I. WPROWADZENIE DO MATEMATYKI. POJĘCIA PODSTAWOWE.€¦ · GEOMETRIA PŁASKA – POJĘCIA...

Zestaw zadań na ocenę „dopuszczający” – klasa 1 Technikum

1 Opracowanie – mgr Mirosława Gałdyś

I. WPROWADZENIE DO MATEMATYKI. POJĘCIA PODSTAWOWE.

1. Czy podane wyrażenia są zdaniami logicznymi?

a) Kraków leży nad Wisłą; b) Idź do domu! c) Czy lubisz szpinak? d) Ziemia krąży wokół Marsa;

e) X jest krajem europejskim; f) 3 � 7 � 10; g) 5 � 4; h) �� ;

2. Oceń wartość logiczną podanych zdań:

a) Liczba √3 � √2 jest większa od 3; b) Meksyk jest krajem azjatyckim; c) Kangury są torbaczami; d) Istnieje trójkąt o bokach długości 2, 3, 5;

e) Pole kwadratu o boku 3 jest większe od pola trójkąta równobocznego o boku 4;

f) Liczba przekątnych pięciokąta jest równa 5; g) Każdy kwadrat jest prostokątem;

3. Podaj najmniejszą liczbę naturalną nienależącą do przedziału (1, 4〉.

4. Podaj wartość logiczną zdań, utwórz ich zaprzeczenie i podaj wartość logiczną zaprzeczenia:

a) �: √3 jest liczbą całkowitą; b) ': 4� � 5� � 6�; c) 1) 2) * +1));

d) �: liczba 1010 ,-. jest liczbą parzystą; e) ': 5� � +5)�; f) +� ∧ '): +7 3 10) ∧ +7 4 3);

5. Podaj wartości logiczne zdań prostych, a następnie zdań złożonych: a) +� ∧ '): Każdy trójkąt ma trzy kąty i środek symetrii; b) +� ∨ '): Każdy trójkąt jest prostokątny lub równoramienny; c) +� ⇒ '): 7√2 3 √38 ⇒ 7√2 1 3 √3 18; d) +� ⇔ '): +3)� � 3� ⇔ 3 � 3;

6. Wiedząc, że : � ;2, 1, 0, 1, 5< - = � ;1, 3, 8



II. DZIAŁANIA W ZBIORACH LICZBOWYCH.

1. Wykonaj działania:

a) FJ ∙ 3)F � 4,5 ∶ +1,5);

b) +3,4) � 6 )F � 1I) � +0,6) � U

I)V � +0,75);

c) U1 )FV ∙ +2,5) ∙ 3JS ∙ +6) ∙

FL ∙ 2;

d) IWX∙UM XYZVMFP[∶�Y[)P\M]\ ;

2. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

a) 6 � 3√5; b) 12 4√3; c) 8√2 16√3 � 24; d) 6√5 � 36√7 12; e) 4 8√2; f) 6√3 2√2 � 2; g) 7� 14^; h) 2π 4π√5;

3. Skróć ułamek:

a) �MF√�� ;

b) )MI�√JMS ;

c) M�FH`√�M` ;

d) MSHI�√)�F ;

e) )MS√)) ;

f) FH�N√�F ;

g) )M√)SM�√) ;

h) MFMI�aFHI�a ;

4. Podane liczby zapisz w postaci nieskracalnych ułamków zwykłych: F��L) ; FJ)IJ ; IJSIOJ ; I�`)`F ; I�J)�J ; SFI�N.

5. Podane ułamki: �L ; �J ; �I) ; �) uporządkuj rosnąco.

6. Rozwiąż równania i nierówności:

a) )GMF� � FGMJ) ;

b) 2+E 1� 3+E 2� 3 6; c) )+GMI�J GM)� � GM`IN ;

d) 3+2E � 4� � 5+E 2� 4 E � 5; 7. Sprawdź, czy podane obok równania liczby są rozwiązaniami tego równania:

a) 2E � 10 � 7E 5;3; 3;b) 3E � 5 � 4+2E 0,5�; 1; I� ;c) 3,75E � 4+2E � 6� � 1,25E;8; 1 I) ;d) 2+E 9� 7 � E � 5 3+E 2�; 0; 2 IJ ;8. Zaznacz na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: |E � 2| K 2; |E 3| � 3; |x 2| 4 1;|x � 4| 3 4.

9. Oblicz:a) 30%f-�g�h1,2; b) 1,4%f-�g�h1000; c) 0,2%f-�g�h560; d) 12%f-�g�h480; e) 150%f-�g�h27; f) 22,5%f-�g�h840;

10. Wyznacz liczbę, której:a) 40%jestrówne6; b) 2%jestrówne15; c) 1,8%jestrówne360; d) 320%jestrówne20; 11. Jakim procentem liczby x jest liczba y, jeśli:i) E � 36; h � 90; j) E � 12,5; h � 8,75; k) E � 1420; h � 63,9; l) E � 10 JI� ; h � 4 )I)S ;

12. Bank obniżył oprocentowanie lokaty z 7, 2 % do 6, 45 %. O ile punktów bazowych bank zmniejszył oprocen-towanie?

13. Jaki błąd bezwzględny i jaki błąd względny procentowy popełniono, podając przybliżoną powierzchnię Francji, jeśli j � 51,5; � � 50+wtys. km��?



III. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE.

1. Oblicz stosując prawa działań na potęgach:

a) +0,1)F ∙ +0,1)) � b) +4)� ∙ +4)) �

c) U1 I)VN

∙ U1 I)V)

�;

d) +0,3)� ∙ +0,3)� �

e) +1,8)F ∙ U ISVF

�

f) U�JVJ

∙ U1 IFVJ

�;

g) +0,8)J: +0,8)) �

h) +0,4)II: U �JV`

�

i) U2 ILV�

: UFJFOV�

�;

j) +0,1)F ∙ +0,1)) � k) +4)� ∙ +4)) �

l) U3 IJV)

: U1 )JV)

�;

2. Przedstaw liczbę w postaci potęgi liczby 2 (a – e) oraz w postaci potęgi liczby 3 (f – l):

a) 4J ∙ 8�: 2O � b) +2IO ∙ 2I))) ∙ 128 � c) +32))J: 64F �;

d) 16II: +4 ∙ 2F)) � e) l4J: 8JmS ∙ 16O � f) 81 ∙ 27 �;

g) 243�: 9) � h) +9) ∙ 243)J: 729S � i) +3J ∙ 9)� ∙ 81 �;

j) +33F): 11))�: 27� � k) +18� ∙ 81))�: +4 ∙ 3IJ)� � l) +9)): +9)N ∙ +9)I� �;

3. Oblicz: √49; √100;√81;√169;√144;n2 LO ; n1 OIS ; n1 LO ; n5 IIS ; n5 FO ; n1 IO`I. 4. Stosując odpowiednie prawo działań na pierwiastkach, oblicz: √196 ∙ 25;√66 ∙ 121;√169 ∙ 9;√144 ∙ 49;

√1 ∶ 25;√4 ∶ 9;√16 ∶ 81;o 49100 ;o169196 ;√81 ∶ 4;p+1� ∶ +25�. 5. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka (a); włącz czynnik pod znak pierwiastka (b); oblicz (c – f):

a) √18;√8;√75;√63;√162; b) 2√5; 3√6; 5√11; 2√17; 4√10;

c) √32 � √72 √50 � d) √12 � √243 √108 �

e) √80 √125 � √500 � f) √28 √175 � √252 �

6. Rozwiąż równania i nierówności:

a) +E 3�+E � 2� � +5 E�+E � 1� � 0 b) +2E � 1�+E 4� � 2+1 E�+5 E� c) +E 2�+4 � E� � +E � 3�+E 1� d) +E 5�+E � 3� � 0 e) E+E � 4� � 0

f) 5E+E 7� 2+E� � 1� K +1 3E�+6 E� g) 1 +1 E�+E 1� 2E 4 6 E� h) 2+7E 4�+E 7� K 1 � 7+7 2E�� i) 4+E � 2�+1 � E� � 2+1 2E�� j) 1 +E � 7�+3 � 2E� � 3+E 5�+4 � E� K E�

7. Rozłóż wyrażenie algebraiczne na czynniki:

a) 3E 6 � b) 21�F� � 35��J � c) 10E� � 5E � d) 72�JEJ 24��E) � e) 100�)�� 50��

f) +� � ��E � +� � ��h � g) +5 E�� +5 E�� h) +� ��E � 5+� �� i) +4g � 3�E +4g � 3� � j) +7� 5��+E � h� � +7� 5��+E h� �

8. Oblicz stosując wzory skróconego mnożenia:

a) 101 ∙ 99 � b) 93� �

e) +E � 9�� f) +4E � 5h��

i) E� h� � j) �� 25 �



c) 68� �

d) 7√2 � 28� �

g) +5 E)� � h) +3� 2�)� �

k) +3E 2h)+3E � 2h) � l) +6 � E)+6 E) �

9. Usuń niewymierność z mianownika ułamka:

a) IN√) b)

IJ√J c)

)√S d)

L√�I e)

IN√)HI f)

I√�MI g)

F√JHI h)

�√JM)

10. Skróć ułamki, podaj założenia:

a) GPMF

GPHFGHF b) GPHSGHO

GPMO c) GPMJG+GMJ)P

d) SGM�

OGPMSGHI e) +GMI)PHFGGPMI f) G

]MGP+GHI�+GMI� g) FOMGP

�GHIF

11. Oblicz stosując prawa działań na potęgach:

a) U)JVM) b) +0,1�MF c) U3 IFVM�

d) 3M) ∙ UIOVM) e) U�)VM� ∙ U)FVM� f) 6M� ∙ U I)SVM�

g) U�)VM` ∙ U�)VS h) 2M` ∙ 2J i) UFLVMF ∙ UFLVJ

j) +3M��M): 3` k) qUF)VM�r� ∙ UF)VS l) U1 JLVM� ∙ U LI�VM�

m) +0,2�M�: UI�VM� n) U1 JIIVM� : U FIIVM� o) +3,6�M): U OINVM)

12. Oblicz: log� 128 ;logYW 81 ;logL 1 ;log`I 3;log 100 ;log 1000 ;logO 729 ; log� 8 ;log� 2 ;logF 64 ; log� √2 ;log� 1 ;log� 14 ;log� 32 ;log� 116 ;log) 13 ;logN,J 2 ;log) 81 ;logJ √5 ;log� 4√16W ; log�) o94

] ; log� 64 ;log�√� 4√8 ;log√) √9W ; logIJ 25√5 ;log� 11024 ;logIS 216 ;log�√� 8√32 ;log√) 9√9W

13. Oblicz wartość wyrażenia:

a) log� 48 log� 3 � b) log) IS� log) �) �

c) logYW 4 � logYW 6 logYW 8 � d) +logJ 16 logJ 80��

e) 2 logPW 4 2 logPW 3 � f) logYW 4 � logYW 6 logYW 8 �

14. Z podanych wzorów wyznacz wskazane obok wielkości:

a) s � tu ; v; b) � ∙ w � , ∙ x ∙ y; y; c) E � EN � z ∙ {; {;

d) | � }Y∙}P� ; sI; e) ~ � v ∙ �; v; f) x � ∙√SF ;

g) | � H� ∙ ; �; h) | � 6 ∙ ��; �; i)

IG � I � I ; E;

15. Oblicz średnią arytmetyczną i geometryczną liczb, oraz porównaj te średnie;

a) 2; 8; b) 1; 4; 16; c) 8; 12; 12; 18; d) 3; 3; 3; 3;

16. Wyniki sprawdzianu dla uczniów klas pierwszych pewnej szkoły ilustruje tabela:

Ocena 6 5 4 3 2 1

Liczba ocen 2 16 34 52 8 3

a) Oblicz średnią ocen ze sprawdzianu;

b) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ocenę, co najmniej 4;



c) Oblicz, ile procent uczniów otrzymało ze sprawdzianu ocenę poniżej średniej;

Wyniki zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.

IV. GEOMETRIA PŁASKA – POJĘCIA WSTĘPNE.

1. Ile prostych można poprowadzić przez:

a) Jeden punkt b) Dwa różne punkty c) Trzy nie współliniowe punkty

2. Kąt przyległy do kąta α ma miarę 4 razy większą od kąta α. Oblicz miarę kąta α.

3. Łuk okręgu o promieniu 6 ma długość 3π. Ile procent długości okręgu stanowi długość tego łuku?

4. Styczne do okręgu w punktach K, L, M przecinają się w punktach , jak na rysunku

obok. Wiadomo, że oraz obwód trójkąta jest równy .

5. Dane są dwa okręgi o środkach O1, O2 i promieniach równych odpowiednio .

Wiadomo, że . Oblicz .

6. Suma miar kąta wpisanego i kąta środkowego opartych na tym samym łuku wynosi

. Oblicz miarę każdego z tych kątów.

7. Oblicz miarę kąta α (patrz rysunek); 8. W trapezie równoramiennym podstawy mają długość 5 , a wysokość tra-

pezu jest równa . Przekątne trapezu przecinają się w punkcie P. Wyznacz odległość punktu P od podstaw

tego trapezu.

9. Na rysunku obok proste k i l są równoległe, zaś proste a i b przecinają się

na prostej k w punkcie P. Na podstawie danych na rysunku, oblicz miarę

kąta α.

10. Środek okręgu o średnicy znajduje się w odległości od cięciwy tego okręgu. Oblicz długość cięci-

wy.

11. Na rysunku obok proste k i l są równoległe oraz dane są długości odcinków wy-

znaczonych przez punkt O i te proste. Oblicz wiedząc, że .

12. Która z narysowanych niżej figur jest wypukła, a która wklęsła?



13. Spośród kątów � 215N; � 23N; � 90N; � 180N; � 330N; � 330N wskaż kąt ostry, prosty, wklęsły, pełny, półpełny i rozwarty.

14. Kąt między cięciwą := a styczną do okręgu w punkcie : (zobacz rysunek) ma miarę α = 62o. Oblicz miarę kąta β.

15. Oblicz ile stopni ma kąt środkowy oparty na:

a) ⅓ okręgu; b) ⅔ okręgu?

16. Dane są dwa kąty przyległe, z których jeden jest o 36° większy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

17. Punkt należy do odcinka . Środkiem odcinka jest punkt :, zaś środkiem odcinka jest punkt =. Odcinek ma długość 44�v. Oblicz długość odcinka :=.

18. Które spośród punktów P, Q, R, S należą do dwusiecznej ∡:=?

V. GEOMETRIA PŁASKA – TRÓJKĄTY.

1. Wyznacz kąty trójkąta, jeżeli stosunek ich miar jest równy 5 ∶ 3 ∶ 1. 2. Jeden z kątów trójkąta jest równy 25N, a różnica dwóch pozostałych wynosi 15N. Wyznacz te kąty. 3. Czy można zbudować trójkąt z odcinków długości: a). 2, 4, 6; b). 2 √2, 5, 2 � √2; c). 10, 12, 14? 4. Liczby 2� 2; � � 1; 2� � 2 są długościami boków trójkąta. Do jakiego przedziału należy liczba �? 5. Obwód trójkąta := wynosi 27 cm. Połączono środki boków tego trójkąta i otrzymano trójkąt :’=’’. Oblicz

obwód tego trójkąta.

6. Czy trójkąt o podanych bokach jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

a�.8, 16, 9 b�. 4, 6, 5 c�.9, 12, 15 d�.√12, √17, √5 7. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 10�v, a dwa jego krótsze boki pozostają w stosunku 8: 15. Wy-

znacz długości boków tego trójkąta.

8. Obwód trójkąta := wynosi 21�v. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą od-powiednio 12�v-15�v. Oblicz długość wysokości .

9. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość ma długość 1sv. Oblicz długości boków tego trójkąta.

10. Oblicz długości boków trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość:

a�.2√3 b�. 3√6 c�.15 d�.√2, 11. W trójkącie równoramiennym o obwodzie 32�v wysokość poprowadzona na podstawę jest równa 8�v.

Oblicz długość boków tego trójkąta.

12. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość 4�v. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.



13. W trójkącie := kąt przy wierzchołku : ma miarę 60N. Dwusieczna kąta := przecina bok := w punkcie . Oblicz miarę kąta :=, jeśli || � |=|.

14. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12�v. 15. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 12�v. 16. Trójkąt :’=’’ ma obwód 18�v i jest podobny do trójkąta := w skali3. Oblicz obwód trójkąta :=. 17. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6�v, 8�v. 18. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6�v, 8�v. 19. Oblicz promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie długo-

ści 10�v i ramionach długości 12�v. 20. Oblicz długości środkowych trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość 4�v-8√2�v. 21. Odcinek jest wysokością trójkąta prostokątnego := opuszczoną z wierz-

chołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Wiedząc, że |=| �6�v, |:| � 8�v , oblicz || oraz obwody trójkątów :=, =-:.

22. Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie :=. Punkt jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz długości promieni okręgów o środkach w punkcie -, jeśli: a) |:=| � � � 12�v;|:| � |=| � � � 10�v; b) |:=| � � � 16�v; |:| � |=| � � � 10�v;

23. Pole trójkąta równobocznego wynosi 16√3�v�. Oblicz: a) Pole koła wpisanego w ten trójkąt; b) Długość okręgu opisanego na tym trójkącie;

24. Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi 16√3�v. Oblicz: a) Pole tego trójkąta; b) Pole koła opisanego na tym trójkącie;

25. Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi 25^�v�. Oblicz: a) Pole tego trójkąta; b) Pole koła wpisanego w ten trójkąt;

26. Dla trójkąta o bokach długości 8 cm, 12 cm, 8 cm oblicz odległość punktu przecięcia środkowych od jego wierzchołków.

27. Wyznacz wysokość rombu, którego przekątne mają długości 24�v-42�v.

28. Oblicz długości środkowych trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają

długość 4�v-8√2�v.

29. W trójkącie ABC na rysunku obok ||=| � 1 IL �v, |:| � 14�v. Oblicz długość odcinka .

30. W trójkącie równoramiennym ABC boki mają długość: |:=| � 10�v;|:| � |=| � 13�v. a) Sprawdź, czy jest to trójkąt ostrokątny, czy rozwartokątny; b) Oblicz długość wysokości tego trójkąta poprowadzonej na podstawę AB;



c) Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie;. d) Oblicz odległość środka okręgu z punktu c) od podstawy AB.

31. W trapezie długości podstaw są równe: 10�v-15�v, a długości ramion: 4�v-3�v. Ramiona trapezu przedłużono do przecięcia w punkcie P. Oblicz obwód trójkąta, którego jednym z wierzchołków jest punkt P, a

dwa pozostałe są końcami dłuższej podstawy trapezu.

VI. TRYGONOMETRIA KĄTA WYPUKŁEGO

1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych, jeśli: a) � � 3; � � 4; � � 5; b) � � 6; � � 6√2; c) � � √2; � � 3;

2. Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta (patrz rysunek wyżej), jeśli cos � √JF ; � � 12.

3. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych a) |+5, 10�; E � 5; h � 10; b) | UIF , 3V ; E � IF ; h � 3; c) |7√2, √38; E � √2; h � √3;

4. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów: 30N, 45N, 60N.

5. Oblicz pole i obwód trójkąta wiedząc, że:

a) ∝� 45N; � � √3; b) ∝� 30N; � � 6; c) ∝� 60N; � � 5;

6. Narysuj kąt ostry , dla którego: a�. cos � JL ; b�. ctg � )F ; c�. sin � )F ; d� tg � JL;

7. W trapezie prostokątnym podstawy mają długość 6�vi4�v, a ramię prostopadłe do podstaw ma długość 7�v. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

8. Rozwiąż trójkąt prostokątny (patrz rysunek obok) oraz oblicz jego pole powierzchni i obwód, jeśli:

a) � � 6√3�v; � � 12�v; b) � � 4�v; � � 4√3�v; c) � � 8�v; � 30N; d) � � 12�v; � 60N; e) � � 14�v; � 45N; f) � � 6�v; � � 6�v;

9. Dłuższa przekątna rombu ma długość 12 cm i tworzy z jednym z boków kąt 300. Oblicz obwód i pole rombu.

10. Oblicz obwód i pole czworokąta := przedstawionego na rysunku, jeśli: |∢:=| � 90N, |∢:| � 90N, |∢=:| � 45N, |∢:| � 60N, |:| � 9�v.

P(x, y)

r A(x, 0)

y

x

c

a

b



11. Oblicz pole i obwód trójkąta prostokątnego :=, w którym miara jednego z kątów ostrych wynosi 30N, a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną ma długość 5sv.

12. Sprawdź, czy istnieje taki kąt ostry α, dla którego:

a) sin � √�) ; cos � IJ ; b) sin � √S) ; cos � √)) ; c) sin � √IJF ; cos � )F ;

13. Oblicz wartość wyrażenia +sin� � sin� �+tg ctg sin cos� dla � 60N; � 30N.

14. Oblicz bez użycia tablic: a) sin 23N tg45N � ctg 30N � cos23N � b) cos� 34N � tg16N ctg 16N � cos� 56N � c)

P F`ZH)NZHP F�Z�LZ S)Z � d) sin� 16N � ctg� 16N sin� 16N � e) sin 44N ∙ cos 46N � cos44N ∙ sin 46N � f)

IMS)Z∙�LZ�JZ �

15. Oblicz: a) 2 sin 30N � cos 30N ∙ sin 60N � tg 45N � b) 3 sin 45N ∙ cos 45N � sin30N tg 30N ∙ ctg 30N � c) 4 ∙ cos60N ∙ sin 30N cos 30N ∙ sin 60N � d) ctg 30N ∙ ctg 45N : +ctg 60N ∙ tg 45N� � e) 12 ∙ +tg 60N cos 60N� ∙ +tg 30N � cos 30N� � f) +cos45N cos 30N� ∙ +cos 45N � cos 30N� � g) +3 sin 45N � tg 60N� ∙ +3 sin45N tg 60N� � h) +sin 60N � cos 30N�� +sin 30N � cos60N�� i) +tg 60N sin 30N� ∙ +cos 60N ctg 30N� �

16. W pewnym prostokącie przekątna ma długość d i tworzy z jednym z boków kąt α. Oblicz obwód i pole tego prostokąta, jeśli:

a) s � 9�v;cos � 0,6; b) s � 2 I) �v;sin � IL ; c) s � 2√17�v;sin � IL ;

17. Oblicz:

a) cos � )J ; sin �?tg �?ctg �? b) sin � IL ; cos �?tg �?ctg �?

c) tg � 2;sin �?cos �?ctg �? d) ctg � 3;sin �?cos �?tg �? ;

18. Oblicz miarę kąta α wiedząc, że ∈ +0N, 90N�oraz: a) sin � I� b) tg � √3 c) tg � √))

d) tg � 1 e) sin � √�� f) cos � √��

g) cos � I� h) cos � √)� i) sin � √)�

j) ctg � √3 k) ctg � 1 l) ctg � √))

19. Oblicz +sin� � sin� �+tg ctg sin cos�, jeśli � 60N; � 30N.

20. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci:

a) IP G tg� E �

b) U I cosV U I sinV � c) U I cosV U I sinV +tg � ctg� �



VII. GEOMETRIA PŁASKA – POLE KOŁA, POLE TRÓJKĄTA

19. Pole trójkąta równobocznego wynosi 16√3�v�. Oblicz: a) Pole koła wpisanego w ten trójkąt;

b) długość okręgu opisanego na tym trójkącie.

20. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości 4�v.

21. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki, długości 20�v-5�v. Oblicz pole tego trójkąta.

22. Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym wynosi 25^�v�. Oblicz: a) Pole tego trójkąta;

b) Pole koła wpisanego w ten trójkąt.

23. Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi 16^�v. Oblicz: a) Pole tego trójkąta;

b) Pole koła opisanego na tym trójkącie.

24. Na trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej, opisano

okrąg o promieniu 2√2 �v. Oblicz pole tego trójkąta.

25. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 32�v, a ramię 20�v. Oblicz: a) Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt; b) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

26. Boki trójkąta mają długość 16�v, 17�v, 17�v. Oblicz: a) Pole tego trójkąta; b) Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt; c) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

27. Boki trójkąta mają długość 25�v, 39�v, 56�v. Oblicz: a) Pole tego trójkąta; b) Wysokości tego trójkąta.

28. Trójkąt := ma obwód równy 30�v, a pole 24�v�. Obwód trójkąta :’=’’ podobnego do trójkąta := wynosi 15�v. Oblicz pole trójkąta A’B’C’.

29. Trójkąt prostokątny równoramienny ma pole równe 2�v�. Oblicz długość przyprostokątnej tego trójkąta.

30. Promień koła jest równy j, kąt wycinka tego koła ma miarę . Oblicz pole wycinka, jeżeli: a) j � 9�v, � 20N; b) j � 12�v, � 150N; c) j � 5�v, � 54N.

31. Pole wycinka koła jest równe |, a łuk tego wycinka ma długość f. oblicz promień koła, jeśli: a) | � 10^�v�, f � 2,5^�v; b) | � 30^�v�, f � 12^�v; c) | � 210^�v�, f � 14^�v.



VIII. FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

1. Który rysunek przedstawia wykres funkcji? Który rysunek nie przedstawia wykresu funkcji? Odpowiedź uza-sadnij:

a).

b).

c).

c).

d).

e).

f).

g).

h).

2. Funkcja jest określona na zbiorze ;3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, < wzorem +E) � IGMF. Wymień pozostałe sposoby określania funkcji i zastosuj je do funkcji . Podaj zbiór wartości funkcji .

3. Odczytaj z wykresu własności funkcji: a). b).



c).

4. Narysuj wykres funkcji wiedząc, że: 1) � 〈5, 1) ∪ 〈1, 4); 2) ¡¢ � 〈3, 3〉; 3) +E) � 0sf�E ∈ £3 I� , 3¤ ; 4) +E� � 0sf�E ∈ U3 I� , 1V ∪ +3, 4�; +E� 3 0sf�E ∈ 〈5,3 I�V ∪ 〈1, 3�; 5) ¥,¦�§�§.¨{v©,©{©,-�g,��jg.sg-�ł�v-; j©¨,ą��sf�E ∈ 〈5,2〉©j�gE ∈ 〈2, 4�; v�f.§ą��sf�E ∈ 〈2,1�©j�gE ∈ 〈1, 2〉; 6) uG � 3sf�E � 2; uª« � 3sf�E � 5; 7) ¥,¦�§�,-.§.¨{jóż,©�j{©ś�-©�;

5. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji, o ile istnieją:

a) +E� � �GPMF ; b) +E� � nI� 3E; c) +E� � M)√�GHI ; d) +E� � √GH�FMGP ; e) +E� � 2E � 4; f) +E� � GGHI ; g) +E� � GPGPHG ; h) +E� � 4E� 12E � 9; i) +E� � +IM�G�G√�GMI ; j) +E� � �√G 2; k) +E� � 3E� 1; l) +E� � √GPMIGMI ; m) +E� � �MGGPMF ;



6. Funkcja każdej licznie naturalnej mniejszej od 10 przyporządkowuje połowę kwadratu tej liczby. Przedstaw funkcję na cztery wybrane sposoby.

7. Dana jest funkcja ¯+E� � SGH�JHG : a) Podaj dziedzinę funkcji;

b) Oblicz argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość U SJV; c) Oblicz wartość funkcji dla E � √3; przedstaw ją w postaci � � �√� . d) Dla jakich argumentów E, +E� � ¯+E�, §.śf- +E� � SGGHF ;

8. Dana jest funkcja ¯+E� � LGM��MG ; a) Podaj dziedzinę funkcji;

b) Oblicz argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość U SJV; c) Oblicz wartość funkcji dla E � √3; przedstaw ją w postaci � � �√� . d) Dla jakich argumentów E, +E� � ¯+E�, §.śf- +E� � LGFHG ;

9. Grupa uczniów wyruszyła na wycieczkę rowerową o godz. 900. Naszkicuj wykres opisujący zależność przebytej drogi podczas tej wycieczki od czasu, jeśli wiesz, że: przez pierwszą godzinę rowerzyści jechali z prędkością 20

km/h, następnie był 30 - minutowy postój, przez kolejną godzinę jechali z prędkością 15 km/h, a po 2-

godzinnym wypoczynku wrócili do miejsca zamieszkania, jadąc z prędkością 12 km/h. O której godzinie byli

na miejscu? Z jaką średnią prędkością jechali na trasie, nie licząc postojów?

10. Sporządź wykres funkcji na podstawie niżej opisanych własności: 1) � +∞, 7�; 2) ¡¢ � +∞, 7�; 3) +E� � 0 dla E ∈ ;7, 4, 1

I. WPROWADZENIE DO MATEMATYKI. POJĘCIA PODSTAWOWE.€¦ · GEOMETRIA PŁASKA – POJĘCIA...

Documents

Transcript of I. WPROWADZENIE DO MATEMATYKI. POJĘCIA PODSTAWOWE.€¦ · GEOMETRIA PŁASKA – POJĘCIA...