Wykład 2 Modele Wszechświata - Wydział Fizyki ...wosinska/wyk2_modele.pdf · Ogólna Teoria...
Transcript of Wykład 2 Modele Wszechświata - Wydział Fizyki ...wosinska/wyk2_modele.pdf · Ogólna Teoria...
Równanie Friedmana
2r
GMmF r
GMmEp
Jeśli materia rozłożona jest sferycznie
symetrycznie, wypadkowa siła grawitacji
działająca na ciało w odległości r od
centrum pochodzi tylko od materii
położonej wewnątrz sfery o promieniu r.
r
•
•
M
Obserwator znajduje się w jednorodnym,
rozszerzającym się ośrodku o gęstości .
Zasada kosmologiczna – za środek można uznać dowolny punkt.
m
Siła grawitacji Grawitacyjna energia
potencjalna
Krystyna Wosińska, WF PW
Newtonowska teoria grawitacji
r
•
•
M
3
42
rmG
r
GMmF
3
4 3rM
Zasada zachowania energii: constEEU pk
3
4 2mrG
rGMmEp
energia potencjalna:
2
2rmEk
energia kinetyczna:
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie Friedmana
mrGrmU 22
3
4
2
1
Przechodzimy do współrzędnych
współporuszających się, które są
unoszone przez rozszerzający się
Wszechświat.
czas
xtar
W układzie wsp. x
galaktyki mają stałe
w czasie położenia.
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie Friedmana
a(t) – czynnik skali Wszechświata (miara tempa ekspansji).
Mnożymy obie strony przez 22
2
xma
G
a
a
xma
U
3
822
2
22
22
22
3
8
amx
UG
a
a
i porządkujemy:
mrGrmU 22
3
4
2
1
mxaGxamU 2222
3
4
2
1
xtar
-kc2
2
22
3
8
a
kcG
a
a
22
2
xmc
Uk
stała w przestrzeni i
czasie
Krystyna Wosińska, WF PW
2
22
3
8
a
kcGH
H - stała Hubble’a
G – stała grawitacji
- gęstość materii Wszechświata
c – prędkość światła
k = -2U/mc2x2
a – czynnik skali – mierzy średnie oddalenie
dwóch punktów (np. gromad galaktyk)
Co się rozszerza?Czy przestrzeń może rozszerzać się z
prędkością > c?
2
2
3
8
a
kGH
gdy c = 1:
ra
ar
ax
xar
r
rv
H(t) maleje w czasie – ekspansja coraz
wolniejsza z powodu przyciągania
grawitacyjnego.
rHra
a
Prawo Hubble’a:
Ha
a
Krystyna Wosińska, WF PW
c
vz
Charakterystyczne linie widmowe pierwiastków pochodzące ze źródła
oddalającego się są przesunięte ku czerwieni.
em
emobsz
Przesunięcie ku czerwieni z:
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
Długość fali obserwowanej
Długość fali emitowanej
Prędkość oddalania
Prędkość światła
Prawo Dopplera:
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
fotonA B
dr
Względna prędkość obiektów A i B: dra
aHdrdv
Zmiana długości fali: emobsd
c
dvd
em
Z prawa Dopplera:
a
da
c
dr
dt
da
acdr
a
ad
em
11
dt - czas trwania ruchu światła
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
a
dad
em
Po scałkowaniu: consta lnln
consta
ln
consta
Długość fali wprost proporcjonalna do rozmiarów
Wszechświata
em
obs
em
obs
a
az
1
Przesunięcie ku czerwieni z oznacza, ze fala
była wyemitowana, gdy Wszechświat był z+1
razy mniejszy.
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie cieczy
2
2
3
8
a
kGH
Aby rozwiązać równanie Friedmana trzeba wiedzieć, jak zmienia się w
czasie gęstość i ciśnienie p materii Wszechświata.
TdSpdVdE z I zasady termodynamiki :
23
22
3
4c
acVmcE
3
3
4aV
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie cieczy
23
3
4c
aE
2322
3
44 c
dt
da
dt
daca
dt
dE
3
3
4aV
dt
daa
dt
dV 24
TdSpdVdE Ekspansja odwracalna: dS = 0
043
44 22322 aapcaaca
23ca:
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie cieczy
043
44 22322 aapcaaca
23ca:
032
c
p
a
a
Na zmianę gęstości wpływają 2 człony:
1. rozrzedzenie materii na skutek wzrostu objętości
2. strata energii związana z wykonaniem pracy przez ciśnienie
w trakcie ekspansji – stracona energia zamieniona na
grawitacyjną energię potencjalnąKrystyna Wosińska, WF PW
Przyspieszenie ekspansji
2
22
3
8
a
kcG
a
a
Różniczkujemy względem czasu
3
2
2
2
23
82
a
akcG
a
aaa
a
a
032
c
p
a
a
Podstawiamy:
Ponownie korzystamy z równania Friedmana
2
2
2
2
4a
kc
c
pG
a
a
a
a
Krystyna Wosińska, WF PW
Przyspieszenie ekspansji
2
3
3
4
c
pG
a
a
Ciśnienie materii powoduje zwiększenie siły grawitacji i jeszcze
większe spowolnienie ekspansji.
Ujemny znak przyspieszenia – ekspansja zwalnia na skutek grawitacji
E = mc2
Ciśnienie związane z oddziaływaniem między
cząstkami – energii oddziaływania odpowiada masa
Krystyna Wosińska, WF PW
Rozwiązania równań
O ewolucji Wszechświata decyduje jego zawartość
Zależność (p) – równanie stanu.
1. Wszechświat jest wypełniony tylko materią nierelatywistyczną – nie ma
promieniowania.
Pył p = 0
Materia jest tak rozrzedzona, że nie dochodzi do zderzeń, więc ciśnienie
równe zeru.
Przykład : galaktyki to gaz bezzderzeniowy
Poszukamy rozwiązań dla 2 skrajnych sytuacji:
2. Wszechświat jest wypełniony tylko promieniowaniem.
Ciśnienie: p = ·c2/3
Krystyna Wosińska, WF PW
Pył
Pył: p = 0 - materia nierelatywistyczna
Szukamy rozwiązania dla k = 0
03 a
a 03 a
dt
d 3
1
a
Z równania cieczy: 032
c
p
a
a
Krystyna Wosińska, WF PW
Pył
3
0
a
Z równania Friedmana:
2
22
3
8
a
kcG
a
a
0k
a
Ga
1
3
8 02
Rozwiązanie:
3
2
0
t
tta
2
2
00
3
0
t
t
at
Krystyna Wosińska, WF PW
w chwili obecnej t = t0
0 1a
Promieniowanie
Promieniowanie: p = ·c2/3
04 a
a
4
1
a
Rozwiązanie równania Friedmana :
2
1
0
t
tta
2
2
00
4
0
t
t
at
Z równania cieczy: 032
c
p
a
a
Krystyna Wosińska, WF PW
Tempo ekspansji maleje z czasem
ta
aH
3
2
3
2
0
t
tta
czas
czyn
nik
sk
ali
2
2
00
3
0
t
t
at
czas
gęs
tość
Krystyna Wosińska, WF PW
2
1
0
t
tta
Wszechświat wypełniony promieniowaniem rozszerza
się wolniej niż wypełniony pyłem
Pył:ta
aH
2
1
Promieniowanie:
2
22
3
8
a
kcGH
Jeśli k < 0 , to H będzie zawsze
dodatnie.
Wszechświat zawsze
będzie się rozszerzał
Los Wszechświata
Czy możliwe będzie zatrzymanie się ekspansji Wszechświata?
0 Ha
aH
?
Jeśli k = 0 , to H będzie
asymptotycznie malało do zera
Wszechświat będzie się
rozszerzał, ale coraz
wolniej.
ta
aH
3
2
Krystyna Wosińska, WF PW
Jeśli k > 0:
2
22
3
8
a
kcGH
Gęstość odwrotnie proporcjonalna do objętości:3
1
a
3
1
a 2
1
a
Pierwszy wyraz maleje szybciej niż
drugi – początkowo H2 jest
dodatnie, ale w końcu spadnie do
zera.
Wszechświat przestanie
się rozszerzać i zacznie
się kurczyć.
Los Wszechświata
Krystyna Wosińska, WF PW
Koniec XIX wieku – (prawie) kompletny opis wszechświata
Hipoteza eteru – ośrodka, w którym rozchodzą się fale
elektromagnetyczne.
Doświadczenie Michelsona-Morleya (1887) - pomiar prędkości
światła.
Wynik: światło ma stałą
prędkość niezależną od
prędkości obserwatora!
Teoria względności
Krystyna Wosińska, WF PW
1905 – Szczególna Teoria Względności:
•Istotny jest tylko ruch względny
•Skoro nie można stwierdzić, że ktoś się porusza w
przestrzeni, to pojęcie eteru zbędne
•Prawa fizyki są jednakowe w każdym układzie
inercjalnym, w szczególności prędkość światła jest
stała
Krystyna Wosińska, WF PW
Konsekwencje tych założeń:
•Nie istnieje czas absolutny – każdy obserwator ma
swój własny czas
•Długość w kierunku ruchu ulega skróceniu:
•Czas w układzie poruszającym się ulega
wydłużeniu
2
2
0 1c
vll
2
2
0
1c
v
tt
Krystyna Wosińska, WF PW
•Masa ciała poruszającego się wzrasta:
•Masa i energia są równoważne:
•Żadne ciało o masie spoczynkowej większej od
zera nie może osiągnąć prędkości światła.
2
2
0
1c
v
mm
2mcE
Krystyna Wosińska, WF PW
Albert Einstein
1879 - 1955
Ogólna Teoria Względności (1915):
G = 8T
geometria materia
OTW wiąże geometrię czasoprzestrzeni
z rozkładem materii.
Krystyna Wosińska, WF PW
•Równoważność siły grawitacji i siły bezwładności w
układzie nieinercjalnym
•Pole grawitacyjne równoważne zakrzywieniu
czasoprzestrzeni
Przestrzeń i czas dotąd uważane za pasywną scenę zdarzeń
w istocie tworzą czasoprzestrzeń, która jest dynamicznym
uczestnikiem wszystkich procesów.
Ogólna Teoria Względności
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria płaska model: dwuwymiarowa
płaszczyzna
Suma kątów w trójkącie
równa jest 1800
Linie równoległe nie
przecinają się
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria sferyczna model: powierzchnia kuli -
krzywizna dodatnia
Suma kątów w trójkącie jest
większa niż 1800
Linie równoległe przecinają się
(przykład: południki)
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria hiperboliczna model: powierzchnia siodłowa-
krzywizna ujemna
Suma kątów w trójkącie jest
mniejsza niż 1800
Linie równoległe rozchodzą się
Krystyna Wosińska, WF PW
... i dodatniej
Dr. Stanisław Bajtlik demonstruje powierzchnię o krzywiźnie ujemnej
Zjazd Fizyków, PW, 2005
Krystyna Wosińska, WF PW
Zakrzywienie czasoprzestrzeni oznacza, że najkrótszą linią
łącząca dwa punkty jest linia krzywa – światło w pobliżu dużej
masy nie porusza się po prostej!
Doświadczalne potwierdzenie Ogólnej Teorii Względności:
W 1919 r. zaobserwowano w czasie zaćmienia Słońca ugięcie
promieni świetlnych biegnących od odległej gwiazdy.
Gwiazda
Słońce
Obserwator
Pozorne położenie gwiazdy
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświatak < 0
k = 0
k > 0Wielkość k opisuje
krzywiznę Wszechświata
Krzywizna Geometria Suma
kątów w
trójkącie
Los Wszechświata
k > 0 sferyczna > 1800 Wielki Kolaps
k = 0 płaska = 1800 Wieczna ekspansja
k < 0 hiperboliczna < 1800 Wieczna ekspansja
Krystyna Wosińska, WF PW
Gęstość krytyczna k – odpowiada wartości k = 0
3
82 kGH
G
Hk
8
3 2
2
2
8
3
Ga
kck
Jeśli > k , to k > 0,
Jeśli < k , to k < 0,
Krzywizna zależy od gęstości Wszechświata
Równanie Friedmana można przekształcić do
postaci:2
22
3
8
a
kcGH
Krystyna Wosińska, WF PW
2
2
8
31
Ga
kck
Miara płaskości Wszechświata:
4
1
a
Gdy dominuje promieniowanie:
= /k - parametr gęstości
ta 2
Wartość rośnie w czasie
1
Wszechświat z czasem robi się coraz mniej płaski.
Krystyna Wosińska, WF PW
= /k - ten parametr wyznacza przyszłość Wszechświata
< 1
> 1
= 1
Jeśli wyznaczymy , odkryjemy przyszłość Wszechświata
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
Czy nasze istnienie byłoby możliwe we
Wszechświecie o dowolnej wartości ?
<< 1 gęstość Wszechświata zbyt mała, aby powstrzymać ekspansję.
Materia rozproszyłaby się, zanim mogłyby powstać gwiazdy i planety.
>> 1 gęstość Wszechświata tak duża, że ekspansja po krótkim czasie
zatrzymałaby się i na skutek kolapsu Wszechświat zakończyłby żywot. I w tym
przypadku nie zdążyłyby powstać gwiazdy i planety.
Zasada antropicznaKoncepcja filozoficzna, zgodnie z którą fundamentalne stałe fizyczne mają
dokładnie takie wartości, aby umożliwić powstanie życia.
http://www.staff.amu.edu.pl/~zbigonys/wszechswiat_na_miare.html
Ciekawy wykład prof. dr hab. Zbigniewa Jacyny-Onyszkiewicza:
Krystyna Wosińska, WF PW
Einstein dodał do równania stałą kosmologiczną , aby „ratować” płaski i
statyczny Wszechświat.
33
82
22
a
kcGH
- reprezentuje siłę odpychającą, równoważącą przyciąganie grawitacyjne – dzięki niej
pojawia się rozwiązanie równania opisujące statyczny Wszechświat.
W 1922 r. Aleksander Friedman znalazł wszystkie rozwiązania równania i wykazał, że
nawet dodanie stałej kosmologicznej nie zapewni stałości Wszechświata.
Einstein nazwał dodanie stałej kosmologicznej swoją największą pomyłką, jednak obecnie
wcale nie jest oczywiste, że wynosi ona zero!
Przez tysiące lat ludzie wierzyli, że Wszechświat jest statyczny.
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja Wszechświata przyspiesza!
Obserwacje supernowych
znajdujących się w odległości 3/4
drogi od krańca Wszechświata
udowodniły, że Wszechświat
rozszerzał się w różnym tempie
podczas swojej historii.
Saul Perlmutter
Brian P. Schmidt 2011
Adam G. Riess
Krystyna Wosińska, WF PW
W przyśpieszającym Wszechświecie galaktyka o danej prędkości
będzie znajdować się dalej, niż oczekujemy (a co za tym idzie –
będzie mniej jasna).
ŚN 3 - 2004
Krystyna Wosińska, WF PW
Pomiar stałej Hubble’a
Supernowe typu 1A stanowią doskonałe obiekty do pomiaru
odległości galaktyk – „świece standardowe”
Znamy dokładnie ich
jasność absolutną.
Jasność obserwowana
wyznacza odległość.
Prędkość ucieczki galaktyk
wyznaczona z obserwowanego
przesunięcia linii widmowych
ku czerwieni.
Krystyna Wosińska, WF PW
Pomiar gęstości materii Wszechświata
•Pomiar promieniowania świecących gwiazd i materii
międzygwiazdowej –materia świetlista
0050,lum
Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata
Krystyna Wosińska, WF PW
Pomiar gęstości materii Wszechświata
Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata
30,dm
040,b
•Pomiar zawartości lekkich pierwiastków powstałych w pierwszych 3 minutach
po Wielkim Wybuchu - materia barionowa
•Pomiar oddziaływań grawitacyjnych – rotacja galaktyk - materia
grawitacyjna (ciemna materia)
Krystyna Wosińska, WF PW
Wszechświat jest płaski!
02,002,1 tot
Wynik badania promieniowania reliktowego (2003):
Krystyna Wosińska, WF PW