Rezerwa IBNRw ubezpieczeniach majątkowych

i metody jej kalkulacji

mgr Agnieszka PobłockaUniwersytet Gda ński

RTU ogółem (Dział I i Dział II) i ich udział w PKB (w mld zł, %)

0,751,0

2,43,8

6,0 10 15

2025

31

4551

5765

78

9097,9

100

0,9%

0,9%

1,0%

1,2%

1,1%

1,4%

1,9%

2,5%

2,9%

3,4%

3,9%

5,5%

6,0%

6,2%

6,6%

7,3%

7,6%

7,7%

7,5%

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

1991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009

[w m

ld P

LN]

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%

9,0%

Rezerwy TU brutto (dział I i II) [mld PLN] Udział rezerw TU ogółem w PKB

RTU Dział II i ich udział w PKB (w mld zł, %)

0,74

0,73

1,3

1,9

2,9

5,0

7,18,8

10,5

12,2

17,618,7

19,7

21,1

22,2

24,226,9

29

0,92% 0,64%

0,60%

0,62%

0,56%

0,69%

0,96%

1,17%

1,33%

1,41%

1,57%

2,17%

2,22%

2,14%

2,15%

2,09%

2,06%

2,12%

2,15%

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

1991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009

[w m

ld P

LN]

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

Rezerwy TU brutto dział II Udział rezerw TU brutto dział II w PKB

Rezerwy na niewypłacone odszkodowania i świadczenia

� obejmują[1]: � rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych i oszacowanych

� rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych, ale jeszcze nieoszacowanych

� rezerwy z tytułu szkód zaistniałych, ale niezgłoszonych (Incurred But Not Reported , IBNR)

� rezerwy z tytułu szkód wznowionych tj. spornych.

[1] Zgodnie z ustawą o rachunkowości, Dz. U. 1994, Nr 121, poz. 591 z późn. zm. (art. 81 ust. 2 pkt 6 lit. A.) ostatni akt zmieniający: Dz.U. 2008 nr 223 poz. 1466

Udział rezerwy IBNRw RTU (Dział II)

17,85%

19,65% 19,55%20,54%

21,62%

20,36%21,01%

19,82%

17,91%

18,81%

20,72% 20,61%21,14% 21,31%

20,17%20,72%

19,28%

17,29%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

na udziale własnym brutto

Zarys historyczny metod kalkulacji rezerwy IBNR

� Pierwsz ą technik ę deterministyczn ą przedstawił T. F. Tarbell[1934]

� Pierwszy klasyczny model stochastyczny dla:� zakumulowanych danych szkodowych zaprezentowali

Kramreiter oraz Straub [1973], a rozwijał B. Zehnwirth [1989] oraz T. Mack [1993]

� niezakumulowanych danych szkodowych wprowadziłVerbeek [1972], który uogólnił Kremer [1982] jako dwuczynnikowy model analizy wariancji

� Pierwsze nieklasyczne modele stochastycznezaprezentowali F. De Vylder i M. Goovaerts [1979]

Klasyfikacja metod estymacji rezerwy IBNR

� A. Wolny [2005] wyróŜniła metody: � statystycznie proste i statystycznie zaawansowane

� W. Ronka – Chmielowiec [1997] podzieliła metody na:� przybli Ŝone � ryczałtowe � rytmu płatno ści szkód � aktuarialne

� J. Charles i S. Westphal [2006] wyszczególnili metody: � oparte na skumulowanych danych szkodowych� bazujące na nieskumulowanych danych szkodowych� symulacyjne (metody bootstrapowe, Feldbluma)� bayesowskie

Klasyfikacja metod estymacji rezerwy IBNR c.d.� G. Taylor [1986] oraz G. Taylor, G. McGuire, A.

Greenfield [2003, str 2-8] sklasyfikowali modele według:

� wyst ępowania zmiennych losowych� modele deterministyczne i stochastyczne

� wyst ępowania zmiennych opó źnionych w czasie� modele statyczne i dynamiczne

� struktury modelu� „macro-modele„ i „micro-modele”

� metod szacowania parametrów modeli� metody heurystyczne i optymalizacji

Metody deterministyczne� Metody uproszczone:

� model Tarbell’a, metoda szkodowości� model średniego opóźnienia w zgłoszeniu szkody� model wypłaconych odszkodowań� model wypadkowej funkcji opóźnień zgłaszanych szkód

� Metody szacowania współczynników rozwoju szkód:� metoda średnich wartości współczynników rozwoju szkód� metoda rozwoju szkody� metoda grossing – up� prosta technika Chain – Ladder (i jej modyfikacje) � metoda Bornhuttera-Fergusona

Klasyczne metody stochastyczne� Modele szacowania współczynników rozwoju szkód

� Model Kramreiter’a i Straub’a [1973]� Stochastyczny model chain ladder Mack’a [1994]

� Modele regresji� Model regresji logarytmiczno-normalnej Christofides’a [1990]� Semi-parametryczny model Doray’a [1996]� Probabilistyczny model rodziny trendu Barnett'a i Zehnwirth’a

[1998]� Modele uogólnionej regresji liniowej GLM

� Model logarytmiczno-normalny Kremer’a [1982]� Model Poisson’a jako stochastyczny model CL Renshaw’a i R.

Verrall’a [1994]� Model gamma Mack’a [1991], Renshaw’a i Verrall’a [1994]� Arytmetyczny model separacji Verbeek'a [1972]� Geometryczny model separacji Taylor’a [1977]� Model najmniejszych kwadratów De Vylder’a [1978]

Nieklasyczne metody stochastyczne

� Modele oparte o teori ę zaufania (credibility theory)� De Vylder’a model wiarygodności� Mack’a model wiarygodności� Gunnara Benktandera� Straub’a � Technika filtru Kalman’a

� Modele bayesowskie� Modele hierarchiczne� Bayasowski predyktor zaufania

� Modele symulacyjne� Metody bootstrapowe� Metoda Feldblum’a

Wybór modelu

� Który model wybra ć w praktyce???

Praktyka ubezpieczeniowa

� Do oszacowania rezerwy IBNR dla ró Ŝnych grup ryzyka stosowane s ą róŜne techniki obliczeniowe

� Jeden zakład ubezpieczeń działu II wykorzystuje od kilku do kilkunastu metod szacowania tej rezerwy

� Na przykład: � ryzyko z grupy 3 i 10 (Auto Casco i OC posiadaczy

pojazdów) oraz ryzyko z tytułu wielkich szkód komunikacyjnych szacowane moŜe być metodą Chain-Ladder

� ryzyko z grupy 6 i 12 (ubezpieczenia morskie) szacowane moŜe być metodą średniej ruchomej z ostatnich kilku lat

� ryzyko z grupy 15 (ubezpieczenia gwarancji) moŜna oszacować metodą opartą na współczynniku szkodowości

Praktyka ubezpieczeniowa� Aktualnie najbardziej popularne metody szacowania IBNR

� w Polsce to [1]:� prosta technika Chain-Ladder (CL)� metoda Bornhuettera-Fergusona (BF)� metoda Gunnara Benktandera (GB)

� w Europie [2]:� prosta technika Chain-Ladder (CL)� metoda Bornhuettera-Fergusona (BF)� metody uogólnionego modelu liniowego (GLM)

� [1] Bijak W., Smętek M. i Szymański W. [2006], BiuletynKNUiFE

� [2] Wuthrich M.V. [2007], Claims Reserving in Non-LifeInsurance, General Insurance, P&C Insurance, CSIRO, Sydney

Trójk ąt rozliczania szkód [Xij](the run-off triangle)

Oznaczenia:

ijX - łączne nieskumulowane płatności z

tytułu szkód zaistniałych w i –tym okresie wypadkowym (powstania szkody), które zostały rozliczone z opóźnieniem o j okresów tzn. w chwili i+j-1.

n - liczba okresów wypadkowych

wykorzystywana w badaniu.

Okres opóźnienia w rozliczaniu szkód (j)

i \ j 0 1 2 ... n-2 n-1

0 00X 01X 02X

... 2,0 −nX 1,0 −nX

1 10X 11X 12X

... 2,1 −nX

2 20X 21X 22X

M M M

n-2 0,2−nX 1,2−nX

Okr

es w

ystąp

ieni

a sz

kod

y (i

)

n-1 0,1−nX

Trójk ąty rozliczenia szkód [Xij] i [Cij]

� ZałóŜmy, Ŝe dane w trójkącie szkód opisują

� niezakumulowane szkody: [Xij]{Xij: i=0,1,…,n-1; j=0,1,…,n-i+1}

� zakumulowane szkody: [Cij]{Cij: i=0,1,…,n-1; j=0,1,…,n-i+1}

∑=

=j

kikij XC

0

Metoda średnich warto ści współczynników rozliczania szkód (SW)

� średnie współczynniki rozliczania szkód z trójkąta [Cij]:

gdzie: dla i, j =0,1,2,...,n-1

� skumulowane przyszłe płatności:

� rezerwa IBNR w metodzie SW:

,1

~

1

0

−−=

∑−−

=jn

f

f

jn

iij

ji

ijij C

Cf =

( )∑−= −−− −= 1

0 1,1,ˆˆ n

i ininiSW CCR

jininiji ffCC~~ˆ

11,, ⋅÷= −−−−

Metoda grossing up (GU)� zakłada zamknięty okres wypadkowy i=0,1,2,...,n-1,po którym

nie wystąpi juŜ w Ŝadna wypłata odszkodowania (C0=C0,n-1),� współczynniki całkowitej szkody z trójkąta [Cij]:

dla j =0,1,2,...,n-2

� skumulowane przyszłe płatności:

� rezerwa IBNR w metodzie GU:

,

gdzie, k oznacza liczbę okresów, w których Ci jest znane

( )∑ −= −−−= 1

1,ˆˆ n

ki iniiGUk

CCR

1,0

1,ˆ−−

−−=in

inii f

CC

0

00 C

Cf

jj =

Metoda chain-ladder (CL)� współczynniki przej ścia z trójkąta [Cij]:

dla j =0,1,2,...,n-1

� skumulowane przyszłe szkody:

gdzie,� rezerwa IBNR w metodzie CL:

,1

11,

1

1

∑

∑+−

=−

+−

== jn

iji

jn

iij

j

C

Cf

kkjiji fCC~ˆ

,, ⋅= − ∏=

=k

iik ff

1

~

( )∑ = −−= ni inii

CL CCR 1 ,ˆˆ

Metoda Bornhuettera-Fergusona (BF)� współczynniki rozwoju szkód :

� gdzie:

� wska źniki podziału z trójkąta [Cij]:

(i=0,1,2,...,n-2)

� dzielące całkowite zobowiązania na wypłacone i przyszłe

� rezerwa IBNR w metodzie BF:

1ˆ

1

0 ,

−−= ∑

−−

=

jn

ff

jn

i ji

ji

ijij C

Cf =

iii WSSkC ⋅=ˆ

.ˆˆ 10∑ −

== ni

Pi

BF CR

∏ −−

=

−=1

0ˆ

11

in

j j

if

p

)1(ˆˆii

Wi pCC −=

iiP

i pCC ˆˆ =iC

Przykład 1

� Źródło: Scollnic D.P.M. Actuarial Modeling with MCMC and BUGS, North American Actuarial Journal 2001, 5(2) 96-124.

Tabela 1. Trójkąt szkód nieskumulowanych Okres opóźnienia w wypłacie odszkodowania (j) Okres

wypadkowy (i)

0 1 2 3 4 5 1991 115 239 56 055 14 691 10 255 5 530 3 102 1992 121 528 57 911 15 221 9 339 5 336 1993 115 427 53 967 12 488 8 543 1994 113 008 46 666 11 050 1995 109 881 53 408 1996 128 982

Wyniki dla przykładu 1

Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR Okres wypadkowy

(i) Metoda SW Metoda CL Metoda GU

1991 - - - 1992 1 597 3 140 3 218 1993 4 391 8 095 8 376 1994 9 324 16 156 17 337 1995 17 416 29 502 32 009 1996 60 509 94 268 100 322

Łączne IBNR 93 238 151 161 161 263

Przykład 2Tablica 1. Trójkąt niezakumulowanych szkód

Okres opóźnienia w wypłacie odszkodowania (j)

Okr

es

wyp

adko

wy

(i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Składka 1 5 946 975 3 721 237 859 717 207 760 206 704 62 124 65 813 14 850 11 130 15 813 15 537 469

2 6 346 756 3 246 406 723 222 151 797 67 824 36 603 52 725 11 186 11 646 15 156 408

3 6 269 090 2 976 223 847 053 262 768 152 703 65 444 53 545 8 924 14 617 287

4 5 863 015 2 683 224 722 532 190 653 132 976 88 340 43 320 14 155 682

5 5 778 885 2 745 229 653 894 273 395 230 288 105 224 14 726 509

6 6 184 793 2 828 338 572 765 244 899 104 957 15 307 599

7 5 600 184 2 893 207 563 114 225 517 15 218 096

8 5 288 066 2 440 103 528 073 14 835 369

9 5 290 793 2 357 936 14 648 731

10 5 675 568 15 491 250 Źródło: Charles J., Westphal S., 2006, Stochastic reserving, CAE Spring 2006 Meeting.

Wyniki dla przykładu 2

Tablica 4. Szacowane rezerwy IBNR Rezerwy IBNR Okres

wypadkowy Metoda SW Metoda CL Metoda SW* Metoda BF* Metoda GU Metoda RS 1 - - - - - - 2 7 582 14 907 43 326 4 472 566 15 174 26 8503 12 488 25 541 36 261 1 259 249 25 851 35 7724 16 423 34 074 32 710 529 304 36 711 76 3665 53 350 84 382 66 479 319 024 95 700 184 0636 103 953 155 815 115 106 172 015 154 116 294 9357 8

202 180 285 091 211 138 94 521 325 463 513 5238 325 424 448 460 332 498 37 856 458 138 1 052 1409 799 469 1 038 823 805 510 26 050 1 142 309 4 817 91610 3 093 720 3 945 689 4 821 225 15 872 4 929 422 3 575 026

Łączne IBNR 4 614 590 6 032 783 6 464 254 6 926 459 7 182 883 10 576 591*Przyjęto, Ŝe Ci = Składka * Wsp. Szkodowości (72%) Źródło: Opracowanie własne, na podstawie tablicy 1.

Wyniki dla przykładów 1 i 2

0

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

5 000 000

6 000 000

2 3 4 5 6 7 8 9 10

CL SW GU

Wypłacalno ść II (Solvency II )� Program ma zostać zaimplementowany dnia 01.11.2012 roku

� Zgodnie z nim nastąpi przełom w szacowaniu RTU:

� aktualnie są szacowane do końca okresu wypadkowego (the ultimate ) bez wymogu oszacowania błędu prognozy

� a będą miały oszacować roczne ryzyko zakładów ubezpieczeń, czyli roczną zmianę dyspersji rezerw (the volatility )

� A zatem, metody deterministyczne zostan ą naturalnie zastąpione metodami stochastycznymi umoŜliwiającymi oszacowanie rocznego błędu prognozy rezerw, czyli rocznego ryzyka zakładów ubezpieczeń

Modele stochastyczne

� zakładają, Ŝe szkody moŜna reparametryzować na czynniki:

jijijijiX ξγβα ⋅⋅⋅= ,

gdzie,

iα to parametr opisujący efekty i-tego okresu wypadkowego,

jβ to parametr opisujący efekty j-tego okresu rozwoju szkody, a

jiγ to parametr opisujący czynniki losowe w i+j-1 -tym okresie kalendarzowym,

jiξ to parametr opisujący czynniki losowe.

Klasyczny model regresjilogarytmiczno-liniowej Christofides’a

jijijiX ξβα ⋅⋅⋅= niezaleŜne o identycznym rozkładzie

jiji XY ln= ,

jijiji ebaY ++= ( jijiji eY += µ ),

( )σ,0~ NIIDe ji , są niezaleŜne o identycznym rozkładzie

011 == ba .

)ˆ5.0ˆexp(ˆjijiji YVarYX += [ ] ( )( )1ˆexpˆˆ 2 −⋅= jijiji YVarXXVar

,

.

Model Poisson’a GLMRenshaw’a i Verrall’a

stochastyczny model chain ladderjijijiX γβα ⋅⋅= 1=kγ

jiji XY = , ( )jiji PoisY λ~ , jiijjiEY βαλ ⋅==

jijiji emY += ,

∈jie over-dispersed Poisson distribution

jiji mEY = ,

( ) jijiji mmVVarY =⋅= φ , gdzie: 1=φ , ( ) jiji mmV = ,

jijim η=log ,

jiji ba ++= µη , 011 == ba => ( )µexp1111 == mEY .

Model Poisson’a GLMRenshaw’a i Verrall’astochastyczny model chain ladder

( ) ( )2ˆ5.0ˆˆˆexpˆexpˆ σµη +++=== jijijiji bamX ,

[ ] ( ) [ ] [ ]jijijijiji XVarXVarXXEXMSE ˆˆˆ 2+≅

−= =

= ( ) ( )jijiji VarmmV ηφ ˆ2+⋅ =

= ( )jijiji Varmm ηφ ˆ2+⋅

Model gamma GLMMack’a, Renshaw’a i Verrall’a

jijijiX γβα ⋅⋅= 1=kγ

jiji XY = , ( )jiji gammaY βα ~,~~ , jijiEY βα ~

/~= ,

jijiji emY += , 2~/~

jijiVarY βα=

jiji mEY = ,

( )jiji mVVarY ⋅= φ , gdzie: iαφ ~/1= , ( ) 2

jiji mmV = ,

jiji mln=η ,

jiji ba ++= µη , 011 == ba => ( )µexp1111 == mEY

Model gamma GLMMack’a, Renshaw’a i Verrall’a

( ) ( )2ˆ5.0ˆˆˆexpˆexpˆ σµη +++=== jijijiji bamX ,

[ ] ( ) [ ] [ ]jijijijiji XVarXVarXXEXMSE ˆˆˆ 2+≅

−= =

= ( ) ( )jijiji VarmmV ηφ ˆ2+⋅ =

= ( )jijiji Varmm ηφ ˆ22 +⋅

Bayesowski model chain ladder Scollnic’a

∑

∑+−

=−

+−

===1

11,

1

1jn

iji

jn

iij

jji

C

Cff

, dla i=1,2,...,n; j=2,...,n,

),(~ , jijji Nf τθ , i=1,...n oraz j=1,...n-1

( )00 ,~ τµθ Nj ,( )001.0,1~0 Nµ

, ( )001.0,001.0~0 Nτ

ijij w⋅=ττ , ( )001.0,001.0~ Γτ

)1000000000,0(~ Ne ji

gdzie:

jθ jest parametrem ryzyka, ji ,τ jest precyzją rozkładu

Metoda bayesowska Verrall’a� opiera się na modelu Poisson’a GLM, w którym wprowadzony

jest rozkład a priori dla okresów zgłoszenia i rozliczenia szkódjijijiX γβα ⋅⋅= 1=kγ

jiji XY = , ( )jiji PoisY λ~ , jiijjiEY βαλ ⋅==

jijiji emY += , ∈jie over-dispersed Poisson distribution

),(~ ,iji N τθα , i=1,...n oraz j=1,...n-1

( )00 ,~ τµθ Nj ,( )001.0,1~0 Nµ

, ( )001.0,001.0~0 Nτ

ii w⋅= ττ , ( )001.0,001.0~ Γτ

),1(~ jj τβ Γ

jj w⋅= ττ , ( )001.0,001.0~ Γτ

)1000000000,0(~ Ne ji

Metoda bootstrapowa chain ladder

Nieskalowane reszty Pearsona ( )

( ) ( )ji

jiji

ji

jijiP

jimV

mX

XVar

mXr

φ−

=−

=

� W modelu regresji liniowej ( )jiji

P

ji mXr −=

� W modelu Poisson’a GLM ( )

( ) ji

jiji

ji

jijiP

jim

mX

XVar

mXr

−=

−=

Pseudo dane : ( )

jijiP

jiB

ji mmrC +=

( )RSEpn

nRCSE BPjiB −

+= φˆ , ( )2

1ˆ

1∑ =

−= n

k

BkB mm

nRSE

( )

pn

r P

P −=∑

2

φ

gdzie, Pφ to parametr skali, Bkm bootstrapowy estymator średniej, jiBCSE ˆ to standardowy

błąd predykcji, standardowy błąd estymatora średniej

Przykład 3Tablica 2. Trójkąt niezakumulowanych szkód

Okres wypadkowy

(i)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 357 848 766 940 610 542 482 940 527 326 574 398 146 342 139 950 227 229 67 9482 352 118 884 021 933 894 1 183 289 445 745 320 996 527 804266 172 425 0463 290 507 1 001 799 926 219 10 116 654 750 816 146 923 495 992 280 4054 310 608 1 108 250 776 189 1 562 400 272 482 352 053 206 2865 443 160 693 190 991 983 769 488 504 851 470 6396 396 132 937 085 847 498 805 037 705 9607 440 832 847 631 1 131 398 1 063 2698 359 480 1 061 648 1 443 3709 376 686 986 60810 344 014

Źródło: Taylor G.C., Ashe F.R. [1983], Second moments of estimates of outstanding claims , Journal of Econometrics 23, str. 37-61

Okres opóźnienia w wypłacie odszkodowania (j)

Wyniki dla przykładu 3Tablica 3. Szacowane rezerwy IBNR

Chain Ladder Mack'a

Regresji Christofides'a

Poisson GLM

Gamma GLM Verrall

Bootstrap chain ladder

2 95 93 111 95 93 96 1173 470 447 482 470 447 439 4204 710 611 661 710 611 608 5275 985 992 1 091 985 992 1 011 1 0416 1 419 1 453 1 531 1 419 1 453 1 423 1 5377 2 178 2 186 2 311 2 178 2 186 2 150 2 2368 3 920 3 665 3 807 3 920 3 665 3 529 3 9289 4 279 4 122 4 452 4 279 4 122 4 056 4 77010 4 626 4 516 5 066 4 626 4 516 4 340 6 068

Łączne IBNR 18 682 18 085 19 512 18 682 18 085 17 652 20 644

Okres wypadko

wy

Metoda

Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claim reserving, Mathematics and Economics 25, str. 288-293

Wyniki dla przykładu 3 c.d.Tablica 4. Błędy prognozy oszacowanych rezerw [w %]

Chain Ladder

Model Mack'a

Model regresji Christofides'a

Poisson GLM

Gamma GLM Verrall

Bootstrap chain ladder

2 - 80 54 116 48 49 1173 - 26 39 46 36 37 464 - 19 32 37 29 30 365 - 27 28 31 26 27 316 - 29 26 26 24 25 267 - 26 26 23 24 25 238 - 22 28 20 26 27 209 - 23 31 24 29 30 2410 - 29 40 43 37 38 43

Łączne - 13 16 16 15 15 16

Okres wypadko

wy

Rezerwy IBNR

Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claim reserving, Mathematics and Economics 25, str. 288-293

Podsumowanie – nowy problem?

� Według jakiego lub jakich kryteriów wybra ćnajlepszy tj. najbardziej odpowiedni model stochastyczny dla danego portfela ryzyk ubezpieczeniowych danego zakładu ubezpiecze ń, aby bezpiecznie oszacowa ć jego nale Ŝności i roczne ryzyko?

� Czy lepszy model to ten, który� bezpieczniej szacuje rezerwy (wi ększy)� dokładniej szacuje rezerwy (mniejszy bł ąd

prognozy)

Literatura� Adamus-Hacura M. [2006], Metody Bayesowskie szacowania rezerwy szkodowej [w:] Prace

naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu nr 1108, Wrocław, str. 286-292� Bijak W., Smętek M., Szymański W. [2006], Analiza rezerw na niewypłacone odszkodowania

i świadczenia z tytułu ubezpieczeń pozostałych osobowych i majątkowych w oparciu o trójkąty szkód, Biuletyn KNUiFE, Warszawa

� Bornhuetter R. L., Ferguson R. E. [1972], The Actuary and IBNR, Proceedings of the Casualty Actuarial Society LIX, str. 181-195

� Charles J., Westphal S., 2006, Stochastic reserving, CAE Spring 2006 Meeting� Christofides S. [1990], Regression Models Based On Log-Incremental Payments [w:] Claims

Reserving Manual, vol 2. (09/1997 Section D5) Institute of Actuaries, London� Efron B., Tibshirani R. J., [1993], An introduction to the Bootstrap, Chapman and Hall� England P., Verrall R [1999], Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims

reserving, Insurance: Mathematics and Economics 25, str. 281-293.� England P. D., Verrall R. J. [2002], Stochastic claims reserving in general insurance, British

actuarial Journal, 8, str. 443-518� Kramreiter H., Straub E. [1973], On the calculation of IBNR reserves II, Mitteilungen der

Vereinigung Schweizerischer Versicherungsmathematiker, 73, str. 177-190� Kremer E. [1982], IBNR claims and two-way model of ANOVA, Scandinavian Actuarial

Journal, 1, str. 47-55� Mack T. [1991], A simple parametric model for rating automobile insurance or estimating

IBNR reserves. ASTIN Bulletin 22 (1), str. 93-109� Mack T. [1993], Distribution free calculation of the standard error of chain ladder reserve

estimates. ASTIN Bulletin 23 (2), str. 213-225� Mack T. [1994], Which stochastic model is underlying the chain ladder model? Insurance:

Mathematic and Economics 15, str. 133-138� McCullagh P., Nelder J.A. [1989], Generalized Linear Models, 2dn Edition, Chapman and

Hall, New York, USA, str. 511

Literatura� Nedler J.A., Wedderburn R.W.M. [1972], Generalized Linear Models, Journal of the Royal

Statistics Society, Series A, 135, 370-384� Pinheiro P. J. R., Andrade e Silva M., M. de Lourdes Centeno [2000], Bootstrap

Methodology in Claim Reserving, Centre for Applied Maths to Forecasting & Economic Decision, FCT PRAXIS XXI

� Renshaw A. E., Verrall R. J. [1994], A stochastic model underlying the chain ladder technique, Proceedings of the XXV ASTIN Colloquium, Cannes

� Ronka – Chmielowiec W. [1997], Ryzyko w ubezpieczeniach – metody i oceny, Wyd. Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław

� Scollnic D.P.M. Actuarial Modeling with MCMC and BUGS, North American Actuarial Journal 2001, 5(2) 96-124.

� Christofides S. [1990], Regression models based on log-incremental payments, [w:] Claims reserving manual, vol 2. More advanced method, the Staple in Actuarial Society 06/90, str. 5.1-54.

� Tarbell T.F. [1934], Incurred But Not Reported Claims Reserves, Proceedings of the Causality Actuarial Society, Vol. XX, 1934, p. 275

� Verrall R. J. [1990], Bayesian and empirical Bayes Estimation for Chain Ladder Model, ASTIN Bulletin 20(2)

� Wieteska S. [2004], Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe zakładów ubezpieczeńmajątkowo-osobowych, Wyd. Branta, Bydgoszcz – Łódź

� Wolny A. [2005], Podejście Aktuarialne do kalkulacji rezerwy szkodowej, Statystyczne zaawansowane metody kalkulacji rezerwy szkodowej, [w:] Metody kalkulacji ryzyka rezerw szkodowych w ubezpieczeniach majątkowo-osobowych. Seria: Statystyka ubezpieczeniowa pod redakcją W. Szkutnika, Wyd. Akademii Ekonomicznej im. Karola Adamieckiego w Katowicach, Katowice

� Wuthrich M., [2007], Claims Reserving In Non-Life Insurance, ETH Zurych, CSIRO Sydney� Zehnwirth B. [1989], The Chain Ladder Technique – a stochastic model [in:] Claims

reserving manual, vol 2. More advanced method (02/89), Institute of Actuaries, London, str. 1.1-8