Modele autoregresyjne, czyli jak uchwycić opóźnienia ?

Modele autoregresyjne,

czyli jak uchwycić opóźnienia ?

Proces błądzenia przypadkowegoProces błądzenia przypadkowego ttt yy 1

11 y 21212 yy

t

ty1

2)var(

)(

ty

tyE

t

t00)(0 tyE t

)()var(02 tfyt

Proces niestacjonarnyProces niestacjonarny

Proces błądzenia przypadkowegoProces błądzenia przypadkowego

t

ttt yy1

1

11 z

2122 yyz

tttt yyz 1

2)var(

0)(

t

t

z

zE

RRóóżżnniiccoowwaanniiee

Szereg zintegrowany

pierwszego stopnia~I(1)

RóżnicowanieRóżnicowanie

Proces sprowadzania szeregu do postaci

stacjonarnej

Poziom różnicowaniaile razy szereg powinien

być różnicowany byosiągnąć stacjonarność

Szeregi stacjonarne stała w czasie:

- średnia, - wariancja,

- autokorelacja.

MAMA Proces średniej ruchomejProces średniej ruchomej

qtqttty ...110

Wymóg odwracalnościWymóg odwracalności

Każdy element szeregu pozostaje pod wpływem

realizacji z okresów przeszłych

q - wielkość opóźnienia

q...0parametry modelu średniej ruchomej

Rozwiązanie: procedury iteracyjne z SKR->min

t

tty1

ARAR Proces autoregresyjnyProces autoregresyjny

t

p

iitit yy

10

Wymóg stacjonarnościWymóg stacjonarności

p...0parametry modelu

W szeregu występują opóźnienia

p - rząd autoregresji

t

p

iitit yy

10 lnln

szeregi są stacjonarne lub niestacjonarne sprowadzalne do stacjonarnych

),( ,...,1 tpttt yyfy

=> ograniczenia na parametry

Rozwiązanie: KMNK, układ równań Yule’a-Walkera

Model autoregresyjny średniej ruchomejModel autoregresyjny średniej ruchomejBox, Jenkins (1976)

Połączenie procesów AR oraz MA w celu zwiększenia elastyczności w budowie modelu

qtqtt

ptptt yyy

...

...

110

110

Model autoregresyjny średniej ruchomejModel autoregresyjny średniej ruchomej

Identyfikacjapoprzez różnicowanie sprowadzenie szeregu do szeregu stacjonarnego

analiza wykresu danych, korelogramporównanie empirycznych i teoretycznych funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej

Identyfikacjapoprzez różnicowanie sprowadzenie szeregu do szeregu stacjonarnego

analiza wykresu danych, korelogramporównanie empirycznych i teoretycznych funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej

Estymacjaprocedury iteracyjne

Estymacjaprocedury iteracyjne

Weryfikacjabłąd standardowy, badanie autokorelacji reszt

Weryfikacjabłąd standardowy, badanie autokorelacji reszt

Prognozowanieestymacja na podstawie danych przekształconych,

wygenerowanie prognoz - odwrócenie transformacji,oszacowanie błędu prognozy

Prognozowanieestymacja na podstawie danych przekształconych,

wygenerowanie prognoz - odwrócenie transformacji,oszacowanie błędu prognozy

AAuto- uto- RRegressiveegressiveIIntegratedntegratedMMovingovingAAverageverage

p - parametry autoregresyjne

d - rząd różnicowania

q - parametry średniej ruchomej

ARIMA (p,d,q)

ARIMA (0,1,2)

model sezonowy ARIMA (0,1,2) (0,1,1)

Wykr. zmiennej: SZEREG_G

Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach); x-104,

Numery obs.

SZ

ER

EG

_G

-100

0

100

200

300

400

500

600

-100

0

100

200

300

400

500

600

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiARIMAARIMA

Sezonowośćmultiplikatywna

=> przekształcenielogarytmiczne


Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach); ln(x)

Numery obs.

SZ

ER

EG

_G

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

ARIMAARIMAFaza identyfikacjiFaza identyfikacji

logarytmowanielogarytmowanie

Zmienność ustabilizowana

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiautokorelacjeautokorelacje

ARIMAARIMA

Funkcja autokorelacji

SZEREG_G: Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach); ln(x)

(Błędy standardowe to oceny białego szumu)

1827, 0,0001785, 0,0001738, 0,0001691, 0,0001647, 0,0001605, 0,0001564, 0,0001522, 0,0001477, 0,0001428, 0,0001373, 0,0001311, 0,0001240, 0,0001158, 0,0001065, 0,000974,3 0,000887,4 0,000803,6 0,000721,9 0,000638,4 0,000551,2 0,000459,4 0,000361,3 0,000253,4 0,000133,7 0,000 Q p

25 +,484 ,0752 24 +,520 ,0755 23 +,517 ,0759 22 +,506 ,0762 21 +,498 ,0765 20 +,490 ,0768 19 +,501 ,0771 18 +,519 ,0774 17 +,544 ,0777 16 +,576 ,0780 15 +,618 ,0783 14 +,663 ,0786 13 +,717 ,0789 12 +,762 ,0792 11 +,758 ,0795 10 +,744 ,0798 9 +,734 ,0801 8 +,727 ,0804 7 +,738 ,0807 6 +,756 ,0810 5 +,779 ,0813 4 +,808 ,0816 3 +,851 ,0819 2 +,899 ,0822 1 +,954 ,0825

Opóźn Kor.S.E

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Silnezależności


Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach); ln(x); D(-1)

Numery obs.

SZ

ER

EG

_G

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiróżnicowanie różnicowanie niesezonoweniesezonowe

ARIMAARIMA

y(t)-y(t-1)n-1 obserwacji


SZEREG_G: Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach); ln(x); D(

328,4 0,000321,5 0,000226,9 0,000220,0 0,000219,1 0,000217,1 0,000197,9 0,000195,7 0,000195,7 0,000195,3 0,000182,6 0,000180,4 0,000177,3 0,000169,9 ,000057,83 ,000051,17 ,000049,31 ,000047,24 ,000029,83 ,000127,95 ,000127,85 ,000026,79 ,000011,31 ,0102 7,95 ,0188 5,83 ,0158 Q p

25 +,197 ,0754 24 +,737 ,0758 23 +,199 ,0761 22 -,075 ,0764 21 -,107 ,0767 20 -,337 ,0770 19 -,114 ,0773 18 +,012 ,0776 17 -,052 ,0780 16 -,279 ,0783 15 -,116 ,0786 14 -,140 ,0789 13 +,215 ,0792 12 +,841 ,0795 11 +,206 ,0798 10 -,109 ,0801 9 -,116 ,0804 8 -,337 ,0807 7 -,111 ,0810 6 +,026 ,0813 5 -,084 ,0816 4 -,322 ,0819 3 -,151 ,0822 2 -,120 ,0825 1 +,200 ,0828

Opóźn Kor.S.E

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiróżnicowanieróżnicowanie

ARIMAARIMAAutokorelacje

po różnicowaniu (niezależne)

Sezonowość dla 12


ln(x); D(-1); D(-12)

Numery obs.

SZ

ER

EG

_G

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

ARIMAARIMA

y(t)-y(t-12)n-13 obserwacji

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiróżnicowanie różnicowanie

sezonowesezonowe


SZEREG_G: ln(x); D(-1); D(-12)


75,92 ,000074,27 ,000074,21 ,000066,17 ,000064,83 ,000064,60 ,000062,46 ,000062,44 ,000062,40 ,000061,65 ,000058,72 ,000055,36 ,000054,87 ,000051,47 ,000029,59 ,001828,99 ,001328,15 ,000923,71 ,002623,70 ,001323,27 ,000723,14 ,000322,71 ,000122,65 ,000017,09 ,000215,60 ,0001 Q p

25 -,100 ,0780 24 -,018 ,0784 23 +,223 ,0787 22 -,091 ,0791 21 +,039 ,0795 20 -,117 ,0798 19 -,011 ,0802 18 +,016 ,0805 17 +,070 ,0809 16 -,139 ,0812 15 +,150 ,0816 14 -,058 ,0819 13 +,152 ,0823 12 -,387 ,0826 11 +,064 ,0830 10 -,076 ,0833 9 +,176 ,0837 8 -,001 ,0840 7 -,056 ,0844 6 +,031 ,0847 5 +,056 ,0850 4 +,021 ,0854 3 -,202 ,0857 2 +,105 ,0860 1 -,341 ,0864

Opóźn Kor.S.E

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Faza identyfikacjiFaza identyfikacjiróżnicowanieróżnicowanie

ARIMAARIMA

Parametrymodelu

sezonowego

ARIMAARIMA Faza estymacjiFaza estymacjiparametrówparametrów

ARIMA (0,1,1) (0,1,1) opóźnienie sezonowe 12

liczba parametrów autoregresyjnych

liczba parametrów średniej ruchomej

liczba przebiegówróżnicowania

R2 = 66,5%q=0,401 qs=0,557 (0,091) (0,074)

Normalny wykres prawd.: SZEREG_G

ARIMA (0,1,1)(0,1,1) reszty ;

Wartość

Ocz

eki

wa

na

wa

rto

ść n

orm

aln

a

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0,14 -0,10 -0,06 -0,02 0,02 0,06 0,10 0,14

WeryfikacjaWeryfikacjarozkład resztrozkład reszt

ARIMAARIMA

Założenia:- reszty mają rozkład normalny,-nie ma innej szeregowej korelacji reszt

Normalny wykres prawd. bez trendu: SZEREG_G

ARIMA (0,1,1)(0,1,1) reszty ;

Wartość

Od

chyl

en

ie o

d w

art

ośc

i ocz

eki

wa

ne

j

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,14 -0,10 -0,06 -0,02 0,02 0,06 0,10 0,14

WeryfikacjaWeryfikacjarozkład resztrozkład reszt

ARIMAARIMA

Oczekiw.Normal

Histogram; zmienna: SZEREG_G

ARIMA (0,1,1)(0,1,1) reszty ;

Górna granica (x<=granica)

Lic

z. o

bs

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-0,18-0,16

-0,14-0,12

-0,10-0,08

-0,06-0,04

-0,020,00

0,020,04

0,060,08

0,100,12

0,140,16

0,18

ARIMAARIMA WeryfikacjaWeryfikacjarozkład resztrozkład reszt


SZEREG_G: ARIMA (0,1,1)(0,1,1) reszty ;


9,24 ,8644

8,79 ,8445

8,62 ,8010

8,60 ,7365

8,33 ,6838

8,32 ,5981

7,74 ,5602

5,86 ,6632

5,76 ,5677

5,30 ,5057

4,66 ,4587

4,06 ,3979

2,31 ,5104

,13 ,9392

,04 ,8421

Q p

15 +,055 ,0816

14 +,033 ,0819

13 +,011 ,0823

12 -,043 ,0826

11 +,009 ,0830

10 -,063 ,0833

9 +,115 ,0837

8 -,026 ,0840

7 -,057 ,0844

6 +,068 ,0847

5 +,066 ,0850

4 -,113 ,0854

3 -,127 ,0857

2 +,025 ,0860

1 +,017 ,0864

Opóźn Kor. S.E

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

ARIMAARIMA WeryfikacjaWeryfikacjaautokorelacja resztautokorelacja reszt

Prognoza; Model: (0,1,1)(0,1,1) Opóź. sezon.: 12

Dane: SZEREG_G: Miesięczna liczba pasażerów (w tysiącach)

Początek bazy: 1 Koniec bazy: 144

Obserw. Prognoza ± 90,0000%

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Faza prognozowaniaFaza prognozowaniaARIMAARIMA

- Niełatwa, wymaga dużego doświadczenia

- Technika złożona

Uwagi dotyczące Uwagi dotyczące ARIMAARIMA

+ Metoda elastyczna - nie wymaga wyraźnej struktury szeregu

+ Daje na ogół dobre prognozy

- Wymaga dużej liczby obserwacji n>50

Wykr. zmiennej: TELEFONY

Liczba połączeń w setkach

Numery obs.

TE

LE

FO

NY

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200??????

Nagła trwała zmianaNagła trwała zmiana

Szeregi Szeregi ARIMA ARIMA z interwencjąz interwencją

czas

y

impuls

tgdy

tgdyyt

0{

Narastająca zmianaNarastająca zmiana


czas

y

impuls

tgdyy

tgdyy

tt

1

0{

tgdyy

tgdy

tgdy

y

t

t

1

0Nagła znikająca zmianaNagła znikająca zmiana


czas

y

impuls

1. M.Cieślak (red.) Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN’972. A. Zeliaś, B.Pawełek, S.Wanat Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania PWN’2003

3. J.Gajda Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wydawnictwo C.H. Beck 2001

4. E.Nowak (red.) Prognozowanie gospodarcze. Metody, modele, zastosowania, przykłady Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa 1998

5. P.Dittmann Metody prognozwania sprzedaży w przedsiębiorstwie,Wydawnictwo AE im. O.Langego we Wrocławiu ‘986. K.Kolenda, M.Kolenda Analiza i prognozowanie szeregów czasowych. Agencja Wydawnicza Placet’99

7. Statistica PL dla Windows. Statystyki II.

Wykorzystano dane i przykład załączone do pakietu STATISTICA PL

LiteraturaLiteratura

Modele autoregresyjne, czyli jak uchwycić opóźnienia ?

Documents

Transcript of Modele autoregresyjne, czyli jak uchwycić opóźnienia ?