Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmienności Cen Na Rynkach Towarowych

5/20/2018 Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmiennoci Cen Na Rynkach Towarowych

1/29

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Wydzia Zarz adzania

Kierunek: Analityka Gospodarcza

JAN C ZERNECKI

MODEL MSM W ANALIZIE ZMIENNOSCI CEN

NA RYNKACH TOWAROWYCH

Praca licencjacka

napisana w Katedrze Ekonometrii i Badan Operacyjnychpod kierunkiem prof. dr hab. Jacka Osiewalskiego

czerwiec 2014


2/29

Spis tresci

Wstep 2

1 Rynki towarowe 3

1.1 Podstawowe wiadomosci o rynkach towarowych . . . . . . . . . . . 31.2 Wasnosci szeregw czasowych z rynkw towarowych . . . . . . . 4

1.2.1 Rozkady empiryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Autokorelacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Krtka i duga pamiec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Model MSM 9

2.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Model MSM z rozkadem dwupunktowym . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Estymacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Alternatywne modele zmiennosci 13

3.1 Modele klasy GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Model GJR-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Model EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Ukryte modele Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Zastosowanie modeli zmiennosci 16

4.1 Analiza badanego szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Porwnanie modeli zmiennosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Analiza reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Wartosc zagrozona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Podsumowanie 26

1


3/29

Wstep

W ci agu ostatnich kilku dziesiecioleci nast api znaczny rozwj zarwno w dzie-

dzinie modeli finansowych szeregw czasowych jak i na polu teorii fraktali, niew at-

pliwie zwi azany w duzej mierze z postepem technicznym i zwiekszeniem mozliwo-

sci obliczeniowych komputerw. Wsrd ciekawych prb po aczenia obu dziedzin

na uwage zasuguje m.in. Fraktalny Model z Prze aczaniem Markowa (ang. Markov

Switching Multifractal Model, MSM) zaproponowany w 2008 roku przez Calveta

i Fishera. Niniejsza praca stanowi prbe prezentacji interesuj acego modelu teore-

tycznego oraz sprawdzenia jego przydatnosci w badaniu zmiennosci przykadowych

szeregw czasowych pochodz acych z rynkw towarowych, jak rwniez skonfron-

towania go z innymi modelami uzywanymi w takich analizach.

Praca zostaa zorganizowana w nastepuj acy sposb. W rozdziale 1 przedsta-

wiono charakterystyke rynkw towarowych oraz szeregw stp zwrotw z nich

pochodz acych. Rozdzia 2 zawiera opis modelu MSM wraz z metodami jego es-

tymacji. Rozdzia 3 poswiecony jest alternatywnym modelom zmiennosci, przede

wszystkim wybranym przykadom z szerokiej klasy GARCH oraz ukrytym mode-lom Markowa, natomiast rozdzia 4 obejmuje praktyczne zastosowania wprowadzo-

nych wczesniej modeli wraz z porwnaniem uzyskanych w ich wyniku rezultatw.

Modelowi MSM poswiecona jest przede wszystkim ksi azka jego autorw [1]

oraz prace Luksa [3], [2]. Pozycje te, a zwaszcza pierwsza z nich, stanowiy pod-

stawe do napisania niniejszej pracy. Niezwykle uzytecznym zrdem informacji, za-

rwno teoretycznych, jak i praktycznych, w szczeglnosci w temacie modeli klasy

GARCH, by podrecznik Domanw [4]. Ukryte modele Markowa szeroko opisuj a

Zucchini i MacDonald [11]. Kwestie odnosz ace sie do rynkw towarowych om-

wione s a np. w pracach Schofielda [10] oraz Gortona i Rouwenhorsta [7], a empi-

ryczne wasnosci finansowych szeregw czasowych - w artykule Conta [8]. Zagad-nienia dotycz ace wartosci zagrozonej przedstawia m.in. podrecznik pod redakcj a

Jajugi [5].

2


4/29

Rozdzia 1

Rynki towarowe

1.1 Podstawowe wiadomosci o rynkach towarowych

Rynki towarowe to rynki, na ktrych handluje sie surowcami lub produktami

o niskim stopniu przetworzenia, gwnie kopalinami i produktami rolnymi. Po-

siadaj ac niezwykle dug a historie (sugerowan a nawet na kilka tysiecy lat [12]) od

wiekw zapewniaj a mozliwosc zarz adzania ryzykiem, zwi azanym np. z kleskami

niedoboru i urodzaju. Obecnie wyrznia sie na swiecie okoo 50 gwnych rynkw

towarowych.

Charakterystycznymi cechami rynkw towarowych s a: trwaosc i daj aca sie uj ac

w standardy jednorodnosc wystepuj acych na nich dbr, istnienie masowej podazy

i popytu na nie, rozlege uzycie instrumentw pochodnych, zwaszcza kontraktwterminowych oraz przewaga rozliczen pienieznych nad fizyczn a dostaw a zakupio-

nych produktw.

Na rynkach towarowych szerokie zastosowanie znajduj a instrumenty pochodne,

w szczeglnosci kontrakty terminowe forward and futures. S a to umowy dwu-

stronne, w ktrych jedna strona zobowi azuje sie do sprzedazy, zas druga do nabycia,

okreslonego dobra w wyznaczonym, przyszym terminie po ustalonej w momencie

zawierania transakcji cenie i w uzgodnionej ilosci b adz dokonania rwnowaznego

rozliczenia finansowego. St ad kontrakt terminowy, w swoim historycznym przezna-

czeniu, stanowi dla kupuj acego mozliwosc zabezpieczenia sie przed wzrostem cen

instrumentu bazowego w przyszosci, zas dla sprzedaj acego - przed ich spadkiem.Rznica miedzy kontraktami forward i futures polega na stopniu ich uregulowa-

nia - te pierwsze s a bowiem zawierane indywidualnie pomiedzy zainteresowanymi

stronami i ich szczegy s a ustalane z duz a dowolnosci a, natomiast te drugie stano-

wi a przedmiot obrotu giedowego, st ad ich daleko posunieta standaryzacja. Czyni

to kontrakty futures mniej dostosowanymi do potrzeb konkretnych nabywcw, rw-

noczesnie znacz aco zwiekszaj ac ich pynnosc.

3


5/29

ROZDZIA 1. RYNKI TOWAROWE 4

Obecnie wiekszosc kontraktw terminowych - szczeglnie kontraktw futures -

jest rozliczana bez fizycznej dostawy nabytego dobra przez wypate odpowiedniej

kwoty pieniedzy.

1.2 Wasnosci szeregw czasowych z rynkw towaro-

wych

W literaturze dotycz acej finansowych szeregw czasowych czesto zwraca sie

uwage na fakt,ze posiadaj a one pewne cechy szczeglne, wsplne dla wielu z nich.

Istotnosc stylized facts, jak zwykle okresla sie te wasnosci charakterystyczne, dla

modelowania szeregw stp zwrotu zacheca do zbadania, jak sprawdzaj a sie one w

przypadku notowan z rynkw towarowych.

W tym celu wybrano wszystkie 31 kontraktw futures, dla ktrych dane histo-ryczne dostepne s a w serwisie stooq.pl. Dla szeregu logarytmicznych stp zwrotw

kazdego z nich zbadano wystepowanie typowych faktw empirycznych, ktrych

obszern a liste mozna znalezc m.in. w podreczniku Domanw [4] lub pracy Conta

[8].

1.2.1 Rozkady empiryczne

Rozkady empiryczne, odpowiadaj ace teoretycznym rozkadom bezwarunko-

wym badanych szeregw, charakteryzoway sie bardzo wysok a kurtoz a. We wszyst-

kich przypadkach bya ona wyzsza od 0, czesto dwucyfrowa, zas dla kontraktu Soy-bean Futures wynosia ponad 120. Wyniki ilustruje zamieszczony na nastepnej stro-

nie histogram.

Mimo iz w wiekszosci (okoo 2/3) przypadkw, zgodnie z przewidywaniami,

rozkady charakteryzoway sie lewostronn a skosnosci a, niekiedy dosc mocn a, w

sporej grupie wasnosc ta nie wystepowaa. Oznacza to, ze dla niektrych szere-

gw nad duzymi skokami ujemnymi przewazay duze skoki dodatnie, co nie jest

sytuacj a typow a.

Test Jarque-Bera, podobnie jak inne tradycyjne testy, silnie odrzuci normalnosc

rozkadu zwrotw w kazdym z badanych przypadkw.

Wyniki te s a w wiekszosci zgodne z faktami empirycznymi podawanymi w lite-raturze jako charakterystyczne wasciwosci finansowych szeregw czasowych.


6/29


0 20 40 60 80 100 120

0

2

4

6

8

10

Rysunek 1.1: Histogram kurtozy w prbie 31 badanych szeregw

1.2.2 Autokorelacje

Przy badaniu autokorelacji posuzono sie testem Ljunga-Boxa. Autokorelacje

w kwadratach i w wartosciach bezwzglednych okazay sie istotne w kazdym przy-padku, co jest zgodne z wasnosciami finasowych szeregw czasowych obserwo-

wanymi powszechnie. Zdziwienie moze budzic stosunkowo duza liczba istotnych

autokorelacji prostych wystepuj acych az w 25 z 31 badanych kontraktw futures.

1.2.3 Krtka i duga pamiec

Definicje

Jedn a z istotnych charakterystyk szeregu czasowego jest dugosc jego pamieci

lub inaczej trwaosc zaleznosci miedzy nowymi a przeszymi wartosciami.

Przy zaozeniu,ze badany procesrtjest kowariancyjnie stacjonarny mwimy,zema on krtk a pamiec, jesli spenia dwa warunki:

jego funkcja autokowariancji (h) = cov(rt, rth) jest bezwzglednie sumo-walna tzn.h= |(h)|


7/29


0 dla [,], gdzie

f(

):

=

1

2

h=

(h

)eih

.

Warunkiem wystarczaj acym na posiadanie krtkiej pamieci jest, dla procesw ko-

wariancyjnie stacjonarnych, wykladnicze zanikanie funkcji autokowariancji.

O dugiej pamieci lub dugookresowej zaleznosci w przypadku kowariancyjnie

stacjonarnego procesurtmwimy, gdy istnieje liczbad (0,12

)taka,ze procesxt=

(1 L)drtma krtk a pamiec. Uzyty w definicji operator okreslony jest nastepuj aco:

(1 L)d =1

j=1

djLj,

gdzied1=d,dj= j1d

j dj1dla j>1, a Ljest operatorem opznienia: Lrt=rt1.

Intuicyjn a wasnosci a procesw z dug a pamieci a jest wolne zanikanie funkcji

autokorelacji, ktra przyh przyjmuje postac:

(h) (h)h(12d),

gdzie jest funkcj a zmieniaj ac a sie powoli w nieskonczonosci:

s>0: limt

(ts)

(t) =1.

Test Lo

Jednym ze sposobw na badanie, czy dany szereg posiada dug a pamiec, jest test

Lo [9], ktry rozwija idee analizy przeskalowanego zakresu i wykadnik Hursta.

Statystyka testowa dana jest wzorem:

QT(q) = 1

s2T,qT

max

1kT

k

j=1

(rj r) min1kT

k

j=1

(rj r)

,

gdzie r= 1

TT

j=1 rj, a s2

T,qto estymator wariancji dugookresowej procesurtzadanyrwnaniem:

s2T,q= 1

T

T

j=1

(rj r)2 + 2

q

j=1

1

j

q + 1

(j),

w ktrym

(j) = 1

T

Tj

i=1

(rj r)(ri+j r).


8/29


Przeciwko hipotezie alternatywnej, mwi acej o istnieniu zaleznosci dugookre-

sowych, testujemy hipoteze zerow a o ich braku. W przypadku jej prawdziwosci

oraz przy pewnych technicznych zaozeniach o badanym procesiertznamy asymp-

totyczny (przyq w taki sposb,ze przyT zachodzi qT 0) rozkadstatystyki testowej:

QT(q) UR/S= max0t1

V(t) min0t1

V(t),

gdzie V(t)jest standardowym mostem Browna.Dystrybuante zmiennej UR/Sopisuje wzr:

FUR/S(x) =1 + 2

k=1

(1 4k2x2)e2k2x2.

Ponadto podstawowe kwantyle jej rozkadu mozna znalezc w pracy Lo [9] lub pod-

reczniku Domanw [4], z ktrego korzystano silnie przy pracy nad tym podrozdzia-

em.

Wyniki empiryczne

Omwiony powyzej test Lo przeprowadzono dla badanej prby 31 szeregw

stp zwrotw z kontraktw terminowych przyjmuj ac poziom ufnosci =5%.Rysunek 1.2 pokazuje wartosci statystyki testowej i granice obszaru krytycz-

negoZK= (; 0,809) (1,862;).Jak widac jedynie w trzech przypadkach testLo sugeruje,ze wystepuje duga pamiec. Bior ac pod uwage fakt,ze przy zaozonym

poziomie ufnosci = 5% przyjmujemy, iz wsrednio 1 przypadku na 20 mozemymylnie uznac,ze szereg bez dugiej pamieci tak a pamiec posiada nalezy przypusz-

czac,ze wasnosc ta wystepuje na rynkach towarowych rzadko, jesli w ogle.


9/29


0 5 10 15 20 25 30

0.

8

1.

2

1.

6

2.

0

Rysunek 1.2: Wartosci statystyki testowej Lo dla kolejnych szeregw

1.2.4 Podsumowanie

Z przeprowadzonego badania wynika, ze szeregi stp zwrotw z rynkw towa-

rowych posiadaj a wiele z czestych dla finansowych szeregw czasowych wasno-

sci. Charakteryzuj a sie wiec one rozkadami bezwarunkowymi o wysokiej kurtozie

i grubych ogonach oraz wysokimi autokorelacjami. Przypuszczalne sporadyczne

wystepowanie dugiej pamieci oraz mocna niekiedy skosnosc rozkadu bezwarun-

kowego mog a byc zatem jedynymi zauwazonymi problemami dla najbardziej kla-

sycznych modeli zmiennosci.


10/29

Rozdzia 2

Model MSM

Modele MSM - Multifraktalne modele z prze aczaniem Markowa, Markov Swit-ching Multifractal - zostay zaproponowane przez Calveta i Fischera jako intere-

suj aca alternatywa dla klasycznych modeli finansowych szeregw czasowych na-

wi azuj aca do teorii fraktali. Opieraj a sie one na idei nieobserwowalnego procesu,

ktrego wartosci wpywaj a na zachowanie rynku, a ktrego dynamike mozemy po-

srednio badac.

2.1 Definicja

Dla szeregu logarytmicznych stp zwrotw w penych punktach procentowych

rt,t= 0,1,2,...,Tmodelowane s a reszty z modelu autoregresyjnegoyt.Kluczowym skadnikiem modelu MSM rzedu K, reprezentuj acym sytuacje na

rynku w danym momencie, jest wektor stanw:

Mt= (M1,t;M2,t; ...;MK,t) RK+.

Jego elementami s a zmienne losowe o tym samym rozkadzie, jednak zmieniaj ace

sie z rzn a szybkosci a z okresu na okres.

Zazmy,ze znamy wartosci wektora stanw do momentu t1. Dla poszczegl-nych k {1,...,K} kolejne Mk,tz prawdopodobienstwemk jest losowane z usta-

lonego rozkadu M. W przeciwnym przypadku, a wiec z prawdopodobienstwem1 kprzyjmuje ono poprzedni a wartosc: Mk,t=Mk,t1. Odnosnie rozkadu M,jednego dla wszystkich k i t, zakadamy,ze ma on jednostkow a wartosc oczekiwan a

i jest okreslony na posi dodatniej:

X M P(X 0) =1,E(X) =1.

9


11/29

ROZDZIA 2. MODEL MSM 10

ElementyMk,ts a czynnikami wsplnie tworz acymi zmiennosc:

(Mt):= Ki=1M

k,t,

gdzie jest dodatni a sta a. Z kolei badany szereg reszt modelujemy jako iloczynzmiennosci i losowego szumu gaussowskiego:

yt= (Mt)t,

gdzie {t} s a niezaleznymi zmiennymi losowymi z rozkadu normalnegoN(0,1).Nalezy zauwazyc,ze przy powyzszych zaozeniach czynnikiMk,ts a nieujemne,

niezalezne dla rznychkoraz maj a wszystkie wartosc oczekiwan a rwn a 1. Wzrost

ktregos elementu wektora stanw, przy pozostaych nie zmienionych, powodujewzrost zmiennosci w modelu - st ad czynniki te odpowiadaj a za wahania zmiennosci.

Jej sredni poziom ustala z kolei parametr , ktry odpowiada bezwarunkowemuodchyleniu standardowemuyt.

Dla oszczednej parametryzacji prawdopodobienstwa przejscia zadane s a wzo-

rem:

k= 1 (1 1)(bk1),

gdzie1 (0,1), b (1,). Wartoscikrosn a wraz ze wzrostem indeksu k, po-zostaj ac jednak w przedziale (0,1). Wynika st ad, ze czynniki Mk,t dla maych kzmieniaj a sie najwolniej, wywieraj ac dugotrway wpyw na poziom zmiennosci,

zas za nieustanne jej wahania, poza czynnikiem losowym, odpowiadaj a elementywektora stanw o duzym indeksie k.

Przedstawion a konstrukcje nazywamy Multifraktalnym modelem z prze acza-

niem Markowa (ang. Markov Switching Multifractal) i oznaczamy MSM(K), gdzie

K jest ilosci a elementw w wektorze stanw, wielkosci a wybieran a, a nie szacowan a

na podstawie danych. Parametry w modelu MSM(K) stanowi a:

parametry rozkaduM,

(0,)- bezwarunkowe odchylenie standardowe zwrotw,

b (1,) i K (0,1) - parametry opisuj ace zestaw prawdopodobienstwprzejscia.

2.2 Model MSM z rozkadem dwupunktowym

Drugim, obok ilosci stanw, elementem determinuj acym wybr konkretnego

modelu z rodziny MSM jest rozkad M.


12/29


Szczeglnie prost a postac model przyjmuje w przypadku rozkadu dwupunk-

towego z rwnymi prawdopodobienstwami obu zdarzen. Wwczas, pamietaj ac o

zaozonym dodatnim nosniku i jednostkowejsredniej, mamy:

XM P(X=m0) =P(X=m1) =1

2

orazm1= 2 m0 im0,m1 0. St ad jako parametr opisuj acy rozkadMwystarczybracm0.

2.2.1 Estymacja

W przypadku, gdy rozkad Mjest dyskretny - wiec w szczeglnosci takze, gdy

jest rozkadem dwupunktowym - mozliwa i stosunkowo prosta jest estymacja para-

metrw metod a najwiekszej wiarygodnosci.

Niech M bedzie rozkadem dyskretnym i w konsekwencji niech wektor sta-

nw Mt przyjmuje skonczenie wiele wartosci m1,...,md RK+. Dodatkowo okre-

slamy jego macierz przejscia A = [ai j]1i,jd, ktrej elementy dane s a wzoremai j =P(Mt+1= j|Mt=i). Wartosci wektora stanw s a nieobserwowalne, jednakinformacji potrzebnych do budowy funkcji wiarygodnosci dostarczaj a m.in. praw-

dopodobienstwa warunkowe

jt =P(Mt= m

j|r1,...,rt),

ktre gromadzimy w wektorze wierszowym

t= (1t, ...,

dt) R

d+.

Modelowane reszty z autoregresji maj a, warunkowo ze wzgledu na stan, rozkad

normalny o gestosci fyt(y|Mt=mi) =n(y;2(mi)),gdzie n(.;2) oznacza gestosc

rozkadu normalnego o zerowejsredniej i wariancji rwnej 2. Wartosc 2(mi), od-powiadaj aca zmiennosci w danym stanie, musi byc wyliczana w zaleznosci od przy-

jetego rozkaduM. Dla zaozonego przypadku dwumianowego z rwnymi prawdo-

podobienstwami mozna zastosowac wzr:

2(mi) = 2ml0mKl1 = 2ml0(2 m0)Kl,

gdziel jest ilosci a wyst apienm0w staniemi.

Zapisuj ac(yt) = (n(yt;2(m1)),...,n(yt;

2(md)))mozemy wyliczyctreku-rencyjnie ze wzoru:

t= (yt) (t1A)

[(rt) (t1A)]1 ,


13/29


gdzie1 = (1,...,1) Rd orazx z = (x1z1,...,xdzd)dlax,z Rd. W zastosowaniach

przyjmuje sie za wartosc pocz atkow a0rozkad ergodyczny procesu Markowa, coprzy zaozonej niezaleznosci i przyjetym rozkadzie daje nam:

j0=

K

i=1

P(M= mji) =

1

2K.

Ostatecznie pozwala nam to podac wzr na logarytm funkcji wiarygodnosci:

lnL(y1,...,yT;) =T

t=1

ln((yt) (t1A)),

gdziex zoznacza iloczyn skalarny, zasjest wektorem parametrw, ktry w roz-

wazanym szczeglnym przypadku jest rwny(m0,,b,K).Przy ustalonym K estymator najwiekszej wiarygodnosci jest zgodny i asymp-

totycznie efektywny. Gwn a wad a tej metody jest duza zozonosc obliczeniowa,

ktra skutkuje niepraktycznie dugim i szybko rosn acym wraz zKczasem wylicza-

nia ocen parametrw.

Alternatywnie do wyznaczania ocen parametrw mozna posuzyc sie estymato-

rem uoglnionej metody momentw, ktry przy nieco gorszych wasnosciach em-

pirycznych jest obliczany sprawniej. Tematyke t a porusza artyku Luksa [2].


14/29

Rozdzia 3

Alternatywne modele zmiennosci

Dla porwnania wynikw empirycznych uzyskanych z przedstawionego w po-przednim rozdziale modelu MSM przydatne bed a modele alternatywne, szeroko sto-

sowane w analizie finansowych szeregw czasowych. W tym celu wybrane zostay

klasy GARCH oraz HMM.

Jak poprzednio opisujemy resztyytz modelu autoregresyjnego.

3.1 Modele klasy GARCH

Jednym z najczesciej stosowanych do analizy finansowych szeregw czasowych

modeli jest wprowadzony w 1986 roku przez Bollersleva GARCH. Stanowi on pod-

stawe do licznych rozszerzen i modyfikacji, ktrych dwa przykady bed a prezento-wane w nastepnych podrozdziaach.

Model GARCH(p,q) dany jest ukadem rwnan:yt= tt

2t = +qi=1iy

2ti+

pj=1j

2tj

gdzietjest ci agiem niezaleznych zmiennych losowych maj acych ten sam rozkado zerowej wartosci oczekiwanej i jednostkowym odchyleniu standardowym (co za-

pisujemy krtko: t iid(0,1)), >0, i 0 i j 0.

3.1.1 Model GJR-GARCH

GJR-GARCH jest rozszerzeniem powyzszego modelu uwzgledniaj acym asyme-

tryczny wpyw na zmiennosc dodatnich i ujemnych zwrotw. Jest on zadany uka-

dem: yt= tt

2t = +qi=1(

+i I(,0](rti) +

i I(0,)(yti))y

2ti+

pj=1j

2tj

13


15/29

ROZDZIA 3. ALTERNATYWNE MODELE ZMIENNOSCI 14

w ktorym+i ,i 0, Ijest funkcj a charakterystyczn a, zas pozostae zaozenia s a

identyczne jak w modelu GARCH.

3.1.2 Model EGARCH

Inn a prb aujecia asymetrii jest GARCH wykladniczy (EGARCH), opisany uka-

dem rwnan: yt= tt

ln(2t) = + [1 (L)]1[1 +(L)]g(t1)

gdzieL jest operatorem opznienia (ang. lag operator) ,(L) = 1L +2L2 + ...+

qLq, 1 (L) =1 1L 2L

2 ...pLp jest wielomianem, ktrego wszystkie

pierwiastki maj a moduy dodatnie, ag(t) = 1t+ 2(|t| E|t|).Problematyczny niekiedy elementE|t| dla popularnych rozkadw bedu zosta

wyznaczony analitycznie, przykadowe wzory mozna znalezc np. w podreczniku

Domanw [4], gdzie ponadto znajduje sie obszerne omwienie klasy modeli typu

GARCH wraz z opisem metod estymacji.

3.2 Ukryte modele Markowa

Bardzo ciekaw a klase modeli, znajduj ac a zastosowanie znacznie szersze niz je-

dynie w analizie finansowych szeregw, stanowi a ukryte modele Markowa (Hidden

Markov Models, HMM), ktrych matematyczne podstawy zostay opracowane w

latach 60-tych przez Bauma. Zakadaj a one istnienie nieobserwowalnego procesu,

ktry wpywa na zmienny w czasie rozkad obserwacji. Ideowo s a wiec podobne do

modeli MSM, jednak analiza procesu stanw jest w nich o wiele dalej posunieta.

Rozpatrujemy zbir stanwS= {S1,...,SN},N N oraz odpowiadaj acy za nie-obserwowalne zmiany w zachowaniu rynku proces stochastyczny qt o wartosciach

wS. Jego dynamike opisuje macierz prawdopodobienstw przejsciaA = [ai j], gdzieai j= P(qt+1= Sj|qt=Si) i wektor wartosci startowych = [i],i= P(q1= Si).Wartosci modelowanego szereguyts a losowane z rozkaduQqt zaleznego od stanu

aktualnie przyjetego przez rynek. Rwnania streszczaj ace powyzsz a konstrukcje

mozna zapisac w nastepuj acy sposb:

yt QqtP(q1= Si) = i

P(qt+1=Sj|qt= Si) =ai j


16/29

ROZDZIA 3. ALTERNATYWNE MODELE ZMIENNOSCI 15

Liczba stanwNoraz klasy rozkadwQS1,...,QSNs a ustalane arbitralnie i trak-towane jako wybr modelu, natomiast parametrami podlegaj acymi estymacji s a:

ai j in[0,1], [0,1]oraz parametry rozkadwQSi .Estymacja parametrw modelu HMM i zrealizowanej trajektorii procesu stanw

przebiegaj a metod a najwiekszej wiarygodnosci - w pierwszym przypadku przez al-

gorytm Bauma-Welcha, w drugim przez algorytm Viterbiego.

Podstawy teoretyczne i praktyczne aspekty ukrytych modeli Markowa opisane

s a np. w ksi azce Zucchiniego i MacDonalda [11].


17/29

Rozdzia 4

Zastosowanie modeli zmiennosci

4.1 Analiza badanego szeregu

Do modelowania wybrano szereg dziennych notowan kontraktu terminowego

Wheat Futurena przestrzeni ponad 54 lat - od 1.07.1959 do 27.12.2013. Uzyskany

z niego szereg logarytmicznych zwrotw w penych punktach procentowych liczy

13718 obserwacji. Jego statystyki opisowe przedstawia ponizsza tabela.

srednia minimum maksimum odchylenie standardowe skosnosc kurtoza

0,00824 -31,9 23,5 1,78 -0,629 23,45

Tablica 4.1: Statystyki opisowe szeregu stp zwrotwWheat Future

Nie wyrznia sie on na tle pozostaych szeregw analizowanych w rozdziale 1.

Wszystkie badane autokorelacje - takze w kwadratach i wartosciach bezwzglednych

s a nieistotne, typowe testy silnie odrzucaj a normalnosc rozkadu bezwarunkowego,

a test Lo wskazuje na wystepowanie dugiej pamieci (jednak wartosc statystyki te-

stowej znajduje sie stosunkowo blisko granicy obszaru krytycznego).

16


18/29

ROZDZIA 4. ZASTOSOWANIE MODELI ZMIENNOSCI 17

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

30

10

10

Rysunek 4.1: Logarytmiczne stopy zwrotuWheat Future

4.2 Porwnanie modeli zmiennosci

Na pierwszym etapie oszacowano model AR(4), a do analizy uzyskanych w jego

wyniku reszt uzyto omawianych wczesniej modeli zmiennosci typu MSM, Garch i

HMM. MSM przyjeto w omawianej wczesniej wersji z rozkadem dwumianowym,

zas HMM - z rozkadem normalnym. Dla modeli klasy GARCH zaozony rozkad

oznaczony zosta odpowiednim skrtem w ponizszej tabeli, prezentuj acej wartosci

logarytmu funkcji wiarygodnosci oraz kryteriw informacyjnych Akaikego (AIC),

Schwarza (BIC) i Hannana-Quinna (HQIC) dla wybranych przypadkw wraz z ran-

gami szereguj acymi modele od najlepszego (1) do najgorszego (7) wzgledem tych

kryteriw.

model liczba par. logL AIC BIC HQIC

MSM(7) 4 -23 813 47 634 3 47 664 2 47 644 3

GARCH(1,1) norm 3 -25 591 51 188 7 51 210 7 51 195 7

GARCH(1,1) t 4 -23 949 47 906 6 47 936 4 47 916 5

GARCH(1,1) skosny t 5 -23 945 47 901 4 47 939 5 47 914 4GJR-GARCH(1,1) t 5 -23 947 47 905 5 47 943 6 47 918 6

EGARCH(1,1) t 5 -23 767 47 544 2 47 582 1 47 556 2

HMM(7) 63 -23 547 47 220 1 47 694 3 47 378 1

Tablica 4.2: Porwnanie modeli zmiennosci


19/29


Analiza powyzszej tabeli prowadzi do nastepuj acych wnioskw. Po pierwsze,

mimo iz HMM(7) ma zdecydowanie najmniejsz a wartosc funkcji wiarygodnosci,

kryteria informacyjne nie wskazuj a jednoznacznie na niego, jako na model naj-

lepszy. Co prawda kryteria Akaikego i Hannana-Quinna zgodnie ustalaj a ranking

trzech najlepszych modeli w kolejnosci: HMM(7), EGARCH(1,1) z rozkladem t-

Studenta1 i MSM(7), jednak wedug kryterium Schwarza, ze wzgledu na siln a pe-

nalizacje nieoszczednej parametryzacji, porz adek ksztatuje sie inaczej: EGARCH,

MSM, HMM. Po drugie pozostae analizowane modele znacznie odbiegaj a warto-

sciami funkcji wiarygodnosci i kryteriw informacyjnych od najlepszych.

W zwi azku z tym do dalszego badania zostay wybrane HMM, EGARCH i

MSM, dla ktrych przeprowadzono analize reszt oraz wyznaczono zmiennosc wa-

runkow a.

4.3 Analiza reszt

Analiza reszt miaa na celu sprawdzenie, w jakim stopniu reszty z wybranych

modeli speniaj a zaozenia teoretyczne o przyjetej klasie rozkadu i nieskorelowa-

niu.

Przedstawione na rysunkach 4.3 i 4.4 histogramy reszt oraz wykresy kwantyl-

kwantyl pokazuj a, ze najlepiej zaozenia o teoretycznym rozkadzie bedu spenia

model HMM, dla ktrego analiza nie wykazuje powaznych odstepstw od normalno-

sci, natomiast w dwch pozostaych przypadkach mamy do czynienia z dosc silnymi

odchyleniami. Test Jarque-Bera zastosowany do reszt z modeli MSM i HMM sil-

nie odrzuca normalnosc (p-value rzedu 1011 i 106, odpowiednio), natomiast test

Komogorowa-Smirnowa zaprzecza zgodnosci z rozkadem teoretycznym w przy-

padku modeli MSM i EGARCH (p-value ponizej 1016, ale nie pozwala na odrzu-

cenie tezy o zgodnosci przy badaniu reszt HMM (p-value rwne 0,356).

Badanie nieskorelowania reszt, ktrego czesciowe wyniki zaprezentowano na

rysunkach 4.5 i 4.6 pokazuje, ze postulowana niezaleznosc skadnika losowego nie

wystepuje dla modeli MSM i HMM, zas dla modelu EGARCH jest w atpliwa. Mimo

wczesniejszego zastosowania modelu AR(4) reszty w kazdym przypadku wykazuj a

istotn a autokorelacje dla pierwszych opznien. Test Ljunga-Boxa nie odrzuca hipo-

tezy zerowej na poziomie ufnosci 0,05 jedynie dla EGARCH i to tylko przy sporej

liczbie opznien.Podsumowuj ac, w badanym przypadku empiryczne wasnosci standaryzowa-

nych reszt z wybranych modeli odbiegaj a od teoretycznych. Mimo iz w przypadku

HMM istniej a podstawy do uznania zgodnosci rozkadu reszt z teoretycznym, zas

1Ocena liczby stopni swobody wyniosa 4,219 z asymptotycznym bedem standardowym rwnym

0,179.


20/29


dla EGARCHa nie wykazalismy jednoznacznie ich zaleznosci, jednakzaden model

nie zapewnia spenienia obu zaozen rwnoczesnie.

reszty MSM

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

4

0

2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

20

5

5

reszty EGARCH

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

4

0

2

4

reszty HMM

Rysunek 4.2: Standaryzowane reszty z modeli MSM(7), EGARCH(1,1) z rozka-

dem t-Studenta i HMM(7)


21/29


histogram reszt MSM

4 2 0 2

0

400

1000

histogram reszt EGARCH

20 10 0 10

0

2000

5000

histogram reszt HMM

4 2 0 2 4

0

400

1000

Rysunek 4.3: Histogramy reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM wraz z liniami

odpowiadaj acymi przeskalowanej gestosci standardowego rozkadu normalnego (w

przypdaku MSM i HMM) oraz rozkadu t-Studenta o liczbie stopni swobody osza-

cowanej w modelu EGARCH (w jego przypadku)


22/29


4 2 0 2

4

0

4

reszty MSM a rozklad normalny

20 15 10 5 0 5 10

15

0

reszty EGARCH a rozklad tStudenta

4 2 0 2 4

4

0

4

reszty HMM a rozklad normalny

Rysunek 4.4: Wykresy kwantyl-kwantyl dla reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM


23/29


0.0

2

0.0

4

0.0

8

reszty MSM funkcja autokorelacji

0 50 100 150 200

0.0

2

0.

01

0.0

4

reszty EGARCH funkcja autokorelacji

0 50 100 150 200

0.0

4

0

.02

reszty HMM funkcja autokorelacji

0 50 100 150 200

Rysunek 4.5: Funkcje autokorelacji dla reszt z modeli MSM, EGARCH, HMM

(zerowe opznienie zostao pominiete)


24/29


0 10 20 30 400e+00

4e10

8e

10

pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt MSM

0 10 20 30 400.

00

0.

15

0.3

0

pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt EGARCH

0 10 20 30 400e+00

4e

09

pvalue w tescie LjungaBoxa dla reszt HMM

Rysunek 4.6: P-value w tescie Ljunga-Boxa dla reszt z modeli MSM, EGARCH,

HMM dla kolejnych rzedw opznien od 11 do 40; w przypadku modelu EGARCH

zaznaczono standardowy poziom ufnosci =0,05

4.4 Wartosc zagrozona

Jedn a z wazniejszych i czesciej stosowanych miar ryzyka pozostaje w ostatnim

czasie wartosc zagrozona (Value at Risk, VaR). Za K. Jajug a "wartosc zagrozona jest

to strata wartosci, takaze prawdopodobienstwo jej osi agniecia lub przekroczenia w


25/29


zadanym okresie rwne jest zadanemu poziomowi tolerancji".

PrzezWt oznaczmy cene badanego aktywa, przy czym zakadamy, ze znamy

wartosciWtdo chwili obecnej, to jest dla t= 1,...,T. Jednookresow a stope zwrotuwyliczamy ze wzoru: Rt= Wt+1WtWt , zas jej prognoze na najblizszy okres oznaczamy

przezRT+1. Przyjmuj ac jako T historie procesu(Wt), a wiec obecn a i przeszeceny, oraz poziom tolerancji, jednookresowa wartosc zagrozon aVaR zadajemyrwnaniem:

P(WT+1 WT VaR|T) =

ktre mozna doprowadzic do postaci:

P(RT+1VaR

WT|T) = .

Ostatni wzr prowadzi do pojecia wzglednej wartosci zagrozonej (ang. relative

VaR), a wiec procentowej straty wartosci, ktrej prawdopodobienstwo osi agniecia

lub przekroczenia jest rwne przyjetemu poziomowi tolerancji . Dla ci agych roz-kadw zwrotw moze byc ona wyliczona jako bezwzgledna wartosc -kwantylarozkadu warunkowego odpowiednich przyszych stp zwrotw przy danej historii

procesu T.Jakoze w praktyce czestsze zastosowanie znajduj a logarytmiczne stopy zwrotu,

zachodzi potrzeba dostosowania do nich metod obliczania wartosci zagrozonej. W

tym celu stosuje sie zwykle przyblizenie:

RT+1=erT+1 1 rT+1

pozwalaj ace na proste zast apienie zwykych stp zwrotw zwrotami logarytmicz-

nymi za cene bedu, ktry moze w istotny sposb wpyn ac na wartosc VaRu.

Uoglnienie przedstawionej wyzej teorii dla portfela aktyww i duzszego ho-

ryzontu czasowego wraz z uwagami na temat niedokadnosci zwi azanych z przybli-

zaniem VaRu przedstawiaj a dokadnie Osiewalski i Pajor [6].

W modelu MSM z rozkadem dwupunktowym odpowiedni kwantyl w przy-

padku jednodniowego VaRu mozna wyznaczyc analitycznie. Przy znanym stanie

w chwiliT+ 1 prognozayT+1 ma rozkad normalny o zerowej wartosci oczekiwa-nej i odchyleniu standardowym danym wzorem:

(mi) =

K

k=1

mik

W zwi azku z tym rozkad warunkowyyT+1 wzgledem przeszosci jest mieszanin a

rozkadw normalnych o wagach bed acych prawdopodobienstwami przejscia do

poszczeglnych stanw, ktre uzyskujemy wyliczaj ac rekurencyjnie wektor T+1


26/29


(patrz: sekcja 2.2.1), zas po przesunieciu o poprawke wynikaj ac a z modelu autore-

gresyjnego otrzymujemy rozkad logarytmicznych stp zwrotw rT+1. Obliczaj ac

odpowiedni kwantyl otrzymujemy przyblizenie wartosci zagrozonej w powyzszym

rozumieniu.

W przypadku okresu duzszego niz jeden dzien VaRu nie mozna oszacowac po-

danym sposobem, natomiast da sie go przyblizyc metod a symulacyjn a.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1.

5

2.

5

Rysunek 4.7: VaR w penych punktach procentowych w modelu MSM dla pozio-

mw tolerancji [0,005;0,1]

Dla badanego szeregu wyznaczono analitycznie przyblizone wzgledne wartosci

zagrozone przyjmuj ac rzne poziomy ufnosci, co przedstawia powyzszy wykres.

Przykadowo VaR na poziomie tolerancji 0,01 wynis 2,74.


27/29

Podsumowanie

W pracy przedstawiono model MSM i sprawdzono jego uzytecznosc przy ana-

lizie zmiennosci na rynkach towarowych, przy czym za punkt odniesienia posu-

zyy wyniki klasycznych i popularnych modeli klasy GARCH, w szczeglnosci

EGARCH, i modelu HMM. W porwnaniu tym MSM nie wypad szczeglnie ko-

rzystnie. Mimo oszczednej parametryzacji jego estymacja jest bardzo kosztowna

obliczeniowo i trwa znacznie duzej niz w przypadku pozostaych badanych mo-

deli, zas kryteria informacyjne ustawiaj a go dopiero na trzecim miejscu, po mode-

lach HMM i EGARCH. Ponadto reszty MSM nie speniaj a zaozen teoretycznych

o normalnosci rozkadu i nieskorelowaniu (wiec i o niezaleznosci). Trzeba jednak

uwzglednic fakt,ze wybrano najprostszy model z tej klasy przyjmuj ac za M rozkad

dwupunktowy, co mogo znacz aco wpyn ac na jakosc wynikw.

W ramach przygotowan w pierwszym rozdziale pracy omwiono rynki towa-

rowe oraz przeanalizowano zachowanie szeregw zwrotw z nich pochodz acych.

Badanie pokazao,ze wykazuj a one w wiekszosci wasnosci postulowane jako cha-

rakterystyczne dla ogu finansowych szeregw czasowych. Odstepstwem od normybya spora ilosc rozkadw empirycznych o dodatniej skosnosci. Test dugiej pa-

mieci nie da jednoznacznych rezultatw, jednak przypuszczalnie wystepuje ona na

rynkach towarowych rzadko, jesli w ogle. Byc moze jest to przyczyn a, dla ktrej

model MSM, przeznaczony do analizy szeregw o dugookresowych zaleznosciach,

sabo sprawdzi sie w zastosowaniu.

W pracy przedstawiono rwniez metody szacowania VaRu w przypadku mo-

delu MSM z rozkadem dwupunktowym, ktrych uzyto do wyznaczenia wartosci

zagrozonej w przypadku analizowango szeregu notowan kontraktu termionowego

na zbozeWheat Futures.

26


28/29

Bibliografia

[1] Calvet L., Fisher A., Multifractal Volatility: Theory, Forcasting and Pricing,

Academic Press - Elsevier, Amsterdam 2008.

[2] Lux T., The Markov-Switching Multifractal Model of Asset Returns: GMM

Estimation and Linear Forecasting of Volatility, "Journal of Business & Eco-nomic Statistics", vol. 26, (2008), 194-210.

[3] Liu R., Lux T., di Matteo T., Multifractality and Long-Range Dependence of

Asset Returns: The Scaling Behaviour of the Markov-Switching Multifractal

Model with Lognormal Volatility Component, Advances in Complex Systems",

vol. 11 (2008), 1-16.

[4] Doman M., Doman R.,Modelowanie zmiennosci i ryzykaWolters Kluwer Pol-

ska, Krakw 2009.

[5] Jajuga K. (red.),Zarz adzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, War-szawa 2009.

[6] Osiewalski J., Pajor A., Bayesian Value-at-Risk for a Portfolio, Multi- and

Univariate Approaches Using MSF-SBEKK Models, Central European Journal

of Economic Modelling and Econometrics, vol. 2 (2010), 253-277

[7] Gorton G.,Rouwenhorst K., Facts and Fantasies about Commodity Futures,

NBER Working Paper Series, vol. 10595 (2004).

[8] Cont R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical

issues, Quantitative Finance, vol. 1 (2001), 223236.

[9] Lo A.W.,Long-Term Memory in Stock Market Prices, Econometrica, vol. 59

(1991), 1279-1313.

[10] Schofield N.C.,Commodity Derivatives: Markets and Applications, John Wi-

ley and Sons, London 2007.

27


29/29

BIBLIOGRAFIA 28

[11] Zucchini W. MacDonald I.,Hidden Markov Models for Time Series: An Intro-

duction Using R, CRC Press, Boca Raton 2009.

[12] Sinha R.P., Bhuniya A., Risk Transfer Through Commodity Derivatives: AStudy of Soyabean Oil, Social Science Research Network, Kolkata 2011.

Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmienności Cen Na Rynkach Towarowych

Documents

Transcript of Jan Czernecki - Model MSM w Analizie Zmienności Cen Na Rynkach Towarowych