1

Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II

Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

E-mail: mproch@sgh.waw.pl

Modele wzrostu gospodarczego

Materiał do zajęć z przedmiotu „Teoria wzrostu”

2

1. Wprowadzenie

Poniższe opracowanie zawiera przegląd modeli wzrostu gospodarczego. Struktura tego

opracowania jest zgodna z ogólnie przyjętą konwencją podziału modeli wzrostu na modele

neoklasyczne i endogeniczne, zaliczane do tzw. nowej teorii wzrostu. O ile ustalenie ogólnej

struktury opracowania nie było problemem, o tyle trudności pojawiły się przy wyznaczaniu

dokładnego kształtu niniejszego tekstu. Wynikały one z obszerności literatury dotyczącej

omawianego tematu i z braku jednej powszechnie stosowanej klasyfikacji modeli wzrostu w

ramach każdej z obu grup.1

W opracowaniu zdecydowaliśmy się przedstawić modele uznane za kluczowe w ramach

każdej z grup. I tak, w grupie ujęć neoklasycznych zostały przedstawione – w swojej

najbardziej typowej formie – modele Solowa, Ramseya i Diamonda, tj. trzy powszechnie

powoływane modele neoklasyczne. W grupie koncepcji endogenicznych omówione zostały

modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz Aghiona i Howitta, stanowiące podstawę nowej teorii

wzrostu. Na końcu zaprezentowany został model Mankiwa-Romera-Weila, którego nie można

zaliczyć do ujęć endogenicznych, gdyż opiera się na modelu Solowa, lecz z racji

uwzględnienia kapitału ludzkiego zaliczany jest do nowej teorii wzrostu. Mimo że w

literaturze pojawia się wiele innych modeli z obu grup, to jednak w większości opierają się

one lub rozszerzają przedstawione tutaj najważniejsze podejścia i m. in. dlatego nie

uwzględniamy ich w niniejszym opracowaniu.

Opracowanie zawiera ogólne spojrzenie na kierunki rozwoju teorii wzrostu oraz

szczegółową analizę najważniejszych modeli. Opis poszczególnych modeli jest dokonywany

według podobnego schematu: począwszy od założeń, poprzez metodę rozwiązania, a

skończywszy na analizie stanu równowagi długookresowej oraz ewentualnie dynamiki okresu

przejściowego. W szczególności nacisk został położony na pokazanie, jaką odpowiedź dają

modele wzrostu na następujące pytania: a) od czego zależy długookresowy wzrost

gospodarczy i różnice w poziomie dochodów między krajami; b) czy model potwierdza

występowanie zjawiska konwergencji, a jeśli tak, to jaki jest współczynnik zbieżności do

stanu równowagi długookresowej; c) czy model dopuszcza występowanie zjawiska

dynamicznej nieefektywności.

Tekst ten jest dość sformalizowany. Wynika to stąd, że każdy model staraliśmy się opisać

bardzo szczegółowo: począwszy od założeń, a skończywszy na analizie stanu równowagi

1 Najważniejszymi publikacjami zawierającymi przegląd modeli wzrostu gospodarczego są: Barro, Sala-i-Martin (1995, 2003), Aghion, Durlauf (2005), Aghion, Howitt (1998) oraz Grossman, Helpman (1993). Struktura tego opracowania jest najbliższa pierwszej z wyżej wymienionych pozycji.

3

długookresowej i dynamiki okresu przejściowego. Jednak biorąc pod uwagę to, że niektóre

wzory matematyczne mogą być mało przejrzyste, w przypadku ważniejszych równań

podajemy też słowne wyjaśnienie ich znaczenia.

Przedstawione w tym opracowaniu modele wzrostu gospodarczego są przede wszystkim

dziełem ekonomistów brytyjskich i amerykańskich. Nie oznacza to jednak, że wkład polskich

ekonomistów w teorię wzrostu gospodarczego był znikomy. Najbardziej znanym modelem

wzrostu gospodarczego opracowanym przez polskiego ekonomistę był model Kaleckiego

(1962), rozwinięty następnie przez Gomułkę, Ostaszewskiego i Daviesa (1990). Z modelu

tego wynika, że w krajach o niskich stopach innowacji (a do takich można zaliczyć kraje

postsocjalistyczne) faktyczne tempo wzrostu gospodarczego może być trwale niższe od

potencjalnego, ponieważ produkcja jest ograniczana przez popyt. W takich warunkach

głównymi determinantami wzrostu PKB są czynniki popytowe. Zgodnie z rozszerzoną wersją

modelu Kaleckiego gospodarka napotka ograniczenia podażowe dopiero wtedy, gdy stopa

innowacji przekroczy pewną wartość graniczną. Podejście Kaleckiego nie zyskało jednak tak

szerokiej akceptacji jak np. model Solowa.2

Opracowanie składa się z 4 punktów. Po wprowadzeniu, w punkcie 2 zostały omówione

neoklasyczne modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Punkt 3 przedstawia modele zaliczane

do nowej teorii wzrostu: model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo,

model Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr, model Aghiona-Howitta z poprawiającą się

jakością dóbr oraz model Mankiwa-Romera-Weila. Punkt 4 zawiera najważniejsze wnioski.

2 Współczesnym wkładem polskich ekonomistów do modelowania wzrostu gospodarczego są m. in. następujące teoretyczne opracowania: Tokarski (1996, 1998, 2002, 2003, 2007ab), Liberda (1996), Domański (2000), Welfe (2000), Panek (2005), Kruszewski (2006), Stanek (2006), Zajączkowska-Jakimiak (2006).

4

2. Modele neoklasyczne

Pierwsze prace obejmujące swoją tematyką zagadnienia związane ze wzrostem

gospodarczym pochodzą z XVIII i XIX wieku. W tym okresie Adam Smith (1776 r.), Thomas

Malthus (1798 r.), David Ricardo (1817 r.) oraz wiele lat później Frank Ramsey, Allyn Young

(oboje 1928 r.), Joseph Schumpeter (1934 r.) i Frank Knight (1944 r.) dostarczyli wiele

elementów wykorzystywanych we współczesnych modelach wzrostu. W swoich pracach

analizują oni m. in. doskonale konkurencyjne zachowania przedsiębiorstw oraz równowagę

całej gospodarki w ujęciu dynamicznym. Omawiają rolę prawa malejących przychodów w

procesie akumulacji kapitału fizycznego i ludzkiego. Przedstawiają wzajemne zależności

między dochodem na 1 mieszkańca a stopą wzrostu liczby ludności. Uwzględniają efekty

postępu technicznego w postaci wzrostu specjalizacji pracy oraz odkrywania nowych dóbr i

technologii. Wskazują, że monopolizacja może być bodźcem do rozwoju technologicznego

(Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 9).

W niniejszym opracowaniu nie będziemy zapuszczać się jednak w odległą historię i

skupimy się na współczesnych modelach wzrostu. Pierwszym ekonomistą, który

sformalizował analizę zjawiska wzrostu gospodarczego, był Robert Solow (Solow, 1956).

Przedstawiony przez niego model, wprowadzający do teorii wzrostu neoklasyczną funkcję

produkcji, zapoczątkował erę neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego. Neoklasyczna

postać funkcji produkcji zakładała stałe przychody ze skali oraz malejącą krańcową

produkcyjność kapitału. Model Solowa aż po dzień dzisiejszy stanowi podstawę teorii

wzrostu. Trzeba jednak pamiętać, że już wcześniej pojawiły się istotne prace z zakresu

współczesnej teorii wzrostu.

W latach 1939 i 1946 zostały opublikowane prace Roya Harroda (Harrod, 1939) oraz

Evseya Domara (Domar, 1946). Ekonomiści ci próbowali połączyć keynesowską analizę

gospodarki z elementami wzrostu gospodarczego. Zgodnie z modelem Harroda-Domara,

tempo wzrostu gospodarczego jest wprost proporcjonalne do stopy inwestycji (równej stopie

oszczędności) i odwrotnie zależne od krańcowej kapitałochłonności produkcji. Opisuje to

następujące równanie:

ysgk

= ,

gdzie: gy – tempo wzrostu realnego PKB, s – stopa inwestycji (stopa oszczędności), k –

współczynnik kapitałochłonności produkcji (nakład inwestycji na jednostkę przyrostu

dochodu narodowego).

5

W 1928 r. został opublikowany artykuł Franka Ramseya o optymalnym poziomie

oszczędności narodów. Obecnie model Ramseya jest powszechnie zaliczany do ujęć

neoklasycznych. Jednak model ten uzyskał znaczącą akceptację wśród ekonomistów dopiero

na początku lat sześćdziesiątych, po pojawieniu się modelu Solowa, a więc około 30 lat po

swym powstaniu. Do grupy neoklasycznej zaliczamy również model Diamonda (Diamond,

1965).

Modele neoklasyczne mają jedną wspólną wadę. Otóż nie wyjaśniają one dobrze

długookresowego wzrostu gospodarczego. Ten bowiem zależy od szeroko rozumianego

postępu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Pożądaną własnością modelu

wzrostu byłaby natomiast endogenizacja postępu technicznego, tak aby wzrost gospodarczy

można było wyjaśniać w ramach modelu, a nie żeby pochodził on z zewnątrz. Koncepcje

neoklasyczne (w swojej podstawowej postaci) nienajlepiej radzą sobie także z wyjaśnianiem

różnic w poziomie dochodów między krajami. Różnice w poziomach kapitału są w

rzeczywistości o wiele za małe, żeby można było mówić o wielkości kapitału fizycznego jako

o przyczynie występowania różnic w dochodach. Na przykład, z modelu Solowa wynika, że

jeżeli produkt na 1 pracownika w Stanach Zjednoczonych jest 10-krotnie wyższy niż w

Indiach, to odpowiadać temu powinna 1000-krotna różnica w wielkości kapitału (przy

założeniu, że część dochodu przypadająca kapitałowi wynosi 1/3). Tak duże różnice w

poziomach kapitału jednak nie występują. Modele Ramseya (o nieskończonym horyzoncie

czasowym) i Diamonda (dwupokoleniowy, o skończonym horyzoncie czasowym) różnią się

od modelu Solowa tym, że stopa oszczędności nie jest egzogeniczna, lecz kształtuje się

endogenicznie w ramach modelu i zależy od decyzji gospodarstw domowych co do

optymalnego podziału swoich dochodów między konsumpcję i oszczędności w

poszczególnych okresach. Dzięki uwzględnieniu problemu maksymalizacji użyteczności

podejścia te pozwalają lepiej analizować kwestie dobrobytu niż model Solowa, jednak w

zasadniczych kwestiach, takich jak m. in. określenie determinant długookresowego wzrostu

gospodarczego, nie różnią się istotnie od niego.

Przedstawimy teraz szczegółowo trzy podstawowe modele neoklasyczne: model Solowa,

model Ramseya oraz model Diamonda.

6

2.1. Model Solowa

Model Solowa, nazywany również modelem Solowa-Swana, został stworzony przez

Roberta Solowa (Solow, 1956) i Trevora Swana (Swan, 1956). W niniejszym opracowaniu

przedstawiamy model Solowa z postępem technicznym zasilającym pracę.

Oznaczmy symbolem F funkcję produkcji. Czynnikami produkcji są: kapitał fizyczny K(t)

oraz efektywny zasób pracy A(t)L(t), będący iloczynem techniki (poziomu wiedzy) A(t) i

liczby ludności (siły roboczej) L(t):3

( ) ( ) ( )( ),F K t A t L t . [1a.1]

Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obydwu czynników produkcji

(kapitału i efektywnego zasobu pracy) oraz malejącą krańcową produkcyjność kapitału. Jedną

z funkcji spełniających te założenia jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1,F K t A t L t K t A t L t

αα − = , [1a.2]

gdzie 0 < α < 1. Technika oraz liczba ludności rosną w stałych tempach, równych

odpowiednio a i n, kształtujących się egzogenicznie:4

( )( )

A ta

A t=

& oraz ( )

( )L t

nL t

=&

. [1a.3]

Przyrost kapitału jest równy inwestycjom (oszczędnościom) pomniejszonym o amortyzację:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),K t sF K t A t L t K tδ= −& , [1a.4]

gdzie s to egzogeniczna stopa oszczędności, a δ jest stopą amortyzacji kapitału.

Analizę dynamiki gospodarki przeprowadzamy dla wielkości kapitału i produkcji na

jednostkę efektywnej pracy, oznaczonych odpowiednio k(t) i f(k(t)):5

KkAL

≡ oraz ( ) ( ) ( ) ( ),, ,1

F K AL K ALf k F F k f kAL AL AL

≡ = = =

. [1a.5]

W celu znalezienia równania opisującego dynamikę gospodarki różniczkujemy względem

czasu definicję k (równanie [1a.5]) i następnie wykorzystujemy równania [1a.3], [1a.4] i

[1a.5]. W efekcie otrzymujemy: 3 W swoim podstawowym modelu Robert Solow zakładał brak postępu technicznego – produkcja zależała tylko od wielkości kapitału i pracy. Solow wprowadził postęp techniczny do funkcji produkcji w rozszerzonej wersji swojego modelu. Postęp ten miał jednak charakter neutralny (według Hicksa), tzn. zmienna reprezentująca poziom techniki występowała w iloczynie z funkcją produkcji: A(t)·F(K(t),L(t)). W niniejszym opracowaniu analizujemy funkcję produkcji z postępem zasilającym pracę (neutralnym w sensie Harroda), gdyż taka specyfikacja funkcji produkcji charakteryzuje się lepszymi własnościami w analizie dynamiki modelu. Można także uwzględniać funkcję produkcji z postępem technicznym zasilającym kapitał: F(A(t)K(t),L(t)). 4 Kropka nad daną zmienną oznacza jej pochodną po czasie. 5 W dalszej części opracowania pomijamy indeksy czasowe t przy zmiennych zależnych od czasu w celu zachowania przejrzystości przedstawianych obliczeń.

7

( ) ( )k sf k n a kδ= − + +& . [1a.6]

Powyższe równanie jest podstawową formułą opisującą dynamikę gospodarki w modelu

Solowa. Przyrost kapitału na jednostkę efektywnej pracy jest równy faktycznym inwestycjom

sf(k) pomniejszonym o inwestycje restytucyjne (n + a + δ)k.

Uwzględniając to, że krańcowy produkt kapitału jest dodatni i maleje (f’(k) > 0 i f”(k) < 0),

oraz fakt, że brak nakładów skutkuje brakiem produkcji (f(0) = 0), jak również wprowadzając

dodatkowe założenia co do pożądanego kształtu funkcji produkcji, tzw. warunki Inady (Inada,

1963) (limk→∞f’(k) = 0; limk→0f’(k) = ∞), dynamikę gospodarki oraz stan równowagi

długookresowej możemy wyznaczyć w postaci graficznej. Ilustruje to rysunek 1.1.

Rysunek 1.1 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Solowa

Równowaga długookresowa (stan ustalony)6 występuje w punkcie przecięcia się krzywych

sf(k) i (n + a + δ)k. W punkcie tym kapitał i produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie

zmieniają się w czasie (z [1a.6] wynika bowiem, że jeśli sf(k) = (n + a + δ)k, to dk/dt = 0).

Jak zatem w stanie ustalonym zmieniają się PKB ogółem (Y = F(K,AL)) i PKB na 1

mieszkańca (Y/L)? W celu odpowiedzi na to pytanie należy zróżniczkować względem czasu

równania definicyjne Y ≡ f(k)AL i Y/L ≡ f(k)A (zob. [1a.5]). W efekcie otrzymujemy:

( )( )

f kY A LY f k A L

= + +& && &

oraz ( )( )

//

f kY L AY L f k A

= +&& &

. [1a.7]

W stanie ustalonym produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie zmienia się (df/dt/f = 0), zaś

technika i siła robocza rosną w stałych tempach równych odpowiednio a i n. Doszliśmy tym 6 Ang. steady-state, tłumaczony także jako stan stacjonarny lub stan równowagi dynamicznej.

k&

( )( )0f k

( )f k

( )sf k

( )n a kδ+ +

( )0k *k k

( )*sf k

*c

( )1k ( )2k

k& k&

( )*f k

8

samym do dwóch ważnych wniosków wynikających z modelu Solowa. W stanie równowagi

długookresowej:

1) tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby

ludności,

2) tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi technicznemu.

Powyższe wnioski wskazują jednocześnie na główną, wspomnianą wcześniej, słabość modeli

neoklasycznych, a mianowicie, że wzrost gospodarczy zależy od zmiennych egzogenicznych,

kształtujących się poza modelem.

Stan ustalony w modelu Solowa jest stabilny. Oznacza to, że niezależnie od początkowego

poziomu kapitału (pomijając k(0) = 0) gospodarka zawsze będzie dochodziła do stanu

ustalonego. Jeśli bowiem k(0) < k*, to sf(k) > (n + a + δ)k (zob. rysunek 1.1), k będzie rosło w

czasie i w końcu osiągnie poziom k*. W trakcie okresu przejściowego tempo wzrostu PKB

(ogółem i na 1 mieszkańca) jest wyższe niż w stanie równowagi długookresowej, gdyż kapitał

i produkcja na jednostkę efektywnej pracy rosną, a zatem df/dt/f > 0 we wzorach [1a.7].

Powyższa własność modelu Solowa, wskazująca na szybsze tempo wzrostu gospodarczego

w trakcie okresu przejściowego, ma bardzo ważne znaczenie ekonomiczne. Mianowicie,

model Solowa potwierdza występowanie zjawiska konwergencji (zbieżności) warunkowej

(typu β). Konwergencja (typu β) oznacza, że kraje słabiej rozwinięte (o niższym poziomie

PKB per capita) wykazują szybsze tempo wzrostu gospodarczego niż kraje wyżej rozwinięte.

Zbieżność potwierdzona przez model Solowa jest warunkowa, gdyż występuje tylko wtedy,

gdy gospodarki dążą do tego samego stanu równowagi długookresowej.

W celu wykazania występowania zjawiska zbieżności dzielimy równanie [1a.6] przez k i

następnie różniczkujemy względem k:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

/ ' / ( ) 0d k k f k f k k f kd dF d ALs n a s s

dk dk k k kδ

⋅ −= − + + = = − <

&. [1a.8]

Równanie [1a.8] informuje, że tempo wzrostu kapitału na jednostkę efektywnej pracy maleje

wraz ze wzrostem k (ujemna pochodna względem k). Oznacza to, że im wyższy jest poziom

kapitału i produkcji, tym niższe jest tempo wzrostu tych zmiennych, co wskazuje na

występowanie zjawiska konwergencji.

Występowanie zjawiska konwergencji można także wykazać za pomocą log-linearyzacji

równania ruchu [1a.6], opisującego dynamikę gospodarki. Metoda ta pozwala obliczyć

współczynnik szybkości zbieżności, informujący, jaki procent odległości w kierunku stanu

ustalonego gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu. Przy założeniu, że funkcja

9

produkcji jest typu Cobba-Douglasa o postaci f(k) = Bkα (B > 0), równanie [1a.6] można

zapisać jako:

( ) ( ) ( )1 1 lnlnln kkk sBe n a sBe n aα αδ δ

− −= − + + = − + +& . [1a.9]

Następnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego w celu

znalezienia przybliżonej ścieżki czasowej dla lnk:

( ) ( )( )( )dla stanu ustalonego

lnln ln * ln ln * 1 ln ln *ln

d kk k k k n a k kd k

α δ≈ + × − = − + + −&

& & . [1a.10]

Rozwiązanie równania różniczkowego [1a.10] jest następujące:

( )( ) ( )( )1ln ln * ln 0 ln * n a tk k k k e α δ− − + += + − , [1a.11]

co w kategoriach produkcji na jednostkę efektywnej pracy można zapisać jako:

( )( ) ( )( )1ln ln * ln 0 ln * n a ty y y y e α δ− − + += + − . [1a.12]

Definiując:

( )( )1 0n aβ α δ= − + + > [1a.13]

oraz różniczkując [1a.12] względem czasu, uzyskujemy:

( )ln * lny y yy

β= −&

. [1a.14]

Równanie [1a.14] informuje, że tempo wzrostu gospodarczego zależy od odległości

dzielącej gospodarkę od jej stanu ustalonego. Parametr β mierzy szybkość zbieżności. β

określa bowiem, jaki procent odległości w kierunku stanu równowagi długookresowej

gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu.

Przedstawimy teraz wpływ stopy oszczędności na dynamikę gospodarki. Otóż zgodnie z

modelem Solowa egzogeniczna stopa oszczędności nie wpływa na tempo wzrostu

gospodarczego w stanie równowagi długookresowej, lecz jedynie na poziom dochodu w

równowadze (wyższa stopa oszczędności oznacza wyższe położenie funkcji sf(k) i w efekcie

wyższy poziom k*). Wpływ zmian stopy oszczędności na wzrost gospodarczy jest jedynie

przejściowy – podwyższenie stopy oszczędności prowadzi do wyższego tempa wzrostu w

trakcie okresu przejściowego (kiedy gospodarka dąży do nowego stanu ustalonego).

Model Solowa dopuszcza występowanie zjawiska dynamicznej nieefektywności, a zatem

gospodarka nie musi znaleźć się w punkcie optymalnym w sensie Pareta. Przyczyną tego jest

egzogenicznie kształtowana stopa oszczędności, której zbyt wysoki poziom prowadzi do

nadmiernej akumulacji kapitału w gospodarce. W celu znalezienia stopy oszczędności

maksymalizującej wielkość konsumpcji w warunkach równowagi długookresowej,

10

różniczkujemy c ≡ (1 – s)f(k) względem s, wykorzystując fakt, że w stanie ustalonym

sf(k*) = (n + a + δ)k*:

( ) ( )( )* *' *dc dkf k n ads ds

δ= − + + . [1a.15]

Ponieważ dk*/ds > 0 (wzrost stopy oszczędności zwiększa poziom k*), znak dc*/ds zależy

od wzajemnej relacji między f’(k*) i (n + a + δ). Jeżeli f’(k*) < (n + a + δ), to w gospodarce

występuje zjawisko dynamicznej nieefektywności, gdyż wzrost konsumpcji może nastąpić w

efekcie obniżki stopy oszczędności. Z [1a.15] wynika, że stopa oszczędności powinna

obniżyć się do poziomu, przy którym f’(k*) = (n + a + δ). Wówczas konsumpcja jest

maksymalna, a odpowiadający jej poziom kapitału nazywamy poziomem kapitału zgodnym

ze złotą regułą.7

Podsumowując, analiza modeli wzrostu gospodarczego obejmuje zarówno stan ustalony,

który oznacza równowagę długookresową, jak i etap przejściowy (tj. okres dochodzenia

gospodarki do stanu ustalonego), który ma charakter krótkookresowy. Na przykład, z

przedstawionego tutaj modelu Solowa wynika, że w stanie ustalonym tempo wzrostu

gospodarczego jest równe sumie tempa postępu technicznego i tempa wzrostu liczby

ludności, co implikuje, że te dwie zmienne są determinantami długookresowego wzrostu

gospodarczego. Niemniej jednak, model Solowa można także zastosować do analizy

czynników wzrostu w krótkim okresie. Wzrost stopy oszczędności (równej stopie inwestycji)

powoduje wprowadzenie gospodarki na trajektorię okresu przejściowego i skutkuje

tymczasowym przyspieszeniem tempa wzrostu gospodarczego. Oznacza to, że zgodnie z

modelem Solowa zmiany stopy inwestycji są czynnikiem krótkookresowego wzrostu

gospodarczego. W podobnych kategoriach można analizować większość pozostałych modeli

wzrostu gospodarczego.

7 Ang. golden rule: f’(kGOLD) = n + a + δ. Jak widać, zgodnie ze złotą regułą krańcowy produkt kapitału musi się równać sumie tempa wzrostu liczby ludności, postępu technicznego i stopy amortyzacji. Wówczas styczna do funkcji produkcji f(k) na rysunku 1.1 jest równoległa do linii (n + a + δ)k i w efekcie wielkość konsumpcji jest maksymalna.

11

2.2. Model Ramseya8

Model Ramseya zawdzięcza swą nazwę Frankowi Ramseyowi, brytyjskiemu ekonomiście,

który w 1928 r. opublikował artykuł o optymalnym poziomie oszczędności (Ramsey, 1928).

Ujęcie Ramseya zostało rozwinięte przez Davida Cassa i Tjallinga Koopmansa (Cass, 1965;

Koopmans, 1965) i dlatego nosi również nazwę modelu Ramseya-Cassa-Koopmansa.

Główna różnica między modelem Ramseya a modelem Solowa dotyczy kształtowania się

stopy oszczędności. Stopa oszczędności, która w teorii Solowa była egzogeniczna, w

podejściu Ramseya kształtuje się endogenicznie na podstawie decyzji optymalizacyjnych

podejmowanych przez maksymalizujące użyteczność gospodarstwa domowe.

W niniejszej pracy przedstawimy analizę modelu Ramseya dla gospodarki doskonale

konkurencyjnej. Zakładamy – podobnie jak w modelu Solowa – że technika i siła robocza

rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n (tzn. A(t) = A(0)eat; L(t) = L(0)ent).

Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obu czynników produkcji (kapitału

fizycznego i efektywnej pracy), charakteryzuje się malejącą produkcyjnością każdego

czynnika i spełnia warunki Inady.

Przedsiębiorstwa wytwarzają homogeniczny produkt zgodnie z funkcją produkcji

F(K, AL). Czynniki produkcji (praca i kapitał) są nabywane od gospodarstw domowych po

cenach równych odpowiednio r + δ i w (r – stopa procentowa, w – stawka płacy).

Przedsiębiorstwa dążą do maksymalizacji zysku:

( ) ( ), max.F K AL r K wLπ δ= − + − → [1b.1]

Warunki pierwszego rzędu dπ/dK = 0 i dπ/dL = 0 prowadzą do standardowych równań

zrównujących krańcowy produkt danego czynnika z jego ceną, co w przeliczeniu na jednostkę

efektywnej pracy można zapisać:

( )'r f k δ= − oraz ( ) ( )'w A f k kf k = − . [1b.2]

Analiza zachowań gospodarstw domowych jest bardziej skomplikowana. Ludzie żyją

nieskończenie długo. Każda dorosła osoba dostarcza na rynek jedną jednostkę pracy

niezależnie od wysokości płac. W gospodarce jest N gospodarstw domowych (N = const.),

które rozrastają się (tzn. zwiększają liczbę swoich członków) w tempie n. Celem

konsumentów jest maksymalizacja użyteczności z konsumpcji w ciągu całego życia. Funkcję

użyteczności gospodarstwa domowego można zapisać następująco:

8 Analiza modelu Ramseya i większości następnych modeli wzrostu wymaga znajomości rachunku różniczkowego, rachunku wariacyjnego i teorii sterowania. Opis tych procedur matematycznych znajduje się m. in. w: Chiang (1992, 1994), Klein (1998).

12

( )0

tpc

LU e u c dtN

ρ∞

−= ∫ , [1b.3]

gdzie u(cpc) to użyteczność z konsumpcji osiągana przez jedną osobę9, L/N to liczba członków

jednego gospodarstwa domowego, a ρ jest stopą preferencji czasowych (ρ > 0). Im wyższe ρ,

tym wyższą wartość gospodarstwa domowe przywiązują do bieżącej konsumpcji. Zakładamy,

że krańcowa użyteczność jest dodatnia i maleje (u’(c) > 0; u”(c) < 0) oraz że funkcja

użyteczności spełnia warunki Inady (limc→∞u’(c) = 0; limc→0u’(c) = ∞). Podstawiając

L(t) = L(0)ent, dzieląc użyteczność przez L(0)/N = const. i przyjmując, iż funkcja użyteczności

jest typu CRRA10, problem optymalizacyjny konsumenta możemy sformułować następująco:

( )1

0

1max.

1n t pcc

U e dtσ

ρ

σ

−∞− −

= →−∫

[1b.4]

p.w. (a) pc pc pc pck w rk c nk= + − −& ; (b) ( )0 0k > dane.

Warunek ograniczający w równaniu [1b.4] to ograniczenie budżetowe11, zgodnie z którym

przyrost kapitału na 1 mieszkańca jest równy dochodom (z pracy i kapitału) pomniejszonym o

konsumpcję i o składnik wynikający z ogólnego wzrostu liczby ludności kraju. Aby całka

była zbieżna, zakładamy dodatkowo ρ > n.

W celu rozwiązania [1b.4] należy skonstruować hamiltonian wartości zaktualizowanej:

( )1 11pc

pc pc pc

cH w rk c nk

σ

θσ

− −= + + − −

− [1b.5]

i następujące warunki pierwszego rzędu:

0pc

Hc

∂=

∂; ( )

pc

Hnk

θ θ ρ ∂= − −

∂& ; pc

Hkθ

∂=

∂& ; ( )lim 0n t

pcte kρ θ−

→∞= , [1b.6]

gdzie ostatni warunek to tzw. warunek transwersalności. Zmienna θ, która pojawiła się w 9 Należy rozróżnić zmienne na 1 mieszkańca (per capita) od zmiennych na jednostkę efektywnej pracy. Te pierwsze są oznaczone indeksem dolnym „cp” i powstają po podzieleniu wielkości całkowitych przez liczbę ludności L. Natomiast zmienne na jednostkę efektywnej pracy uzyskujemy dzieląc wielkości całkowite przez zasób efektywnej pracy AL. 10 W modelach optymalizacyjnych stosuje się najczęściej dwa typy funkcji użyteczności: CRRA (constant relative risk aversion) i CARA (constant absolute risk aversion). Funkcje te mają następującą postać:

CRRA: ( )1 1 dla 0, 11

cu cσ

σ σσ

− −= > ≠

− oraz ( ) ln dla 1u c c σ= = ; CARA: ( ) 1 dla 0cu c e γ γ

γ−= − > .

Dla funkcji CRRA elastyczność substytucji (–u’(c)/u”(c)c) wynosi 1/σ, zaś elastyczność krańcowej użyteczności względem konsumpcji (u”(c)c/u’(c)) jest równa –σ. Dla funkcji CARA wielkości te wynoszą (γc)–1 i –γc. Nazwy obu funkcji wynikają z faktu, iż w przypadku funkcji CRRA miara Arrowa-Pratta względnej awersji do ryzyka (–u”(c)c/u’(c)) jest stała i równa σ, zaś w przypadku funkcji CARA miara Arrowa-Pratta absolutnej awersji do ryzyka (–u”(c)/u’(c)) jest stała i równa γ. 11 W celu znalezienia ograniczenia budżetowego wykorzystujemy równanie PKB: Y = C + dK/dt + δK oraz fakt, że w gospodarce doskonale konkurencyjnej brak jest zysków w długim okresie: Y = (r + δ)K + wL. Dzieląc oba równania przez L i przyrównując do siebie, uzyskujemy ograniczenie budżetowe.

13

[1b.5], to zmienna sprzężona z równaniem ruchu na kapitał. Wycenia ona oszczędności

gospodarstw domowych, tzn. wskazuje, jak oszczędności w danym okresie przyczyniają się

do wzrostu użyteczności w kolejnych okresach (poprzez wpływ na przyszły wzrost

konsumpcji). Warunek transwersalności informuje, że na koniec okresu (gdy t → ∞)

postępujące optymalnie gospodarstwo domowe powinno pozbyć się całego kapitału albo też

pozostawiony kapitał nie powinien posiadać żadnej wartości. Rozwiązując [1b.6],

uzyskujemy następujące równania charakteryzujące dynamikę zachowań gospodarstw

domowych:

pc

pc

c rc

ρσ−

=&

; pc pc pc pck w rk c nk= + − −& ; ( ) ( )lim 0 0n r tpct

k eθ −

→∞= . [1b.7]

Pierwsze z równań [1b.7] to równanie Eulera informujące, że konsumpcja rośnie w czasie,

jeżeli stopa procentowa jest wyższa niż stopa preferencji czasowych, tzn. jeżeli przychód z

oszczędności netto przewyższa spadek użyteczności związany z przeniesieniem konsumpcji

na następny okres. O sile tego oddziaływania decyduje elastyczność substytucji 1/σ.

Łącząc wyniki optymalizacji przedsiębiorstw ([1b.2]) i gospodarstw domowych ([1b.7]),

otrzymujemy ostateczne równania opisujące dynamikę gospodarki w modelu Ramseya:

( )'f k acc

δ ρ σσ

− − −=

&; ( ) ( )k f k c n a kδ= − − + +& ; ( ) ( ) ( )( )'lim 0 0 0n f k a t

tA ke δθ − + +

→∞= . [1b.8]

Dwa pierwsze równania to równania ruchu dla konsumpcji i kapitału na jednostkę efektywnej

pracy, trzecie zaś równanie jest warunkiem transwersalności.

Stan równowagi długookresowej, otrzymany przez przyrównanie równań ruchu dla c i k do

zera, charakteryzują następujące warunki:

( )' *f k aδ ρ σ= + + oraz ( ) ( )* * *c f k n a kδ= − + + , [1b.9]

powiększone o warunek transwersalności, z którego wynika, że ρ > n + a(1 – σ). Graficzną

postać otrzymanych wyników przedstawia rysunek 1.2.

Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia krzywych dc/dt = 0 i dk/dt = 0. Jest on

punktem siodłowym, położonym na jednej trajektorii stabilnej i jednej niestabilnej.

Gospodarka startująca z początkowego poziomu kapitału k(0) zawsze może osiągnąć stan

ustalony pod warunkiem, że w okresie początkowym zostanie wybrany poziom konsumpcji

c(0)S, który wprowadzi gospodarkę na trajektorię stabilną T2T2. Jeżeli poziom konsumpcji

będzie za niski (np. c(0)M), to gospodarka będzie zmierzała do punktu na osi odciętych, zaś

gdy poziom konsumpcji będzie za wysoki (np. c(0)D), gospodarka dojdzie do punktu na osi

rzędnych i skokowo wróci do początku układu współrzędnych. Oba te przypadki

14

wykluczamy, gdyż nie spełniają albo warunku transwersalności, albo równania ruchu

zmiennej c.

Rysunek 1.2 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Ramseya

W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej

pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego

oraz tempa wzrostu liczby ludności (czyli zmiennych kształtowanych egzogenicznie), a tempo

wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi technicznemu. Model Ramseya daje

zatem taką samą odpowiedź jak model Solowa na pytanie o przyczyny długookresowego

wzrostu gospodarczego.

Model Ramseya – w przeciwieństwie do modelu Solowa – jest optymalny w sensie Pareta.

Endogeniczna stopa oszczędności uniemożliwia nadmierną akumulację kapitału i tym samym

zapobiega pojawieniu się zjawiska dynamicznej nieefektywności. Formalny dowód

występowania optymalności w sensie Pareta wymaga rozwiązania problemu

optymalizacyjnego centralnego planisty, który maksymalizuje użyteczność wszystkich osób

przy ograniczeniu w postaci równania ruchu na kapitał:

( )1

0

10 max.

1pct ntc

U e L e dtσ

ρ

σ

−∞− −

= →−∫ [1b.10]

p.w. (a) ( ) ( )k f k c n a kδ= − − + +& ; (b) ( )0 0k > dane.

Rozwiązując [1b.10] przy użyciu hamiltonianu i odpowiednich warunków pierwszego rzędu,

dochodzimy do równań, które są identyczne jak równania [1b.8] opisujące dynamikę

gospodarki doskonale konkurencyjnej.

0c =&

k *k ( )0k

c

( )0 Dc

*c

0k =&

B

A T2

T2

( )0 Mc ( )0 Sc

GOLDk

15

Dynamiczną efektywność modelu Ramseya można odczytać z analizy wykresu fazowego.

Na rysunku 1.2 kGOLD jest poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję, czyli zgodnym

ze złotą regułą: f’(kGOLD) = n + a + δ. Zasób kapitału w stanie ustalonym w modelu Ramseya

jest natomiast wyznaczony na podstawie równania: f’(k*) = δ + ρ + aσ. Ponieważ z warunku

transwersalności wynika, że ρ + aσ > n + a, poziom kapitału w stanie równowagi

długookresowej w modelu Ramseya jest zawsze niższy od poziomu zgodnego ze złotą regułą.

Ten niższy poziom kapitału nosi nazwę zmodyfikowanej złotej reguły. Im wyższe ρ, tym

większa jest różnica między poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję a poziomem

kapitału w zmodyfikowanej złotej regule.

Model Ramseya – podobnie jak model Solowa – potwierdza występowanie zjawiska

konwergencji warunkowej. W celu określenia szybkości zbieżności log-linearyzujemy

równanie [1b.8] przy upraszczającym założeniu, że funkcja produkcji jest typu Cobba-

Douglasa, f(k) = kα. Równania ruchu dla kapitału i konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy

będą miały zatem następującą postać:

( ) ( )1 ln ln lnln k c kk e e e n aα δ− −= − − + +& ; ( )( )1 ln1ln kc e aαα δ ρ σσ

−= − − −& . [1b.11]

Stosując dla powyższego układu równań różniczkowych rozszerzenie Taylora pierwszego

rzędu wokół stanu ustalonego, uzyskujemy wartości własne macierzy charakterystycznej o

różnych znakach (λ1 > 0, λ2 < 0), co oznacza, iż stan ustalony ma charakter ścieżki siodłowej:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1

1,2

11 1 40

2

n a n a a n a aαρ σ ρ σ α δ ρ σ δ δ ρ σσλ

− − − − − ± − − − − + + − + + + + >=

<. [1b.12]

Żeby wyznaczyć siłę efektu zbieżności, rozwiązanie ogólne układu równań [1b.11] dla lnk:

lnk = lnk* + A1eλ1t + A2eλ2t przekształcamy do postaci określonej, podstawiając A1 = 0

(ponieważ w przeciwnym przypadku warunek transwersalności albo równanie ruchu zmiennej

c nie są spełnione) i wyliczając A2 z warunku początkowego. Wykorzystując następnie fakt,

że y = kα, otrzymujemy:

( )( )ln * ln ln * ln 0 ty y y y e β−− = − , [1b.13]

gdzie β ≡ –λ2 > 0 jest parametrem decydującym o szybkości zbieżności do stanu ustalonego:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 11 1 11 4 12 2

n a a n a a n aαβ ρ σ α δ ρ σ δ δ ρ σ ρ σσ

− − = − − − − + + − + + + + − − − − . [1b.14]

Po zróżniczkowaniu [1b.13] względem czasu tempo wzrostu gospodarczego można zapisać

następująco:

16

( )ln * lny y yy

β= −&

. [1b.15]

Równania [1b.14] i [1b.15] są analogiczne do równań [1a.13] i [1a.14], charakteryzujących

zjawisko konwergencji wyjaśniane przez model Solowa. Równanie [1b.15] wskazuje, że

tempo wzrostu gospodarczego maleje wraz ze zbliżaniem się gospodarki do stanu ustalonego,

a parametr β, określony wzorem [1b.14], decyduje o szybkości zbieżności.

17

2.3. Model Diamonda

Model Diamonda – w przeciwieństwie do prac Solowa i Ramseya – charakteryzuje się

skończonym horyzontem czasowym i uwzględnia zmiany demograficzne. Modele takie,

określane także jako OLG (ang. overlapping-generations models), powstały dzięki pracom

Paula Samuelsona (Samuelson, 1958) i Petera Diamonda (Diamond, 1965). Podejście

Samuelsona różni się od przedstawionej tutaj koncepcji Diamonda tym, że nie obejmuje

akumulacji kapitału.12

Model Diamonda uwzględnia zmiany demograficzne: rodzą się wciąż młode pokolenia

(jednostki), a stare ciągle odchodzą. Gospodarstwa domowe żyją przez dwa okresy. W

pierwszym okresie ich członkowie są młodzi, pracują, osiągają dochód, który dzielą między

bieżącą konsumpcję i oszczędności. Oszczędności powiększone o odsetki służą do

finansowania konsumpcji w drugim okresie, kiedy ludzie są starzy i nie pracują. Pomimo

powyższych modyfikacji, model Diamonda podobnie jak modele Solowa i Ramseya wyjaśnia

długookresowy wzrost gospodarczy i dlatego jest zaliczany do modeli neoklasycznych.

Scharakteryzujemy teraz model Diamonda dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.

Poziom techniki i siła robocza rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n:13

At = At–1(1 + a) oraz Lt = Lt–1(1 + n). Funkcja produkcji F(Kt,AtLt) wykazuje stałe przychody

względem kapitału i efektywnego zasobu pracy, charakteryzuje się malejącą krańcową

produkcyjnością każdego czynnika oraz spełnia warunki Inady.

Analiza zachowań przedsiębiorstw w modelu Diamonda jest identyczna jak w modelu

Ramseya. Warunkiem maksymalizacji zysku jest zrównanie krańcowego produktu danego

czynnika z jego ceną (por. [1b.2]):

( )'t tr f k δ= − oraz ( ) ( )'t t t t tw A f k k f k = ⋅ − . [1c.1]

Przejdziemy teraz do analizy zachowań gospodarstw domowych. Oznaczmy przez c1t

konsumpcję młodej osoby, a przez c2t konsumpcję osoby starej w okresie t. Niech ρ > 0

będzie stopą preferencji czasowych. Funkcja użyteczności poszczególnych osób jest sumą

użyteczności z konsumpcji dóbr w obu okresach życia (młodości i starości):14

( ) ( )1 11 2 1

1 2 11 11 1

1 1 1 1t t

t t tc cU u c u c

σ σ

ρ σ ρ σ

− −+

+

− −= + = +

+ − + −. [1c.2]

12 Nieco innym modelem o skończonym horyzoncie czasowym jest model Blancharda (Blanchard, 1985). 13 Ponieważ w modelu Diamonda jednostki żyją przez dwa okresy, do jego analizy używa się czasu dyskretnego, a nie – jak we wcześniejszych modelach – czasu ciągłego. Wszystkie zmienne muszą być zatem oznaczone indeksem dolnym, wskazującym na odpowiedni okres. Trzeba pamiętać, aby nie utożsamiać jednego okresu z jednym rokiem. Jeden okres w modelu Diamonda odpowiada długości życia jednego pokolenia, tj. ok. 30 lat. 14 Konsumpcja ludzi młodych urodzonych w okresie t to c1t. Osoby urodzone w okresie t są jednak stare w następnym okresie, t + 1, toteż ich konsumpcja w okresie starości jest zapisywana jako c2t+1.

18

Użyteczność z okresu starości jest dyskontowana stopą preferencji czasowych, co oznacza, że

jednostki preferują konsumpcję w okresie młodości. Każda młoda osoba pracuje, dostarczając

na rynek jedną jednostkę pracy. Uzyskany dochód wt przeznacza na konsumpcję w okresie

młodości c1t i na oszczędności stwt (st – stopa oszczędności). Oszczędności powiększone o

odsetki służą do finansowania konsumpcji w okresie starości: c2t+1 = (1 + rt+1)stwt. A zatem

ograniczeniem budżetowym gospodarstwa domowego jest:

1 2 11

11t t t

t

c c wr +

+

+ =+

. [1c.3]

Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność z konsumpcji w obu okresach życia

([1c.2]) przy ograniczeniu budżetowym ([1c.3]). W celu rozwiązania tego problemu

optymalizacyjnego należy skonstruować funkcję Lagrange’a: 1 11 2 1

1 2 11

1 11 11 1 1 1

t tt t t

t

c c c c wr

σ σ

λσ ρ σ

− −+

++

− −= + + + − − + − +

l [1c.4]

i odpowiednie warunki pierwszego rzędu:

1/ 0tc∂ ∂ =l ; 2 1/ 0tc +∂ ∂ =l ; / 0λ∂ ∂ =l . [1c.5]

Rozwiązując dwa pierwsze z powyższych warunków i dzieląc je przez siebie uzyskujemy

równanie wskazujące na optymalny podział konsumpcji w obu okresach życia jednostek: 1

2 1 1

1

11

t t

t

c rc

σ

ρ+ + +

= + . [1c.6]

Równanie [1c.6] jest bardzo podobne do pierwszego z równań [1b.7] w modelu Ramseya.

Obie formuły wskazują, że kierunek zmian konsumpcji w czasie zależy od wzajemnej relacji

między stopą procentową a stopą preferencji czasowych. Jeżeli stopa procentowa jest wyższa

niż stopa preferencji czasowych, to konsumpcja rośnie w czasie; jeżeli niższa – konsumpcja

maleje w czasie; zaś jeśli rt+1 = ρ, wówczas konsumpcja w czasie jest stała. Elastyczność

substytucji funkcji użyteczności 1/σ informuje o sile oddziaływania różnicy między stopą

procentową a stopą preferencji czasowych na zmiany konsumpcji w czasie.

Podstawiając c2t+1, uzyskane z równania [1c.6], do ograniczenia budżetowego [1c.3] i

wykorzystując następnie fakt, że c1t = (1 – st)wt, uzyskujemy stopę oszczędności:

( ) ( )( ) ( ) σ

σσ

σσ

ρ−

+

−

++

+++

+= 1

1

1

1

11

11

1

t

tt

r

rrs . [1c.7]

Stopa oszczędności należy do przedziału (0;1). Żeby określić, jak się ona zmienia pod

wpływem zmian stopy procentowej, różniczkujemy [1c.7] względem rt+1:

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1 1

11 1

1

1 1 1 / 1 1tt t

t

ds rr r

dr

σ σσ σ σ σ

σ ρ ρσ

− −+

+ ++

− = + + + + +

. [1c.8]

Powyższe równanie wskazuje, że wpływ stopy procentowej na oszczędności zależy od

tego, czy σ jest większa czy mniejsza od jedności. Jeżeli σ < 1, stopa oszczędności rośnie pod

wpływem wzrostu stopy procentowej; jeżeli σ > 1, stopa oszczędności maleje wraz ze

wzrostem stopy procentowej; jeżeli σ = 1, stopa oszczędności nie zależy od r. Jak zatem

widać, wzrost stopy procentowej wywołuje potencjalnie dwa efekty: substytucyjny i

dochodowy.

Przejdziemy teraz do analizy dynamiki całej gospodarki. Oznaczmy przez Ct łączną

konsumpcję wszystkich osób żyjących w okresie t. Ponieważ w okresie t żyje Lt młodych

jednostek i Lt–1 starych jednostek, Ct = c1tLt + c2tLt–1. Przyrost kapitału Kt+1 – Kt to inwestycje

It pomniejszone o amortyzację kapitału δKt. Przedsiębiorstwa w długim okresie nie osiągają

zysków, a zatem produkcja jest równa sumie wynagrodzeń czynników wytwórczych:

Yt = wtLt + (rt + δ)Kt. Wykorzystując powyższe zależności, tożsamość dochodu Yt = Ct + It

można zapisać jako:

1 2 1 1t t t t t t t t t t t tw L r K K c L c L K K Kδ δ− ++ + = + + − + . [1c.9]

Konsumpcja osób starych musi się równać ich oszczędnościom, czyli kapitałowi w danym

okresie powiększonym o odsetki: c2tLt–1 = Kt(1 + rt). A zatem, równanie [1c.9] przekształca

się do postaci:

1t t t tK s w L+ = . [1c.10]

Powyższy wzór wskazuje, że łączna wielkość oszczędności społeczeństwa w okresie t jest

równa wielkości kapitału w następnym okresie. Równanie [1c.10] przeliczone na jednostkę

efektywnej pracy jest następujące:

( ) ( )( )1 / 1 1t t t t t tk s w L A L a n+ = + + . [1c.11]

Wykorzystując [1c.7] i [1c.1], z [1c.11] uzyskujemy ostateczne równanie ruchu opisujące

dynamikę gospodarki w modelu Diamonda:

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )1

11 11

1

1 '1 1 '1 1 1 1 '

tt t t t

t

f kk f k k f k

a n f k

σσ

σσσ

δ

ρ δ

−

++ −

+

+ − = − + + + + + −

. [1c.12]

Powyższe równanie jest nieliniowym równaniem różnicowym opisującym dynamikę

kapitału na jednostkę efektywnej pracy. Dla każdej wielkości k w okresie t równanie to

określa w sposób uwikłany wartość k w okresie t + 1. Ponieważ równanie [1c.12] określa

20

zależność między kt a kt+1 w sposób uwikłany, w celu znalezienia równowagi długookresowej

i dynamiki okresu przejściowego należy rozpatrywać konkretne postacie funkcji produkcji i

funkcji użyteczności.

Załóżmy, że funkcja produkcji jest typu Cobba-Douglasa f(kt) = Bktα (B > 0), a funkcja

użyteczności jest logarytmiczna (σ = 1). W takim przypadku [1c.12] upraszcza się do postaci:

( )11 1 1 1

1 1 2t t tk B k ka n

α ααρ+ = − ≡ Θ

+ + +, 0Θ > . [1c.13]

W stanie równowagi długookresowej kapitał na jednostkę efektywnej pracy jest stały, a

zatem: kt = kt+1 = k*. Wykorzystując ten fakt, z równania [1c.13] otrzymujemy wielkość

kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym:

( )1

11 1 1* 11 1 2

k Ba n

αα

ρ

− = − + + +

. [1c.14]

Rysunek 1.3 ilustruje rozwiązanie równania [1c.13] w postaci graficznej.

Rysunek 1.3 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Diamonda

kt

kt+1

k*

k*

k0 k1

k1

k2

k2

kt+1 = Θktα

45°

Rysunek 1.3 przedstawia kt+1 jako funkcję kt. Stan ustalony znajduje się w punkcie

przecięcia tej funkcji z linią 45°. Ponieważ funkcja kt+1 jest rosnąca, wypukła ku górze i

spełnia warunki Inady, przecina ona linię 45° od góry i tylko raz. Oznacza to, że występuje

jeden stabilny stan równowagi długookresowej (pomijając k* = 0). A zatem, z każdego

początkowego poziomu kapitału (wyłączając k0 = 0) gospodarka zbiega do stanu ustalonego.

W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej

pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego

oraz tempa wzrostu liczby ludności, a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe

postępowi technicznemu. A zatem, model Diamonda w taki sam sposób jak modele Solowa i

21

Ramseya określa determinanty długookresowego wzrostu gospodarczego.15

Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Diamonda jest dynamicznie

nieefektywna, mimo występowania endogenicznej stopy oszczędności. Dynamiczna

nieefektywność wynika z dwóch powodów. Po pierwsze, w modelu występują zmiany

demograficzne: gospodarstwa domowe żyją przez dwa okresy, podczas gdy gospodarka

rozwija się w nieskończoność. Po drugie, stawka płacy zmienia się wraz z wiekiem – osoby

młode otrzymują wynagrodzenie równe w, zaś wynagrodzenie osób starych, którzy nie

pracują, wynosi zero. Te dwa czynniki powodują, że w gospodarce możliwa staje się

nadmierna akumulacja kapitału.

W celu wykazania dynamicznej nieefektywności rozważmy problem optymalizacyjny

centralnego planisty, który maksymalizuje konsumpcję na 1 mieszkańca Ct/(Lt + Lt–1).

Ponieważ konsumpcja na 1 mieszkańca jest liniowo zależna od konsumpcji na 1 pracownika:

Ct/(Lt + Lt–1) = (Ct/Lt)(1 + n)/(2 + n), zadanie centralnego planisty upraszcza się do

maksymalizacji konsumpcji na 1 pracownika i – tym samym – konsumpcji na jednostkę

efektywnej pracy. W celu znalezienia poziomu konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w

stanie ustalonym (c*) dzielimy równanie PKB: Yt = Ct + It = Ct + Kt+1 – Kt + δKt przez AtLt i

wykorzystujemy fakt, że w stanie ustalonym kt = kt+1 = k*:

( ) ( )* * *c f k n a na kδ= − + + + . [1c.15]

Maksymalizacja [1c.15], określająca poziom kapitału w złotej regule, prowadzi do

warunku zrównującego krańcowy produkt kapitału z wyrażeniem (n + a + na + δ):

( )' GOLDf k n a na δ= + + + . [1c.16]

Przy założeniu na ≈ 0, warunek złotej reguły [1c.16] jest identyczny jak warunek złotej reguły

w poprzednich modelach. Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa o postaci f(kt) = Bktα poziom

kapitału w złotej regule wynosi: 1

1

GOLDBk

n a naαα

δ− = + + +

. [1c.17]

Porównując [1c.14] z [1c.17], czyli wielkość kapitału w warunkach równowagi

długookresowej w modelu Diamonda z wielkością kapitału w złotej regule, widzimy, że w

15 Tempo wzrostu PKB ogółem w modelu z czasem dyskretnym to (Yt+1 – Yt)/Yt. Po przekształceniach powyższe wyrażenie jest równe n + a + na (w stanie równowagi długookresowej), co w przybliżeniu jest równe n + a (na ≈ 0). W modelu Diamonda liczba pracowników w okresie t (Lt) nie jest równa liczbie ludności (Lt + Lt–1). Jednak tempo wzrostu PKB na jednego pracownika (Yt+1/Lt+1 – Yt/Lt)/(Yt/Lt) jest takie samo jak tempo wzrostu PKB na jednego mieszkańca [Yt+1/(Lt+1 + Lt) – Yt/(Lt + Lt–1)]/[Yt/(Lt + Lt–1)] i jest równe a w stanie równowagi długookresowej.

22

modelu Diamonda jest możliwa zbyt duża akumulacja kapitału w gospodarce, co oznacza

dynamiczną nieefektywność. Zjawisko to jest tym bardziej prawdopodobne, im niższe są:

stopa preferencji czasowych ρ, tempo wzrostu liczby ludności n, udział wynagrodzenia

kapitału fizycznego w dochodzie α, oraz im wyższa jest stopa amortyzacji δ.

Model Diamonda – podobnie jak modele Solowa i Ramseya – potwierdza występowanie

konwergencji warunkowej. W celu wykazania zjawiska zbieżności i obliczenia

współczynnika informującego o szybkości zbieżności, linearyzujemy równanie dynamiki

gospodarki [1c.13] wokół stanu ustalonego. Rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wynosi:

( ) ( )1

11

*

* * * *t t

tt t t

t k k k

dkk k k k k k kdk

α+

++

= =

≈ + − = + − . [1c.18]

Równanie [1c.18] jest liniowym równaniem różnicowym pierwszego rzędu, którego

rozwiązaniem jest ścieżka ruchu dla kt:

( )0 * *ttk k k kα= − + . [1c.19]

Z [1c.19] można obliczyć tempo wzrostu gospodarczego w trakcie okresu przejściowego:

( )1 *1t t t

t t

k k k kk k

α+ − −= − . [1c.20]

Równanie [1c.20] informuje, że tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do

odległości dzielącej gospodarkę od jej stanu równowagi długookresowej. Współczynnik

informujący o szybkości zbieżności wynosi 1 – α. Na pierwszy rzut oka zbieżność w modelu

Diamonda jest znacznie szybsza niż w modelu Solowa. Przy rozsądnych wartościach

parametrów, np. α = 1/3 i n + a + δ = 0,06, współczynnik szybkości zbieżności wynosi 4% dla

modelu Solowa i 67% dla modelu Diamonda. Trzeba jednak pamiętać, że wielkości te nie

mogą być bezpośrednio ze sobą porównywalne, gdyż w modelu Diamonda długość okresu

jest równa długości życia jednego pokolenia ludności.

23

3. Modele endogeniczne

Wraz z nadejściem na początku lat siedemdziesiątych XX w. kryzysu związanego z

podwyżkami cen ropy naftowej i wywołaną tym zmianą dotychczasowych trendów

rozwojowych wielu gospodarek zachodnich, teoria wzrostu zeszła na drugi plan obszarów

zainteresowań ekonomistów. Przełom nastąpił dopiero w 1986 r. wraz z artykułem Paula

Romera (Romer, 1986), inicjującym erę endogenicznych modeli wzrostu gospodarczego.16

Modele endogeniczne – jak sama nazwa wskazuje – wyjaśniają wzrost gospodarczy w

sposób endogeniczny, tj. w ramach modelu. Cecha ta stanowi przeciwieństwo neoklasycznej

teorii wzrostu, gdzie długookresowy wzrost zależał od egzogenicznego postępu technicznego,

wprowadzonego do modelu wraz z innymi założeniami. Osiągnięcie endogenicznego wzrostu

gospodarczego jest możliwe dzięki odejściu od neoklasycznej funkcji produkcji, zakładającej

malejące przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. W grupie modeli endogenicznych

występują co najmniej stałe przychody z takich czynników.

Podstawą nowej teorii wzrostu jest wprowadzenie w struktury modelu Solowa funkcji

produkcji o postaci:

( ) ( )Y t AK t= , [1d.1]

charakteryzującej się stałymi przychodami względem kapitału, jedynego odtwarzalnego

czynnika produkcji. Wykorzystując tożsamość dochodu Y = C + I = C + dK/dt oraz równość

inwestycji i oszczędności I = sY (gdzie s jest egzogeniczną stopą oszczędności), tempo

wzrostu gospodarczego w tak opisanym modelu jest równe:

Y sAY

=&

. [1d.2]

Powyższe równanie pokazuje, iż endogeniczny wzrost gospodarczy jest możliwy bez

wprowadzania do modelu egzogenicznego postępu technicznego. Z równania [1d.2] wynika

bowiem, że gospodarka cały czas rozwija się w tempie równym sA. Równanie [1d.2]

informuje także, iż wzrost stopy oszczędności wystarczy do trwałego przyspieszenia

długookresowego wzrostu gospodarczego. Ponieważ funkcja produkcji ma postać Y = AK, to

proste ujęcie wzrostu jest znane pod nazwą „modelu AK”.

Osiągnięcie endogenicznego wzrostu następuje – ogólnie biorąc – dzięki wyeliminowaniu

założenia o malejących przychodach z odtwarzalnych czynników produkcji. W konkretnych

modelach wprowadzenie stałych przychodów przybiera różną postać. 16 Pierwsze prace zawierające elementy współczesnych modeli endogenicznych powstały jednak znacznie wcześniej, bo już w latach sześćdziesiątych XX w. (zob. np. Arrow, 1962; Kaldor, Mirrlees, 1962; Uzawa, 1964, 1965; Shell, 1966; Sheshinski, 1967).

24

Model learning-by-doing Romera jest ujęciem jednosektorowym, w którym

długookresowy wzrost jest osiągany dzięki istnieniu w skali całej gospodarki rosnących

przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. W podejściach Lucasa i Rebelo

endogeniczny wzrost jest możliwy dzięki istnieniu dwóch sektorów gospodarki i

występowaniu stałych przychodów w obu sektorach. Modele ze zwiększającą się liczbą dóbr

oraz z poprawiającą się jakością dóbr określane są mianem modeli B+R. W modelach takich

długookresowy wzrost jest uzyskiwany dzięki endogenizacji postępu technicznego, będącego

efektem prac badawczo-rozwojowych.

Przejdziemy teraz do szczegółowej analizy kilku podstawowych teorii wzrostu

endogenicznego: modelu learning-by-doing Romera, modelu Lucasa, modelu Rebelo, modelu

Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr, modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się

jakością dóbr oraz dodatkowo modelu Mankiwa-Romera-Weila, będącego rozszerzonym

modelem Solowa.

25

3.1. Model learning-by-doing Romera

Model Romera różni się od modeli neoklasycznych tym, że nie zakłada występowania

malejących przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. Wprost przeciwnie, wiedza,

jako jedyny odtwarzalny czynnik wytwórczy, wykazuje rosnące przychody na poziomie całej

gospodarki. Uzasadnieniem przyjęcia tego założenia jest to, że wiedza, która powstaje dzięki

inwestycjom pojedynczych przedsiębiorstw, może rozprzestrzeniać się nieograniczenie w

całej gospodarce i tym samym może być wykorzystywana przez wszystkie przedsiębiorstwa

bez konieczności ponoszenia dodatkowych kosztów. Powyższy mechanizm

rozprzestrzeniania się wiedzy jest określany angielskim terminem learning-by-doing, co

oznacza naukę (czyli nabywanie wiedzy) przez praktykę. Koncepcja learning-by-doing i

założenie o występowaniu rosnących przychodów nawiązują do pracy Arrowa z 1962 r.

(Arrow, 1962). Dzięki rosnącym przychodom model Romera pozwala osiągnąć

nieograniczony, coraz szybszy wzrost gospodarczy, bez uwzględniania zmiennych rosnących

w egzogenicznym tempie.

Oznaczmy przez fi funkcję produkcji pojedynczego przedsiębiorstwa:

( ), ,i i if a k A , [1e.1]

gdzie ai to poziom wiedzy danej firmy, ki to nakłady pozostałych czynników produkcji

(kapitału, pracy, itp.), zaś A to ogólny poziom wiedzy w gospodarce (suma wiedzy posiadanej

przez N firm): A = Σi=1Nai. Dla uproszczenia analizy zakładamy, że nakłady pozostałych

czynników są stałe (ki = const.), co oznacza, że wiedza jest jedynym odtwarzalnym

czynnikiem produkcji. Ponieważ wszystkie przedsiębiorstwa są identyczne, mamy:

fi(ai,ki,A) = f(a,k,A) oraz A = Na. Funkcja produkcji wykazuje rosnące przychody względem

wszystkich czynników wytwórczych: a, k, A, oraz stałe przychody względem a i k:

( ) ( ), , , ,f a k A f a k Aλ λ λ λ> oraz ( ) ( ), , , ,f a k A f a k Aλ λ λ= . [1e.2]

Ponieważ wszystkie inne czynniki produkcji poza wiedzą są stałe (k = const.), funkcje

produkcji można zapisać w postaci:

− na poziomie przedsiębiorstwa: ( ) ( ), , ,f a k A f a A= , [1e.3]

− na poziomie całej gospodarki: ( ) ( ) ( ), , , ,f a k A f a k Na F a= = . [1e.4]

Różnice w funkcjach produkcji prowadzą do różnic w krańcowych produkcyjnościach

wiedzy. Zakładamy, że krańcowa produkcyjność wiedzy na poziomie całej gospodarki rośnie,

zaś z punktu widzenia przedsiębiorstwa jest ona malejąca lub stała:

26

( )2

2

,0

d f a Ada

≤ oraz ( )2

2 0d F a

da> . [1e.5]

Produkcja jest przeznaczana na konsumpcję (c) lub na inwestycje (i) służące tworzeniu

nowej wiedzy: f = c + i. Liczba konsumentów jest równa liczbie przedsiębiorstw, co oznacza,

że odpowiednie wielkości w przeliczeniu na 1 przedsiębiorstwo są równe wielkościom na 1

mieszkańca. Akumulacja wiedzy następuje według funkcji g(i/a), wykazującej malejące

przychody i ograniczonej z góry stałą γ:

a iga a

γ = <

&. [1e.6]

Górne ograniczenie tempa wzrostu wiedzy jest konieczne, aby konsumpcja i użyteczność nie

rosły w nieskończoność. Ponieważ wiedza nie amortyzuje się, da/dt ≥ 0.

Założenia dotyczące sektora gospodarstw domowych są analogiczne do modelu Ramseya.

Funkcja użyteczności ma postać:

( )0

tU u c e dtρ∞

−= ∫ , [1e.7]

gdzie ρ > 0 jest stopą preferencji czasowych.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia równowagi dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.

W tym celu maksymalizujemy funkcję użyteczności [1e.7] przy ograniczeniu [1e.6] i

uwzględnieniu faktu, że i = f(a,A) – c oraz da/dt ≥ 0:

( )0

max.tU u c e dtρ∞

−= →∫ [1e.8]

p.w. (a) ( ),f a A ca ag

a −

=

& ; (b) 0a ≥& ; (c) ( )0a dane.

Powyższy problem optymalizacyjny jest analogiczny do problemu optymalizacyjnego [1b.4]

w neoklasycznym modelu Ramseya. Różnica polega na tym, że w modelu Romera

ograniczeniem jest równanie ruchu wiedzy, gdyż wiedza jest jedynym odtwarzalnym

czynnikiem produkcji. Gospodarstwa domowe, rezygnując z bieżącej konsumpcji, zwiększają

inwestycje i tym samym akumulację wiedzy w gospodarce, która – w przeciwieństwie do

kapitału – wykazuje rosnące przychody i dlatego pozwala na szybszy wzrost produkcji z

danej wielkości oszczędności. Dodatkowo, ponieważ wiedza nie amortyzuje się, da/dt ≥ 0.

Rozwiązanie [1e.8] wymaga zastosowania teorii sterowania. Konstruujemy hamiltonian

wartości zaktualizowanej i warunki pierwszego rzędu:

27

( ) ( ),f a A cH u c ag

aθ

−= +

, [1e.9]

0Hc

∂=

∂; Ha

θ∂

=∂

& ; Ha

θ ρθ ∂= −

∂& ; lim 0t

te aρ θ−

→∞= . [1e.10]

Z [1e.10] otrzymujemy następujące równania charakteryzujące dynamikę gospodarki:

'u gc

θ∂=

∂; a ag=& ; ' f f cg g

a a aθ ρθ

∂ = − − − + ∂

&; lim 0t

te aρ θ−

→∞= . [1e.11]

W celu uproszczenia obliczeń, w dalszej części analizy uwzględniamy konkretne postacie

funkcji produkcji dóbr f, funkcji produkcji wiedzy g i funkcji użyteczności u:17

( ) ( ),f a A a A a Na βα β α= = ; /f c f cga a

γ γ− − = +

; ( )u c c= . [1e.12]

Dla powyższych funkcji trzy pierwsze równania [1e.11] upraszczają się do:

( )0,5 1c f aγ θ= − − ; ( )0,51a aγ θ −= −& ; ( ) ( )2

12 1

ica a Nai ai

a a

βαγθ γρ α

θ γ γ

− = − − − + + +

&.

Powyższe równania, powiększone o warunek transwersalności, opisują dynamikę

gospodarki na optymalnej ścieżce wzrostu w modelu Romera. Na ich podstawie konstruujemy

wykres fazowy w przestrzeni (a,θ), przedstawiający graficzną postać otrzymanych wyników i

wskazujący na optymalną trajektorię rozwoju gospodarki doskonale konkurencyjnej. Diagram

fazowy został pokazany na rysunku 1.4.18

Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera różni się od dynamiki

gospodarki w modelach neoklasycznych przede wszystkim tym, że w modelu Romera brak

jest stanu ustalonego. Jeśli dla początkowego poziomu wiedzy a(0) zostanie wybrana taka

wielkość konsumpcji, że θ(0) = θ(0)S, to gospodarka znajdzie się na optymalnej trajektorii

T2T2 i będzie wykazywała nieograniczony wzrost gospodarczy. Można wykazać (zob. Romer,

1986), że na trajektorii tej jest spełniony warunek transwersalności. Jeżeli wybrana

początkowa wartość zmiennej θ będzie inna, to gospodarka będzie rozwijać się

nieoptymalnie: zbyt niski poziom konsumpcji (i odpowiadająca temu wartość θ(0)D)

przesuwa gospodarkę na trajektorię T3T3, na której nie jest spełniony warunek

17 Zakładamy dodatkowo: (a) 0 < α ≤ 1; (b) α + β > 1; (c) γ(α + β) < ρ. Pierwsze dwa założenia wynikają stąd, że krańcowy produkt wiedzy na poziomie całej gospodarki rośnie, zaś z punktu widzenia przedsiębiorstwa może być co najwyżej stały. Warunek (c) jest niezbędny do istnienia optimum społecznego (zob. Romer, 1986). 18 Konstrukcja diagramu fazowego jest dość skomplikowana, zwłaszcza jeśli chodzi o wyznaczenie krzywej dθ/dt = 0. Osoby zainteresowane sposobem wyprowadzenia obu krzywych prosimy o kontakt z autorem.

28

transwersalności (zob. Romer, 1986), natomiast zbyt duża konsumpcja (przy θ równym

θ(0)M) wprowadzi gospodarkę na trajektorię T1T1, co doprowadzi do zaniku akumulacji

wiedzy i niespełnienia warunków pierwszego rzędu.

Rysunek 1.4 Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera

θ(0)D

a

θ

0a =&

0θ =&

a(0)

θ(0)S T1

T1

T2 T3

T3

T2 Trajektoria optymalna

θ(0)M

0a =&

Na trajektorii optymalnej gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje trwały i coraz

szybszy wzrost gospodarczy. Tempo powiększania wiedzy rośnie, zbliżając się

asymptotycznie do swojej górnej granicy wzrostu γ. W związku z tym tempo wzrostu

produkcji oraz konsumpcji także rośnie, osiągając asymptotycznie górną granicę γ(α + β).

Model Romera nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji między krajami. Co

więcej, model ten wskazuje na istnienie tendencji dywergencyjnych. W koncepcji Romera

tempo wzrostu gospodarczego zwiększa się wraz ze wzrostem poziomu dochodu, co oznacza,

że kraje wysoko rozwinięte rozwijają się szybciej niż kraje słabo rozwinięte. Mimo że tempo

wzrostu gospodarczego dąży asymptotycznie do tej samej górnej granicy, to jednak kraje

biedne będą rozwijać się wolniej, gdyż w danym momencie będą dysponowały mniejszym

zasobem wiedzy. A zatem, różnice w poziomie dochodów między krajami będą się trwale

zwiększać.

Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Romera nie jest optymalna w sensie

Pareta. Wynika to stąd, że inwestycje w wiedzę dokonywane przez jedno przedsiębiorstwo

przyczyniają się do wzrostu ogólnego poziomu wiedzy w gospodarce, będącego wspólnym

czynnikiem produkcji. Jednak pojedyncze przedsiębiorstwo w swoich decyzjach

inwestycyjnych nie uwzględnia tych dodatnich efektów zewnętrznych. Krańcowy produkt

wiedzy z punktu widzenia pojedynczego przedsiębiorstwa (MPaKD) jest mniejszy niż

29

krańcowy produkt wiedzy na poziomie całej gospodarki (MPaCP):

( ) 1,KD

df a AMPa a A

daα βα −≡ = ; ( ) ( ) ( ) 11,

CP KD

df a NaMPa a Na a Na N MPa

daβ βα αα β −−≡ = + > .

A zatem, krzywa dθ/dt = 0 z diagramu fazowego dla gospodarki centralnie planowanej

będzie położona wyżej niż analogiczna krzywa dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.

Oznacza to, że gospodarka doskonale konkurencyjna akumuluje zbyt mało wiedzy i wykazuje

niższe tempo wzrostu niż gospodarka kierowana przez centralnego planistę.

Ten ostatni wniosek jest na pierwszy rzut oka nieco szokujący. Ma on związek z tym, że

model Romera uwzględnia dodatnie efekty zewnętrzne. Przedstawiona koncepcja learning-

by-doing wskazuje na potrzebę interwencji państwa w celu zapewnienia takiego poziomu

akumulacji wiedzy, który będzie optymalny z punktu widzenia całej gospodarki. Bez

zaangażowania państwa przedsiębiorstwa będą brały pod uwagę jedynie koszty i korzyści

prywatne. W efekcie w gospodarce doskonale konkurencyjnej poziom wiedzy oraz tempo

wzrostu PKB okażą się niższe niż w gospodarce z państwem.

30

3.2. Model Lucasa

Model Lucasa należy do grupy dwusektorowych modeli wzrostu gospodarczego, w

których uwzględnia się – oprócz kapitału fizycznego – również kapitał ludzki. Koncepcja

gospodarki składającej się z dwóch sektorów nawiązuje do prac Uzawy (Uzawa, 1964, 1965),

dlatego też model Lucasa nazywany jest również modelem Uzawy-Lucasa.19 Przedstawiony

w niniejszym opracowaniu model jest oryginalną wersją pochodzącą z artykułu Roberta

Lucasa (Lucas, 1988). Oryginalna wersja modelu nawiązuje ponadto do koncepcji learning-

by-doing i związanych z tym rosnących przychodów, a więc do teorii Romera, z tą tylko

różnicą, że teraz źródłem efektów zewnętrznych jest akumulacja kapitału ludzkiego. Rosnące

przychody w modelu Lucasa nie są jednak konieczne do osiągnięcia długookresowego

wzrostu gospodarczego. Endogeniczny wzrost jest osiągany dzięki istnieniu dwóch sektorów

gospodarki i występowaniu stałych przychodów w każdym z nich.

Oznaczmy przez H ∈ (0;∞) zasób kapitału ludzkiego posiadany przez daną osobę, a przez

N(H) liczbę osób z kapitałem ludzkim w wysokości H. Każda z takich osób przeznacza u(H)

swojego czasu pracy na akumulację kapitału fizycznego oraz 1 – u(H) na akumulację kapitału

ludzkiego. Ogólna liczba ludności (N), efektywna siła robocza w produkcji dóbr (L) i

przeciętny poziom kapitału ludzkiego w gospodarce (Ha) są zatem równe:

( )0

N N H dH∞

= ∫ ; ( ) ( )0

L u H N H HdH∞

= ∫ ; ( )

0a

N H HdHH

N

∞

=∫

. [1f.1]

Dla uproszczenia analizy przyjmujemy, że wszystkie osoby są identyczne, toteż równania

[1f.1] upraszczają się do postaci: L = uNH oraz Ha = H.

Zakładamy, że liczba ludności rośnie w stałym tempie n (dN/dt/N = n) i jest to jedyna

zmienna w modelu rosnąca egzogenicznie. Technika, której zmiany określały długookresowy

wzrost gospodarczy w modelach neoklasycznych, jest teraz stała (A = const.). Rozpatrujemy

model bez amortyzacji (δ = 0).

Produkcja dóbr jest funkcją trzech czynników: kapitału fizycznego K, efektywnego zasobu

siły roboczej L i przeciętnego poziomu kapitału ludzkiego w gospodarce Ha:

( )11a aY AK L H AK uNH Hαα α γ α γ−−= = . [1f.2]

Wprowadzenie zmiennej Ha do funkcji produkcji pozwala uwzględnić efekty zewnętrzne

towarzyszące akumulacji kapitału ludzkiego: indywidualne zwiększanie kapitału ludzkiego

19 Na przykład, w modelu Uzawy z 1964 r. (Uzawa, 1964) nie występował kapitał ludzki: w jednym sektorze były wytwarzane dobra konsumpcyjne, zaś w drugim – dobra kapitałowe (inwestycyjne).

31

wpływa na wzrost jego ogólnej wielkości w gospodarce i przez to na wzrost produkcyjności.

Jak już wspomnieliśmy, efekty zewnętrzne nie są w modelu Lucasa niezbędne do osiągnięcia

endogenicznego wzrostu gospodarczego. Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody na

poziomie przedsiębiorstwa (względem K i L) oraz rosnące przychody na poziomie całej

gospodarki (względem K, L i Ha). Wykorzystując tożsamość dochodu Y = C + I, przyrost

kapitału fizycznego można zapisać w postaci:

( )1aK AK uNH H Ncαα γ−= −& . [1f.3]

Akumulacja kapitału ludzkiego zależy od dotychczasowego poziomu kapitału ludzkiego w

gospodarce oraz od podziału czasu pracy między produkcję w obu sektorach gospodarki:

( )1H H G uζ= −& , [1f.4]

gdzie G’ > 0 i G(0) = 0. Dla uzyskania endogenicznego wzrostu gospodarczego akumulacja

kapitału ludzkiego nie może wykazywać malejących przychodów. Zakładamy zatem, że ζ = 1

oraz dodatkowo, że funkcja G jest liniowa: G = µ(1 – u). Równanie [1f.4] upraszcza się tym

samym do postaci:

( )1H H uµ= −& . [1f.5]

Gospodarstwa domowe maksymalizują funkcję użyteczności w okresie całego życia: 1

0

11

t ce Ndtσ

ρ

σ

∞ −− −

−∫ . [1f.6]

Przejdziemy teraz do analizy modelu dla gospodarki centralnie planowanej. Celem

centralnego planisty jest maksymalizacja użyteczności [1f.6] przy ograniczeniach w postaci

równań ruchu dla obu rodzajów kapitału ([1f.3] i [1f.5]) oraz Ha = H: 1

0

1 max.1

t ce Ndtσ

ρ

σ

∞ −− −

→−∫ [1f.7]

p.w. (a) ( )1aK AK uNH H Ncαα γ−

= −& ; (b) ( )1H H uµ= −& ; (c) aH H= ; (d) ( ) ( )0 i 0K H dane.

Aby rozwiązać powyższy problem optymalizacyjny, w którym występują dwie zmienne

sterujące: c i u oraz dwie zmienne stanu: K i H, konstruujemy hamiltonian wartości

zaktualizowanej:

( ){ } ( ){ }1

11 2

1 11

c N AK uHN H Nc H uσ

αα γθ θ µσ

−−−

ℵ = + − + −−

[1f.8]

i warunki pierwszego rzędu:

(I) 0c

∂ℵ=

∂; (II) 0

u∂ℵ

=∂

; (III) 1

Kθ

∂ℵ=

∂& ; (IV)

2

Hθ

∂ℵ=

∂& ; (V) 1 1 K

θ ρθ ∂ℵ= −

∂& ;

32

(VI) 2 2 Hθ ρθ ∂ℵ

= −∂

& ; (VII) 1lim 0t

te Kρ θ−

→∞= ; (VIII) 2lim 0t

te Hρ θ−

→∞= . [1f.9]

Analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej jest w zasadzie taka sama, z tą tylko

różnicą, że nie uwzględnia się ograniczenia Ha = H podczas maksymalizacji. Pojedyncze

jednostki w swoich decyzjach optymalizacyjnych nie biorą pod uwagę faktu, że wzrost

akumulacji ich kapitału ludzkiego wpływa również na wzrost przeciętnej wielkości kapitału

ludzkiego w gospodarce. A zatem, spośród warunków pierwszego rzędu jedynie rozwiązanie

warunku (VI) będzie inne w obu typach gospodarek.

Z warunków (I) i (II) otrzymujemy:

1 c σθ −= oraz ( ) 1 11 21 AK u N H Hα α α α γα θ θ µ− − − +− = . [1f.10]

Pierwsze z równań [1f.10] wskazuje, że dobra muszą być jednakowo wyceniane w obu

zastosowaniach: konsumpcji i akumulacji kapitału. Drugie z równań [1f.10] informuje, że

czas pracy musi być jednakowo wyceniany w produkcji i akumulacji kapitału ludzkiego.

Warunki (III) i (IV) to początkowe równania ruchu dla kapitału fizycznego i ludzkiego

([1f.3] i [1f.5]). Z warunku (V) otrzymujemy:

( )111 1 1 AK uHN Hαα γθ ρθ θ α −−= −& . [1f.11]

Warunek (VI) przyjmuje inną postać dla gospodarki centralnie planowanej i doskonale

konkurencyjnej:

− gospodarka centralnie planowana:

( ) ( ) ( )12 2 1 21 1AK H uN uαα γ αθ ρθ θ α γ θ µ−−= − − + − −& , [1f.12]

− gospodarka doskonale konkurencyjna:

( ) ( ) ( )12 2 1 21 1AK H uN uαα γ αθ ρθ θ α θ µ−−= − − − −& . [1f.13]

Jeżeli γ = 0, tzn. gdy nie ma efektów zewnętrznych, równania [1f.12] i [1f.13] są identyczne.

Występowanie efektów zewnętrznych powoduje, że krańcowa produkcyjność kapitału na

poziomie całej gospodarki jest większa niż na poziomie prywatnym. A zatem, gospodarka

doskonale konkurencyjna nie będzie optymalna w sensie Pareta.

Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10] – [1f.12], powiększone o dwa warunki transwersalności,

opisują dynamikę gospodarki centralnie planowanej na optymalnej ścieżce wzrostu.

Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10], [1f.11] i [1f.13] wraz z dwoma warunkami transwersalności

opisują dynamikę gospodarki doskonale konkurencyjnej na optymalnej ścieżce.

W celu rozwiązania układu czterech równań różniczkowych szukamy stanu ustalonego, w

którym konsumpcja na 1 mieszkańca (c), kapitał fizyczny (K), kapitał ludzki (H) oraz

33

zmienne sprzężone θ1 i θ2 wykazują stałe tempo wzrostu, zaś podział czasu pracy między

akumulację obydwu rodzajów kapitału (u) jest stały:

const.cc gc

≡ =&

; const.KK gK

≡ =&

; const.HH gH

≡ =&

; 1

1

const.θθ

=&

; 2

2

const.θθ

=&

[1f.14]

Aby obliczyć gc, gK i gH w stanie równowagi długookresowej w modelu Lucasa, należy

dokonać szeregu przekształceń równań charakteryzujących dynamikę gospodarki. W tym

opracowaniu ograniczymy się tylko do przedstawienia wyników.20

W stanie równowagi długookresowej krańcowy produkt kapitału fizycznego jest stały:

( )11cMPK AK uHN H gαα γα ρ σ−−≡ = + . [1f.15]

Tempo wzrostu kapitału fizycznego ogółem oraz na 1 mieszkańca zależy od tempa wzrostu

konsumpcji na 1 mieszkańca:

K cg n g= + oraz /K N cg g= . [1f.16]

W stanie równowagi długookresowej stopa oszczędności jest stała i wynosi:

( )c

c

n gI KsY Nc K g

αρ σ

+≡ = =

+ +

&

&. [1f.17]

Zależność między gc i gH jest następująca:

( )11

Hc

gg

α γα

− +=

−. [1f.18]

W tym miejscu kończy się jednoczesna analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej i

centralnie planowanej. Tempo wzrostu kapitału ludzkiego gH jest bowiem inne w obydwu

typach gospodarek:21

− gospodarka centralnie planowana: ( )1 11

CPHg nαµ ρ

σ α γ −

= − − − + , [1f.19]

− gospodarka doskonale konkurencyjna: ( ) ( ) ( )( )1 11

KDHg nα µ ρ

σ α γ γ= − − −

− + −. [1f.20]

Podstawiając [1f.19] i [1f.20] do [1f.18] uzyskujemy równania określające tempo wzrostu

konsumpcji i kapitału fizycznego na 1 mieszkańca w stanie ustalonym:

20 Osoby zainteresowane dokładną metodą przekształceń równań prosimy o kontakt z autorem. 21 Tempo wzrostu kapitału ludzkiego gH nie może przekroczyć górnej granicy µ, określonej założeniami modelu. Zatem musi być spełnione:

111

nα ρσα γ µ− −

≥ −− +

.

Powyższy warunek oznacza, że model nie ma zastosowania w przypadkach, gdy względna awersja do ryzyka jest bardzo niska (małe σ).

34

− gospodarka centralnie planowana: ( )( ) ( )/

1 11 1

CP CPc K Ng g n

α γ αµ ρσ α α γ

− + −= = − − − − +

, [1f.21]

− gospodarka doskonale konkurencyjna: ( ) ( )( )/

11

KD KDc K Ng g nα γ µ ρ

σ α γ γ− +

= = − −− + −

. [1f.22]

Równania [1f.19] – [1f.22] opisują tempo wzrostu gospodarki zachowującej się zgodnie z

modelem Lucasa. Jak widać, w modelu uzyskaliśmy endogeniczne tempo wzrostu

gospodarczego, które zwiększa się wraz ze wzrostem efektywności akumulacji kapitału

ludzkiego µ oraz maleje wraz ze wzrostem stopy dyskontowej ρ. Gospodarka doskonale

konkurencyjna wykazuje niższe tempo wzrostu niż gospodarka centralnie planowana:

dla σ = 1: ( ) 01

CP KDH Hg g nγ ρ

α γ− = − >

− +. [1f.23]

Na podstawie [1f.18] – [1f.23] widać, że występowanie efektów zewnętrznych (γ > 0) ma

dwojakie skutki dla dynamiki modelu. Po pierwsze, im większe są efekty zewnętrzne, tym

wyższe jest tempo wzrostu gospodarki centralnie planowanej w porównaniu z gospodarką

doskonale konkurencyjną. Po drugie, im większe są efekty zewnętrzne, tym wyższe jest

tempo wzrostu konsumpcji na 1 mieszkańca w porównaniu z tempem wzrostu kapitału

ludzkiego. W przypadku gdy γ = 0, gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje takie

samo tempo wzrostu jak gospodarka centralnie planowana, a wzrost konsumpcji per capita

jest równy wzrostowi kapitału ludzkiego.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia poziomu kapitału w warunkach równowagi

długookresowej. W modelach neoklasycznych dla określonych parametrów modelu

występował jeden stan ustalony. Natomiast w modelu Lucasa występuje nieskończenie wiele

stanów ustalonych, różniących się zasobami kapitału fizycznego i ludzkiego. Gospodarka

dąży do jednego z nich, w zależności od położenia początkowego.

Aby to wykazać, zdefiniujemy zmienne k i h jako znormalizowane zasoby kapitału

fizycznego i ludzkiego, określające jednoznacznie poziomy zmiennych K i H w każdym

okresie:22

( ) ( ) ( )cg n tk t e K t− += oraz ( ) ( )Hg th t e H t−= . [1f.24]

Podstawiając [1f.24] do [1f.15] otrzymujemy:

22 Normalizacja jest konieczna, gdyż poziom kapitału fizycznego i ludzkiego wykazuje wzrost w stanie ustalonym (zgodnie z równaniami [1f.19] – [1f.22]). Zmienne znormalizowane k i h są natomiast stałe, gdy odpowiadające im zmienne K i H rosną w tempie równym odpowiednio gc + n i gH.

35

( ) ( )1 1 1 11

1 1 1 11 0ck g A uN h hα γ α γ

α α α ααρ σ α− + − +

− − − −−

= + ≡ Θ

. [1f.25]

Równanie [1f.25] wskazuje, że znormalizowane zasoby kapitału fizycznego i ludzkiego w

stanie równowagi długookresowej są ze sobą powiązane według ściśle określonej funkcji,

której graficzną postać przedstawia rysunek 1.5.

Krzywa zilustrowana na rysunku 1.5 przedstawia kombinacje wielkości kapitału

fizycznego i ludzkiego odpowiadające stanom równowagi długookresowej. W każdym

punkcie na tej krzywej tempo wzrostu K i H jest takie samo, określone równaniami [1f.19] –

[1f.22]. Natomiast poziomy obu zmiennych rosną w miarę przesuwania się po krzywej od

początku układu współrzędnych. W zależności od położenia początkowego, gospodarka

zmierza do pewnego punktu na krzywej k = Θh(1 – α + γ)/(1 – α), co pokazują zamieszczone

strzałki.

Rysunek 1.5 Równowaga długookresowa gospodarki w modelu Lucasa

h

k 1

1k hα γ

α− +

−= Θ

A

B

C

D

E

F

Model Lucasa bardzo dobrze nadaje się do wyjaśnienia różnic w poziomie dochodów

między krajami. Gospodarki, które startują z początkowego punktu o niskim zasobie kapitału

(np. A), osiągają równowagę długookresową w punkcie z niskim poziomem kapitału (D).

Gospodarki początkowo bogatsze, startujące np. z punktów B lub C, dążą do stanów

ustalonych F i E, charakteryzujących się wyższym poziomem kapitałów niż stan ustalony D.

W każdym ze stanów ustalonych tempo wzrostu jest jednak takie samo. A zatem, różnice w

poziomach dochodów między krajami nie znikają: kraje biedne pozostają biedne, zaś kraje

bogate są cały czas bogate.

Analiza dynamiki okresu przejściowego jest skomplikowana i wymaga zastosowania

metod numerycznych (zob. Mulligan, Sala-i-Martin, 1993). Przedstawimy tutaj najważniejsze

wnioski dotyczące dynamiki okresu przejściowego w modelu Uzawy-Lucasa.

36

Mulligan i Sala-i-Martin rozpatrują model Lucasa bez efektów zewnętrznych (γ = 0), ale z

uwzględnieniem amortyzacji kapitałów (δK > 0 i δH > 0). Ponieważ spośród dwóch

zmiennych sterujących: C i u oraz dwóch zmiennych stanu: K i H, jedynie zmienna u nie

wykazuje wzrostu w stanie ustalonym, w celu uzyskania stacjonarnego stanu ustalonego

pozostałe trzy zmienne zostały zredukowane do dwóch:

/ /C Kz C K≡ / /K Hz K H≡ . [1f.26]

Uwzględniając [1f.26], układ czterech nieliniowych równań różniczkowych (dla zmiennych

C, u, K i H) zredukował się do układu trzech równań różniczkowych (dla zmiennych u, zC/K i

zK/H, które są stałe w warunkach równowagi długookresowej).

W celu określenia stabilności równowagi, dokonana została linearyzacja trzech równań

różniczkowych wokół stanu ustalonego. Dla różnych parametrów modelu (nawet z

uwzględnieniem niewielkich efektów zewnętrznych) uzyskiwano zawsze dwie dodatnie i

jedną ujemną wartość własną macierzy charakterystycznej. Oznacza to, że stan ustalony w

modelu Lucasa jest ścieżką siodłową. Dla każdej początkowej wartości zmiennej stanu zK/H

można znaleźć takie wartości zmiennych sterujących u i zC/K, które sprawią, że gospodarka

znajdzie się na stabilnej trajektorii i będzie podążała do punktu równowagi długookresowej.

Rysunek 1.6 Dynamika okresu przejściowego w modelu Uzawy-Lucasa

a Pełna produkcja (full output) obejmuje produkcję finalną (Y) i akumulację kapitału ludzkiego. b Rejestrowany PKB obejmuje produkcję finalną (Y) i 25% produkcji sektora kapitału ludzkiego.

Źródło: Mulligan, Sala-i-Martin, 1993.

u C/K Wzrost konsumpcji Wzrost produkcji finalnej (Y)

Wzrost kapit. fizycznego Wzrost kapit. ludzkiego Wzrost rejestr. PKBb Wzrost pełnej produkcjia

Rysunek 1.6 ilustruje dynamikę okresu przejściowego dla przypadku: σ = 2, ρ – n = 0,04,

α = 0,5, δK = δH = 0,05, A = 1, µ = 0,12. Oś odciętych przedstawia procentowe odchylenie

zmiennej zK/H od jej wartości w stanie równowagi długookresowej. W punkcie 0 na tej osi

stosunek kapitału fizycznego do ludzkiego odpowiada stanowi ustalonemu. Na lewo od tego

37

punktu zK/H jest mniejsze niż z*K/H, co oznacza, że w gospodarce występuje niedobór kapitału

fizycznego. Na prawo od punktu 0 na osi odciętych zK/H jest większe niż z*K/H, co wskazuje na

względny niedobór kapitału ludzkiego.

Poszczególne części rysunku 1.6 pokazują dynamikę różnych zmiennych w trakcie okresu

przejściowego w zależności od tego, czy w punkcie wyjścia gospodarka charakteryzuje się

względnym niedoborem kapitału fizycznego czy kapitału ludzkiego. Wykresy z rysunku 1.6

nie są symetryczne, co oznacza, że gospodarka inaczej reaguje na wstrząsy takie jak wojny,

które niszczą głównie kapitał fizyczny, a inaczej na wstrząsy takie jak epidemie, niszczące

głównie kapitał ludzki. Części VI – VIII rysunku 1.6 przedstawiają tempo wzrostu różnych

miar produkcji w trakcie okresu przejściowego. Jak widać, gospodarka wykazuje szybsze

tempo wzrostu gospodarczego i szybciej osiąga stan ustalony w przypadku początkowego

niedoboru kapitału fizycznego niż w przypadku początkowego niedoboru kapitału ludzkiego.

Model Lucasa nie wyjaśnia zatem zjawiska konwergencji – zarówno na podstawie

porównania stanów równowag długookresowych różnych gospodarek, jak i na podstawie

własności okresu przejściowego gospodarek dążących do tego samego stanu ustalonego. W

pierwszym przypadku okazuje się, że w stanie równowagi długookresowej tempo wzrostu

gospodarczego nie zależy od poziomu kapitałów i produkcji. Oznacza to, że kraje rozwijają

się tak samo, niezależnie od osiągniętego poziomu dochodu. W drugim przypadku, gdy

rozpatrujemy okres przejściowy gospodarek dążących do tego samego stanu równowagi

długookresowej, okazuje się, że kraje słabiej rozwinięte mogą rozwijać się szybciej lub

wolniej niż kraje wysoko rozwinięte. Zależy to od tego, czy niski poziom rozwoju wynika z

braku kapitału fizycznego (wówczas kraje słabo rozwinięte będą rozwijać się szybciej) czy

ludzkiego (wówczas kraje słabo rozwinięte będą wykazywać wolniejszy wzrost).

38

3.3. Model Rebelo

Model Rebelo – podobnie jak ujęcie Lucasa – zaliczany jest do dwusektorowych modeli

wzrostu gospodarczego, które uwzględniają kapitał w podziale na kapitał fizyczny i kapitał

ludzki. Omawiany w niniejszym opracowaniu model został przedstawiony w artykule Sergio

Rebelo (Rebelo, 1991), w którym autor wykorzystał endogeniczne teorie wzrostu do

pokazania, że działania państwa w dużym stopniu wyjaśniają różnice w tempie wzrostu

gospodarczego między krajami. Podejście Rebelo jest bardzo podobne do wcześniej

omówionego modelu Lucasa. Różni się od swojego poprzednika w dwóch aspektach. Po

pierwsze, w modelu Rebelo nie występują efekty zewnętrzne i związane z tym rosnące

przychody na poziomie całej gospodarki. Po drugie, w akumulacji kapitału ludzkiego jest

również wykorzystywany kapitał fizyczny, a nie – jak w modelu Lucasa – tylko kapitał

ludzki.

Załóżmy, że wszystkie osoby dysponują w każdym okresie jedną jednostką czasu. Każda

osoba posiada pewną ilość czasu wolnego R (R kształtuje się egzogenicznie i jest stałe). Jeżeli

przez u oznaczymy czas pracy w produkcji dóbr, wówczas 1 – R – u będzie czasem pracy

przeznaczonym na akumulację kapitału ludzkiego. Liczba ludności jest stała i wynosi 1.

Każda osoba dysponuje kapitałem ludzkim równym H. A zatem uH to efektywna siła robocza

w produkcji dóbr, zaś (1 – R – u)H to efektywna siła robocza w akumulacji kapitału

ludzkiego. Oznaczmy przez vK zasób kapitału fizycznego wykorzystywany w produkcji dóbr,

zaś przez (1 – v)K zasób kapitału fizycznego wykorzystywany w akumulacji kapitału

ludzkiego. W obu sektorach gospodarki występują stałe przychody ze skali.

Funkcje produkcji są następujące:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11Y t A v t K t u t H t

α α−= , [1g.1]

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

2 1 1H t A v t K t R u t H t H tβ β

δ−

= − − − − & , [1g.2]

gdzie A1 i A2 to parametry określające poziom techniki, zaś δ jest stopą amortyzacji obu

rodzajów kapitału.

Produkcja dóbr finalnych jest przeznaczana na konsumpcję oraz na inwestycje w kapitał

fizyczny:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t C t I t C t K t K tδ= + = + +& . [1g.3]

Funkcja użyteczności gospodarstw domowych jest następująca:

( )1

0

11

t C tU e dt

σρ

σ

−∞− −

=−∫ . [1g.4]

39

W modelu brak jest efektów zewnętrznych, nie występują zmiany demograficzne, stopa

oszczędności kształtuje się endogenicznie, zaś rynki nie są zmonopolizowane. Oznacza to, że

model jest optymalny w sensie Pareta: gospodarka doskonale konkurencyjna rozwija się tak

samo jak gospodarka centralnie planowana.

Problem optymalizacyjny jest następujący: 1

0

1 max.1

t CU e dtσ

ρ

σ

∞ −− −

= →−∫ [1g.5]

p.w. (a) ( ) ( )11K A vK uH C Kα α δ−= − −& ; (b) ( ) ( ) 1

2 1 1H A v K R u H Hβ β

δ−

= − − − − & ;

(c) ( ) ( )0 i 0K H dane.

W celu rozwiązania [1g.5] konstruujemy hamiltonian wartości zaktualizowanej:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1

111 1 2 2

1 1 11

C A vK uH C K A v K R u H Hσ

β βα αθ δ θ δσ

−−−−

ℵ = + − − + − − − − −

oraz odpowiednie warunki pierwszego rzędu:

(I) 0C

∂ℵ=

∂; (II) 0

v∂ℵ

=∂

; (III) 0u

∂ℵ=

∂; (IV)

1

Kθ

∂ℵ=

∂& ; (V)

2

Hθ

∂ℵ=

∂& ; (VI) 1 1 K

θ ρθ ∂ℵ= −

∂& ;

(VII) 2 2 Hθ ρθ ∂ℵ

= −∂

& ; (VIII) 1lim 0t

te Kρ θ−

→∞= ; (IX) 2lim 0t

te Hρ θ−

→∞= . [1g.6]

W powyższym zadaniu optymalizacyjnym występują trzy zmienne sterujące: C, v i u, oraz

dwie zmienne stanu: K i H. Zmienne θ1 i θ2 to zmienne sprzężone związane z równaniami

ruchu odpowiednich zmiennych stanu.23

Z warunków pierwszego rzędu [1g.6] uzyskujemy cztery równania różniczkowe opisujące

dynamikę gospodarki: ścieżkę ruchu dla kapitału fizycznego K, kapitału ludzkiego H,

konsumpcji C oraz jednej ze zmiennych v lub u.24 Ponieważ funkcje produkcji w obu

sektorach wykazują stałe przychody ze skali, możliwe jest osiągnięcie w modelu stanu

ustalonego, w którym zmienne K, H, C, I będą rosły w stałym tempie równym g*.

Dodatkowo, w tempie tym będzie zwiększała się również wielkość produkcji dóbr (Y) oraz

szersza miara wielkości produkcji (Q), uwzględniająca również akumulację kapitału

ludzkiego (wycenianego w kategoriach kapitału fizycznego zmienną sprzężoną θ ≡ θ2/θ1):

( ) ( ) ( ) ( ) 111 2 1 1Q A vK uH A v K R u H

β βα α θ−− = + − − − . [1g.7]

23 Model Rebelo jest bardziej złożony niż model Lucasa, w którym występowały dwie zmienne sterujące. Trzecia zmienna sterująca v w modelu Rebelo jest związana z koniecznością dokonania odpowiedniego podziału zasobu kapitału pomiędzy oba sektory gospodarki. 24 Zmienne v i u są ze sobą ściśle powiązane (zob. [1g.10]), a zatem jedną z nich można pominąć.

40

Aby uzyskać tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi długookresowej g*,

należy wykonać wiele przekształceń warunków pierwszego rzędu. W niniejszym

opracowaniu ograniczymy się tylko do przedstawienia wyników modelu.

Efektywna alokacja zasobów powoduje, że wartości krańcowych produktów kapitału

fizycznego w obu sektorach gospodarki oraz wartości krańcowych produktów kapitału

ludzkiego w obu sektorach muszą być równe:25

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 11 1

1 2 1 1Y HMPK A vK uH A v K R u H MPKβ βα αα θ β θ

− −− −= = − − − = [1g.8]

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 21 1 1 1Y HMPH A vK uH A v K R u H MPHβ βα αα θ β θ

−−= − = − − − − = [1g.9]

Dzieląc [1g.8] przez [1g.9] uzyskujemy:

1 1 1 1u vR u v

α βα β

=− − − − −

. [1g.10]

Równanie [1g.10] informuje, że krańcowe stopy transformacji w obu sektorach gospodarki

muszą być sobie równe. Dodatkowo, na podstawie [1g.10] widać, że wzrost produkcji w

każdym sektorze następuje w wyniku równomiernego wzrostu zatrudnienia obu czynników

wytwórczych (przy danych wartościach parametrów α, β i R, wzrost u implikuje wzrost v i

odwrotnie, spadek u może nastąpić tylko wraz ze spadkiem v).

Tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi długookresowej w modelu Rebelo

dane jest wzorem:26

( ){ }111 2

1* 1Y Q K H C I g A A RY Q K H C I

γγ γ δ ρσ

−−= = = = = = = Θ − − −& && & & &

, [1g.11]

gdzie:

( )( ) ( ) ( )( )( )1 1 111 1 0α γ β γα γαγα α β β− − −−Θ ≡ − − > ; (0;1)1

βγβ α

≡ ∈+ −

.

Równanie [1g.11] pokazuje, że w modelu Rebelo wzrost gospodarczy jest kształtowany

endogenicznie za pomocą parametrów modelu. Na przykład, wzrost zależy ujemnie od R oraz

dodatnio od A1 i A2. Ujemna zależność względem R oznacza, że zwiększenie ilości czasu

wolnego przez poszczególne osoby spowalnia wzrost gospodarczy. Przyspieszenie wzrostu

może nastąpić zatem w wyniku zwiększenia czasu pracy jednostek. Dodatnia zależność g* od

25 Wartość krańcowego produktu czynnika jest iloczynem produktu krańcowego wyrażonego w jednostkach fizycznych oraz ceny, po której produkt ten jest sprzedawany. W modelu miarą takiej ceny jest zmienna sprzężona związania z równaniem ruchu danego czynnika. A zatem, krańcowy produkt z sektora dóbr należy pomnożyć przez θ1, zaś krańcowy produkt z sektora kapitału ludzkiego – przez θ2. W równaniach [1g.8] i [1g.9] wykorzystaliśmy jedną zmienną θ, będącą ilorazem cen θ2 i θ1. 26 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokładnej kolejności obliczeń prowadzących do otrzymania równania [1g.11] prosimy o kontakt z autorem.

41

A1 i A2 implikuje, że postęp techniczny w dowolnym z sektorów gospodarki przyczynia się do

przyspieszenia tempa wzrostu PKB.

Wzrost gospodarczy w modelu może być ujemny. Sytuacja taka ma miejsce, jeżeli

ΘA1γA2

1–γ(1 – R)1–γ < δ + ρ. Tempo wzrostu nie może być jednak mniejsze niż –δ, co wynika

z założenia o nieujemności inwestycji.

Jeśli chodzi o dynamikę okresu przejściowego, to gospodarki, w których początkowy

stosunek kapitału fizycznego do ludzkiego nie jest równy wartości K/H odpowiadającej

stanowi równowagi długookresowej, będą wykazywać inne tempo wzrostu gospodarczego niż

w stanie równowagi długookresowej.27 Pomijamy jednak szczegółową analizę okresu

przejściowego, gdyż nie ma ona bezpośredniego związku z celem niniejszej pracy.

27 Zbieżność K/H do poziomu (K/H)*, odpowiadającego stanowi ustalonemu, występuje, gdy α > β. W sytuacji, gdy β > α, stan równowagi długookresowej nie jest stabilny i gospodarka o początkowej relacji kapitału fizycznego do ludzkiego nie odpowiadającej stanowi ustalonemu nigdy nie osiągnie równowagi długookresowej. Jednak przypadek β > α wykluczamy, gdyż nie jest zgodny z rzeczywistością. W produkcji kapitału ludzkiego wykorzystuje się głównie kapitał ludzki, zaś kapitał fizyczny ma przede wszystkim zastosowanie w produkcji kapitału fizycznego. Naturalne zatem jest założenie α > β (zob. Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 182).

42

3.4. Model Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr

W punktach 3.4 i 3.5 przedstawione są modele, w których wzrost gospodarczy jest

osiągany w wyniku endogenizacji postępu technicznego. Postęp techniczny, który w

neoklasycznej teorii wzrostu miał charakter egzogeniczny, w tym i w następnym modelu jest

efektem działalności sektora badawczo-rozwojowego. W modelu ze zwiększającą się liczbą

dóbr innowacje sektora B+R polegają na tworzeniu nowych dóbr pośrednich,

wykorzystywanych w procesie produkcji dóbr finalnych. Zakładamy, że nowe dobra

pośrednie nie powodują zaniechania wykorzystywania dotychczasowych czynników

wytwórczych, co oznacza, że liczba dóbr pośrednich w gospodarce zwiększa się wraz z każdą

innowacją. A zatem, w modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr innowacje mają charakter

„poziomy”, w przeciwieństwie do „pionowych” innowacji, polegających na poprawie jakości

dóbr już istniejących. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z artykułu

Paula Romera (Romer, 1990). Wykorzystywana przez Romera funkcja produkcji (zob. [1h.1])

nawiązuje do funkcji użyteczności występującej w mikroekonomicznych modelach Dixita i

Stiglitza (Dixit, Stiglitz, 1977).

Gospodarka w modelu Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr składa się z trzech

sektorów: sektora dóbr finalnych, sektora dóbr pośrednich oraz sektora B+R. Do produkcji

wykorzystywane są – w zależności od sektora – kapitał fizyczny (K), kapitał ludzki (H), praca

(L), technika (A) oraz dobra pośrednie (x). Zakładamy, że zasób kapitału ludzkiego i pracy

jest stały (H = const., L = const.).

Zmienna oznaczona symbolem A określa poziom techniki w gospodarce; jej zmiany

obrazują wielkość postępu technicznego. Formalnie, zmienna A jest równa liczbie dóbr

pośrednich dostępnych w gospodarce.

Nowe dobra pośrednie powstają w wyniku prac badawczych prowadzonych w doskonale

konkurencyjnym sektorze B+R. Każde dobro pośrednie produkowane jest przez monopolistę,

który kupuje od sektora B+R licencję na produkcję danego dobra i sprzedaje wytwarzane

dobro pośrednie przedsiębiorstwom działającym w sektorze dóbr finalnych. Dobra finalne

mogą być przeznaczane na konsumpcję lub na akumulację kapitału fizycznego.

W sektorze dóbr finalnych czynnikami produkcji są kapitał ludzki, praca oraz dobra

pośrednie. Funkcja produkcji ma następującą postać:

( ) ( )11 1

1 1 0

, ,A

Y Y i Y i Yi i

Y H L x H L x H L x H L x i diα βα β α β α β α β α β∞∞

− −− − − −

= =

= = =∑ ∑ ∫ , [1h.1]

gdzie: HY – część kapitału ludzkiego wykorzystywanego w produkcji dóbr finalnych, xi lub

x(i) – nakłady i-tego dobra pośredniego, A – liczba dóbr pośrednich. Pierwsze przekształcenie

43

funkcji produkcji [1h.1] wynika z założenia xi = 0 dla i > A, zaś drugie – z przyjęcia

kontinuum dóbr pośrednich. Produkcja jest przeznaczana na konsumpcję lub na inwestycje,

równe przyrostowi kapitału fizycznego (przy założeniu braku amortyzacji):

Y C I C K= + = + & . [1h.2]

W produkcji dóbr pośrednich wykorzystuje się jedynie kapitał fizyczny. Funkcja produkcji

i-tego dobra pośredniego jest następująca:

( ) ( )k ix i

η= , [1h.3]

gdzie k(i) jest nakładem kapitału fizycznego (η > 0). Uwzględniając zależność [1h.3],

wielkość kapitału fizycznego w całej gospodarce (K) można zapisać jako:

( )1 1 0

A

i ii i

K x x x i diη η η∞∞

= =

= = =∑ ∑ ∫ . [1h.4]

Innowacje, powstające w sektorze B+R, polegają na wzroście liczby dóbr pośrednich.

Efektywność prac badawczo-rozwojowych zależy od nakładów kapitału ludzkiego i od liczby

dotychczasowych innowacji. Wzrost liczby dóbr pośrednich jest określony równaniem:

AA H Aµ=& , [1h.5]

gdzie HA to część kapitału ludzkiego wykorzystywanego przez sektor B+R (HY + HA = H). Jak

widać, w sektorze B+R występują stałe przychody względem odtwarzalnego czynnika

produkcji A (oraz rosnące przychody względem A i HA). Brak malejących przychodów jest

warunkiem umożliwiającym osiągnięcie endogenicznego wzrostu gospodarczego.28

Analizę dynamiki modelu rozpoczniemy od przypadku gospodarki rynkowej (nie

używamy pojęcia „gospodarka doskonale konkurencyjna”, ponieważ niektóre rynki są

zmonopolizowane). W celu znalezienia równania opisującego tempo wzrostu gospodarczego

rozpatrujemy oddzielnie zachowania przedsiębiorstw działających w każdym z trzech

sektorów gospodarki.

Zysk przedsiębiorstwa działającego w sektorze dóbr finalnych jest równy wielkości

produkcji pomniejszonej o koszty zakupu jedynego zmiennego czynnika produkcji x po cenie

p. Ponieważ występują stałe przychody ze skali, problem optymalizacyjny firm przekłada się

na następujący problem optymalizacyjny całej gałęzi:

( ) ( )( ) ( )1

0

max.YH L x i p x i x i diα βα β∞

− − − → ∫ [1h.6]

28 Jest to pewne podobieństwo do modeli Lucasa i Rebelo, w których długookresowy wzrost był możliwy dzięki występowaniu stałych przychodów.

44

Maksymalizując [1h.6] względem x(i) uzyskujemy zależność między optymalną wielkością

zatrudnienia i-tego dobra pośredniego a jego ceną:

( )( ) ( ) ( )1 Yp x i H L x i α βα βα β − −= − − . [1h.7]

Równanie [1h.7] określa funkcję popytu sektora dóbr finalnych na i-te dobro pośrednie w

zależności od ceny tego dobra. Ponieważ każde dobro pośrednie jest produkowane przez

monopolistę, równanie [1h.7] jest funkcją popytu na produkt takiego monopolisty.

Monopolista działający w sektorze dóbr pośrednich sprzedaje produkt napotykając ujemnie

nachyloną funkcję popytu daną wzorem [1h.7]. Ponosi on koszty zmienne, równe kosztom

zakupu k(i) jednostek kapitału fizycznego po cenie r, oraz koszty stałe, związane z zakupem

licencji od sektora B+R na produkcję i-tego dobra pośredniego. Licencje są nabywane po

cenie PA, wyznaczonej przez sektor B+R. Problem optymalizacyjny każdego monopolisty jest

zatem następujący:

( ) ( ) max.A Ap x x rk P p x x r x PηΠ = − − = − − → [1h.8]

Po uwzględnieniu funkcji popytu [1h.7], formuła maksymalizacji zysku [1h.8] pozwala

obliczyć cenę dobra pośredniego x, jaką wyznaczy monopolista:

rp ηα β

=1− −

. [1h.9]

Równania [1h.9] i [1h.7] określają optymalną wielkość produkcji i cenę ustalane przez

monopolistę. Wysokość zysku tego monopolisty zależy także od ceny PA, jaką musi on

zapłacić za licencję na produkcję danego dobra pośredniego.

Cena PA jest wyznaczana przez przedsiębiorstwa działające w doskonale konkurencyjnym

sektorze B+R. Cena ta jest równa zaktualizowanej wartości nadwyżki monopolu

π (π ≡ px – rk):29

( )( )

( )t

r s ds

At

P t e d

τ

π τ τ∞ −∫

= ∫ . [1h.10]

Ponieważ w stanie równowagi cena PA jest stała, ∂PA/∂t = 0. Różniczkując [1h.10] względem

t, otrzymujemy:

( ) ( )At P r tπ = lub ( ) ( )/AP t r tπ= . [1h.11]

29 Symbolem Π oznaczamy rzeczywisty zysk monopolu, równy różnicy utargu i wszystkich kosztów (łącznie ze stałymi kosztami zakupu licencji). Natomiast π jest równe różnicy utargu i zmiennych kosztów produkcji, co formalnie oznacza nadwyżkę producenta. Jednak z punktu widzenia przedsiębiorstw działających w sektorze B+R zysk monopolu uzyskiwany z produkcji dóbr pośrednich wynosi właśnie π. Cena za licencję PA jest wyznaczona w taki sposób, żeby była równa wartości zaktualizowanej strumienia potencjalnych zysków monopolu π.

45

Równania [1h.10] lub [1h.11] pokazują, że cena płacona za licencję przez monopolistę jest

równa zaktualizowanej wartości strumienia przyszłych zysków czerpanych z produkcji

danego dobra pośredniego.30 A zatem, przedsiębiorstwa produkujące dobra pośrednie nie

osiągają zysków nadzwyczajnych: nadwyżka utargu nad zmiennymi kosztami produkcji w

poszczególnych okresach dokładnie kompensuje (wraz z odpowiednimi odsetkami)

początkowy wydatek na zakup licencji. Wykorzystując m. in. wzory [1h.7] i [1h.9], cenę za

licencję PA można zapisać jako:

( )( )1A YP H L x

rα β α βα β α β 1− −= + 1− − . [1h.12]

W warunkach równowagi wielkość produkcji każdego dobra pośredniego jest taka sama. A

zatem:

( )1 1

0

x i di Axα β α β∞

− − − −=∫ oraz K Axη= ⇒ KxAη

= . [1h.13]

Wykorzystując zależność [1h.13], funkcję produkcji [1h.1] można zapisać w postaci:

( ) ( )1 1Y YY H L Ax H A LA Kα βα β α β α β α βη− − − − + −1= = . [1h.14]

Powyższy wzór pokazuje, że opisywany tu model ma właściwości podobne do modelu

neoklasycznego z postępem technicznym zasilającym pracę i kapitał ludzki. Funkcja

produkcji wykazuje stałe przychody względem wszystkich czynników i malejące przychody z

kapitału.

Efektywna alokacja zasobów wymusza zrównanie wartości krańcowego produktu kapitału

ludzkiego w sektorze dóbr finalnych i sektorze B+R, a zatem: 1

Y AH L Ax P Aα β α βα µ− 1− − = . [1h.15]

Ponieważ kapitał ludzki w sektorze B+R jest jedynym opłacanym czynnikiem produkcji, jego

wynagrodzeniem jest wartość całej produkcji tego sektora. Wykorzystując równania [1h.12] i

[1h.15], otrzymujemy:

( )( )YH rαµ α β α β

=+ 1− −

. [1h.16]

Funkcja użyteczności gospodarstw domowych ma typową postać: 1

0

11

tC e dtσ

ρ

σ

∞ −−−

−∫ . [1h.17]

Rozwiązaniem problemu optymalizacyjnego gospodarstw domowych jest standardowe

30 Drugie z równań [1h.11] jest typowym równaniem przedstawiającym wartość aktywów bezterminowych, które przynoszą w każdym okresie π(t) czystego zysku.

46

równanie przedstawiające tempo wzrostu konsumpcji w zależności od stopy procentowej,

stopy preferencji czasowych i elastyczności substytucji:31

C rC

ρσ−

=&

. [1h.18]

Przejdziemy teraz do analizy równowagi długookresowej. W stanie ustalonym r, x, HY, HA,

K/A, K/Y i C/Y są stałe, zaś Y, A, K i C rosną według stałej stopy gKD:

0KDA

Y K C Ag HY K C A

µ= = = = = ≥& && &

. [1h.19]

Tempo wzrostu gospodarczego gKD obliczamy z układu równań, gdzie jednym równaniem

jest tempo wzrostu uzyskane z maksymalizacji użyteczności gospodarstw domowych

([1h.18]), zaś drugim – tempo wzrostu gospodarczego otrzymane z maksymalizacji zysku

przedsiębiorstw ([1h.19]). Wykorzystując formułę [1h.16] oraz eliminując r między [1h.18] i

[1h.19], uzyskujemy:

1KD Hg µ ρ

σ− Λ

=Λ +

, gdzie ( )( )

0αα β α β

Λ ≡ >+ 1− −

. [1h.20]

Równanie [1h.20] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w

modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr dla przypadku gospodarki rynkowej. Najważniejszy

wniosek płynący z analizy równania [1h.20] dotyczy występowania efektów skali.

Mianowicie, kraje z większym zasobem kapitału ludzkiego rozwijają się szybciej. Jeśli zasób

kapitału ludzkiego jest zbyt mały, to warunek nieujemności tempa wzrostu gospodarczego z

[1h.19] jest wiążący i w gospodarce może występować stagnacja. A zatem, opisany tutaj

model ze zwiększającą się liczbą dóbr daje dobre wyjaśnienie, dlaczego tempo wzrostu

gospodarczego na świecie jest zróżnicowane i dlaczego niektóre kraje prawie w ogóle się nie

rozwijają. Za wszelkie różnice w tempach wzrostu odpowiedzialny jest kapitał ludzki.

Gospodarka rynkowa w opisanym modelu nie jest optymalna w sensie Pareta i wykazuje

niższe tempo wzrostu gospodarczego niż gospodarka centralnie planowana. W równowadze

rynkowej zbyt mały zasób kapitału ludzkiego jest przeznaczany na badania, gdyż – po

pierwsze – sektor B+R wywołuje dodatnie efekty zewnętrzne (każda innowacja zwiększa

produkcyjność następnych prac w sektorze B+R), zaś po drugie – produkcja sektora B+R

przechodzi przez monopolistę, który – stosując ceny monopolowe – wytwarza zbyt mało dóbr

pośrednich.

Aby to wykazać, rozpatrujemy problem centralnego planisty:

31 Wyprowadzenie zależności [1h.18] z [1h.17] jest analogiczne do wyprowadzenia pierwszego z równań [1b.7] z [1b.4].

47

1

0

1 max.1

tC e dtσ

ρ

σ

∞ −−−

→−∫ [1h.21]

p.w. (a) ( ) ( ) 1YK H A LA K Cα β α β α βη− − + −1= −& ; (b) AA H Aµ=& ; (c) Y AH H H+ = .

W celu rozwiązania powyższego problemu optymalizacyjnego konstruujemy hamiltonian

wartości zaktualizowanej:

( )( ) ( ){ } { }1

11 2

11 A A

C H H A LA K C H Aσ

α β α β α βθ η θ µσ

−− − + −1−

ℵ = + − − +−

[1h.22]

i odpowiednie warunki pierwszego rzędu:

(I) 0C

∂ℵ=

∂; (II) 0

AH∂ℵ

=∂

; (III) 1

Kθ

∂ℵ=

∂& ; (IV)

2

Aθ

∂ℵ=

∂& ; (V) 1 1 K

θ ρθ ∂ℵ= −

∂& ;

(VI) 2 2 Aθ ρθ ∂ℵ

= −∂

& ; (VII) 1lim 0t

te Kρ θ−

→∞= ; (VIII) 2lim 0t

te Hρ θ−

→∞= . [1h.23]

Przekształcenia warunków pierwszego rzędu [1h.23] (z pominięciem dwóch warunków

transwersalności) pozwalają uzyskać wzór na tempo wzrostu gospodarczego:32

( )1CP Hg µ ρ

σ− Θ

=Θ + − Θ

, gdzie 0αα β

Θ ≡ >+

. [1h.24]

Równanie [1h.24] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w

modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr dla przypadku gospodarki centralnie planowanej. Z

porównania formuł [1h.20] z [1h.24] wynika, że gospodarka rynkowa będzie przeznaczała

zbyt mały zasób kapitału ludzkiego na badania i rozwój i dlatego będzie rozwijała się wolniej.

Równania [1h.20] i [1h.24] różnią się bowiem pod dwoma względami.

Po pierwsze, we wzorze na gKD występuje stała Λ, podczas gdy we wzorze na gCP

występuje stała Θ, mniejsza niż Λ:

( )( )1

1α

α β α β α βΛ ≡ = Θ

+ 1− − − −. [1h.25]

Obie stałe Λ i Θ różnią się między sobą wielkością 1/(1 – α – β), równą ilorazowi ceny oraz

kosztu krańcowego monopolisty produkującego dobro pośrednie (zob. [1h.9]). Zamiana Λ na

Θ wynika z faktu, iż w gospodarce rynkowej dobra pośrednie są wytwarzane przez

monopolistę, który wyznacza cenę wyższą od kosztu krańcowego produkcji. Im większa jest

siła monopolu, tzn. im wyższa jest wartość 1/(1 – α – β), tym większa różnica w tempach

wzrostu gospodarki rynkowej i centralnie planowanej.

Po drugie, w mianowniku równania [1h.20] występuje stała 1, zaś w mianowniku [1h.24] – 32 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokładnej kolejności wykonywania obliczeń prosimy o kontakt z autorem.

48

mniejsza wartość 1 – Θ. Różnica ta związana jest z uwzględnieniem przez centralnego

planistę efektów zewnętrznych i również prowadzi do szybszego tempa wzrostu gospodarki

centralnie planowanej.

Opisany tu model nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji. Kraje bogate, z

dużym zasobem kapitału ludzkiego, wykazują bowiem wyższe tempo wzrostu gospodarczego

niż kraje słabo rozwinięte, w których zasób kapitału ludzkiego jest mały.

49

3.5. Model Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr

Charakterystyczną cechą modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr jest

to, że postęp techniczny polega na poprawie jakości dóbr już istniejących. Innowacje, które

powstają w sektorze B+R, mają charakter pionowy, tzn. prowadzą do poprawy jakości dóbr

pośrednich. W przeciwieństwie do wcześniejszego modelu, nowe dobra pośrednie są

substytucyjne w stosunku do starych, a zatem ich wprowadzanie powoduje natychmiastową

rezygnację z dotychczasowych czynników produkcji. Występujący w tym modelu mechanizm

wypierania starych dóbr przez nowe jest dokładnie tym, co Schumpeter w 1942 r. nazwał

„twórczą destrukcją”. Schumpeter twierdził, że „twórcza destrukcja” jest nieodłącznym

elementem rozwoju kapitalizmu. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z

artykułu Philippe’a Aghiona i Petera Howitta (Aghion, Howitt, 1992).33

Gospodarka w modelu Aghiona-Howitta składa się z trzech sektorów: sektora dóbr

finalnych, sektora dóbr pośrednich oraz sektora B+R. W sektorze B+R nieskończenie wiele

doskonale konkurencyjnych przedsiębiorstw prowadzi prace badawcze, które kończą się

sukcesem z pewnym prawdopodobieństwem. Sukcesem jest innowacja polegająca na

opracowaniu nowego dobra pośredniego, charakteryzującego się lepszą produkcyjnością.

Każdemu kolejnemu dobru pośredniemu odpowiada wyższa wartość zmiennej A,

reprezentującej poziom techniki:

0t

tA A γ= ( )1γ > . [1i.1]

Przedsiębiorstwo dokonujące innowacji uzyskuje monopol na produkcję nowego dobra

pośredniego, wypierając tym samym z rynku dotychczasowego producenta. Monopol trwa aż

do momentu pojawienia się następnej innowacji. Dobra pośrednie są sprzedawane

przedsiębiorstwom działającym w sektorze dóbr finalnych.

Liczba ludności jest stała. Poszczególne osoby różnią się między sobą poziomem

wykształcenia. W gospodarce jest L1 osób niewykształconych, L2 osób wykształconych i L3

specjalistów (L1 = const., L2 = const., L3 = const.). Osoby niewykształcone pracują tylko w

sektorze dóbr finalnych, zaś specjaliści – tylko w sektorze B+R. Osoby wykształcone pracują

w dwóch sektorach gospodarki: Lt osób pracuje w sektorze wytwarzającym dobra pośrednie,

zaś Nt – w sektorze B+R (Lt + Nt = L2).

Indeks t, który pojawił się m. in. w równaniu [1i.1], nie jest indeksem czasu: t określa

33 Istnieją także inne modele z poprawiającą się jakością dóbr (zob. np. Segerstrom, Anant, Dinopoulos, 1990; Grossman, Helpman, 1991), które różnią się od przedstawionego tutaj modelu Aghiona-Howitta. Na przykład, w modelu Grossmana-Helpmana procesom innowacji podlega wiele dóbr, natomiast w modelu Aghiona-Howitta innowacje obejmują jedno dobro pośrednie występujące w gospodarce.

50

numery kolejnych innowacji, które powstają z różnym prawdopodobieństwem. Rzeczywisty

czas ma charakter ciągły i będzie oznaczany symbolem τ. O ile τ = 0 jest równoważne t = 0, o

tyle dla następnych okresów równość ta nie zachodzi, gdyż innowacje powstają w zmiennych

odstępach czasowych. Charakter powiązań między τ i t jest widoczny na rysunku 1.7. Każda

kolejna innowacja rozpoczyna nowy okres t i powoduje wzrost wartości zmiennej lnA o lnγ.

Dobra finalne (konsumpcyjne) są wytwarzane przy wykorzystaniu dobra pośredniego x

oraz niewykształconej siły roboczej L1. Postęp techniczny ma charakter neutralny w ujęciu

Hicksa.34 Występują stałe przychody względem obu czynników: x i L1. Ponieważ L1 = const.,

zmienną tę można pominąć. Funkcja produkcji ma zatem postać:

( )t t tY A F x= ⋅ , [1i.2]

gdzie F’(x) > 0 i F”(x) < 0.

Rysunek 1.7 Czas i innowacje w modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr

τ =

14

τ =

13

τ =

0 τ

= 1

τ =

2 τ

= 3

τ =

4 τ

= 5

τ =

6 τ

= 7

τ =

8 τ

= 9

τ =

10

τ =

11

τ =

12

Czas (τ)a

lnAt

lnA0

τ =

15

Kolejne innowacje (t)

lnA1 lnA2 lnA3 lnA4 lnA5 lnA6

t = 0

t = 1

t =

2

t = 3

t = 4

t = 5

t =

6

a Czas τ jest zmienną ciągłą. Do celów graficznych został on przedstawiony jako zmienna dyskretna.

lnγ lnγ

lnγ lnγ

lnγlnγ

Dobro pośrednie jest produkowane zgodnie z funkcją produkcji:

t tx L= . [1i.3]

Produkcja sektora B+R polega na tworzeniu innowacji. Innowacje są losowe i powstają

według procesu Poissona, który ma rozkład wykładniczy z parametrem λφ(Nt,L3).35 Funkcja φ

34 Oznacza to, że zmienna reprezentująca poziom techniki występuje w iloczynie z funkcją produkcji. 35 λφ(Nt,L3) jest współczynnikiem pojawiania się innowacji (arrival rate of innovations).

51

wykazuje stałe przychody ze skali. Jak widać, efektywność prac badawczo-rozwojowych

zależy m. in. od liczby osób wykształconych pracujących w sektorze B+R (Nt). Zakładamy,

że osoby te są niezbędne do pojawiania się innowacji: φ(0,L3) = 0.

Analizę modelu przeprowadzimy dla przypadku gospodarki rynkowej. W celu znalezienia

równania opisującego tempo wzrostu gospodarczego rozpatrujemy oddzielnie zachowania

przedsiębiorstw działających w każdym z trzech sektorów gospodarki.

Zysk firmy działającej w sektorze dóbr finalnych jest równy wielkości produkcji

pomniejszonej o koszty zakupu dobra pośredniego x po cenie p. Ponieważ występują stałe

przychody ze skali, problem optymalizacyjny przedsiębiorstw przekłada się na następujący

problem optymalizacyjny gałęzi:

( ) max.t t t tA F x p x− → [1i.4]

Maksymalizując [1i.4] względem xt, uzyskujemy funkcję popytu sektora dóbr finalnych na

dobro pośrednie:

( )'t t tp A F x= . [1i.5]

Dobro pośrednie jest wytwarzane przez monopolistę, który produkuje zgodnie z funkcją

produkcji [1i.3], napotyka funkcję popytu daną wzorem [1i.5] i dąży do maksymalizacji

zysku π :

( )' max .t t t t t t t t t t t t tp x w L p x w x A F x w xπ = − = − = − → , [1i.6]

gdzie wt jest stawką płacy. Oznaczmy przez ω ≡ d(px)/dx = A(F’(x) + F”(x)x) utarg krańcowy

monopolu. Niech falka nad daną zmienną oznacza podzielenie właściwej zmiennej przez

poziom techniki At:

tt

t

wwA

≡% ; ( ) ( ) ( )' "t t t tx F x F x xω = +% ;36 tt

tAππ =% . [1i.7]

Monopolista wyznacza optymalną wielkość produkcji zrównując utarg krańcowy ω z kosztem

krańcowym równym stawce płacy w, co prowadzi do następującego warunku:

( )t tx wω =% % . [1i.8]

Z [1i.8] wyznaczamy optymalną wielkość produkcji przedsiębiorstwa jako odwrotną funkcję

utargu krańcowego:

( )1t tx wω−= % % . [1i.9]

W doskonale konkurencyjnym sektorze B+R prace nad nowymi innowacjami prowadzi

36 ( )' 0xω <% ; ( )lim 0

xxω

→∞=% ; ( )

0limx

xω→

= ∞% .

52

nieskończenie wiele przedsiębiorstw. Celem każdego z nich jest maksymalizacja zysku:

( )3 1 3, max.St t t t tn l V w n w lλφ + − − → , [1i.10]

gdzie n i l3 to liczba osób wykształconych oraz liczba specjalistów zatrudnianych przez

pojedyncze przedsiębiorstwo, Vt+1 jest wartością (t + 1)-ej innowacji, zaś wtS jest stawką płacy

dla specjalistów. Ponieważ φ to funkcja o stałych przychodach, maksymalizacja [1i.10]

przekłada się na następujący problem optymalizacyjny całej gałęzi:

( ) 1 3 max.St t t t tN V w N w Lλϕ + − − → , [1i.11]

gdzie ϕ(N) ≡ φ(N,L3).37 Maksymalizacja [1i.11] względem Nt prowadzi do warunku:

( ) 1' t t tN V wλϕ + = . [1i.12]

Wartość (t + 1)-ej innowacji wyznaczamy z równania:

( )1 1 1 1t t t trV N Vπ λϕ+ + + += − . [1i.13]

Powyższe równanie informuje, że oczekiwany dochód z posiadania licencji na produkcję

(t + 1)-ej innowacji, czyli iloczyn stopy procentowej r i wartości (t + 1)-ej innowacji, jest

równy wielkości zysków monopolowych uzyskiwanych z produkcji (t + 1)-ego dobra

pośredniego pomniejszonych o oczekiwaną stratę kapitałową zaistniałą w sytuacji, kiedy

powstanie kolejna innowacja. Współczynnik pojawienia się (t + 2)-ej innowacji wynosi

λϕ(Nt+1). Jak widać, λϕ(Nt+1) rośnie wraz ze wzrostem Nt+1, co oznacza, że większe zasoby

siły roboczej przeznaczane na badania nad (t + 2)-gą innowacją zmniejszają wartość (t + 1)-ej

innowacji (Vt+1).

Rozwiązaniem modelu jest wyznaczenie optymalnego podziału zasobu wykształconych

pracowników L2 między produkcję w sektorze dóbr pośrednich (Lt) i w sektorze B+R (Nt).

Podstawiając [1i.13] do [1i.12], wykorzystując wzory [1i.1] i [1i.6] – [1i.9] oraz

Lt + Nt = L2, uzyskujemy równanie opisujące dynamikę gospodarki w modelu Aghiona-

Howitta:

( )( )

( )( )( )

2 12

1'tt

t t

L NL NN r N

γπ ωωλϕ λϕ

+

+

−−=

+

%%%. [1i.14]

Powyższa formuła jest nieliniowym równaniem różnicowym opisującym dynamikę

zatrudnienia przez sektor B+R osób wykształconych. Dla każdej wielkości Nt wzór ten

określa w sposób uwikłany wartość Nt+1. Lewą stronę [1i.14] można traktować jako krańcowy

koszt badań C(Nt), zaś prawą stronę – jako krańcową korzyść z badań B(Nt+1). Koszt

37 ( )0 0ϕ = ; ( )' 0Nϕ > ; ( )" 0Nϕ < .

53

krańcowy rośnie wraz ze zwiększaniem zasobów pracy przeznaczanych na badania w

bieżącym okresie, zaś krańcowa korzyść z prowadzenia prac badawczych maleje wraz ze

wzrostem zasobów pracy przeznaczanych na badania w okresie t + 1.

W stanie równowagi długookresowej liczba osób wykształconych pracujących w sektorze

B+R jest stała: Nt = Nt+1 = N*KD. Wykorzystując ten fakt, z warunku [1i.14] możemy obliczyć

wielkość zatrudnienia osób wykształconych w sektorze B+R:

( )( )

( )( )( )

**22

* *'

KDKD

KD KD

L NL N

N r N

γπ ωω

λϕ λϕ

−−=

+

%%%. [1i.15]

Rysunek 1.8 przedstawia rozwiązanie równania [1i.14] w formie graficznej (dla przypadku

C(0) < B(0)).38

Rysunek 1.8 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się

jakością dóbr

N’ N”

( ) ( )( )

2

't

tt

L NC N

Nω

λϕ−

=%

( )( )( )

( )2 1

11

tt

t

L NB N

r N

γπ ω

λϕ+

++

−=

+

%%

N0 N1 N2 N3

N*KD

L2

( ) ( )( )

20' 0L

Cωλϕ

=%

( )( )( )2

0L

Br

γπ ω=

%%

Osoby wykształcone pracujące w sektorze B+R

Na rysunku zaznaczono krańcowy koszt i krańcową korzyść z prowadzenia prac

badawczych. Dla każdej wielkości N w bieżącym okresie można odczytać wartość N w

następnym okresie. Jak widać, istnieje ujemna zależność między bieżącą i przyszłą wielkością

zatrudnienia w sektorze B+R. Wynika to z dwóch przyczyn. Większe nakłady na badania w

przyszłości prowadzą, po pierwsze, do wzrostu płac w przyszłym okresie wt+1, zaś po drugie,

do wzrostu współczynnika pojawiania się innowacji λϕ(Nt+1) i przez to do szybszego

38 W przypadku, gdy C(0) ≥ B(0), równanie [1i.14] nie będzie miało dodatniego rozwiązania. W takiej sytuacji N*KD będzie wynosiło zero i gospodarka nie będzie wykazywała wzrostu.

54

powstania następnej innowacji. Oba te czynniki powodują spadek przyszłych zysków

monopolistycznych, co prowadzi do zmniejszenia bieżących nakładów w sektorze B+R.

Stacjonarna równowaga długookresowa występuje w punkcie przecięcia się krzywych

C(Nt) oraz B(Nt+1). W punkcie tym liczba osób wykształconych pracujących w sektorze B+R

jest stała i równa N*KD. W stanie ustalonym współczynnik pojawiania się innowacji wynosi

λϕ(N*KD) > 0.39

Liczba osób pracujących w sektorze B+R w punkcie równowagi długookresowej (N*KD)

zwiększa się wraz z: a) spadkiem stopy procentowej r, b) wzrostem jakości innowacji γ, c)

wzrostem zasobu wykształconej siły roboczej L2, d) wzrostem współczynnika pojawiania się

innowacji λ. Spadek stopy procentowej i wzrost jakości innowacji zwiększają krańcową

korzyść z badań poprzez wyższą zaktualizowaną wartość zysków monopolowych. Wzrost

zasobu siły roboczej zwiększa krańcową korzyść oraz zmniejsza krańcowy koszt badań, gdyż

przyczynia się do spadku stawek płac. Wzrost współczynnika pojawiania się innowacji

zmniejsza zarówno krańcowy koszt, jak i krańcową korzyść z badań, ponieważ – z jednej

strony – oznacza większą efektywność zatrudnianych osób w pracach nad daną innowacją,

lecz z drugiej – prowadzi do szybszego pojawienia się następnej innowacji i tym samym do

skrócenia okresu istnienia danego monopolu. Ten pierwszy efekt jednak dominuje.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia tempa wzrostu gospodarczego w stanie równowagi

długookresowej: lny(τ + 1) – lny(τ).40 W stanie ustalonym liczba osób wykształconych

pracujących w sektorze B+R jest stała, określona równaniem [1i.15]. Oznacza to, że w

punkcie równowagi stała jest także wielkość zatrudnienia w sektorze dóbr pośrednich (L) oraz

produkcja każdego dobra pośredniego (x). A zatem, z warunków [1i.2] i [1i.1] wynika, że

każda innowacja powoduje wzrost produkcji γ razy:

1ln ln lnt ty y γ+ − = . [1i.16]

Tempo wzrostu gospodarczego między okresem τ i τ + 1 będzie zatem równe lnγ razy liczba

innowacji między okresem τ i τ + 1. Ponieważ w stanie ustalonym innowacje pojawiają się

według rozkładu wykładniczego z parametrem λϕ(N*KD), oczekiwana liczba innowacji w

jednostce czasu jest równa λϕ(N*KD). Stąd, oczekiwane tempo wzrostu gospodarczego

wynosi: 39 W sytuacji przedstawionej na rysunku gospodarka, która początkowo nie znajduje się w stanie ustalonym, zbiega do tego punktu. Takie rozwiązanie nie jest jedynym możliwym. Na przykład, może wystąpić dwuokresowa równowaga cykliczna, w której nakłady pracy w sektorze B+R będą wysokie w okresach parzystych i niskie w okresach nieparzystych (lub na odwrót). 40 Tempo wzrostu gospodarczego wynosi lny(τ + 1) – lny(τ), a nie lny(t + 1) – lny(t), gdyż szukamy zmian wielkości produkcji w czasie rzeczywistym τ.

55

( ) ( )( ) ( )*ln 1 ln lnKDE y y Nτ τ λϕ γ+ − = . [1i.17]

Równanie [1i.17] przedstawia tempo wzrostu gospodarczego w stanie ustalonym w modelu

Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr.

Na podstawie równania [1i.17] oraz wcześniejszych wniosków można określić

najważniejsze determinanty wzrostu gospodarczego. Tempo wzrostu zwiększa się wraz ze

spadkiem stopy procentowej, wzrostem zasobu wykształconej siły roboczej, wzrostem jakości

innowacji γ oraz wzrostem wartości współczynnika pojawiania się innowacji λ. Te dwie

ostatnie zmiany wpływają na stopę wzrostu zarówno bezpośrednio, jak i pośrednio – poprzez

dodatnie oddziaływanie na N*KD.

Charakterystyczną cechą omawianego modelu jest to, że gospodarka rynkowa może

rozwijać się szybciej lub wolniej niż gospodarka centralnie planowana. Centralny planista

wyznacza optymalną wielkość zatrudnienia w sektorze B+R (N*CP) z następującego

warunku:41

( )( )

( ) ( )( )( )

* *2 2

* *

' 1

' 1

CP CP

CP CP

F L N F L N

N r N

γ

λϕ λϕ γ

− − −=

− −. [1i.18]

Zatrudnieniu N*CP odpowiada średnie tempo wzrostu gospodarczego równe:

( ) ( )( ) ( )*ln 1 ln lnCPE y y Nτ τ λϕ γ+ − = . [1i.19]

Analogicznymi równaniami dla gospodarki rynkowej są [1i.15] i [1i.17].

Porównując [1i.17] z [1i.19] widzimy, że gospodarka centralnie planowana rozwija się

szybciej (wolniej) niż gospodarka rynkowa, jeżeli N*CP > N*KD (N*CP < N*KD). Wielkości

N*KD i N*CP są wyznaczane z równań [1i.15] i [1i.18]. Jak widać, równania te różnią się

między sobą pod czteroma względami. Po pierwsze, w [1i.15] występuje „prywatna stopa

dyskontowa” r + λϕ(N*KD), podczas gdy w [1i.18] – „stopa dyskontowa na poziomie całej

gospodarki” r – λϕ(N*CP)(γ – 1). Stopa dyskontowa na poziomie całej gospodarki jest niższa

niż prywatna, gdyż dla centralnego planisty korzyść z innowacji trwa wiecznie, podczas gdy

pojedyncze przedsiębiorstwo czerpie z niej korzyści tylko do momentu pojawienia się

następnej innowacji. Po drugie, w równaniu [1i.15] występuje nadwyżka producenta π/A, zaś

w [1i.18] pojawia się wielkość produkcji F. Po trzecie, współczynnik γ z licznika formuły

[1i.15] zostaje zastąpiony przez współczynnik γ – 1 w równaniu [1i.18]. Wynika to stąd, że

prywatne przedsiębiorstwo nie uwzględnia faktu, iż nowa innowacja oznacza pojawienie się

41 Wyprowadzenie równania [1i.18] znajduje się w: Aghion, Howitt (1992) lub – w nieco zmienionej formie – Aghion, Howitt (1998).

56

straty dla dotychczasowego monopolisty. Po czwarte, utarg krańcowy ω/A występujący we

wzorze [1i.15], równy stawce płacy, staje się w równaniu [1i.18] produktem krańcowym F’.

Pierwsze dwie z powyższych różnic sprawiają, że gospodarka rynkowa rozwija się

wolniej niż gospodarka centralnie planowana. Dwie kolejne różnice skutkują szybszym

wzrostem gospodarki rynkowej w porównaniu z centralnie planowaną. Ponieważ efekty te

działają w przeciwnych kierunkach, gospodarka rynkowa może rozwijać się szybciej lub

wolniej od gospodarki centralnie planowanej.

Model Aghiona-Howitta nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji między

krajami. Kraje wysoko rozwinięte (o wysokim poziomie techniki, mierzonej zmienną A) będą

rozwijać się tak samo jak kraje słabo rozwinięte, które nie są zaawansowane technologicznie.

Prawdopodobieństwo powstania kolejnej innowacji oraz tempo wzrostu gospodarczego nie

zależą bowiem od zmiennej A, określającej dotychczasowy poziom rozwoju. A zatem, nawet

jeśli poszczególne kraje charakteryzują się takimi samymi wartościami parametrów

określających stan równowagi długookresowej, lecz różnią się poziomem rozwoju,

zróżnicowanie dochodów między nimi będzie rosnąć w czasie.

57

3.6. Rozszerzony model Solowa (model Mankiwa-Romera-Weila)

Przedstawimy teraz rozszerzony model Solowa (the augmented Solow model), autorstwa

N.G. Mankiwa, D. Romera i D.N. Weila (Mankiw, Romer, Weil, 1992; Romer, 2000). Mimo

że rozszerzony model Solowa stanowi kontynuację neoklasycznej teorii wzrostu i nie jest

ujęciem endogenicznym, zalicza się go do nowej teorii wzrostu głównie z dwóch powodów.

Po pierwsze, powstał on w latach dziewięćdziesiątych, a więc w okresie nowej teorii wzrostu.

Po drugie, uwzględnienie kapitału ludzkiego jest pewną cechą zbliżającą ten model do grupy

koncepcji endogenicznych. Model Mankiwa-Romera-Weila powstał m. in. w celu pokazania,

że neoklasyczna teoria wzrostu dobrze wyjaśnia różnice w poziomie dochodów między

krajami i zjawisko konwergencji warunkowej. Dlatego też pod koniec przedstawimy wyniki

badań empirycznych weryfikujących prawdziwość wniosków płynących z modeli Solowa

(podstawowego i rozszerzonego).

Główna różnica między podstawowym i rozszerzonym modelem Solowa polega na tym, że

model w wersji rozszerzonej uwzględnia kapitał ludzki. Kapitał ludzki (H) jest trzecim

czynnikiem produkcji, poza kapitałem fizycznym (K) i efektywnym zasobem pracy (AL).

Funkcja produkcji ma następującą postać:

( )Y K H AL α βα β 1− −= , [1j.1]

gdzie α > 0, β > 0, α + β < 1. Jak widać, wprowadzenie kapitału ludzkiego nie zmieniło faktu,

iż funkcja produkcji charakteryzuje się wszystkimi neoklasycznymi własnościami, a

mianowicie malejącą krańcową produkcyjnością każdego z czynników, stałymi przychodami

ze skali oraz spełnia warunki Inady. Produkcja w tym modelu może być przeznaczana na

konsumpcję, na akumulację kapitału fizycznego lub na akumulację kapitału ludzkiego.

Poziom techniki oraz siła robocza rosną w stałych tempach, równych odpowiednio a i n,

kształtowanych egzogenicznie (zob. [1a.3]). Oba rodzaje kapitałów amortyzują się według tej

samej stopy, równej δ. Niech sK oznacza odsetek dochodu przeznaczany na akumulację

kapitału fizycznego (czyli stopę oszczędności), zaś sH – odsetek dochodu przeznaczany na

akumulację kapitału ludzkiego. Równania ruchu dla kapitału fizycznego i kapitału ludzkiego

mają zatem postać:

KK s Y Kδ= −& , [1j.2]

HH s Y Hδ= −& . [1j.3]

Analizę dynamiki modelu przeprowadzimy dla wielkości kapitałów i produkcji na

jednostkę efektywnej pracy, oznaczonych jako k, h i y:

58

KkAL

≡ ; HhAL

≡ ; ( )K H ALYy k hAL AL

α βα βα β

1− −

≡ = = . [1j.4]

W celu znalezienia równań opisujących dynamikę gospodarki różniczkujemy względem

czasu definicje k i h. W efekcie otrzymujemy:

( ) ( )K Kk s y n a k s k h n a kα βδ δ= − + + = − + +& , [1j.5]

( ) ( )H Hh s y n a h s k h n a hα βδ δ= − + + = − + +& . [1j.6]

Powyższe równania opisują dynamikę gospodarki w modelu Mankiwa-Romera-Weila. Są one

analogiczne do równania [1a.6], przedstawiającego dynamikę w podstawowym modelu

Solowa. Przyrost kapitału ludzkiego i fizycznego na jednostkę efektywnej pracy jest równy

faktycznym inwestycjom w dany rodzaj kapitału pomniejszonym o inwestycje restytucyjne.

W stanie ustalonym wielkość kapitału na jednostkę efektywnej pracy jest stała. A zatem,

przyrównując [1j.5] i [1j.6] do zera uzyskujemy zasób kapitału fizycznego i ludzkiego w

stanie równowagi długookresowej: 1

1 1* K Hs sk

n a

β β α β

δ

− − − = + +

, [1j.7]

11 1

* K Hs shn a

α α α β

δ

− − − = + +

. [1j.8]

Graficzną postać stanu ustalonego oraz okresu przejściowego przedstawia rysunek 1.9.

Dynamikę rozszerzonego modelu Solowa rozpatrujemy w dwuwymiarowej przestrzeni

(k,h). Krzywe dk/dt = 0 i dh/dt = 0 na rysunku 1.9 zostały wyznaczone poprzez przyrównanie

równań [1j.5] i [1j.6] do zera. Krzywe te mają następującą postać funkcyjną:

• krzywa 0k =& : 1

11Ksk h

n a

βαα

δ−

− = + + , [1j.9]

• krzywa 0h =& :

11

H

n ak hs

βααδ − + +

=

. [1j.10]

Ponieważ β < 1 – α i 1 – β > α, krzywa dk/dt = 0 jest wklęsła, zaś krzywa dh/dt = 0 –

wypukła. Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia krzywych dk/dt = 0 i dh/dt = 0

(punkt E). Podobnie jak w podstawowym modelu Solowa, stan równowagi długookresowej

jest tu stabilny. Z każdego początkowego punktu (np. A, B, C lub D), określonego

początkowym zasobem kapitału fizycznego i ludzkiego, gospodarka podąża w kierunku stanu

równowagi długookresowej, zachowując się zgodnie z równaniami [1j.5] i [1j.6].

59

Rysunek 1.9 Okres przejściowy i stan ustalony w rozszerzonym modelu Solowa

0h =&

0k =&

h

k

k*

h*

E

B

A

C

D

W stanie równowagi długookresowej kapitał fizyczny, kapitał ludzki, konsumpcja i

produkcja na jednostkę efektywnej pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest

równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludności (czyli zmiennych

kształtowanych egzogenicznie), a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi

technicznemu. A zatem, rozszerzony model Solowa daje taką samą odpowiedź jak model

podstawowy i inne modele neoklasyczne na pytanie o przyczyny długookresowego wzrostu

gospodarczego.

W modelu Mankiwa-Romera-Weila stopy inwestycji w kapitał fizyczny i kapitał ludzki

kształtują się egzogenicznie. Tokarski (2000) pokazuje, że maksymalizacja konsumpcji per

capita wymaga, aby stopy te były równe udziałom wynagrodzeń poszczególnych czynników

produkcji w dochodzie. Jednak w rzeczywistości stopy inwestycji będą niższe od poziomu

maksymalizującego konsumpcję, ponieważ jednostki bardziej cenią konsumpcję bieżącą od

przyszłej i dlatego nie zdecydują się na wybór wysokich stóp inwestycji. Oznacza to, że

model Mankiwa-Romera-Weila charakteryzuje się dynamiczną nieefektywnością.

Model Mankiwa-Romera-Weila, podobnie jak inne modele neoklasyczne, potwierdza

występowanie zjawiska konwergencji warunkowej. W celu formalnego wykazania zbieżności

i obliczenia jej szybkości, należy dokonać log-linearyzacji równania opisującego dynamikę

gospodarki. Logarytmując i różniczkując względem czasu funkcję produkcji y = kαhβ i

wykorzystując zależności [1j.5] – [1j.6], uzyskujemy równanie opisujące tempo wzrostu

produkcji na jednostkę efektywnej pracy w rozszerzonym modelu Solowa:

60

( )( )1 1ln K Hy s k h s k h n aα β α βα β α β δ− −= + − + + +& . [1j.11]

Następnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego w celu

znalezienia przybliżonej ścieżki czasowej dla lny:

( ) ( )dla stanu ustalonego dla stanu ustalonego

ln lnln ln * ln ln * ln ln *ln ln

d y d yy y k k h hd k d h

≈ + × − + × −& &

& & . [1j.12]

Obliczając odpowiednie pochodne i wykorzystując fakt, że w stanie ustalonym k i h określone

są wzorami [1j.7] – [1j.8], z [1j.12] otrzymujemy:

( )( )( ) ( )( )( )ln 1 ln ln * 1 ln ln *y n a k k n a h hα α β δ β α β δ= − − − + + − − − − + + −& . [1j.13]

Definiując:

( )( )1 0n aλ α β δ= − − + + > , [1j.14]

[1j.13] można zapisać w postaci:

( )ln * lny y yy

λ= −&

. [1j.15]

Równanie [1j.15] jest identyczne jak równania [1a.14] i [1b.15], właściwe dla modeli Solowa

i Ramseya, oraz podobne do równania [1c.20] w modelu Diamonda.42 Wszystkie te równania

informują, że tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do odległości dzielącej

gospodarkę od jej stanu równowagi długookresowej. Im odległość ta jest większa, tzn. im

bardziej lny jest mniejszy od lny*, tym szybsze jest tempo wzrostu gospodarczego. Oznacza

to występowanie zjawiska zbieżności.

Równanie [1j.14] przedstawia wartość współczynnika określającego szybkość zbieżności

w modelu Mankiwa-Romera-Weila. Analogiczne współczynniki dla modeli Solowa i

Ramseya dane są wzorami [1a.13] i [1b.14] (modelu Diamonda nie porównujemy, gdyż jeden

okres w modelu Diamonda nie odpowiada jednemu okresowi w modelach z czasem ciągłym).

Na podstawie [1j.14] i [1a.13] widać, że w modelu Mankiwa-Romera-Weila zbieżność jest

wolniejsza niż w zwykłym modelu Solowa.

Model Solowa (w wersji podstawowej i rozszerzonej) nie tłumaczy różnic w tempach

wzrostu gospodarczego między krajami, jednak można go wykorzystać do wyjaśnienia różnic

w poziomach dochodu. Zgodnie z modelem Solowa stopa oszczędności (w przypadku wersji

rozszerzonej – także odsetek dochodu przeznaczany na akumulację kapitału ludzkiego) oraz

tempo wzrostu liczby ludności to podstawowe czynniki określające poziom dochodu na 1

mieszkańca. Wzrost stóp oszczędności i/lub zmniejszenie się tempa wzrostu liczby ludności

42 W rozszerzonym modelu Solowa współczynnik zbieżności, oznaczany wcześniej symbolem β, jest oznaczony symbolem λ, gdyż β zostało już wykorzystane w opisie funkcji produkcji.

61

prowadzą do wyższego poziomu dochodu w stanie równowagi długookresowej (i przejściowo

wyższego tempa wzrostu gospodarczego).

Aby formalnie wykazać wpływ sK, sH i n na poziom PKB per capita w stanie ustalonym,

należy zlogarytmować funkcję produkcji: y* ≡ (Y/AL)* = k*αh*β, wykorzystując [1j.7] – [1j.8].

W efekcie otrzymujemy:

( ) ( )*ln ln 0 ln ln ln* 1 1 1K H

Y A at s s n aL

α β α β δα β α β α β

+= + + + − + + − − − − − −

. [1j.16]

Powyższe równanie pokazuje, że wzrost sK i sH, jak również spadek n przyczyniają się do

wzrostu wielkości PKB per capita w stanie równowagi długookresowej w rozszerzonym

modelu Solowa, zaś α/(1 – α – β) i β/(1 – α – β) to elastyczności dochodu względem sK i sH.

Analogiczne równanie dla standardowego modelu Solowa ma postać (β = 0):

( ) ( )*ln ln 0 ln ln* 1 1

Y A at s n aL

α α δα α

= + + − + + − −

. [1j.17]

Równania [1j.16] i [1j.17] – uzyskane z rozszerzonego i podstawowego modelu Solowa –

pokazują najważniejsze czynniki określające poziom dochodów w poszczególnych krajach.

W tym miejscu nasuwa się pytanie, czy rzeczywiście stopa oszczędności, inwestycje w

kapitał ludzki i tempo wzrostu liczby ludności to zmienne odpowiedzialne za różnice w

poziomach dochodów między krajami.

Mankiw, Romer i Weil dokonują estymacji równań [1j.16] i [1j.17] dla trzech różnych

grup krajów dla okresu 1960 – 1985. Wyniki ich analizy wskazują, że podstawowy model

Solowa dobrze wyjaśnia kierunek wpływu stopy oszczędności i tempa wzrostu liczby

ludności na poziom PKB, jednak błędnie wskazuje siłę tego oddziaływania. Siłę tę o wiele

lepiej określa model w wersji rozszerzonej.

Estymując równanie [1j.17] dla 98 krajów, Mankiw, Romer i Weil uzyskali ocenę

parametru przy zmiennej (lns – ln(n + a + δ)) równą 1,48. Jeśli zatem równanie [1j.17] byłoby

prawdziwe, to udział wynagrodzenia kapitału fizycznego w dochodzie (α) musiałby wynosić

0,60. Jednak w rzeczywistości wynagrodzenie kapitału fizycznego jest o wiele mniejsze i

stanowi ok. 1/3 dochodu, a to oznacza, że α/(1 – α) uzyskane na podstawie badań

empirycznych powinno być równe 0,5. Jak zatem widać, wpływ stopy oszczędności i tempa

wzrostu liczby ludności na poziom dochodu jest o wiele większy, niż wynikałoby to z

podstawowego modelu Solowa. A zatem model ten dobrze wyjaśnia kierunek powiązań

między stopą oszczędności, tempem wzrostu liczby ludności i poziomem dochodu oraz

prawidłowo wskazuje, że stopa oszczędności i tempo wzrostu liczby ludności to podstawowe

62

determinanty poziomu PKB (R2 = 0,59). Jednak podstawowy model Solowa błędnie tłumaczy

siłę oddziaływania stopy oszczędności i zmian w liczbie ludności na poziom dochodu.

Ponieważ uzyskane z modelu Solowa α = 0,60 może odzwierciedlać wynagrodzenie

szerszego zasobu kapitału, Mankiw, Romer i Weil rozbudowują model Solowa,

wprowadzając doń kapitał ludzki. Na podstawie tak rozbudowanego modelu dokonują

estymacji równania [1j.16], gdzie sH, czyli stopa akumulacji kapitału ludzkiego, to stosunek

osób uczących się w szkołach średnich do ogółu osób w wieku produkcyjnym. Szacując

równanie [1j.16] dla 98 krajów autorzy uzyskują współczynnik przy zmiennej

(lnsK – ln(n + a + δ)) równy 0,73, zaś współczynnik przy zmiennej (lnsH – ln(n + a + δ)) na

poziomie 0,67. Powyższe wartości implikują, że udział wynagrodzenia kapitału fizycznego w

dochodzie (α) wynosi 0,31, zaś udział wynagrodzenia kapitału ludzkiego w dochodzie (β) jest

równy 0,28. Takie wartości parametrów α i β uzyskane z rozszerzonego modelu Solowa są

mniej więcej zgodne z rzeczywistością. R2 dla oszacowanego równania regresji wynosi 0,78.

Powyższe wyniki oznaczają, że rozszerzony model Solowa dobrze tłumaczy (zarówno jeśli

chodzi o kierunek, jak i o siłę oddziaływania) różnice w poziomie dochodów między krajami,

wynikające z różnic w stopie oszczędności, stopie akumulacji kapitału ludzkiego i tempie

wzrostu liczby ludności.

Rozszerzony model Solowa wykazuje także lepsze własności w zakresie predykcji

szybkości zbieżności do stanu równowagi długookresowej, co potwierdzają przeprowadzone

przez Mankiwa, Romera i Weila badania empiryczne. Współczynnik β-zbieżności uzyskany z

badań empirycznych opartych na zwykłym modelu Solowa wynosi 0,6%, podczas gdy z

teoretycznej analizy modelu wynika, że – dla rozsądnych wartości parametrów – powinien on

wynosić ok. 4% (por. [1a.13]). Natomiast z badań empirycznych opartych na rozszerzonym

modelu Solowa uzyskujemy współczynnik β-zbieżności równy 1,4%, podczas gdy z

teoretycznych własności tego modelu powinien on wynosić ok. 2% (por. [1j.14]). Jak widać

zatem, rozszerzony model Solowa lepiej niż wariant podstawowy wyjaśnia szybkość

zbieżności gospodarek. Mimo że oba podejścia wskazują na występowanie konwergencji

warunkowej (co potwierdzają także wyniki badań empirycznych), to jednak faktyczna

szybkość zbieżności jest o wiele mniejsza, niż wynika to ze standardowego modelu Solowa,

który informuje o zbieżności w tempie 4% rocznie.43

43 Rozszerzenie modelu Solowa, przedstawione przez Mankiwa, Romera i Weila, nie musi ograniczać się tylko do uwzględnienia kapitału ludzkiego. Na przykład, W. Nonneman i P. Vanhoudt (Nonneman, Vanhoudt, 1996) przedstawiają jeszcze bardziej rozszerzony model Solowa, uwzględniający dowolną liczbę czynników produkcji:

63

Badanie Mankiwa, Romera i Weila było jednym z kilku, które zostały przeprowadzone w

latach dziewięćdziesiątych XX w. i potwierdziły prawdziwość teorii neoklasycznej. W innych

analizach z lat 1994 i 1995 Alwyn Young dowiódł, że szybki wzrost gospodarczy krajów Azji

Wschodniej był przede wszystkim stymulowany akumulacją pracy i kapitału, a nie

produktywnością. Z kolei Barro i Sala-i-Martin (1995) pokazali, że rozszerzony model

Solowa poprawnie wyjaśnia szybkość zbieżności krajów oraz regionów USA, Japonii i

niektórych państw Europy Zachodniej. Klenow i Rodríguez-Clare (1997) nazwali ten powrót

do teorii neoklasycznej „neoklasycznym odrodzeniem” (neoclassical revival). Przytoczone

badania sugerują bowiem, że poziom i zmiany produktywności są zbliżone w poszczególnych

krajach, a zatem różnice w poziomie dochodu i tempie wzrostu gospodarczego są w dużym

stopniu spowodowane różnicami w zasobach kapitału fizycznego i ludzkiego.44

( )1 21

11 2

m

imimY K K K AL ααα α=

−∑= K . W modelu tym m jest liczbą dóbr kapitałowych będących czynnikami produkcji (w standardowym modelu Solowa m jest równe 1, zaś w modelu Mankiwa-Romera-Weila, uwzględniającym kapitał fizyczny i ludzki, m jest równe 2). Analiza dynamiki modelu uwzględniającego m czynników wytwórczych jest analogiczna do przedstawionej w tej pracy analizy modelu Mankiwa-Romera-Weila.

Stosując model Mankiwa-Romera-Weila, nie da się przekonująco wyjaśnić różnic w poziomie dochodów wśród krajów OECD. Dlatego też Nonneman i Vanhoudt stosują dla tej grupy krajów model Solowa z trzema czynnikami produkcji: kapitałem fizycznym, kapitałem ludzkim oraz technologicznym know-how (m = 3). Okazuje się, że tak rozszerzony model o wiele lepiej wyjaśnia różnice w poziomach dochodów między krajami OECD (R2 dla m = 3 wynosi 0,7, podczas gdy dla m = 2 R2 jest równe 0,2-0,3, zaś dla m = 1 R2 – 0,0-0,1).

Tokarski (2007b) rozszerza model Nonnemana-Vanhoudta o elementy teorii optymalnego sterowania i oblicza optymalne stopy inwestycji w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego. Pokazuje on, że optymalne stopy inwestycji (maksymalizujące sumę zdyskontowanej użyteczności konsumpcji konsumenta w nieskończonym horyzoncie czasowym) zależą m. in. od stopy dyskontowej typowego konsumenta oraz od odwrotności międzyokresowej substytucji konsumpcji. 44 Ten ostatni wniosek jest jednak dyskusyjny. Na przykład, Easterly i Levine (2002) wskazują, że akumulacja czynników wytwórczych (pracy i kapitału) nie jest najważniejszym czynnikiem wyjaśniającym zróżnicowanie poziomów dochodu i temp wzrostu gospodarczego na świecie.

64

4. Podsumowanie

1. Modele wzrostu gospodarczego można podzielić na dwie grupy: modele neoklasyczne i

modele endogeniczne. Pierwsze z nich charakteryzują się neoklasyczną funkcją produkcji,

zakładającą występowanie malejących przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji

oraz stałych przychodów ze skali. Natomiast w modelach endogenicznych występują co

najmniej stałe przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. Najważniejsze modele

neoklasyczne to modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Podstawowe modele

endogeniczne to model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo, modele

ze zwiększającą się liczbą dóbr oraz modele z poprawiającą się jakością dóbr. Do nowej

teorii wzrostu zaliczamy także model Mankiwa-Romera-Weila, stanowiący rozszerzoną

wersję modelu Solowa.

2. Neoklasyczna teoria wzrostu nie tłumaczy dobrze determinant długookresowego wzrostu

gospodarczego. Zgodnie z tymi modelami, długookresowy wzrost gospodarczy zależy od

szeroko rozumianego postępu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Modele

neoklasyczne można natomiast wykorzystać do wyjaśnienia różnic w poziomach dochodu

między krajami. Na przykład, model Solowa w wersji rozszerzonej wskazuje, że różnice

w stopie oszczędności, stopie akumulacji kapitału ludzkiego oraz tempie wzrostu liczby

ludności w dużej mierze wyjaśniają różnice w poziomach dochodu per capita między

krajami.

3. Modele endogeniczne – w przeciwieństwie do neoklasycznych – dobrze objaśniają

determinanty długookresowego wzrostu gospodarczego. Wzrost ten jednak w

poszczególnych modelach tej grupy zależy od różnych czynników. Wyższe inwestycje w

kapitał ludzki, większy zasób kapitału ludzkiego, zwiększenie czasu pracy, większe

nakłady na B+R oraz wyższa efektywność prac badawczo-rozwojowych to tylko niektóre

czynniki zapewniające – zgodnie z teorią endogeniczną – szybszy wzrost gospodarczy.

4. Zjawisko konwergencji warunkowej typu β, definiowanej jako sytuacja, w której

gospodarki słabiej rozwinięte wykazują szybsze tempo wzrostu gospodarczego niż

gospodarki wyżej rozwinięte pod warunkiem, że dążą one do tego samego stanu

równowagi długookresowej, jest potwierdzone przez wszystkie modele neoklasyczne.

Modele te różnią się jednak między sobą szacunkami wysokości współczynnika

informującego o szybkości zbieżności. Natomiast endogeniczne modele wzrostu nie

wskazują na występowanie zjawiska konwergencji. Wprost przeciwnie, z niektórych ujęć

65

endogenicznych wynika, że tempo wzrostu gospodarczego rośnie wraz ze wzrostem

poziomu dochodu, co oznacza występowanie tendencji dywergencyjnych.

5. Przedstawione w niniejszym opracowaniu podstawowe modele można rozbudowywać w

celu wyjaśnienia wpływu wielu innych czynników na wzrost gospodarczy. Możliwe

kierunki rozszerzeń obejmują wprowadzenie do modelu państwa (zarówno w zakresie

wydatków, jak i podatków), uwzględnienie endogenicznego przyrostu naturalnego czy też

otwarcie gospodarek i uwzględnienie wymiany z zagranicą.

66

Najważniejsze pozycje bibliograficzne (w celu uzyskania pełnej bibliografii, prosimy o kontakt z autorem)

Podręczniki

Barro Robert, Xavier Sala-i-Martin, Economic Growth, The MIT Press, Cambridge – London 2003.

Chiang Alpha C., Elements of Dynamic Optimization, McGraw-Hill, New York – St. Louis – San Francisco 1992.

Chiang Alpha C., Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994.

Romer David, Makroekonomia dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 2000.

Artykuły

Aghion Philippe, Peter Howitt, A Model of Growth through Creative Destruction, "Econometrica", 60, 1992, s. 323 - 351.

Cass David, Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, „Review of Economic Studies”, 32, 1965, s. 233 – 240.

Diamond Peter A., National Debt in a Neoclassical Growth Model, "American Economic Review", 55, 1965, s. 1126 - 1150.

Domar Evsey D., Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment, "Econometrica", 14, 1946, s. 137 - 147.

Harrod Roy, An Essay in Dynamic Theory, "Economic Journal", 49, 1939, s. 14 - 33.

Koopmans Tjalling C., On the Concept of Optimal Economic Growth, w: The Econometric Approach to Development Planning, North Holland, Amsterdam 1965.

Lucas Robert E., On the Mechanics of Economic Development, “Journal of Monetary Economics”, 22, 1988, s. 3 – 42.

Mankiw N. Gregory, David Romer, David N. Weil, A Contribution to the Empirics of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 107, 1992, s. 407 - 437.

Ramsey Frank, A Mathematical Theory of Saving, „Economic Journal”, 38, 1928, s. 543 – 559.

Rebelo Sergio, Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth, “Journal of Political Economy”, 99, 1991, s. 500 – 521.

Romer Paul M., Increasing Returns and Long-Run Growth, “Journal of Political Economy”, 94, 1986, s. 1002 – 1037.

Romer Paul M., Endogenous Technological Change, “Journal of Political Economy”, 98, 1990, s. S71 – S102.

Solow Robert M., A Contribution to the Theory of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 70, 1956, s. 65 - 94.

Swan Trevor W., Economic Growth and Capital Accumulation, „Economic Record”, 32, 1956, s. 334 – 361.