Modele zmienności aktywów ryzykownych

Model addytywny

Rozkład ceny końcowej – związek z rozkładem normalnym

Model addytywny zmienności zmienności aktywów z czasem z czasem dyskretnym dyskretnym

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

S(0) - cena początkowa waloru

S(k) - cena waloru w k-tym etapie.

u(k) , k = 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ2. Ciąg ten interpretujemy jako losowe fluktuacje.

Model addytywny

Rozważmy model ceny aktywa postaci(1) S(k+1) = a S(k) + u (k)gdzie k=0,1,2,... zaś a jest pewną stałą rzeczywistą,

dodatnią decydującą o trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest wzrostowy.

Znając wartości u(0),..,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n).

W tym modelu cena waloru w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym oraz od losowej fluktuacji.

Model addytywny

Ze wzoru (1) otrzymujemyS(1) = aS(0) + u(0) ,S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)= = a2S(0) + au(0) + u(1) S(3) = aS(2)+u(2) = a [a2S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)= = a3S(0) + a2u(0) + au(1) + u(2)Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k:

(2) S(k) = akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).

Model addytywny

Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu).

Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości :

S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…

…+a u(k-2) + u(k-1)] + u (k) =

=ak+1S(0) + aku(0) + ak-1u(1) +…+a2 u(k-2) + au(k-1) + u (k)

oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)

Model addytywny. Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana zmiennej S(k).

Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia

E[u(k)]= μ dla każdego k mamy

E[S(k)] =E( akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))=

= akE[S(0)] + ak-1E[u(0)] + ak-2E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+ E[u(k-1)] = akS(0) +

ak-1 μ + ak-2 μ +…+a μ + μ

(3) E[S(k)]= akS(0) + μ(1-ak)/(1-a), o ile a nie jest równe 1

(3’) E[S(k)]= S(0) + k μ, gdy a=1

(3’’) E[S(k)]= akS(0), gdy μ = 0

Model addytywny. Wariancja ceny

Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy

Var [S(k)] = Var [akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =

= Var [ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =

= Var [ak-1u(0)] + Var[ak-2u(1)] +…+Var[u(k-1)] =

= (ak-1)2 Var [u(0)]+ (ak-2)2 Var [u(1)]+…+ a2 Var [u(k-2)] + Var [u(k-1)]=

= a2(k-1)σ2+ a2(k-2)σ2 +…+a2σ2 +σ2 =

= (1+a2+a4+…+a2k-2) σ2= σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1

(4) Var [S(k)] = σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1

(4’) Var [S(k)] = k σ2, dla a = 1

Symulacje w modelu addytywnym (a=1). Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowa wahanie jest zmienną o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0;1)

30

35

40

45

50

55

60

65

70

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109

121

133

145

157

169

181

193

205

217

229

241

253

265

277

289

301

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku.

Histogram częstości

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109

121

133

145

157

169

181

193

205

217

229

241

253

265

277

289 0 2 4 6 8 10 12 14 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym

S(k+1) = S(k) + u (k)u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi

prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1)(5) Sn= u (0) + u (1) +…+ u (n-1)(6) S(n) = S(0) + Sn

Sn wyraża zmianę ceny po n etapach

Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5(σ-0)2 + 0,5(-σ-0)2 = σ2

E[Sn]= 0 Var Sn = Ʃni=1 Var [u (i)] = n σ2

Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy

E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ2

Oznaczając przez σn odchylenie standardowe zmiennej Sn, mamy

(7) σn = σ n

Centralne twierdzenie graniczne

Standaryzacja zmiennej losowej Sn

S*n = (Sn-E(Sn))/σn

Uwzględniając poprzednie wyliczenia

S*n= Sn/ σ n

TW (CTG) Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych)

oraz E Xi = m, Var Xi = σ2 dla i=1,…,n. Sn = X1 + X2 +… + Xn. Wtedy

(8)

(9)

b

a

nn dx

xb

n

mnSaP )

2exp(

2

1}{lim

2

b

a

nn dxx

bSaP )2

exp(2

1}{lim

2*

W przypadku m = 0 mamy

W szczególności

b

a

nn dx

xb

n

SaP )

2exp(

2

1}{lim

2

9545,0)2

exp(2

1}22{

6827,0)2

exp(2

1}{

)2

exp(2

1}{lim

)2

exp(2

1}11{lim

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

dxx

nSnPponadto

dxx

nSnPczyli

dxx

nSnP

dxx

n

SP

n

n

nn

nn

Przykład 1 Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt.

Zakładamy, że każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o 10 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 50?, po 100 ?)

Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności wykorzystamy przybliżenie

Ponieważ σ = 10, n=30 mamy więc

Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając S(n) = S(0) + Sn mamy

9545,0)2

exp(2

1}22{

2

2

2

dxx

nSnP n

9545,0}30203020{ nSP

9545,0}54,2709)30(46,2490{ SP

Przykład 1

Dla 50 i 100 dni mamy odpowiednio

}00,2800)100(00,2400{}1002010020{

}42,2741)50(58,2458{}50205020{

9545,0}22{

100

50

SPSP

SPSP

nSnP n

Przykład 1

Zależność w ielkości przedziału dwóch sigm od liczby dni

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

3500,00

liczba dni

dolnykraniecprzedziału

górnykraniecprzedziału

Przykład 2 Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs

może zmienić się o 10 punktów, wzrost z prawdopodobieństwem 0,55 lub spadek z prawdopodobieństwem 0,45. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,6827 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 100 ?)

EXi=10*0,55+(-10)*0,45=1;

War Xi = (10 -1)2 0,55 + (-10 -1)2 0,45 = 99 = σ2 ; σ = 9,95 (zaokrąglenie do 2 miejsc)

6827,0}50,2684)30(50,2575{}50,842600)30(50,242600{

6827,0}50,8450,24{}3013095,93013095,9{

6827,0}{

6827,0)2

exp(2

1}11{

)2

exp(2

1}{

)2

exp(2

1}{lim

3030

1

1

2

2

2

SPSP

SPSP

mnnSmnnP

dxx

n

mnSP

dxx

bn

mnSaP

dxx

bn

mnSaP

n

n

b

a

n

b

a

nn

Przykład 2

Dla n=100 przeprowadzamy podobne wyliczenia

Otrzymujemy przedział (2600,50; 2799,50)

6827,0}50,2799)100(50,2600{

}50,1992600)100(50,02600{

}50,19950,0{}10050,9910050,99{

}100110095,9100110095,9{

6827,0}{

100100

100

SP

SP

SPSP

SP

mnnSmnnP n

Centralne twierdzenie granicznewersja Moivre’a – Laplace’a

Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,n), P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1,

Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy:

Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq

E Sn=np; Var Sn = npq

TW Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość

(10) lub równoważnie

}{)(,}{ kSPkPniechqpk

nkSP nn

knkn

b

a

nn dx

xb

npq

npSaP )

2exp(

2

1}{lim

2

b

a

nn dxx

npnpqbSnpnpqaP )2

exp(2

1}{lim

2

Centralne twierdzenie granicznewersja Moivre’a – Laplace’a

Ostatnie równości mogą być zapisane różne sposoby:

npq

npmtdx

xkPczyli

npq

npmtdx

xkP

npq

npmtdx

xmSmP

dxx

npnpqbSnpnpqaP

dxx

bnpq

npSaP

ii

t

t

m

mkn

ii

t

t

m

mknn

ii

t

t

nn

b

a

nn

b

a

nn

;)2

exp(2

1)(

;)2

exp(2

1)(lim

;)2

exp(2

1}{lim

)2

exp(2

1}{lim

)2

exp(2

1}{lim

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

2

Przykład 3

Cena akcji pewnej spółki wynosi 500 zł. Zakładamy, że każdego dnia kurs rośnie o 1 zł z prawdopodobieństwem 0,55 i pozostaje niezmieniony z p-stwem 0,45. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1000 dniach cena będzie się mieściła w przedziale [1020;1070] ?

8699,0)2

exp(2

1

27128,145,055,01000

55,01000570

90693,145,055,01000

55,01000520

;)2

exp(2

1}570520{

27128,1

90693,1

2

2

1

2

1000

2

1

dxx

t

t

npq

npmtdx

xSP i

i

t

t

Lokalne twierdzenie graniczne Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o

jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,i=n) P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1,Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy:

Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq; E Sn=np; Var Sn = npq TW. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość

(11)

Uwaga. Wszystkie liczby n,k, (n-k) muszą być dostatecznie duże by korzystać z ostatniego przybliżenia.

}{)(,}{ kSPkPniechqpk

nkSP nn

knkn

)exp(2

1}{

lub

)exp(2

1}{lim

2

21

2

21

,

npq

npk

npqkSP

inaczej

npq

npk

npqkSP

n

nkn