H. J. Brown MECHANIKA RELATYWISTYCZNAdana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/2017/w9_Mechanika... ·...

1 FIZYKA - wykład 9

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

Wykład 9

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA (SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI)

”Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę celu

jest więcej wart niż maraton dobrych chęci.”

H. J. Brown

Rys. Albert Einstein (1879-1955), W 1905r. opublikował szczególną teorię

względności (STW), a w 1916r. ogólną teorię

względności. (OTW).


1. Mechanika klasyczna ( dla małych v )

Wstęp

Rozważmy układy inercjalne poruszające się względem siebie z prędkością . v

Transformacja Galileusza :

vtxx '

yy '

zz '

tt '

Szukamy takiej transformacji współrzędnych, aby w obu układach współrzędnych wiązka światła miała prędkość . c

Transformacja Galileusza, oparta na założeniach mechaniki klasycznej, dla dużych prędkości (v> 0,5 c), musi być zastąpiona przez inną transformację.


Fizyka relatywistyczna jest związana z pomiarem miejsca i czasu zdarzeń w układach odniesienia, które poruszają się względem siebie. Stanowi nowe podejście do jednoczesności zdarzeń, , a także jaka odległość dzieli je w czasie i przestrzeni. •Teorii względności (TW) zajmuje się transformacjami wyników pomiarów między poruszającymi się względem siebie układami odniesienia. Teoria jest nazwana „szczególną,” gdyż dotyczy tylko inercjalnych układów odniesienia, w których spełnione są zasady dynamiki Newtona. • Ogólna teoria względności (OTW) dotyczy układów poruszających się z przyspieszeniem i stanowi inne spojrzenie na grawitację.

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA


Mechanika relatywistyczna


9.1 TEORIA ETERU

W XIX wieku uważano, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w hipotetycznym ośrodku - zwanym eterem, wypełniającym całą przestrzeń (cały kosmos) łącznie z ciałami materialnymi.



Jeżeli inny układ odniesienia poruszałby się względem eteru z prędkością vukładzie prędkość światła , zgodnie z transformacją Galileusza, powinna wynosić: ,

,to mierzona w tym

vcc

'

a) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest taki sam vcc '

vcc 'b) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest przeciwny

Sol

v

v

eteru

eteru

Ziemia

Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońca z prędkością liniową ≈ 30 km/s (29,79 km/s ).

v

Zakładając, że Ziemia porusza się względem eteru, czas potrzebny na przejście światła pomiędzy dwoma punktami przy powierzchni Ziemi powinien zatem zależeć od kierunku ruchu światła.

• Jeżeli istnieje eter, to czy ma on określoną prędkość?



9.2. Doświadczenie Michelsona – Morley ’a

Próbę wykrycia zależności prędkości światła od ruchu układu odniesienia podął w roku 1881 Albert Michelson. Doświadczenie miało wykryć ów ruch eteru - jako różnicę w odbieranej prędkości światła (powinna się ona zmieniać dla różnych kierunków ruchu Ziemi i różnych kierunków ustawień układu doświadczalnego). W swoich pomiarach korzystał z precyzyjnego przyrządu zwanego interferometrem Michelsona .

Próba zmierzenia zmian w prędkości światła, gdy Ziemia porusza się względem eteru:

1

2 Mierzono czas przelotu PZ1P i PZ2P:

P

c

vz 21

1

gdzie: oraz

zvc

zvc

22

zvc

(9.1)

(9.2)

(9.3)

L1

L2

vcc '


Bieg promienia oglądany przez nieruchomy eter:

(9.4)

(9.5)

Doświadczenie Michelsona – Morley ’a


Obracając cały układ o 90 stopni zwierciadła Z1 i Z2 zmieniają się rolami

i różnica czasów jest równa:

Przy założeniu istnienia eteru obraz

interferencyjny w polu widzenia ulega zmianie

przy obrocie, oczekujemy:

Brak zmian w obrazie interferencyjnym!

Prędkość światła nie dodała się do prędkości Ziemi.

Wniosek Michelsona: „hipoteza o stacjonarnym eterze jest błędna”.

W roku 1887 Albert Michelson z pomocą Edwarda Morleya powtórzyli eksperyment, wynik również

był negatywny.

(9.6)

Doświadczenie Michelsona – Morley ’a


POSTULATY EINSTEINA

1. Zasada względności

Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

2. Postulat o stałej prędkości światła

Prędkość światła w próżni nie zależy od prędkości obserwatora i źródła

światła i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia.

Postulat 1 oznacza, że wszystkie inercjalne układy odniesienia są takie same, nierozróżnialne.

Postulat 2 oznajmia, że prędkość świtała c jest uniwersalną stałą, jak stała grawitacji G czy ładunek

elementarny e.

9.3 POSTULATY EINSTEINA

Trudności z interpretacją wyników doświadczenia Michelsona – Morley ’a rozwiązał Albert Einstein.


• Prędkość światła w ośrodku zależy od elektrycznych i magnetycznych własności tegoż

ośrodka. W przypadku próżni mamy zależność:

gdzie ε0 - podatność elektryczna, μ0 -podatność magnetyczna próżni.

Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzory transformacyjne, opisujące przejście

między układami nieruchomym O (x, y, z) i ruchomym O’ (x’, y’, z’) i vice versa.

Wzory te noszą nazwę transformacji Lorentza, na pamiątkę holenderskiego fizyka i

matematyka Hendrika Lorentza (1853 - 1928), który wyprowadził je wcześniej.

00

1

c (9.7)



9.4. Transformacja Lorentza

Rozważmy dwa układy współrzędnych, poruszające się względem siebie z prędkością : v

W mechanice klasycznej byłoby

(transformacja Galileusza) :

vtxx '

yy '

zz '

tt '

Szukamy takiej transformacji współrzędnych, żeby w obu układach współrzędnych wiązka światła

miała prędkość . c

Postulat Galileusza o jednakowym przebiegu czasu

w układach inercjalnych jest z punktu widzenia

postulatów teorii względności niesłuszny.

Transformacja Galileusza, oparta na założeniach mechaniki klasycznej, musi być zastąpiona

w teorii względności przez inną transformację, którą nazywamy transformacją Lorentza.

(9.8)



W chwili początkowej t = t0 = 0 początki obu układów pokrywały się. Punkt x’ porusza się razem

z układem (x’, y’, z’).

Transformacja Lorentza :

Otrzymaliśmy wzory opisujące przejście (transformację) z układu O do O’. Łatwo otrzymać wzory

na transformacje odwrotną – przejście od układu O’ do O, zamieniając prędkość v -> -v.

'x

2

2

2

2

2

1

'

'

'

1

'

c

v

xc

vt

t

zz

yy

c

v

tvxx

(9.9)



Transformacja odwrotna:

Prędkość światła c nie zmienia się, jest inwariantna (niezależna) względem transformacji Lorentza.

2

2

2

2

2

1

''

'

'

1

''

c

v

xc

vt

t

zz

yy

c

v

tvxx

21

1;

c

v

(9.10) (9.11)

Definicja czynnika β i γ Lorentza:



Prawa i sformułowania dotyczące nowych odkryć nie mogą być sprzeczne z prawami fizyki klasycznej. ( Zasada korespondencji, Niels Bohr 1923r.) Gdy prędkość v << c , wzory transformacji Lorentza przekształcają się w transformacje Galileusza . Mechanika klasyczna okazuje się być granicznym, szczególnym przypadkiem mechaniki relatywistycznej.


'' vtxx

''

2x

c

vtt 1~

1

1

2

2

c

v

'' vtxx 'tt


9.5. DYLATACJA CZASU

Konsekwencje transformacji Lorentza

Zbadamy zagadnienie pomiaru czasu w obu układach.

W chwili początkowej t = t0 = 0 początki obu układów pokrywały się. Punkt Z porusza się razem z

układem (x’, y’, z’), prędkość v = const..

Korzystając z transformacji Lorentza (i transformacji odwrotnej) możemy zapisać różnicę

współrzędnych dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni:

Dany odstęp czasu można wyznaczyć np.

na podstawie przebytej przez światło

odległości .

Rys. 1. Definicja układów współrzędnych

)(' xc

tt

2

2

2

1

'

c

v

xc

vt

t


DYLATACJA CZASU

• W układzie współrzędnych x’y’ znajduje się

pręt o długości L, ustawiony wzdłuż osi y’,

W układzie x’ y’ ( własnym), światło

przebywa drogę OZO’ w czasie:

(9.18)

na końcu którego jest umocowane zwierciadło.

Rys. 1. Definicja układów współrzędnych


Czas przebiegu światła w układzie xy należy obliczyć:

(9.19)

(9.20)

(9.21)

2

DYLATACJA CZASU


Dzieląc czasy mierzone w obu układach: :

Zatem czas trwania zjawiska, zachodzącego w pewnym punkcie przestrzeni - mierzony w układzie odniesienia, względem którego ten punkt się porusza – jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt spoczywa.

2

2

1

1

c

v

'

I jest to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji „zegara świetlnego”. Również wszystkie procesy fizyczne (chemiczne; i biologiczne!) muszą być spowalniane w ruchu.

Zmiana czasu o czynnik nazywana jest DYLATACJĄ (WYDŁUŻENIEM) CZASU.

' (9.23)

(9.24)

stąd , gdzie

(9.22)


Przykład 1

1. Cząstki elementarne zwane mionami (μ) powstają w wysokich partiach atmosfery na

wysokości 10 km., na skutek oddziaływania z promieniowaniem kosmicznym. Czas

życia mionów t0=2 x 10-6 s. Jaką drogę pokonają miony? Czy i jaka część dotrze do

powierzchni Ziemi?

a) Klasyczne rozwiązanie:

Mion nie dotrze do powierzchni Ziemi.

b) Relatywistyczne rozwiązanie:

Niech v = 0.999 c;

Czas życia mionu należy obliczyć, korzystając ze wzoru:

Droga jaką pokona mion wynosi:

Mion z łatwością dociera do powierzchni Ziemi.

Druga odpowiedź jest prawdziwa: miony docierają do powierzchni Ziemi!

2

2

0

1c

v

tt

sxt 6

2

6

1045

)999.0(1

102

DYLATACJA CZASU


Przykład 2

2. GPS. (Globalny System Pozycjonowania) uwzględnia grawitacyjną dylatację czasu

w procedurze precyzyjnego określania położenia. Inaczej położenie byłoby

wyznaczone znacznie mniej dokładne. Miliony ludzi korzystających z GPS-ów

wykorzystuje codziennie (i sprawdza zarazem ich poprawność) równania STW.

Rys. Aktualnie aktywnych jest 31 satelitów (stan na 5 maja 2016) z 32 docelowych. źródło: http://joemonster.org/art/36076

DYLATACJA CZASU


9.6. KONTRAKCJA DŁUGOŚCI Przyjmijmy teraz, że w układzie X’Y’ znajduje się nieruchomy pręt o długości L’, skierowany

wzdłuż osi x’, na końcu którego jest umocowane zwierciadło (rys. (a)).

W układzie tym długość pręta L’ można wyrazić wzorem:

gdzie τ’ - czas przebiegu impulsu świetlnego z punktu O’ do zwierciadła „Z” i z powrotem (do O’).

(9.26)

Skrócenie długości (relatywistyczne)


b) W układzie „nieprimowanym” (rys (b)) dla

ruchu światła w dodatnim kierunku osi x

mamy zależność:

Podobnie, dla ruchu światła odbitego od zwierciadła (rys. (c)), otrzymujemy:

c)

gdzie: τ2 - czas, w jakim impuls świetlny powrócił

do punktu O’. Stąd:

Całkowity czas τ przebiegu impulsu świetlnego jest więc równy:

(9.27)

(9.28)

(9.30)

(9.31)

(9.29)



Długość pręta L w układzie „nieprimowanym” można więc wyrazić wzorem:

Dzieląc stronami równanie (9.32) przez (9.26) znajdziemy:

Biorąc pod uwagę dylatację czasu:

(9.32)

(9.33)

(9.34)

(9.35)


Długość ciała - mierzona w układzie odniesienia, względem którego ciało się porusza - jest

w kierunku ruchu mniejsza niż jego długość mierzona w układzie, w którym ciało spoczywa.

Efekt ten nazywa się KONTRAKCJĄ (SKRÓCENIEM) LORENTZA.



W mechanice relatywistycznej czas przestaje odróżniać się od współrzędnych przestrzennych.

Czas pomnożony przez prędkość światła c staje się dodatkową współrzędną.

Przestrzeń zamienia się w czasoprzestrzeń 4 wymiarową (4D):.

9.7. Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej

Weźmy dwa różne punkty w czasoprzestrzeni. Kwadrat odległości dwóch punktów w

czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształcenia (transformacji) Lorentza.

Wielkość (ΔS ) nazywamy interwałem czasoprzestrzennym.

(9.36)

(9.37) 22222 )()()()()( zyxtcs


Czas i przestrzeń (mechanika relatywistyczna)

Współrzędne przestrzenne zyx ,, i współrzędna czasowa trozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową

wszystkich możliwych zdarzeń

przestrzeń zdarzeń o współrzędnych zyxct ,,, nazywamy ją czasoprzestrzenią

lub przestrzenią Minkowskiego.

Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego. Stożek świetlny.

Rzut (2D) , czterowymiarowej (4D)

czasoprzestrzeni Minkowskiego (1908).

Pionowa oś to oś czasu;

pozioma – współrzędną przestrzenną.

Linia przerywano to linia świata obserwatora.

Górna środkowa ćwiartka, to zbór przyszłych

możliwych, widzialnych zdarzeń dla obserwatora

(przyszłość), dolna środkowa ćwiartka to zbiór

przeszłych zdarzeń (przeszłość), punkt przecięcia

oznacza teraźniejszość.

Dwie środkowe ćwiartki oznaczają obszary

czasoprzestrzeni niedostępne dla obserwatora

(c skończone!). Punkty oznaczają zdarzenia

w czasoprzestrzeni.


Czasoprzestrzeń

Stożek świetlny lub stożek Minkowskiego

Punkt w czasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata,

a zbiór punktów opisujących przemieszczenia danego

ciała w czasie i przestrzeni tworzy linię świata. Linie te

mieszczą się wewnątrz stożka zwanego stożkiem

świetlnym lub stożkiem Minkowskiego.

Równanie stożka świetlnego: (9.42)

Stożek ten określa przeszłość i przyszłość

zdarzenia O.

Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłości,

ani nie mogą mieć w przyszłości; nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyczynowym.

"gdzie indziej"

Zdarzenie

(teraźniejszość)



9.8. Relatywistyczne dodawanie prędkości według Einsteina

Zajmiemy się przypadkiem gdy cząstka ma już pewną prędkość w układzie odniesienia XYZ.

Sprawdzimy jaką prędkość zmierzy obserwator w układzie X’Y’Z’, jeżeli układy odniesienia

poruszają się względem siebie ze stałą prędkością v = const.

Z transformacji Lorentza otrzymujemy :

vtxx '

x

c

vtt

2' oraz

Dla nieskończenie małych przyrostów x i t :

vdtdxdx 'i

dx

c

vdtdt

2'

I otrzymamy:

x

xx

ucv

vu

dxcvdt

vdtdx

dt

dxu

22 1'

''

dtdxux gdzie:

wzór Einsteina

na dodawanie prędkości.

Dla 0/ cv otrzymamy: vuu '

(9.44)

(9.43)

(9.45)

'xuxu


Wzory z transformacji Lorentza przechodzą we wzory transformacji Galileusza:


Niech układ O’ porusza się z prędkością v1=0.98c (skierowaną wzdłuż osi X układu), a w układzie O’ punkt x’ porusza się z prędkością v2=0.98c. Wyznacz prędkość punktu x’ względem nieruchomego układu O .

Rozwiązanie: Zgodnie z transformacją prędkości:

Dla v1= v2= c, otrzymamy v =c. Składając prędkości nigdy nie przekroczymy prędkości światła.

Przykład 1

2

21

21

1c

vv

vvv

c

c

c

ccv 9998.0

)98.0(1

98.098.0

2

2


9.9. Elementy dynamiki relatywistycznej

W klasycznej dynamice (Newtona) przyjmuje się, że masa ciała jest niezależna od jego

prędkości, tj. jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia. Przypomnijmy postacie II zasady

dynamiki Newtona: maF

Einstein ( w 1905r) wniósł istotną poprawkę do założeń Newtona, stwierdzając, że w

mechanice relatywistycznej masa ciała zmienia się z jego prędkością . Jej wartość

v

w układzie, w którym ciało ma prędkość wynosi:

dt

mvd

dt

dpF

)(

We wzorze tym ma stałą wartość i nazywa się masą spoczynkową ciała (mierzoną w układzie

odniesienia, w którym ciało spoczywa), m- nazywamy relatywistyczną masą ciała. .

0m

Zależność masy

od prędkości

Jak opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, jest prawdziwa?

(9.47)

(9.46)

9.9.1. Masa w mechanice relatywistycznej.



Nowa definicja pędu:

która zapewni prawdziwość zasady zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu

współrzędnych, podana przez Einsteina.

Rys. Zależność czynnika Lorentza od stosunku prędkości .

1

3

2

1

0m

m

0,5

c

v

0m

m

c

v

Zmiana masy przy małych prędkościach

jest znikoma. Masa cząstki rośnie wraz z

prędkością od v~0,5c i zmierza do

nieskończoności gdy V→ c.

(9.48)

Klasyczna definicja pędu: vmp

, gdzie jest prędkością ciała. v

v

c

v

mvmp

2

2

0

1

Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi

dla cząstek elementarnych.

9.9.2. Pęd w mechanice relatywistycznej



9.9.3. Relatywistyczna zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły.

Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do kierunku ruchu.

Zależność prędkości v ciała od czasu t obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona:

dt

dpF

Fdtvm

d

c

v

2

2

1

0

(9.49)

(9.50)

Po scałkowaniu zależności (7.48) otrzymamy:

CtFvm

c

v

2

2

1

0 (9.51)

gdzie C-stała całkowania. Zakładając, że dla t=0, v=0, otrzymamy C=0. Rozwiązując (na tablicy)

równanie (7.49) względem v, otrzymamy zależność:

22

0

22

0 1

)(

cm

tFm

Fttv

(9.52)



Rys. Zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej

W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się

przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.

0

)(m

Fttv

220

22

0 1

)(

cm

tFm

Fttv



9.9.4. II zasada dynamiki w postaci relatywistycznej

(9.53)

(9.54)

(9.55)



9.9.5. Relatywistyczna energia kinetyczna

(9.56)

(9.57)

(9.58)



Po scałkowaniu porządkujemy otrzymane wyrażenie.

(9.59)

(9.60)

(9.61)



Uwzględniając granice całkowania, otrzymujemy wzór na energię kinetyczną:

Według Einsteina ten drugi człon: 2

00 cmE

– wielkości, której istnieniu zawdzięczamy m.in. bombę atomową...

ma sens energii spoczynkowej ciała

wzór Einsteina: wyraża równoważność masy i energii. lub

(9.63)

(9.62)



Przykład. Potwierdzenie słuszności związku wyrażającego równoważność masy i energii.

W wyniku zderzenia dwóch jąder złota energia kinetyczna jąder zamienia się w masy

tysięcy cząstek powstałych w zderzeniu, zgodnie ze wzorem:



Czy dla małych prędkości wzór na energię kinetyczną przejdzie w klasyczne wyrażenie ?

Otrzymaliśmy wzór przybliżony na energię kinetyczną, który można stosować tylko dla małych

prędkości (małych w porównaniu z prędkością światła; v<<c).

(9.64)

(9.65)

(9.66)

(9.67)



9.10. ZWIĄZEK ENERGII, PĘDU I MASY

Związek energii całkowitej,

pędu i masy spoczynkowej. Stąd:

Wzór ten przyjmuje szczególnie prostą postać dla cząstek o zerowej masie spoczynkowej, m0 =0,

które poruszają się w każdym układzie odniesienia z prędkością światła (np. fotony, neutrina).

Zachodzi wówczas związek: E=cp.

(9.67)

(9.68)

(9.69)

(9.70)



Jeśli w powyższym wyrażeniu pęd określimy przez współrzędne :

otrzymamy czterowektor energii-pędu :

Czterowektor w czasoprzestrzeni

(9.71)

(9.72)

(9.73)

(9.74)

(9.75)


Transformacja Lorentza pędu i energii ma podobną postać do transformacji

współrzędnych i czasu:

Prędkość światła jest graniczną prędkością: żadne ciało o różnej od zera masie spoczynkowej nie

osiągnie tej prędkości.

(9.76)



9.10.1. Cząstki o zerowej masie spoczynkowej

Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej!

Należą do nich np. FOTONY – kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak cząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, choć nie mają masy – masy spoczynkowej!

Korzystając ze wzoru: 42222 cmcpE

podstawiając 0m otrzymujemy: c

Ep

związek między pędem i energią takiej „bezmasowej” cząstki.

Korzystając ze związku: 2c

Eup

stwierdzimy, że prędkość cząstki o masie spoczynkowej musi wynosić ! c

(9.77)

(9.78)

(9.79)

0m



Ogólna teoria względności (OTW)- wzmianka

Ogólna teoria względności (OTW) – sformułowana przez Alberta Einsteina w 1915 roku, a opublikowanej w roku 1916.

Główna teza OTW: siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni i na odwrót – grawitacja kształtuje czasoprzestrzeń.

Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest równoważna masie

bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie odróżnić jednej od drugiej).

Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność

masy „odkształca” otaczającą ją przestrzeń i wobec tego

poruszające się w takiej przestrzeni ciała mają

tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie

spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń

(„normalne” w ruchu krzywoliniowym) i jest obserwowane

jako działanie sił grawitacyjnych!

Inną konsekwencją tej teorii są np.:

- powiększenie się długości fali światła emitowanego

przez źródło, mające masę – grawitacyjne

przesunięcie ku czerwieni;

- zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy.


Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje

odkształcenie czasoprzestrzeni, a odkształcona

czasoprzestrzeń wyznacza ruch poruszających się w niej

mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych obiektów

przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej.

Ilustracja koncepcji o ugięciu czasoprzestrzeni w pobliżu

ciała o dużej masie zakrzywiającego czasoprzestrzeń.

Zaburzenie ruchu planet przez ugięcie czasoprzestrzeni w

pobliżu ciał o dużej masie

Ogólna teoria względności


Rys. Albert Einstein (1879 - 1955), jako człowiek stulecia z okładki magazynu Time.

Mechanika relatywistyczna – materiały dodatkowe (dla chętnych)


Transformacja czasu - wyprowadzenie

Skorzystamy z postulatu o równouprawnieniu obu układów odniesienia. Transformacja odwrotna

do transformacji (8.8) powinna więc mieć postać (8.9):

(znak „+” odpowiada przeciwnemu kierunkowi ruchu układu „nieprimowanego” względem „primowanego”).

Podstawiając wyrażenie (8.8*) do wzoru (8.9) znajdujemy:

skąd, wyznaczamy czas t’:

(9.12)

(9.13)

(9.14)

(9.15)

Mechanika relatywistyczna – materiały dodatkowe (dla chętnych)


Czynnik występujący przy współrzędnej x można wyrazić jako:

Transformację czasu określa więc wyrażenie:

Ostatecznie wzory opisujące transformacji Lorentza:

(9.16)

(9.15) (9.16)

(9.17)

(9.9*)



Rys. przedstawia górną część czasoprzestrzeni,

dla której czas jest dodatni, czyli od teraźniejszości

w przyszłość.

Zaznaczono zdarzenie teraźniejszości i trzy

zdarzenia w przyszłości:

a) wewnątrz stożka świetlnego,

b) na zewnątrz stożka świetlnego oraz

c) na stożku świetlnym.

Kolorem zielonym zaznaczono obszar na zewnątrz

stożka światła.

Wzór na interwał czasoprzestrzenny przybierze

postać:

Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego,

od teraźniejszości do przyszłości.

dt

dx

t

x

dx

dt

(9.38)


Kwadrat odległości dwóch punktów w przestrzeni Euklidesowej jest równy

(twierdzenie Pitagorasa): 222 )()()( dydxds


Na rys. ukazano trzy możliwe wartości interwału

(współrzędne: t, x) :

a) interwał typu czasowego, może

istnieć związek przyczynowo – skutkowy między

zdarzeniami, zdarzenia leżą wewnątrz stożka

świetlnego (rys. linia czerwona), rzeczywisty;

b) interwał typu przestrzennego, nie ma związku

przyczynowo – skutkowego między zdarzeniami,

zdarzenia wewnątrz i na zewnątrz stożka świetlnego

(rys. linia niebieska), zespolony;

Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego,

od teraźniejszości do przyszłości.

dt

dx

t

x

dx

dt

0)( 2 sxtc

c) interwał zerowy, zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym, zdarzenia na

pobocznicy stożka świetlnego (rys. linia żółta).

0)( 2 sxtc

0)( 2 sxtc

(9.39)

(9.40)

(9.41)



Dziękuję za uwagę !

H. J. Brown MECHANIKA RELATYWISTYCZNAdana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/2017/w9_Mechanika... ·...

Documents

Transcript of H. J. Brown MECHANIKA RELATYWISTYCZNAdana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/2017/w9_Mechanika... ·...