5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i ... · 5a. Badanie przebiegu zmienności...

5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji -asymptoty i przykłady

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 1 / 39

Asymptoty - motywacja

Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jejprzedziałów określoności.

Jednak, jak zaraz zobaczymy naprzykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotonicznościmogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów.Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciuasymptoty.



Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jejprzedziałów określoności. Jednak, jak zaraz zobaczymy naprzykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotonicznościmogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów.

Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciuasymptoty.



Wiemy już jak badać wygląd funkcji różniczkowalnej wewnątrz jejprzedziałów określoności. Jednak, jak zaraz zobaczymy naprzykładach, funkcje o takiej samej wypukłości i monotonicznościmogą się zachowywać zupełnie inaczej na końcach tych przedziałów.Jak rozróżnić takie funkcje? Możemy to uczynić dzięki pojęciuasymptoty.



Jak widać, w pobliżu +∞ funkcje f1(x) =x2−1x , f2(x) =

√x i

f3(x) = arctg x zachowują się zupełnie inaczej.

Tymczasem wszystkiemają tam dodatnią pierwszą pochodną i ujemną drugą, więc napodstawie dotychczasowej analizy, nie umielibyśmy ich rozróżnić.



Jak widać, w pobliżu +∞ funkcje f1(x) =x2−1x , f2(x) =

√x i

f3(x) = arctg x zachowują się zupełnie inaczej. Tymczasem wszystkiemają tam dodatnią pierwszą pochodną i ujemną drugą, więc napodstawie dotychczasowej analizy, nie umielibyśmy ich rozróżnić.



Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamydodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tychfunkcji w pobliżu +∞?

f1 zachowuje się jak y = x , f3 jak y = π2 , a f2rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.



Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamydodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tychfunkcji w pobliżu +∞? f1 zachowuje się jak y = x ,

f3 jak y = π2 , a f2rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.



Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamydodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tychfunkcji w pobliżu +∞? f1 zachowuje się jak y = x , f3 jak y = π2 ,

a f2rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.



Natomiast łatwo rozróżnić zachowanie tych funkcji, gdy poszukamydodatkowej informacji: do jakiej prostej podobne są wykresy tychfunkcji w pobliżu +∞? f1 zachowuje się jak y = x , f3 jak y = π2 , a f2rośnie do nieskończoności, ale wolniej niż jakakolwiek prosta.



Analogicznie, w pobliżu 0 i z jego prawej strony, funkcje g1(x) =√x i

g2(x) = −1x określone na (0,+∞) są rosnące i wklęsłe, ale zachowują

się zupełnie inaczej.



Różnicę w ich zachowaniu można opisać w ten sposób, że wykresg2(x) = −

1x staje się coraz bardziej podobny do x = 0, a wykres

g1(x) =√x nie.


Asymptoty - przykład ekonomiczny

Przypomnijmy sobie jeszcze przykład z rozdziału o granicach:

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcjiNiech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, akoszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv(q),gdzie v(q) = Aq +B , więc C(q) = (Aq +B)q + k . Jak zmienia siękoszt średni AC(q) = C(q)

q wyprodukowania jednostki towaru przybardzo dużej skali produkcji?

Jak obliczyliśmy wtedy, średni koszt AC(q) upodabniał się przydużym q do prostej y = Aq +B . Taką prostą nazywamy asymptotą.

Nieformalna definicjaAsymptota funkcji to prosta, do której zbliża się jej wykres, gdy sięwzdłuż niego przemieszczamy w kierunku końca przedziałuokreśloności.


Asymptota pionowa - formalna definicja

Asymptota pionowa - definicjaAsymptota pionowa prawostronna wykresu funkcji f to prosta orównaniu x = x0, dla której lim

x→x+0f (x) = +∞ lub lim

x→x+0f (x) = −∞.

Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji f to prosta orównaniu x = x0, dla której lim

x→x−0f (x) = +∞ lub lim

x→x−0f (x) = −∞.

Asymptota pionowa obustronna (czasem słowo „obustronna” sięopuszcza) wykresu funkcji f to prosta o równaniu x = x0, o ile jestjego asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.

Uwaga! Dla funkcji ciągłych asymptot pionowych szukamy tylko wtych końcach przedziałów określoności, które są liczbamirzeczywistymi. W wypadku funkcji nieciągłych - powinniśmy jeszczesprawdzić punkty nieciągłości, mimo, że należą do dziedziny.


Asymptota pionowa - przykład 1

ZadanieWskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x) = 1

(x−1)2 .

Dziedziną funkcji f jest R ∖ {1}, zatem obliczamy:

limx→1+

1(x − 1)2

= +∞ = limx→1−

1(x − 1)2

= limx→1

1(x − 1)2

.

Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f .




(x−1)2 .


limx→1+

1(x − 1)2

=

+∞ = limx→1−

1(x − 1)2

= limx→1

1(x − 1)2

.





(x−1)2 .


limx→1+

1(x − 1)2

= +∞

= limx→1−

1(x − 1)2

= limx→1

1(x − 1)2

.





(x−1)2 .


limx→1+

1(x − 1)2

= +∞ = limx→1−

1(x − 1)2

= limx→1

1(x − 1)2

.





x−1 .


limx→1+

1x − 1

= +∞; limx→1−

1x − 1

= −∞.

Zatem x = 1 jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji f , mimo żegranice obustronne w 1 są różne.




x−1 .


limx→1+

1x − 1

=

+∞; limx→1−

1x − 1

= −∞.





x−1 .


limx→1+

1x − 1

= +∞; limx→1−

1x − 1

=

−∞.





x−1 .


limx→1+

1x − 1

= +∞; limx→1−

1x − 1

= −∞.




ZadanieWskazać wszystkie asymptoty pionowe funkcji f (x) = e

1x .


limx→0+

e1x = +∞; lim

x→0−e1x = 0.

Zatem x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f ,natomiast funkcja ta nie ma asymptot pionowych obustronnych.




1x .


limx→0+

e1x =

+∞; limx→0−

e1x = 0.





1x .


limx→0+

e1x = +∞; lim

x→0−e1x =

0.





1x .


limx→0+

e1x = +∞; lim

x→0−e1x = 0.



Asymptota ukośna - definicja

Asymptota ukośnaAsymptota ukośna prawostronna wykresu funkcji f to prosta orównaniu y = ax + b, taka że lim

x→∞[f (x) − (ax + b)] = 0.

Asymptota ukośna lewostronna wykresu funkcji f to prosta orównaniu y = ax + b, taka że lim

x→−∞[f (x) − (ax + b)] = 0.

Asymptota ukośna obustronna wykresu funkcji f to prosta orównaniu y = ax + b, o ile jest jego asymptotą ukośną prawostronną ilewostronną.

Uwaga: jeśli w powyższej definicji a = 0, to taką asymptotę nazywasię często asymptotą poziomą.


Asymptota ukośna - twierdzenie

Asymptota ukośnaProsta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną prawostronnąfunkcji f , wtedy i tylko wtedy, gdy

limx→∞

f (x)

x= a, lim

x→∞(f (x) − ax) = b.

Analogiczne twierdzenie (tylko z granicami w −∞) zachodzi dlaasymptot ukośnych lewostronnych.


Asymptota ukośna - przykład 1

ZadanieWskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x) =

√x .

Oczywiście, jako że funkcja f jest określona tylko dla liczbnieujemnych, tylko szukanie asymptoty ukośnej prawostronnej postaciy = ax + b ma sens.

a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x= lim

x→∞

1√x= 0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x = +∞.

Ponieważ b nie jest liczbą, f nie ma asymptot ukośnych.




√x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x=

limx→∞

1√x= 0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x = +∞.





√x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x= lim

x→∞

1√x=

0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x = +∞.





√x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x= lim

x→∞

1√x= 0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x = +∞.





√x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x= lim

x→∞

1√x= 0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x =

+∞.





√x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x

x= lim

x→∞

1√x= 0.

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

√x = +∞.




ZadanieWskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji f (x) = arctg x .

Obliczamy najpierw asymptotę ukośną prawostronną postaciy = ax + b:

a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

arctg x

x= 0,

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

arctg x =π

2.

Stąd y = π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) prawostronną funkcji f .





a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

arctg x

x=

0,

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

arctg x =π

2.






a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

arctg x

x= 0,

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

arctg x =

π

2.






a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

arctg x

x= 0,

b = limx→∞

(f (x) − ax) = limx→∞

arctg x =π

2.





Teraz obliczamy asymptotę ukośną lewostronną postaci y = ax + b:

a = limx→−∞

f (x)

x= lim

x→−∞

arctg x

x= 0,

b = limx→−∞

(f (x) − ax) = limx→−∞

arctg x = −π

2.

Stąd y = −π2 jest asymptotą ukośną (poziomą) lewostronną funkcji f .Funkcja ta nie ma asymptoty ukośnej obustronnej.





a = limx→−∞

f (x)

x= lim

x→−∞

arctg x

x=

0,

b = limx→−∞

(f (x) − ax) = limx→−∞

arctg x = −π

2.






a = limx→−∞

f (x)

x= lim

x→−∞

arctg x

x= 0,

b = limx→−∞

(f (x) − ax) = limx→−∞

arctg x =

−π

2.






a = limx→−∞

f (x)

x= lim

x→−∞

arctg x

x= 0,

b = limx→−∞

(f (x) − ax) = limx→−∞

arctg x = −π

2.




ZadanieWskazać wszystkie asymptoty ukośne funkcji x2−2x−1

x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.

Zauważmy, że obliczenia asymptoty ukośnej lewostronnej (czyli zgranicami lim

x→−∞) są identyczne. Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną

(ale nie poziomą) obustronną funkcji f .




x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

=

limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.







x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x =

limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.







x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x=

− 2.







x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.







x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.


x→−∞) są identyczne.

Stąd y = x − 2 jest asymptotą ukośną





x .


a = limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

x2 − 2x − 1x2

= limx→∞

1 − 2x −1x2

1= 1,

b = limx→∞

x2 − 2x − 1x

− x = limx→∞

x2 − 2x − 1 − x2

x= − 2.



(ale nie poziomą) obustronną funkcji f .Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 17 / 39

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Przez badanie przebiegu zmienności funkcji rozumiemy wypisanie jejwłasności w postaci łatwej do odczytania, a najlepiej naszkicowaniewykresu te własności demonstrującego. Wymagane są następującekroki:

Wyznaczenie dziedziny funkcji,

Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności iwyznaczenie asymptot (jeśli istnieją),

Obliczenie pierwszej pochodnej, wyznaczenie maksimów iminimów, wskazanie przedziałów, w których funkcja jestrosnąca/malejąca,

Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie punktów przegięcia,wskazanie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła/wypukła,

Naszkicowanie wykresu zgodnego z obliczeniami.


Badanie przebiegu zmienności funkcji

Dodatkowo, by ułatwić naszkicowanie wykresu, warto wykonaćdodatkowe kroki:

Sporządzenie tabelki zmienności funkcji,

Zbadanie parzystości/nieparzystości funkcji,

Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiamiwspółrzędnych.

Uwaga! Bardzo często w zadaniach egzaminacyjnych wymagane jestwykonanie tylko części poleceń (np. bez obliczania wartości funkcji ww ekstremach i punktach przegięcia, bez obliczania asymptot lubszkicowania wykresu). Dlatego trzeba uważnie czytać treść zadania.


Przykład 1 - rozkład Gaussa

Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię nadwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcjidanej wzorem:

f (x) =1

√2π

e−x2

2 .

Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowyrozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisującatypowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności doryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).

Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawiskspołecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładuwykazują związek z taką matematyczną abstrakcją jaką pozornie sąliczby π i e.



Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię nadwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcjidanej wzorem:

f (x) =1

√2π

e−x2

2 .

Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowyrozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisującatypowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności doryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawiskspołecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładuwykazują związek z taką matematyczną abstrakcją jaką pozornie sąliczby π i e.



Zadanie

Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = 1√2πe−

x2

2 .

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc tonie będzie sprawiało żadnych problemów.Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.

Taki sam wynik otrzymujemy dla limx→−∞

f (x)x . Łatwo sprawdzić też, że

limx→∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną

(poziomą) obustronną y = 0.



Zadanie


x2

2 .

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

Oczywiście, jest to R - więc tonie będzie sprawiało żadnych problemów.Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.



limx→∞






Zadanie


x2

2 .

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc tonie będzie sprawiało żadnych problemów.

Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.



limx→∞






Zadanie


x2

2 .


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π=

[0∞

] = 0.



limx→∞






Zadanie


x2

2 .


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] =

0.



limx→∞






Zadanie


x2

2 .


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.


f (x)x .

Łatwo sprawdzić też, że

limx→∞






Zadanie


x2

2 .


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.



limx→∞


f (x) = 0,

więc funkcja posiada asymptotę ukośną




Zadanie


x2

2 .


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

e−x2

2

x√

2π= [

0∞

] = 0.



limx→∞






Zadanie


x2

2 .

Obliczamy pochodną:

f ′(x) = (1

√2π

e−x2

2 )

′

= −x

√2π

e−x2

2 .

i porównujemy ją z zerem:

f ′(x) > 0⇔ x < 0; f ′(x) < 0⇔ x > 0; f ′(x) = 0⇔ x = 0.



Zadanie


x2

2 .


f ′(x) = (1

√2π

e−x2

2 )

′

= −x

√2π

e−x2

2 .


f ′(x) > 0⇔ x < 0;

f ′(x) < 0⇔ x > 0; f ′(x) = 0⇔ x = 0.



Zadanie


x2

2 .


f ′(x) = (1

√2π

e−x2

2 )

′

= −x

√2π

e−x2

2 .


f ′(x) > 0⇔ x < 0; f ′(x) < 0⇔ x > 0;

f ′(x) = 0⇔ x = 0.



Zadanie


x2

2 .


f ′(x) = (1

√2π

e−x2

2 )

′

= −x

√2π

e−x2

2 .


f ′(x) > 0⇔ x < 0; f ′(x) < 0⇔ x > 0; f ′(x) = 0⇔ x = 0.



Zadanie


x2

2 .

f ′(x) > 0⇔ x < 0,

więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞,0).f ′(x) < 0⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0,+∞).f ′(x) = 0⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy,że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na−), o wartości f (0) = 1√

2π.



Zadanie


x2

2 .

f ′(x) > 0⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞,0).f ′(x) < 0⇔ x > 0,

więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0,+∞).f ′(x) = 0⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy,że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na−), o wartości f (0) = 1√

2π.



Zadanie


x2

2 .

f ′(x) > 0⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞,0).f ′(x) < 0⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0,+∞).f ′(x) = 0⇔ x = 0.

Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy,że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na−), o wartości f (0) = 1√

2π.



Zadanie


x2

2 .

f ′(x) > 0⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞,0).f ′(x) < 0⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0,+∞).f ′(x) = 0⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy,że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na−),

o wartości f (0) = 1√2π

.



Zadanie


x2

2 .

f ′(x) > 0⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞,0).f ′(x) < 0⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0,+∞).f ′(x) = 0⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy,że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na−), o wartości f (0) = 1√

2π.



Teraz obliczamy drugą pochodną:

f ′′(x) = (−x

√2π

e−x2

2 )′ =

−1

√2π

(e−x2

2 − x ⋅ xe−x2

2 ) =

=e−

x2

2 (x2 − 1)√

2π.


f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞); f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1);

f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}.




f ′′(x) = (−x

√2π

e−x2

2 )′ = −1

√2π

(e−x2

2 − x ⋅ xe−x2

2 ) =

=e−

x2

2 (x2 − 1)√

2π.


f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞); f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1);

f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}.




f ′′(x) = (−x

√2π

e−x2

2 )′ = −1

√2π

(e−x2

2 − x ⋅ xe−x2

2 ) =

=e−

x2

2 (x2 − 1)√

2π.


f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞);

f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1);

f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}.




f ′′(x) = (−x

√2π

e−x2

2 )′ = −1

√2π

(e−x2

2 − x ⋅ xe−x2

2 ) =

=e−

x2

2 (x2 − 1)√

2π.


f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞); f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1);

f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞),

więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞). Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}. W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.f (−1) = f (1) = 1√

2πe.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞).

Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}. W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.f (−1) = f (1) = 1√

2πe.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞). Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1),

więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}. W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.f (−1) = f (1) = 1√

2πe.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞). Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}.

W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.f (−1) = f (1) = 1√

2πe.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞). Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}. W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.

f (−1) = f (1) = 1√2πe

.



Zadanie


x2

2 .

f ′′(x) > 0⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞), więc funkcja f jest wypukła wprzedziale (−∞,−1) i w przedziale (1,∞). Nie można powiedziećjednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!f ′′(x) < 0⇔ x ∈ (−1,1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(−1,1).f ′′(x) = 0⇔ x ∈ {−1,1}. W każdym z tych punktów f ′′ zmienia znak,więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.f (−1) = f (1) = 1√

2πe.



Zadanie


x2

2 .

Dodatkowo, warto zauważyć, że f (x) = f (−x), czyli funkcja jestparzysta i zawsze dodatnia.



Zadanie


x2

2 .

Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:x → −∞ (−∞,−1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1,+∞) → +∞

f ′′(x) + + 0 - - - 0 + +f ′(x) + + + + 0 - - - -f (x) → 0 Ä 1√

2πe(pp)

¼ 1√2π(maks)

¿ 1√2πe(pp)

Ç → 0



Zadanie


x2

2 .


f ′′(x) + + 0 - - - 0 + +

f ′(x) + + + + 0 - - - -f (x) → 0 Ä 1√

2πe(pp)

¼ 1√2π(maks)

¿ 1√2πe(pp)

Ç → 0



Zadanie


x2

2 .


f ′′(x) + + 0 - - - 0 + +f ′(x) + + + + 0 - - - -

f (x) → 0 Ä 1√2πe(pp)

¼ 1√2π(maks)

¿ 1√2πe(pp)

Ç → 0



Zadanie


x2

2 .


f ′′(x) + + 0 - - - 0 + +f ′(x) + + + + 0 - - - -f (x) → 0 Ä 1√

2πe(pp)

¼ 1√2π(maks)

¿ 1√2πe(pp)

Ç → 0



x → −∞ (−∞,−1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1,+∞) → +∞

f (x) → 0 Ä 1√2πe(pp)

¼ 1√2π(maks)

¿ 1√2πe(pp)

Ç → 0

Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:

Wykres ten znany jest jako krzywa Gaussa lub krzywa dzwonowa.


Przykład 2 - funkcja logistyczna

Inną ważną funkcją, pojawiającą się w wielu zagadnieniachekonomicznych, jest tzw. funkcja logistyczna postaci:

f (x) =a

1 + be−cx

określona dla x ≥ 0 (założenie wynikające z modeli ekonomicznych) ipewnych stałych dodatnich a, b, c .

Zbadamy jej przebieg zmiennościdla przykładowych stałych a = 3,b = 9, c = 1.



Inną ważną funkcją, pojawiającą się w wielu zagadnieniachekonomicznych, jest tzw. funkcja logistyczna postaci:

f (x) =a

1 + be−cx

określona dla x ≥ 0 (założenie wynikające z modeli ekonomicznych) ipewnych stałych dodatnich a, b, c . Zbadamy jej przebieg zmiennościdla przykładowych stałych a = 3,b = 9, c = 1.



ZadanieZbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = 3

1+9e−x dla x ≥ 0.

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0,+∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,

więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronnąy = 3.




1+9e−x dla x ≥ 0.

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

Oczywiście, jest to [0,+∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0,+∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.

Obliczamy:

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

=

[3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] =

0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

=

[3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

3x(1 + 9e−x)

= [3

∞+? (? ≥ 0)] = 0.

limx→∞

f (x) − 0 ⋅ x = limx→∞

31 + 9e−x

= [3

1 + 0] = 3,





1+9e−x dla x ≥ 0.


f ′(x) = (3

1 + 9e−x)′

= −3

(1 + 9e−x)2⋅ (−9e−x) =

27e−x

(1 + 9e−x)2.


f ′(x) > 0⇔ x ≥ 0.

Zatem funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie.




f ′′(x) = (27e−x

(1 + 9e−x)2)′ =

=−27e−x(1 + 9e−x)2 − 27e−x ⋅ 2(1 + 9e−x) ⋅ (−9e−x)

(1 + 9e−x)4=

=−27e−x(1 + 9e−x)(1 + 9e−x − 18e−x)

(1 + 9e−x)4=−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.



Drugą pochodną porównujemy z zerem:

f ′′(x) =−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.

f ′′(x) > 0⇔

1 − 9e−x < 0⇔ e−x >19⇔ ex < 9⇔ x < ln9.

Analogicznie:

f ′′(x) < 0⇔ x > ln9; f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.




f ′′(x) =−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.

f ′′(x) > 0⇔ 1 − 9e−x < 0⇔

e−x >19⇔ ex < 9⇔ x < ln9.

Analogicznie:

f ′′(x) < 0⇔ x > ln9; f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.




f ′′(x) =−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.

f ′′(x) > 0⇔ 1 − 9e−x < 0⇔ e−x >19⇔

ex < 9⇔ x < ln9.

Analogicznie:

f ′′(x) < 0⇔ x > ln9; f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.




f ′′(x) =−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.

f ′′(x) > 0⇔ 1 − 9e−x < 0⇔ e−x >19⇔ ex < 9⇔

x < ln9.

Analogicznie:

f ′′(x) < 0⇔ x > ln9; f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.




f ′′(x) =−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x)

(1 + 9e−x)4.

f ′′(x) > 0⇔ 1 − 9e−x < 0⇔ e−x >19⇔ ex < 9⇔ x < ln9.

Analogicznie:

f ′′(x) < 0⇔ x > ln9; f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.




1+9e−x dla x ≥ 0.

f ′′(x) > 0⇔ x < ln9,

więc funkcja f jest wypukła w przedziale(0, ln9).f ′′(x) < 0⇔ x > ln9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(ln9,+∞).f ′′(x) = 0⇔ x = ln9. f ′′ zmienia tu znak, więc f ma punktprzegięcia. f (ln9) = 32 .




1+9e−x dla x ≥ 0.

f ′′(x) > 0⇔ x < ln9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale(0, ln9).f ′′(x) < 0⇔ x > ln9,

więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(ln9,+∞).f ′′(x) = 0⇔ x = ln9. f ′′ zmienia tu znak, więc f ma punktprzegięcia. f (ln9) = 32 .




1+9e−x dla x ≥ 0.

f ′′(x) > 0⇔ x < ln9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale(0, ln9).f ′′(x) < 0⇔ x > ln9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(ln9,+∞).f ′′(x) = 0⇔ x = ln9.

f ′′ zmienia tu znak, więc f ma punktprzegięcia. f (ln9) = 32 .




1+9e−x dla x ≥ 0.

f ′′(x) > 0⇔ x < ln9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale(0, ln9).f ′′(x) < 0⇔ x > ln9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(ln9,+∞).f ′′(x) = 0⇔ x = ln9. f ′′ zmienia tu znak, więc f ma punktprzegięcia.

f (ln9) = 32 .




1+9e−x dla x ≥ 0.

f ′′(x) > 0⇔ x < ln9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale(0, ln9).f ′′(x) < 0⇔ x > ln9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale(ln9,+∞).f ′′(x) = 0⇔ x = ln9. f ′′ zmienia tu znak, więc f ma punktprzegięcia. f (ln9) = 32 .




1+9e−x dla x ≥ 0.

Dodatkowo, warto zauważyć, że f (0) = 310 i, że pytanie o parzystośćnie ma znaczenia gdy badamy funkcję tylko dla x nieujemnych.




1+9e−x dla x ≥ 0.

Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9,+∞) → +∞

f ′′(x) + + 0 - -f ′(x) + + + + +f (x) 3

10 Ä 32 (pp) ¼ → 3




1+9e−x dla x ≥ 0.


f ′′(x) + + 0 - -

f ′(x) + + + + +f (x) 3

10 Ä 32 (pp) ¼ → 3




1+9e−x dla x ≥ 0.


f ′′(x) + + 0 - -f ′(x) + + + + +

f (x) 310 Ä 3

2 (pp) ¼ → 3




1+9e−x dla x ≥ 0.


f ′′(x) + + 0 - -f ′(x) + + + + +f (x) 3

10 Ä 32 (pp) ¼ → 3



x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9,+∞) → +∞

f (x) 310 Ä 3

2 (pp) ¼ → 3

Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:


Przykład 2 - funkcja logistyczna - uwagi

Funkcji logistycznej używa się do opisu wielkości, które na początkurosną powoli, potem coraz szybciej, a od pewnego momentu ichprzyrost zwalnia, aż do „prawie” stabilizacji w pobliżu maksymalnegopoziomu.

Dobrym przykładem takiego zjawiska jest przyrost ludności w krajachrozwiniętych, gdzie funkcja logistyczna jest znacznie lepszymmodelem niż wykładniczy wzrost z modelu Malthusa.Inny przykład to popularyzacja innowacji w społeczeństwie - najpierwprzyjmują je tylko nieliczni („fajne, ale dobrze mi się żyje bez tego”),potem następuje szybki przyrost popularności (moda i dostosowaniesię do innych), a w końcu powoli przystosowują się ostatni oporni, ażstosują daną innowację niemal wszyscy („ jak można było żyć beztego?”).



Funkcji logistycznej używa się do opisu wielkości, które na początkurosną powoli, potem coraz szybciej, a od pewnego momentu ichprzyrost zwalnia, aż do „prawie” stabilizacji w pobliżu maksymalnegopoziomu.Dobrym przykładem takiego zjawiska jest przyrost ludności w krajachrozwiniętych, gdzie funkcja logistyczna jest znacznie lepszymmodelem niż wykładniczy wzrost z modelu Malthusa.

Inny przykład to popularyzacja innowacji w społeczeństwie - najpierwprzyjmują je tylko nieliczni („fajne, ale dobrze mi się żyje bez tego”),potem następuje szybki przyrost popularności (moda i dostosowaniesię do innych), a w końcu powoli przystosowują się ostatni oporni, ażstosują daną innowację niemal wszyscy („ jak można było żyć beztego?”).



Funkcji logistycznej używa się do opisu wielkości, które na początkurosną powoli, potem coraz szybciej, a od pewnego momentu ichprzyrost zwalnia, aż do „prawie” stabilizacji w pobliżu maksymalnegopoziomu.Dobrym przykładem takiego zjawiska jest przyrost ludności w krajachrozwiniętych, gdzie funkcja logistyczna jest znacznie lepszymmodelem niż wykładniczy wzrost z modelu Malthusa.Inny przykład to popularyzacja innowacji w społeczeństwie - najpierwprzyjmują je tylko nieliczni („fajne, ale dobrze mi się żyje bez tego”),potem następuje szybki przyrost popularności (moda i dostosowaniesię do innych), a w końcu powoli przystosowują się ostatni oporni, ażstosują daną innowację niemal wszyscy („ jak można było żyć beztego?”).


Koniec I semestru

To już jest koniec materiału I semestru wykładu. Tylko zagadnienia zwykładów 1-5 z analizy oraz wykładów 1-3 wstępu mogą się pojawićna poprawkowym zaliczeniu w II terminie sesji zimowej.


5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i ... · 5a. Badanie przebiegu zmienności...

Documents

Transcript of 5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i ... · 5a. Badanie przebiegu zmienności...