POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI

I INFORMATYKI

mgr inŜ. Marek Rydel

Zredukowane hierarchiczne modele

złoŜonych obiektów sterowania

na przykładzie kotła energetycznego

AUTOREFERAT ROZPRAW Y DOKTORSKIEJ

promotor:

dr hab. inŜ. Włodzimierz Stanisławski, prof. PO

OPOLE 2009

2

SPIS TREŚCI

1. WPROWADZENIE .................................................................................................................................................... 3

1.1. CEL, TEZA I ZAKRES PRACY ................................................................................................................................. 4

2. MODELE MATEMATYCZNE KOTŁÓW PRZEPŁYWOWYCH BLOKÓW ENE RGETYCZNYCH JAKO OBIEKTÓW STEROWANIA ................................................................................................................................... 4

2.1. BLOK ENERGETYCZNY ......................................................................................................................................... 4 2.2. MODELE MATEMATYCZNE PODSYSTEMÓW PAROWNIKA...................................................................................... 5 2.3. WERYFIKACJA MODELI PAROWNIKA .................................................................................................................... 7

3. REDUKCJA MODELI ZŁO śONYCH OBIEKTÓW STEROWANIA ................................................................ 7

4. ALGORYTMY DOBORU PARAMETRÓW METOD REDUKCJI ........ ............................................................. 9

4.1. PARAMETRY METOD REDUKCJI .......................................................................................................................... 10 4.2. ALGORYTMY DOBORU PARAMETRÓW DLA METOD REDUKCJI ............................................................................ 12 4.3. WYZNACZANIE OPTYMALNYCH PARAMETRÓW METOD REDUKCJI Z WYKORZYSTANIEM AE ............................. 13

4.3.1. Strategie ewolucyjne .................................................................................................................................... 13 4.3.2. Algorytm ewolucyjny o zmiennej liczebności populacji ............................................................................... 15 4.3.3. Dwustopniowy algorytm ewolucyjny ............................................................................................................ 16

5. REDUKCJA MODELI PODSYSTEMÓW KOTŁA ENERGETYCZNEGO .. .................................................. 17

5.1. ZAKRESY ADEKWATNOŚCI MODELI PODSYSTEMÓW PAROWNIKA ...................................................................... 17 5.2. REDUKCJA MODELI PIERWSZEGO POZIOMU HIERARCHII .................................................................................... 18 5.3. REDUKCJA MODELI DRUGIEGO POZIOMU HIERARCHII ........................................................................................ 19

5.3.1. Wpływ sprzęŜeń zwrotnych na stabilność hierarchicznego modelu zredukowanego rur ekranowych ......... 20 5.3.2. Wpływ błędów aproksymacji podsystemów na błędy aproksymacji modelu rur ekranowych parownika .... 20

5.4. REDUKCJA MODELU PAROWNIKA KOTŁA ENERGETYCZNEGO BP-1150.............................................................. 22 5.5. PROJEKTOWANIE UKŁADU STEROWANIA PAROWNIKA NA PODSTAWIE MODELI ZREDUKOWANYCH ................... 24

6. PODSUMOWANIE .................................................................................................................................................. 25

WYBRANE POZYCJE LITERATUROWE ................................................................................................................... 28

3

1. WPROWADZENIE

Dla celów sterowania systemami niezbędna jest znajomość ich modeli matematycznych ade-kwatnych w zadanym przedziale amplitud i częstotliwości sygnałów. Modele matematyczne mogą być tworzone poprzez modelowanie zjawisk zachodzących w obiekcie oraz na podstawie identyfika-cji. W pierwszym przypadku model otrzymywany jest w oparciu o opis matematyczny procesów np. fizykochemicznych zachodzących w rzeczywistym obiekcie. Identyfikacja polega natomiast na wy-znaczeniu matematycznego modelu w oparciu o znajomość sygnałów uzyskanych z obiektu (danych eksperymentalnych).

Istotny wpływ na wzrost złoŜoności modeli matematycznych ma rozwój programów do modelo-wania układów o czasoprzestrzennej dynamice z zastosowaniem metody elementów skończonych. Programy takie automatycznie generują tysiące elementów skończonych, a uzyskane modele mate-matyczne zawierają tysiące zmiennych stanu [Ant01, CD02, WM03, WM05, IRS08]. Tak wysoka złoŜoność modelu matematycznego pociąga za sobą długie czasy symulacji komputerowej, znaczne zapotrzebowanie na moc obliczeniową komputerów oraz problemy numeryczne występujące szcze-gólnie dla modeli o duŜej sztywności.

Łatwość uzyskiwania złoŜonych modeli opisujących właściwości obiektów sterowania pociąga za sobą konieczność zastosowania wielopoziomowej (hierarchicznej) struktury oraz dekompozycję na szereg prostszych do zamodelowania podsystemów. Istotą tak skonstruowanego modelu jest fakt, Ŝe jedynie podsystemy najniŜszego (zerowego) poziomu opisywane są zestawem równań róŜniczko-wych oraz algebraicznych. Na wszystkich wyŜszych poziomach model zawiera podsystemy naleŜące do poziomu niŜszego wraz z określoną topologią powiązań między nimi.

Programy symulacyjne (np.: MATLAB /Simulink) udostępniają technologię budowy modeli hierar-chicznych poprzez mechaniczne łączenie podsystemów o ukierunkowanym działaniu. NaleŜy jednak zwrócić uwagę, Ŝe hierarchiczna budowa modeli w środowiskach obliczeniowych związana jest wy-łącznie z funkcjonowaniem edytora graficznego (operacje zagnieŜdŜania oraz maskowania modeli podsystemów). W pamięci komputera model przechowywany jest nadal w postaci jednopoziomowej, jako układ równań róŜniczkowych zwyczajnych oraz algebraicznych. Taki model matematyczny jest bardzo złoŜony i trudny do analizy i symulacji ze względu na wysoki rząd.

Wielowarstwowa konstrukcja modelu wraz z dekompozycją modeli na poszczególnych pozio-mach hierarchicznej struktury daje moŜliwość analizy przez zastosowanie procedury agregacji. Agregacja jest przeciwieństwem dekompozycji. Jest to proces komponowania funkcjonalnej całości z podsystemów składowych. Jednym z zasadniczych jej środków jest redukcja modelu na poszcze-gólnych poziomach hierarchicznej struktury. Podejście takie umoŜliwia stworzenie zredukowanego modelu hierarchicznego, zawierającego zbiór modeli na kaŜdym z poziomów hierarchii charaktery-zujących się róŜnymi zakresami adekwatności oraz dokładnością aproksymacji właściwości obiektu sterowania.

Podczas redukcji, model pierwotny jest aproksymowany przez model niŜszego rzędu, który za-pewnia wymaganą dokładność aproksymacji. Operacja redukcji pozwala na wyeliminowanie złoŜo-nych zjawisk i procesów dynamicznych nie mających istotnego znaczenia na danym poziomie hie-rarchii. Model zredukowany nie uwzględnia części zjawisk mających miejsce w obiekcie rzeczywi-stym. Charakteryzuje się on ograniczonym zakresem adekwatności, który dla modeli liniowych określa się przez przedział częstotliwości w którym aproksymuje właściwości obiektu z zadaną do-kładnością.

Modele matematyczne parowników przepływowych (opracowane na podstawie praw mechaniki płynów oraz termodynamiki, w postaci równań bilansu masy, energii i pędu) charakteryzują się wy-sokim stopniem złoŜoności. W znacznym stopniu utrudnia to bezpośrednie wykorzystanie metod i środków programowych analizy obiektów oraz syntezy algorytmów sterowania. W wyniku tego, podstawowym staje się problem wyboru odpowiednich metod redukcji tak, aby przy maksymalnym

4

zachowaniu właściwości dynamicznych (istotnych na danym poziomie hierarchii) ograniczyć złoŜo-ność modelu.

Zredukowane modele podsystemów parownika powinny uwzględniać procesy cieplne oraz pro-cesy transportu czynnika roboczego i entalpii, gdyŜ mają one istotne znaczenie dla dynamiki parow-nika. Mniej istotne są natomiast szybkie procesy dynamiczne związane z przemieszczaniem się zmian ciśnienia wzdłuŜ rur ekranowych. Z tego względu dla kaŜdego poziomu modelu hierarchicz-nego zakres adekwatności moŜe być inny. Im wyŜszy poziom hierarchii, tym górna częstotliwość graniczna jest mniejsza. Dla wszystkich poziomów dolną częstotliwością zakresu adekwatności jest zero, gdyŜ modele muszą poprawnie opisywać właściwości statyczne obiektu.

1.1. Cel, teza i zakres pracy Celem pracy jest:

• opracowanie metod, algorytmów i programów redukcji modeli złoŜonych obiektów sterowa-nia,

• opracowanie hierarchicznie zorganizowanej rodziny modeli podsystemów kotła energetycz-nego BP-1150 jako obiektu sterowania.

Aby osiągnąć postawiony cel pracy naleŜy rozwiązać następujące zadania:

1. Opracowanie metod i algorytmów redukcji liniowych modeli złoŜonych obiektów sterowania, 2. Opracowanie algorytmów i programów adaptacji parametrów modeli zredukowanych

w oparciu o algorytmy ewolucyjne, 3. Ocena metod i algorytmów redukcji oraz algorytmów ewolucyjnych dla celów redukcji modeli

podsystemów kotła energetycznego, 4. Opracowanie zredukowanych, hierarchicznych modeli podsystemów kotła energetycznego dla

bloku o mocy 360 MW Elektrowni Opole S.A., 5. Weryfikacja modeli zredukowanych podsystemów kotła energetycznego bloku o mocy

360 MW Elektrowni Opole S.A., 6. Opracowanie biblioteki programów dla celów redukcji liniowych modeli złoŜonych obiektów

sterowania. Wobec tego teza pracy moŜe zostać sformułowana następująco: Zastosowanie procedury redukcji z wykorzystaniem odpowiednich algorytmów i programów komputerowych jest efektywną metodą opracowania hierarchicznych modeli złoŜonych obiek-tów sterowania. Otrzymane w ten sposób modele matematyczne mogą słuŜyć do analizy wła-ściwości dynamicznych złoŜonego obiektu sterowania na poszczególnych poziomach hierarchii, a takŜe do projektowania układów sterowania.

2. MODELE MATEMATYCZNE KOTŁÓW PRZEPŁYWOWYCH BLOKÓW ENER GE-TYCZNYCH JAKO OBIEKTÓW STEROWANIA

2.1. Blok energetyczny

Kotły BB-1150 oraz BP-1150 wchodzące w skład bloków energetycznych są kotłami przepły-

wowymi opartymi na konstrukcji firmy SULZER. Kotły przystosowane są do pracy w układzie blo-kowym z turbiną parową o mocy znamionowej 360 MW. Ogólny schemat hierarchicznej struktury modelu kotła BP-1150, ze szczególnym uwzględnieniem modelu parownika, przedstawiono na

5

rys. 2.1 [Sta01, Sta03]. W skład parownika kotła BP-1150 wchodzą: pionowe rury ekranowe parow-nika stanowiące ekran komory paleniskowej, separator, mieszalnik, filtr, pompa cyrkulacyjna oraz rurociągi łączące.

Rys. 2.1. Hierarchiczna struktura modelu kotła BP-1150

2.2. Modele matematyczne podsystemów parownika

W rurach ekranowych parownika przepływowego czynnik roboczy przepływa w znacznej liczbie

równoległych rur połączonych kolektorami dolnym i górnym. Z punktu widzenia dynamiki kotła przepływowego istotny jest efekt sumaryczny procesów termodynamicznych zachodzących w po-szczególnych rurach, ujawniający się w zmianach parametrów czynnika roboczego w kolektorach dolnym i górnym parownika przepływowego. Z tego powodu, przy opracowaniu modelu matema-tycznego parownika przepływowego wzięto pod uwagę jedną zastępczą rurę parownika o średnim obciąŜeniu cieplnym i średnim przepływie masowym czynnika roboczego.

Ze względu na stan czynnika roboczego w modelu parownika kotła BP-1150 wyróŜniono strefę dogrzewu wody do temperatury nasycenia oraz strefę odparowania wody. Na podstawie pracy [Sta01, Sta03] opracowano równania róŜniczkowe cząstkowe (otrzymane na podstawie bilansu ma-sy, energii oraz pędu) opisujące jednowymiarowy przepływ wody w strefie dogrzewu oraz jedno-wymiarowy przepływ dwufazowy (mieszanina parowo-wodna) w strefie odparowania.

W celu uzyskania modelu o parametrach skupionych rur ekranowych parownika, podzielono za-stępczą rurę parownika wzdłuŜ jej długości na pewną liczbę sekcji o wymiarach na tyle małych, aby moŜna było załoŜyć, Ŝe pojedyncza sekcja stanowi układ dynamiczny o parametrach skupionych – opisany układem równań róŜniczkowych zwyczajnych (rys. 2.2). Równania bilansowe opisujące przepływ wody w k-tej sekcji wchodzącej w skład strefy dogrzewu przyjmują następującą postać [Sta01, Sta03]:

6

�� ������� �� � �� ������� �� ���� � �� ���� �� � �� �� ��������� � ��� � �������� ����� � ��� � ���� �� ���� �� ��������� � ����� � ����� cos � � ����� � ���10! � ��"� ����� (2.1)

gdzie: ��� #$��Θ&' � ('�, natomiast dla k−tej sekcji strefy odparowania: Δ�� ������� �� � Δ�� ������� �� ���� � �� Δ���� �� � Δ�� �� ��������� � ��� � �������� ����� � ��� � ���� Δ�� � ) … � ���� �+,�, -��� � 1� ����� � �.� � �� �+,�, -� � 1� ����� � �.� Δ���� �� ��������� � ����� � Δ����� cos � � ����� � ���10! � Δ��"� �����

(2.2)

gdzie: ��� #$��Θ&' � ('�, ,�, 11 � 78 � 7 , 8 "��, �, �� Parametry czynnika roboczego w strefie dogrzewu oraz odparowania są funkcjami ciśnienia (�)

oraz entalpii (�): ���, ��, 9:9; "��, ��, 9:9< "��, ��. W znanych z literatury modelach matematycznych kotłów przyjmuje się, Ŝe ścianka rury ekra-

nowej wraz z płetwą stanowią układ o parametrach skupionych, opisany równaniem róŜniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu (np.: [Sta01]). ZałoŜenie takie zapewnia jednak niewielki zakres ade-kwatności modelu rur ekranowych parownika (do ok. 1 rad/s). W celu poszerzenia zakresu adekwat-ności modelu rur ekranowych niezbędne staje się uwzględnienie rozłoŜenia parametrów modelu wzdłuŜ promienia ścianki rury oraz wzdłuŜ płetwy łączącej. Dla modelu o parametrach skupionych, przy załoŜeniu symetrii osiowej (zakłada się, Ŝe strumień cieplny jest jednakowy wzdłuŜ obwodu ścianki rury), ściankę rury oraz płetwę podzielono na zadaną liczbę elementów skończonych zgodnie z rys. 2.3 (=> – liczba elementów skończonych w ściance rury, =? – liczba elementów skończonych w płetwie łączącej).

MkhkPk

Mk-1hk-1Pk-1

qk

ZkZk-1

qdk

d

D

Podz

s

∆r

∆p

Rys. 2.2. Pojedyncza sekcja modelu o parametrach skupionych

Rys. 2.3. Dyskretyzacja modelu ścianki rury

Równania bilansu energii cieplnej dla poszczególnych elementów skończonych ścianki rury

przyjmują następującą postać:

7

Θ@A� 4�� � 2Δ@�� � ��DEF7EF G$�HI� � Θ@A� J � � � 2Δ@�KΔ@HΘ@A� � Θ@A� JL Θ@AM 4KN� � 2�O � 1�Δ@�HΘ@AM�� � Θ@AM J � � � 2OΔ@�HΘ@AM � Θ@AM��JPQ� � 2OΔ@�� � � � 2�O � 1�Δ@��RDEF7EFΔ@ Θ@AST 4K� � 2�=> � 1�Δ@�HΘ@AST�� � Θ@ASTJ�U� � �U � 2Δ@���DEF7EFΔ@ � 8WKHΘXA� � Θ@ASTJ#�U� � �U � 2Δ@���DEF7EFΔ@ �

) � 4U�YZ �#�U� � �U � 2Δ@���DEF7EF (2.3)

natomiast dla płetwy łączącej: ΘXA� KΔX�DEF7EF HΘ@AST � 2ΘXA� � ΘXA� J � ��YZ W DEF7EF ΘXAM KΔX�DEF7EF HΘXAM�� � 2ΘXAM � ΘXAM��J � ��YZ W DEF7EF ΘXAS[ KΔX�DEF7EF +ΘXAS[�� � ΘXAS[- � ��YZ W DEF7EF (2.4)

gdzie: Θ@AM - temperatura ścianki rury w k-tej sekcji, w j-tej warstwie, ΘXAM - temperatura płetwy w k-tej sekcji, w j-tej warstwie.

Modele matematyczne pozostałych podsystemów parownika (separator, mieszalnik, filtr, ruro-ciągi łączące oraz pompa cyrkulacyjna) zostały opisane w [Sta03] i ze względu na ich prostotę nie zostały zawarte w autoreferacie.

2.3. Weryfikacja modeli parownika

W pracach [Sta01, Sta03] przedstawiono szereg ciągłych oraz deterministycznych modeli pa-rownika kotła energetycznego BP-1150. Modele te moŜna zaklasyfikować do róŜnych klas (modele o parametrach rozłoŜonych oraz skupionych, modele nieliniowe oraz zlinearyzowane). Uzyskane modele moŜna poddać weryfikacji na drodze eksperymentalnej w ograniczonym zakresie [SM99]. Wynika to przede wszystkim z faktu, Ŝe ingerencja w pracę bloku energetycznego podczas normal-nej eksploatacji moŜe mieć bardzo ograniczony charakter. Ponadto podczas eksploatacji bloku ener-getycznego, w kotle działają układy regulacji, których wyłączenie jest niemoŜliwe.

Ograniczone moŜliwości pomiarowej weryfikacji modeli parownika powodują, Ŝe duŜego zna-czenia nabiera weryfikacja formalna, polegająca na porównywaniu wyników uzyskanych na podsta-wie modeli naleŜących do róŜnych klas oraz otrzymanych niezaleŜnymi metodami. W pracy [Sta03] porównaniu podlegały charakterystyki statyczne, charakterystyki częstotliwościowe oraz czasowe. Uzyskane modele matematyczne, zostały porównane równieŜ z uproszczonymi modelami znanymi z literatury, poprzez porównanie charakterystyk częstotliwościowych oraz charakterystyk czaso-wych.

3. REDUKCJA MODELI ZŁO śONYCH OBIEKTÓW STEROWANIA

Pod pojęciem agregacji rozumie się wnioskowanie o właściwościach modelu na danym poziomie

hierarchii, na podstawie modeli podsystemów poziomu bezpośrednio niŜszego oraz topologii połą-czeń pomiędzy nimi (poszczególne podsystemy opisane są blokami o ukierunkowanym działaniu). Modele podsystemów wyŜszych poziomów hierarchii są modelami zagregowanymi, które reprezen-

8

tują istotne dla danego poziomu właściwości modelu. Agregację modelu moŜna przeprowadzić po-przez redukcję modeli na poszczególnych poziomach hierarchii.

Zadanie redukcji modelu liniowego moŜe być przedstawione następująco: na podstawie stabilne-go (lub niestabilnego) modelu rzędu \, przedstawionego w przestrzeni stanu (3.1), naleŜy wyznaczyć model zredukowany rzędu ] (3.2), gdzie ] ^ \, taki aby określona norma błędu aproksymacji _`�� � >̀��_ przyjmowała wartość minimalną. ab �� ca�� � de��`�� fa�� � ge�� (3.1) ab>�� c>a>�� � d>e��>̀�� f>a>�� � g>e�� (3.2) gdzie: c h ijkj, cl h i�k�, d h ijk?, dl h i�k?, f h imkj, fl h imk�, g h imk?.

Prace nad zaawansowanymi metodami redukcji modeli rozpoczęły się w końcu lat 60. ubiegłego stulecia. Znaczna większość wczesnych metod redukcji opierała swoje działanie na aproksymacji właściwości modelu za pomocą wielomianów (ang. polynomial approximations) [FNG92]. Więk-szość współcześnie wykorzystywanych metod redukcji modeli liniowych moŜna podzielić na trzy grupy [AS01, Ant05]: • metody bazujące na dekompozycji SVD (rozkładzie względem wartości szczególnych, (ang.

Singular Value Decomposition). Wykorzystują one teorię zrównowaŜonej realizacji modelu. • metody momentów, które opierają swoje działanie na moŜliwości przedstawienia transmitancji

modelu w postaci rozwinięcia w szereg Laurenta wokół jednego lub wielu punktów. Ze wzglę-dów numerycznych największe znaczenie pośród metod momentów uzyskały algorytmy bazują-ce na wyznaczeniu podprzestrzeni Kryłowa.

• metody łączące zalety obydwu grup – SVD-Kryłowa

Metody redukcji modelu bazujące na dekompozycji SVD zapoczątkowane zostały pracami Mo-ore’a [Moo81]. Koncepcja zrównowaŜonej realizacji modelu (ang. Balanced Realization) była prze-łomem w dziedzinie redukcji liniowych modeli dynamicznych. UmoŜliwia ona w prosty sposób wy-dzielenie części dominującej oraz redukcję modelu poprzez „obcięcie” macierzy opisujących dyna-mikę modelu w przestrzeni stanów (ang. Balanced Truncation). Koncepcja zrównowaŜonej realizacji modelu stała się podstawą opracowania metody redukcji BTA (ang. Balanced Truncation Approxi-mation) [Moo81, PS82]. Do podstawowych zalet tej metody redukcji moŜna zaliczyć zagwaranto-wanie zachowania stabilności modelu zredukowanego oraz moŜliwość oszacowania błędu aproksy-macji. Metoda ta, pierwotnie opracowana dla liniowych modeli asymptotycznie stabilnych, stała się podstawą do opracowania metod redukcji modeli niestabilnych [Zil91, Chi96, BB97].

Uogólnieniem metody BTA są metody FW (ang. Frequency Weighted), wprowadzające często-tliwościowe funkcje wagowe (no – wejściową funkcję wagową oraz np – wyjściową funkcję wa-gową). Przy odpowiednim dobraniu współczynników wagowych metoda ta umoŜliwia znaczne zmniejszenie błędów aproksymacji modelu dla zadanego przedziału częstotliwości. Pierwszą tego typu metodę zaproponował Enns w 1984 r. [Enn84]. Przedstawiony algorytm nie gwarantował za-chowania stabilności modelu zredukowanego dla jednoczesnego zastosowania obu funkcji wago-wych. Wada ta została usunięta w algorytmach zaproponowanych w pracach Lin i Chiu [LC92] oraz Wanga [WSL99].

Wprowadzenie wag częstotliwościowych jest moŜliwe równieŜ w sposób pośredni, poprzez mo-dyfikację zaleŜności, z których wyznaczane są gramiany. WyróŜnić moŜna dwie metody: FD (ang. Frequency Domain) [GJ90, AZN03], gdy gramiany są wyznaczane w dziedzinie częstotliwościowej oraz TLBT (ang. Time Limited Balanced Truncation) [GJ90, GA03] dla dziedziny czasu.

Wadą metod opartych na dekompozycji SVD jest znaczna złoŜoność algorytmów redukcji. Po-mimo swoich niewątpliwych zalet, do których w pierwszej kolejności moŜna zaliczyć zachowanie stabilności modelu zredukowanego, metody te nie są praktycznie wykorzystywane dla modeli o licz-bie współrzędnych stanu większej niŜ 104. Spowodowane jest to znaczną złoŜonością obliczeniową oraz niepraktycznością algorytmów wyznaczania gramianów dla tak olbrzymich modeli. W literatu-rze [Ant05] dla systemów większych niŜ 104 zmiennych stanu, proponowane jest wykorzystanie me-

9

tod momentów. Charakteryzują się one znacznie mniejszą złoŜonością obliczeniową. Głównymi wa-dami tych metod redukcji jest jednak brak gwarancji zachowania stabilności modelu zredukowanego (dla znacznej części opracowanych algorytmów). Zazwyczaj charakteryzują się takŜe mniejszą do-kładnością aproksymacji charakterystyki amplitudowo-fazowej w porównaniu z metodami BT, a w szczególności z metodami wprowadzającymi wagi częstotliwościowe [GA00].

Jedną z najprostszych metod redukcji bazującą na metodzie momentów jest AWE (ang. Asymp-totic Waveform Evaluation) [Pil90]. Metoda wykorzystuje fakt, Ŝe transmitancję modelu pierwotne-go, przedstawioną w postaci rozwinięcia asymptotycznego wokół dwóch punktów (W 0 oraz W ∞) moŜna dobrze aproksymować wielomianem Pade. Bezpośrednie wyznaczenie wartości mo-mentów powoduje jednakŜe znaczne problemy natury numerycznej. Ogranicza to w znacznym stop-niu przydatność tej metody dla celów redukcji [FF95, GGS96].

Znacznie większe znaczenie praktyczne osiągnęły algorytmy opierające swoje działanie na wy-znaczeniu podprzestrzeni Kryłowa (ang. Rational Krylov) [Bol94, Gri97, Ant05]. Metody te wyma-gają wyznaczenia bazy ortonormalnej. Klasyczna ortogonalizacja Grama-Schmidta jest jednak mało dokładna numerycznie. Dlatego teŜ duŜe znaczenie osiągnęły algorytm Arnoldiego oraz niesyme-tryczny algorytm Lanczosa.

Większość opracowanych metod opartych na metodach momentów jest zdefiniowana wyłącznie dla modeli o jednym wejściu i wyjściu, gdy wartości momentów są skalarami. Kilka metod zostało uogólnionych na modele MIMO (momenty są macierzami), np.: MPVL (ang. Matrix Pade via Lan-czos) [FRE03] oraz metody blokowe Arnoldiego oraz Lanczosa [Bol94, ABF99].

Po raz pierwszy metodę wykorzystującą przekształcenia Fouriera dla celów redukcji modeli za-prezentowano w 1989 roku [GKL89]. Wymagała ona wykorzystania algorytmu IDtFT (odwrotnego dyskretnoczasowego przekształcenia Fouriera) w celu wyznaczenia modelu zredukowanego w prze-strzeni stanów. Metoda FMR (ang. Fourier Model Reduction) bazuje na iteracyjnym algorytmie wy-znaczenia współczynników Fouriera [WM05], natomiast jej modyfikacja (Rational Krylov–FMR) umoŜliwia pominięcie bezpośredniego wyznaczenia współczynników Fouriera i wyznaczenie baz ortonormalnych za pomocą algorytmu Arnoldiego [GW08].

Opracowano równieŜ metody łączące dotychczas dwie oddzielne grupy metod (metody Krylov-SVD). UmoŜliwiają one na zastąpienie bardzo czasochłonnego obliczania gramianów z równań La-punowa przez wyznaczenie ich aproksymacji [Saa90, ASG03, LW04, Pen06]). Na podobnej zasa-dzie opracowano metody wyznaczające dekompozycję gramianów za pomocą algorytmu POD (ang. Proper Orthogonal Decomposition) [Row05, Sin08].

4. ALGORYTMY DOBORU PARAMETRÓW METOD REDUKCJI

Modele matematyczne obiektów sterowania charakteryzują się określonym zakresem adekwatno-

ści, który dla modeli liniowych określa się poprzez podanie maksymalnej częstotliwości, dla której model poprawnie aproksymuje charakterystyki częstotliwościowe obiektu [KIA96]. Dla częstotliwo-ści większych od zakresu adekwatności błąd aproksymacji moŜe znacznie wzrosnąć, nie wpływając negatywnie na ocenę przydatności modelu dla celów sterowania. Celem redukcji jest zatem wyzna-czenie modelu zredukowanego o jak najniŜszym rzędzie, który będzie się charakteryzował określo-nym błędem aproksymacji dla zadanego zakresu adekwatności.

Ocena zredukowanych modeli matematycznych obiektów sterowania, uzyskanych z zastosowa-niem róŜnych technik redukcji, wymaga wprowadzenia odpowiednich miar błędu aproksymacji.

Modele MIMO mogą charakteryzować się znacznymi róŜnicami wartości modułów transmitan-cji dla poszczególnych torów. Dodatkowo wartości modułów transmitancji dla poszczególnych to-rów mogą podlegać znacznej zmienności w funkcji częstotliwości. Z tego względu dla kaŜdego mo-delu zredukowanego określono błąd bezwzględny, znormalizowany (wprowadzając współczynniki dla poszczególnych torów) oraz błąd względny.

10

Na podstawie wyników redukcji dla modeli podsystemów parownika kotła przepływowego [SRZ04, SR05, SR06, IRS08], za najbardziej celowe uznano minimalizację średniokwadratowego błędu względnego (4.2). Pozostałe kryteria (zwłaszcza maksymalny błąd względny (4.1), ze względu na prostą interpretację fizykalną) mogą zostać uwzględnione jako ograniczenia. Δ! 100 maxuvhwx�uyz{| �max},~ +�},~��jω� � @ �},~��jω�- /�},~��jω�� (4.1)

Δ 1= ++G�},~��jω� � G@ �},~��jω�- /G�},~��jω�-�m�?

�

o� (4.2) gdzie: = – liczba punktów aproksymacji w dziedzinie częstotliwości, a 1, ) , , ` 1, ) , , , - liczba wejść / wyjść modelu.

4.1. Parametry metod redukcji

Zadaniem redukcji jest wyznaczenie modelu charakteryzującego się odpowiednim błędem aprok-symacji oraz moŜliwie niskim rzędem. Metody redukcji tj.: FW, FD, FMR oraz RK , umoŜliwiają znaczną zmianę właściwości modelu zredukowanego poprzez dobór parametrów redukcji: • dla metody FD jest to określony przedział częstotliwości Q�, �R, dla którego obliczane są czę-

stotliwościowe gramiany sterowalności i (lub) obserwowalności, • dla metody FMR jest to częstotliwość x, która jest parametrem transformacji biliniowej oraz

liczba dyskretnoczasowych współczynników Fouriera, na podstawie których tworzony jest dys-kretny model zredukowany (),

• dla wielopunktowych metod momentów (RK ) jest to liczba punktów interpolacji ( ), wartości poszczególnych punktów interpolacji (W) oraz liczba momentów przypadających na jeden punkt interpolacji ().

• dla metody FW charakterystyka częstotliwościowa funkcji wagowych.

Dla modeli matematycznych obiektów sterowania poddanych redukcji metodą FW najbardziej uniwersalne wydaje się wprowadzenie funkcji wagowych w postaci filtrów dolnoprzepustowych osobno na wszystkich wejściach i (lub) wyjściach modelu (rys. 4.1). Dla modeli podsystemów pa-rownika kotła energetycznego wymagane jest zatem wyznaczenie od 2 (przy załoŜeniu, Ŝe wszystkie filtry będą miały identyczny rząd filtru – \ oraz częstotliwość graniczną – ), poprzez 6 lub 8 dla metod wprowadzających jedną wagę na wejściu lub wyjściu modelu (one-side weighting FW) do aŜ 14 parametrów w przypadku zastosowania metody z obiema wagami (two-side weighting FW). Na rys. 4.2 przedstawiono zaleŜność błędu aproksymacji modelu strefy dogrzewu rur ekranowych pa-rownika w funkcji parametrów wyjściowego filtru wagowego (w postaci dolnoprzepustowych fil-trów Butterwortha o identycznych parametrach rzędu filtru \ oraz częstotliwości granicznej ).

Jak moŜna zaobserwować na przedstawionych charakterystykach, zastosowanie optymalnych wartości parametrów (\ oraz ) umoŜliwia poprawę błędu aproksymacji nawet o kilka rzędów. Jednocześnie minima błędów aproksymacji nie są szczególnie ostre, co oznacza Ŝe nie ma potrzeby precyzyjnego wyznaczenia wartości ekstremum, gdyŜ wybranie parametrów zbliŜonych do optymal-nych tylko nieznacznie pogarsza uzyskany wynik. Problemem jest natomiast występowanie wielu minimów lokalnych. Konieczne jest zatem zastosowanie algorytmów optymalizacji odpornych na minima lokalne, które umoŜliwi ą przeszukiwanie szerokiego zakresu potencjalnych rozwiązań. Po-dobne wyniki uzyskano dla metody FD, którą moŜna przyjąć jako szczególny przypadek metody FW z funkcjami wagowymi w postaci idealnych filtrów pasmowo-przepustowych [GA04] umiesz-czonych na wszystkich wejściach i (lub) wyjściach modelu.

11

Rys. 4.1. Model zmodyfikowany poprzez wprowadzenie

częstotliwościowych funkcji wagowych Rys. 4.2. Średniokwadratowy względny błąd aproksymacji modelu strefy dogrzewu rur ekranowych parownika w funk-

cji parametrów filtru wagowego p (filtry Butterwortha) Metoda FMR wymaga dwukrotnego przekształcenia modelu z dziedziny ciągłej do dyskretnej

(dla modelu pierwotnego) oraz z dziedziny dyskretnej do ciągłej (dla modelu zredukowanego). Konwersję modelu moŜna uzyskać poprzez zastosowanie transformacji biliniowej w postaci W x ���� [Guo89, WM05, Gug07]. Dyskretny model zredukowany tworzy się na podstawie dyskretnoczasowych współczynników Fouriera.

Pomimo znacznego wpływu parametrów x oraz na wartość błędu aproksymacji, w literaturze nie określono w jaki sposób dobierać te parametry. Jedynym zaleceniem jest wybór „duŜej” wartości x, dla modeli których zakres adekwatności obejmuje wysokie częstotliwości [WM05]. Wpływ liczby dyskretnoczasowych współczynników Fouriera na błąd aproksymacji mode-lu zredukowanego nie był w literaturze rozwaŜany.

Dla modelu strefy dogrzewu rur ekranowych parownika zaleŜność błędu aproksymacji w funkcji oraz x wykazuje znaczną liczbę minimów lokalnych (rys. 4.3), które pojawiają się cyklicznie wraz ze wzrostem x. Obszary wokół ekstremów lokalnych są bardzo ostre i juŜ niewielka zmiana tego parametru powoduje znaczny wzrost błędu aproksymacji. Liczba współczynników ma mniejszy wpływ na wartość błędu aproksymacji. Parametr ten wpływa jednak na zmianę optymalnej wartości x.

Rys. 4.3. Średniokwadratowy względny błąd aproksymacji

modelu strefy dogrzewu rur ekranowych parownika Rys. 4.4. Zakresy stabilnych rozwiązań dla modeli rzę-

dów od ]=15 do ]=20 Optymalizacja parametrów dla wielopunktowych metod Kryłowa charakteryzuje się najwięk-

szym stopniem skomplikowania. Transmitancja modelu zredukowanego przedstawiona jest w posta-ci zbioru rozwinięć wokół kolejnych punktów interpolacji. Oznacza to, Ŝe optymalny model zredu-kowany moŜna wyznaczyć poprzez dobór trzech parametrów: liczby punktów interpolacji (), warto-ści poszczególnych punktów interpolacji (W) oraz liczby momentów przypadających na jeden punkt

10-1

100

101

10-1

100

101

s1 [rad/s]

s 2 [r

ad/s

]

18

19

16

17

20

12

interpolacji (). Parametry te mogą mieć róŜne wartości podczas wyznaczania wejściowej oraz wyj-ściowej bazy ortonormalnej. Zastosowanie optymalnych parametrów redukcji umoŜliwia poprawę błędu aproksymacji nawet o kilka rzędów. Identycznie jak dla innych metod redukcji, wartość błędu aproksymacji w funkcji parametrów posiada wiele wyraźnych minimów lokalnych.

W przeciwieństwie do metod opartych na dekompozycji SVD, zastosowanie wielopunktowych metod Kryłowa nie gwarantuje zachowania stabilności modelu zredukowanego. Jedynie niewielka część uzyskanych modeli zredukowanych jest stabilna. MoŜna jednak zauwaŜyć grupowanie się sta-bilnych rozwiązań. Na rys. 4.4 przedstawiono obszary uzyskanych stabilnych rozwiązań dla rzędów modelu zredukowanego w zakresie od ]=15 do ]=20 w funkcji wartości dwóch punktów interpolacji (pozostałe parametry miały wartości stałe). Pomimo grupowania się stabilnych rozwiązań, nie moŜna wydzielić Ŝadnych zakresów wartości parametrów, które gwarantowałyby uzyskanie stabilnego roz-wiązania (ani Ŝadnej korelacji pomiędzy nimi). KaŜda zmiana dowolnego z parametrów (rzędu mo-delu zredukowanego, liczby punktów interpolacji, liczby momentów przypadających na punkt inter-polacji itp.), całkowicie zmienia mapę stabilnych rozwiązań.

4.2. Algorytmy doboru parametrów dla metod redukcji

PowaŜnym problemem praktycznym jest wybór algorytmu optymalizacji parametrów dla metod

redukcji. Opracowanych zostało wiele róŜnych metod wyznaczania ekstremum funkcji, która dla badanego problemu jest wartością miary błędu aproksymacji w funkcji parametrów redukcji. Wiele z nich wyznacza najlepszy kierunek poszukiwań na podstawie właściwości funkcji w poszczegól-nych punktach roboczych algorytmu [MF06]. Występowanie wielu minimów lokalnych w charakte-rystykach błędu aproksymacji w funkcji parametrów poszczególnych metod redukcji oznacza, Ŝe algorytmy bazujące na lokalnych właściwościach funkcji są mało przydatne do wyznaczenia mini-mum funkcji. Konieczne jest uŜycie metod optymalizacji globalnej, które najczęściej dają rozwiąza-nia przybliŜone. W celu uzyskania dokładnego wyniku ekstremum konieczne jest wykorzystanie algorytmów hybrydowych. Łączą one w sobie oba algorytmy tj. przeszukiwania globalnego i lokal-nego. Celem działa algorytmu przeszukiwania globalnego jest wyznaczenie rozwiązania przybliŜo-nego, które jest następnie punktem startowym dla algorytmu przeszukiwania lokalnego.

Algorytmy ewolucyjne (AE) są jedną z metod rozwiązania zadania optymalizacji globalnej. Nie moŜna ich jednak traktować jako algorytmów optymalizacji w ich ścisłym znaczeniu. Realizują one proces adaptacji, co oznacza Ŝe głównym celem jest znalezienie rozwiązania lepszego od dotychczas uzyskanego [Gol03]. Nie moŜna zagwarantować, Ŝe wynikiem tego procesu będzie znalezienie naj-lepszego rozwiązania. Wraz ze zwiększaniem liczby iteracji algorytmu prawdopodobieństwo wyzna-czenia wartości ekstremum globalnego wzrasta i asymptotycznie dąŜy do jedności.

AE charakteryzują się one duŜą uniwersalnością zastosowania, która jest okupiona niewielką efektywnością dla rozwiązania konkretnych problemów. JeŜeli wiedza o problemie jest wystarczają-ca do sformułowania specjalnych algorytmów, wówczas najczęściej są one bardziej efektywne niŜ algorytmy ewolucyjne. JeŜeli jednak nie jest moŜliwe opracowanie takich algorytmów, zastosowanie algorytmów ewolucyjnych ze względu na ich uniwersalność jest jak najbardziej uzasadnione. Uwzględnienie nawet bardzo ograniczonej wiedzy na temat rozwiązywanego problemu podczas pro-jektowania algorytmu ewolucyjnego (poprzez wprowadzenie odpowiedniego kodowania lub sposobu generowania punktów startowych), umoŜliwia znaczne zwiększenie jego efektywności.

Algorytmy ewolucyjne powstały w wyniku inspiracji genetyką i ewolucją, co spowodowało po-wstanie szczególnej terminologii, która łączy język biologii oraz informatyki. AE jest wykorzysty-wany do przeszukania przestrzeni alternatywnych rozwiązań. KaŜde z rozwiązań nazywane jest osobnikiem. Algorytm przetwarza zatem populację osobników. Osobnik jest wyposaŜony w infor-mację stanowiącą jego genotyp (jest to zbiór cech np.: częstotliwość graniczna filtru, rząd filtru dol-noprzepustowego itd.). KaŜda z tych cech nazywana jest chromosomem. Chromosomy składają się natomiast z elementarnych jednostek zwanych genami. Punkt w przestrzeni rozwiązań problemu

13

(zestaw konkretnych cech) nazywany jest fenotypem. Co najmniej jeden z chromosomów zawiera kod określający fenotyp. Pozostałe mogą natomiast zawierać informacje istotne dla algorytmu.

AE działa w środowisku, które definiowane jest na podstawie postawionego problemu optyma-lizacji. Środowisko moŜna opisać za pomocą funkcji przystosowania (ang. fitness), która zawsze jest maksymalizowana w trakcie działania algorytmu. KaŜdemu z osobników przyporządkowywana jest wartość liczbowa, która określa jakość reprezentowanego przez niego rozwiązania. Wartość ta jest nazwana przystosowaniem osobnika.

Przystosowanie osobników nie moŜe być liczbą ujemną, dlatego teŜ funkcja przystosowania mu-si być tak zdefiniowana, aby przyjmowała wyłącznie wartości dodatnie. JeŜeli funkcja celu moŜe przyjmować wartości ujemne, wówczas konieczne jest wprowadzenie przekształcenia funkcji celu w funkcję przystosowania np. poprzez przekształcenie liniowe.

Działanie algorytmu ewolucyjnego sprowadza się do wykonywania następujących po sobie ope-racji: reprodukcji , operacji genetycznych, oceny i sukcesji. Cykl ewolucji moŜe skończyć się wówczas, gdy przystosowanie osiągnie odpowiednio duŜą wartość lub stan populacji bazowej świadczy o stagnacji algorytmu.

4.3. Wyznaczanie optymalnych parametrów metod redukcji z wykorzystaniem AE

4.3.1. Strategie ewolucyjne

Strategia ewolucyjna 1 � K wykorzystuje wyłącznie operację mutacji do przeszukiwania dzie-dziny rozwiązań. Wadą tego najprostszego z algorytmów ewolucyjnych jest jego wraŜliwość na zmianę początkowego zasięgu mutacji. Przyjęcie zbyt małej wartości zasięgu mutacji powoduje lo-kalne działanie algorytmu, a więc równieŜ małą odporność na ekstrema lokalne. DuŜe wartości po-czątkowego zasięgu mutacji powodują, Ŝe algorytm w początkowej fazie przypomina działaniem algorytm błądzenia przypadkowego. Adaptacja zasięgu mutacji (regułą 1/5 sukcesów [Ara01]) umoŜliwia natomiast bardzo dobrą eksploatację w obszarze przyciągania znalezionego ekstremum.

Strategie � K oraz , K są najczęściej wykorzystywanymi schematami strategii ewolucyjnych. Wprowadzona w tych strategiach operacja krzyŜowania umoŜliwia, zwłaszcza w początkowej fazie działania algorytmu, globalne przeszukiwanie rozwiązań. MoŜliwości optymalizacji globalnej wyni-kają zarówno z losowego przeszukiwania wykorzystującego genetyczne operatory krzyŜowania oraz mutacji, jak równieŜ z utrzymywania róŜnorodności populacji. Gdy populacja bazowa zawiera po-dobne do siebie chromosomy, wówczas przeszukiwanie ma charakter lokalny. DuŜe zróŜnicowanie chromosomów prowadzi do przeszukiwań globalnych.

W pracy przeprowadzono badania efektywności strategii ewolucyjnych o róŜnej liczebności po-pulacji bazowej i potomnej oraz róŜnym nacisku selektywnym. Na podstawie uzyskanych wyników moŜna wyciągnąć następujące wnioski: • Wyniki symulacji jednoznacznie wskazują na znacznie stabilniejszą pracę algorytmu ewolucyj-

nego z sukcesją elitarną niŜ sukcesją trywialną. Zwiększenie elity moŜe jednak powodować wzrost tendencji do osiadania algorytmu na lokalnych maksimach funkcji przystosowania.

• Wraz ze wzrostem liczebności populacji bazowej rośnie odporność algorytmu (rys. 4.5). Ozna-cza to, Ŝe dla niewielkiej liczby pokoleń (dla przeprowadzonych badań średnia liczba pokoleń wynosiła od kilkunastu do około 100 pokoleń) podstawowego znaczenia nabiera wybór licznej i zróŜnicowanej populacji startowej. Zwiększenie liczebności populacji potomnej przy identycz-nej populacji startowej ma natomiast niewielki wpływ na wyniki redukcji.

• Sterowanie naciskiem selektywnym dla algorytmu o niewielkiej liczbie pokoleń ma drugorzędne znaczenie. Zastosowanie większego nacisku selektywnego nieznacznie tylko poprawiło wyniki redukcji (rys. 4.5).

• Posiew wartości genów startowych uwzględniający obszary prawdopodobnego występowania zadowalających rozwiązań umoŜliwia znaczne poprawienie wartości średniej uzyskiwanych

14

wyników redukcji. Nie powinien on jednak wpływać na zmniejszenie róŜnorodności populacji startowej, która wpływa na zdolności eksploracyjne algorytmu ewolucyjnego. Dobre wyniki moŜna uzyskać stosując posiew nierównomierny – gęstszy w obszarach prawdopodobnego wy-stępowania dobrych rozwiązań i rzadszy poza nimi.

Rys. 4.5. Wpływ liczebności populacji bazowej na uzyskaną medianę średniokwadratowego względnego błędu aprok-symacji (∆ – mały nacisk selektywny, o– duŜy nacisk selektywny)

Zdolność optymalizacji globalnej w strategiach ewolucyjnych � K oraz , K wynika w duŜym stopniu z utrzymywania róŜnorodności populacji (chromosomy rodzicielskie pochodzą z oddalonych od siebie obszarów). Powodem zaniku róŜnorodności jest nacisk selektywny, który powoduje skupianie się początkowo rozproszonej populacji. Ujednolicanie populacji wydaje się być procesem nieuniknionym i postępującym tym szybciej, im mniejsza populacja i większy nacisk se-lektywny [CG01]. Oznacza to, Ŝe w wyniku operacji genetycznych populacja przemieszcza się w postaci zwartej „chmury" rozwiązań.

Utrzymanie rozproszonej populacji wymaga odpowiednich mechanizmów, które będą wpływać na zróŜnicowanie populacji. Najczęściej stosowanym jest mutacja. Innym sposobem utrzymania zróŜnicowania populacji jest uwzględnienie odległości pomiędzy genotypami osobników podczas sukcesji nowej populacji bazowej (np. preselekcja lub preselekcja ze ściskiem) [Gol03, Ara01].

ZróŜnicowanie populacji moŜna osiągnąć równieŜ przez wprowadzenie funkcji kary, która zmniejsza przystosowanie osobników oddalonych od siebie na niewielką odległość w dziedzinie genotypu. Oznacza to, Ŝe grupa osobników znajdujących się na niewielkim obszarze będzie miała zmniejszone prawdopodobieństwo reprodukcji na rzecz osobników oddalonych.

W pracy przedstawiono wyniki redukcji uzyskane z zastosowaniem algorytmu rozpraszania po-pulacji. Badania przeprowadzono dla identycznych populacji startowych z zastosowaniem funkcji kary dwukrotnie zmniejszającej wartość przystosowania oraz usuwaniem podobnych osobników. Na podstawie uzyskanych wyników moŜna wyciągnąć następujące wnioski: • Zanik róŜnorodności populacji następuje bardzo szybko. Im mniejsza populacja tym gwałtow-

niej moŜe dochodzić do sytuacji w której cała populacja znajduje się w bardzo bliskim sąsiedz-twie i nowe rozwiązania mogą być generowane wyłącznie na skutek mutacji.

• Zastosowanie funkcji kary, która zmniejsza przystosowanie osobników znajdujących się w bli-skim sąsiedztwie, praktycznie nie przynosi Ŝadnej korzyści. W populacji nie pojawiają się nowe osobniki, a jedynie zmienia się prawdopodobieństwo reprodukcji. Mediana błędu aproksymacji nieznacznie się tylko zmienia w stosunku do algorytmu bez mechanizmu rozpraszania populacji (rys. 4.6).

• Ujednolicanie małych populacji następuje szybciej niŜ populacji duŜych. Mechanizm usuwania podobnych osobników spowodował wymianę średnio od 10,5% (dla duŜych populacji) do 33% (dla populacji małych) populacji potomnej na osobniki losowe. Zwiększenie nacisku selektyw-nego miało niewielki wpływ na szybkość ujednolicenia populacji.

15

• Wprowadzenie algorytmu rozpraszania populacji poprzez usunięcie podobnych osobników znacznie poprawiło medianę uzyskanych wyników redukcji (zwłaszcza dla AE o małej populacji bazowej). Uzyskane wyniki są ponadto prawie niezaleŜne od liczebności populacji (rys. 4.6), co spowodowane jest znacznie większą liczbą wprowadzonych osobników losowych. Zastąpienie osobników o podobnych genotypach przez losowo wygenerowane moŜna porównać do zwięk-szenia populacji startowej algorytmu (naleŜy jednak podkreślić, Ŝe osobniki dodane pod koniec przebiegu algorytmu mają o wiele mniejsze szanse reprodukcji ze względu na konkurencję z do-brze przystosowanymi osobnikami populacji bazowej), przy jednoczesnym braku wad przetwa-rzania duŜej liczby osobników (zwiększenie prawdopodobieństwa osiadania na maksimach lo-kalnych).

Rys. 4.6. Wpływ liczebności populacji bazowej na uzyskaną medianę średniokwadratowego względnego błędu aprok-

symacji (∆ – mały nacisk selektywny, o– duŜy nacisk selektywny)

4.3.2. Algorytm ewolucyjny o zmiennej liczebności populacji

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów moŜna stwierdzić przewagę strategii wielo-

punktowych w początkowej fazie algorytmu, gdy operacja krzyŜowania ma zasięg globalny. Podczas eksploatacji rola krzyŜowania jest juŜ drugorzędna. Cała populacja znajduje się wówczas w niewiel-kiej odległości od siebie i główną rolę odgrywa mutacja osobników. W takiej sytuacji sterowanie zasięgiem mutacji umoŜliwia szybszą zbieŜność do ekstremum funkcji. W celu zwiększenia efek-tywności przeszukiwania dziedziny rozwiązań konieczne jest połączenie zalet strategii , K oraz 1�K [Ryd08]. Algorytm powinien charakteryzować się zmienną liczebnością populacji (rys. 4.7).

λ=λstart, wsp_λ µ=µstart, wsp_µ

µ+λ

λ=λ*wsp_λ µ=µ*wsp_µ

1+λ

λ=λ*wsp_λ

czy spełnione warunki

zakończenia AE

czy µ

16

bazowej poniŜej dwóch osobników, uruchomiony zostaje algorytm jednopunktowy. Algorytm ten jest znacznie mniej wraŜliwy na zbyt mały początkowy zasięg mutacji, gdyŜ osobnik startowy nie jest juŜ losowany, lecz jest wynikiem działania algorytmu wielopunktowego. Zastosowanie algoryt-mu o zmiennej populacji umoŜliwiło uzyskanie najbardziej korzystnego stosunku mediany rozwią-zań do kosztu obliczeń.

4.3.3. Dwustopniowy algorytm ewolucyjny

Zwiększanie złoŜoności modelu pierwotnego powoduje ogromny wzrost kosztu obliczenia funk-cji celu. Dla modelu strefy dogrzewu rur ekranowych parownika liczącego 2250 zmiennych stanu wyznaczenie modelu zredukowanego oraz wartości błędu aproksymacji trwa od kilku do kilkudzie-sięciu minut (w zaleŜności od metody redukcji). Czas pojedynczej redukcji przekłada się na czas trwania algorytmu ewolucyjnego słuŜącego wyznaczeniu optymalnych parametrów dla poszczegól-nych metod redukcji. Redukcja bardzo złoŜonych modeli stanowi zatem powaŜny problem nie tylko ze względu na właściwości numeryczne algorytmów redukcji, ale równieŜ z powodu czasu trwania algorytmu ewolucyjnego.

Dla modeli dynamicznych o bardzo duŜej złoŜoności znacznie bardziej efektywny jest algorytm dwustopniowy, który wyznacza parametry metod redukcji na podstawie modelu aproksymującego właściwości modelu pierwotnego (model ten moŜna nazwać wstępnym modelem pierwotnym). Wstępną aproksymację modelu pierwotnego moŜna uzyskać na dwa sposoby: • podczas procesu modelowania poprzez zmniejszenie siatki dyskretyzacji, pominięcie części mo-

delowanych zjawisk lub uproszczenie ich opisu matematycznego [Mia03], • poprzez wstępną redukcję modelu pierwotnego (np.: z 2250 na 300 zmiennych stanu).

Model zredukowany uzyskiwany jest w wyniku redukcji wstępnego modelu pierwotnego, nato-miast funkcja celu wyznaczana jest jako róŜnica charakterystyk częstotliwościowych modelu pier-wotnego oraz zredukowanego (rys. 4.8). Podstawową zaletą takiego podejścia jest szybkość uzyska-nia wyniku, gdyŜ pojedyncze wyznaczenie funkcji przystosowania trwa wielokrotnie krócej.

Algorytm taki nie jest oczywiście pozbawiony wad, gdyŜ parametry metod redukcji wyznaczone są na podstawie modelu uproszczonego, którego charakterystyki aproksymują właściwości modelu pierwotnego. Oznacza to, Ŝe zaleŜność błędu aproksymacji w funkcji parametrów metod redukcji moŜe róŜnić się zarówno liczbą ekstremów lokalnych (część z ekstremów moŜe nie istnieć dla mode-lu wstępnego lub mogą występować dodatkowe), jak równieŜ ich połoŜeniem.

Zastosowanie uproszczonego modelu pierwotnego, który w niedostateczny sposób aproksymuje właściwości modelu pierwotnego moŜe powodować wyznaczenie parametrów redukcji, które znacz-nie róŜnią się od optymalnych. Ograniczenie wpływu jakości aproksymacji uproszczonego modelu pierwotnego na wyniki redukcji, moŜliwe jest poprzez zastosowanie algorytmu hybrydowego (rys. 4.8). Łączy on w sobie algorytm dwustopniowy oraz tradycyjny (bazujący na redukcji modelu pierwotnego). Zadaniem pierwszego z algorytmów jest wyznaczenie wstępnych wartości parame-trów redukcji na podstawie uproszczonego modelu pierwotnego. Uzyskane parametry słuŜą jako punkt startowy kolejnego algorytmu optymalizacji. Drugi z algorytmów bazuje na redukcji modelu pierwotnego, więc umoŜliwia wyznaczenie dokładnej wartości ekstremum funkcji błędu aproksyma-cji. W celu zmniejszenia kosztu obliczeń całego algorytmu konieczne jest nałoŜenie ostrych ograni-czeń na liczbę kroków drugiego z algorytmów.

Dla przestawionego algorytmu porównano uzyskane wyniki redukcji oraz średni czas trwania al-gorytmu (tab. 4.1). Na ich podstawie moŜna stwierdzić, Ŝe dobrze dobrany wstępny model pierwotny (model A) umoŜliwia uzyskanie identycznych wyników redukcji jak przy zastosowaniu modelu pierwotnego, przy jednoczesnym znacznym ograniczeniu czasu trwania algorytmu ewolucyjnego. Algorytm hybrydowy zapewnia natomiast uzyskanie poprawnych wyników redukcji, nawet w przy-padku gdy algorytm dwustopniowy nie daje poprawnych wyników (ze względu na duŜe błędy aprok-symacji wstępnego modelu pierwotnego B).

17

)( ωjG)( ωjrG )( ωjG )( ωjrG

Rys. 4.8. Dwustopniowy algorytm hybrydowy

Tab. 4.1. Redukcja dwustopniowa – porównanie wyników

Model

pierwotny A B

rodzaj algorytmu AE DAE DAH DAE DAH ∆6 – najlepszy wynik 0.1830 0.1932 0.1832 0.8618 0.2117

∆6 – mediana 0.2708 0.2995 0.2746 0.8647 0.4488 ∆6 – średnia 0.2783 0.2907 0.2759 0.8639 0.6777

∆6 – odchylenie standardowe 0.07374 0.07377 0.06799 0.001431 0.5370 ∆3 – mediana 192.0 226.1 203.3 493.1 545.6

Koszt symulacji – mediana model pierwotny

311 0 50 0 50

Koszt symulacji – mediana wstępny model pierwotny

0 255 255 296 296

Czas uzyskania modelu zredukowa-nego [min]

3772 11,2 618 13,0 619,4

gdzie: A – model rzędu 300 uzyskany w wyniku redukcji modelu pierwotnego metodą BTA , B – modelu rzędu 300 uzyskany w wyniku dyskretyzacji, a następnie linearyzacji modelu na 20 sekcji o parame-trach skupionych.

DAE – dwustopniowy algorytm ewolucyjny DAH – dwustopniowy algorytm hybrydowy

5. REDUKCJA MODELI PODSYSTEMÓW KOTŁA ENERGETYCZNEGO

5.1. Zakresy adekwatności modeli podsystemów parownika

Modele matematyczne parowników przepływowych (opracowane na podstawie praw mechaniki

płynów oraz termodynamiki, w postaci równań bilansu masy, energii i pędu) charakteryzują się wy-sokim stopniem złoŜoności. W znacznym stopniu utrudnia to bezpośrednie wykorzystanie metod i środków programowych analizy obiektów oraz syntezy algorytmów sterowania. W wyniku tego, podstawowym staje się problem wyboru odpowiednich metod redukcji tak, aby przy maksymalnym zachowaniu właściwości dynamicznych (istotnych na danym poziomie hierarchii) ograniczyć złoŜo-ność modelu.

Opracowane modele parownika badano w szerokim zakresie częstotliwości, jednak zakres ade-kwatności modelu pierwotnego jest ograniczony ze względu na przyjęte załoŜenia upraszczające do

18

około 20 [rad/s] (ze względu na uproszczenie dynamiki transportu energii cieplnej wzdłuŜ promienia ścianki rury oraz operacji dyskretyzacji zmiennej przestrzennej i linearyzacji).

W wyniku przeprowadzonych badań dotyczących zagadnienia stabilności hierarchicznego mode-lu zredukowanego (rozdział 5.3.1), konieczne stało się wprowadzenie pojęcia zakresu aproksymacji. Pojęcie to jest bliskie zakresowi adekwatności i dla układów linowych moŜna je zdefiniować jako zakres częstotliwości, dla którego model zredukowany poprawnie aproksymuje właściwości modelu pierwotnego. Dla modeli podsystemów parownika oba pojęcia są toŜsame do częstotliwości 20 [rad/s]. PowyŜej tej częstotliwości model zredukowany nie moŜna nazwać juŜ adekwatnym (mo-del pierwotny dla tego zakresu częstotliwości jest nieadekwatny), lecz poprawnie aproksymującym właściwości modelu pierwotnego. Na rys. 5.1 przedstawiono przykładowe zakresy adekwatności oraz aproksymacji modeli zredukowanych.

Gr2(j - zakres

adekwatności=zakres

aproksymacji

G(j Gr1(j - zakres adekwatności

Gr1(j - zakres aproksymacji

Rys. 5.1. Zakres adekwatności oraz aproksymacji modelu zredukowanego

5.2. Redukcja modeli pierwszego poziomu hierarchii

Ogólny schemat hierarchicznej struktury modelu parownika kotła BP-1150 przedstawiono na

(rys. 2.1). Na pierwszym poziomie modelu parownika znajdują się modele strefy dogrzewu i odpa-rowania wchodzące w skład modelu rur ekranowych. Zawierają one szereg połączonych ze sobą sek-cji, w wyniku czego uzyskano modele o następującej liczbie zmiennych stanu: strefa dogrzewu – 2250 zmiennych stanu, pierwsza strefa odparowania – 750 zmiennych stanu, druga strefa odparowa-nia – 1125 zmiennych stanu, trzecia strefa odparowania – 3000 zmiennych stanu.

W celu wyznaczenia najbardziej przydatnej metody redukcji dla tak rozbudowanych modeli pod-systemów parownika porównano wyniki uzyskane przy uŜyciu następujących metod: • FW z wagą wejściową, wyjściową oraz z jednoczesnym zastosowaniem obu wag częstotliwo-ściowych,

• FD z wagą wejściową oraz wyjściową, • FMR , • RK z zastosowaniem wielopunktowego algorytmu Arnoldiego.

Na rys. 5.2 przedstawiono wykres średniokwadratowego względnego błędu aproksymacji dla za-kresu częstotliwości 0-20 [rad/s] w funkcji rzędu modelu zredukowanego dla strefy dogrzewu rur ekranowych. DuŜa złoŜoność obliczeniowa oraz złe uwarunkowanie macierzy transformacji dla mo-deli zredukowanych o rzędzie ]>20, powoduje nieprzydatność metody FD do redukcji złoŜonych modeli obiektów dynamicznych. RównieŜ rozwinięcie transmitancji modelu wokół jednego punktu interpolacji (parametr x) uniemoŜliwia uzyskanie dobrych wyników redukcji dla modeli zreduko-wanych o szerokim zakresie adekwatności metodą FMR . Metoda RK posiada najmniejszą złoŜoność obliczeniową spośród zastosowanych algorytmów. Nie gwarantuje ona jednak zachowania stabilno-ści modelu zredukowanego. Jak moŜna zauwaŜyć (pomimo uruchomienia 25 niezaleŜnych algoryt-mów ewolucyjnych mających na celu wyznaczenie optymalnych punktów interpolacji) dla ]>42 nie

19

uzyskano stabilnego wyniku redukcji. Oznacza to, Ŝe bardzo trudne jest uzyskanie tą metodą modeli o szerokim zakresie adekwatności oraz bardzo duŜej dokładności aproksymacji. Spośród wszystkich przedstawionych metod redukcji najbardziej korzystne jest więc zastosowanie metody FW.

Na rys. 5.3 przestawiono zaleŜność błędu aproksymacji w funkcji rzędu modelu zredukowanego dla poszczególnych stref parownika (strefa dogrzewu oraz trzy części strefy odparowania). W celu wyznaczenia charakterystyki zastosowano algorytm ewolucyjny minimalizujący średniokwadratowy względny błąd aproksymacji (∆) w zakresie częstotliwości 0-20 [rad/s]. Jak moŜna zauwaŜyć, dla wszystkich stref rur ekranowych parownika błąd aproksymacji maleje eksponencjalnie wraz ze wzrostem rzędu modelu zredukowanego. Na podstawie kilku wyników redukcji moŜliwe jest okre-ślenie przybliŜonego rzędu modelu zredukowanego o zadanym poziomie błędu aproksymacji. UmoŜliwia to szybkie i efektywne wyznaczenie modelu zredukowanego o najniŜszym rzędzie, który charakteryzuje się odpowiednim poziomem błędu aproksymacji.

Rys. 5.2. Błąd aproksymacji modelu w funkcji rzędu mode-

lu zredukowanego dla metod FW, FD, FMR , RK Rys. 5.3. Błąd aproksymacji modelu w funkcji rzędu

modelu zredukowanego

5.3. Redukcja modeli drugiego poziomu hierarchii

W wyniku wzajemnego połączenia poszczególnych stref uzyskano model rur ekranowych pa-rownika (drugi poziom modelu parownika) składający się z 475 sekcji, którego rząd wynosi 7125 zmiennych stanu (rys. 5.4). Pozostałe podsystemy modelu parownika: MIESZALNIK, SEPARA-TOR, POMPA CYRKULACYJNA, RUROCIĄGI ŁĄCZĄCE nie zawierają podsystemów niŜszego poziomu i opisane są układami równań róŜniczkowych.

Rys. 5.4. Model rur ekranowych parownika

Redukcja bardzo rozbudowanego modelu rur ekranowych parownika jest zadaniem bardzo cza-sochłonnym. Dla modeli o jeszcze większej złoŜoności (>104 zmiennych stanu) zastosowanie metod bazujących na dekompozycji SVD moŜe okazać się juŜ niemoŜliwe [Ant05]. Uzyskanie modeli zre-dukowanych (o duŜej dokładności aproksymacji charakterystyk i szerokim zakresie adekwatności metodami Kryłowa jest trudne w realizacji, ze względu na znaczną liczbę niestabilnych wyników.

Trudności związane z redukcją modeli o duŜej złoŜoności moŜna pokonać poprzez realizację koncepcji hierarchicznego modelu zredukowanego, w której redukcja modeli na wyŜszych pozio-

20

mach hierarchii jest przeprowadzana na podstawie zredukowanych modeli podsystemów poziomu niŜszego. Wstępnie zredukowany model rur ekranowych uzyskuje się w drodze połączenia zreduko-wanych modeli poszczególnych odcinków rur ekranowych. Tak uzyskany model rur ekranowych poddany zostaje kolejnej operacji redukcji.

5.3.1. Wpływ sprzęŜeń zwrotnych na stabilność hierarchicznego modelu zredukowane-go rur ekranowych

W modelu rur ekranowych parownika występują sprzęŜenia zwrotne, które związane są

z przemieszczaniem się zmian ciśnienia wzdłuŜ rur ekranowych, tak w kierunku zgodnym, jak i przeciwnym do przepływu czynnika roboczego. Wykreślenie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego pozwala zaobserwować, Ŝe sprzęŜenia zwrotne bardzo silnie oddziałuje w zakresie wysokich częstotliwości (moduł charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego znacznie prze-kracza wartość 1). Zredukowane modele strefy dogrzewu oraz poszczególnych odcinków strefy od-parowania poprawnie aproksymują charakterystyki częstotliwościowe wyłącznie dla częstotliwości

21

poziomie hierarchii. Poznanie tego mechanizmu umoŜliwia dobranie odpowiednich modeli podsys-temów tak, aby uzyskany model rur ekranowych charakteryzował się załoŜonym zakresem adekwat-ności oraz poziomem błędu aproksymacji.

Na rys. 5.6 przedstawiono histogramy wpływu błędu aproksymacji poszczególnych podsyste-mów (model rur ekranowych uzyskano w wyniku połączenia jednego zredukowanego oraz trzech pierwotnych modeli stref rur ekranowych parownika) na średniokwadratowy względny błąd aprok-symacji rur ekranowych parownika

Jak moŜna zauwaŜyć, wszystkie histogramy mają w przybliŜeniu kształt rozkładu normalnego. Na podstawie przedstawionych wyników moŜna stwierdzić, Ŝe statystycznie błąd aproksymacji kaŜ-dej ze stref ma porównywalny wpływ na błąd rur ekranowych parownika.

Rys. 5.6. Histogramy stosunku błędu aproksymacji modelu rur ekranowych do błędu aproksymacji podsystemu dla za-kresów adekwatności/aproksymacji (a) 0-2 [rad/s], (b) 0-20 [rad/s], (c) 0-500 [rad/s]

PoŜądane właściwości hierarchicznego modelu rur ekranowych parownika (np.: model stabilny, zakres aproksymacji m 20 [rad/s], błędy aproksymacji Δ! ^1% oraz Δ ^ 10�!) mogą zatem wpływać na określenie wymagań stawianych modelom zredukowanym strefy dogrzewu oraz trzech części strefy odparowania. Konieczny jest algorytm iteracyjny, w którym właściwości modelu na wyŜszym poziomie hierarchii wpływają na kryteria oceny modeli podsystemów, a więc pośrednio wpływają równieŜ na parametry redukcji i właściwości modelu na niŜszym poziomie (rys. 5.7).

)( ωjG )( ωjrG )( ωjG )( ωjrG )( ωjG )( ωjrG

)( ωjG )( ωjrG

Rys. 5.7. Hierarchiczna struktura redukcji modeli podsystemów rur ekranowych parownika

a) b) c)

22

Na rys. 5.8 przedstawiono histogram stosunku błędu modelu rur ekranowych uzyskanego w wy-niku połączenia zredukowanych modeli podsystemów o porównywalnych wartościach błędu aprok-symacji (róŜnica błędów aproksymacji podsystemów nie przekraczała 20%). Przedstawione wyni-ki wskazują, Ŝe uzyskany model rur ekranowych statystycznie charakteryzuje się większym błędem aproksymacji niŜ średni błąd modeli podsystemów. Zakres adekwatności 20 [rad/s] stanowi wyjątek, lecz moŜe być to spowodowane najmniejszą liczbą uzyskanych stabilnych modeli rur ekranowych oraz ich stosunkowo duŜymi wartościami błędu aproksymacji (rys. 5.5). Analiza histogramów umoŜ-liwia jednak stwierdzenie, Ŝe odpowiedni dobór zredukowanych modeli podsystemów umoŜliwia kompensowanie się błędów aproksymacji zastosowanych modeli niŜszego poziomu hierarchii. W wyniku tego moŜliwe jest uzyskanie modelu rur ekranowych parownika o mniejszym błędzie aproksymacji niŜ uŜyte modele podsystemów.

Hierarchiczny model rur ekranowych parownika uzyskany w wyniku wzajemnego połączenia zredukowanych modeli podsystemów charakteryzuje się nadal stosunkowo duŜą złoŜonością. Połą-czenie modeli podsystemów powoduje pojawienie się wielu zmiennych stanu, które mają niewielki wpływ na charakterystykę modelu na wyŜszym poziomie hierarchii i opisują właściwości dynamicz-ne obiektu, które nie są juŜ istotne na danym poziomie. ZłoŜoność modelu rur ekranowych moŜna w znaczny sposób ograniczyć w wyniku kolejnej operacji redukcji.

Na rys. 5.9 przedstawiono wykres maksymalnego względnego błędu aproksymacji dla zakresu częstotliwości 0-20 [rad/s] w funkcji rzędu modelu zredukowanego, dla modeli uzyskanych w nastę-pujący sposób:

• A - model rur ekranowych uzyskany w wyniku połączenia zredukowanych modeli podsyste-mów o zakresie adekwatności 20 [rad/s],

• B - model rur ekranowych uzyskany w wyniku połączenia zredukowanych modeli podsyste-mów o zakresie adekwatności 20 [rad/s] i poddany kolejnej operacji redukcji rzędu modelu,

• C - model rur ekranowych uzyskany w wyniku połączenia zredukowanych modeli podsyste-mów o zakresie aproksymacji 500 [rad/s], a następnie poddany operacji redukcji rzędu mode-lu w wyniku której ograniczono zakresu aproksymacji do 20 [rad/s].

Jak moŜna zauwaŜyć w przypadkach B oraz C uzyskano porównywalne wyniki. Jedynym ogra-niczeniem jest minimalna wartość błędu aproksymacji, która nie moŜe być mniejsza od błędu mode-lu uzyskanego w wyniku połączenia zredukowanych modeli podsystemów.

Rys. 5.8. Histogram stosunku błędu aproksymacji modelu rur ekranowych do średniej wartości błędu podsystemów

niŜszego poziomu

Rys. 5.9. Błąd aproksymacji modelu rur ekranowych w funkcji rzędu modelu zredukowanego

5.4. Redukcja modelu parownika kotła energetycznego BP-1150

Model parownika kotła BP-1150 zawiera pięć wielkości wejściowych: �?, �, �E�, �E, �E

oraz dwie wielkości wyjściowe: �E? i E?. W modelu parownika decydujące znaczenie dla właści-

23

wości dynamicznych parownika mają procesy cieplne, dlatego teŜ podczas wyznaczania modeli zre-dukowanych brano pod uwagę przedział częstotliwości ^ 2 [rad/s].

W modelu parownika występują dwa sprzęŜenia zwrotne, które mają istotny wpływ na właści-wości dynamiczne parownika (rys. 5.10). Pierwsze z nich opisuje wpływ zmian ciśnienia w separato-rze na zmiany przepływu masowego i entalpii mieszaniny parowo-wodnej na wylocie z rur ekrano-wych, które z kolei powodują zmiany ciśnienia w separatorze. To ujemne sprzęŜenie zwrotne ma charakter „wewnętrzny” i wynika ze specyfiki procesu generacji pary. Drugie sprzęŜenie zwrotne związane jest ze zmianami entalpii wlotowej do rur ekranowych parownika (spowodowanymi zmia-nami ciśnienia w separatorze). Wynika ono z recyrkulacji czynnika roboczego w parowniku i jest dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym [Sta03].

Rury

ekranowe

SeparatorMwy

Pwe

hwy hsep

Msep

MpPsep

Hsep

hwe

Mwe

q~

Pwy Mkond

Mieszalnik,

Filtr,

Rurociągi

łączące

Mkond

hzas

Mcyr

Mzas

Psep

hw

„wewnętrzne” sprzęŜenie zwrotne

cyrkulacyjne sprzęŜenie zwrotne

Rys. 5.10. Struktura „wewnętrznego” oraz „cyrkulacyjnego” sprzęŜenia zwrotnego w parowniku

Model parownika jest niestabilny i macierz stanu zawiera jedną dodatnią wartość własną. Mode-le zredukowane podsystemów charakteryzują się ograniczonym zakresem adekwatności i dokładno-ścią aproksymacji charakterystyk częstotliwościowych, co powoduje Ŝe w wyniku działania sprzęŜeń zwrotnych, część ujemnych wartości własnych modelu moŜe zostać przesunięta na prawą półpłasz-czyznę zmiennej zespolonej. Jak wynika z charakterystyk częstotliwościowych, przebiegi dynamicz-ne mające miejsce w rurach ekranowych są w znacznym stopniu tłumione przez separator. W wyni-ku tego, problem pojawienia się kolejnych dodatnich wartości własnych w zredukowanym hierar-chicznym modelu parownika jest znacznie mniejszy niŜ dla rur ekranowych. Przyjęcie zakresu ade-kwatności podsystemów na poziomie 20 [rad/s] w praktyce gwarantuje uzyskanie poprawnego mo-delu parownika.

Identycznie jak dla modelu rur ekranowych (drugi poziom hierarchii) przeanalizowano wpływ błędów podsystemów na błąd modelu parownika. Na rys. 5.11 przedstawiono stosunek błędu aprok-symacji parownika do błędu podsystemu (modele parownika uzyskano łącząc jeden zredukowany oraz dwa pierwotne modele podsystemów). Ze względu występujące sprzęŜenia zwrotne błędy aproksymacji kompensują się i wartość mediany stosunku średniokwadratowego względnego błędu parownika do błędów podsystemów są mniejsze od jedności.

Na rys. 5.12 przedstawiono histogram stosunku błędu modelu rur ekranowych uzyskanego w wyniku połączenia zredukowanych modeli podsystemów o porównywalnych poziomach błędu aproksymacji (róŜnica błędów aproksymacji podsystemów nie przekraczała 20%). W przeciwień-stwie do zredukowanego modelu rur ekranowych, statystycznie błąd aproksymacji zredukowanego hierarchicznego modelu parownika jest mniejszy niŜ średni błąd modeli podsystemów. Wynika to z małej wraŜliwości modelu parownika na wariacje modeli podsystemów i jest związane z silnie działającym dla niskich częstotliwości wewnętrznym sprzęŜeniem zwrotnym.

24

Rys. 5.11. Histogramy stosunku błędu aproksymacji mo-delu parownika do wartości błędu aproksymacji podsys-

temu niŜszego poziomu

Rys. 5.12. Histogramy stosunku błędu aproksymacji mo-delu parownika do średniej wartości błędu podsystemów

niŜszego poziomu

5.5. Projektowanie układu sterowania parownika na podstawie modeli zreduko-

wanych W pracach Andersona [And93, OA01] przedstawiono dwie koncepcje projektowania układów ste-rowania: • projektowanie regulatora na podstawie zredukowanego modelu obiektu [HBN06], • projektowanie regulatora na podstawie pierwotnego modelu obiektu, a następnie redukcja regu-

latora. Na podstawie praktycznych doświadczeń uznano za bardziej korzystną drugą z moŜliwości, ze

względu na utratę informacji o właściwościach dynamicznych obiektu (zwłaszcza dla zakresów czę-stotliwości, które odpowiedzialne są za przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego dla sprzęŜenia zwrotnego w pobliŜu punktu -1+j0) [And93]. JeŜeli jednak zakres ade-kwatności modelu zredukowanego jest dobrany odpowiednio, to moŜe być on zastosowany do pro-jektowania układów regulacji.

W parowniku kotła BP-1150 występują dwie wielkości sterujące �~, �E oraz szereg wielkości zakłócających, mających istotny wpływ na zmiany wielkości wyjściowych: ciśnienia �E? oraz po-ziomu wody E? w separatorze. Układ regulacji ciśnienia w kotle zapewnia bilansowanie energii cieplnej w parowniku poprzez oddziaływanie na ilość paliwa dostarczanego do kotła, natomiast układ regulacji poziomu wody w separatorze zapewnia bilansowanie masy poprzez oddziaływanie na przepływ wody dopływającej do parownika. W układzie regulacji ciśnienia w kotle BP-1150 wystę-puje bardzo niekorzystna sytuacja, związana z bardzo duŜym opóźnieniem oraz stałą czasową układu przygotowania paliwa (stała czasowa 300 [s], opóźnienie transportowe 50 [s]) [SM99, Sta03]. Do-datkowo, warunki pracy układu regulacji ciśnienia pogarsza fakt, Ŝe obiekt regulacji jest niestabilny. Jednocześnie na parownik oddziałuje silne zakłócenie w postaci zmian ilości pary pobieranej z sepa-ratora �?, którego widmo sięga częstotliwości m 0,01 [rad/s] [Sta03].

Na rys. 5.13 przedstawiono uproszczony schemat blokowy układu regulacji ciśnienia oraz po-ziomu wody w separatorze. Na podstawie zredukowanych modeli parownika (model rzędu ]=2 oraz ]=25) zaprojektowano układy regulacji, minimalizując kryterium całki z kwadratu błędu. W celu poprawienia właściwości układu sterowania, wprowadzono bloki odprzęgające G1 oraz G2.

Do optymalizacji parametrów regulatorów wykorzystano algorytm ewolucyjny, w wyniku czego uzyskano znaczną liczbę nastaw regulatorów, będących wynikami niezaleŜnych uruchomień AE dla róŜnych populacji startowych [Lie01]. Zaprojektowane układy regulacji poddano weryfikacji. Pole-gała ona na zastosowaniu regulatorów wyznaczonych na podstawie modelu zredukowanego w ukła-dach regulacji z wykorzystaniem pierwotnego modelu parownika (wysokiego rzędu).

25

Regulatory opracowane na podstawie modeli zredukowanych rzędu 25 zapewniają stabilność układu regulacji oraz duŜą dokładność regulacji dla bardzo niskich częstotliwości (wzmocnienie w układzie otwartym dla 10� [rad/s] wynosi 33dB). Stabilny układ regulacji, opracowany na podstawie zredukowanych modeli parownika rzędu drugiego, charakteryzuje się znacznie mniejszym tłumieniem zakłóceń dla niskich częstotliwości, w porównaniu do układu opracowanego na podsta-wie modelu zredukowanego rzędu 25 (rys. 5.14).

Regulator ciśnienia realizujący algorytm PID zapewnia stabilność układu regulacji (mimo niesta-bilności obiektu) oraz duŜą dokładność regulacji dla bardzo niskich częstotliwości Jednak dla często-tliwości z przedziału 5 ¡ 10� ¢ 10�� [rad/s] wzmocnienie w układzie otwartym jest zbyt małe dla zapewnienia odpowiedniego tłumienia zakłóceń (rys. 5.14). Niestety, zwiększenie wzmocnienia w układzie otwartym nie jest w tym układzie regulacji moŜliwe, ze względu na spełnienie warunku stabilności oraz zapewnienie minimalnego zapasu stabilności.

Analiza uzyskanych wyników wskazuje, Ŝe systemy sterownia są niedoskonałe i niewątpliwie istnieją moŜliwości ich znaczącej poprawy w wyniku zastosowania nowoczesnych układów sterow-nia. Zredukowane modele podsystemów parownika umoŜliwiają poszerzenie wiedzy nie tylko o wła-snościach obiektu, ale takŜe jego ulepszonego sterownia (w stosunku do istniejących klasycznych regulatorów).

Rys. 5.13. Schemat blokowy słuŜący do projektowania układu regulacji z zastosowaniem zredukowanego modelu parownika

Rys. 5.14. Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego dla układu regulacji ciśnienia

6. PODSUMOWANIE

ZłoŜoność modeli opisujących właściwości obiektów sterowania pociąga za sobą konieczność

zastosowania hierarchicznej struktury oraz dekompozycję na szereg prostszych do zamodelowania podsystemów. Na wszystkich wyŜszych poziomach model hierarchiczny zawiera podsystemy nale-Ŝące do poziomu niŜszego wraz z określoną topologią powiązań między nimi.

Wielopoziomowa konstrukcja modelu daje moŜliwość analizy przez zastosowanie procedury agregacji. Jednym z zasadniczych jej środków jest redukcja modelu na poszczególnych poziomach hierarchicznej struktury. Podejście takie umoŜliwia stworzenie zredukowanego modelu hierarchicz-nego, zawierającego zbiór modeli na kaŜdym z poziomów hierarchii charakteryzujących się róŜnymi zakresami adekwatności oraz dokładnością aproksymacji właściwości obiektu sterowania.

Operacja redukcji modelu złoŜonego nie jest jednoznaczna i w ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat powstała znaczna liczba metod redukcji. Większość współcześnie wykorzystywanych metod reduk-cji modeli liniowych opiera się na metodach bazujących na dekompozycji SVD lub metodach mo-mentów. W pracy przedstawiono powszechnie wykorzystywane algorytmy oraz zaproponowano ich modyfikacje. Opracowano algorytm EIG -BFSR charakteryzujący się najlepszymi właściwościami numerycznymi, zarówno pod względem uwarunkowania, jak równieŜ błędów numerycznych w ma-cierzach transformacji. Zastosowanie tego algorytmu w metodzie FD (zamiast algorytmu Wang’a)

26

umoŜliwiło równieŜ (dla wybranych zadań) znaczne zmniejszenie błędu aproksymacji modeli zredu-kowanych. Niezbędne w ramach dalszych prac jest przeanalizowanie kolejnych algorytmów redukcji tj.: Proper Orthogonal Decomposition, metody SVD-Kryłowa i innych.

Wiele z opracowanych metod umoŜliwia znaczne ograniczenie błędów aproksymacji dla zadane-go przedziału częstotliwości poprzez wybór odpowiednich wartości parametrów redukcji (np.: funk-cji wagowych dla metod FW lub punktów interpolacji dla metod Kryłowa). Parametry redukcji moŜna określić na podstawie charakterystyk amplitudowych modelu matematycznego oraz jego za-kresu adekwatności. Nie jest to zadanie proste, gdyŜ modele mogą charakteryzować się znacznymi róŜnicami wartości modułów transmitancji dla poszczególnych torów oraz znaczną zmiennością mo-dułu transmitancji w zakresie adekwatności modelu. Z tego względu, konieczne okazało się wpro-wadzenie szeregu miar błędu aproksymacji, które umoŜliwiają ocenę jakości aproksymacji obiektu przez model zredukowany. Dla modeli podsystemów kotła energetycznego za najbardziej uŜyteczne kryterium oceny, uznano wartość średniokwadratowego względnego błędu aproksymacji, jaką cha-rakteryzuje się model zredukowany.

Występowanie wielu minimów lokalnych na charakterystykach błędu aproksymacji w funkcji pa-rametrów poszczególnych metod redukcji oznacza, Ŝe algorytmy bazujące lokalnych właściwościach funkcji są mało przydatne do wyznaczenia minimum błędu aproksymacji. Ze względu na uniwersal-ność oraz łatwość praktycznego zastosowania w celu doboru parametrów redukcji zastosowano algo-rytmy ewolucyjne.

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów moŜna stwierdzić przewagę wielopunktowych strategii ewolucyjnych w początkowej fazie algorytmu, gdy operacja krzyŜowania ma zasięg global-ny. Adaptacja zasięgu mutacji regułą 1/5 sukcesów (algorytmy jednopunktowe) umoŜliwia natomiast lepszą eksploatację w obszarze przyciągania znalezionego ekstremum. W celu zwiększenia efektyw-ności przeszukiwania dziedziny rozwiązań konieczne jest połączenie zalet obu strategii. Zapropono-wany w pracy algorytm charakteryzuje się zmienną liczebnością populacji, która umoŜliwiła uzyska-nie najbardziej korzystnego stosunku jakości wyznaczonych rozwiązań do kosztu obliczeń.

Redukcja bardzo złoŜonych modeli stanowi powaŜny problem nie tylko ze względu na właściwo-ści numeryczne algorytmów redukcji, ale równieŜ z powodu czasu trwania algorytmu ewolucyjnego. Dla modeli obiektów sterowania o bardzo duŜej złoŜoności zaproponowano algorytm dwustopniowy, który wyznacza parametry metod redukcji na podstawie uproszczonego modelu pierwotnego. Dobrze dobrany wstępny model pierwotny umoŜliwia uzyskanie identycznych wyników redukcji jak przy zastosowaniu modelu pierwotnego, przy jednoczesnym znacznym ograniczeniu czasu trwania algo-rytmu ewolucyjnego. Algorytm hybrydowy, będący połączeniem algorytmu dwustopniowego oraz tradycyjnego, zapewnia natomiast uzyskanie poprawnych wyników redukcji nawet w przypadku, gdy algorytm dwustopniowy nie daje poprawnych wyników ze względu na duŜe błędy aproksymacji wstępnego modelu pierwotnego.

Połączenie metod redukcji z algorytmami ewolucyjnymi umoŜliwia efektywne wyznaczenie mo-deli zredukowanych podsystemów parownika kotła energetycznego BP-1150 dla wybranych warto-ści błędów aproksymacji oraz zakresów adekwatności na poszczególnych poziomach hierarchii. Naj-lepsze rezultaty redukcji uzyskano w wyniku zastosowania metody FW.

Modele rur ekranowych oraz parownika objęte są silnie działającymi sprzęŜeniami zwrotnymi dla częstotliwości wyŜszych od zakresu adekwatności. Wyznaczenie poprawnych modeli na wyŜ-szym poziomie hierarchii wymaga zatem poszerzenia zakresu aproksymacji modeli podsystemów. Innym sposobem jest wygenerowanie odpowiednio duŜej liczby modeli podsystemów, tak aby moŜ-liwe było wybranie spośród nich takich, które w wyniku wzajemnego połączenia dadzą poprawny model na wyŜszym poziomie hierarchii. Z tego względu konieczne jest zastosowanie algorytmu ite-racyjnego, w którym właściwości modelu na wyŜszym poziomie hierarchii wpływają na kryteria oceny modeli podsystemów.

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów numerycznych dla modeli podsystemów pa-rownika kotła energetycznego BP-1150 moŜna stwierdzić, Ŝe statystycznie błąd aproksymacji kaŜ-

27

dego z podsystemów ma porównywalny wpływ na błąd modelu na wyŜszym poziomie hierarchii (kaŜda ze stref ma porównywalny wpływ na błąd modelu rur ekranowych parownika, a takŜe rury ekranowe, separator oraz podsystem filtru wraz z rurami łączącymi ma porównywalny wpływ na błąd modelu parownika). Odpowiedni dobór zredukowanych modeli podsystemów umoŜliwia nato-miast kompensowanie się błędów aproksymacji zastosowanych modeli niŜszego poziomu hierarchii. W wyniku tego moŜliwe jest uzyskanie modeli na wyŜszych poziomach hierarchii charakteryzują-cych się błędem aproksymacji mniejszym od średniego błędu zastosowanych modeli podsystemów.

W pracy przeanalizowano właściwości dynamiczne parownika w warunkach normalnej eksplo-atacji. Zmiany wartości poszczególnych wielkości są niewielkie w stosunku do wartości w stanie ustalonym, ze względu na funkcjonujące układy regulacji. Pozwala to na analizę właściwości dyna-micznych parownika przepływowego na podstawie modeli zlinearyzowanych, słusznych dla nie-wielkich odchyleń poszczególnych wielkości wokół wartości w stanie ustalonym. Istotnym rozwi-nięciem przedstawionych w pracy wyników, moŜe być przeniesienie przedstawionej metodologii na systemy nieliniowe. Rozwiązanie to moŜna zrealizować poprzez połączenie statycznego elementu nieliniowego oraz dynamicznego elementu liniowego lub konstrukcję modelu nieliniowego, jako zespołu modeli zlinearyzowanych wokół trajektorii a£�� i sterowania e¤��. Równania zlinearyzowa-ne są wtedy słuszne w dostatecznie bliskim otoczeniu punktów linearyzacji [RW03].

Dorobek naukowy autora rozprawy obejmuje:

• Opracowano algorytm EIG -BFSR charakteryzujący się najlepszymi (spośród przedstawionych algorytmów) właściwościami numerycznymi, zarówno pod względem uwarunkowania, jak równieŜ błędów numerycznych w macierzach transformacji.

• Zastosowano algorytm EIG -BFSR w metodzie FD (zamiast algorytmu Wang’a). Dla wybra-nych zadań umoŜliwiło to znaczne zmniejszenie błędu aproksymacji modeli zredukowanych.

• Wprowadzono siedem miar błędu aproksymacji oraz przeprowadzono analizę wpływu minima-lizacji poszczególnych miar błędu (kryterium optymalizacji) na właściwości modelu zreduko-wanego (na przykładzie modelu strefy dogrzewu rur ekranowych parownika).

• Przeanalizowano wpływ parametrów metod FW (\, ), FD (�, �), FMR (, x) oraz RK (, W, ) na wartość błędu aproksymacji.

• Zaproponowano koncepcję wyznaczenia optymalnego modelu zredukowanego poprzez dobór parametrów redukcji z zastosowaniem algorytmu ewolucyjnego. Porównano przydatność po-szczególnych wersji algorytmów ewolucyjnych dla doboru parametrów metodą FW. Przeana-lizowano wpływ kryteriów zatrzymania algorytmu, wartości początkowego zakresu mutacji, sposobu inicjacji populacji startowej, liczebności populacji bazowych i potomnych oraz algo-rytmów rozpraszania populacji na wyniki redukcji metodą FW dla modeli podsystemów pa-rownika.

• Przeanalizowano skuteczność strategii ewolucyjnych (jednopunktowych, wielopunktowych oraz algorytmów o zmiennej populacji) dla doboru parametrów metodą FW. Opracowano ewolucyjny algorytm dwustopniowy oraz hybrydowy algorytm dwustopniowy dla celów re-dukcji modeli matematycznych.

• Rozszerzono pojęcie zakresu adekwatności zredukowanego modelu obiektu sterowania wpro-wadzając pojęcie zakresu aproksymacji.

• Porównano wyniki redukcji z zastosowaniem doboru parametrów redukcji metodami FW, FD, FMR , RK (z algorytmem Dual Rational Arnoldi) dla modeli podsystemów parownika.

• Zaproponowano koncepcję hierarchicznego modelu zredukowanego. Przeanalizowano wpływ błędów aproksymacji podsystemów na stabilność oraz błędy aproksymacji modelu na wyŜ-szym poziomie hierarchii.

28

• Opracowano hierarchiczny iteracyjny algorytm doboru parametrów redukcji bazujący na kon-cepcji hierarchicznego modelu zredukowanego.

Dorobek praktyczny rozprawy obejmuje natomiast implementację szeregu algorytmów redukcji oraz doboru parametrów poszczególnych metod redukcji, dla pakietu MATLAB/Simulink. Opracowane algorytmy oraz programy mogą stanowić podstawę do opracowania przybornika dla pakietu MA-TLAB/Simulink.

WYBRANE POZYCJE LITERATUROWE

[ABF99] ALIAGA J., BOLEY D., FREUND W., HERNANDEZ V.: A Lanczos Type Method for Multiple Start-

ing Vector, Mathematics of Computation, vol. 69, no. 232, 1999, pp. 1577-1601. [AZN03] AGHAEE P., ZILOUCHIAN A., NIKE-RAVESH S., ZADEGAN A.: Principle of frequency-domain

balanced structure in linear systems and model reduction, Computers and Electrical Engineering, vol. 29, no. 3, 2003, pp. 463-477.

[And93] ANDERSON B.: Controller Design: Moving form Theory to Practice, IEEE Contr. Syst. vol. 13, no. 4, 1993, pp. 16-25.

[AS01] ANTOULAS A., SORENSEN D.: Approximation of Large-Scale Dynamical System: An overview. Int. J. Appl. Comput. Sci., vol. 11, no. 5, 2001, pp. 1093-1121.

[ASG03] ANTOULAS A., SORENSEN D., GUGERCIN S.: A modified low-rank Smith method for large-scale Lyapunov equations, Numerical Algorithms, vol.32 no.1, 2003, pp. 27-55.

[Ant05] ANTOULAS A.: Approximation of Large-Scale Dynamical System, Society for Industrial and Ap-plied Mathematics, Philadelphia 2005.

[Ara01] ARABAS J.: Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT, Warszawa 2001. [BB97] BECK C., BENDOTTII P.: Model reduction methods for unstable uncertain systems, Proc. of the

36th IEEE Conf. Decision and Control, vol. 4, 1997, pp. 3298-3303. [Bol94] BOLEY D.: Krylov space methods on state-space control models, Circuits Syst. Signal Process,

vol. 13, no. 6, 1994, pp. 733-758. [CD02] CHAHLAOUI Y., VAN DOOREN P.: A collection of benchmark examples for model reduction of

linear time invariant dynamical systems, SLICOT Working Note 2002-2, 2002 [Chi96] CHIU T. Y.: Model Reduction by the Low-Frequency Approximation Balancing Method for Unst-

able Systems, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 41, no. 7, 1996, pp 995-997. [CG01] CHORĄśYCZEWSKI, A., GALAR , R.: Evolutionary dynamics of population states, Proc. of Con-

gress on Evolutionary Computation, vol. 2, 2001, pp. 1366 - 1373. [Enn84] Enns D.: Model reduction with balanced realizations: An error bound and frequency weighted

generalization, Proc 23rd IEEE Conf. Decision and Control, 1984, pp. 127-132. [FF95] FELDMANN P., FREUND R.W.: Efficient linear circuit analysis by Pade approximation via the

Lanczos process, IEEE Trans. on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, vol. 14 no. 5, 1995, pp. 639-649.

[Fre03] FREUND R.W.: Model reduction methods based on Krylov subspaces, Acta Numerica vol.12, 2003, pp. 267-319.

[FNG92] FORTUNA L., NUNNARI G., GALLO A.: Model order reduction techniques with Applications in electrical engineering, Springer-Verlag, London 1992.

[GGS96] GALLIVAN K., GRIMME E., SORENSEN D., VAN DOOREN P.: On some modifications of the Lanc-zos algorithm and the relation with Pade approximations. Mathematical Research Series, Aka-demie Verlag Berlin, 1996, pp. 87–116.

[Glo84] GLOVER K.: All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their Linf error bounds,

Int. J. Contr., vol. 39, no. 6, 1984, pp. 1115-1193. [Gol03] GOLDBERG D.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowanie, WNT, wyd.3, Warszawa 2003. [Gri97] GRIMME E. J.: Krylov projection methods for model reduction, Ph.D. Thesis, University of Ilili-

nois at Urbana-Champaing 1997. [GKL89] Gu G., Khargonekar, P., Lee E.: Approximation of infinite-dimensional systems, IEEE Trans.

Automat. Contr., vol. 34, no. 6, 1989, pp. 610-618.

29

[GA00] GUGERCIN S., ANTOULAS A.: A Comparative Study of 7 Algorithms for Model Reduction. Proc. of the 39th IEEE Conf. Decision and Control, vol. 3, 2000, pp. 2367-2372.

[GA03] GUGERCIN S., ANTOULAS A.: A time-limited balanced reduction method, Proc. of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, vol.5, 2003, pp. 5250 - 5253.

[GA04] Gugercin S., Antoulas A.: A survey of model reduction by balanced truncation and some new results, Int. J. of Control, vol.