∂

ϕ∂+⋅−ϕ= ∑∑∑

= ==

3

1κ

3

1λ 0λκ

3212

κλ

n

1iip

xx

x,x,xd

2

10,0,0EM0,0,0W µ

( ) ( ) ( )K+

∂∂

ϕ∂+⋅−ϕ= ∑∑∑

= ==

3

1κ

3

1λ 0λκ

3212

κλ

n

1iip

xx

x,x,xD

6

10,0,0EM0,0,0W µ

7 E+ERGIA POTE+CJAL+A WZAJEM+YCH ODDZIAŁYWAŃ MIĘDZY PU+K-TAMI MATERIAL+YMI

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych Energia potencjalna pW wzajemnego oddziaływania układu dwóch punktów materialnych

1m i 2m znajdujących się w odległości 12r od siebie jest równa pracy, jaką wykonują siły gra-witacyjne przy rozsuwaniu tych mas na odległość nieskończenie wielką.

)(B ∞)(BA

m1 m2r12


26

• Energię potencjalną pW wzajemnego oddziaływania układu dwóch punktowych mas 1m

i 2m przedstawimy w innej postaci.

1ϕ = potencjał pola pochodzący od masy 2m w punkcie zajmowanym przez masę 1m

2ϕ = potencjał pola pochodzący od masy 1m w punkcie zajmowanym przez masę 2m

kϕ = potencjał pola pochodzący od wszystkich mas prócz masy km w punkcie zajmowa-

nym przez masę km

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu punktów materia-lnych

PRZYKŁADEnergia potencjalna wzajemnego oddziaływania trzech punktowych mas 1m , 2m , 3m .

+++++−=

32

23

31

13

23

32

21

12

13

31

12

21p r

mm

r

mm

r

mm

r

mm

r

mm

r

mmG

2

1W

++−=

23

32

13

31

12

21p r

mm

r

mm

r

mmGW

11

1

1

1

1

1

22

2

12

2

2

2

2P

rr

r

Gm

r

Gm

r

mGmW

=

−=ϕ

−=ϕ

−=

Ogólnie:

k

n

1kkp m

2

1W ϕ= ∑

=

k

n

1kkp m

2

1W ϕ= ∑

=

( )ik

n

1i ki

ik 1

r

mG δ−−=ϕ ∑

=

ikki rr =

( )∑∑= =

δ−−=n

1kik

n

1i ki

ikp 1

r

mmG

2

1W

BAp WW →=

( )BA2BA mW ϕ−ϕ=→

12

1A r

Gm−=ϕ

0B =ϕ

12

21p r

mGmW −=

( )2211p mm 2

1W ϕ+ϕ=


27

• Energia potencjalna ciągłego rozkładu mas

Wzór k

n

1kkp m

2

1W ϕ= ∑

=

dostosujemy do przypadku ciągłego rozkładu masy w danej obję-

tości z gęstością objętościową dV

dm=ρ .

dV mV∫∫∫ρ=

dV 2

1W

V

p ϕρ= ∫∫∫

ϕ = potencjał pola grawitacyjnego wszystkich mas w elemencie objętości dV

8 E+ERGIA POLA GRAWITACYJ+EGO

• Wzór dV 2

1W

V

p ϕρ= ∫∫∫ sprowadzimy do postaci dV G8

1W

V

2p ∫∫∫π

−= E , która posiada

ciekawą interpretację fizyczną.

dV 2

1W

V

p ϕρ= ∫∫∫Twierdzenie Greena

( )[ ]∫∫∫ ∫∫ ⋅ϕ∇ϕ=ϕ∇+ϕ∇ϕV S

22 ddV S

E−=ϕ=ϕ∇ grad

ρπ=ϕ∇ G42

0dS

=⋅ϕ∇ϕ∫∫ S bo ( ) 0=∞ϕ

[ ]∫∫∫ =+ρϕπV

2 0dV G4 E

dVdV G4V

2

V∫∫∫∫∫∫ −=ρϕπ E

dV G8

1dV

2

1W

V

2

V

p ∫∫∫∫∫∫ π−=ρϕ= E

Energia dV G8

1WW

V

2p ∫∫∫π

−== E jest energią pola grawitacyjnego zlokalizowaną

w przestrzeni z gęstością objętościową 2df

G8

1

dV

dW E

π−==w .


28

9 RÓW+A+IE TORU W CE+TRAL+YM POLU GRAWITACYJ+YM

Równanie toru w centralnym polu grawitacyjnym znajdziemy metodą redukcji zagadnie-nia dwóch ciał do zagadnienia jednego ciała, wykorzystując zasady zachowania momentupędu i energii mechanicznej.

rr

mGm

dt

dm

221

21

2

1

rr=

rr

mGm

dt

dm

221

22

2

2

rr−=

12

df

rrr −=

21

21df

mm

mm

+=µ

rmr

mGm

rmr

mGm

dt

d

dt

d

12

21

22

2121

2

22

2 rrrr−−=−

( )rr

mGm

dt

d

mm

mm2

212

122

21

21 rrr−=

−

+

rr

mGm

dt

d2

212

2 rr−=µ

µ = masa zredukowana układu dwóch punktów r = promień wodzący o początku w punkcie pierwszym i o końcu w punkcie drugim

rr

mGm

dt

d2

212

2 rr−=µ

0=×rr0=µ× rr &&

0rr

mGm

dt

d2

212

2

=×

−=µ×rrr

r

( ) ( )0

dt

d

dt

d

dt

d2

2

=µ×

=µ×−µ×

=µ×rr

rrrrr

r&

&&&

constLrr ==µ×df

&

Ze względu na stałość wektora momentu pędu L, który jest prostopadły do płaszczyznyorbity, ruch ciała drugiego względem ciała pierwszego (jako ruch płaski) wygodnie będzieopisywać w biegunowym układzie współrzędnych r, ϕ o początku w środku ciała pierwszego.

( )vr,sinvv ∠=⊥

ϕ⊥ = vv

ϕ=ϕ &rv

( ) constrvrvr,sinvr L 2 =ϕµ=µ=µ=∠µ=µ×=µ×= ϕ⊥ && vrvrrr

constrL 2 =ϕµ= &

Równanie opisujące ruch punktudrugiego względem punktu pierwszego.

y = rcosϕr2

r1

m1

m2

r

0

x

y

m1

m2

r


29

rr

mGm

dt

d2

212

2 rr−=µ

dt

d

dt

d2

2 vr=

rr

v &==dt

d

µ=µ⋅

2

v

dt

d

dt

d 2vv

=⋅−r

mGm

dt

d

rr

mGm 212

21 rr&

rr

mGm

dt

d2

21 rv−=µ

rr

mGm

dt

d 21 rr

vv ⋅−=µ⋅ &

=

µr

mGm

dt

d

2

v

dt

d 212

0r

mGm

2

v

dt

d 212

=

−

µ

constWr

mGm

2

v df21

2

==−µ

constr

mGm

2

vW 21

2

=−µ

=

constrL 2 =ϕµ= &

22r

2 vvv ϕ+=

rdt

drvr &==

ϕ=ϕ

=ϕ &rdt

drv

2

r1

2

4 d

d

d

dr

r

1

ϕ=

ϕ

r

1df

=σ

221

L

mGm

p

1 µ=

r

mGm

dt

dr

dt

dr

2W 21

22

2

−

ϕ+

µ=

r

mGm2W2

dt

dr

dt

dr 21

22

2

µ+

µ=

ϕ+

Ostatnie równanie dzielimy stronami przez22

4 L

dt

dr

µ=

ϕ

i dostajemy

rL

mGm2

L

W2

r

1

d

dr

r

12

2122

2

4

µ+

µ=+

ϕ,

22

212

2

L

mGm2

L

W2

d

dσ−σ

µ+

µ=

ϕσ

.

Równanie to różniczkujemy obustronnie względem ϕ

σ−σµ

+µ

ϕ=

ϕσ

ϕ2

221

2

2

L

mGm2

L

W2

d

d

d

d

d

d,

ϕσ

σ−ϕσµ

=ϕσ

ϕσ

d

d2

d

d

L

mGm2

d

d

d

d2

221

2

2

a następnie dzielimy obustronnie przez

ϕσ

d

d2 ,

otrzymując

σ−µ

=ϕσ

221

2

2

L

mGm

d

d

lub

σ−=ϕσ

p

1

d

d2

2

⇒ ϕ+=σ cosp

e

p

1


30

Równanie toru ostatecznie przyjmuje postać

Ciało o masie 2m porusza się po stożkowej, w której ognisku znajduje się ciało o masie 1m .

Początek układu współrzędnych umieściliśmy w środku ciała o masie 1m .

22

212

2

L

mGm2

L

W2

d

dσ−σ

µ+

µ=

ϕσ

p

cose1cos

p

e

p

1

r

1 ϕ+=ϕ+==σ

µ=

21

2

mGm

Lp

µ+=

22

21

2

2

mmG

WL21e

ϕ+=

cose1

pr

µ=

21

2

mGm

Lp

µ+=

22

21

2

2

mmG

WL21e

21

21

mm

mm

+=µ

Równanie biegunowe stożkowej

ϕ+=

cose1

pr

Dla elipsy:( )minmax2

1 rra +=2e1ab −=

( )minmax21 rrc −=

κ

λ

rr

rr

a

ce

minmax

minmax =+

−==

( ) ( ) )ea(1r e1r e1a

bp 2

maxmin

2

−=−=+==

( )e1ae1

pr r 0 min −=

+==⇒=ϕ

( )e1ae1

pr r max +=

−==⇒π=ϕ

2e1

pa

−= ,

2e1

pb

−= ,

maxmin

maxmin

rr

r2rp

+=

a = wielka półoś b = mała półoś c = połowa odległości między ogniskami e = mimośród p = półparametr minr = minimalny promień

maxr = maksymalny promień

e = 0 koło e < 1 elipsa e = 1 parabola e > 1 hiperbola

ϕr

ognisko ognisko x

aphelium perihelium

rminrmax

a

b

c

kierownica

Pκ

λ


31

10 PRAWA KEPLERA

• Pierwsze prawo Keplera Punkt materialny o masie 2m porusza się po stożkowej, w której ognisku znajduje się

punkt materialny o masie 1m .

UWAGAW oryginalnym sformułowaniu prawa Keplera dotyczą ruchu planet dookoła Słońca po orbi-tach eliptycznych, 2m oznacza wtedy masę planety, a 1m masę Słońca.

• Drugie prawo Keplera Prędkość polowa punktu materialnego o masie 2m w ruchu względem punktu materialne-

go o masie 1m jest stała.

constrrL =µ×= &

constrL 2 =ϕµ= &

const=µ polowa prędkość2

1 =×rr &

• Trzecie prawo Keplera Kwadrat okresu obiegu orbity eliptycznej jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej pół-osi.

32 a~T

abelipsy pole π=

T2

Lelipsy pole ⋅

µ=

2e1

pa

−=

2e1

pb

−=

µ

=21

2

mGm

Lp

µ

+=22

21

2

2

mmG

WL21e

21

21

mm

mm

+=µ

constL

rr =µ

=×22

1 &

const2

Lr 2

21 =

µ=ϕµ &

Lab2T

µπ=

( )

−=

−=

a2

mGmW

e1

pab

21

2

3

2

µ

µ=

L

mGm

aab

21

3

21

3

mGm

a2T

µπ=

( )21

3

mmG

a2T

+π= 32 a~T


32

11 PRĘDKOŚCI KOSMICZ+E

• Pierwsza prędkość kosmiczna w przypadku orbity kołowej Pierwszą prędkością kosmiczną Iv nazywamy prędkość, jaką należy nadać cząstce o ma-sie m , aby poruszała się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu Rr ≥ w polupunktowego źródła lub jednorodnej kuli o masie M i promieniu R . Pierwsza prędkość kos-miczna jest prostopadła do promienia wodzącego cząstki zaczepionego w centrum źródła.

2graw r

GMmF =

r

mvF

2I

dośr =

• Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) w przypadku orbity liniowej Drugą prędkością kosmiczną IIv nazywamy prędkość, jaką należy nadać cząstce o masiem , aby z odległości Rr ≥ od punktowego źródła lub jednorodnej kuli o masie M i promie-niu R przemieściła się do nieskończoności. Druga prędkość kosmiczna jest równoległa dopromienia wodzącego cząstki zaczepionego w centrum źródła.

r

GMmWr =∞→

2

mvW

2II

k =

• Prędkości na dowolnych orbitach

ϕ+

=cose1

pr

µ

=GMm

Lp

2

µ

+=222

2

mMG

WL21e

( )vr,sinvrL <µ=

r

GMm

2

vW

2

−µ

=

2

vE

2

k

µ=

r

GMmEp −=

mM

Mm

+=µ

dośrgraw FF =

r

GMv I =

( )

−

−<

−+= 1

E

E,sin

E

E41e

p

k2

p

k vr

( ) ( )ϕ+

+=< cose1M

m1

r

GM,sinv vr

Orbita kołowa: 0e =

2

1

E

E

p

k =−

, ( ) 1,sin =< vr ,

+=M

m1

r

GMv

Orbita eliptyczna: 1e <

1E

E

p

k <−

, ( ) ( )ϕ+

+=< cose1M

m1

r

GM,sinv vr

Orbita paraboliczna: 1e =

1E

E

p

k =−

, ( ) ( )ϕ+

+=< cos1M

m1

r

GM,sinv vr

kr WW =∞→

r

GM2vII =


33

• Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety W przypadku wirującej planety siła dośrodkowa, utrzymująca satelitę krążącego po orbi-cie kołowej w płaszczyźnie równikowej, jest sumą siły grawitacyjnej oraz sił bezwładności –odśrodkowej i Coriolisa.

COGD FFFF ++=

r

mvF

2

D −= = siła dośrodkowa

2G r

GMmF −= = siła grawitacyjna

rmωF 2O = = odśrodkowa siła bezwładności

mvω2FC = = siła Coriolisa

0r

GMrω v2ωv

r

12

22 =−++ , 0 r

4GM∆

3>=

Powyższe równanie jest trójmianem kwadratowym względem v, posiadającym dwa rozwią-zania.

r

GMr ωv1 +−=

r

GMr ωv2 −−=

PRZYKŁADPrzykładowe obliczenia wykonamy dla satelity krążącego tuż nad powierzchnią Ziemi.

Prędkość 1v należy nadać rakiecie wystrzelonej w kierunku wschodnim, siła Coriolisa skiero-

wana jest wtedy radialnie od centrum źródła pola. Prędkość 2v należy nadać rakiecie wy-strzelonej w kierunku zachodnim, siła Coriolisa skierowana jest wtedy radialnie ku centrumźródła pola.

s

rad103,7

doba

rad2 5−⋅=π=ω

m104,6r 6⋅=

kg106M 24⋅=

2

311

skg

m1067,6G

⋅⋅= −

s

m105,0

s

m2,467r 3⋅≈=ω ,

s

m109,7

r

GM 3⋅=

s

m107,4v 3

1 ⋅+=

s

m108,4v 3

2 ⋅−=


34

12 SWOBOD+Y SPADEK I GRAWITACYJ+E ZAPADA+IE

• Cząstka swobodnie spadająca ze skończonej odległości na powierzchnię znajdującąsię w odległości r od centrum źródła pola grawitacyjnego Źródłem pola grawitacyjnego jest jednorodna kula o masie M i promieniu R . Ruch cząs-tki o masie m swobodnie spadającej ze skończonej odległości 0r na powierzchnię znajdującą

się w odległości r, Rrr0 ≥≥ , od centrum źródła pola opisuje równanie

22

2

r

GM

dt

rd−=

z następującymi warunkami początkowymi

0t = , 0r)0(r = , 0)0(dt

dr= ,

20

2

2

r

GM)0(

dt

rd−= .

Rozwiązanie tego równania jest takie samo jak rozwiązanie równania

−=

0

2

r

1

r

1GMm

dt

drm

2

1 lub

−−=

0r

1

r

1GM2

dt

dr, 0t = , 0rr = , 0

dt

dr= .

∫∫ =−

−t

0 0

r

r 0

dt r

GM2dr

rr

r

0

( ) 1r

rtg arcrrr rdr

rr

r 000

r

r 00

−−−−=−∫

0

t

0 0 r

GM2tdt

r

GM2=∫

( )

r

GM2

1r

rtg arcrrr r

t

0

000 −+−

=

• Grawitacyjne zapadanie Grawitacyjnym zapadaniem nazywamy zjawisko ciągłego (nieustającego) kurczenia sięciała, o odpowiedniej masie i w odpowiednich warunkach, pod wpływem sił grawitacyjnych.Jako przykład rozpatrzmy sferycznie symetryczną jednorodną kulę pyłu bezciśnieniowegoskładającego się z identycznych cząstek, każda o masie m , poruszających się radialnie. Jeżelipominąć procesy inne niż oddziaływania grawitacyjne, to można przyjąć w ostatnim równa-niu, że r jest promieniem wodzącym cząstki znajdującej się na powierzchni kuli utworzonejz zapadającego się pyłu. Promień ten osiągnie graniczną wartość równą zeru po czasie

2GM

rπrt 0

021=

0r = początkowy promień kuli pyłu


35

13 SIŁY PŁYWOWE

• Siły pływowe Siły pływowe powstają w wyniku niejednorodności pola grawitacyjnego. Najbardziejspektakularnym przykładem zjawisk wywołanych przez nie są przypływy i odpływy, stano-wiące makroskopowe przemieszczenia dużych mas wody głównie pod wpływem wypadko-wej sił grawitacyjnych Ziemi i Księżyca oraz siły odśrodkowej wynikającej z ruchu wirowe-go Ziemi.• Siły pływowe rozciągające Dwie punktowe cząstki każda o masie m spadają swobodnie wzdłuż promienia wodzące-go zaczepionego w środku Ziemi o masie M i promieniu R . W chwili początkowej pierwszacząstka znajdowała się w odległości r a druga drr + od centrum. Obliczymy różnicę sił gra-witacyjnych działających na te cząstki ze strony Ziemi.

21 FFF −=∆

21 r

GMmF = ,

( )22drr

GMmF

+=

( )

++

−

++

=+

−=∆

2

24

2

2

23

22

r

dr

r

dr21r

GMmdr

r

dr

r

dr21r

drGMm2

drr

GMm

r

GMmF

rdr <<

3r

2GMm∆F ≈

r

2dr

F

FF

1

21 =−

• Siły pływowe ściskające Dwie punktowe cząstki każda o masie m spadają swobodnie wzdłuż różnych promieniwodzących zaczepionych w środku Ziemi o masie M . Niech α będzie kątem zawartym mię-dzy tymi promieniami. W chwili początkowej obie cząstki znajdowały się w odległości r odcentrum. Obliczymy różnicę rzutów na prostą łączącą obie cząstki sił grawitacyjnych działa-jących na te cząstki ze strony Ziemi.

21 FF∆F −=

21 FF −= , αsin r

GMmF 2

121 =

α=∆ 21

2sin

r

GMm2F

α=−

21

1

21 sin2F

FF

Centrum

2α

F1 F2

36

OGÓL�A ZASADAWZGLĘD�OŚCI

1 PODSTAWOWE POSTULATY OGÓL�EJ TEORII WZGLĘD�OŚCI

• Podstawowe postulaty szczególnej teorii względności Szczególna Teoria Względności (STW) faworyzowała układy inercjalne, ignorowała ist-

nienie pola grawitacyjnego, przyjmując a priori, że czasoprzestrzeń jest płaska. STW została

zbudowana na bazie dwóch postulatów.

POSTULAT I (Zasada niezmienniczości wartości prędkości światła w próżni)Wartość prędkości światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach od-

niesienia.

POSTULAT II (Szczególna zasada względności)Ogólne postacie praw fizyki powinny być niezależne od wyboru inercjalnego układu odnie-

sienia.

• Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności Ogólna Teoria Względności (OTW), jako uogólnienie STW, może być sformułowana

w oparciu o następujące podstawowe założenia.

POSTULAT I (Zasada niezmienniczości maksymalnej wartości prędkości)Maksymalna wartość prędkości rozchodzenia się sygnałów jest taka sama we wszystkich

układach odniesienia.

POSTULAT II (Ogólna zasada względności)Ogólne postacie praw fizyki powinny być niezależne od wyboru układu odniesienia.

POSTULAT III (Równania metryki)Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową zdeformowaną przestrzenią z metryką zależną od roz-

kładu gęstości energii wszelakiej postaci (w tym energii równoważnej masie) oraz ciśnienia.

POSTULAT IV (Zasada równoważności)Natężenie jednorodnego pola grawitacyjnego jest równoważne stałemu przyspieszeniu (ze

znakiem minus) odpowiedniego układu odniesienia.

Zasada równoważności wynika z równości masy grawitacyjnej i inercyjnej, wielokrotnie pot-

wierdzonej doświadczalnie. O prawdziwości trzech pozostałych postulatów można wnosić na

razie jedynie na podstawie weryfikacji wniosków wysnutych z OTW.

OGÓLNA ZASADA WZGLĘDNOŚCI

37

Maksymalna wartość prędkości rozchodzenia się sygnałów jest równa wartości prędkościświatła w próżni w układach inercjalnych.

Zasada niezmienniczości maksymalnej wartości prędkości rozchodzenia się sygnałów narzu-ca ograniczenia na składowe tensora metrycznego czasoprzestrzeni oraz grupę transformacjiwspółrzędnych. Kwadratowa forma różniczkowa czasoprzestrzeni νµ

µν2 dxdxgds = , dla

0ds2 = , stanowi definicję wartości prędkości rozchodzenia się światła w próżni.

Zasada równoważności daje możliwość skonstruowania układu lokalnie inercjalnego. Ukła-dem takim może być małe laboratorium swobodnie spadające w polu grawitacyjnym.

Ogólna zasada względności stwierdza, że definicje wielkości fizycznych oraz prawa (równa-nia) fizyki można tak sformułować, aby ich ogólne postacie były niezależne od wyboru ukła-du odniesienia. Każde równanie zapisane pierwotnie w postaci tensorowej w inercjalnym uk-ładzie ortonormalnym w płaskiej czterowymiarowej czasoprzestrzeni (po kosmetycznychprzeróbkach) obowiązuje również:1. w dowolnym układzie nieinercjalnym w płaskiej czasoprzestrzeni,2. w dowolnym układzie w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Z ogólnej zasady względności wynikają między innymi równania ruchu cząstki próbnej o ma-sie m

( )

Γ+=

νµαµν

αα

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn

m

F2

222

~

,

gdzie αF~

oznacza składowe siły wypadkowej, z pominięciem sił „grawitacyjnych” i „bez-

władnościowych”.

Składowe tensora metrycznego czasoprzestrzeni są rozwiązaniami równań pola (równań met-ryki) Einsteina

µνµνµν

π−=− T

c

G8Rg

2

1R

4.

Deformacja czasoprzestrzeni przejawia się w ruchu cząstek i fotonów. Poruszają się one tak,jak gdyby różniczki współrzędnych 1dx , 2dx , 3dx , 4dx miały przeskalowane wartości

111dxg , 2

22 dxg , 333 dxg , 4

44 dxg ,

a przeskalowane cosinusy kątów między nimi wynosiły

ννµµ

µνµν

gg

gcosθ = .

Porównywanie między sobą w różnych punktach zdeformowanej czasoprzestrzeni nieprzes-kalowanych wartości różniczek współrzędnych i cosinusów kątów nie ma fizycznego sensu.

UWAGA


38

• Struktura tensora metrycznego Ignorując wpływ rozkładu gęstości energii na metrykę czasoprzestrzeni, mogliśmy w ra-mach Szczególnej Teorii Względności posługiwać się układem ortonormalnym z metrykądiagonalną typu ( )1,1,1,1 . O układzie odniesienia zakładaliśmy dodatkowo, że jest inercjalny,czyli jednostajny ruch cząstki lub jej spoczynek względem tego układu był skutkiem brakudziałania na nią niezrównoważonej siły. Aby wyjaśnić stałość wartości prędkości światławzględem dowolnego układu inercjalnego, zmuszeni byliśmy przyjąć transformacje Lorentzajako jedyne dopuszczalne transformacje między układami inercjalnymi. Uwzględnienie wpływu rozkładu gęstości energii na metrykę czasoprzestrzeni powoduje,że tensor metryczny jest sumą dwóch składników.

νµGµν

0µνµν ggg ee ⋅=+=

0ν

0µ

0µνg ee ⋅= = składnik opisujący płaską czasoprzestrzeń w układzie wyjściowym

Gµνg = składnik opisujący deformacje czasoprzestrzeni w układzie wyjściowym

Współrzędne układu wyjściowego poddamy kolejno dwóm transformacjom. Pierwszatransformacja będzie związana ze statyczną zmianą wyjściowego układu, a druga z ruchemtego nowego układu.

( ) νµµνµν += dxdx gg ds G02

αα

µµ xd

x

xdx ′

′∂∂

=

ββ

νν xd

x

xdx ′

′∂∂

=

( ) βααβ

βα

β

ν

α

µGµν

0µν

2 dxdxgxdxdx

x

x

xggds ′=′′

′∂

∂

′∂

∂+=

κκ

αα xd

x

xxd ′′

′′∂

′∂=′

λλ

ββ xd

x

xxd ′′

′′∂

′∂=′

( ) λκκλ

λκ

λ

β

κ

α

β

ν

α

µGµν

0µν

2 xdxdgxdxd x

x

x

x

x

x

x

xggds ′′′′′′=′′′′

′′∂

′∂

′′∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂+=

( )β

ν

α

µGµν

0µναβ

x

x

x

xggg

′∂

∂

′∂

∂+=′ = tensor metryczny czasoprzestrzeni względem układu

primowanego

( ) x

x

x

x

x

x

x

xggg

λ

β

κ

α

β

ν

α

µGµν

0µνκλ ′′∂

′∂

′′∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂+=′′ = tensor metryczny czasoprzestrzeni względem

układu podwójnie primowanego

β

ν

α

µ

′∂

∂

′∂

∂

x

x

x

x = czynnik matematyczny związany ze statyczną zmianą układu wyjściowego

λ

β

κ

α

′′∂

′∂

′′∂

′∂

x

x

x

x = czynnik kinematyczny związany z ruchem układu primowanego


39

2 CZASOPRZESTRZEŃ

• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy inercjalne Pojęcie układu inercjalnego jest ściśle związane z płaską czasoprzestrzenią. Z definicji,w układzie inercjalnym cząstka pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnymprostoliniowym wtedy i tylko wtedy, gdy suma działających na nią sił zewnętrznych jest rów-na zeru. Wszechobecność pola grawitacyjnego sprawia, że jedynym sensownym modelem uk-ładu lokalnie inercjalnego, w którym można przetestować zasadę bezwładności jest układswobodnie spadający w jednorodnym polu grawitacyjnym. Swobodnie spadającym układemmogłaby być kabina statku kosmicznego krążącego po orbicie wokół Ziemi.

Wyjściowym układem współrzędnych niech będzie inercjalny układ ortonormalny:{ }4321 ,,,,0 eeee . Położenie zdarzenia ( )ictx ,zx ,yx ,xx 4321 ==== wyznacza koniec

promienia wodzącego R~

, zaczepionego w początku układu współrzędnych. Kwadrat różnicz-ki odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń, zwany też kwadratem przedziału czaso-przestrzennego, kwadratem elementu liniowego, podstawową formą metryczną, a także róż-niczkową formą kwadratową czasoprzestrzeni, zadamy w postaci

νµµν= dxdxgds2 ,

=µν

1000

0100

0010

0001

gdf

, νµµν = gg ,

gdzie µνg jest tensorem metrycznym. Iloczyny skalarne wektorów bazowych wyjściowego

układu współrzędnych są składowymi tensora metrycznego µννµ =⋅ g df

ee .

Czterowymiarowa przestrzeń zdarzeń nazywana jest czasoprzestrzenią Minkowskiego.

Szereg kolejnych pojęć zwiążemy z różniczką promienia wodzącego

αα= eR dx

~d .

Kwadrat różniczki promienia wodzącego

( ) ( ) ( ) ( ) 22dsdxdxgdxdx dxdx

~d

~d

~d ==⋅=⋅=⋅= νµ

µννµ

νµνν

µµ eeeeRRR

określa kwadrat różniczki odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń.Pierwsza i druga różniczka promienia wodzącego

αα= eR dx

~d , α

α= eR xd~

d 22

są podstawą do zdefiniowania pojęć odpowiednio prędkości i przyspieszenia cząstki:

ds

~d

c dssgn ~ 2df R

v =

( )2

222

df

ds

~d

c dssgn ~ Ra =

Ruch jednostajny prostoliniowy układu względem ortonormalnego układu inercjalnegonie zmienia metryki (wartości składowych tensora metrycznego). Transformacje Lorentza niezmieniają metryki czasoprzestrzeni.


40

• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy nieinercjalne Przejście do nieinercjalnego układu odniesienia opisywane jest nieosobliwymi transfor-macjami współrzędnych

( )4321 x,x,x,xxx µµ ′=′ , ( )4321 x,x,x,xxx ′′′′= µµ .

W nowym układzie współrzędnych { }4321 ,,,,0 eeee ′′′′′ wyznaczymy kwadrat różniczki odleg-

łości czasoprzestrzennej.

22 sdxdxd x

x

x

xgdxdxgds ′=′′

′∂

∂

′∂

∂== βα

β

ν

α

µ

µννµ

µν

β

ν

α

µ

µναβ ′∂

∂

′∂

∂=′

x

x

x

xgg = tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia

βααβ ′′′=′ xdxd gsd 2

Składowe tensora metrycznego αβ′g zależą od współrzędnych 4321 x,x,x,x ′′′′ .

Ruch przyspieszony układu względem inercjalnego układu ortonormalnego zmienia met-rykę czasoprzestrzeni. Z matematycznego punktu widzenia układ nieinercjalny wprowadzawspółrzędne krzywoliniowe i układy lokalne. Różniczki współrzędnych krzywoliniowych µ′xd , ν′xd , w przybliżeniu równe różnicz-

kom współrzędnych prostoliniowych w układzie lokalnym { }4321 ,,,,P eeee ′′′′ , wykorzysta-

my do określenia różniczki promienia wodzącego

µµ ′′=′ eR xd

~d

i jej kwadratu

( ) ( ) νµµν

νµνµν

νµ

µ ′′′=′′′⋅′=′′⋅′′=′⋅′=′=′ xdxdgxdxd xdxd~

d~

d~

d sd2df

2 eeeeRRR .

Z postaci tensora metrycznego

β

ν

α

µ

µννµαβ ′∂

∂

′∂

∂=′⋅′=′

x

x

x

xgg ee

wynika, że związane z układem nieinercjalnym układy lokalne nie są w ogólności układamiortonormalnymi. Oznacza to pojawienie się różnych od zera symboli Christoffela pierwszegoi drugiego rodzaju. W oparciu o różniczkę promienia wodzącego podamy definicję prędkości cząstki.

µ

µ

′′

′′=

′′

=′ eR

vsd

xd c sdsgn

sd

~d

c dssgn ~ 22df

Z drugą różniczką promienia wodzącego

( ) ( ) ανµα

µνανµ

νµ

µµ ′′′Γ′+′=′′

′∂

′∂+′′=′=′ e

eeRR xdxd xd xdxd

x xd

~d d

~d 222

zwiążemy definicję przyspieszenia swobodnej cząstki spowodowanego działaniem siły wy-padkowej.

( )2

222

df

force sd

~d

c sdsgn ~′′

′=′ Ra ( ) α

νµαµν

α

′

′

′

′

′Γ′+

′

′′= e

sd

xd

sd

xd

sd

xdc sdsgn

2

222

Fizyczna interpretacja przyspieszenia force~a′ zostanie przedstawiona w paragrafie „Równania

ruchu cząstki w ogólnej teorii względności”.


41

• Zakrzywiona czasoprzestrzeń Riemanna, układy lokalne Przestrzenią Riemanna nazywamy przestrzeń n-wymiarową taką, że w każdym jej punk-cie jest zadany kowariantny tensor metryczny będący symetrycznym tensorem drugiego rzę-du. Przy pomocy tensora metrycznego określany jest kwadrat różniczki odległości dwóch są-siednich punktów

νµµν= dxdxgds2 .

Tensor metryczny określa w każdym punkcie przestrzeni Riemanna lokalny układ współ-rzędnych. Każdy układ lokalny można zortogonalizować. Czyli tensor metryczny w każdympunkcie można sprowadzić do postaci diagonalnej.

Jeżeli czterowymiarowa przestrzeń Riemanna jest zakrzywiona, to nie istnieje transfor-macja przeprowadzająca tensory metryczne we wszystkich punktach w tensor

=µν

1000

0100

0010

0001

g .

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową w ogólności zakrzywioną przestrzenią Riemannaz urojoną współrzędną czasową ictx4 = .

4334

4224

4114

3223

3113

2112

4444

3333

2222

1111

2

dxdxg2dxdxg2dxdxg2

dxdxg2dxdxg2dxdxg2

dxdxgdxdxgdxdxgdxdxg dxdxgds

+++

++++

++++== νµµν

real1414 igg = , real

2424 igg = , real3434 igg = , 4

real4 ixictx == , ctx4

real =

43real34

42real24

41real14

3223

3113

2112

4444

3333

2222

1111

2

dxdxig2dxdxig2dxdxig2

dxdxg2dxdxg2dxdxg2

dxdxgdxdxgdxdxgdxdxgdxdxgds

+++

++++

++++== νµµν

4real

4real44

4real

3real34

4real

2real24

4real

1real14

3223

3113

2112

3333

2222

1111

2

dxdxgdxdxg2dxdxg2dxdxg2

dxdxg2dxdxg2dxdxg2

dxdxgdxdxgdxdxgdxdxgds

−−−−

++++

+++== νµµν

4real

4real44

3

1

4real

real4

3

1

3

1

2 dxdxgdxdxg2dxdxgdxdxgds −−== ∑∑∑=α

αα

=α =β

βααβ

νµµν


42

• Czas własny w ogólnej teorii względności Czasem własnym (fizycznym, prawdziwym) nazywamy przeskalowaną różniczkę czasu,upływającego między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu o ustalo-nych współrzędnych przestrzennych w danym układzie, zmierzonego zegarem znajdującymsię w tym miejscu.

νµµν= dxdxgds2

0dxdxdx 321 ===44

442 dxdxgds =

ictx 4 =22

442 dtcg ds −=

444444 gsgng g =

dt g d 44

df

=τ = czas własny

( ) ( ) 2244

244

244

2 dc gsgn dt g c gsgn ds τ−=−= τ−= d c gsgnds 44

• Odległość przestrzenna w ogólnej teorii względności Wyznaczymy różniczkę odległości przestrzennej między dwoma punktami w pewnymszczególnym przypadku. Z punktu pierwszego zostało wysłane światło, po odbiciu się odzwierciadła w punkcie drugim powróciło do punktu pierwszego.

4444

3

1

44

3

1

3

1

2 dxdxgdxdxgdxdxgds ++= ∑∑∑=α

αα

=α =β

βααβ

0ds2 =

( ) 0dx gdx dxgdxdxg2 4

444

3

14

3

1

3

1

=+

+ ∑∑∑

=α

αα

=α =β

βααβ

( )∑∑=α =β

βααββα −=−=∆

3

1

3

14444

2 dxdx gggg 4ac4b

421dx → = różniczka współrzędnej czasowej związana z przelotem światła z 1 do 2

( )

−+−=

∆+−= ∑∑∑

=α =β

βααββα

=α

αα→

3

1

3

14444

3

14

44

421 dxdx gggg dxg

g

1

a2

bdx

412

dxdxdxdx

421 dxdx →

−→−→

→ →ββ

αα

412dx → = różniczka współrzędnej czasowej związana z przelotem światła z 2 do 1

( )

−+= ∑∑∑

=α =β

βααββα

=α

αα→

3

1

3

14444

3

14

44

412 dxdx gggg dxg

g

1dx

( )∑∑=α =β

βααββα→→ −=+=

3

1

3

14444

44

412

421

4 dxdx gggg g

2dxdxdx


43

∑∑=α =β

βαβααβ→→

−

−=+=

3

1

3

1 44

44

44

44412

421

4 dxdx g

ggg

g

g12dxdxdx

∑∑=α =β

βαβααβ→→

−

−=+=

3

1

3

1 44

44

4444

412

421

4 dxdx g

ggg

gsgng

12dxdxdx

dl2

dt g c

12

dx g 444

44==

− dl = różniczka odległości przestrzennej między punktami 1 i 2

∑∑=α =β

βαβααβ

−=

3

1

3

1 44

44

44

dxdx g

ggg

gsgn

1dl

∑∑=α =β

βαβααβ

−=

3

1

3

1 44

44

44

2 dxdx g

ggg

gsgn

1dl

∑∑=α =β

βααβγ=

3

1

3

1

2 dxdx dl ,

+=

−=γ βα

αββα

αβαβ44

real4

real4

4444

44

44

df

g

ggg

gsgn

1

g

ggg

gsgn

1

• Jakie warunki musi spełniać tensor metryczny aby mógł określać metrykę realnej(fizycznej) czasoprzestrzeni?

( ) 0dssgng 2 ≤µν , ( )4,3,2,1, =νµ

011 >γ

02122

1211 >γγ

γγ

0

333231

232221

131211

>

γγγ

γγγ

γγγ


44

3 ZAPISYWANIE RÓWNAŃ W POSTACI OGÓLNIE KOWARIANTNEJ

• Zasady zapisywania równań w postaci ogólnie kowariantnej Jednym z celów jakie stawia OTW jest uwolnienie równań fizyki od zależności ich posta-ci od wyboru układu współrzędnych. Do zrealizowania postawionego zadania idealnie nadajesię rachunek tensorowy. OTW udziela odpowiedzi na pytanie jak dostosować równania zapi-sane pierwotnie w postaci tensorowej w inercjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czte-rowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego do dowolnego układu w zakrzywionej czaso-przestrzeni Riemanna lub do dowolnego nieinercjalnego układu w płaskiej czasoprzestrzeniMinkowskiego. Zapisując równania w postaci ogólnie kowariantnej, będziemy wykorzystywali odwzoro-wania:

νµµνµν ⋅=→←δ eeg

νµµνµν ⋅=→←δ eeg

νµµ

νµν ⋅=→←δ eeg

ds

dxA

ds

dA

s

A

ds

dA βαµ

αβ

µµµ

Γ+=δ

δ→←

ds

dxA

ds

dA

s

A

ds

dA β

ααµβ

µµµ Γ+=δ

δ→←

s

A

s

s

A

ds

Ad2

2

2

2

δ

δ

δδ

=δ

δ→←

µµµ

s

A

s

s

A

ds

Ad2

2

2

2

δ

δ

δδ

=δ

δ→← µµµ

κµκλλ

µµλ

µλλ

µµλλ

µ

Γ+∂

∂==∇=

δ

δ→←=

∂

∂A

x

AAA

x

A A

x

A;,

κκµλλ

µλµµλλ

µλµλ

µ Γ+∂

∂==∇=

δ

δ→←=

∂

∂A

x

AAA

x

A A

x

A;,

µλκ

µλκλ

µ

κλκ

µ

λκ

µ

=∇∇=δ

δ

δδ

=δδ

δ→←

∂∂

∂;;

22

AAx

A

x

xx

A

xx

A

λκµµλκλ

µ

κλκ

µ

λκ

µ =∇∇=δ

δ

δ

δ=

δδ

δ→←

∂∂

∂;;

22

AAx

A

x

xx

A

xx

A

αββ

••αβββ

αβ•• =→←=

∂

∂= ;, T divT T

x

TdivT

αβββ

αβ•• =

∂

∂= ,T

x

TdivT →←

βααβ −= TT

( )β

αβαββ

••

∂

∂==

x

Tg

g

1TdivT ;

T divT Tx

TdivT ;, βαβ••βαββ

αβ•• =→←=

∂

∂=

T divT Tx

TdivT ;,

αββ

••

αβββ

αβ•

• =→←=∂

∂=


45

• Podstawowa forma metryczna

νµµν= dxdxgds2

µνµν δ=g

νµµνδ= dxdxds2

( ) ( ) ( ) ( )242322212 dxdxdxdxds +++=

ictx4 =

1i 2 −=

23

1

2

vdt

dx=

∑=α

α

1i −= icv4 =

icdtdx4 =

221 cv1 −− −=γ

dtd 1−γ=τ

• Iloczyn skalarny dwóch wektorów

µµµ

µ == eeA AA

ννν

ν == eeB BB

νµµν ⋅= eeg

νµµν ⋅= eeg

µνµν

µνµν δ=δ== gg

νµµννµ

µν δ=δ=⋅ BABABA

αααα ==⋅ BABABA

• Długość wektora

νµµννµ

µν ==⋅== AAgAAgA AAA

µνµν

µνµν δ=δ== gg

αααα ==⋅== AAAAA AAA

Podstawowa forma metryczna w zakrzywionej czasoprzestrzeniRiemanna lub w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego w uk-ładzie nieinercjalnym

Podstawowa forma metryczna w płaskiejczasoprzestrzeni Minkowskiego w inercjal-nym układzie ortonormalnym

Iloczyn skalarny dwóch wektorów w zakrzywionej czasoprzes-trzeni Riemanna lub w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiegow układzie nieinercjalnym

Iloczyn skalarny dwóch wektorów w pła-skiej czasoprzestrzeni Minkowskiego winercjalnym układzie ortonormalnym

Długość wektora w zakrzywionej czaso-przestrzeni Riemanna lub w płaskiej cza-soprzestrzeni Minkowskiego w układzienieinercjalnym

Długość wektora w płaskiej czasoprzes-trzeni Minkowskiego w inercjalnym uk-ładzie ortonormalnym

( ) ( ) ( ) 222322212 dtcdxdxdxds −++=

−

+

+

= 2

23222122 c

dt

dx

dt

dx

dt

dxdtds

( ) ( )22222222 cv1dtccvdtds −−−=−=2222 cv1icdtcv1cdt1ds −− −=−−=

τ=γ=γ= −− dvdtvdxds 41441

νµµννµ

µν ==⋅ BAgBAgBA

ds dx4 γ=

dsv dt 4−γ=

dsvd 4−=τ


46

• Czteroprędkość

ds

dx c dssgn v~ 2

dfµ

µ =

i1dssgn 2 =−= , icv4 =

ds

dxvv~ 4

µµ =

τ= dvds 4

τ

=µ

µ

d

dxv~ dtd 1−γ=τ

dt

dxv~

µµ γ=

dt

dxv

µµ = µµ γ= vv~

• Czteroprzyspieszenie

Γ+=

δ

δ=

βαµ

αβ

µµ

µµ

ds

dxv~

ds

v~d c dssgn a~

s

v~ c dssgn a~

2force

2df

force

2

22

ds

xd c dssgn

ds

v~d µµ

= , ds

dx c dssgnv~ 2

αα =

( )

Γ+=

βαµαβ

µµ

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgna~

2

222

force

0=Γµαβ , i1dssgn 2 =−= , icv4 = , µµµ == a~a~a~ totalforce

( )2

224

ds

xdva~

µµ =

ds

v~dv

ds

dxv

ds

dva~ 444

µµµ =

=

τ= dvds 4

τ

=τ

=

ττ=

µµµµ

d

v~d

d

xd

d

dx

d

da~

2

2

dtd 1−γ=τ dt

dγ

dt

dxγ

dt

xdγ

dt

dxγ

dt

dγa~

µ

2

µ22

µµ +=

=

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne prędkości w zakrzywionej czaso-przestrzeni Riemanna lub w płaskiej czaso-przestrzeni Minkowskiego w układzie nie-inercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne prędkości w inercjalnym układzieortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeniMinkowskiego

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne przyspieszenia w zakrzywionejczasoprzestrzeni Riemanna lub w płaskiej cza-soprzestrzeni Minkowskiego w układzie nie-inercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne przyspieszenia w inercjalnymukładzie ortonormalnym w płaskiej czaso-przestrzeni Minkowskiego


47

• Równanie bilansu wielkości skalarnej

( ) σ=∇ κκ

~v~a

( ) σ=κ

κ ~v~a;

( ) σ=∂∂ κκ

~v~agxg

1

( ) σ=∂∂ κκ

~ gv~agx

1g = , 0=Γµαβ , µµ

µ γ=γ= vdt

dxv~ ,

dt

dxv

µµ = , [ ] 2

1 22cv1−−−=γ ,

dt

ad~ iγ=σ

( ) σ=∂∂ κκ

~v~ax

( ) σ=κ

κ ~v~a,

1=γ , dt

dxvv~

µµµ == ,

td

ad~ i=σ=σ

( ) σavx

κκ

=∂∂

( ) σ=κ

κ

,av

( ) ( ) σ=∂∂

+∂∂

∑=α

αα

44

3

1

avx

avx

ictx 4 = , icv4 = , αα = avJ , ( )3,2,1=α

σt

a

x

J3

1

=∂∂

+∂

∂∑=α

α

α

∑=α

α

α

∂

∂=

3

1 x

JdivJ , α

=α

α∑= eJ3

1

J

Jdivσt

a−=

∂∂

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniebilansu wielkości skalarnej w zakrzywionejczasoprzestrzeni Riemanna lub w płaskiej cza-soprzestrzeni Minkowskiego w układzie nie-inercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniebilansu wielkości skalarnej w inercjalnym uk-ładzie ortonormalnym w płaskiej czasoprze-strzeni Minkowskiego

Nierelatywistyczne czterowymiarowe równa-nie bilansu wielkości skalarnej w inercjalnymukładzie ortonormalnym w płaskiej czaso-przestrzeni Minkowskiego

Nierelatywistyczne trójwymiarowe równaniebilansu wielkości skalarnej w inercjalnym uk-ładzie ortonormalnym

a = spoczynkowa gęstość objętościowabilansowanej wielkości skalarnej

σ~ = człon źródłowy

ds

dx c dssgn v~

µ2µ =


48

4 RÓWNANIA RUCHU CZĄSTKI W OGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI

Niech ( )s xx µµ = będzie parametrycznym równaniem opisującym ruch cząstki w cztero-

wymiarowej fizycznej czasoprzestrzeni Riemanna. Poniżej przypomnimy definicje prędkościi przyspieszenia cząstki.

• Czterowymiarowa prędkość

( )1,2,3,4 0,g 0,ds , ds

dx ic

ds

dx c dssgn v~ 22

df

=α≥<== µν

ααα

• Czterowymiarowe przyspieszenie

( ) 0g 0,ds , ds

dx

ds

dxΓ

ds

xdc

ds

dx

ds

dxΓ

ds

xdc dssgn a~ µν

2νµ

µν2

22

νµαµν2

222

force ≥<

+−=

+= α

ααα

TWIERDZENIESwobodna cząstka porusza się po geodezyjnej wtedy i tylko wtedy, gdy czterowektor jejprzyspieszenia α

forcea~ jest równy zeru.

DOWÓD

Zauważmy, że równanie geodetyki ma postać 0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+νµ

αµν

α

.

• Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej

Składowe przyspieszenia cząstki próbnej o masie m w danym punkcie 1. zakrzywionej czasoprzestrzeni Riemanna lub 2. płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego względem układu nieinercjalnegoopisywane są równaniami

( ) ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn a~

m

F~

2

222

df

force

Γ+==

νµαµν

αα

α

, 0dxdxgds2 <= νµµν , 0g ≥µν

αF~

= składowe siły wypadkowej, z pominięciem sił „grawitacyjnych” i „bezwładnoś-

ciowych” µνg = tensor metryczny zakrzywionej czasoprzestrzeni (składowe tego tensora są roz-

wiązaniami równań pola) lub tensor metryczny nieinercjalnego układu odniesieniaw płaskiej przestrzeni Minkowskiego


49

Postulowane równania ruchu cząstki próbnej o masie m

( )

Γ+=

νµαµν

αα

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn

m

F~

2

222

posiadają interpretację podaną poniżej.

( )ds

dx

ds

dxc dssgn a~ 22

iner&grav

νµαµν

α Γ−=

( )2

222

total ds

xdc dssgn a~a~

ααα ==

( )

Γ+=

νµαµν

αα

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn a~

2

222

force

ααα −= iner&gravtotalforce a~a~a~

W przypadku metryki stacjonarnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych, czylimetryki typu

4444

2 dxdxgdxdxgds += βααβ , ( )1,2,3=βα, ,

równania ruchu można zapisać również w postaciach:

νµκµν

κκ

Γ+−

γ= v~v~dt

v~d

g

dssgn

m

F~

44

2

G , ( )1,2,3,4=νµκ, ,

νµκµν

κκκ

γΓ+γ

−γ+

−γ= vv

dt

d

g

dssgnv

dt

dv

g

dssgn

m

F~

2G

G

44

2

G

44

22G , ( )1,2,3,4=νµκ, ,

νµκµν

κκκ

γΓ+γ

−γ+γ= vv

dt

d

g

dssgnva

m

F~

2G

G

44

2

G2G , ( )1,2,3,4=νµκ, ,

Przy czym, wykorzystaliśmy następujące relacje:

ds

dx c dssgn v~ 2

λλ = , ( )1,2,3,4=λ

dt c

1

dt

dx

dt

dx

g

g1 g cds

244

44

βααβ−−= , ( )1,2,3=βα,

λλ γ= vv~ G , dt

dx

g

dssgnv

44

2 λλ

−= , ( )1,2,3,4=λ , ic

g

dssgnv

44

24

−=

2

2

244

G

c

v1

1

c

1

dt

dx

dt

dx

g

g1

1

−

=

−

=γβα

αβ

, dt

dx

dt

dx

g

gv

44

2βα

αβ= , ( )1,2,3=βα,

dt

v~d

g

dssgn

ds

v~d c dssgn a~

44

2

G2

λλλ

−γ== ,

dt

dv

g

dssgna

44

2 λλ

−= , ( )1,2,3,4=λ

Suma składowych (odpowiadającychwskaźnikowi α) przyspieszeń grawitacyjnego

i bezwładnościowego cząstki

Składowa (odpowiadająca wskaźnikowi α)całkowitego przyspieszenia cząstki

Składowa (odpowiadająca wskaźnikowi α)przyspieszenia związanego z działaniem

siły wypadkowej na cząstkę


50

• Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej [ciąg dalszy]

( )

Γ+=

βαµαβ

µµ

ds

dx

ds

dx

ds

xdmcdssgnF

~2

222

0=Γµαβ 1dssgn 2 −=

( )2

224

ds

xdvmF

~µ

µ =

( )ds

v~dva~

ds

xdv 4

2

224

µµ

µ

== , µµ = v~mp~ , µµ γ= v v~ , dt

dxv

µµ = , icv4 =

µµ = a~mF~

( )

ds

p~dv

ds

v~mdv

ds

v~dmvF

~ 444µµµ

µ ===

τ= dvds 4

( )

τ=

τ=

τ=

µµµµ

d

p~d

d

v~md

d

v~dmF

~

dtd 1−γ=τ

( ) ( ) ( )

dt

vdm

dt

vmd

dt

p~d

dt

v~md

dt

v~dmF

~µµµµµ

µγ

γ=γ

γ=γ=γ=γ=

• Swobodny ruch cząstki próbnej

W przypadku, gdy 0F~=µ (tzn. gdy na cząstkę działają jedynie siły „grawitacyjne”

i „bezwładnościowe”), równania ruchu redukują się do

0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+βα

µαβ

µ

.

Wynika z nich, że w zakrzywionej czasoprzestrzeni swobodna cząstka o masie m porusza siępo linii geodezyjnej.Jeżeli ponadto wszystkie 0=Γµαβ , to

( ) 0ds

xdva~

2

224 ==

µµ lub const

dt

dxv~ =γ=

µµ .

Oznacza to, że przy braku sił „grawitacyjnych” i „bezwładnościowych” (inercjalny układw płaskiej czasoprzestrzeni) lub w przypadku, gdy siły te się równoważą (swobodnie spadają-cy układ w polu grawitacyjnym) swobodna cząstka o masie m porusza się ruchem jednostaj-nym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku.

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniaruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni Rie-manna lub w płaskiej czasoprzestrzeni Min-kowskiego w układzie nieinercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniaruchu w inercjalnym układzie ortonormalnymw płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego


51

5 NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA

• Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia Szczególna teoria względności bazowała na niezmienniczości kwadratu przedziału czaso-przestrzennego νµ

µν ∆∆=∆ xxgs2 względem transformacji Lorentza, przy czym µνµν δ=g był

tensorem metrycznym w ortonormalnym inercjalnym układzie odniesienia w płaskiej cztero-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Przejście do nieinercjalnego układu odniesienia opisywane jest nieosobliwymi transfor-macjami współrzędnych

( )4321 x,x,x,xxx µµ ′=′ , ( )4321 x,x,x,xxx ′′′′= µµ ,

dlatego też

αα

µµ ′

′∂

∂= xd

x

xdx , β

β

νν ′

′∂

∂= xd

x

xdx .

W nowym układzie współrzędnych

22 sdxdxd x

x

x

xgdxdxg ds ′=′′

′∂

∂

′∂

∂== βα

β

ν

α

µ

µννµ

µν

β

ν

α

µ

µναβ ′∂

∂

′∂

∂=′

x

x

x

xgg = tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia

βααβ ′′′=′ xdxd gsd 2 .

Składowe tensora metrycznego αβ′g zależą od współrzędnych 4321 x,x,x,x ′′′′ . Wszystkie

składowe tensora krzywizny ••••R , odpowiadającego tej metryce, są równe zeru.

W obecności realnego pola grawitacyjnego składowe symetrycznego tensora metrycznegozależą od rozkładu gęstości energii. Co najmniej jedna składowa tensora krzywizny •

•••R jestwtedy różna od zera. W takim przypadku tensora metrycznego nie można sprowadzić w całejczasoprzestrzeni do postaci µνµν δ=g .

• Układ ze stałym przyspieszeniem

W chwili początkowej osie obu układów pokrywały się, układ K’ rozpoczął ruch postępowyjednostajnie przyspieszony bez prędkości początkowej z przyspieszeniem a równoległym doosi 1X0 . Założymy, że prędkość względna układów K’ i K jest dużo mniejsza niż prędkośćświatła w próżni. Wiadomo, że w przypadku nierelatywistycznym swobodna cząstka posiada w płaskiejczasoprzestrzeni względem układu nieinercjalnego przyspieszenie skierowane przeciwnie doprzyspieszenia tego układu.

K′

1x′

2x′

3x′

1x

2x

3x

Inercjalny układ ortonormalny V << ca

V

K

1′

2′

3′

1

2

3


52

( ) ( ) ( ) ( )242322212 dxdxdxdxds +++=

( )2422

211

22111

xcaix

taxx

′+′=

=′+′=

−−

42241

11

xdcixaxd

tdtaxddx

′′+′=

=′′+′=−−

22 xx ′= 22 xddx ′=

33 xx ′= 33 xddx ′=

44 xx ′= 44 xddx ′=

cV << , ictx 4 = , ticx 4 ′=′ , taV ′=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 22424442232241224212 sdxdxcia1 xdxdxdxdcixa2xdds ′=′′++′+′+′′′+′= −−−−

222222 tdcdtcsdds ′−≈−≈′=1ggg 332211 =′=′=′

12244114 iVc cixagg −−− −=′=′=′

( ) 222444244 cV1xcia1g −−− −=′+=′

Pozostałe składowe tensora metrycznego µν′g są równe zeru.

1ggggggggg 3322141444332211 =′′′′−′′′′=′

( ) 22443322

111 cV1ggggg −− −=′′′′=′ , ( ) 22443311

122 cV1ggggg −− −=′′′′=′

( ) 22442211

133 cV1ggggg −− −=′′′′=′ , ( ) 1ggggg 332211144 =′′′′=′ −

( ) 1332214

114 iVcgggg g −− =′′′′−=′

[ ] 222

4414 4

1 ac caix

g −−− −==

′∂

′∂=′

[ ] tciacixax

g

2

1 324442

4444 4

4 ′=′=′∂

′∂=′ −−−

[ ] [ ] 2224 44

144 41

11144 accai g gΓ −−− −==′′+′′=′

[ ] [ ] 0 g gΓ 4 44

444 41

41444 =′′+′′=′

Wszystkie składowe tensora krzywizny αβµν′R odpowiadające metryce µν′g są równe zeru.

Wykorzystując przedstawione powyżej relacje, można otrzymać równania ruchu w rozpa-trywanym układzie nieinercjalnym.

′

′

′

′′+

′

′−=′

sd

xd

sd

xdΓ

sd

xdmc F

~44

1442

1221

2

2222

sd

xdmc F

~′

′−=′

2

3223

sd

xdmc F

~′

′−=′

2

4224

sd

xdmc F

~′

′−=′

+

′

′≈′ a

td

xdmF

~2

121

2

222

td

xdmF

~′

′≈′

2

323

td

xdmF

~′

′≈′

0F~ 4 ≈′

1sd

xd

sd

xd 44

≈′′

′′

0sd

xd2

42

≈′

′


53

• Układ obracający się

( ) ( ) ( ) ( )242322212 dxdxdxdxds +++=

( ) ( )41124111211 xcisinxxcicosxtsinxtcosxx ′ω′−′ω′=′ω′−′ω′= −−−−

( ) ( )41124111212 xcicosxxcisinxtcosxtsinxx ′ω′+′ω′=′ω′+′ω′= −−−−

33 xx ′= 44 xx ′=

44

12

2

11

1

11 xd

x

x0xd

x

xxd

x

xdx ′

′∂∂

++′′∂

∂+′

′∂∂

=

44

22

2

21

1

22 xd

x

x0xd

x

xxd

x

xdx ′

′∂∂

++′′∂

∂+′

′∂∂

=

33 xd dx ′= 44 xd dx ′=

( )411

1

1

xcicosx

x ′ω=′∂

∂ −− , ( )411

2

1

xcisinx

x ′ω−=′∂

∂ −−

( ) ( )411211411111

4

1

xcicosxcixcisinxcix

x ′ω′ω−′ω′ω−=′∂

∂ −−−−−−−−

( )411

1

2

xcisinx

x ′ω=′∂

∂ −− , ( )411

2

2

xcicos x

x ′ω=′∂

∂ −−

( ) ( )411211411111

4

2

xcisinxcixcicosxcix

x ′ω′ω−′ω′ω=′∂

∂ −−−−−−−−

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )2242211211124111

1421123421112241211212

sdxd xcixci1 xdxdxci

xdxdxcixdxdxdxcixdxdxdxcixdds

′=′′ω+′ω++′′′ω+

+′′′ω−′+′′′ω+′+′′′ω−′=−−−−−−

−−−−−−

A oto niezerowe składowe kowariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik.

1ggg 332211 =′=′=′

2114114 xcigg ′ω−=′=′ −−

1114224 xcigg ′ω=′=′ −−

( ) ( )[ ]22212244 xx c1g ′+′ω−=′ −

1ggggggggggggg 332214143324241144332211 =′′′′−′′′′−′′′′=′

1x′2x′

1x

2x

33 xx ′ ,

ωt

1′2′

1

2

33 xx ′ ,

Układ K′ porusza się względem układu Kjednostajnym ruchem obrotowym z pręd-kością kątową ωωωω skierowaną wzdłuż osi

3X0 . W chwili początkowej analogiczneosie obu układów pokrywały się.

tsinxtcosxx 211 ω+ω=′tcosxtsinxx 212 ω+ω−=′

33 xx =′tt =′


54

W dalszych rachunkach potrzebne będą nam następujące kontrawariantne składowe tensorametrycznego oraz symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju.

( ) ( )2222332424443322

111 xc1gggggggg ′ω−=′′′−′′′′=′ −−

( ) ( )2122331414443311

122 xc1gggggggg ′ω−=′′′−′′′′=′ −−

1ggggg 332211144 =′′′′=′ −

211332214

14114 xcigggggg ′ω=′′′′−=′=′ −−−

111332411

14224 xcigggggg ′ω−=′′′′−=′=′ −−−

[ ] 1224 41 xc ′ω=′ − , [ ] 2224 4

2 xc ′ω=′ − , [ ] 0 2 14 =′ , [ ] ω=′ −− 114 1

2 ci , [ ] 1224 14 xc ′ω−=′ −

[ ] ω−=′ −− 114 21 ci , [ ] 2224 2

4 xc ′ω−=′ − , [ ] 0 4 44 =′

0112 =Γ′ , 213311

14 xxci ′′ω−=Γ′ −− , ω−=Γ′ −− 11124 ci , ( )221441221

44 xxcxc ′′ω−′ω=Γ′ −−

0212 =Γ′ , ω=Γ′ −− 112

14 ci , 21331224 xxci ′′ω=Γ′ −− , ( ) 221442222

44 xxcxc ′′ω−′ω=Γ′ −−

I już jesteśmy gotowi by zaproponować równania ruchu w obracającym się układzie.

′′

′′

Γ′+′′

′′

Γ′+′′

′′

Γ′+′′

=′sd

xd

sd

xd

sd

xd

sd

xd2

sd

xd

sd

xd2

sd

xdcmiF

~ 441

44

421

24

411

142

12221

′′

′′

Γ′+′′

′′

Γ′+′′

′′

Γ′+′′

=′sd

xd

sd

xd

sd

xd

sd

xd2

sd

xd

sd

xd2

sd

xdcmiF

~ 442

44

422

24

412

142

22222

2

32223

sd

xdcmiF

~′′

=′

2

42224

sd

xdcmiF

~′′

=′

ticx 4 ′=′

222222 tdctdcisd ′−=′≈′

0td

td

ci

ic

sd

xd2

2

222

42

=′′

=′′

, bo 0td

td2

2

=′′

( )

′ω−

′′

ω−′′ω+′′

′′ω−′′

=′ −− 122

221421

2132

2

121 x

td

xd2xxc

td

xdxxc2

td

xdmF

~

( )

′ω−

′′

ω+′′ω+′′

′′ω+′′

=′ −− 221

221422

2132

2

222 x

td

xd2xxc

td

xdxxc2

td

xdmF

~

2

323

td

xdmF

~′′

=′

0F~ 4 ≈′

′−×

′−

′′

≈′ rωrr

F 2

2

2

ωdt

d2

td

d m

Równanie ruchu w postaci trójwymiarowej w ukła-dzie obracającym się ze stałą prędkością kątową ω .Zaniedbane zostały człony małe w stosunku do 2c .

23

1

13

2

ωdt

xdω

dt

xd

dt

deeω

r ′+

′−=×

′−


55

• Układ drgający Układ K′ porusza się względem układu K ruchem drgającym harmonicznym prostym.

( ) ( ) ( ) ( )242322212 dxdxdxdxds +++=

( )4111

11

xcisinAx

tsinAxx

′ω+′=

=′ω+′=−−

( ) 4411111

11

xdxcicosAcixd

tdtcosAxddx

′⋅′ωω+′=

=′⋅′ωω+′=−−−−

22 xx ′= 22 xddx ′=

33 xx ′= 33 xddx ′=

44 xx ′= 44 xddx ′=

cV << , ictx4 = , ticx 4 ′=′ , taatV ′==

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) 224411222223

224141111212

sdxdxcicosAc1xd

xdxdxdxcicosAci2xdds

′=′⋅′ωω−+′+

+′+′′⋅′ωω+′=

−−−

−−−−

A oto niezerowe składowe kowariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik.

1ggg 332211 =′=′=′

( )411114114 xcicosAcigg ′ωω=′=′ −−−−

( )411222244 xcicosAc1g ′ωω−=′ −−−

1ggggggggg 3322141444332211 =′′′′−′′′′=′

W dalszych rachunkach potrzebne będą nam następujące kontrawariantne składowe tensorametrycznego oraz symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju.

( )411222244443322

111 xcicosAc1gggggg ′ωω−=′=′′′′=′ −−−−

( ) 1ggggggggggg 141444331414443311122 =′′−′=′′′−′′′′=′ −

( ) 1ggggggggggg 141444221414442211133 =′′−′=′′′−′′′′=′ −

1ggggg 332211144 =′′′′=′ −

( )4111114332214

14114 xcicosAciggggggg ′ωω−=′−=′′′′−=′=′ −−−−−

[ ] ( )41122

4144 4

1 xcisinAcx

g ′ωω=

′∂

′∂=′ −−−

[ ] ( ) ( )4114113231

4444 4

4 xcicosxcisinAcix

g

2

1 ′ω′ωω=

′∂

′∂=′ −−−−−−

[ ] [ ] ( )411224 44

144 41

11144 xcisinAc g g ′ωω=′′+′′=Γ′ −−−

[ ] [ ] 0 g g 4 44

444 41

41444 =′′+′′=Γ′

I już jesteśmy gotowi by zaproponować równania ruchu w drgającym układzie.


56

′′

′′

Γ′+′′

=′sd

xd

sd

xd

sd

xdcmiF

~ 441

442

12221

2

22222

sd

xdcmiF

~′

′=′

2

32223

sd

xdcmiF

~′′

=′

2

42224

sd

xdcmiF

~′′

=′

ticx 4 ′=′

222222 tdctdcisd ′−=′≈′

1sd

xd

sd

xd 44

≈′′

′′

0td

td

ci

ic

sd

xd2

2

222

42

=′′

=′′

, bo 0td

td2

2

=′′

( )tsinAa 2 ′ωω−= = przyspieszenie, jakie posiada układ K′ względem układu K

( )

+

′′

=

′ωω−

′′

=′ atd

xdmtsinA

td

xdmF

~2

122

2

121

2

222

td

xdmF

~′

′=′

2

323

td

xdmF

~′′

=′

0F~ 4 ≈′


57

6 TENSOR PĘDU-ENERGII CIECZY NIELEPKIEJ

• Relatywistyczne równanie bilansu masy hydrodynamicznej w inercjalnym układzieortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

Jdivt

−σ=∂ρ∂

lub ∑=β

β

β

∂

∂−σ=

∂ρ∂ 3

1 x

J

t Nierelatywistyczne równanie bilansu masy

ρ = gęstość objętościowa masy

td

diρ=σ = źródło masy

J = trójwymiarowy strumień masy

veeJ ρ=ρ== β=β

ββ

=β

β ∑∑3

1

3

1

vJ , β=β

β∑= ev3

1

v , dt

dxv

ββ = , ββ ρ= vJ , ( )3 2, 1,=β

0 t

x

v3

1

=σ−∂ρ∂

+∂

ρ∂∑=β

β

β

( )( )

0 ict

ic

x

v3

1

=σ−∂

ρ∂+

∂

ρ∂∑=β

β

β

icv4 = , ictx4 =

αα ρvJ = , ( )4 3, 2, 1,α =

0 x

v

x

v4

43

1

=σ−∂

ρ∂+

∂

ρ∂∑=β

β

β

0 x

v4

1

=σ−∂

ρ∂∑=α

α

α

lub 0 x

J4

1

=σ−∂

∂∑=α

α

α

( )ρ+=ρ→ρ −∗ 2pc = spoczynkowa gęstość objętościowa masy hydrodynamicznej p = ciśnienie

dt

ρd~ dt

ρd ii

∗

γ=σ→=σ

,vv~ v ααα γ=→ ( )4 3, 2, 1,α =

α∗α∗αα ρ=γρ=→ v~vJ~

J , αα γvv~ = , dt

dxv

αα = , ( )4 3, 2, 1,α =

αJ~

= składowe czterowektora strumienia masy hydrodynamicznej

[ ] 2

1 22cv1γ−−−=

σ=∂

γρ∂∑=α

α

α∗~

x

v4

1

lub σ=∂∂∑

=αα

α~

x

J~4

1


58

• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii cieczy nielepkiej w inercjalnymukładzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

dt

~d

d

~d~ vvf γρ=

τρ= ∗∗ Relatywistyczne czterowymiarowe równania ruchu

ρ+=ρ −∗ 2pc = spoczynkowa gęstość objętościowa masy hydrodynamicznej ρ = spoczynkowa gęstość objętościowa masy p = ciśnienie

dtd 1−γ=τ , [ ] 21

22cv1 −−−=γ

( ) ( )43214321 v,v,v,v v~,v~,v~,v~~ γγγγ==v = λ=λ

λ∑ e4

1

v~ = λ=λ

λ∑ γ e4

1

v = czterowektor prędkości

icv~4 γ= , icv4 =

( )4321 f~

,f~

,f~

,f~

~=f = λ

=λ

λ∑ e4

1

f~

= czterowektor gęstości objętościowej siły

dt

vdf~ α

∗α γγρ= ,

dt

dxv

αα = , ( )4 3, 2, 1,=α

∑=κ

κ

ακ

α

∂

γ∂=

γ 4

1 x

vv

dt

vd

∑=κ

κ

ακ∗α

∂

γ∂γρ=

4

1 x

vvf

~

α

=κ

κ∗α

=κκ

κα∗

+∂

γρ∂γ=

∂

γρ∂∑∑ f

~

x

vv

x

vv 4

1κ

4

1

2

0x

v4

1

=∂

γρ∂∑=κ

κ

κ∗

Równanie bilansu masy

κα∗ακ γρ= vvM 2 = tensor gęstości objętościowej pędu-energii

α

=κκ

κα∗

=∂

γρ∂∑ f

~

x

vv 4

1

2

α

=κκ

ακ

=∂

∂∑ f

~

x

M4

1

κ

ακα

∂

δ∂−=

x

pf~

, ( )4 3, 2, 1,=α

pvvT 2 ακκα∗ακ δ+γρ= = tensor pędu-energii

0x

T4

1

=∂

∂∑=κ

κ

ακ

, ( )4 3, 2, 1,=α

Trzy pierwsze równania bilansują gęstość pędu, a czwarte – gęstość energii całkowitej.

Równania bilansu gęstości objętościowejpędu-energii cieczy nielepkiej

Gęstość objętościowa siły jest dywergencjątensora gęstości objętościowej pędu-energii.


59

1Dalej wykażemy, że poniższe równania

0x

T4

1

=∂

∂∑=κ

κ

ακ

, pvvT 2 ακκα∗ακ δ+γρ= lub ( )

0x

p

x

vv 4

1

4

1

2

=∂δ∂

+∂

γρ∂∑∑=κ

κ

ακ

=κκ

κα∗

, ( )4 3, 2, 1,α =

są równaniami bilansu gęstości objętościowej pędu i całkowitej energii cieczy nielepkiej.Trzy pierwsze równania bilansują składowe przestrzenne gęstości objętościowej pędu.

( )µ

=κκ

κµ∗

∂∂

−=∂

γρ∂∑ x

p

x

vv 4

1

2

, ( )1,2,3=µ

ictx4 = , icv4 = , 0x

p=

∂∂4

( ) ( )µ

=λκ

λµ∗µ∗

∂∂

−∂

γρ∂−=

∂

γρ∂∑ x

p

x

vv

t

v 3

1

22

, ( )1,2,3=µ

( ) ( )

µ=

κ

λµ∗µ∗

µ∗

∂∂

−∂

γρ∂−

∂γ∂

γρ=∂

γρ∂γ ∑ x

p

x

vv

tv

t

v 3

1λ

2

Czwarte równanie bilansuje gęstość objętościową energii.( )

0x

vv 4

1

42

=∂

γρ∂∑=κ

κ

κ∗

ictx4 = , icv4 =

( ) ( )∑=

∗∗

∂

∂−=

∂

∂ 3

1λλ

λ22

x

icvγρ

t

icγρ

( ) ( )

∑=

∗∗

∗

∂

∂−

∂∂

=∂

∂ 3

1λλ

λ2

x

icvγρ

t

γγicρ

t

γicργ

Kwadrat czwartej składowej gęstości objętościowej pędu opatrzony znakiem minus i podzielo-ny przez podwojoną gęstość jest równy gęstości objętościowej energii całkowitej.

( )

εcγρ2

1

2ρ

γicρ 22

2

==− ∗∗

∗

Dlatego też równanie bilansu czwartej składowej gęstości objętościowej pędu icγρ∗ może byćutożsamiane z równaniem bilansu gęstości objętościowej energii całkowitej ε .UWAGAW tomie poświęconym Szczególnej Teorii Względności wykazaliśmy, że energia spoczynko-wa, kinetyczna i całkowita cząstki powinny być inaczej zdefiniowane.Odpowiednie wyrażenia dla gęstości objętościowych tych wielkości 0ε , kε , ε podane są poniżej.

2c2

1 ∗0 ρ=ε 22vk γρ=ε ∗

2

1 22c

2

1γρ=ε ∗

Równania bilansu składowychprzestrzennych gęstości obję-tościowej pędu µ∗γρ v

Równanie bilansu czwartej składowejgęstości objętościowej pędu icγρ∗


60

• Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej w dowolnym układzie współrzędnych Czterowymiarowy tensor pędu-energii określony w inercjalnym układzie ortonormalnymw czterowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

( ) ( ) pv~v~ pcpvv pcT 222 µννµ−µννµ−µν δ+ρ+=δ+ρ+γ=

przedstawimy w zakrzywionej czasoprzestrzeni Riemanna lub w płaskiej czasoprzestrzeniMinkowskiego w układzie nieinercjalnym, czyli w postaci niezależnej od wyboru układu od-niesienia.

Postać kontrawariantna tensora pędu-energii

( ) pgv~v~ pcT 2 µννµ−µν +ρ+=

Postać kowariantna tensora pędu-energii

( ) pgggv~v~gg pcTgg 2 µνβνµα

νµβνµα

−µνβνµα +ρ+=

αβµν

βνµα = TTgg

αµ

µα = v~v~g

βν

βν = v~v~g

αβµν

βνµα = gggg

( ) pgv~v~ pcT 2αββα

−αβ +ρ+=

Postać mieszana tensora pędu-energii

( ) pggv~v~g pcTg 2 µνσν

νµσν

−µνσν +ρ+=

µσ

µνσν = TTg

σν

σν = v~v~g

µσ

µνσν = ggg

( ) pgv~v~ pc T 2 µσσ

µ−µσ +ρ+=

Wykorzystanie czterowymiarowego tensora pędu-energii w czterowymiarowej teorii gra-witacji jest możliwe w przypadku cieczy nielepkiej, gdy

( )0

x

v~pc 4

1

2

=∂

ρ+∂∑=κ

κ

κ−

, κ

ακα

∂

∂−=

x

pg~f , ( )4 3, 2, 1,α = ,

gdyż tylko wtedy

0T4

1 ; =∑

=ν

µνν , 0T

4

1 ; =∑

=ββαβ , 0T

4

1 ; =∑

=µ

µµσ , ( )4 3, 2, 1,µ = .


61

7 TENSOR PĘDU-ENERGII PYŁU BEZCIŚNIENIOWEGO

• Pył bezciśnieniowy Pyłem bezciśnieniowym nazywamy zbiór nie oddziałujących wzajemnie cząstek spoczy-wających względem siebie. Dla prostoty będziemy rozpatrywali tylko pyły składające sięz cząstek o identycznych masach.• Równanie bilansu masy pyłu bezciśnieniowego w inercjalnym układzie ortonormal-nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

Jdivσt

ρ−=

∂∂

lub ∑= ∂

∂−=

∂∂ 3

1ββ

β

x

Jσ

t

ρ Nierelatywistyczne równanie bilansu masy

ρ = spoczynkowa gęstość objętościowa masy σ = źródło masy = człon źródłowy J = trójwymiarowy strumień masy

veeJ ρρvJ β

3

1β

ββ

3

1β

β === ∑∑==

, β=β

β∑= ev3

1

v , dt

dxv

ββ = , ββ ρvJ =

( )0σ

t

ρ

x

ρv3

1ββ

β

=−∂∂

+∂

∂∑=

( ) ( )( )

0σ ict

ρ ic

x

ρv3

1ββ

β

=−∂∂

+∂

∂∑=

icv4 = , ictx4 = , αα ρvJ = , ( )4 3, 2, 1,α =

( ) ( )0σ

x

ρv

x

ρv4

43

1ββ

β

=−∂

∂+

∂

∂∑=

( )0σ

x

ρv4

1αα

α

=−∂

∂∑=

lub 0σ x

J4

1αα

α

=−∂

∂∑=

ρ = spoczynkowa gęstość objętościowa masy pyłu

[ ] 2

1 22cv1γ−−−=

0σ =

αααα ==→ v~ργρvJ~

J , αα γvv~ = , dt

dxv

αα = , ( )4 3, 2, 1,α =

αJ~

= składowe czterowektora strumienia masy

( ) 0γρv x

α4

1αα

=∂∂∑

=

lub 0x

J~

4

1

=∂

∂∑=α

α

α

Relatywistyczne równanie bilansu masy

Nierelatywistyczne czterowymiarowerównanie bilansu masy


62

• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w iner-cjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

dt

~d

d

~d~ vvf ργ=

τρ= Relatywistyczne czterowymiarowe równania ruchu

ρ = spoczynkowa gęstość objętościowa masy pyłu

dtd 1−γ=τ

[ ] 21

22cv1 γ−−−=

( ) ( )43214321 v,v,v,v v~,v~,v~,v~~ γγγγ==v = λ=λ

λ∑ e4

1

v~ = λ=λ

λ∑ γ e4

1

v

v~ = czterowektor prędkości cząstki pyłu icv~4 γ= , icv4 = , ictx4 =

dt

dxv

αα = , ( )4 3, 2, 1,α =

( )4321 f~

,f~

,f~

,f~

~=f = λ

=λ

λ∑ e4

1

f~

f~

= czterowektor gęstości objętościowej siły

dt

vdf~

αα γ

ργ= , dt

dxv

αα = , ( )4 3, 2, 1,α =

∑=κ

κ

ακ

α

∂

γ∂=

γ 4

1 x

vv

dt

vd

∑=κ

κ

ακα

∂

γ∂ργ=

4

1 x

vvf

~

α

=κ

κα

=κκ

κα

+∂

ργ∂γ=

∂

ργ∂∑∑ f

~

x

vv

x

vv 4

1κ

4

1

2

0x

v4

1

=∂

ργ∂∑=κ

κ

κ

Równanie bilansu masy

κακαακ ρ=ργ= v~v~vvT 2df

= tensor gęstości objętościowej pędu-energii

α

=κκ

κα

=∂

ργ∂∑ f

~

x

vv 4

1

2

0f~=α

0x

T4

1

=∂

∂∑=κ

κ

ακ

, ( )4 3, 2, 1,α = Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii

Trzy pierwsze równania bilansują gęstość pędu, a czwarte – gęstość energii.

Gęstość objętościowa siły jest dywergencjątensora gęstości objętościowej pędu-energii.


63

• Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w dowolnym układzie współrzędnych Czterowymiarowy tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego określony w inercjalnymukładzie ortonormalnym w czterowymiarowej płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego posia-da identyczną postać w zakrzywionej czasoprzestrzeni Riemanna lub płaskiej czasoprzes-trzeni Minkowskiego w układzie nieinercjalnym, jeżeli

ds

dx c dssgn v~ 2

dfµ

µ = .

Postać kontrawariantna tensora pędu-energii pyłu bezciśnieniowego

νµµν ρ= v~v~T

Postać kowariantna tensora pędu-energii pyłu bezciśnieniowego

νµβνµα

µνβνµα ρ= v~v~ggTgg

αβµν

βνµα = TTgg

αµ

µα = v~v~g

βν

βν = v~v~g

βααβ ρ= v~v~T

Postać mieszana tensora pędu-energii pyłu bezciśnieniowego

νµσν

µνσν ρ= v~v~gTg

µσ

µνσν = TTg

σν

σν = v~v~g

σµµ

σ ρ= v~v~T

Ślad tensora ••T

µµµ

µ ρ= v~v~T

222 cds

dx

ds

dxgic

ds

dx

ds

dxic

ds

dxic

ds

dxicv~v~ −=−=−== ν

µµν

µµ

µµ

µµ

2cT ρ−=µµ

Wykorzystanie czterowymiarowego tensora pędu-energii w czterowymiarowej teorii gra-witacji jest możliwe w przypadku pyłu bezciśnieniowego, gdy

0x

v~4

1

=∂

ρ∂∑=κ

κ

κ

, 0f~=α , ( )4 3, 2, 1,α = , gdyż tylko wtedy

0T4

1 ; =∑

=ν

µνν , 0T

4

1 ; =∑

=ββαβ , 0T

4

1 ; =∑

=µ

µµσ , ( ),4 3 2, 1,µ = .


64

Relatywistyczne czterowymiarowe równanie definicyjne tensora pola elektromagnetyczne-go

8 RÓWNANIA MAXWELLA W OGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI

• Czterowektor gęstości prądu

µρ= v~J~ df

µ 0dxdxgds2 <= βααβ

ds

dxcdssgnv~ 2

df µµ =

0=Γµαβ , αβαβ δ=g

0dxdxds2 <δ= βααβ ρ = spoczynkowa gęstość objętościowa ładunku

dticicdds 1−γ=τ=

dt

dx

d

dxv~J

~µµ

µµ ργ=τ

ρ=ρ=

• Tensory pola elektromagnetycznego

( )νµµνµν Φ−Φ= ;;

df

cF

αανµµ

νµν ΦΓ−

∂Φ∂

=Φx;

ααµνν

µνµ ΦΓ−

∂

Φ∂=Φ

x;

αµν

ανµ Γ=Γ

( )νµµννµ

µν

µν Φ−Φ=

∂

Φ∂−

∂Φ∂

= ,,cxx

cF

Ze składowych tensora µνF można skonstruować tensor αβE , wykorzystując odwzorowanie

43342112 EEFF −=→−=

42243113 EEFF =−→−=

32234114 EEFF −=→−=

41143223 EEFF −=→−=

31134224 EEFF =−→−=

21124334 EEFF −=→−=

lub relację µναβµν

αβ = FeE 21

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne gęstości prądu w zakrzywionejczasoprzestrzeni Riemanna lub płaskiej cza-soprzestrzeni Minkowskiego w układzie nie-inercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne gęstości prądu w inercjalnym uk-ładzie ortonormalnym w płaskiej czasoprze-strzeni Minkowskiego

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne tensora pola elektromagnetyczne-go w zakrzywionej czasoprzestrzeni Rieman-na lub płaskiej czasoprzestrzeni Minkow-skiego w układzie nieinercjalnym

Relatywistyczne czterowymiarowe równaniedefinicyjne tensora pola elektromagnetyczne-go w inercjalnym układzie ortonormalnymw płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego


65

• Jednorodne równania Maxwella

t

rot∂∂

−=B

E

0div =B

α=α

α∑= eE3

1

E , α=α

α∑= eB3

1

B

0x

E4

1

=∂

∂∑=ν

ν

µν

lub 0E , =µνν

−

−−−

−

=µν

0cBcBcB

cB0iEiE

cBiE0iE

cBiEiE0

E

321

312

213

123

, νµµν −= EE

0E ; =µνν

( )0

x

Eg

g

1=

∂

∂⋅ ν

µν

( )0

x

Eg=

∂

∂ν

µν

µνµν = EgEdf

0x

E=

∂

∂ν

µν

lub 0E, =µνν

Ze składowych tensora µνE można skonstruować tensor αβF , wykorzystując odwzorowanie

lub relacjęµν

αβµναβ = Ee F 2

1 ,

−−

−−

−−

=αβ

0iEiEiE

iE0cBcB

iEcB0cB

iEcBcB0

F

321

312

213

123

, βααβ −= FF .

Jednorodne równania Maxwella w postaci ten-sorowej w inercjalnym układzie ortonormal-nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskie-go

Jednorodne równania Maxwella w postaci trój-wymiarowej w inercjalnym układzie ortonor-malnym

Jednorodne równania Maxwella w zakrzywio-nej czasoprzestrzeni Riemanna lub płaskiejczasoprzestrzeni Minkowskiego w układzienieinercjalnym

43342112 FFEE =−→−=42243113 FFEE =−→−=32234114 FFEE =−→−=

41143223 FFEE −=→−=31134224 FFEE −=→−=21124334 FFEE =−→−=


66

• Niejednorodne równania Maxwella

t

rot∂∂

+=D

jH

ρ=Ddiv

α=α

α∑= eH3

1

H , α=α

α∑= eD3

1

D , α=α

α∑= ej3

1

j

µ

=νν

µν

=∂

∂∑ J

x

H4

1

lub µµνν = JH ,

11 jJ = , 22 jJ = , 33 jJ = , ρ= icJ4

−−

−−

−−

=µν

0icDicDicD

icD0HH

icDH0H

icDHH0

H

321

312

213

123

, νµµν −= HH

µµνν = JH ;

( )µ

ν

µν

=∂

∂⋅ J

x

Hg

g

1

( )µ

ν

µν

=∂

∂Jg

x

Hg

µνµν = HgHdf

, µµ = JgJdf

µν

µν

=∂

∂J

x

H lub µµν

ν = JH ,

Z tensora µνH można skonstruować tensor αβD , wykorzystując relację µναβµν

αβ = HeD 21 .

−−

−−

−−

=αβ

0HHH

H0icDicD

HicD0icD

HicDicD0

D

321

312

213

123

, βααβ −= DD

Niejednorodne równania Maxwella w postacitensorowej w inercjalnym układzie ortonormal-nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskie-go

Niejednorodne równania Maxwella w postacitrójwymiarowej w inercjalnym układzie orto-normalnym

Niejednorodne równania Maxwella w zakrzy-wionej czasoprzestrzeni Riemanna lub płaskiejczasoprzestrzeni Minkowskiego w układzie nie-inercjalnym

43342112 DDHH −=→−= , 42243113 DDHH =−→−= , 32234114 DDHH −=→−=41143223 DDHH −=→−= , 31134224 DDHH =−→−= , 21124334 DDHH −=→−=


67

• Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej Aby przyjrzeć się, jakie treści fizyczne zawierają zmodyfikowane równania Maxwella,zapiszemy je w postaci trójwymiarowej.

( ) ( )( ) 0 gdiv

gt

grot

=

∂∂

−=

B

BE

( ) ( )( ) ρ g gdiv

gt

g grot

=

∂∂

+=

D

DjH

( ) ( )( )

t

g

g2

1

t

g

g gradg2

1ggrad

grad div div

grad rot rot

∂∂

=∂

∂

=

ϕ⋅+ϕ=ϕ

×ϕ+ϕ=ϕ

aaa

aaa

( )

( )g gradg2

1 div

g gradg2

1

t

g

g2trot

⋅−=

×−∂∂

−∂∂

−=

BB

EBB

E

( )

g grad2g

1ρ div

g grad2g

1

t

g

2g

t rot

⋅−=

×−∂∂

+∂∂

+=

DD

HDD

jH

Przypominamy: g jest wyznacznikiem tensora metrycznego.

Ze zmodyfikowanych równań Maxwella wynika, że możliwa jest bardzo prosta metoda de-tekcji pól grawitacyjnych o zmieniającej się wartości wyznacznika tensora metrycznego 1).

1) Zbigniew Osiak: Teoria Względności – Fale Grawitacyjne. Self Publishig (2014), ISBN: 978-83-272-4269-3


68

9 TENSOR PĘDU-ENERGII POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO W PRÓŻNI

• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w inercjalnym układzie or-tonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni MinkowskiegoW próżni w inercjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego

czterowektor gęstości siły f~

jest czterowymiarową dywergencją tensora pędu-energii ••T :

••= divT~f lub

ν

µνµ ∂

∂=

x

Tf~

, ( )4,3,2,1=µ ,

κλκλµνγνµγµν ε+ε= FFgFFT o41

o , νµµν = TT , 0T4

1

=∑=α

αα ,

( ) ( )44321 f~ , f

~,f

~,f

~,f

~

~ff == , BjEf ×+ρ= , Ej ⋅= −1

4 icf~

.

W przypadku pola elektromagnetycznego w próżni bez ładunków i prądów

0f~=µ oraz 0

x

T=

∂

∂

ν

µν , ( )4,3,2,1=µ .

• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w dowolnym układziewspółrzędnych

κλκλµν

γνµγµν ε+ε= FFgFFT o4

1o

αβµν

νβµα = TTgg

γβαγ

γνµγ

νβµα = FFFFgg

αβµν

νβµα = gggg

κλκλ

αβγβαγ

αβ ε+ε= FFgFFT o41

o

βν

αβνα = TTg

γβνγ

γβαγνα = FFFFg

βν

βν

αβνα δ== ggg

κλκλ

βν

γβνγ

βν δε+ε= FFFFT o4

1o

• Ślad tensora pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni

0FFFFT4

1

4

1o

4

1

4

1o

4

1

=ε+ε−= ∑∑∑∑∑=κ =λ

κλκλ

=β =γ

γβγβ

=β

ββ

Kowariantna postać tensora pędu-energii polaelektromagnetycznego w próżni

Kontrawariantna postać tensora pędu-energii polaelektromagnetycznego w próżni

Mieszana postać tensora pędu-energii polaelektromagnetycznego w próżni

Wykorzystanie czterowymiarowego tensora pędu-energii w czterowymiarowej teorii gra-witacji jest możliwe tylko w przypadku pola elektromagnetycznego w próżni bez ładunkówi prądów, gdyż tylko wtedy

0T4

1 ; =∑

=ννµν , 0T

4

1 ; =∑

=β

αββ , 0T

4

1 ; =∑

=β

ββν .4,3,2,1=µ

69

POLE GRAWITACYJ�ETEORIA EI�STEI�A

1 RÓW�A�IA OGÓL�EJ TEORII WZGLĘD�OŚCI

• Podstawowe (główne) idee i postulaty OTW w sformułowaniu jakościowym bywa wywodzona z czterech zasad. Postuluje się,

by każde prawo fizyki miało jednakową postać we wszystkich układach odniesienia. Postulat

ten nazywany jest ogólną zasadą względności. W oparciu o równość masy bezwładnej i gra-

witacyjnej formułuje się zasadę równoważności, stwierdzającą, że natężenie jednorodnego

pola grawitacyjnego jest równoważne stałemu przyspieszeniu (ze znakiem minus) odpowied-

niego układu odniesienia. Zakłada się stałość maksymalnej wartości prędkości rozchodzenia

się sygnałów względem dowolnego układu odniesienia. Przyjmuje się, że masa i energia po-

wodują deformacje czasoprzestrzeni.

Prezentowane dalej sformułowanie OTW oprzemy o dwa następujące postulaty.

POSTULAT I (Równania pola, równania metryki)Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią zdarzeń z metryką

νµµν= dxdxgds2

zależną od rozkładu gęstości energii. Składowe tensora metrycznego czasoprzestrzeni są roz-

wiązaniami równań pola Einsteina

µνµνµν

π−=− T

c

G8Rg

2

1R

4.

POSTULAT II (Równania ruchu)Równania ruchu cząstki próbnej o masie m mają postać

( )

Γ+=

νµαµν

αα

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn

m

F2

2

22

~

,

gdzie αF~

oznacza składowe siły wypadkowej z pominięciem sił „grawitacyjnych” i „bez-

władnościowych”.

OTW zajmuje się badaniem zjawisk przebiegających w czterowymiarowej czasoprzes-

trzeni z tensorem metrycznym zależnym od rozkładu gęstości energii. OTW jest więc przede

wszystkim teorią tłumaczącą grawitację jako wynik zakrzywienia czasoprzestrzeni. Swobod-

ne cząstki próbne poruszają się po torach, którym odpowiadają w czasoprzestrzeni linie geo-

dezyjne. OTW zmusza do rewizji między innymi takich pojęć jak siły grawitacyjne i układy

inercjalne.

UWAGAPłaska czasoprzestrzeń w wyniku ruchu układu odniesienia nie stanie się zakrzywiona. Do-

wolnie skomplikowanej metryce wskutek ruchu układu w czasoprzestrzeni bez pola grawita-

cynego zawsze odpowiada tensor krzywizny •••R ze wszystkimi składowymi równymi zeru.

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA EINSTEINA

70

• Tensor pędu-energii Tensor pędu-energii zawiera informacje o źródłach pola grawitacyjnego, opisuje rozkładgęstości energii wszelakiej postaci (w tym ciśnienia).

� Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej

( ) pgv~v~ pc T 2 µννµ−µν +ρ+=

( ) pgv~v~ pc T 2αββα

−αβ +ρ+=


µ−µσ +ρ+=

� Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego

νµµν ρ= v~v~ T

βααβ ρ= v~v~ T

σµµ

σ ρ= v~v~ T

� Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni

κλκλµν

γνµγµν ε+ε= FFgFFT o4

1o

κλκλ

αβγβαγ

αβ ε+ε= FFgFFT o41

o

κλκλ

βν

γβνγ

βν δε+ε= FFFFT o4

1o

• Tensor krzywizny Einsteina Tensor krzywizny Einsteina zdefiniowany jako

RRG 21

dfµω

µω

µω δ−= , RgRG 2

1df

λµλµλµ −= , RgRG 21

df

λωλωλω −= ,

został skonstruowany z tensora krzywizny Ricciego

νβµνβµ =RR

df

lub αβµναν

βµ = RgR ,

który powstał przez kontrakcję tensora Grossmanna

σβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβνα

βµν ΓΓ+ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

df

.

Drugim składnikiem tensora Einsteina jest skalar krzywizny

αβαβ= RgR

df

.

Tensor Einsteina został tak zbudowany, by znikała jego dywergencja0G ; =µ

µω , 0G; =λµµ , 0G ; =ωλω .

Tensor Einsteina jest tensorem symetrycznym.ωµ

µω = GG , µλλµ = GG , ωλλω = GG .

Posiada w przestrzeni czterowymiarowej dziesięć niezależnych składowych.

KOME"TARZZe względu na wymiar składowych tensora pędu-energi, powinien nazywać się on tensoremgęstości energii.


71

Składowe tensora ∗µνT mają wymiar gęstości objętościowej energii 3Jm− (wymiar ciśnienia).

µνµνµν κ−=− TRgR 21

αβ=α =β

αβ∑∑= RgR4

1

4

1

df

4gg4

1

4

1

=αβ

=α =βαβ∑∑

RR4R 21 −=−

∑∑=α =β

αβαβ=

4

1

4

1

df

TgT

TgTT 21

df*

µνµνµν −=

4c

G8π=κ

( ) αβ=α =β =α =β

αβαβαβ

αβ∑∑ ∑∑κ−=− TgRgRg4

1

4

1

4

1

4

121

( ) αβ=α =β =α =β

αβαβαβαβ

αβ∑∑ ∑∑κ−=− TgRggRg4

1

4

1

4

1

4

121

∑∑∑∑∑∑=α =β

αβαβ

=α =β

αβαβ

=α =βαβ

αβ κ−=−4

1

4

1

4

1

4

121

4

1

4

1

TgggRRg

∑∑=α =β

αβαβκ=

4

1

4

1

TgR , TR κ=

( )TgTTgTRgTR 21

21

21

µνµνµνµνµνµνµν −κ−=κ+κ−=+κ−=

( )TgTR 21

µνµνµν −κ−= lub *TR µνµν κ−=

• Równania pola grawitacyjnego (Równania metryki czasoprzestrzeni) Równania pola grawitacyjnego, postulowane przez Einsteina, przedstawimy w trzech pos-taciach: kowariantnej, kontrawariantnej i mieszanej.

Równania pola w postaci kowariantnej

µνµνµν κ−=− TRgR 21

mkg

s102,073

c

G 8πκ

243

4 ⋅⋅== −

Równania pola w postaci kontrawariantnej ( ) µν

βνµαµνµν

βνµα κ−=− TggRgRgg 21

αβµν

βνµα = RRgg

αβµν

βνµα = gggg

αβµν

βνµα = TTgg

αβαβαβ κ−=− TRgR 21

Równania pola w postaci mieszanej ( ) µν

σνµνµν

σν κ−=− TgRgRg 21

σµµν

σν = RRg

σµµν

σν δ=gg

σµµν

σν = TTg

σµ

σµ

σµ κ−=δ− TRR 2

1

W dalszym ciągu podamy inną postać równań pola grawitacyjnego bez skalara krzywiznyw jawnej postaci.


72

W przypadku, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest ciecz doskonała:

W przypadku, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest pył bezciśnieniowy:

2cT ρ−= , 2cR κρ−=

W przypadku, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest pole elektromagnetyczne w próżni bezładunków i prądów:

• Skalar krzywizny

=++++

+++++

+++++

++++=

== αβ=α =β

αβ∑∑

4444

4343

4242

4141

3434

3333

3232

3131

2424

2323

2222

2121

1414

1313

1212

1111

4

1

4

1

df

RgRgRgRg

RgRgRgRg

RgRgRgRg

RgRgRgRg

RgR

3434

2424

2323

1414

1313

1212

4444

3333

2222

1111

Rg2Rg2Rg2

Rg2Rg2Rg2

RgRgRgRgR

+++

++++

++++=

βααβ = gg

βααβ = RR

αβαβ= RgR

df

σβασαβ = RgR

βσασ

αβ δ=gg

ββ

σβ

βσ

σβασ

αβαβ

αβ =δ=== RRRggRgRdf

∑=β

ββ=

4

1

RR

κTR =

∑=β

ββ=

4

1

TT

24

1

cp3T ρ−=∑=β

ββ

2cp3T ρ−=

( )2cp3 R ρ−κ=

αβαβ= TgT

df

σβασαβ = TgTβσασ

αβ δ=gg

ββ

σβ

βσ

σβασ

αβαβ

αβ =δ=== TTTggTgTdf

∑=β

ββ=

4

1

TT

TR κ=

∑=β

ββ=

4

1

TT

0T4

1

=∑=β

ββ

T = 0

R = 0

∑=β

ββκ=

4

1

TR


73

• Zasada zachowania pędu i energii w postaci mieszanej Tensor µ

ωT nie uwzględnia pędu i energii pola grawitacyjnego, i dlatego lokalne prawo za-

chowania tych wielkości przyjmuje postać

( )

0Tx

Tg

g

1T ; =Γ−

∂

∂= µ

λλωµµ

µωµ

µω 0gdetg ≠= ••

( )0Tg

x

Tg

g

1Tg ; =Γ−

∂

∂= µ

λλωµµ

µωµ

µω

( ) ( ) µµω

µµωµ

µωµ

µω =+= ;;;;

TgTggTTg

( ) ( ) ( ) 0Tgx

TgTg

;=Γ−

∂

∂= µ

λλωµµ

µω

µµω

µω

µω =T

~Tg

df

= gęstość mieszanego tensora pędu energii

0T~

x

T~

T~

; =Γ−∂∂

= µλ

λωµµ

µω

µµω

Ostatnie równanie można przedstawić w innej formie.

( ) 0t~T~

, =+ µµ

ωµω

µω

µω = t gt

~ = gęstość pseudotensora pędu energii pola grawitacyjnego, opisującego

rozkład pędu i energii pola grawitacyjnego

µω

µω = T gT

~ = gęstość tensora pędu energii źródeł pola grawitacyjnego

• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kontrawariantnej Zasadę zachowania pędu i energii przedstawimy teraz w postaci kontrawariantnej.

0T ; =µµω

λµωλ

µω = TgT

( ) 0Tg ;

=µ

λµωλ

0TggT ;; =+ λµµωλµωλ

λµ

0g ; =µωλ

0Tg ; =λµµωλ

0gdetg ≠= ••

0T; =λµµ Dywergencja kontrawariantnego tensora pędu energii jest równa zeru.

( )

0Tx

Tg

g

1T; =Γ+

∂

∂= κµλ

κµµ

λµλµµ


74

( )0T

x

Tg

g

1T; =Γ+

∂

∂= κµλ

κµµ

λµλµµ , ••= gdetg

( )0Tg

x

TgTg ; =Γ+

∂

∂= κµλ

κµµ

λµλµµ

( ) ( ) λµµ

λµµµ

λµ

µ

λµ =+= ;;;;TgTggTTg

( ) ( ) ( ) 0Tgx

TgTg

;=Γ+

∂

∂= κµλ

κµµ

λµ

µ

λµ

λµλµ =T~

Tgdf

= gęstość kontrawariantnego tensora pędu energii

0T~

x

T~

T~

; =Γ+∂

∂= λµλ

κµµ

λµλµµ

Powyższe równania też są zapisywane inaczej.

( ) 0t~T~

,

=+µ

λµλµ

λµλµ = tgt~ df

= gęstość pseudotensora pędu energii pola grawitacyjnego

λµλµ = TgT~ df

= gęstość tensora pędu energii źródeł pola grawitacyjnego

• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kowariantnej Prawa zachowania pędu i energii wyrazimy również w postaci kowariantnej.

0TT ;; == ωµµ

µµω

λµωλω

µ = TgT

( ) 0Tg ;

=µλµ

ωλ

0TggT ;; =+ µλµωλωλ

µλµ

0g; =ωλµ

0Tg ; =µλµωλ

0gdet ≠••

0T ; =µλµ Dywergencja kowariantnego tensora pędu energii jest równa zeru.

Uwzględniając definicję dywergencji kowariantnego tensora, mamy też

0TTx

TT

df

; =Γ−Γ−∂

∂= λα

αµµαµ

αλµµ

λµµλµ


75

• Równania pola grawitacyjnego a zasady zachowania pędu i energii Rozpatrzmy kontrawariantny tensor pędu-energii materii w postaci stosowanej w hydro-dynamice relatywistycznej dla cieczy nielepkiej

( ) µννµ−µν +ρ+= pgv~v~ pc T 2 .

Z równań pola grawitacyjnegoµνµν κ−= TG

wynika, że znikanie dywergencji tensora krzywizny Einsteina

∑=ν

µνν =

4

1; 0G , ( )1,2,3,4=µ

implikuje znikanie dywergencji tensora pędu-energii materii

∑=ν

µνν =

4

1

0T; , ( )1,2,3,4=µ .

Jest to, jak pokażemy, równoważne ze spełnieniem zasad zachowania pędu i energii materii. Zasada zachowania pędu reprezentowana jest przez trzy pierwsze równania

∑=β

αββ =

4

1; 0T , ( )1,2,3=α ,

a zasada zachowania energii przez jedno równanie

0T4

1

4; =∑

=σ

σσ .

Poniżej zajmiemy się równaniem bilansu gęstości objętościowej pędu.0T; =αβ

β , ( )3 2, 1,=α , ( )3,4 2, 1,=β

( ) αββα−αβ +ρ+= pgv~v~ pc T 2

( )[ ] 0pgv~v~ pc ;

2 =+ρ+β

αββα−

αβαβ δ=g

[ ] [ ] [ ]βββ ∂∂

=→x , ;

( )[ ] 0 pv~v~ pc x

4

1

2∑=β

αββα−β =δ+ρ+

∂∂

ictx4 =

µµ

µ γ=γ= vdt

dxv~ , ( )3,4 2, 1,=µ

( ) α− ρ+ v~ pc 2 = przestrzenne składowe gęstości objętościowej pędu

ρ+=ρ −∗ 2pc

( ) ( ) 0 vtx

pvv

x

3

1

22∑=κ

α∗α

κα∗κ =γρ

∂∂

+∂∂

+γρ∂∂ Równania bilansu gęstości objętościowej

pędu cieczy nielepkiej( )3 2, 1,=α


76

( ) ( ) 0 t

vvtx

pvv

x

3

1

2∑=κ

α∗α∗α

κα∗κ =

∂γ∂

γρ+γρ∂∂

γ+∂∂

+γρ∂∂

1→γ

( ) ρ→ρ+= −∗ 2pc ρ

( ) ( ) ακα

=κκ

α

∂∂

−ρ∂∂

−=ρ∂∂ ∑ x

pvv

xv

t

3

1

pvvdf

ακκαακ δ+ρ=Π = nierelatywistyczny tensor pędu

αρv = składowe wektora gęstości objętościowej pędu nierelatywistycznego

( ) ∑=κ

κ

ακα

∂

Π∂−=ρ

∂∂ 3

1 xv

t Nierelatywistyczne równanie bilansu gęstości objętościowej pędu

Zajmiemy się teraz równaniem bilansu gęstości objętościowej energii.

0T4; =σσ , ( )3,4 2, 1,=σ

pgv~v~ρT 444 σσ∗σ +=

[ ] 0pgv~v~ρ ;

44 =+σ

σσ∗

σσ δ→ 44g

[ ] [ ] [ ]σσσ ∂∂

=→x , ; , 0

t

p=

∂∂

µµ

µ γ=γ= vdt

dxv~ , ( )3,4 2, 1,=µ , ictx4= , icv4=

( ) ( )λ23

1λλ

2 icvγρx

icγρt

∗

=

∗ ∑ ∂∂

−=∂∂

( ) ( )λ23

1λλ

icvγρxt

γγicργicρ

tγ ∗

=

∗∗ ∑ ∂∂

−∂∂

−=∂∂

1→γ

( ) ρ→ρ+= −∗ 2pc ρ

( )β3

1ββ

ρv xt

ρ ∑= ∂

∂−=

∂∂

Nierelatywistyczne równanie bilansu masy (gęstości)

Równania bilansu składo-wych przestrzennych czte-rowektora gęstości objęto-ściowej pędu ( )3 2, 1,=α

Równanie bilansu składowej czasowejczterowektora gęstości pędu jest utożsa-miane z równaniem bilansu gęstości ob-jętościowej energii całkowitej [zobaczuwagi na stronie 59].


77

• Równania ruchu w płaskiej czasoprzestrzeni Wskutek przyspieszonego ruchu badanego układu względem inercjalnego układu odnie-sienia w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego bez pola grawitacyjnego zmienia się jej me-tryka. Po wyznaczeniu tensora metrycznego w układzie nieinercjalnym możemy zapisać rów-nania ruchu

( )

Γ+==

νµαµν

αα

α

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn a~

m

F~

2

222

df

, νµµν= dxdxgds2 .

αF~

= składowe siły wypadkowej, z pominięciem sił bezwładnościowych

ν

β

µ

α

αβµν ∂∂

∂∂

=x

x

x

xgg inerineriner = tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia

αinerx = współrzędne cząstki względem inercjalnego układu odniesienia

inergαβ = tensor metryczny w inercjalnym układzie odniesienia

Oznacza to, że swobodny ruch punktu materialnego w układzie nieinercjalnym w płaskiejczasoprzestrzeni Minkowskiego bez pola grawitacyjnego, na który działają tylko siły bez-władności, jest opisywany równaniami

0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+νµ

αµν

α


UWAGAPłaska czasoprzestrzeń w wyniku ruchu układu odniesienia nie stanie się zakrzywiona. Do-wolnie skomplikowanej metryce wskutek ruchu układu w czasoprzestrzeni bez pola grawita-cyjnego zawsze odpowiada tensor krzywizny •

••R ze wszystkimi składowymi równymi zeru.

• Równania ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni Przyspieszenie relatywistyczne cząstki w danym punkcie zakrzywionej czasoprzestrzenirównież opisywane jest równaniami

( )

Γ+==

νµαµν

αα

α

ds

dx

ds

dx

ds

xdc dssgn a~

m

F~

2

222

df


αF~

= składowe siły wypadkowej, z pominięciem sił „grawitacyjnych” i „bezwładnościo-

wych” µνg = tensor metryczny zakrzywionej czasoprzestrzeni, składowe tego tensora są rozwią-

zaniami równań pola

Oznacza to, że swobodny ruch cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni, na którą działajątylko siły „bezwładności” i „grawitacyjne”, jest opisywany równaniami

0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+νµ

αµν

α


Są to równania różniczkowe linii geodezyjnej (geodetyki). Swobodne cząstki poruszają się potorach, którym w zakrzywionej czasoprzestrzeni odpowiadają linie geodezyjne.

UWAGACo najmniej jedna składowa tensora krzywizny •

••R , odpowiadającego tensorowi metryczne-

mu µνg zakrzywionej czasoprzestrzeni, jest różna od zera.


78

2 PRZYBLIŻO"E ROZWIĄZA"IE DE SITTERA-EI"STEI"A

• Tensor krzywizny słabego pola grawitacyjnego

( )4321 x,x,x,x ,g ασασασασασ γ=γγ+δ=

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

+

=

=

=ασ

44434241

34333231

24232221

14131211

44434241

34333231

24232221

14131211

1000

0100

0010

0001

gggg

gggg

gggg

gggg

g

Założenia upraszczające:

1xx

,1x

,12

<<∂∂

γ∂<<

∂

γ∂<<γ

νµασ

νασ

ασ

[ ]

∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂= σ

µνµνσ

νµσµν

σ xxx2

1

[ ] [ ]

∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂==δ≈Γ σ

µνµνσ

νµσµν

σ=σ

µνσασ

αµν ∑

xxx2

1

4

1

[ ] [ ]

∂

∂−

∂

∂=

α

µνα

=αν

µαα

µν ∑x

x

R 4

1

[ ]µ

αααµα

µαα

αµαµα

α ∂γ∂

=

∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂=

x2

1

xxx2

1

[ ]

∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂= α

µνµνα

νµαµν

α xxx2

1

∂∂

γ∂−

∂∂

γ∂−

∂∂

γ∂+

∂∂

γ∂=

αµνα

αν

µα

=ανµ

αα

=ααα

µνµν ∑∑

xxxxxx2

1

xx2

1R

224

1

24

1

2

0xxxxxx

224

1

2

=

∂∂

γ∂−

∂∂

γ∂−

∂∂

γ∂αµ

νααν

µα

=ανµ

αα∑

µν=α

ααµν

µν γ=∂∂

γ∂= ∑ �2

14

1

2

xx2

1R

Stacjonarna metryka: ( )321 x,x,xµνµν γ=γ , 0x4

=∂

γ∂ µν

( ) ∑∑=α =σ

σαασ=

4

1

4

1

2 dxdxgds

[ ]

∂

∂−

∂∂

+∂

∂= σ

µνµνσ

νµσµν

σ x

g

x

g

x

g

2

1

[ ]∑=σ

µνσ

ασαµν =Γ

4

1 g

( )βµβ

αµν

4

1α

4

1β

βνα

αµβ

α

αµν

4

1αν

αµα

µν

ΓΓΓΓ

x

Γ

x

ΓR

∑∑

∑

= =

=

−+

+

∂

∂−

∂

∂=

∑=α

αα∂∂∂

=4

1

2

xx�

∑=α

αα∂∂∂

=∆3

1

2

xx

µν=α

ααµν

µν γ∆=∂∂

γ∂= ∑ 2

13

1

2

xx2

1R

0x

4

1

=∂

γ∂∑=ν

νµν i 0

4

1

=γ∑=σ

σσ ⇒


79

• Równania stacjonarnego słabego pola grawitacyjnego

Założenia upraszczająceSłabe pole:

1xx

,1x

,12

<<∂∂

γ∂<<

∂

γ∂<<γ

νµασ

νασ

ασ

Stacjonarna metryka:

( )321 x,x,xµνµν γ=γ , 0x4

=∂

γ∂ µν

Stacjonarny rozkład masy (gęstości):

( )321 x,x,xρ=ρ , 0x 4

=∂ρ∂

( ) 1cv1 2

122 =−=γ

−−

icv ,0vvv 4321 ====

ρ−= 244 cT , pozostałe składowe są równe zeru

µν=α

ααµν

µν γ∆=∂∂

γ∂= ∑ 2

13

1

2

xx2

1R

4444

4

1

4

1

TgTgT == αβ=α =β

αβ∑∑

µνµνµνµνµνµν

µνµνµν

ρδ+=δ−≈−=

=−=2

21

4421

4444

21

21*

cTTTTggT

TgTT

ρ−=≈−=−= 221

4421

4444

4421

444421

44*44 cTTggTTgTT

ρ−

ρ

ρ

ρ

=µν

000

000

000

000

c2

1T 2*

*µνµν κT2γ −=∆

*µνµν κTR −=

∑=α

αα

µνµν ∂∂

γ∂=

4

1

2

xx2

1R

TgTT 21*

µνµνµν −=

νµµν ργ= vvT 2

αβ=α =β

αβ∑∑= TgT4

1

4

1

icv4 =

µνµνµν γ+δ=g444444g γ+δ=

µνµνµν δ=δδ≈ 4444gg

1gg 4444

4444 =δδ≈

µνµν δ=δ

∑=α

ααµν

µν ∂∂

γ∂=γ∆

3

1

2

xx

Składowe tensora ∗µνT

mają wymiar gęstościobjętościowej energii

3Jm− (wymiar ciśnie-nia).

µνg , µνγ , µνδ są liczba-

mi bez miana.

Rozwiązaniami tych równań są

∫−=r

ρdV

4π

cκ γ

2

44 , ∫=−===r

ρdV

4π

cκ γγγγ

2

44332211 ,

pozostałe µνγ są równe zeru. W odległości 0rr ≥ poza obszaren źródłowej masy ∫= ρdVM

r

M

4π

cκ γγγγ

2

44332211 =−=== .


80

Tylko jedno z tych równańρcκ ∆γ 2

44 =ma postać równania Poissona

ρπ=ϕ∆ G4 .

−=

−=ϕ

∫

∫

r

ρdV

4π

cκ γ

r

ρdVG

2

44

∫−=ϕ

=

=ϕ

π=

r

ρdV

c

2G

c

2γ

γc

c

G 8κ

2244

442

21

4

Stacjonarne słabe pole grawitacyjne jest skutkiem wpływu stacjonarnego rozkładu masy nametrykę czasoprzestrzeni.

( ) νµµν= dxdxgds 2

µνµνµν γ+δ=g

44332211 γ−=γ=γ=γ

∫ρ

−=γr

dV

c

G2244

γ+

γ−

γ−

γ−

=µν

44

44

44

44

1000

0100

0010

0001

g =

ϕ+

ϕ−

ϕ−

ϕ−

−

−

−

−

2

2

2

2

c21000

0c2100

00c210

000c21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )2444

23222144

2 dx 1dxdxdx 1ds γ++++γ−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )242

2322212

2 dx r

ρdV

4π

cκ 1dxdxdx

r

ρdV

4π

cκ 1ds

−+++

+= ∫∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )24

2

232221

2

2 dx r

dV

c

G21dxdxdx

r

dV

c

G21ds

ρ−+++

ρ+= ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )24223222122 dx c21dxdxdx c21ds ϕ−+++ϕ+= −−

Potencjał grawitacyjny jest tensorem o niezerowych składowych diagonalnych.

( )

( )

( )

( )

ϕ+=−=γ+=γ=ϕ

ϕ−=−=γ−=γ=ϕ

ϕ−=−=γ−=γ=ϕ

ϕ−=−=γ−=γ=ϕ

1gccc

1gccc

1gccc

1gccc

112

21

442

21

442

21

df

44

332

21

442

21

332

21

df

33

222

21

442

21

222

21

df

22

112

21

442

21

112

21

df

11

( )µνµνµνµν δ−=γ=ϕ gcc 2212

21

−

−

−

−

=

γ

γ

γ

γ

=

ϕ

ϕ−

ϕ−

ϕ−

=ϕµν

1g000

01g00

001g0

0001g

c

000

000

000

000

c

000

000

000

000

44

33

22

11

221

44

33

22

11

221

W teorii grawitacji Newtona wykorzystuje się tylko składową ( )1gcc 442

21

442

21

44 −=γ=ϕ .


81

• Równania ruchu w przypadku słabego stacjonarnego pola grawitacyjnego Założymy za Einsteinem, że ruch swobodnego punktu materialnego jest opisywany równa-niami

0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+βα

µαβ

µ

,

νµµν= dxdxgds2 .

Są to równania różniczkowe linii geodezyjnej (geodetyki).

0ds

dx

ds

dx

ds

xd2

2

=Γ+βα

µαβ

µ

νµµν= dxdxgds2

µνµνµν γ+δ=g

1<<γµν

ictx4 =

( ) ( ) ( )224

1

242cv1dxdx −

=µ

µ −=∑cv <<

1dx

dx

dx

dx4

4

4

1

=<<

1dx

dx

dx

dx4

4

4

2

=<<

1dx

dx

dx

dx4

4

4

3

=<<

[ ]βασ

µσµαβ =Γ

g

[ ]

∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂= µ

αββ

αµαβµβα

µ xxx2

1

0x 4

4 ≈∂

γ∂ µ

mkg

s102,073

c

G 8πκ

243

4 ⋅⋅== −

W teorii Newtona:

442

21

44 c γ=ϕ=ϕ

µ

µ

∂ϕ∂

−=xdt

xd2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( )242224

22

dxcv1dx

dxdxdx ds

≈−=

=≈γ+δ=

−

µνµµνµν

( )242 dxds ≈4dxds ≈

( )0

dx

dx

dx

dx

dx

xd4424

2

=Γ+βα

µαβ

µ

( )0

dx

dx

dx

dx

dx

xd4

4

4

4

4424

2

=Γ+ µµ

( )0

dx

xd4424

2

=Γ+ µµ

[ ] [ ]

∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂==δ≈Γ µ

αββ

αµαβµβα

µβα

σµσµαβ xxx2

1

∂γ∂

−∂

γ∂+

∂

γ∂≈Γ µ

µµµ

xxx2

1 444

4

4

444

0x 4

4 ≈∂

γ∂ µ

µµ

∂γ∂

−≈Γx2

1 4444

( )

( )µ

µ

∂

γ∂≈

xdx

xd 4421

24

2

lub ( )

µ

µ

∂

γ∂−≈

x

c

dt

xd 442

21

2

2

µµµ

µ

Γ=∂ϕ∂

−=∂ϕ∂

−= 44244

2

2

cxxdt

xd = natężenie pola grawi-

tacyjnego, przyspieszenie grawitacyjne( )1gcc 44

221

442

21

44 −=γ=ϕ=ϕ = potencjał pola grawita-

cyjnego

2

2

244 dt

xd

c

1 µµ =Γ

1c2g 244 +ϕ= −

ϕ=γ −244 c2


82

• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odległość przestrzenną dwóch zdarzeń W układzie współrzędnych kartezjańskich w obszarze bez pola grawitacyjnego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )242322212

0 dxdxdxdxds +++= ,

w obecności pola grawitacyjnego:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )24

2

232221

2

2 dx rc

GM21dxdxdx

rc

GM21ds

−+++

+= , r

GM−=ϕ .

Porównując przyrosty współrzędnych przestrzennych bez pola i w polu, otrzymamy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]232221

2

232221 dxdxdx rc

GM21dxdxdx ++

+<++

a1a1 21+≅+ , bo ( ) a1aa1a1 2

412

21 +≅++=+ ,

rc

GM2a

2=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )232221

2

232221 dxdxdx rc

GM1dxdxdx ++

+<++

Oznaczmy przez odL i dL fizyczne (prawdziwe) odległości przestrzenne dwóch zdarzeń od-

powiednio bez pola i w polu:

( ) ( ) ( )232221o dxdxdxdL ++=

( ) ( ) ( ) 020202

232221

2dL

c1dL

c

21dL

c

21dxdxdx

rc

GM21dL

ϕ+≅

ϕ+=

ϕ−=+++=

Ld dLo <

Potencjał grawitacyjny ϕ ma wpływ na fizyczną odległość przestrzenną dwóch zdarzeń zacho-dzących w polu grawitacyjnym. W silniejszym polu grawitacyjnym fizyczna odległość przes-trzenna staje się większa.• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odstęp czasu między dwoma zdarzeniami Porównując przyrosty współrzędnych czasowych bez pola i w polu, otrzymamy

( ) ( ) 22

2

24

2

2224 dtc rc

GM21dx

rc

GM21 dtcdx

−−=

−<−= , r

GM−=ϕ

2

2

2 dt rc

GM21 dt

−>

a1a1 21−≅− bo ( ) a1aa1a1 2

412

21 −≅+−=− ,

rc

GM2a

2=

dt rc

GM1 dt

rc

GM21dt

22

−≅−>

Oznaczmy przez 0dτ i τd fizyczne (prawdziwe) odstępy czasu między dwoma zdarzeniami od-

powiednio bez pola i w polu:

dtd 0 =τ , dtrc

GM1dt

rc

GM21d

22

−≅−=τ , dt c

21dt

c

21d

22

ϕ−=

ϕ+=τ

τ>τ dd o

Potencjał grawitacyjny ϕ ma wpływ na fizyczny odstęp czasu między dwoma zdarzeniami za-chodzącymi w polu grawitacyjnym. W silniejszym polu grawitacyjnym fizyczny odstęp czasumiędzy dwoma zdarzeniami staje się mniejszy.


83

• Przesunięcie linii spektralnych w polu grawitacyjnym Zbadamy wpływ potencjału pola grawitacyjnego na częstotliwość światła. Niech punktyemisji i obserwacji światła (fotonu) będą różnymi punktami w czasoprzestrzeni.

em

ob

ob

em

d

d

ττ

=νν

dt c

21dt

c

21d

2

ob

2ob

ob

ϕ−=

ϕ+=τ

dt c

21dt

c

21d

2

em

2em

em

ϕ−=

ϕ+=τ

( ) c

11

c

1

c

1

c

1

c

1

c

21

c

21

obem22

em

2

ob

2

em

2

ob

2

em

2

ob

ob

em ϕ−ϕ+≈

ϕ+

ϕ−≈

ϕ−

ϕ−

≈ϕ

−

ϕ−

=νν

emdτ , obdτ = różniczka czasu fizycznego (prawdziwego) odpowiednio w punkcie emisji

i w punkcie obserwacji dt = nie przeskalowana różniczka czasu emν , obν = częstotliwość światła odpowiednio w punkcie emisji i w punkcie obserwacji

emϕ , obϕ = potencjał pola grawitacyjnego odpowiednio w punkcie emisji i w punkcie

obserwacji światła (fotonu)

r

GM−=ϕ

Częstotliwość światła wędrującego w czasoprzetrzeni jest tym większa, im większa jestbezwzględna wartość potencjału grawitacyjnego. Światło oddalające się od emitera, wcho-dząc w obszar słabszego pola zmniejsza swoją częstotliwość, a wchodząc w obszar silniej-szego pola zwiększa swoją częstotliwość. Miarą przesunięcia grawitacyjnego linii spektralnych jest wielkość

( ) ( )emob2obem2ob

em

ob

obemdf

G c

1

c

1 1 z ϕ−ϕ=ϕ−ϕ≈−

ν

ν=

ν

ν−ν=

±

−±=Lr

GM

r

GM

c

12

,

r

L1

1

c

gLz

2G

±±= ; gdy rL << , to

2G c

gLz ±=

L = odległość między punktami emisji i obserwacji g = przyspieszenie grawitacyjne w odległości r od centrum ± plus, gdy punkt emisji był bliżej centrum niż punkt obserwacji minus, gdy punkt emisji był dalej od centrum niż punkt obserwacji

Ostatnią relację potwierdzili doświadczalnie Pound i Rebka w 1960, wykorzystując zjawi-ska Mössbauera i Dopplera. Emiterem promieniowania gamma ( keV 14,4h =ν ) był Co57 ,

a absorberem Fe57 . Emiter i absorber były umieszczane na przemian, raz pierwszy na dole,a drugi na górze i odwrotnie. Grawitacyjne przesunięcie było niwelowane przesunięciemdopplerowskim.


84

3 DOKŁAD"E ROZWIĄZA"IE SCHWARZSCHILDA

• Próżniowe (zewnętrzne) rozwiązanie Schwarzschilda Do opisu płaskiej przestrzeni Minkowskiego używa się między innymi ortogonalnego uk-ładu współrzędnych sferycznych.

x

r

ϕ

θ

Czwartej osi nie zaznaczono

z

yictx

x

x

rx

4

3

2

1

=

ϕ=

θ=

=

Stacjonarne sferycznie symetryczne pole grawitacyjne, którego źródłem jest masa roz-mieszczona wokół środka układu współrzędnych z zachowaniem sferycznej symetrii, jestskutkiem zmiany metryki czasoprzestrzeni. Postulujemy, że w odpowiednio dużej odległościod źródła metryka pustej czasoprzestrzeni będzie miała postać:

( )22222222 ictdedsinrdrdreds νλ +ϕθ+θ+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )242322212221212 dxedxxsinxdxxdxeds νλ +++=βα

αβ= dxdxgds2

θ=

ν

λ

αβ

e000

0sinr00

00r0

000e

g22

2

( )( )

ν

λ

=

θ==

==

=

eg

sinrxsinxg

rxg

eg

44

22222133

22122

11

Pozostałe αβg są równe zeru.

( )

( )( )

=

=∆

=−

∆−=

−αααα

α+α

αββ+ααβ

44332211

1

ggggg

gg

11

g

1g

⇒ ( ) 1gg

−

αααα =

( )( )

ν−

−−−−

−−

λ−

=

θ==

==

=

eg

sinrxsinxg

rxg

eg

44

22222133

22122

11

Pozostałe αβg są równe zeru.

Założenie stacjonarności i sferycznej symetrii implikuje odpowiednio

0x

g4

=∂

∂ αβ , ( )321 x,x,xgg αβαβ = , 0x

g4

=∂

∂ αβ

, ( )321 x,x,xgg αβαβ = oraz

( ) ( )rx 1 λ=λ=λ , ( ) ( )rx 1 ν=ν=ν .

=

1000

0θsinr00

00r0

0001

g22

2

αβ

( )22222222 ictddsinrdrdrds +ϕθ+θ+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )242322212221212 dxdxxsinxdxxxdds +++=

ictict

cosrz

sinsinry

cossinrx

=

θ=

ϕθ=

ϕθ=


85

[ ]11

11111 11

11111 x2

1

x

gg

2

1g

∂λ∂

=∂∂

==Γ

[ ] 112211

122

221112 2

1 111

22 xex

gg

2

1

x

g

2

1

x

ggg λ−−=

∂∂

−=

∂∂

−∂∂

==Γ

[ ] 22113311

133

331113 3

1 111

33 xsinxex

gg

2

1

x

g

2

1

x

ggg λ−−=

∂∂

−=

∂∂

−∂∂

==Γ

[ ]11

4411144

441114 4

1 111

44 xe

2

1

x

gg

2

1

x

g

2

1

x

ggg

∂ν∂

−=∂∂

−=

∂∂

−∂∂

==Γ λ−ν

[ ] ( ) 11122222 1

2 222

212

12 xx

gg

2

1g

−=

∂∂

==Γ=Γ

[ ] 222

33222

333

32223 32

22233 xcosxsin

x

gg

2

1

x

g

2

1

x

ggg −=

∂∂

−=

∂∂

−∂∂

==Γ

[ ] ( ) 11133333 1

3 333

313

13 xx

gg

2

1g

−=

∂∂

==Γ=Γ

[ ] 22

33333 23

33332

323 xctg

x

gg

2

1g =

∂∂

==Γ=Γ

[ ]11

44444 14

44441

414 x2

1

x

gg

2

1g

∂ν∂

=∂∂

==Γ=Γ

Pozostałe γαβΓ są równe zeru.

414

111

313

111

212

111

414

414

313

313

212

2121

414

1

313

1

212

11 xxxR ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

1111

2

111

2

11xx

1

xx4

1

x4

1

xx2

1R

∂λ∂

−∂ν∂

⋅∂λ∂

−

∂ν∂

+∂∂ν∂

=

414

122

313

122

111

122

212

122

323

3231

122

2

323

22 xxR ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂

=

∂ν∂

+∂λ∂

−+−= λ−1

1

1

122

xx

2

1

xx

2

11e1R

414

133

212

133

111

133

323

233

313

1332

233

1

133

33xx

R ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−=

22221

11

12233 xsinR

xx

2

1

xx

2

11e1xsinR =

∂ν∂

+∂λ∂

−+−= λ−

313

144

212

144

111

144

414

1441

144

44 xR ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−=

∂ν∂

+

∂ν∂

+∂ν∂

∂λ∂

−∂∂ν∂

= λ−ν11

2

11111

2

44 xx

1

x4

1

xx4

1

xx2

1eR

Pozostałe składowe tensora αβR są równe zeru.


86

Równania pola grawitacyjnego w pustej przestrzeni po za obszarem żródłowej masy, zewzględu na 0T =µν , redukują się do 0R =µν .

0R11 = ⇔ 0xx

1

xx4

1

x4

1

xx2

11111

2

111

2

=∂λ∂

−∂ν∂

⋅∂λ∂

−

∂ν∂

+∂∂ν∂

=

=

0R

0R

33

22 ⇔ 0x

x2

1

xx

2

11e1

1

1

1

1 =

∂ν∂

+∂λ∂

−+− λ−

0R 44 = ⇔ 0xx

1

x4

1

xx4

1

xx2

111

2

11111

2

=∂ν∂

+

∂ν∂

+∂ν∂

∂λ∂

−∂∂ν∂

Odejmując stronami od trzeciego równania pierwsze równanie, otrzymujemy

0xx

1

xx

11111=

∂λ∂

+∂ν∂

⇒ 0xx 11

=∂λ∂

+∂ν∂

⇒ b+λ−=ν , constb = .

Podstawiając ten wynik do drugiego równania, mamy

0x

x1e11

1 =

∂λ∂

−+− λ− ⇔ 1x

ex1

1

=∂

∂ λ−

⇒ 1x

a1e +=λ− ,

1x

a1

1e

+=λ , consta = ,

+=== λ−+λ−ν1

bbb

x

a1eeeee ,

0bzał

= ⇒ 1x

a1ee +== λ−ν .

Po uwzględnieniu powyższej relacji, kwadrat elementu liniowego przyjmuje postać

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )241

2322212221211

12 dx

x

a1dxxsinxdxxdx

x

a1ds

++++

+=−

.

>>=

−=ϕ

γ=ϕ

γ+=

+=

01

442

21

4444

144

rrx

r

GM

c

1g

x

a1g

⇒ 2c

GM2a −=

Ostatecznie podstawowa różniczkowa forma kwadratowa pustej (swobodnej) czasoprzestrzeniSchwarzschilda dana jest przez

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2412

2322212221211

122 dx

xc

GM21dxxsinxdxxdx

xc

GM21ds

−+++

−=−

ϕ = potencjał grawitacyjny M = masa rozmieszczona symetrycznie wokół

środka układu współrzędnych wewnątrz sferyo promieniu 0r


87

• Równanie orbity

Poszukamy geodetyki leżącej w hiperpłaszczyźnie π=θ= 212x ( 0dx2 = , ( ) 0dx

22 = )

z metryką

( ) ( ) ( ) ( )24

12

2321211

12

2 dxxc

GM21dxxdx

xc

GM21ds

−++

−=−

.

λ−=ν

=

π=

1xsin

x22

212

⇒

=Γ

=Γ=Γ=Γ=Γ

∂λ∂

=Γ

−=Γ=Γ∂λ∂

=Γ−=Γ−=Γ

γαβ

λ−

λ−

.0 Pozostałe

x

1x

e2

1

xe

x2

1

1331

313

221

212

121

44

1133

122

1441

414

111

=

=

=

=Γ+βα

µαβ

µ

0ds

xd

0ds

dx

0x

0ds

dx

ds

dx

ds

xd

2

22

2

2

2

2

⇒

=Γ+

=Γ+

=

=

Γ+

Γ+

Γ+

0ds

dx

ds

dx2

ds

xd

0ds

dx

ds

dx2

ds

xd

00

0ds

dx

ds

dx

ds

dx

ds

xd

414

142

42

313

132

32

24144

23133

211112

12

0ds

dx

xe

2

1

ds

dxxe

ds

dx

x2

1

ds

xd24

12

231

21

12

12

=

∂λ∂

+

−

∂λ∂

+ λ−λ−

0ds

dx

ds

dx

x

2

ds

xd 31

12

32

=+ ⇒ ( ) 0ds

dx

ds

dxx2

ds

xdx

311

2

3221 =+ ⇒ ( ) 0

ds

dxx

ds

d 321 =

0ds

dx

ds

dx

xds

xd 41

12

42

=∂λ∂

− ⇒ 0ds

dx

ds

dx

xe

ds

xde

41

12

42

=∂λ∂

− λ−λ− ⇒ 0ds

dxe

ds

d 4

=

λ−

( ) 0ds

dxx

ds

d 321 =

⇒ ( ) A

ds

dxx

321 =

0ds

dxe

ds

d 4

=

λ− ⇒ Bds

dxe

4

=λ−

A, B = stałe związane z daną geodetyką

( )1xλ=λ , dlatego ds

dx

xds

d 1

1∂

λ∂=

λ oraz

ds

dx

xe

ds

de 1

1∂

λ∂−= λ−

λ−


88

Obliczymy kwadrat skalarny wektora ds

dxµ

stycznego do geodetyki.

• Obrót orbity Zauważmy, że otrzymane równanie orbity w stacjonarnym centralnie symetrycznym polugrawitacyjnym różni się od analogicznego równania w teorii Newtona członem 2ασ . Poszu-kamy rozwiązania tego równania w postaci 10 σ+σ=σ , gdzie ( )ϕ+=σ − cose1p 1

0 jest rozwią-

zaniem newtonowskim, a 1σ poprawką wynikającą z ogólnej teorii względności odpowie-dzialną za obrót orbity.

12xc

GM21ee −== λ−ν

π= 212x

1xsin 22 =

0ds

dx 2

=

( )21

3

x

B

ds

dx=

λ= Aeds

dx4

rx1 =

rc

GM21e

2−=λ−

r

1df

=σ

ϕ=3x2

r1

2

4 d

d

d

dr

r

1

ϕ=

ϕ

22 B

D

c

GM

p

1−=

2c

GM3=α

Dla Słońcam1044,4 3⋅≈α

λ= eg11

( )2122 xg =

( ) ( )21222133 xxsinxg ==

λ−ν == eeg44

( ) Dconstds

dxe

ds

dxx

ds

dxe

ds

dx

ds

dxg

242321

21

==

+

+

= λ−λ

µµ

µµ

( )λ−λ− −+−=

e

x

BDeA

ds

dx21

22

21

Ostatnie równanie dzielimy stronami przez

( ) 2

2341 B

ds

dxx =

, otrzymując

( ) ( )λ−λ− −+−=

e

x

1e

B

D

B

A

dx

dx

x

12122

22

3

1

41

3222222

22

r1

2

4 r

1

c

GM2

r

1

r

1

Bc

GMD2

B

D

B

A

d

d

d

dr

r

1+−−+−=

ϕ=

ϕ

32

22222

22

c

GM2

Bc

GMD2

B

D

B

A

d

dσ+σ−σ−+−=

ϕσ

Równanie to różniczkujemy obustronnie względem ϕ

σ+σ−σ−+−

ϕ=

ϕσ

ϕ3

22

2222

22

c

GM2

Bc

GMD2

B

D

B

A

d

d

d

d

d

d

ϕσ

σ+ϕσ

σ−ϕσ

−=ϕσ

ϕσ

d

d

c

GM6

d

d2

d

d

Bc

GMD2

d

d

d

d2 2

2222

2

a następnie dzielimy obustronnie przez

ϕσ

d

d2 , otrzymując

22222

2

c

GM3

B

D

c

GM

d

dσ+σ−−=

ϕσ

lub

22

2

p

1

d

dασ+σ−=

ϕσ

Równanie orbity


89

020

2

p

1

d

dσ−=

ϕσ

⇒ ϕ+=σ cosp

e

p

10

22

2

p

1

d

dασ+σ−=

ϕσ

⇒ 10 σ+σ=σ

( ) ( )21010

2

21

2

021

2

20

2

210

2

2

2

p

1

p

1

d

d

p

1

d

d

d

d

d

d

d

dσ+σα+σ−σ−=ασ+σ−=

ϕ

σ+σ−=

ϕ

σ+

ϕ

σ=

ϕ

σ+σ=

ϕ

σ

( )21012

12

d

dσ+σα+σ−=

ϕ

σ

α+ϕ

α+σ⋅ϕ

α+σ

α+ασ+ϕ

α=σ+

ϕσ

22

2

2

1121212

12

pcos

p

e cos

p

e2

p

2cos

p

e2

d

d

Człon ϕα − cosep2 2 odpowiada za obrót orbity, dając do 1σ nieokresowy wkład.

ϕα

=σ+ϕ

σcos

p

e2

d

d212

12

⇒ ϕϕα

=σ sinp

e21

ϕϕ

α+ϕ+=ϕϕ

α+ϕ+=σ+σ=σ sin

pcos

p

e

p

1sin

p

ecos

p

e

p

1210

( )

ϕα

−=ϕ∆

ϕ∆+ϕ≈ϕϕ∆−ϕ

p

cossincos

ϕ

α−ϕ+≈σ

pcos

p

e

p

1=

ϕ

α−+

p1cos

p

e

p

1

Obliczmy kąt δϕ , o który obraca się orbita w jej płaszczyźnie w czasie jednego obiegu.

( )

δϕ+π+ϕ

α−+=

π+ϕ

α−+ 2

p1cos

p

e

p

12

p1cos

p

e

p

1

( )δϕ+π+ϕ

α−=π+ϕ

α− 2

p12

p1

α+

απ=

α+

πα≈

α−πα

=δϕ − 2

2

1 pp2

p1

p

2

p1

1

p

2

2c

GM3=α

22 B

D

c

GM

p

1⋅−= ,

2L

GMm

p

1 µ=

mM

Mm

+=µ , ϕµ= &

2rL

( ) ( ) maxmin r e1r e1p −=+=

( )a e1p 2−=

minmax

minmax

rr

rre

+−

=

=µ

=−2

2

2 L

cm

B

D

( ) ( ) max

2

min

2

r e1GM

c

r e1GM

c

−=

+

=µ

⋅=α

2

2

2

2

L

mM

c

G3

p ( ) ( ) max2

min2 r e1

M

c

G3

r e1

M

c

G3

−⋅=

+⋅

( ) ( ) max2

min2 r e1

M

c

G6

r e1

M

c

G6

−⋅

π=

+⋅

π≈δϕ

( )a e1

M

c

G622 −

⋅π

≈δϕ


90

Drugie przybliżenie

22

2

d

dασ+σ−=

ϕσ

⇒ 10 σ+σ=σ

( ) ( ) ( )21010

2

21

2

021

2

20

2

210

2

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dσ+σα+σ+σ−=ασ+σ−=

ϕ

σ+σ−=

ϕ

σ+

ϕ

σ=

ϕ

σ+σ=

ϕ

σ

( )

ασ+σ⋅ϕα

+ϕα

=ασ+σασ+ασ=σ+σα=σ+ϕ

σ 2112

22110

20

21012

12

R

cos2

R

cos2

d

d

2

2

121

2

R

cos

d

d ϕα=σ+

ϕ

σ ⇒ ϕ

α+

α=σ 2

221 sinR3R3

ϕα

+α

+ϕ

=σ+σ==σ 22210 sin

R3R3R

cos

r

1 lub

ϕ

ϕ−

α+

α=coscos

2

1R

2

31

2

R3

r

2

Asymptoty krzywej opisanej powyższym równaniem otrzymamy podstawiając 0=σ .

• Zakrzywienie toru promieni świetlnych w polu grawitacyjnym Równanie orbity dla promienia świetlnego ( 0m = ), ze względu naznikanie członu 1/p, redukuje się do

2

2

2

d

dασ+σ−=

ϕ

σ,

r

1=σ , S2

r 2

3

c

GM3⋅==α ,

2Sc

GM2r = .

Równanie to rozwiążemy metodą kolejnych przybliżeń.

Pierwsze przybliżenie

020

2

d

dσ−=

ϕσ

⇒ R

cos0

ϕ=σ lub

ϕ=

cos

Rr0 ,

22

π≤ϕ≤

π− .

Rozwiązaniem jest równanie prostej we współrzędnych biegunowych.R jest odległością prostej od bieguna.

ϕα

−α

−=ϕ 2sinR3R3

cos

ϕ∆+π

=ϕ2

1

2 1sin 2 ≈ϕ

R3

2

2

1

2cos

α−=

ϕ∆+π

R3

2

2

1sin

α=ϕ∆

R3

2

2

1 α≈ϕ∆

Rc

GM4

R3

42

=α

≈ϕ∆

Promień świetlny poruszasię po krzywej, którejasymptoty tworzą kąt ϕ∆ .

Prosta

r

R x

ϕ

Źródło polagrawitacyjnegoo masie M

R

∆ϕ

∆ϕ21

∆ϕ21

∆ϕ21

2πϕ = +


91

• Metryka Schwarzschilda jako metryka zakrzywionej czasoprzestrzeni Przestrzeń n-wymiarową nazywamy zakrzywioną, jeżeli nie istnieje ortonormalny układwspółrzędnych względem którego różniczka odległości ds między każdymi dwoma blisko po-łożonymi punktami spełnia zależność

( ) ( )∑=µ

µ=n

1

22 dxds .

Innymi słowy, przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy, gdy tensor metryczny µνg

w każdym punkcie tej przestrzeni można przekształcić w tensor

=δ=′ αβαβ

1000

0100

0010

0001

g

przy pomocy ciągłej transformacji współrzędnych. Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składowe mieszanego tensorakrzywizny Grossmanna są równe zeru

0R =αβµν .

Miarą krzywizny przestrzeni zdarzeń (czasoprzestrzeni) jest przyrost współrzędnej kon-trawariantnej wektora związany z przesunięciem równoległym wzdłuż zamkniętego konturu. Przestrzeń jest zakrzywiona, jeżeli co najmniej jedna składowa tensora krzywizny •

•••Rjest różna od zera. Aby znaleźć różne od zera składowe mieszanego tensora krzywizny, odpowiadającegometryce Schwarzschilda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )24S2222221

S2 dxr

r1dsinrdrdr

r

r1ds

−+ϕθ+θ+

−=

−

, 2S c

GM2r = ,

potrzebne będą składowe kowariantnego tensora metrycznego i jego wyznacznik, składowekontrawariantnego tensora metrycznego i ostatecznie symbole Christoffela drugiego rodzajui ich pochodne.

1

S11rr r

r1gg

−

−== , 222 rgg ==θθ , θ==ϕϕ

2233 sinrgg ,

r

r1gg S

44xx 44 −==

θ== 2444332211 sinrggggg

r

r1gg S1

1111 −== − , 21

2222 rgg −− == , θ== −−− 221

3333 sinrgg ,

1

S144

44

r

r1gg

−−

−==

2S

1

S1111111

r

r

r

r1

2

1

r

gg

2

1⋅

−−=

∂

∂=Γ

−

, rr

r1

r

gg

2

1 S2211122 ⋅

−−=

∂

∂−=Γ

θ⋅

−−=

∂

∂−=Γ 2S33111

33 sinrr

r1

r

gg

2

1,

2SS44111

44r

r

r

r1

2

1

r

gg

2

1

−−=

∂

∂−=Γ

r

1

r

gg

2

1 2222221

212 =

∂

∂=Γ=Γ , θθ−=

θ∂

∂−=Γ cossin

gg

2

1 3322233

r

1

r

gg

2

1 3333331

313 =

∂

∂=Γ=Γ , θ=

θ∂∂

=Γ=Γ ctgg

g2

1 3333332

323

2S

1

S4444441

414 r

r

r

r1

2

1

r

gg

2

1⋅

−=

∂∂

=Γ=Γ−


92

( )( ) 22

S

SS111

rrr 2

rr2r

r −

−=

∂

Γ∂, 1

r

122 −=

∂Γ∂

, θ−=∂Γ∂ 2

133 sinr

, θθ

−−=

θ∂

Γ∂cossinr

r

r1 2 S

133

423S

144 rr

2

3rr

r S

−− −=∂

Γ∂,

2

212

r

1

r−=

∂Γ∂

, θ−θ=θ∂Γ∂ 22

233 cossin ,

2

313

r

1

r−=

∂Γ∂

θ−=

θ∂Γ∂

2

323

sin

1 ( )θ+−= 2ctg1 , ( )

( ) 22S

SS4

14

rrr 2

rr2r

r −

−−=

∂

Γ∂

Dysponując odpowiednimi „półproduktami”, możemy wyznaczyć różne od zera składowemieszanego tensora krzywizny

σβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβνα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR .

122

111

221

122

1221

212 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂=

r

r

2

1 S−=

133

111

331

133

1331

313 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂= θ−= 2S sin

r

r

2

1

144

111

441

144

1441

414 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂= 42

S3

S rr rr −− −=2

S2

S3S

r

GM

r

r1

rc

2

r

r1

r

r

−=

−=

212

221

111

212

2122

112 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂=

3S

1

S

r

r

r

r1

2

1−

−=

133

212

332

233

2332

323R ΓΓ+ΓΓ−θ∂

Γ∂= θ= 2S sin

r

r

144

212

2424R ΓΓ=

3S

1

S

r

r

r

r1

2

1−

−−=

313

331

111

313

3133

113 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂=

3S

1

S

r

r

r

r1

2

1−

−=

323

332

122

313

3233

223R ΓΓ+ΓΓ−θ∂

Γ∂=

r

rS−=

144

313

3434R ΓΓ=

3S

1

S

r

r

r

r1

2

1−

−−=

414

441

111

414

4144

114 rR ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂=

2

S4S

r

r1

r

r−

−−=

133

414

4334R ΓΓ−= θ= 2S sin

r

r

2

1

Czasoprzestrzeń Schwarzschilda jest zakrzywiona, ponieważ powyższe składowe miesza-nego tensora krzywizny są różne od zera.

UWAGAZe względu na pozorne osobliwości na biegunach sferycznego układu współrzędnych należyzałożyć, że 0≠θ i π≠θ .

0R rr 1414S =⇒= , ∞=−==−= 3

4343113

2424

2112 RRRR , ∞=4

114R

Przy r dążącym do nieskończoności wszystkie różne od zera składowe dążą do zera.


93

• Promień Schwarzschilda i czarne dziury

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2412

2322212221211

122 dx

xc

GM21dxxsinxdxxdx

xc

GM21ds

−+++

−=−

rx1 = , θ=2x , ϕ=3x , ictx4 =

22

2222222

1

22 dt

rc

GM21cd sinrdrdr

rc

GM21ds

−−ϕθ+θ+

−=

−

Dla 0r = i 2c

GM2r = metryka Schwarzschilda staje się osobliwa (nieokreślona), +∞=2ds .

Promieniem Schwarzschilda nazywany jest promień

2S c

GM2r =

kg

m105,1

c

G2 272

−⋅= .

Czarną dziurą jest obiekt o promieniu mniejszym od promienia Schwarzschilda, czyliobszar ograniczony powierzchnią, nazywaną horyzontem zdarzeń, z której prędkość ucieczkijest równa maksymalnej wartości prędkości rozchodzenia się sygnałów c. Żeby Ziemia byłaczarną dziurą musiałaby mieć promień równy około 9 mm.

M r Srr

rS

Proton kg1067,1 27−⋅ m102,47 54−⋅

Ziemia kg106 24⋅ m104,6 6⋅ m109 3−⋅ 9105,1 −⋅

Słońce kg102 30⋅ m107 8⋅ m103 3⋅ 6103,4 −⋅

Czarna dziura 1>

• Minimalna średnia gęstość czarnej dziury

Obiekt o gęstości powietrza byłby czarną dziurą, gdyby jego masa była rzędu kg1040 . Taką

masę posiada 9105 ⋅ Słońc.

V

M=ρ

3Sr π

3

4V =

2S c

GM2r =

23

6

3S

minM

1

G 32

c3

r

M

4

3⋅

π=

π=ρ

3

380

3

6

m

kg1073,0

G32

c3⋅=

π


94

• Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryceSchwarzschilda

( )24S222222

1

S2 dxr

r1d sinrdrdr

r

r1ds

−+ϕθ+θ+

−=

−

, Srr >

const=θ , 0d =θ , const=ϕ , 0d =ϕ

( ) 2 4S2

1

S2 dxr

r1dr

r

r1ds

−+

−=

−

24S

21

S

ds

dx

r

r1

ds

dr

r

r11

−+

−=

−

Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryceSchwarzschilda wyznaczymy z równania ruchu.

0ds

dx

ds

dxΓ

ds

dr

ds

drΓ

ds

rd 44144

1112

2

=⋅+⋅+ , Srr >

22

1

S

1

SS1111111

rc

GM

r

r1

r

r1

rr

r1

2

1

r

gg

2

1⋅

−−=

−

∂∂

−=

∂

∂=Γ

−−

22

SSS4411144

rc

GM

r

r1

r

r1

rr

r1

2

1

r

gg

2

1⋅

−−=

−

∂∂

−−=

∂

∂−=Γ

rrr a ea = , ( )

2

22

2

222

dfr

ds

rdc

ds

rdc dssgn a −==

24S

21

S

ds

dx

r

r1

ds

dr

r

r11

−+

−=

−

( ) ( )22

2

2 4S

2 1

S2

2r

r

GM

r

GM dssgn

ds

dx

r

r1

ds

dr

r

r1

r

GM dssgn a −==

−+

−=−

W przypadku małych prędkości 1dt

dr

c

12

2<<

, gdy odległość od centrum masy źródłowej

jest dużo większa od promienia Schwarzschilda 1r

rS << ,

2

2

2222

2

22

2

dt

rd

c

1

dt

dr

dt

dA

A2c

1

dt

rd

Ac

1

ds

rd−≈+−= ,

gdzie

−=2

2

44

1144 c

1

dt

dr

g

g1 gA ,

r

r1

g

1g S

1144 −== .

Radialne przyspieszenie grawitacyjne przyjmuje wtedy postać identyczną jak w teorii New-tona.

22

2

r

GM

dt

rd−=


95

• Fizyczna (przeskalowana) składowa radialna przyspieszenia grawitacyjnego swobod-nego spadku

rrr a ea = ,

2S c

2GMrr => , 0ds2 <

rrrr ˆ g ee = , 1ˆ r =e

rrrrr ˆ g a ea =

rrrr g a a =

2

r

r

GM a −=

rrr2r ˆ g

r

GM ea −=

rrr ˆ a ea =

rr2r g

r

GM a −=

1

S11rr r

r1gg

−

−==

2S c

2GMrr =>

r

r1

1

r

GM a

S2

r

−

⋅−=

• Wartość radialnego przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku

rr2

2

rr2rrr g

r

GM g

r

GM =

−=⋅= aaa

1

Srr r

r1g

−

−= , 2S c

2GMrr =>

r

r1

1

r

GM

S2

r

−

⋅=a


96

• Współrzędne Kruskala-Szekeresa Aby pozbyć się osobliwości w metryce Schwarzschilda

( )2S222222

1

S2 ctd r

r1 dsinrdrdr

r

r1 ds

−−ϕθ+θ+

−=

−

,

Kruskal 1) i niezależnie Szekeres 2) zaproponowali zamianę współrzędnych r , θ , ϕ , ct nawspółrzędne u , v , θ , ϕ .

We współrzędnych Kruskala-Szekeresa metryka Schwarzschilda przyjmuje postać:

( ) 2222222

S

3S2 d sinrdrdvdu

r

rexp

r

r4ds ϕθ+θ+−

−=

UWAGAr nie jest zmienną, a jedynie parametrem określonym w uwikłanej postaci przez

−=−<

−=−>

SS

22S

SS

22S

r

r exp

r

r1 uv ,rr

r

r exp1

r

r vu ,rr

Linie stałego r są hiperbolami o asymptotachuv = i uv −= .

W szczególności0r = , 1uv 22 =− .

Mamy też

Srr = , 0vu == .

Dla radialnie poruszających się fotonów: 0ds2 = , 0d =θ , 0d =ϕ , mamy:

0dudv 22 =− , 1du

dv2

=

, 1

du

dv+= albo 1

du

dv−= .

Na diagramie v od u oznacza to, że radialnie poruszające się fotony są reprezentowane przezlinie proste nachylone pod kątami o45 albo o135 .

1) M. D. Kruskal: Maximal Extension of Schwarzschild Metric. Physical Review 119, 5(September 1, 1960) 1743-1745.

2) Gy. Szekeres: On the singularities of a Riemannian manifold. Publicationes Mathematicae.Institutum Mathematicum Universitatis Debreceniensis 7 (1960) 285-301.

2S c

GM2rr => ,

SS

2

1

S

df

r2

ctcosh

r2

r exp1

r

r u

−= ,

SS

2

1

S

df

r2

ctsinh

r2

r exp1

r

r v

−=

2S c

GM2rr =< ,

SS

2

1

S

df

r2

ctsinh

r2

r exp

r

r1 u

−= ,

SS

2

1

S

df

r2

ctcosh

r2

r exp

r

r1 v

−=


97

• Rozwiązanie Schwarzschilda a przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina Przybliżone rozwiązanie de Sittra-Einsteina, badane w poprzednim rozdziale, oparte byłona ortonormalnym układzie wyjściowym. Dyskutowane w tym rozdziale rozwiązanie Schwar-zschilda bazowało na sferycznym układzie wyjściowym. Poniżej porównamy oba te rozwią-zania.

44S222222

1

S2 dxdx r

r1 d sinrdrdr

r

r1 ds

−+ϕθ+θ+

−=

−

, 2S c

GM2r =

222 zyxr ++= , z

yxtg arc

22 +=θ ,

x

ytg arc=ϕ ,

2

222

r

yxsin

+=θ

+

+

−

−=

−

2

1

S2

22 dx1 1

r

r 1

r

xds +

+

−

−

−

2

1

S2

2

dy 11r

r 1

r

y

( ) +

−+

+

−

−+

−24S2

1

S2

2

dx r

r1 dz 11

r

r 1

r

z

( )dydz yzdxdz xzdxdy xy 1r

r 1

r

21

S2

++

−

−+

−

, g = 1.

Przyjmując przybliżenie Srr >> , r

r1

r

r1 S

1

S +≈

−

−

, otrzymujemy przybliżone rozwią-

zanie Einsteina, pochodzące z 1915.

+

−+

++

++

+= 44S2S

2

2

2S2

2

2S2

2

2 dxdx r

r1 dz 1

r

r

r

z dy 1

r

r

r

y dx 1

r

r

r

x ds

dydz r

r

r

yz2dxdz

r

r

r

xz2dxdy

r

r

r

xy2 S

2S

2S

2+++ .

Zakładając dodatkowo, że

1rc

xyGM2

r

xyr2323

S <<= , 1rc

xzGM2

r

xzr2323

S <<= , 1rc

yzGM2

r

yzr2323

S <<= ,

dostajemy równanie przypominające przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina.

44S2S2

22S

2

22S

2

22 dxdx

r

r1 dz

r

r

r

z 1dy

r

r

r

y 1dx

r

r

r

x1 ds

−+

++

++

+=

Ślad tensora metrycznego, odpowiadającego powyższej formie metrycznej, wynosi cztery,a jego dywergencja w przybliżeniu jest równa zeru.

0r

r1

r

z

r

y

r

x S

2

2

2

2

2

24

1

=

−++=γ∑

=ααα , ( ) 4 g

4

1

4

1

=γ+δ= αα=α

αα=α

αα ∑∑ , 0x

g4

1

≈∂

∂∑=ν

νµν .


98

• Swobodny spadek na wirującą planetę

( ) ( ) ( ) ( ) ( )24S2222221

S2 xdr

r1dsinrdrrd

r

r1sd ′

′

−+ϕ′θ′′+θ′′+′

′

−=′−

, 2S c

GM2r =

rr ′= drrd =′ θ′=θ θ=θ′ dd 411 xci ′ω−ϕ′=ϕ −− 411 xdcidd ′ω+ϕ=ϕ′ −−

44 xx ′= 44 dxxd =′

( )242222S

42211222222

1

S2

dxsinrcr

r1

dx d sinrci 2dsinrdrdrr

r1ds

θω−−+

+ϕθω+ϕθ+θ+

−=

−

−−−

Na podstawie formy metrycznej możemy wyznaczyć składowe kowariantnego tensorametrycznego i jego wyznacznik oraz składowe kontawariantnego tensora metrycznego.

1

S11rr r

r1gg

−

−== , 222 rgg ==θθ , θ==ϕϕ

2233 sinrgg

θω== −−

ϕ

221134x

sinrcigg 4 , θω== −−

ϕ

221143x

sinrcigg 4

θω−−== − 2222S44xx

sinrcr

r1gg 44

( ) θ=−= 24343444332211 sinrgggg ggg ( )1

S22

34344433 rr1sinrgggg −−θ=−

r

r1gg S1

1111 −== − , 21

2222 rgg −− == ,

34344433

4433

gggg

gg

−=

1

S11

34344433

344334

r

r1ci

gggg

ggg

−−−

−ω−=

−

−== ,

1

S

34344433

3344

r

r1

gggg

gg

−

−=

−=

ϕ

−

ϕ+

+

−−=dt

d

gc

θsinr 2ω

dt

d

g

θsinr

dt

dθ

g

r

dt

dr

g

g

c

11gdtc ds

442

222

44

222

44

22

44

11244

222

Układ nieprimowany obraca sięwraz z planetą względem układu pri-mowanego ze stałą prędkością kąto-wą ωωωω skierowaną wzdłuż osi Z .Mamy więc t′ω−ϕ′=ϕ . Pozostałewspółrzędne w obu układach sąidentyczne.

ω

ϕ

θ

z

x

r


99

one

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju:

Symbole Christoffela drugiego rodzaju (przybliżone wartości podano dla Srr >> ):

[ ] [ ] θω⋅=∂

∂== 2431 4

3 4 1

3 sinric

1

r

g

2

1

[ ] [ ] θω⋅−=∂

∂== 22

22S441 4

4 4 1

4 sinrc

1

r

r

2

1

r

g

2

1

[ ] [ ] θθ=θ∂

∂== cossinr

g

2

1 2332 3

3 3 2

3

[ ] [ ] θθω⋅=θ∂

∂== cossinr

ic

1g

2

1 2342 3

4 3 2

4

[ ] [ ] θθω⋅=θ∂

∂== cossinr

ic

1g

2

1 2342 4

3 4 2

3

[ ] [ ] θθω⋅−=θ∂

∂== cossinr

c

1g

2

1 22

2442 4

4 4 2

4

[ ] [ ] θω⋅−=∂

∂−== 2343 4

1 4 3

1 sinric

1

r

g

2

1

[ ] [ ] θθω⋅−=θ∂

∂−== cossinr

ic

1g

2

1 2343 4

2 4 3

2

[ ]2S

2

S111 11 r

r

r

r1

2

1

r

g

2

1 ⋅

−−=∂

∂=

−

[ ] rr

g

2

1 222 2

1 −=∂

∂−=

[ ] θ−=∂

∂−= 2333 3

1 sinrr

g

2

1

[ ] θθ−=θ∂

∂−= cossinr

g

2

1 2333 3

2

[ ] θω⋅+−=∂

∂−= 22

22S444 4

1 sinrc

1

r

r

2

1

r

g

2

1

[ ] θθω⋅=θ∂

∂−= cossinr

c

1g

2

1 22

2444 4

2

[ ] [ ] rr

g

2

1 221 2

2 2 1

2 =∂

∂==

[ ] [ ] θ=∂

∂== 2331 3

3 3 13 sinr

r

g

2

1

[ ] [ ] θω⋅=∂

∂== 2341 3

4 3 14 sinr

ic

1

r

g

2

1

[ ]2222

1

S2S

1

S1 11

11111

r

GM

c

1

r

GM

c

1

r

r1

r

r

r

r1

2

1g ⋅−≈⋅⋅

−−=⋅

−−==Γ

−−

[ ] rrr

r1g S2 2

1 111

22 −≈⋅

−−==Γ

[ ] θ−≈θ⋅

−−==Γ 22S3 31

11133 sinrsinr

r

r1g

[ ] θω⋅−≈θω⋅⋅

−−==Γ=Γ 22S4 3

1 111

43134 sinr

ic

1sinr

ic

1

r

r1g

[ ] θω⋅+⋅−≈

θω⋅+⋅−

−==Γ 22

222

22

22SS4 4

1 111

44 sinrc

1

r

GM

c

1sinr

c

1

r

r

2

1

r

r1g

[ ]r

1g 2 1

2 222

212

12 ==Γ=Γ

[ ] θθ−==Γ cossin g 3 32

22233

[ ] θθω⋅−==Γ=Γ cossinic

1g 4 3

2 222

43234

[ ] θθω⋅==Γ cossinc

1g 2

2

4 42

22244


100

Trójwymiarowe równania ruchu swobodnej cząstki:

ds

dx

ds

dx

ds

dx

ds

d2

ds

d

ds

d

ds

d

ds

d

ds

dr

ds

dr

ds

rd 44144

4134

133

122

1112

2

Γ−ϕ

Γ−ϕϕ

Γ−θθ

Γ−Γ−=

ds

dx

ds

dxΓ

ds

dx

ds

d2Γ

ds

d

ds

dΓ

ds

dθ

ds

dr2Γ

ds

θd 44244

4234

233

2122

2

−ϕ

−ϕϕ

−−=

ds

dx

ds

d2

ds

d

ds

d2

ds

dx

ds

dr2

ds

d

ds

dr2

ds

d 4324

323

43

143

132

2 θΓ−

ϕθΓ−Γ−

ϕΓ−=

ϕ

dt

d

ic

1

ds

d≈ ,

2

2

22

2

dt

d

c

1

ds

d−≈ , gdy Srr >> , 222 cr <<ω , 22 cv <<

ϕϕ

ϕϕϕ

θθ

θθθ

ϕ+

θ+=

gg

dt

d

gg

dt

d

gg

dt

rd2

2

2

2

rr

rrr2

2 eeea

1g rr = , rg =θθ , θ=ϕϕ sinrg

dt

d

dt

dθsinr

dt

dθ

dt

dθr

dt

dθsinr 2ωθsinr ω

r

GMg

dt

rd 2222

2rr2

2 ϕϕ++

ϕ++−=⋅

dt

d

dt

dcosθ sinθr

dt

dθ

dt

dr2

dt

dcosθ sinθr 2ωcosθ sinθr ωg

dt

θd 2θθ2

2 ϕϕ+−

ϕ+=⋅

dt

d

dt

dθcosθ2r

dt

d

dt

dr2sinθ

dt

dθcosθr 2ω

dt

drsinθ 2ωg

dt

d2

2 ϕ−

ϕ−−−=⋅

ϕϕϕ

θ=

−

ω⋅−

=ω

⋅+22

34344433

34443433

sinr

1

ggggic

gg

icgg

0ggggic

gg

icgg

34344433

33344443 =

−

ω⋅+−

=ω

⋅+

[ ] [ ]r

1

icggsinrgg 343323 1

4 343 1

3 333

313

13 =

ω⋅+⋅θ=+=Γ=Γ

[ ] [ ]icr

ω

r

r1

r

r

2

11

icr

ω ggΓΓ

S

222

rr

rωc

1

SS4 14

344 13

33341

314

>>

>>

−

≈

−⋅⋅−⋅=+==

[ ] [ ] θ=

ω⋅+⋅θθ=+=Γ=Γ ctg ic

ggcossinrgg 343323 24

343 23

33332

323

[ ] [ ] θω⋅=

ω⋅+⋅θθω⋅=+=Γ=Γ ctg

ic

1

icggcossinr

ic

1gg 343324 2

4 344 2

3 333

42324

[ ] [ ] 0gg 3 14

443 13

43431

413 =+=Γ=Γ

[ ] [ ]22

rr1

S22

4 14

444 13

43441

414 r

GM

c

1

r

r1

r

GM

c

1ggΓΓ

S

⋅≈

−⋅⋅=+==>>−

[ ] [ ] 0gg 3 24

443 23

43432

423 =+=Γ=Γ

[ ] [ ] 0gg 4 24

444 23

43442

424 =+=Γ=Γ


101

Przyspieszenie swobodnie spadającej cząstki na wirującą planetę w przypadku słabo za-krzywionej czasoprzestrzeni dla małych prędkości zapiszemy w postaci wektorowej umożli-wiającej fizyczną interpretację poszczególnych członów.

BCOG aaaaa +++= rr

rr

gˆ

ee = ,

θθ

θθ =

gˆ

ee ,

ϕϕ

ϕϕ =

gˆ

ee

Ga = przyspieszenie grawitacyjne

Oa = przyspieszenie odśrodkowe

Ca = przyspieszenie Coriolisa

Ba = przyspieszenie balistyzne

r2G ˆr

GMea ⋅−=

θ⋅θθω+⋅θω= eea ˆcossinrˆsinr 2r

22O

ϕϕ

θθ ⋅+⋅+⋅=×= eeeωva âââ2 CCr

rCC

ϕϕ

θθ ⋅+⋅+⋅= eeeω ˆωˆωˆω r

r

ϕϕ

θθ ⋅+⋅+⋅= eeev ˆvˆvˆv r

r

θω=ω cosr , θω−=ωθ sin , 0=ωϕ

dt

drvr = ,

dt

drv

θ=θ ,

dt

dsinrv

ϕθ=ϕ

( )θϕϕθ ω−ω= vv 2a rC =

dt

dsinr2 2 ϕ

θω

( ) vv 2a rrC

ϕϕθ ω−ω= =dt

dcossinr2

ϕθθω

( ) vv 2a rrC ω−ω= θθϕ =

dt

dcosr2

dt

drsin2

θθω−θω−

ˆdt

dcosr2

dt

drsin2ˆ

dt

dcossinr2ˆ

dt

dsinr2 r

2C ϕθ ⋅

θθω+θω−⋅

ϕθθω+⋅

ϕθω= eeea

( ) ϕθ

θϕϕ ⋅θ+θω−⋅θω+⋅θω= eeea ˆv cosv sin 2ˆv cos2ˆv sin2 r

rC

ϕ

θ

⋅

ϕθθ−

ϕθ−+

+⋅

ϕϕθθ+

θ−+⋅

ϕϕθ+

θθ=

e

eea

ˆdt

d

dt

dcosr2

dt

d

dt

drsin2

ˆdt

d

dt

dcossinr

dt

d

dt

dr2ˆ

dt

d

dt

dsinr

dt

d

dt

dr r

2B

( ) ( ) ( ) ϕϕθϕ

θϕϕθϕϕθθ ⋅θ−−+⋅θ+−+⋅+= eeea ˆctgvvvv2

r

1ˆctgvvvv2

r

1ˆvvvv

r

1 rrrB

UWAGAZe względu na pozorne osobliwości na biegunach sferycznego układu współrzędnych należyzałożyć, że 0≠θ i π≠θ .


102

Przyspieszenie swobodnie spadającej cząstki na wirującą planetę w przypadku słabo za-krzywionej czasoprzestrzeni dla małych prędkości zapiszemy ponownie w postaci wektoro-wej.

ϕθ ++= aaaa r rr

rr

gˆ

ee = ,

θθ

θθ =

gˆ

ee ,

ϕϕ

ϕϕ =

gˆ

ee

r2222

2r ˆdt

d

dt

dsinr

dt

d

dt

dr

dt

dsinr2sinr

r

GMea ⋅

ϕϕθ+

θθ+

ϕθω+θω+−=

θθ ⋅

ϕϕθθ+

θ−

ϕθθω+θθω= ea ˆ

dt

d

dt

dcossinr

dt

d

dt

dr2

dt

dcossinr2cossinr2

ϕϕ ⋅

ϕθθ+

ϕθ+

θθω+θω−= ea ˆ

dt

d

dt

dcosr2

dt

d

dt

drsin2

dt

dcosr2

dt

drsin2

Niezerowy wypadkowy moment obrotowy ( )ar ×m działający na cząstkę testową o masiem powoduje precesję jej momentu orbitalego.

( ) ( )ϕθ ++×=× aaarar rmm

( ) ϕθ ×+×+×=× arararar mmmm r

rˆrer =

rrr â ea = , dt

d

dt

dsinr

dt

d

dt

dr

dt

dsinr2sinr

r

GMa 2222

2r

ϕϕθ+

θθ+

ϕθω+θω+−=

θθθ = ea â , dt

d

dt

dcossinr

dt

d

dt

dr2

dt

dcossinr2cossinra 2 ϕϕ

θθ+θ

−ϕ

θθω+θθω=θ

ϕϕϕ = ea â ,

ϕθθ+

ϕθ+

θθω+θω−=ϕ dt

d

dt

dcosr2

dt

d

dt

drsin2

dt

dcosr2

dt

drsin2a

( ) ϕϕθθ ×+×+×=× eeeeeear âˆrmâˆrmâˆmrm rrrrr

( ) ( ) ( ) ( )ϕϕθθ ×+×+×=× eeeeeear ˆˆramˆˆramˆˆramm rrrrr

0ˆˆ rr =× ee

ϕθ +=× eee ˆˆˆ r

θϕ −=× eee ˆˆˆr

( ) θϕϕθ −+=× eear ˆramˆramm

Niezerowy wypadkowy moment obrotowy można przedstawić w postaci sumy momen-tów odpowiadających odpowiednio przyspieszeniom 1a oraz 2a

ϕθ ⋅

ϕθθ+

ϕθ−⋅

ϕϕθθ+

θ−= eea ˆ

dt

d

dt

dcosr2

dt

d

dt

drsin2ˆ

dt

d

dt

dcossinr

dt

d

dt

dr21

ϕθ ⋅

θθω+θω−⋅

ϕθθω+θθω= eea ˆ

dt

dcosr2

dt

drsin2ˆ

dt

dcossinr2cossinr2

2 .

Tylko drugi z tych momentów obrotowych zależy od wartości prędkości kątowej ω wirowa-nia planety.


103

PRZYKŁADYPierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w płaszczyźnie równikowejZ założenia

constr = , 0dt

drvr == , π=θ 2

1 , 0dt

drv =

θ=θ ,

dt

dr

dt

dsinrv

ϕ=

ϕθ=ϕ .

Mamy więc0r =a lub 0BCOG =+++ aaaa

. 0r

vv v2r

r

GM 22

=+ω+ω+−ϕϕ

ϕ

Powyższe równanie jest trójmianem kwadratowym względem ϕv , posiadającym dwa rozwią-

zania.

r

GMrv1 +ω−=ϕ i

r

GMrv2 −ω−=ϕ

Prędkość ϕ1v należy nadać rakiecie wystrzelonej w kierunku wschodnim, przyspieszenie

Coriolisa ( )ωva ×= ϕ1C1 m2 skierowane jest wtedy radialnie od centrum źródła pola. Prędkość

ϕ2v należy nadać rakiecie wystrzelonej w kierunku zachodnim, przyspieszenie Coriolisa

( )ωva ×= ϕ2C2 2m skierowane jest wtedy radialnie ku centrum źródła pola. Okres obiegu orbi-

ty w kierunku wschodnim jest większy niż w kierunku zachodnim.

Ogólna postać w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równań ruchu swobodnej cząstki próbnejw polu grawitacyjnym wirującej planetyAby przedstawić w ogólnej postaci w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równania ruchu swobodnejcząstki próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety, potrzebne będą następujące relacje

222 Adtcds −= ,

dtA c ids = ,

dt

d

A ic

1

ds

d= ,

2

2

2

dt

d

Ac

1

ds

d

−=

,

dt

d

dt

dA

A2c

1

dt

d

Ac

1

ds

d222

2

22

2

+−= ,

ϕ

−

ϕ+

+

−=dt

d

gc

θsinr 2ω

dt

d

g

θsinr

dt

dθ

g

r

dt

dr

g

g

c

11gA

442

222

44

222

44

22

44

11244 .

s

rad103,7

doba

rad2 5−⋅=π=ω

m104,6r 6⋅=

kg106M 24⋅=

2

311

skg

m1067,6G

⋅⋅= −

s

m105,0

s

m2,467r 3⋅≈=ω ,

s

m109,7

r

GM 3⋅=

s

m104,7v 3

1 ⋅+=ϕ , ϕϕϕ = ev v11

s

m104,8v 3

2 ⋅−=ϕ , ϕϕϕ = ev v 22


104

dt

dr

dt

dA

2A

1

dt

d θrsin

dt

dθr

dt

dθrsin 2ωθrsinω

dt

dr

c

1

r

r11

r

GM

r

r1

dt

rd

22

2222

2

2

2

S2

S2

2

+

ϕ+

+

+ϕ

++

−−−

−=

−

dt

dθ

dt

dA

2A

1

dt

d θ cos sinθ

dt

dθ

dt

dr

r

2

dt

dθ cos sinθ 2ωθ cos sinθω

dt

θd2

2

2

2

+

ϕ+−

ϕ+=

dt

d

dt

dA

2A

1

dt

dr

r

r

r

r1 ω

dt

d

dt

dθ2ctgθ

dt

d

dt

dr

r

2

dt

dθctgθ 2ω

dt

dr

r

2ω

dt

d2S

1

S2

2 ϕ+

−+

ϕ−

ϕ−−−=

ϕ−

Równania te opisują efekty spowodowane przyspieszeniami – grawitacyjnym, odśrodkowym,Coriolisa, de Sittera oraz Lensego-Thirringa. Swobodna cząstka próbna w polu grawitacyj-nym wirującej planety porusza się po rozecie eliptycznej, orbitalny moment pędu (prostopad-ły do płaszczyzny orbity) ulega precesji, a okres obiegu orbity zależy od kierunku ruchucząstki. Pierwsze zjawisko wyjaśnił Albert Einstein w 1915. Drugi i trzeci efekt opisali –Willem de Sitter w 1916 oraz Joseph Lense i Hans Thirring w 1918.

Dla Srr >> oraz 22222θ

2r crω , v, v,v <<ϕ równania ruchu swobodnej cząstki próbnej redukują

się do

2

22

222

22

2

dt

d θrsin

dt

dθr

dt

dθrsin 2ωθrsinω

r

GM

dt

rd

ϕ+

+ϕ

++−=

2

2

2

2

dt

d cosθ sinθ

dt

dθ

dt

dr

r

2

dt

dcosθ sinθ 2ωcosθ sinθω

dt

θd

ϕ+−

ϕ+=

dt

d

dt

dθ2ctgθ

dt

d

dt

dr

r

2

dt

dθctgθ 2ω

dt

dr

r

2ω

dt

d2

2 ϕ−

ϕ−−−=

ϕ

Równania te stanowią uproszczony opis efektów spowodowanych przyspieszeniami – grawi-tacyjnym, odśrodkowym, Coriolisa oraz balistycznym.

Kiedy planeta nie wiruje, równania ruchu stają się jeszcze prostsze.

2

22

22

2

dt

d θrsin

dt

dθr

r

GM

dt

rd

ϕ+

+−=

2

2

2

dt

d cosθ sinθ

dt

dθ

dt

dr

r

2

dt

θd

ϕ+−=

dt

d

dt

dθ2ctgθ

dt

d

dt

dr

r

2

dt

d2

2 ϕ−

ϕ−=

ϕ

Z równań tych wynika, że swobodna cząstka próbna porusza się po orbicie eliptycznej(w szczególności kołowej), orbitalny moment pędu (prostopadły do płaszczyzny orbity) jeststały, a okres obiegu orbity nie zależy od kierunku ruchu cząstki.


105

4 ROZWIĄZA3IE WEYLA

• Metryka Weyla W 1917 Weyl badał statyczne osiowo symetryczne rozwiązanie próżniowych równańpola. Źródłem takich pół jest nieruchoma masa, rozmieszczona z zachowaniem osiowejsymetrii. Poszukiwane rozwiązanie próżniowych równań pola w układzie współrzędnych cy-lindrycznych (walcowych)

zx1 = , ρ=2x , ϕ=3x , ictx4 =

ma postać

ν= eg11 , ν= eg22 , ( )2233 xeg µ−= , µ= eg44

Odpowiada mu różniczkowa forma kwadratowa

( ) ( ) ( ) ( )2422222 dxedededzeds µ−µ−νν +ϕρ+ρ+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )24232222212 dxedxxedxedxeds µµ−νν +++= .

Ponadto zakładamy, że

)x,x( 21µ=µ , )x,x( 21ν=ν , 0x

x

x

x

4343

=∂

ν∂=

∂

ν∂=

∂

µ∂=

∂

µ∂.

Podstawiając składowe tensora metrycznego do próżniowych równań pola, (symbole Christo-ffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego, odpowiadające temu rozwiązaniu, za-mieściliśmy w Niezbędniku) otrzymujemy

0x

x

x

1

xxxx R2

2

12222

2

11

2

11 =

∂

µ∂+

∂

ν∂+

∂∂

ν∂+

∂∂

ν∂= ,

0x

x

2

x

x

x

1

xxxx R2

22

2

22222

2

11

2

22 =∂

µ∂−

∂

µ∂+

∂

ν∂−

∂∂

ν∂+

∂∂

ν∂= ,

( ) 0x

x

1

xxxx Reex2

2222

2

11

2

33

22 =∂

µ∂+

∂∂

µ∂+

∂∂

µ∂=− νµ−

,

( ) 0x

x

1

xxxxRee2 Reex2

2222

2

11

2

4433

22 =∂

µ∂+

∂∂

µ∂+

∂∂

µ∂==− νµνµ−

.

Powyższe równania zapiszemy w innej formie

0x

x

1

xxxx 2222

2

11

2

=∂

µ∂+

∂∂

µ∂+

∂∂

µ∂

2

12222

2

11

2

x

x

x

1

xxxx

∂µ∂

−=∂

ν∂+

∂∂ν∂

+∂∂ν∂

∂

ν∂+

∂

µ∂−

∂

µ∂=

∂

µ∂222

2

2

2

1 x

x

x

2

x

x

Zauważmy, że pierwsze z nich jest równaniem Laplace'a we współrzędnych cylindrycznych.


106

5 ROZWIĄZA3IE KERRA

• Metryka Kerra W 1963 roku Kerr 1) zaproponował stacjonarne osiowo symetryczne rozwiązanie próżnio-wych równań pola grawitacyjnego, którego źródłem jest wirująca masa. Metryka Kerra zapi-sywana jest zwykle w postaci podanej w 1967 przez Boyera i Lindquista 2).

( )

( ) ( )2

222S

222

2S

22222

2S

22222222

2S

2

2222

ctd θcosar

rr 1ctdd

θcosar

θsinrr 2a

d θsin θcosar

θsinrr aar dθ θcosar dr

arr r

θcosards

+−−⋅ϕ

+−

+ϕ

++++++

+−+

=

2S c

GM2r =

cukładu masa całkowita

z osi względemukładu pędu momenta

⋅= , [ ] ma =

Dla 0a = metryka Kerra redukuje się do metryki Schwarzschilda

( )2S222222

1

S2 ctd r

r1 d sinrdrdr

r

r1 ds

−−ϕθ+θ+

−=

−

.

Dla dużych wartości r metryka Kerra przyjmuje graniczną postać

( ) ( )2S2S222222

1

S2 ctd r

r1 ctd d θsin

r

r2ad θsinrdθrdr

r

r1 ds

−−ϕ−ϕ++

−=

−

.

Metryka Kerra przedstawiana jest również jako

( ) ( ) ,ctd ρ

rr 1ctd d

ρ

θsinrr 2a

d θsin ρ

θsinrr aar dθρdr

∆

ρds

2

2S

2

2S

222

2S

222222

22

−−⋅ϕ−

+ϕ

++++=

gdzie

θ+=ρ 2222 cosar , 2S

2 ar rr +−=∆ , 2S c

GM2r = ,

cukładu masa całkowita

z osi względemukładu pędu momenta

⋅= ,

1xr = , 2x=θ , 3x=ϕ , 4xct = .

1) R. P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special

metrics. Physical Review Letters 11, 5 (1963) 237-238.

2) R. H. Boyer and R. W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. Journalof Mathematical Physics 8, 2 (1967) 265-281.


107

6 FALE GRAWITACYJ3E

• Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni są równaniami fa-lowymi

Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni

02

1

tc

1

xx2

1

xx2

1R

2

2

2

3

1

24

1

2

=γ=∂

γ∂−

∂∂

γ∂=

∂∂

γ∂= µν

µν

=βββ

µν

=ααα

µνµν ∑∑ � , µνµνµν γ+δ=g , 1 <<γµν

mają postać równania falowego

0tc

1

xxxx 2

2

2

3

1

24

1

2

=γ=∂

γ∂−

∂∂

γ∂=

∂∂

γ∂µν

µν

=βββ

µν

=ααα

µν ∑∑ � 2

2

2

3

1

2

tc

1

xx ∂

∂−

∂∂

∂=∑

=βββ

�

Fale grawitacyjne polegają na rozchodzeniu się z prędkością światła w pustej przestrzenizmian składowych tensora metrycznego. Źródłem fal grawitacyjnych jest niestacjonarne polegrawitacyjne. Jak pokażemy dalej, fale grawitacyjne są falami poprzecznymi. Składowe tensora krzywizny Ricciego niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnegow próżni [porównaj ze stroną 78] (przemnożone przez dwa) stanowią lewe strony równańfalowych, jeżeli

0xxxxxx

222

=∂∂γ∂

−∂∂

γ∂−

∂∂γ∂

αµνα

ανµα

νµαα

lub

0xxxx

22

=

∂∂γ′∂

+∂∂

γ′∂− αµ

νααν

µα ,

gdzie

∑=σ

σσµνµνσσµνµνµν γδ−γ=γδ−γ=γ′4

121

21 .

Warunek ten jest spełniony, gdy

0xxx 2

1 =∂

γ∂δ−

∂

γ∂=

∂

γ′∂ν

σσµνν

µν

ν

µν

lub

0x

4

1

=∂

γ∂∑

=νν

µν i const4

1

=γ∑=σ

σσ lub w szczególności 04

1

=γ∑=σ

σσ .

0x

4

1

=∂

γ∂∑

=νν

µν i 04

1

=γ∑=σ

σσ ⇒ 0xxxxxx

222

=∂∂γ∂

−∂∂

γ∂−

∂∂γ∂

αµνα

ανµα

νµαα

Uwzględniając, że µνµνµν γ+δ=g , 1 <<γµν , ostatnie żądanie można zapisać w postaci

0x

g4

1

=∂

∂∑

=νν

µν i 4g4

1

=∑=σ

σσ .

Jeżeli składowe diagonalne tensora metrycznego są w przybliżeniu równe jedności a pozos-tałe składowe są w przybliżeniu zerami, jego dywergencja znika, a ślad jest równy wymiarowiczasoprzestrzeni, to składowe tensora krzywizny Ricciego niestacjonarnego słabego polagrawitacyjnego w próżni (przemnożone przez dwa) stanowią lewe strony równań falowych.


108

• Cechowanie TT W małym obszarze czasoprzestrzeni fale grawitacyjne można traktować jako fale płaskie.Rozwiązanie równania falowego dla fali płaskiej ma postać

( )ξγ=γ µνµν fmax .

( )ξf = dowolna funkcja argumentu ξ dwukrotnie różniczkowalna względem czasu i współrzędnych przestrzennych αα=+++=−++=ξ xnxnxnxnxnctznynxn 44332211

zyx

in 4 =

ictx 4 =

1nnn 2z

2y

2x =++

( )zyx n,n,n =n = wersor kierunku rozchodzenia się fali

( )4n, ~ nn =

( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n 24232221 =+++

Przez odpowiednie cechowanie (wybór układu odniesienia) można liczbę niezależnychniezerowych składowych tensora ••γ zredukować do dwóch.

( ) ( ) ( ) ( ) νµννµννµνµννν

µν

ξ∂ξ∂

γ=∂

ξ∂ξ∂ξ∂

γ=∂

ξ∂γ=ξγ

∂

∂=

∂

γ∂n

f

x

f

x

ff

xxmaxmaxmaxmax

0x

=∂

γ∂ν

µν

0n =γ νµν

Fala z założenia porusza się w kierunku osi z. ( )43 n,n,00, ~ =n

0nn 44

33 =γ+γ µµ

04 =γµ czyli 044342414 =γ=γ=γ=γ

Różnymi od zera składowymi tensora ••γ są

11γ , 22γ i 2112 γ=γ .

04

1

=γ∑=α

αα czyli 044332211 =γ+γ+γ+γ

Niezależnymi różnymi od zera składowymi tensora ••γ są

+γ=γ−=γdf

2211 i ×γ=γ=γdf

2112 .Przeprowadzone cechowanie

0x

=∂

γ∂ν

µν , 04 =γµ , 04

1

=γ∑=α

αα

nazywane jest cechowaniem TT (Transverse – Traceless) czyli poprzecznościowo – bezślado-wym. Pozwala ono tensorowi metrycznemu ••g nadać postać

γ−γ

γγ+

=

γ−γ

γγ

+

= +×

×+

+×

×+

••

1000

0100

001

001

0000

0000

00

00

1000

0100

0010

0001

gTT .


109

• Fale grawitacyjne są falami poprzecznymi W nieobecności fal grawitacyjnych kwadrat różniczki odległości między dwoma sąsiedni-mi cząstkami próbnymi wynosi

22220 dzdydxdl ++= .

W obecności fal grawitacyjnych

( ) ( ) dy dx2dzdy 1 dx 1 dxdxgdl 2223

1

3

1

TT2×++

βα

=α =βαβ γ++γ−+γ+== ∑∑ ,

( ) dy dx2dydxdldl 2220

2×+ γ+−γ+= .

Równania falowe w przypadku fal płaskich biegnących wzdłuż osi z przybierają postać

0tc

1

z 22=

∂γ∂

−∂γ∂ ++ oraz 0

tc

1

z 22=

∂γ∂

−∂

γ∂ ×× .

Ich harmonicznymi rozwiązaniami są( ) ϕ=−= +++ cosγctz k cosγγ maxmax oraz ( ) ϕ=−= ××× cosγctz k cosγγ maxmax ,

gdzie

λπ

=π

=2

cT

2k , cT=λ , ( ) t

T

2z

2ctz k

π−

λπ

=−=ϕ .

Składowe +γ i ×γ opisują dwie niezależne polaryzacje fal grawitacyjnych przesunięte

względem siebie w przypadku fal harmonicznych o kąt 4π w płaszczyźnie x, y.

PRZYKŁAD

ϕ= ++ cosγγ max , 0=γ× , ( )2220

2 dydx dldl −γ+= +

( )+γ+= 1 dldl 20

215 , ( )+γ−= 1 dldl 2

0237 , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

0t = , 0=γ+ , 20

215 dldl = , 2

0237 dldl = , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

Tt 41= , max

++ γ=γ , ( )max20

215 1 dldl +γ+= , ( )max2

0237 1 dldl +γ−= , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

Tt 21= , 0=γ+ , 2

0215 dldl = , 2

0237 dldl = , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

Tt 43= , max

++ γ−=γ , ( )max20

215 1 dldl +γ−= , ( )max2

0237 1 dldl +γ+= , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

0=γ+ , ϕ= ×× cosγγ max , dy dx2dldl 20

2×γ+=

20

215 dldl = , 2

0237 dldl = , ( )×γ+= 1 dldl 2

0226 , ( )×γ−= 1 dldl 2

0248

0t = , 0=γ× , 20

215 dldl = , 2

0237 dldl = , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

Tt 41= , max

×× γ=γ , 20

215 dldl = , 2

0237 dldl = , ( )max2

0226 1 dldl ×γ+= , ( )max2

0248 1 dldl ×γ−=

Tt 21= , 0γ =× , 2

0215 dldl = , 2

0237 dldl = , 2

0226 dldl = , 2

0248 dldl =

Tt 43= , maxγγ ×× −= , 2

0215 dldl = , 2

0237 dldl = , ( )max2

0226 1 dldl ×γ−= , ( )max2

0248 1 dldl ×γ+=

Zbadamy jak oddziałują z falami grawitacyjnymi cząstki próbnepoczątkowo rozmieszczone w równych odstępach na okręgu wpłaszczyźnie (x, y) w odległości ( )2

121 nλz += od środka.

x

y

2 4

68

1 5

7

3


110

Składowe +γ i ×γ opisują dwie niezależne polaryzacje harmonicznej fali grawitacyjnej prze-

sunięte względem siebie o kąt 4π w płaszczyźnie x, y.

• Równania niestacjonarnego słabego pola poruszających się ciał Równania niestacjonarnego pola grawitacyjnego poruszających się ciał

µνµνµν

π−=− T

c

G8RgR

421 , αβ

αβ= RgR

lub

∗µνµν

π−= T

c

G8R

4, TgTT 2

1µνµν

∗µν −= , αβ

αβ= TgT , Tc

G8R

4

π= ,

w przypadku słabych pól

µνµνµν γ+δ=g , 1 <<γµν , 1x

<<∂

γ∂κ

µν , 1xx

2

<<∂∂

γ∂κλ

µν , 0x

=∂

γ∂ν

µν , 0=γσσ ,

można przedstawić jako

∗µνµνµνµνµν

π−=γ′=γ== T

c

G8gR

421

21

21 �� , ∑

=ααα∂∂

∂=

4

1

2df

xx� , σσµνµνµν γδ−γ=γ′

21

df

.

Ogólne rozwiązania niejednorodnych równań falowych

∗µνµν

π−=γ T

c

G164

�

mają postać

( )( )

dV R

T

c

G4t,z,y,x

V

cR

4

t,x,y,x

∫∫∫ ′

−=′′′γ

′∗µν

µν , ( )cRt,z,y,z ′− = argument.

R ′ = odległość od elementu objętości dV do punktu obserwacji ( )z,y,x ′′′ , w którym

wyznaczamy µνγ

( )z,y,x = współrzędne elementu objętości dV

c

R′ = opóźnienie

x

y

2 4

681 5

7

3

t = 4T y

t = 2T

x

y

2 4

681 5

7

3

t = 4T3

t = 0

γ+ = 0

t = 2T

γ+ = 0

x

y

2 4

681 5

7

3

t = 4T

γ+ = 0

x

y

2 4

68

1 5

7

3

t = 4T3

γ+ = 0

x

y

2 4

681 5

7

3

t = 0

x

y

2 4

681 5

7

3x

y

2 4

681 5

7

3

x

y

2 4

681 5

7

3

γ = 0+ γ = 0+ γ = 0+γ = 0+


111

UWAGANależy podkreślić, ze czas t związany jest z aktem pomiaru składowej µνγ w punkcie obser-

wacji. Natomiast czas

′−

c

Rt mierzony jest w punkcie, w którym znajduje się element dV .

Różnica ta wynika z faktu, że informacje o zmianie w rozkładzie źródłowych mas docierają

do punktu obserwacji z opóźnieniem c

R′ , ponieważ fale grawitacyjne rozchodzą się z pręd-

kością o stałej wartości c .

0 = początek układu współrzędnych umieszczony dla wygody w środku źródłowych mas ( )z,y,x = współrzędne elementu objętości dV

( )z,y,x ′′′ = współrzędne punktu obserwacji r = promień wodzący poprowadzony ze środka układu współrzędnych do elementu dV R′ = promień wodzący poprowadzony z elementu dV do punktu obserwacji R = promień wodzący poprowadzony ze środka układu współrzędnych do punktu obserwacji

rRR −=′

Aby uprościć rozwiązanie równania falowego należałoby przyjąć, że RR =′ . Zbadamyprzy jakich założeniach jest możliwe takie przybliżenie.

RR

r1R

R2

r

R1R

R

r

R

21Rr2RR

2

2

22

2

2

22 ≈

−≈

+

⋅−≈+

⋅−=+⋅−=′ rRrR

rR

Przy dużych odległościach punktu obserwacji od źródłowych mas w stosunku do ich wza-jemnych odległości w mianowniku wyrażenia podcałkowego można przyjąć przybliżenie

RR =′ . Ponieważ element objętości dV nie zależy od R, to można R wynieść przed całkę.

Argument w liczniku wyrażenia podcałkowego ( )cRt,z,y,x ′− przy tym samym rzędzie

przybliżenia i dodatkowym założeniu, że źródłowe masy poruszają się z prędkościami dużo

mniejszymi od prędkości światła, można zastąpić argumentem ( )cRt,z,y,x − .

Uwzględniając powyższe uwagi, otrzymujemy przybliżone rozwiązania opóźnione nieje-dnorodnych równań falowych.

( ) ( )dV TRc

G4t,z,y,x

V

cR

4t,z,y,x ∫∫∫ −=′′′γ ∗

µνµν , ( )cRt,z,y,x − = argument

( )z,y,x ′′′

R′

r

(x, y, z)

R

0

z,y,x


112

Celem poniższych rachunków będzie wyrażenie całek objętościowych ze składowych ∗αβT

( ) 3,2,1, =βα przez składową ∗44T .

0x

T=

∂

∂ν

∗µν ⇒

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∗

γ

∗γ

∗α

γ

∗αγ

4444

44

x

T

x

T

x

T

x

T

( ) 3,2,1,, =γβα

β∗αβ

γ

∗αγ ⋅

∂

∂−=⋅

∂

∂x

x

Tx

x

T44

4

4444

4

44

x

xTT

x

x

x

xTx

x

T

Tx

xTT

x

x

x

xTx

x

T

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂−=⋅

∂

∂−

−∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=⋅

∂

∂

β∗α∗

α

ββ∗αβ

∗α

∗αβγ

β∗αγ∗

αβγ

β

γ

β∗αγβ

γ

∗αγ

4

4

x

xTT

x

xT

∂

∂−=−

∂

∂ β∗α∗

αβγ

β∗αγ

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ β∗α

∗αβγ

β∗αγ

∂∂

−=−∂

∂

V

44VV

dVxTx

dVTdV x

xT, ( ) 3,2,1,, =γβα

0dV x

xT

V

=∂

∂∫∫∫ γ

β∗αγ

( )∫∫∫∫∫∫ α∗β

β∗α

∗αβ +

∂∂

=V

44421

V

dV xTxT x

dVT , ( ) 3,2,1, =βα

βα∗

βαγ

∗γ ⋅

∂∂

−=⋅∂

∂xx

x

Txx

x

T4

444

α∗β

β∗αγ

βα∗γ

γ

βα∗γγ

βα∗γβα

γ

∗γ −−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=⋅

∂

∂xTxT

x

xxT

x

xxT

x

xxTxx

x

T44

44

44

4

44

4444

44

444

x

xxT

x

xxT

x

xxTxx

x

T

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂−=⋅

∂∂

−βα∗βα

∗βα∗

βα∗

4

4444

4

x

xxTxTxT

x

xxT

∂

∂−=−−

∂

∂ βα∗α∗

ββ∗

αγ

βα∗γ

( ) dVxxTx

dV xTxT dV x

xxT

V

444V

44

V

4

∫∫∫∫∫∫∫∫∫ βα∗α∗β

β∗αγ

βα∗γ

∂∂

−=+−∂

∂, ( ) 3,2,1,, =γβα

0dV x

xxT

V

4 =∂

∂∫∫∫ γ

βα∗γ

( ) dVxxTx

dV xTxT V

444V

44 ∫∫∫∫∫∫ βα∗α∗β

β∗α ∂

∂=+ , ( ) 3,2,1, =βα

dVxxTxx2

1dVT

V

4444

2

V∫∫∫∫∫∫ βα∗∗

αβ ∂∂∂

= , ( ) 3,2,1, =βα


113

dVxxTxx2

1dVT

V

4444

2

V∫∫∫∫∫∫ βα∗∗

αβ ∂∂∂

= , ( ) 3,2,1, =βα

TgcT 442122

44 −ργ−=∗ , 1≈γ

ictx 4 =

ρ = gęstość spoczynkowa źródłowych mas

dVxx c2

Tg

t

Rc

G2

V2

442

2

4

βααβ ∫∫∫

+ρ

∂

∂=γ

0c2

Tg2

44 ≈

( ) ( ) dV xx t,z,y,x tRc

G2t,z,y,x

V

cR

2

2

4

βααβ ∫∫∫ −ρ

∂

∂=′′′γ , ( ) 3,2,1, =βα

Aby spełnić wymogi przyjętego cechowania TT044332211 =γ+γ+γ+γ , 044342414 =γ=γ=γ=γ ,

należy tensor momentu kwadrupolowego źródłowych mas

dVxx dV

dfβα

αβ ∫∫∫ρ=

zastąpić jego wersją bezśladową

( )dV xxxx3 DV

df

∫∫∫ γγαβ

βααβ δ−ρ= .

( )dV xxxx3 tRc3

G2

V2

2

4TT ∫∫∫ γγ

αββα

αβ δ−ρ∂∂

=γ ( ) 3,2,1,, =γβα

UWAGAW rachunkach przeprowadzonych w tym paragrafie przyjęliśmy następujące założenia.

µνµνµν γ+δ=g ,

1 <<γµν , 1x

<<∂

γ∂κ

µν , 1xx

2

<<∂∂

γ∂κλ

µν ,

0x

=∂

γ∂ν

µν , 0=γσσ lub 0x

g=

∂

∂ν

µν , 4g =σσ lub 0x

=∂

γ′∂ν

,

cv << , ( ) 1cv1 21

22 ≈−=γ−− ,

RR ≈′ , rR >> .Środek układu współrzędnych znajduje się w środku źródłowych mas.

0x

Tg

x

gT

x

T

x

T21

21 =

∂∂

−∂

∂−

∂

∂=

∂

∂νµνν

µνν

µνν

∗µν , 0

x

T=

∂

∂ν

µν , 0x

Tg =

∂∂

νµν ,

0dV x

xT

V

=∂

∂∫∫∫ γ

β∗αγ , 0dV

x

xxT

V

4 =∂

∂∫∫∫ γ

βα∗γ ,

0c2

Tg2

44 ≈ ,

044342414 =γ=γ=γ=γ .


114

• Emisja fal grawitacyjnych Przypomnijmy: fale grawitacyjne są zaburzeniami czasoprzestrzeni w postaci zmian skła-dowych tensora metrycznego, rozchodzącymi się w próżni z prędkością światła. Moc energii wysyłanej w formie fal grawitacyjnych przez poruszające się ciała, będąceemiterami, dana jest wzorem 1):

∑∑=α =β

αβ

∂∂

=−3

1

3

1

2

3

3

5D

t45c

G

dt

dE

kgm

s101218,6

c45

G2

355

5−⋅=

Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych:

( )∑ αββααβ δ−=

i

2iiii Rxx3MD , Ri = promień wodzący i-tego punktu materialnego

Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas:

( )dV xxx3x DV

df

∫∫∫ γγαβ

βααβ δ−ρ= , ρ = gęstość, ( )321 ,,, =βα

Informacje o tensorze momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych znajdująsię w części „Pole grawitacyjne – teoria Newtona” w rozdziale „Rozwinięcie multipolowe po-tencjału pola grawitacyjnego układu punktów materialnych” w paragrafie „Tensor momentukwadrupolowego”.

( )

( )

( )

0DDD

zy3MDD

zx3MDD

yx3MDD

yx2zMD

zx2yMD

zy2xMD

zzyyxx

iii

izyyz

iii

izxxz

iii

iyxxy

2i

2i

2i

ii

zz

2i

2i

2i

ii

yy

2i

2i

2i

ii

xx

=++

==

==

==

−−=

−−=

−−=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Tensorowi momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas poświęcony jest następnyrozdział.

( )

( )

( )

0DDD

0DDDDDD

ab2cM5

1 D

ca2bM5

1 D

cb2aM5

1 D

zzyyxx

zyyzzxxzyxxy

222zz

222yy

222xx

=++

======

−−⋅=

−−⋅=

−−⋅=

1) L. Landau, E. Lifszic: Teoria pola. PWN, W-wa 1958. [Strona 353]

Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego układu punk-tów materialnych

Mi = masa i-tego punktu materialnego

Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowegojednorodnej elipsoidy

M = masa elipsoidy a, b, c = osi elipsoidy

Wszystkie składowe tensora momentukwadrupolowego kuli są równe zeru.


115

PRZYKŁADMoc fal grawitacyjnych emitowanych przez układ dwóch mas m1 i m2 wirujących wokół ichwspólnego środka masy, odległych odpowiednio o r1 i r2 od niego. Obliczenia zostaną podanew układzie środka masy.

∑∑=α =β

αβ

∂∂

=−3

1

3

1

2

3

3

5D

t45c

G

dt

dE

tcosrx 11 ω=

tsinry 11 ω=

tcosrx 22 ω−=

tsinry 22 ω−=

( ) ( )22

222

21

211

xx yx2 myx2 mD −+−=

( ) ( )22

222

21

211

yy xy2 mxy2 mD −+−=

( ) ( )22

222

21

211

zz yx myx mD +−+−=

2211yxxy xm3xm3DD +==

( ) 62222

2115

ωrmrm c

G

5

32

dt

dE⋅+⋅⋅=−

( ) 2

221

212

21

21 rmrmrr

mGmω+ω=

+

( )( )212211222

2112211 rr rmrm

2

1rmrm rmrm ++=+⇒=

( )( ) ( )

( )( ) ( )2

222

11

3

21

3

215

4

2211

4

21

3

215

4

rmrm rr

mm

c

G

5

4

rmrm rr

mm

c

G

5

8

dt

dE

++⋅⋅=

++⋅⋅=−

W przypadku, gdy

mmm 21 == ,

rrr 21 == ,

r2rrl 21 =+= ,

otrzymujemy

6425

l mc

G

5

8

dt

dEω⋅ ⋅⋅⋅=−

5

5

5

4

l

m

c

G

5

8

dt

dE⋅⋅=−

x

y

x2

y1

ωt

r1

r2

m1

m2

x1

y2


116

7 TE3SOR MOME3TU KWADRUPOLOWEGO

• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas

dVxx dV

df

∫∫∫ βααβ ρ= , ( )3,2,1, =βα

Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas jest symetrycznym tensoremdrugiego rzędu posiadającym sześć niezależnych składowych.• Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas

( )dV xxxx3 DV

df

∫∫∫ γγαβ

βααβ δ−ρ= , ( )3,2,1,, =γβα

Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas jest symetrycznymtensorem drugiego rzędu o znikającym śladzie, posiadającym pięć niezależnych składowych.• Elipsoida Elipsoida obrotowa modeluje wiele brył od koła poczynając poprzez dysk, kulę, cygaro,a na walcu kończąc. Elipsoida trójosiowa jest powierzchnią daną równaniem kanonicznym.

1=++2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

cba == sferacba >= elipsoida obrotowa spłaszczonacba <= elipsoida obrotowa wydłużona

Objętość elipsoidy wynosi

abc3

4V π⋅=

Kontur rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z jestelipsą

constz ,

c

zb

y

c

za

x

2

22

2

2

22

2

==

−

+

−

1

11

o półosiach

2

2

2

2

c

zb i

c

za −− 11

i polu powierzchni

−π=

2

2

zc

zabR 1

a, b, c = półosie elipsoidy


117

• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas rozmieszczonych ze stałągęstością objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowiąosie elipsoidy

( )

( )

5

a

a

5a

a

4

3

a

a

3a

a

2

R2

2

V

2xx

a5

2

5

xdxx

a3

2

3

xdxx

a

xbcdydz

abc4

M3z,y,x

dVxz,y,xd

x

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

⇓

2xx

a

a2

22

R

a

a

2

V

2xx

Ma5

d

dxa

xxbc

abc4

M3

dydzdxxabc4

M3

dxdydzxabc4

M3d

x

1

1

=

−π

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

Rx = rzut na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi x

∫∫xR

dydz = pole rzutu na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do

osi x Ry = rzut na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi y

∫∫yR

dxdz = pole rzutu na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do

osi y Rz = rzut na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z

∫∫zR

dxdy = pole rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do

osi z

( )

( )

5

b

b

5b

b

4

3

b

b

3b

b

2

R2

2

V

2yy

b5

2

5

ydyy

b3

2

3

ydyy

b

yacdxdz

abc4

M3z,y,x

dVyz,y,xd

y

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

⇓

2yy

b

b2

22

R

b

b

2

V

2yy

Mb5

d

dyb

yyπac

abc4

3M

dxdzdyyabc4

3M

dxdydzyab4

3Md

1

1

y

=

−

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

( )

( )

5

c

c

5c

c

4

3

c

c

3c

c

2

R2

2

V

2zz

c5

2

5

zdzz

c3

2

3

zdzz

c

zabdxdy

abc4

M3z,y,x

dVzz,y,xd

z

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

⇓

2zz

c

c2

22

R

c

c

2

V

2zz

Mc5

d

dzc

zzab

abc4

M3

dxdydzzabc4

M3

dxdydzzabc4

M3d

z

1

1

=

−π

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−


118

( )( )

( )

( )

( )222xx

333

a

a

b

b

c

c2

22

2

22

2

22

a

a R

b

b R

c

c R

222

V

222xx

V

222xx

cba2 M5

D

abc5

4cab

5

4bca

5

8

abc4

M3

dzc

zzabdy

b

yyacdx

a

xxbc2

abc4

M3

dxdydzzdxdzdyydydzdxx2abc4

M3

dxdydz zyx2 abc4

M3D

abc4

M3z,y,x

dV zyx2 z,y,xD

x y z

−−⋅=

π⋅−π⋅−π⋅π

=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111

( )( )

( )

( )

( )222yy

333

b

b

a

a

c

c2

22

2

22

2

22

b

b R

a

a R

c

c R

222

V

222yy

V

222yy

cab2 M5

D

abc5

4bca

5

4cab

5

8

abc4

M3

dzc

zzabdx

a

xxbcdy

b

yyac2

abc4

M3

dxdydzzdydzdxxdxdzdyy2abc4

M3

dxdydz zxy2 abc4

M3D

abc4

M3z,y,x

dV zxy2 z,y,xD

y x z

−−⋅=


=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111


119

( )( )

( )

( )

( )222zz

333

c

c

b

b

a

a2

22

2

22

2

22

c

c R

b

b R

a

a R

222

V

222zz

V

222zz

abc2 M5

D

bca5

4cab

5

4abc

5

8

abc4

M3

dxa

xxbcdy

b

yyacdz

c

zzab2

abc4

M3

dydzdxxdxdzdyydxdydzz2abc4

M3

dxdydz xyz2 abc4

M3D

abc4

M3z,y,x

dV xyz2 z,y,xD

z y x

−−⋅=


=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111

Zbierzmy uzyskane wyniki.

W przypadku elipsoidy obrotowej

( )

( )

( )

, DDD2

, ac M5

2D

, ca M5

D

, ca M5

D

, ba

yyxxzz

22zz

22yy

22xx

==−

−=

−=

−=

=

1

1

1

tensor momentu kwadrupolowego µνD posiada tylko jedną składową niezależną zzD . Składo-

wa zzD bywa utożsamiana z tensorem momentu kwadrupolowego, co prowadzi do nieporo-zumień.

( ) ( ) ( )0DDD

abc2 M5

D , cab2 M5

D , cba2 M5

D

Mc5

d ,Mb5

d ,Ma5

d

zzyyxx

222zz

222yy

222xx

2zz

2yy

2xx

=++

−−⋅=−−⋅=−−⋅=

⋅=⋅=⋅=

111

111

Składowe niediagonalne obu tensorów są wszystkie równe zeru.


120

8 MODEL WSZECHŚWIATA EI3STEI3A: „MATERIA BEZ RUCHU”

• Trójwymiarowa hipersfera zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Eu-klidesowej jako trójwymiarowa przestrzeń o stałej krzywiźnie Riemanna W czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Euklidesowej (nie mającej nic wspólnego z cza-soprzestrzenią) o metryce

( ) ( ) ( ) ( )242322212 dz dz dz dz dσ +++=

rozpatrzmy trójwymiarową hipersferę

( ) ( ) ( ) ( )242322212 z z z z a +++= .

Wyznaczając na podstawie powyższego równania różniczkę współrzędnej 4z , otrzymujemy

dla podstawowej formy metrycznej wyrażenie

βααβ

βα

κκ2

βα

αβ2 dzdzγdzdz

zza

zzδ dσ =

−+= ( )3 2, 1, , , =κβα ,

κκ2

βα

αβαβzza

zzδγ

−+= ( )3 2, 1, , , =κβα .

Następnie obliczamy trójwymiarowe symbole Christoffela drugiego rodzaju, ich pochodneoraz składowe trójwymiarowego tensora Ricciego.

( )2κκ2

λβα

κκ2

λαβλ

αβzza

zzz

zza

zδΓ

−+

−= , ( )3 2, 1,, , , =λκβα

( )( )

( ) ( )

( )4κκ2

2κκ2

κ

λβα

κ

αλβ

κ

λβα2κκ2

2κκ2

λκαβκλαβ

κκ2

κ

λαβ

zza

zza z

zzzz

zzz

z

zzz zza

xxa

zz2δδδ zza

z

Γ

−

−∂∂

−

∂

∂+

∂

∂−

+

+−

+−=

∂

∂

λκλ

καβ

λκβ

καλλ

λαβ

β

λαλ

αβ ΓΓΓΓx

Γ

x

ΓR −+

∂

∂−

∂

∂= , ( )3 2, 1,, , , =λκβα

W punkcie o współrzędnych 0zzz 321 === , az 4 = :

( ) αβαβ δ=0

g , ( ) 0 0

=Γλαβ ,

2

0az

κλαβ

κ

λαβ δδ

=

∂

Γ∂, ( ) ( )

20

20 a

g 2

a

2R

αβαβαβ −=

δ−= .

W dowolnym punkcie trójwymiarowej hipersfery:

2a

g2R αβ

αβ −= , ( )3 ,2 ,1 , =βα .

Na koniec wyznaczmy krzywiznę Riemanna badanej hiperpowierzchni

( ) 2a

1

g2

R

g N1

RK =

−=

−=

αβ

αβ

αβ

αβ .

Trójwymiarowa hipersfera o promieniu a zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrze-ni Euklidesowej jest trójwymiarową przestrzenią o stałej krzywiźnie Riemanna 2aK −= .


121

• Metryka modelu Wszechświata Einsteina W modelu tym trójwymiarowa przestrzeń jest jednorodna, izotropowa, skończona, ale nieograniczona i o stałej krzywiźnie. Prędkości ciał będących źródłem pola są małe w stosunkudo prędkości światła.

44

2

2 dxdxdxdx xxa

xx ds +

−+δ= βα

κκ

βα

αβ , ( )3 ,2 ,1 , , =κβα

νµµν= dxdxgds2 ( )4,3 ,2 ,1 , =νµ ictx4 = , 0ds2 ≤

κκ

βα

αβαβ −+δ=

xxa

xxg

2 ( )3 ,2 ,1 , , =κβα

0gggggg 433442244114 ====== , 1g44 =

• Składowe tensora Ricciego

αβαβ −= ga

2R

2, ( )3 ,2 ,1 , =βα

0RRRRRRR 44433442244114 =======


22 a

6

a

2ggR −=−= αβ

αβ , ( )3 ,2 ,1 , =βα

• Składowe tensora Einsteina

αβαβαβ =− ga

1RgR

221 , ( )3 ,2 ,1 , =βα

24421

44 a

3RgR =−

• Tensor pędu energiipgv~v~ggT µν

βανβµαµν +ρ=′

ds

dxc dssgnv~ 2

λλ = , 1dssgn 2 −=

0v~v~v~ 321 ===

pgT αβαβ =′ ( )3 ,2 ,1 , =βα

( ) pcpgds

dx

ds

dx dssgn cggT 2

44

4422

444444 +ρ−=+ρ=′

• Równania pola: µνµνµν ′κ−=− TRgR 21 .

αβαβ κ−= pgga

12

( )3 ,2 ,1 , =βα Równania przestrzenno-przestrzenne

( )pca

3 22

+ρ−κ−= Równanie czasowo-czasowe

Z powyższych równań wynika, że

2

cp

2ρ−=

2c

2a

κρ=

Promień krzywizny wszechświata a jest skończony.


122

• Równania pola z członem kosmologicznym Identyczne rozwiązanie można otrzymać wprowadzając do równań pola tzw. człon kos-mologiczny zamiast ujemnego ciśnienia w tensorze pędu-energii. Równaniom pola

µνβα

νβµαµνµνµν κ−ρκ−=′κ−=− pgv~v~ggTRgR 21

nadamy za Einsteinem inną postać

µνβα

νβµαµνµνµν κ−=ρκ−=κ+− Tv~v~ggpgRgR 21

lub

µνµνµνµν κ−=Λ−− TgRgR 21

µνΛg = człon kosmologiczny

Λ = stała kosmologiczna

Uzyskane wyniki można zapisać używając zamiast ujemnego ciśnienia stałej kosmologicznej0p ≥κ−=Λ ,

221 cκρ=Λ ,

2a −=Λ .

• Warunki wynikające z równań bilansu pędu i energii, jakie musi spełniać człon kos-mologiczny jako dodatkowy człon w równaniach pola Wyznaczymy dywergencje obu stron równań pola z członem kosmologicznym( ) ( )

νµννµνµνµν κ−=Λ−−;;2

1 TgRgR

( ) ( ) νµννµννµνµν κ−=Λ−− ;;;21 Tg RgR

( ) 0RgR ;2

1 =−νµνµν

0g ; =νµν

ννν ∂Λ∂

=Λ=Λx,;

0T ; =νµν

0g , =Λ νµν

0gdet ≠••

0, =Λ ν

• Metryka Einsteina we współrzędnych sferycznych

44

2

2 dxdxdxdx xxa

xx ds +

−+δ= βα

κκ

βα

αβ ( )3 ,2 ,1 , , =κβα

ϕθ= cossinrx1 , ϕθ= sinsinrx2 , θ= cosrx 3 , 44 xx =

( ) ( )2422222

1

2

22 x ddsind rdr

a

r1ds +ϕθ+θ+

−=

−


123

9 MODEL WSZECHŚWIATA DE SITTERA:”RUCH BEZ MATERII”

• Rozwiązanie de Sittera W 1917 roku de Sitter podał 1) rozwiązanie równań pola grawitacyjnego

κTgκTgR µν21

µνµνµν +−=Λ− ,

opisujące wszechświat bez materii, traktowany jako czasoprzestrzeń o stałej ujemnej krzywiź-nie Riemanna.

0T =µν , ( )4,3,2,1, =νµ ,

αα

νµ

µνµν −−δ−=

xxa

xxg

2, ( )4,3,2,1,, =ανµ , ictx 4 = , 0ds2 ≥ ,

gdzie (a) jest czterowymiarowym stałym promieniem krzywizny. Rozwiązanie to oznacza, że

2a

3−=Λ , 0=ρ .

Reprezentuje ono zakrzywioną czasoprzestrzeń bez materii, i może być traktowane jako gra-niczny przypadek bardziej realistycznych modeli wszechświata. Ruch bez materii, to nazwaktóra przylgnęła do modelu wszechświata de Sittera. Następnie przedstawił 2) metrykę modelu z poprzedniej pracy w innym układzie współrzęd-nych.

( ) 2222222222 dtca

rcosd sind

a

rsinadrds

+ϕθ+θ

−−=

Po dokonaniu transformacji współrzędnych

=′a

rsinar ,

przyjmuje ona postać spotykaną we współczesnej literaturze

( ) 22

2

222222

1

2

22 dtc

a

r1d sindrrd

a

r1ds

′−+ϕθ+θ′−′

′−−=

−

.

Analogicznymi wyrażeniami dla metryki wszechświata Einsteina są odpowiednio wzory

( ) 222222222 dtcd sinda

rsinadrds +ϕθ+θ

−−= ,

( ) 2222222

1

2

22 dtcd sindrrd

a

r1ds +ϕθ+θ′−′

′−−=

−

.

UWAGAJeżeli wyznacznik tensora metrycznego, którego składowe są rozwiązaniami równań pola, jestdla pewnych wartości współrzędnych równy zeru, to wtedy badane rozwiązania nie spełniająrównań pola.

1) W. de Sitter: Over de relativiteit der traagheid: Beschouwingen naar aanleiding van Einstein's laatste hypo-

these. Verslag [van de gewone vergaderingen der wis-en natuurkundige afdeeling] der Koninklijke Akademievan Wetenschappen [te Amsterdam] 25, 9 (31 Maart 1917) 1268-1276.O względności inercji: uwagi dotyczące ostatnich hipotez Einsteina.2) W. de Sitter: Over de kromming der ruimte. Verslag [van de gewone vergaderingen der wiosen natuurkundigeafdeeling] der Koninklijke Akademie van Wetenschappen [te Amsterdam] 26, 2 (30 Juni 1917) 222-236.O krzywiźnie przestrzeni.


124

241

2

2

41

22

22

41 kr1

1

a

r1

1

aL

rL1

1B

+=

+=

+=

10 MODEL WSZECHŚWIATA FRIEDMA3A

• Podstawowe założenia Według prawa Hubble’a obserwator związany z Ziemią postrzega pozorną ucieczkę gala-ktyk z prędkością radialną o wartości wprost proporcjonalnej do ich odległości. Fakt ten moż-na interpretować jako rozszerzanie się przestrzeni dla wszystkich obserwatorów spoczywają-cych względem otaczającej ich materii jednorodnie rozmieszczonej w skali wszechświata.

• Podstawowa forma metryczna Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera w ukła-dzie kartezjańskim

( ) ( ) ( )[ ] ( )24232221222 dx dxdxdx LBds +++=

ictx4 = , ( )t LL = = bezwymiarowy czasowy czynnik skali

2

41

2

2

41

22

22

41 kr1

1

a

r1

1

aL

rL1

1B

+=

+=

+= , ( ) ( ) ( )2322212 xxxr ++= ,

2a

1k =

1 ,0 ,1 a

1sgn ksgn

2+−== , 2a = kwadrat nieprzeskalowanego promienia krzywizny

przestrzeni

• Składowe kowariantnego tensora metrycznego F-L-R-W

=••

1000

0LB00

00LB0

000LB

g22

22

22

, ( )1 ,LB ,LB ,LB diagg 222222=••

22332211 LBggg === , 1g 44 =

Pozostałe składowe kowariantnego tensora metrycznego są równe zeru.66

44332211 LBggggg ==

• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego F-L-R-W

=−−

−−

−−

••

1000

0LB00

00LB0

000LB

g22

22

22

, ( )1 ,LB ,LB ,LB diagg 222222 −−−−−−•• =

1gg −αα

αα = , 22332211 LBggg −−=== , 1g44 =

Pozostałe składowe kontrawariantnego tensora metrycznego są równe zeru.• Składowe mieszanego tensora metrycznego F-L-R-W

=••

1000

0100

0010

0001

g , ( )1 1, 1, 1, diagg =••

1gggg 44

33

22

11 ====

Pozostałe składowe mieszanego tensora metrycznego są równe zeru.


125

• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju: [ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1

[ ]1111 1

1 x

g

2

1

∂

∂=

[ ]1222 2

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1333 3

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ] [ ]1221 2

2 2 1

2 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]1331 3

3 3 1

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ]2

111 12

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

222 22 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]2

333 32

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ] [ ]2

111 21

2 11

x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]2

332 33

3 23 x

g

2

1

∂∂

==

[ ]4

111 14

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

222 24

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

333 34

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ] [ ]4

111 41

4 11 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

222 42

4 22 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

333 43

4 33 x

g

2

1

∂∂

==

[ ]3

111 13

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

222 23

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

333 33 x

g

2

1

∂∂

=

[ ] [ ]3

111 31

3 11 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

222 32

3 22

x

g

2

1

∂

∂==

• Symbole Christoffela drugiego rodzaju: [ ]νµα

σασµν =Γ

g

[ ] 31 1

3 333

11 Ag −==Γ

[ ] 32 2

3 333

22 Ag −==Γ

[ ] 33 3

3 333

33 Ag ==Γ

[ ] 33 1

1 111

31113 Ag ==Γ=Γ

[ ] 33 2

2 222

32223 Ag ==Γ=Γ

[ ] 41 1

4 444

11 Ag −==Γ

[ ] 42 2

4 444

22 Ag −==Γ

[ ] 43 3

4 444

33 Ag −==Γ

[ ] 54 1

1 111

41114 Ag ==Γ=Γ

[ ] 54 2

2 222

42224 Ag ==Γ=Γ

[ ] 54 3

3 333

43334 Ag ==Γ=Γ

[ ] 11 1

1 111

11 Ag ==Γ

[ ] 12 2

1 111

22 Ag −==Γ

[ ] 13 3

1 111

33 Ag −==Γ

[ ] 12 1

2 222

212

12 Ag ==Γ=Γ

[ ] 13 1

3 333

313

13 Ag ==Γ=Γ

[ ] 21 1

2 222

11 Ag −==Γ

[ ] 22 2

2 222

22 Ag ==Γ

[ ] 23 3

2 222

33 Ag −==Γ

[ ] 22 1

1 111

21112 Ag ==Γ=Γ

[ ] 23 2

3 333

32323 Ag ==Γ=Γ


126

• Składowe tensora Ricciego: αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα

µν ΓΓ−ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

334

411

333

311

323

211

313

111

224

411

223

311

222

211

212

111

411

114

313

313

311

113

212

212

211

1124

411

3

311

2

211

1

313

1

212

11xxxxx

R

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

334

422

333

322

323

222

313

122

114

422

113

322

112

222

111

122

422

224

323

323

322

223

122

212

112

1124

422

3

322

1

122

2

323

2

121

22xxxxx

R



Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

224

433

223

333

222

233

212

133

114

433

113

333

112

233

111

133

433

334

233

323

223

223

133

313

113

1134

433

2

233

1

133

3

223

3

113

33xxxxx

R



Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

334

334

224

224

114

1144

334

4

224

4

114

44xxx

R ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

323

212

313

112

112

212

323

313

122

2111

112

2

313

2

111

2112xxx

RR ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

223

313

212

113

113

313

223

212

133

3111

113

3

212

3

111

3113xxx


Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

313

114

212

114

334

313

224

2121

114

4

313

4

212

4

111

4114xxxx

RR ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

223

323

113

323

112

223

233

322

113

1122

223

3

222

3

121

3223xxx


Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

323

224

112

224

334

323

114

1122

224

4

323

4

222

4

121

4224xxxx


Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

223

334

113

334

224

223

114

1133

334

4

333

4

232

4

131

4334xxxx


Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

( ) ( ) ( )[ ]23222141 x x x k1

1B

+++=

2i21

iBx k

x

B−=

∂

∂, 0

x

B4

=∂

∂

( )4x LL =

Bx kA i21

i −= , ( )3 ,2 ,1i =

4

24

x

LLBA

∂

∂=

4

14

225

x

LLALBA

∂

∂== −−−

ij212ji2

41

ji kBBxx k

x

Aδ−=

∂

∂, ( )3 ,2 ,1j,i =

0x

A4i =

∂∂

, ( )3 ,2 ,1i =

2

4

2

44

22

44

x

LB

xx

LLB

x

A

∂

∂+

∂∂

∂=

∂

∂

0x

Ai5 =

∂∂

, ( )3 ,2 ,1i =

2

4

2

44

21

45

x

LL

xx

LL

x

A

∂

∂−

∂∂

∂=

∂

∂ −−


127

• Składowe tensora Ricciego (dalszy ciąg)

54332244

33

22

11

11 AAAAAAx

A

x

A

x

A

x

A2R +++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

54331144

33

22

11

22 AAAAAAx

A

x

A

x

A2

x

AR +++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

54221144

33

22

11

33 AAAAAAx

A

x

A2

x

A

x

AR +++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

0AAx

A

x

A2RR 311

331

3113 =−∂

∂−

∂

∂==

0AAx

A

x

A2RR 322

332

3223 =−∂

∂−

∂

∂==

0x

A

x

A3RR

15

41

4114 =∂

∂−

∂

∂==

0x

A

x

A3RR

25

42

4224 =∂

∂−

∂

∂==

0x

A

x

A3RR

35

43

4334 =∂

∂−

∂

∂==

5545

44 AA3x

A3R +

∂

∂=

∂∂

∂+

∂

∂+−===

44

22

4

2332211

xx

LL

x

L2k2BRRR ,

44

21

44xx

LL3R

∂∂

∂= −

Pozostałe składowe tensora Ricciego są równe zeru.


µνµν= RgR

4444

3333

2222

1111 RgRgRgRgR +++=

( ) 4433221122 R RRR LBR +++= −−

44

21

2

4

22

xx

LL6

x

LL6kL6R

∂∂

∂+

∂

∂+−= −−−


128


ij44

22

422

22ijij2

1ij δ Λ

xx

L

L

2

x

L

L

1

L

kLBΛgRgR

−

∂∂

∂−

∂

∂−=−− , ( )3,2,1j,i =

0ΛgRgR i4i421

i4 =−− , ( )3,2,1i =

Λx

L

L

3

L

3kΛgRgR

2

422444421

44 −

∂

∂−=−−

• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania Rozkład gęstości energii pyłu i promieniowania we wszechświecie opiszemy tensorempędu-energii dla cieczy nielepkiej.

( ) pgv~v~ pc T 2 µννµ−µν +ρ+= , p = ciśnienie promieniowania

( ) pgv~v~ pc T 2αββα

−αβ +ρ+=


µ−µσ +ρ+=

ds

dxc dssgnv~ 2

αα = , 1dssgn 2 −=

αµ

µα = v~v~g , βν

βν = v~v~g , σν

σν = v~v~g

0v~v~v~ 321 === , dsdx4 =

( )ρ−= −−−−−−•• 2222222 c ,pLB ,pLB ,pLB diagT

( )ρ−=••2222222 c ,pLB ,pLB ,pLB diagT

( )ρ−=••

2c ,p ,p ,p diagT

• Równania pola

αβαβαβ21

αβ κTΛgRg R −=−− , 112434 mkgs10073,2Gc8 −−−− ⋅=π=κ

κpΛxx

L

L

2

x

L

L

1

L

k44

22

422−=−

∂∂

∂−

∂

∂− pκcΛc

t

L

L

2

t

L

L

1

L

kc 22

2

22

22

2

−=−∂∂

+

∂∂

+

2

2

422κρcΛ

x

L

L

3

L

3k=−

∂

∂− 4

312

31

2

22

2

κρcΛct

L

L

1

L

kc=−

∂∂

+

Odejmując stronami ostatnie dwa równania, otrzymujemy

( ) 0pρcκcΛct

L

L

1 2312

212

31

2

2

=++−∂

∂


129

• Równania pola wyrażone przez stałą Hubble’a Równania pola przestrzenno-przestrzenne i czasowo-czasowe zapiszemy tak, by pojawiłasię w nich stała Hubble’a.

κpcΛct

L

L

2

t

L

L

1

L

kc 222

22

22

2

−=−∂∂

+

∂∂

+ , 4312

31

2

22

2

κρcΛct

L

L

1

L

kc=−

∂∂

+

t

L

L

1H

df

∂∂

=

H = współczynnik hubble’owskiego rozszerzania się wszechświata (stała Hubble’a)

2

2

22

22

2

Ht

L

L

1

t

L

L

1

t

L

L

1

t

H−

∂∂

=

∂∂

−∂∂

=∂∂

, t

HH

t

L

L

1 2

2

2

∂∂

+=∂

∂

ΛcκpcL

kc3H

t

H2 22

2

22 +−−=+

∂∂

Jeżeli 0k = , 0p = , 0=Λ , to t

1

3

2H ⋅= .

ΛcL

kcκρcH 2

31

2

24

312 +−= Jeżeli 0k = , 0=Λ , to κρ= 3

12cH .

• Równania bilansu pędu i energii Prawa zachowania opisane są przez znikanie dywergencji tensora pędu-energii.

0TTx

TT ; =Γ+Γ−

∂

∂= µ

βαµα

αµ

µβαα

αβα

αβ , ( )4 3, 2, 1, =β

Dla 1=β (oraz analogicznie dla 2=β i 3=β ) mamy:

( ) 0 TTTTx

TTT

x

TT 3

132

12111

11

33

313

22

212

11

1111

11

111

;1 =Γ+Γ+Γ+Γ−Γ−Γ−∂

∂=Γ+Γ−

∂

∂= µα

µααµ

µαα

ααα ,

0pA3pA3x

p111=+−

∂

∂,

0x

p1

=∂

∂ 0

x

p2

=∂

∂ 0

x

p3

=∂

∂

Powyższe trzy równania można zapisać w zwartej postaci.

0p grad =

Dla 4=β mamy:

( ) 0 TTTTx

TTT

x

TT 3

43242

141

44

33

343

22

242

11

1414

44

444

;4 =Γ+Γ+Γ+Γ−Γ−Γ−∂

∂=Γ+Γ−

∂

∂= µα

µααµ

µαα

αα

α

0Ac3pA3x

c 52

542 =ρ−−

∂ρ∂

−

0 c

p

t

L

L

3

t 2=

+ρ∂∂

+∂ρ∂


130

• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania

Równanie bilansu energii zapiszemy w postaci wygodnej do analizy.

0 t

L

L

1

c

p 3

t 2=

∂∂

+ρ+∂ρ∂

t

LL3

t

L 23

∂∂

=∂

∂,

( )t

Lt

LL3

t

L 323

∂ρ∂

+∂∂

ρ=∂ρ∂

( )

0t

L

c

p

t

L 3

2

3

=∂

∂+

∂ρ∂

Równania pola przestrzenno-przestrzenne (Równanie Friedmana)

ΛcκpcL

kc

t

L

L

2

t

L

L

1 222

2

2

22

2+−−=

∂∂

+

∂∂

lub ΛcκpcL

kc3H

t

H2 22

2

22 +−−=+

∂∂

Równania pola czasowo-czasowe (Równanie Friedmana)

ΛcL

kcκρc

t

L

L

1 231

2

24

31

2

2+−=

∂∂

lub ΛcL

kcκρcH 2

31

2

24

312 +−=

Równanie na przyspieszenie czynnika skali (Równanie oscylatora kosmologicznego)

( )[ ] 0L pρc κcΛc t

L 2312

212

31

2

2

=++−+∂∂

Równania bilansu pędu dla pyłu i promieniowania

0p grad =

Równania bilansu energii dla pyłu i promieniowania

0 t

L

L

1

c

p 3

t 2=

∂∂

+ρ+∂ρ∂

p = ciśnienie promieniowania ρ = gęstość pyłu


131

• Analiza modelu

Wszechświat wypełniony jest tylko materią: 0p =

( )0

t

L 3

=∂ρ∂

, 3L

A=ρ , 0constA >=

Przypadek: 0ksgn = , 0=Λ

4312

2

2κρcH

t

L

L

1==

∂∂

lub L

Ac

t

L 4312 κ

=

∂∂

, 4

2

c κc

3Hρρ ==

∞→L , 0t

L→

∂∂

. L zwiększa się z szybkością malejącą do zera.

Przypadek: 1ksgn −= , 0=Λ

22

24

312

2

2 La

cκρcH

t

L

L

1+==

∂∂

lub 2

24312

a

c

L

κAc

t

L+=

∂∂

, 4

2

cκc

3Hρρ =<

∞→L , 2a

c

t

L→

∂∂

. L zwiększa się z szybkością malejącą do stałej wartości.

Przypadek: 1ksgn += , 0=Λ

22

24

312

2

2 La

cκρcH

t

L

L

1−==

∂∂

lub 2

24312

a

c

L

κAc

t

L−=

∂∂

, 4

2

cκc

3Hρρ =>

Po pewnym czasie czynnik L przestaje się zwiększać i zaczyna się zmniejszać.

Wszechświat wypełniony jest tylko energią związaną z promieniowaniem: 231 cp ρ=

( )0

t

L

t

L 3

31

3

=∂

∂ρ+

∂ρ∂

( ) ( )

t

LL

t

L L

t

L 3

31

34

∂∂

ρ+∂ρ∂

=∂ρ∂

( )0

t

L 4

=∂ρ∂

, 4L

B=ρ , 0constB >=

Przypadek: 0ksgn = , 0=Λ

4312

2

2κρcH

t

L

L

1==

∂∂

lub 2

4312

L

Bc

t

L κ=

∂∂

, 4

2

c κc

3Hρρ ==

∞→L , 0t

L→

∂∂

. L zwiększa się z szybkością malejącą do zera.

Przypadek: 1ksgn −= , 0=Λ

22

24

312

2

2 La

cκρcH

t

L

L

1+==

∂∂

lub 2

2

2

4312

a

c

L

κBc

t

L+=

∂∂

, 4

2

cκc

3Hρρ =<

∞→L , 2a

c

t

L→

∂∂

. L zwiększa się z szybkością malejącą do stałej wartości.

Przypadek: 1ksgn += , 0=Λ

22

24

312

2

2 La

cκρcH

t

L

L

1−==

∂∂

lub 2

2

2

4312

a

c

L

κBc

t

L−=

∂∂

, 4

2

cκc

3Hρρ =>

Po pewnym czasie czynnik L przestaje się zwiększać i zaczyna się zmniejszać.


132

• Analiza modelu w przypadku różnej od zera stałej kosmologicznej

Przypadek: 0ksgn =

ΛcL

kcκρcH

t

L

L

1 231

2

24

312

2

2+−==

∂∂

, ( )pρc κcΛct

L

L

1 2312

212

31

2

2

+−=∂

∂

0p = , 0=ρ , 0ksgn = , 0constΛ >=

Λ−==

∂∂ 2

312

2

2cH

t

L

L

1, Λ−=

∂

∂ 231

2

2

ct

L

L

1

( ) [ ]HtexpctΛexpL 2

1

31 =

= , ( ) constΛcH 2

1

31 ==

L zwiększa się eksponencjalnie w czasie. constH = oznacza ciągłą pozorną ucieczkęcząstki póbnej zgodnie z prawem Hubble’a.UWAGAZe względu na 0p = i 0=ρ rozpatrywany model opisuje wszechświat de Sittera i powi-nien być traktowany jako graniczny przypadek bardziej realistycznych modeli.

Przypadek: 1ksgn −=

ΛcL

kcκρcH

t

L

L

1 231

2

24

312

2

2+−==

∂∂

, ( )pρc κcΛct

L

L

1 2312

212

31

2

2

+−=∂

∂

0p = , 0=ρ , 1ksgn −= , 0constΛ >=

ΛcLa

cH

t

L

L

1 231

22

22

2

2+==

∂∂

, Λct

L

L

1 231

2

2

=∂

∂

Układ nie posiada wspólnych rozwiązań.

Przypadek: 1ksgn +=

ΛcL

kcκρcH

t

L

L

1 231

2

24

312

2

2+−==

∂∂

, ( )pρc κcΛct

L

L

1 2312

212

31

2

2

+−=∂

∂

0p = , 0=ρ , 1ksgn += , 0constΛ >=

ΛcLa

cH

t

L

L

1 231

22

22

2

2+−==

∂∂

, Λct

L

L

1 231

2

2

=∂

∂

Układ nie posiada wspólnych rozwiązań.


133

• Prawo Hubble’a

ds

xdc dssgnv 2

df µµ =

1dssgn 2 −=

ds

xdc iv

µµ =

∫=

αx

0

αα BLdxx , ( )3 ,2 ,1 =α

44 xx =

∫α

=x

0

αα xdds

dBLc iv , ( )3 ,2 ,1 =α

0ds

dxicv

zał

==α

α , 0ds

dx=

α

, ( )3 ,2 ,1 =α

1ds

dx4

=

t

LB

ic

1

ds

dx

ic

1

t

BL

ds

dx

x

BL

ds

dx

x

BL

ds

dx

x

BL

ds

dt

t

BL

ds

dBL43

3

2

2

1

1 ∂∂

=∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂=

∫∫ ∂∂

=∂∂

=

αα x

0

α

x

0

αα BLdxt

L

L

1Bdx

t

Lv = pozorna prędkość ucieczki

t

L

L

1H

df

∂∂

= = stała (parametr) Hubble’a

∫=

αx

0

αα BLdxx , ( )3 ,2 ,1 =α

αα = x Hv Prawo Hubble’a

αx = współrzędne względem układu kartezjańskiego sztywno związanego z Ziemią

αx = współrzędne przeskalowane

( ) t LL = = bezwymiarowy czasowy czynnik skali

UWAGAPrawo Hubble’a głoszące, że galaktyki oddalają się od nas z pozorną prędkością wprost pro-porcjonalną do ich przeskalowanej odległości, jest równoważne ze stwierdzeniem, że czynnikskali wszechświata rośnie w czasie eksponencjalnie, ponieważ niezmienność w czasie stałej(parametru) Hubble’a oznacza, że

0t

L

L

1

tt

H=

∂∂

∂∂

=∂∂

HtexpL =


134

• Metryka F-L-R-W we współrzędnych sferycznych

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }( )24

2232221

23222122 dx

x x x 4

k1

dx dx dx Lds +

+++

++=

ϕ θ= cossinr x1 , ϕϕ θ−θϕ θ+ϕ θ= d sinsinr d coscosr dr cossindx1

ϕ θ= sinsinr x2 , ϕϕ θ+θϕ θ+ϕ θ= d cossinr d sincosr dr sinsindx2

θ= cosr x3 , θθ−θ= d sinr dr cosdx3

ictxx 44 ==

( ) ( ) ( )2322212 x x x r ++=

( ) ( )24

22

2222222 dx

r4

k1

dsind rdrLds +

+

ϕθ+θ+=

2r

4

k1

rr

+=

22

22 rr4

k1r

+= , 22

2

22

rk1

1

r4

k1

r4

k1

−=

−

+, 2

2

22

22

2

42

2 rdrk1

r4

k1

rd

r4

k1

r4

k1

dr−

+=

−

+=

( ) ( )2422222

222 dx θdsind r

rk1

rd Lds +

ϕ+θ+

−=

UWAGAWspółrzędnymi izotropowymi nazywane są współrzędne, w których przestrzenna część met-ryki jest proporcjonalna do odpowiadającego jej wyrażenia euklidesowego.

Metryka F-L-R-W w kartezjańskichwspółrzędnych izotropowych

Metryka F-L-R-W w sferycznychwspółrzędnych izotropowych


135

11 PROSTY MODEL ROZSZERZAJĄCEJ SIĘ CZASOPRZESTRZE3I

• Podstawowe założenia Podamy interpretację prawa Hubble’a w oparciu o model rozszerzającej się czasoprze-strzeni. Zakładamy, że względem układu związanego z Ziemią otaczająca ją jednorodnie roz-mieszczona w skali wszechświata materia pozostaje w spoczynku. Ekspansji ulega czaso-przestrzeń, wskutek czego obserwujemy pozorną ucieczkę galaktyk.

• Podstawowa forma metryczna

( ) ( ) ( ) ( )[ ] dxdxdxdx Lds2423222122 +++=

ictx4 =

( )t LL = = bezwymiarowy czynnik skali

• Składowe kowariantnego tensora metrycznego

=••

2

2

2

2

L000

0L00

00L0

000L

g , ( )2222 L ,L ,L ,L diagg =••

244332211 Lgggg ====

Pozostałe składowe kowariantnego tensora metrycznego są równe zeru.8

44332211 Lggggg ==

• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego1gg −

αααα =

=

−

−

−

−

••

2

2

2

2

L000

0L00

00L0

000L

g , ( )2222 L ,L ,L ,L diagg −−−−•• =

244332211 Lgggg −====

Pozostałe składowe kontrawariantnego tensora metrycznego są równe zeru.

• Składowe mieszanego tensora metrycznego

=••

1000

0100

0010

0001

g , ( )1 ,1 ,1 ,1 diagg =••

1gggg 44

33

22

11 ====

Pozostałe składowe mieszanego tensora metrycznego są równe zeru.


136

• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju: [ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1

[ ]4

111 14

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

222 24

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

333 34

x

g

2

1

∂

∂−=

[ ] [ ]4

111 41

4 11 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

222 42

4 22 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

333 43

4 33 x

g

2

1

∂∂

==

[ ]4

444 44

x

g

2

1

∂

∂=

• Symbole Christoffela drugiego rodzaju: [ ]νµα

σασµν =Γ

g

[ ]4

1 14

44411

x

L

L

1g

∂

∂−==Γ

[ ]4

2 24

44422

x

L

L

1g

∂

∂−==Γ

[ ]4

3 34

44433

x

L

L

1g

∂

∂−==Γ

[ ]4

4 11

11141

114

x

L

L

1g

∂

∂==Γ=Γ

[ ]4

4 22

22242

224

x

L

L

1g

∂

∂==Γ=Γ

[ ]4

4 33

33343

334

x

L

L

1g

∂

∂==Γ=Γ

[ ]4

4 44

44444

x

L

L

1g

∂

∂==Γ

• Składowe tensora Ricciego: αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

444

411

334

411

224

411

411

1144

411

11x

R ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+∂

Γ∂−=

444

422

334

422

114

422

422

2244

422

22x


Γ∂−=

444

433

224

433

114

433

433

3344

433

33x


Γ∂−=

( )334

224

114

444

334

334

224

224

114

1144

334

4

224

4

114

44 xxx

R Γ+Γ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

∂∂

+∂

∂−=

∂

∂+

∂∂

∂===

2

22

2

2

2

4244

2

332211 t

L

L

1

t

L

L

1

c

1

x

L

L

1

xx

L

L

1RRR

∂∂

−∂

∂−=

∂

∂−

∂∂

∂=

2

22

2

2

2

4244

2

44 t

L

L

1

t

L

L

1

c

3

x

L

L

3

xx

L

L

3R

Pozostałe składowe tensora Ricciego są równe zeru.

• Skalar krzywizny: µνµν= RgR , 44

4433

3322

2211

11 RgRgRgRgR +++=

2

2

3244

2

3 t

L

L

1

c

6

xx

L

L

6R

∂

∂−=

∂∂

∂=


137


ij2

22

22ij44

22

42ij21

ij t

L

L

2

t

L

L

1

c

1

xx

L

L

2

x

L

L

1 RgR δ

∂

∂+

∂∂

−=δ

∂∂

∂−

∂

∂=− , ( )3,2,1j,i =

0RgR 4i21

4i =− , ( )3,2,1i =

2

22

2

424421

44 t

L

cL

3

x

L

L

3RgR

∂∂

=

∂

∂−=−

• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania Rozkład gęstości energii dla pyłu i promieniowania we wszechświecie opiszemy tensorempędu-energii dla cieczy nielepkiej.

( ) pgv~v~ pc T 2 µννµ−µν +ρ+= , p = ciśnienie promieniowania

( ) ( ) pgv~v~gg pc pgv~v~ pc T 22αβ

νµβνµα

−αββα

−αβ +ρ+=+ρ+=

( ) ( ) pgv~v~g pc pgv~v~ pc T 22 µσ

νµσν

−µσσ

µ−µσ +ρ+=+ρ+=

ds

dx c dssgnv~ 2

αα = , 1Lsgngsgndssgn 2

442 −=−=−=

αµ

µα = v~v~g , βν

βν = v~v~g , σν

σν = v~v~g

0v~v~v~ 321 === , 444 dxgds =

( )44222 T ,pL ,pL ,pL diagT −−−•• = , 2244 cL T ρ−= −

( )44222 T ,pL ,pL ,pL diagT =•• , 22

44 cL T ρ−=

( )44T ,p ,p ,p diagT =•

• , 244 c T ρ−=

• Równania pola

αβαβαβ κ−=− TRg R 21 , 112434 mkgs10073,2Gc8 −−−− ⋅=π=κ

pLxx

L

L

2

x

L

L

1 2

44

22

42κ−=

∂∂

∂−

∂

∂ lub pLc

t

L

L

2

t

L

L

1 22

2

22

2κ−=

∂∂

+

∂∂

−

ρκ=

∂

∂− 22

2

42Lc

x

L

L

3 lub ρκ+=

∂∂

+ 2431

2

2Lc

t

L

L

1

Łącząc powyższe dwa równania, otrzymujemy

( )ρ−κ=∂∂

∂ 2313

21

44

2

cp Lxx

L lub ( )ρ+−κ=

∂

∂ 23132

21

2

2

cpLct

L


138

• Prawa zachowania Prawa zachowania pędu i energii wyrazimy przez znikanie dywergencji tensora pędu-energii.

0TTx

TT ; =Γ+Γ−

∂

∂= µ

βαµα

αµ

µβαα

αβα

αβ , ( )4 3, 2, 1, =α

Dla 1=α (oraz analogicznie dla 2=α i 3=α ) mamy:

0x

p

x

TTT

x

TT

11

11

111

;1 =∂

∂=

∂

∂=Γ+Γ−

∂

∂= µα

µααµ

µαα

ααα ,

0x

p

x

TT

22

22

;2 =∂

∂=

∂

∂=α

α , 0x

p

x

TT

33

33

;3 =∂

∂=

∂

∂=α

α .

Powyższe trzy równania można zapisać w zwartej postaci.

0p grad =

Dla 4=α oraz 1dssgn 2 −= , mamy:

( ) 0 TTTTx

TTT

x

TT 3

43242

141

44

33

343

22

242

11

1414

44

444

;4 =Γ+Γ+Γ+Γ−Γ−Γ−∂

∂=Γ+Γ−

∂

∂= µα

µααµ

µαα

αα

α ,

0cx

L

L

3p

x

L

L

3

xc 2

444

2 =ρ∂

∂−

∂

∂−

∂

ρ∂− .

0 c

p

t

L

L

3

t 2=

+ρ∂∂

+∂ρ∂

• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania, 1Lsgn 2 += , 1Lsgn +=

Równanie pola przestrzenno-przestrzenne

pLct

L

L2

1

t

L 3221

2

2

2

κ−

∂∂

=∂∂

Równanie pola czasowo-czasowe

ρκ=

∂∂ 24

31

2

2Lc

t

L

L

1 lub ρκ==

∂∂ 4

312

2

4cH

t

L

L

1

Połączenie obu równań pola

( )23132

21

2

2

cpLct

Lρ+−κ=

∂∂

Równanie bilansu pędu0p grad =

Równanie bilansu energii

0 c

p

t

LL3

t 2

1 =

+ρ∂∂

+∂ρ∂ − lub

( )0

t

L

c

p

t

L 3

2

3

=∂

∂+

∂ρ∂

p = ciśnienie promieniowania ρ = gęstość pyłu


139

• Analiza modelu

Wszechświat wypełniony jest tylko energią związaną z promieniowaniem: 231 cp ρ=

0constBL4 >==ρ

0constBκcρLκct

L 43144

31

2

>===

∂∂

0t

L2

2

=∂

∂

t BcLL 312

0 κ+= , 0 t ≥22

3122

313

2323131

2323

2121

1313

1212 BLκcρLκcRRRRRR −=======

223122

314

3434242

4141

3434

2424

1414 BLκcρLκcRRRRRR −−=−======

Los wszechświata:Liniowy wzrost w czasie czynnika skali i asymptotyczne zbliżanie się do stanu płaskiejczasoprzestrzeni.

Wszechświat wypełniony jest tylko materią: 0p =

0constAL3 >==ρ

0constAκcρLκct

L 46134

61

2

2

>===∂

∂

2

2

2

t

L

2L

1

t

L

∂∂

=∂∂

Ostatni wzór jest podobny do relacji S2

va

2

= , łączącej przyspieszenie, prędkość i drogę

w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej. W związku z tym( ) 24

61

21

0 tAcLL κ+= , 0 t ≥2212

313

2323131

2323

2121

1313

1212 t4cALκcRRRRRR −−− =======

2212614

3434242

4141

3434

2424

1414 t2cALκcRRRRRR −−− −=−======

Los wszechświata:Kwadratowy wzrost w czasie czynnika skali i asymptotyczne zbliżanie się do stanu płas-kiej czasoprzestrzeni.

• 3iezerowe składowe mieszanego tensora krzywizny

2231

23232

3131

2323

2121

1313

1212 ρLκc

t

L

Lc

1 RRRRRR =

∂∂

======

( )pρc κLt

L

Lc

1

t

L

Lc

1RRRRRR 2

312

21

2

2

2

2

4343

4242

4141

3434

2424

1414 +−=

∂∂

−∂∂

======


140

• Prawo Hubble’a

ds

xdc sgndsv

µ2

dfµ

ˆˆ =

1dssgn 2 −=

ds

xdc iv

µµ

ˆˆ =

µµ Lxx =ˆ

+=

ds

dLx

ds

dxL c iv µ

µµˆ

0ds

dxicv

załαα == , 0

ds

dx=

α

, ( )3 ,2 ,1 =α

L

1

ds

dx4

=

t

L

L

1

ic

1

ds

dx

ic

1

t

L

ds

dt

t

L

ds

dL4

∂∂

=∂∂

=∂∂

=

t

L

L

1Lx

t

L

L

1xv

2µµµ

∂∂

=∂∂

=ˆ = pozorna prędkość ucieczki

t

L

L

1H

2

df

∂∂

= = stała (parametr) Hubble’a

µµ xLx =ˆ

µµ x Hv ˆˆ = Prawo Hubble’a

αx = współrzędne względem układu sztywno związanego z Ziemią

αx = współrzędne przeskalowane

( ) t LL = = czasowy czynnik skali

UWAGAPrawo Hubble’a głoszące, że galaktyki oddalają się od nas z pozorną prędkością wprost pro-porcjonalną do ich przeskalowanej odległości, jest równoważne ze stwierdzeniem, że czynnikskali wszechświata rośnie w czasie liniowo, gdy 2

31 ρcp = i kwadratowo, gdy 0p = .


141

12 MODEL WIRUJĄCEGO WSZECHŚWIATA GÖDLA

• Rozwiązanie Gödla W 1949 Kurt Gödel 1) znalazł rozwiązanie równań pola (z członem kosmologicznym róż-nym od zera)

µνµνµνµν λ+κ−=− gTRgR 21 ,

opisujące model wszechświata o stałym promieniu przestrzennym, w którym materia wirujewokół osi przechodzącej przez środek masy (osią obrotu jest prosta X3). Rozwiązanie zostałopodane w układzie wirującym wraz z materią.

( ) ( ) ( ) ( )2442bx2322bx2

21212 dxdxdxe2dxdxedxds

11

++−+−=

0ds2 ≥ ,

ctx4 = ,

R

1b = ,

κρc

1R = ,

R = stały promień przestrzenny wszechświata,

22R

1λ = ,

νµµν vρvT = ,

( ) ( )c0,0,0,v,v,v,vv 4321 == ,

( ) ( )c,0,ce0,v,v,v,vv1bx

4321 == .

Rozwiązanie Gödla podaliśmy jako przykład ilustrujący możliwości OTW, która dopusz-cza istnienie różnych wirtualnych modeli wszechświata. Fakt, że żyjemy we wszechświeciefriedmanowskim wydaje się być jedynie dziełem przypadku.

• Metryka Gödla we współrzędnych cylindrycznych Metrykę Godla zapiszemy również we współrzędnych cylindrycznych

ϕ= cosr x1 , ϕ= sinr x 2 , 33 xx = , 44 xx = .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 4brcos4brcos2brcos21

2423222brcos2122222brcos

2122

dxdcos2redrdxsine2drd e1cos2rsin

dxdxd cosesinrdr sinecosds

ϕ ϕ+ ϕ+ ϕ+ ϕ ϕ+

++−ϕϕ−ϕ−ϕ−ϕ−=ϕϕϕ

ϕϕ

Dla 0=ϕ oraz 2π=ϕ

( ) ( ) 4br242322br22122 dxd2redxdxd erdr ds ϕ ++−ϕ+−= .

Po pełnym obrocie układu współrzędnych, przy ustalonym r, metryka pozostaje nie zmienio-na. Uwzględniając, że


142

c

R2πΤ = oraz

κρc

1R = ,

dla okresu obrotu wszechświata otrzymujemy

κρc

2πT

2=

ρ

1]kgs[m10 1,5 2

123-5 ⋅⋅⋅≈

Czytelników zainteresowanych rozwiązaniem Gödla odsyłamy do jego drugiej pracy kos-mologicznej opublikowanej w 1952 2).

1) Kurt Gödel: An Example of a -ew Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equ-

ations of Gravitaion. Reviews of Modern Physics 21, 3 (July, 1949) 447-450.Przykład nowego typu kosmologicznych rozwiązań równań pola grawitacyjnego Einsteina.

2) Kurt Gödel: Rotating Universes in General Relativity Theory. Proceedings of the Internatio-nal Congress of Mathematicians. Edited by L. M. Graves et al.. Cambridge, Mass. 1 (1952)175-181.Wirujące wszechświaty w ogólnej teorii względności.

143

�IEZBĘD�IK

MATEMATYCZ�Y

1 MACIERZE

• Podstawowe definicje

Macierzą [ ] nm nm a ×

µν× =A , ( )n,...,1 ;m,...,1 =ν=µ , o wymiarach m na n nazywamy zbiór

liczb lub funkcji, zwanych jej elementami, zestawionych w m wierszy i n kolumn. Element µνa

znajduje się w µ -tym wierszu i ν -tej kolumnie.

• Wyznacznik macierzy

Wyznacznikiem stopnia n macierzy [ ] nn nn a ×

µν× =A , oznaczanym przez µν= a det A , nazy-

wamy liczbę lub funkcję utworzoną z elementów macierzy A według wzoru

( )n21 n2

!n

1

1

kdf

aaa1det λλ=λ

λ ⋅⋅⋅−=∑ λA .

Sumowanie przeprowadza się po wszystkich n! permutacjach n21 ,...,, λλλ liczb 1,2,...,n, a λk

jest ilością inwersji (nieporządków, przestawień) w danej permutacji drugich wskaźników.

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa−=

Wyznacznik trzeciego stopnia wygodnie jest obliczać według reguły Sarrusa.

332112322311312213322113312312332211

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

−−−++=

==

Przypomnijmy wybrane ogólne własności wyznaczników.

TWIERDZE�IE

∑∑=µ

µνµν

µν

=νµν

× ∆=∆=n

1

n

1

nn aadet A

TWIERDZE�IE

nn n

1

n

1

detaa ×αβ

=µ

µβµα

βν

=ναν δ=∆=∆ ∑∑ A , =δ=δ=δ=δ β

ααββααβ

β≠α⇔

β=α⇔

0

1

µν∆ = dopełnienie algebraiczne elementu µνa wyznacznika nn det ×A

( ) µνν+µµν −=∆ M1

µνM = minor elementu µνa wyznacznika Adet , czyli podwyznacznik utworzony z wyz-

nacznika Adet poprzez skreślenie µ -tego wiersza i ν -tej kolumny

Na przykład

( )444341

343331

242321

2112

aaa

aaa

aaa

1+−=∆ .

NIEZBĘDNIK MATEMATYCZNY

144

• Dodawanie macierzy

Sumą macierzy [ ] m n a

×µν=A i [ ] m n

b ×

µν=B nazywamy macierz [ ] m n c

×µν=C , BAC += ,

której elementy dane są wzorem µνµνµν += bac . Dodawanie macierzy jest przemienne,

ABBAC +=+= .

• Mnożenie macierzy

Iloczynem macierzy [ ] n p a

×µα=A i [ ] q n

b ×

αν=B nazywamy macierz [ ] q p c

×µν=C , ABC = ,

której elementy dane są wzorem αν=α

µαµν ∑= bacn

1

. Element µνc jest sumą iloczynów odpowiada-

jących sobie elementów µ -tego wiersza macierzy A i ν -tej kolumny macierzy B . Mnożenie

macierzy w ogólności nie jest przemienne.

TWIERDZE�IEnnnnnnnn detdetdet ×××× = BABA

• Macierz transponowana

Macierzą transponowaną (przestawioną) względem macierzy [ ] nn nn a ×

µν× =A nazywamy

macierz [ ] [ ]νµµν == a a TTA . Macierz TA powstaje z macierzy A poprzez zamianę miejscami

wierszy i kolumn.

• Macierz symetryczna

Macierz [ ] nn nn a ×

µν× =A nazywamy macierzą symetryczną, jeżeli [ ] [ ]νµµν === a a TAA .

TWIERDZE�IETdet det AA =

• Macierz odwrotna Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz oznaczaną

przez 1−A lub RA także stopnia n, spełniającą następującą własność:

[ ]µν−− δ== AAAA 11 ,

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δµν

0

1.

A oto niektóre własności macierzy odwrotnej.

( ) AA =−− 11

1detdet 1 =⋅ −AA

( ) 111 −−− = BAABOperacje transpozycji i odwrócenia są przemienne.

( ) ( )T11T −−= AA

Jak mając macierz [ ] nn nn a ×

µν× =A znaleźć macierz odwrotną [ ] nn RR1 a

×

µν− ==AA ?

TWIERDZE�IE

Adeta R

νµ

µν

∆=


145

• Równanie charakterystyczne, wartości własne i wektory własne macierzy Minorem głównym stopnia k macierzy kwadratowej A nazywamy podmacierz powstałą

z elementów stojących na przecięciu k wierszy oraz k kolumn o tych samych indeksach. Jako

przykład podamy wszystkie minory główne drugiego stopnia macierzy A czwartego stopnia.

2221

1211

aa

aa,

3331

1311

aa

aa,

4441

1411

aa

aa,

3332

2322

aa

aa,

4442

2422

aa

aa,

4443

3433

aa

aa

Równaniem charakterystycznym macierzy [ ] 44 a

×

µν=A nazywamy równanie

0IIIII

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

det 0

4

1

3

2

2

3

1

4

0

44434241

34333231

24232221

14131211

=λ+λ+λ+λ+λ=

λ−

λ−

λ−

λ−

( ) κκ−

κ −= S1I4

, ( )4,3,2,1,0=κ

κS = suma wyznaczników wszystkich minorów głównych stopnia κ macierzy A

1SI 00 ==

Na przykład współczynniki 1I i 4I są odpowiednio śladem i wyznacznikiem macierzy A :

( ) [ ] 44

443322111 a Tr TraaaaI×

µν−=−=+++−= A ,

[ ] 44

4 a detdetI×

µν== A .

Przy okazji odnotujmy, że

[ ] 44

443322114321 a Tr Traaaa×

µν==+++=λ+λ+λ+λ A ,

[ ] 44

4321 a detdet ×

µν==λλλλ A .

Rozwiązania 1λ , 2λ , 3λ , 4λ równania charakterystycznego nazywamy wartościami

własnymi macierzy [ ] 4 4 a

×

µν=A .

Wektorem własnym odpowiadającym danej wartości własnej αλ macierzy A nazywamy

macierz jednokolumnową αx spełniającą następujące równanie

λ=

α

α

α

α

α

α

α

α

α

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

x

x

x

x

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

,

=

α

α

α

α

α

4

3

2

1

x

x

x

x

x .

Składowe wektora własnego α1x , α2x , α3x , α4x odpowiadającego wartości własnej αλ są

rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych

( ) 0xaxaxax a 414313212111 =+++λ− ααααα ,

( ) 0xaxax a xa 424323222121 =++λ−+ ααααα ,

( ) 0xax a xaxa 434333232131 =+λ−++ ααααα ,

( ) 0x a xaxaxa 444343242141 =λ−+++ ααααα .


146

• Transformacje ortogonalne

DEFI�ICJATransformacje ortogonalne to liniowe transformacje przekształcające układ ortonormalny

w inny układ ortonormalny.

α=α

µαµ ∑=′ xax4

1

, α

µµα ∂

′∂=

x

xa , A = [ ]

∂

′∂=

α

µµα

x

xa , ( )4,3,2,1=µ , µννµ δ=⋅ee

ν=ν

ανα ′=∑ xcx4

1

, ν

ααν ′∂

∂=

x

xc , C = [ ]

′∂

∂=

ν

ααν

x

xc , ( )4,3,2,1=α , µννµ δ=′⋅′ ee

µν=α

ανµα δ=∑4

1

ca , [ ]µνδ= AC , 1−= AC

TWIERDZE�IEMacierz transformacji ortogonalnej (macierz ortogonalna) spełnia następujące warunki:

µναν=α

αµ δ=∑ aa4

1

lub µν=α

ναµα δ=∑4

1

aa ,

czyli suma kwadratów elementów każdej kolumny równa się jedności, a suma iloczynów od-

powiednich elementów dwóch różnych kolumn równa się zeru lub suma kwadratów elemen-

tów każdego wiersza równa się jedności, a suma iloczynów odpowiednich elementów dwóch

różnych wierszy równa się zeru.

TWIERDZE�IEMacierz kwadratowa reprezentuje przekształcenie ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy

[ ]αβδ== T EAA albo [ ]αβδ== T EAA ,

gdzie I jest tzw. macierzą jednostkową, której wszystkie elementy są równe jedności a wszy-

stkie pozostałe są zerami.

DEFI�ICJAMacierz kwadratowa nazywa się ortogonalną, gdy

[ ]αβδ== T EAA albo [ ]αβδ== T EAA .

TWIERDZE�IEDla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy przestawionej (transpono-

wanej).

T1 AA =− , [ ] [ ]T 1a a µν

−µν = ,

T1

x

x

x

x

∂

′∂=

∂

′∂

ν

µ

−

ν

µ oraz [ ] [ ][ ]T 1

a a −

µννµ =

DOWÓD

δ=

=δ=

µν=α

ναµα

−µν

=αανµα

∑

∑4

1

14

1

aa

,ca AC

⇒

=

=

=

=

−

αναν

νααν

T1

T

Tac

ac

AA

AC

TWIERDZE�IEWyznaczniki macierzy ortogonalnych są równe 1± .


147

W�IOSEKDla macierzy ortogonalnych

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

=

∂

′∂=

′∂

∂=

∂

′∂=

µν

−

µνµ

νµν

ν

µ−

µνν

µµν

T 1T

1

a a , x

x a

x

x a ,

x

xa

⇒

∂

′∂=

′∂

∂

µ

ν

ν

µ

x

x

x

x

W�IOSEKDla macierzy ortogonalnych

µνν

α

=α µ

α δ=∂

′∂

∂

′∂∑

x

x

x

x4

1

, µνα

ν

=α α

µ δ=∂

′∂

∂

′∂∑

x

x

x

x4

1

, µνα

ν

=α α

µ δ=′∂

∂′∂

∂∑

x

x

x

x4

1

, µνν

α

=α µ

α δ=′∂

∂′∂

∂∑

x

x

x

x4

1

,

µνα

ν

=α µ

α δ=′∂

∂∂

′∂∑

x

x

x

x4

1

, µνν

α

=α α

µ δ=∂

′∂′∂

∂∑

x

x

x

x4

1

, µνν

α

=α α

µ δ=′∂

∂∂

′∂∑

x

x

x

x4

1

, µνα

ν

=α µ

α δ=∂

′∂′∂

∂∑

x

x

x

x4

1

.

TWIERDZE�IEMacierz odwrotna macierzy ortogonalnej jest ortogonalna.

DOWÓD

( ) ( ) EAAAAAA === −−−− 11TT1T1 .

TWIERDZE�IEIloczyn dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną.

DEFI�ICJANiepusty zbiór G nieosobliwych przekształceń liniowych reprezentowanych przez ich macie-

rze stanowi grupę, gdy

1. ( ) GBAGBA,

∈⋅∈∧

2. ( ) ( )CBACBAGCB,A,

⋅⋅=⋅⋅∈∧

3. EAAAA 11

GAGA 1=⋅=⋅ −−

∈∈ −∨∧

4. AAEEAGEGA

=⋅=⋅∈∈∨∧

TWIERDZE�IELiniowe transformacje ortogonalne tworzą grupę. (Wszystkie macierze ortogonalne nn×Atworzą grupę.)

Przykładami przekształceń ortogonalnych są obroty i inwersje

ϕϕ−

ϕϕ

1000

0100

00cossin

00sincos

,

−

1000

0100

0010

0001

.

W�IOSEKKażde przekształcenie ortogonalne można przedstawić jako iloczyn obrotów i inwersji.


148

2 ALGEBRAICZ�E FORMY KWADRATOWE

• Forma kwadratowa Formą kwadratową nazywamy funkcję n zmiennych n21 x,...,x,x daną wzorem

( ) βα=α =β

αβ∑∑= xxa,An

1

n

1

xx , βααβ = aa , ( )n,...,2,1, =βα .

Jeżeli współczynniki αβa i zmienne n21 x,...,x,x są rzeczywiste (zespolone), to forma kwad-

ratowa nazywa się rzeczywistą (zespoloną).

• Macierz formy kwadratowej

Macierzą formy kwadratowej nazywamy macierz jej współczynników [ ] [ ]βααβ == a a A .

• Rząd formy kwadratowej Rzędem r formy kwadratowej nazywamy największy stopień różnych od zera minorów

głównych jej macierzy.

• Dodatnio określone formy kwadratowe

Rzeczywista forma kwadratowa ( ) βα=α =β

αβ∑∑= xxa,An

1

n

1

xx nazywa się dodatnio określoną,

jeżeli ( ) 0,A >xx dla dowolnych wartości rzeczywistych zmiennych n21 x,...,x,x nie rów-

nych jednocześnie zeru.

• Kryteria dla dodatnio określonych form kwadratowych Rzeczywista forma kwadratowa n zmiennych jest dodatnio określona wtedy i tylko wte-

dy, gdy:

1. Można ją sprowadzić do postaci ( ) ∑=α

α=n

1

2z,D zz .

2. Wyznaczniki wszystkich minorów głównych jej macierzy są dodatnie.

3. Wszystkie wartości własne jej macierzy są dodatnie.

4. Jej macierz można przedstawić w postaci CCA T= .

• Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej (diagonalnej)

Dowolną rzeczywistą formę kwadratową ( ) βα=α =β

αβ∑∑= xxa,An

1

n

1

xx można sprowadzić do

postaci kanonicznej (diagonalnej) ( ) ∑=α

ααλ=n

1

2y,C yy za pomocą przekształcenia ortogonalne-

go o wyznaczniku równym 1, gdzie n11 ,...,, λλλ są wartościami własnymi macierzy formy

wyjściowej.

• Sygnatura formy kwadratowej Sygnaturą formy kwadratowej nazywamy różnicę liczby p współczynników dodatnich

i liczby q współczynników ujemnych w postaci kanonicznej tej formy, qps −= .

• Prawo bezwładności formy kwadratowej W postaci kanonicznej formy kwadratowej liczba p współczynników dodatnich i liczba q

współczynników ujemnych nie zależy od wyboru przekształcenia ortogonalnego, sprowadza-

jącego daną formę do postaci kanonicznej.

Suma liczby p współczynników dodatnich i liczby q współczynników ujemnych w postaci

kanonicznej formy jest równa rzędowi formy wyjściowej qpr += .


149

• �iezmienniki liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej Niezmiennikami liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej są:

1. Rząd macierzy formy kwadratowej.

2. Wyróżnik (wyznacznik) macierzy formy kwadratowej.

3. Współczynniki równania charakterystycznego macierzy formy kwadratowej.

4. Wartości własne macierzy formy kwadratowej.

TWIERDZE�IELiniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych

αµα

µ ′= xbx , βνβ

ν ′= xbx , αµα

µ ′= xdbdx , βνβ

ν ′= xdbdx , α

µµα ′∂

∂=

x

xb , β

ννβ ′∂

∂=

x

xb

sprowadza formę kwadratową νµµν= dxdxgds2

do postaci diagonalnej βαβααβ ′′δ= xdxdgds2

wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny macierzy [ ]κλ= b B są wektorami własnymi macierzy

[ ]κλ= g G .

3 LI�IOWE PRZEKSZTAŁCE�IA ORTOGO�AL�E I RÓŻ�ICZKOWE FORMYKWADRATOWE W TEORII WZGLĘD�OŚCI

• Czasoprzestrzeń Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią zdarzeń. Do jej opisu będą używane

w tej książce układy współrzędnych { }ictx,x,x,x 4321 = z czwartą współrzędną urojoną.

Ponieważ prezentowane poprzednio definicje, twierdzenia i wnioski były sformułowane dla

rzeczywistych zmiennych i współczynników, należy zbadać kiedy można je stosować w przy-

padku urojonych zmiennych i współczynników.

• Transformacja przeprowadzająca formę metryczną urojoną w rzeczywistą

11 zx =

22 zx =

33 zx =

44 z ix =

νµµν= dxdxgds x2

x , xx gg νµµν =

αµα

µ = zax , αµα

µ = dzadx

βνβ

ν = zax , βνβ

ν = dzadx

βααβ

βανβ

µαµν == dzdzgdzdzaagds zx2

z , να

µαµναβ = aag g x

dfz

=∂

∂=

α

µµα

i000

0100

0010

0001

x

za , [ ] ia det =µ

α

Badana transformacja

1. nie zmienia postaci formy metrycznej, 2

z

2

x dsds = ,

2. zmienia znak wyznacznika tensora metrycznego, [ ] [ ]zx g det g det αβµν −= ,

3. zmienia znak czwartej wartości własnej, z

4

x

4 λ−=λ , przy czym w postaciach kanonicz-

nych obu form urojonej i rzeczywistej analogiczne człony są sobie równe, w tym44z

4

44x

4 dzdzdxdx λ=λ .


150

4 PROSTOLI�IOWE UKŁADY WSPÓŁRZĘD�YCH

• Dualny (sprzężony) układ współrzędnych Rozpatrzmy czterowymiarową przestrzeń zdarzeń, a w niej prostoliniowy układ współ-

rzędnych { }ictx,x,x,x 4321 = z wektorami bazowym { }4321 ,,, eeee . Rozpatrzmy także

sprzężone z nimi (dualne do nich) układ współrzędnych { }4321 x,x,x,x i wektory bazowe

{ }4321 ,,, eeee . Z mocy definicji mamy ( ) νµ

νµ

νµ

νµ δ==⋅ eeeeee ,cos

df

=

ν≠µ⇔

ν=µ⇔

0

1.

Wektory bazy { }4321 ,,, eeee i bazy dualnej { }4321 ,,, eeee spełniają oczywiste zależności:

νµνµ = ee g ,

νµνµ = ee g ,

[ ] [ ] 1g g

−

µνµν = ,

[ ] [ ] 1g g

−µνµν = ,

[ ][ ] [ ]µνµνµν δ= g g ,

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δµν

0

1.

Pozostaje nam tylko wyznaczenie jawnej postaci macierzy µνg i µνg .

=⋅

=

νν

νµνµ

1

g

df

ee

ee ⇒ µνν

νµννµ =⋅=⋅ gg eeee ⇒ νµµννµµν =⋅=⋅= gg eeee ⇒ νµµν = gg

=⋅

=

νν

νµνµ

1

g

df

ee

ee ⇒ µνν

νµννµ =⋅=⋅ gg eeee ⇒ νµµννµµν =⋅=⋅= gg eeee ⇒ νµµν = gg

Przypomnijmy jak wyznacza się macierz odwrotną:

δ=⋅

⋅=

⋅=

νµ

νµ

νσσν

σµµσ

ee

ee

ee

g

g

⇒ ( )( ) ( )( ) νµ

νµ

σσ

νµ

νσσµ

σνµσ δ=⋅=⋅⋅=⋅⋅= eeeeeeeeeegg ,

δ=∆

δ=νµ

νσµσ

νµ

σνµσ

gg

gg ⇒

gg

νσσν

∆= ,

gdzie

[ ]αβ= g detg = wyznacznik macierzy utworzonej z elementów αβg ,

νσ∆ = dopełnienie algebraiczne elementu νσg wyznacznika .

Podamy jeszcze wzory dla długości wektorów bazowych i kątów między nimi:

=⋅

⋅=

µµµµ

µµµ

g

ee

eee ⇒ µµµ = g e ,

=⋅

⋅=

µµµµ

µµµ

g

ee

eee ⇒ µµµ = g e ,


151

zzzz

( )

=⋅

∠=⋅

==

µννµ

νµνµνµ

νννµµµ

g

,cos

g ,g

ee

eeeeee

ee

⇒ ( )ννµµ

µννµ =∠

gg

g,cos ee ,

( )

=⋅

∠=⋅

==

µννµ

νµνµνµ

νννµµµ

g

,cos

g ,g

ee

eeeeee

ee

⇒ ( )ννµµ

µννµ =∠

gg

g,cos ee .

• Algorytm konstrukcji bazy dualnej (sprzężonej)

1. Zadajemy wektory bazowe (bazę) { }4321 ,,, eeee .

2. Wyznaczamy macierz µνg .

( )νµνµνµµν ∠=⋅= eeeeee ,cos g

3. Wyznaczamy macierz µνg

gg

ggµννµ

νµµν ∆=

∆== ,

=

44434241

34333231

24232221

14131211

gggg

gggg

gggg

gggg

detg .

4. Wyznaczamy dualne wektory bazowe { }4321 ,,, eeee , wykorzystując wzory

∑=

=4

1α

α

µαµ g ee .

Ułatwimy sobie pracę posługując się relacjami

µµµ = ge ,

( )ννµµ

µν

νµ

gg

g,cos =∠ ee .

Znajdujemy z nich długości wektorów bazy dualnej oraz kąty między nimi.

Istotnym ułatwieniem jest również informacja zawarta w definicji bazy dualnej

ν

µ

ν

µ δ=⋅ee ,

z której znajdujemy pary wektorów prostopadłych względem siebie, po jednym z każdej

ba bazy.

PRZYKŁADKonstrukcja bazy dualnej w dwóch wymiarach.

1 1 =e , 1 2 =e

( )

=⋅=

=∠=

=⋅==

=⋅=

1g

, cos

gg

1g

2222

21

2121

212112

1111

ee

eeee

ee

ee

=

1

1g

21

21

µν , 43

21

21

1

1g ==

o60),(

21=∠ ee

e1

e2

x1

x2

1

1

o60),(

21=∠ ee


152

Elementy macierzy µνg :

( )

( )

( )

=⋅−

=

−=−=⋅−

==

=⋅−

=

+

+

+

34

43

22

22

32

34

21

43

2121

2112

34

43

11

11

11g

1gg

11g

⇒

−

−=µν

34

32

32

34

g .

Wektory bazy dualnej:

232

134

2

12

1

111 gg eeeee −=+= ,

234

132

2

22

1

212 gg eeeee +−=+= .

Relacja definicyjna między wektorami bazy i bazy dualnej:

( ) 1gg 2132

1134

1232

1134

1232

134

1

1 =−=⋅−⋅=⋅−=⋅ eeeeeeeee ,

( ) 0gg 2232

1234

2232

2134

2232

134

2

1 =−=⋅−⋅=⋅−=⋅ eeeeeeeee ,

( ) 1gg 2234

1232

2234

2132

2234

132

2

2 =+−=⋅+⋅−=⋅+−=⋅ eeeeeeeee .

Wartości wektorów bazy dualnej oraz kąt zawarty między nimi:

3

211111 g ==⋅= eee ,

3

222222 g ==⋅= eee ,

( )21

2211

1221

gg

g, cos −==∠ ee , ( ) o120, 21 =∠ ee .

Zadany promień wodzący R:

( ) ( ) 11

21 222 ,2 R,R eeR +=== .

Współrzędne kowariantne promienia wodzącego:

3RgRgR 2

12

1

111 =+= ,

3RgRgR 2

22

1

212 =+= ,

( ) ( ) 21

21 333 ,3 R,R eeR +=== .

1x

2x

x2

1

x1

e2

e2

e1

e1

1

1

1 R

2

2

2

2

3

3

1

2


153

• Transformacje wektorów bazowych

Rozpatrzmy wszystkie możliwe transformacje między bazami { }4321 ,,, eeee , { }4321 ,,, eeee ,

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ , { }4321 ,,, eeee ′′′′ .

{ }4321 ,,, eeee ν

µνµ

νµνµ

=

=

ee

ee

g

g

{ }4321 ,,, eeee [ ] [ ] 1g g

−µν

µν =

{ }4321 ,,, eeee

νµνµ

νµνµ

′=

=′

ee

ee

b

a

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ [ ] [ ] 1a b

−

µνµν =

{ }4321 ,,, eeee ν

µνµ

νµν

µ

′=

=′

ee

ee

d

c

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ [ ] [ ] 1c d

−

µνµν =

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ ν

µνµ

νµνµ

′=′

′=′

ee

ee

s

r

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ [ ] [ ] 1r s

−

µνµν =

{ }4321 ,,, eeee ν

µνµ

νµνµ

′=

=′

ee

ee

q

p

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ [ ] [ ] 1p q

−

µνµν =

{ }4321 ,,, eeee

νµνµ

νµνµ

′=

=′

ee

ee

n

m

{ }4321 ,,, eeee ′′′′ [ ] [ ] 1m n

−

µνµν =

=′⋅′

=⋅

′=

=′

µµ

νν

µνµ

ν

νµνµ

1

1

d

a

ee

ee

ee

ee

⇒

=′⋅′=′⋅′=⋅′

=δ=⋅=⋅′

νµµ

µνµµ

νµµν

µ

µνννµν

ννµν

νµ

ddd

aa a

eeeeee

eeee⇒ µννµ = ad ⇒ [ ] [ ] a d

T

µνµν =

[ ] [ ][ ] [ ]

=

=

µνµν

−

µνµν

T

1

a d

d c ⇒ [ ] [ ]( ) 1T

a c −

µνµν = [ ] [ ]( ) 1T a c

−

µνµν =

[ ] [ ][ ] [ ]( )

[ ]( ) [ ]

=

=

=

µν

−−

µν

−

µνµν

−

µνµν

T

11T

1T

1

c c

c a

a b

⇒ [ ] [ ]T c b µνµν = [ ] [ ]T

c b µνµν =


154

[ ] [ ]

=

′=

=

=′

′=′

βνβν

νβνβ

βαβα

αµα

µ

νµνµ

T c b

b

g

c

r

ee

ee

ee

ee

⇒ νβναβ

µαµ ′=′ ee bgc ⇒ Tcgcbgcr βν

αβµαβν

αβµαµν ==

[ ] [ ]

=

′=

=

=′

′=′

µνµν

νβν

β

βαβα

αµαµ

νµνµ

T a d

d

g

a

s

ee

ee

ee

ee

⇒ νβναβµαµ ′=′ ee dga ⇒ Tagadgas βναβµαβναβµαµν ==

=

=′

=′

νανα

αµα

µ

νµνµ

ee

ee

ee

g

c

p

⇒ ναν

µαµ =′ ee gc ⇒ αν

µαµν = gcp

′=

=

′=

ναν

α

αµαµ

νµνµ

ee

ee

ee

d

g

q

⇒ νανµαµ ′= ee dg ⇒ ανµαµν = dgq

=

=′

=′

νανα

αµαµ

νµνµ

ee

ee

ee

g

a

m

⇒ νανµαµ =′ ee ga ⇒ ανµαµν = gam

′=

=

′=

νανα

αµαµ

νµνµ

ee

ee

ee

b

g

n

⇒ νανµαµ ′= ee bg ⇒ αν

µαµν = bgn

Przedstawiony z lewej strony graf obrazuje transfor-

macje między czterema bazami.

{ } { }4321 ,,, eeeee =α

{ } { }4321 ,,, eeeee ′′′′=′α{ } { }4321 ,,, eeeee =α

{ } { }4321 ,,, eeeee ′′′′=′α

{ } { }

{ } { }αα

αα

′

′

ee

ee

[ ]a

[ ]b

[ ]r [ ]s [ ]p

[ ]q

[ ]c

[ ]d

[ ]g [ ]1g

−

[ ]m

[ ]n

{ } { αα

αα

′ee

ee

a

b

r s

p

q

c

d

g 1

g −

m

n


155

• Współrzędne kontrawariantne i kowariantne Współrzędne kontrawariantne wektora A względem bazy { }4321 ,,, eeee dane są przez

( ) µµ=+++== eeeeeA AAAAAA,A,A,A 4

4

3

3

2

2

1

14321 .

Współrzędne kontrawariantne wektora A są równoległymi rzutami tego wektora na odpowied-

nie osie układu współrzędnych { }4321 x,x,x,x .

δ=⋅

=µν

µν

νν

ee

eA A ⇒ µµ

ννµ

ννµ =δ=⋅=⋅ AAA eeeA ⇒ µµ ⋅= eAA

Współrzędne kontrawariantne wektora A są prostokątnymi rzutami tego wektora na odpowied-

nie osie dualnego układu współrzędnych { }4321 x,x,x,x .

=′

′=′⋅

=⋅

νµν

µ

µµ

νν

ee

eA

eA

c

A

A

⇒ ( ) νµν

νµν

νµν

µ =⋅=⋅=′⋅ Accc eAeAeA ⇒ νµν

µ =′ AcA

Współrzędne kontrawariantne ( )4321 A,A,A,A wektora A względem bazy { }4321 ,,, eeee

przekształcają się według takich samych wzorów jak wektory bazy dualnej { }4321 ,,, eeee .

Współrzędne kontrawariantne ( )4321 x,x,x,x punktu P są współrzędnymi kontrawariantnymi

promienia wodzącego R , którego koniec wyznacza punkt P.

( ) µµ=+++== eeeeeR xxxxxx,x,x,x 4

4

3

3

2

2

1

14321

Współrzędne kowariantne wektora A względem dualnej bazy { }4321 ,,, eeee dane są

przez ( ) µµ=+++== eeeeeA AAAAAA,A,A,A 4

4

3

3

2

2

1

14321 .

Współrzędne kowariantne wektora A są równoległymi rzutami tego wektora na odpowiednie

osie dualnego układu współrzędnych { }4321 x,x,x,x .

δ=⋅

=νµµ

ν

νν

ee

eA A⇒ µ

νµνµ

ννµ =δ=⋅=⋅ AAA eeeA ⇒ µµ ⋅= eAA

Współrzędne kowariantne wektora A są prostokątnymi rzutami tego wektora na odpowiednie

osie układu współrzędnych { }4321 x,x,x,x .

=′

′=′⋅

=⋅

νµνµ

µµ

νν

ee

eA

eA

a

A

A

⇒ ( ) νµννµννµνµ =⋅=⋅=′⋅ Aaaa eAeAeA ⇒ νµνµ =′ AaA

Współrzędne kowariantne ( )4321 A,A,A,A wektora A względem bazy dualnej { }4321 ,,, eeee

przekształcają się według takich samych wzorów jak wektory bazy { }4321 ,,, eeee .

Współrzędne kowariantne ( )4321 x,x,x,x punktu P są współrzędnymi kowariantnymi

promienia wodzącego R , którego koniec wyznacza punkt P.

( ) νν=+++== eeeeeR xxxxxx,x,x,x 4

4

3

3

2

2

1

14321

Dla ortonormalnej bazy { }4321 ,,, eeee , µνµννµ δ=δ=⋅ ee , tzn. w przypadku gdy wektory

bazowe są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednostkowe długości

⋅=

δ=δ=⋅

νµν

µ

µνµννµ

ee

ee

AA ⇒ µµ

νν

µ =δ= AAA ,

nie ma różnicy między współrzędnymi kontrawariantnymi i kowariantnymi wektora A.


156

• Iloczyn skalarny dwóch wektorów W dowolnym układzie współrzędnych iloczyn skalarny dwóch wektorów A i B definio-

wany jest jako

( )BABABA ,cos df

=⋅

W ortogonalnym układzie współrzędnych:

=µν

44

33

22

11

g000

0g00

00g0

000g

g ,

=µν

44

33

22

11

g000

0g00

00g0

000g

g , αα

αα =g

1g ,

44

44

33

33

22

22

11

11

44

44

33

33

22

22

11

11

BAgBAgBAgBAg

BAgBAgBAgBAg

+++=

=+++=⋅BA

W ortonormalnym układzie współrzędnych: µνµν

µν δ== gg ,

44332211

44332211 BABABABABABABABA +++=+++=⋅BA

• Długość wektora W dowolnym układzie współrzędnych długości wektorów kontrawariantnego i kowariant-

nego dane są odpowiednio wzorami

νµ

µν

νµ

νµν

ν

µ

µdf

AAgAAAA =⋅=⋅=⋅= eeeeAAA ,

νµ

µν

νµ

νµν

ν

µ

µ

df

AAgAAAA =⋅=⋅=⋅= eeeeAAA ,

νµ

µννµ

µν AAgAAg ==⋅= AAA

W ortogonalnym układzie współrzędnych

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )24

442

3

332

2

222

1

11

24

44

23

33

22

22

21

11

AgAgAgAg

AgAgAgAg

+++=

=+++=A

W ortonormalnym układzie współrzędnych

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24

2

3

2

2

2

1

24232221 AAAAAAAA +++=+++=A

( ) ( ) ( ) νµµν

νµνµν

νµ

µ =⋅=⋅=⋅ BAgBABA eeeeBA

( ) ( ) ( ) νµµν

νµνµν

νµ

µ =⋅=⋅=⋅ BAgBABA eeeeBA

νµµννµ

µν ==⋅ BAgBAgBA

µµµ

µ == eeA AA

ννν

ν == eeB BB

νµµν ⋅= eeg

νµµν ⋅= eeg


157

• Iloczyn skalarny jako niezmiennik dowolnej transformacji liniowej

µ

=µµ ′′=′ ∑ eA

1

A

ν

=νν ′′=′ ∑ eB

1

B

α=α α

µµ ∑ ∂

′∂=′ A

x

xA

1

∑=β

ββ

νν ∂

′∂=′

1

B x

xB

κ

=κ µ

κµ ∑ ′∂∂

=′ ee x

x

1

λ

=λ ν

λν ∑ ′∂∂

=′ ee x

x

1

κα

=µ µ

κ

α

µ δ=′∂

∂∂

′∂∑

1 x

x

x

x

λβ

=ν ν

λ

β

ν δ=′∂

∂∂

′∂∑

1 x

x

x

x

κλλκ =⋅ gee

αβ

=κ =λ

κλλβ

κα =δδ∑∑ gg

1 1

BA ⋅=∑∑=α =β

αββα

1 1

gBA

=

′′⋅

′′=′⋅′ ν

=νν

µ

=µµ ∑∑ eeBA

11

BA

( )=′⋅′′′= νµ

=µ =ννµ∑∑ ee

1 1

BA

( )=⋅′∂

∂∂

′∂′∂

∂∂

′∂=∑∑∑∑∑∑

=µ =ν =κ =λ =α =β

λκ

ν

λ

β

ν

µ

κ

α

µβα

1 1 1 1 1 1 x

x

x

x

x

x

x

xBA ee

=δδ=∑∑∑∑=κ =λ =α =β

κλλβ

καβα

1 1 1 1

gBA

==∑∑=α =β

αββα

1 1

gBA

BA ⋅=

BABA ⋅=′⋅′

TWIERDZE�IEIloczyn skalarny dwóch wektorów kowariantnych jest niez-

miennikiem dowolnej transformacji liniowej.

Analogicznie udowadnia się twierdzenie, że iloczyn skalarny

dwóch wektorów kontrawariantnych jest również niezmien-

nikiem dowolnej transformacji liniowej.

µ=µ

µ ′′=′ ∑ eA1

A

ν=ν

ν ′′=′ ∑ eB1

B

α

=αα

µµ ∑ ∂

′∂=′ A

x

xA

1

∑=β

ββ

νν

∂

′∂=′

1

B x

xB

κ=κ

µ

κ

µ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x

1

λ=λ

ν

λ

ν ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x

1

BA ⋅=∑∑=α =β

αββα

1 1

gBA

=

′′⋅

′′=′⋅′ ν

=ν

νµ

=µ

µ ∑∑ eeBA11

BA ( )=′⋅′′′ νµ=µ =ν

νµ∑∑ ee1 1

BA

( )=⋅′∂

∂

∂

′∂

′∂

∂

∂

′∂=∑∑∑∑∑∑

=µ =ν =κ =λ =α =βλκν

λ

β

ν

µ

κ

α

µβα

1 1 1 1 1 1 x

x

x

x

x

x

x

xBA ee

κα

=µµ

κ

α

µ

δ=′∂

∂

∂

′∂∑

1 x

x

x

x, λ

β=ν

ν

λ

β

ν

δ=′∂

∂

∂

′∂∑

1 x

x

x

x, κλλκ =⋅ gee

=δδ=∑∑∑∑=κ =λ =α =β

κλλβ

κα

βα

1 1 1 1

gBA

αβ=κ =λ

κλλβ

κα =δδ∑∑ gg

1 1

BA ⋅==∑∑=α =β

αββα

1 1

gBA

BABA ⋅=′⋅′


158

5 TE�SORY

• Wektory kontrawariantne i kowariantne jako tensory pierwszego rzędu Czterowymiarowym wektorem kontrawariantnym (przeciwzmienniczym) lub

wektorem o współrzędnych kontrawariantnych nazywamy zbiór czterech wielkości

( )4321 A,A,A,A , zwanych jego współrzędnymi względem bazy { }4321 ,,, eeee , które przy

zmianie układu współrzędnych

( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ ν

=νµ

ν

µ ∑ ′∂∂

=′ ee4

1

x

x, ( )4,3,2,1=µ

i towarzyszącej im zmianie dualnego układu współrzędnych

( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, ν

=ν µ

νµ ∑ ′∂∂

=′ ee x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ

transformują się według wzorów

( )4,3,2,1 ,A x

xA

4

1

=µ∂

′∂=′ ∑

=ν

νν

µµ ,

czyli tak jak różniczki współrzędnych kontrawariantnych lub

ν

=ν µ

νµ ∑ ′∂∂

=′ A x

xA

4

1

, ( )4,3,2,1=µ .

Czterowymiarowym wektorem kowariantnym (współzmienniczym) lub wektorem

o współrzędnych kowariantnych nazywamy zbiór czterech wielkości ( )4321 A,A,A,A ,

zwanych jego współrzędnymi względem dualnej bazy { }4321 ,,, eeee , które przy zmianie

układu współrzędnych

( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ ν

=νµ

ν

µ ∑ ′∂∂

=′ ee4

1

x

x, ( )4,3,2,1=µ


( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, ν

=ν µ

νµ ∑ ′∂∂

=′ ee x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4,3,2,1 ,A x

xA

4

1

=µ′∂

∂=′ ∑

=ννµ

ν

µ

lub

ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ A

x

xA

4

1

, ( )4,3,2,1=µ ,

czyli tak jak różniczki współrzędnych kowariantnych.

UWAGAWektory o współrzędnych kontrawariantnych nazywane są wektorami kontrawariantnymi,

a wektory o współrzędnych kowariantnych wektorami kowariantnymi. Należy podkreślić, że

wektor kontrawariantny i kowariantny jest jednym i tym samym obiektem niezależnie od

układu współrzędnych.

( ) ( ) ( ) ( ) AA ′=′′′′=′′′′=== 4321

4321

4321

4321 A,A,A,AA,A,A,AA,A,A,AA,A,A,A


159

• Tensory kontrawariantne, kowariantne i mieszane drugiego rzędu Czterowymiarowym tensorem kontrawariantnym (przeciwzmienniczym) drugiego

rzędu nazywamy zbiór 16 wielkości, zwanych jego składowymi (współrzędnymi) względem

bazy { }4321 ,,, eeee , zestawianych w postaci macierzy

=µν

44434241

34333231

24232221

14131211

TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

T ,

które przy zmianie układu współrzędnych

( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ α

=αµ

α

µ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, α

=ν µ

αµ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4,3,2,1, ,Tx

x

x

xT

4

1

4

1

=νµ∂

′∂

∂

′∂=′ ∑∑

=α =β

αββ

ν

α

µµν ,

czyli tak jak iloczyny odpowiednich różniczek współrzędnych kontrawariantnych lub

αβ

ν

β

=α =β µ

αµν

′∂

∂

′∂∂

=′ ∑∑ Tx

x

x

xT

4

1

4

1

, ( )4,3,2,1, =νµ .

Czterowymiarowym tensorem kowariantnym (współzmienniczym) drugiego rzędu

nazywamy zbiór 16 wielkości, zwanych jego składowymi (współrzędnymi) względem dualnej

bazy { }4321 ,,, eeee , zestawianych w postaci macierzy

=µν

44434241

34333231

24232221

14131211

TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

T ,


( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ α

=αµ

α

µ ∑ ′∂

∂=′ ee

4

1

x

x, ( )4,3,2,1=µ


( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, α

=ν µ

αµ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4,3,2,1, ,Tx

x

x

xT

4

1

4

1

=νµ′∂

∂

′∂

∂=′ ∑∑

=α =βαβν

β

µ

α

µν lub

αββ

ν

=α =β α

µµν ∂

′∂∂

′∂=′ ∑∑ T

x

x

x

xT

4

1

4

1

, ( )4,3,2,1, =νµ ,

czyli tak jak iloczyny odpowiednich różniczek współrzędnych kowariantnych.


160

Czterowymiarowym tensorem mieszanym drugiego rzędu nazywamy zbiór 16 wielkości,

zwanych jego składowymi (współrzędnymi) względem bazy { }4321 ,,, eeee , zestawianych

w postaci macierzy

=µν

4

4

4

3

4

2

4

1

3

4

3

3

3

2

3

1

2

4

2

3

2

2

2

1

1

4

1

3

1

2

1

1

TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

T ,


( ) ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′

4

1

4321 ,xd x

xxd , x,x,x,xfx α

=αµ

α

µ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, α

=ν µ

αµ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


∑∑=α =β

αβν

β

α

µµ

ν ′∂

∂

∂

′∂=′

4

1

4

1

Tx

x

x

xT , ( )4,3,2,1, =νµ lub

αβ

β

ν

=α =βα

µµ

ν ∂

′∂∂

′∂=′ ∑∑ T

x

x

x

xT

4

1

4

1

, ( )4,3,2,1, =νµ lub

αβν

β

=α =β µ

αµν ′∂

∂

′∂∂

=′ ∑∑ Tx

x

x

xT

4

1

4

1

, ( )4,3,2,1, =νµ lub

αβ

β

ν

=α =β µ

αµν ∂

′∂′∂

∂=′ ∑∑ T

x

x

x

xT

4

1

4

1

, ( )4,3,2,1, =νµ .

Tensory drugiego rzędu kowariantne i kontrawariantne nazywamy symetrycznymi, jeżeli

odpowiednio νµµν = AA i νµµν = AA oraz antysymetrycznymi (skośnosymetrycznymi), jeżeli

odpowiednio νµµν −= AA i νµµν −= AA . Wszystkie składowe diagonalne tensora antysymetry-

cznego są równe zeru.

Czterowymiarowym tensorem g-krotnie kontrawariantnym i d-krotnie kowariantnymg21

d21T

µµµννν

L

Lnazywamy zbiór dg4 + wielkości, zwanych jego składowymi (współrzędnymi) wzglę-

dem bazy { }4321 ,,, eeee , które przy zmianie układu współrzędnych

( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ α

=αµ

α

µ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ν=ν ν

µµ ∑ ∂

′∂=′ dx

x

xxd

4

1

, α

=ν µ

αµ ∑ ′∂

∂=′ ee

x

x4

1

, ( )4,3,2,1=µ


g21

d21d

d

1 d

1

1

g

g

g

1

1

1

g21

d21T

x

x

x

x

x

x

x

xT

4

1

4

1

4

1

4

1

αααβββν

β

=β =βν

β

α

µ

=αα

µ

=α

µµµννν ′∂

∂′∂

∂

∂

′∂

∂

′∂=′ ∑ ∑∑∑ L

L

L

LLLLL lub

g321

d321

d

d

d 1

1

1g

g

g 1

1

1

g321

d321T

x

x

x

x

x

x

x

xT

4

1

4

1

4

1

4

1

ααααββββ

β

ν

=β β

ν

=βµ

α

=α µ

α

=α

µµµµνννν ∂

′∂

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂=′ ∑∑∑∑ L

L

L

LLLLL .

Liczbę ( )gd + nazywamy rzędem tensora.


161

• Delta Kroneckera jako tensor Delta Kroneckera bywa zapisywana jako

=

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δ=δ=δ=δ µν

µννµ

µν

1000

0100

0010

0001

0

1.

TWIERDZE�IEDelta Kroneckera jest tensorem mieszanym drugiego rzędu względem dowolnych transfor-

macji.

DOWÓD

[ ]

δ′=′∂

∂

∂

′∂

δ′=

′∂

∂

∂

′∂

′′∂

∂=

∂

′∂=′

µνν

α

=αα

µ

µνν

α

α

µ

ν

=νν

αα

α

=αα

µµ

∑

∑

∑

x

x

x

x

x

x

x

x

xd x

xdx

dx x

xxd

4

1

4

1

4

1

µνν

α

=αα

µααν

α

=αα

µ

=α =β

βαν

β

α

µµν δ′=

′∂

∂

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ′ ∑∑∑∑

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 4

1

4

1

4

1

4

1

TWIERDZE�IEDelta Kroneckera jest tensorem drugiego rzędu równocześnie dwukrotnie kontrawariantnym,

dwukrotnie kowariantnym lub mieszanym tylko względem transformacji ortogonalnych,

∑∑∑∑=α

α

ν

α

µαα

=αα

ν

α

µαβ

=α =ββ

ν

α

µµν

∂

′∂

∂

′∂=δ

∂

′∂

∂

′∂=δ

∂

′∂

∂

′∂=δ′

4

1

4

1

4

1

4

1 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x = µνδ′ ,

∑∑ ∑∑ ∑=α

ν

α

µ

α

αα=α =β

ν

α

µ

α

αβ=α =β

ν

β

µ

α

µν ′∂

∂

′∂

∂=δ

′∂

∂

′∂

∂=δ

′∂

∂

′∂

∂=δ ′

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x = µνδ′ ,

µνν

α

=αα

µααν

α

=αα

µ

=α =β

βαν

β

α

µµν δ′=

′∂∂

∂

′∂=δ

′∂∂

∂

′∂=δ

′∂∂

∂

′∂=δ′ ∑∑∑∑

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 4

1

4

1

4

1

4

1

,

νµ

=αα

ν

µ

α

=α

ααα

ν

µ

α

=α =β

αββ

ν

µ

ανµ δ′=

∂

′∂′∂

∂=δ

∂

′∂′∂

∂=δ

∂

′∂′∂

∂=δ′ ∑∑∑∑

4

1

4

1

4

1

4

1 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x,

gdyż tylko wtedy odpowiednio

∑=α

α

ν

α

µ

∂

′∂

∂

′∂4

1 x

x

x

x = µνδ′ , ∑

=αν

α

µ

α

′∂

∂

′∂

∂4

1 x

x

x

x = µνδ′ , µ

νν

α

=αα

µ

δ′=′∂

∂

∂

′∂∑

x

x

x

x4

1

, νµα

ν

=αµ

α

δ′=∂

′∂

′∂

∂∑

x

x

x

x4

1

.

UWAGAWielu autorów udowadniając, że delta Kroneckera jest tensorem mieszanym drugiego rzędu

względem dowolnych transformacji popełnia prosty błąd rachunkowy:

µνν

µααν

α

α

µβαν

β

α

µµν δ′=

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ′

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x.

Tymczasem poprawne rachunki wyglądają jak następuje

µνν

α

=αα

µααν

α

=αα

µ

=α =β

βαν

β

α

µµν δ′=

′∂

∂

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ

′∂

∂

∂

′∂=δ′ ∑∑∑∑

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 4

1

4

1

4

1

4

1

.


162

6 TE�SOR METRYCZ�Y

• Kowariantny tensor metryczny Niech będzie dany układ współrzędnych z bazą 4321 ,,, eeee . Symetryczny tensor drugiego

rzędu

( )νµνµνµµν ∠=⋅= eeeeee ,cos gdf

,

=µν

44434241

34333231

24232221

14131211

gggg

gggg

gggg

gggg

g , νµµννµµν =⋅=⋅= gg eeee

nazywamy kowariantnym tensorem metrycznym. Składowe tensora metrycznego µνg są

w ogólności dwukrotnie różniczkowalnymi funkcjami współrzędnych ( )4321 x,x,x,x .

• Kontrawariantny tensor metryczny Niech będzie dany dualny układ współrzędnych z bazą 4321 ,,, eeee . Symetryczny tensor

kontrawariantny drugiego rzędu

( )νµνµνµµν ∠⋅=⋅= eeeeee ,cos gdf

,

=µν

41414141

34333231

24232221

14131211

gggg

gggg

gggg

gggg

g , νµµννµµν =⋅=⋅= gg eeee

nazywamy kontrawariantnym tensorem metrycznym.

Pokażemy, że macierz µνg jest macierzą odwrotną do macierzy µνg : νµ

=α

ανµα δ=∑

4

1

gg .

δ=⋅

⋅==

⋅==

νµ

νµ

νανααν

αµαµµα

ee

ee

ee

gg

gg

⇒ ( )( ) ( )( ) νµ

νµ

αα

νµ

νααµ

ανµα δ=⋅=⋅⋅=⋅⋅= eeeeeeeeee gg

Przypomnijmy jak wyznaczyć elementy macierzy µνg , znając elementy macierzy µνg .

δ=∆

δ=νµ

ναµα

νµ

ανµα

gg

gg ⇒

ggg

νανααν ∆==

g = wyznacznik macierzy utworzonej ze składowych kowariantnego tensora metrycznego

[ ] 0

gggg

gggg

gggg

gggg

g g detg

44434241

34333231

24232221

14131211

≠=== µνµν

µν∆ = dopełnienie algebraiczne elementu µνg wyznacznika g


163

• Własności tensorów metrycznych Przypomnijmy wybrane ogólne własności wyznaczników.

TWIERDZE�IE

∑∑=µ

µνµν

µν

=νµν ∆=∆=

4

1

4

1

ggg

TWIERDZE�IE

βα

=µ

µβµα

βν

=ναν δ=∆=∆ ∑∑ ggg

4

1

4

1

, =δβα

β≠α⇔

β=α⇔

0

1

Przy ich pomocy udowodnimy kilka praktycznych własności tensorów metrycznych.

TWIERDZE�IEνµ

νααµ

αναµ

ναµα

ανµα δ==== gggggggg

DOWÓD

δ=∆

∆==

νµ

να

=αµα

νανααν

∑ gg

ggg

4

1

⇒ νµ

νµ

να

=αµα

αν

=αµα δ=δ=∆= ∑∑ g

g

1g

g

1gg

4

1

4

1

TWIERDZE�IE

4gg4

1

4

1

=µν

=µ =νµν∑∑

DOWÓD

4 gg

1g

g

1gg

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

∑ ∑∑∑∑∑=µ =µ

µµ

µµ

=µ =ν

µνµν

µν

=µ =νµν =δ=δ=∆=

TWIERDZE�IE

αβ=µ

νβ=ν

µαµν =∑∑ gggg

4

1

4

1

DOWÓD

αβ=ν

νβνα

=ννβ

να

=ννβ

=µ

µνµα

=µνβ

=νµα

µν

=µνβ

=νµα

µν =δ=δ=

∆=∆= ∑∑∑∑∑∑∑∑ gggg

g

1gg

g

1gg

g

1ggg

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

Z rozwinięcia wyznacznika i definicji składowych kontrawariantnych tensora metrycznego

otrzymamy wzór na pochodną z logarytmu wyznacznika tensora metrycznego.

µν

=νµν∆=∑

4

1

gg

gg

µνµν

∆=

0g , g

1

g

gln>=

∂∂

µνµν

µν

=∆=∂

∂gg

g

g

αµνµν

αµν

µνα ∂

∂=

∂

∂

∂∂

∂∂

=∂∂

x

gg

x

g

g

g

g

gln

x

gln

α

µνµν

ααα x

gg

x

g

g

1

x

g

g

2

x

lng

∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

∂∂


164

• Podstawowa forma metryczna (Kwadrat elementu liniowego) Rozpatrzmy czterowymiarową przestrzeń zdarzeń. Niech będzie dany układ współrzęd-

nych { }4321 ,,,,0 eeee . Czwarta współrzędna zdarzenia ( )4321 x,x,x,x , czyli ictx 4 = , jest

liczbą urojoną. Określmy kwadrat różniczki odległości między dwoma blisko położonymi

punktami ( )4321 x,x,x,x i ( )44332211 dxx,dxx,dxx,dxx ++++ o promieniach wodzących

R~

i RR~

d~+ jako

( ) ( ) RRR~

d~

d~

dds22 ⋅==

∑=µ

µµ=

4

1

dx~

d eR

∑=ν

νν=

4

1

dx~

d eR

( ) ∑∑=µ =ν

νµνµ ⋅=

4

1

4

1

2dxdxds ee

( )νµνµνµµν ∠=⋅= eeeeee ,cos gdf

( ) ∑∑=µ =ν

νµµν=

4

1

4

1

2dxdxgds

Pokażemy, że kwadrat różniczki odległości między dwoma blisko położonymi punktami,

zwany też podstawową formą metryczną, różniczkową formą kwadratową lub kwadratem ele-

mentu liniowego, jest inwariantem: ( ) ( )22sdds ′= .

( ) ν

=µ =ν

µµν∑∑= dxdxgds

4

1

4

1

2

∑=α

αα

µµ ′

′∂

∂=

4

1

xdx

xdx

∑=β

ββ

νν ′

′∂

∂=

4

1

xdx

xdx

( ) βα

=α =βµνβ

ν

=µ =να

µ

=β

ββ

ν

=α

αα

µ

=µ =νµν ′′

′∂

∂

′∂

∂=′

′∂

∂′

′∂

∂= ∑∑∑∑∑∑∑∑ xdxdg

x

x

x

xxd

x

xxd

x

xgds

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

2

µνβ

ν

=µ =να

µ

αβ ′∂

∂

′∂

∂=′ ∑∑ g

x

x

x

xg

4

1

4

1

( ) βα

=α =βαβ ′′′=∑∑ xdxdgds

4

1

4

1

2

( ) βα

=α =βαβ ′′′=′ ∑∑ xdxdgsd

4

1

4

1

2

( ) ( )22sdds ′=


165

Określmy ponownie kwadrat różniczki odległości między dwoma blisko położonymi

punktami ( )4321 x,x,x,x i ( )44332211 dxx,dxx,dxx,dxx ++++ o promieniach wodzących

R~

i RR~

d~+ jako

( ) ( ) RRR~

d~

d~

dds22 ⋅==

∑=µ

µµ=

4

1

dx~

d eR

∑=ν

νν=

4

1

dx~

d eR

( ) ∑∑= =

⋅=4

1µ

4

1ν

νµ

νµ

2dxdxds ee

( )νµνµνµdf

µν ,cos g eeeeee ∠=⋅=

( ) ∑∑= =

=4

1µ

4

1ν

νµ

µν2dxdxgds

Pokażemy, że obie definicje kwadratu różniczki odległości między dwoma blisko położo-

nymi punktami są równoważne: ( ) ∑∑∑∑= == =

==4

1α

4

1β

βα

αβνµ

4

1µ

4

1ν

µν2dxdxgdxdxgds .

( ) ∑∑= =

=4

1µ

4

1ν

νµ

µν2dxdxgds

∑=

=4

1α

α

µαµ dxgdx

∑=

=4

1β

β

νβν dxgdx

( ) βα4

1α

4

1β

4

1µ

4

1ν

νβµα

µν2dxdx gggds ∑∑ ∑∑

= = = =

=

αβ

4

1µ

4

1ν

νβµα

µν gggg =∑∑= =

( ) βα4

1α

4

1β

αβ

2dxdx gds ∑∑

= =

=


166

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

=µν

10

01g

( ) ( ) ( )22212dxdxds +=

( )21

211 ,cosxxx ee ′′∠′+′=

( )21

22 ,sinxx ee ′′∠′=

1gx

xg

x

xg 22

2

1

2

11

2

1

1

11 =

′∂

∂+

′∂

∂=′

( )21222

2

1

2

112

1

1

1

12 ,cosgx

x

x

xg

x

x

x

xg ee ′′∠=

′∂∂

′∂∂

+′∂

∂′∂

∂=′

( )21221

2

2

2

111

1

2

1

21 ,cosgx

x

x

xg

x

x

x

xg ee ′′∠=

′∂∂

′∂∂

+′∂

∂′∂

∂=′

1gx

xg

x

xg 22

2

2

2

11

2

2

1

22 =

′∂

∂+

′∂

∂=′

( )( )

′′∠

′′∠=′αβ

1,cos

,cos1g

21

21

ee

ee

( ) ( ) ( ) ( )21

2122212,cosxdxdxdxd ds ee ′′∠′′+′+′=

ϕ= cosrx

ϕ= sinry

( ) ( ) ( )222dydxds +=

ϕϕ−ϕ= d sinrdr cosdx

ϕϕ+ϕ= d cosrdr sindy

( ) ( ) ( )2222drdrds ϕ+=

( ) ( ) ( )22

rr

2dgdrgds ϕ+= ϕϕ

=µν

10

01g

=′µν 2r0

01g

eϕ

er

x

y

r ϕ

P

ex

ey

x

y

r

ϕ

1x′

2x′

1x

2x

2

11

x

xxcos

′′−

=α

2

2

x

xsin

′=α

),( 21 ee ′′∠=α

2e′

1e′ 1xdRd 1 ′=′

22 xdRd ′=′

2x′

RR

+ dR

dR

x1

x2

dR = dx1 1

dR = dx2 2

e1

e2

α α1′

2′

1

2

2

11

x

xxcos

′′−

=α

2

2

x

xsin

′=α

dR

x1

α

),( 21 ee ′′∠=α

2e′

1e′ 1xdRd 1 ′=′

22 xdRd ′=′

2′


167

• Liniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych sprowadzające podstawową for-mę metryczną do postaci diagonalnej

TWIERDZE�IELiniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych

αµα

µ ′= xbx , βνβ

ν ′= xbx , αµα

µ ′= xdbdx , βνβ

ν ′= xdbdx

sprowadza podstawową formę metrycznąνµ

µν= dxdxgds2

do postaci diagonalnejαα

α ′′λ= xdxdds

wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny macierzy [ ]κλ= b B są wektorami własnymi macierzy

[ ]κλ= g G .

Powyższe twierdzenie narzuca algorytm poszukiwania badanego przekształcenia.

1. Znajdujemy wartości własne macierzy [ ]κλ= g G jako pierwiastki jej równania charakterys-

tycznego

λ−

λ−

λ−

λ−

44434241

34333231

24232221

14131211

gggg

gggg

gggg

gggg

det = 0IIIII 4

1

3

2

2

3

1

4

0 =+λ+λ+λ+λ

( ) κκ−

κ −= S1I4

, ( )4,3,2,1,0=κ

κS = suma wyznaczników wszystkich minorów głównych stopnia κ macierzy G

1SI 00 ==W szczególności

[ ]αβ== g detdetI4 G ,

( ) [ ]αβ−=−=+++−= g Tr Trgggg I 443322111 G .

Przy okazji odnotujmy, że

[ ]αβ=λ+λ+λ+λ g Tr4321 , [ ]αβ=λλλλ g det 4321 .

2. Składowe wektora własnego ( )αααα 4321 b,b,b,b , odpowiadającego wartości własnej αλ

λ=

α

α

α

α

α

α

α

α

α

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

b

b

b

b

b

b

b

b

gggg

gggg

gggg

gggg

,

są rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych

( ) 0bgbgbgb g 414313212111 =+++λ− ααααα ,

( ) 0bgbgb g bg 424323222121 =++λ−+ ααααα ,

( ) 0bgb g bgbg 434333232131 =+λ−++ ααααα ,

( ) 0b g bgbgbg 444343242141 =λ−+++ ααααα .


168

7 WSPÓŁRZĘD�E KRZYWOLI�IOWE

• Współrzędne krzywoliniowe Mamy dany prostoliniowy układ współrzędnych

{ }4321 ,,,,0 eeee .

Każdemu punktowi P o promieniu wodzącym R zostały przyporządkowane prostoliniowe

współrzędne kontrawariantne ( )4321 x,x,x,x

4

4

3

3

2

2

1

1 xxxx eeeeR +++= .

Zmienne 4321 x,x,x,x ′′′′ nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi, jeżeli są one zwią-

zane ze współrzędnymi prostoliniowymi ( )4321 x,x,x,x za pomocą nieliniowego przekształce-

nia

( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ , ( )4,3,2,1=µ

i jeżeli istnieje przekształcenie odwrotne

( )4321 x,x,x,xgx ′′′′= νν , ( )4,3,2,1=ν .

Wyznaczniki jakobianów obu tych transformacji są więc różne od zera

0x

fdet

x

xdet ≠

∂

∂=

∂

′∂νµ

ν

µ

, 0x

g

x

xdet ≠

′∂∂

=′∂

∂µν

µ

ν

.

Dana współrzędna przyjmuje stałą wartość na powierzchni tej współrzędnej. Punkt P znaj-

dujący się na przecięciu powierzchni ,constx 1 =′ ,constx 2 =′ ,constx 3 =′ ,constx 4 =′ po-

siada współrzędne krzywoliniowe ( )4321 x,x,x,x ′′′′ . Linie wzdłuż których przecinają się ta-

kie powierzchnie są liniami współrzędnych. Wzdłuż linii współrzędnej zmienia się tylko dana

współrzędna a pozostałe są ustalone. Współrzędne krzywoliniowe dzielimy na ortogonalne

i nieortogonalne. Wszystkie linie współrzędnych ortogonalnych przecinają się parami pod ką-

tem prostym. W przypadku współrzędnych nieortogonalnych warunek ten nie jest spełniony.

• Lokalne układy współrzędnych związane ze współrzędnymi krzywoliniowymi Promień wodzący R zaczepiony w początku układu { }4321 ,,,,0 eeee

( ) νννν ′′′′== eeR x,x,x,x gx 4321

jest funkcją współrzędnych krzywoliniowych ( )4321 x,x,x,x ′′′′ .

Pochodne cząstkowe µ′∂∂x

R

µνµν

µ′=

′∂

∂=

′∂

∂ee

R df

x

g

x

są w każdym punkcie wektorami liniowo niezależnymi i stycznymi do odpowiednich linii

współrzędnych. Wektory te w każdym punkcie P tworzą tzw. lokalny układ współrzędnych

{ }4321 ,,,,P eeee ′′′′ .

W przypadku współrzędnych prostoliniowych

νν= eR x , νν =′ xx , µµµ =

∂∂

=′∂

∂e

RR

xx

układ lokalny w każdym punkcie P

{ }44332211 ,,,,P eeeeeeee =′=′=′=′

ma taką samą bazę jak układ wyjściowy

{ }4321 ,,,,0 eeee .


169

• Układy współrzędnych ze zmienną bazą Wprowadzenie współrzędnych krzywoliniowych pozwoliło każdemu punktowi przestrze-

ni przyporządkować w ogólności inny lokalny układ współrzędnych prostoliniowych z odpo-

wiadającymi mu wektorami bazowymi. Założyliśmy, że wektory bazowe zmieniają się od

punktu do punktu w ciągły sposób. Taki twór nazywamy układem współrzędnych o zmiennej

bazie. Zmienna baza zadawana będzie w postaci tensora metrycznego.

• Różniczka promienia wodzącego Różniczka promienia wodzącego R punktu P zaczepionego w początku układu

{ }4321 ,,,,0 eeee dana jest przez

µx = współrzędne prostoliniowe względem układu { }4321 ,,,,0 eeee

µ′x = współrzędne krzywoliniowe

µ′′x = lokalne współrzędne prostoliniowe względem układu { }4321 ,,,,P eeee ′′′′

• Kwadrat różniczki promienia wodzącego

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) νµ

νµ

νµ

νµν

ν

µ

µ2xdxd xdxd xd xd dd d ′′′′′⋅′≈′′′⋅′=′′⋅′′=⋅= eeeeeeRRR

( ) νµµν

νµµν ′′′′′≈′′′= xdxdgxdxdgd

2R , νµµν ′⋅′=′ eeg

• Druga różniczka promienia wodzącego( ) ( ) µ

µµ

µµ

µµ

µµ

µ ′′′+′′′≈′′+′′=′′== eeeeeRR d xd xdd xd xd xddddd 222

ννµ

µ ′′∂

′∂=′ xd

xd

ee

νµν

µµ

µ ′′′∂

′∂+′′= xdxd

x xdd 22

eeR νµ

νµ

µµ ′′′′

′∂

′∂+′′′≈ xdxd

x xd2

ee

νν= eR x

( ) νν ′′′′= eR x,x,x,xg 4321

µµ =∂∂

eR

x

µµ′=

′∂

∂e

R

x

µµµ

µ =∂∂

= eR

R dxdx x

d

µµµ

µ′′=′

′∂

∂= e

RR xdxd

xd

µµ ′′′≈ eR xdd

µµ

µµ

µµ ′′′≈′′== eeeR xdxddxd

Przyrosty współrzędnych krzywoliniowych µ′xd w nieskończenie małym otoczeniu punktu

P są w przybliżeniu równe przyrostom współrzędnych prostoliniowych w układzie lokal-

nym w punkcie P.

µµ

µµ

µµ ′′′≈′′== eeeR xdxddxd


170

• Ograniczenia dotyczące operacji wykonywanych na tensorach w układzie współrzęd-nych o zmiennej bazie W układzie współrzędnych krzywoliniowych, czyli w układzie o zmiennej bazie mają sens

tylko operacje algebraiczne na tensorach określonych w danym punkcie przestrzeni.

PRZYKŁADIloczyn skalarnyUtwórzmy w dowolnym układzie współrzędnych krzywoliniowych iloczyn wektorów

αα= eA A i ( )ββ

β += eeB d B

zaczepionych w dwóch różnych punktach przestrzeni o współrzędnych określonych wzglę-

dem odpowiednich układów lokalnych

( ) ( ) ( )[ ]βαβαβα

βββ

αα ⋅+⋅=+⋅=⋅ eeeeeeeBA d BAd BA .

Otrzymane wyrażenie będzie iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy

0d =βe .

W krzywoliniowym układzie współrzędnych ma sens tylko iloczyn skalarny dwóch wektorów

zaczepionych w tym samym punkcie będącym środkiem lokalnego układu.

• Wyznaczanie tensora metrycznego Niech ( )4321 x,x,x,x będą współrzędnymi kartezjańskimi punktu P o promieniu wodzą-

cym R , a ( )4321 x,x,x,x ′′′′ jego współrzędnymi krzywoliniowymi i niech

( )4321 x,x,x,xxx ′′′′= µµ , .4,3,2,1=µ

Mamy wtedy

αα

µµ ′

′∂

∂= xd

x

xdx , .4,3,2,1=µ

Kwadrat odległości między dwoma blisko położonymi punktami

( )4321 x,x,x,x i ( )44332211 dxx,dxx,dxx,dxx ++++

wynosiβα

βανµ

νµ ′′′⋅′=⋅=⋅= xdxddxdxddds2 eeeeRR

αα

µµ ′

′∂

∂= xd

x

xdx

ββ

νν ′

′∂

∂= xd

x

xdx

µννµ =⋅ gee = tensor metryczny w prostoliniowym układzie wyjściowym

αββα ′=′⋅′ gee = tensor metryczny w układzie krzywoliniowym

βααβ

βαβ

ν

α

µ

µν ′′′=′′′∂

∂

′∂

∂= xdxdgxdxd

x

x

x

xgds2

µνβ

ν

α

µ

αβ ′∂

∂

′∂

∂=′ g

x

x

x

xg


171

PRZYKŁAD - Współrzędne sferyczne

ictx

zx

yx

xx

4

3

2

1

=

=

=

=

=⋅= νµµν

1000

0100

0010

0001

g ee

ααα = g e

α=α

α∑= eR4

1

x , ααα

αα

α == x gx R e

α=α

α∑= eR4

1

dxd , αα

α = dx dR e = ααα dxg

( ) νµ

−

ν

−

µνµ ⋅=∠ eeeeee11

,cos

( ) νµµν

νµνµ =⋅=⋅= dxdxgdxdxddds

2 eeRR

( ) ( ) ( ) ( ) ( )242322212dxdxdxdxds +++=

ticict

cosrz

sinsinry

cossinrx

′=

θ=

ϕθ=

ϕθ=

ictx

zx

yx

xx

4

3

2

1

=

=

=

=

ticx

x

x

rx

4

3

2

1

′=′

ϕ=′

θ=′

=′

44

213

3212

3211

xx

xcosxx

xsinxsinxx

xcosxsinxx

′=

′′=

′′′=

′′′=

x

z

yex ey

x1

x3

x2e1 e2

1x′2

x′

3x′

1x

2x

3x

21xsinx ′′

r

ϕ

rsinθ

P

x

z

y

θ

P

1′2′

3′

1

2

3

21xsinx ′′


172

( ) βα

=α =βαβ ′′′=∑∑ xdxdgds

4

1

4

1

2

∑∑=µ =ν

µνβ

ν

α

µ

αβ ′∂∂

′∂∂

=′4

1

4

1

gx

x

x

xg

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=µν

0

1g

µµβ

µ

=α =βα

µ

αβ ′∂

∂

′∂

∂=′ ∑∑ g

x

x

x

xg

4

1

4

1

, µµ=µ

α

µ

αα ∑

′∂

∂=′ g

x

xg

4

1

2

44

2

1

4

33

2

1

3

22

2

1

2

11

2

1

1

11 gx

xg

x

xg

x

xg

x

xg

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂=′

44

2

2

4

33

2

2

3

22

2

2

2

11

2

2

1

22 gx

xg

x

xg

x

xg

x

xg

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂=′

44

2

3

4

33

2

3

3

22

2

3

2

11

2

3

1

33 gx

xg

x

xg

x

xg

x

xg

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂=′

44

2

4

4

33

2

4

3

22

2

4

2

11

2

4

1

44 gx

xg

x

xg

x

xg

x

xg

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂+

′∂

∂=′

33

22

22

3222

11

3222

11 gxcosgxsinxsingxcosxsing ′+′′+′′=′

( ) ( ) ( ) 33

2221

22

322221

11

322221

22 gxsinxgxsinxcosxgxcosxcosxg ′′+′′′+′′′=′

( ) ( ) 22

322221

11

322221

33 gxcosxsinxgxsinxsinxg ′′′+′′′=′

4444 gg =′

1gggg 44332211 ====

1g11 =′

( ) 221

22 rxg =′=′

( ) θ=′′=′ 222221

33 sinrxsinxg

1g44 =′

θ=′ sinrg 2

1g

1g

sinr

1

g

1g

r

1

g

1g

1g

1g

44

44

22

33

33

2

22

22

11

11

=′

=′

θ=

′=′

=′

=′

=′

=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )24

44

23

33

22

22

21

11

2xdgxdgxdgxdgds ′′+′′+′′+′′=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222222dictdsinrdrdrds +ϕθ+θ+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222222dtcdsinrdrdrds −ϕθ+θ+=

θ=′µν

1000

0sinr00

00r0

0001

g22

2

θ=′

−−

−µν

1000

0sinr00

00r0

0001

g22

2


173

• Współrzędne sferyczne w przypadku trójwymiarowym

Współrzędne sferyczne punktu P:• Promień r sfery, na której leży punkt P, czyli długość jego promienia wodzącego.

• Kąt ϕ zawarty między półosią 0X a rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę

X,Y.

• Kąt θ zawarty między promieniem r a półosią 0Z.

Relacje między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi punktu P• θϕ= sincosrx

θϕ= sinsinry

θ= cosrz

• 222 zyxr ++=

x

ytg arc=ϕ

r

zcos arc=θ

Powierzchnie stałych współrzędnych:• r = const: Sfera o promieniu r i środku 0 w początku kartezjańskiego układu.

• ϕ = const: Półpłaszczyzna której brzegiem jest oś Z kartezjańskiego układu.

• θ = const: Stożek o wierzchołku w początku 0 i osi pokrywającej się z osią Z kartezjań-

skiego układu.

Linie współrzędnych:• Linią współrzędnej r jest prosta będąca przecięciem stożka z półpłaszczyzną, której brze-

giem jest oś Z, czyli linia pokrywająca się z promieniem wodzącym punktu P.

• Linią współrzędnej ϕ jest okrąg będący przecięciem stożka ze sferą o promieniu r.

• Linia współrzędnej θ jest okrąg będący przecięciem sfery o promieniu r z półpłaszczyzną,

zawierającą punkt P, której brzegiem jest oś Z.

Promień wodzący punktu P:

zyxzyx cosrsinsinrsincosrzyx eeeeeeR θ+θϕ+θϕ=++=

Wersory osi współrzędnych lokalnego układu:• Wersor r

e jest styczny do linii współrzędnej r i ma zwrot promienia wodzącego punktu P.

zyxr cossinsinsincosr

eeeR

e θ+θϕ+θϕ=∂∂

=

• Wersor ϕe jest styczny do linii współrzędnej ϕ i ma zwrot określony przez wzrost kąta ϕ .

0sincosrsinsinr yx +θϕ+θϕ−=ϕ∂

∂=ϕ ee

Re

• Wersor θe jest styczny do linii współrzędnej θ i ma zwrot określony przez wzrost kąta θ .

zyx sinrcossinrcoscosr eeeR

e θ−θϕ+θϕ=θ∂

∂=θ

• Wersory osi współrzędnych są parami wzajemnie prostopadłe:

ϕϕ ⊥⇒=⋅ eeee rr 0 , θθ ⊥⇒=⋅ eeee rr 0 , θϕθϕ ⊥⇒=⋅ eeee 0


174

Różniczka promienia wodzącego

rzyxzyx rcosrsinsinrsincosrzyx eeeeeeeR =θ+θϕ+θϕ=++=

zyx dz dy dx dz z

dy y

dx x

d eeeRRR

R ++=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

rrr d r dr d d dr d d dr r

d eeeeeRRR

R +=ϕ+θ+=ϕϕ∂

∂+θ

θ∂∂

+∂∂

= ϕθ

( )( )( )yx

zyx

zyx

sincosrsinsinr d

sinrcossinrcoscosr d

cossinsinsincos drd

ee

eee

eeeR

θϕ+θϕ−ϕ+

+θ−θϕ+θϕθ+

+θ+θϕ+θϕ=

Kwadrat różniczki promienia wodzącego222222 dsinrdrdrdd ϕθ+θ+=⋅ RR

1g rr = , 2rg =θθ , θ=ϕϕ22 sinrg

222

rr dgdgdrgdd ϕ+θ+=⋅ ϕϕθθRR

Druga różniczka promienia wodzącego( ) ϕϕθθϕθ ⋅ϕ+⋅ϕ+⋅θ+⋅θ+⋅+⋅=⋅ϕ+⋅θ+⋅= eeeeeeeeeR ddddddddrrdd d drdd 22

rr

2

r

2

ϕϕ∂

∂+θ

θ∂∂

+∂∂

= d d dr r

d rrrr

eeee

ϕϕ∂

∂+θ

θ∂

∂+

∂

∂= θθθ

θ d d dr r

deee

e

ϕϕ∂

∂+θ

θ∂

∂+

∂

∂= ϕϕϕ

ϕ d d dr r

deee

e

0 r

r =∂

∂e

θ−θ ⋅=⋅θ−⋅θϕ+⋅θϕ=

∂∂

=θ∂

∂eeee

ee 1

zyxr rsincossincoscos

r

ϕ−ϕ ⋅=⋅θϕ+⋅θϕ−=

∂

∂=

ϕ∂

∂eee

ee 1

yxr rsincossinsin

r

rzyx rcosrsinsinrsincosr eeeee

⋅−=⋅θ−⋅θϕ−⋅θϕ−=θ∂

∂ θ

ϕϕθ ⋅θ=⋅θϕ+⋅θϕ−=θ∂

∂=

ϕ∂∂

eeeee

ctgcoscosrcossinr yx

θϕ ⋅θθ−⋅θ−=⋅θϕ−⋅θϕ−=ϕ∂

∂eeee

ecossinsinrsinsinrsincosr r

2

yx

( ) ( )( ) ϕ

−

θ−

ϕ⋅θθ+ϕ⋅+ϕ+

+ϕ⋅ϕθθ−θ⋅+θ+ϕ⋅ϕθ−θ⋅θ−=

e

eeR

ddctg2ddrr2d

ddcossinddrr2d ddsinrdrdrdd

12

12

r

222


175

• Ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych Ortogonalnymi układami współrzędnych krzywoliniowych nazywamy takie układy, dla

których:

0gg == µνµν , gdy ν≠µ ,

( ) 2 e ee g µµµµµµµ === ee , ( ) 2

e ee g µµµµµµµ === ee .

Mamy więc

µµµµ =g

1g , µ

µµµ = ee g , µµµµ = ee g ,

( ) 2

1

2

1

g gg

1ge

−µµµµµµµµµµ =====e ,

( ) 2

12

1

gg g

1ge

−µµ

µµ

µµ

µµµµ =====e ,

µµ =e

1e ,

44332211 ggggg = , ∏=µ

µ===4

1

4321 eeeeegg 2

1

.

Składowe kontrawariantne i kowariantne wektora A spełniają relacje:

µ

=µµµ

=µ

µ ∑∑ == eeA4

1

4

1

AA ,

µµµ

µµµ

=ν

µµν

µ ===∑ AeeAgAgA4

1

, µµµ

µµµ

=νµ

µνµ ===∑ AeeAgAgA

4

1

.

• Fizyczne (prawdziwe) wartości składowych W układach krzywoliniowych na ogół 1e ≠µ . Ze względów praktycznych wygodnie jest

używać tzw. prawdziwych wartości składowych µA oraz µA zdefiniowanych poniżej:

µ=µ

µ

µ

µ

=µ

µµµ

=µ

µ ∑∑∑ === ee

eA A e

Ae A4

1

4

1

4

1

,

( ) µµµµ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µ

dfµ AgAgA

g

1AgAeA

12

21 −

=====ˆ ,

( ) µ

µµ

µµµµ

µµ

µµ

µ

µ

µdf

µ

12

21

gggge

eeeee

e−

=====ˆ ,

1eµµ == ˆe ,

µ4

1µ

µµ

µ4

1µ

µ

µµ4

1µ

µ Ae

AeA ee

eA ˆˆ∑∑∑===

=== ,

( ) µµµµ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µdf

µ AgAgAg

1AgAeA

12

12 −=====ˆ ,

( ) µ

µµ

µµµµ

µµµµ

µ

µ

µdf

µ12

12

gggge

eeeee

e −=====ˆ ,

1eµµ == ˆe .


176

Dywergencja względem bazy ( )4321 ,,, eeee

( )∑=µ

µ

µ−

∂

∂=

4

1 x

Aggdiv

2

1

2

1

A , ∑=µ

µµ=

4

1

A eA

Dywergencja względem bazy ( )4321 eeee ˆ,,,ˆ

( ) ( )µ

µµ

4

1µµ

µ

µµµµ

4

1µµ

Aggx

gAgggx

gdiv 21

21

21

21

21

21

21 ˆ−

=

−−

=

− ∑∑ ∂∂

=∂∂

=A , ∑=

=4

1µ

µ

µA eA ˆˆ

Gradient względem bazy ( )4321 eeee ,,,

∑=µ

µµ∂φ∂

=φ4

1

x

grad e

Gradient względem bazy ( )4321 eeee ,,,

µ−µµµ

µµµ == eee 1gg

∑=µ

µµ−µµ ∂

φ∂=φ

4

1

1 x

ggrad e

Gradient względem bazy ( )4321 eeee ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

21

21

g gg 1 −µµ

−µµ

−µµ =

∑∑=

−

=

−−

∂∂

=∂∂

=4

1µ

µµµµ

4

1µ

µµµµµµ x

φg g

x

φggradφ 2

121

21

ee ˆ

Laplasjan funkcji skalarnej Φ

∂

φ∂

∂

∂=φ∇

µ−µµ

=µµ

− ∑x

ggx

g 2

1

2

11

4

1

2

Rotacja względem bazy ( )321 , , eee w przypadku trójwymiarowym

( )∑∑=µ =ν

µννµ

∂∂

×=3

1

3

1 x

Arot eeA

ν

νν

ν

ν

ν

ννν AgAeAeeA 21 ˆˆ === , µµµ

µ

µ

µµ

µ

µ

µµµ 21

geee

ee eee

ee ˆˆ −==== , ννν

ν 21

g ee ˆ−=

( ) 12332 eeeee ˆˆˆˆˆ =×−=× , ( ) 23113 eeeee ˆˆˆˆˆ =×−=× , ( ) 31221 eeeee ˆˆˆˆˆ =×−=×

0332211 =×=×=× eeeeee ˆˆˆˆˆˆ

( ) ( )µ

ν

νν

νµννµµx

Agggrot

21

21

21

∂

∂×= −−

ˆˆˆ eeA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3e eeA ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂= −−−−−−

2

1

11

1

2

22

221121

3

33

3

1

11

113313

2

22

2

3

33

3322x

Ag

x

Aggg

x

Ag

x

Aggg

x

Ag

x

Agggrot

21

21

2

1

2

121

21

2

1

2

121

21

2

1

2

1

∂∂

∂∂

∂∂

=

−−−−−−

3

33

2

22

1

11

321

322112113313322

AgAgAg

xxx

gggggg

rot

21

21

21

21

21

21

21

21

21

ˆˆˆ

ˆˆˆ eee

A


177

PRZYKŁADW układzie współrzędnych sferycznych

rx1 = , θ=2x , ϕ=3x , 44 xx =

1gg rr11 == , 2

22 rgg == θθ , θ== ϕϕ22

33 sinrgg , 1gg 4444 == , θ= sinrg 22

1

r1 ee = , θ= ee2 , ϕ= ee3 , 44 ee = , r1 AA = , θ= AA 2 , ϕ= AA3 , 44 AA =

r1 ee ˆˆ = , θee ˆˆ =2 , ϕ= ee ˆˆ3 , 44 ee ˆˆ = ,

r1 AA ˆˆ = , θ2 AA ˆˆ = , ϕAA3 ˆˆ = , 44 AA ˆˆ =

Dywergencja wektora kontrawariantnego względem bazy ( )4r ,,, eeee ϕθ

( ) ( )4

4r2

2 x

AAAsin

sin

1

r

Ar

r

1div

∂

∂+

ϕ∂

∂+

θ∂

θ∂

θ+

∂

∂=

ϕθ

A , 4

4

r

r AAAA eeeeA +++= ϕϕ

θθ

Dywergencja wektora kontrawariantnego względem bazy ( )4eeee ,ˆ,,ˆ ϕθr

( ) ( )4

4θr2

2 x

AA

rsinθ

1

θ

Asinθ

rsinθ

1

r

Ar

r

1div

∂

∂+

ϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ϕ ˆˆˆˆA , 4eeeeA ˆˆˆˆˆˆˆˆ 4

θ

θ

r

r AAAA +++= ϕϕ

Gradient funkcji skalarnej φ względem bazy ( )4r ,,, eeee ϕθ

4

4

r

xr grad eeee

∂

φ∂+

ϕ∂φ∂

+θ∂φ∂

+∂φ∂

=φ ϕθ

Gradient funkcji skalarnej φ względem bazy ( )4r ,,, eeee ϕθ

44

1

44

11

r

1

rrx

gggr

g grad eeee∂

φ∂+

ϕ∂φ∂

+θ∂φ∂

+∂φ∂

=φ −ϕ

−ϕϕθ

−θθ

−

44222rxsinr

1

r

1

r grad eeee

∂

φ∂+

ϕ∂φ∂

θ+

θ∂φ∂

+∂φ∂

=φ ϕθ

Gradient funkcji skalarnej φ względem bazy ( )4eeee ,ˆ,,ˆ ϕθr

4444φθθθrrrx

φge

φ

φg

θ

φg

r

φgφ grad 2

121

21

21

eee ˆˆˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= −−−−ϕϕ

44φθrx

φ

φ

φ

rsinθ

1

θ

φ

r

1

r

φφ grad eeee ˆˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Laplasjan funkcji skalarnej φ

∂

φ∂

∂

∂+

ϕ∂φ∂

ϕ∂∂

+

θ∂φ∂

θ∂∂

+

∂φ∂

∂∂

=φ∇ −−−ϕϕ

−−θθ

−−−

4

1

444

111

rr

2

xgg

xggggggg

rgg

rg 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4

2

2

2

2222

2

22

22

xsinr

sinr

1

r

ctg

r

1

rr

2

r ∂

φ∂θ+

ϕ∂

φ∂

θ+

θ∂φ∂θ

+θ∂

φ∂+

∂φ∂

+∂

φ∂=φ∇

Rotacja wektora kontrawariantnego względem bazy ( )ϕθ eee ,,ˆr

( ) ( )

( )ϕ

ϕϕ

∂

∂⋅−

∂

∂⋅+

+

∂∂

⋅−ϕ∂

∂⋅+

ϕ∂

∂−

∂∂

⋅=

e

eeA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

θ

A

r

1

r

Ar

r

1

Arrr

1A

rsinθ

1

AsinθA

θrsinθ

1rot

rθ

θ

r

r

θ

ϕϕ++= eeeA ˆˆˆˆˆˆ AAA θ

θ

r

r


178

8 ALGEBRA TE�SORÓW

• Dodawanie tensorów Dodawać można tensory tego samego typu i rzędu. Sumą tensorów kowariantnych dru-

giego rzędu µνA i µνB nazywamy tensor kowariantny drugiego rzędu µνC

µνµνµν += BAC .

DOWÓD

αβν

β

µ

α

µν ′∂∂

′∂∂

=′ Cx

x

x

xC

( )αβαβν

β

µ

α

αβν

β

µ

α

αβν

β

µ

α

µνµν +′∂

∂′∂

∂=

′∂

∂′∂

∂+

′∂

∂′∂

∂=′+′ BA

x

x

x

xB

x

x

x

xA

x

x

x

xBA

Tensory αβC i ( )αβαβ + BA są identyczne.

Sumą tensorów kontrawariantnych drugiego rzędu µνA i µνB nazywamy tensor kontrawa-

riantny drugiego rzędu µνC

µνµνµν += BAC .

Sumą tensorów mieszanych drugiego rzędu µνA i µ

νB nazywamy tensor mieszany drugie-

go rzędu µνC

µν

µν

µν += BAC .

Sumy tensorów innych typów i rzędów definiuje się analogicznie.

• Mnożenie tensorów Iloczynem tensorów

21A αα i

43B αα nazywamy tensor

4321C αααα

43214321

BAC αααααααα = .

DOWÓD

43214

4

3

3

2

2

1

1

4321C

x

x

x

x

x

x

x

xC ββββα

β

α

β

α

β

α

β

αααα ′∂

∂′∂

∂′∂

∂′∂

∂=′

43214

4

3

3

2

2

1

1

434

4

3

3

212

2

1

1

4321BA

x

x

x

x

x

x

x

xB

x

x

x

xA

x

x

x

xBA ββββα

β

α

β

α

β

α

β

ββα

β

α

β

ββα

β

α

β

αααα ′∂

∂′∂

∂′∂

∂′∂

∂=

′∂

∂′∂

∂′∂

∂′∂

∂=′′

Tensor 4321

C ββββ jest identyczny z tensorem 4321

BA ββββ .

A oto inne przykłady iloczynów tensorów.

43

21

43

21BAC

αααα

αααα =

3

4

1

2

31

42BAC

αα

αα

αααα =

• Zwężanie (kontrakcja) tensorów Zwężanie (kontrakcja) tensorów jest operacją wykonywaną na tensorach mieszanych rzę-

du niemniejszego niż dwa polegającą na przyrównaniu dwóch wskaźników jednego górnego

i jednego dolnego, co prowadzi do obniżenia rzędu zwężanego tensora o dwa. Poniżej zilus-

trowaliśmy kontrakcję tensora mieszanego czwartego rzędu.

µνααµν

β=ααβµν =→ T T T


179

1

3213

3

2

2

1

1

1

1

1

321T

x

x

x

x

x

x

x

xT

αβββν

β

ν

β

ν

β

α

µµ

ννν ′∂∂

′∂∂

′∂∂

∂

′∂=′

11 ν=µ

1

3213

3

2

2

1

1

1

1

1

321T

x

x

x

x

x

x

x

xT

αβββν

β

ν

β

ν

β

α

νν

ννν ′∂∂

′∂∂

′∂∂

∂

′∂=′

1

11

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x βαα

β

ν

β

α

ν

δ=∂∂

=′∂

∂∂

′∂

1

3213

3

2

2

1

3213

3

2

2

1

1

1

321T

x

x

x

xT

x

x

x

xT

ββββν

β

ν

βα

βββν

β

ν

ββα

νννν ′∂

∂′∂

∂=

′∂

∂′∂

∂δ=′

1

3213

3

2

2

1

321T

x

x

x

xT

ββββν

β

ν

βν

ννν ′∂∂

′∂∂

=′

Tensory 1

321T

νννν′ i 1

321T

ββββ formalnie są identyczne z tensorami odpowiednio

32T νν′ i

32T ββ .

323

3

2

2

32T

x

x

x

xT ββν

β

ν

β

νν ′∂∂

′∂∂

=′

PRZYKŁAD

Kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu µνT daje ślad tego tensora ∑

=µ

µµ

4

1

T .

• Obniżanie i podnoszenie wskaźników Obniżanie wskaźników jest operacją umożliwiającą zmianę typu składowych tensora za-

wierającego co najmniej jeden wskaźnik górny poprzez kontrakcję iloczynu kowariantnego ten-

sora metrycznego z danym tensorem.

321

1

3211

1

3211TTTg ννν

µννµν

µννµν ==

DOWÓD

=′∂

∂′∂

∂′∂

′∂

∂

∂′∂

∂=

′∂

∂′∂

∂

∂

′∂′∂

∂′∂

∂=′′ α

ββαβν

β

ν

β

µ

µ

α

α

ν

βαββν

β

ν

β

α

µ

αβµ

α

ν

βµννµν

1

32113

3

2

2

1

1

1

1

1

1

1

323

3

2

2

1

1

111

1

1

1

1

3211Tg

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xT

x

x

x

x

x

xg

x

x

x

xTg

1

32113

3

2

2

1

1

Tgx

x

x

x

x

x αββαβν

β

ν

β

ν

β

′∂∂

′∂∂

′∂∂

=

3213

3

2

2

1

1

321T

x

x

x

x

x

xT βββν

β

ν

β

ν

β

ννν ′∂∂

′∂∂

′∂∂

=′ . Tensor 321

T βββ jest identyczny z tensorem 1

3211Tg

αββαβ .

Podnoszenie wskaźników jest operacją umożliwiającą zmianę typu składowych tensora za-

wierającego co najmniej jeden wskaźnik dolny poprzez kontrakcję iloczynu kontrawariantnego

tensora metrycznego z danym tensorem.1

32

11

321321

11 TTTgµνν

µννννννν

µν ==

DOWÓD

=′∂

∂′∂

∂

∂

′∂

∂

∂′∂

′∂=

′∂

∂′∂

∂′∂

∂

∂

′∂

∂

′∂=′′ βββ

αβν

β

ν

β

α

µ

β

β

ν

ν

βββν

β

ν

β

ν

βαβ

α

µ

β

ν

νννµν

321

11

3

3

2

2

1

1

1

1

1

1

3213

3

2

2

1

1

11

1

1

1

1

321

11 Tgx

x

x

x

x

x

x

x

x

xT

x

x

x

x

x

xg

x

x

x

xTg

321

11

3

3

2

2

1

1

Tgx

x

x

x

x

xβββ

αβν

β

ν

β

α

µ

′∂∂

′∂∂

∂

′∂=

1

323

3

2

2

1

1

1

32T

x

x

x

x

x

xT

αββν

β

ν

β

α

µµνν ′∂

∂′∂

∂∂

′∂=′ . Tensor

321

11 Tg βββαβ

jest identyczny z tensorem 1

32T

αββ .


180

A oto przykłady operacji zmiany położenia wskaźników.

µνµν

νµν == TTTg

µµννν

µν == TTTg

µσ

µνσν

µνσν == TTTg

σµ

σνµνµν

σν == TTTg

αβσασβ

σβασ == TTTg

αβασβσ

βσ

ασ == TTTg

αβµνλβµν

αλ = TTg

• Zamiana składowych kontrawariantnych na kowariantne i vice versa Poznane wcześniej relacje pozwalają na zamianę składowych kontrawariantnych na ko-

wariantne i vice versa.

∑=ν

νµνµ =

4

1

AgA

∑=ν

νµνµ =

4

1

AgA

αβµµαβ

µβµα

µνβνµα

µνβνµα ==== TTTgTgTgg

αβµαβµ

βµ

µαβνµν

µαµν

βνµα ==== TTTgTgTgg

W ortogonalnym układzie współrzędnych

=µν

44

33

22

11

g000

0g00

00g0

000g

g ,

=µν

44

33

22

11

g000

0g00

00g0

000g

g

11

11

g

1g = ,

22

22

g

1g = ,

33

33

g

1g = ,

44

44

g

1g =

1

111 AgA = , 2

222 AgA = , 3

333 AgA = , 4

444 AgA =

1

111 AgA = , 2

222 AgA = , 3

333 AgA = , 4

444 AgA =

W ortonormalnym układzie współrzędnych

== µνµν

1000

0100

0010

0001

gg

1

1 AA = , 2

2 AA = , 3

3 AA = , 4

4 AA =

nie ma różnicy między składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi wektora.


181

• Operacja symetryzowania Tensor otrzymany wskutek symetryzowania będziemy oznaczali przez ( )m1...T αα . Każdą

składową ( )m1...T αα tworzymy, sumując !m składowych uzyskanych z wyjściowego tensora

m21 ...T ααα poprzez permutacje indeksów m21 ,...,, ααα .

( ) ( )12mm21m1 ......... T...T

!m

1T αααααααα ++= .

Tensor ( )m1...T αα jest tensorem symetrycznym. Operacja symetryzowania może być stosowana

tylko do indeksów jednego rodzaju.

PRZYKŁAD

( ) ( )122121

TT!2

1T αααααα +=

( ) ( )123213132312231321321

TTTTTT!3

1T ααααααααααααααααααααα +++++=

( ) ( )312321321

TT!2

1T ααααααααα +=

( ) ( )231321321

TT!2


( ) ( )123321321

TT!2


Symbol ( )321 ααα oznacza, że operacja symetryzowowania nie dotyczy indeksu 2α .

• Operacja alternowania Tensor powstały przez alternowanie oznaczany jest jako [ ]m1...T αα . Konstruujemy go tak

jak poprzednio, z tą różnicą, że składowe o parzystej permutacji indeksów opatrujemy zna-

kiem plus, a składowe o nieparzystej permutacji indeksów poprzedzamy znakiem minus.

[ ] ( )...TT!m

1T

m12m21m1 ......... +−= αααααααα

Tensor [ ]m1...T αα jest tensorem antysymetrycznym.

Dzielenie przez !m nie jest konieczne, ale wygodne.

PRZYKŁAD

[ ] ( )122121

TT!2

1T αααααα −=

[ ] ( )123213132312231321321

TTTTTT!3

1T ααααααααααααααααααααα −++−−=

[ ] ( )312321321

TT!2

1T ααααααααα −=

[ ] ( )231321321

TT!2


[ ] ( )123321321

TT!2


Symbol [ ]321 ααα oznacza, że operacja alternowania nie dotyczy indeksu 2α .


182

9 A�ALIZA TE�SORÓW

• Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju

Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju oznaczane odpowiednio przez [ ]νµα

i αµνΓ są trójskładnikowymi symbolami niezwykle przydatnymi przy definiowaniu tensora

krzywizny. Symbole Cristoffela pierwszego rodzaju wyrazimy przez pochodne składowych

tensora metrycznego, a symbole Christoffela drugiego rodzaju przez składowe tensora

metrycznego i jego pochodne. Z definicji mamy

[ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1

df

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

α

µν

ν

αµ

µνα

=α

σασµν ∑

x

g

x

g

x

gg

2

1 4

1

df

Symbole Christoffela drugiego rodzaju

Używane są także inne oznaczenia symboli Christoffela.

[ ] [ ] ανµνµα Γ=ανµ= ,

,

{ } { } { }νµα

ανµ

αµν ==αµν=Γ

,

Symbole Christoffela posiadają następujące własności:

[ ] [ ]µνανµα =

ανµ

αµν Γ=Γ

[ ]∑=α

νµα

σασµν =Γ

4

1

g

[ ] ∑=σ

σµνβσ

νµβ Γ=

4

1

g

[ ] [ ]βµν

βνµβ

µν +=∂

∂

x

g = α

µβα

ναανβ

αµα Γ+Γ ∑∑ gg

Powyższe własności wynikają z definicji symboli Christoffela, symetryczności tensora metry-

cznego νµµν = gg oraz relacji αβ

=σ

σαβσ δ=∑

4

1

gg .

TWIERDZE�IEW układzie współrzędnych krzywoliniowych 4321 x,x,x,x różniczki wektorów bazowych

lokalnych układów

( )4321 x,x,x,xµµ = ee , 4,3,2,1=µ

dane są przez

αβ

=α =β

αµβ

β

=ββ

µµ ∑∑∑ Γ=

∂

∂= e

ee dxdx

xd

4

1

4

1

4

1


183

• Kontrakcja symboli Christoffela drugiego rodzaju

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

α

µν

ν

αµ

µνα

=α

σασµν ∑

x

g

x

g

x

gg

2

1 4

1

α

νµ

ν α

ανν

αµ

ν α

να

∂

∂=

∂

∂∑∑∑∑

x

gg

x

gg

zamieniliśmy rolami ślepe wskaźnikiαννα = gg

νµµν = gg

µν α

µνανα

∂

∂=

∂

∂∑∑

x

gln

x

gg

[ ]µν= gdetg

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

α

µν

ν

αµ

µνα

=α

σασµν ∑

x

g

x

g

x

gg

2

1 4

1

ν=σ

∑ ∑∑=ν

α

µν

ν

αµ

ν αµναναν

µν

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

4

1 x

g

x

g

x

gg

2

1

µ

−

µµµ

=νµ

ν αµναναν

µν

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=∂

∂=

∂

∂=Γ∑ ∑∑

x

gg

x

gln

x

gln

x

g

g2

1

x

gln

2

1

x

gg

2

1

2

1

2

12

1

21

4

1

DOWÓD

Dla dowodu należy wykazać, że β

µα

=α

αµβ ∂

∂=Γ∑

x

4

1

ee .

=Γ α=α

αµβ∑ e

4

1

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ ν

µβ

β

νµ

=νµ

βναναµβ ∑

x

g

x

g

x

gg

2

1 4

1

= α=α

ν

µβ

β

νµ

=νµ

βναν∑ ∑

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂e

x

g

x

g

x

gg

2

14

1

4

1

=

νααν ⋅= eeg , νββν ⋅= eeg , µννµ ⋅= eeg , βµµβ ⋅= eeg

= ( ) ( ) ( ) ( )αν

βµ

β

µν

µ

νβ

=α =ν

να

∂

⋅∂−

∂

⋅∂+

∂

⋅∂⋅∑∑ e

eeeeeeee

xxx

2

1 4

1

4

1

=

= ( ) αµν

ββν

µνβ

µµβ

νβµ

ννµ

β

=α =ν

να

⋅

∂

∂−⋅

∂

∂−⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂⋅∑∑ ee

ee

ee

ee

ee

ee

eee

xxxxxx

2

1 4

1

4

1

=

β

µ

µ

β

∂

∂=

∂

∂

xx

ee, ν

µ

µν

∂

∂=

∂∂

xx

ee, ν

β

βν

∂

∂=

∂∂

xx

ee

= ( ) ανβ

µ

=α =ν

να

⋅

∂

∂⋅∑∑ ee

eee

x

4

1

4

1

=

Dalszą część dowodu pozostawiamy czytelnikowi.

= β

µ

∂

∂

x

e

W�IOSEKW prostoliniowych układach współrzędnych, czyli układach dla których 0d =µe ( )4,3,2,1=µ ,

symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju są równe zeru.


184

• Własności transformacyjne symboli Christoffela pierwszego rodzaju

[ ]

′∂

′∂−

′∂

′∂+

′∂

′∂=′

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1

λβα

β

ν

λ

να ′∂

∂

′∂

∂=′ g

x

x

x

xg , βκµ

κ

α

β

αµ ′∂

∂

′∂

∂=′ g

x

x

x

xg , κλν

λ

µ

κ

µν ′∂

∂

′∂

∂=′ g

x

x

x

xg

µ

κ

κ

λβ

α

β

ν

λ

λβµα

β

ν

λ

λβα

β

µν

λ

µνα

′∂

∂

∂

∂

′∂

∂

′∂

∂+

′∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂

∂

′∂′∂

∂=

′∂

′∂x

x

x

g

x

x

x

xg

xx

x

x

xg

x

x

xx

x

x

g22

=

ν

λ

λ

βκ

µ

κ

α

β

βλνµ

λ

α

β

βκµ

κ

να

β

ν

λ

λ

βκ

µ

κ

α

β

βκνµ

κ

α

β

βκµ

κ

να

β

ν

αµ

′∂

∂

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂+

′∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂

∂

′∂′∂

∂=

=′∂

∂

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂+

′∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂

∂

′∂′∂

∂=

′∂

′∂

x

x

x

g

x

x

x

xg

xx

x

x

xg

x

x

xx

x

x

x

x

g

x

x

x

xg

xx

x

x

xg

x

x

xx

x

x

g

22

22

α

β

βκλ

ν

λ

µ

κ

κβαν

β

µ

κ

βλν

λ

αµ

β

α

β

βκλ

ν

λ

µ

κ

κλαν

λ

µ

κ

κλν

λ

αµ

κ

α

µν

′∂

∂

∂

∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂

∂

′∂′∂

∂=

=′∂

∂

∂∂

′∂

∂

′∂

∂+

′∂′∂

∂

′∂

∂+

′∂

∂

′∂′∂

∂=

′∂

′∂

x

x

x

g

x

x

x

xg

xx

x

x

xg

x

x

xx

x

x

x

x

g

x

x

x

xg

xx

x

x

xg

x

x

xx

x

x

g

22

22

βλλβ = gg , κββκ = gg

[ ]α

β

νµ

λ

λβν

λ

µ

κ

α

β

βκλ

λ

βκ

κ

λβνµα ′∂

∂

′∂′∂

∂+

′∂

∂

′∂

∂

′∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=′

x

x

xx

xg

x

x

x

x

x

x

x

g

x

g

x

g

2

1

2

[ ]

∂∂

−∂

∂+

∂

∂= β

κλλβκ

κλβλκ

βx

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]α

β

νµ

λ

λβν

λ

µ

κ

α

βλκβ

νµα ′∂

∂

′∂′∂

∂+

′∂

∂

′∂

∂

′∂

∂=′

x

x

xx

xg

x

x

x

x

x

x

2

• Własności transformacyjne symboli Christoffela drugiego rodzaju

[ ] ′′=Γ′ νµα

σασµν g

ωββ

α

ω

σσα

∂

′∂

∂

′∂=′ g

x

x

x

xg , βλλβ = gg , ω

λωλβλ

ωβ δ== ggg

[ ]ω

σ

νµ

ω

ω

σ

ν

λ

µ

κλκ

βωβσ

µν ∂

′∂

′∂′∂

∂+

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂=Γ′

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x g

2

[ ]λκβ

ωβωκλ =Γ

g

ω

σ

νµ

ω

ω

σ

ν

λ

µ

κωκλ

σµν ∂

′∂

′∂′∂

∂+

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂Γ=Γ′

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x 2

Jeżeli układ współrzędnych ( )4321 x,x,x,x jest prostoliniowy, to [ ] 0

=λκβ i 0=Γω

κλ . Wzory

transformacyjne wtedy znacznie się upraszczają.

Symbole Christoffela

pierwszego rodzaju nie są

składowymi tensora.

Symbole Christoffela

drugiego rodzaju nie są

składowymi tensora.


185

Wyznaczymy teraz wielkość ∑=α

βααΓ

4

1

.

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

µαλ

λ

µα

=µα

λµβµβαλ ∑

x

g

x

g

x

gg

2

1 4

1

λ=α

∑∑∑=α

µαα

α

µα

=µα

αµβµ

=α

βαα

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=Γ

4

1

4

1

4

1 x

g

x

g

x

gg

2

1

µααµ = gg

∑∑∑=α

µαα

=µα

αµβµ

=α

βαα

∂

∂−

∂

∂=Γ

4

1

4

1

4

1 x

g

2

1

x

gg

µααµ ⋅= eeg , αααα ⋅= eeg

( ) ( )∑∑∑=α

µαα

=µα

µαβµ

=α

βαα

∂

⋅∂−

∂

⋅∂=Γ

4

1

4

1

4

1 x2

1

xg

eeee

∑ ∑∑=α =α

µα

αα

µα

=µαα

µβµβ

αα

∂

∂−

∂

∂

+

∂

∂=Γ

4

1

4

1

4

1 xxxg

ee

ee

ee

µββµ = eeg

=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

=Γ

µα

αµβ

α

µα

µβαα

µ=α =µ

µβ

=α

βαα ∑∑∑

xxx

4

1

4

1

4

1

eeee

eeee

eeee

1=⋅ µµ ee , µ

ααµ δ=⋅ee

∂

∂δ−

∂

∂δ+

∂

∂

=

µαµ

αβ

α

µµα

βαα

=α =µ

β∑∑xxx

4

1

4

1

ee

ee

ee

0xx

4

1

4

1

=

∂

∂δ−

∂

∂δ

µαµ

αβ

α

µµα

β

=α =µ∑∑

ee

ee

∑∑∑=α =µ

ααβ

=α

βαα ∂

∂=Γ

4

1

4

1

4

1 x

ee

∑ ∑∑=ν

µνα

=ν =α

νανµν ∂

∂=Γ

4

1

4

1

4

1 x

gg

2

1=

( )=

∂

∂+

∂

∂

=

∂

∂=

µν

ααν

µα

ν=ν =α

ανµαν

=ν =α

αν ∑∑∑∑xx2

1

x2

1 4

1

4

1

4

1

4

1

eeee

eeee

eeee

∑∑∑=ν

µνν

=ν =αµναν

αµανα

ν ∂

∂=

∂

∂δ+

∂

∂

δ=

4

1

4

1

4

1 xxx2

1 ee

ee

ee

∑ ∑=ν =ν

µννν

µν ∂

∂=Γ

4

1

4

1 x

ee = ν

µ

=ν

ν

∂

∂∑

x

4

1

ee

αννα = eeg

αννα = eeg

ανν

α δ=eeναα

ν δ=ee

µν

ν

µ

∂∂

=∂

∂

xx

ee


186

PRZYKŁADDruga różniczka promienia wodzącego w trójwymiarowym lokalnym układzie odpowia-dającym współrzędnym sferycznym

θϕ= sincosrx , θϕ= sinsinry , θ= cosrz

zyxzyx cosrsinsinrsincosrzyx eeeeeeR θ+θϕ+θϕ=++=

rx1 = , θ=2x , ϕ=3x

W dalszych rachunkach potrzebne będą: różniczka promienia wodzącego i jej kwadrat,

składowe kowariantne i kontrawariantne tensora metrycznego oraz symbole Christoffela pier-

wszego i drugiego rodzaju.

zyx dz dy dx dz z

dy y

dx x

d eeeRRR

R ++=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

ϕθ ϕ+θ+=ϕϕ∂

∂+θ

θ∂∂

+∂∂

= eeeRRR

R d d dr d d dr r

d r

( )( )( )yx

zyx

zyx

sincosrsinsinr d

sinrcossinrcoscosr d

cossinsinsincos drd

ee

eee

eeeR

θϕ+θϕ−ϕ+

+θ−θϕ+θϕθ+

+θ+θϕ+θϕ=

222

rr

222222 dgdgdrgdsinrdrdrdd ϕ+θ+=ϕθ+θ+=⋅ ϕϕθθRR

1gg rr11 == , 2

22 rgg == θθ , θ== ϕϕ22

33 sinrgg

1gg rr11 == , 222 rgg −θθ == , θ== −−ϕϕ 2233 sinrgg

[ ] rx

g

2

11

222 2

1 −=∂∂

−= , [ ] θ−=∂∂

−= 2

1

333 3

1 sinrx

g

2

1, [ ] θθ−=

∂∂

−= cossinrx

g

2

1 2

2

333 3

2

[ ] [ ] rx

g

2

11

221 2

2

2 1

2 =∂∂

== , [ ] [ ] θ=∂∂

== 2

1

331 3

3

3 1

3 sinrx

g

2

1, [ ] [ ] θθ=

∂∂

== cossinrx

g

2

1 2

2

332 3

3

3 2

3

[ ] rg 2 2

1

111

22 −==Γ , [ ] θ−==Γ 23 3

1

111

33 sinrg , [ ] 12 1

2

222

21

2

12 rg −==Γ=Γ

[ ] θθ−==Γ cossing 3 3

2

222

33 , [ ] 13 1

3

333

31

3

13 rg −==Γ=Γ , [ ] θ==Γ=Γ ctgg 3 2

3

333

32

3

23

( ) ϕϕθθϕθ ⋅ϕ+⋅ϕ+⋅θ+⋅θ+⋅+⋅=⋅ϕ+⋅θ+⋅= eeeeeeeeeR ddddddddrrdd d drdd 22

rr

2

r

2

ανα

µνµ Γ= ee dxd

ϕ−

θ− ϕ+θ=Γ+Γ== eeeeee dr2dr2dx2dx2dd 11

3

33

132

22

121r

ϕθ ϕθ+θ−=Γ+Γ== eeeeee dctg2rddx2dx2dd r3

33

231

21

222

θϕ ϕθθ−ϕθ−=Γ+Γ== eeeeee dcossindsinrdxdxdd r

2

2

32

331

31

333

( ) ( )( ) ϕ

−

θ−

ϕ⋅θθ+ϕ⋅+ϕ+

+ϕ⋅ϕθθ−θ⋅+θ+ϕ⋅ϕθ−θ⋅θ−=

e

eeR

ddctg2ddrr2d

ddcossinddrr2d ddsinrdrdrdd

12

12

r

222


187

• Przesunięcie równoległe wektora Przesunięcie równoległe polega na przeniesieniu danego wektora z punktu pierwszego do

punktu drugiego zadanej linii bez zmiany długości wektora oraz kąta zawartego między nim

a styczną do linii wystawioną w punkcie pierwszym.

• Różnica wektorów określonych wzdłuż zadanej linii

• Pochodna absolutna wektora kontrawariantnego zadanego wzdłuż linii

Określmy pole wektorowe wzdłuż zadanej linii. Na linii tej obierzmy dwa punkty

( ) ( ) ( ) ( )( )4

1

3

1

2

1

1

11 x,x,x,xP = i ( ) ( ) ( ) ( )( )4

2

3

2

2

2

1

22 x,x,x,xP =

oraz związane z nimi lokalne układy współrzędnych.

Przy definiowaniu różnicy wektorów zaczepionych w dwóch różnych punktach zadanej

linii należy pamiętać o przeniesieniu równoległym pierwszego wektora do punktu zaczepie-

nia drugiego wektora oraz o ustaleniu (wybraniu) lokalnego układu współrzędnych, który

może być związany z dowolnym z dwóch punktów.

( ) ( )ααα −= 12 AAdA

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααααααα −=−−=+−=δ 1112112 DAdADAAADAAAA

αdA = różnica współrzędnych kontrawariantnych wektorów drugiego i pierwszego wzglę-

dem lokalnego układu współrzędnych związanego z punktem pierwszym (drugim)

( )α1DA = różnica współrzędnych kontrawariantnych wektora pierwszego spowodowana prze-

sunięciem równoległym tego wektora z punktu pierwszego do punktu drugiego liczona wzglę-

dem lokalnego układu współrzędnych związanego z punktem pierwszym (drugim)αδA = różnica współrzędnych kontrawariantnych wektorów drugiego i pierwszego po prze-

sunięciu równoległym wektora pierwszego do punktu w którym zaczepiony jest wektor drugi

liczona względem lokalnego układu współrzędnych związanego z punktem pierwszym (dru-

gim).

α

A

I I I IA A A= + D

A A + D

α

A A( ) ( )1 + D 1

A( )1

α

α

A(2)


188

µµ= eA A

αβα

µβµ Γ= ee dxd

ααδ= eA Ad

ααα −=δ DAdAA

=+= µµ

µµ eeA dA dAd

=Γ+= αβµα

µβµµ ee dxA dA

=Γ+= αβµα

µβαα ee dxAdA

( ) αβµα

µβα Γ+= e dxAdA

βµαµβ

αα Γ+=δ dxAdAA

βµαµβ

α Γ−= dxADA

A = wektor zadany wzdłuż linii o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ

s = parametr

Ad = różniczka wektora A µed = różniczka wektora bazowego µe

µdA = różniczka współrzędnych kontrawariantnych wektora A

µδA = różniczka absolutna współrzędnych kontrawariantnych µA wektora A

µDA = różniczka współrzędnych kontrawariantnych wektora A związana z przesunię-

ciem równoległym

αµβΓ = trójskładnikowe symbole Christoffela drugiego rodzaju

DEFI�ICJA

Pochodną absolutną wektora kontrawariantnego ( ) ∑=α

αα==

4

1

4321 AA,A,A,A eA określonego

wzdłuż linii o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ , oznaczaną przez sδ

δA,

nazywamy

α=α

α

∑ δδ

=δδ

eA

s

A

s

4

1

, ( )1,2,3,4 , ds

dxA

ds

dA

s

A df

=αΓ+=δδ β

µαµβ

αα

.

TWIERDZE�IE

Jeżeli wektor ( ) ∑=α

αα==

4

1

4321 AA,A,A,A eA jest przesuwany równolegle wzdłuż linii o rów-

naniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ , to spełnia wzdłuż tej linii równanie różni-

czkowe

( )1,2,3,4 , 0ds

dxA

ds

dA

s

A=α=Γ+=

δδ β

µαµβ

αα

,

lub

( )1,2,3,4 , 0dxAdAA =α=Γ+=δ βµαµβ

αα .


189

• Pochodna absolutna wektora kowariantnego zadanego wzdłuż linii

µµ= eA A

αβµαβ

µ Γ−= ee dxd

ααδ= eA Ad

ααα −=δ DAdAA

=+= µµ

µµ eeA dA dAd

=Γ−= αβµ

µαβ

µµ ee dxA dA

=Γ−= αβµ

µαβ

αα ee dxAdA

( ) αβµ

µαβα Γ−= e dxAdA

βµ

µαβαα Γ−=δ dxAdAA

βµ

µαβα Γ= dxADA

A = wektor zadany wzdłuż linii o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ

s = parametr

Ad = różniczka wektora A µed = różniczka wektora bazowego µe

µdA = różniczka współrzędnych kowariantnych wektora A

µδA = różniczka absolutna współrzędnych kowariantnych µA wektora A

µDA = różniczka współrzędnych kowariantnych wektora A związana z przesunięciem

równoległym

µαβΓ = trójskładnikowe symbole Christoffela drugiego rodzaju

DEFI�ICJA

Pochodną absolutną wektora kowariantnego ( ) ∑=α

αα==

4

1

4321 AA,A,A,A eA określonego

wzdłuż linii o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ , oznaczaną przez sδ

δA,

nazywamy

α

=α

α∑ δ

δ=

δδ

eA

s

A

s

4

1

, ( )1,2,3,4 , ds

dxA

ds

dA

s

A df

=αΓ−=δδ β

µµαβ

αα .

TWIERDZE�IE

Jeżeli wektor ( ) ∑=α

αα==

4

1

4321 AA,A,A,A eA jest przesuwany równolegle wzdłuż linii

o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =µ= µµ , to spełnia wzdłuż tej linii równanie

różniczkowe

( )1,2,3,4 , 0ds

dxA

ds

dA

s

A df

=α=Γ−=δδ β

µµαβ

αα ,

lub

( )1,2,3,4 , 0dxAdAA =α=Γ−=δ βµ

µαββα .


190

• Pochodna kowariantna i kontrawariantna wektora

Pochodna kowariantna wektora kontrawariantnego

Pochodna kontrawariantna wektora kowariantnego

• Pochodna kowariantna tensora drugiego rzędu

PRZYKŁADPochodne tensorów metrycznych

ααα −=δ DAdAA

λβαβλ

α Γ−= dxADA

λλ

αα

∂

∂= dx

x

AdA

λαλ

λβαβλλ

αα =

Γ+

∂

∂=δ dxAdxA

x

AA ;

βαβλλ

α

λ

αα

λαλ Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇= A

x

A

x

AAA

df

;

ααα δ−=δ AdAA

λββαλα Γ= dxADA

λλ

αα ∂

∂= dx

x

AdA

λλαλβ

βαλ

λ

αα =

Γ−

∂

∂=δ dxAdxA

x

AA ;

ββαλ

λ

α

λ

αα

λλα Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇= A

x

A

x

AAA

df;

αµβµλ

µβαµλλ

αβαβ

λαβλ Γ+Γ+

∂

∂=∇= TT

x

TTT

df

;

µβ

αµλ

αµ

µβλλ

αβα

βλαλβ Γ+Γ−

∂

∂=∇= TT

x

TTT

df

;

αµµβλµβ

µαλλ

αβαβλλαβ Γ−Γ−

∂

∂=∇= TT

x

TTT

df

;

αµβµλ

µβαµλλ

αβαβ

λ Γ+Γ+∂

∂= gg

x

gg ;

αµβµλ

µβαµλλ

αβ

Γ−Γ−=∂

∂gg

x

g

0g ; =αβλ

αµµβλµβ

µαλλ

αβλαβ Γ−Γ−

∂

∂= gg

x

gg ;

αµµβλµβ

µαλλ

αβ Γ+Γ=∂

∂gg

x

g

0g ; =λαβ

βααβ ⋅= eeg

µλαµλ

α Γ−= ee dxd

µλβµλ

β Γ−= ee dxd

λλ

αβαβ

∂

∂= dx

x

gdg

αββααβ ⋅+⋅= eeee dddg =

=Γ⋅−Γ⋅−= λαµλ

µβλβµλ

µα dxdx eeee

=Γ−Γ−= λαµλ

βµλβµλ

αµ dxgdxg

( ) λαµλ

βµβµλ

αµ Γ+Γ−= dx gg

µββµαµλ

βµβµλ

αµλ

αβ

=Γ−Γ−=∂

∂gg ,gg

x

g

⇒

Pochodna kowa-

riantna wektora

kontrawariantnego

jest tensorem mie-

szanym drugiego

rzędu.

Pochodna kontra-

wariantna wektora

kowariantnego jest

tensorem mie-

szanym drugiego

rzędu.


191

• Dywergencja wektora kontrawariantnego

TWIERDZE�IEDywergencja wektora jest śladem pochodnej kowariantnej ze składowych kontrawariantnych

tego wektora: αα= ;AdivA .

DOWÓD

∑=β

βαβλλ

ααλ Γ+

∂

∂=

4

1

; Ax

AA ∑∑∑∑

=α =β

βαβα

=αα

α

=α

αα Γ+

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

4

1

; Ax

AA

• Dywergencja wektora kowariantnego

AA ⋅∇=df

div

αα

∂∂

=∇x

e

ββ= eA A

αββ

α δ=⋅ee

β=α

αβα

=αα

βα

∂

∂=Γ=

∂

∂∑∑

x

g

g

1

x

4

1

4

1

ee

( )ββα

α

∂∂

= eeA Ax

div =

=∂

∂+

∂

∂δ=

∂

∂+

∂

∂⋅=

α

βαβα

βαβα

βαβα

β

βα

xA

x

A

xA

x

A ee

eeee

α

βαβα

α

∂

∂+

∂

∂=

xA

x

A ee

βαβαα

α

Γ+∂

∂= A

x

AdivA =

ααα

αβ

βα

α

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂= A

x

g

g

1

x

A

g

gA

x

g

g

1

x

A

( )∑=α

α

α

∂

∂=

4

1 x

Ag

g

1divA

( )ββα

α

∂

∂= eeA A

xdiv ( )νβν

κβκα

αµµ ∂

∂= ee ggA

xg

( )κκααµ

µ ∂∂

= eeA Ax

gdiv

( )κκµ

µ ∂

∂= eeA A

xdiv =

κµ

µκ

µ

κκµκ

µ

κ

µµ

κκµ ∂

∂−

∂

∂δ=

∂

∂+

∂

∂= A

xx

AA

xx

A ee

eeee

κµµµ

µ Γ−∂

∂= A

x

Adiv kA

αµµ

α = geeκβ

κβ = gAA

νβνβ = ee g

κνκν

νβν

κβ =δ= eeegg

µα

αµ

∂∂

=∂∂

xxg

κµ

κµ δ=ee

µ

µκ

µ

κ

µ ∂

∂−=

∂

∂

xx

ee

ee

k

xµµ

µ

µκ Γ=∂

∂ee

∂

∂−

∂

∂=Γ

µ

αα

α

αµβµβαα

x

g

2

1

x

gg

λ=α


192

TWIERDZE�IEDywergencja wektora jest śladem pochodnej kontrawariantnej ze składowych kowariantnych

tego wektora: αα= ;AdivA .

DOWÓD

∑=β

ββαλ

λ

αλα Γ−

∂

∂=

4

1

; Ax

AA ∑∑∑∑

=α =ββ

βαα

=α α

α

=α

αα Γ−

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

4

1

; Ax

AA

• Dywergencja tensora kontrawariantnego drugiego rzędu

• Dywergencja antysymetrycznego (skośniesymetrycznego) tensora kontrawariantne-go drugiego rzędu

( ) ( )∑∑∑∑=µ =β

µβαµβ

=ββ

αβ

=β

αββ

α•• Γ+∂

∂==

4

1

4

1

4

1

4

1

;

df T

x

Tg

g

1TdivT

0T , TT4

1

4

1

=Γ⇒Γ=Γ−= ∑∑=µ =β

µβαµβ

αβµ

αµβ

βµµβ

( ) ( )∑∑=β

β

αβ

=β

αββ

α••

∂

∂==

4

1

4

1

;

df

x

Tg

g

1TdivT

• Dywergencja tensora kowariantnego drugiego rzędu

( ) ∑=β

βαβα•• =4

1

;

df

TdivT

∑∑=µ

αµµβλ

=µµβ

µαλλ

αβλαβ Γ−Γ−

∂

∂=

4

1

4

1

; TTx

TT

λ=β

∑ ∑∑∑∑∑=β =β =µ

αµµββ

=β =µµβ

µαββ

αβ

=ββαβ Γ−Γ−

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

; TTx

TT

( ) ∑ ∑∑∑∑∑=β =β =µ

αµµββ

=β =µµβ

µαββ

αβ

=ββαβα•• Γ−Γ−

∂

∂==

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

;

df

TT

x

TTdivT

µβαµλ

αµβµλλ

αβαβλ Γ+Γ+

∂

∂= TT

x

TT;

λ=β

µβαµβ

αµβµββ

αβαββ Γ+Γ+

∂

∂= TT

x

TT;

µβµβ ∂

∂=Γ

x

g

g

1

( ) ==∑=β

αββ

α••4

1

;

df TdivT

∑∑∑ ∑=µ =β

µβαµβ

αµ

=β =µµβ

αβ

=Γ+

∂

∂+

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

4

1

TTx

g

g

1

x

T

∑∑∑=µ =β

µβαµβ

αβ

=βββ

αβ

Γ+

∂

∂

+

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

TTx

g

g

1

x

T

g

g

( ) ∑∑∑∑=µ =β

µβαµβ

=ββ

αβ

=β

αββ

α•• Γ+

∂

∂==

4

1

4

1

4

1

4

1

;

df

Tx

Tg

g

1TdivT

λ=α


193

• Dywergencja tensora mieszanego drugiego rzędu

• Dywergencja symetrycznego mieszanego tensora drugiego rzędu

( ) αµ

µβαα

αβα

αβ Γ−∂

∂= T

x

Tg

g

1T ;

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

=Γ λβα

αλβ

βαλµλµ

βαx

g

x

g

x

g g

21 , λαα

µµλ = TTg

( )

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

−∂

∂= λ

βααλβ

βαλλα

α

αβα

αβx

g

x

g

x

g T

x

Tg

g

1T

21

;

αλλα = TT ⇒ 0x

g

x

g T =

∂

∂−

∂

∂λβα

αλβλα

( )

βαλλα

α

αβα

αβ ∂∂

−∂

∂=

x

gT

x

Tg

g

1T

21

;

µλαµ

λα = gTT

( )

βαλµλα

µα

αβα

αβ ∂∂

−∂

∂=

x

ggT

x

Tg

g

1T

21

;

β

µλ

αλβαλµλ

∂

∂−=

∂∂

x

gg

x

gg

( )

β

µλ

αλαµα

αβα

αβ ∂

∂+

∂

∂=

x

ggT

x

Tg

g

1T

21

;

µλαλαµ = TgT

( )

β

µλ

µλα

αβα

αβ ∂

∂+

∂

∂=

x

gT

x

Tg

g

1T

21

;

µβ

αµλ

αµ

µβλλ

αβα

λβ Γ+Γ−∂

∂= TT

x

TT ;

λ=α

µβ

αµα

αµ

µβαα

αβα

αβ Γ+Γ−∂

∂= TT

x

TT ;

µαµα ∂

∂=Γ

x

g

g

1

( ) =Γ−

∂

∂+

∂

∂== α

µµβα

µβµα

αβα

αββ•• TT

x

g

g

1

x

TTdivT ;

df

∑∑∑=µ =α

αµ

µβα

αβ

=ααα

αβ Γ−

∂

∂

+

∂

∂=

4

1

4

1

4

1

TT x

g

g

1

x

T

g

g

( ) ( )∑∑∑∑=µ =α

αµ

µβα

=αα

αβ

=β

ααββ

•• Γ−

∂

∂==

4

1

4

1

4

1

4

1

;

df

Tx

Tg

g

1TdivT


194

• Związki między dywergencjami tensorów drugiego rzędu

• Gradient funkcji skalarnej

∑=α

αα

∂

ϕ∂=ϕ∇=ϕ

4

1

df

x

grad e

αβ

=ββ

α ∑= g4

1

ee , β

α=α

αβ

∂ϕ∂

=∂ϕ∂

∑xx

g4

1

∑∑ ∑=β

ββ

β=β =α

ααβ

∂

ϕ∂=

∂

ϕ∂=ϕ

4

1

4

1

4

1 x

xggrad ee

Gradient funkcji skalarnej ϕ jest wektorem.

α∂

ϕ∂

x = składowa kowariantna gradientu

β

α=α

αβ

∂ϕ∂

=∂ϕ∂

∑xx

g4

1

= składowa kontrawariantna gradientu

( ) ννσσ

•• = ;

TdivT

µνµσ

νσ = TgT

( )ν

µνµσ

ννσ =

; ; Tg T

0g ; =νµσ

µννµσ

ννσ = ;: TgT

( )µ••µνν =

; divT T

( ) ( )µ••µσσ

•• =

divT gdivT

( ) µνν

µ•• = ;

T divT

νβ

µβµν = TgT

( )ν

νβ

µβµνν= ; ; Tg T

0g; =µβν

ννβ

µβµνν= ;; TgT

( )β••

ννβ =

; divT T

( ) ( )β••

µβµ•• =

divT gdivT

( ) νµν•• = ;µ T divT

βνµβµν = TgT

( )ν

βνµβνµν =

; ; Tg T

0g ; =νµβ

βννµβνµν = ;; TgT

( )β••

βνν =

; divT T

( ) ( )β••µβ•• =

µ divT gdivT

( ) νσσ

ν•• = ;

TdivT

µσµνν

σ = TgT

( )σµσ

µννσσ =

;; Tg T

0g; =µνσ

σµσµνν

σσ = ;: TgT

( )µ••σµσ = ; divT T

( ) ( )µ••µνν•

• =

divT gdivT


195

• Laplasjan funkcji skalarnej

• Rotacja jako kowariantny tensor antysymetryczny drugiego rzędu

νµµνµν −= ;;

df

AAr

ααµνν

µνµ Γ−

∂

∂= A

x

AA ; , α

ανµµ

νµν Γ−

∂∂

= Ax

AA ; , α

νµαµν Γ=Γ

ν

µ

µν

µν ∂

∂−

∂

∂=

x

A

x

Ar

W przypadku trójwymiarowym składowe tensora µνr można interpretować jako składowe

rotacji wektora kowariantnego w układzie ortonormalnym.

3

2

1

1

22

1

3

3

11

3

2

2

3 x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

Arot eeeA

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂= = 3

12

2

31

1

23 rrr eee ++

• Twierdzenie Gaussa

Całka z czterowektora po hiperpowierzchni S jest równa całce z dywergencji tego wekto-

ra po czteroobjętości V.

dV gAdS gAV

;

S

∫∫ ααα

α =

ϕ=ϕ∇ grad div2

βαβαα

ααα Γ−

∂

∂== A

x

AAdiv ;A

ϕ= gradA

ββαα

∂ϕ∂

=x

gA , ααββ

∂ϕ∂

=x

gA

βααβ = gg

ααβα

βαββα

α ∂ϕ∂

Γ−

∂ϕ∂

∂∂

=ϕ∇x

gx

gx

2

ααβα

βαβα

αβ

βααβ

∂ϕ∂

Γ−∂ϕ∂

∂

∂+

∂∂ϕ∂

=ϕ∇x

gxx

g

xxg

22

W przestrzeni n-wymiarowej antysymetryczny tensor µνr posiada

( )nn2

21 − niezależnych składowych.

( )∑=β

β

β

∂

∂=

4

1 x

Ag

g

1divA

ααβ

=α =ββ ∂

ϕ∂=ϕ= ∑∑

xggrad

4

1

4

1

eA

∑=α

ααβββ

∂ϕ∂

=ϕ=4

1 xggradA

=ϕ=ϕ∇⋅∇=ϕ∆=ϕ∇ grad div df

2

∂

ϕ∂

∂

∂==

α=α

αβ

=ββ ∑∑

xgg

xg

1div

4

1

4

1

A

∂

ϕ∂

∂

∂=ϕ∇

ααβ

=α =ββ∑∑

xgg

xg

1 4

1

4

1

2


196

• Pochodna kowariantna dowolnego tensora Pochodną kowariantna dowolnego tensora lub rozszerzeniem kowariantnym tensora nazy-

wamy wyrażenie

[ ] [ ]. ...TΓTΓ...TΓTΓx

T

δx

δTTT

n312n21n21

m312

n21

m21

n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

...sqsss

λ q

...sqss

λ q

...sss

...rqrr

q

λ r

...sss

...rqr

q

λ rλ

...sss

...rrrdf

λ

...sss

...rrr...sss

...rrrλ

...sss

λ ;...rrr

+++++−∂

∂=

==∇=

TWIERDZE�IEPochodna kowariantna dowolnego tensora jest tensorem, którego rząd i kowariantność są

o jeden wyższe od rzędu i kowariantności tensora wyjściowego

.T δx

δTTT n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

...sss

λ ...rrr

tw

λ

...sss

...rrr...sss

...rrrλ

...sss

λ ;...rrr ==∇=

Dowód tego twierdzenia dla przypadku pochodnej kowariantnej tensora kowariantnego został

podany przez E. B. Christoffela w pracy:

Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.Journal für die reine und angewandte Mathematik 70 (1869) 46-70.

Rok 1869 można uważać za datę powstania rachunku tensorowego.

PRZYKŁADYPochodna kowariantna tensora zerowego rzędu (skalara) T

λλλλλλ =∂

∂=

δ

δ=∇== ,

df

; Tx

T

x

TTTT .

Pochodna kowariantna tensora kowariantnego pierwszego rzędu (wektora kowariantnego) αT

q

qdf

; Tx

T

x

TTTT αλλ

αλα

αλλααλ Γ−∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kowariantnego drugiego rzędu αβT

q

q

q

qdf

; TTx

T

x

TTTT αβλβαλλ

αβ

λ

αβαβλλαβλαβ Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kowariantnego trzeciego rzędu αβµT

q

q

q

q

q

qdf

; TTTx

T

x

TTTT αβµλµαβλβµαλλ

αβµ

λ

αβµαβµλλαβµαβµλ Γ−Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kowariantnego czwartego rzędu αβµνT

q

q

q

q

q

q

q

qdf

; TTTTx

T

x

T TTT αβµνλναβµλµναβλβµναλλ

αβµν

λ

αβµναβµνλλαβµναβµνλ Γ−Γ−Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kontrawariantnego pierwszego rzędu (wektora

kontrawariantnego) αT

q

q

df ; T

x

T

x

TTTT α

λλ

α

λ

ααλλααλ Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kontrawariantnego drugiego rzędu αβT

q

q

q

q

df

; TTx

T

x

TTTT αβ

λβα

λλ

αβ

λ

αβαβ

λαβλ

αβλ Γ+Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .


197

Pochodna kowariantna tensora kontrawariantnego trzeciego rzędu αβµT

q

q

q

q

q

q

df

; TTTx

T

x

TTTT αβµ

λµαβ

λβµα

λλ

αβµ

λ

αβµαβµ

λαβµλ

αβµλ Γ+Γ+Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora kontrawariantnego czwartego rzędu αβµνT

q

q

q

q

q

q

q

q

df

; TTTTx

T

x

TTTT αβµν

λναβµ

λµναβ

λβµνα

λλ

αβµν

λ

αβµναβµν

λαβµνλ

αβµνλ Γ+Γ+Γ+Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora mieszanego drugiego rzędu jednokrotnie kowariantnego i jed-

nokrotnie kontrawariantnego αβT

q

qq

qdf

; TTx

T

x

TTTT β

αλ

αβλλ

αβ

λ

αβα

βλαλβ

αβλ Γ+Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kowariantna tensora mieszanego trzeciego rzędu jednokrotnie kontrawariantnego

i dwukrotnie kowariantnego αβµT

q

qq

q

q

qdf

; TTTx

T

x

TTTT βµ

αλ

αβµλ

αµβλλ

αβµ

λ

αβµα

βµλα

λβµαβµλ Γ+Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

• Pochodna kontrawariantna dowolnego tensora Na bazie definicji pochodnej kowariantnej podamy definicję pochodnej kontrawariantnej

dowolnego tensora.

[ ] [ ]...TT...TTx

T

x

TTTT

n312n21n21

m312

n21

m21

n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

n21

m21

s...qsss

q

s...qss

q

s...ss

r...qrr

q

r

s...ss

r...qr

q

r

s...ss

r...rrdf

s...ss

r...rrs...ss

r...rr

s...ss

;r...rr

s...ss

r...rr

+Γ+Γ++Γ+Γ−∂

∂=

=δ

δ=∇==

λλλλλ

λλλλ

ω

λωλ = n21

m21

n21

m21

s...ss

r...rr

s...ss

r...rr TgT

κωλω

λκ δ=gg

κωκ

ωω

λωλκ =δ= n21

m21

n21

m21

n21

m21

s...ss

r...rr

s...ss

r...rr

s...ss

r...rr TTTgg

Pochodną kontrawariantną lub rozszerzeniem kontrawariantnym dowolnego tensora nazywa-

my wyrażenie

[ ] [ ]

+Γ+Γ++Γ+Γ−∂

∂=

=δ

δ=∇==

λλλλλλκ

λλκ

λλκκκ

...TT...TTx

Tg

x

TgTgTT

n312n21n21

m312

n21

m21

n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

n21

m21

s...qsss

q

s...qss

q

s...ss

r...qrr

q

r

s...ss

r...qr

q

r

s...ss

r...rrdf

s...ss

r...rrs...ss

r...rr

;s...ss

r...rr

s...ss

r...rr

λ

=λ

λκ

κ ∂∂

=∂∂

∑x

gx

N

1

df

, ∑=λ

λλκ

κ ∂∂

=δδ N

1

df

xg

x, ∑

=λλ

λκκ ∇=∇N

1

df

g

q

r

N

1

dfq

r 11g λ

=λ

λκκ Γ=Γ ∑ , 11

1

s

q

N

1

dfs

r g λ=λ

λκκ Γ=Γ ∑

[ ] [ ]...TT...TTx

T

x

TTTT

n312n21n21

m312

n21

m21

n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

n21

m21

s...qsss

q

s...qss

q

s...ss

r...qrr

q

r

s...ss

r...qr

q

r

s...ss

r...rrdf

s...ss

r...rrs...ss

r...rr

;s...ss

r...rr

s...ss

r...rr

+Γ+Γ++Γ+Γ−∂

∂=

=δ

δ=∇==

κκκκκ

κ

κκκ


198

TWIERDZE�IEPochodna kontrawariantna dowolnego tensora jest tensorem, którego rząd i kontrawariantność

są o jeden wyższe od rzędu i kontrawariantności tensora wyjściowego

κ

κ

κκ =δ

δ=∇= n21

m21

n21

m21n21

m21

n21

m21

s...ss

r...rr

tws...ss

r...rrs...ss

r...rr

;s...ss

r...rr T x

TTT .

Twierdzenie to w przypadku pochodnej kontrawariantnej tensora kontrawariantnego zostało

sformułowane przez G. Riciiego i T. Levi-Civitę w pracy:

Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.Mathematische Annalen 54 (1901) 125-201.

PRZYKŁADYPochodna kontrawariantna tensora zerowego rzędu (skalara) T

κ

κλ

λκλ

λκ

κ

κκκ =∂

∂==

∂

∂=

δ

δ=∇== ,

,

df; T

x

TTg

x

Tg

x

TTTT .

Pochodna kontrawariantna tensora kowariantnego pierwszego rzędu (wektora kowariantnego)

αT

q

q

q

qdf

; Tx

TT

x

Tg

x

TTT ακ

κ

ααλλ

αλκ

κ

αα

κκα Γ−

∂

∂=

Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇= .

Pochodna kontrawariantna tensora kowariantnego drugiego rzędu αβT

q

q

q

q

q

q

q

qdf

; TTx

TTT

x

Tg

x

TTTT αβκβακ

κ

αβαβλβαλλ

αβλκ

κ

αβαβ

κκαβ

καβ Γ−Γ−

∂

∂=

Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kontrawariantna tensora kowariantnego trzeciego rzędu αβµT

. TTTx

T

TTTx

Tg

x

TTTT

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qdf

;

αβµκµαβκβµακκ

αβµ

αβµλµαβλβµαλλαβµλκ

κ

αβµαβµ

κκαβµ

καβµ

Γ−Γ−Γ−∂

∂=

=

Γ−Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇==

Pochodna kontrawariantna tensora kowariantnego czwartego rzędu αβµνT

. TTTTx

T

TTTTx

Tg

x

T TTT

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qdf

;

αβµνκναβµκµναβκβµνακκ

αβµν

αβµνλναβµλµναβλβµναλλαβµνλκ

καβµν

αβµνκκ

αβµνκαβµν

Γ−Γ−Γ−Γ−∂

∂=

=

Γ−Γ−Γ−Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇==

Pochodna kontrawariantna tensora kontrawariantnego pierwszego rzędu (wektora kontrawa-

riantnego) αT

q

q

q

q

df ; T

x

TT

x

Tg

x

TTTT α

κκ

ααλλ

αλκ

κ

αακκαακ Γ+

∂

∂=

Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kontrawariantna tensora kontrawariantnego drugiego rzędu αβT

q

q

q

q

q

q

q

q

df ; TT

x

TTT

x

Tg

x

TTTT αβ

κβα

κκ

αβαβ

λβα

λλ

αβλκ

κ

αβαβκκαβαβκ Γ+Γ+

∂

∂=

Γ+Γ+

∂

∂=

δ

δ=∇== .


199

Pochodna kontrawariantna tensora kontrawariantnego trzeciego rzędu αβµT

.TΓTΓTΓx

T

TΓTΓTΓx

Tg

δx

δTTTT

αβqµ

qκ

αqµβ

qκ

qββα

qκ

κ

αβµ

αβqµ

qλ

αqµβ

qλ

qββα

qλλ

αβµ

λκdf

κ

αβµ

αβµκκαβµ;αβµκ

+++∂

∂=

=

+++

∂

∂==∇==

Pochodna kontrawariantna tensora kontrawariantnego czwartego rzędu αβµνT

.TΓTΓTΓTΓx

T

TΓTΓTΓTΓx

Tg

δx

δTTTT

αβµqν

qκ

αβqνµ

qκ

αqµνβ

qκ

qββµα

qκ

κ

αβµν

αβµqν

qλ

αβqνµ

qλ

αqµνβ

qλ

qββµα

qλλ

αβµν

λκ

df

κ

αβµν

αβµνκκαβµν;αβµνκ

++++∂

∂=

=

++++

∂

∂=

==∇==

Pochodna kontrawariantna tensora mieszanego drugiego rzędu jednokrotnie kowariantnego

i jednokrotnie kontrawariantnego αβT

q

qq

qq

qq

qdf

;

TTx

TTT

x

Tg

x

TTTT β

ακ

αβκ

κ

αβ

βαλ

αβλλ

αβλκ

κ

αβα

βκκα

βακβ Γ+Γ−

∂

∂=

Γ+Γ−

∂

∂=

δ

δ=∇== .

Pochodna kontrawariantna tensora mieszanego trzeciego rzędu jednokrotnie kowariantnego

i dwukrotnie kontrawariantnego αβµT

.TΓTΓTΓx

T

TΓTΓTΓx

T g

δx

δTTTT

q

βµ

α

qκ

α

βq

q

µκ

α

qµ

q

βκ

κ

α

βµ

q

βµ

α

qλ

α

βq

q

µλ

α

qµ

q

βλλ

α

βµλκdf

κ

α

βµα

βµ

κ κ; α

βµ

ακ

βµ

+−−∂

∂=

=

+−−

∂

∂==∇==

Pochodna kontrawariantna tensora mieszanego trzeciego rzędu dwukrotnie kowariantnego

i jednokrotnie kontrawariantnego αβµT

.TΓTΓTΓx

T

TΓTΓTΓx

T g

δx

δTTTT

αq

µ

β

qκ

qβ

µ

α

qκ

αβ

q

q

µκ

κ

αβ

µ

αq

µ

β

qλ

qβ

µ

α

qλ

αβ

q

q

µλλ

αβ

µλκdf

κ

αβ

µαβ

µ

κκαβ;

µ

αβκ

µ

++−∂

∂=

=

++−

∂

∂==∇==

Pochodna kontrawariantna tensora mieszanego czwartego rzędu jednokrotnie kontrawariant-

nego i trójkrotnie kowariantnego αβµνT

.TΓTΓTΓTΓx

T

TΓTΓTΓTΓx

T g

δx

δTTTT

q

βµν

α

qκ

α

βµq

q

νκ

α

βqν

q

µκ

α

qµµ

q

βκ

κ

α

βµν

q

βµν

α

qλ

α

βµq

q

νλ

α

βqν

q

µλ

α

qµµ

q

βλλ

α

βµνλκdf

κ

α

βµνα

βµν

κ κ; α

βµν

ακ

βµν

+−−−∂

∂=

=

+−−−

∂

∂==∇==


200

• Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy i iloczynu tensorów Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy tensorów tego samego rzędu i typu jest

sumą pochodnych kowariantnych (kontrawariantnych) tych tensorów.

Pochodna kowariantna (kontrawariantna) iloczynu dowolnych dwóch tensorów jest sumą,

składającą się z iloczynu pierwszego tensora i pochodnej kowariantnej (kontrawariantnej)

drugiego tensora oraz iloczynu drugiego tensora i pochodnej kowariantnej (kontrawariantnej)

pierwszego tensora.

Należy pamiętać, że pochodna kowariantna (kontrawariantna) kowariantnego oraz kon-

trawariantnego tensora metrycznego jest równa zeru

0x

g

x

g

x

g

x

g=

δ

δ=

δ

δ=

δ

δ=

δ

δ

κ

µν

κ

µν

λµν

λ

µν

.

• Pochodne wyższych rzędów Zacytujmy odpowiedni fragment z pracy G. Riciiego i T. Levi-Civity:

Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.Mathematische Annalen 54 (1901) 125-201.

„Jeżeli litera o m wskaźnikach przedstawia tensor kowariantny, to przyjmować będziemy

ogólnie, że ta sama litera z jednym wskaźnikiem więcej przedstawia jego pierwszą pochodną

kowariantną względem przyjętej formy zasadniczej.

Na przykład, wychodząc z tensora rzędu 0, tj. z funkcji T i stosując kolejno odpowiednie

wzory, można otrzymać pierwszy, drugi itd. tensor pochodny. Rozciągając na rzędy wyższe

nazwy, będące w użyciu dla rzędu pierwszego, nazywamy niekiedy tensory rsT , rstT itd.

pochodnymi kowariantnym rzędu drugiego, trzeciego itd. funkcji T.”

Procedurę tę można rozszerzyć na pochodne kowariantne i kontrawariantne dowolnego

tensora.

PRZYKŁADStartując od skalara T można utworzyć 24 tensory mieszane czwartego rzędu jednokrotnie

kontrawariantne i trzykrotnie kowariantne:

αβµν• T , α

βνµ• T , αµβν• T , α

µνβ• T ανβµ• T , α

νµβ• T ,

α•µν•βT , α•

νµ•βT , α•βν•µT , α•

νβ•µT , α•βµ•νT , α•

µβ•νT ,

α••ν•βµT , α••

µ•βνT , α••ν•µβT , α••

β•µνT , α••µ•νβT , α••

β•νµT ,

α•••βµνT , α

βνµT ••• , α

µβνT ••• , α

µνβT ••• , α

νβµT ••• , α

νµβT ••• .

Pierwszy z nich skonstruowaliśmy następująco:

α

α

δx

δTT = ,

α

β

2

α

β

α

βδxδx

Tδ

δx

δT

δx

δT =

=• ,

α

βµ

3

α

β

2

µ

α

βµ

α

βµδxδxδx

Tδ

δxδx

Tδ

δx

δ

δx

δT

δx

δ

δx

δT =

=

=• ,

α

βµν

4

α

βµ

3

ν

α

βµν

α

βµνδxδxδxδx

Tδ

δxδxδx

Tδ

δx

δ

δx

δT

δx

δ

δx

δ

δx

δT =

=

=• .


201

• Dywergencja tensora metrycznego

• Dalsze własności tensora metrycznego Różniczkowanie wyrażenia

νµ

νσµσ δ=gg

daje

α

νσ

µσαµσνσ

∂

∂−=

∂

∂

x

gg

x

gg .

Po przemnożeniu obu stron tej równości przez ντg i zsumowaniu po ν (w pierwszym przy-

padku) lub przemnożeniu przez µτg i zsumowaniu po µ (w drugim przypadku), otrzymujemy

α

νσ

µσνταµσνσ

ντ ∂

∂−=

∂

∂

x

ggg

x

ggg

στ

νσντ δ=gg

α

νσ

µσνταµσσ

τ ∂

∂−=

∂

∂δ

x

ggg

x

g

α

νσ

µσνταµτ

∂

∂−=

∂

∂

x

ggg

x

g

lub

α

νσ

µσµτ

αµσνσµτ

∂

∂−=

∂

∂

x

ggg

x

ggg

τσµσ

µτ δ=gg

α

νστσα

µσνσµτ

∂

∂δ−=

∂

∂

x

g

x

ggg

α

µσνσµτα

ντ

∂

∂−=

∂

∂

x

ggg

x

g

µ

µ

µβ

µ

; gΓgΓx

gg αββαββ

αββαβ −−

∂

∂=

µ

µ

µ

µ gΓgΓx

gαβββαββ

αβ +=∂

∂

0g ; =βαβ

µ

µλ

µ

µ; gΓgΓx

gg αββα

ββ

αβαβ

β ++∂

∂=

µ

µ

µ

µ gΓgΓx

g αββ

βαββ

αβ

−−=∂

∂

0g ; =αββ


202

10 PRZESTRZEŃ RIEMA��A

• Płaskie przestrzenie z metryką Badane poprzednio przestrzenie były płaskie, istniał ortonormalny układ współrzędnych

{ }4321 ,,,,0 eeee , względem którego różniczka odległości ds między każdymi dwoma blisko

położonymi punktami spełniała zależność ( ) ( )∑=µ

µ=n

1

22dxds . Układ ten był wyjściowym ukła-

dem współrzędnych z tensorem metrycznym µνµν δ=g . Wprowadzenie współrzędnych krzy-

woliniowych ( )4321 x,x,x,x fx µµ =′ pozwalało na określenie w każdym punkcie przestrzeni

tensora metrycznego β

ν

α

µ

µναβ ′∂∂

′∂∂

=′x

x

x

xgg . Różniczkę odległości między dwoma blisko poło-

żonymi punktami α′x i αα ′+′ xdx można było wyznaczyć ze wzoru βααβ ′′′= xdxdgds2 .

• Przestrzeń Riemanna jako przestrzeń zakrzywiona z metryką Wyjściowym układem współrzędnych niech będzie dowolny prostoliniowy lub krzywoli-

niowy układ współrzędnych 4321 X,X,X,X . Niech ( )4321 x,x,x,x będą kontrawariantnymi

współrzędnymi punktu P, które przy zmianie układu ( )4321 x,x,x,xfx µµ =′ transformują się

według wzorów ∑=ν

νν

µµ

∂

′∂=′

4

1

xd x

xxd , ( )4,3,2,1=µ .

Czterowymiarowym tensorem g-krotnie kontrawariantnym i d-krotnie kowariant-

nym g21

d21T

µµµννν

L

L będziemy nazywali zbiór dg4 + wielkości, zwanych jego składowymi (współ-

rzędnymi), które przy zmianie układu współrzędnych

( ) ,xd x

xxd , x,x,x,xfx

4

1

4321 ∑=ν

νν

µµµµ

∂

′∂=′=′ ( )4,3,2,1=µ


g21

d21d

d

1 d

1

1

g

g

g

1

1

1

g21

d21T

x

x

x

x

x

x

x

xT

4

1

4

1

4

1

4

1

αααβββν

β

=β =βν

β

α

µ

=αα

µ

=α

µµµννν ′∂

∂′∂

∂

∂

′∂

∂

′∂=′ ∑ ∑∑∑ L

L

L

LLLLL , lub

g321

d321

d

d

d 1

1

1g

g

g 1

1

1

g321

d321T

x

x

x

x

x

x

x

xT

4

1

4

1

4

1

4

1

ααααββββ

β

ν

=β β

ν

=βµ

α

=α µ

α

=α

µµµµνννν ∂

′∂

∂

′∂

′∂

∂

′∂

∂=′ ∑∑∑∑ L

L

L

LLLLL .

Liczbę ( )gd + jest rzędem tensora.

Przestrzenią Riemanna nazywamy przestrzeń z zadanym w każdym jej punkcie tenso-

rem metrycznym µνg , kowariantnym, symetrycznym, drugiego rzędu. Przy pomocy tego ten-

sora określany jest kwadrat różniczki odległości dwóch blisko siebie położonych punktów

(forma metryczna) νµµν= dxdxgds2 . Tensor metryczny przestrzeni Riemanna można przed-

stawić w postaci sumy dwóch składników. Pierwszy składnik związany jest z przyjętym wyj-

ściowym układem współrzędnych. Drugi składnik opisuje deformacje przestrzeni.


203

βα

µβµα δ=∆ gg

• Kowariantny tensor metryczny i kowariantne wektory bazowe

( )ννµµ

µνdf

νµgg

g ,cos =∠ ee

( )νµνµ

df

νµ ,cosee eeee ∠=⋅

µν

df

νµ g=⋅ee

G

µν

0

µνµν ggg +=

( )0

νν

0

µµ

0

µνdf

0

ν

0

µ

gg

g ,cos =∠ ee

( )0

ν

0

µ

0

ν

0

µ

df0

ν

0

µ ,cosee eeee ∠=⋅

0

µν

df0

ν

0

µ g=⋅ee

0

µe = wektory bazowe wyjściowego układu współrzędnych

µe = lokalne wektory bazowe przestrzeni Riemanna

0

µνg = składnik tensora metrycznego przestrzeni Riemanna związany z wyjściowym ukła-

dem współrzędnych

G

µνg = składnik tensora metrycznego przestrzeni Riemanna opisujący deformacje przes-

trzeni

• Kontrawariantny tensor metryczny µνg

νµµννµ

µν =∆

=∆

= ggg

gdf

, 0

gggg

gggg

gggg

gggg

detg

44434241

34333231

24232221

14131211

≠

=

µβµβ =∆ gg

βα

µβµα δ=∆ gg

Analogiczne relacje zachodzą między kontrawariantnym tensorem metrycznym przestrzeni

Riemanna i kontrawariantnymi wektorami bazowymi.

• Lokalny układ współrzędnych i styczna przestrzeń Tensor metryczny przestrzeni Riemanna pozwala wprowadzić w każdym punkcie tzw. lo-

kalny prostoliniowy układ współrzędnych oraz związaną z nim tzw. styczną przestrzeń. Wy-

korzystując fakt, że w danym punkcie P składowe tensora metrycznego są stałe, można jedno-

znacznie skonstruować lokalny prostoliniowy układ współrzędnych

{ }4321 ,,,,P eeee , νµµν ⋅= eeg .

( ) 1,cos µµ =∠ ee

µµµ ge =

G

µν

0

ν

0

µ

G

µν

0

µννµ ggg +⋅=+=⋅ eeee

( )G

νν

0

νν

G

µµ

0

µµ

G

µν

0

µν

νµ

gggg

gg ,cos

++

+=∠ ee

βα

µβµα δ=gg


204

• Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych Iloczynem skalarnym wektorów kontrawariantnych

( ) µ

µ4321 AA,A,A,A eA == oraz ( ) ν

ν4321 BB,B,B,B eB == ,

zaczepionych w tym samym punkcie, nazwamy skalar

( )µν

νµ

νµ

νµ

νµ

df

gBABA,ABcos =⋅=∠=⋅ eeeeBA

• Iloczyn skalarny wektorów kowariantnych Iloczynem skalarnym wektorów kowariantnych

( ) µ

µ4321 AA,A,A,A eA == oraz ( ) ν

ν4321 BB,B,B,B eB == ,

zaczepionych w tym samym punkcie, nazwamy skalar

( ) µν

νµ

νµ

νµ

νµdf

gBABA,ABcos =⋅=∠=⋅ eeeeBA

• Rzeczywista wartość wektora kontrawariantnego

νµ

µν

df

AAg ε A =

ε = liczba znakowa przyjmująca wartości 1+ lub 1− , aby A było liczbą rzeczywistą

• Rzeczywista wartość wektora kowariantnego

νµ

µνdf

AAg ε A =

• Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów Dwa wektory µA i νB zaczepione w tym samym punkcie będziemy nazywali prostopad-

łymi (ortogonalnymi), jeżeli

0BAg =νµµν .

• Operacje na tensorach w przestrzeni Riemanna Wszystkie omówione wcześniej w niezbędniku operacje na tensorach można wykonywać

również w przestrzeni Riemanna. Działaniami algebraicznymi, które można przeprowadzać

jedynie na tensorach określonych w danym punkcie, są:

Dodawanie tensorów Mnożenie tensorów Zwężanie (kontrakcja) tensorów Podnoszenie i obniżanie wskaźnikówOperacjami w zakresie analizy tensorów są:

Pochodna tensora Pochodna absolutna tensora Dywergencja tensora Gradient funkcji skalarnej Laplasjan funkcji skalarnej


205

• Równania geodetyki Geodetyką (linią geodezyjną) nazywamy najkrótszą linię łączącą dwa blisko siebie położo-

ne punkty. Wzdłuż linii geodezyjnej wersory stycznych do niej są względem siebie przesunięte

równolegle.

Niech będzie dana linia o równaniu parametrycznym ( ) ( )1,2,3,4 , sxx =α= αα .

Wektor α=α

α

∑= eA4

1

ds

dx, 1

ds

dx

ds

dxg ==

νµ

µνA jest jednostkowym wektorem stycznym do

danej linii. Będzie ona geodetyką wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna absolutna z wektora sty-

cznego do niej będzie równa zeru.

0ds

dxA

ds

dA

s

A=Γ+=

δδ ν

µαµν

αα

ds

xdA

αα =

4,3,2,1 =α

0ds

dx

ds

xd

ds

xd

ds

d

ds

xd

s=Γ+

=

δδ νµ

αµν

αα

0ds

dx

ds

xd

ds

xd

2

2

=Γ+νµ

αµν

α

Równanie geodetyki

Aby jednoznacznie rozwiązać układ tych równań różniczkowych, należy zadać warunki

początkowe:

( )0xα = początkowy punkt geodetyki,

0ds

dx

α

= wektor styczny do geodetyki w punkcie początkowym.

• Geodetyka zerowa.

Geodetyką zerową nazywamy geodetykę, dla której 0ds = . Po takich liniach porusza się

światło. Zwróćmy uwagę na to, że w czasoprzestrzeni odległość między dwoma różnymi punk-

tami może być równa zeru, pomimo że punkty te nie pokrywają się.

TWIERDZE�IEGeodetyka zerowa jest linią

( ) ( )1,2,3,4 , uxx =α= αα ,

spełniającą równania różniczkowe

0du

dx

du

dx

du

xd2

2

=Γ+νµ

αµν

α

,

których całką pierwszą jest

0du

dx

du

dxg =

νµ

µν .

Aby jednoznacznie rozwiązać układ tych równań różniczkowych, należy zadać warunki

początkowe:

( )0xα = początkowy punkt geodetyki zerowej,

0du

dx

α

= wektor styczny do geodetyki zerowej w punkcie początkowym.


206

∫ µβαβµ

α Γ−=∆ dxAA

Twierdzenie Stokesa

µνν

µ

µ

νµµ

∂

∂−

∂

∂= ∫∫ dS

x

B

x

BdxB

21

µννµµν −= xdxdxdxddS 2121

νµµν −= dSdS

βαβµ

µ Γ= AB

βαβν

ν Γ= AB

σβσµµ

β

Γ−=∂

∂A

x

A

σβσνν

β

Γ−=∂

∂A

x

A

=Γ=∆− ∫ µβαβµ

α dxAA

∫ µνβαβµν

βαβνµ

Γ

∂

∂−Γ

∂

∂= dS A

xA

x21

∫ =

∂

∂Γ−

∂

Γ∂−

∂

∂Γ+

∂

Γ∂= µν

ν

βαβµ

βν

αβµ

µ

βαβν

βµ

αβν

dS x

AA

xx

AA

x21

∫ =

ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂= µνσβ

σναβµ

σβσµ

αβν

βν

αβµβ

µ

αβν

dS AAAx

Ax

21

W ostatnich dwóch członach zamienimy między sobą

wskaźniki β i σ .

=

ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂= µνβσ

βνασµ

βσβµ

ασν

βν

αβµβ

µ

αβν

∫ dS AAAx

Ax

21

µνβσβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβν

ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂= ∫ dSA

xx21 =

== µνβαβµν∫ dSAR

21

Dla nieskończenie małego konturu zamkniętego mamy

∫ µνβαβµν= dSAR

21

∫ µνβαβµν

α −=∆ dSARA21

σβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβνα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

α∆A = infinitezymalny przyrost współrzędnej kontrawariantnej wektora związany

z przesunięciem równoległym wzdłuż infinitezymalnego zamkniętego konturu będącego

infinitezymalnym równoległobokiem o infinitezymalnych bokach µxd1 i νxd2

µνdS = antysymetryczny tensor drugiego rzędu, którego składowe są rzutami infinitezy-

malnego elementu powierzchni na płaszczyzny wyznaczone przez osie układu współrzęd-

nych νµ x ,x

αβµνR = mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu

11 TE�SOR KRZYWIZ�Y

• Mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu Przestrzeń n-wymiarową nazywamy zakrzywioną, jeżeli nie istnieje ortonormalny układ

współrzędnych względem którego różniczka odległości ds między każdymi dwoma blisko

położonymi punktami spełnia zależność ( ) ( )∑=µ

µ=n

1

22dxds .

Miarą krzywizny przestrzeni zdarzeń (czasoprzestrzeni) jest przyrost współrzędnej kon-

trawariantnej wektora związany z przesunięciem równoległym wzdłuż zamkniętego konturu.


207

• Własności tensora krzywizny Grossmanna

αβνµ

αβµν −= RR Tensor α

βµνR jest antysymetryczny ze względu na wskaźniki µ i ν .

Suma wszystkich jego składowych jest równa zeru.

ν=µ⇔=αβµν 0R

0R4

1

=∑=α

ααµν

0RRR =++ αµνβ

ανβµ

αβµν

0RRR ;;; =++ αµβνσ

ανβσµ

ασβµν Tożsamości Bianchiego

Tensor αβµνR posiada w przestrzeni n-wymiarowej ( )34 nn − niezerowych składowych.

Przestrzeń jest płaska (euklidesowa) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składowe 0R =αβµν .

• Kowariantny tensor krzywizny Riemanna-Christoffela czwartego rzędu

σβµνασαβµν = RgR

df

, [ ] [ ] [ ] [ ]να

τσβµ

µατ

σβνν

µβα

µ

νβα

αβµν Γ+Γ−∂∂

−∂∂

=

xxR

( )ταµ

σβν

ταν

σβµστµα

βννβ

αµνα

βµµβ

αναβµν ΓΓ−ΓΓ+

∂∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂∂

= gxx

g

xx

g

xx

g

xx

gR

2222

21

• Własności tensora krzywizny Riemanna-Christoffela αβµνR

βαµναβµν −= RR , αβνµαβµν −= RR

µναβαβµν = RR

ν=µ⇔=αβµν 0R , β=α⇔=αβµν 0R

0RRR =++ αµνβανβµαβµν

Kowariantny tensor krzywizny αβµνR czwartego rzędu posiada w przestrzeni n wymiarowej

( )1nn 22

121 − niezerowych niezależnych składowych. W czterowymiarowej przestrzeni tensor

αβµνR posiada dwadzieścia niezerowych niezależnych składowych.

αβµναλλ

βµν = RgR

0RRR ;;; =++ ναβγµµαβνγγαβµν Tożsamości Bianchiego


208

• Podstawowe kryterium zakrzywienia przestrzeni Przestrzeń jest zakrzywiona wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna ze składowych

tensora αβµνR jest różna od zera.

µνβαβµν

α ∫−=∆ dSAR2

1A

(

)44

44

43

43

42

42

41

41

34

34

33

33

32

32

31

31

24

24

23

23

22

22

21

21

14

14

13

13

12

12

11

11

dSARdSARdSARdSAR

dSARdSARdSARdSAR

dSARdSARdSARdSAR

dSARdSARdSARdSAR2

1A

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

βαβ

α

++++

+++++

+++++

++++−=∆ ∫

−−−

−−

−=

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

0RRR

R0RR

RR0R

RRR0

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

342414

342313

242312

141312

44434241

34333231

24232221

14131211

νµµν −= dSdS

∫∫∫

∫∫∫βα

ββα

ββα

β

βαβ

βαβ

βαβ

α

−−−

−−−−=∆

34

34

24

24

23

23

14

14

13

13

12

12

dSARdSARdSAR

dSARdSARdSARA

• Różnica pochodnych drugiego rzędu wektora kontrawariantnego

δδ

δδ

=δδδ

µνµν xxxx

2

δδ

δδ

=δδδ

νµνµ xxxx

2

βαβµµ

α

µ

α

Γ+∂

∂=

δ

δA

x

A

x

A

νµ

α

µν

α

∂∂

∂=

∂∂

∂

xx

A

xx

A 22

ν

λαλµµ

λαλν ∂

∂Γ=

∂

∂Γ

x

A

x

A

λβν

αλµ

λβµ

αλνν

αβµ

µ

αβνα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

• Różnica pochodnych drugiego rzędu wektora kowariantnego

ββαµννµ

αµν

α =δδ

δ−

δδδ

ARxx

A

xx

A 22

Γ+

∂

∂Γ+

Γ+

∂

∂

∂∂

=

=

Γ+

∂

∂

δδ

=

δ

δ

δδ

βλβµµ

λαλν

βαβµµ

α

ν

βαβµµ

α

νµ

α

ν

Ax

AA

x

A

x

Ax

A

xx

A

x

Γ+

∂

∂Γ+

Γ+

∂

∂

∂∂

=

=

Γ+

∂

∂

δδ

=

δ

δ

δδ

βλβνν

λαλµ

βαβνν

α

µ

βαβνν

α

µν

α

µ

Ax

AA

x

A

x

Ax

A

xx

A

x

βαβµννµ

α

µν

α

−=δδ

δ−

δδ

δAR

xx

A

xx

A 22


209

• Własności tensora Ricciego

• Kowariantny tensor krzywizny Ricciego drugiego rzędu Zwężając mieszany tensor krzywizny α

βµνR względem wskaźników α i ν otrzymamy ko-

wariantny tensor drugiego rzędu, zwany tensorem Ricciego.

νβµνβµ =RR

df

lub αβµναν

βµ = RgRdf

σβν

νσµ

σβµ

νσνν

νβµ

µ

νβν

βµ ΓΓ+ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

σβν

νσµν

νβµ

σσβµµββµ ΓΓ+

∂

Γ∂−

∂

∂Γ−

∂∂

∂=

xx

gln

2

1

xx

gln

2

1R

2

Jeżeli g = const , to σβν

νσµν

νβµ

βµ ΓΓ+∂

Γ∂−=

xR .

σβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβνα

βµν Γ+−∂

∂−

∂

∂= ΓΓΓ

x

Γ

x

ΓR

ν=α

βνβν ∂

∂=Γ

x

gln

2

1

νβµνβµ =RR

df

σβµνσνν

βµν = RgR

µνσβσβµν = RR

µνβσµνσβ −= RR

νµβσµνβσ −= RR

νσσν=gg

νµβσνσ

µβ = RgR

µβνµβσνσ

µνβσσν

µνσβσν

σβµνσνν

βµνβµ ==−==== RRgRgRgRgRR

µββµ = RR

Kowariantny tensor drugiego rzędu βµR jest tensorem

symetrycznym.

Tensor krzywizny Ricciego w przestrzeni n wymiarowej jako tensor symetryczny posiada

( )nn2

21 + niezależnych składowych. W przestrzeni czterowymiarowej tensor βµR posiada

dziesięć niezależnych składowych.

UWAGATensor Ricciego bywa też definiowany jako

µβµν

∗βν =RR

df

lub αβµναµ∗

βν = RgRdf

,

σβν

ασµ

σβµ

ασνν

αβµ

µ

αβνα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR → µ=α σ

βνµσµ

σβµ

µσνν

µβµ

µ

µβν∗

βν ΓΓ+ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR .

Zamieniając rolami w ostatnim równaniu wskaźniki ν i µ , otrzymujemy:

σβµ

νσν

σβν

νσµµ

αβν

ν

νβµ∗

βµ ΓΓ+ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR = βµ−R .

Zwężenie tensora αβµνR względem wskaźników α i β daje zero

ββµν

∗∗µν =RR

df

= σβν

βσµ

σβµ

βσνν

ββµ

µ

ββν ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂

xx

σβµ

βσν

σβµ

βσνµ

ββν

µ

ββν ΓΓ+ΓΓ−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xx= 0 .


210

• Mieszany tensor krzywizny Einsteina


df

Tożsamość Bianchiego:

0RRR ;;; =++ ναβωµµαβνωωαβµν

µβανωµαβνω −= ;; RR

ναβµωναβωµ −= ;; RR

0g; =αµω

βναβµναµ = RRg

0g; =βνµ

αωβανωβν = RRg

0g; =αµν

βωαβµωαµ = RRg

0g; =βνω

RRg =βνβν

0g; =αµµ

µωαω

αµ = RRg

0g; =βνν

νωβω

βν = RRg

0RRR ;;; =−− ναβµωµβανωωαβµν

Przeprowadzimy zwężanie w każdym członie po

pierwszym i trzecim wskaźniku.

( ) 0RRRgg ;;; =−− ναβµωµβανωωαβµνβναµ

( ) ωαβµναµ

αβµναµωωαβµν

αµ += ;;;RgRgRg

ωβνωαβµναµ = ;; RRg

( ) µβανωβν

βανωβνµµβανω

βν += ;;;RgRgRg

µαωµβανωβν = ;; RRg

( ) ναβµωαµ

αβµωαµνναβµω

αµ += ;;;RgRgRg

νβωναβµωαµ = ;; RRg

0RgRgRg ;;; =−− νβωβν

µαωαµ

ωβνβν

( ) ωβνβν

βνβνωωβν

βν += ;;;RgRgRg

ωωβνβν = ;; RRg

( ) µαωαµ

αωαµµµαω

αµ += ;;;RgRgRg

µµωµαω

αµ = ;; RRg

( ) νβωβν

βωβνννβω

βν += ;;;RgRgRg

ννωνβω

βν = ;; RRg

0RRR ;;; =−− ννω

µµωω

0RRR ;;; =−− µµω

µµωω

0R2R ;; =−δ µµωµ

µω

0RR ;21

; =δ− µµω

µµω

( ) 0RR;2

1 =δ−µ

µω

µω

Mieszanym tensorem krzywizny Einsteina nazywamy tensor

RRG21

dfµω

µω

µω δ−=

a skalar

αβαβ= RgR

skalarem krzywizny.

UWAGADywergencja mieszanego tensora Einsteina jest równa zeru.

0G ; =µµω


211

• Kontrawariantny tensor krzywizny Einsteina

( ) 0RR ; 2

1 =δ−µ

µω

µω

λµωλ

µω = RgR , λω

µλµω =δ gg

( ) 0RggRg ; 2

1 =−µλω

µλλµωλ

( )[ ] 0 RgR g ;21 =− µ

λµλµωλ

( ) ( ) 0RgR gg RgR ; 21

;21 =−+− µ

λµλµωλµωλ

λµλµ

0g ; =µωλ

( ) 0RgR g;

21 =−

µ

λµλµωλ

0gdet ≠••

( ) 0RgR ; 21 =− µ

λµλµ

Kontrawariantnym tensorem krzywizny Einsteina nazywamy tensor

RgRG21

dfλµλµλµ −=

UWAGADywergencja kontrawariantnego tensora Einsteina jest równa zeru.

0G; =λµµ

• Kowariantny tensor krzywizny Einsteina( ) ( ) 0RR RR

;21

;21 =δ−=δ−

µ

ωµ

ωµµ

µω

µω

λµωλω

µ = RgR , λµωλω

µ =δ gg

( ) 0RggRg ;2

1 =−µλµ

ωλλµ

ωλ

( )[ ] 0RgR g ; 2

1 =−µλµλµ

ωλ

( ) ( ) 0RgR g RgR ;2

1;2

1 =−+−µλµλµ

ωλµλµλµ

0g; =ωλµ

( ) 0RgR g;2

1 =−µλµλµ

ωλ

0gdet ≠••

( ) 0RgR ;2

1 =−µλµλµ

Kowariantnym tensorem krzywizny Einsteina nazywamy tensor

RgRG21

df

λµλµλµ −=

UWAGADywergencja kowariantnego tensora Einsteina jest równa zeru.

0G ; =µλµ


212

• Konforemne przekształcenie metryki Przekształcenie konforemne (wiernokątne) to przekształcenie zachowujące kąt przecięcia

dwóch krzywych oraz kształty nieskończenie małych figur.

Konforemna zmiana metryki polega na przejściu w każdym punkcie przestrzeni od

metryki αβg do metryki αβσ

αβ = geg 2 , ( )4321 x,x,x,xσ=σ . Przy czym,

2222 dsedxdxgedxdxgsd σβααβ

σβααβ === , 0e2 >σ ,

czyli forma kwadratowa 2sd różni się od formy kwadratowej 2ds czynnikiem σ2e zależnym

od położenia punktu ( )4321 x,x,x,xP , a nie zależnym od nieskończenie małych przyrostów

1dx , 2dx , 3dx , 4dx .

Mówimy, że przestrzenie Riemanna 4V z tensorem metrycznym αβg i 4V z tensorem

αβg są konforemne.

Niech A i B będą dwoma wektorami zaczepionymi w tym samym punkcie, mamy wtedy

( )νµ

µννµ

µν

νµµν

νµµν

σνµµν

σ

νµµν

σ

νµµν

νµµν

νµµν ===

BBgAAg

BAg

BBgeAAge

BAge

BBgAAg

BAg,cos

22

2

BA .

Tym samym wykazaliśmy, że konforemna zmiana metryki zachowuje kąty.

TWIERDZE�IEJeżeli αβ

σαβ = geg 2 , ( )4321 x,x,x,xσ=σ , to

αβσ−αβ = geg 2 ,

[ ] [ ]

∂

σ∂−

∂

σ∂+

∂

σ∂+=

αµνναµµανσα

νµσα

νµx

gx

gx

gee 2

2

,

λαλ

µνναµµ

αν

αµν

αµν ∂

σ∂−

∂σ∂

δ+∂σ∂

δ+Γ=Γx

ggxx

,

( )αµβνβναµανβµβµαναβµνσ

αβµν −−++= SgSgSgSgReR 2 ,

λκκλ

βµµβµββµ ∂σ∂

∂σ∂

+∂σ∂

∂σ∂

−∂∂σ∂

=xx

gg2

1

xxxxS

2

.

• Kowariantny tensor krzywizny konforemnej Weyla

TWIERDZE�IETensor αβµνR można konforemnie przekształcić w tensor αβµνR , którego wszystkie składowe

są równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składowe tensora krzywizny konforem-nej Weyla αβµνC

( )( )( )

( )βναµβµανκλ

κλ

ανβµβµαναµβνβναµαβµναβµν −−−

+−−+−

+= gggg2n1n

RgRgRgRgRg

2n

1RC

df

są równe zeru.

κλκλ= RgR

df

, n = wymiar przestrzeni, 2n >

Przestrzeń Riemanna, którą można odwzorować na przestrzeń euklidesową, nazywamy przes-

trzenią konforemnie-euklidesową.


213

TWIERDZE�IEJeżeli przestrzeń Riemanna ma stałą krzywiznę K, to tensor krzywizny konforemnej Weyla

αβµνC tej przestrzeni jest tożsamościowo równy zeru. Inaczej mówiąc, przestrzeń Riemanna

o stałej krzywiźnie jest konforemnie-euklidesowa.

DOWÓD

( )( )( )

( )βναµβµανκλ

κλ

ανβµβµαναµβνβναµαβµναβµν −−−

+−−+−

+= gggg2n1n

RgRgRgRgRg

2n

1RC

df

4n = ( )βµανβναµαβµν −= gggg KR

βναβµναµ

αβνµαµ

βν −=−== Kg3RgRgR

αµαβµνβν

βαµνβν

αµ −=−== Kg3RgRgR

βµαβµναν

βµ −== Kg3RgR

αναβµνβµ

βανµβµ

αν −=== Kg3RgRgR

K12gKg3RgR −=−== κλκλκλ

κλ

( ) ( ) ( ) 0gggg K2gg2gg2K2

3gggg KC =−−+−+−= βναµβµανβµανβναµβµανβναµαβµν

• Własności tensora krzywizny konforemnej Weyla αβµνC

Tensor krzywizny konforemnej αβµνC określony został dla przestrzeni o wymiarze nie

mniejszym od trzech. Przy czym, w przypadku trójwymiarowym wszystkie jego składowe są

równe zeru.

βαµναβµν −= CC , αβνµαβµν −= CC

µναβαβµν = CC

ν=µ⇔=αβµν 0C , β=α⇔=αβµν 0C

0CCC =++ αµνβανβµαβµν

αβµναλλ

βµν = CgC

W czterowymiarowej przestrzeni tensor αβµνC posiada dwadzieścia niezerowych niezależ-

nych składowych. Dla przykładu podajmy jedną z nich

( ) ( )112212121212112222111212

df

1212 gggg6

RRg2RgRg

2

1RC −+−++= .

• Mieszany tensor krzywizny konforemnej Weyla Mnożąc kowariantny tensor Weyla przez ακg , otrzymamy jego postać mieszaną.

( ) ( )( )( )2n1n

ggggRgRgRgRgRg

2n

gRgCg

−−

−+−−+

−+= λναµλµαν

ακ

ανλµλµαναµλνλµαµ

ακ

αλµνακ

αλµνακ

κλµναλµν

ακ = CCg , κλµναλµν

ακ = RRg , κµαµ

ακ δ=gg ,

κµαµ

ακ = RRg , κναν

ακ = ggg , κναν

ακ = RRg

( )( )( )

( )λνκµλµ

κν

κνλµλµ

κν

κµλνλµ

κµ

κλµν

κλµν δ−

−−+−−+δ

−+= ggg

2n1n

RRgRgRgR

2n

1RC


214

• Twierdzenia o płaskości i zakrzywieniu przestrzeni

Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składowe tensora λβµνR są równe

zeru.

Jeżeli przestrzeń jest płaska, to wszystkie składowe tensora λβµναλαβµν = RgR są równe zeru.

Zerowanie się wszystkich składowych tensora λβµναλαβµν = RgR jest warunkiem koniecznym

ale nie wystarczającym na to by przestrzeń była płaska.

Jeżeli przestrzeń jest płaska, to wszystkie składowe tensora νβµνβµ = RR są równe zeru.

Zerowanie się wszystkich składowych tensora νβµνβµ = RR jest warunkiem koniecznym ale nie

wystarczającym na to, by przestrzeń była płaska.

Przestrzeń jest zakrzywiona wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna składowa tensoraλβµνR jest różna od zera.

Jeżeli co najmniej jedna składowa tensora λβµναλαβµν = RgR jest różna od zera, to przestrzeń

jest zakrzywiona.

Istnienie co najmniej jednej różnej od zera składowej tensora λβµναλαβµν = RgR jest warunkiem

wystarczającym ale nie koniecznym na to, by przestrzeń była zakrzywiona.

Jeżeli co najmniej jedna składowa tensora νβµνβµ = RR jest różna od zera, to przestrzeń jest

zakrzywiona.

Istnienie co najmniej jednej różnej od zera składowej tensora νβµνβµ = RR jest warunkiem wy-

starczającym ale nie koniecznym na to, by przestrzeń była zakrzywiona.

• Równania dewiacji geodezyjnej Badając przebieg dwóch blisko siebie położonych linii geodezyjnych, możemy uzyskać

informacje o krzywiźnie czasoprzestrzeni. Miarą odległości między tymi liniami jest dewiacja

geodezyjna.

0ppRs2

2

=η+δ

ηδ νβµαµβν

α

Równania dewiacji geodezyjnej

αη = dewiacja geodezyjna, infinitezymalny wektor łączący punkty położone na dwóch

sąsiednich liniach geodezyjnych prostopadły do jednej z nich, 0pg =ηλκκλ

ds

dxp

αα = = jednostkowy wektor styczny do linii geodezyjnej 1

ds

dx

ds

dxgppg ==

νµ

µννµ

µν ,

równoległy do prędkości swobodnie spadającej cząstki w polu grawitacyjnym


215

12 SKŁADOWE KO�TRAWARIA�T�E TE�SORA METRYCZ�EGO I JEGOWYZ�ACZ�IK, DWU-, TRÓJ- I CZTERO-SKŁAD�IKOWE SYMBOLE RICCIE-GO, SYMBOLE CHRISTOFFELA PIERWSZEGO I DRUGIEGO RODZAJU, SKŁA-DOWE TE�SORÓW KRZYWIZ�Y

• Składowe kontrawariantne symetrycznego tensora metrycznego i jego wyznacznik

• �iezerowe dwuskładnikowe, trójskładnikowe i czteroskładnikowe symbole Ricciego

( )442323343422332424342423342423443322

111 gggggggggggggggggg gg −−−++= −

( )441313343411331414341413341413443311


( )441212242411221414241412241412442211


( )331212232311221313231312231312332211


( )342413342314443312442313343412332414


( )442213342412242314242413342214442312


( )242313332214342312342213332412232314


( )241413341412442311241413341412442311


( )341312332411231413241313331412342311


( )241312231412342211341212242311221413


( )( )( )( )24231333221434231234221333241223231414

44221334241224231424241334221444231213

34241334231444331244231334341233241412

44232334342233242434242334242344332211

gggggggggggggggggg g



gggggggggggggggggg gg

−−−+++

+−−−+++

+−−−+++

+−−−++=

1e123 +=

1e132 −=

1e213 −=

1e231 +=

1e312 −=

1e321 +=

1e1234 +=

1e1243 −=

1e2134 −=

1e2143 +=

1e1324 −=

1e1342 +=

1e3124 −=

1e3142 +=

1e1423 −=

1e1432 +=

1e4123 −=

1e4132 +=

1e2314 −=

1e2341 +=

1e3214 +=

1e3241 −=

1e2413 +=

1e2431 −=

1e4213 +=

1e4231 −=

1e3412 +=

1e3421 −=

1e4312 +=

1e4321 −=

1e12 +=

1e21 −=

Pozostałe symbole Ricciego są równe zeru.


216

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju

[ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

= αµν

ναµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1

Ogólna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju

[ ]1

111 1

1 x

g

2

1

∂

∂=

[ ]2

11

1

121 1

2 x

g

2

1

x

g

∂

∂−

∂

∂=

[ ]3

11

1

131 1

3 x

g

2

1

x

g

∂

∂−

∂

∂=

[ ]4

11

1

141 1

4 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]1

22

2

212 2

1 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]2

222 2

2 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]3

22

2

232 2

3 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]4

22

2

242 2

4 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]1

33

3

313 3

1 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]2

33

3

323 3

2 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]3

333 3

3 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]4

33

3

343 3

4 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]1

44

4

414 4

1 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]2

44

4

424 4

2 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]3

44

4

434 4

3 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]4

444 4

4 x

g

2

1

∂∂

=

[ ] [ ]2

111 2

1

2 1

1 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]1

221 2

2

2 1

2 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==3

12

1

23

2

131 2

3

2 1

3 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==4

12

1

24

2

141 2

4

2 1

4 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]3

111 3

1

3 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==2

13

1

32

3

121 3

2

3 1

2 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]1

331 3

3

3 1

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==4

13

1

34

3

141 3

4

3 1

4 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]4

111 4

1

4 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==2

14

1

42

4

121 4

2

4 1

2 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==3

14

1

43

4

131 4

3

4 1

3 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]1

441 4

4

4 1

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==1

23

2

31

3

212 3

1

3 2

1 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]3

222 3

2

3 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

332 3

3

3 2

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂==

4

23

2

34

3

242 3

4

3 2

4 x

g

x

g

x

g

2

1


217

• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju

[ ]νµα

σασµν =Γ

g [ ]∑=α

νµα

σα=4

1

g Ogólna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==1

24

2

41

4

212 4

1

4 2

1 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]4

222 4

2

4 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==3

24

2

43

4

232 4

3

4 2

3 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]2

442 4

4

4 2

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==1

34

3

41

4

313 4

1

4 3

1 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==2

34

3

42

4

323 4

2

4 3

2 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]4

333 4

3

4 3

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

443 4

4

4 3

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1

4

141 1

3

131 1

2

121 1

1

111

11 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1

4

142 1

3

132 1

2

122 1

1

111

21

1

12 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1

4

143 1

3

133 1

2

123 1

1

111

31

1

13 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 1

4

144 1

3

134 1

2

124 1

1

111

41

1

14 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2

4

142 2

3

132 2

2

122 2

1

111

22 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 2

4

143 2

3

133 2

2

123 2

1

111

32

1

23 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 2

4

144 2

3

134 2

2

124 2

1

111

42

1

24 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 3

4

143 3

3

133 3

2

123 3

1

111

33 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 3

4

144 3

3

134 3

2

124 3

1

111

43

1

34 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 4

4

144 4

3

134 4

2

124 4

1

111

44 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1

4

241 1

3

231 1

2

221 1

1

212

11 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1

4

242 1

3

232 1

2

222 1

1

212

21

2

12 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1

4

243 1

3

233 1

2

223 1

1

212

31

2

13 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ 4 1

4

244 1

3

234 1

2

224 1

1

212

41

2

14 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2

4

242 2

3

232 2

2

222 2

1

212

22 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 2

4

243 2

3

233 2

2

223 2

1

212

32

2

23 gggg +++=Γ=Γ


218

[ ] [ ] [ ] [ ]4 2

4

244 2

3

234 2

2

224 2

1

212

42

2

24 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 3

4

243 3

3

233 3

2

223 3

1

212

33 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 3

4

244 3

3

234 3

2

224 3

1

212

43

2

34 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 4

4

244 4

3

234 4

2

224 4

1

212

44 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1

4

341 1

3

331 1

2

321 1

1

313

11 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1

4

342 1

3

332 1

2

322 1

1

313

21

3

12 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1

4

343 1

3

333 1

2

323 1

1

313

31

3

13 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 1

4

344 1

3

334 1

2

324 1

1

313

41

3

14 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2

4

342 2

3

332 2

2

322 2

1

313

22 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 2

4

343 2

3

333 2

2

323 2

1

313

32

3

23 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 2

4

344 2

3

334 2

2

324 2

1

313

42

3

24 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 3

4

343 3

3

333 3

2

323 3

1

313

33 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 3

4

344 3

3

334 3

2

324 3

1

313

43

3

34 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 4

4

344 4

3

334 4

2

324 4

1

313

44 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1

4

441 1

3

431 1

2

421 1

1

414

11 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1

4

442 1

3

432 1

2

422 1

1

414

21

4

12 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1

4

443 1

3

433 1

2

423 1

1

414

31

4

13 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 1

4

444 1

3

434 1

2

424 1

1

414

41

4

14 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2

4

442 2

3

432 2

2

422 2

1

414

22 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 2

4

443 2

3

433 2

2

423 2

1

414

32

4

23 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 2

4

444 2

3

434 2

2

424 2

1

414

42

4

24 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]3 3

4

443 3

3

433 3

2

423 3

1

414

33 gggg +++=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 3

4

444 3

3

434 3

2

424 3

1

414

43

4

34 gggg +++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ] [ ]4 4

4

444 4

3

434 4

2

424 4

1

414

44 gggg +++=Γ


219

• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego

Składowe tensora Ricciego

αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR ,

∂

∂−

∂∂

+∂

∂=Γ σ

µνµνσ

νµσασα

µνx

g

x

g

x

gg

2

1, α

νµαµν Γ=Γ

przedstawimy poprzez składowe tensorów metrycznych.

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

+

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

+∂∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

λ

βα

βαλ

α

βλαλσ

µν

µνσ

ν

µσβσ

λ

βν

βνλ

ν

βλαλσ

µα

µασ

α

µσβσ

ασ

µνασµνσ

α

ασ

αµνσασ

µνσ

α

ασ

νσ

µαασσ

µα

ν

ασ

νµασασ

µασ

ν

ασ

µν

x

g

x

g

x

gg

x

g

x

g

x

gg

4

1

x

g

x

g

x

gg

x

g

x

g

x

gg

4

1

xx

gg

x

g

x

g

xx

gg

x

g

x

g

xx

gg

x

g

x

g

xx

gg

x

g

x

g

2

1R

22

22

µν−µν ∆= 1gg , ( ) µνν+µµν −=∆ M1

.

Dziesięć niezależnych składowych tensora Ricciego wyrazimy w rozwiniętej postaci po-

przez symbole Christoffela drugiego rodzaju.

4

44

4

11

4

34

3

11

4

24

2

11

4

14

1

11

3

34

4

11

3

33

3

11

3

23

2

11

3

13

1

11

2

24

4

11

2

23

3

11

2

22

2

11

2

12

1

11

4

14

4

14

4

11

1

14

3

14

4

13

3

13

3

13

3

11

1

13

2

14

4

12

2

13

3

12

2

12

2

12

2

11

1

12

4

4

11

3

3

11

2

2

11

1

4

14

1

3

13

1

2

1211

222

xxxxxxR

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=4

4

22

3

3

22

1

1

22

2

4

24

2

3

23

2

1

1222

xxxxxxR

4

44

4

22

4

34

3

22

4

24

2

22

4

14

1

22

3

34

4

22

3

33

3

22

3

23

2

22

3

13

1

22

1

14

4

22

1

13

3

22

1

12

2

22

1

11

1

22

4

24

4

24

4

22

2

24

3

24

4

23

3

23

3

23

3

22

2

23

1

24

4

12

1

23

3

12

1

22

2

12

1

12

1

12 222



ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

4

4

33

2

2

33

1

1

33

3

4

34

3

2

23

3

1

1333

xxxxxxR

4

44

4

33

4

34

3

33

4

24

2

33

4

14

1

33

2

24

4

33

2

23

3

33

2

22

2

33

2

12

1

33

1

14

4

33

1

13

3

33

1

12

2

33

1

11

1

33

4

34

4

34

4

33

3

34

2

34

4

23

2

33

3

23

2

23

2

23

1

34

4

13

1

33

3

13

1

23

2

13

1

13

1

13 222




+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

3

3

44

2

2

44

1

1

44

4

3

34

4

2

24

4

1

1444

xxxxxxR

3

34

4

44

3

33

3

44

3

23

2

44

3

13

1

44

2

24

4

44

2

23

3

44

2

22

2

44

2

12

1

44

1

14

4

44

1

13

3

44

1

12

2

44

1

11

1

44

3

44

4

34

3

34

3

34

2

44

4

24

2

34

3

24

2

24

2

24

1

44

4

14

1

34

3

14

1

24

2

14

1

14

1

14 222





220

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

4

4

12

3

3

12

1

1

12

2

4

14

2

3

13

2

1

112112

xxxxxxRR

4

44

4

12

4

34

3

12

4

24

2

12

4

14

1

12

3

34

4

12

3

33

3

12

3

23

2

12

3

13

1

12

1

12

2

12

4

24

4

14

4

23

3

14

4

22

2

14

3

24

4

13

3

23

3

13

3

22

2

13

1

24

4

11

1

23

3

11

1

22

2

11

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−


+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

4

4

13

2

2

13

1

1

13

3

4

14

3

2

12

3

1

113113

xxxxxxRR

4

44

4

13

4

34

3

13

4

24

2

13

4

14

1

13

2

24

4

13

2

23

3

13

2

22

2

13

2

12

1

13

1

13

3

13

4

34

4

14

4

33

3

14

4

23

2

14

2

34

4

12

2

33

3

12

2

23

2

12

1

34

4

11

1

33

3

11

1

23

2

11



+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂==

3

3

14

2

2

14

1

1

14

4

3

13

4

2

12

4

1

114114

xxxxxxRR

3

34

4

14

3

33

3

14

3

23

2

14

3

13

1

14

2

24

4

14

2

23

3

14

2

22

2

14

2

12

1

14

1

14

4

14

3

44

4

13

3

34

3

13

3

24

2

13

2

44

4

12

2

34

3

12

2

24

2

12

1

44

4

11

1

34

3

11

1

24

2

11



4

4

23

2

2

23

1

1

23

3

4

24

3

2

22

3

1

123223

xxxxxxRR

∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==

4

44

4

23

4

34

3

23

4

24

2

23

4

14

1

23

2

23

3

23

1

14

4

23

1

13

3

23

1

12

2

23

1

11

1

23

4

34

4

24

4

33

3

24

4

13

1

24

2

34

4

22

2

33

3

22

2

13

1

22

1

34

4

12

1

33

3

12

1

13

1

12



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==3

3

24

2

2

24

1

1

24

4

3

23

4

2

22

4

1

124224

xxxxxxRR

3

34

4

24

3

33

3

24

3

23

2

24

3

13

1

24

2

24

4

24

1

14

4

24

1

13

3

24

1

12

2

24

1

11

1

24

3

44

4

23

3

34

3

23

3

14

1

23

2

44

4

22

2

34

3

22

2

14

1

22

1

44

4

12

1

34

3

12

1

14

1

12



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==3

3

34

2

2

34

1

1

34

4

3

33

4

2

23

4

1

134334

xxxxxxRR

3

34

4

34

2

24

4

34

2

23

3

34

2

22

2

34

2

12

1

34

1

14

4

34

1

13

3

34

1

12

2

34

1

11

1

34

3

44

4

33

3

24

2

33

3

14

1

33

2

44

4

23

2

24

2

23

2

14

1

23

1

44

4

13

1

24

2

13

1

14

1

13



UWAGATensor Ricciego

αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR

po zamianie rolami wskaźników α i β w ostatnich dwóch członach ostatniego równania

przedstawimy w postaci używanej przez Einsteina.

βαβ

αµν

βνα

αµβα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR


221

• �iezależne składowe mieszanego tensora krzywizny Grossmanna αβµνR

Tensor αβµνR posiada w przestrzeni czterowymiarowej 256 składowych spełniających nas-

tępujące relacje:

0RRRR

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

4

444

4

433

4

422

4

411

4

344

4

333

4

322

4

311

4

244

4

233

4

222

4

211

4

144

4

133

4

122

4

111

3

444

3

433

3

422

3

411

3

344

3

333

3

322

3

311

3

244

3

233

3

222

3

211

3

144

3

133

3

122

3

111

2

444

2

433

2

422

2

411

2

344

2

333

2

322

2

311

2

244

2

233

2

222

2

211

2

144

2

133

2

122

2

111

1

444

1

433

1

422

1

411

1

344

1

333

1

322

1

311

1

244

1

233

1

222

1

211

1

144

1

133

1

122

1

111

=====

=============

=============

=============

=============

============

,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

1

443

1

434

1

442

1

424

1

432

1

423

1

441

1

414

1

431

1

413

1

421

1

412

1

343

1

334

1

342

1

324

1

332

1

323

1

341

1

314

1

331

1

313

1

321

1

312

1

243

1

234

1

242

1

224

1

232

1

223

1

241

1

214

1

231

1

213

1

221

1

212

1

143

1

134

1

142

1

124

1

132

1

123

1

141

1

114

1

131

1

113

1

121

1

112

−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

2

443

2

434

2

442

2

424

2

432

2

423

2

441

2

414

2

431

2

413

2

421

2

412

2

343

2

334

2

342

2

324

2

332

2

323

2

341

2

314

2

331

2

313

2

321

2

312

2

243

2

234

2

242

2

224

2

232

2

223

2

241

2

214

2

231

2

213

2

221

2

212

2

143

2

134

2

142

2

124

2

132

2

123

2

141

2

114

2

131

2

113

2

121

2

112

−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

3

443

3

434

3

442

3

424

3

432

3

423

3

441

3

414

3

431

3

413

3

421

3

412

3

343

3

334

3

342

3

324

3

332

3

323

3

341

3

314

3

331

3

313

3

321

3

312

3

243

3

234

3

242

3

224

3

232

3

223

3

241

3

214

3

231

3

213

3

221

3

212

3

143

3

134

3

142

3

124

3

132

3

123

3

141

3

114

3

131

3

113

3

121

3

112

−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

.RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

,RR ,RR ,RR ,RR ,RR

4

443

4

434

4

442

4

424

4

432

4

423

4

441

4

414

4

431

4

413

4

421

4

412

4

343

4

334

4

342

4

324

4

332

4

323

4

341

4

314

4

331

4

313

4

321

4

312

4

243

4

234

4

242

4

224

4

232

4

223

4

241

4

214

4

231

4

213

4

221

4

212

4

143

4

134

4

142

4

124

4

132

4

123

4

141

4

114

4

131

4

113

4

121

4

112

−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

−=−=−=−=−=

0RRR 1

324

1

423

1

234 =−+ , 0RRR 2

314

2

413

2

134 =−+ ,

0RRR 3

214

3

412

3

124 =−+ , 0RRR 4

213

4

312

4

123 =−+ ,

0RRRR 4

412

3

312

2

212

1

112 =+++ , 0RRRR 4

413

3

313

2

213

1

113 =+++ , 0RRRR 4

414

3

314

2

214

1

114 =+++ ,

0RRRR 4

423

3

323

2

223

1

123 =+++ , 0RRRR 4

424

3

324

2

224

1

124 =+++ , 0RRRR 4

434

3

334

2

234

1

134 =+++ .

Wśród 192 niezerowych składowych tylko 86 jest niezależnych względem powyższych wa-

runków.


222

• Jawna postać niezerowych składowych mieszanego tensora krzywizny Grossmanna

4

12

1

41

3

12

1

31

2

12

1

21

4

11

1

42

3

11

1

32

2

11

1

222

1

11

1

1

121

112xx

R ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

1

41

3

13

1

31

2

13

1

21

4

11

1

43

3

11

1

33

2

11

1

233

1

11

1

1

131

113xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

1

41

3

14

1

31

2

14

1

21

4

11

1

44

3

11

1

34

2

11

1

244

1

11

1

1

141

114xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

1

42

3

13

1

32

2

13

1

22

4

12

1

43

3

12

1

33

2

12

1

233

1

12

2

1

131

123xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

1

42

3

14

1

32

2

14

1

22

4

12

1

44

3

12

1

34

2

12

1

244

1

12

2

1

141

124xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

1

43

3

14

1

33

2

14

1

23

4

13

1

44

3

13

1

34

2

13

1

244

1

13

3

1

141

134xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

22

1

41

3

22

1

31

2

22

1

21

1

22

1

11

4

21

1

42

3

21

1

32

2

21

1

22

1

21

1

122

1

21

1

1

221

212xx

R ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

1

41

3

23

1

31

2

23

1

21

1

23

1

11

4

21

1

43

3

21

1

33

2

21

1

23

1

21

1

133

1

21

1

1

231

213xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

1

41

3

24

1

31

2

24

1

21

1

24

1

11

4

21

1

44

3

21

1

34

2

21

1

24

1

21

1

144

1

21

1

1

241

214xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

1

42

3

23

1

32

2

23

1

22

1

23

1

12

4

22

1

43

3

22

1

33

2

22

1

23

1

22

1

133

1

22

2

1

231

223xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

1

42

3

24

1

32

2

24

1

22

1

24

1

12

4

22

1

44

3

22

1

34

2

22

1

24

1

22

1

144

1

22

2

1

241

224xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

1

43

3

24

1

33

2

24

1

23

1

24

1

13

4

23

1

44

3

23

1

34

2

23

1

24

1

23

1

144

1

23

3

1

241

234xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

32

1

41

3

32

1

31

2

32

1

21

1

32

1

11

4

31

1

42

3

31

1

32

2

31

1

22

1

31

1

122

1

31

1

1

321

312xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

1

41

3

33

1

31

2

33

1

21

1

33

1

11

4

31

1

43

3

31

1

33

2

31

1

23

1

31

1

133

1

31

1

1

331

313xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

1

41

3

34

1

31

2

34

1

21

1

34

1

11

4

31

1

44

3

31

1

34

2

31

1

24

1

31

1

144

1

31

1

1

341

314xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

1

42

3

33

1

32

2

33

1

22

1

33

1

12

4

32

1

43

3

32

1

33

2

32

1

23

1

32

1

133

1

32

2

1

331

323xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

1

42

3

34

1

32

2

34

1

22

1

34

1

12

4

32

1

44

3

32

1

34

2

32

1

24

1

32

1

144

1

32

2

1

341

324xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


223

4

34

1

43

3

34

1

33

2

34

1

23

1

34

1

13

4

33

1

44

3

33

1

34

2

33

1

24

1

33

1

144

1

33

3

1

341

334xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

42

1

41

3

42

1

31

2

42

1

21

1

42

1

11

4

41

1

42

3

41

1

32

2

41

1

22

1

41

1

122

1

41

1

1

421

412xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

1

41

3

43

1

31

2

43

1

21

1

43

1

11

4

41

1

43

3

41

1

33

2

41

1

23

1

41

1

133

1

41

1

1

431

413xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

1

41

3

44

1

31

2

44

1

21

1

44

1

11

4

41

1

44

3

41

1

34

2

41

1

24

1

41

1

144

1

41

1

1

441

414xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

1

42

3

43

1

32

2

43

1

22

1

43

1

12

4

42

1

43

3

42

1

33

2

42

1

23

1

42

1

133

1

42

2

1

431

423xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

1

42

3

44

1

32

2

44

1

22

1

44

1

12

4

42

1

44

3

42

1

34

2

42

1

24

1

42

1

144

1

42

2

1

441

424xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

1

43

3

44

1

33

2

44

1

23

1

44

1

13

4

43

1

44

3

43

1

34

2

43

1

24

1

43

1

144

1

43

3

1

441

434xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

12

2

41

3

12

2

31

2

12

2

21

1

12

2

11

4

11

2

42

3

11

2

32

2

11

2

22

1

11

2

122

2

11

1

2

122

112xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

2

41

3

13

2

31

2

13

2

21

1

13

2

11

4

11

2

43

3

11

2

33

2

11

2

23

1

11

2

133

2

11

1

2

132

113xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

2

41

3

14

2

31

2

14

2

21

1

14

2

11

4

11

2

44

3

11

2

34

2

11

2

24

1

11

2

144

2

11

1

2

142

114xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

2

42

3

13

2

32

2

13

2

22

1

13

2

12

4

12

2

43

3

12

2

33

2

12

2

23

1

12

2

133

2

12

2

2

132

123xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

2

42

3

14

2

32

2

14

2

22

1

14

2

12

4

12

2

44

3

12

2

34

2

12

2

24

1

12

2

144

2

12

2

2

142

124xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

2

43

3

14

2

33

2

14

2

23

1

14

2

13

4

13

2

44

3

13

2

34

2

13

2

24

1

13

2

144

2

13

3

2

142

134xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

22

2

41

3

22

2

31

1

22

2

11

4

21

2

42

3

21

2

32

1

21

2

122

2

21

1

2

222

212xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

2

41

3

23

2

31

1

23

2

11

4

21

2

43

3

21

2

33

1

21

2

133

2

21

1

2

232

213xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

2

41

3

24

2

31

1

24

2

11

4

21

2

44

3

21

2

34

1

21

2

144

2

21

1

2

242

214xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

2

42

3

23

2

32

1

23

2

12

4

22

2

43

3

22

2

33

1

22

2

133

2

22

2

2

232

223xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

2

42

3

24

2

32

1

24

2

12

4

22

2

44

3

22

2

34

1

22

2

144

2

22

2

2

242

224xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


224

4

24

2

43

3

24

2

33

1

24

2

13

4

23

2

44

3

23

2

34

1

23

2

144

2

23

3

2

242

234xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

32

2

41

3

32

2

31

2

32

2

21

1

32

2

11

4

31

2

42

3

31

2

32

2

31

2

22

1

31

2

122

2

31

1

2

322

312xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

2

41

3

33

2

31

2

33

2

21

1

33

2

11

4

31

2

43

3

31

2

33

2

31

2

23

1

31

2

133

2

31

1

2

332

313xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

2

41

3

34

2

31

2

34

2

21

1

34

2

11

4

31

2

44

3

31

2

34

2

31

2

24

1

31

2

144

2

31

1

2

342

314xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

2

42

3

33

2

32

2

33

2

22

1

33

2

12

4

32

2

43

3

32

2

33

2

32

2

23

1

32

2

133

2

32

2

2

332

323xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

2

42

3

34

2

32

2

34

2

22

1

34

2

12

4

32

2

44

3

32

2

34

2

32

2

24

1

32

2

144

2

32

2

2

342

324xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

2

43

3

34

2

33

2

34

2

23

1

34

2

13

4

33

2

44

3

33

2

34

2

33

2

24

1

33

2

144

2

33

3

2

342

334xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

42

2

41

3

42

2

31

2

42

2

21

1

42

2

11

4

41

2

42

3

41

2

32

2

41

2

22

1

41

2

122

2

41

1

2

422

412xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

2

41

3

43

2

31

2

43

2

21

1

43

2

11

4

41

2

43

3

41

2

33

2

41

2

23

1

41

2

133

2

41

1

2

432

413xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

2

41

3

44

2

31

2

44

2

21

1

44

2

11

4

41

2

44

3

41

2

34

2

41

2

24

1

41

2

144

2

41

1

2

442

414xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

2

42

3

43

2

32

2

43

2

22

1

43

2

12

4

42

2

43

3

42

2

33

2

42

2

23

1

42

2

133

2

42

2

2

432

423xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

2

42

3

44

2

32

2

44

2

22

1

44

2

12

4

42

2

44

3

42

2

34

2

42

2

24

1

42

2

144

2

42

2

2

442

424xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

2

43

3

44

2

33

2

44

2

23

1

44

2

13

4

43

2

44

3

43

2

34

2

43

2

24

1

43

2

144

2

43

3

2

442

434xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

12

3

41

3

12

3

31

2

12

3

21

1

12

3

11

4

11

3

42

3

11

3

32

2

11

3

22

1

11

3

122

3

11

1

3

123

112xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

3

41

3

13

3

31

2

13

3

21

1

13

3

11

4

11

3

43

3

11

3

33

2

11

3

23

1

11

3

133

3

11

1

3

133

113xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

3

41

3

14

3

31

2

14

3

21

1

14

3

11

4

11

3

44

3

11

3

34

2

11

3

24

1

11

3

144

3

11

1

3

143

114xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

3

42

3

13

3

32

2

13

3

22

1

13

3

12

4

12

3

43

3

12

3

33

2

12

3

23

1

12

3

133

3

12

2

3

133

123xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

3

42

3

14

3

32

2

14

3

22

1

14

3

12

4

12

3

44

3

12

3

34

2

12

3

24

1

12

3

144

3

12

2

3

143

124xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


225

4

14

3

43

3

14

3

33

2

14

3

23

1

14

3

13

4

13

3

44

3

13

3

34

2

13

3

24

1

13

3

144

3

13

3

3

143

134xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

22

3

41

3

22

3

31

2

22

3

21

1

22

3

11

4

21

3

42

3

21

3

32

2

21

3

22

1

21

3

122

3

21

1

3

223

212xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

3

41

3

23

3

31

2

23

3

21

1

23

3

11

4

21

3

43

3

21

3

33

2

21

3

23

1

21

3

133

3

21

1

3

233

213xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

3

41

3

24

3

31

2

24

3

21

1

24

3

11

4

21

3

44

3

21

3

34

2

21

3

24

1

21

3

144

3

21

1

3

243

214xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

3

42

3

23

3

32

2

23

3

22

1

23

3

12

4

22

3

43

3

22

3

33

2

22

3

23

1

22

3

133

3

22

2

3

233

223xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

3

42

3

24

3

32

2

24

3

22

1

24

3

12

4

22

3

44

3

22

3

34

2

22

3

24

1

22

3

144

3

22

2

3

243

224xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

3

43

3

24

3

33

2

24

3

23

1

24

3

13

4

23

3

44

3

23

3

34

2

23

3

24

1

23

3

144

3

23

3

3

243

234xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

32

3

41

2

32

3

21

1

32

3

11

4

31

3

42

2

31

3

22

1

31

3

122

3

31

1

3

323

312xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

3

41

2

33

3

21

1

33

3

11

4

31

3

43

2

31

3

23

1

31

3

133

3

31

1

3

333

313xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

3

41

2

34

3

21

1

34

3

11

4

31

3

44

2

31

3

24

1

31

3

144

3

31

1

3

343

314xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

3

42

2

33

3

22

1

33

3

12

4

32

3

43

2

32

3

23

1

32

3

133

3

32

2

3

333

323xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

3

42

2

34

3

22

1

34

3

12

4

32

3

44

2

32

3

24

1

32

3

144

3

32

2

3

343

324xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

3

43

2

34

3

23

1

34

3

13

4

33

3

44

2

33

3

24

1

33

3

144

3

33

3

3

343

334xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

42

3

41

3

42

3

31

2

42

3

21

1

42

3

11

4

41

3

42

3

41

3

32

2

41

3

22

1

41

3

122

3

41

1

3

423

412xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

3

41

3

43

3

31

2

43

3

21

1

43

3

11

4

41

3

43

3

41

3

33

2

41

3

23

1

41

3

133

3

41

1

3

433

413xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

3

41

3

44

3

31

2

44

3

21

1

44

3

11

4

41

3

44

3

41

3

34

2

41

3

24

1

41

3

144

3

41

1

3

443

414xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

43

3

42

3

43

3

32

2

43

3

22

1

43

3

12

4

42

3

43

3

42

3

33

2

42

3

23

1

42

3

133

3

42

2

3

433

423xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

44

3

42

3

44

3

32

2

44

3

22

1

44

3

12

4

42

3

44

3

42

3

34

2

42

3

24

1

42

3

144

3

42

2

3

443

424xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


226

4

44

3

43

3

44

3

33

2

44

3

23

1

44

3

13

4

43

3

44

3

43

3

34

2

43

3

24

1

43

3

144

3

43

3

3

443

434xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

12

4

41

3

12

4

31

2

12

4

21

1

12

4

11

4

11

4

42

3

11

4

32

2

11

4

22

1

11

4

122

4

11

1

4

124

112xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

4

41

3

13

4

31

2

13

4

21

1

13

4

11

4

11

4

43

3

11

4

33

2

11

4

23

1

11

4

133

4

11

1

4

134

113xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

4

41

3

14

4

31

2

14

4

21

1

14

4

11

4

11

4

44

3

11

4

34

2

11

4

24

1

11

4

144

4

11

1

4

144

114xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

13

4

42

3

13

4

32

2

13

4

22

1

13

4

12

4

12

4

43

3

12

4

33

2

12

4

23

1

12

4

133

4

12

2

4

134

123xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

4

42

3

14

4

32

2

14

4

22

1

14

4

12

4

12

4

44

3

12

4

34

2

12

4

24

1

12

4

144

4

12

2

4

144

124xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

14

4

43

3

14

4

33

2

14

4

23

1

14

4

13

4

13

4

44

3

13

4

34

2

13

4

24

1

13

4

144

4

13

3

4

144

134xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

22

4

41

3

22

4

31

2

22

4

21

1

22

4

11

4

21

4

42

3

21

4

32

2

21

4

22

1

21

4

122

4

21

1

4

224

212xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

4

41

3

23

4

31

2

23

4

21

1

23

4

11

4

21

4

43

3

21

4

33

2

21

4

23

1

21

4

133

4

21

1

4

234

213xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

4

41

3

24

4

31

2

24

4

21

1

24

4

11

4

21

4

44

3

21

4

34

2

21

4

24

1

21

4

144

4

21

1

4

244

214xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

23

4

42

3

23

4

32

2

23

4

22

1

23

4

12

4

22

4

43

3

22

4

33

2

22

4

23

1

22

4

133

4

22

2

4

234

223xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

4

42

3

24

4

32

2

24

4

22

1

24

4

12

4

22

4

44

3

22

4

34

2

22

4

24

1

22

4

144

4

22

2

4

244

224xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

24

4

43

3

24

4

33

2

24

4

23

1

24

4

13

4

23

4

44

3

23

4

34

2

23

4

24

1

23

4

144

4

23

3

4

244

234xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

32

4

41

3

32

4

31

2

32

4

21

1

32

4

11

4

31

4

42

3

31

4

32

2

31

4

22

1

31

4

122

4

31

1

4

324

312xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

4

41

3

33

4

31

2

33

4

21

1

33

4

11

4

31

4

43

3

31

4

33

2

31

4

23

1

31

4

133

4

31

1

4

334

313xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

4

41

3

34

4

31

2

34

4

21

1

34

4

11

4

31

4

44

3

31

4

34

2

31

4

24

1

31

4

144

4

31

1

4

344

314xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

33

4

42

3

33

4

32

2

33

4

22

1

33

4

12

4

32

4

43

3

32

4

33

2

32

4

23

1

32

4

133

4

32

2

4

334

323xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

4

34

4

42

3

34

4

32

2

34

4

22

1

34

4

12

4

32

4

44

3

32

4

34

2

32

4

24

1

32

4

144

4

32

2

4

344

324xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


227

Podaliśmy 96 niezerowych składowych mieszanego tensora Grossmanna, 96 pozostałych

niezerowych składowych różni się tylko znakiem.

4

34

4

43

3

34

4

33

2

34

4

23

1

34

4

13

4

33

4

44

3

33

4

34

2

33

4

24

1

33

4

144

4

33

3

4

344

334xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

42

4

31

2

42

4

21

1

42

4

11

3

41

4

32

2

41

4

22

1

41

4

122

4

41

1

4

424

412xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

43

4

31

2

43

4

21

1

43

4

11

3

41

4

33

2

41

4

23

1

41

4

133

4

41

1

4

434

413xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

44

4

31

2

44

4

21

1

44

4

11

3

41

4

34

2

41

4

24

1

41

4

144

4

41

1

4

444

414xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

43

4

32

2

43

4

22

1

43

4

12

3

42

4

33

2

42

4

23

1

42

4

133

4

42

2

4

434

423xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

44

4

32

2

44

4

22

1

44

4

12

3

42

4

34

2

42

4

24

1

42

4

144

4

42

2

4

444

424xx


Γ∂−

∂

Γ∂=

3

44

4

33

2

44

4

23

1

44

4

13

3

43

4

34

2

43

4

24

1

43

4

144

4

43

3

4

444

434xx


Γ∂−

∂

Γ∂=


228

• �iezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny Riemanna-Christoffela Tensor αβµνR posiada w przestrzeni czterowymiarowej 256 składowych spełniających po-

niższe zależności:

0RR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRR

43444244

41443444324431442444234421441444134412444333

42334133343332333133243323332133143313331233

43224222412234223222312224222322212214221322

12224311421141113411321131112411231121111411

13111211444444434442444144344433443244314424

44234422442144144413441244113344334333423341

33343333333233313324332333223321331433133312

33112244224322422241223422332232223122242223

22222221221422132212221111441143114211411134

11331132113111241123112211211114111311121111

===

============

============

============

============

============

============

============

============

============

===========

4343433434433434

43424324344234244243423424432434

4242422424422424

43324323343234233243323423432334

42324223243224233242322423422324

3232322323322323

43414314344134144143413414431434

42414214244124144142412414421424

32413214234123144132412314321423

4141411414411414

43314313343134133143313413431334

42314213243124133142312413421324

32313213233123133132312313321323

41314113143114133141311413411314

3131311313311313

43214312342134122143213412431234

42214212242124122142212412421224

32213212232123122132212312321223

41214112142114122141211412411214

31213112132113122131211312311213

2121211212211212

RRRR

RRRRRRRR

RRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRR

=−=−=

=−=−===−=−=

=−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−=

−=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−===−=−=

=−=−=

0RRR 134214231234 =++ lub 0RRR 132414231234 =−+

Wśród 144 niezerowych składowych tylko 20 jest niezależnych.


229

• �iezerowe niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny ••••R wyrażone

przez składowe mieszanego tensora krzywizny ••••R

Wśród 21 składowych tensora αβµνR wymienionych powyżej tylko 20 jest niezależnych, po-

nieważ 0RRR 132414231234 =−+ .


df

++= 2

21212

1

212111212 RgRgR 4

21214

3

21213 RgRg +4

21314

3

21313

2

21312

1

213111213 RgRgRgRgR +++=4

21414

3

21413

2

21412

1

214111214 RgRgRgRgR +++=4

22314

3

22313

2

22312

1

223111223 RgRgRgRgR +++=4

22414

3

22413

2

22412

1

224111224 RgRgRgRgR +++=4

23414

3

23413

2

23412

1

234111234 RgRgRgRgR +++=4

31314

3

31313

2

31312

1

313111313 RgRgRgRgR +++=4

31414

3

31413

2

31412

1

314111314 RgRgRgRgR +++=4

32314

3

32313

2

32312

1

323111323 RgRgRgRgR +++=4

32414

3

32413

2

32412

1

324111324 RgRgRgRgR +++=4

33414

3

33413

2

33412

1

334111334 RgRgRgRgR +++=4

41414

3

41413

2

41412

1

414111414 RgRgRgRgR +++=4

42314

3

42313

2

42312

1

423111423 RgRgRgRgR +++=4

42414

3

42413

2

42412

1

424111424 RgRgRgRgR +++=4

43414

3

43413

2

43412

1

434111434 RgRgRgRgR +++=4

32324

3

32323

2

32322

1

323212323 RgRgRgRgR +++=4

32424

3

32423

2

32422

1

324212324 RgRgRgRgR +++=4

33424

3

33423

2

33422

1

334212334 RgRgRgRgR +++=4

42424

3

42423

2

42422

1

424212424 RgRgRgRgR +++=4

43424

3

43423

2

43422

1

434212434 RgRgRgRgR +++=4

43434

3

43433

2

43432

1

434313434 RgRgRgRgR +++=


230

xzz

• Składowe kowariantnego tensora Ricciego ••R wyrażone przez składowe mieszanego

tensora Grossmanna ••••R

Konstruując tensor Ricciego νβµνµβ =RR

df

, wykorzystaliśmy tylko 64 z 256 składowych

tensora Grossmanna αβµνR .

11

df4

114

3

113

2

112

1

111 RRRRR =+++

22

df4

224

3

223

2

222

1

221 RRRRR =+++

33

df4

334

3

333

2

332

1

331 RRRRR =+++

44

df4

444

3

443

2

442

1

441 RRRRR =+++

4

214

3

213

2

212

1

211

df

2112

df4

124

3

123

2

122

1

121 RRRRRRRRRR +++===+++

4

314

3

313

2

312

1

311

df

3113

df4

134

3

133

2

132

1


4

414

3

413

2

412

1

411

df

4114

df4

144

3

143

2

142

1


4

324

3

323

2

322

1

321

df

3223

df4

234

3

233

2

232

1


4

424

3

423

2

422

1

421

df

4224

df4

244

3

243

2

242

1


4

434

3

433

2

432

1

431

df

4334

df4

344

3

343

2

342

1


UWAGASześć ostatnich równań nie pozwala zmniejszyć liczby niezależnych składowych w tensorze

αβµνR o dalszych sześć, ponieważ składowe 2

212R , 3

313R , 4

414R , 3

323R , 4

424R , 4

434R pojawiły się

już we wcześniej rozpatrywanych warunkach. Ostatecznie liczba różnych od zera niezależ-

nych składowych w tensorze αβµνR wynosi 86.

Konstruując tensor Ricciego µβµν

∗µβ =RR

df

, wykorzystujemy również 64 składowe tensora

Grossmanna αβµνR .

∗=+++ 11

df4

141

3

131

2

121

1

111 RRRRR

∗=+++ 22

df4

242

3

232

2

222

1

212 RRRRR

∗=+++ 33

df4

343

3

333

2

323

1

313 RRRRR

∗=+++ 44

df4

444

3

434

2

424

1

414 RRRRR

4

241

3

231

2

221

1

211

df

2112

df4

142

3

132

2

122

1

112 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗

4

341

3

331

2

321

1

311

df

3113

df4

143

3

133

2

123

1

113 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗

4

441

3

431

2

421

1

411

df

4114

df4

144

3

134

2

124

1

114 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗

4

342

3

332

2

322

1

312

df

3223

df4

243

3

233

2

223

1

213 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗

4

442

3

432

2

422

1

412

df

4224

df4

244

3

234

2

224

1

214 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗

4

443

3

433

2

423

1

413

df

4334

df4

344

3

334

2

324

1

314 RRRRRRRRRR +++===+++ ∗∗


231

• Składowe kowariantnego tensora Ricciego ••R wyrażone przez składowe kowariant-

nego tensora Riemanna-Christoffela ••••R

Konstruując tensor Ricciego αβµναν

βµ = RgR , wykorzystaliśmy dwadzieścia z dwudziestu

niezależnych składowych tensora αβµνR .

4114

44

3114

34

3113

33

2114

24

2113

23

2112

22

11

RgRg2Rg

Rg2Rg2Rg

R

+++

++++=

=

4224

44

3224

34

3223

33

1224

14

1223

13

1221

11

22

RgRg2Rg

Rg2Rg2Rg

R

+++

++++=

=

4334

44

2334

24

2332

22

1334

14

1332

12

1331

11

33

RgRg2Rg

Rg2Rg2Rg

R

+++

++++=

=

3443

33

2443

23

2442

22

1443

13

1442

12

1441

11

44

RgRg2Rg

Rg2Rg2Rg

R

+++

+++=

=

4124

44

4123

43

4121

41

3124

34

3123

33

3121

31

2124

24

2123

23

2121

21

2112

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

++++

+++=

==

4134

44

4132

42

4131

41

3134

34

3132

32

3131

31

2134

24

2132

22

2131

21

3113

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

++++

++++=

==

4143

43

4142

42

4141

41

3143

33

3142

32

3141

31

2143

23

2142

22

2141

21

4114

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

+++

+++=

==

4234

44

4232

42

4231

41

3234

34

3232

32

3231

31

1234

14

1232

12

1231

11

3223

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

++++

++++=

==

4243

43

4242

42

4241

41

3243

33

3242

32

3241

31

1243

13

1242

12

1241

11

4224

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

+++

+++=

==

4343

43

4342

42

4341

41

2343

23

2342

22

2341

21

1343

13

1342

12

1341

11

4334

RgRgRg

RgRgRg

RgRgRg

RR

+++

+++

+++=

==


232

• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stac-jonarnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych

Poniżej podana została jawna postać niezerowych składowych kontrawariantnego tensora

metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stacjonarnej o zerowych składowych przestrzen-

no-czasowych, czyli metryki typu:

( ) 44βααβ += dxdxgdxdxgds 44

2, 0

x

g4=

∂

∂ αβ, 0

x

g4

44 =∂∂

, ( )3,2,1, =βα .

Przykładem takiej metryki jest metryka Schwarzschilda:

( ) 44S44

1

S

2

2dxdx

r

rdxdx 1

r

r1

r

xxds

−δ+

−

−+δ= βα

−βα

αβ , ( )3,2,1, =βα .

( )442323443322

111 gggggg gg −= −

( )441313443311


( )441212442211


1

44

44 gg −=

( )443312442313


( )442213442312


( )442311442311


( ) ( ) ( )442213442312134433124423131244232344332211 gggggg ggggggg ggggggg gg −+−+−=


233

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki stacjonarnej o ze-rowych składowych przestrzenno-czasowych

[ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

= αµν

ναµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1


Poniżej podana została jawna postać niezerowych symboli Christoffela pierwszego ro-

dzaju dla metryki stacjonarnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych, czyli metry-

ki typu:


2, 0

x

g4=

∂

∂ αβ, 0

x

g4

44 =∂∂

, ( )3,2,1, =βα .


( ) 44S44

1

S

2

2dxdx

r

rdxdx 1

r

r1

r

xxds

−δ+

−

−+δ= βα

−βα

αβ , ( )3,2,1, =βα .

[ ]1

111 1

1 x

g

2

1

∂

∂=

[ ]2

11

1

121 1

2 x

g

2

1

x

g

∂

∂−

∂

∂=

[ ]3

11

1

131 1

3 x

g

2

1

x

g

∂

∂−

∂

∂=

[ ]1

22

2

212 2

1 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]2

222 2

2 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]3

22

2

232 2

3 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]1

33

3

313 3

1 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]2

33

3

323 3

2 x

g

2

1

x

g

∂∂

−∂∂

=

[ ]3

333 3

3 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]1

444 4

1 x

g

2

1

∂∂

−=

[ ]2

444 4

2 x

g

2

1

∂∂

−=

[ ]3

444 4

3 x

g

2

1

∂∂

−=

[ ] [ ]2

111 2

1

2 1

1 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]1

221 2

2

2 1

2 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==3

12

1

23

2

131 2

3

2 1

3 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]3

111 3

1

3 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==2

13

1

32

3

121 3

2

3 1

2 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]1

331 3

3

3 1

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]1

441 4

4

4 1

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]

∂∂

−∂∂

+∂∂

==1

23

2

31

3

212 3

1

3 2

1 x

g

x

g

x

g

2

1

[ ] [ ]3

222 3

2

3 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

332 3

3

3 2

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

442 4

4

4 2

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

443 4

4

4 3

4 x

g

2

1

∂∂

==


234

• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-wych składowych przestrzenno-czasowych

[ ] [ ]∑=α

νµα

σανµα

σασµν ==Γ

4

1

g g Ogólna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju

Poniżej podana została jawna postać niezerowych symboli Christoffela pierwszego rodza-

ju dla metryki stacjonarnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych, czyli metryki

typu:


2, 0

x

g4=

∂

∂ αβ, 0

x

g4

44 =∂∂

, ( )3,2,1, =βα .


( ) 44S44

1

S

2

2dxdx

r

rdxdx 1

r

r1

r

xxds

−δ+

−

−+δ= βα

−βα

αβ , ( )3,2,1, =βα .

[ ] [ ] [ ]1 1

3

131 1

2

121 1

1

111

11 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]2 1

3

132 1

2

122 1

1

111

21

1

12 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 1

3

133 1

2

123 1

1

111

31

1

13 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]2 2

3

132 2

2

122 2

1

111

22 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]3 2

3

133 2

2

123 2

1

111

32

1

23 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 3

3

133 3

2

123 3

1

111

33 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]4 4

3

134 4

2

124 4

1

111

44 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]1 1

3

231 1

2

221 1

1

212

11 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]2 1

3

232 1

2

222 1

1

212

21

2

12 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 1

3

233 1

2

223 1

1

212

31

2

13 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]2 2

3

232 2

2

222 2

1

212

22 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]3 2

3

233 2

2

223 2

1

212

32

2

23 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 3

3

233 3

2

223 3

1

212

33 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]4 4

3

234 4

2

224 4

1

212

44 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]1 1

3

331 1

2

321 1

1

313

11 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]2 1

3

332 1

2

322 1

1

313

21

3

12 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 1

3

333 1

2

323 1

1

313

31

3

13 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]2 2

3

332 2

2

322 2

1

313

22 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]3 2

3

333 2

2

323 2

1

313

32

3

23 ggg ++=Γ=Γ

[ ] [ ] [ ]3 3

3

333 3

2

323 3

1

313

33 ggg ++=Γ

[ ] [ ] [ ]4 4

3

334 4

2

324 4

1

313

44 ggg ++=Γ

[ ]4 1

4

444

41

4

14 g=Γ=Γ

[ ]4 2

4

444

42

4

24 g=Γ=Γ

[ ]4 3

4

444

43

4

34 g=Γ=Γ


235

• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki stacjonarnejo zerowych składowych przestrzenno-czasowych

αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR Ogólna postać składowych tensora Ricciego

Poniżej podana została jawna postać niezerowych składowych tensora Ricciego dla met-

ryki stacjonarnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych, czyli metryki typu:


2, 0

x

g4=

∂

∂ αβ, 0

x

g4

44 =∂∂

, ( )3,2,1, =βα .


( ) 44S44

1

S

2

2dxdx

r

rdxdx 1

r

r1

r

xxds

−δ+

−

−+δ= βα

−βα

αβ , ( )3,2,1, =βα .

4

34

3

11

4

24

2

11

4

14

1

11

3

33

3

11

3

23

2

11

3

13

1

11

2

23

3

11

2

22

2

11

2

12

1

11

4

14

4

14

3

13

3

13

3

11

1

13

2

13

3

12

2

12

2

12

2

11

1

123

3

11

2

2

11

1

4

14

1

3

13

1

2

1211 2

xxxxxR


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

34

3

22

4

24

2

22

4

14

1

22

3

33

3

22

3

23

2

22

3

13

1

22

1

13

3

22

1

12

2

22

1

11

1

22

4

24

4

24

3

23

3

23

3

22

2

23

1

23

3

12

1

22

2

12

1

12

1

123

3

22

1

1

22

2

4

24

2

3

23

2

1

1222 2

xxxxxR



−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

34

3

33

4

24

2

33

4

14

1

33

2

23

3

33

2

22

2

33

2

12

1

33

1

13

3

33

1

12

2

33

1

11

1

33

4

34

4

34

2

33

3

23

2

23

2

23

1

33

3

13

1

23

2

13

1

13

1

132

2

33

1

1

33

3

4

34

3

2

23

3

1

1333 2

xxxxxR



−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

3

33

3

44

3

23

2

44

3

13

1

44

2

24

4

44

2

23

3

44

2

22

2

44

2

12

1

44

1

13

3

44

1

12

2

44

1

11

1

44

3

44

4

34

2

44

4

24

1

44

4

143

3

44

2

2

44

1

1

4444

xxxR

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−=

4

34

3

12

4

24

2

12

4

14

1

12

3

33

3

12

3

23

2

12

3

13

1

12

1

12

2

12

4

24

4

14

3

23

3

13

3

22

2

13

1

23

3

11

1

22

2

113

3

12

1

1

12

2

4

14

2

3

13

2

1

112112

xxxxxRR

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==

4

34

3

13

4

24

2

13

4

14

1

13

2

23

3

13

2

22

2

13

2

12

1

13

1

13

3

13

4

34

4

14

2

33

3

12

2

23

2

12

1

33

3

11

1

23

2

112

2

13

1

1

13

3

4

14

3

2

12

3

1

113113

xxxxxRR



−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==

4

34

3

23

4

24

2

23

4

14

1

23

2

23

3

23

1

13

3

23

1

12

2

23

1

11

1

23

4

34

4

24

2

33

3

22

2

13

1

22

1

33

3

12

1

13

1

122

2

23

1

1

23

3

4

24

3

2

22

3

1

123223

xxxxxRR



−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==


236

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki diagonalnej

[ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1



ju dla metryki diagonalnej, czyli metryki typu:

( )4,3,2,1 ,dxdxgds2 =α= αααα .

[ ]1

111 1

1 x

g

2

1

∂

∂=

[ ]2

111 1

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

111 1

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

111 1

4 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1

222 2

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

222 2

2 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]3

222 2

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

222 2

4 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1

333 3

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

333 3

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

333 3

3 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]4

333 3

4 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1

444 4

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

444 4

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

444 4

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]4

444 4

4 x

g

2

1

∂∂

=

[ ] [ ]2

111 2

1

2 1

1 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]1

221 2

2

2 1

2 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]3

111 3

1

3 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]1

331 3

3

3 1

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

111 4

1

4 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]1

441 4

4

4 1

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

222 3

2

3 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

332 3

3

3 2

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

222 4

2

4 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

442 4

4

4 2

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]4

333 4

3

4 3

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

443 4

4

4 3

4 x

g

2

1

∂∂

==


237

• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki diagonalnej

[ ]νµα

σασµν =Γ

g [ ]∑=α

νµα

σα=4

1


Poniżej podana została jawna postać niezerowych symboli Christoffela drugiego rodzaju

dla metryki diagonalnej, czyli metryki typu:

( )4,3,2,1 ,dxdxgds2 =α= αααα .

[ ]3

11

33

11

3

333

11x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]1

33

33

31

3

333

31

3

13x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]3

22

33

22

3

333

22x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]2

33

33

32

3

333

32

3

23x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]3

33

33

33

3

333

33x

g

g2

1g

∂∂

==Γ

[ ]4

33

33

43

3

333

43

3

34x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]3

44

33

44

3

333

44x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]4

11

44

11

4

444

11x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]1

44

44

41

4

444

41

4

14x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]4

22

44

22

4

444

22x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]2

44

44

42

4

444

42

4

24x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]4

33

44

33

4

444

33x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]3

44

44

43

4

444

43

4

34x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]4

44

44

44

4

444

44x

g

g2

1g

∂∂

==Γ

[ ]1

11

11

11

1

111

11x

g

g2

1g

∂∂

==Γ

[ ]2

11

11

21

1

111

21

1

12x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]3

11

11

31

1

111

31

1

13x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]4

11

11

41

1

111

41

1

14x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]1

22

11

22

1

111

22x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]1

33

11

33

1

111

33x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]1

44

11

44

1

111

44x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]2

11

22

11

2

222

11x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]1

22

22

21

2

222

21

2

12x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]2

22

22

22

2

222

22x

g

g2

1g

∂∂

==Γ

[ ]3

22

22

32

2

222

32

2

23x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]4

22

22

42

2

222

42

2

24x

g

g2

1g

∂∂

==Γ=Γ

[ ]2

33

22

33

2

222

33x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ

[ ]2

44

22

44

2

222

44x

g

g2

1g

∂∂

−==Γ


238

• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej

αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=


Poniżej podana została jawna postać niezerowych składowych tensora Ricciego dla met-

ryki diagonalnej, czyli metryki typu:

( )4,3,2,1 ,dxdxgds2 =α= αααα .

4

44

4

11

4

34

3

11

4

24

2

11

4

14

1

11

3

34

4

11

3

33

3

11

3

23

2

11

3

13

1

11

2

24

4

11

2

23

3

11

2

22

2

11

2

12

1

11

4

14

4

14

4

11

1

14

3

13

3

13

3

11

1

13

2

12

2

12

2

11

1

12

4

4

11

3

3

11

2

2

11

1

4

14

1

3

13

1

2

1211

xxxxxxR

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

22

4

34

3

22

4

24

2

22

4

14

1

22

3

34

4

22

3

33

3

22

3

23

2

22

3

13

1

22

1

14

4

22

1

13

3

22

1

12

2

22

1

11

1

22

4

24

4

24

4

22

2

24

3

23

3

23

3

22

2

23

1

22

2

12

1

12

1

12

4

4

22

3

3

22

1

1

22

2

4

24

2

3

23

2

1

2122

xxxxxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

44

4

33

4

34

3

33

4

24

2

33

4

14

1

33

2

24

4

33

2

23

3

33

2

22

2

33

2

12

1

33

1

14

4

33

1

13

3

33

1

12

2

33

1

11

1

33

4

34

4

34

4

33

3

34

2

33

3

23

2

23

2

23

1

33

3

13

1

13

1

13

4

4

33

2

2

33

1

1

33

3

4

34

3

2

23

3

1

1333

xxxxxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

44

3

33

3

44

3

23

2

44

3

13

1

44

2

24

4

44

2

23

3

44

2

22

2

44

2

12

1

44

1

14

4

44

1

13

3

44

1

12

2

44

1

11

1

44

3

44

4

34

3

34

3

34

2

44

4

24

2

24

2

24

1

44

4

14

1

14

1

14

3

3

44

2

2

44

1

1

44

4

3

34

4

2

24

4

1

1444

xxxxxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=


239

• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej(składowe mieszane)

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==3

3

12

2

4

14

2

3

13

2

1

112112

xxxxRR

4

24

2

12

4

14

1

12

3

23

2

12

3

13

1

12

1

12

2

12

4

24

4

14

3

23

3

13

1

22

2

11

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−

+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==1

1

13

3

4

14

3

2

12

3

1

113113

xxxxRR

4

34

3

13

4

14

1

13

2

23

3

13

2

12

1

13

1

13

3

13

4

34

4

14

2

23

2

12

1

33

3

11


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==1

1

14

4

3

13

4

2

12

4

1

114114

xxxxRR

3

34

4

14

3

13

1

14

2

24

4

14

2

12

1

14

1

14

4

14

3

34

3

13

2

24

2

12

1

44

4

11


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==2

2

23

3

4

24

3

2

22

3

1

123223

xxxxRR

4

34

3

23

4

24

2

23

2

23

3

23

1

13

3

23

1

12

2

23

4

34

4

24

2

33

3

22

1

13

1

12


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==2

2

24

4

3

23

4

2

22

4

1

124224

xxxxRR

3

34

4

24

3

23

2

24

2

24

4

24

1

14

4

24

1

12

2

24

3

34

3

23

2

44

4

22

1

14

1

12


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==3

3

34

4

3

33

4

2

23

4

1

134334

xxxxRR

3

34

4

34

2

24

4

34

2

23

3

34

1

14

4

34

1

13

3

34

3

44

4

33

2

24

2

23

1

14

1

13


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+


240

• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla stacjonarnej metryki dia-gonalnej

[ ]

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

α

µν

ν

αµ

µνανµ

αx

g

x

g

x

g

2

1



ju dla stacjonarnej metryki diagonalnej, czyli metryki typu:

αααα= dxdxgds2 , 0

x

g4=

∂∂ αα , ( )4,3,2,1=α .

[ ]1

111 1

1 x

g

2

1

∂

∂=

[ ]2

111 1

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

111 1

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1

222 2

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

222 2

2 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]3

222 2

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]1

333 3

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

333 3

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

333 3

3 x

g

2

1

∂∂

=

[ ]1

444 4

1 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]2

444 4

2 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ]3

444 4

3 x

g

2

1

∂

∂−=

[ ] [ ]2

111 2

1

2 1

1 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]1

221 2

2

2 1

2 x

g

2

1

∂

∂==

[ ] [ ]3

111 3

1

3 1

1 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]1

331 3

3

3 1

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]1

441 4

4

4 1

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

222 3

2

3 2

2 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

332 3

3

3 2

3 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]2

442 4

4

4 2

4 x

g

2

1

∂∂

==

[ ] [ ]3

443 4

4

4 3

4 x

g

2

1

∂∂

==


241

• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla stacjonarnej metryki diago-nalnej

[ ]νµα

σασµν =Γ

g [ ]∑=α

νµα

σα=4

1


Poniżej podana została jawna postać niezerowych symboli Christoffela drugiego rodzaju

dla stacjonarnej metryki diagonalnej, czyli metryki typu:


x

g4=

∂∂ αα , ( )4,3,2,1=α .

[ ]3

11

33

1 1

3

33

3

11x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]1

33

33

3 1

3

33

3

31

3

13x

g

2g

1

g

1ΓΓ

∂∂

===

[ ]3

22

33

2 2

3

33

3

22x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]2

33

33

3 2

3

33

3

32

3

23x

g

2g

1

g

1ΓΓ

∂∂

===

[ ]3

33

33

3 3

3

33

3

33x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

==

[ ]3

44

33

4 4

3

33

3

44x

g

2g

1

g

1

∂∂

−==Γ

[ ]1

44

44

4 1

4

44

4

41

4

14x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

===Γ

[ ]2

44

44

4 2

4

44

4

42

4

24x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

===Γ

[ ]3

44

44

4 3

4

44

4

43

4

34x

g

2g

1

g

1ΓΓ

∂∂

===

[ ]1

11

11

1 1

1

11

1

11x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

==

[ ]2

11

11

2 1

1

11

1

21

1

12x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

===Γ

[ ]3

11

11

3 1

1

11

1

31

1

13x

g

2g

1

g

1ΓΓ

∂∂

===

[ ]1

22

11

2 2

1

11

1

22x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]1

33

11

3 3

1

11

1

33x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]1

44

11

4 4

1

11

1

44x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]2

11

22

1 1

2

22

2

11x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]1

22

22

2 1

2

22

2

21

2

12x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

===Γ

[ ]2

22

22

2 2

2

22

2

22x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

==

[ ]3

22

22

3 2

2

22

2

32

2

23x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

===Γ

[ ]2

33

22

3 3

2

22

2

33x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==

[ ]2

44

22

4 4

2

22

2

44x

g

2g

1

g

1Γ

∂∂

−==


242

• Jawna postać kowariantnego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metrykidiagonalnej

αβα

βµν

αβν

βµαα

αµν

ν

αµα


Γ∂−

∂

Γ∂=


Poniżej podana została jawna postać niezerowych składowych tensora Ricciego dla stac-

jonarnej metryki diagonalnej, czyli metryki typu:


x

g4=

∂∂ αα , ( )4,3,2,1=α .

4

34

3

11

4

24

2

11

4

14

1

11

3

33

3

11

3

23

2

11

3

13

1

11

2

23

3

11

2

22

2

11

2

12

1

11

4

14

4

14

3

13

3

13

3

11

1

13

2

12

2

12

2

11

1

12

3

3

11

2

2

11

1

4

14

1

3

13

1

2

1211

xxxxxR


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

34

3

22

4

24

2

22

4

14

1

22

3

33

3

22

3

23

2

22

3

13

1

22

1

13

3

22

1

12

2

22

1

11

1

22

4

24

4

24

3

23

3

23

3

22

2

23

1

22

2

12

1

12

1

12

3

3

22

1

1

22

2

4

24

2

3

23

2

1

2122

xxxxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

4

34

3

33

4

24

2

33

4

14

1

33

2

23

3

33

2

22

2

33

2

12

1

33

1

13

3

33

1

12

2

33

1

11

1

33

4

34

4

34

2

33

3

23

2

23

2

23

1

33

3

13

1

13

1

13

2

2

33

1

1

33

3

4

34

3

2

23

3

1

1333

xxxxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

=

3

33

3

44

3

23

2

44

3

13

1

44

2

23

3

44

2

22

2

44

2

12

1

44

1

13

3

44

1

12

2

44

1

11

1

44

3

44

4

34

3

34

3

34

2

44

4

24

2

24

2

24

1

44

4

14

3

3

44

2

2

44

1

1

4444

xxxR



+∂Γ∂

−∂Γ∂

−∂Γ∂

−=


243

• Jawna postać kowariantnego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metrykidiagonalnej (składowe mieszane)

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==3

3

12

2

4

14

2

3

13

2

1

112112

xxxxRR

4

24

2

12

4

14

1

12

3

23

2

12

3

13

1

12

1

12

2

12

4

24

4

14

3

23

3

13

1

22

2

11


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==1

1

13

3

4

14

3

2

12

3

1

113113

xxxxRR

4

34

3

13

4

14

1

13

2

23

3

13

2

12

1

13

1

13

3

13

4

34

4

14

2

23

2

12

1

33

3

11


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂Γ∂

−∂Γ∂

+∂Γ∂

+∂Γ∂

==2

2

23

3

4

24

3

2

22

3

1

123223

xxxxRR

4

34

3

23

4

24

2

23

2

23

3

23

1

13

3

23

1

12

2

23

4

34

4

24

2

33

3

22

1

13

1

12


+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+


244

• Symbole Christoffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego odpowiadającerozwiązaniu osiowo-symetrycznemu Weyla

Współrzędne cylindrycznezx1 = , ρ=2x , ϕ=3x , ictx4 =

Składowe tensora metrycznegoν= eg11 , ν= eg22 , ( )22

33 xeg µ−= , µ= eg44

Symbole Christoffela drugiego rodzaju

[ ]1

11111 1

1

111

11x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ

1x2

1

∂ν∂

= , [ ]2

11112 1

1

111

21

1

12x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

2x2

1

∂ν∂

=

[ ]1

22112 2

1

111

22x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ

1x2

1

∂ν∂

−= , [ ]1

33113 3

1

111

33x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ ( )

1

22

xeex

2

1

∂µ∂

= ν−µ−

[ ]1

44114 4

1

111

44x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ

1xee

2

1

∂µ∂

−= ν−µ− , [ ]2

11221 1

2

222

11x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ

2x2

1

∂ν∂

−=

[ ]1

22222 1

2

222

21

2

12x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

1x2

1

∂ν∂

= , [ ]2

22222 2

2

222

22x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ

2x2

1

∂ν∂

=

[ ]2

33223 3

2

222

33x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ ( )

2

222

xeex

2

1eex

∂

µ∂+−= ν−µ−ν−µ−

[ ]2

44224 4

2

222

44x

gg

2

1 g

∂

∂−==Γ

2xee

2

1

∂µ∂

−= ν−µ− , [ ]1

33333 1

3

333

31

3

13x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

1x2

1

∂µ∂

−=

[ ]2

33333 2

3

333

32

3

23x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

22 x2

1

x

1

∂

µ∂−= , [ ]

1

44444 1

4

444

41

4

14x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

1x2

1

∂µ∂

=

[ ]2

44444 2

4

444

42

4

24x

gg

2

1 g

∂

∂==Γ=Γ

2x2

1

∂µ∂

=

Składowe tensora Ricciego

4

24

2

11

4

14

1

11

3

23

2

11

3

13

1

11

2

22

2

11

2

12

1

11

4

14

4

14

3

13

3

13

2

12

2

12

2

11

1

12

2

2

11

1

4

14

1

3

13

1

2

1211

xxxxR

ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂+

∂

Γ∂+

∂

Γ∂=

1

1

22

2

4

24

2

3

23

2

1

2122

xxxxR

4

24

2

22

4

14

1

22

3

23

2

22

3

13

1

22

1

12

2

22

1

11

1

22

4

24

4

24

3

23

3

23

1

22

2

12

1

12

1

12 ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−=

2

2

33

1

1

3333

xxR 4

24

2

33

4

14

1

33

2

22

2

33

2

12

1

33

1

12

2

33

1

11

1

33

2

33

3

23

1

33

3

13 ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ

+∂

Γ∂−

∂

Γ∂−=

2

2

44

1

1

4444

xxR 3

23

2

44

3

13

1

44

2

22

2

44

2

12

1

44

1

12

2

44

1

11

1

44

2

44

4

24

1

44

4

14 ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ


245

• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywiznyodpowiadających modelowi Wszechświata Friedmana dla przypadku k = 1

2

24

22

4

11

4411

4

22

1

41

1

212t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

24

33

4

11

4411

4

33

1

41

1

313t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

2

2

2

4

11

11

44

11

2

11

1

41

1

144

1

411

414t

L

Rc

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1ΓΓ

x

ΓR

∂

∂=

∂

∂+

∂∂

∂−=−

∂

∂−=

2

24

11

4

22

4422

4

11

2

42

2

121t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

24

33

4

22

4422

4

33

2

42

2

323t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

2

2

2

4

22

22

44

22

2

22

2

42

2

244

2

422

424t

L

Lc

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1ΓΓ

x

ΓR

∂

∂=

∂

∂+

∂∂

∂−=−

∂

∂−=

2

24

11

4

33

4433

4

11

3

43

3

131t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

24

22

4

33

4433

4

22

3

43

3

232t

L

c

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

( ) ( ) ( )[ ] ( )2423222122 dxdxdxdxLds +++=

ict xz, xy, xx,x 4321 ====

1g ,Lggg 44

2

332211 ====


246

2

2

2

2

4

33

33

44

33

2

33

3

43

3

344

3

433

434t

L

Lc

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1ΓΓ

x

ΓR

∂

∂=

∂

∂+

∂∂

∂−=−

∂

∂−=

2

2

2

2

4

11

1144

4

11

4

44

4444

44

11

2

44

1

14

4

114

4

114

141

t

L

c

L

x

g

g4g

1

x

g

x

g

g2g

1

xx

g

2g

1

ΓΓx

ΓR

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂−=

=−∂

∂=

2

2

2

2

4

22

2244

4

22

4

44

4444

44

22

2

44

2

24

4

224

4

224

242

t

L

c

L

x

g

g4g

1

x

g

x

g

g2g

1

xx

g

2g

1

ΓΓx

ΓR

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂−=

=−∂

∂=

2

2

2

2

4

33

3344

4

33

4

44

4444

44

33

2

44

3

34

4

334

4

33

4

343

t

L

c

L

x

g

g4g

1

x

g

x

g

g2g

1

xx

g

2g

1ΓΓ

x

Γ

R

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂−=−

∂

∂=

=

( ) ( ) ( )[ ] ( )2423222122 dxdxdxdxLds +++=

ict xz, xy, xx,x 4321 ====

1g ,Lggg 44

2

332211 ====

2

2

3

232

3

131

2

323

2

121

1

313

1

212t

L

c

1RRRRRR

∂∂

======

2

2

2

3

434

2

424

1

414t

L

Lc

1RRR

∂

∂===

2

2

2

4

343

4

242

4

141t

L

c

LRRR

∂

∂===


247

• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywiznyodpowiadających prostemu modelowi rozszerzającej się czasoprzestrzeni

2

4

22

4

11

4411

4

22

1

41

1

212t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

4

33

4

11

4411

4

33

1

41

1

313t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

2

2

24

44

4

11

4411

2

4

11

11

44

11

2

11

4

44

1

14

1

41

1

144

1

411

414

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂−=

2

4

11

4

22

4422

4

11

2

42

2

121t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

4

33

4

22

4422

4

33

2

42

2

323t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

2

2

24

44

4

22

4422

2

4

22

22

44

22

2

22

4

44

2

42

2

42

2

244

2

422

424

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂−=

2

4

11

4

33

4433

4

11

3

43

3

131t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2423222122 dxdxdxdxLds +++=

ict xz, xy, xx,x 4321 ====

2

44332211 Lg ggg ====


248

2

4

22

4

33

4433

4

22

3

43

3

232t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1ΓΓR

∂∂

=∂

∂

∂

∂−==

2

2

2

24

44

4

33

4433

2

4

33

33

44

33

2

33

4

44

3

43

3

43

3

344

3

433

434

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

2g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂∂

=∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂−=

2

2

2

24

44

4

11

4444

2

4

11

1144

44

11

2

44

4

44

4

11

1

14

4

114

4

114

141

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

g4g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂=

2

2

2

24

44

4

22

4444

2

4

22

2244

44

22

2

44

4

44

4

22

2

24

4

224

4

224

242

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

g4g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂=

2

2

2

24

44

4

33

4444

2

4

33

3344

44

33

2

44

4

44

4

33

3

34

4

334

4

334

343

t

L

Lc

1

t

L

Lc

1

x

g

x

g

g4g

1

x

g

g4g

1

xx

g

2g

1

ΓΓΓΓx

ΓR

∂∂

−∂∂

=∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂−=

=+−∂

∂=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2423222122 dxdxdxdxLds +++=

ict xz, xy, xx,x 4321 ====

2

44332211 Lg ggg ====

2

3

232

3

131

2

323

2

121

1

313

1

212t

L

Lc

1 RRRRRR

∂∂

======

2

2

2

2

4

343

4

242

4

141

3

434

2

424

1

414t

L

Lc

1

t

L

Lc

1RRRRRR

∂∂

−∂∂

======

249

BIBLIOGRAFIA

W bibliografii podałem książki wydane w języku polskim, które inspirowały mnie lub

urzekły elegancją, rzetelnością i jednocześnie prostotą prezentowanych w nich wywodów.

1. B. Baranowski: �ierównowagowa termodynamika w chemii fizycznej. PWN, W-wa 1974.

2. H. Bondi: Kosmologia. PWN, Warszawa 1965.

3. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew: Matematyka (Poradnik encyklopedyczny). PWN,

W-wa 1998.

4. J. Bukowski: Mechanika płynów. PWN, W-wa 1968.

5. A. Chełkowski: Fizyka dielektryków. PWN, W-wa 1993.

6. M. P. Douchanow: Rozchodzenie się fal radiowych. PWN, W-wa 1965.

7. A. Einstein: Istota teorii względności. PWN, W-wa 1962.

8. A. Einstein, L. Infeld: Ewolucja fizyki (Rozwój poglądów od najdawniejszych pojęć do te-

orii względności i kwantów). PWN, W-wa 1962.

9. Encyklopedia fizyki (Tom 1). PWN, W-wa 1972.



12. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynmana wykłady z fizyki (Tom II – Część 2).

PWN, W-wa 1970.

13. G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy (Tom III). PWN, W-wa 1966.

14. S. Frisz, A. Timoriewa: Kurs fizyki (Tom II – zjawiska elektryczne i elektromagnetyczne).

PWN, W-wa 1965.

15. I. M. Gelfand: Wykłady z algebry liniowej. PWN, W-wa 1971.

16. J. Ginter: Fizyka fal. PWN, W-wa 1993.

17. A. Goetz: Geometria różniczkowa. PWN, W-wa 1965.

18. D. J. Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

2001.

19. D. Halliday, R. Resnick: Fizyka (Tom II). PWN, W-wa 1967.

20. S. W. Hawking: Krótka historia czasu. ZYSK i S-KA, Poznań 1996.

21. S. W. Hawking: Czarne dziury i wszechświaty niemowlęce oraz inne eseje. ZYSK i S-KA,

Poznań 1997.

22. S. W. Hawking, R. Penrose: �atura czasu i przestrzeni. ZYSK i S-KA, Poznań 1996.

23. J. D. Jackson: Elektrodynamika klasyczna. PWN, W-wa 1982.

24. A. Januszajtis: Fizyka (Tom I – cząstki). PWN, W-wa 1977.

25. A. Januszajtis: Fizyka (Tom II – pola). PWN, W-wa 1982.

26. A. Januszajtis: Fizyka (Tom III – fale). PWN, W-wa 1991.

27. B. M. Jaworski, A. A. Dietłaf: Fizyka (Poradnik encyklopedyczny). PWN, W-wa 1997.

28. M. Kaku: Hiperprzestrzeń (Wszechświaty równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar).

Prószyński i S-ka, W-wa 1997.

29. E. Karaśkiewicz: Zarys teorii wektorów i tensorów. PWN, W-wa 1964.

30. R. Katz: Wstęp do szczególnej teorii względności. PWN, W-wa 1967.

31. C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman: Mechanika. PWN, W-wa 1969.

32. A. S. Kompaniejec: Fizyka teoretyczna. PWN, W-wa 1961.

33. L. Landau, E. Lifszic: Elektrodynamika ośrodków ciągłych. PWN, W-wa 1960.

34. L. Landau, E. Lifszic: Mechanika. PWN, W-wa 1965.

35. L. Landau, E. Lifszic: Mechanika ośrodków ciągłych. PWN, W-wa 1958.

250

36. L. Landau, E. Lifszic: Teoria pola. PWN, W-wa 1958.

37. M. von Laue: Historia fizyki. PWN, W-wa 1960.

38. F. Leja: Geometria analityczna. PWN, W-wa 1965.

39. S. Loria: Względność i grawitacya (Teorya A. Einsteina). Altenberg, Lwów 1921.

40. G. J. Lubarski: Teoria grup i jej zastosowania w fizyce. PWN, W-wa 1961.

41. H. Margenau, G. M. Murphy: Matematyka w fizyce i chemii. PWN, W-wa 1962.

42. A. N. Matwiejew: Teoria pola elektromagnetycznego. PWN, 1967.

43. A. P. Miszyna, I. W. Proskuriakow: Algebra wyższa (Algebra liniowa, wielomiany, algeb-

ra ogólna). PWN, W-wa 1966.

44. J. Mozrzymas: Zastosowania teorii grup w fizyce współczesnej (Część I). PWN, Warsza-

wa – Wrocław 1967.

45. A. H. Piekara: Mechanika ogólna. PWN, W-wa 1961.

46. A. H. Piekara: Elektryczność i magnetyzm. PWN, W-wa 1970.

47. E. M. Purcell: Elektryczność i magnetyzm. PWN, W-wa 1974.

48. P. K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. PWN, W-wa 1958.

49. P. K. Raszewski: Wstęp do rachunku tensorowego. PWN, W-wa 1964.

50. W. Rubinowicz, W. Królikowski: Mechanika teoretyczna. PWN, W-wa 1967.

51. B. F. Schutz: Wstęp do ogólnej teorii względności. PWN, W-wa 1995.

52. Słownik fizyczny. Wiedza Powszechna, W-wa 1984.

53. W. I. Smirnow: Matematyka wyższa (Tom III, część pierwsza). PWN, W-wa 1964.

54. M. Stark: Geometria analityczna. PWN, W-wa 1958.

55. M. Sufczyński: Elektrodynamika. PWN, W-wa 1969.

56. J. L. Synge, A. Schild: Rachunek tensorowy.PWN, W-wa 1964.

57. S. Szczeniowski: Fizyka doświadczalna (Część I – mechanika i akustyka). PWN, W-wa

1972.

58. S. Szczeniowski: Fizyka doświadczalna (Część III – elektryczność i magnetyzm). PWN,

W-wa 1972.

59. I. E. Tamm: Podstawy teorii elektryczności. WNT, W-wa 1967.

60. E. F. Taylor, J. A. Wheeler: Fizyka czasoprzestrzeni. PWN, W-wa 1972.

61. T. Trajdos: Matematyka (Część III).WNT, W-wa 1993.

62. W. Pogorzelski: Analiza matematyczna (Tom III). PWN. W-wa 1954.

63. W. A. Ugarow: Szczególna teoria względności. PWN, W-wa 1985.

64. J. Werle: Termodynamika fenomenologiczna. PWN, W-wa 1957.

65. E. T. Whittaker: Dynamika analityczna. PWN, W-wa 1959.

251

DODATEK

W nawiasach kwadratowych podano numery stron.

• Oryginalne wyniki

W przedstawionym tutaj podręczniku Czytelnik zajmujący się zawodowo ogólną teorią

względności zapewne z łatwością znajdzie nie opublikowane wcześniej wyniki mojego

autorstwa. Są nimi:

1. Interpretacja czwartej (czasowej) składowej tensora pędu-energii cieczy nielepkiej [59, 76].

2. Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej [67].

3. Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej [48-50, 77].

4. Równania ruchu swobodnej cząstki próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety [98-

104].

5. Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety [33, 103].

6. Prosty model rozszerzającej się czasoprzestrzeni [135-140].

Ad. 1. Kwadrat czwartej (czasowej) składowej gęstości objętościowej pędu opatrzony zna-

kiem minus i podzielony przez podwojoną gęstość jest równy gęstości objętościowej energii

całkowitej. Przy czym, tak jak wykazaliśmy we wcześniej opublikowanym tomie poświęco-

nym Szczególnej Teorii Względności1)

, energia spoczynkowa, kinetyczna i całkowita cząstki

powinny być inaczej zdefiniowane2, 3)

.

Ad. 2. Ze zmodyfikowanych równań Maxwella wynika, że fale grawitacyjne mają wpływ na

zjawiska elektromagnetyczne. Możliwa jest zatem bardzo prosta metoda detekcji pól grawita-

cyjnych o zmieniającej się wartości wyznacznika tensora metrycznego.

Ad. 3. Podano interpretację fizyczną równań ruchu cząstki próbnej.

Ad. 4. Zaproponowano nową metodę analizy ruchu swobodnej cząstki próbnej w polu grawi-

tacyjnym wirującej planety.

Ad. 5. Uzyskany wynik jest zgodny z analogicznym rozwiązaniem w ramach teorii grawitacji

Newtona4)

.

Ad. 6. Analizowany model wszechświata umożliwia nową interpretację prawa Hubble’a.

• Propozycje nowych nazw

Proponuję, aby mieszany tensor krzywizny czwartego rzędu nazywać tensorem krzywizny

Grossmanna. Pojęcie tensora mieszanego jako pierwszy wprowadził Marcell Grossmann5)

(1878-1936) przy okazji rozważań dotyczących krzywizny czasoprzestrzeni.

Proponuję również, aby tensor energii-pędu (pędu-energii) nazywać tensorem gęstości

energii, ponieważ składowe tego tensora mają wymiar gęstości objętościowej energii.

1) Zbigniew Osiak: Szczególna teoria względności. Self Publishig (2012), ISBN: 978-83-272-3464-3

2) Zbigniew Osiak: Energy in special relativity. Self Publishig (2011), ISBN: 978-83-272-3448-3

3) Zbigniew Osiak: Energia w szczególnej teorii względności. Self Publishig (2012), ISBN: 978-83-272-3465-0

4) Zbigniew Osiak: Pierwsza prędkość kosmiczna a siła Coriolisa. Delta 4, 371 (2005) 10-11.

5) A. Einstein, M. Grossmann: Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der

Gravitation. Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 3 (1913) 225-261.

Zarys uogólnionej teorii względności i teorii grawitacji.

Zb

ign

iew

Os

iak

Nale¿ê do pokolenia fizyków, dla których idolamibyli Albert Einstein, Lew Dawidowicz Landaui Richard P. Feynman. Einstein zniewoli³ mniepotêg¹ swej intuicji. Landaua podziwiam za

rzetelnoœæ, precyzjê i prostotê wywodów orazinstynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia.

Feynman urzek³ mnie lekkoœci¹ narracjii subtelnym poczuciem humoru.

Ogólna Teoria Względnościvixra.org/pdf/1804.0178v1.pdf · 5 WSTĘP Fizycy to poeci nauki...

Documents

Transcript of Ogólna Teoria Względnościvixra.org/pdf/1804.0178v1.pdf · 5 WSTĘP Fizycy to poeci nauki...